Elemente de statistica descriptiva

CERMI Facultatatea Constructii de Masini www.cermi.utcluj.roConf.dr.ing. Marius Bulgaru STATISTICA DESCRIPTIVA

ELEMENTE

DE

STATISTICA

DESCRIPTIVACursul 2


STATISTICA DESCRIPTIVAPopulatie, Caracteristica discreta, continuaPrezentarea datelor: tabele (frecvente), grafice (histograme), indicatori statistici (de localizare, de imprastiere)Construirea si utilizarea histogrameiVariabile aleatoare, discrete si continueFunctii de repartitie, functii de probabilitateRepartitii discrete clasice, binomiala, hipergeometrica, PoissonAplicatii


Populaţie statisticã, colectivitate statisticã, lot.Mulţimea elementelor luate în studiuUn element al populaţiei statistice se numeşte unitate statisticãsau individ statistic.

Populatii: finite, infinitePopulatii: omogene, neomogene

Caracteristicã, sau variabilãProprietatea comunã tuturor unitãţilor statistice provenite dintr-o populaţie omogenã

Caracteristici: cantitative, calitativeCaracteristici: discrete, continue


Aplicaţia 2.1• Un lot de bucse cu diametrul de 10±0,1 produse prin sinterizare reprezintã o populaţie statistică omogenã. Mulţimea bucselor produse de SC Sinterom SA într-o lunã reprezintã o populaţie neomogenã;• Datele experimentele provenite din mãsurarea forţei de aşchiere la rectificare reprezintã o populaţie statisticã omogenã. Datele experimentale provenite din mãsurarea regimului de aşchiere (s,t,v) la rectificare reprezintã o populaţie neomogenã.

Exemple de caracteristici - cantitative - exprimate prin valori numerice- dimensiune, greutate- calitative - exprimate prin atribute ca bun - defect; satisfãcãtor - nesatisfãcãtor etc.Caracteristicile cantitative pot fi- discrete - numerele care le reprezintã aparţin mulţimii numerelor întregi sau raţionale (numãrul de piese defecte dintr-un lot)- continue - dacã într-un interval se poate obţine orice valoare realã pentru caracteristicã - abateri dimensionale, forta, intensitate..


Cercetare:

- completa;

- selectiva (esantion)Valoarea numericã a unei caracteristici cantitative referitoare la o unitate statisticã se numeşte valoare observatã. Totalitatea valorilor observate formeazã datele experimentale

PREZENTAREA DATELOR EXTERIMENTALE

- TABELE

- GRAFICE

- INDICATORI STATISTICI


Softuri pentru prelucrarea datelor experimentaleEXCEL

STATGRAF

GNUPLOT

Q-DAS


Etapele prelucrarii datelor experimentaleCaracteristici discrete si/sau continue

• Achizita datelor (tabelul datelor primare)

• Sortare (crescatoare/descrescatoare)

• Deterninarea amplitudini A

• Determinarea numarului de clase

• Determinarea marimii intervalului

• Determinarea frecventelor

• Tabelul frecventelor

• Trasarea histogramei (repartitia in frecventa)

• Calculul indicatorilor statistici


1. Achizita datelor

Tabelul Datelor Primare

2. Sortare (crescatoare/descrescatoare)

Tabelul Valorilor Ordonate

60 77 71 74 78 66 76 74 82 6973 72 61 76 67 73 75 68 72 7971 69 82 72 62 83 73 68 74 7273 83 67 85 70 75 63 76 72 7769 71 72 76 67 80 73 77 65 74

60 62 64 65 65 66 67 67 67 6868 69 69 69 70 71 71 71 72 7272 72 72 72 73 73 73 73 73 7474 74 74 75 75 76 76 76 76 7777 77 78 79 80 82 82 83 83 85

Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. Discrete


XX minmaxA −=


3. Deterninarea amplitudini A A=25

4.1 Relaţia lui H.A.Sturges nlg322,31m ∗+=

4.2 Relaţia lui H.B.Mann şi

A. Wald pentru n>100

4.3 pentru n>100

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= )1n(41 5

1

4m

nm =

4. Deterninarea numarului de clase


4.1 Relaţia lui H.A.Sturges nlg322,31m ∗+=

4.2 Relaţia lui H.B.Mann şi

A. Wald pentru n>100

4.3 pentru n>100

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −= )1n(41 5

1

4m

nm =

Etapele prelucrarii datelor experimentale Caract. discrete

4. Deterninarea numarului de clase


6.1 Frecventa absoluta

6.2 Frecventa relativa

nm

1iia =∑

=

naf i

i=

nnAFaAAFaA d

d

i

niid

cc

i

1iic ==== ∑∑

==

6.3 Frecventa cumulata


6. Calculul frecventelor

5. Determinarea marimii subintervalului

u=A/m=25/5=5

ai


Intervalulde

grupare

Frecvenţa Frecvenţa cumulatã

absolutãai

relativãfi

absolutãcrescãtoare

Ac

relativãcrescãtoare

Fc

absolutãdescrescãtoare

Ad

relativãdescrescãtoare

Fd

(60-65] 6 0,12 6 0,12 50 1,00(65-70] 11 0,22 17 0,34 44 0,88(70-75] 20 0,40 37 0,74 33 0,66(75-85] 9 0,18 46 0,92 13 0,26(85-85] 4 0,08 50 1,00 4 0,08

Amplitudine


7. Tabelul frecventelor


Diagramele repartiţieiHistograme

0

5

10

15

20

0

0,2

0,4

0 20 40 60

0

5

10

15

20

0

5

10

15

20

Poligonul frecventelor

2% 10%

14%

32%

24%

10%8%

Diagrama circulara



60 65 70 75 80 8562 < D < 82

Frecventa

ai

fi

6/5x3+11+20+9+4/5x2=45,2

ai=45,2

fi=90,4%



60 65 70 75 80 85

Frecventa

ACi

FCi


Indicatorii statisticiTendinte:

- de localizare

- de împrãştiere Indicatori de localizare

Media aritmetica n]x[M

n

1iix∑

==

Media geometrica

Media armonica

Media patratica

ni

]x[M

n

1iixa∑

==

nn

1ii

nn21g xxxxM ... ∏

=

=∗∗∗=

∑=

= n

1i i

a

xM 1

n

n

n

1ii

p

xM

∑==


Mediana [ ]xM 2/)1n(e +=2

)xxM 12n()2/n(e

++=

Mod, Modala - valoarea de pe abscisa care are frecventa maxima

Valoare centrala 2XXX minmax

c

+=

2xXX

supi

infi

ci

+=


Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de localizare1. Pentru repartiţii unimodale simetrice, abaterea medianei faţã de media aritmeticã este egalã cu o treime din abaterea modului faţã de media aritmeticã:

3Mx

Mxo

e−

=−

2. Pentru repartiţii unimodale simetrice, abaterea medianei faţã de media aritmeticã este egalã cu o treime din abaterea modului faţã de media aritmeticã;3. Mediile aritmeticã şi pãtraticã sunt influenţate de valorile mari ale seriei; 4. Mediana nu este influenţatã de valorile extreme;5. Mediile geometricã şi armonicã sunt influenţate de valorile mici şi reduc din influenţa valorilor mari;6. Intre cei patru indicatori ai mediei existã relaţia:

MxMM pga <<<


Indicatori de imprastiere

[ ]( )

ni

xD

n

1i

2]x[Mx∑ −==

Dispersie

[ ] ∑ −∑ −

=

= ∗=∗

=n

1ii

2

n

1ii

2

f])x[Mx(a])x[Mx(

ini

xD

[ ]1n

ixD

1nn]x[

n

1i

2

C

])x[Mx(D −

=∗−

=∑ −=

[ ] ∑∑ −

=

= −∗==n

1i

22i

n

1i

2

]x[Mx])x[Mx(

n1

ni

xDAbaterea medie patratica

xx minmaxW −=Amplitudinea


Intervalul intercuartilic ai

Xmin Q1 Q2 Q3 Xmax

Intervalul intercuartilic

MQQ

QQQ

e

13

2

13q−

=−

=Coeficient de variatie

intercuartilic

[ ]xssau

]x[MxD

CC vv ==Coeficient de variatie


Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de imprastiere:1. Suma algebricã a abaterilor faţã de media aritmeticã este egalã cu zero. Notând abaterea valorii de ordinul I în raport cu media aritmeticã:

xx ii −=ε

Media aritmeticã a abaterilor este:

