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ELEMENTOSREVISTA DE MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA
Noviembre - Diciembre 1964Año II N9 9
Ante un hecho auspicioso.*
Temas de nuestro tiempo: Las estructuras matemáticas y
las estructuras operatorias de la inteligencia, (concl.)
por Jean PIAGET
La Reunión de Bogotá, (cont.)Panorama:
Cuestiones didácticas: Medios y técnicas para expo
ner los conceptos de matemática moderna.
por GEORGE PAPYi;
t
Bibliografía - Miscelánea - Noticias - Correo
;■
ELEMENTOS '*OBRAS FUNDAMENTALES DE
MATEMATICAREVISTA DE MATEMATICA PARA DA ENSEÑANZA MEDIA
Publicación bimestral
Editores: José Banfi - Alfredo I». Besio
Consultor: José BabiniCorresponsales: Andrés Valeiras (Latinoamérica)
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NT©SREVISTA DÉ MATEMÁTICA
PARA LA ENSEÑANZA MEDIA:• j
Noviembre - Diciembre 1964 A •Año II N? 9
En breve:
MATEMATICA MODERNA
MATEMATICA VIVA Ante un hecho auspicioso i1
por ANDRÉ REVUZ... El descubrimiento de las grandes est/ucturas ha cambiado la urdimbre y la trama de la fexlura de nuestro mundo; en vez de fibras horizontales vemos fibras ve ticales* Una revolución tal no puede quedar enclaustrada en el ámbito de la investigación. Hay que revisar la enseñanza en tedes los niveles — primaria, secundaria, tec ha, universitaria, etc. — a la luz c'.el descubrimiento de las grandes est^ucluras.
con el siguiente
SUMARIO:
I. Desconocimiento de la matemática.
La elaboración de la matemática contemporánea.
El porvenir.
Gustavo CHOQUET, Reunión de Bogotá (1961)
II.
III.El ministerio de Educación y Justicia acaba de crear la Comisión Nacional
para la Enseñanza de la Matemática que ha de cumplir con las recomendaciones de la reunión de Bogotá. Consideramos que la Resolución Ministerial es auspiciosa, tanto por el hecho en sí, en cuanto reconoce una necesidad innegable, como por la r-percusión que podrá tener en la futura labor docente.
Se reconoce en los considerandos el notable impulso de la matemática en los últimos años y su importancia para la vida humana, lo que obliga a enseña/ la de acuerdo con sus estructuras propias. Esto implica catnbios en los contenidos d^ los programas, actualización de conocimientos en los docentes, publicación de normas y textos, realización de ensayos y evaluación de resultados, tareas que, por su trascendencia. requieren la consulta, la colaboración y el consejo de matemáticos, pedagogos y funcionarios de la enseñanza".
No podemos dejar de expresar nuestra satisfacción por la medida adoptada, pues concuerda con lo que sugeríamos en un editorial reciente: Si la expci inicia
en una edición de ELEMENTOS
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au;ere encauzarse seriamente, se debe constituir una comisión permanente, integrada ,or matemáticos, psicólogos y educadores que la siga de cerca y resuelva sus dificul
tades sin demora, Y además, la extienda adecuadamente”. No importa que pueda objetarse la integración de la comisión, que pueda señalarse, por ejemplo, la ausencia de profesores secundarios que estén en cortado directo con los alumnos, destinatarios finales de la labor, y que serán los encargados de poner en ejecución lo que la Comisión resuelva; lo que importa es que el organismo haya sido constituido, lo que importa _ Como decía Gattegno en oportunidad semejante — es que el Ministerio la adopte “seriamente” bajo sus auspicios y que ella se disponga “seriamente” a tra-
bajar.Nos sentimos muy alentados porque advertimos que nuestra prédica no ha sido
Vana, aunque no la estimemos factor preponderante de lo resuelto. Nos alegraría mu cho que por obra de la Comisión se cumplan los fines par a los cuales lia sido ci cada Sabemos muy bien que la tarea por realizar es vasta y que costará alcanzar resulta dos satisfactorios inmediatos. Pero si todos ponen manos a la obra y el quehacer armónico del grupo prevalece sobre la acción individual, el éxito coronará los es- fuerzos y la enseñanza de la asignatura se beneficiará.
