Upload
morena-vlaic
View
58
Download
2
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Elemente Teoria Elasticitati
Citation preview
Elemente de teoria elasticitățiiTeoria elasticității are ca obiect determinarea stării de tensiune şi deformații într‐un corp realizat dintr‐un material la care se cunosc caracteristicile elastice, dacă se cunosc fie forțele exterioare, fie forma deformată sub acțiunea forțelor.
Studiul corpurilor deformabile la scară microscopică, pentru obținerea comportării acestuia este dificil de abordat. Este posibil să se studieze corpurile la scară macroscopică, pe baza unor legi matematice şi fizice a mediului considerat continuu care este verificată de comportarea experimentală a solidului deformabil.În cazul în comportarea materialului solidului deformabil (forță‐deformație sau tensiune‐deformație specifică) este descrisă de o relație liniară (elastică) atunci se discută de teoria elasticității. Dacă, însă, comportarea materialului este în domeniul plastic atunci se discută de teoria plasticității.Deformațiile elementelor de rezistență (solidului deformabil) sunt foarte mici drept urmare ecuațiile de echilibru se scriu pentru structura nedeformată.
Întrucât în domeniul tehnic se utilizează o mare varietate de structuri de rezistenţă, studierea modului de comportare a acestora se realizează prin utilizarea unor modele fizice care au caracteristici comune pentru un mare număr de structuri. Adoptarea modelului fizic pentru o anumită structură de rezistenţă se realizează pe baza unor ipoteze simplificatoare, care nu trebuie să introducă erori mari şi care trebuie să respecte caracteristicile de bază ale structurii de rezistenţă.
Având adoptat modelul fizic al structurii se pot elabora ecuaţiile matematice care să descrie atât modelul fizic cât şi modul de comportare a structurii, atunci când aceasta este solicitată cu o anumită încărcare. Prin adoptarea pentru o anumită structură de rezistenţă a modelului fizic şi a relaţiilor de calcul se obţine modelul de calcul pentru structura respectivă.
Modelul fizic al structurii de rezistență cuprinde următoarele componente:
• elemente structurale, sunt acele elemente geometrice care formează structura de rezistență. Acestea pot fi clasificate după caracteristicile geometrice în:
‐ bară, grindă, tijă, arbore, toate aceste componente au o dimensiune mult mai mare decât celelalte două;‐ placă, membrană, toate aceste componente au o dimensiunie mult mai mică decât celelalte două;‐ blocul, masivul, au toate dimensiunile comparabile ca mărime.
• elemente care caracterizează schematizarea sarcinilor, prin care sarcinile se pot defini atât în raport cu modul de acțiune în timp cât şi după suprafața pe care acționează. În această categorie se pot enumera :
‐ sarcini permanente, care acționează fără întrerupere cu o intensitate constantă în timp;‐ sarcini excepționale, care se datoresc unor evenimente excepționale cum ar fi: exploziile, cutremurele;‐ sarcini temporare, a căror intensitate variază în timp, după o anumită lege de variație, sau aleatoriu;‐ sarcini concentrate sau sarcini uniform distribuite.
• elemente de legătură ale structurii, prin care se realizează legătura dintre elementele structurii şi dintre structură şi elementele din exterior. După numărul posibilităților de mişcare (gradelor de libertate) anulate si după modul lor de anulare, se poate face o clasificare a elementelor de legătură. Din numărul mare al posibilităților de legătură ale unei structuri de rezistență se port enumera următoarele variante mai des utilizate :
‐ reazemul simplu (sau reazemul mobil), care suprimă un grad de libertate;‐ articulația (sau reazemul fix), care suprimă două grade de libertate pentru structurile plane şi trei grade de libertate pentru structurile spațiale;‐ încastrarea, care suprimă trei grade de libertate pentru structurile plane şi şase grade de libertate pentru structurile spațiale;‐ legături elastice, prin care forțele de legătură sunt în dependență cu deplasările din legături, după o anumită relație (de obicei liniară);‐ legături unisens, care se manifestă atunci când există tendința de deplasare într‐un anumit sens pe o direcție dată.
Toate aceste legături amintite mai sus, sunt legături prin care se anulează în totalitate gradul de libertate după o anumită direcție
Pentru a evidenţia aceste ecuaţii se izolează din modelul fizic un element infinit mic, care este delimitat de plane paralele cu planele de coordonate între care distanţa este dx, dy şi dz conform figurii de mai jos.
Modelul matematic al structurii de rezistență cuprinde următoarele componente:
Elementul de volum astfel obținut este acționat de:‐ tensiunile normale şi tangențiale care sunt
variabile în lungul axelor de coordonate;‐ forțele masice datorate greutății proprii;‐ forțele de inerție, în cazul în care corpul
are o mişcare, la care accelerația este diferită de zero.
Scriind ecuațiile de echilibru al forțelor ce acționează pe acest element de volum în lungul axei Ox se obține următoarea expresie:
2
2zx
zxzxyx
yxyxx
xxt
udzdydxdzdydxXdxdydz
zdxdydzdxdy
ydzdxdzdydx
xdzdy
∂∂
⋅⋅⋅ρ=⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂τ∂
+τ−⋅⋅τ+⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+τ−⋅⋅τ+⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂σ∂
+σ+⋅⋅σ− ρ
După reducerea termenilor se va obține ecuația: 2
2zxyxx
t
uX
zyx ∂δ
ρ=+∂τ∂
−∂τ∂
−∂σ∂
ρ
Ecuațiile de echilibru static sau dinamic.