0xxn

xnxn

1)xx(n1

n1 n

1i

n

1iii

n

1ii =−=∑ ∑

∗−=−=∑=

= ==εε

[ ]( )

ni

xD

n

1i

2]x[Mx∑ −==


Proprietãţi şi observaţii referitoare la indicatorii statistici de imprastiere:2. Suma abaterilor pãtratice are valoarea minimã atunci când sunt calculate în raport cu media aritmeticã. Considerând suma abaterilor pãtratice în raport cu valoarea arbitrarã x0.

[ ]∑ ∑ −−−=−= =

n

1i

n

1i0i

20i

2 )xx()xx()xx(

[ ]202

02

01111

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i ii

n

i

n

i

n

i

nx x x x x x x x x x x x− − − = − − ∗ − ∗ − + −∑∑∑∑

====

∑ ∑ −∗+−=−= =

n

1i

n

1i0

2i

20i

2 )xx(n)xx()xx(

= 0

∑ ∑ −>−= =

n

1i

n

1ii

20i

2 )xx()xx( xx 0 =


MOMENTEMomente absolute de ordinul k la care valorile sunt considerate în raport cu originea

Momente centrate de ordinul k (la care valorile sunt exprimate în raport cu o valoare arbitrarã)

∑=

=n

1i

kik xm n

1 fxaxm i

n

1i

kii

n

1i

kik n

1∗=∗= ∑∑

==

xn1 n

1ii1 xm == ∑

=

∑ −=

=n

1i

k

k )x(M in1 δδ f)x(a)x(M i

n

1i

k

i

n

1i

k

k iin1

∗=∗= ∑ −∑ −==

δδδ

∑ −=

=n

1i

k

k )xx(M in1 f)xx(a)xx(M i

n

1i

k

i

n

1i

k

k iin1

∗=∗= ∑ −∑ −==

[ ]xDin1 n

1i

2

2 )xx(M == ∑ −=


[ ]

mmmmmmMmmmmM

mmMM

1213144

312133

2122

1

36423

xD

0

−+−=

+−=

=−=

=

Corectia momentelor - Corectia Shepard

Cauza abaterilor: gruparea pe clase & uniformitate in clasa

ϖ

ϖ

ϖ 4244

222

2407

21121

mmm

mm

+−=

−=

ω reprezintã amplitudinea intervalului de grupare


Indicatori pentru asimetrie şi aplatizare

Coeficient de asimetrie

Coeficient de aplatizare

[ ]xDM

MM

33

2/32

31

==γ

[ ] 33xD

MMM

24

22

42

−=−=γ

γ1>0 γ1=0 γ1<0

γ2<0γ2=0 γ2>0


Tipuri de functii de repartitie

Repartiţie binomialã Repartiţie antimodalã

Repartitie unimodala


Variabile

aleatoare


VARIABILE ALEATOAREVariabila aleatoare este acea mãrime care în cadrul unui experiment poate lua o valoare necunoscutã aprioric.

Pentru un şir de mãsurãtori, variabila aleatoare este o noţiune care-l caracterizeazã din douã puncte de vedere:- caracterizare din punct de vedere cantitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii privind valoarea numericã a mãrimii mãsurate- caracterizare din punt de vedere calitativ - variabila aleatoare ne dã informaţii privind frecvenţa de apariţie a unei valori numerice într-un şir.


