Elementi di matematica attuariale1 Le funzioni biometriche La probabilità di sopravvivenza o la probabilità di morte di una persona dipendono da vari fattori;

Elementi di matematica attuariale

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Le funzioni biometricheLa probabilità di sopravvivenza o la probabilità di morte di una persona dipendono da vari fattori; di essi il più importante e significativo è l’età, e solo dell’età si tiene conte nel calcolo di tali probabilità.Si tratta di valutazioni di probabilità secondo l’impostazione statistica, basate sulle frequenze e a tale scopo sono state costruite delle Tavole di sopravvivenza e di mortalità con tecniche piuttosto complesse, mediante il metodo dei decessi o il metodo dei censimenti.Queste tavole, che partono da una popolazione teorica di 100.000 persone alla nascita (maschi e femmine), riportano per ogni età 0,1,2,3,4 ….anni, quanti individui hanno raggiunto tali età e quanti sono morti alle età di 0,1,2,3,4,…anni.


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Le funzioni biometricheDetta x l’età intera, si indicano:

• lx = numero delle persone viventi all’età x dell’insieme teorico di 100.000 neonati (l è l’iniziale del termine inglese “living”=vivente);• dx = numero delle persone di età x che muoiono prima di avere raggiunto l’età successiva (d è l’iniziale del termine inglese “dead”= morto).

Le funzioni lx e dx sono dette funzioni biometriche, poiché sono funzioni dell’età x.Fra esse esiste la relazione : dx = lx - lx+1

Poiché il numero di persone di età x che muoiono prima di raggiungere l’età x+1 è uguale alla differenza fra i viventi di età x e i viventi di età x+1.


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Le funzioni biometricheI valori di lx decrescono al crescere di x fino a un’ultima età, detta età estrema, indicata con la lettera greca ɷ (omega) che è di oltre 100 anni. L’età estrema ètale che L ɷ+1=0, ossia nessun vivente di età ɷ raggiunge l’età successiva, quindi risulta d ɷ = l ɷ

Utilizzando le funzioni lx e dx si calcolano le probabilità di sopravvivere o di morire.a) La probabilità che una persona di età x raggiunga l’età x+1 è detta tasso annuo di sopravvivenza ed è data dal rapporto fra il numero di viventi all’età x+1 e il numero dei viventi all’età x:

b) La probabilità dell’evento contrario, ossia che la persona di età x muoia prima di aggiungere l’età x+1. È detta tasso annuo di mortalità e risulta:


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Le funzioni biometricheInteressa conoscere le probabilità di sopravvivere o di morire per assegnati

intervalli di etàc) La probabilità che una persona di età x sia in vita dopo n anni, detta

probabilità di sopravvivenza dopo n anni, è data da:

Ed è uguale al rapporto fra il numero dei viventi all’età x+n e il numero dei viventi all’età x. In realtà, si tratta di una probabilità composta e si ottiene dal prodotto di n tassi annui di sopravvivenza, infatti la persona deve sopravvivere per n anni successivi:

x

nx

nx

nx

x

x

x

x

x

xnxxxxxn l

l

l

l

l

l

l

l

l

lppppp

12

3

1

21121 .............


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Le funzioni biometriched) La probabilità contraria è la probabilità di morte entro n anni, ossia la

probabilità che la persona muoia prima di raggiungere l’età x+n ed è data da:

x

nxx

x

nxxnxn l

ll

l

lPq

11/

e) Si utilizza ancora la probabilità di morte differita di n anni e temporanea di 1, ossia la probabilità che una persona di età x raggiunga l’età x+n e muoia entro un anno; si tratta di una probabilità composta:

x

nx

nx

nx

x

nxnxxnxn l

d

l

d

l

lqpq

../

Le tavole di mortalità e di sopravvivenza riportano altre funzioni dell’età x, ad esempio la vita media, che esprime il numero medio di anni che una persona di età x può ancora vivere, la vita probabile, ossia il numero di anni che una persona di età x può ancora vivere con probabilità almeno del 50% e altre funzioni che non interessano il nostro studio.


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Tavola 1 - Tavole di mortalità della popolazione residente in Italia per sesso ed età al 2002

Scarica le tavole di mortalità dalla seguente URL: http://www.istat.it/dati/catalogo/20020731_00/nserire


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Codice sorgente in VBA Pulsante nPX

• Private Sub CommandButton1_Click()• Dim lx, lxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long• Range("K2").Activate• x = ActiveCell.Value• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value• Range("B5").Activate• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)• lxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)• npx = lxn / lx• Range("F5").Activate• ActiveCell.Offset.Value = npx• End Sub


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Codice sorgente in VBA Pulsante /nQx

• Private Sub CommandButton2_Click()• Dim lx, lxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long• Range("K2").Activate• x = ActiveCell.Value• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value• Range("B5").Activate• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)• lxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)• nqx = (lx - lxn) / lx• Range("G5").Activate• ActiveCell.Offset.Value = nqx• End Sub


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Codice sorgente in VBA Pulsante n/Qx

• Private Sub CommandButton3_Click()• Dim lx, dxn, n, x, npx, nqx, n1qx, px As Long• Range("K2").Activate• x = ActiveCell.Value• n = ActiveCell.Offset(1, 0).Value• Range("B5").Activate• lx = ActiveCell.Offset(x, 0)• Range("C5").Activate• dxn = ActiveCell.Offset(x + n, 0)• n1qx = dxn / lx• Range("H5").Activate• ActiveCell.Offset.Value = n1qx• End Sub


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Elaborazione funzione biometrica


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Elaborazione funzione biometrica


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Esercizio n. 1

Per un uomo di 40 anni calcolare le seguenti probabilità:

a) di sopravvivere per un anno;

b) di sopravvivere per 25 anni;

c) di morire entro 30 anni;

d) di raggiungere gli 80 anni e morire entro un anno.

