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ELEMENTI DI PROBABILITA’ Media : migliore stima del valore vero in assenza di altre info. Aumentare il numero di misure permette di approssimare meglio il valor medio e quindi ridurre l’influenza degli errori casuali. Deviazione : migliore stima del massimo errore di precisione. La media della deviazione è data da: Deviazione media : è la media della somma delle deviazioni in valore assoluto;stima eccessivamente pessimistica Deviazione standard delle misure : dove è la varianza e sono gli scarti quadratici La d. s. è una valida indicazione di quanto disperse sono le misure rispetto al valore medio: Varianza : , quadrato della deviazione standard Variabile deterministica : grandezza il cui valore è prevedibile e ripetibile, descrivibile quindi mediante modelli deterministici. Variabile casuale : grandezza non prevedibile e non ripetibile. Una variabile casuale può essere: continua o discreta e prevedibile solo in forma statistica attraverso una distribuzione di probabilità. Le grandezza misurate sono considerate casuali e quindi servono modelli che forniscano dati ragionevoli. Istogramma : diagramma che mostra come i dati sono distribuiti sul campo di misura e indica le zone più probabili. Probabilità che si faccia una misura che appartenga ad un intervallo: dove è la funzione densità di probabilità. - probabilità su tutto il dominio di misura - probabilità di un valore assegnato Caso discreto : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un determinato evento, tra quelli possibili, espressi da un numero finito: dove m è il numero di evenienze del tipo di interesse o esiti positivi e n è il numero totale di soluzioni possibili, cioè dei possibili esiti. Caso continuo : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un valore della funzione, compreso tra due estremi: . Valore atteso : Varianza (prevista) : Calcolo delle probabilità : PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Linearizzazione : , esatta per variazioni infinitesime. Nel caso di misure possiamo sostituire alle variazioni le rispettive incertezze di misure ( ) ottenendo l’incertezza del risultato : è il contributo all’errore della funzione dovuto all’errore . L’incertezza viene pesata

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ELEMENTI DI PROBABILITA’

Media :

migliore stima del valore vero in assenza di altre info. Aumentare il numero di misure

permette di approssimare meglio il valor medio e quindi ridurre l’influenza degli errori casuali.

Deviazione : migliore stima del massimo errore di precisione. La media della deviazione è data da:

Deviazione media :

è la media della somma delle deviazioni in valore

assoluto;stima eccessivamente pessimistica

Deviazione standard delle misure :

dove è la varianza e sono gli scarti quadratici

La d. s. è una valida indicazione di quanto disperse sono le misure rispetto al valore medio:

Varianza :

, quadrato della deviazione standard

Variabile deterministica : grandezza il cui valore è prevedibile e ripetibile, descrivibile quindi mediante modelli deterministici.

Variabile casuale : grandezza non prevedibile e non ripetibile. Una variabile casuale può essere: continua o discreta e prevedibile solo in forma statistica attraverso una distribuzione di probabilità. Le grandezza misurate sono considerate casuali e quindi servono modelli che forniscano dati ragionevoli.

Istogramma : diagramma che mostra come i dati sono distribuiti sul campo di misura e indica le zone più probabili.

Probabilità che si faccia una misura che appartenga ad un intervallo:

dove è la

funzione densità di probabilità.

-

probabilità su tutto il dominio di misura

-

probabilità di un valore assegnato

Caso discreto : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un

determinato evento, tra quelli possibili, espressi da un numero finito:

dove m è il numero di

evenienze del tipo di interesse o esiti positivi e n è il numero totale di soluzioni possibili, cioè dei possibili esiti.

Caso continuo : la probabilità è un valore numerico che esprime la stima della possibilità di occorrenza di un valore

della funzione, compreso tra due estremi:

.

Valore atteso :

Varianza (prevista) :

Calcolo delle probabilità :

PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Linearizzazione :

, esatta per variazioni infinitesime. Nel caso di misure possiamo sostituire alle

variazioni le rispettive incertezze di misure ( ) ottenendo l’incertezza del risultato:

è il contributo all’errore della funzione dovuto all’errore . L’incertezza viene pesata

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dalla sensibilità della grandezza rispetto al parametro i-esimo

. In forma adimensionale, l’incertezza

percentuale è data da:

Radice della somma dei quadrati (RSS) : rappresenta una scelta ottimale, nel senso che tiene conto della probabilità

che i diversi errori concorrano alla misura con il loro valore massimo:

Varianza di :

, cioè somma delle singole varianze delle singole

variabili, ciascuna pesata con la sensibilità di per quella variabile. Disponendo di un valor medio, esprimiamo la

varianza come:

, in forma matriciale:

I termini della matrice covarianza vengono definiti come:

- Varianza per i termini diagonali (o auto-covarianza):

, sempre positiva;

- Covarianza per i termini extra-diagonali:

, all’aumentare del numero di

misure tendono a 0 se scostamenti positivi e negativi hanno probabilità di presentarsi.

Incertezza relativa: scriviamo

dove

è il

coefficiente di amplificazione dell’incertezza, che permette di valutare il peso relativo delle singolo incertezze senza ancora conoscerle e quindi di capire a quali elementi prestare maggiore attenzione, ragionando a incertezze relative equivalenti.

Incertezza percentuale :

dove

è il contributo percentuale,

coefficiente complessivo cioè tiene conto anche del valore atteso della variabile. Per migliorare la misura occorre bilanciare la qualità delle misure riducendo l’incertezza sugli elementi più critici.

Nel caso in cui la relazione sia costituita da una produttoria di potenze:

. L’errore percentuale sulla grandezza misurata è legato alle incertezza sulle singole misure

secondo:

CLASSIFICAZIONE DELLE INCERTEZZE

Due possibilità di definizione del valore medio e della deviazione standard:

a) Disponendo di una serie di valori:

e

b) Disponendo dell’espressione della densità di probabilità:

e

Le componenti di incertezza sono classificate in relazione al metodo con il quale sono state determinate:

- di tipo A: valutazione delle incertezze mediante analisi statistica di una serie di osservazioni/misure. - di tipo B: valutazione delle incertezze mediante strumenti diversi dall’analisi statistica del tipo A.

Incertezze di tipo A : una componente di incertezza ricavata con questo metodo è calcolata come deviazione

standard , ricavata statisticamente come radice della varianza stimata e dal numero di gradi di libertà ad essa

associati. L’incertezza standard è . La valutazione è basata su un metodo statistico per l’elaborazione dei dati.

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Valutazione di incertezze del tipo A

1) ripetere N volte la misura (N piccolo comporta una insufficiente stima dello scarto tipo)

2) calcolare la media:

3) calcolare la stima dello scarto tipo:

4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media:

Incertezze di tipo B : una componente di incertezza ottenuta con questo metodo è rappresentata da una quantità

radice quadrata della varianza a sua volta determinata in base ad una ragionevole ipotesi di distribuzione di

densità di probabilità, basata su tutte le informazioni disponibili. L’incertezza standard è .

Valutazione di incertezze di tipo B

1) individuare la distribuzione di probabilità applicabile (congruente con tutte le info disponibili)

2) calcolare il valore atteso:

3) calcolare la varianza:

4) la misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scarto tipo della media

La densità di probabilità in un intervallo è costante al suo interno e nulla all’esterno. Una valutazione di tipo B è basata sull’esame di tutte le info disponibili come i risultati di precedenti misure, esperienza/informazioni del e sul sistema di misura. Poiché le info disponibili possono anche essere molto diverse è difficile ricavare un criterio unico. Si può affermare che l’incertezza di tipo B sono espresse attraverso la deviazione standard della densità di probabilità che si è supposto descrivere la variabile casuale in esame.

Incertezza estesa : per definire l’incertezza in termini di affidabilità della misura si definisce l’incertezza estesa, ottenuta moltiplicando l’incertezza di misura per il fattore di copertura . L’incertezza estesa della variabile è definita come: . Il fattore di copertura viene scelto sulla base del livello di confidenza desiderato per l’intervallo dato da , tipicamente valori tra 2 e 3 con un rispettivo livello di confidenza rispettivamente di 95% e 99%. Si usa lo schema di variabili gaussiane poiché le medie di una variabile generalmente seguono questa distribuzione.

Incertezza combinata : se tutte le misure affette da incertezza di tipo A sono acquisite con un numero di eventi elevato si possono combinare le incertezze e utilizzare direttamente il fattore di copertura valido per una variabile a distribuzione gaussiana. In generale vi sono procedure per la determinazione di queste incertezze pesando i contributi delle varie misure e le loro incertezze.

Valutazione di uno strumento di misura

Occorre cercare di scomporre il sistema di acquisizione e individuare i singoli elementi in modo da caratterizzare individualmente le possibili fonti di incertezza. Il processo di misura può essere suddiviso in:

- dispositivi elementari (strumento generalizzato) - fasi distinte:

o calibrazione (di ogni elemento): vengono definite le caratteristiche di qualità di ciascuno in termini di leggi ingresso-uscita e di incertezze;

o acquisizione dei dati: fase in cui si esegue l’attività di misura e si memorizzano i dati senza ulteriore manipolazione. Si ha quindi utilizzo di sensori, strumenti di misure e singoli accessori e si verificano gli effetti di installazione/carico/interferenza anche delle variabili non controllate;

o trattamento dei dati: si utilizzano manipolazioni numeriche necessarie per ridurre il risultato richiesto.

Determinazione dell’incertezza combinata: . Per poter applicare la combinazione, occorre rendere

compatibili le incertezza di tipo A e B:

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- se il contributo è di tipo A si usa la deviazione standard della media, quindi l’incertezza della media non è

estesa:

;

- se il contributo è di tipo B occorre determinare una deviazione standard ipotizzando la densità di

probabilità corrispondente. In assenza di indicazioni si può assumere l distribuzione uniforme:

dove è la semi-ampiezza del rettangolo corrispondente.

Mediante il teorema del limite centrale si può dimostrare che trattare l’incertezza standard combinata come una grandezza a distribuzione gaussiana ed estesa con il coefficiente di copertura necessario per ottenere il livello di confidenza richiesto, , è valido indipendentemente dalla tipologia delle incertezze combinate o dalla distribuzione assunta per le incertezze di tipo B.

CALIBRAZIONE E REGRESSIONE

La calibrazione è l’operazione che permette di mettere in relazione l’uscita di uno strumento con l’ingresso attraverso l’impiego di una misura nota, certa e precisa dell’ingresso stesso. La calibrazione può essere:

- Diretta, quando le uscite dello strumento vengono confrontate con ingressi noti (standard); - Indiretta confrontando le uscite con quelle fornite da uno strumento già calibrato(quando non si conosce

con esattezza l’ingresso). (L’accuratezza dello strumento utilizzato per confronto deve essere un ordine

superiore di quella dello strumento da tarare:

)

Modalità di prova : la calibrazione prevede l’applicazione di ingressi sull’intero campo di misura dello strumento. La conoscenza dei fenomeni fisici coinvolti permette di valutare a priori quale metodo utilizzare. Gli ingressi possono essere applicati in maniera sequenziale o casuale:

- prova sequenziale prevede la variazione progressiva dell’ingresso sull’intervallo desiderato in salita (up-scale) e in discesa (down-scale): ogni applicazione dell’ingresso consiste in un incremento/decremento del precedente. Vantaggio prova: capacità di evidenziare effetti di isteresi.

- prova casuale prevede la somministrazione degli ingressi in un ordine casuale, non prestabilito: ogni applicazione dell’ingresso è indipendente dal precedente. Vantaggio: permette di minimizzare gli effetti indesiderati come le interferenze sugli ingressi o l’isteresi.

Regressione di dati sperimentali : è pratica comune correlare dati mediante la regressione (fitting) di funzioni matematiche, come polinomi di basso ordine o esponenziali. Una funzione comunemente utilizzata a questo scopo è la retta: le regressioni lineari sono infatti molto spesso appropriate per l’interpretazione di dati. Spesso si cerca di ricondursi a questo tipo di fitting.

Nel caso polinomiale generico, la funzione di regressione assume la forma:

,

che in forma matriciale:

L’errore per ogni punto è:

L’errore quadratico totale è:

; sfruttando la forma matriciale:

La procedura di regressione ai minimi quadrati prevede di minimizzare l’errore totale trovando il punto di

stazionarietà rispetto ai parametri . Scriveremo quindi equazioni del tipo:

, che con la notazione

matriciale:

in forma più compatta.

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La matrice risolutiva ed il vettore di termini noti hanno una struttura ben precisa (sottintesa la sommatoria):

Altro modo di calcolare:

Per i diversi ordini avremo:

- 0 , ne consegue

Il valore medio di una serie è il valore che minimizza la somma degli scarti quadratici

- 1

, il procedimento consiste in

dove

- 2

Un indicatore sintetico della qualità della regressione è il coefficiente di regressione ottenuto come:

dove

da cui:

- se tutti i punti giacciono sulla retta; - se i punti hanno una distribuzione casuale.

Una buona correlazione presenta un coefficiente di regressione superiore a 0.98.

