ELEMENTI DI DINAMICA ELEMENTI DI DINAMICA DELLE STRUTTUREDELLE STRUTTURE

analisi dinamica strutturale: determinazione degli spostamenti, delle tensioni e delle deformazioni in una struttura soggetta ad un carico dinamico

dinamico: variabile nel tempo

carico dinamico: carico la cui intensità, direzione o posizione varia nel tempo.

risposta strutturale ad un carico dinamico (deformazioni e tensioni risultanti): varia nel tempo - perciò è dinamica.

Caratteristiche essenziali di un problema dinamicoCaratteristiche essenziali di un problema dinamico

carico applicato staticamente: le sollecitazioni e la deformata dipendono direttamente dal carico applicato e possono essere valutate dalle condizioni di equilibrio di forze.

carico applicato dinamicamente: spostamenti variabili nel tempo accelerazioni forze d'inerzia

P P(t)

forze d'inerzia

Le sollecitazioni interne devono equilibrare il carico esterno e le forze d'inerzia

forze d'inerzia: caratteristica più importante che distingue il problema dinamico.

forze d'inerzia significative: occorre tener conto del carattere dinamico del problema.

moto lento forze d'inerzia trascurabili: analisi della risposta con i metodi della statica.

Nel sistema dinamico, spostamenti strutturali forze d'inerzia spostamenti: problema in termini di equazioni differenziali.

conoscere la risposta dinamica di una struttura significa conoscere in ogni istante del moto la posizione nello spazio di ogni massa che compone la struttura

GRADI DI LIBERTÀ DINAMICI della struttura "g.d.l." (degrees of freedom "DOF"): numero di componenti di spostamento indipendenti che devono essere considerate per determinare la posizione nello spazio di tutte le masse del sistema in qualsiasi istante del suo movimento

i sistemi reali sono caratterizzati da massa distribuita nel volume: quindi hanno un numero infinito di gradi di libertà

di solito la struttura reale può essere schematizzata con una struttura più semplice, modello, che ne descriva in modo sufficientemente accurato la risposta dinamica a fronte di un ragionevole onere di calcolo

hm

M M

m<<M

hm mi

sistema a masse concentrate: si considerano tutte le masse concentrate in un numero finito di punti; il resto della struttura è privo di massa e conserva le caratteristiche di deformabilità.

Le forze d'inerzia si sviluppano solo in questi punti: è sufficiente determinare spostamenti ed accelerazioni di questi punti per descrivere compiutamente il moto di tutto il sistema.

m1 m2 m3

P(t)

f I1 f I2 f I3

ANALISI SISMICA DI STRUTTURE ANALISI SISMICA DI STRUTTURE CON COMPORTAMENTO CON COMPORTAMENTO

ELASTICO - LINEAREELASTICO - LINEARE

SISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTA' SDOFSISTEMI AD UN GRADO DI LIBERTA' SDOF

massa m: rappresenta le caratteristiche inerziali e di massa della struttura

molla k: rappresenta la forza elastica di richiamo e l'energia potenziale della struttura.

smorzatore c: rappresenta le caratteristiche di attrito e le perdite di energia della struttura

forza di eccitazione F(t): rappresenta le forze esterne che agiscono sul sistema nel tempo.

F(t)m

c

k

x(t)posizione di equilibrio statico x(t)=0

molla k: se si considerano sistemi a comportamento indefinitamente lineare-elastico, k è costante, non dipende da x

caratteristiche di smorzamento:

• smorzamento viscoso esterno: causato dall'aria o dall'acqua intorno alla struttura. E' molto piccolo

• smorzamento viscoso interno: associato alla viscosità del materiale. E' proporzionale alla velocità

• smorzamento per attrito: si verifica per l'attrito fra i vari elementi di una struttura nei punti di connessione. E' costante, ma per spostamenti piccoli viene trattato come smorzamento viscoso; per spostamenti grandi viene inglobato nello smorzamento isteretico

• smorzamento per isteresi: ha luogo quando la struttura è sottoposta a carico ciclico in campo non elastico

nei sistemi a comportamento indefinitamente lineare, si considera solo lo smorzamento di tipo viscoso (proporzionale alla velocità)

m

L

k=48 EJ/L3

k=EA/L Lx

x

k=3EJ/h h

x

3

m

mm

h

x

k=2*12EJ/h3

VIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA NON SMORZATOVIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA NON SMORZATO

Schema di equilibrio:

sistema spostato dalla posizionedi equilibrio statico e lasciato libero

equilibrio dinamico direzione x:

0 kxxm

posizione di equilibrio statico x(t)=0

k m

x(t)

kx mx

mg

N

..

tCx cos

2

202

0

xxC

0

0

x

xtg

faseampiezza

m

k T

2

pulsazione naturale del sistema

periodo proprio

Risposta del sistema: moto armonico

VIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA SMORZATOVIBRAZIONI LIBERE - SISTEMA SMORZATO

equaz. del moto: 0 tkxtxctxm

km

c

posizione di equilibrio statico x(t)=0

x(t)

..kx

N

mx

mg

cx.

Smorzamento Critico: per un dato sistema (m e k dati) è il più piccolo valore dello smorzamento per il quale non si hanno oscillazioni libere.

moto non periodico

tmccr

etCCty

221

1° caso: sistema con smorzamento critico

kmkmccr

222

crcc

2° caso: sistema ipersmorzato c ccrL'espressione sotto radice è > 0Il moto è non periodico come nel 1° caso ma il tempo per tornare alla posizione neutra è più lungo.

22

2

2

1

m

c

m

ki

m

c

p

p

titit

titi

mc

mk

mc

mk

mc

mc

mk

mc

mc

mk

mc

eCeCe

eCeCtx

22

22

2

222

222

21

21

radici dell'equazione caratteristica complesse coniugate:

soluzione generale del sistema sottosmorzato:

equazione del moto:

frequenza smorzata del sistema

rapporto di smorzamento del sistema

2

2

m

c

m

kD

Dcr

c

c 1 12

)i(C=B

aimmaginari parteC=A

reale parte

2

2121

sincos

C

D

C

D

tm

c

tBtAetx

crcc 3° caso: sistema sottosmorzato

tCetx Dt cos

00 0x 0 xxx condizioni iniziali:

Risposta di un sistema libero sottosmorzato

0

002

2002

0 tan x

xxxxxC

DD

TDD

2 2

1 2

0 02 0 20. . c

ccr

D 0 98.

moto oscillatorio ma non periodico: l'ampiezza non è costante, ma le oscillazioni si verificano ad intervalli uguali di tempo:

Per le strutture reali

perciò al max

In pratica la frequenza naturale può essere considerata uguale alla frequenza naturale non smorzata.

periodo smorzato

circa

L'ampiezza del moto si riduce tanto più rapidamente quanto maggiore è lo smorzamento

Determinazione sperimentale della frequenza propria e dello smorzamento:

1 - METODO DELLE OSCILLAZIONI LIBERE

Si provoca una vibrazione libera e si registra il movimento oscillatorio.

DT D

Dal grafico che si ottiene, la distanza fra due picchi fornisce il periodo proprio, , da cui si ricava .

1x 2x

La diminuzione dell'ampiezza del moto permette di valutare

Misurati e (valori di due picchi successivi) si calcola:

2

1lnx

x

tCetx Dt cos

DTtt CexCex 1121

21

22lnln

22

1

1

1

DDTt

t

TCe

Ce

x

xD

2

decremento logaritmico

misurato sperimentalmente , si può valutare:

da per t1 e t2=t1+TD