ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/matematica/fiori.carla/ELEMENTI_DI_MATEMATICA... · ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9.1 OPERAZIONI FINANZIARIE

ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA

9.1 OPERAZIONI FINANZIARIE La Matematica Finanziaria ha per oggetto di studio le operazioni finanziarie, cioè le operazioni di scambio di somme di denaro disponibile in tempi diversi. Gli elementi fondamentali di un'operazione finanzaria sono importi e scadenze. Sulla base di questi due elementi si effettua una prima distinzione:

• operazioni finanziarie certe: sono quelle i cui importi si rendono disponibili con certezza,

• operazioni finanziarie aleatorie: sono quelle i cui importi si rendono disponibili solo se si verificano degli eventi aleatori.

La Matematica finanziaria classica si occupa delle operazioni finanziarie certe, mentre la Matematica attuariale si occupa delle operazioni finanziarie aleatorie. Esempi di operazioni finanziarie certe. 1) Depositando denaro sul c/c bancario da cui si preleveranno capitale e interessi si

scambia il versamento odierno con un prelevamento futuro. 2) Comprando oggi BOT che si rivenderanno fra un mese, si scambia la somma oggi

investita con il ricavo della vendita fra un mese. 3) Stipulando oggi un mutuo con rimborso graduale si scambia la disponibilità che oggi si

riceve per effetto del contratto di mutuo con i versamenti che si faranno alle scadenze convenute.

4) Stipulando oggi un acquisto di un'auto con pagamento rateale, si scambia la somma ricevuta subito in natura (valore dell'auto), con le rate che si verseranno alle scadenze dovute.

Per introdurre alcuni concetti fondamentali si consideri una operazione finanziaria elementare consistente nello scambio fra due individui A e B di due capitali, rispettivamente C ed M con M > C, in due successivi tempi x e y . Il soggetto A cede a B il capitale C disponibile al tempo x ; in cambio B cede ad A il capitale M disponibile al tempo y > x . Se l'operazione di scambio dell'importo C al tempo x contro l'importo M al tempo successivo y è accettata dai due individui, si dice che C e M sono finanziariamente equivalenti fra loro e che l'operazione è equa. Avendo supposto x < y si ha che:

A è detto creditore o mutuante; B è detto debitore o mutuatario; C è il capitale impiegato, anticipato o investito; M è il capitale dovuto alla scadenza; x è la data di investimento; y è la data di scadenza; [x,y] è il periodo di impiego.

x

C M

y

Parte 9 OPERAZIONI FINANZIARIE ________________________________________________________________________________________________________________________

2

La descrizione di un'operazione finanziaria si può fare associando alle varie scadenze nelle quali si hanno movimenti di cassa gli ammontari di tali movimenti. Di norma le scadenze si misurano in anni e gli ammontari in entrata e in uscita sono dotati rispettivamente di segno ++++ (eventualmente omesso) e di segno −−−− . Quindi per descrivere un'operazione finanziaria basta assegnare delle coppie di numeri (scadenza, flusso di cassa), (ts , xs) con s = 1 , … , n e ove ts , in un'appropriata unità di misura, è la scadenza alla quale si manifesta il flusso di cassa xs (valori positivi segnalano entrate, valori negativi segnalano uscite). Esempio. Oggi concedo un prestito di 3000 € ; fra un anno mi rimborsano 1000 € , fra 1 anno e mezzo altri 1200 € e fra due anni altri 1300 €.

Scadenza (tempo)

Flusso di cassa (importo)

0 -3000 1 1000

1,5 1200 2 1300

Si può anche usare una rappresentazione geometrica, detta retta dei tempi.

9.1.1. OPERAZIONI DI CAPITALIZZAZIONE Si parla di un'operazione di capitalizzazione quando il denaro è “portato avanti” nel tempo ossia si trasforma una disponibilità immediata C al tempo x , in una disponibilità futura M al tempo y ; noti C , x , y si deve determinare M . In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale è il capitale C ; M è detto montante, al tempo y , del capitale C impiegato al tempo x . Si definisce • interesse nel periodo [x,y] la quantità I = M − C

• fattore di montante : CM

r =

Esso misura il montante per unità di capitale impiegato, ossia se C = 1 , allora è r = M .

Dalle definizioni poste segue anche:

ICM += IMC −= , CM

r = , rCM= , rM

C = , 1)(rCI −= , CI

1r += .

t 0 1 1,5 2 3

-3000 1000 1200 € 1300


3

Esempio. Oggi investo 1000 , fra tre anni riscuoto 1800 . 1000 capitale 1800 montante 1800 – 1000 = 800 interesse

1,810001800 = fattore di montante

9.1.2. OPERAZIONI DI ATTUALIZZAZIONE Si parla di un'operazione di attualizzazione o di anticipazione o di sconto quando il denaro è “portato indietro” nel tempo; noti M , x , y si deve determinare C . In questa operazione finanziaria l'elemento fondamentale è il capitale M ; la somma C si dice valore attuale al tempo x del capitale M , detto valore nominale, dovuto al tempo y . Si definisce • sconto sul capitale M la quantità D = M − C .

• fattore di sconto o di anticipazione : MC

v = .

Esso rappresenta il valore in x corrispondente ad una unità di montante in y , ossia se M = 1 , v = C .

Dalle definizioni poste segue anche

DMC −= , DCM += , MC

v = , vMC = , vC

M = .

Esempio. Oggi posso pagare 1000 per acquisire il diritto a riscuotere 1800 fra tre anni 1000 valore attuale o scontato 1800 valore nominale 1800 – 1000 = 800 sconto

0,5518001000 = fattore di sconto

0

1000 1800

3

0

-1000 1800

3


4

9.1.3. LEGGI E REGIMI FINANZIARI A parità di ogni altra condizione è ragionevole aspettarsi che nelle operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione, il fattore di montante e il fattore di sconto dipendano dalla durata dell’investimento. Quando si vuole segnalare che i fattori di montante e di sconto sono funzione della durata t della operazione finanziaria si indicano, rispettivamente, con r(t) e v(t) . La funzione r(t) rappresenta il montante in t equivalente al capitale C = 1 ; essa è detta funzione fattore di montante o di capitalizzazione. La funzione v(t) rappresenta il valore attuale in t = 0 equivalente al montante M = 1 in t ; essa è detta funzione fattore di sconto o di attualizzazione. Si suppone che le operazioni finanziarie siano regolate da funzioni fattore che rappresentano il comportamento di un individuo razionale (colui che preferisce tanto a poco) e pertanto le proprietà di una funzione fattore di montante e di una funzione fattore di sconto si possono riassumere come segue. � Funzione fattore di montante è una funzione r(t) tale che

1) r(0) = 1 , 2) r′(t) ≥ 0 ossia r(t) è crescente, 3) r(t) ≥ 1 .

� Funzione fattore di sconto è una funzione v(t) tale che

1) v(0) = 1 , 2) v′(t) ≤ 0 ossia v(t) è decrescente, 3) 0 < v(t) ≤ 1 .

r(t)

t

1

0

t

1

0

v(t)


5

Abbiamo introdotto la funzione fattore di capitalizzazione r(t) e la funzione fattore di sconto v(t) perché, di norma, le operazioni finanziarie di capitalizzazione e di attualizzazione dipendono dalla durata t dell’investimento. Considerando r(t) e v(t) possiamo allora esprimere in funzione di t anche le altre grandezze. • Nelle operazioni di capitalizzazione, detto C il capitale investito per un periodo t , si

ha: M(t) = C r(t) , I(t) = M(t) − C = C (r(t) − 1) , inoltre

CtI

ti)(

)( =

è il tasso di interesse periodale relativo al periodo t . Esso è l’interesse prodotto da un capitale unitario nel periodo t . Si faccia attenzione che di norma con il simbolo i si indica l’interesse prodotto da un capitale unitario in un periodo unitario di tempo (di solito un anno). Dalle formule precedenti segue: r(t) = 1 + i(t)

• Nelle operazioni di attualizzazione, detta M la somma da scontare (valore nominale) e

t il periodo di differimento, si ha:

C(t) = M v(t) , D(t) = M − C(t) = M (1 − v(t)) , inoltre

MtD

td)(

)( =

è il tasso di sconto periodale relativo al periodo t . Esso è lo sconto per ogni unità di valore nominale nel periodo t di differimento. Con il simbolo d si indica invece, di norma, lo sconto per ogni unità di montante quando il periodo di differimento è l’unità di tempo (di solito un anno). Dalle formule precedenti segue: v(t) = 1 −−−− d(t)

Esempio. Si consideri l’operazione finanziaria rappresentata da • Se si interpreta come operazione di capitalizzazione risulta:

C = 100 capitale investito M = 110 montante I = 10 interesse totale

10%10010

i(2) == tasso di interesse periodale relativo a t = 2 anni.

0

C = 100 M = 110

2 anni


6

• Se si interpreta come operazione di attalizzazione risulta:

C = 100 valore attuale M = 110 valore nominale D = 10 sconto totale

09%911010

d(2) ,== tasso di sconto periodale relativo a t = 2 anni.

Nella pratica le operazioni di capitalizzazione e di attualizzazione sono regolate da fattori che dipendono dal tempo secondo alcune formule matematiche. Queste formule, in linguaggio finanziario, si chiamano regimi finanziari (di capitalizzazione o di attualizzazione) e contengono non soltanto il tempo ma anche altri parametri che regolano la velocità con cui • nella capitalizzazione il montante cresce con il passare del tempo, • nell’attualizzazione il valore nominale si contrae in valore scontato all’allontanarsi della

scadenza. Quando in un regime si specifica numericamente il valore del parametro, avente usualmente la natura di tasso di interesse o di sconto, si ottiene una formula matematica che consente di capitalizzare o di attualizzare univocamente una somma, qualunque sia la scadenza. Questa “formula con parametro precisato” si chiama legge finanziaria (rispettivamente di capitalizzazione o di attualizzazione). Esempio. Sia f(t) = 1 + α t2 con α > 0 . Poiché f(0) = 1 e f'(t) = 2αt > 0 per ogni t > 0 , la funzione f(t) = 1 + α t2 rappresenta un possibile regime finanziario di capitalizzazione. Se si assegna ad α il valore 0,01 , la funzione f(t) = 1 + 0,01 t2 rappresenta una legge di capitalizzazione di tale regime. Al variare del valore del parametro α , cambia la legge nell'ambito dello stesso regime finanziario. E′ ragionevole supporre che se riteniamo equivalenti due importi C in t0 e M in t , dove M è ottenuto capitalizzando C , allora attualizzando M dovremmo ottenere C . Nella pratica finanziaria un contratto avviene fra due controparti, per esempio A e B e se per A l'operazione si identifica in un'operazione di capitalizzazione, allora per B la stessa è un'operazione di attualizzazione. Ad esempio: il direttore di una banca fa un'operazione di investimento (capitalizzazione) quando presta a un'impresa il capitale C al tempo t0 che gli sarà restituito al tempo t e varrà M . Per l'impresa l'operazione può essere vista come un'operazione di sconto in quanto si impegna a rendere M in t e chiede che le venga anticipato (scontato) il capitale C in t0 . Da quanto detto, segue che per essere entrambe d'accordo due controparti usano regimi di attualizzazione e di capitalizzazione soddisfacenti le relazioni:

C r(t) v(t) = C , M v(t) r(t) = M ossia

r(t) v(t) = 1 , t ≥ 0 .