Paralelamente, deberá cundir el ejemplo de otros países en los cuales mentalidades prestigiosas, tanto en el terreno científico como en el pedagógico, no han vacilado en afrontar resueltamente la tarea, reuniéndose continuamente con los docentes secundarios para discutir mano a mano las posibilidades y las dificultades, descendiendo — ¿o ascendiendo? — a la publicación de textos para la enseñanza, dictando cursos de actualización matemática y de perfeccionamiento didáctico, respondiendo a todas las cuestiones que se les formulan.
TEMAS DE NUESTRO TIEMPO
Las estructuras matemáticas y las
estructuras operatorias de la inteligencia''JEAN PIAGET
(Ginebra, Suiza)
VI dos aspectos concilla por su parte la inversión propia de las estructuras algébricas con la reciprocidad propia de las estructuras de orden.
El grupo que entra asi en juego comporta cuatro transformaciones (grupo de Klein), que pueden definirse de la manera siguiente, en el caso particular de las operaciones interproposicionales:
1) La inversa o negación N de una operación es su complementaria en el conjunto de las asociaciones de base; p. ej.,
«(;»?) = pv? = (p.q) o N ip 3 q) _ (p 3 q) -
2) La recíproca R de una operación es la misma operación, pero entre proposiciones negadas; p. ej.,
R{pv </) - Ip v q) = (P / q) O R (p J q) _ {p W q¡ _ lq i
Advirtamos que la recíproca equivale así a permutar el orden de los términos de la implicación, lo que ofrece una significación general, ya que toda operación proporcional puede tomar la forma de la implicación.
Ejemplo:
0> v q) = (PO q). O A (p 9 f) s (y 3 £) b (p / f),
3) La correlativa C de una operación resulta de la permutación de las (V) y de los (.) en la forma normal de esta operación; p. ej.,
C'(p V q) - (P V q)Ap v q).(p v q) * (p q).C (p 0 q) = (p v q).(p v q).(p v?)= (p.qX
No es exagerado, por tanto, sostener que las estructuras operatorias de la inteligencia en formación manifiestan desde el principio la presencia de los tres grandes tipos de organización que corresponden a lo que serán en matemáticas las estructuras algébricas, las estructuras de orden y las estructuras topológicas. Pero conviene, por otra parte, señalar que las estructuras madres se coordinan muy rápidamente entre sí y engendran, mediante sus composiciones interestructurales, algunas estructuras más tardías cuya importancia no es menor para la construcción de las nociones lógicas y matemáticas.
Al nivel de las operaciones concretas, ligadas a la manipulación de los objeios y no entrañando, por ello, sino ciertas operaciones de clases y de relaciones (agrupamientos elementales), no existe todavía ninguna estructura de conjunto que fusione en un mismo sistema de transformaciones las inversiones propias de las estructuras algébricas y las reciprocidades propias de las estructuras de orden. Pero hacia los 11-12 años, por término medio, se sobreañade a estas operaciones concretas un conjunto de operaciones nuevas, relativas ahora ya a proposiciones y no a objetos, y estas operaciones interpropcsicionales constituyen entonces una doble estructura de grupo y de red, pero en le. que cada uno de estos
»
Éste es el panorama que todos esperamos observar. Estamos seguros de que, entonces, los profesores secundarios de matemática, han de poder responder satisfactoriamente a los reclamos que se les hagan, porque se sentirán respaldados por una información eficiente y una orientación segura.
