Elementedecalculvariational1.Conditiinecesaredeextremumpentrufunctionale detipintegrala Consideratiigenerale De multe ori , modelelematematiceassociateunorfenomenefizicenuseprezintasub formadiferentiala,cisubformaintegrala . Aceastaformaapare , de exemplu , atunci cand se cauta un minimum energetic .Daca energiadepindedoardeosinguramarimefizica , corespunzatoarefunctieiy(x) , precumsidederivatasa ,) ('x y, atuncisepoateformulaurmatoareaProblema deminimum . Sasedeterminefunctiaydeclasa ]) , ([2 11x x Cpentrucare integrala

21) , , ( ] ['xxdx y y x F y I (1)iavaloareminima . Dacaproblema fizicaimpunesialterestrictiiasupraluiy , atunciminimulintegralei I[y]secautapemultimeafunctiiloradmisibile-adicaafunctiilorcaresatisfac acesterestrictii .SeadmitecaintegrandulluiI[y]-functiaF estecontinuusidedouaoriderivabil in raportcuargumentelex , y , y';capetele1xsi2xaleintervaluluideintegrare suntpresupusefixate . Evident , integralaIare , pentrufiecare y , o valoarerealabinedeterminata . Ea asociaza decifiecareifunctiideclasa ]) , ([2 11x x Cunnumarreal . SpunemcaIesteofunctionalareala . Sepoateconsideracafunctionala(1)estedefinitepe ]) , ([2 11x x C.Ingeneral , vomnotacuVmultimea pecareestedefiniteIsicuUV multimeafunctiiloradmisibilecaresatisfaceventualeleconditiisuplimentareimpuse deproblema .Spunemca I : VR admitemaximumabsolutpentru 0yUdaca ] [ ] [0y I y I pentruorice yU ; (2)analog , spunemcafunctionala I : VR admiteminimumabsolutpentru 0yUdaca ] [ ] [0y I y I pentruorice yU . (3)Maximumurilesiminimumurileuneifunctionalesenumescextremumuri.Relaxandconditiile(2)si(3),obtinemdefinitiileextremumurilorrelativslabe .Spunemcafunctionalaca I : VR admiteunmaximumrelativslabin0yUdacaexista 0 > astfelincatpentru oricefunctie yUsatisfacand

< ) ( ) (0x y x y ,] , [2 1x x x , (4)safieindeplinitainegalitatea ] [ ] [0y I y I . (5)Analogsedefinesteminimumulrelativeslab .Extremumurile absolutesuntsirelativslabe .Pentruadeterminaconditiinecesaredeextremumrelativslabestenecesara demonstrareaunuirezultatesentialpentrucalcululvariational .Lemafundamentala .FieR x x f ] , [ :2 1 ,continua.Daca 210 ) ( ) (xxdx x x f (6)pentruorice ]) , ([2 11x x C nullacapeteleintervalului(0 ) ( ) (2 1 x x ) ,atunci f(x) = 0 pe ] , [2 1x x. Demonstratiaacesteilemesefaceprinreducerelaabsurd .Observammaiintaica , dacaf(x) = 0 pe ) , (2 1x x, atunci , datoritacontinuitatiiluif, si0 ) ( ) (2 1 x f x f.Ramaneatuncisademonstramcaf(x) = 0 peintervalul deschis ) , (2 1x x. Fiedeexemplu) , (2 1x x a ,astfelincatf(a)> 0 .Invirtuteacontinuitatiiluif existauninterval] , [ + a apecaref(x)> 0 .Saconsideramfunctiadefinitaprin '+ + ] , [ , 0] , [ , ] ) [ () (3 2 2 a a xa a x a xx(7)Evident ,satisfaceconditiiledinenuntullemei.Pentruaceastaalegerealui +< 210 ] ) [( ) ( ) ( ) (3 2 2xxaadx a x x f dx x x f (8)Deoarecefunctiadesubintegralaestestrictnegativepeintervalul) , ( + a a , aceastainegalitatecontraziceipoteza,lemafiindastfeldemonstrata . 1.2 Cazul in care integrandul depinde numai de functia necunoscuta si de primasa derivataSa consideram integrala (1) , definitainintroducereaacestul capitol . Nepunem problema determinarii extremumurilor relative slabe ale lui I . Presupunem ca y realizeazaunextremumpemultimeafunctiiloradmisibileU,definitaprinU= } ) ( , ) ( ]) , ([ {2 2 1 1 2 12y x u y x u x x C u , (9)unde1y si2ysuntdouanumeredate .Estenaturalsacautam acestextremumprintrefunctiiledinUsituatein vecinatatealui y.Functia ) ( ) ( ) ( x x y x Y + , (10)unde esteofunctiearbitraradeclasa]) , ([2 11x x C ,nulalacapetele intervalului,(0 ) ( ) (2 1 x x )apartinelui U sisatisfaceinegalitatea

] , [2 1) ( sup ) ( ) (x x xx x y x Y < (11)Mai mult , datoritacontinuitatiiderivatelorcelortreifunctiiy , Y , estesatisfacuta siinegalitatea

] , [' ' '2 1) ( sup ) ( ) (x x xx x y x Y < . (12)SainlocuimpeycuYinintegrala(1).Pentru fixat,obtinemointegrala depinzanddeparametrul: dx x y x x y x F Jxx)) ( ), ( ) ( , ( ) (' '21 + + (13)Carevatrebuisafiemaxima (sauminima)pentru=0 ,cafunctiede . Deci conditianecesaradeextremumeste

0) (0 ddJ. (14)Intrucat conditiiledederivareaintegralei(13)inraportcuparametrulsunt satisfacute,putemscrie dx x x y x y xyFx x y x y xyFddJxx 1]1

+21) ( )) ( ), ( , ( ) ( )) ( ), ( , () (' '''0 (15)Integrandultimultermenprinparti,deducem

,_

212121) ( ) , , ( ) ( ) , , ('''' ''xxx xx xxxdx xyFdxdy y xyFx dx y y xyF (16)Intrucat seanuleazalacapeteleintervalului] , [2 1x x ,primultermendin membruldreptalrelatiei(16)seanuleaza,deasemenea .Conditia(14)devine

0 ) ( ) , , (21''1]1

,_

dx xyFdxdy y xyFxx , (17)egalitatecareestesatisfacutapentruorice]) , ([2 12x x C ,nulalacapete . Aplicandlemafundamentalaacalcululuivariational , rezultacaytrebuiesasatisfaca 1]1

,_

'') , , (yFdxdy y xyF=0 ,] , [2 1x x x (18)Ecuatia(18)senumesteecuatialuiEuler sidinconsideratiileanterioarerezultaca eareprezintaoconditienecesaradeextremumpentrufunctionalaI[y] .Deciorice functieypentrucareIrealizeazaunextremumtrebuiesasatisfacaecuatia(18) . Reciprocanueste,insa, intotdeaunaadevarata .CurbeleintegralealeecuatieiluiEulersenumescextremale, chiarsiaceleapentru carefunctionalaInurealizeazaunextemum . 1.3 Cazul in care integrandul depinde de derivate de ordin superior ale functieinecunoscute Sa consideram acum cazul in care F depinde de derivate de ordin superior ale functieinecunoscute .FiedeciI[y]deforma 21) ,..., , , , ( ] [) ( ' ' 'xxndx y y y y x F y I, (19)undeFesteofunctiedeclasa ]) , ([2 11x x Cn+si ) ( ' ' ',..., , ,ny y y y luandvalori arbitrare .NepropunemproblemadeterminariiextremelorrelativeslabealefunctionaleiI[y] in raportcumultimeaUafunctiilordeclasa]) , ([2 12x x Cncaresatisfacconditiile

) 1 (2 2) 1 ( '2 2'2 2) 1 (1 1) 1 ( '1 1'1 1) ( ,..., ) ( , ) () ( ,..., ) ( , ) ( n nn ny x y y x y y x yy x y y x y y x y (20)unde 2 , 1 , 1 , 0 ,) ( i n k yki suntconstantedate.Casiincazulfunctionalei(1),vomputeastabiliconditiinecesaredeextremum pentru(19),considerandvariatiialefunctieiycerealizeazaunextremumpentruI deforma ) ( ) ( ) ( x x y x Y + , (21)undeesteofunctiearbitraradeclasa]) , ([2 12x x Cn,nulalacapetele intervaluluiimpreunacuderivatelesalepanalaordinaln-1 .Inlocuindin(19)ycu Yobtinem,pentru fixatointegraladepinzanddeparametrul:dx x y x y x y x x y x F Jn nxx)) ( ),..., ( ), ( ), ( ) ( , ( ) () ( ) ( ' ' ' ' ' '21 + + + + ,carevaadmiteunextremumpentru=0 ;decisiinacestcaz

0 ...) (21) () (''01]1

+ ++dxyFyFyFddJxxnn . (22)Integrandprinparti , tinandseamadeconditiilepecarelesatisfacesiaplicand dinnoulemafundamentalaacalcululuivariational,deducempentrufunctionala (19)conditianecesaradeextremumsubformaecuatieidiferentialedeordinal2n

0 ) 1 ( ...) ( ' ' 22' ,_

+

,_

+

,_

n nnnxFdxdyFdxdyFdxdyF. (23)AceastaecuatiesenumesteecuatiaEuler-Poisson .SeobservacaecuatiaEulerseobtinecauncazparticularalecuatieiEuler Poissonpentrun = 1 .1.4 Cazulincareintegranduldepindedemai multe functiinecunoscute Sacautamconditii necesaredeextremumpentrufunctionala

21) ,..., , , ,..., , , ( ] ,..., , [' '2'1 2 1 2 1xxn n ndx y y y y y y x F y y y I , (24)undeintegrandulFdepindedenfunctiinecunoscuteny y y ,..., ,2 1 sidederivatele deordinalintaialeacestora. SapresupunemcaFesteofunctiedeclasa ]) , ([2 12x x C sipentru',k ky y luand valoriarbitrare .Vomcautaextremumurilefunctionalei(24)pemultimeafunctiiloradmisibileUde clasa ]) , ([2 12x x C sisatisfacandconditiile 2 2 22 2 2 12 2 11 1 21 1 2 11 1 1) ( ,..., ) ( , ) () ( ,..., ) ( , ) (n nn ny x y y x y y x yy x y y x y y x y (25)Gasimextremumurile relativeslabepentruIconsiderandpentrufunctiile ny y y ,..., ,2 1 celerealizeazavariatiideforma:

) ( ) ( ) ( x x y x Yj j j j + ,j = 1,n,(26)unde jsuntparametriimai miciinmoduliar jsuntfunctiiarbitraredeclasa ]) , ([2 12x x C ceseanuleazalacapeteleintervalului . Introducandexpresiile(26) in (24)obtinem,pentru jfixate ,ofunctieJdepinzanddenvariabile n ,..., ,2 1 dx x y x y y y y x F Jn n nxxn n n)) ( ),..., ( , ,..., , , ( ) (' ' '1 1'1 2 2 2 1 1 121 + + + + + , (27)careisi atingeextremumurilepentru j= 0,,j = 1,n.Conditianecesarade extremumpentrufunctiidemai multevariabileeste 00 ,..., 01 nkddJ ,k = 1,n, (28)deci

021''1]1

+dxyFyFxx kkkk ,k = 1,n, (29)Integrandprinpartitermeniicontinand 'kinfiecaredintrerelatiile(29),tinand seamadeproprietatilefunctiilor k siaplicandlemafundamentala,deducem sistemuldeecuatiidiferentialeordinaredeordinulaldoilea

. 0. .......... .......... .........., 0, 0''2 2'1 1

,_

,_

,_

n nyFdxdyFyFdxdyFyFdxdyF (30)Sistemul(30)reprezintaconditianecesaracafunctiileny y y ,..., ,2 1sareprezinte unextremumrelativslabpentrufunctionalaIdatade(24).Ecuatiile(30)semai numescsiecuatiileEuler Lagrange .Casiincazurileprecedentevomnumiextremalaoricesolutieaacestuisystem . In particular , o extremalavaficompletdeterminateprinconditiilelalimita(25).Conditiilenecesaredeextremumpuseinevidentalaacestpunctpotfiexprimate intr-o formasemnificativaprinintroducereanotiuniidevariatieauneifunctionale , de derivateFrechetsiGateaux,notiuniasupracarora nuvominsistaincadrulaceste lucrari . 2.Problemedeextremumconditionat Inanumitecazuri , extremumurilefunctionalelortrebuiecautatepeclasedefunctii admisibilecetrebuiesamaisatisfacasialteconditiisuplimentare , subforma integralasausubformadefunctie . Vomanalizacazulproblemelorizoperimetricesi alproblemelorLagrange . 2.1 ProblemeizoperimetriceSenumeste problemaizoperimetricaproblemadeterminarii extremumurilor unei functionale

21) ,..., , , ,..., , , ( ] ,..., , [' '2'1 2 1 2 1xxn n ndx y y y y y y x F y y y I (31)pentrufunctiisatisfacndconditiilestandard n k y x y y x yk k k k, 1 , ) ( , ) (2 2 1 1 , (32)precumsiconditiisuplimentare p j a dx y y y y y y x G y y y Ijxxn n n j, 1 , ) ,..., , , ,..., , , ( ] ,..., , [21' '2'1 2 1 2 1 (33)Denumireadeproblemaizoperimetricaprovinede laanalogiacuproblemaomonima , caremai poartasinumeledeproblemaDidoneisicarevafitratatain cadrul aplicatiilorlaacestcapitol . a)Sapresupunem cafunctionalaIdepindenumai deunsingurargument,adica 21) , , ( ] ['xxdx y y x F y I (34)siestedataosinguraconditiesuplimentara a dx y y x G y Ixx 21) , , ( ] ['1. (35)Atuncisepoatedemonstra-folosind,inprincipiu , acelesaitehnicicainparagraful precedent -cadacafunctiayrealizeazaunextremumpentruIsiverifica(35), precumsiconditiile , ) ( , ) (2 2 1 1y x y y x y atunciexistaoconstanta astfel incaty(x)safieoextremalaafunctionalei

+ 21)] , , ( ) , , ( [ ] [' 'xxdx y y x G y y x F y K . (36)Problemadeextremumconditionatafostastfel redusalaoproblemadeextremum neconditionat ,asemanatoarecelortratateinpartea1 .Conditianecesaradeextremumconditionatvafideci

0' '

,_

++yGyFdxdyGyF . (37)b)Saconsideramacumproblemaizoperimetricagenerala , enuntata lainceputul acestuipunct.Inacestcazsedemonstreazatotcuajutorulcalcululuivariational caexistap constante p ,..., ,2 1astfelincatfunctiile ny y y ,..., ,2 1 carerealizeazaun extremumalfunctionalei(24)-insanusipentruvreunadinfunctionalele jIcare maisatisfacsi conditiiintegrale(33)-safieextremalesipentrufunctionala

+ 21)] ,..., , , ( ) ,..., , , ( [ ] ,..., , ['2 1'2 1 2 1xxn n ndx y y y x G y y y x F y y y K . (38)Aplicandintegrandului conditiile(28),gasimsistemuldeecuatiidiferentiale

n jyGdxdyFdxdyGyFpk jkkpk jkkj, 1 , 01'1'

,_

,_

+ , (39)alecaruisolutiisuntextremaleleproblemeideextremumconditionat .2.2 ProblemaLagrangea)Vomenuntaaceastaproblemamaiintaipentrufunctionala 21) , , , , ( ] , ['2'1 2 1 2 1xxdx y y y y x F y y I. (40)SeceresasedetermineunarcdecurbaC, ] , [ ), ( ), (2 1 2 2 1 1x x x x y y x y y , situatpesuprafataS

0 ) , , (2 1 y y x G (41)sipentrucarefunctionala(38)realizeazaunextremum .CoordonatelecapetelorarculuiCvorfi ( ) ( ) ) ( ), ( , , ) ( ), ( ,2 2 2 1 2 1 2 1 1 1x y x y x x y x y x.Sanotamdeci 22 2 2 21 1 212 2 1 11 1 1) ( , ) () ( , ) (y x y y x yy x y y x y (42)DeoarecearculseaflapeSsiextremitatilesalevorfipeS,asaincat0 ) , , ( , 0 ) , , (22 12 2 21 11 1 y y x G y y x G. (43)Daca02 yGde-alungulextremalei,atunciputemexplicita2ydinecuatia implicita (41)asuprafeteiS ) , (1 2y x y . (44)Introducandaceastaexpresiein(40),obtinemonouafunctionaladependentadoar deargumentul 21) , , ( ] ['1 1 1xxdx y y x y I , (45)unde estedatde

,_

+'11'1 1 1'1 1, ), , ( , , ) , , ( yy xy y x y x F y y x . (46)EcuatiaEulercorespunzatoarefunctionaleiIseaduceimediatlaforma

0'2 2 1'1 11]1

,_

+

,_

yFdxdyFy yFdxdyF (47)Din(41),inlocuindpe2y cu ) , (1y x deducem 01 2 1+y yGyG (48)si , eliminandpe1y intre(47)si(48),obtinem 2'2 21'1 1yGyFdxdyFyGyFdxdyF

,_

,_

(49)Notandcu) (x valoareacomunaarapoartelor(49)de-alungulcurbei extremale,vomavea

0 ) (, 0 ) ('2 2 2'1 1 1

,_

+

,_

+yFdxdyGxyFyFdxdyGxyF (50)care , deoarece 2 , 1 , 0' jyGj semaipoatescrie [ ] ( ) 2 , 1 , 0 ) ( ) (' 11]1

+ +j G x Fy dxdG x Fyj j (51)Acesteasuntcodnitiiledeextremumpentruproblema Lagrangeincazulfunctionalei depinzanddedouaargumente . Observamcasistemul(51)estedefaptsistemul Euler Lagrangecedaextremaleleincazulfunctionalei [ ]+21) , , ( ) ( ) , , , , (2 1'2'1 2 1xxdx y y x G x y y y y x F (52)pentruproblemedeextremumliber .b) ProblemaLagrangepentrufunctionaledemaimulteargumente 21) ,..., , , ,..., , , ( ] ,..., , [' '2'1 2 1 2 1xxn n ndx y y y y y y x F y y y I (53)constaindeterminareaunuisistemdefunctiiny y y ,..., ,2 1,celputindeclasa ]) , ([2 12x x C ,satisfacandlacapeteconditiile(25),precumsiconditiile suplimentare p j a y y y x Gj n j, 1 , ) ,..., , , (2 1 (54)Ca siincazulprecedent,aceastaproblemasereducelaoproblemadeextremum neconditionatpentruofunctionaladeconstructiespeciala . Astfelspus , sepoate demonstracaexistafunctiile) ( ),..., ( ), (2 1x x xp ,astfelincatdaca ny y y ,..., ,2 1,realizeazaunextremumpentruproblemaluiLagrangeb),atunci ny y y ,..., ,2 1 formeazaunsistemdeextremalepentrufunctionala 1]1

+2112 1' '2'1 2 1) ,..., , , ( ) ,..., , , ,..., , , (xxpjn j j n ndx y y y x G y y y y y y x F . (55)Ecuatiileextremalelorsescriuinacestcaz

n jyHdxdyHj j, 1 . 0'

,_

, (56)undeHesteintegrandulfunctionalei(25),adica+ pjj jG x F H1) ( .3.Aplicatii Aplicatia1.Sasestudiezemiscareaunuisistemmecanicdiscretdeparticule,supuslalegaturi olonomesisituateintr-uncampdefortecvasiconservative,utilizandprincipiul variationalalluiHamilton .RezolvareFieunsistemdenparticule) , , (j j jz y x P,demasen j mj, 1 . ,supuslam legaturiolonome(geometrice) . m k t z y x z y x z y x f fn n n k k, 1 , 0 ) ; , , ,..., , , , , , (2 2 2 1 1 1 , (a)siactionatdefortelecvasiconservativen j t z y x z y x z y x F Fn n n j j, 1 ), ; , , ,..., , , , , , (2 2 2 1 1 1 carederivadin cvasipotentialulsimplu) ; , , ,..., , , , , , (2 2 2 1 1 1t z y x z y x z y x U Un n n ; prinurmare, componentelefortei jF careactioneazaasupraparticuleijP vorfi

jjjjjjzUZyUYxUX , ,. (b)Ingeneral,legaturile (a)suntreonome ( timpulapareinmodexplicit ) ; daca 0 tffkk , decidacakfnudepindeexplicitdetimp , legaturilesunt scleronome . Deasemenea , daca 0 tUU,decidacaUnudepindeexplicitde timp , cvasipotentialulesteunpotentialsimpluiarforteledatesuntconservative . Introducemsienergiacinetica