VARIABILE ALEATOARE

Variabile aleatoare

discrete (∈ Z )

- numarul de piese defecte

ni1,:Xsau...,,...,

:Xpx

pppxxx

i

i

n21

n,21 ≤≤⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Variabile aleatoare

continue (∈ Q, R )

- dimensiunea unui semifabricat

x1, x2, x3,…..xn - sirul valorilor masurate

p1, p2, p3,…..pn - probabilitatea aparitiei valorii xi


Aplicaţia 2.2Se aruncã un zar de 100 de ori obţinându-se pentru cifra 1 10apariţii, pentru cifra 2 18 apariţii pentru cifra 3 20 apariţii pentru cifra 4 12 apariţii pentru cifra 5 25 de apariţii pentru cifra 6 15 apariţii. Probabilitatea apariţiei cifrelor 1,2,...,6 este:

15,010015)6(P25,0

10025)5(P12,0

10012)4(P

20,010020)3(P18.0

10018)2(P10,0

10010)1(P

======

======

Tabloul repartiţiei este

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛15,025,012,020,018,010,0654321

:X


pxx iii )(P)X(P ===

Functie de repartitie

1n

1iip =∑

=

1 2 3 4 5 6

0,18

18% 0,15

15%

0,25

25%

0,12

12%

0,20

20%

0,10

10%

Probabilitatea = Frecventa relativa

pi = fi


Probabilitatea

evenimentului X<xi.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++++ p...pppppxxx21...,1,

...,:X

n21

n,21

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1 2 3 4 5 6

variabila

prob

abili

tate

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 2 4 6 8

variabilapr

obab

ilita

te

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛15,025,012,020,018,010,0654321

:X

P(1<X<5)= P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

Evenimente compatibile si independente

P(1<X<5)= p2 + p3 + p4

P(X<xi) = ?

Variabila aleatoare


Functie de probabilitate )X(P)(F xx kk ≤=

∑ ∑ ∑= = =

====≤=k

1i

k

1i

k

1ikkikk pxxxx )(P)X(P)X(P)(F

2. Variabile aleatoare continue


∫ ∫∞− ∞−

==<=x x

dx)x('Fdx)x(f)xX(P)x(F

Functia de probabilitate

)x('Fx

)x(F)xx(F)x(f lim0x

=−+

=→ ∆

∆∆

P(X<x) se citeşte probabilitatea ca X sã fie cel mult egal cu x.


x

f(x)

f(x)dx

x

f(x)

Element de probabilitate

00,12

0,280,5

0,70,88

1

00,20,40,60,8

11,2

-5 0 5 10

x

F(x)

- asimptotã dreapta F(x)=0;- asimptotã dreapta F(x)=1;- funcţie strict crescãtoare; pentru x1<x2 ⇒F(x1)<F(x2)

0

10

20

30

Axis Title

frec

vent

a ∫∞

∞−

==<= 1dx)x(f)xX(P)x(F


3. Apartenenţa unei variabile aleatoare la un interval dat

Se cunoaste: functia de repartitie F(x), f(x)

Se cere: P(a≤X≤b).

- A - evenimentul X<b;- B - evenimentul X<a;- C - evenimentul a≤X≤b.

B şi C sunt incompatibile

A=B U C

a b x

f(x) P(a≤X<b)

U )C(P)B(P)CB(P)A(P +==


)bXa(P)aX(P)bX(P <≤+<=<)aX(P)bx(P)bXa(P <−<=≤≤

)a(F)b(F)bXa(P −=<≤∫ ∫∫∞−∞−

=−=<≤a b

a

b

dx)x(fdx)x(fdx)x(f)bXa(P

Functii de repartitie

Functii de repartitie discrete- binomiala (cu intoarcere)- hipergeometrica (fara intoarcere)- Poisson

Functii de repartitie continue- normala (Gauss - Laplace)- Student- χ2- Fischer


Repartitia binomiala Dintr-n lot format din “N” bucati se extrag consecutiv faraa pune piesa extrasa la loc “n” piese.- p coeficientul de rebut; probabilitatea de-a extrage opiesa defecta- q coeficientul de piese bune; probabilitatea de-a extrageo piesa buna Repartitia binomialas=1 se extrage o singura piesa

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−−−

pqCpqCpqCpqCpqC

n0nn

kknkn

22n2n

11n1n

0n0n ......