Regressione lineare con trasformazione: le coordinate logaritmiche consentono la semplificazione dell’interpretazione dei dati permettendo la visualizzazione degli stessi in forma rettilinea. Esaminiamo un’equazione

esponenziale: . Applicando il logaritmo ad entrambi i termini otteniamo: . Poiché è una costante abbiamo ottenuto una relazione lineare tra e . Eseguendo quindi il logaritmo delle misure , otteniamo un problema di regressione nella forma lineare canonica: con e .

Vi sono 3 possibili schemi operativi:

1) Regressione totale, utilizzando tutti i valori disponibili; 2) Regressioni indipendenti sui singoli cicli di scarico e valutazione dei valori medi e delle deviazioni standard

dei coefficienti di regressione (fornisce un’indicazione di incertezza per i coefficienti); 3) Regressione sui valori medi per ogni punto di ingresso (è la più coerente con la formulazione).

Risultati identici se i punti di misura sono gli stessi per tutti i cicli.

Operare una regressione su punti multipli non è corretto dal punto di vista teorico. Un approccio formalmente più corretto potrebbe essere:

- Ricondurre le misure multiple al loro valore medio e alla rispettiva incertezza; - Effettuare una regressione sui valor medi; - Propagare l’incertezza delle misure sui coefficienti della regressione.

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Incertezze sui coefficienti di regressione: nella teoria alla base della regressione si assume che le misure non siano affette da incertezza. Avendo a che fare con misure reali bisogna fare attenzione al loro propagarsi ai coefficienti della regressione. La presenza di questi errori comporta la propagazione di un’incertezza sui coefficienti della regressione lineare . Assumendo che tutte le misure siano affette da incertezza , le incertezze sui

coefficienti della regressione sono date dalle seguenti espressioni:

La curva diventa: , per cui la stima dell’uscita fornita dalla retta di regressione può collocarsi in qualsiasi punto all’interno di una banda la cui ampiezza è minima allo zero e massima all’estremo superiore.

Incertezza della Calibrazione: è opportuno utilizzare un campo simmetrico per la regressione mediante un riferimento d’appoggio centrato sul campo di misure. L’incertezza è minore nella zona centrale del campo di misura

Incertezze su misure x: l’errore dovuto ad una incertezza in x può essere trasformato in un errore dovuto ad una incertezza equivalente in y semplicemente moltiplicandolo per il coefficiente di pendenza della

regressione lineare:

: incertezza y equivalente.

Incertezze su misure x e y: possiamo combinare le incertezza dei due casi separati ottenendo un’incertezza

equivalente per le misure in y:

Calibrazione e taratura

La taratura è l’insieme delle operazioni che stabiliscono, sotto condizioni specificare, la relazione tra i valori indicati da uno strumento di misurazione, o da un sistema di misurazione, o i valori rappresentati da un campione materiale e i corrispondenti valori noti di un misurando. È il procedimento che determina come i segnali di uscita degli strumenti sono legati alle misure dei misurando e i valori nominali dei campioni materiali alle misure delle grandezze da essi riprodotte. Lo scopo della taratura è quello di qualificare il sistema di misura, legando la grandezza di ingresso con quella di uscita.

- I dati vengono trascritti/registrati in tabelle - I dati registrati vengono elaborati mediante una regressione (lineare) in modo da ottenere la curva di

calibrazione in forma analitica: - La relazione viene risolta rispetto all’ingresso di misura. Il legame così definito è

chiamato curva di taratura dello strumento (utilizzata durante la misura): . La curva di taratura permette di ricavare la misura da assegnare al misurando per ogni valore di lettura fornito da un dispositivo di misurazione. Tale curva è una relazione biunivoca tra ogni valore fornito dallo strumento e il corrispondente valore da assegnare al misurando.

Oltre alla curva di taratura può essere utile il diagramma di taratura per determinati valori delle grandezze di influenza (ricavato a partire dalla curva di taratura con l’aggiunta della banda di incertezza). Permette di ricavare da ogni valore di lettura fornito da un dispositivo, per misurazione e/o regolazione, la misura da assegnare al misurando. Esso definisce una fascia di possibili valori del misurando corrispondenti ad un’uscita dello strumento. È costituito da un intervallo la cui semiampiezza è l’incertezza strumentale, che rappresenta l’incertezza associata al valore dato dalla curva di taratura per garantire la compatibilità della misura corrispondente alla lettura effettuata.

Passi del procedimento:

1) Acquisire le coppie di valori ingresso/uscita sull’intero campo di misura; 2) Mettere i punti in grafico;

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3) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni; 4) Calcolare e tracciare la retta di regressione; 5) Calcolare e mettere in grafico le deviazioni alla retta di regressione; 6) Calcolare e tracciare l’intervallo di confidenza.

Inserire i punti in un grafico permette di evidenziare comportamenti anomali come punti discutibili o differenze di comportamento tra i vari cicli di carico.

Linerità

Errore di linearità: valore massimo delle deviazioni delle misure dalla retta di regressione: oppure , dove è esteso alle sole curve di carico.

Isteresi : proprietà di un materiale di fornire valori di lettura diversi in corrispondenza di un medesimo misurando, quando questo viene letto per valori crescenti e per valori decrescenti. Il valore dell’isteresi è la differenza dei valori di lettura ottenuti in corrispondenza dello stesso misurando quando questo viene fatto variare per valori crescenti e decrescenti.

Errore di isteresi: valore massimo delle differenze tra il valore di carico e scarico in corrispondenza di un punto di

misura (per cicli di carico e scarico regolari): oppure

Ripetibilità: calcolo dell’intervallo di dispersione per ciascun punto di carico a parità di modalità di presentazione

dell’ingresso. L’indicatore della ripetibilità dello strumento è

, è il fondo scala, il cui risultato dipende dalla

modalità di carico.

Utilizzo degli strumenti : le regole di comportamento prevedono anche un controllo sulle condizioni ambientali durante l’esecuzione della misura, corretto riscaldamento della strumentazione prima della misura, un’accurata installazione per evitare sollecitazioni non volute, la corretta manutenzione e il corretto immagazzinamento quando non utilizzato.

Azzeramento: insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per imporre di fornire un valore di lettura nullo, in corrispondenza ad uno stato di riferimento specifico del misurando.

Messa a punto (in un punto): insieme di operazioni compiute su un dispositivo di misura per ottenere determinati valori di lettura in corrispondenza di particolari valori noti del misurando. Necessaria per mantenere il livello di qualità generale.

Calibrazione periodica : le procedure di qualità richiedono una calibrazione periodica e di documenti che attestino il livello di qualità stesso. Il documento di calibrazione deve contenere i riferimenti meteorologici, i dati rilevati e i coefficienti della calibrazione con le relative incertezze. Periodicamente sono necessarie anche verifiche sulle caratteristiche principali (ripetibilità, isteresi, ecc.).

SISTEMI DI ACQUISIZIONE DATI

Segnale analogico : può essere rappresentato mediante una funzione del tempo che gode delle seguenti caratteristiche:

- La funzione deve essere continua nel tempo )definita per ogni valore del dominio anche per istanti temporali infinitamente vicini);

- La funzione deve essere continua in valore (diminuendo l’intervallo temporale che seoara due valori la loro differenza diminuisce regolarmente e con continuità)

Segnale digitale : è costituito da una funzione “tempo discreta” e “quantizzata”. Tale funzione risulta:

- definita solamente in un insieme numerabile di istanti “equispaziati”; - dotata di un codominio costituito da un insieme discreto di valori: .

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Pregi dei segnali digitali:

- Resistenza al rumore: maggiore robustezza ai disturbi rispetto ai segnali analogici. Questi ultimi, infatti, sono costituiti da funzioni continue sensibili al rumore che determina una variazione del valore del segnale, qualunque sia l’ampiezza e la potenza del rumore. I segnali digitali presentano un numero finito di valori separati da una fascia “proibita”: se il rumore non ha ampiezza e potenza tali da determinare un superamento della fascia proibita che separa due valori contigui non si riscontra alcuna alterazione del valore.

- Elaborazione: i segnali digitali possono essere elaborati più facilmente di quelli analogici poiché sono intrinsecamente compatibili con i sistemi di calcolo. Per elaborare matematicamente i segnali analogici si deve ricorrere a circuiti appositamente realizzati mediante i quali è possibile realizzare solo operazioni relativamente semplici. I segnali numerici possono invece essere elaborati mediante microprocessori che possono eseguire operazioni necessarie senza richiedere appesantimenti dell’hardware circuitale. Si operano approssimazioni della codifica e dell’aritmetica in forma finita.

- Registrazione: e registrati in maniera più fedele e stabile rispetto a quelli analogici.

La conversione A/D richiede tre fasi successive:

- Campionamento – discretizzazione del tempo del segnale - Quantizzazione – discretizzazione dell’ampiezza - Codifica – uso di “parole” binarie per esprimere il valore del segnale.

Campionamento: campionare un segnale analogico significa prelevare da questo una successione temporale di valori costituita dalla sequenza dei valori istantanei assunti dal segnale in corrispondenza di particolari valori di tempo detti “istanti di campionamento” e il suo reciproco viene detto “frequenza di campionamento” . Un modello matematico del campionamento può essere definito come prodotto del segnale con una serie di funzioni di

campionamento :

. Il risultato è una serie di valori corrispondenti

all’ampiezza del segnale nell’istante del campionamento

Teorema del campionamento : per campionare al meglio il segnale occorre fissare una frequenza di campionamento in modo da ridurre gli errori che inevitabilmente si compiono. Il campionamento infatti provoca una perdita di informazioni del segnale analogico sul valore assunto in tutti gli istanti di tempo diversi da quelli di campionamento. Il teorema detta le condizioni perché non si abbia una perdita di info: se un segnale è campionato con una frequenza almeno doppia rispetto al suo massimo contenuto in frequenza il campionamento non introduce errori: .

Campionando a frequenza la banda di frequenza ammissibile è

. Si identifica quindi la frequenza di Nyquist

come

.

Aliasing : se il criterio non fosse rispettato, si incorrerebbe nel fenomeno di aliasing, dove il contributo energetico delle frequenze per le quali il teorema di campionamento non è rispettato appaiono a frequenza inferiore e si confondono con quelle presenti in quella parte dello spettro. In questo caso si parla di sottocampionamento. L’aliasing si manifesta anche nel dominio delle frequenze: il picco della sinusoide appare ad una frequenza inferiore a quella reale. Risultano delle frequenze che non esistono realmente nella banda delle frequenze ammissibili, ma sono le immagini (alias) delle stesse componenti al di fuori della banda stessa. In assenza di un termine di confronto, non si è in grado di dire se quello che si visualizza sia reale o apparente, per questo bisogna cercare di evitare l’aliasing. Ogni componente armonica per cui non valga il teorema del campionamento è soggetta ad aliasing. L’effetto è però diverso per segnali a frequenza diversa e su uno stesso segnale varia con la frequenza di campionamento. Se non si conosce completamente e a priori lo spettro del segnale non si può prevedere l’alterazione della frequenza e in ogni caso non è possibile rimuovere l’effetto di aliasing.

Consideriamo una generica sinusoide. Si può esprimere la frequenza in multipli della frequenza di Nyquist:

dove è un numero intero (nullo se il teorema del campionamento è

verificato) e è un numero frazionario. La sinusoide campionata diventa: . Siccome e sono numeri interi per ogni valore intero dei due fattori . Si distinguono due casi:

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- Se è un numero pari, per ogni valore assunto da

dove la frequenza apparente

rappresenta una retta di

frequenza con la pendenza corretta ma traslata di

- Se è un numero dispari, dipendente dal valore di

dove la frequenza apparente

rappresenta una retta con pendenza

ridotta e cambiata di segno.

Teoremi di convoluzione

Si può vedere il campionamento come il prodotto nel tempo della funzione originale per una sequenza di impulsi di campionamento . Bisogna quindi ragionare sui fattori che concorrono nel mantenere o modificare la frequenza della funzione prodotta. In questo modo si può giustificare razionalmente il fattore che dimezza la banda osservabile rispetto a quella di campionamento. La trasformata di Fourier di un segnale e la sua anti trasformata

sono date da:

. Si può ricorrere al teorema di convoluzione per dimostrare quanto detto

sopra e capire se e quando lo spettro di una funzione campionata corrisponde a quello della funzione continua originaria, almeno per la zona di interesse.

Teorema della convoluzione : la trasformata di un segnale campionato è data dalla convoluzione della trasformata del segnale continuo e di quella della funzione di campionamento. Possiamo dunque affermare che:

Teorema della convoluzione in frequenza : il prodotto di due funzioni nel tempo ha come trasformata la

convoluzione delle rispettive trasformate:

dove . La convoluzione

prevede l’integrale del prodotto delle due funzioni una volta che una di esse sia stata ritardata in frequenza della quantità e ribaltata rispetto all’asse delle frequenze. Il risultato è indipendente dalla scelta della funzione sulla quale far agire le due operazioni menzionate.

Teorema della convoluzione nel tempo : il prodotto di due funzioni in frequenza ha come anti trasformata la

convoluzione delle rispettive storie temporali:

dove

Sintesi : la risposta di un sistema lineare caratterizzato dalla funzione di trasferimento , a sua volta trasformata della risposta impulsiva , ad una forzante , è data dall’antitrasformata del prodotto

, o in alternativa dalla convoluzione della risposta impulsiva e delle storia

temporale del carico:

.

