Elementi Piani

Politecnico di Milano Dipartimento di

Meccanica

PROBLEMI PIANI: ELEMENTI 2D

Mario Guagliano

Problemi Piani: Elementi 2D 2

Problemi piani

Attenzione: esistono classi di problemi che utilizzano modelli piani per risolvere sistemi 3D (ad esempio corpi assialsimmetrici)

Sono caratterizzati da: •  corpo piano a spessore costante •  carichi nel piano


Il problema elastico

Se il campo degli spostamenti e quello degli sforzi soddisfano contemporaneamente: 1.  equilibrio 2.  compatibilità 3.  condizioni al contorno La soluzione elastica trovata è unica ed esatta

All’infittirsi della mesh, ci si avvicina sempre più a soddisfare in ogni punto le condizioni 1 e 3

Con il metodo degli elementi finiti: 1.  Le equazioni indefinite di equilibrio non sono sempre soddisfatte, almeno

non in tutti i punti del modello (lo sono in media/integrale) 2.  La compatibilità è garantita all’interno di ogni elemento 3.  Così anche le condizioni al contorno


Elementi piani

(+ elementi speciali)


Elementi triangolari lineari (T3)

Spostamenti lineari

1 2 3

4 5 6

u x yv x y= β +β +β

= β +β +β

Sono i primi ed i più semplici elementi finiti

x 2

y 6

xy 3 5

ε = β

ε = β

γ = β + β

Deformazioni (e sforzi) costanti

I contorni rimangono lineari mentre l’elemento si deforma

3 nodi, 6 gdl



1

1x 2 3 3 1 1 2

2y 3 2 1 3 2 1

23 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2xy

3

3

2 1 3 1 3 1 2 1

uv

y y 0 y y 0 y y 0u1 0 x x 0 x x 0 x xv2A

x x y y x x y y x x y yuv

2A (x x )(y y ) (x x )(y y )

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫ε − − −⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ε = − − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − − − −γ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= − − − − −

Campo di deformazioni {ε}=[B]{u}

A: area dell’elemento triangolare indeformato La numerazione dei nodi può essere arbitraria, ma la sequenza 123 deve essere antioraria intorno all’elemento perché l’area venga positiva



L’elemento triangolare lineare dà buoni risultati nelle regioni del modello dove il gradiente di deformazione (e sforzo) è limitato

Vediamo il caso di momento flettente puro

L’asse x dovrebbe essere scarico perché coincide con l’asse neutro, invece σx mostra un andamento ad onda quadra

Si converge alla soluzione reale con un elevato numero di elementi, ma la convergenza è lenta

Inoltre, le deflessioni e gli sforzi sono di entità inferiore a quella attesa (un quarto)


Elementi triangolari parabolici (T6)

Funzioni di forma quadratiche

2 21 2 3 4 5 6

2 27 8 9 10 11 12

u x y x xy yv x y x xy y= β +β +β +β +β +β

= β +β +β +β +β +βSpostamenti quadratici

( ) ( ) ( )

x 2 4 5

y 9 11 12

xy 3 8 5 10 6 11

2 x yx 2 y

2 x 2 y

ε = β + β +β

ε = β +β + β

γ = β +β + β + β + β +β

Deformazioni lineari (flessione descrivibile esattamente in termini di deflessioni e sforzi)

Ci sono nodi in centro-lato

I contorni sono parabolici mentre l’elemento si deforma

6 nodi, 12 gdl

Tutto ciò vale per tutti gli elementi e quindi anche per i bar e i beam !


