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Elementi di Calcolo delle Elementi di Calcolo delle Probabilità Probabilità Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1 a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal

Elementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Teoria dellInferenza Statistica 1 a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo Prof. Filippo DOMMA Corso di Laurea in

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Elementi di Calcolo delle Elementi di Calcolo delle ProbabilitàProbabilità

Corso di Teoria dell’Inferenza Statistica 1

a.a. 2003/2004 - Terzo Periodo

Prof. Filippo DOMMA

Corso di Laurea in Statistica – Facoltà di Economia - UniCal

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 2

Prova, Evento e ProbabilitàProva, Evento e Probabilità

Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.

Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.

Prova (o esperimento): è qualsiasi attività sviluppata in condizioni di incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il C.P. sono quelli nei quali i risultati non sono certi perché non univoci.

Evento: è uno dei possibili risultati della prova.Evento: è uno dei possibili risultati della prova.

Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.

Probabilità: è un numero associato al presentarsi di un certo evento e soddisfa alcune proprietà fondamentali detti assiomi del C.P.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 3

Def.1. Spazio dei Campioni.

E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con

Def.1. Spazio dei Campioni.

E’ la totalità di tutti i possibili risultati di un esperimento concettuale. Verrà indicato con

Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

L’evento certo è quello che si verifica sempre,

L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, .

Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

L’evento certo è quello che si verifica sempre,

L’evento impossibile è quello che non si verifica mai, .

Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di

Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

E’ l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 4

Diagrammi di VennDiagrammi di Venn

UNIONEINTERSEZIONE

NEGAZIONE EVENTI INCOMPATIBILI

EVENTI NECESSARI

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 5

ProprietàProprietà UnioneUnione IntersezioneIntersezione

Commutativa

Idempotenza

Associativa

Distributiva

ABBA ABBA

AAA AAA

)CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

)CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

Inoltre, si ha:Inoltre, si ha:

AA A AA

A AA AA

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 6

Leggi di De MorganLeggi di De Morgan

BABA

Partizione dello Spazio CampionarioPartizione dello Spazio Campionario

BABA

BABA

BABA

(1)(1)

(2)(2)

Si dice che gli eventi A1,…,Ak appartenenti ad formano una partizione dello spazio campionario se:

(1)(1) k1,...,ji AA ji

(2)(2)

k

1iiA

cioè se sono a due a due incompatibili e necessari.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 7

Esercizio 1Esercizio 1

Esercizio 2Esercizio 2

Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi:

Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8}, B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}. Determinare i seguenti sottoinsiemi:

)CB(AE1 CBAE2 CBE3

CCE6

BAE4

BAE5

Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nell’estrarre contemporaneamente due palline da un’urna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo spazio dei campioni relativo all’esperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si identificano i seguenti eventi:

1. Le due palline estratte sono di colore differente; 1. Le due palline estratte sono di colore differente;

2. Le due palline estratte sono dello stesso colore; 2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;

3. Le due palline estratte sono entrambe rosse. 3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 8

Esercizio 3Esercizio 3

Esercizio 4Esercizio 4

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con gli interi dall’1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che rappresentano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:

Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo all’esperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:

1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali; 1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;

2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5; 2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi è 5;

3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato dalla faccia superiore dell’altro.

3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado è doppio di quello riportato dalla faccia superiore dell’altro.

1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;1. Testa per la moneta e “numero pari” per il dado;

2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado. 2. “Croce” per la moneta e “numero inferiore a 5” per il dado.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 9

Esercizio 5Esercizio 5

Esercizio 7Esercizio 7

Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione.

Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in questione.

Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento “la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?

Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall’1 al 6, sia A l’evento “la faccia superiore porta il numero 3” e B l’evento “la faccia superiore porta un numero dispari”. A e B sono eventi disgiunti?

Esercizio 6Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle “croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.

Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di “teste” e delle “croci” che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete. Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.

Esercizio 8Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?

Si lancia due volte una moneta; sia A l’evento “testa al primo lancio” e B l’evento “nei due lanci non appare la stessa faccia”. A e B sono disgiunti?

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 10

A A 0APr 1rP

BA

BPAPBAP rrr

Assiomi del Calcolo delle Probabilità.Assiomi del Calcolo delle Probabilità.

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

Ricordando che un assioma (o postulato) è una proposizione che è considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui è svolta la teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

1.1.

2.2.

3.3. Siano A e B due eventi incompatibiliSiano A e B due eventi incompatibili

alloraallora

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 11

0rP

APAP rr 1

BAPBAPAP rrr

BAPBPAPBAP rrrr

Teoremi fondamentali del C.P.Teoremi fondamentali del C.P.