Metodi per evitare l’aliasing : il fenomeno dell’aliasing non è rimuovibile e pertanto deve essere evitato a priori, infatti i filtri che si possono utilizzare possono elaborare il segnale ma non influire sull’aliasing. Vi sono 2 modi per evitare il fenomeno:

- Alzare la frequenza di campionamento fino a rispettare il teorema del campionamento (sempre che il segnale sia a banda limitata)

- Inserire un filtro passa-basso a monte del convertitore A/D in modo da creare artificialmente una banda limitata

Sovracampionamento : serve solo se il trasduttore utilizzato ha banda passante limitata. Alcuni trasduttori presentano caratteristiche dinamiche analoghe a quelle di un filtro passa-basso (strumenti con smorzamenti che arrivano vicino a quello critico). Se il campionamento avviene ad una frequenza più alta di quella propria del trasduttore il segnale sarà automaticamente limitato in frequenza dalla banda passante del trasduttore stesso. L’eccesso di campionamento può essere rimosso mediante una decimazione della storia temporale…

Filtraggio : prevede l’utilizzo di filtri passa-basso, chiamati filtri anti-aliasing che attenuano tutte le armoniche del segnale superiori ad una frequenza caratteristica, detta frequenza di taglio. Questa deve essere definita con

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attenzione in funzione delle caratteristiche del filtro, del segnale da acquisire, dell’intervallo di frequenze di interesse e le caratteristiche del sistema di acquisizione, compresi i condizionatori. Si assume come frequenza di Nyquist quella per cui il contributo armonico sia ridotto ad un livello assegnato confrontabile con il rumore che caratterizza il sistema di misura. Due tipologie di problemi:

- Regolato il filtro, determinare la frequenza di campionamento per evitare aliasing; - Trovare la frequenza, multipla di quella di taglio, a partire dalla quale si può ritenere di aver cancellato i

contributi armonici.

Un filtro ideale ha pendenza costante dopo la frequenza di taglio, ma ciò è irreale. Il segnale in uscita non potrà avere ampiezza inferiore al rumore dello strumento e diventerà circa costante. Non ha senso campionare con frequenze troppo elevate perché il contributo armonico del segnale filtrato sarebbe sostituito da rumore. In più, possono essere presenti rumori non causati da filtro ma da elementi precedenti, maggiormente visibili se il filtro è di ottima qualità. Scelta la frequenza di taglio, nota la retta di attenuazione e l’attenuazione richiesta, sarà opportuno scegliere come frequenza di Nyquist l’intersezione del segmento attenuante con la retta orizzontale ad attenuazione

pari a

del rapporto

per cui:

. Il contributo armonico residuo darà origine ad aliasing

ma la sua ampiezza sarà trascurabile e dell’ordine del rumore. La frequenza di campionamento sarà ovviamente: .

Finestra di osservazione : se si osserva un fenomeno per passi di campionamento, la finestra di osservazione è ed equivale ad applicare al segnale una finestra uniforme avente valore unitario nel periodo di osservazione e nullo all’esterno. Il numero di campionamenti della storia è pari ad . Il contenuto in frequenza è dato dalla forma digitale della trasformata di Fourier che è anch’essa definita da valori complessi. La trasformata di un segnale reale è simmetrica per la parte reale e antisimmetrica per quella immaginaria ed è definita per un campo di frequenze

– definita in base alla frequenza di Nyquist. Tra lo e si hanno

punti spaziati in frequenza di:

. L’inverso del tempo di osservazione fornisce la distanza tra i picchi della trasformata

digitale, quindi la risoluzione in frequenza:

. Esiste un legame tra

la frequenza di acquisizione e il passo in frequenza della trasformata:

l’espressione della

trasformata si semplifica:

con e .

Aumentando la frequenza di campionamento si allarga la band di frequenze osservabili. Aumentando il tempo di osservazione (a parità di frequenze di campionamento) aumenta la risoluzione in frequenza.

Anche in questo caso si può ricorrere al teorema della convoluzione moltiplicando il segnale campionato con la funzione che descrive la finestra di osservazione. La base della campana è inversamente proporzionale alla lunghezza della finestra di osservazione. Aumentare la dimensione della finestra temporale comporta la riduzione della base e l’incremento dell’altezza del lobo principale.

Supponendo di avere una funzione sinusoidale correttamente campionata e osservata, la trasformata si ottiene associando quella del segnale campionato con quella della funzione di finestratura. L’effetto risultante è la riproduzione su ciascun picco della trasformata della funzione finestra.

L’energia associata ad una frequenza viene distribuita su un intervallo di frequenze tanto più ampio quanto più breve del è la finestra di osservazione: questo è il fenomeno del Leakage, che non si presenta solo per le sinusoidi con periodicità sottomultiplo intero del periodo di osservazione.

Leakage : rimedio costituito dall’uso di finestre temporali sul segnale misurato, in modo da ridurre il fenomeno ma non eliminarlo del tutto. Le finestre comunemente utilizzate hanno equazioni nella forma:

. Il problema non è trascurabile poiché tutte le armoniche subiscono questo effetto distribuendo

l’energia su una banda di frequenza più ampia. Si commettono quindi errori sia nell’identificazione delle frequenze dei picchi che nel loro smorzamento. L’effetto è noto anche con il nome di Smearing. Per i transitori il problema è

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meno sentito a patto di utilizzare una finestra di osservazione abbastanza lunga da contenere tutto il fenomeno. In questo caso bisogna però utilizzare delle finestre di tipo esponenziale.

Discretizzazione della frequenza : l’utilizzo di uno spettro equivale ad effettuare un campionamento del dominio delle frequenza. Supponendo di avere una storia temporale (discreta e a banda limitata), ottenuta campionando un segnale non periodico, il corrispondente spettro, a differenza di quello originale, sarà infinto e periodico (discreto in frequenza). Per analizzare gli effetti della digitalizzazione in frequenza occorre applicare il teorema di convoluzione nel tempo, avendo infatti il prodotto nel dominio delle frequenze. Nel tempo la convoluzione replica la funzione in corrispondenza di tutti i picchi a distanza pari al tempo di osservazione: la funzione è quindi periodicizzata. La periodicizzazione nel tempo è quindi un fenomeno duale rispetto alla replica delle immagini in frequenza a seguito del campionamento. In questo caso però non c’è pericolo di un fenomeno come l’aliasing in quanto le descrizioni dei due domini e dei due processi di discretizzazione sono coerenti, tuttavia resta il problema della continuità della funzione.

Quantizzazione

Con una proporzione tra un campo di valori in ingresso e uscita è possibile effettuare la quantizzazione e intrinsecamente richiedere dei limiti per i valori in ingresso e uscita. Da una parte si avranno il valore minimo e massimo della tensione in ingresso, dall’altra il numero binario minimo e massimo il uscita. Sono disponibili due alternative:

- Campo unipolare o Ingresso: estremo inferiore nullo ed estremo

superiore

o Uscita:

- Campo bipolare

o Ingresso: estremo inferiore – ed estremo superiore (simmetrico)

o Uscita:

Il campo di misura viene suddiviso in un numero finito di intervalli contigui. Si possono avere due alternative principali:

- Suddivisione in intervalli di ampiezza costante: quantizzazione uniforme - Suddivisione in intervalli di ampiezza diverse: quantizzazione NON uniforme

La quantizzazione consiste nell’attribuzione del segnale ad un livello tra quelli disponibili, quindi tutti i valori compresi tra i due estremi dell’intervallo verrà assegnato un singolo numero binario. Questo comporta un limite di risoluzione. Il numero di intervalli in cui suddividere il campo di misura è arbitrario, ma per consuetudine, operndo con sistemi binari, si adotta un valore di potenza di 2 in ragione del numero di bits utilizzati per la codifica del segnale.

Incertezza di quantizzazione : tutti i valori che rientrano nell’intervallo vengono associati ad uno stesso valore digitale e la misura così ottenuta è affetta dall’errore di quantizzazione e ha come valore massimo metà del

quanto:

. La distribuzione di probabilità è uniforme. L’incertezza può essere ridotta riducendo il

campo di misura o aumentando il numero degli intervalli in cui questo viene suddiviso. Essendo costante, assume un peso relativo più o meno importante a seconda del valore della misura: tanto più piccola rispetto al fondo scala tanto maggiore è il valore dell’incertezza relativa di quantizzazione. Per cercare di contenere l’incertezza di quantizzazione a livelli accettabili si possono utilizzare quantizzazioni non uniformi:

- Quantizzazione uniforme: l’errore relativo dell’incertezza non è uniforme sul campo di misura;

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- Quantizzazione non uniforme: l’errore relativo dell’incertezza è uniforme sul campo di misura.

Risoluzione : l’incertezza di quantizzazione corrisponde alla risoluzione, cioè la minima variazione della grandezza in ingresso apprezzabile da quantizzatore. Corrisponde al valore del bit meno significativo e viene detta “least significant bit” (LSB). La risoluzione tende a crescere all’aumentare del numero di bits a parità di campo di misura… Un altro problema tipico è costituito dalla presenza nel segnale di un valore costante che obbliga ad adeguare il fondo scala al valore massimo. La componente costante può essere rimossa con un opportuno circuito di condizionamento analogico: un filtro passa-alto che rimuova solo la componente costante (modalità AC) o un circuito di offset per aggiungere/togliere una tensione costante pari al valore medio del segnale. Si preferisce la prima soluzione. Togliendo la parte costante si fa in modo che la risoluzione operi solamente sulla parte dinamica del segnale. Naturalmente un alto numero di bits risolve a monte il problema.

Conversione di unità fisiche : alla codifica deve sempre essere applicata la relazione di conversione, basata sul fondo scala, per associare alle ordinate il valore fisico della misura di tensione corrispondente:

. Si determina la misura in unità fisiche mediante l’utilizzo del coefficiente di

taratura: . Ci sono diversi motivi per cui il funzionamento di un convertitore AD si discosta da quello nominale, come le imperfezioni nella realizzazione del convertitore DA che produce il segnale di confronto. Se la risoluzione del convertitore è elevata e la quantità della componentistica buona, la differenza tra la funzione a gradini e quella nominale è piccola. L’ampiezza della fascia di non linearità definisce il massimo scostamento della caratteristica reale da una retta. In presenza di forte non linearità differenziale un gradino può essere totalmente assorbito da quelli adiacenti, in questo modo il codice relativo al gradino scomparso non sarà presente all’uscita.

Tempo di quantizzazione : i circuiti AD richiedono un tempo finito per completare la loro funzione e quindi la conversione ha inizio al tempo e finisce dopo secondi. Durante questo tempo è indispensabile che il segnale da convertire presenti delle fluttuazioni minime, altrimenti potrebbe rendere imprecisa o addirittura impossibile la conversione stessa. Per eliminare questo problema si utilizza un dispositivo che congela il segnale per il tempo necessario al completamento della quantizzazione: il mantenitore o sample/hold. Il circuito mantiene in uscita il valore del segnale nell’istante nominale di campionamento utilizzando un condensatore come dispositivo di memorizzazione. Il sistema di acquisizione viene programmato in modo che il circuito S/H si attivi subito prima del convertitore “memorizzando” la tensione. Questa verrà poi inviata al convertitore mediante la scarica del condensatore. Dopo la chiusura del circuito occorre attendere la completa ricarica prima di poter riattivare il mantenimento. A questa circuiteria sono legati dei problemi dovuti alla progressiva perdita di carica del condensatore che porta ad una caduta di tensione in uscita.

Codifica : consiste nell’associare ad ogni intervallo in sui è stato suddiviso il campo di misura un codice binario che lo identifichi univocamente. Il numero di bits determina il numero massimo di intervalli in cui è possibile suddividere il campo, pertanto influisce sulla risoluzione e quindi sull’entità dell’incertezza di quantizzazione.

Convertitori

Convertitore A/D o ADC : è l’elemento fondamentale di qualsiasi sistema di acquisizione dati: con una cadenza temporale fissata esegue l’operazione di Conversione (quantizzazione+codifica). Le caratteristiche principali sono:

- Risoluzione (numero di bits, errore di quantizzazione) - Velocità (tempo di conversione dal dato analogico al digitale) - Fondo-scala (dinamica di ingresso, unipolare/bipolare)

Il convertitore può essere visto come un sistema costituito da 4 elementi principali:

- un convertitore DA con ingresso a bits che rende in uscita un segnale analogico il cui valore è proporzionale al prodotto tra il valore numerico posto al suo ingresso e il quanto;

- una unità logica di controllo che può variare il valore numerico secondo una particolare strategia; - un generatore di tensione campione; - un comparatore.

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CONVERTITORE A/D INTEGRATORE: La strategia di ricerca più semplice è quella di un contatore. All’inizio della conversione l’Unità Logica di controllo (ULC) dispone gli N bits della parola al valore nullo e avvia un ciclo di passi durante il quale incrementa il contatore in ingresso al convertitore DA. Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni:

- Incrementa di 1 il contatore (integra); - Genera l’uscita analogica corrispondente; - Se la differenza tra la tensione prodotta e quella da misurare è al disotto della soglia del comparatore

(data dall’errore di discretizzazione) il ciclo si conclude e la parola binaria viene memorizzata.