Que no se nos defraude, que ésta no sea “una comisión más”.i
LOS EDITORES
ooo
. Ja reforma actual entiende, fundamentalmente, defender la dadera formación espiritual. Su finalidad esencial es hacer que el joven se sienta capaz de examinar objetiva y metódicamente todos los problemas que tenga que resolver, no sólo en la enseñanza universitaria, a la cual llega apenas una minoría, sino también en la vida diaria. Por eso debemos suscitar en él el espíritu crítico y desarrollar sus preciosas capacidades de análisis y síntesis. Una buena capacidad matemática debe extenderse más en profundidad que en superficie y dirigirse al raciocinio más que a la memoria”.
ver-
t
♦
GIOVANNI GOZZER Didattica della Matemática, Roma, 1956. (*) Véase ELEMENTOS, año II, pp. 31/34. (N. de los E.)
- 61- 60 -
sificación, etc., la red sustituye un conjunto de partes, por combinación n a n de estas partes entre sí. Pero tal composición combinatoria es por sí msima la generalización de una clasificación: el conjunto de las partes, que constituye la doble estructura de red y de grupo de que aquí se trata, resulta en definitiva del conjunto de las clasificaciones posibles aplicadas a los elementos del agrupa- miento, traducidas al lenguaje proposi- cional.
la misma manera, una operación ternaria como:
[p>. q. r) Y (p . q. r) v (p . q . r) v (£. q . 7) — [(47 3 p). (p 3 /■)]
puede concebirse como compuevsta de dos operaciones binaiias (q } p) y (p 0 r), ligadas por la operación compo- ponente (.). Llamaremos entonces la. Na, Ra y Ca a las transformaciones I, N, R y C aplicadas a la operación componente.
t Dicho esto, si designamos por x e y dos operaciones cualesquiera de una red, BI su cota inferior y BS su cota superior, se tiene el grupo (s).
(la) x . y ( = BJ) y (Na) x I y = xwy (Ra) x. y(Ca) x y y ( = BS)
comprobaciones de hecho y.las ley^s lógicas proceden de la necesidad deductiva o normativa.
Recíprocamente, el ''logicismo" es. una intrusión de la reflexión del lógico en el dominio de los hechos. Consistirá, p. ej., en afirmar que la inteligencia de individuos de carne y hueso (ya se trata de sabios o de estudiantes de matemáticas) sólo alcanza el rigor lógico siguiendo determinados caminos: intuición de esencias o sumisión del individuo, a la? reglas de un lenguaje adquirido del exterior, etc.
Pero si convenimos en dejar .a la Psicología el estudio de los hechos y a la Lógica el análisis de los fundamentos, mos que estas dos ciencias presentan entre sí más contactos que las filosofías en ismos, de las que se las ha qyeiido hacer solidarias. Ahora bien: al educador le más útiles los contactos que las oposicio-
doctrinales, extrañas a la propia cha de tales ciencias.
La Psicología, en efecto, tiende una mala Lógica mostrando que la*inteli
gencia se orienta espontáneamente, hacia la organización de ciertas estructuras operatorias, que son isomorfgs.de aquéllas, o de algunas partes de qquéKas que los matemáticos colocan al principio de su construcción o de las que ios lógicos cuenrtan en los sistemas que' elaboran. Pero este isomorfismo parcial río significa que las reglas lógicas sean leyes del pensamiento. Las estructuras de conjunto hacia las que se orienta la inteligencia en el curso de su desarrollo.no corresponden ni a estructuras; nerviosas preformadas (o a formas a priori) ni a estructuras físicas empíricamente regi'strádas: no son más que leyes de equilibrio que se presentan bajo la forma de sistemas de operaciones posibles, de las que solamente algunas son actualizadas en. función de las condiciones físicas y sociales ambientes. La lógica estudia los conjuntos completos de estas posibilidades y les proporciona los fundamentos que estima convenientes: no pueden existir punios de fricción entre el análisis- deductivo y exhaustivo de las posibles lógicas, por una parte, y por otra, la determinación .experimental de las posibilidades o de las imposibilidades que caracterizan las formas de equilibrio que corresponden.a los. dife-
4) La transformación idéntica I deja intacta la operación. Entonces se tiene el grupo conmutativo:
NR = C; NC = R\ RC = N y NRC = /.