Elementi rettangolari bi-lineari a 4 nodi (Q4)

( )( )( )( )

1 2 3 4 1 2 3 4

5 6 7 8 5 6 7 8

u c c x c c y x y xyv c c x c c y x y xy= + + = β +β +β +β

= + + = β +β +β +β

Spostamenti bi-lineari

4 nodi, 8 gdl

( )

x 2 4

y 7 8

xy 3 6 84

yx

x y

ε = β +β

ε = β +β

γ = β +β + +ββ

E’ compreso il caso di deformazione costante (l’equilibrio non è soddisfatto in tutti i punti dell’elemento a meno che β4=β8=0). Infittendo si arriva a convergenza. Sui lati (x=±a e y=±b) i campi u(x,y) e v(x,y) diventano lineari e dipendono soltanto dai valori assunti agli estremi


Le funzioni di forma sono anch’esse bi-lineari

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 2

3 4

a x b y a x b yN N

4ab 4ab

a x b y a x b yN N

4ab 4ab

− − + −= =

+ + − += =

{ }

{ } { }

[ ] [ ]

[ ] [ ] [ ][ ]

1 2 3 4

1 2 3 4

T1 1 2 2 3 3 4 4

b a T

b a8 8 8 3 3 3 3 8

N 0 N 0 N 0 N 0uu

0 N 0 N 0 N 0 Nv

u u v u v u v u v

B N

K B E B tdxdy− −

× × × ×

⎡ ⎤⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦

=

= ∂

= ∫ ∫

La matrice [B] contiene funzioni lineari => [K] si può integrare in forma chiusa



Questi elementi hanno, inoltre, un problema detto shear locking (rigidezza numerica) che si manifesta nel caso di flessione pura anche se prevedono la variazione di εx con y

Lo stato di deformazione mostra che εx è indipendente da x. Ciò significa che l’elemento non può descrivere correttamente la mensola con carico trasversale in punta perché εx varia proprio con x

Deformazione reale (teoria delle travi): •  sezioni ruotano mantenendosi piane •  bordi superiore ed inferiore diventano archi con circa lo stesso raggio di curvatura •  γxy=0

1x

1y

xy

y2ay

2a0

ϑε = −

νϑε = +

γ =

2a



2x

y

2xy

y2a

0

x2a

ϑε = −

ε =

ϑγ = −

2a

Siccome, come detto prima, i lati sono caratterizzati da spostamenti lineari, l’elemento a quattro nodi vede ruotare i lati, ma non può far diventare archi i bordi superiore ed inferiore

Ciò comporta che gli angoli retti non vengano mantenuti e quindi nascano γxy≠0 ovunque nell’elemento (tranne lungo l’asse y)

Alternativamente, possiamo vedere lo stesso effetto considerando che, per avere εx che varia con y, deve essere β4≠0, ma questa coordinata generalizzata appare anche in γxy così rendendolo non nullo

La conseguenza fisica di ciò è che l’elemento risulta (numericamente) troppo rigido se sottoposto a flessione perché il momento è resistito anche da scorrimenti spuri



2

2 11 1 1 aM M1 1 2 b

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟+ ν − ν ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Immaginiamo di applicare due momenti M1 e M2 tali per cui θ1=θ2

L’elemento diventa infinitamente rigido in flessione se a/b aumenta (“locking”) Bisogna evitare elementi rettangolari bi-lineari sollecitati a flessione e caratterizzati da un elevato rapporto dimensionale

σx costante lungo x, ma inferiore alla soluzione esatta (parte se ne va in scorrimento)

τxy maggiore per gli elementi soggetti a maggiore flessione

Flessione + taglio



Elementi rettangolari a 8 nodi (Q8)

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 21 2 3 4 5 6 7 8

2 2 2 29 10 11 12 13 14 15 16

2x 2 4 5 7 8

2y 11 13 14 15 16

2 2xy 3 10 5 12 6 13 7 8 15 16

u x y x xy y x y xyv x y x xy y x y xy

2 x y 2 xy y

x 2 y x 2 xy

2 x 2 y x 2 xy y

= β +β +β +β +β +β +β +β

= β +β +β +β +β +β +β +β

ε = β + β +β + β +β

ε = β +β + β +β + β

γ = β +β + β + β + β +β +β + β +β +β

Non è soggetto a shear locking, perché può curvare i bordi


Esempio comparativo

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