CONVERTITORE A/D AD APPROSSIMAZIONI: Più efficiente è il convertitore a successive approssimazioni che opera mediante una ricerca binaria del valore attuata a passi sempre più fini. All’inizio della conversione l’Unità Logica di Controllo (ULC) dispone gli N bits della parole al valore nullo e avvia un ciclo di N passi che scandisce i bits a partire da quello più significativo (MSB). Ad ogni passo la ULC esegue le seguenti operazioni:

- Pone ad 1 il bit corrispondente al ciclo; - Verifica se la tensione prodotta da un DAC a fronte della parola binaria; - Se la tensione di riferimento risulta superiore lascia il bit al valore 1, altrimenti lo mette a 0; - Alla fine del ciclo la parola binaria è completa

CONVERTITORE A/D ISTANTANEO: Il convertitore flash opera come circuito quantizzatore/codificatore. Il dispositivo può essere costituito da un partitore resistivo che genera le tensioni corrispondenti agli estremi degli intervalli in cui è stato suddiviso il campo di misura, da una schiera di comparatori analogici e da una rete che ha il compito di eseguire la codifica del valore di uscita. Funzionamento: la sequenza di resistenze realizza una caduta di tensione progressiva. Queste tensioni vengono confrontate dalla schiera di comparti tori con la tensione da misurare, ottenendo un valore “alto” o “basso”. I due compartitori con uscita discorde sono a cavallo della misura: la misura infatti ricade nell’intervallo delle tensioni di codifica corrispondenti alla loro posizione nella schiera. La rete combinatoria ha il compito di codificare tale informazione nel formato binario prescelto. Questi convertitori sono in grado di fornire le prestazioni più elevate, ad un costo ovviamente più elevato; data la complessità dello schema non può avere una risoluzione troppo alta (tipicamente 4-8 bits)

CONVERTITORE D/A

Consente di generare un segnale continuo nel tempo, ma sempre discreto per ampiezza, a partire da un numero binario. Può essere costituito da un sommatore che combina tanti segnali quanti sono i bits del convertitore, ciascuno pesato con il rapporto tra una opportuna resistenza di canale e una resistenza di controreazione (se il bit è nullo il circuito è aperto). Per avere un comportamento lineare servono resistenze correttamente scalate.

CONVERTITORE D/A A SCALA DI RESISTENZE: è composto da resistenze tutte uguali (anziché di peso relativo ). Questa architettura rende possibile una maggiore precisione del convertitore e quindi anche del convertitore AD nel quale venga inserito.

Sistema di acquisizione dati : utilizzano la componentistica descritta per consentire l’acquisizione multicanale. I componenti principali sono:

- convertitore AD; - circuito di amplificazione; - multiplexer (commutatori di canale); - circuito di memoria SH. Anche filtri anti aliasing etc.

Questi elementi possono essere organizzati in architetture diverse per ottenere possibilità operative e prestazioni differenti. Due soli elementi restano in posizioni prestabilite: il trasduttore (primo) e il convertitore AD (ultimo). Il filtro anti-aliasing (AA) deve operare su un segnale di analogia con l’ingresso quindi prima di elementi che ne modifichino la storia temporale. L’hardware AD è fisicamente disgiunto dal computer che svolge i compiti di programmazione, memorizzazione, visualizzazione e manipolazione.

Sono possibili collegamenti a Bus interno (schede acquisizione dati) o a collegamento esterno (con protocolli di comunicazione).

Vantaggi del primo:

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- costo e dimensioni contenuti in quanto il dispositivo di acquisizione non necessita né un proprio contenitore né una propria alimentazione (fornita direttamente dal PC);

- maggiore velocità di trasferimento dati dall’acquisizione al PC.

Vantaggi del secondo:

- completa indipendenza dei sottosistemi; - possibilità di misure remote.

Multiplexer (MUX) : permette di mettere in continuità elettrica uno degli interessi di un sistema multicanale con l’unica linea in ingresso al convertitore analogico/digitale. Collega ciclicamente un ingresso con l’uscita seguendo una temporizzazione programmata che consente l’acquisizione multicanale. Il circuito SH e quello amplificatore possono essere posizionati indifferentemente prima o dopo il MUX, mentre il filtro AA (uno per canale) deve essere posizionato prima. Vi è la possibilità di adeguare il condizionamento al singolo canale senza perdere tempo se l’amplificatore viene posto a monte del MUX (anziché a monte del convertitore).

Acquisizione multicanale : con la struttura precedentemente descritta si ha un ritardo tra l’acquisizione di un canale e quello successivo pari alla somma dei tempi di conversione e di commutazione del Multiplexer. Il collegamento sequenziale dei canali in ingresso con un unico convertitore comporta un ritardo progressivo nell’acquisizione. Per effettuare misure contemporanee su tutti i canali ci sono due tecniche:

- scheda SH e AD per ogni canale; - scheda a soli SH multipli prima del MUX ad attivazione contemporanea.

Metodi di ingresso : le schede spesso presentano due modalità di utilizzo: differenziale e a riferimento unico. Se la scheda è di quest’ultimo tipo allora tutti i segnali che gli vengono collegati devono condividere la stessa linea di terra. Può risultare più conveniente misurare la differenza tra le due linee, alta e bassa, del segnale di ingresso, usando così la modalità differenziale. LA presenza di un rumore fluttuante o di un offset stazionario, comune alle due linee, viene cancellata dal segnale prima della lettura da parte dell’AD. Tuttavia questa modalità riduce (dimezza) il numero di ingressi disponibili.

Software : ogni componente della scheda di acquisizione deve essere istruito su come e quando fare le operazioni richieste. I comandi vengono comunicati alla scheda mediante la scrittura di codici particolari in apposite posizioni della memoria, dette registri.

ANALISI IN FREQUENZA

L’analisi in frequenza è utile perché:

- semplifica i problemi; - si ha una distribuzione delle energie lungo lo spettro; - si possono individuare segnali di piccola ampiezza, specialmente a frequenze elevate. Ciò significa che si

ha la necessità di utilizzare schemi opportuni per recuperare sensibilità alle frequenze elevate.

Trasformata di Fourier : permette di scomporre un segnale nelle sue due componenti armoniche. L’integrale di

Fourier definisce la trasformazione più generale tra tempo e frequenza:

Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione e quindi può essere invertita:

. Le funzioni coinvolte sono continue, complesse e infinite nel tempo e

nella frequenza anche se tipicamente si rappresentano in .

Condizioni di esistenza:

-

, sufficiente ma non necessaria

- e

con decrescente per crescente.

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Se almeno una di queste condizioni è soddisfatta è possibile trasformare in e viceversa.

La trasformata di Fourier è un potente mezzo per l’analisi dei segnali permettendo di risolvere un problema analiticamente più semplice di quello originale. L’integrale è la generalizzazione del concetto di serie dal discreto al continuo, la serie può pertanto essere vista come un caso particolare dell’integrale. Di seguito ci si limiterà a trattare funzioni temporali reali. Il contenuto in frequenza, cioè la serie o l’integrale di Fourier, è una funzione complessa della frequenza, discreta la prima, continua la seconda.

Rappresentazione : vi sono vati tipi di rappresentazione:

- Re/Im vs frequenza; - Im vs Re (diagramma di Nyquist); - Ampiezza/fase vs frequenza

dove l’ampiezza è

e la fase

. Normalmente in

quest’ultimo caso si rappresenta il semipiano a frequenze positive. Se si vuole mantenere l’integrale sotteso dalla curva (energia) occorre raddoppiare il valore dell’ampiezza.

Derivazione : Si può dimostrare che c’è una relazione tra la trasformata di una variabile e la sua derivata: . Questa proprietà può essere applicata ai sistemi dinamici di tipo che in frequenza assumono questa forma . Ne risulta un’equazione facilmente risolvibile per ogni frequenza di definizione del carico esterno, non occorre integrare le equazioni di equilibrio dinamico ma risolvere una serie di sistemi lineari a coefficienti complessi. Il generale un sistema dinamico lineare si scrive con una relazione ingresso-uscita, introducendo la funzione di trasferimento del sistema . Si ricorda che la trasformata di Fourier coincide con l’intersezione della trasformata di Laplace con il piano immaginario, o parte reale si s nulla: . La funzione di trasferimento non è altro che la risposta ad un ingresso unitario in frequenza, quindi è la trasformata della risposta temporale ad una forzante impulsiva.

Distribuzione di energia : la rappresentazione in scala logaritmica in frequenza rispetto a quella temporale permette di evidenziare le armoniche superiori e il loro rapporto con la frequenza fondamentale, altrimenti scarsamente apprezzabili.

Serie di Fourier : si può usare su una funzione continua e periodica nel dominio del tempo la cui trasformata diviene

infinita e discreta nel dominio della frequenza con passo

:

Trasformata discreta : si applica ad una funzione periodica e discreta nel dominio del tempo la cui trasformata nel

dominio della frequenza (

) e periodica (di periodo

):

oppure

Trasformate notevoli :

La trasformata di una funzione scatola (finestra di osservazione) nulla all’esterno dell’intervallo – di valore

all’interno e

agli estremi ha la seguente forma:

che risulta essere una funzione

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smorzata, continua, infinita ad ampiezza decrescente. I punti di zero sono equispaziati, il primo è ad una frequenza pari all’inverso della dimensione temporale della scatola.

Considerazioni nel campo complesso : la trasformata può essere vista sotto forma di vettori controrotanti complessi:

. Il termine esponenziale che compare

all’interno dell’integrale nella trasformata corrisponde ad una rotazione. Essendo negativo, per pulsazione positiva, equivale ad una rotazione all’indietro di un angolo pari a quello spazzato da un segnale di periodicità/frequenza . Se nel segnale c’è una componente di periodicità la rotazione uguaglia l’angolo percorso dall’origine del tempo, il segnale viene quindi riportato ad una fase coerente con quella iniziale e l’integrale porta all’ampiezza. Per componenti con periodicità diversa la rotazione porta ad una fase non coerente con quella iniziale e l’integrale è nullo.

Algoritmo digitale : normalmente si esamina il semi spettro a frequenze positive. Per la rappresentazione occorre:

- Generare la base di frequenze discrete; - Scalare le ampiezze della trasformata in modo da renderla indipendente dal numero di acquisizioni - Recuperare l’energia dello spettro moltiplicando per 2 i coefficienti delle frequenze non nulle.

L’algoritmo è indipendente da tutti i parametri di acquisizione quali il passo temporale, il numero di punti o la risoluzione in frequenza. In realtà la trasformata si applica a due domini generici. La funzione continua corrispondente alla trasformata digitale è la densità spettrale che si ottiene dividendo i dati con il passo di discretizzazione della frequenza.

Slow Pourier Transform (SFT) :

. Il calcolo della trasformata discrete

equivale al prodotto di una matrice di rotazione per il vettore dei dati:

. L’ampiezza di ogni rotazione è definita dal prodotto degli indici di tempo e frequenza

. La matrice dei termini risulta essere simmetrica. Le rotazioni sono a modulo 360°, cioè si ripetono, quindi le rotazioni che compaiono nella matrice si ripetono anch’esse. Se ne notano un numero diverso pari al numero dei dati in ingresso. Questa considerazione è alla base degli algoritmi veloci di trasformazione.

TRASDUTTORI

I trasduttori sono una parte essenziale di un sistema di misura. Per la realizzazione di un trasduttore è necessario sfruttare un principio fisico di trasformazione di energia, cioè una conversione di forma energetica da quella originale ad una più conveniente da elaborare. Le forme disponibili di energia sono: acustica, chimica, elettrica, magnetica, meccanica, nucleare, ottica, termica. I principi più comunemente utilizzati nell’ambito delle misure meccaniche sono:

- Variazione di resistenza; - Induttanza; - Capacità; - Piezoelettricità.

Misure di resistenza : per un filo di materiale conduttore si definiscono:

- resistività specifica; - lunghezza specifica; - sezione.

La resistenza elettrica è esprimibile come:

. Avendo a disposizione un generatore di corrente calibrato ed un

misuratore di tensione si è in grado di misurare la resistenza del filo. Attraverso una misura differenziale di resistenza si possono quindi rilevare variazioni di resistività del materiale, lunghezza e sezione del filo prodotte da un fenomeno qualsiasi.

Variazione di resistività : la resistività varia con diversi parametri, risulta quindi difficile isolare l’effetto di interesse. Eventuali variazioni dovute a questo effetto dovranno essere tenute in conto.

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Variazioni di sezione : la variazione di sezione avviene sotto carico, ma la strizione della sezione è un effetto secondario, quindi non è il metodo migliore per ottenere un’elevata sensibilità. Quando presente se ne può tenere conto.

Variazione di dimensione : la variazione di lunghezza può essere dovuta a una modifica della geometria per spostamento relativo (potenziometro) o a una deformazione (estensimetro).