En el caso de p ) q, p. ej., se tiene:
N {q 3 p) ~ (p q) * C (p 5 í) o je* NR — CIV O . í) - {<? 3 p) •=• R (p o q) o sea NC — R* O <?)•=■ (P q) - N (p 3 q) o sea RC - NK ÍP í) - (P q)' y N (p q) - [p O q) u jcu NRC -
Lo mismo ocurre en las operaciones ternarias, etc. (7). Pero en ciertos casos (diagonales de lq. tabla de las operaciones binarias, terciarias, etc.) se tiene R = N yC = IoR = IyC = N, aunque la inversa N es, naturalmente, siempre distinta de I.
Se cotoprúeb'a, pues, que este grupo INRC, que constituye una estructura algebraica, se incorpora, no obstante, las reciprocidades, que constituyen la forma de reversibilidad de las estructuras de orden. Psicológicamente, este grupo constituye así a la vez la síntesis y la forma de equilibrio final de las dos series de estructuras operatorias hasta allí distintas y fundadas la una sobre la inversión y la otra sobre la reciprocidad.
Pero el sistema de las operaciones interproposicionales constituye al mismo tiempo una red: todo par de operaciones tiene una cota inferior definida por su parte común (.) p. ej.: (p = q). (p V q) = (P • q); y una cota superior definida por su reunión (V): p. ej., (p • q) V (~ p. ^ q) = (p = q) Aunque, por el hecho mismo de ser complementada, esta red admite operaciones inversas. Además, y es importante-subrayar esto, en dos operaciones cualesquiera su cota inferior (= BI) y su cota superior (= BS) constituyen juntamente un grupo, que no es el grupo INRC, pero que es isomorfo con él y origina las transfoi mociones que llamaremos la Na Ra Ca, y definiremos de la siguiente forma:
Sea una operación binatria tal como p V q. Puede concebirse como formada por dos operaciones unitarias p y q unidas por la operación componente (V). De
VII
Nos falta concluir, y es lo que haremos desde el punto de vsita de la interpretación general de las matemáticas, influye necesariamente sobre el educador —quiéralo o no— y desde el punto de vista de las aplicaciones prácticas.
En lo que se refiere a la primera de de estas dos cuestiones, el problema esencial es saber si el educador, para ser fiel al espíritu de las matemáticas contemporáneas, debe inspirarse en un logicismo riguroso de tendencia platónica, o si puede considerar el pensamiento matemático como una prolongación de las construcciones espontáneas de la inteligencia, y recurrir así a las enseñanzas de la Psicología tanto como a las de la Lógica.
Ahora bien: si los datos psicogenéticos que preceden sen exactos, el conflicto entre el logicismo y el psicologismo parece susceptible de alguna atenuación, a condición, sin embargo, de introducir algunas distinciones que equivalen simplemente a disociar la Psicología del psicologismo y la Lógica del logicismo.
El psicologismo es una tentativa de fundar la Lógica sobre leyes psicológicas: "Para el psicologismo -—dice L. Apóstol—, las leyes lógicas son leyes psicológicas y describen el razonamiento real, ya el más frecuente, ya el más normal, ya el más eficaz prácticamente" (“). Dicho más familiarmente, el psicologismo es una manera de aplicar la Psicología a un dominio en el que no es competente, puesto que las leyes psicológicas se apoyan en
ila) x v y ( = BS) (Na) x. y(Ra) x I y = xv y (Ca) x . y ( = BJ)
ve-
que
sonSe tiene, por tanto:
Ca (BJ) = BS y Ca (BS) = BI nes mar-Además,Na (BJ) = Ra (BS) y Na (BS) = Ra (BJ).Y todas las transfoimociones habituales no adel grupo:
Na (x . y) — Ra Ca (xy);Na Ra Ca (x . y) = x . y; etc.