DEFINIZIONE. Due regimi finanziari di capitalizzazione e di attualizzazione aventi come funzioni fattore di montante e fattore di sconto r(t) e v(t) , rispettivamente, si dice che sono coniugati se sono tali che:


7

1v(t)r(t) = , t ≥ 0 ; ossia r(t)1

v(t) = ; v(t)1

r(t) = .

Le leggi finanziarie di capitalizzazione più usate per calcolare interessi e montanti si basano su tre tipi di funzioni fattori di montante: di tipo affine (o lineare), di tipo esponenziale, di tipo iperbolico. Questi tre tipi di leggi corrispondono nell’ordine ai seguenti tre tipi di regime: • regime dell'interesse semplice (RIS), • regime dell'interesse composto (RIC), • regime dell'interesse anticipato (RIA). Le leggi finanziarie di attualizzazione più usate sono quelle dei regimi coniugati al RIS, RIC, RIA; esse corrispondono rispettivamente ai seguenti tre tipi di regime: • regime dello sconto semplice o razionale, • regime dello sconto composto, • regime dello sconto commerciale. A conclusione del paragrafo, si noti che facendo riferimento alla stessa operazione finanziaria, le grandezze i , r , d , v si possono esprimere una in funzione dell’altra come riportato nella seguente tabella.

i r d v

i r-1 d1

d−

v

v1−

r 1+i d1

1−

v1

d i1

i+

r

1r − 1-v

v i1

1+

r1

1-d

Si noti che per ogni operazione finanziaria, in un medesimo periodo di riferimento t = y − x, il tasso d'interesse i è sempre maggiore del tasso di sconto d corrispondente: i > d . Inoltre d è funzione crescente di i .

i

d

ii

d+

=1

0,5

1,0

0 5 10


8

9.1.4. LA VARIABILE TEMPO E’ importante sottolineare che in tutte le formule il tempo deve sempre essere espresso con l’unità di tempo alla quale si riferisce il tasso dell’operazione finanziaria. L’unità di misura della variabile tempo che di norma si considera e rispetto alla quale vengono riferiti i vari tassi è l’anno. Si utilizza l’anno civile considerato di 365 giorni (o 366 per gli anni bisestili), oppure l’anno commerciale considerato di 360 giorni (12 mesi di 30 giorni ciascuno). Di conseguenza si ha un “intervallo temporale esatto” se si contano gli effettivi giorni compresi fra due date (per esempio, tra il 15/04/1994 e il 18/07/1994 vi sono 94 giorni: 15 + 31 + 30 + 18), e un “intervallo temporale commerciale” se si considera l’anno commerciale e quindi tutti i mesi di 30 giorni. Quando nelle operazioni finanziarie si considerano tassi annuali, occorre esprimere il tempo in anni anche se il periodo da considerare non è un numero intero di anni. Ricordiamo che: • il tempo espresso in giorni si riporta in anni mediante la frazione

365

giornideinumero (anno civile) o

360giornideinumero

(anno commerciale),

• il tempo espresso in mesi si riporta in anni mediante la frazione 12

esimdeinumero .

Esempi.

1) t = 2 anni e 47 giorni significa 36547

2 + (anno civile).

2) t = 5 anni e 4 mesi significa 124

5 + .

3) t = 3 anni, 4 mesi e 20 giorni significa 36020

124

3 ++ (anno commerciale).

• Il tempo espresso in anni mediante un numero razionale si riporta ad una espressione

in anni, mesi, giorni usando le formule inverse di quelle precedenti. In generale si trova dapprima il numero di giorni corrispondenti usando le formule

n° giorni = anni x 360 oppure n° giorni = anni x 365

e successivamente si esprime questo numeri di giorni in anni, mesi, giorni. Esempi. 1) t = 12,343 anni significa 12 anni, 4 mesi, 3 giorni perché, limitandoci a considerare

la parte decimale, si ha 0,343 x 360 = 123,480 giorni e 123 giorni significano 4 mesi e 3 giorni.

2) t = 2,1284 anni significa 2 anni e 0,1284 x 360 = 46,224 giorni; poiché 46 giorni sono 1 mese e 16 giorni, in definitiva t = 2,1284 anni significa 2 anni, 1 mese, 16 giorni.


9

9.1.5. TASSI PERIODALI Abbiamo già incontrato in 1.3 due tassi definiti periodali: • i(t) tasso di interesse periodale relativo al periodo t . E’ il tasso di interesse

prodotto da un capitale unitario nel periodo t di investimento. • d(t) tasso di sconto periodale relativo al periodo t . E’ lo sconto per ogni unità di

montante nel periodo t di differimento. Molte operazioni prevedono il pagamento di rate che non sono annuali ma riferite a frazioni di anno (semestrali, quadrimestrali, trimestrali, mensili, etc.). Analogamente ci sono operazioni di investimento che garantiscono il riconoscimento degli interessi più volte

nel corso dell’anno. Il tasso di interesse riferito ad m1

esimo di anno viene indicato con im.

• im tasso periodale relativo ad m1

esimo di anno.

Ad esempio i2 indica un tasso di interesse semestrale, i3 indica un tasso di interesse quadrimestrale, i4 indica un tasso di interesse trimestrale, etc. Di norma il tasso di interesse annuo si indica con i .

9.2 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE. Esaminiamo i regimi di capitalizzazione, e le rispettive funzioni di montante, più usati per calcolare interessi e montanti.

9.2.1. REGIME DELL’INTERESSE SEMPLICE (RIS) Gli interessi semplici si definiscono come quelli direttamente proporzionali al capitale e al tempo di impiego. In altre parole, raddoppiando il capitale gli interessi raddoppiano, triplicando il capitale si triplicano, così come raddoppiando il tempo si raddoppiano, triplicando il tempo si triplicano etc. . Pertanto nel regime degli interessi semplici, l’interesse prodotto da un capitale C nel tempo t sarà espresso da una formula del tipo I = C t α con α costante. In particolare un capitale unitario C = 1 impiegato per un tempo unitario t = 1 , produrrà un interesse uguale ad α e quindi questa costante è il tasso di interesse i . Se il capitale C è impiegato per un tempo t , il montante prodotto risulta

M = C + I = C + C t i = C (1 + i t) e quindi la funzione fattore di montante che caratterizza il regime finanziario dell’interesse semplice è

r(t) = 1 + i t ossia è una funzione di tipo lineare affine. Il grafico di r(t) è una retta e mostra come il montante prodotto da C = 1 cresca linearmente nel tempo con pendenza uguale al tasso di interesse. Riassumendo: Indicando con i il tasso effettivo di interesse, le funzioni che caratterizzano il RIS , espresse in funzione della durata t della operazione finanziaria, sono

r(t) = 1 + i t , M(t) = C r(t) = C(1 + i t) ,

t

1

r(t)

0

pendenza = i

Parte 9 REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE

________________________________________________________________________________

- 11 -

tiCCt)iC(1CMI(t) =−+=−= , tiCI(t)

i(t) == .

Si noti che i(t) indica l’interesse prodotto da una unità di capitale nell’intero periodo t di tempo ed è dato dal prodotto del tasso di interesse i moltiplicato per il periodo t : i(t) = i t . Le funzioni r(t) = 1 + i t , M(t) = C(1 + i t) , I(t) = C i t

hanno come grafici una retta di pendenza rispettivamente i , C i , C i . Si può notare che M(t) e I(t) hanno la stessa pendenza e quindi in uno stesso riferimento cartesiano sono rappresentate da due rette parallele. Se si precisa che il tasso di interesse i vale 10 % (i = 0,1) e si sostituisce nella formula al simbolo i il valore 0,1 , il fattore di montante r(t) = (1 + 0,1 t) caratterizza non più un regime di capitalizzazione ma la legge di capitalizzazione degli interessi semplici a tasso 10 % . Questa legge di capitalizzazione consente di calcolare il montante M di qualunque capitale C per qualunque durata t dell’impiego:

M = C (1 + 0,1 t) . E′ importante ricordare che nelle formule precedentemente trovate il tempo deve sempre essere espresso con l’unità di tempo in cui è dato il tasso effettivo di interesse i . Per esempio se i è il tasso di interesse annuo allora il tempo t si deve esprimere in anni; se i è il tasso di interesse semestrale allora il tempo t si deve esprimere in semestri; e così via. ESEMPI Determinare il valore del montante (capitale finale) che si ottiene investendo un capitale C per un tempo t all’interesse i . Esempio 1 Se C = 1000 , t = 5 anni, i = 10 % annuo allora si ha M = C(1+i t) = 1000 (1+0,10 ⋅ 5) = 1500 , I(5) = 1000 ⋅ 0,10 ⋅ 5 = 500 . Esempio 2 Se C = 1000 , t = 45 giorni, i = 10 % annuo allora si ha

M = C(1 + i t) = 1000 (1 + 0,10 ⋅36545

) = 1012,32876 .