Variazione di resistenza per partizione : la variazione della geometria determina lo spostamento di un contatto mobile su una piastra resistiva. La resistenza ai capi di uscita dipende in maniera lineare dalla posizione della slitta. Questo principio viene sfruttato per realizzare i potenziometri, tuttavia nelle realizzazioni pratiche non è detto che il

legame resistenza/posizione sia perfettamente lineare:

. Risulta più pratico ai fini della misura di tensione

utilizzare il potenziometro come partitore di tensione:

. Lo zero (posizione con uscita nulla) è ad un estremo.

Per il potenziamento lineare la tensione in uscita varia linearmente con la posizione, la linearità è garantita in termini

differenziali:

. Vi sono però dei problemi di carico in uscita.

Variazione di resistenza : differenziando l’espressione della resistenza e rapportando il risultato al valore nominale

si ha:

. Il termine è dato dalla strizione conseguente l’applicazione

del carico. Se la deformazione longitudinale è

. Se per semplicità si assume un

conduttore a sezione circolare di diametro nominale dopo la trasformazione il diametro sarà:

.

Da queste espressioni si ricava il termine

che viene espresso in termini finiti anziché differenziali:

, trascurando gli infinitesimi del secondo ordine. La variazione di resistenza percentuale può quindi essere

scritta come:

. La strizione aumenta la sensibilità del filo alla deformazione imposta. Si può

definire il fattore di sensibilità del sensore di deformazione come rapporto tra le variazioni di resistenza percentuale

e la deformazione:

, pertanto si può esprimere la variazione di resistenza percentuale

come

. Il fattore di sensibilità è una caratteristica del materiale e per quelli più comunemente utilizzati per il

rilievo di deformazioni varia da 2 a 4 (semiconduttori hanno valori maggiori). In assenza di una variazione della resistività (quindi a temperatura costante) . Risulta però problematico misurare la deformazione attraverso una misura differenziale di resistenza.

Misure di capacità : i trasduttori capacitivi rilevano la capacità di un condensatore a seguito del movimento relativo delle armature, quindi possono essere impiegati sia per la trasduzione dello spostamento che della grandezza che lo

determina, oltre che per identificare il dielettrico frapposto:

dove è la capacità, è la costante

dielettrica dell’aria, è la costante dielettrica del materiale frapposto tra le due armature, è l’area delle armature, è la distanza tra le due armature. Le principali caratteristiche di questi sistemi di misura:

- il sistema risponde al movimento medio degli elettrodi; - non è necessario avere contatto tra sensore e sistema, le forze esercitate sono rigorosamente

trascurabili; - libertà nella scelta del dielettrico in relazione alle applicazioni specifiche; - la variazione percentuale della capacità può essere facilmente resa grande; - nel caso di sensori di spostamento, bassa sensibilità trasversale e fondo scala limitati (effetti di bordo sul

flusso); - il livello di rumore è molto basso e il rapporto segnale/rumore è ottimo (alta risoluzione); - banda passante elevata; - la tecnologia è a basso costo, stabile e non richiede complessi circuiti di condizionamento.

Nelle applicazioni di acquisizione di profili la dimensione del sensore determina la risoluzione spaziale (più sottile meglio è).

Induzione magnetica : il flusso magnetico prodotto da un magnete permanente, montato su un equipaggio mobile, accoppia il campo elettrico prodotto da un circuito primario, opportunamente alimentato, con due avvolgimenti secondari. In questi vengono indotte delle tensioni secondarie dipendenti dalla posizione del magnete permanente.

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Piezoelettricità : i piezoelettrici sono materiali, naturali o sintetici, che presentano un’asimmetria nella struttura elettrica, possono esibire un comportamento piezoelettrico diretto e inverso. L’effetto piezoelettrico diretto si ha quando la deformazione determina la produzione di cariche e se questa è prodotta da forze esterne, la produzione di materiale ne determina la contrazione. L’effetto piezoelettrico inverso invece si ha quando una tensione applicata al materiale ne determina la contrazione. Se il piezoelettrico è vincolato ad una struttura vi esercita delle forze distribuite lungo i bordi, permettendo di esercitare un’azione di controllo sulla struttura; se no bilanciate introducono un momento che permette di controllare la flessione. Il legame costitutivo esteso nelle ipotesi di

linearità è:

dove sono i tensori si sforzo e deformazione in forma vettoriale,

il vettore di campo e spostamento elettrico, la matrice costitutiva elastica valutata a campo elettrico

costante, la matrice di caratterizzazione piezoelettrica (permettività elettrica), la matrice delle costanti dielettriche valutata a deformazione costante. Gli apici indicano rispettivamente che le matrici sono state valutate con campo elettrico costante (elettrodi cortocircuitati) e a deformazione costante (struttura vincolata). Il legame costitutivo generalizzato prevede l’uso di termini elettrici oltre a quelli meccanici vi sono diverse forme del legame.

Per la misura di forze e deformazioni di solito si utilizza . Un materiale piezoelettrico molto

diffuso è lo PZT che ha modulo elastico di circa e densità di

. Un piezoelettrico come il PVDF ha un

modulo elastico molto ridotto, circa e una densità di

. Il coefficiente piezoelettrico di attenuazione è

inferiore ai materiali piezoelettrici ma quello di sensibilità è superiore. Sono estremamente sottili e sono disponibili solamente i modi longitudinali e trasversali. I piezoelettrici presentano un’uscita di carica elevata in rapporto alle deformazioni che rimangono molto piccole. Trovano largo impiego per applicazioni dinamiche con intervallo di misura molto esteso, tipicamente dell’ordine di . Si trovano invece poco adatti per misure statiche in quanto la carica generata dall’applicazione del disturbo decade nel tempo con una costante di scarica che dipende dal piezoelettrico stesso o dal circuito di misura. A differenza del precedente tipo di misurazione elettrica, i piezoelettrici necessitano di adeguati circuiti di condizionamento e dispositivi analogici di conversione carica-tensione per poter essere di utilità pratica. Questi circuiti servono a convertire un segnale di tensione, amplificarlo e ad effettuare un filtraggio analogico. Sono possibili due soluzioni diverse: l’utilizzo di dispositivi esterni o a integrazione microelettrica (ICP). Il primo modo presenta le seguenti caratteristiche:

- segnale in uscita ad alta impedenza, per evitare problemi di carico si rende necessario un circuito che produca un’uscita a bassa impedenza;

- vi è la necessità di dispositivi esterni da mantenere; - i sensori possono essere sottoposti ad alte temperature ( ); - requisiti di alta qualità su tutti i dispositivi inoltre, per ridurre la sensibilità alle interferenze radio ed

elettromagnetiche sono richiesti cavi a basso rumore; - è possibile modificare le caratteristiche dello strumento (sensitività e campo di frequenza) agendo

sull’elettronica di condizionamento; - modalità di impiego sempre meno diffusa nella normale sperimentazione di laboratorio perché i

dispositivi sono costosi sia per acquisto che per gestione.

Oggi sono molto diffusi trasduttori piezoelettrici con integrati microcircuiti che permettono si semplificare il condizionamento necessario. La microelettronica integrata ha circuiti piccoli, meno costosi e con prestazioni migliori e offrono una semplicità di impiego maggiore. Sono infatti disponibili sistemi di acquisizione in grado di leggere direttamente i sensori ICP, in alternativa viene richiesto solamente un generatore di corrente esterno.

Ponte di Wheatstone per misure differenziali

Risulta frequente il caso di una misura che porta ad un valore piccolo come differenza tra due valori elevati, il che comporta un problema di precisione e una doppia misura. Il ponte di Wheatstone risolve il problema realizzando una misura differenziale: la variazione della tensione in uscita è proporzionale alla variazione della grandezza che ha sbilanciato il ponte stesso. Questi è costituito da 4 lati i cui vertici opposti (A-C) vengono alimentati da un generatore ì, la misura differenziale avviene tra gli altri due vertici (B-D). Di seguito si analizzerà il ponte prendendo in esame il caso di sole resistenze, ma può essere utilizzato anche per misure differenziali di capacità. La corrente del tratto B-D è nulla e quindi implica che la corrente che passa per D e B passi da A e C per il loro lato senza essere modificata ( ). Siano la corrente che passa per D è pari a

essendo queste in serie. è la tensione che alimenta A e D. Analogamente la corrente per B sarà

. La tensione misurata a cavallo di B e D sarà:

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. La condizione di bilanciamento è , bisogna quindi

scegliere le resistenze in modo che .

Configurazione a quarto di ponte : nel caso vi sia solo una resistenza variabile si ha tale configurazione per cui

. Se il ponte è bilanciato e si utilizzano resistenze uguali allora

che

risulta essere una relazione non lineare tra e . Questo legame può essere linea rizzato nell’ipotesi che la

variazione sia notevolmente inferiore al valore della resistenza nominale:

. Il ponte risulta

particolarmente utile quando si intende misurare una piccola variazione percentuale. La relazione è praticamente lineare fino a 4000-5000 microdeformazioni.

Configurazione a ponte intero : nel caso più generale

. Nell’ipotesi di ponte

bilanciato, resistenze uguali, e variazioni piccole si può semplificare ottenendo

.

Risulta ovvio che le relazioni del quarto di ponte sia una generalizzazione di quest’ultima. I contributi di lati opposti si sommano se uguali (raddoppiano) o si annullano se opposti. I contibuti di due lati adiacenti si sommano se opposti o si annullano se uguali.

Misure strutturali

I trasduttori tipici per queste misure sono:

- potenziometri, LVDT, encoder; - estensimetri elettrici; - celle di carico; - accelerometri.

Le misure di spostamento eseguite a contatto, ovvero la misura del movimento relativo di due parti del sensore, necessitano degli strumenti al primo posto nel precedente elenco, mentre per quelle esterne si utilizzano trasduttori capacitivi che possono misurare il movimento relativo tra sensore e oggetto di misura.

Potenziometro : di ordine zero, visti come traduttori isolati, si comportano come precedentemente descritto e mediante la misura della tensione , a fronte di quella di alimentazione , riescono a fornire una misura di

spostamento:

. Alcune varianti permettono di adattare le caratteristiche del trasduttore. L’uso di un filo a

spirale permette di aumentare la resistenza riducendo i problemi di potenza, la risoluzione risulta finita (numero di spire). Se invece si utilizza uno strato resistivo in teoria si potrebbe ottenere una risoluzione infinita. Esistono potenziometri angolari che s aggiungono a quelli lineari comunemente utilizzati per gli spostamenti. Questi permettono di eseguire misure lineari per grandi e grandissimi spostamenti: potenziometro a filo. In questo caso il filo serve a disaccoppiare sensore e oggetto di misura nella direzione perpendicolare al filo, ma presenta difficoltà di allineamento.

Trasformatore differenziale lineare : comunemente abbreviato con LVDT oDC-LVDT, il trasformatore differenziale lineare è uno strumento elettromagnetico. L’avvolgimento primario è alimentato in corrente alternata fornita da un oscillatore. Il flusso magnetico prodotto si accoppia attraverso l’equipaggio mobile, sul quale è fissato, con gli avvolgimenti secondari: la mutua induttanza tra le bobine esterne dipende dalla posizione di quelle interne. La differenza delle tensioni indotte, collegate in serie e in opposizione, è proporzionale allo scostamento dell’equipaggio mobile dalla posizione centrale. Il LVDT ha i seguenti vantaggi: robustezza meccanica e ambientale; basso attrito, quindi alta sensibilità e risoluzione; vita a fatica virtualmente infinita, con adeguata manutenzione; sensibilità incrociata praticamente nulla; misura assoluta: ripetibilità dello zero. Valori tipici:

Portata:

Sensibilità:

Linearità:

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Una variante è RVDT che si basa sugli stessi principi ma con una geometria più complessa. Ha un campo di linearità abbastanza limitato che può essere aumentato riducendo la portata. Valori tipici:

Portata:

Sensibilità:

Linearità:

Trasduttori capacitivi : la capacità può essere fatta variare con la distanza degli elettrodi o variando le due aree affacciate. Il dielettrico frapposto può anche non far parte dello strumento. Hanno i seguenti vantaggi: elevata sensibilità e stabilità, poco sensibili alle variazioni di temperatura, target non conduttore; mentre gli svantaggi: sensibile alle variazioni di capacità del cavo, sensibili alle variazioni delle caratteristiche del dielettrico, elevata impedenza. Valori tipici:

Portata:

Sensibilità:

Risoluzione:

Linearità:

Encoder : il segnale di uscita è costituito da una successione di N impulsi per (N=numero di incisioni). Risulta essere un trasduttore sui generis in quanto l’uscita non è in analogia con l’ingresso e non trasformata alcunché: genera eventi (impulsi). Lo strumento di misura è il contatore di impulsi. Il numero massimo di impulsi dipende dal diametro del disco: 1-9000. Si ha il problema della saturazione del contatore (roll-over). La risoluzione angolare è data dal numero di incisioni sul giro (N impulsi sul giro). Il conteggio degli impulsi fornisce la rotazione

. Possono essere utilizzati per misurare la velocità angolare di un albero misurando anche :

È preferibile mettere a monte del contatore un circuito di interfaccia per i canali dell’encoder che: trasformi gli impulsi ad onda quadra in impulsi one-shot; eventualmente moltiplichi il conteggio per 2 o 4; determini il verso di rotazione.