( ) + + njj j j jnjj jz y x m v m T12 2 2122121,(c)undejvestevitezaparticulei jP. SumaL = T + U (d)reprezintapotentialulcineticalluiLagrange (lagrangeanul) in lipsalegaturilor olonome .Integrala A= 10tt Ldt t z y x z y x z y x z y x nnnn n n) ; , , ,..., , , , , , ,..., , , ( 11.1 1 1 1 (e)Senumesteactiunelagrangeanasireprezintaofuncionalacarejoacaunrol importantinmecanica.Vomafirmaca:Miscareaunuisistemmecanicdiscretdeparticuleliberearelocastfelincatactiunea lagrangeanaareunminimum(principiulluiHamilton) .EcuatiileEuler Lagrangecorespunzatoareextremariiacesteifunctionalesescriusub forma , 0, 0, 0

,_

,_

,_

j jj jj jzLzLdtdyLyLdtdxLxLdtd(f)Tinandseamade(b) , (c) , (d) , gasimecuatiiledemiscarealelui Newton (principiul aldoilea)subformauneiteoreme , , 1 , , , n j Z z m Y y m X x mj j j j j j j j j (g)Dacatinemseamadelagaturileolonome(a) , putemintroduceunlagrangeande forma

+ + mii if U T L1 , (h)Unde isuntmultiplicatoriiluiLagrange.EcuatiileEuler Lagrange corespunzatoareneconducla , , 1 ,,,111n jzfZ z myfY y mxfX x mmijij j jmijij j jmijij j j+ + + (i)SaconsideramacumparticulajP,devectordepozitie jr , acareitraiectorie, datoritafortelordateceactioneazaasupraei , estearculdecurba jC , cuprinsintre punctele1 0,j jP Pcorespunzatoaremomentuluiinitial0trespectivemomentului final1t . Efectuandodeplasarevirtuala j r , obtinempunctul 'jP ; dinmultimea deplasarilorvirtuale j r alegempeaceleacareseobtininmodunic , plecandde la0jPpanala1jP,loculgeometricalpunctelor'jPfiindocurbavariata'jC(fig.6.1) . Sepunastfelinevidentaoinfinitatedecurbevariatesiputemscrie j j j r r r + '(j)PlecanddelaecuatiileluiNewton,in cazulunorlegaturiolonome , obtinem principiullucruluimechanicvirtual ( pricipiuldAlembert- Lagrange )subformaunei teoremesianume njjjr10 , (k)unde am introdusfortelepierdutealelui dAlembert

n j r m F jjjj, 1 , (l)pentruareduceformalproblemadinamicalaoproblemastatica , eliminanddin calculforteledelegatura . Putem scrie, deasemenea njttjjdt r1100 .(m)Lemafundamentalaacalcululuivariationalnepermitesaaratamcarelatiile(k)si (m)suntechivalente .Vomcalcula ( )

,_

101010101010101 1 11 1 1ttnjttttnjj jjj jjttj jnjjj jnjttjnjttnjttj jjj jjTdt v v m dt v v m r r mdt rdtdr m dt r rdtdm dt r r m unde am tinutseamaderelatiaoperationala ,_

,_

dtddtd ; putemscriedeasemenea , njj j L r F1 , (n)undeL estelucrulmechanicvirtual alfortelordate . relatia(m)neconduceastfel la ( )10101ttjnjj jttr v m dt L T + (o)Aceastarelatievareprezentaoteoremageneralaintegrala ; plecanddelaaceasta teorema (consideratacaun principiu )sepotobtinediferiteprincipiiintegralesau variationale . Relatia(o)corespundeunuicazsincron , in carecronologia (deci variabilatemporala )esteaceeasipentrutoatecurbelevariate . Incazulparticularalcurbelorvariatecucapetefixe (fig.6.2) avem 01 0 j jr r , asaincatprincipiulgeneralintegralcapataforma ( ) 010 +dt L Ttt .(p)Incazulunorfortedateconservative(sau , mai general cvasiconservative) vom avea ) ; ,..., , (2 1t r r r U Un, asaincat U L .Introducandlagrangeanul(d)sitinandseamadepermutabilitateaoperatorului cu operatorulintegrala , obtinem

100ttLdt A , (q)PutandastfelenuntaprincipiulluiHamiltonsubforma :Traiectoriilerealealeparticulelorunuisistem mecanicdiscret , olonom , suntacelecurbevariatecu capetefixe pentrucarevariatiaactiuniilagrangeenese anuleaza (curbeleextremale )PrincipiulluiHamiltona fostobtinutmaisussub formauneiteoreme ; plecanddelaacestrezultat , consideratcaunprincipiu , seregasescecuatiilelui Newtoncaoteorema . Mentionamfaptul ca ecuatiile luiNewtonauuncaracter general , principiul lui Hamilton putandfi aplicat numai in cazul existenteiunui lagrangean al sistemului mecanic .Aplicatia2.SasestabileascaecuatiiledemiscarealeluiLagrangecorespunzatoareunuisistem mecanic discret departiculeS, supuslalegaturiolonomesisituatintr-uncampde fortecvasiconservative , in spatiulconfiguratiilor , utilizandprincipiulvariationalallui Hamilton . Rezolvare Fieunsistem Sdenparticule) , , (j j jz y x P, n j , 1 ,supuslamlegaturiolonome(geometrice) . m i t z y x z y x z y x f fn n n i i, 1 , 0 ) ; , , ,..., , , , , , (2 2 2 1 1 1 , (a)Inspatiul 3E , sistemuldeparticule ,consideratliber , are 3ngradedelibertate , fiind necesari3nparametri (de exemplu , cele 3n coordonate) pentru a-i fixa pozitia .Putem insa introduce unspatiureprezentativ nE3 cu3n dimensiuni, in carepozitiaunuipunct reprezentativPesteprecizataprin 3ncoordonate n k Xk3 , 1 , , carepotfialesede exemplu , subforma n nz X z X y X x X 3 1 3 1 2 1 1,..., , , . Prinurmare , pozitia sistemului mecanicSin spatiul 3Eesteprecizatadepozitiapunctuluireprezentativ P inspatiul nE3 .Prezentaamlegaturiolonome (a) , exprimatesubformafinita , face canumarulgradelordelibertatealesistemuluiSsasemicsorezelas = 3n m ; sunt decinecesarisparametripentruprecizarea pozitieiacestuisistem . Fie sq q q ,..., ,2 1un asemeneasetdeparametri , obtinutprineliminarealegaturilorolonome . Introducemacumunspatiuscusdimensiuni , numitspatiulluiLagrange , in care pozitiaunuipunctreprezentativ Pesteprecizatadecoordonatelegeneralizate sq q q ,..., ,2 1. CunoscandpozitiaacestuipunctreprezentativPinspatiul s cunoastempozitia (sauconfiguratia)sistemuluimecanicSinspatiul 3E ;de aceea , spatiul sse mainumestesispatiulconfiguratiilor. Unmareavantajilreprezinta faptulcapunctul reprezentativPesteunpunctliber (nesupuslalegaturi, care aufost eliminate ) inspatiul s, deasemenea, observamca n s 3 .PotentialulkineticLallui Lagrange, introduslaaplicatia 1 , esteofunctiede pozitiaparticulelorsistemuluiside vitezeleacestora . Observamcatrecereadela spatial 3Elaspatial ssefaceprinrelatiideforma n j t q q q r rsj j , 1 ), ; ,..., , (2 1 ; (b)petruviteze , putemscrie n j r qqrtrdtdqqrdtr dvskj rrj jskkrj jj, 1 ,1 1 + + (c)unde , prin analogie , kqsuntvitezelegeneralizate . In acest caz, lagrangeanul Lse exprimainspatiul ssubformaL=L s k q q q q q qs s, 1 ), ,..., , , ,..., , (2 1 2 1 (d)unde) (t q qk k . PentruextremareaactiuniilagrangeeneAdatadeformula(e)de laaplicatia1 , putemscrieecuatiileEuler Lagrangecorespunzatoaresubforma s kqLqLdtdk k, 1 , 0

,_

,(e)AcesteecuatiisuntecuatiileluiLagrangedespetaadoua( pescurt,ecuatiileluiLagrange ), careprecizeazamiscareapunctuluireprezentativPinspatiul s . Acest sistemesteunsistemdesecuatiidiferentialedeordinulaldoilea,infunctiile necunoscute) (t q qk k . Prinintegrare , seintroduc2sconstantearbitrare , carese determinaprinconditiiledetipCauchy( lamomentulinitial 0t)

s k q t q q t qk k k k, 1 , ) ( , ) (0000 , (f)Putemsacalculamdirectprimavariatieaactiuniilagrangeenesubforma 10tt L

,_

+1012 1.2 1) ; ,..., , , ,..., , (ttskkkkks sdt qqLqqLdt t q q q q q q ,dar 111]1

,_

,_

skskkkkkkkskkkqqLdtdqqLdtdqdtdqLqL1 1 1) ( si010101 1

,_

ttskkkttskkkqqLdt qqLdtd ,curbelevariatefiindcucapetefixe. Inconsecinta,ramanemcu 111]1

,_

1001ttkskkkdt qqLdtdqL ,Deplasarilevirtualegeneralizate kq fiindindependente (legaturileolonome aufost eliminate ) , putem lua , pe rand , una dintre elediferitadezero si pe celelalteegale cu zero , obtinem tocmaiecuatiile .Introducandoperatorul

[ ]kkkqdtdq , (g)caregeneralizeazaoperatoruldederivarepartiala , maiputem scrieecuatiilelui Lagrange subforma [ L]k = 0 ,k =1,,s. (h)Plecanddelarelatiile(b),observamca skkkjj n j qqrr1; , 1 , (i)inacestcaz , lucrulmechanicvirtual , exprimatprinrelatia(n)delaaplicatia1, capataforma

skk kq Q L1 , (k)undeamintrodusfortelegeneralizates kqrF Qnj kjj k, 1 ,1 . (l)Dacaaplicammetodologiadecalculdemaisusprincipiulgeneralintegral(o)din aplicatiamentionata, gasim0101111]1

+

,_

+dt q QqTdtdqTkttskkkk ;inbazaunorconsideratiianaloagecuceledemaisus , obtinemecuatiilelui Lagrangesubforma s k QqTqTdtdkkk, 1 ,