Esempio 3 Se C = 1000 , t = 13 mesi, i = 10 % annuo allora si ha

M = C(1+i t) = 1000 (1+0,101213⋅ ) = 1108,333 .

r(t)

0 t

i 1

M(t)

0

C i C

t

I(t)

0 C i

t

C

M(t)

I(t)

0 C i

t

C i


________________________________________________________________________________

- 12 -

Esempio 4 Se C = 1000 , t = 18 mesi, i = 5 % semestrale allora si ha M = C(1+i t) = 1000 (1+0,05 ⋅ 3) = 1150 . Esempio 5 Se C = 1000 , t = 14 mesi, i = 10 % semestrale allora si ha

M = C(1+i t) = 1000 (1+0,106

14⋅ ) = 1230 .

Esempio 6 Si consideri un periodo di 78 giorni e sia 0,0063578gi =)( . Determinare, in RIS, il tasso annuo equivalente a 0,0063578gi =)( ossia determinare il tasso di interesse annuo che su un capitale C = 1 in 78 giorni produce un interesse di 0,00635 . SOLUZIONE: Per rispondere basta ricordare che i(t) = i t ed esprimere il periodo di 78 giorni in anni; si ha

36078

i0,00635 = da cui 0,029378

3600,00635i =⋅= , 2,93%i = .

Esempio 7 Dato un tasso di interesse annuo i = 3,34 % , determinare il tasso equivalente relativo ad un periodo t di 128 giorni, in altre parole determinare l’interesse prodotto da un capitale C = 1 in 128 giorni se il tasso di interesse annuo è i = 3,34 % .

SOLUZIONE: Da i(t) = i t otteniamo 0,01187360128

0,0334(128g)i =⋅= .

Negli esempi 6 e 7 si parla di “tassi equivalenti”, questo argomento sarà ripreso e completato nella PARTE 4 . OSSERVAZIONE 1 In questo regime è vantaggioso effettuare operazioni di capitalizzazione intermedie, ossia ritirare il montante (capitale iniziale + interessi) e reinvestire il tutto. Confrontiamo i montanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senza operazione di capitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia. Se i è il tasso d'interesse, si ha:

M = C(1 + i(t1 + t2))

M' = C(1 + i t1)

M'' = C(1 + i t1) ⋅ (1 + i t2)

Risulta M'' > M e per questo, essendo M ≠ M′′, si dice che il RIS è un regime non scindibile.

t t0 = 0 t1+ t2

C MM′′

t1

M′


________________________________________________________________________________

- 13 -

OSSERVAZIONE 2 Consideriamo un periodo annuale di impiego di un capitale unitario che non sia necessariamente il primo anno. Le epoche iniziale e finale di questo periodo siano rispettivamente, t e (t + 1) . Il montante dell'impiego del capitale unitario C = 1 dopo t anni è M = C + C i t = 1 + i t = r(t) , dopo (t + 1) anni è M = 1 + i(t + 1) = r(t + 1) , cosicchè la differenza r(t + 1) − r(t) rappresenta gli interessi prodotti dal capitale unitario in quell'anno. Risulta:

r(t+1) − r(t) = 1 + i(t + 1) − (1 + i t) = 1 + i t + i − 1 − i t = i .

Ne segue che i è l'interesse prodotto nel generico anno di impiego di un capitale unitario (e non solo nel primo anno d'impiego). Questa proprietà del RIS non è posseduta da altri regimi.

9.2.2. REGIME DELL’INTERESSE COMPOSTO (RIC) E′ naturale l'impiego della capitalizzazione semplice quando tra due parti di un contratto finanziario viene predeterminata la durata dell'operazione. Quando questo non avviene viene applicata la capitalizzazione degli interessi: si suddivide la durata dell'impiego in periodi, generalmente uguali, e, alla fine di ciascuno dei periodi vengono computati gli interessi semplici relativamente a quel periodo. Tali interessi sono immediatamente trasformati in capitale e già dal periodo successivo cominciano a loro volta a produrre interessi. Sia i il tasso effettivo di interesse nell'unità di tempo; supponiamo di investire un capitale unitario C = 1 al tempo t = 0 e che le epoche di capitalizzazione siano equidistanti. Calcoliamo quanto si realizza al tempo t = 1 , t = 2 , ... t = n , effettuando l'operazione di capitalizzazione alla fine di ogni periodo. Per il fattore di montante, si ottiene la seguente successione geometrica: r(0) = 1 r(1) = r(0) ⋅ (1 + i) = 1 + i r(2) = r(1) ⋅ (1 + i) = (1 + i)2 � r(n) = r(n – 1) ⋅ (1 + i) = (1 + i)n . Se generalizziamo la relazione appena trovata ad ogni tempo t ≥ 0 e non solo per scadenze intere, si dice che si opera mediante convenzione esponenziale e si ottiene:

r(t) = (1 + i)t , t ≥ 0 .

La precedente formula è un fattore di montante, infatti:

r(0) = 1 , r′(t) = (1 + i)t ln (1 + i) > 0 . Dunque il regime finanziario di capitalizzazione a interesse composto o regime esponenziale è caratterizzato da una funzione fattore di montante esponenziale:

r(t) = (1 + i)t


________________________________________________________________________________

- 14 -

o equivalentemente r(t) = eδ t

dove eδ = 1 + i . Per il significato di δ si veda 9.2.5 . Le costanti δ e i sono legate fra loro dalla precedente uguaglianza ed è sempre possibile ricavare l'una nota l'altra:

i= eδ − 1 , δ = ln (1 + i) . Il significato di i è quello di tasso di interesse nell'unità di tempo mentre δ = ln (1 + i) è l’intensità istantanea di interesse (o tasso istantaneo d'interesse, o forza d'interesse). Riassumiamo le relazioni che abbiamo fin qui trovato per il RIC e riportiamo i grafici per r(t) , M(t) e I (t) :

r(t) = (1 + i)t , M(t) = C(1 + i)t

==CtI

ti)(

)( (1 + i)t – 1 , I (t) = M(t) – C = C[(1 + i)t – 1]

INTERESSE COMPOSTO CON CONVENZIONE LINEARE

Nel caso in cui il tempo t di capitalizzazione non sia espresso da un numero intero ma sia t = n + f , con n numero naturale e 0 < f < 1 , il montante può essere calcolato mediante convenzione lineare. Con ciò si intende che si considera la funzione fattore di montante

)1()1()( fiitr n ++= ossia, considerando un capitale unitario, alla fine del n-esimo anno il capitale che si è formato è (1 + i)n e rappresenta il capitale iniziale per l’intervallo di tempo [n, n + f] nel quale si applica l’interesse semplice e quindi il capitale finale prodotto da un capitale unitario nel tempo t = n + f è )1()1( fii n ++ .

1

0 t

r(t)

1+i

1 t

I (t)

M(t)

C


________________________________________________________________________________

- 15 -

Dunque considerando un periodo di investimento di t = n + f con n intero e 0 < f < 1 , il fattore di montante è:

)1()1()( fiitr n ++= con la convenzione lineare

fnt iitr ++=+= )1()1()( con la convenzione esponenziale. Esempio. Una somma di 1000 euro viene impiegata al tasso annuo i = 10 % per 5 anni e 3 mesi in regime di interesse composto. Determinare il capitale finale nelle due convenzioni (lineare ed esponenziale). SOLUZIONE. In convenzione lineare si ha:

773,1650123

10,01)10,01(1000 5 =��

��

� ⋅+⋅+=M .

In convenzione esponenziale si ha:

365,1649)10,01(1000 123

5=+=

+M .

Come mostra l’esempio, il montante ottenuto con la convenzione lineare è maggiore di quello ottenuto con la convenzione esponenziale che rappresenta comunque una buona approssimazione del primo, ma per il creditore è più conveniente il regime ad interesse composto con convenzione lineare. Le locuzioni “convenzione lineare” e “convenzione esponenziale” fanno riferimeneto all’interpretazione geometrica dei fattori di montante che si ottengono nei due casi. Il grafico del fattore di montante della convenzione lineare è la spezzata inscritta nell’esponenziale rappresentante il fattore di montante della convenzione esponenziale. Concludiamo con le seguenti due osservazioni.

t

1

0 1 2

4

8

3


________________________________________________________________________________

- 16 -

OSSERVAZIONE 1 Il RIC è l'unico regime in cui il montante generato in un intervallo di tempo è lo stesso che si ottiene effettuando un qualunque numero di capitalizzazioni intermedie (regime scindibile). Infatti Si ha

21 tti)(1M ++=

1ti)(1M +=′

21212 ttttt i)(1i)(1i)(1i)(1MM ++=+⋅+=+′=′′ Poiché risulta M = M'', si dice che il RIC è un regime scindibile. OSSERVAZIONE 2 Su un impiego unitario nel primo anno gli interessi prodotti sono:

r(1) – r(0) = (1 + i)1 – (1 + i)0 = 1 + i – 1 = i . Per contro, quando si consideri un generico anno, da t a t + 1 (con t intero o, se non intero, lavorando con la convenzione esponenziale), gli interessi prodotti da un impiego originariamente unitario sono:

r(t + 1) – r(t) = (1 + i)t+1 – (1 + i)t = (1 + i)t (1 + i –1) = (1 + i)t ⋅ i ≠ i .

L’ammontare degli interessi cresce eponenzialmente nel tempo. E’ pari al tasso di interesse solo nel primo anno (quando t = 0). Nel caso di capitalizzazione composta non è corretto dire che il tasso di interesse annuo è l’interesse prodotto da una unità di capitale in un anno, ma occorre dire che è l’interesse prodotto da una unità di capitale nel suo primo anno di impiego. Se si vuole fare riferimento al generico anno si deve precisare che i è l’interesse prodotto da una unità di capitale impiegato all’inizio di quell’anno, capitale che include gli interessi maturati e capitalizzati nei periodi precedenti.