En otros términos, si el grupo INRC se incorpora la reciprocidad, la red de las operaciones interproposicionales se añade la inve’sión y admite una estructura de grupo en cuanto a la relación fundamental entre las cotas y las operaciones que unen.
Ahora bien: desde el punto de vista genético, esta doble estructura de grupo y de red que constituyen las operaciones interproposicionales no es otra cosa que el término de las estructuras elementales de agrupamientos (que representan, como hemos visto, grupos imperfectos, a falta de asociatividad completa, y semirredes). El paso de los agrupamientos de clases y de relaciones a la estructura de grupo y de red de las operaciones preposicionales puede, en efecto, concebirse como resultado de la intervención de operaciones combinatorias que sustituyen a las operaciones simplemente aditivas o multiplicativas. En otras palabras, a los encajes simples de una cla-
en-
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t
*
(8; Véase PIAGET: Essai sur les transformutions des opérations logiques, página 159, prop. 247. Véanse también las proposiciones siguientes a la 2Ó3.
(9) L. APOSTEL, Logique et preuve, Methodos, vol. 5, pág. 303, 1953.
(7) Véase PIAGFT: Essai sur les trensformations des opérations logiques. París, P. U. F., 1952.
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una experiencia física con lectura de los resultados obtenidos. Pero cuando la experiencia sirve de ocasión a la coordinación de las acciones y la abstracción se refiere a estas acciones (ll) y no al objeto, la experiencia prepara el espíritu deductivo, en vez de contrarrestarlo. Si en el niño todo conocimiento supone una participación de la experiencia para constituirse, esta comprobación psicológica no justifica en nada al empirismo, porque hay, por tanto, dos clases de experiencias: la experiencia física, que conduce
que la lengua misma, precisamente en la medida en que sus estructuras reflejan las de la Lógica, hunde sus raíces en sistemas operatorios más profundos que las conexiones existentes entre los meros signos verbales.
En una palabra, el porvenir de las re- lociones entre la Psicología y la Lógica quedan ampliamente abierto y no puede ser prejuzgado en función de los errores pretéritos. Desde el punto de vista práctico, no se trata para el educador de elegir entre los métodos formalistas fundados en la Lógica y los métodos activos fundados en la Psicología: el objeto de la enseñanza de las matemáticas será siempre alcanzar el rigor lógico lo mismo que la comprensión de un formalismo suficiente, pero sólo la Psicología está en condiciones de proporcionar a los pedagogos datos sobre el modo de conseguir con mayor seguridad este rigor y este formalismo. Pero nada prueba que colocando el formalismo al principio lo encontremos al final bajo sus especies auténticas, y los estragos de un seudoformalismo o un formalismo puramente verbal por de-
, masiado precoz muestran, por el contrario, los peligros de un método que ignora las leyes del desarrollo mental.
En realidad, si el edificio de las matemáticas reposa sobre estructuras, que corresponden, por otra parte, a las estructuras de la inteligencia, es necesario basar la didáctica matemática en la organización progresiva de estas estructuras operatorias. Ahora bien: psicológicamente, las operaciones derivan de acciones que se interiorizan coordinándose en estructuras. Es vano, pues, imaginar que le recurso inicial a las acciones compromete el rigor ulterior y favorece el empirismo. Hay empirismo cuando el educador sustituye la demostración matemática por
rentes niveles de organización de la inteligencia. Sin duda, las técnicas algébricas del lógico pueden ser útiles al psicólogo en su descripción de ias formas de equilibrio o estructuras, pero esto no significa que tenga el candor de asimilar sin más las leyes de la Lógica a las del pensamiento.