,_

, (m)acesteecuatiiaucaractermaigeneraldecatecuatiile(e),deoarececorespundunor fortedateoarecare . Incazulunorfortegeneralizatecvasiconservative s k t q q q U UqUQskk, 1 ), ; ,..., , ( ,2 1 , (n)regasimecuatiile(e) . Aplicatia3:Sasestabileascaecuatiilede miscarealeluiHamilton , corespunzatoareunuisistem mecanicdiscretdeparticuleS supuslalegaturiolonome sisituatintr-uncampde fortecvasiconservative , in spatilfazelor , utilizandprincipiulvariationalallui Hamilton . Rezolvare : Fie unsistemdenparticule jP,n j , 1 ,supuslamlegaturiolonome (geometrice) siingeneral , reonome . InipotezaexistenteiunuipotentialcineticL = T + U, undeTesteenergiacinetica, iarUestepotentialulfortelor cvasiconservative ( caredepindexplicitdetimp ) , putemscrieecuatiiledemiscare aleluiLagrangeinspatiulconfiguratiilorsubforma s kqLqLdtdk k, 1 , 0

,_

,(a)unde) (t q qk k suntcoordonatelegeneralizate , ) (t q qk k suntvitezelegeneralizate, iars = 3n m. Introducemnotatia

s kqLpkk, 1 , , (b)undekpsuntimpulsurilegeneralizate ; aceastadenumireprovinedinfaptulca , in cazuluneisingureparticule P ( x , y , z ) , lagrangeanulestedatde ) ; , , ( 2 /2 2 2t z y x U z y x m +

,_

+ + asaincat, , ,3 2 1mz p my p mx p Observandcanjj jv m T1221,sitinandseamadeexpresia( c) dinaplicatia2avitezei jv, putemscrie energia cineticasubforma

0 1 2T T T T + + (c )unde2T esteoformapatraticapozitivdefiniteinvitezelegeneralizate , 1T este o formaliniarainacesteviteze , iar 0Testeoconstantainraportcuacesteviteze . Deaicirezultacarelatiile(b)potfiprivateca unsistemdesecuatiialgebrice liniare , avandcanecunoscutevitezelegeneralizate kq ; 2Tfiindoformapatratica pozitivdefinita , determinantulcoeficientiloracestuisistemestetocmaidiscriminantul formeipatratice , careestenenul . Prinurmare , putemrezolvasistemuldeecuatii (b) in raportcukq, obtinand) ; ,..., , , ,..., , (2 1 2 1t p p p q q q q qs s k k . Ingeneral , L = Ls k t q q q q q qs s, 1 ), ; ,..., , , ,..., , (2 1 2 1 ; tinandseamadesolutiilesistemuluide ecuatii(b) , rezulta, in definitiv, L = L) ; ,..., , , ,..., , (2 1 2 1t p p p q q qs s . Hamiltonaintrodusspatials 2cu2sdimensiuni , numitspatiulfazelor(sau spatiulluiGibbs ) , incarepozitiaunuipunctreprezentativPesteprecizatade coordonatlecanonice s sp p p q q q ,..., , , ,..., ,2 1 2 1 inordineamentionata . Dincele expuse, seconstataca , princunoastereapozitieiunuipunctreprezentativinspatiul fazelor s 2secunoastepozitiasivitezaunuipunctreprezentativinspatiul configuratiilor s , decipozitiasistemuluimecanicSinspatialE 3 .IntroducemfunctiaHamilton Hsubforma skk kq p H1L; (d)Tinandseamadetransformarea(b)efectuaramai sus ( numitasitransformarealui Legendre ) , rezultacaH = H) ; ,..., , , ,..., , (2 1 2 1t p p p q q qs s . Inacestcaz , principiul luiHamilton(q)dinaplicatia1sescriesubforma 0 ) ; ,..., , , ,..., , (102 112 11]1

dt t p p p q q q H q pttssks k k, (e)numitaformacanonicaaprincipiuluiluiHamilton. ScriindecuatiileEuler Lagrangecorespunzatoareacesteifunctionale , gasimecuatiiledemiscareale punctuluireprezentativPsubforma

; , 1 , , s kqHppHqkkkk (f)Acesteecuatiialcatuiescsistemuldeecuatiicanonicealemecaniciianalitice( ecuatiileluiHamilton ), un sistemde2secuatiidiferentialedeordinalintaicu2s functiinecunoscute ) (t q qk k ,s k t p pk k, 1 ); ( .Seintroduc2sconstantede integrare,determinatedeconditiiledetipCauchy(lamomentulinitial 0t) 00) (k kq t q , s k p t pk k, 1 ; ) (00 . (g)Printrecereadelamecanicalagrangeana(spatiul s)lamecanicahamiltoniana (spatiul s 2)s-adublatnumaruldeecuatii ; inschimb , acesteanu maisuntde ordinulaldoilea , cideordinulintai . Deasemenea , conditiileinitialesuntomogene ( numaipentru pozitiapunctuluireprezentativ) . Dacasedaopozitieoarecareapunctuluireprezentativ ( deexemplu , pozitiainitiala) ecuatiilecanonicepermitdeterminareapozitieiacestuipunct laoricemoment ; acest faptpuneinevidentacaracteruldeterministalmecaniciihamiltoniene ( de fapt , in general , almecaniciinewtoniene ) . Aplicatia4 : Sasestudiezeproblemacelordouaparticule , utilizandecuatiileluiLagrange, in spatiulconfiguratiilor .Rezolvare :Fieparticulele1Psi2P ,demase1m si2m , pozitiilelorfiind precizateprincoordonatelesferice , ,1r, respectiv + , ,2r ,fatade centruldemasaO , situatepesegmentaldedreapta2 1P P, astfelincat 1 2 2 2 1 1, m m r m r m > (a)Deoareceinaceastaproblemaactioneazanumaiforteinterioaredeatractie newtoniana rrm fmF F ,_

32 121 12 ,centruldemasaareomiscarerectiliniesi uniformafatadeunreperinertial ( fix) . Vomstudiamiscareacelordouaparticulein raportcuacestpunct . Energiacineticaseexprimasubforma 11]1

,_

+ + +11]1

,_

+ + + 22 2222222 2211122 221 1sin21sin212121r r m r r m v m v m T (b)undevitezelesuntdateincoordinatesferice . Fortele deatractienewtonianasunt conservativesiderivadinpotentialul

rm mf U2 1, ( c)unde 2 1r r r + .(d)Observamcapozitiileparticulelor1Psi2Psuntprecizateprinparametrii , , ,2 1r r . Tinandseamaderelatiile(a)si(b)putemscrie2 22 221 1mr r m r m +si 2 222211 + r m r m r m , dacaintroducemnotatia

2 11 1 1m m m+ (e)2mrLInfelulacesta , lagrangeanulcorespunzator acesteiproblemesepoateexprimanumaicuajutorula treicoordonate generalizate , respectiv , , rsubforma L = rm mf r r m2 1 22 22sin21+11]1

,_

+ + (f)Deoarece , r mrL , 2 2sin mrL (g)sirm mf mrrL2 1 22 2sin

,_

+ , cos sin22mrL,0 L,obtinemecuatiileluiLagrangesubforma

'

,_

+11]1

,_

+ , 0 sin0 cos sin ) (0 sin2 222 222 1 22 2 rdtdr rdtdrm mf r r m (h)deciunsistemdetreiecuatiidiferentialedeordinul aldoileainfunctiile necunoscuter = r(t),) (t si ) (t .Seobservadelainceputca

const a r 12 2sin (i)reprezintaointegralaprimaaacestuisistemdeecuatii . Tinandseamade(i) , adoua ecuatie(h)sescriesubforma 3 21 2sincosrardtd

,_

;inmultindcu22r siintegrand , rezultaonouaintegralaprima const aar +222124sin (j)Eliminandtermenii 22 r si 22sin r dinprimaecuatie(h)cuajutorulcelor douaintegraleprimeobtinutemaisus,capatam022 132 + m rm mfrar ;inmultindapoicur 2siintegrand,rezultaatreiaintegralaprima const amrm mfrar 32 122 22 .(k)Integralaprima(k)contineosinguravariabilaspatiala , asaincat

) (r fdrdt t ,322 2 12 ) ( aramrm mf r f + , (l)deunde , printr-ocvadratura , seobtinetcafunctiedersiapoir = r (t) , intrducandu-seapatraconstantadeintegrare 4a . Inmodanalog , integralaprima(j) neconducela ) ( ) (2gdr f rdrt , 2212sin) (aa g ; (m)prindouacvadraturi , obtinem) (t si apoi) (t , intervenindonoua constantadeintegrare 5a . In sfarsit , integralaprima(i)nepermitesascriem ) ( sin21 gd ad t ,(n)undeamutilizatrezultateleanterioare ; deaicicapatam) ( siapoi ) (t , facand saintervinaconstantadeintegrare6a.Constanteledeintegrareka , k = 1,2,,6 , sedeterminaapoicuajutorulconditiilorinitiale . Aplicatia 5 :Sase studiezeproblemacelordouaparticule,utilizandecuatiileluiHamilton , in spatiulfazelor . Rezolvare : Consideram particulele1P si2P,demase1msi2m, pozitiilelor fiindprecizateprincoordonatelesferice , , r . Observamcaimpulsurile generalizate ( datedeformuledeformas kqLpkk, 1 , )seexprimaprin r m pr , 2mr p, 2 2sin mr p (a)deaicirezulta mprr, 2mrp ,2 2sin mrp. (b)Avandde-afaceculegaturiolonomesiscleronome ,hamiltonianulseexprimasub formaH = T U,asaincat

,_

+ + rm m mfrprppmHr2 12 222222sin 21. (c)Primulsubsistemdeecuatiicanonicevafidatde(b) , iaraldoileasubsistemse scriesubforma . 0 ,sincos,sin13 222 12222

,_

+ pmrpp m m fmrprpmrpr(d)VomfolosimetodadecalculHamilton Jacobi . Observamcaesteocoordonata ciclicaasaincat const a p 1 (e)reprezintaointegralaprimaasistemuluideecuatiicanonice . Deoarecelegaturile suntscleronome , functiaSva fideforma