9.2.3. REGIME DI INTERESSE ANTICIPATO (RIA) Per introdurre questo regime, ragioniamo dapprima in termini di sconto anzichè di interessi mettendoci nei panni di chi deve ricevere oggi la somma M scontata. Illustriamo con un esempio. Il possessore di una cambiale di valore nominale M = 1000 euro all'epoca t , chiede di scontare la cambiale ossia vuole incassare subito il valore

t0 = 0 t

C ? M

t t0 = 0 t1+ t2

C MM′′

t1

M′


________________________________________________________________________________

- 17 -

attuale C dell'effetto. Egli si rivolge ad un Istituto di Credito che, dietro trattenuta di un compenso, accetta di fare l'anticipazione dei mezzi finanziari accollandosi il periodo di differimento della disponibilità di M . Il compenso trattenuto dall'Istituto di Credito (sconto) è direttamente proporzionale all'ammontare nominale dell'effetto e alla sua scadenza secondo una costante di proporzionalità α : D(t) = M t α . Se M = 1 e t = 1 risulta D = α , pertanto α è lo sconto su un capitale finale unitario M = 1 in t = 1 e quindi è il tasso di sconto d (detto sconto commerciale). In funzione del tempo, possiamo scrivere D(t) = M t d da cui

C = M − D(t) = M − M t d = M (1 − d t) , td1

CM(t)−

= .

Esempio.

Se M = 1000 euro, t = 1 mese e d = 18 % , si ha: 15121

10018

1000D =⋅⋅= . Il valore

corrisposto dall'Istituto di Credito è allora: C = M − D = 1000 − 15 = 985 . Torniamo a ragionare in termini di capitalizzazione: se consideriamo l'esempio precedente, dal punto di vista dell'Istituto di Credito, l'operazione è così descrivibile: per l’Istituto di Credito è una capitalizzazione e può pensarsi realizzata applicando alla somma investita di 985 euro, un opportuno fattore di capitalizzazione:

td1

1t)d(1M

MCM

tr−

=−

==)( .

In funzione del tasso di sconto d si ottiene dunque la funzione fattore di montante:

td1

1r(t)

−= .

Contrariamente al solito il fattore di capitalizzazione è stato introdotto in funzione di un tasso di sconto e non del tasso di interesse. Ciò segue dalla tipologia delle operazioni finanziarie per le quali si opera con questo regime, maggiore chiarezza sarà fatta quando si analizzerà il regime dello sconto commerciale. Più sotto ritroveremo comunque anche le relazioni che si ottengono in funzione del tasso di interesse.

Osserviamo che r(0) = 1 , 0t)d(1

d(t)r 2 >

−=′ . Poiché per avere significato accettabile

r(t) deve essere positivo e maggiore di 1 , si hanno le limitazioni: 0 < 1 − dt e

1 − d t < 1 da cui . t1

d0 << .

t 0 1 mese

−985 € 1000 €


________________________________________________________________________________

- 18 -

Si noti che segue anche d1

t < ; questo comporta che per un dato tasso di sconto si

possono trattare solo somme con scadenza minore del reciproco del tasso. Se per

esempio d = 20 % annuo allora deve essere %20

1t < = 5 anni .

La rappresentazione grafica del fattore di montante è:

Quando la durata dell'impiego si avvicina troppo a d1

il montante diventa

spropositatamente grande. Abbiamo già visto che valgono le relazioni

td11

r(t)−

= , td1

CM(t)

−= , )1( tdMC −= ,

da queste seguono anche

td1tdC

CtMI(t)−

=−= )( , td

tdCI(t)

i(t)−

==1

.

Rappresentiamo in grafico M(t) e I(t):

r(t)

t

1 r(t)

0 d1

t

C I(t)

0 d1

M(t)


________________________________________________________________________________

- 19 -

Indicato con i l’interesse prodotto da un capitale unitario nel primo anno di impiego, si ha

d1d

1d1

1r(0)-r(1)i

−=−

−== , da cui

d1d

i−

= e i1

id

+= .

Si possono ora riscrivere tutte le relazioni precedenti in funzione del tasso di interesse i , in particolare si ha:

tii1i1

r(t)−+

+= , tii1i)(1C

M(t)−++= ,

tiitiC

tI−+

=1

)(

Concludiamo con le seguenti osservazioni. OSSERVAZIONE 1 Il RIA è un regime non scindibile perché al contrario di quello che avviene in RIC , nel RIA la capitalizzazione intermedia degli interessi è svantaggiosa per l'investitore. Infatti confrontiamo i montanti M e M'' ottenuti investendo C per un periodo t1 + t2 senza operazione di capitalizzazione intermedia e con capitalizzazione intermedia: Si ha :

)td(t1C

M21 +−

=

212 td11

td11

Ctd1

1MM

−⋅

−=

−′=′′

ed essendo 0>+−>++−=−⋅− )td(t1ttd)td(t1)td(1)td(1 2121

22121 risulta

)td(t11

)td(11

)td(11

2121 +−<

−⋅

−

e quindi M′′ < M . Poichè i montanti che si ottengono sono diversi, anche questo è un regime non scindibile. OSSERVAZIONE 2 Abbiamo visto che l’interesse prodotto da un capitale unitario nel primo anno di impiego è

d1d

r(0)-r(1)i−

== e quindi se d ≠ 0 si ha i ≠ d . Ma ciò vale anche con riferimento al

generico anno di impiego, dall’epoca t all’epoca t + 1 , infatti in questo caso l’interesse

prodotto è t)d(11)](td[1

dtd1

11)(td1

1r(t)-1)r(t

−+−=

−−

+−=+ che in generale non è

uguale al tasso di sconto d e che assume valori molto grandi quando t si avvicina a d1

.

t t0 = 0 t1+ t2

C MM′′

t1

M′


________________________________________________________________________________

- 20 -

9.2.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI MONTANTE Fissiamo l'unità di tempo, ad esempio 1 anno. Se i tassi di interesse annui nei tre regimi considerati fossero diversi, dovendo investire un capitale C sceglieremmo quel regime che fornisce, al tempo desiderato il montante maggiore. Nel caso in cui il tasso di interesse annuo i sia lo stesso nei tre regimi, allora possiamo confrontare direttamente le tre funzioni fattore di montante.

titrRIS += 1)( , tRIC itr )1()( += ,

tdti

itrRIA −

=��

��

�

+−

=1

1

11

1)( .

Tutte sono tali che: 1)0( =r , ir += 1)1( , 0)( >′ tr .

Le funzioni fattore di montante sono crescenti, passano per i punti (t,r) = (0,1) e (t,r) = (1, 1 + i) . Riportiamo i loro grafici: Notiamo che nell'intervallo 0 < t < 1 si ha rRIA (t) < rRIC (t) < rRIS (t) , mentre per

d

t1

1 << , si ha rRIA (t) > rRIC (t) > rRIS (t) .

9.2.5. INTENSITA′′′′ DI INTERESSE Un procedimento generale per descrivere una data forma di impiego di un capitale in un assegnato intervallo di tempo consiste nel calcolare quale tasso di interesse semplice avrebbe condotto allo stesso risultato. Per esempio, supponiamo che il signor Rossi investa 100 euro e dopo 3 anni riscuota 130 euro, senza aver percepito alcuna entrata nell’arco del triennio. Si può descrivere il risultato dell’investimento dicendo che il signor Rossi ha investito a tasso di interesse semplice del 10% . Infatti da 100 (1 + 3 i) = 130 si ha i = 10 % . Questo tasso si chiama intensità media di interesse nel periodo. Essa può essere riferita a intervalli di tempo molto lunghi o anche brevissimi. Quando si considera un

0

1+i

1

r(t)

1 d1

RIS RIC RIA

t


________________________________________________________________________________

- 21 -

intervallo di tempo così breve da poter essere considerato “istante”, la relativa intensità d’interesse è detta intensità di interesse o forza di interesse. Si definisce intensità istantanea di interesse o tasso istantaneo d’interesse o forza d’interesse la quantità

)(ln)( trdtd

t =δ .

Calcoliamo la forza d’interesse nei regimi considerati.

RIS: r(t) = 1 + i t , ti

iti

dtd

t+

=+=δ1

)1(ln)( .

RIC: r(t) = (1 + i)t = eδ t, )1ln(ln)( iedtd

t t +=δ==δ δ .

RIA: td

tr−

=1

1)( ,

tdd

tddtd

t−

=��

��

�

−=δ

111

ln)( .

Si noti che in RIS e in RIA la forza d’interesse dipende da t , mentre nel RIC la forza d’interesse non dipende da t . Si può dimostrare il seguente teorema: La forza d’interesse δδδδ(t) è costante se e solo se il regime è esponenziale, ossia r(t) = eδ t .

9.2.6. SCINDIBILITA′′′′ Nei paragrafi precedenti si è già esaminato se i regimi di capitalizzazione considerati verificano o no la proprietà di scindibilità. Riassumiamo brevemente quanto detto e precisiamo la definizione di scindibilità. Si chiamano leggi scindibili quelle leggi finanziarie per le quali le interruzioni dell’investimento, con immediata ripresa, non hanno riflessi sul risultato finale. In un regime scindibile il montante di un’operazione finanziaria dipende solo dalla durata e non da eventuali operazioni di disinvestimento ed investimento intermedie. In un regime scindibile indicato con (x,y) l’intervallo di tempo dell’operazione finanziaria, • in termini di fattore di montante si ha r(x,y) = r(x,a) r(a,y) per ogni a ∈ (x,y) , • in termini di fattore di sconto si ha v(x,y) = v(x,a) v(a,y) per ogni a ∈ (x,y) , • oppure per scontare una somma da y ad a , si può prima scontarla da y ad x (con

x < a) e poi capitalizzarla fino ad a : v(a,y) = v(x,y) r(x,a) .


________________________________________________________________________________

- 22 -

Vale il teorema: un regime r(t) è scindibile se e solo se la forza di interesse δδδδ(t) è indipendente da t . Le sole leggi di capitalizzazione scindibili sono quelle di capitalizzazione composta. Ricordiamo che la scindibilità del RIC è stata dimostrata nell’osservazione 1 di 2.2 . La non scindibilità di RIS e di RIA è stata dimostrata nell’osservazione 1, rispettivamente, di 2.1 e di 2.3 . Esempio. Si consideri un impiego a tasso d’interesse annuo del 10% per 5 anni. I fattori di montante sono: • a interessi semplici 1 + 0,1 x 5 = 1,5

• a interessi composti (1 + 0,1)5 = 1,6105

• a interssi (semplici) anticipati 1,83335)(10,11

0,11 =−+

+ .

