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Elementi di Calcolo delle Probabilità - delle Probabilità ed... · PDF fileElementi di Calcolo delle Probabilità Corso di Calcolo delle Probabilità ed Inferenza a.a. 2013/2014

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  • Elementi di Calcolo delle

    Probabilit

    Corso di Calcolo delle Probabilit ed Inferenza

    a.a. 2013/2014 - Primo Semestre

    Prof. Filippo DOMMA

    Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata

    Dipartimento di Economia, Statistica e Finanza Universit della Calabria

  • Calendario

    - Lezioni: dal 30/09/2013 al 21/12/2013

    - Esami (scritti):

    1 appello 13 Gennaio 2014 ore 9:00

    2 appello 10 Febbraio 2014 ore 9:00

    3 appello 9 Giugno 2014 ore 9:00

    4 appello 7 Luglio 2014 ore 9:00

    5 appello 8 Settembre 2014 ore 9:00

    Elementi di Calcolo delle Probabilit 2

  • - Orario delle Lezioni:

    Luned, Marted e Mercoled

    dalle 9 alle 11 in ZENITH 1

    - Orario di Ricevimento Studenti:

    Gioved dalle 11 alle 13

    (Studio docente: Cubo 0C, ultimo piano)

    - Modalit esame: Scritto ed Orale

    Elementi di Calcolo delle Probabilit 3

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Prova, Evento e Probabilit

    Concetti Primitivi: nozioni originarie ed intuitive.

    Prova (o esperimento): qualsiasi attivit sviluppata in condizioni di

    incertezza. Gli esperimenti di cui si occupa il Calcolo delle Probabilit

    sono quelli nei quali i risultati non sono certi perch non univoci.

    Evento: uno dei possibili risultati della prova.

    Probabilit: un numero associato al presentarsi di un certo evento e

    soddisfa alcune propriet fondamentali detti assiomi del Calcolo delle

    Probabilit.

    4

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Def.1. Spazio dei Campioni.

    E la totalit di tutti i possibili risultati di un esperimento

    concettuale. Verr indicato con W.

    Def.2. Evento Certo. Evento Impossibile.

    Levento certo quello che si verifica sempre, W.

    Levento impossibile quello che non si verifica mai, f.

    Def.3. Spazio degli Eventi ( o algebra di Boole).

    E linsieme di tutti i possibili sottoinsiemi di W.

    5

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Diagrammi di Venn

    UNIONE INTERSEZIONE

    NEGAZIONE EVENTI

    INCOMPATIBILI EVENTI

    NECESSARI

    A B A

    W

    A

    6

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Propriet Unione Intersezione

    Commutativa

    Idempotenza

    Associativa

    Distributiva

    ABBA ABBA

    AAA AAA

    )CB(AC)BA( )CB(AC)BA(

    )CA()BA()CB(A )CA()BA()CB(A

    Inoltre, si ha:

    AA f WWA WAA

    ffA AA W f AA

    7

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Leggi di De Morgan

    BABA

    Partizione dello Spazio Campionario

    BABA

    BABA

    BABA

    (1)

    (2)

    Si dice che gli eventi A1,,Ak appartenenti ad W formano una partizione

    dello spazio campionario se:

    (1) k1,...,ji AA ji f

    (2) W

    k

    1i

    iA

    cio se sono a due a due incompatibili e necessari.

    8

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Esercizio 1

    Esercizio 2

    Siano A,B e C tre eventi che si identificano nei sottoinsiemi A={1,2,3,8},

    B={2,3,5,7,8} e C={3,6,7,9,10} di un generico spazio W={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

    Determinare i seguenti sottoinsiemi:

    )CB(AE1 CBAE2 CBE3

    CCE6

    BAE4

    BAE5

    Un esperimento casuale consiste nellestrarre contemporaneamente due palline

    da unurna contenente 1 pallina rossa, 3 palline bianche e 2 nere. Descrivere lo

    spazio dei campioni relativo allesperimento e costruire i sottoinsiemi in cui si

    identificano i seguenti eventi:

    1. Le due palline estratte sono di colore differente;

    2. Le due palline estratte sono dello stesso colore;

    3. Le due palline estratte sono entrambe rosse.

    9

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Esercizio 3

    Esercizio 4

    Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di due dadi da

    gioco; posto che le facce di ciascun dado siano state contraddistinte con

    gli interi dall1 al 6, costruire lo spazio dei campioni e i sottoinsiemi che

    rappresentano i seguenti eventi:

    Un esperimento casuale consiste nel lancio contemporaneo di una moneta e

    di un dado da gioco. Si costruiscano lo spazio campionario relativo

    allesperimento e i sottoinsiemi a cui si identificano i seguenti eventi:

    1. I numeri portati dalle facce superiori dei due dadi sono uguali;

    2. La somma dei due numeri portati dalle facce superiori dei due dadi 5;

    3. Il numero riportato dalla faccia superiore di un dado doppio di quello

    riportato dalla faccia superiore dellaltro.