) , , (2 0 1a r S a ht S + + , (f)2 1, , a a hfiindceletreiconstantedeintegrare . EcuatiaHamilton Jacobidevine h aSrSr H ) , , , , (10 0(g)sau , tinandseamadeexpresia (c)ahamiltonianului ,

hrm m mfra Sr rSm11]1

+ ,_

+ ,_

2 12 221202202sin121 .(h)Alegand 0Ssubformauneisumededouafunctiidecateosinguravariabila

) ( ) ( ) , (0 + r R r S , (i)ecuatia (h)capataforma( notam dddrdRR ' ',) mhrm m mfrarR 2 2sin12 12 2212'22' + +.(j)mai putem scrieconst a a aamhr mr m fm R r > 2 2 22212' 22 12' 2, 0 ,sin2 2deaiciobtinemecuatiile 22 2 12 2 ) ( , ) (rarm m mf mh r f dr r f dR + + t , (k)0sin) ( , ) (2212 t aa g d g d, (l)PrindouacvadraturiobtinemfunctiileR (r) si) ( , decifunctia) , (0 0 r S S si , inceledinurma, functiaS . AplicandteoremaHamilton Jacobi , putemscriedouasiruridecatetreiintegrale prime , carenepermitrezolvareaproblemeipuse . Aplicatia6 :Obaradrepatadubluarticulataestesupusalaflambaj . Cum trebuiesavariezeraza sectiuniiciruclarer = r ( x )astfelincat , pentruunvolumdematerialdatV , barasa prezinterezistentamaximalaflambaj ? Rezolvare : Dacamomentuldeinertiealsectiuniieste44r Ixecuatiadiferentiala afibreideformatesescrie

044' ' ' ' + +rwEPw wEIPwx.(a)Cunotatia EP42, (b)dinecuatia(a)rezulta

' '2 4wwr . ( c)Volumulbarei este 102dx r V , (d)Dacaseintroduce2rdin( c)seobtinedxww V 10' ' Aceastaexpresievaatingeunminimumcand ( siodatacuacestasiP )vaavea unmaximum . Avemasadarproblemavariationala min10' ' dxww , (e)Cuconditiilelacapetew(0)=w(l)=0.Notand lextrem dx w w F I0' ') , (,incare' 'wwF , ecuatialuiEuler Poisson sescrie0' ' 22 ,_

+wFdxdwF .Avem , in continuare , ' '21' '2121 1wwwwwF,3' '23' '' '21) (21www wwF ;deciecuatiaEuler Poissonsescrie02121' '3' ' ' '

,_

wwwwsau01' '3' ' ' '

,_

wwww.Dacasenoteaza3' '2wwv ,relatiaprecedentadevine 01' '' ' vww.Inmultimfiecaretermencuwsiapoiamplificamprimultermencu' 'w;rezulta0' '' '' ' w vwwww

sau0' ' ' ' w v vw.Prinintegrare1' 'C w v vw .Dinconditiilew(0) = 0rezultav(0) = 0 rezulta 01 C.Relatia 0' ' w v vw esteechivalentacu 0'2' ' ,_

wvww v vw ,deundew C v Cwv2 2 .Deoareceinipotezadeformatiilorinfinitezimaleamplitudineadeformateieste nedeterminata,sepoatelua12 C ,asaincatw = v sau2 2v w ; rezulta 13' ' ww . Deoareceinaceastaultimaecuatielipsestevariabilaindependenta , sepoatelua p w' si dwdpp w' ' . Atunciecuatiadiferentialasescriew dwdpp13 ,_

.saudw w pdp31 .Integrandecuatiacuvariabileseparate,obtinem

,_

3222232w apsau

,_

322 23 w a p,unde aesteonouaconstantadeintegrare .Deaicisededuce3223 w adxdw sau 32231w adwdx.Oprimasubstitutiedu u dw u w u w2 3313 ; neconducelaecuatia 2 222 22333u adu uu adu udx .Onouasubstitutie d a du a u cos , sin nepermitesascriem dad aa ad a adx ) 2 cos 1 (23sin 3sincos sin322 22 2 22 2 ,deunde, prinintegrare , ( )422242421 arcsin232 sin21232 cos 123Cauauaua C a C d a x +

,_

+ ,_

+ undeC4esteapatraconstantadeintegrare . Serevine, maideparte , lavariabila w , asa incat 4 231313121 arcsin23Cawawawa x +

,_

Deoarecew = 0pentrux = 0 , rezulta C4=0 si

,_

231313121 arcsin23awawawa x.Constantaavarezultadinimpunereaconditieiderezemarelacelde-al doileacapat, fie w(l) = 0 . Urmeaza 2 223) 0 (23ala l ;deci

,_

23131311 arcsinawawaw lx.Din3' '' '2 41;wwwwr rezulta 4' '24wrsiapoi rw wwr 31233' '233,Deaici

,_

221 arcsinararar lx.Dar( )044134432 232rEPlEP la ,unde0restenotatiapentrurazamaximaabarei;sededuceEPlr2340316 .Cunotatiaintrodusaseobtine,infinal,

,_

2020 01 arcsinrrrrrr llx.Intabelul6.1suntdatevalorileluilx infunctiede ] 1 , 0 [0 rr( de fapt s-a rezolvat problema inversa) .Rezolvareaecuatieitranscendentevada) (0x f r r . Infigura6.4estereprezentatagraphiccurbameridiana .Seintroducemaideparte ,in expresiavolumuluidat 102 20102) ( ) ( dx x f r dx x r V

deaiciseobtine10220) ( dx x fVr.Fortacriticadeflambajrezultadinexpresialui40rsubforma cr crPlEIlE rlEr P, 020222 4024034343434 163 adicafortacriticaabareidevolumdatreprezintadinfortacriticaabareiavand sectiuneaconstantasimomentuldeinertieI 0.Aplicatia 7 : Se daoconsolaavandformaunuisolidderevolutie , incarcatalacapatul libercuo fortaconcentrateP . Cumtrebuiesavariezerazasectiunii, inlunguldeschiderii , astfelincat , launvolumdematerialdatV , sageatamaximasafieminima ?Rezolvare :Fier = r(x)razavariabilasi44rIx momentuldeinertie . Momentul inconvoietorintr-osectiunecurentaxestePx Mx , astfelincatecuatia diferentialaaproximativaafibreimediideformatesescrie 4 224rxEPdxw d . (a)Conditiilelacapeteassociatesuntw(l) = 0 si 0 ) (' l w. Integrandodataecuatia (a) seobtine ) () (4) (' '4''l w dxx rxEPx wlx+ ;Deoarece 0 ) (' l w deducem'4'') (4) ( dxx rxEPx wlx;care , integratincaodata,conducela

) () (4) (' ' '' ' 4' 'l w dx dxx rxEPx wlxlx+

,_

.Tinandseamadeconditiaw(l) = 0 rezultapentruwexpresia

' ' '' ' 4' ') (4) ( dx dxx rxEPx wlxlx

,_

.Integrandprinparti , obtinem , infinal , '' 42''' 4'') ( ) (4) ( dxx rxdxx rxEPx wlxlx + ;Evident , w isiatingemaximulinx = 0 . Avemdeci ldxx rxEPw w042max) (4) 0 (. (b)Volumulconsoleieste ldx r V02 (c)Rezultaastfelproblemavariationala

min4042max ldxrxwEF(d)cuconditia const dx rVGl 02(e)Problemavariationala(d) , (e)esteoproblemadetipisoperimetric . Conformcelor aratate, solutiileeisevorgasiprinterextremalelefunctionalei G F +. Scriinddeci ecuatialuiEulerpentruintegrandulacesteifunctionale, careeste 242) , , ( rrxr x + , (f)obtinem0' ,_

r dxdr .Insanudepindeder , astfelincatecuatiademaisussereducela 0 2452 + rrxr .(g)Din(g)seobtine262xr sau 3222xr .(h)Ducemacestrezultatinexpresia(c)avolumului ; rezulta

ll dx x V035323253 2 (i)deundededucem35335 2lV Ducandaceastavaloarein(h) , seobtine335) (lxlVx r r carenedavariatiarazeidupaoparabolacubica .Dacasenoteazacu0rrazadeincastrare,avem lVr 350 siseregasesteaceeasiexpresietabelataintabelul6.1 .Aplicatia8 :Oincarcaturadeexplozivesteplasatapeosuprafatacircularaderazaa,la adancimeahinteren . Seceresasedeterminecurbameridianaapalnieipepamant expulzatedatoritadetonarii ( fig. 6.5 ) . Indicatie :Sevaadmitecacomponentadupanormalalacurbameridianeiafortei deexplozieesteproportionalacuelementuldeariesica fortatotaladeexplozie esteminima . Rezolvare : Fieinclinareatangenteilacurbameridianainraportcuverticalasi dsdy sin . Considerandfactoruldeproportionalitate ,sepoatescrie yds dS 2 sin , deunderezulta ( )dxdxdydydxydydsy dS

,_

+ 2 22Dintriunghiuldreptunghicelementar ( avandcateteledxsidy , respectiveipotenuza ds )seobtine ( ) ( ) ( )

,_

+

,_

+ + '' 2 2 21yy dxdydydxdxdydxdy dy dx dsRezultaconditiavariationalamin'120'

,_

+ dxyy y Sh pentruofunctionaladetipul(1). Conformceloraratatelapunctul1. , extremalele vorfiinacestcazsolutiialeecuatieiluiEuler , pentru

,_

+ '1' ) , , ('yy y y y x F. Gasimimediat0'' ' '22yy yy,deunde11,2 'CCyyfiindoconstantadeintegrare . Integrandincaodata , rezulta ecuatiacurbeimeridiane 1 2/ ) ( 2 C C xe y+ (a)incare 2Cesteadouaconstantadeintegrare . Pentrudeterminarealorsepoatescrieoprimaconditiey = a , pentrux = -h , sau a eC C h+ 1 2/ ) ( 2(b)O a douaconditienaturalalalimitasescrie

0'11'0201]1

,_

1]1

xxyyyF (c)Conditia(c)rezultadinrelatia(16).Intr-adevar,daca0) (0 ddJ, vomavea 0 ) ('211]1

x xx xxyF ;pentrunenullacapeteleintervaluluirezultaconditia(c).Maideparte . (c) implica 2 1/ 212) 0 ( 'C CeCl y t (d)Din(b)si(d)rezultaconstantele1C si2C .Deducempentru1C si2Csistemultranscendent ( )l eCaCC hC Ct + 1 2/ 21 122, ln2(e)DacasenoteazavCCuC 1212;2,sistemul(e)devine l ue a v huvt + ; ln (f)Celedouaecuatiireprezinta , insistemuldeaxeOuv,odreapta 1lnln +avhau ,respectivexponentiala ve ut .Pentruvaloridatealeluih,radacinileu , vvorputeafideterminatenumericsi apoiuvCuC 2 1,2 .Elementedeteoriastabilitatii1.StabilitateinsensLiapunov 1.1.Consideratiigenerale Consideramsistemeledeecuatiidiferentialedeforma n i x x x t fdtdxn ii, 1 ), ,..., , , (2 1 (1)unde if suntdefinite , continue si cu derivate partialedeordinalintaicontinuepentru 0t t >.Sistemul) ,..., , (2 1 nx x x poatefiinterpretatcareprezentandcoordonateleunuipunct mobil , variabilaindependentat , < exista) ( astfelincatpentru n i x xi i, 1 ), (~0 0 < estesatisfacutainegalitatea n i x x x t t x x x x t t x n jn j, 1 ), ( ) ,..., , , , ( ) ,..., , , , ( 0~20~10~0~0 20 10 0 < (4)pentru orice 0t t >,atuncisolutia (3)senumestestabilainsensLiapunov . Solutiile carenusuntstabilesenumescinstabile .Osolutie) ,..., , (2 1 nx x x x senumesteasimptoticstabiladacaestestabilesi 0 ) ( ) ( lim~ t x t xt , pentruoricesolutie) ,..., , (~2~1~ ~n x x x x careesteastfelincat < ) ( ) (0~0t x t x .