Consideriamo l’effetto di una interruzione dell’impiego dopo 3 anni con immediata prosecuzione per gli altri 2. Otteniamo un fattore quinquennale pari a: • a interessi semplici (1 + 0,1 x 3) (1 + 0,1 x 2) = 1,56 > 1,5

• a interessi composti (1 + 0,1)3 x (1 + 0,1)2 = 1,331 x 1,21 = 1,6105

• a interssi (semplici) anticipati 1,83331,68052)(10,11

0,113)(10,11

0,11 <=−+

+⋅−+

+

Come si vede, l’interruzione (con capitalizzazione degli interessi maturati fino a quel momento) è vantaggiosa negli impieghi a interessi semplici è svantaggiosa nella capitalizzazione a interessi (semplici) anticipati, è indifferente nella capitalizzazione composta.

9.2.7. TASSI VARIABILI NEL TEMPO Esistono operazioni finanziarie che interagiscono con l’ambiente circostante, per esempio in presenza di inflazione, e per questo sono soggette a tassi di interesse che variano nel tempo. Ci proponiamo di analizzare alcune di queste operazioni e cercare formule che esprimano il montante di un impiego unitario con tassi di interesse che possono variare nel tempo. In questo caso non è sufficiente conoscere la durata complessiva di un impiego per valutarne il risultato, ma si devono dichiarare le epoche x e y di inizio e fine dell’operazione di capitalizzazione, per questo si parla di leggi di capitalizzazione con due variabili. Consideriamo una operazione finanziaria di durata t = (x,y), t = t1 + t2 e tale che, senza interruzione di investimento, nel primo periodo t1 valga il tasso i1 , mentre nel secondo periodo t2 valga il tasso i2 . La funzione fattore di montante è


________________________________________________________________________________

- 23 -

• r(x,y) = r(t) = 1 + i1 t1 + i1 t2 in regime di interesse semplice ; • 21 )1()1()(),( 21

tt iitryxr +⋅+== in regime di interesse composto ;

• 22111

1)(),(

tdtdtryxr

−−== in regime di interesse (semplice) anticipato .

In questo caso i tassi d1 e d2 non sono di interesse ma di sconto commerciale. Generalizzando al caso in cui l’intervallo di tempo (x,y) sia suddiviso in n intervalli di durata rispettivamente ts , s = 1, …, n, nei quali si hanno rispettivamnete i tassi di interesse is , s = 1, …, n, la funzione fattore di montante è:

• s

n

ss titryxr �

=

+==1

1)(),( in regime di interesse semplice ;

• ∏=

+==n

s

ts

sitryxr1

)1()(),( in regime di interesse composto ;

• �

=

−== n

sss td

tryxr

1

1

1)(),( in regime di interesse (semplice) anticipato .

In questo caso i tassi ds non sono di interesse ma di sconto commerciale. Esempio 1. Si abbia un capitale di 800 euro impiegato per un anno, senza interruzione di investimento, al tasso i1 = 10% per i primi sei mesi e al tasso i2 = 11% per gli altri sei mesi. Il montante prodotto è:

• 886,421

0,1121

0,101800M =��

��

� ⋅+⋅+= in capitalizzazione semplice ;

• ( ) ( ) 883,99120,1110,101800M 21

21

=+⋅+= in capitalizzazione composta . Esempio 2. Si consideri un investimento biennale ripartito in tre periodi di durate rispettivamente 1 anno, 6 mesi e 6 mesi. Supponiamo che nel primo anno il tasso di interesse sia i1 = 10% , mentre nei due semestri che seguono esso sale di mezzo punto (percentuale) al semestre. Il fattore di montante è

• 1,207521

0,1121

0,10510,101r(t) =⋅+⋅+⋅+= in capitalizzazione semplice ;

• ( ) ( ) 1,2182470,1110,10510,10)(1r(t) 21

21

1 =+⋅+⋅+= in capitalizzazione composta .


________________________________________________________________________________

- 24 -

Si faccia attenzione a non confondere le funzioni fattore di montante trovate quando si è in presenza di tassi variabili nel tempo, con quelle trovate affrontando il problema della scindibiltà. Trattando della scindibilità di un regime, ci si riferisce ad operazioni finanziarie in cui l’interruzione dell’investimento e il reinvestimento comporta la capitalizzazione degli interessi maturati fino al momento dell’interruzione. Quando si parla di operazioni finanziarie con tasso variabile nel tempo, si intende che l’operazione finanziaria è sempre la stessa e nel momento in cui varia il tasso d’interesse l’operazione non si interrompe e non si ha capitalizzazione degli interessi fino ad allora maturati.

9.3 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO. Come già detto nella PARTE 1 l’attualizzazione è un’opearzione finanziaria che “porta indietro nel tempo” una somma di denaro, sostituendo al suo valore nominale a scadenza il suo valore attuale o scontato immediatamente disponibile. Il legame tra valore nominale, valore attuale e fattore di sconto è rappresentato da

valore attuale = valore nominale x fattore di sconto . Esamineremo i tre regimi di attualizzazione che sono i coniugati dei tre regimi di capitalizzazione esaminati nella PARTE 2 . Ricordiamo che due regimi aventi come fattore di montante e fattore di sconto rispettivamnete r(t) e v(t) sono coniugati se

r(t) v(t) = 1 ossia )(

1)(

trtv = .

9.3.1. REGIME DELLO SCONTO SEMPLICE O RAZIONALE Con sconto semplice o razionale o di tipo iperbolico si intende il regime di attualizzazione coniugato al regime della capitalizzazione semplice (interesse semplice). Esso è rappresentato dalla funzione fattore di sconto:

ti11

v(t)+

= , tdd1

d-1v(t)

+−=

dove v(t) rappresenta il valore di un capitale unitario disponibile al tempo t . Si dice anche che v(t) è la contrazione del valore nominale M = 1 . Aumentando t il valore del capitale unitario diminuisce avvicinandosi indefinitamente a zero. Se t è la durata del differimento, i il tasso di interesse della legge coniugata, allora il valore attuale C(t) del valore nominale M è dato da:

ti1M

v(t)MC(t)+

== .

Se indichiamo con D(t) lo sconto dell'intero periodo t , d(t) il tasso di sconto dell'intero periodo t (o sconto nell'intero periodo di un valore nominale unitario) e d il tasso effettivo di sconto di un periodo unitario, si hanno le relazioni:

t

1

0

v(t)

Parte 9 REGIMI DI ATTUALIZZAZIONE O SCONTO ________________________________________________________________________________________________________________________

26

d(t)Mv(t))M(1v(t)MMC(t)MD(t) =−=−=−=

ti1ti

ti11

1v(t)1d(t)+

=+

−=−=

i1i

v(1)1d(1)d+

=−== .

Da quest'ultima formula segue d1

di

−= e dunque anche:

tdd1d)M(1

td1

d1

Mti1

MC(t)

+−−=

��

��

�

−+

=+

= .

Esempio. Nell’operazione finanziaria sotto rappresentata, calcolare I(t) , i(t) , i , D(t) , d(t) , d .

5CMI(t) =−= .

%5100

5C(t)I

(t)i === .

Da ti(120)i = e 360120

t = segue %15120360

5%t1

(120)ii =⋅== annuo

d(t)Mv(t))M(1v(t)MM5CMD(t) =−=−==−= .

0,047619105

5M

D(t)d(t) === .

0,047619211

2021201

31

10015

1

31

10015

ti1ti

ti11

1v(t)1d(t) ===⋅+

⋅=

+=

+−=−= .

0,1304311515

15%115%

i1i

d ==+

=+

= annuo.

Notiamo che d(t) ≠ dt , infatti 0,047619 ≠ 0,1304331⋅ = 0,0434746 (è uno sconto di tipo

iperbolico, non lineare).

9.3.2. REGIME DELLO SCONTO COMPOSTO. Il regime di attualizzazione detto dello sconto composto è il regime coniugato del regime della capitalizzazione composta (interesse composto).

t t0 = 0

C = 100

t = 4 mesi = 120 giorni

M = 105


27

Considerando la funzione di sconto r(t)1

v(t) = coniugata a r(t) = (1 + i)t = eδ t , si ottiene la

funzione fattore di sconto

ti)(11

v(t)+

= ossia t�t ei)(1tv −− =+=)( .

Indicando con d lo sconto su un valore nominale unitario M = 1 e un tempo di

differimento t = 1 , si ha i

ii

vd+

=+

−=−=11

11)1(1 da cui

ii

d+

=1

e d

di

−=

1 che

esprimono la relazione tra tasso di sconto d e tasso di interesse i . Si può ora esprimere v(t) in funzione del tasso di sconto:

td)(1tv −=)( . Risulta inoltre:

C(t) = M v(t) = M(1 + i)–t ,

D(t) = M – C(t) = M – M(1 + i)–t = M(1 – (1 + i)–t ) .

Graficamente D(t) e C(t) si possono rappresentare nel modo seguente Aumentando lo sconto diminuisce C . Quando il tempo di differimento è nullo, cioè per t = 0 , si ha il valore massimo di C , ossia C = M , e il valore minimo di D , ossia D = 0 .

9.3.3. REGIME DELLO SCONTO COMMERCIALE Il procedimento di calcolo relativo a questo regime è lo stesso di quello analizzato per il regime di capitalizzazione a interessi (semplici) anticipati del quale il regime dello sconto commerciale è il coniugato. Il regime dello sconto commerciale è caratterizzato dalla proporzionalità non solo al valore nominale ma anche al tempo dello sconto. Indicato con d il tasso di sconto, con M il valore nominale e con t il tempo di differimento, l’espressione dello sconto è D(t) = M d t

da cui segue tdM

tDtd == )()( .

Il valore attuale è allora espresso dalla funzione C(t) = M − D(t) = M(1 −d t) e quindi la funzione fattore di sconto che caratterizza il regime dello sconto commerciale è

v(t) = 1 − d t

t

M

0

D(t)

C(t)


28

Considerando i tassi effettivi di sconto e di interesse nell’unità di tempo ricordiamo che

vale la solita relazione i

id

+=

1 .

Poiché la funzione fattore di sconto v(t) deve essere tale che: v(0) = 1 , 0 < v(t) ≤ 1 , v′(t) ≤ 0 , come già visto in 2.3, per le leggi di questo regime deve essere

dt

1< .

Prima di ogni impiego del regime, conviene quindi accertarsi che la durata massima di

differimento sia inferiore alla durata critica d

t1= .

