Elementi sollecitati da tensionitangenziali: il taglio

La teoria lineare;

Il comportamento non lineare;

Travi non armate a taglio, funzionamento a trave e ad arco;

Travi armate a taglio, determinazione della forza nell’armatura di taglio;

Determinazione del contributo del calcestruzzo.

M M+dM

V V+dV

q(x)

Equilibrio alla traslazione verticale:

V − q(x) dx − (V+dV) = 0 , q(x) = − dV/dx ,

Equilibrio alla rotazione (A):

V dx + M − q(x) dx2/2 − (M + dM) = 0 , V = dM/dx.

Se il momento flettente varia lungo l’asse si hanno azioni taglianti non nulle.

Comportamento lineare

Gli elementi soggetti ad azione flettente M variabile lungo l’asse sono soggetti ad un’azione tagliante V che causa tensioni tangenziali τ.

teoria approssimata di Jourawski

Nel caso di sezioni fessurate:

τmax ≈ V/(0.9db).

Incongruenza: la parte di calcestruzzo sotto l’asse neutro, “inesistente” per la flessione, sopporta la tensione tangenziale τmax che, come risulta dal cerchio di Mohr, produce una tensione principale di trazione.

Il comportamento delle travi sollecitate a taglio.

Per comprendere cosa avvenga in trave in c.a. sollecitata a flessione taglio, si deve rinunciare all’analisi della sola sezione ed esaminare la trave nella sua estensione spaziale. Consideriamo il comportamento di trave appoggiata, uniformemente caricata, al crescere dell’intensità del carico.

Per una trave in calcestruzzo armato:

M = T z,dove T è la forza nelle armature ez è il braccio della coppia interna.

Sostituendo nell’equazione di equilibrio:

V = dM/dx,

si ottiene:

V= z + T .

All’equilibrio di V concorrono due termini, dipendenti da:

● la variazione della forza di trazione nell’acciaio; ● la variazione del braccio delle forze interne z.

dT dz

dx dx

___ ___

z

T

CM

Quindi:

V= z + T .dT dz

dx dx

___ ___

Funzionamento a trave (snelle)

Funzionamento ad arco (trave tozza)

In una trave snella (rapporto tra luce e altezza elevato) di sezione costante e nelle zone distanti dagli appoggi, come risulta dallo studio del comportamento a flessione, il braccio z è praticamente costante, per cui si può assumere che dz/dx ≈ 0. In tal caso il secondo termine dell’equazione precedente risulta trascurabile ed il solo meccanismo di equilibrio possibile è legato alla variazione di T. Perché questo avvenga occorre che l’aderenza tra acciaio e calcestruzzo sia in grado di trasferire la quantità necessaria di forza tra l’acciaio ed il calcestruzzo, ed il calcestruzzo nella parte tesa della sezione sia quindi in grado sopportarla e trasmetterla al corrente compresso, in modo da soddisfare l’equilibrio globale del concio. Questo meccanismo resistente viene detto comportamento a trave.

Travi con armatura a taglio

La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d’anima è generalmente modesta e tale da ridurne la capacità portante rispetto a quella prevista dalla teoria flessionale. La necessità di garantire la piena capacità portante richiede che la resistenza al taglio deve essere aumentata fino a superare quella flessionale; ciò anche in considerazione della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, del collasso per taglio. Per aumentare la resistenza a taglio, nelle travi in cemento armato si dispone un’armatura d’anima, cioè un’armatura disposta trasversalmente all’asse della trave e che congiunge la parte compressa (il corrente di calcestruzzo) a quella tesa (armatura longitudinale). Le armature utilizzate a questo scopo sono di due tipi: le staffe e le barre piegate. Le staffe sono armature chiuse che seguono il perimetro della sezione e contengono le armature longitudinali; in genere sono ortogonali all’asse della trave ma possono essere inclinate. Le barre piegate invece sono realizzate con le armature longitudinali che vengono piegate in modo da attraversare l’anima fino a raggiungere il lembo opposto.

Le staffe sono più efficaci delle barre piegate nel prevenire i meccanismi di rottura per taglio.

Secondo un modello, dovuto a Mörsch, molto schematico ma che coglie i caratteri essenziali del fenomeno, la trave fessurata viene assimilata ad una trave reticolare in cui il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa fungono da correnti, le bielle di calcestruzzo sono le aste di parete compresse, le armature d’anima le aste tese, come illustrato in Figura.

Per analizzare il comportamento delle travi armate per il taglio si ipotizza che le fessure siano rettilinee e inclinate di un’angolo θ rispetto all’asse della trave. Se α è l’inclinazione dell’armatura d’anima.

L’equilibrio alla rotazione di una mensola di calcestruzzo compresa tra due fessure distanti s risulta:

αθ

T2T1

Fs

VaVa

Vd

Vd

C2C1

C

∆Tz = (Vd + Va)s +Mc + Fs sin α (z cot θ) + Fs cos α z,

in cui ∆T = T2 −T1 è la variazione della forza di trazione nell’acciaio dovuta alla variazione del momento flettente, z è il braccio delle forze interne, Vd è il taglio portato dall’armatura longitudinale per effetto spinotto, Va è la componente tangenziale della forza trasmessa per ingranamento degli inerti, Mc è il momento sopportato dalla sezione di incastro della mensola di calcestruzzo, Fs è la forza agente nell’armatura d’anima, θ e α sono gli angoli formati dalle bielle compresse di calcestruzzo e da quelle tese (armatura) con l’asse della trave. Assumendo z ≈ cost, si ha:

dT T T Vs

V z z z T Vs Tzdx x s z

Fs V – VRd1 Vs

s z sinα (cot θ + cot α) z sinα (cot θ + cot α)