1.2.TeoremadestabilitatealuiLiapunov Inafaradeconditiilederegularitatedemaisus ,sapresupunemcafunctiile ifadmitderivatepartialeconstantede-alungulsolutieibanale

n j i a txfijji, 1 , , ) 0 ,..., 0 , 0 , ( (5)Functiileifpotfiatunciscrisesubforma ), ,..., , , ( ) ,..., , , (2 112 1 nnji j ij n ix x x t x a x x x t f+ (6)dacaavemsi if(t,0,0,,0) = 0 , i = 1,n atunci itindcatrezeroodatacu 0 jxAmputeadeci neglijatermeniineliniarii,pastrandnumaipartealiniaraa functiilor if .Obtinemastfel n i x adtdxj iji, 1 , (7)NotamcuAmatricea[ ]n j iija A , 1.S-aconsiderat initialcastudiulacestuisistemliniarasociatlui(1)sidenumit sistemulaproximatieiintaisauliniareestesufficientpentruanalizacalitativaa solutiilorlui(1) .Ideeacasistemulaproximatieiintaiarrezolvaproblemastabilitatiiafostinfirmata deLiapunov , careademonstrateurmatoareaTeorema :Dacatoateradacinileecuatieicaracteristice

[ ] 0 det ) ( E A Pn (8)aleaproximatieiliniareaupartearealanegativesidacafunctiile i satisfac conditia

( )++ + + , iarMesteoconstanta, atuncisolutiabanalaasistemului(1)este stabila . Dacacelputinoradacinaaecuatieicaracteristice(8)areparteareala pozitiva , atuncisolutiabanalaasistemului(1)esteinstabila . Observatie : Amenuntatteoremadestabilitateincazulincare(0,0,,0)estesolutie asistemului . Dacanepropunemsaanalizamstabilitateauneianumitesolutii ) ,... , ( 2 1 n x x x x ,atunciefectuamtransformarea n j x x X jj j, 1 , (10)solutiaxsetranslateazain(0,0,,0). Problemastabilitatiiluix sereduceastfella aceeaastabilitatiisolutieibanalepentrusistemultransformat , , 1 ), ,..., , , (2 1n j X X X t gdtdXn jj (11)unde

, , 1 , ) ,..., , , ( ) ,..., , , (2 211 2 1n jdtx dx X x X x X t f X X X t gjn n j n j + + + (12)SistemulX = ) ,..., , (2 1 nX X X= ( 0,0,,0)se vanumipunctcriticsaupunctstationarpentru (11) . Dacasistemul(1)esteautonom , atuncisolutiilesistemuluideecuatiifunctionale

. 0 ) ,..., , (.......... .......... .........., 0 ) ,..., , (, 0 ) ,..., , (2 12 1 22 1 1n nnnx x x fx x x fx x x f (13)sevornumipunctecriticesaupunctedeechilibru , sau , inca , solutiistationareale sistemului (1) .2.Stabilitateasolutiilorsistemelordinamice 2.1.Stabilitateasistemelor dinamiceautonomeIn cazul sistemelor autonome, daca satisfac conditiile teoremei de stabilitate, solutia banala nu este numai stabila ci chiar asimptotic stabila.Daca insa cel putin o valoare proprie a matricei A adica o radacina a polinomului characteristic () are partea reala pozitiva, atunci colutia banala este instabila.Folosind matricea Hurwitz asociata polinomului() se poate stabili direct daca radacinile sale au sau nu parte reala strict negativa.Daca valorile proprii ale matricei A au partea reala nula, problema stabilitatii solutiei banale nu se poate rezolva complet la nivelul sistemului aproximatiei lineare. Ea poate fi abordata intr-un alt cadru matematic de exemplu, in cadrul teoriei varietatii centrale.Fig.7.2. NodFie sitemul (cazul n = 2)= (x,y), y = g (x,y) (14)In punctele pentru care sistemul se poate reduce la o singura ecuatie diferentiala ordinara (15)Solutiile stationare ale sistemului (14) vor fi puncte singulare de un tip special pentru ecuatia (15)Sa admitem ca sistemul (14) este definit pentru ( ) . Sa mai presupunem ca este simplu conex. Adica odata cu o curba inchisa contine si interiorul ei.Daca contine un mic punct stationar(,) al sistemului (14), atunci traiectoriile continute in se pot comporta numai in cateva moduri distincte calitativ; aceste moduri reprezinta si criterii de clasificare a unui punct stationar, dupa cum urmeaza:Fig.7.3. FocarFig.7.5. Punct saa)nod daca traiectoriile care trec prin el au tangenta bine determinata (fig. 7.2);b)focar daca traiectoriile tind asimptotic spre el, sub forma de spirala (fig. 7.3);c)centru daca este inconjurat doar de traiectorii inchise (fig 7.4);d)punct sa (fig 7.5).Mai precis, fie = x +y,= yx + [] y (16)aproximatia lineara a sistemului (14) dupa o translatare de forma (10) a punctului de echilibru in origine si sa notam cu ,solutiile ecuatiei- (+ ) y=0(17)sau, altfel spus, valorile proprii ale matricei H. Poincar a prezentat tipul de punct de echilibru in functie de valorile proprii,.2.2. Comportamentul ,,pe termen lung al solutiilor sistemelor dinamiceIn mod obisnuit, solutiile sistemelor dinamice manifesta mai inati o stare de tanzit, pentru ca apoi miscarea sa se stabilizeze intr-o anumita forma, pe o perioada lunga de timp. Miscarile vecine, cu date initiale apropriate tind sa convearga spre asemenea bazine de atractie stabile.Cel mai simplu caz este punctual de echilibru la care orice miscare inceteaza. Exemplu tipic il constituie pendului nelinear rigid, care, dupa cateva oscilatii amortizate, revine la pozitia verticala, indiferent de pozitia si viteza lui initiala. In spatiul fazelor de coordonate pozitie si viteza portretele acestor miscariapar ca spirale care nu se intersecteaza, convergand catre un unic focar: punctual de echilibru. Acest focar se numeste atractor punctual.Unalt tip de atractor este atractorul periodic.Un exemplu clasic de atractor periodic il ofera o lama subtire de otel, pusa in rezonanta cu un electromagnet supus unui curent alternativ. Dupa o scurta perioada de tranzitie, miscarea lamei se va stabiliza intr-o oscilatie cu frecventa fortata. O schimbare a conditiilor initiale va genera o alta miscare periodica, deosebita de prima, si care apare, de asmenea , dupa o scurta tranzitie.Se evidentiaza astfel doua cicluri limita, fiecare capatand anumite miscari; bazinele de atractie sunt despartite printr-o curba separatoare. Este posibil ca, pentru un sistem dinamic dat, conditii initiale diferite sa conduca la miscarile periodice diferite, generandu-se mai multi atractori periodici.Se observa astfel ca analiza structurii solutiilor sistemelor dinamice nu se poate reduce in cea a sistemului aproximatiei lineare.Un al treilea tip de atractor, recent descoperit, este atractorul straniu sau haotic, care intr-un domeniu marginit de spatial fazelor capteaza miscarea unui sistem dinamic perfect determinat intr-o stare de haos perpetuu desii unele valori ale solutiei se pot repeat la intervale neregulate, nu se poate spune ca miscarea este priodica. Cu tot haosul aparent, acest tip de atractor manifesta unele particularitati si proprietati care pot duce la cunoasterea profunda a structurii solutiilor.Printre primii descoperitori de atractori pot fi citati M. Hnon si Lorenz. Atracorul lui Hnon (fig. 7.6) a aparut cu ocazia studiului unor miscari ale astrelor, iar cel a lui Lorenz (fig. 7.7) in stiudiul unor fenomene meteorologice.Sistemele dinamice depind adesea de parametrii cu semnificatie fizica efectiva s-a constatat ca nu numai variatii ale datelor initiale, dar si variatii ai acestor parametrii duc la modificari calitative ale solutiilor. In acest sens , exista premize serioase pentru explicarea fenomenelor de turbulent prin analiza a insasi structura operatorilor diferentiali nelineari generand atractori stranii.Fig.7.6. Atractorul lui HnonFig.7.7. Atractorul lui LorenzObservatiile de mai sus evidentiaza cateva etape din studiul pe termen lung al solutiilor sistemelor dinamice sau miscari cum mai pot fi denumite. Trebuie mai inatai identificati toti atractorii posibili pentru un sistem dinamic dat. Sistemele nelineare pot admite mai multi atractori de tipuri diferite , care pot coexista (de exemplu, periodici si haotici).Apoi se identifica bazinul de atractie al fiecarui atractor, acesta se poate realize numeric, considerand solutiile corespunzatoare unui numar foarte mare de date initiate. Este o sarcina deosebita de dificila, in care teoria varietatii invariante a lui Poincar poate fi mai eficienta decat metodele numerice.Ajungem astfel la portretul atractor bazin de atractie AB din spatiul fazelor. Intregul procedeu trebuie reluat la modificarea coeficientilor sistemului. In noul portretAB se poate ca unii atractori sa dispara si altii, de alt tip, sa le ia locul.Shimbari calitative ale structurii topologicea portretului AB apar in punctele de bifurcatie. Schimbarile de stare se numesc uneori si catastrofe.Teoria catastrofelor, a bifurcatiilor, a varietatii centrale, etc. se inscriu printre teoriile mederne, cu numeroase aplicatii in studiile fenomenologice.Se poate spune, in concluzie, ca studiul comportamentului calitativ al solutiilor sistemelor de ecuatii diferentiale ordinare nelineare depinzand de parametrii reprezinta o cheie pentru clarificarea si prevederea multor fenomene fizice ramase pana in prezent neexplicate si clasate uneori drept erori experimentale.3. AplicatiiAplicatia 1 :Sa se studieze stabilitatea pozitiei de echilibru a unei particule P libere sau cu legaturi, in prezenta unui camp de forte conservative.Rezolvare. Sa consideram intai cazul unei forte libere supusa actiunii unei forte conservative, de forma F= grad U(r), unde r este vectorul de pozitie al particulei P; ecuatia newtoniana de miscare se scrie sub forma m= m= gradU,(a)unde m este masa particulei, iar v este viteza sa. Inmultind scalar cu dr, obtinemm dr =dr=mv =d =gradU dr=dUde unde = U+- ;(b) amgasit astfel ointegralaprima(integralaprimaaenergiei) aecuatiei diferentiale(a). AdmitemcapotentialulU(r)areunminimumizolat inorigineaO; observandcaacest potential este determinat abstractie facand de o constanta arbitrara al carei gradient este nul, putem lua U(0)=0. Fie o suprafata inchisa convexa S care cuprinde punctul O (de exemplu o sfera cu centrul in O) de dimensiuni arbitrar de mici, astfel incat in interiorul suprafetei si pe suprafata functia U ( r )s fie negativ, neputndu-se anula dect n O. Putem admite c exista p > O suficient de mic astfel nct pe suprafaa S s avem -U > p, deci, U + p < O . Fie o poziie iniial a particulei P n interiorul suprafeei S, viteza corespunztoare fiind putem astfel utiliza integrala prim (b) cu U O 0.Aplicatia4 :Fie o suprafata S care trece prin originea O, astfel incat planul tangent in acest punct este orizontal; in vecinatatea punctului respective, suprafata se gaseste deasupra acestui plan. Sa sestudiezemicileoscilatii aleunei particulegrelesituatepeaceastasuprafata, injurul punctului O.Rezolvare : Conform teoremei lui Torricelli (v. aplicatia .1), punctul O este o pozitie stabile de echilibru pentru o particular grea P de masa m. Luand axa Oz dupa vertical ascendenta a locului, suprafata S va putea fi reprezentata in vecinatatea punctului O printr-o serie Mac Laurin sub formaz= + (x,y), (a)unde,sunt razele de curba R2 sunt razele de curbur principale ale suprafeei n O, iar ~ (x ,y ) corespunde la termeni de cel puin gradul al treilea n raport cu coordonatele x, y.Sii considermmicile micri ale particuleiP n jurul punctului O. Potenialu1 simplu corespunztor cmpului gravitaional va fiU(z )= - mgz un de g e st e o a cc ele ra tia gra vita t ie i; eli mi na ndre la tia de le ga t ura (a ) si n eg lij an d te rmeni i de ordi n sup eri or, ob tine m U(x. y) = - , forta c areac ti oneaza as uprap a rt ic ule ifii ndastfelda tadeF=gra dU= - mg .Obt ine m e cua ti iled emisca re =-x ,=- y,= .(b )Prinin te gra re ,rez ult ax = co s( t - ), (c )unde amplitudinile i diferenele de faz se determin din condiii iniiale. n particular, dac R1 = R2 = R se obin micile micri corespunztoare pendulului sferic .Aplicatia 5 :Sa se studieze micile oscilatii ale unui sistem discret S de particule supus la legaturi olonome si scleronome intr-un camp de forte conservative, in spatial, in jurul unei pozitii stabile de echilibru.Rezolvare:Consideram un sitem S de n particule,i=1,n, supus la legaturi olonome (geometrice) si scleronome; in acest caz, sistemul are s=3n-m grade de libertate, deci sunt necesare s coordinate generalizate,j=1,s, pentru a-I preciza pozitia. Fie P( , ,, ) energia potential corespunzatoare campului de forte conservative dat. Punctul reprezentativ preiciseaza pozitia sistemului S in spatiul prin functiile= (t).Deoarece energia potential este determinata abstractie facand de o constanta arbitrara, putem alege aceasta constanta astfel incat in punctul O(0,0,..,0) sa avem (0,0,..,0)=0. Teorema Langrange-Dirichlet (v. aplicatia .1) ne arata ca pentru pozitia de echilibru stabil (fie aceasta originea coordonatelor generalizate) energia potentiala admite un minimum izolat. Fie 0 punctul respectiv ; intr-o vecinatate a lui vom avea deci (P) >0. Admitem ca se poate dezvolta intr-o serie de puteri, sub forma