En cuanto a saber si la Lógica, por su parte, buscará algún contacto con la Psicología, la historia de las futuras investigaciones lo demostrará. Algunos lógicos parecen dominados por la desconfianza respecto del psicologismo en general, como nuestro amigo Beth, cuyo interesante capítulo precisa su posición. Pero la cuestión es saber si el temor del psicologismo es efecto de la actitud lógica en sí misma o de un residuo de logicismo que condutal lógico, sin saberlo, a optar en el terreno psicológico en favor de una concepción más bien que de otra sobre la manera de alcanzar las conexiones lógicas. Otros lógicos, como Apostel, distinguen entre el psicologismo tradicional y un recurso más sutil a la Psicología: ".. .nosotros no afirmamos, como los psicologis- tás del siglo XIX (Siwart, Heymans, Wundt, Erdman), que las reglas lógicas son leyes del pensamiento. Decimos solamente: hay leyes del pensamiento tales, qué en una determinada estructura social y joara individuos que poseen ciertas propiedades^ podemos infaliblemente (con necesidad física) constreñir a estos individuos a aceptar nuestras conclusiones si aceptan nuestras premisas, y con tal que ejecutemos ciertas operaciones, cuyas etapas son descritas mediante las reglas de la demostración correcta" (10). De una manera general, es muy posible que los trabajos actuales sobre las relaciones entre la Lógica y el lenguaje terminen por conducir a la comprobación de
abstracción de las propiedades del gbjeto mismo, y la experiencia lógico-matemática, con abstracción a partir de las acciones u operaciones efectuadas sobre el objeto y no a partir del objeto como tal. Así, el recurso a la experiencia y a la acción y, de una manera general, la pedagogía llamada activa, en cuanto procedimiento de iniciación matemática, no comprometen en nada al ulterior rigor deductivo, sino que, por el contrario; lo preparan proporcionándole bases reales y no simplemente verbales.a una
o oo
CRUC1NUMER0ROSARIO RUSSO (h.) (Stgo. del Estero)
:
b d fex c eCUADROS VACIOS: le, 2c, 3e, 3b, 4o, 4f, 5d, 6c, 6e.i
1DIAGONALES: la, sucesión fundamental de los números
naturales; lf, los seis primeros divisores (en orden creciente) de 24.2.
HORIZONTALES: la, coeficientes del cubo de un binomio; 2a, la quinta potencia de 2; 2d, número de días de los cuatro primeros meses de un año bisiesto,- 3a, raíz de la ecuación 3x — 6 = 0; 3c, la "edad de Cristo"; 3f, ordenada al origen do la recta y = 5x,- 4b, proporción continua de razón 2; 5a, primeros términos de la sucesión Un = 2n + 2; 5e, factor común de 104 a + 52 b 4- 156; 6a, cubos perfectos menores que 27 (en orden decreciente); 6d, raíz positiva de la ecuación xs — x — 6 — 0; 6f, resultado de 9 — (5 — 3) — 6.
3■
4 ■
!5
I6
VERTICALES: la, raíz cuadrada de 17424; lf, múltiplo de 11 de tres cifras; 3c, la suma es 15; 4b, ídem; 5a, noventa y seis medios. r
(10) L. APOSTEL. loe. cit., pág. 305. La postura de Apostel tiende así a apelar a los "concomitantes psicosociales de las operaciones lógicas" (página 395). lo que constituye un terreno de colaboración en el cual los trabajos psicológicos no son, por otra parte, tan inexistentes como se supone. La dificultad para el psicólogo será, por el contrario, admitir en el campo de as operaciones reales una necesidad física, distinta de la necesidad psicológica, a menos que esta noción se reduzca, a fin de cuentas, a lo que nosotros llamamos (con la teoría de la Gcstalt) leyes de equilibrio.