Ad esempio se si opera con un tasso di sconto del 20% annuo, la durata critica di

differimento è di 50,21

20%1 == anni. Significa che a 5 anni il valore attuale è nullo, ma

attenzione, oltre i cinque anni si ottengono valori attuali negativi!! Concludiamo facendo notare che le funzioni d(t) , D(t) , M(t) , sono lineari e quindi il loro grafico è una retta; a valori crescenti di d corrispondono rette maggiormente inclinate.

9.3.4. CONFRONTO TRA FATTORI DI SCONTO Assumendo che il tasso di interesse per unità di tempo sia i per tutti e tre i regimi di attualizzazione considerati, allora possiamo confrontare le loro funzioni fattore di sconto.

titvRIS +

=1

1)( , tRIC i

tv)1(

1)(

+= , t

ii

tvRIA +−=

11)( .

Tutte sono tali che:

v(0) = 1 , i1

1v(1)

+= , 0(t)v <′ .

t

1

C(t)

0 d1

D(t) D′(t)

C′(t)

d′ > d


29

Le funzioni fattori di sconto sono decrescenti e passano per i punti (0;1) e ��

��

�

+1;

i11

. I

grafici sono riportati in figura: Assumendo che nel primo anno di impiego il tasso di sconto sia d per tutti e tre i regimi di attualizzazione considerati e facendo riferimento alla stessa operazione finanziaria, dalla

relazione d1

di

−= si ottengono le seguenti espressioni delle funzioni fattore di sconto:

tddd

tvRIS +−−=

11

)( sconto semplice o razionale;

tRIC dtv )1()( −= sconto composto;

dttdtvRIA

1,)1()( <−= sconto commerciale.

v(t)

t

1

i11+

0 1 d1

3

RIA

RIS

RIC

9.4 CONVERSIONE FRA TASSI Quando si trattano le condizioni finanziarie di una operazione finanziaria, è frequente che si ragioni in termini di tasso. Spesso la convenienza di una operazione finanziaria si giudica sulla base di un tasso ritenuto un parametro finanziario pienamente espressivo. Un tasso dà indicazioni sulla velocità con cui un impiego produce interessi, o con quale velocità un finanziamento grava di interessi. E’ però fondamentale sapere a quali unità di misura del tempo i tassi sono riferiti e in quali regimi si opera. Anche se l’unità di misura del tempo è una frazione di anno (semestre, quadrimestre, etc.), all’interno di uno stesso regime, le formula trovate nella PARTE 2 per la capitalizzazione (e analogamente per l’attualizzazione) rimangono sempre le stesse se si fa riferimento ai tassi di interesse periodali riferiti all’unità di tempo considerata (semestre, quadrimestre, etc.). DEFINIZIONE Due tassi di interesse si dicono equivalenti se descrivono la stessa legge finanziaria, ossia sono tali da fornire il medesimo montante quando sono applicati allo stesso capitale per la stessa durata. Esaminiamo le relazioni che legano tassi equivalenti nei regimi di capitalizzazione illustrati precedentemente. Per comodità ragioneremo sempre in termini di capitale unitario, ossia in termini di fattore di montante.

9.4.1. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE SEMPLICE In regime di interesse semplice, come noto, il montante prodotto da un capitale C = 1 in un tempo t è espresso dalla funzione fattore di montante r(t) = 1 + i t . Considerati il tasso annuo i e il tasso periodale im , essi sono equivalenti se in un anno producono lo stesso montante, ossia se risulta 1 + i = 1 + m im, da cui si ottiene

i = m im , mi

im = (1)

Possiamo confrontare fra loro anche tassi periodali riferiti a frazioni di anno diverse, senza passare dal tasso annuo. Per esempio, un tasso semestrale i2 e un tasso quadrimestrale i3 sono equivalenti se 1 + i2 ⋅ 2 = 1 + i3 ⋅ 3 cioè 2i2 = 3i3 . In regime di interesse semplice due tassi periodali in e im sono equivalenti se

n in = m im , nm

ii mn ⋅= . (2)

Se il tempo t è espresso in anni, in modo analogo si ottiene la relazione di equivalenza fra tasso di interesse periodale i(t) e tasso di interesse annuo i , risulta

i(t) = i t , tti

i)(= . (3)

Le (1), (2) e (3) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse semplice.

Parte 9 CONVERSIONE FRA TASSI ________________________________________________________________________________________________________________________

31

Esempio 1. In regime di interesse semplice il tasso annuo i = 8% è equivalente

• al tasso semestrale %42%8

2 ==i ,

• al tasso quadrimestrale %6,23%8

3 ≈=i ,

• al tasso trimestrale %24%8

4 ==i .

Esempio 2. In regime di interesse semplice il tasso semestrale i2 = 6% è equivalente • al tasso annuale %12%62 =⋅=i ,

• al tasso quadrimestrale %4%632

3 =⋅=i ,

• al tasso trimestrale %3%642

4 =⋅=i .

9.4.2. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE COMPOSTO. TASSI NOMINALI.

In regime di interesse composto la funzione fattore di montante è r(t) = (1 + i)t . Affinchè il montante di un capitale impiegato per un anno al tasso i sia uguale al montante prodotto dallo stesso capitale impiegato per un anno al tasso periodale im , deve essere (1 + i)1 = (1 + im)m . Da questa si ricavano le relazioni che legano i e im :

1)i(1i mm −+= , ( ) 1i1i m

1

m −+= . (4) Da queste segue anche la relazione che permette di confrontare tassi periodali riferiti a frazioni di anno diverse senza passare al tasso annuo:

( ) 1i1i mk

km −+= . (5) Considerando il tasso periodale i(t) , si può generalizzare la formula (1 + i)1 = (1 + im)m ad un qualunque intervallo temporale t . Se t è espresso in anni, per determinare la relazione di conversione fra il tasso annuo i e il tasso periodale i(t) , basta porre 1 + i(t) = (1 + i)t . Si ottiene:

( ) 1i(t)1i t1

−+= , i(t) = (1 + i )t − 1 . (6) Le (4), (5) e (6) esprimono le relazioni di equivalenza tra tassi di interesse composto.


32

Ad esempio: • il tasso annuo equivalente al tasso periodale relativo a 27 giorni i (27) = 0,00234 è

0,0316510,00234)(1i 27360

=−+= , 3,165%i = . • dato il tasso annuo effettivo i = 3,6 % , il tasso periodale equivalente relativo a un

periodo di 128 giorni è

%1,2650,012651(1,036)(128)i 360128

==−= .

9.4.2.1. Applicazioni dei tassi equivalenti ai titoli senza cedola Operazioni tipiche in cui l'intervallo temporale è inferiore ad un anno sono quelle che si riferiscono ai titoli di puro sconto o "zero coupon bond" o titoli a cedola nulla. In Italia sono i BOT (Buoni ordinari del Tesoro) e i CTZ (certificati del Tesoro zero coupon). Sono titoli con cui lo Stato raccoglie fondi indebitandosi con i cittadini. Tali titoli sono definiti di puro sconto perchè vengono venduti a un prezzo inferiore al valore del rimborso M . Si può assumere come valore di rimborso M = 1 , ma comunemente si adotta M = 100 . Un titolo emesso in data x al prezzo P rimborsato al tempo y al prezzo M ( P < M ) è un titolo di puro sconto la cui durata è t = y − x . Solitamente il tempo in queste operazioni finanziarie viene misurato in giorni in quanto sono titoli a breve scadenza (durata massima 2 anni). Determiniamo il tasso di interesse implicito, detto tasso di rendimento, di questa operazione finanziaria:

P r(x,y) = M , P = M v(x,y) . Il tasso di interesse periodale i(t) nel periodo t = y − x (ossia l’interesse prodotto da un capitale unitario nel periodo t sappiamo che vale:

PPM

PI

ti−==)( , 1)( −=

PM

ti .

Questi titoli hanno di solito periodi di riferimento inferiori all’anno, pertanto se il tempo t è espresso in anni occorre esprimerlo in termine di numero di giorni, in questo caso si

utilizza la solita relazione 360

gtt = ossia tg = 360 t (o le analoghe nel caso si consideri

l’anno civile).

Da ( ) 1)(11

−+= ttii risulta:

1

365

−��

��

�= gt

PM

i .

Riportando i tassi periodali i(t) in tassi annui equivalenti si possono confrontare fra loro operazioni aventi tassi diversi per periodi diversi.


33

Esempio. Consideriamo due titoli di puro sconto. • Titolo A : venduto al tempo x per P = 98 e rimborsato dopo 42 giorni, y = x + 42 ,

a M = 100 . • Titolo B : venduto al tempo x per P = 97 e rimborsato dopo 75 giorni, y = x + 75 ,

a M = 100 . Determiniamo il rendimento di tali titoli in regime di capitalizzazione composta.

Titolo A : Tasso periodale: %2020,0198

1001)42( ==−=−=

PM

gi ,

Tasso annuo equivalente: %19,191919,0142365

==−��

��

�=PM

i .

Titolo B : Tasso periodale: %09,30309,0197

1001)75( ==−=−=

PM

gi ,

Tasso annuo equivalente: %9,15159,0175365

==−��

��

�=PM

i .

Il tasso annuo equivalente in RIC al tasso periodale di un titolo di puro sconto è anche denominato tasso a pronti o tasso spot.

9.4.2.2. Tasso annuo nominale convertibile Abbiamo visto che in capitalizzazione composta la relazione che esprime l’equivalenza fra tasso annuo i e tasso periodale im è i = (1 + im)m , ben diversa da i = m im che esprime l’equivalenza fra tasso annuo e tasso periodale in regime di interesse semplice. In capitalizzazione composta, il valore

mm imj ⋅= si chiama tasso nominale convertibile m volte nell’anno. Esso rappresenta la somma degli interessi che vengono corrisposti durante un anno per investimento di un capitale unitario C = 1 quando si convenga che l’interesse sia pagato al termine di ogni m-esimo di anno.

t 1 3

2 31 0


34

Ricordando le relazioni di conversione dei tassi precedentemente trovate in questo regime (RIC) e dalla definizione di tasso nominale, si traggono le seguenti formule di equivalenza tra tassi annui effettivi e tassi nominali:

11 −��

��

� +=m

m

mj

i , ( ) �

��

−+= 111mm imj .

