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Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Inferenza e Calcolo delle Probabilità a.a. 2019/2020 - Primo Semestre Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea Magistrale in Economia e Commercio Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Università della Calabria

Elementi di Calcolo delle Probabilità

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Page 1: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle

Probabilità

Corso di Inferenza e Calcolo delle Probabilità

a.a. 2019/2020 - Primo Semestre

Prof. Filippo DOMMA

Corso di Laurea Magistrale in Economia e Commercio

Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Università della Calabria

Page 2: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Calendario

- Lezioni: dal 30/9/2019 al 21/12/2019

- Esami (scritti):

1° appello 7 Gennaio 2020

2° appello 31 Gennaio 2020

3° appello 8 Giugno 2020

4° appello 30 giugno 2020

5° appello 4 Settembre 2020

Elementi di Calcolo delle Probabilità 2

Page 3: Elementi di Calcolo delle Probabilità

- Orario delle Lezioni:

Lunedì dalle 11 alle 13 in EP2

Martedì dalle 11 alle 13 in EP2

Mercoledì dalle 11 alle 13 in EP2

- Orario di Ricevimento Studenti:

Mercoledì dalle 15 alle 17

(Studio docente: Cubo 0C, ultimo piano)

- Modalità esame: Scritto (Orale facoltativo)

Elementi di Calcolo delle Probabilità 3

Page 4: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 4

Schema del corso / Obiettivi

1. Elementi di Calcolo delle Probabilità

2. Variabili Casuali

3. Stima Puntuale

4. Intervalli di Confidenza

5. Test d’Ipotesi

6. Modelli lineari /Regressione Multipla

Strumenti necessari per

costruire un processo

inferenziale

Metodologie di base

dell’Inferenza Statistica

Esempio di costruzione

di un Modello Statistico

F. DOMMA

Page 5: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 5

Alcune Fondamentali Precisazioni

Lo Statista

La Statistica Le Statistiche

Lo Statistico

Uomo, donna di Stato;

persona che ha una profonda esperienza,

teorica e pratica, dell’arte di governare uno Stato

Studioso della disciplina Statistica

L’insieme di dati e/o indicatori

osservati/calcolati

su aspetti sociali, economici, politici, …

Es. Le Statistiche dicono che:

- il 10% della popolazione è ultrasettantenne;

- l’ultima estate è stata la più calda negli

ultimi 10 anni

- …

E’ la disciplina che si interessa

della raccolta e dell’analisi dei dati

e dell’interpretazione dei risultati

F. DOMMA

Page 6: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 6

Esempio introduttivo

Supponiamo di essere interessati al peso medio dei 75 (?!?) Studenti iscritti

al 2° anno del CdL in Matematica dell’UniCal nell’a.a. 2018/19.

1° Scenario. Rileviamo il peso dei 75 studenti, li sommiamo, dividiamo per 75

e supponiamo di ottenere 64.5 Kg.

2° Scenario. A) Per uno o più motivi, non possiamo rilevare il peso di tutti

studenti, ma solo, diciamo, di 20. Sommiamo i pesi rilevati,

dividiamo per 20 e supponiamo di ottenere 62.3 Kg.

B) Supponiamo che in una seconda occasione, non molto distante

dalla prima, riusciamo a rilevare il peso di altri 20 studenti (non

necessariamente tutti diversi dai primi 20), calcoliamo la media e

supponiamo di ottenere 65.6 Kg.

Domande: - cosa suggerisce l’esempio?

- esistono differenze tra il primo ed il secondo scenario?

- cosa suggeriscono i casi A) e B) del 2° scenario?

F. DOMMA

Page 7: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 7

Fondamentali Differenze

Statistica

Descrittiva

Inferenza

Statistica

Calcolo

delle

Probabilità

L’Inferenza Statistica induce le caratteristiche della popolazione dall’analisi del

contenuto del campione osservato, cioè inferisce le proprietà del modello matematico

a partire dall’analisi dei dati campionari che sono stati osservati.