Teo.1.Teo.1.

Teo.2.Teo.2.

Teo.3. Teo.3.

Teo.4. Teo.4.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 12

Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 4. Classica

La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero di casi favorevoli di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di volte in circostanze più o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza che è circa uguale alla sua probabilità. L’approssimazione si riduce al crescere del numero di prove.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.

Def. 6. Soggettivista.

La probabilità è la valutazione che il singolo individuo può coerentemente formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilità di un evento.

Definizione di probabilità.Definizione di probabilità.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 13

Esercizio 9 Esercizio 9 Dato un esperimento tale:

5.0)A(Pr 31

r )B(P 41

r )BA(P

Calcolare:

BAPr BAPr BAPr

BAPr BAPr

Esercizio 10 Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che:

8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr Calcolare:

BAPr BAPr BAPr

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 14

Esercizio 11 Esercizio 11

Supponiamo di avere un’urna che contiene 8 palline rosse (R), 9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G). Effettuiamo la seguente prova: “estrazione di due palline con riposizione”. Calcolare la probabilità che:a) entrambe le palline siano rosse;b) la prima sia rossa e la seconda bianca;c) la prima gialla e la seconda non-rossa;d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;e) che almeno una sia rossa.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 15

BPBAP

BAPr

rr

/ 0BPr

Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.

Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è:

Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o più eventi influenzano il verificarsi di altri eventi, allora si parlerà di eventi dipendenti (condizionati). Così, la probabilità dell’evento A dato che si è già verificato l’evento B (ovvero l’evento B condiziona l’evento A), è:

perper

In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

In tal caso, B diventa il nostro “nuovo” spazio dei campioni; cioè si assume che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 16

0/ BAPr

1/ BPr

BAPBAPBAAP rrr /// 2121

Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.Si può verificare che valgono gli assiomi del C.P.

1.1.

2.2.

3.3. Se A1 e A2 sono incompatibili allora Se A1 e A2 sono incompatibili allora

Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 17

0/ BPr

BAPBAP rr /1/

BAAPBAAPBAP rrr /// 21211

BAAPBAPBAPBAAP rrrr //// 212121

Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante

Valgono anche i teoremi fondamentali del C.P. nel caso in cui esiste un evento condizionante

Teo.5. Teo.5.

Teo.6.Teo.6.

Teo.7.Teo.7.

Teo.8.Teo.8.

Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 18

Il teorema di BayesIl teorema di Bayes

Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:

supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.

Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?

Per illustrare il teorema, consideriamo il seguente esempio:

supponiamo di avere due urne, la prima, U1, contiene 4 palline bianche e 6 nere, la seconda, U2, contiene 3 palline bianche e 5 nere. Si estrae a caso un’urna e, successivamente, da questa si estrae una pallina.

Ammesso che la pallina estratta sia bianca, ci si chiede qual è la probabilità che essa provenga dall’urna U1, se la probabilità di selezionare ciascuna delle urne è di 0.5 ?

Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1, C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.

Simili problemi si presentano ogni volta che un evento A può essere visto come il risultato - EFFETTO - di uno tra K possibili eventi - CAUSE - C1, C2, …,CK incompatibili e tali che uno di essi deve verificarsi, e interessa valutare la probabilità che, avveratosi A, sia Cj la causa che lo ha prodotto.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 19

K

ii

K

ii CACA

11

K

ii

K

ii CACAAA

11

K

iiC

1

ji ji CC

Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di , cioè Supponiamo che gli eventi C1,…,CK formino una partizione di , cioè

ee

L’evento A può essere scritto nel seguente modoL’evento A può essere scritto nel seguente modo

Osservando cheOsservando che

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 20

si ha:si ha:

K

1iir

K

1iirr CAPCAPAP

Ricordando che Ricordando che

CP

CAPC/AP

ir

irir iririr C/APCPCAP

Si può scrivere:Si può scrivere:

ir

K

1iir

K

1iirr C/APCPCAPAP

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 21

La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?

La domanda iniziale era la seguente: noto l’effetto A, qual è la probabilità che tale effetto sia dovuto alla causa Cj ?

K

1iirir

jrjr

r

jrjr

C/APCP

C/APCP

AP

ACPA/CP

L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1). Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.