n...k...210

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pq10

s=2 se extrag doua piese⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛pqp2q21022

s=n se extrag “n” piese


qpCknkk

n)k(P)kX(P−

===Functia de repartitie

0,27249

0,052830,00647 0,00056 0

00,10,20,30,40,50,60,70,8

0 1 2 3 4 5

p=4%n=20

P(k)

k

00,10,20,30,40,50,60,70,8

0 2 4 6 8 10

p=4%

p=6%

p=8%

p=10%

n=20

k

P(k)

∑ ∑= =

−===≤

k

0x

k

0x

xnxxn qpC)x(P)k(F)kx(PFunctie de probabilitate


Media M[X], µ, X [ ] ∑ ∑ ∗∗=∗== =

−n

1i

n

0k

knkii qpkpxXM

Mod Mo )pnp(M)qnp( o +<<−

Dispersia D[X], σ2, S2[ ] npq)p1(npXD =−=

Abaterea standard σ, s npq=σ

Momente mk, Mk[ ] [ ]

)npq3pq61(npqM)pq(npqMnpqXDMnpXMm

43

21

+−=−=====

Asimetria γ1 npqpq

1−

=γ

Excesul γ2 npqpq61

2−

=γ

Indicatori statistici


Aplicatia 2.3

Dintr-un lot de 400 de bucati, cu un coeficient de rebut de 5% se extrag consecutiv fara a pune piesa extrasa la loc 3 piese.

Sa se construiasca variabila aleatoare a numarului de piese defecte

Sa se ia decizia de acceptare sau respingere a lotului


Repartitia hipergeometrica

Dintr-un lot format din “n” bucati se extrag consecutiv punind piesa extrasa la loc “m” piese.- p coeficientul de rebut; probabilitatea de-a extrage opiesa defecta- a numarul de piese defecte a=p*n- q coeficientul de piese bune; - b numarul de piese bune

CCC

mn

kmb

ka)k(P)kX(P

−

===

∑=

−==≤

k

0k

km

b

kam

n

CC1)k(F)kX(P

Functie de probabilitate



Media M[X], µ, X [ ] ∑ =∗==

n

1iii mppxXM

Mod Mo

qpmMqpmmnDaca2n

1mpnpnmM2n

1mqnpnm

0

o

+<<−>>+

+++<<

+−+−

Dispersia D[X], σ2, S2[ ]

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=>>

−−

=

nm1mpqXDmnDaca

1nmnmpqXD


Aplicatia 2.4

Dintr-un lot de 100 de bucati, cu un coeficient de rebut de 4% se extrag consecutiv punind de fiecare data piesa extrasa la loc 3 piese.

Sa se construiasca variabila aleatoare a numarului de piese defecte

Sa se ia decizia de acceptare sau respingere a lotului


4.2 Repartitia Poisson

Functie de probabilitate

- densitate de aparitie & media aparitiilor

pentru p<0,1 si np>5


( )ee

t!k!k

)k(P)kX(Pk

t

k

µλ µλ −− ====

∑=

−=≤k

0k

k

!k)kX(P e

µµ

e)np( np

k

k)k(P)kX(P −===

0,3032

0,07580,012630,001 0,000013

0,00015

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 1 2 3 4 5 6 7

P(k)

k0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0 5 10 15 20

u=0,5

u=2

u=5

u=1

k

P(k)


Media M[X], µ, X [ ] ∑ ∑ =−

=∗==

∞

=

−−

n

1i 0k

1k

ii 1kepxXM µµµµ

Mod Mo )M1 o µµ <<−

Dispersia D[X], σ2, S2[ ] µ=XD

Abaterea standard σ, s µσ =

Momente mk, Mk

µµµµ

µµµµµµ2

432

323

221

3MMM

3mmm

+===

++=+==

Asimetria γ1µ

γ1

1 =

Excesul γ2 µγ 1

2 =


STATISTICA DESCRIPTIVAPopulatie, Caracteristica discreta, continuaPrezentarea datelor: tabele (frecvente), grafice (histograme), indicatori statistici (de localizare, de imprastiere)Construirea si utilizarea histogrameiVariabile aleatoare, discrete si continueFunctii de repartitie, functii de probabilitateRepartitii discrete clasice, binomiala, hipergeometrica, PoissonAplicatii

Documents

Elemente de statistica descriptiva