La Teoria della Probabilità deduce dal contenuto noto della popolazione il contenuto

probabile del campione, cioè deduce le proprietà di un processo fisico da un modello

matematico;

l’Inferenza Statistica cerca di determinare tramite la conoscenza dei risultati di un

esperimento (o più esperimenti) quali siano le caratteristiche della popolazione su

cui l’esperimento è stato eseguito.

nel Calcolo delle Probabilità si assume che tutte le caratteristiche della

popolazione siano note (senza preoccuparsi del come ciò sia possibile) e si vuole

calcolare a priori la “probabilità” che un esperimento abbia un determinato

risultato.

La statistica descrittiva è l’insieme dei metodi e delle tecniche utilizzate per la

rilevazione, classificazione, sintesi e rappresentazione dei dati, sotto l’ipotesi che i

dati osservati rappresentino l’intera popolazione statistica.

F. DOMMA

Page 8: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 8

P RF

Figura 1. Rappresentazione schematica della struttura logica del metodo statistico (Prof. Bruno Chiandotto)

F. DOMMA

Page 9: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 9

Inferenza Statistica:

F. DOMMA

Page 10: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 10

P RF

Figura 2. Rappresentazione grafica del processo di induzione statistica (Prof. Bruno Chiandotto)

Spazio dei Campioni

C

Deduzione Induzione

F. DOMMA

Page 11: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 11F. DOMMA

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Page 12: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 12

Esperimenti nella Scienza e nella Tecnologia

Principio fondamentale:

se si esegue ripetutamente un esperimento nelle stesse condizioni si

arriva a risultati che sono essenzialmente uguali.

Esistono esperimenti che, nonostante siano condotti nelle stesse

condizioni, possono avere diversi risultati possibili e il cui risultato

non è prevedibile con certezza.

Esperimenti di questo tipo sono detti casuali.

Ad esempio, nell’esperimento lancio di una moneta il risultato può essere può essere testa (T) o croce (C),

cioè uno degli elementi dell’insieme {T, C}.

Nel lancio di un dado il risultato può essere uno dei numeri nell’insieme {1,2,3,4,5,6}

I possibili risultati dell’esperimento si possono esplicitare a priori

ma non si può dire con certezze quale si verificherà.

F. DOMMA

Page 13: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Prova, Evento e Probabilità

Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.

Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di

incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il Calcolo delle Probabilità

sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.

Evento: è uno dei possibili risultati della prova.

Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e

soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del Calcolo delle

Probabilità.

13

Page 14: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Def.1. Spazio dei Campioni.

E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento

concettuale. Verrà indicato con W.

Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

L’evento certo è quello che si verifica sempre, W.

L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f.

Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.

14

Page 15: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Def.1. Spazio dei Campioni.

E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento

concettuale. Verrà indicato con W.

Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

L’evento certo è quello che si verifica sempre, W.

L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, f.

Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.

15F. DOMMA

Esiste uno stretto legame tra la teoria degli eventi e la teoria degli insiemi; ogni

affermazione concernente gli eventi può essere tradotta nel linguaggio della teoria

degli insiemi e viceversa. Gli eventi possono essere interpretati come sottoinsiemi di

un insieme dato rappresentato dallo spazio campionario W e possono essere utilizzate

le operazioni tipiche dell’algebra degli insiemi.

Page 16: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Diagrammi di Venn

UNIONEINTERSEZIONE

NEGAZIONE EVENTI

INCOMPATIBILIEVENTI

NECESSARI

A BA

W

A

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Page 17: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Proprietà Unione Intersezione

Commutativa

Idempotenza

Associativa

Distributiva

ABBA ABBA

AAA AAA

)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

Inoltre, si ha:

AA f WWA W AA

ffA AA W fAA

17

Page 18: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Leggi di De Morgan

BABA

Partizione dello Spazio Campionario

BABA

BABA

BABA

(1)

(2)

Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad W formano una partizione

dello spazio campionario se:

(1) k1,...,ji AA ji f

(2) W

k

1i

iA

cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

18

Page 19: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 19

Esercizio 1.1 Supponiamo di lanciare una moneta per quattro volte. Si definisca lo spazio dei

campioni e si scrivano sotto forma di insiemi i seguenti eventi:

- il numero di teste è uguale a due;

- il numero di teste è uguale a tre;

- in nessun lancio esce croce.