Si noti che il tasso nominale jm è sempre più piccolo del tasso effettivo annuo i . Quando si stabiliscono le condizioni di un finanziamento occorre quindi fare attenzione se il tasso di interesse proposto è quello effettivo o quello nominale. Spesso jm è il tasso che viene dichiarato quando un istituto di credito concede un prestito. Enunciando un tasso nominale il finanziatore fa credere di applicare un tasso inferiore a quello che effettivamente sta applicando perché jm < jm−1 < … < j1 = i .

jm < i . Esempio 1. Una banca prevede un rimborso attraverso rate mensili ed enuncia un tasso nominale j12 = 10% . Si trovi il tasso effettivo annuo equivalente. SOLUZIONE: Il tasso effettivo annuo equivalente a j12 = 10% è

10,47%1120,1

1i12

=−��

��

� += .

Esempio 2. Un Istituto di credito enuncia un tasso nominale j4 = 24% con la clausola di capitalizzazione trimestrale degli interessi. Calcoliamo il tasso effettivo:

%247696,2626247698,01)06,01(14

11)1( 44

444 ==−+=−�

�

��

� +=−+= jii .

L’enunciazione di un tasso nominale ha permesso di nascondere oltre due punti percentuali di tasso. La differenza fra tasso effettivo e tasso nominale cresce (ma poco velocemente) all’infittirsi del periodo di capitalizzazione e (più velocemente) all’elevarsi del tasso nominale. Se ad esempio quel 24% nominale fosse convertibile 12 volte all’anno (anziché 4 volte), si avrebbe:

%8241795,2611224

112

=−��

��

� +=i .

Se invece si raddoppiasse il valore nominale da 24% a 48% , tenendo ferma la capitalizzazione trimestrale (4 volte l’anno), si avrebbe:

%351936,571448

14

=−��

��

� +=i

con una differenza fra tasso nominale e tasso effettivo di oltre 9 punti percentuali !!


35

9.4.3. CONVERSIONE FRA TASSI IN REGIME D’INTERESSE SEMPLICE ANTICIPATO

Il problema è poco interessente perché è raro che venga enunciato un tasso di sconto commerciale con riferimento a frazioni di anno. Se si vuole comunque esaminare questo caso, si procede come in 4.1 ricordando che la funzione fattore di montante che regola

questo regime è td

tr−

=1

1)( , dove t è il tasso di sconto. Per la conversione fra tassi si

trovano le relazioni:

d = m dm , mddm = .

9.5 RENDITE Può presentarsi l'esigenza di considerare più somme di denaro dello stesso segno (tutte entrate o tutte uscite), ciascuna con una sua scadenza e si vuole riportare tutte queste somme di denaro ad una stessa scadenza, sostituendole con un unico ammontare monetario. Si definisce rendita finanziaria una successione di importi Rh , h = 1, 2, ... esigibili alle epoche tk , k = 0, 1, 2, ... . L'importo Rh è detto rata, l'epoca tk in cui è disponibile la rata è detta scadenza k-esima. Ogni intervallo di tempo tr − tr−1 si chiama periodo di competenza; il periodo di tempo fra t0 e t1 si chiama primo periodo di competenza. Se il primo termine della rendita è disponibile nel primo periodo di competenza, la rendita è denominata immediata; se invece il primo termine della rendita è disponibile nel k- esimo periodo, diremo che la rendita è differita di k periodi. Una rendita è detta anticipata se la rata è esigibile all'inizio del periodo di competenza; è detta posticipata se è esigibile alla fine del periodo di competenza. Una rendita si dice costante se Rh = R per ogni h . Si ha una rendita unitaria se Rh = R = 1 per ogni h . Una rendita si dice limitata se ha un numero finito di rate, si dice perpetua se il numero delle rate non è finito. Di norma le scadenze, ossia le epoche alle quali si riscuoteranno o si pagheranno le rate sono equidistanti ed hanno cadenza mensile, bimestrale, trimestrale, annua, ecc... . In presenza di tale genere di regolarità si parla di rendite periodiche ed in particolare, rispettivamente, di rendite mensili, bimestrali, trimestrali, annue, etc... . Supponiamo che la distanza temporale fra due versamenti (riscossioni) successivi sia costante ed uguale all'unità di tempo secondo la quale è diviso l'intervallo [0,T] (periodo di durata della rendita); i grafici sotto riportati rappresentano le varie situazioni. Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata posticipata:

t t0=0 t1 t2 tk … ... tn=T

primo periodo di competenza

t0=0 t1 t2 tn − 1... tn=T t

R1 … Rn − 1 R2 Rn

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

37

Il seguente grafico rappresenta una rendita immediata anticipata: Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi posticipata: Il seguente grafico rappresenta una rendita differita di k periodi anticipata: Di particolare interesse pratico è calcolare il valore complessivo della rendita ad una scadenza non posteriore a quella della prima rata o non anteriore alla scadenza dell'ultima. Nel primo caso si parla di valore attuale o scontato della rendita, nel secondo di montante. In generale, per calcolare il montante di una rendita ad una scadenza qualunque, si sommano i montanti delle singole rate a tale scadenza, mentre per calcolare il valore attuale di una rendita si sommano i valori attuali delle singole rate. I montanti si ottengono ovviamente moltiplicando le singole rate per i fattori di montante corrispondenti, i valori attuali si ottengono moltiplicando le singole rate per i corrispondenti fattori di sconto. Ad esempio consideriamo la seguente rendita: Valore attuale in t = 0 : per calcolarlo si devono “portare indietro” le somme disponibili alle scadenze 1, 2 e 4 con una operazione di attualizzazione.

t0=0 t1 t2 tn − 1... tn=T t

R1 R2 … Rn R3

t0=0 t1 tk tk+2... tk+n=T t

R1 … … Rn R2

tk+1 …

t0=0 t1 ... t

…

tk tk+2 tk+n−1

R1 Rn R2

tk+1 …

R3

tk+n=T

0 1 t 2 3 4

1000 500 1500

0 1 t 2 3 4

1000 500 1500

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

38

Montante in t = 6 : per calcolarlo si devono “portare avanti” le somme dalle loro scadenze fino all’epoca 6 con una operazione di capitalizzazione.

Eseguiamo i calcoli usando per l’attualizzazione una legge di sconto composto (esponenziale) con tasso di interesse i . Mentre per la capitalizzazione usiamo una legge a interessi composti con tasso di interesse i . Quindi:

valore attuale in t = 0 42 i)(1500

i)(11500

i11000

V.A.+

++

++

= ,

montante in t = 6 245 i)(1500i)(11500i)(11000M +++++= .

Per quanto riguarda le formule più generali, consideriamo una rendita caratterizzata da n scadenze t1 , t2 , ... tn (che pensiamo ordinate in senso crescente) e dai corrispondenti ammontari delle rate R1 , R2 , ... Rn . Se la valutazione è da farsi con una legge di capitalizzazione con funzione fattore di montante r(t) o con una legge di attualizzazione con funzione fattore di sconto v(t) , il montante M(T) ad una scadenza T = ts , T ≥ tn , si otterrà sommando i montanti delle singole rate:

�=

=n

1kks,k )(trRM(T) con ts, k = ts − tk

e il valore attuale o scontato ad una scadenza t0 (che precede tutte le tk ), si otterrà sommando i valori attuali delle rate:

�=

==n

1k0k,k )(tvRtVV.A. )( 0 con tk, 0 = tk − t0 .

Il regime che generalmente si considera per le operazioni di capitalizzazione è quello dell’interesse composto, il RIC, l'unico scindibile, mentre è quello dello sconto composto (regime coniugato al RIC) per le operazioni di attualizzazione.

t0 t1 t2 tn ... T=ts t

R1 … Rn R2

0 1 t 2 3 4 5 6

1000 1500 500

flussi

epoche

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

39

Nel caso in cui il regime usato sia quello dell’interesse composto (RIC) e dello sconto composto al tasso di interesse i , le funzioni fattore di montante e fattore di sconto sono

rispettivamente ti)(1r(t) += e ti)(11

v(t)+

= e quindi le formule precedenti diventano:

�=

+=n

1k

tk

ks,i)(1RM(T) con ts, k = ts − tk , T = ts

( ) ��=

δ−

==

⋅=⋅=+

==n

1k

tk

n

1k

tk

n

1kt

k0

0k,0k,

0k,eRzR

i1R

)A(t V.A. con tk, 0 = tk − t0

dove si è posto i

z+

=1

1 e dove, ricordiamo, i1e +=δ .

9.5.1. RENDITE IMMEDIATE (in regime di interesse composto) La rappresentazione grafica di una rendita immediata costituita da n = T termini è riportata nella figura Valutiamo i vari casi ponendoci in un regime di interesse composto o di sconto composto, al tasso d’interesse i , sia per la capitalizzazione che per l’attualizzazione. • Valore attuale di una rendita immediata posticipata all'istante iniziale t = 0 .

TT

tt

221

post i)(1C

i)(1C

i)(1C

i)(1C

V+

+++

+++

++

= ��)0( .

• Valore attuale di una rendita immediata anticipata al tempo t = 0 .

1TT

1tt2

1ant i)(1C

i)(1C

i)(1C

CV −− +++

+++

++= ��)0( .

Dalle relazioni sopra trovate segue:

)0()0( antpost Vi1

1V+

= ossia )0()1()0( postant ViV += .

• Valore (montante) di una rendita immediata posticipata al tempo finale T .

C1 C2 C3

T−1... T

C1

…

CT−1 C2 CT

0 1 2 t

Ct

Ct+1 CT

Rendita immediata posticipata

Rendita immediata anticipata

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

40

( ) ( ) ( ) 1T1

2T2

tTt1TTpost i1Ci1Ci1Ci)(1CCTM −−−

− ++++++++++= ��)( . • Valore (montante) di una rendita immediata anticipata al tempo finale T .

( ) ( ) ( )T1

1T2

1tTt

21TTant i1Ci1Ci1Ci)(1Ci)(1CTM +++++++++++= −+−

− ��)(

In analogia a quanto evidenziato per il valore attuale, dalle due relazioni trovate per il montante, segue che :

)(1

)( TMi

iTM antpost += ossia )()( TMi)(1TM postant += .