Se VRd1 > V l’equazione non ha senso e la trave è in grado di sopportare l’azione del taglio senza bisogno dell’armatura d’anima. Nel casocontrario Vs = V −VRd1 indica il quantitativo eccedente, che non potrebbe essere equilibrato in assenza dell’armatura. In tal caso si rinuncia completamente al contributo del calcestruzzo

— = ————————– = ———————— ,

Se VRd1 = Vd + Va +Mc/s raccoglie il contributo di tutti i termini che prescindono dalla presenza dell’armatura, si può scrivere:

1 sin cot cosRd s sVs V s F z F z

1

sin cot cot sin cot cots Rd

s sw yd

F V V sVF A f

s z z

3

90 45

sin cot cotsw swRd yd yd

per e

A AV zf zf

s s

Per l’equilibrio, alla forza di trazione nell’armatura Fs deve corrispondere una compressione C nella biella compressa. Imponendo l’equilibrio nella direzione verticale:

Fs sin α = C sin θ,

ricavando C:

Se la forza C viene considerata centrata lungo l’asse della biella di calcestruzzo, essa provoca una compressione uniforme.

C

sin cot cot

sVC

z

sinsin cot cot cd

sVC f bs

z

22

90 45

1sin cot cot

2Rd cd cd

per e

V f bz f bz

s

METODO DI CALCOLO A TAGLIO

Si basa su tre valori della resistenza di calcolo:

-VRd1 Resistenza di calcolo dell’elemento privo di armatura a taglio;

-VRd2 Massima forza di taglio di calcolo che può essere sopportata senza rottura delle bielle compresse convenzionali di calcestruzzo;

- VRd3 Forza di taglio di progetto che corrisponde allo snervamento di un’armatura a taglio.

SE:Vsd < VRd1 non è richiesta armatura a taglio (deve essere previsto un minimo

di normativa);Vsd>VRd1 deve essere prevista una opportuna armatura a taglio tale che:

Vsd≤VRd3

A tal proposito sono possibili due metodi di calcolo:1. il metodo normale;2. il metodo dell’inclinazione variabile del traliccio.

INOLTRE:In nessuna sezione di qualunque elemento la forza di taglio di calcolo deve

essere maggiore di VRd2

Vsd < VRd2.

ELEMENTI CHE NON RICHIEDONO ARMATURE A TAGLIO (4.3.2.3.)

La resistenza a taglio di calcolo VRd1 è data da:

VRd1 = [(0.18/ γc)k(100 ρl fck)1/3 + k1 σcp] bwd ,

dove:

fck è in MPa;

k = 1 + √(200/d) ≤ 2.0 (con d in mm);

ρl = (Asl/bwd) ≤ 0,02;

Asl è l’area dell’armatura tesa, estesa per un tratto ≥ (lbd + d) oltre la sezione considerata;bw è la larghezza minima della sezione trasversale nell’area tesa (mm);σcp = (NEd/Ac) < 0,2 fcd (MPa);NEd è la forza assiale nella sezione trasversale (in N) (NEd > 0 percompressione); AC è l’area del calcestruzzo (mm2);VRd,1 in (N).

———

Asw,max fywd 1———— ≤ — ν f cd

bw s 2

Questa relazione fornisce il massimo valore dell’area delle staffe per il quale allo stato limite ultimo si ha cedimento simultaneo del calcestruzzo e delle armature.

Il coefficiente ν tiene conto della riduzione di resistenza delle bielle compresse causata dalla tensione trasversale indotta dalle armature (staffe) e dalla presenza di fessure che intersecano le bielle stesse.

Per membrature con staffe verticali come armatura per la resistenza al taglio, VRd è il valore inferiore di:

Asw

V Rd3 = fywd z cot θ,s

eVRd2 = bw z ν fcd/(cot θ + tan θ ) ,

___

La massima area efficace dell’armatura Asw,max è data da:

90 45per e

Nell’EC2 il valore di ν è identificato con il valore di v della formula:

ν = 0 , 6 [1 − fck/250],

In Italia lo stesso valore v è dato invece da:

ν = 0 , 7 [1 − fck/250].

La sostituzione del fattore 0,6 con 0,7 deriva dal fatto che mentre in precedenza (applicazione di ENV) la resistenza di progetto del calcestruzzo era definita

,f

fc

ckcd

.f

fc

ckcccd

Mentre ora

Per conservare la stessa sicurezza a taglio del codice precedente, ora si è corretta la con (0,6/0,8 5) = 0,7.

Determinazione del taglio resistente

Data la trave con le relative armature e resistenze di calcestruzzo e acciaio, si voglia determinare il massimo taglio resistente. Si può seguire il seguente percorso:

Da questa si ottiene sin θ e quindi θ. Se θ soddisfa la condizione 1 ≤ cot θ ≤ 2.5, il taglio resistente si calcola mediante le relazioni precedenti con il valore di θ trovato.

.sinfsb

fA 2

cdw

ywdsw

- accertare, con i dati del problema, che sia verificata la Asw,max fywd 1———— ≤ — αc ν f cd

bw s 2

ossia che la trave sia duttile;

- uguagliando i secondi membri delle relazioni che forniscono la resistenza al taglio del calcestruzzo e delle staffe risulta:

Se θ non soddisfa la 1 ≤ cot θ ≤ 2.5, in quanto angolo inferiore a 21.80° (a cui corrispondono cot θ = 2.5 e sin θ = 0.3714), significa che il collasso avviene lato acciaio con bielle compresse integre. In questo caso il taglio resistente è dato dalla

Asw

V Rd3 = fywd z cot θ,s

con cot θ = 2.5.

___