Esercizio 1.2 Nell’ambito dell’esame di ammissione ad una Accademia teatrale, si considerino

i seguenti eventi:

A : il candidato ha meno di 35 anni;

B : il candidato ha una buona dizione;

C : il candidato ha già avuto esperienze nell’ambiente teatrale;

Assumendo a caso uno tra i candidati, si scrivano i seguenti eventi:

1. il candidato non ha una buona dizione;

2. ha meno di 35 anni ed ha una buona dizione;

3. ha meno di 35 anni ma non ha una buona dizione;

4. non ha una buona dizione ma ha già avuto esperienze;

5. ha più di 35 anni, una buona dizione ed ha avuto esperienze;

6. ha almeno una delle tre caratteristiche.

F. DOMMA

Page 20: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità 20

Supponiamo di scegliere a caso un punto da un quadrato di lato unitario avente

i vertici nei punti di coordinate (0,0), (1,0), (0,1) e (1,1). Si definiscano i seguenti

eventi:

a) Il punto giace sulla diagonale principale che congiunge i punti (1,0) e (0,1)

oppure al di sopra di questa;

b) Il punto giace nel quadrato individuato dai punti (1/2, 0), (1,0), (1,1/2) e

(1/2,1/2);

c) Il punto giace nella porzione di piano delimitato dalle rette y=3x, y=0 e x=1.

Esercizio 1.3

F. DOMMA

Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},

B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

Determinare i seguenti sottoinsiemi:

Esercizio 1.4

)CB(AE1 CBAE2 CBE3

CCE6

BAE4

BAE5

Page 21: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.5 Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline

da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo

spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si

identificano i seguenti eventi:

1. Le due palline estratte sono di colore differente;

2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;

3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

21F. DOMMA

Page 22: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.6

Esercizio 1.7

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da

gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con

gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che

rappresentano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e

di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo

all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:

1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;

2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5;

3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello

riportato dalla faccia superiore dell’altro.

1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;

2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.

22F. DOMMA

Page 23: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.8 Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento

“la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un

numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti (incompatibili)?

Esercizio 1.9 Si lancia per due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B

l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti

(incompatibili)?

23F. DOMMA

Page 24: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

A A 0APr

1WrP

f BA

BPAPBAP rrr

Assiomi del Calcolo delle Probabilità.

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è

considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la

teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

1.

2.

3. Siano A e B due eventi incompatibili

allora

24

Page 25: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

0frP

APAP rr 1

BAPBAPAP rrr

BAPBPAPBAP rrrr

Teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilità

Teo.1.

Teo.2.

Teo.3.

Teo.4.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

25

Page 26: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli

di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di

volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si

manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità.

L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente

formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un

evento.

Definizione di probabilità.

26

Page 27: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.10 Dato un esperimento tale:

5.0)A(Pr 31

r )B(P 41

r )BA(P

Calcolare:

BAPr BAPr BAPr

BAPr BAPr

Esercizio 1.11 Siano A e B due eventi tali che:

8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr

Calcolare:

BAPr BAPr BAPr

F. DOMMA 27

Page 28: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

BP

BAPBAP

r

rr

/ 0BPr

Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.

Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano

il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati).

Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero

l’evento B condiziona l’evento A), è:

per

In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume

che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

28

Page 29: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

0/ BAPr

1/ W BPr

BAPBAPBAAP rrr /// 2121

Si può verificare che valgono gli assiomi del Calcolo delle Probabilità:

1.

2.

3. Se A1 e A2 sono incompatibili allora

Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.

29

Page 30: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

0/ f BPr

BAPBAP rr /1/

BAAPBAAPBAP rrr /// 21211

BAAPBAPBAPBAAP rrrr //// 212121

Valgono anche i teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilità nel

caso in cui esiste un evento condizionante

Teo.5.

Teo.6.

Teo.7.