În ecuația anterioară, reprezintă greutatea elementului de volum, iar ρX
2
2
t
u
∂∂
ρ reprezintă forțele de inerție care acționează asupra elementului de volum
Dacă se neglijează masa elementului de volum, structura se consideră în repaos sau mişcare rectilinie uniformă, se va obține:
0zyxzxyxx =
∂τ∂
−∂τ∂
−∂σ∂
0zxyzyxyy =∂τ∂
−∂τ∂
−∂σ∂
0yxzyzxzz =
∂τ∂
−∂τ∂
−∂σ∂
Care, scrise sub o formă matriceală, arată astfel:
{ }0
x0
yz00
xx00
y0
0zy
00x
zx
yz
xy
z
y
x
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
τττσσσ
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
−∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
−∂∂
ρX
[ ] { } { }0L =σ⋅
[ ]L{ }σ
Ecuația matriceală anterioară, se poate scrie sub o formă redusă, astfel:
unde: este un operator diferențial;
este vectorul tensiunilor.
În figura alăturată este reprezentată o secțiune prin elementul de volum infinit mic cu planul înclinat ABC, împreună cu starea de tensiune aferentă. Ecuațiile de echilibru static se determină pentru elementul din această figură. Pentru exemplificare se prezintă ecuația de proiecții pe axa Ox.
Ecuațiile de echilibru static
În mod similar se obțin şi celelalte ecuații de proiecții, astfel că ecuațiile de echilibru static pentru acest caz vor avea următoarea formă:
0SSSSp0F OBAzxOACyxOBCxABCxx =⋅τ−⋅τ−⋅σ−⋅⇒=∑
xzxyxx pnm =⋅τ+⋅τ+⋅σ
yzyyxy pnm =⋅τ+⋅σ+⋅τ
zzyzxz pnm =⋅σ+⋅τ+⋅τ
Aceste ecuaţii se determină pe cale experimentală şi exprimă legătura între deformaţiile specifice şi tensiuni. Ecuaţiile au la bază legea lui Hooke.
Ecuațiile constitutive
Sub formă matriceală, ecuaţiile anterioare se pot scrie astfel:
ε⋅=σ E
xyxyxvx GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ
yzyzyvy GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ
zxzxzvz GG2 γ⋅=τε⋅+ε⋅λ=σ
( ) ( )μ−⋅μ+μ⋅
=μ−μ⋅
=λ211
E21
G2
( ) ( )
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
γγγεεε
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
μ−
μ−
μ−μ−μμ
μμ−μμμμ−
⋅μ+⋅μ−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
τττσσσ
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
221
00000
0221
0000
00221
000
0001
0001
0001
121E
Pentru starea spațială de tensiune vom avea:
în care:
este constanta lui Lamé.
în care [E] este matricea de elasticitate.{ } [ ] { }ε⋅=σ E
Sub formă restrânsă relația anterioară devine:
Sub formămatriceală, aceste relații devin:
Dacă se exprimă deformațiile specifice în funcție de tensiuni vom putea scrie:
( )[ ]GE
1 xyxyzyxx
τ=γσ+σν−σ⋅=ε
( )[ ]GE
1 yzyzxzyy
τ=γσ+σν−σ⋅=ε
( )[ ]GE
1 zxzxyxzz
τ=γσ+σν−σ⋅=ε
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
τττσσσ
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
μ+μ+
μ+μ−μ−
μ−μ−μ−μ−
⋅=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
γγγεεε
zx
yz
xy
z
y
x
zx
yz
xy
z
y
x
)1(200000
0)1(20000
00)1(2000
0001
0001
0001
E1
{ } [ ] { }σ⋅=ε C
( ) ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
γεε
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
μ−μ
μ⋅
μ−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
τσσ
xy
y
x
2
xy
y
x
21
00
01
01
1
E
Pentru starea plană de tensiune se poate scrie:
Sub formă condensată vom putea scrie:
Elementul de rezistență, care este parte a unei structuri, se deformează sub acțiunea sarcinilor direct aplicate şi a forțelor din legături. Datorită deformațiilor produse la elementul de rezistență, punctele sale materiale se vor deplasa provocând în acest caz o modificare a configurației sale geometrice. Astfel, dacă se consideră trei puncte care delimitează două segmente de dreaptă perpendiculare între ele şi care sunt cuprinse în planul xOy conform figurii alăturate.
Ecuațiile de compatibilitate
xu
X ∂∂
=εyv
y ∂∂
=εzw
z ∂∂
=ε
xv
yu
xy ∂∂
+∂∂
=γxw
zu
xz∂
+∂∂
=γyw
zv
yz ∂∂
+∂∂
=γ
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂γ∂∂∂γ∂∂∂γ∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεε
εε
zx
zy
yx
z
y
x
0
0
0
xz2
yz2
xy2
2
2
2
2
2
2
xz
yz
xy
Scrise sub formămatriceală ecuațiile de mai sus, vor avea forma următoare:
În cazul în care cele trei puncte vor avea deplasări după cele trei direcții paralele cu axele de coordonate Ox, Oy şi Oz notate cu u, v şi respectiv w, vom avea în acest caz: