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circuitos digitales
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UNIVERSIDAD TECNICA DE AMBATO
FACULTAD DE CIENCIAS HUMANAS
Y DE LA EDUCACION
CARRERA DE DOCENCIA EN INFORMATICA
Elemento No 03
“MAPAS DE KARNAUGH”
ELECTRONICA DIGITAL
NOMBRE:
IVAN FABRICIO VILLACIS YANEZ
DOCENTE:
ING. WILMA GAVILANES
AÑO LECTIVO
2012-2013
DIAGRAMAS O MAPAS DE KARNAUGH
Los diagramas de Karnaugh sirven principalmente para minimizar expresiones del tipo suma de productos o productos de sumas, obteniendo otra suma de productos o producto de sumas.La expresión obtenida será mínima, por ejemplo para suma de productos, si no existe otra con menor número de sumandos ni otra con igual número de sumandos con menor cantidad de variables.
Hasta ahora, para obtener la forma canónica de una función, se debía armar la tabla de verdad de la misma y obtener la función expresada por suma de productos o productos de sumas. Mediante Karnaugh representamos la función y se obtiene directamente la forma canónica, considerando los unos o ceros obtenidos del diagrama.
Una suma de productos se realiza circuitalmente con dos niveles de compuertas donde cada sumando representa una compuerta, y cada letra del producto es una entrada de compuerta. El costo que representa adicionar una compuerta es mucho mayor que colocar una compuerta con mayor número de entradas. Luego dados dos circuitos equivalentes, será más económico aquel que contenga menos compuertas y si tienen igual número de compuertas, aquel que tenga un menor número de entradas.
La propiedad más importante del diagrama de Karnaugh es la adyacencia de las celdas ya que si en dos celdas adyacentes existen unos (que representan minitérminos de la función) se puede realizar la operación de sacar factor común entre dichas celdas y eliminar así una variable. Dos celdas son adyacentes si no difieren en más de un bit.
Por ejemplo en un diagrama de Karnaugh de cuatro variables, dos minitérminos adyacentes difieren entre sí en una sola variable. Cuatro minitérminos adyacentes difieren entre sí en dos variables, teniendo en común las dos restantes. Ocho minitérminos adyacentes difieren entre sí en tres variables, teniendo una sola variable en común.
Así como cada sumando de una función se representa por un número de minitérminos que es potencia de dos (1,2,4,8,16...) de manera inversa cada lazo posible de minitérminos adyacentes sólo puede abarcar 1,2,4,8,... minitérminos.
Se llama subcubo de orden n al lazo de 2n minitérminos. Un lazo de un minitérmino es un lazo 20 y conforma un cubo de orden cero. Un lazo 21 es el que conforma un cubo de orden uno. Si todas las celdas de un diagrama de Karnaugh están cubiertas por unos, entonces las función es verdadera y resulta F=1. De manera inversa, si no existe ningún minitérmino entonces la función es falsa y resulta F=0.
Implicantes primos: Son los mayores subcubos (lazos) que se pueden encontrar en un diagrama tales que dos cualquiera de ellos, no puede ser enlazado a su vez por otro subcubo de orden mayor que los contenga, proporcionando una simplificación adicional.
Los implicantes primos pueden compartir minitérminos entre sí.
Cuando un implicante primo tiene por los menos un minitérmino libre, es decir, no compartido con ningún otro subcubo, se denomina término esencial y debe aparecer necesariamente en el resultado final.
Cuando un implicante primo tiene todos sus minitérminos compartidos con otros implicantes primos se dice que es un implicante primo no esencial y no debe aparecer en el resultado final.
Reglas para simplificar una función mediante el diagrama de Karnaugh
a) Representar la función en el diagrama b) Determinar los implicantes primos para lo cual se debe: - Enlazar cada uno de los minitérminos aislados no adyacentes a ningún otro minitérmino (subcubo de orden cero) - Enlazar los pares de unos adyacentes entre sí (subcubos de orden uno) que no pueden formar parte de un subcubo de mayor orden. - Continuar la búsqueda de cubos de mayor orden hasta cubrir todos los unos de la función. - Determinar los implicantes primos esenciales. - Los unos de la función que no han sido enlazados por dichos términos esenciales, deben cubrirse con el menor número de implicantes no esenciales
Redundancias:
En un circuito de n entradas son posibles 2n combinaciones de variables de entrada. En ciertas aplicaciones algunas de dichas combinaciones puede no existir o no tener sentido. En aplicaciones del tipo decimal es común tomar sólo 10 de las 16 combinaciones posibles con cuatro variables de entrada. En ese caso se plantea que las seis combinaciones restantes son redundantes, pudiendo ser utilizadas para la simplificación del circuito, ya que se asume que nunca se presentará dicha combinación en las entradas. En el diagrama de Karnaugh las redundancias se representan con un letra “ x “.
Veamos esto en forma práctica:
Es un método para encontrar la forma más simplificada de representar una función lógica.
Esto es... Encontrar la función que relaciona todas las variables disponibles de tal modo que el resultado sea la mínima expresión.
Para esto vamos a aclarar tres conceptos que son fundamentales
a)- Minitérmino Es cada una de las combinaciones posibles entre todas las variables disponibles, por ejemplo con 2 variables obtienes 4 minitérminos; con 3 obtienes 8; con 4, 16 etc., como te darás cuenta se puede encontrar la cantidad de minitérminos haciendo 2n donde n es el número de variables disponibles.
b)- Numeración de un minitérmino Cada minitérmino es numerado en decimal de acuerdo a la combinación de las variables y su equivalente en binario así...
El Mapa de Karnaugh representa la misma tabla de verdad a través de una matriz, en la cual en la primer fila y la primer columna se indican las posibles combinaciones de las variables. Aquí tienes tres mapas para 2, 3 y 4 variables...
Analicemos el mapa para cuatro variables, las dos primeras columnas (columnas adyacentes) difieren sólo en la variable d, y c permanece sin cambio, en la segunda y tercer columna (columnas adyacentes) cambia c, y d permanece sin cambio, ocurre lo mismo en las filas. En general se dice que...
Dos columnas o filas adyacentes sólo pueden diferir en el estado de una de sus variables
Observa también que según lo dicho anteriormente la primer columna con la última serían adyacentes, al igual que la primer fila y la última, ya que sólo difieren en una de sus variables
c)- Valor lógico de un minitérmino (esos que estaban escritos en rojo), bien, estos deben tener un valor lógico, y es el que resulta de la operación que se realiza entre las variables. lógicamente 0 ó 1
Lo que haremos ahora será colocar el valor de cada minitérmino según la tabla de verdad que estamos buscando, por ejemplo:
El siguiente paso, es agrupar los unos adyacentes (horizontal o verticalmente) en grupos de potencias de 2, es decir, en grupos de 2, de 4, de 8 etc. y nos quedaría así...
Te preguntarás que pasó con la fila de abajo... bueno, recuerda que la primer columna y la última son adyacentes, por lo tanto sus minitérminos también lo son.
De ahora en más a cada grupo de unos se le asigna la unión (producto lógico) de las variables que se mantienen constantes (ya sea uno o cero) ignorando aquellas que cambian, tal como se puede ver en esta imagen...
Para terminar, simplemente se realiza la suma lógica entre los términos obtenidos dando como resultado la función que estamos buscando, es decir...
f = (~a . ~b) + (a . ~c)
Puedes plantear tu problema como una función de variables, en nuestro ejemplo quedaría de esta forma...
f(a, b, c) = S(0, 1, 4, 6)
F es la función buscada (a, b, c) son las variables utilizadas (0, 1, 4, 6) son los minitérminos que dan como resultado 1 o un nivel alto. S La sumatoria de las funciones que producen el estado alto en dichos minitérminos.
Sólo resta convertir esa función en su circuito eléctrico correspondiente. Veamos, si la función es...
(NOT a AND NOT b) OR (a AND NOT c)
El esquema eléctrico que le corresponde es el que viene a continuación...
El resultado de todo este lío, es un circuito con la menor cantidad de compuertas posibles, lo cual lo hace más económico, por otro lado cumple totalmente con la tabla de verdad planteada al inicio del problema, y a demás recuerda que al tener menor cantidad de compuertas la transmisión de datos se hace más rápida.
Puedes bajarte de la página de la cátedra un pequeño programa de simulación de mapas de karnaugh para practicar distintas simplificaciones.
f = (~a . ~b) + (a . ~c) o sea...
MAPAS DE KARNAUGH
EJERCICIO #01
EJERCICIO # 2
EJERCICIO # 03
MAPA DE KARNAUGH
DEFINICION
Un mapa de Karnaugh es un diagrama utilizado para la simplificación de funciones
algebraicasBooleanas. El mapa de Karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice
Karnaugh, un físico y matemático de loslaboratorios Bell.
Los mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer cálculos extensos para la
simplificación de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad del cerebro
humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresión analítica,
permitiendo así identificar y eliminar condiciones muy inmensas.