- Monodirezionale : presenta due piste A e Z. Sulla prima vengono incisi N impulsi per giro, mentre sulla seconda ne viene impresso uno solo per giro. Non è in grado di fornire indicazioni sul verso di rotazione dell’albero.

- Bidirezionale : presenta tre uscite A,B e Z. La differenza con il modello monodirezionale è che tra l’uscita A e l’uscita B, ugualmente incise da N impulsi per giro, c’è del ritardo. Se A è in anticipo su B la rotazione è oraria, altrimenti è antioraria. Lo sfasamento serve pertanto a determinare il verso di rotazione.

Encoder assoluto : questo è uno strumento digitale costituito da un disco codificato con n piste che vengono lette simultaneamente da foto-rilevatori indipendenti fornenti un’uscita in codice. Per ogni settore angolare si ha un codice differente a seguito del mascheramento selettivo delle piste. Il numero di settori angolari è . LA codifica binaria è semplice ma può dare falsa lettura quando un rilevatore è a cavallo della transizione, la codifica Gray consiste in un riordino delle posizioni. Il vantaggio è che l’errore di lettura di un bit non comporta una discontinuità dell’uscita, ma vi è necessità di decodificare la misura. A parità di tecnologia la collocazione delle tacche più corte sulla corona esterna consente una risoluzione maggiore. La capacità del cavo limita la frequenza limite del segnale di ingresso poiché all’uscita le onde quadre vengono arrotondate.

Misure di velocità : si utilizzano Pick-up magnetici o ottici abbinati a frequenzimetri. Risulta un analogo dell’encoder in quanto le tacche sono riportate sull’oggetto in movimento. Solo in casi particolari si raggiunge una discreta risoluzione.

Misure di accelerazione: si utilizzano accelerometri piezoelettrici, piezoresistivi e servo accelerometri.

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- accelerometri piezoelettrici

dove q è la carica, è la costante piezoelettrica, la forza,

la sensibilità in tensione, la pressione e lo spessore. Posso lavorare a compressione, a compressione isolata, a compressione inversa e a taglio. A causa della modalità di installazione vi è una riduzione della banda.

- accelerometri piezoresistivi: utilizzano estensimetri per determinare lo spostamento di una trave a sbalzo (connessa con una massa calibrata) immersa in un fluido smorzante.

- servo accelerometri: vengono utilizzati per misurazioni di movimento a carattere generale e in presenza di vibrazioni a bassa frequenza. Si dimostrano particolarmente utili nei sistemi di controllo dell’accelerazione, dal momento che il valore di accelerazione di interesse può essere imposto al sistema introducendo una corrente proporzionale generata da una sorgente esterna. Le armature sono fisse e vi è una lamina vibrante, intrappolata tra le due, che determina la variazione di capacità.

Misure di deformazione: per misurare le deformazioni si utilizzano estensimetri elettrici ed estensimetri a

semiconduttore. La relazione fondamentale dell’estensimetria è:

ed è valida indipendentemente dalla

forma della sezione del conduttore. Il fattore di taratura è approssimato a causa della sensibilità trasversale, i cui valori tipici sono: per estensimetri a conduttore ( ); per estensimetri a semiconduttore. La sensibilità è massimizzata nella direzione di misura e minimizzata nella direzione ortogonale. I criteri di selezione riguardano quindi:

- Allungamento massimo: - Numero di cicli di deformazione: - Temperatura di lavoro: - Precisione richiesta: Moderata

Gli effetti della temperatura sulla sensibilità sono:

- La griglia dell’estensimetro varia la sua lunghezza: ; - La base del pezzo varia la sua lunghezza: ;

- Cambia la resistenza

I primi due termini producono una deformazione apparente . Questi effetti sono

compensabili con delle correzioni nelle misure come ad esempio la doppia misura o la sottrazione. L’im piego degli estensimetri nei sistemi di misura di deformazione viene spesso associato ad un ponte di Wheatstone:

. La variazione percentuale di resistenza è in relazione diretta con la deformazione subita

dal conduttore e mediante un fattore, lo strain gage factor, con la deformazione subita dall’estensimetro:

nel caso comune di estensimetri uguali.

Deformazione assiale, 1 estensimetro : si utilizza un solo estensimetro a quarto di ponte. L’uscita del ponte è:

. La sensibilità del ponte è:

. Cosa misura l’estensimetro:

, quindi tiene conto sia di un’eventuale flessionale che degli effetti termici.

Deformazione assiale, 2 estensimetri : si usano due estensimetri uguali su facce opposte, quindi con configurazione a

mezzo ponte, e collegati su rami opposti. L’uscita del ponte è:

. Cosa misura

l’estensimetro: . La differenza

con la precedente configurazione è che i termini flessionali sono di segno opposto e quindi si annullano. La misura così ottenuta compensa gli effetti flessionali ma risente ancora di quelli termici. La sensibilità del ponte è quindi raddoppiata.

Deformazione assiale, 4 estensimetri : gli estensimetri sono 4, tutti uguali, due per ciascuna faccia: due opposti

allineati con la direzione di carico, gli altri con quella trasversale. L’uscita del ponte è:

dove

. Se i coefficienti di dilatazione termica e sono uguali le

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rispettive deformazioni vengono compensate. L’estensimetro misura . La sensibilità del ponte è .

Deformazione flessionale : per misurare la deformazione flessionale in una posizione assegnata di una struttura si possono utilizzare due estensimetri in configurazione a mezzo ponte. Il problema di questo tipo di misure è ottenere solamente la componente flessionale della deformazione eliminando i contributi assiali e termici. Per far fronte a questa richiesta si sfruttano due rami adiacenti del ponte di Wheatstone, in quanto essi si sottraggono lasciando

solamente la componente flessionale. L’uscita del ponte è

. L’estensimetro misura

Essendo le deformazioni da flessioni opposte. In questo modo la misura compensa la deformazione assiale e quella termica. La sensibilità del ponte è indipendente dalla scelta della posizione degli estensimetri quindi risulta uguale al caso precedente per configurazione a mezzo ponte.

Misure di forza: vengono utilizzate celle di carico estensimetriche o piezoelettriche.

Misure di pressione: vi è la possibilità di utilizzare tubi a U, ma non sono idonei all’utilizzo di sistemi di acquisizione. Si preferisce quindi utilizzare il manometro di Bourdon o un trasduttore piezoelettrico o tubi di Pitot (offrono misure differenziali di pressione e velocità attraverso il teorema di Bernoulli) o capsule aneroidi.

CARATTERISTICHE DEGLI STRUMENTI

Lo strumento può essere rappresentato come un sistema a più ingrassi (di misura, di interferenza, di modifica) ed una singola uscita (la misura). La completa caratterizzazione di uno strumento prevede l’individuazione sperimentale della sua funzione di trasferimento. Numerosi sono i parametri da cui dipende la caratterizzazione dello strumento, ma la frequenza è quello che svolge un ruolo chiave. Le caratteristiche si possono dividere in statiche e dinamiche, le prime fanno riferimento ad un ingresso senza il tempo come variabile, mentre in quelle dinamiche entra in gioco solamente quest’ultimo. Esistono delle applicazioni in cui le misure sono costanti e quindi si può operare una caratterizzazione di qualità dello strumento. In caso di comportamento statico è possibile identificare una relazione ingresso uscita del tipo valido per qualsiasi e con costante nell’intervallo di lavoro. Questa relazione è la stessa di uno strumento ideale anche dal punto di vista dinamico: legame ingresso-uscita lineare che non risente di nessun altro ingresso o disturbo. Lo strumento ideale è però un modello, tuttavia alcuni strumenti possono essere descritti in questo modo in maniera abbastanza accurata. Le caratteristiche statiche sono significative anche nelle problematiche di carattere dinamico e quindi devono essere tenute in conto nella variazione della qualità di un sistema di misura dinamico. Se è possibile ritenere che le caratteristiche statiche si mantengano inalterate per un livello di frequenze, lo strumento avrà una banda passante e potrà essere utilizzato per acquisire segnali dinamici.

EQUILIBRIO DINAMICO

Per valutare le caratteristiche dinamiche è necessario un modello. Servono quindi delle equazioni in presenza di forze dipendenti dal tempo: , a determinare il movimento di un equipaggio mobile di un galvanometro, causato dal carico esterno concorrono la reazione elastica, le forze d’inerzia e quelle viscose. Più piccoli sono questi ultimi due termini rispetto a quello statico più la misura è ideale in quanto segue l’andamento del carico esterno. Lo smorzamento dovrebbe essere ridotto per evitare isteresi e scarsa sensibilità. Si può quindi scegliere di ridurre il momento di inerzia dell’equipaggio riducendone la lunghezza, in questo modo si riduce la soluzione.

Lo studio della dinamica di un sistema può essere affrontato mediante la trasformata di Fourier che permette di trasformare in maniera reversibile le informazioni dal tempo alla frequenza. Ad esempio partendo da si ottiene dove è l’operatore di derivazione nel dominio della frequenza. La trasformata di Fourier equivale alla sezione col piano complesso della trasformata di Laplace, secondo

la quale si avrebbe dove .

Risposta di un sistema dinamico

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Per lo strumento si può utilizzare un modello dinamico a un grado di libertà soggetto ad una forzante armonica di

periodo assegnato al quale corrisponde un pulsazione

. L’equazione del moto è:

, equazione che ha come soluzione:

dove sono stati introdotti:

- La pulsazione propria del sistema dinamico:

misurata in radianti al secondo;

- Lo smorzamento critico

;

- L’angolo di fase

Esaminando la struttura della risposta si osserva che è armonica con la stesso pulsazione della forzante e che la sua ampiezza varia in funzione del rapporto tra la frequenza propria e quella di eccitazione oltre che dal valore dello smorzamento. Considerando solamente i termini non dipendenti dal tempo si ottiene l’ampiezza del moto in

funzione della frequenza:

. Se si diagrammano l’ampiezza, normalizzata rispetto alla

deflessione statica, e la fase della risposta si ottengo i diagrammi di risposta e fase. La risposta di sistemi poco smorzati è sovrapponibile lontano dalla risonanza. Il massimo della risposta ha valori finiti ed è collocato su valori di frequenza leggermente inferiori a quella di risonanza (più il sistema è smorzato più si abbassa la frequenza di risonanza). Per i sistemi con smorzamento superiore a quello critico la risposta non è oscillante è l’amplificazione dinamica alla frequenza di risonanza non è più presenta. Per frequenze superiori a quella di risonanza l’ampiezza della risposta decade rapidamente: lo strumento filtra l’ingresso. Dal diagramma di fase del sistema non smorzato si può notare come il ritardo della risposta si mantenga nullo sino alla risonanza dove si ha una variazione di per poi rimanere costante a frequenze superiori. La presenza di smorzamento modifica l’andamento su tutto il campo di frequenze, anche per valori di smorzamento relativamente bassi la risposta viene ritardata in maniera significativa. Il passaggio di della fase a cavallo della risonanza viene però mantenuto e utilizzato per identificarla.

Distorsione: la scelta di una fluttuazione sinusoidale del segnale da misurare non è casuale: la risposta del sistema dinamico è data dalla combinazione della risposta per infiniti ingressi sinusoidali (sommatoria per il caso discreto, integrale per quello continuo). Ogni porzione dello spettro dell’ingresso viene filtrata dalle proprietà dinamiche che caratterizzano il trasduttore in corrispondenza di quelle frequenze, quindi il segnale che verrà misurato sarà caratterizzato da uno spettro più o meno distorto.

Distorsione in ampiezza : se il fenomeno analizzato è lineare si possono elaborate indipendentemente i contributi di ognuna delle sue componenti e sommarli al termine dell’analisi. Per fare questo si considerano i diagrammi di risposte in frequenza e da essi si ricavano i valori del rapporto di ampiezze e della fase per tutte le frequenze che costituiscono il segnale. Questi valori hanno il compito di modificare l’ingresso. Un trasduttore elabora un segnale armonico rispetto alla frequenza di risonanza propria. Poiché il segnale è dato dalla somma delle risposte indipendenti se ne otterrà una con una frequenza di risonanza propria. Poiché il segnale è dato dalla somma delle risposte indipendenti se ne otterrà una con una forma diversa dall’ingresso, questo effetto prende il nome di distorsione. L’errore causato dalla vicinanza della frequenza di una delle armoniche con la frequenza di risonanza. Nell’impiego di uno strumento la distorsione in ampiezza deve essere evitata: l’ingresso viene amplificato in maniera selettiva in funzione della sua frequenza.

Distorsione di fase : dal punto di vista della fase lo strumento ideale dovrebbe avere smorzamento nullo, e così l’errore sarebbe nullo fino alla risonanza. Gli effetti dissipativi sono però sempre presenti, quindi un errore di fase è sempre presente. Per smorzamenti ridotto il campo con errore di pochi gradi è più ampio di quello che fornisce un guadagno unitario. Nel caso di ritardo lineare si ha uno sfasamento proporzionale alla frequenza e l’effetto che si ottiene è un semplice ridefinire l’origine dei tempi. Il rapporto temporale delle componenti rimane inalterato. Un errore di fase lineare ritarda proporzionalmente tutti i contenuti armonici mantenendo inalterata la forma del segnale.