L’ultima parte è il teorema di Bayes, dove P[Cj/A] è chiamata probabilità a posteriori, cioè la probabilità che l’evento A, già verificatosi, sia dovuto alla causa Cj; mentre, la probabilità P[Cj] è chiamata probabilità a priori della causa Cj (nel nostro esempio è la probabilità di estrarre l’urna U1). Infine, P[A/Cj] sono dette probabilità probative o verosimiglianze, rappresentano la probabilità con cui le singole cause C1, …, CK generano l’evento A. Esse sono determinate empiricamente dall’esperimento.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 22

Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

Ritornando all’esempio iniziale, se indichiamo con P[Ui]=0.5 per i=1,2 le probabilità a priori, la probabilità a posteriori è:

2r2r1r1r

1r1r1r UPU/BPUPU/BP

UPU/BPB/UP

516129.0775.0

4.0

21

83

21

104

21

104

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 23

Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e

verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause Cj.

Osservazione: il teorema di Bayes può essere visto come un meccanismo che permette di correggere le informazioni a priori P[Cj] sulla base delle osservazioni sperimentali P[A/Cj] fornendo per l’appunto la probabilità a posteriori. In questa formula, infatti, si combinano informazioni a priori e

verosimiglianze, e quanto più la probabilità a posteriori P[Cj/A] è diversa dalla probabilità a priori P[Cj] , tanto più la verosimiglianza ha modificato le informazioni a priori sulle cause Cj.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 24

Definizione di Indipendenza.Definizione di Indipendenza.

Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente:

Se il verificarsi di un evento non modifica la probabilità del verificarsi di un altro evento allora è lecito pensare che i due eventi siano indipendenti; questo può essere formalizzato con la seguente:

Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:

Def. 7. Dati due eventi A e B, si dice che sono indipendenti se e solo se si verifica una delle seguenti condizioni:

1.1.

2.2.

3.3.

BPAPBAP rrr

APB/AP rr

BPA/BP rr

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 25

Teo. 9Teo. 9 Se A e B sono indipendenti alloraSe A e B sono indipendenti allora

1.1.

2.2.

3.3.

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

BPAPBAP rrr

La dimostrazioni del teorema è lasciata per esercizio.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 26

Esercizio 12Esercizio 12

Supponiamo di avere un’urna che contiene 5 palline rosse (R), 4 bianche (B),3 nere (N) e 6 gialli (G). Effettuiamo la seguente prova:“ estrazione di due palline senza riposizione”.Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:a) la prima rossa e la seconda rossa;b) la prima bianca e la seconda rossa;c) la prima gialla e la seconda non-rossa;d) la prima non-nera e la seconda bianca;e) la prima gialla e la seconda rossa o bianca;f) la prova generi almeno una pallina rossa.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 27

Esercizio 13Esercizio 13

Si è fatto uno studio per determinare l’effetto dei programmi televisivi sui bambini. Ad un gruppo di bambini composto da un numero uguale di maschi e femmine è stato chiesto se sono mai stati spaventati da un programma televisivo. Il 25% dei bambini e il 44% delle bambine rispondono di si. Scegliendone uno a caso nel gruppo, determinare la probabilità che:1. il bambino sia stato spaventato;2. venga scelta una bambina, sapendo che il selezionato/a è stato/a spaventato/a;3. sia scelta una bambina, sapendo che il bambino/a scelta/o non è stata/o spaventato/a;4. sia scelto un bambino sapendo che il bambino scelto non è stato spaventato.

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 28

Esercizio 14Esercizio 14

Un costruttore viene rifornito per gli stessi tipi di pezzi sia dalla ditta A che dalla ditta B. Tali pezzi vengono poi depositati assieme nello stesso magazzino. Per il passato si è osservato che i prodotti di A erano per il 5% difettosi, mentre quelli di B lo erano nella misura del 9%. La ditta A fornisce 4 volte più pezzi della ditta B.Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato che non è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da A?

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F. DOMMA Teoria dell'Inferenza 29

Esercizio 15Esercizio 15

Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che:

Determinare P[B] se:a) A e B sono disgiunti ;b) A e B sono indipendenti ;c) Pr[A/B]=0.6

7.0APr 8.0BAPr

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Esercizio16Esercizio16

La probabilità di essere malato di cancro in uno stadio iniziale è 0.1 per una persona in una certa classe d’età. Il test A risulta positivo nel 99% dei casi in una persona malata e nel 5% dei casi in una persona sana.a) Qual è la probabilità di una corretta diagnosi con il test A nella data classe di età?b) Qual è la probabilità che una persona sia malata se il test A è negativo?

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Riferimenti Bibliografici.

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- D. Piccolo e C. Vitale (1984), “Metodi Statistici per l’analisi economica”. Il Mulino, Bologna. [PV]. Pag. 119-150.

- R. Orsi (1995), “Probabilità ed Inferenza Statistica”, Il Mulino, Bologna. [O]. 15-55.

- D. Piccolo (2000), “Statistica”, il Mulino, Bologna. [P]. Pag. 215-291.