El mapa de Karnaugh consiste en una representación bidimensional de la tabla de
verdad de la función a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una función de N
variables posee 2N filas, el mapa K correspondiente debe poseer también 2N cuadrados.
Las variables de la expresión son ordenadas en función de su peso y siguiendo el código
Gray, de manera que sólo una de las variables varía entre celdas adyacentes. La
transferencia de los términos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de
forma directa, albergando un 0 ó un 1, dependiendo del valor que toma la función en
cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables.
Los Mapas de Karnaugh son una herramienta muy utilizada para la simplificación
de circuitos lógicos.
Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa
función de la manera más económica posible se utiliza este método.
Ejemplo: Se tiene la siguientetabla de verdad para tres variables.
Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la
fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".
Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C,
etc.
F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C
Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.
Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A,
B, C))
La primera fila corresponde a A = 0
La segunda fila corresponde a A = 1
La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)
La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)
La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)
La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)
En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores
de F = "1" en la tabla de verdad. Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla
de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh. Para proceder con la
simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de
2). Los "1" deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo,
mejor. La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos
con el mayor número de "1"s en cada grupo.
Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir
casillas entre los grupos). La nueva expresión de la función boolena simplificada se
deduce del mapa de Karnaugh.
- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta
columna) corresponden a B sin negar)
- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior
que corresponde a A sin negar)
Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B
EJEMPLO:
Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente
función booleana:
F = ABC + AB C + A B C + A B C
Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando
F = "1"
Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron
hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.
Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se
observa que hay una casilla que es compartida por los tres grupos.
La función simplificada es:
F = AB + A C + B C
Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC, grupo verde:BC
Ejemplo
Dada la siguiente función algebraica Booleana representada como el sumatorio de
sus minitérminos, y con las variables Booleanas , , , , la función se puede
representar con dos notaciones distintas:
•
•
TABLA DE VERDAD
Utilizando los minitérminos definidos, se elabora la tabla de verdad:
#
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0 5 0 1 0 1 0 6 0 1 1 0 1 7 0 1 1 1 0 8 1 0 0 0 1 9 1 0 0 1 1 10 1 0 1 0 1 11 1 0 1 1 1 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 1 14 1 1 1 0 1 15 1 1 1 1 0
Mapa de Karnaugh
Las variables de entrada pueden combinarse de 16 formas diferentes, por lo que el mapa
de Karnaugh tendrá 16 celdas, distribuidas en una cuadricula de 4 × 4.
La combinación de dígitos binarios en el mapa representa el resultado de la función por
cada combinación de entradas. Por ejemplo, la celda en la esquina superior izquierda del
mapa es 0, porque el resultado de la función es ƒ = 0 cuando A = 0, B = 0, C = 0, D = 0.
De igual manera, la esquina inferior derecha es 1 porque el resultado de la función
es ƒ = 1 cuando A = 1, B = 0, C = 1, D = 0.
Una vez construido el mapa de Karnaugh, la siguiente tarea es la de seleccionar
conjuntos de términos de manera que se obtenga el menor número de términos
posible. Estos términos se seleccionan formando grupos de rectángulos cuyas areas
sean potencia de 2 (ej. 1, 2, 4, 8, ...) tratando de agrupar el mayor número de términos
posible.
Qué términos seleccionar va dependiendo de cómo se quiera realizar la simplificación,
puesto que esta puede realizarse por minitérminos o por maxitérminos.
El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación
lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un
proceso simple y ordenado. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se
abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier
numero de variables de entrada, su utilidad practica se limita a seis variables. El
siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas , ya que los
problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor
con un programa de computadora.
Formato del mapa de Kamaugh El mapa K, al igual que una tabla de verdad, es un
medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. La
figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos, tres y cuatro variables, junto con las
tablas de verdad correspondientes. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes:
1. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de
entrada. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. Cada
caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. Por ejemplo, en la
figura 4-11 (a),
La condición A = 0, B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A' B' en el
mapa K. Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso, se coloca un 1 en el
cuadrado A'B' en el mapa K. En forma similar, la condición A = 1, B = 1 en la tabla de
verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K, ya que X = 1 para este caso, se coloca
un 1 en el cuadrado AS. Los demás cuadrados se llenan con ceros. Esta misma idea se
utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.
2. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente
adyacentes so1o difieran en una variable. Por ejemplo, el cuadrado superior de la
izquierda del mapa de cuatro variables es A'B'C'D' en tanto que el cuadrado que se
encuentra a la derecha es A'B'C'D (solo la variable D es diferente). De la misma manera,
los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Por ejemplo, el
cuadrado superior izquierdo es A'B'C'D' en tanto que el que se encuentra a la derecha
es A'BC'D' (solo la variable B es diferente).
Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente
cuadrado del renglon inferior .Por ejemplo, el cuadrado A'B'CD del renglon superior es
adyacente al cuadrado AB'CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la
variable A. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte
inferior. Asimismo, los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes
a los del extremo derecho de la columna.
3. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente
difieran en una sola variable, el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden
indicado, -A'B', A' B, AB, AB'. Lo anterior también es válido para el marcado de
izquierda a derecha:
4. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos, la expresi6n de suma de
productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un
1. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b), los cuadrados A'B'C', A'BC', A
BC' y ABC contienen un 1, de modo que X = A'B'C' + A'B'C + A'BC' + ABC'.
Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente
combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. El proceso para combinar estos
unos se denomina agrupamiento.
Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla
de verdad con tres variables. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente
adyacentes entre si; el primero representa A'BC' y, el segundo ABC'. Note que en estos
dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C'
permanecen sin cambio). Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un
resultante que elimine la variable A, ya que ésta aparece en forma normal y
complementada. Esto se demuestra fácilmente como sigue:
Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente
adyacentes. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente
adyacentes. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C, ya que aparecen en
forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A' B.
Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). En un mapa K los cuadrados de los renglones
superior e inferior se consideran adyacentes. Asi, los dos unos en este mapa se pueden
repetir para dar una resultante de A'B'C' + AB'C' + B'C'.
La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden
agrupar. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. Los dos
unos en el renglón inferior son, asimismo, adyacentes puesto que en un mapa K los
cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran
adyacentes. Cuando se agrupa el par superior de unos, la variable D se elimina (ya que
aparece como D y D') para dar el término A'B'C. El agrupamiento del par inferior
elimina la variable C para dar el término AB'C'. Estos dos términos se operan con OR a
fin de obtener el resultado final para X.
Para resumir lo anterior:
El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que
aparece en forma complementada y no complementada.
Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un
grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. Este grupo se
denomina cuádruple. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. En la parte
(a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente
adyacentes. El mapa K de la figura 4 - 13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se
consideran adyacentes entre sí. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son
adyacentes igual que los de la figura 4 - 13(e) ya que, como mencionamos
anteriormente. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos
izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí.
Cuando se repite un cuádruple, el término resultante contiene sólo las variables que no
cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. Por ejemplo, en la figura 4 -
13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A'B'C, A'BC, ABC y AB'C. El
análisis de estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A
y B aparecen en forma complementada y no complementada). De este modo, la
expresión resultante para X es simplemente X = C. Esto se puede demostrar de la
siguiente manera:
Para poner otro ejemplo, consideramos las figura 4 - 13(d), donde los cuatro cuadrados
que contienen unos son ABC'D', A'B'C'D', ABCD', y AB'CD'. El análisis de estos
términos indica que sólo las variables A y D' permanecen sin cambios, así que la
expresión simplificada para X es
X = AD
Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada.
El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 -13 para comprobar
que sean las expresiones indicadas para X. Para resumir:
El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen
en la forma complementada y no complementada.
Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son
adyacentes entre sí se denomina octeto. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de
octetos. Cuando
porque solo una de ellas permanece inalterada. Por ejemplo, el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados; las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. Así, para este mapa, X = B. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 - 14.
EJERCICIOS
1.- Diseñe un semáforo que permita simular silos el tránsito de una avenida.
2.- Diseñe un semisimulador.
UTILIZACION DE SIMULADOR LOGICO PARA VERIFICAR CIRCUITOS
1- COMPUERTOS AND, NOR, NOT 2- SIMILITUD DE SEMISUMADORES
3- DE SUMADOR Y SEMISUMADORES
4- SEMAFORO
5- Se desea controlar dos motores M1 y M2 por medio de 3 interruptores A,B,C que cumplan las siguientes condiciones.
1. Si A esta activo y los otros 2 no lo están se activa el M1. 2. Si C está activo y los otros 2 no lo están se activa M2. 3. Si los 3 interuptores están inactivos se activan M1 YM2.
6- Visualizar con un displey o un led de 8 salidas hacer que funcionen los números del 1 al 8
BIBLIOGRAFIA
http://www.slideshare.net/Frank049/mapas-de-karnaugh-sistemas-digitales#btnNext
http://html.rincondelvago.com/mapa-de-karnaugh.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Mapa_de_Karnaugh
http://www.slideshare.net/Frank049/mapas-de-karnaugh-sistemas-digitales#btnNext