• Valore di una rendita posticipata ad un istante generico t compreso fra 0 e T ,

supponendo che t sia un multiplo intero dell'unità di tempo considerata e la rendita sia:

Nella prima parte l’insieme { C1 ,..., Ct-1 , Ct } rappresenta una rendita immediata posticipata di durata (0, t) mentre nella seconda parte l’insieme { Ct+1 ,..., CT-1 , CT } rappresenta una rendita immediata posticipata che si sviluppa nell'intervallo (t, T) . Il valore in t di una rendita costituita dai termini

TTttt CCCCCC ,,,,,,, 1111 −+− �� è ottenibile sommando il montante in t della rendita i cui termini sono gli elementi del primo insieme con il valore attuale della rendita individuata dal secondo insieme:

tTT

t1)(T1T

22t1t

t1t1t

1post i)(1C

i)(1C

i)(1C

i1C

Ci)(1Ci)(1C(t)V −−−−++

−−

++

+++

++

+++++++= �� .

Se la rendita è anticipata si procede in modo analogo. Esempio. Data la rendita: Noto che in t = 0 il valore attuale di una rendita è V0 = 600 , determinare, in regime di sconto composto, l’ammonatre di X essendo i = 11 % . Si ha:

t+1 …

C1

…

Ct−1

T−1 T

CT−1 CT

0 1 t−1 t

Ct Ct+1

t

0 21

t

V0

23

2

100 200 X

1

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

41

( ) ( ) ( )2

23

21

i1

200

i1

X

i1

100600

++

++

+=

�

��

+−+−=+⋅ −−− 22

123

i)(1200i)(1100600i)(1X

23

221

i)(1i)(1200i)(1100600X +⋅�

��

+−+−= −−

0,511,5 (1,11)200(1,11)100(1,11)600X −⋅−⋅−⋅= .

Esempio. Data la rendita di seguito rappresentata Determinare in RIC l’ammontare della rata X affinchè il valore della rendita in t = 3 sia di 900 euro, sapendo che i = 12 % .

900i)(1Xi)(1150i)(1300i)(1100 0,81,53 =+⋅++⋅++⋅++⋅

900(1,12)X(1,12)150(1,12)300(1,12)100 0,81,53 =⋅+⋅+⋅+⋅

(1,12)150(1,12)300(1,12)100900(1,12)X 1,530,8 ⋅−⋅−⋅−=⋅

215,47(1,12)

(1,12)150(1,12)300(1,12)100900X 0,8

1,53

=⋅−⋅−⋅−= .

9.5.2. RENDITE DIFFERITE L'analisi delle rendite differite è sostanzialmente simile a quella delle rendite immediate solo che c'è un effetto di differimento di k periodi. La rappresentazione grafica di una rendita posticipata differita di k periodi è: La rendita considerata in grafico può essere ricondotta ad una rendita immediata posticipata aggiungendo k somme tutte nulle esigibili alle scadenze 1, 2,…, k . Si calcolano successivamente i montanti e/o i valori attuali nei modi usuali. Si procede in modo analogo per calcolare i montanti e i valori attuali di una rendita anticipata differita di k periodi.

0 1,5 t 2 2,2 3

300 900 150 X 100

t … … T−1 T

CT−1−k CT−k

0 1 t

C1

k k+1

Ct−k

…

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

42

9.5.3. RENDITE COSTANTI (in regime di interesse composto) Quando le rate di una rendita sono costanti ed equidistanti e quando la legge finanziaria utilizzata è una legge esponenziale (di interesse composto o di sconto composto), le formule trovate in 9.5.1 per calcolare il valore attuale V e il montante M assumono espressioni più semplici. Consideriamo una rendita immediata costante costituita da n termini. Se i è il tasso di interesse nell’unità di tempo, calcoliamo, in regime di interesse composto, il valore attuale e il montante sia nel caso di una rendita immediata posticipata sia nel caso di una rendita immedita anticipata. • Valore attuale in t=0 di una rendita immediata posticipata costante di n termini:

=��

��

�

+++

++⋅

+=

+++

++

+= −1nn2post i)(1

1i1

11

i)(1R

i)(1R

i)(1R

i1R

V ��)0(

( )( ) =

−++⋅

+−+⋅

+⋅=

��

��

�

+−

��

��

�

+−

⋅+

⋅=1i1

i1i1

1i1i1

1R

i11

1

i11

1

i11

R n

n

n

( )( ) i

z1R

i)(11

1iR

i11i1

iR n

nn

n −⋅=�

��

+−⋅=

+−+⋅=

dove si è posto i1

1z

+= . La quantità in

nn2 a

iz1

zzz =−=+++ � si legge

“a posticipato figurato n al tasso i”. In sintesi si può scrivere

in

n

1k

kpost aRzRV

=

== �)0( .

Se la rendita è perpetua, il valore attuale in t=0 si ottiene facendo il inn

aRlim∞+→

e poichè

i1

ii)(1

11

limiz1

limalimn

n

n

ninn=+

−=−=

∞+→∞+→∞+→

t 0 1 2 … n

R R R

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

43

si ha che una rendita perpetua immediata posticipata di rata costante R in t = 0 ha valore attuale

iR

Vpost =)0( .

• Valore attuale in t=0 di una rendita immediata anticipata costante di n termini:

=��

��

�

+++

++⋅=

+++

++

++= −− 1n1n2ant i)(1

1i1

11R

i)(1R

i)(1R

i1R

RV ��)0(

( )( ) �

��

+−+=

−++⋅

+−+⋅=

+−

+−

⋅= −1nn

nn

i)(11

i)(1iR

1i1i1

i11i1

R

i11

1

i)(11

1R .

Se la rendita è perpetua, facendo il limite per n → +∞ , si ottiene:

ii1

Ri)(1

1i)(1

iR

lim 1nn

+⋅=�

��

+−+⋅ −∞+→

.

e dunque una rendita perpetua immediata anticipata di rata costante R in t = 0 ha valore attuale

ii1

RVant+=)0( .

Ricordando che )0()1()0( postant ViV += e che si è posto i1

1z

+= , si ha:

)0(1

)0( postant Vz

V =

• Valore (montante) di una rendita immediata posticipata costante, al tempo finale n (si

parla anche di costituzione di un capitale)

0 1 2 … n−1

R R R R

n t

0 1 2 … n−1

R R R R

n t

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

44

( ) ( ) ( ) ( )[ ]=+++++=+++++= −− 1n1npost i1i11Ri1Ri1RRnM ��)(

( )( )

( )in

nn

sRi

1i1R

i11i11

R

=−+⋅=+−+−⋅=

dove si è posto: ( )

in

n

si

1i1

=−+ .

Il simbolo ins

si legge “s posticipato figurato n al tasso i ”.

• Valore (montante) di una rendita immediata anticipata costante, al tempo finale n (si

parla anche di costituzione di un capitale)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]=++++++=++++++= −1nn2ant i1i11i1Ri1Ri1Ri1RnM ��)(

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

in

nn

si1Ri

1i1i1R

i11i11

i1R

+=−++=+−+−+= .

Si noti che per la scindibilità del regime di interesse composto si ha:

( )npostpost i1VnM += )0()( . e ( )nantant i1VnM += )0()( . OSSERVAZIONE. Il valore di ina

e di ins

può essere letto su apposite tavole o calcolato con una

calcolatrice finanziaria. Con il simbolo ina

si intende il valore attuale posticipato a sconto

composto, calcolato all’epoca t = 0 , di n rate unitarie al tasso di interesse i . Con il simbolo ins

si intende il valore (capitale) di una rendita immediata posticipata costituita

da n rate unitarie al tasso di interesse i e calcolata in regime di interesse composto. Spesso, quando non occorre indicare il tasso di interesse (per esempio perché è sottinteso), si usa ometterlo e si scrive semplicemente

na e ns .

Esempio.

0 1 2 … n−1

R R R R

n t

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

45

Calcolare, con sconto composto, il valore attuale in t = 0 di una rendita posticipata con rata costante R = 100 , costituita da n = 10 rate annue, al tasso i = 5 % . SOLUZIONE. Con una calcolatrice o con una tavola finanziaria si trova:

7,72173493a 5%10 ≅

e quindi moltiplichiamo tale valore per l’ammontare della rata:

772772,1734937,72173493100aR(0)V 5%10post ≅=⋅==

.

Se la stessa rendita fosse calcolata anticipata, da )0()0( postant Vi)(1V ⋅+= si ha:

810,67720,05)(1Vant =⋅+=)0( . Ci possono essere rendite anche con tassi d'interesse variabili. Vediamo un semplice esempio. Esempio. Si vuole costituire un capitale di 3600 euro in 4 anni facendo 4 versamenti posticipati di rata costante R . Sapendo che la banca riconosce interessi del 10 % per i primi 3 anni e dell' 8 % il quarto anno, in RIC, si calcoli quale deve essere l’importo della rata. Sia i1=10 % e i2 = 8 % , allora:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

1212 i1i1Ri1i1Ri1RR3600 ++++++++=

( ) 1,08]1,11,081,11,081[R3600 2 ⋅+⋅++=

4,5748R3600 ⋅= e quindi

786,9194,57483600

R == .

0 1 2 3 4

R R R

t

R

i1 i2

M=3600

Parte 9 RENDITE ________________________________________________________________________________________________________________________

46

0 1 2 3 4 5 t

R R R R R 6500

9.5.4. ESERCIZI. Esercizio1. In regime di interesse composto determinare il montante di una rendita costituita da 6 rate annuali posticipate immediate di 200 euro al tasso effettivo annuo del 4% . SOLUZIONE

13260,040,04)(1

200i

1i1Ri)(1Ri)(1RRM(6)

65 =+=−+=+++++=

6)(�

Esercizio2. In regime di interesse composto, calcolare la rata immediata anticipata annua necessaria per costituire in 5 anni al tasso del 2% il capitale di 6500 euro. SOLUZIONE

6500i)(1Ri)(1Ri)(1R 52 =++++++ �

6500i

1i)(1i)(1R

5

=−++

65000,02

10,02)(102)0(1R

5

=−++ ,

1224,5481)-0,02)((10,02)(1

0,026500R 5 =

++⋅=

0 1 2 3 4 5 6 t

R R R R R R

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ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA - cdm.unimo.itcdm.unimo.it/home/matematica/fiori.carla/ELEMENTI_DI_MATEMATICA... · ELEMENTI DI MATEMATICA FINANZIARIA 9.1 OPERAZIONI FINANZIARIE