RISPOSTA DINAMICA DI UNO STRUMENTO

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Quello trattato è un caso particolare ma consente alcune considerazioni di carattere generale:

- La misura deve avvenire su un segnale che si mantenga in proporzione costante con il segnale di ingresso;

- Occorre evitare che nel tempo di frequenze di interesse intervengano effetti di distorsione; - Lo strumento deve quindi avere per l’intervallo di frequenze di interesse del segnale di ingresso, un

comportamento uguale a quello asintotico della zona di frequenza che non risente degli effetti dinamici; - Lo strumento ha un comportamento statico in un determinato campo di frequenze se vi si riescono ad

evitare fenomeno di distorsione; - La banda passante dello strumento isolato può non essere significativa in relazione ad una specifica

applicazione.

MODELLI DIMANICI

Potenziometro : la funzione di trasferimento di un potenziometro è:

, appare evidente che non

compare alcun termine differenziato del tempo e quindi il guadagno di è costante in frequenza. Si assume che la dinamica interna dello strumento sia a frequenze elevate rispetto al contenuto in frequenza dell’ingresso.

Termometro : siano la temperatura ambiente, la temperatura interna, il coefficiente di scambio termico, la massa del materiale del bulbo, il calore specifico del materiale del bulbo, il tempo. L’equazione di equilibrio dei

flussi è:

, cui corrisponde un’equazione dinamica del primo ordine:

che può essere riscritta introducendo la costante di tempo

. La sensibilità statica, ovvero il

guadagno a regime è .

Accelerometro : considerando un accelerometro a massa sismica si può utilizzare un modello ad un grado di libertà con massa, molla e smorzatore. L’accelerazione è il segnale in ingresso e viene fornito mediante lo spostamento imposto alla base del misurando che agisce con una forza pari a sulla massa flettendo la barretta sulla quale è fissata. U trasduttore di posizione rileva lo spostamento dell’estremità. L’equazione di equilibrio dinamico è

pertanto:

, dove è il movimento relativo della massa sismica e il movimento

della base . L’equazione in forma generale diventa ( )

. In questo caso il modello risulta essere del secondo ordine ad un grado di libertà (massa, molla e smorzatore) che trascura la dinamica dell’oggetto. L’ingresso è mentre l’uscita è

. La funzione di trasferimento del sistema è:

. Le caratteristiche di funzionamento sono:

- Sensibilità statica

;

- Pulsazione propria

- Coefficiente di smorzamento

Sensore di spostamento a massa sismica : in questo caso l’uscita deve essere messa in relazione con l’ingresso di spostamento applicato al contenitore dell’accelerometro. Il movimento, variabile nel tempo, impone un’accelerazione alla base che agendo sulla massa provoca una deflessione della barretta, il trasduttore di posizione rileva gli spostamenti. L’equazione di equilibrio è ovviamente la stessa dell’accelerometro, ma l’ingresso questa volta

è lo spostamento: . La funzione di trasferimento sarà:

. I

parametri caratteristici sono:

- Sensibilità statica (ovvero il guadagno a regime con s elevato)

;

- Pulsazione propria

;

- Coefficiente di smorzamento

La funzione di trasferimento è profondamente diversa da quella dell’accelerometro, infatti il guadagno a regime si ha per frequenze di lavoro superiori a quella propria del sistema. Per frequenze elevate la massa sismica rimane ferma e il movimento relativo coincide con quello di base. L’uscita è opposta all’ingresso.

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Generalizzazioni : il generico legame ingresso uscita di uno strumento è:

, con funzione di trasferimento

. L’ordine dello strumento è dato dal

massimo ordine di derivazione dell’uscita . Nella pratica i modelli necessari per un’adeguata descrizione del comportamento dinamico dello strumento sono di ordine zero, primo o secondo, in cui i coefficienti siano costanti. La soluzione, per quanto approssimata, si avvicina molto al comportamento reale dello strumento. Questo significa che quasi tutti gli strumenti sono descrivibili con modelli di ordine basso con forzanti algebriche lineari. L’importanza di questo tipo di analisi è legata alla possibilità di definire sistematicamente i parametri che caratterizzano ciascun modello in modo da poter valutare le caratteristiche di uno strumento in relazione all’utilizzo che ne può fare.

Strumenti di ordine zero

- Equazione caratteristica: che normalizzata diventa (legame ingresso-uscita);

- Sensibilità statica (guadagno a regime):

Rappresenta lo strumento ideale dal punto di vista della risposta dinamica. Dal momento che il legame ingresso-uscita è algebrico non ha importanza la variazione nel tempo dell’ingresso poiché l’uscita seguirà perfettamente l’ingresso senza distorsioni o ritardi di fase. Il potenziometro e l’estensimetro sono due validi esempi di strumenti di ordine zero.

Strumenti di primo ordine

- Equazione caratteristica: , riscrivibile come (legame ingresso-uscita);

- Sensibilità statica (guadagno a regime):

- Costante di tempo

- Funzione di trasferimento

Un esempio di strumento del primo ordine è il termometro.

Risposta a gradino: per la risposta ad un gradino minore è la costante di tempo maggiore la prontezza dello

strumento. Dopo un tempo pari a circa la risposta raggiunge il della risposta statica:

. Si può determinare sperimentalmente la costante di tempo:

. Passando ai logaritmi si può

ricavare . Si può quindi procedere con una regressione lineare la cui pendenza è l’inverso della costante di tempo. Risulta molto più semplice che stimare la costante di tempo in base alla variazione dell’ampiezza della risposta.

Risposta alla rampa: per la risposta alla rampa l’ingresso sarà

, sostituendo si ha:

, la cui soluzione, dopo aver applicato la condizione iniziale per è data dalla

somma dell’integrale generale e di quello particolare:

. L’errore di misura può essere

scritto come

, somma rispettivamente di un errore in transitorio e di uno

a regime.

Strumento di secondo ordine

Essendo di secondo grado si può subito identificare la presenza di termini elastici, viscosi e inerziali. Il polinomio in dipende dall’applicazione, ma nella stragrande maggioranza dei casi è di ordine zero. La forma generale dell’equazione di equilibrio è: . I parametri caratteristici sono:

- sensibilità statica (guadagno a regime)

- pulsazione propria

- coefficiente di smorzamento

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Funzione di trasferimento:

Risposta al gradino

Condizioni iniziali:

L’integrale generale può assumere tre forme distinte a seconda delle radici dell’equazione caratteristica:

- reali e distinte (sistema sovra smorzato); - reali ripetute (sistema criticamente smorzato); - complesse (sistema sotto smorzato)

Osservazioni:

- e compaiono sempre come prodotto e quindi conviene disegnare le curve delle funzioni di trasferimento in funzione di questo prodotto: diventano universali per qualsiasi .

- è un’indicazione diretta della velocità di risposta dello strumento. Per un determinato smorzamento raddoppiando si dimezza il tempo di risposta dato che il prodotto raggiunge lo stesso valore in metà del tempo.

- Un aumento dello smorzamento riduce le oscillazioni ma rallenta la risposta (la prima intersezione con il valore a regime viene ritardata).

- Un’indicazione della bontà della risposta è data dal cosiddetto settling time. Il valore ottimale dello smorzamento dipende però dalla banda di settling time a scelta.

- Molti strumenti in commercio hanno smorzamenti nel range e questo è anche l’intervallo che offre la migliore risposta in frequenza in termini di rapporto tra banda passante utile (a guadagno unitario) e frequenza propria.

- Con smorzamento inferiore, per avere la stessa banda utile, occorre avere una frequenza propria maggiore.

Risposa alla rampa

L’errore a regime è dato da:

Il ritardo a regime:

, può essere ridotto diminuendo lo smorzamento (a scapito di oscillazioni di ampiezza

maggiore) o aumentando la frequenza naturale.

Risposta in frequenza

- Aumentando la frequenza propria aumenta il range in frequenza per il quale la risposta è piatta (banda in frequenza), di conseguenza una frequenza propria elevata è indispensabile per misurare ingressi ad alta frequenza.

- Il valore ottimale di smorzamento è indicato sia dalla risposta in ampiezza che da quella in fase. La zona più estesa di ampiezza costante si ottiene per valori di smorzamento .

- Un angolo di fase nullo è impossibile da ottenere, ma la cosa importante è che il segnale in uscita riproduca la forma di quello in ingresso. Questo è ottenibile con un andamento di fase lineare che genera ritardo ma non distorsione. Il più ampio range di frequenza in cui la fase varia linearmente è dato per valori di smorzamento compresi nel range sopracitato.

Validità dei modelli dinamici

I modelli dinamici fin qui utilizzati hanno un limite di validità poiché si assume tutta la dinamica sia descritta dal grado di libertà utilizzato e questo è vero solamente se le frequenze caratteristiche ad esso associate sono ben separate da quelle del trasduttore. Non ha senso utilizzare uno strumento a ingresso algebrico vicino o oltre la risonanza. Il discorso è diverso per uno strumento come il trasduttore di spostamento sismico poiché viene utilizzato

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al di sopra della frequenza di progetto con una banda nominalmente infinita ( per ), il limite di impiego sarà dato dalle caratteristiche del contenitore.

Caratteristiche di qualità

La definizione delle caratteristiche di qualità è utile in relazione all’individuazione della fenomenologia fisica che la determina e all’inquadramento delle procedure operative atte a qualificarla.

Accuratezza

Questa è la caratteristica che definisce la capacità dello strumento di dare mediamente misure prossime a quelle definite dal campione di misura di riferimento della grandezza in esame. La normativa ISO 10012/1 dice che l’accuratezza corrisponde al grado di concordanza fra risultato della misurazione e valore convenzionalmente vero del misurando. Può essere valutabile mediante lo scostamento prevedibile di una lettura dal valore reale. Il valore effettivo di una grandezza non dovrebbe scostarsi più del valore di accuratezza dalla media delle misure fornite dallo strumento (vi è associato un significato probabilistico). A tutti gli effetti indica l’errore di misura. L’accuratezza è una caratteristica necessaria quando si utilizza uno strumento per determinare una misura, cioè un valore che sia confrontabile con altri dello stesso misurando ottenuti per altra via. Essa dipende sia dalle caratteristiche dello strumento che dall’operazione di calibrazione a cui è sottoposto. Una buona parte dell’errore di misura di un sistema può essere eliminata mediante un’adeguata calibrazione, tuttavia è sempre presente una certa dose di errore residuo. La qualità della misura non dipende però solamente dall’accuratezza dello strumento ma anche da come

viene impiegato. L’accuratezza si calcola come deviazione statistica dal valore vero: e si usa

come . Normalmente si esprime in percentuale del fondo scala

e si usa

come

. Tanto più piccolo è il numero associato all’accuratezza quanto più elevata sarà la

qualità dello strumento. Poiché l’incertezza è costante su tutto il campo di misura l’errore relativo aumenta per i valori minimi.

La classe di precisione: è definita dai limiti dell’errore espresso come percentuale di un valore convenzionale che coincide quasi sempre con il fondo scala (cioè con la portata). Gli strumenti sono pertanto suddivisi in classi di precisione; secondo le normative CEI sono suddivise in otto classi identificate da un particolare indice. Questi rappresentano i limiti di errore percentuale che uno strumento non deve superare, al fondo scala nelle condizioni di riferimento indicate dal costruttore o dalle norme, per poter appartenere a quella classe. Utilizzando lo strumento entro i limiti indicati dalle norme, ma al di fuori della condizione di riferimento, l’errore di identificazione dello strumento NON deve superare il doppio dell’errore indicato dalla classe.

Risoluzione: è la qualità che caratterizza la capacità di uno strumento di risolvere due valori del misurando molto vicini tra loro ed è data dalla minima differenza rilevabile dallo strumento. La risoluzione può essere applicata sia all’ingresso (trasduttore) o sull’uscita (strumento). In mancanza di altre indicazioni si può assumere che l’errore di risoluzione sia pari alla metà della risoluzione della scala di lettura.

Ripetibilità: consiste nel grado di concordanza tra i risultati di misure successive dello stesso misurando effettuate nelle medesime condizioni di misura ed eseguite in un breve intervallo temporale. Risulta quindi essere un indice della capacità di eseguire misure caratterizzate dallo stesso livello di accuratezza in un breve lasso di tempo. La ripetizione di una misura anche se effettuata con una grandezza costante, non produce valori uguali ma una serie di numeri affetti da dispersione. Il valore medio sarà presumibilmente la migliore approssimazione del valore della grandezza da misurare. Uno strumento è ripetibile se lo scarto tra le diverse misure è piccolo. Viene rappresentata dalla dispersione dei risultati ottenuti in condizioni estremamente controllate, in pratica alla sola replica della presentazione del misurando in un tempo breve senza alcuna modifica della condizione di misura. Permette di stimare il valore minimo di incertezza che può essere raggiunto con un determinato strumento in una determinata condizione di misura. La procedura:

1) Esecuzione della misura; 2) Ottenimento di un risultato (misura+incertezza); 3) Controllo delle condizioni al contorno (devono rimanere inalterate); 4) Nuova esecuzione della misura dopo un breve intervallo di tempo; 5) Verifica della compatibilità delle due misure.