Teo.8.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

30

Page 31: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse ®, 9 palline

bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la

seguente prova:

«estrazione di due palline senza riposizione»

Calcolare la probabilità che:

a) entrambe le palline siano rosse;

b) la prima sia rossa e la seconda bianca;

c) la prima gialla e la seconda non-rossa;

d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;

e) che almeno una sia rossa.

Confrontare i risultati con l’Esercizio 1.13.

Esercizio 1.12

Page 32: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Il teorema di Bayes

Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:

supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6

nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso

un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.

Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la

probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare

ciascuna delle urne è di 0.5 ?

Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto

come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1,

C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa

valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.

32

Page 33: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

f

K

i

i

K

i

i CACA11

K

i

i

K

i

i CACAAA11

W

K

i

iC1

W ji f ji CC

Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di W, cioè

e

L’evento A può essere scritto nel seguente modo

Osservando che

33

Page 34: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

si ha:

K

1i

ir

K

1i

irr CAPCAPAP

Ricordando che

CP

CAPC/AP

ir

irir iririr C/APCPCAP

Si può scrivere:

ir

K

1i

ir

K

1i

irr C/APCPCAPAP

34

Page 35: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità

che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?

K

1i

irir

jrjr

r

jr

jr

C/APCP

C/APCP

AP

ACPA/CP

L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a

posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto

alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori

della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1).

Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze,

rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano

l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.

35

Page 36: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le

probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

2r2r1r1r

1r1r1r

UPU/BPUPU/BP

UPU/BPB/UP

516129.01875.02.0

2.0

2

1

8

3

2

1

10

42

1

10

4

Page 37: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo

che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj]

sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo

per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula,

infatti, si combinano informazioni a priori e

verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori

P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più

la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori

sulle cause Cj.

37

Page 38: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Definizione di Indipendenza.

Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un

altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti;

questo può essere formalizzato con la seguente:

Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si

verifica una delle seguenti condizioni:

1.

2.

3.

BPAPBAP rrr

APB/AP rr

BPA/BP rr

38

Page 39: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Teo. 9 Se A e B sono indipendenti allora

1.

2.

3.

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio.

39

Page 40: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.13

40F. DOMMA

Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse ®, 9 palline

bianche (B), 13 palline nere (N) w 3 palline gialle (G). Effettuiamo la

seguente prova:

«estrazione di due palline con riposizione»

Calcolare la probabilità che:

a) entrambe le palline siano rosse;

b) la prima sia rossa e la seconda bianca;

c) la prima gialla e la seconda non-rossa;

d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;

e) che almeno una sia rossa.

Confrontare i risultati con l’Esercizio 1.12.

Page 41: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.14 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:

Determinare la probabilità dell’evento B, P(B), se:

a) A e B sono disgiunti;

b) A e B sono indipendenti;

c) Pr[A|B]=0.6.

7.0APr 8.0BAPr

41

Page 42: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.15

Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi

sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale

di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un

programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine

rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare

la probabilità che:

1. il/la bambino/a sia stato/a spaventato/a;

2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è

stato/a spaventato/a;

3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o

non è stata/o spaventato/a;

4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto

non è stato spaventato.

42F. DOMMA

Page 43: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.16

Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi

sia dalla ditta A che dalla ditta B.

Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino.

Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5%

difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%.

La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.

Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo

riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che

sia stato fornito da A?

43F. DOMMA

Page 44: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Esercizio 1.17

La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio

iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età.

Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata

e nel 5% dei casi in una persona sana.

a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A

nella data classe di età?

b) Qual è la probabilità che una persona sia malata

se il test A è negativo?

44F. DOMMA

Esercizio 1.18

Page 45: Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di Calcolo delle Probabilità

Riferimenti Bibliografici.

- G. Cicchitelli (1984), “Probabilità e Statistica”.

Maggioli Editore. Rimini. [C]. Pag. 1-23.

- A.M.Mood, F. Graybill e D.C. Boes (1988),

“Introduzione alla Statistica”, McGraw-Hill, Milano. [MGB].

Pag. 1-53.

- D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi

economica”. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag. 119-150.

- R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”,

Il Mulino, Bologna. [O]. 15-55.

- D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P].

Pag. 215-291.

45