... ...2 1+ + + + nV V V V (a )UndeVnesteunpolinomdegradulnincoordonategeneralizate . Observamca V(0,0,,0) = 0 ; 01 0 V Vesteunhiperpalncaretreceprin0P , deci ) (1P Vnu are unsemnconstantinvecinatatealui0P . Avandde-afacecumicioscilatii , polinoamele,... ,4 3V V sepotneglijainraportcu2V . Inacestcaz V = 2V , deci oformapatraticapozitivdefinita(2V > 0invecinatatealui0P ,anulandu-se numaiin0P, decidacatoatecoordonatelegeneralizatesuntnule ) ; putemscrie sisjij j i ijconst a q q a V1 1. ,21 (b)Incazulunorlegaturiscleronome, energiacineticaTeste , deasemenea , o forma patraticapozitivdeifinita invitezelegeneralizates j t q qj j, 1 ), ( . Putemastfel scrie sisjj i ijq q b T1 1,21(c)undeingeneral,) ,..., , (2 1 s ij ijq q q b b ; admitandodezvoltarein seriedeputeria acestorcoeficientisitinandseamadefaptulcaoscilatiilesuntmici , putemlua const bij.Sestiecaputemefectua totdeauna otransformareliniaradecoordonategeneralizate astfelincat , innoilecoordonates k tk k, 1 ), ( ( numitecoordonatenormale), cele douaformepatraticesasepoataexprimasimultansubforma unorsumedepatrate ( estesuficientcanumaiunadinformelepatraticesafiepozitivdefinita , cealalta putandfinumaipozitiva ) . skk kskkV T12 21221,21 (d)aici2k suntcelesradacinirealesipositivealeecuatieialgebricedegraduls

[ ] 0 det2 ij ijb a (e)PotentialulcineticalluiLagrangeL = T V, sepot scrie , pentrupunctulreprezntativ , ecuatiiledemiscarealeluiLagrangesubforma s kL Ld tdk k kkk, 1 , 02 +

,_

(f)Prinintegrareobtinem

s k t a tk k k k, 1 ), cos( ) ( (g)unde kasi ksuntamplitudinile , respectivdiferenteledefaza . Putemastfel afirmacaoricefenomenoscilatoriupermanent ( legaturiscleronome )sepoate analizaprinsuprapunereaunoroscilatiiarmoniceindependente ( teoremaluiD .Bernoulli ) .Oscilatiilemecanicesemainumescvibratii . Aplicatia6 : Sasestudiezeinfluentauneilegaturiolonomecareintervineincadrulunuifenomen vibratoriupermanent . Rezolvare : Fieo legaturaolonoma ( geometrica ) exprimatainspatiulconfiguratiilors sub forma , 0 ) ,..., , (2 1sf (a)undes jj, 1 , suntcoordonatelegeneralizatenromale ( v. aplicatia 5 ) . Dezvoltandu-se inseriedeputeri , neoprimlaoformaliniara , corespunztoare miciloroscilatii ; vomavea sjj j jconst C C1. , 0 (b)Prineliminareaacesteilegaturi , ecuatiileluiLagrange( ecuatiile(f)dinaplicatiade mai sus)capataforma s k Ck k k k, 1 , 02 + + (c)unde) (t esteunmultiplicatoralluiLagrange . Saadmitemca . , , , cos , cos const t tj j j (d)Punandconditiacaecuatia( c)safieverificata ,gasim ( ) . 02 2 + j j jC (e)Tinandseamade(d) , conditia(b)devine sjj jC1. 0 (f)Inlocuindpe jdatde(e) , rezultaecuatiaalgebrica sjjjC12 2. 0 (g)carenedavalorilelui2 , decialelui , pentrucareecuatia(c)esteverificata ; aceastaecuatieested e graduls-1 siares-1radacinirealecuprinseintre 2 212221, ,..., ,s s , admitandca s < < < ...2 1. Putemastfelsaafirmamca,intr-unsistemmecanicdiscret , olonomsiscleronom , cusgradedelibertate , supuslamicioscilatiiinjuruluneipozitiistabilede echilibru , interventiauneilegaturionolomenupoatecoborinotafundamentala si nu o poateridicapeste valoareafrecventeiarmonicedeordinuls . (teorema lui Rayleigh)Aplicatia7 :Sasestudiezemiscareapendululuimatematicinspatiulfazelor . Rezolvare : Vomutilizerezultateledelaaplicatia3 , considerandoecuatiedeforma (a)inspatialfazelordecoordinateqsip . Cu notatiiledinaplicatia33, corespunzatoareunuipendulmathematic , siobservandcaq = obtinem , cos ) ( , , cos 22 2 2 + V p h p (a)cu , cos , 2 ,2 2 h h hlg (b)hfiindoconstantaadimensionala . Reprezentandinfig. 7.10pe) ( 2 Vfunctiede , constatamcamiscareanupoate avealocdecatpentruh [-1,1] ; putemaveah>1 , darnucorespundeununghi real, miscareafiind , inacestcaz , ciruclara . Conditiah V ) ( 2 nepermitesa trasamcurbele) ( p p , simetrice in raportcuaxaO , functiedediferitevalori aleluih , inspatiulfazelor. Pentruh (-1,1),miscareaesteoscilatorie ( avem unpendulsimplu ) , deexemplupentruh=0 .Dacah = 1miscareaeste asimptotica , obtinandliniiledeseparatie ( trasatecuoliniemai groasa ) in spatiul fazelor , corespundeopozitiedeechilibrulabilpentru . Pentruh = -1 rezulta opozitiedeechilibrustabil( un punctalspatiuluifazelor ) , corespunzand 0 . Observandca,pentrup > 0 , qcresteodatacu t , amindicatcusageatasensul miscariiinspatiulfazelor . Observamcaliniiledeseparatiesunttraiectoriidefazaalepunctuluireprezentativ inplanulfazelor ; elenepermittrecereadelauntipde miscarelaalttipde miscare . Amvazutcaunpunctsingularesteprecizatdeecuatiilef(q) = 0 , p = 0 , oricealtpunctfiindunpunctordinar ; rezultacaunpunctordinarsecaracterizeaza printr-odirectiebinedefinitaatangentei latraiectoriadefazacetreceprinacest punct . Putemafirmaastfelca : Prinfiecarepunctordinardinplanulfazelortreceotraiectoriedefazasinumaiuna ( teoremaluiCauchy ) . Observamcaecuatiadq q f pdp ) ( definesteuncampdevectori decomponenteq , p ,deciuncampdevitezeinplanulfazelor ; punctulsingularreprezintapunctulin carevitezadinplanulfazelorseanuleaza . Metodeletopologicepermitstudiul proprietatilorgenerale topologicealetraiectoriilordefazainvecinatateapunctelorde echilibru stabil ( h = 1 ). Aplicatia8 :Sasestudiezestructuratopologicaatraiectoriilordefazaaleunui pendulsimpluinmiscarederotatieinjuruluneiaxeverticale . Rezolvare :Utilizamrezultateledelaaplicatia26lastudiulstructuriitopologicea traiectoriilordefazaaleunuipendulsimplu ( matematic)pentrucarecerculvertical pecaresemiscaparticulagreaserotestecuovitezaunghiularaconstanta in juruldiametruluisauvertical . Rezultateledelaaceastaaplicatieneconduc laecuatia diferentiala(q = )

( ) s i n c o s ,(a)unde 02> lgesteunparametrudupavalorilecaruiaseefectueazastudiulcerut. CurbeleC datededrepte t si 0 , casidecurba cos ar .Aplicandteorema luiPoincare,gasimramuristabilealecurbei C (punctelede echilibrudetipcentrufiindnotatecucerculetepline sianume cos arr si 1 . , 1 . 0 t > si ycasiramanlabiledetip(puncteledeechilibruafiind notatecucerculetegoalesianume 1 , 1 , 0 > t < si.Punctele1 , 1 , 0 t sisuntpunctelederamificatieaechilibruluiiar valorile1 t crsuntcritice(debifurcatie)aleparametrului, corespunzaroarea acestorpucnte. Tinandseamade(a) ,rezultacaavem 0 > ceeacerestrangedomeniiledinfigura ; deasemenea , pentruaavea 1 < trebuiecavitezaunghiulara safiesuficientdemare. Punandconditiacao linie deseparatiesatreaca prinpunctul singular0 , 0' , gasimintegralaprima

t 2cos2sin) cos 1 ( 2 sin2 '2 2 ' (c)dacaoasemenealinietreceprinpunctelesingulare=0, = integralaprima respectivacapatao forma

) cos 1 ( 2 sin2 2 ' + + (d)de unde + t 2sin2cos 22 '(e)Pentru1 0 < < se obtin doua linii de separatie2 1, C Ccorespunzatoare ecuatiilor (c) , care trec prin punctele singulare de tip sea 0 , 0' ,respectiv t , 0', in interiorul buclelor curbei1Csunt cuprinse alte doua puncte singulare de tip centru, avand abscisele cos 2arr t . Daca0 , deci dacax , curbele curbele2 1, C Ccoincide cu curbaC , formanad o singura linie de separatie, in acest caz centrele sunt de abscis2 / t . Daca1" cr , curba 1Ccoincide cu punctul singular o, caredevine de tip centru; pentru1 > ramane o singura linie de separatie Pentru0 1 < < apar iar doua linii de separatie 2 1C C ,prima dintre acestea inconjurand doua centre ,iar punctual o devenind punct singular a ; pentru 1 < punctele singulare de tip sea t , 0' devin puncte singulare de tip centru, trecereafacandu-se prin 1" c r. Observam ca liniile de separatie separa traiectorii de faza cu aspecte topologice diferite. Consideratiile facute mai sus ne permit sa afirmam,fara demonstratie ca :Traiectoriile de faza inchise ale unei particule care se misca dupa legea) , ( q f q intr-un camp conservativ pot inconjura numai un numar impar de puncte singulare,numarul centrelor fiind mai mare decat numarul punctelor singulare de tip sea(Teorema luiPoincare) . Aplicatia9 : Sa se studieze structura topologica a traiectoriilor de faza ale uni pendul simplu intr-un mediu rezistent.Rezolvare. In cazul considerat, campul de forte este neconservativ. Punand conditia '0' pentru0 in formula (h) din aplicatia mentionata, obtinem:

,_

t++

,_

+ t sin 2 cos1 421 4222222220' 2 '2kkekk (a) Unde se iau semnelet dupa cum00' Punctele neZ n , , 0' corespund la pozitii de echilibru ; pentru n par echilibrul este stabil(punctele singulare corespunzatoare sunt de tip focar), iar pentru n impar este labil ( corespund punctele singulare de tip ea .

Daca

,_

++n knek222220'11 42 . impar n (b)Observam ca pentru01'0' < particular oscileaza ,miscare amortizandu-se in jurul pozitiei de echilibru stabil 0 , 0' ;daca 01'0' rezulta miscarea asimptoptica a particulei.Pentru '03 0'01' < 0 , b> 0 ,, 0 '2>

,_

,_

+fpM hfpd b (h); 0 ' '2>1]1

+

,_

+ fphMfpd bfpMdeoarece h >0, aceste conditii se pot scrie sub forma b > 0 ,M < 0, . '2fphMfpd b >

,_

+ (i)Conditia b > 0 cere prezenta unei amortizari care trebuie sa satisfaca ultima conditie (i) . Conditia M < 0 este satisfacuta daca, la o crestere a unghiului , regulatorul provoaca o scadere a momentului motor.Aplicatia 13 . Arborele unui rotor rezemat intr-o articulatie sferica cu centrul in punctul O (fig 7.17). Greutatea sistemului rotor-arbore este P, centrul de greutate C fiind situat deasupra punctului O la distantaOC =l1. Rotorul se roteste cu viteza unghiulara constanta in jurul axei de simetrie verticala a sistemului. Extremitatea inferioara a arborelui se afla la distantal OMde punctul fix O. Se cere sa se studieze stabilitatea miscarii de rotatie a sistemului, stiind ca momentul de inertie in raport cu axa de simetrie este 1I , iar raport cu orice alta axa perpendiculara pe prima in punctul O este 2I. Rezolvare . Consideram sistemul de referinta fix Oxyz cu axa Oz verticala. Pozitia axei de rotatie la un moment dat este precizata de pozitia M a punctului M de pe axa arborelui; la un anumit moment ea va coincide cu axa OC, iar functiile de timp cu ajutorul carora vom studia vibratiile vor fi coordonatele x si y ale punctului M.

Deoarece fortele elastice din punctul M sunt nule , ecuatiile diferentiale ale vibratiilor se sriu sub forma

{; 001 1 21 1 2 +Py I x I x IPx I y I x I(a) inmultind a doua ecuatie cui si introducand variabila complexa iy x u + , obtinem ecuatia diferentiala in u 01 1 2 Pu I u iI u I . (b)

Ecuatia caracteristica 01 122 Pu I s iI s I .(c) are radacinile ( )2 21 1 2 122 , 1421 I P I I iIIs ,(d) iar solutia generala a ecuatiei diferentiale (b) va fi

t s t se A e A u2 12 1+ ;(e) exprimand constantele de integrare complexe sub forma 11 1iae C A, 22 2iae C A,unde 2 1 2 1, , C Csunt Constante de integrare reale, solutia se scrie sub forma

22 11 1ia t s ia t sxe C e C u+ ++ (f)DacaP l I r1 22 214 < , adica daca( ) P l I Io 1 2 1/ 2 > I I b I P l I I a In acest caz, solutia generala se scrie sub forma ( ) ( )2 12 1a bt i at a bt i ate C e C u+ + + + + . (g)De aici se deduc ecuatiile de miscare

{ ( ) ( )( ) ( ). sin sin. cos cos2 2 1 12 2 1 1 + + + + + + bt e C bt e C ybt e C bt e C xat atat at(h)Observand ca in al doile termen al vibratiilor apare factorul crescator cu timpul( a> 0), acesta componenta are amplitudinea crescatoare, asa incat miscarea de rotatie a sistemului este instabila. Daca, 41 22 21P l I I adica( ) P l I l1 2 1 0/ 2 2 > , radacinile sunt egale, iar solutia generala se scrie( )( ) ( ),2 1 12 1 2 1 + ++ + bt i bt i t se C e C e t A A u (i)ecuatiile de miscare fiind date { ( ) ( )( ) ( ). sin sin, sin cos2 2 1 12 2 1 1 + + + + + + bt C bt C ybt C bt C x(j)Si in acest caz amplitudinile celei de-a doua componente sunt crescatoare, miscarea de rotatie a sistemului fiind instabila. Daca, 41 22 21P l I I > adica( ) P l I Il 1 2 0/ 2 2 > , atunci radacinile2 , 1 2 , 1ip s cu ( )( ), 4 / 21 22 21 2 , 1llP l I I I I p sunt pur imaginare. Solutia generala este data de

( ) ( ).2 2 1 12 1 + ++ t p i t p ie C e C u(k)iar ecuatiile de miscare se scriu sub forma

{ ( ) ( )( ) ( ). sin sin, cos cos2 2 2 1 1 12 2 2 1 1 1 + + + + + + t p C p C yt p C t p C xt (l)Prin urmare, cele doua moduri naturale de vibratie sunt armonice. Amplitudinile vibratiilor raman finite, ceea ce inseamna ca in cazul in care0 > miscare de rotatie este stabila. Dupa cum am vazut, pozitia verticala de echilibru a sistemului mecanic este instabila ramanand instabila pentru00 , dar devenind stabila pentru0 >.