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Riproducibilità: indica la capacità di ripetere una misura con una data accuratezza nel lungo periodo. Risulta essere un indice della differenza che si riscontra tra misure successive effettuate sulla stessa grandezza in tempi diversi, quindi con condizioni di misura diverse. La riproducibilità è molto simile alla ripetibilità, ma deve essere intesa come la capacità dello strumento di fornire la stessa misura quand’anche impiegato in condizioni diverse. La procedura di definizione è del tutto simile a quella precedente, eccetto il punto 3. La riproducibilità permette di stimare l’incertezza tipica prodotta in una certa operazione di misura da cause accidentali frequenti. Una buona riproducibilità consente allo strumento di essere utilizzato come riferimento.

Precisione: è una caratteristica qualitativa globale di tipo generico data dall’insieme delle caratteristiche di risoluzione, ripetibilità e riproducibilità. L’errore di precisione è dato da e

compendia tutti gli elementi trattabili in termini statistici: la dispersione dei dati attorno al valore medio deve essere limitata superiormente per definire il valore massimo di perturbazione della misura da parte egli effetti ambientali. L’errore di precisione identifica la ripetibilità dello strumento mentre lo scostamento del valore medio da quello vero dà la misura dell’errore sistematico (o di bias). L’errore di precisione è dunque dato dalla mancanza di ripetibilità ella misura della stessa quantità, occorre quindi fare riferimento ad una serie di misure per poterlo inquadrare.

Sensibilità: (o guadagno) è definita come la pendenza della curva di calibrazione dell’ingresso desiderato. A parità di variazione della grandezza in ingresso lo strumento più sensibile fornisce un’indicazione maggiore. Nei trasduttori lineari è costante e viene determinata durante la calibrazione, rientra tra i parametri statici. La sensibilità ha una certa influenza sull’errore ed è opportuno non esprimere questa caratteristica in termini di valore della misura e valore della grandezza ma in termini di uscita del trasduttore e valore della grandezza. Può essere rilevante anche l’effetto che gli ingressi indesiderati possono avere sulla sensibilità:

- Deriva dello zero (zero drift) cioè la presenza di una lettura non nulla in mancanza di ingresso; - Deriva ella sensibilità (sensivity drift o scale-factor drift) ovvero una variazione della sensibilità

dipendente dall’ingresso indesiderato.

Linearità: uno strumento/sensore è lineare se la variazione dell’uscita è proporzionale alla variazione dell’ingresso (nel range di misura). Ovviamente si possono avere strumenti con legge di calibrazione non lineare senza perdere accuratezza. In generale la linearità è una caratteristica positiva. Viene definita in termini di percentuale della portata o della misura e in genere è compresa nell’accuratezza specificata. La linearità di uno strumento o di un trasduttore è data dalla misura del massimo scostamento di qualsiasi punto di calibrazione dalla retta di calibrazione e può essere espresso in termini percentuali rispetto alla lettura attuale o al fondo scala. Uno schema diffuso per la descrizione della linearità di uno strumento fa riferimento a due definizioni:

- La percentuale del fondo scala viene adottata per definire il campo di linearità in prossimità dello zero dove l’errore percentuale sulla lettura potrebbe essere alto;

- L’errore percentuale viene adottato per la rimanente porzione del campo di lavoro.

Isteresi: è il fenomeno per il quale una parte dell’energia assorbita dal trasduttore viene dispersa anziché essere completamente trasformata e resa disponibile per la misura. La dissipazione può avvenire in uno qualsiasi dei passaggi interni. Non esistono sistemi privi di isteresi poiché violerebbero il secondo principio della Termodinamica secondo il quale sistemi reali non sono mai perfettamente reversibili. L’esistenza di fenomeni isteretici è messa in evidenza dalla presenza di percorsi di carico e scarico non sovrapposti in diagrammi ottenuti facendo variare la grandezza da misurare tra gli estremi di variabilità. Dal grafico si può notare come ad un valore di ingresso corrispondano più valori in uscita la cui evenienza dipende dal livello dell’ingresso e che questi sia crescente o decrescente. Questi fenomeni possono quindi solo essere contenuti mediante un’attenta progettazione e con un’opportuna scelta dei materiali. Gli strumenti, soprattutto a carattere meccanico o elettromeccanico, presentano una forma di sensibilità ridotta alle piccole variazioni dell’ingresso conseguente alla presenza di attriti di primo distacco. Esiste quindi una soglia di sensibilità (Threshold) che rappresenta la minima variazione dell’ingresso avvertibile dallo strumento. Gli effetti isteretici dipendono dall’entità delle forze in gioco e dalla zona di misura (lo zero, un punto qualsiasi o all’inversione dell’ingresso).

Sensibilità alle interferenze

Una calibrazione statica è complessa lunga e costosa:

- Tutti gli ingressi, eccetto uno, devono essere tenuti costanti. Levariazioni sono fatte con una serie di valori costanti nell’intervallo di interesse;

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- La relazione ingresso-uscita definisce una calibrazione statica valida nelle condizioni di tutti gli altri interessi costanti;

- La procedura dovrebbe essere ripetuta facendo variare tutti gli ingressi su tutto il campo della rispettiva ammissibilità;

- Alla fine della procedura si dispone di una famiglia di curve di calibrazione dello strumento.

Si effettua quindi una valutazione quantitativa preliminare degli ingressi secondari per verificare se ci sono effetti al di sotto della soglia di qualità dello strumento. Disponendo di mappe di calibrazione è possibile correggere le misure conoscendo gli effetti secondari: devono quindi essere misurabili. Sono necessari degli strumenti per rilevare l’entità dei diversi ingressi desiderati, di interferenza e di modifica di qualità adeguata per ciascuna misura. Per la calibrazione dell’ingresso desiderato di uno strumento è necessario un campione o uno strumento di riferimenti che presenti un’accuratezza di dieci volte superiore. In un buon trasduttore/strumento gli ingressi secondari determinano una variazione della misura molto limitata: normalmente non è quindi necessario disporre di una grande precisione in quanto l’errore che si commette va visto in rapporto alla misura totale. Rimane implicito che sia necessaria una calibrazione periodica e accurata degli strumenti.

Campo di misura: il campo di misura ha ovviamente un limite inferiore e uno superiore che prendono il nome di fondo scala. Il range è sia in ingresso che in uscita per i motivi precedentemente analizzati. I valori estremi della scala di lettura possono essere visti con la doppia funzione di limiti fisici o di misura. I limiti fisici rappresentano il campo di utilizzo entro il quale lo strumento non si danneggia mentre l’intervallo di calibrazione definisce il campo di utilizzo entro il quale sono possibili misure accurate. La curva di calibrazione di uno strumento ne indica il campo di corretto impiego. Utilizzare un trasduttore per misure oltre questo campo è sicuro ma richiede l’estrapolazione arbitraria della curva di taratura. All’esterno della zona di calibrazione uno strumento potrebbe avere un comportamento non lineare. L’esistenza di curve di calibrazione opportunamente verificate fornisce informazioni solo sul campo di funzionamento. In assenza di ulteriori dati conviene assumere i limiti della curva con coincidenti con i limiti fisici.

Campo di misure per rilievo di forze: la portata è il massimo valore della grandezza in ingresso per cui lo spostamento funziona correttamente (secondo le specifiche dichiarate dal costruttore). Superando del 50% questo valore lo strumento non si danneggia ma le caratteristiche dello strumento possono non rientrare secondo le specifiche e può danneggiarsi (senza esito catastrofico).

Effetti di installazione

L’installazione di un sistema di misura può determinare interferenze:

- Con il sistema di misura, modificando le caratteristiche metrologiche della strumentazione; - Con il fenomeno fisico, modificandolo - Reciproche.

L’intrusività di un sistema può presentarsi con varia casistica e la discussione sui modelli dei trasduttori non è sufficiente a risolvere completamente il problema: è richiesto un esame razionale del sistema. Alcuni strumenti, come accelerometri e laser, richiedono un corretto allineamento durante l’installazione. La situazione si complica proporzionalmente al numero di allineazioni, infatti per un accelerometro triassiale vi è pure una sensibilità incrociata tra i diversi assi e un errore di allineamento amplifica questi errori. Nel caso di vincolo incerto (ad esempio con cera) lo strumento si può muovere a causa di vibrazioni o urti.

Problemi di installazione di sensori lineari

Alcuni sono da sonde semplicemente appoggiate per avere effetto di reazione ridotto (in cui la forza di contatto corrisponde al solo peso dello strumento) e possono soffrire di saltellamento se le vibrazioni del corpo sono maggiori dell’accelerazione gravitazionale. Ovviamente l’effetto di contatto è garantito solo se il peso ha componente nella direzione di misura. Altri sono costituiti da sonde con molla di precarica in cui l’effetto direzione è ovviamente dato da quest’ultima. In questo caso il saltellamento dipende anche dalla massa della sonda, dalla rigidezza e dal presarico della molla. Altre sonde sono direttamente collegate all’elemento in movimento, eliminando il problema del saltellamento. Tuttavia si riscontrano problemi in relazione alla presenza di spostamento in direzione trasversale o di allineamento nel caso di una lunga corsa. In quest’ultimo caso sono utili potenziometri a filo per dicassoppiare dal punto di vista elastico le direzioni di misura. L’uso di cavi lunghi può inficiare la banda passante e modificare la forma del segnale. Vi possono essere effetti di carico dovuti al collegamento dello strumento di misura (assorbimento di corrente e cavi).

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Intrusività

Accelerometro: l’aggiunta di un accelerometro modifica in maniera significativa il fenomeno dinamico se la sua massa diventa importante in relazione a quella dell’oggetto del quale si vogliono rilevare le accelerazioni. Questo vale sia in termini globali che locali, in relazione alla massa ridotta al punto di applicazione dell’accelerometro, per evitare la nascita di modi di vibrare locali a frequenze relativamente basse.

Celle di carico: l’impiego di una cella di carico per un esperimento richiede di tenere da conto alcuni requisiti metrologici: la portata, la sensibilità e la compatibilità delle uscite con il sistema di misura. Bisogna comunque ragionare su eventuali effetti che questo provoca a seguito del suo inserimento nel sistema. Se la misura è dinamica occorre che la frequenza propria del sistema di misura sia alta rispetto a quella massima del fenomeno. Un aspetto secondario è la frequenza propria della cella di carico che, in teoria, dovrebbe essere abbastanza alta. Importa di più come la presenza dello strumento modifichi la situazione: altera la massa totale del sistema e modifica le rigidezze/cedevolezze (effetto più rilevante). Affinché non vi sia intrusività, i comportamenti statico e dinamico del sistema sotto misura, in assenza e in presenza della cella, debbono essere praticamente coincidenti. Sulle schede tecniche viene normalmente riportata la cedevolezza della cella in forma diretta o indiretta. Quest’informazione deve essere utilizzata per valutare la variazione delle frequenze caratteristiche del fenomeno o dello spostamento dal punti di applicazione del carico. Ad esempio, per le prove di caduta dei carrelli si utilizzano celle per la misura del carico al suolo e altre per la misura delle forze trasmesse alla struttura. La rigidezza di una cella è proporzionale alla portata, se si rende necessario un aumento di rigidezza probabilmente bisognerà adoperare una cella con portata molto superiore a quanto richiesto. Il trasduttore verrebbe così utilizzato solo per una piccola frazione della sua portata, trattandosi di oggetti con ottime caratteristiche di linearità questo non rappresenta un problema a patto di disporre di una calibrazione limitata al campo di applicazione previsto e un’elettronica a basso rumore. La qualità della regressione dipende dal numero di punti e se si limita il campo d’azione la regressione totale non può essere considerata attendibile. Se la linearità è buona allora un’ulteriore calibrazione sulla portata richiesta può aiutare. Può rendersi necessaria un’ulteriore amplificazione del segnale.

Criteri generali per la scelta di uno strumento

- Compatibilità dello strumento con la prova; - Livello di intrusività dello strumento con il sistema in esame; - Compatibilità con i requisiti di accuratezza (anche sensibilità trasversale); - Compatibilità delle uscite con il sistema di misura/visualizzazione dati; - Necessità di alimentazione/condizionamento; - Compatibilità ambientale - Costo.

Può risultare utile organizzare le informazioni in una tabella che permetta di individuare facilmente gli elementi che soddisfino al meglio tutti i requisiti.

Strumentazione con estensimetri: l’analisi sull’utilizzo degli estensimetri parte ovviamente dall’analisi dell’oggetto per poi arrivare ai seguenti criteri:

- Sensibilità alla grandezza di riferimento del punto di installazione (analisi della distribuzione di sforzo) e definizione del legame carico-deformazione;

- Possibilità di evitare effetti locali e uniformità dello stato di sforzo (non sempre necessario); - Definizione della struttura del ponte di misura (permette di effettuare somme e differenze); - Comprensione degli effetti indesiderati (termici, sensibilità incrociate, etc).