    1. Testa per la moneta e numero pari per il dado;

    2. Croce per la moneta e numero inferiore a 5 per il dado.

    10

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Esercizio 5

    Esercizio 7

    Da una raccolta di tre volumi contrassegnati con A,B e C ne vengono scelti a

    caso due. Costruire lo spazio degli eventi associato allo spazio campionario in

    questione.

    Nel lancio di un dado da gioco, le facce siano numerate dall1 al 6, sia A levento

    la faccia superiore porta il numero 3 e B levento la faccia superiore porta un

    numero dispari. A e B sono eventi disgiunti?

    Esercizio 6 Un esperimento casuale consiste nel rilevare il numero di teste e delle croci che si possono presentare nel lancio contemporaneo di tre monete.

    Costruire lo spazio campionario e lo spazio degli eventi ad esso associato.

    Esercizio 8 Si lancia due volte una moneta; sia A levento testa al primo lancio e B levento nei due lanci non appare la stessa faccia. A e B sono disgiunti?

    11

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    A A 0APr 1WrP

    f BA

    BPAPBAP rrr

    Assiomi del Calcolo delle Probabilit.

    Ricordando che un assioma (o postulato) una proposizione che

    considerata vera e non viene dimostrata nel contesto in cui svolta la

    teoria in questione, Il C.P. presenta i seguenti assiomi:

    1.

    2.

    3. Siano A e B due eventi incompatibili

    allora

    12

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    0frP

    APAP rr 1

    BAPBAPAP rrr

    BAPBPAPBAP rrrr

    Teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilit

    Teo.1.

    Teo.2.

    Teo.3.

    Teo.4.

    Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

    13

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Def. 4. Classica

    La probabilit di un evento A il rapporto tra il numero di casi favorevoli

    di A e il numero di casi possibili, ammesso che questi siano equiprobabili.

    Def. 5.. Frequentista (o legge empirica del caso).

    In una serie di prove di un dato esperimento, ripetuto un gran numero di

    volte in circostanze pi o meno simili, ciascuno degli eventi possibili si

    manifesta con una frequenza che circa uguale alla sua probabilit.

    Lapprossimazione si riduce al crescere del numero di prove.

    Def. 6. Soggettivista.

    La probabilit la valutazione che il singolo individuo pu coerentemente

    formulare, in base alle proprie conoscenze, del grado di avverabilit di un

    evento.

    Definizione di probabilit.

    14

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Esercizio 9 Dato un esperimento tale:

    5.0)A(Pr 31

    r )B(P 41

    r )BA(P

    Calcolare:

    BAPr BAPr BAPr

    BAPr BAPr

    Esercizio 10 Siano A e B due eventi tali che:

    8.0)A(Pr 7.0)B(Pr 6.0)BA(Pr

    Calcolare:

    BAPr BAPr BAPr

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    Esercizio 11

    Supponiamo di avere unurna che contiene 8 palline rosse (R),

    9 palline bianche (B), 13 palline nere (N) e 3 palline gialle (G).

    Effettuiamo la seguente prova:

    estrazione di due palline con riposizione.

    Calcolare la probabilit che:

    a) entrambe le palline siano rosse;

    b) la prima sia rossa e la seconda bianca;

    c) la prima gialla e la seconda non-rossa;

    d) la prima sia nera e la seconda non-bianca;

    e) che almeno una sia rossa.

    16

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    BPBAP

    BAPr

    rr

    / 0BPr

    Dipendenza. Assiomi e Teoremi fondamentali.

    Quando si ha motivo di credere che il verificarsi di uno o pi eventi influenzano

    il verificarsi di altri eventi, allora si parler di eventi dipendenti (condizionati).

    Cos, la probabilit dellevento A dato che si gi verificato levento B (ovvero

    levento B condiziona levento A), :

    per

    In tal caso, B diventa il nostro nuovo spazio dei campioni; cio si assume

    che la prova abbia dato luogo a qualche risultato in B.

    17

  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    0/ BAPr

    1/ W BPr

    BAPBAPBAAP rrr /// 2121

    Si pu verificare che valgono gli assiomi del Calcolo delle Probabilit:

    1.

    2.

    3. Se A1 e A2 sono incompatibili allora

    Le verifiche di (1), (2) e (3) sono lasciati per esercizio.

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  • Elementi di Calcolo delle Probabilit

    0/ f BPr

    BAPBAP rr /1/

    BAAPBAAPBAP rrr /// 21211

    BAAPBAPBAPBAAP rrrr //// 212121

    Valgono anche i teoremi fondamentali del Calcolo delle Probabilit nel

    caso in cui esiste un evento condizionante

    Teo.5.

    Teo.6.

    Teo.7.

    Teo.8.

    Le dimostrazioni dei teoremi sono lasciati per esercizio.

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  • Eleme