Svolgimento

Per un uomo di 40 anni, utilizzando la Tavola di mortalità Italia maschi 2002, si calcolano le seguenti probabilità con approssimazione a meno di 10-6:

a)

b)

c)

d)

857098,0465.96

680.82

40

654025

l

lp

998404,0465.96

311.96

40

4140

l

lp

235609,0465.96

737.7396465/

40

70404030

l

llq

038231,0465.96

688.3/

40

804040

l

dq


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Esercizio n. 2Calcolare le probabilità per due fratelli di 30 e 36 anni:a) di essere in vita entrambi fra 15 anni;b) che almeno uno sia in vita fra 40 anni.

SvolgimentoSupponendo che gli eventi “è in vita il primo fratello dopo n anni” e “è in vita il secondo fratello dopo n anni” siano indipendenti, per il teorema delle probabilità composte, dalla Tavola di sopravvivenza Italia maschi 2002 si ricava ( con approssimazione a meno di 10 -6):

a)

b) 762276,0.1.136

7636

30

703036403040

l

ll

l

llqqP

945320,0031.97

821.93.

776.97

592.95..36

51

30

4536153015

l

l

l

lppP


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Esercizio n. 3Determinare per un uomo di 30 anni la vita probabile, cioè quanti anni può ancora vivere conprobabilità di sopravvivenza non inferiore alla probabilità di morte.SvolgimentoIl problema si riduce a risolvere l’equazione: dove l’incognita è n=numero dianni. Quindi:

La relazione equivale a trovare dopo quanti anni si dimezzano i viventi all’età x.Dalle tavole si ricava: 78<30+n<79Con l’interpolazione si ottiene n=48 anni 6 mesiPerciò, per un uomo di 30 anni la vita probabile è circa di 48 anni e 6 mesi.

2

1xn p

00,888.48776.97.2

1.2

1

2

12

1

3030

30

30

30

ll

l

l

p

n

n

n


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Assicurazione di capitale differito L’assicurazione di capitale differito (detta anche assicurazione elementare di vita) è

il più semplice tipo di assicurazione sulla vita.In generale, con l’assicurazione di capitale differito, una persona di età x assicura a se stessa un capitale C, esigibile a una determinata scadenza solo se sarà in vita.

Rappresentiamo il problema con uno schema temporale: C x x+n t Indichiamo con x l’età della persona e con x+n la scadenza.

Se il capitale assicurato è unitario (cioè di un euro) il suo valore attuale, alla stipulazione del contratto, è (1+i)-n = vn

Consideriamo la variabile casuale: S=valore attuale delle somme che saranno pagateLa variabile casuale S può assumere i valori vn e 0, con la seguente distribuzione di probabilità :

S 0 vn

P /nqx nPx

Calcoliamo il valore medio della variabile casuale S; tale valore medio si indica con il simbolo nEx, quindi si ha:

x

nxnxn

nxn

nxnxn l

lvpvpvqE ..../0


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Assicurazione di capitale differito

Cioè:

Interpretiamo il contratto di assicurazione come un gioco e ricordiamo che un gioco è equo se e solo se la posta da versare per partecipare al gioco è uguale alla speranza matematica (o valore medio) della vincita lorda.

Questa speranza matematica, che indichiamo con nEx, è il premio unico puro che la persona di età x deve pagare per il capitale assicurato di un euro esigibile all’età x+n, a condizione di essere in vita. Per un capitale C il premio unico puro U di un’assicurazione di capitale differito, risulta:

x

nxnxn l

lvE .

n

x

nxxn v

l

lCECU ...


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Esercizio n. 4Una persona di 30 anni stipula un’assicurazione per garantirsi il capitale di € 30.000 a 50 anni, se sarà in vita.Quale somma deve versare oggi?(Ossia, in forma esatta, “ Qual è il premio unico puro?”) Il contraente prevede la riscossione da parte dell’assicurato (che in questo caso è anche contraente e beneficiario) del capitale di € 30.000 al compimento dei 50 anni; la condizione è che sia in vita a quell’età, nulla essendo dovuto dall’assicuratore agli eredi se quella persona muore prima di compiere 50 anni.

SvolgimentoSi deve fissare un tasso tecnico e scegliere una tavola demografica. Scegliamo la Tavola di sopravvivenza Italia maschi 2002 e calcoliamo il premio unico nel caso che il tasso sia del 4%.

89,184.1304,1.776.97

175.94.000.3004,1..000.30 2020

30

50

l

lU

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