(11) En las experiencias sobre el orden (orden directo, orden inverso, debido a un recorrido en sentido contrario o a una rotación del dispositivo, etcétera), p. ej., el niño abstrae el orden, no do los objetos
como tales, sino de los acciones u operaciones gracias a las cuales han sido ordenados. La comprensión del tema será entonces de modo natural tanto mejor cuanto más haya intervenido la actividad y no se haya limitado el niño a la contemplación pasiva del resultado de las acciones ejecutadas por otro.
i ¡ooo
Los matemáticos estudian su ciencia porque les jascina con su magia; pero ¿cuándo llega a nuestros alumnos esta, magia?
T. /. FLETCHER
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aqu:, y que pueda emplearse en alguna forma parp unificarlos? Fácil-es ver" que ello es posible: el concepto unificador es el de función, tal como lo entienden hoy día los matemáticos y los lógicos. Este concepto se conoce con muchos nombres diferentes (función, operación, transformación, aplicación), lo cual refleja las circunstancias históricas en que surgió independientemente en otras tantas ramas diferentes de la matemática. Sin bcurgo, ha ganado reconocimiento un concepto unitario y su omnipresencia es un formidable factor de unificación, no solamente en el álgebra, sino en. la totalidad de la matemática. En el del álgebra, como sabemos, las operaciones, los homorfismos y los isomorfismos son todos funciones; pero el concepto de función pertenece verdaderamente a la lógica pura: allí tiene su puesto como una innovación esencialmente moderna y de las pocas ideas básicas de la lógica actual que no procede de Aristóteles.
"En la enseñanza de la matemática es evidentemente necesario dar una posición prominente a cualquier noción central como el concepto de función, ilustrando con muchos ejemplos su frecuente presencia en asuntos matemáticos o de otra índole. Ha sido costumbre introducir este concepto en una etapa relativamente tardía y en forma fragmentaria y poco coordinada, retrasando demasiado su presentación como una singular idea unificadora. No creo que haya ninguna base psicológica real para este proceder vacilante, aun cuando la enseñanza temprana del concepto de función plantee problemas psicológicos oscuros y complejos que deberemos encarar con valor a causa de la importancia 'fundamental de esta tarea. Es muy'probable que necesitemos aprender más acerca de la formación de conceptos en los niños y los adolescentes antes de* poder comprender estos problemas en su verdadera dimensión y hallar una forma realmente satisfactoria de abordar- los. Sin embargo, no hay razón para que no podamos presentar a los niños, aún a los rhuy niños, situaciones aritméticas y geométricas a las cuales el concepto de función es inherente y así conducirlos por'una temprana familiarización a una percepción precoz del principio subya
cente común. Con un conocimiento más profundo de estos problemas psicológicos podremos seguramente obtener resultados mucho mejores a este respecto, aunque ninguno será mejor, probablemente que los que puede lograr un maestro excepcionalmente dotado. Si tuviera que señalar el problema pedagógico de la matemática elemental que pone más a prueba nuestra idoneidad como profesores y que merece la más cuidadosa investigación, indicaría, sin vacilar, el que estamos tratando aquí, que, a mi juicio, debe ser objeto, sin demora, de una investigación fundamental.
"Desde el punto de vista lógico, función es simplemente un tipo especial de relación, y un sistema algebraico es un ejemplo particular de un tipo más general de sistemas que puede definirse prescribiendo sus elementos y algunas relaciones, no necesariamente operaciones, entre ellas. Un poco de reflexión nos indicará pronto que todas y cualquiera de las situaciones que estudia la temática puede formularse en términos de estos sistemas más generales. Por lo tanto, podremos referirnos a ellas como a "sistemas matemáticos" y enunciar las siguientes conclusiones, de gran interés e importancia. Primero, que la matemática no es sino el estudio de "sistemas matemáticos", en el sentido aquí descrito; segundo, que la totalidad de la matemáticas puede expresarse en términos puramente lógicos. Así, en pocas líneas, nos ha sido posible alcanzar analtica- mente una posición cuyo descubrimiento y valoración costó a la especie humana siglos de experiencia matemática. Y la única razón por la cual nos vimos obligados a reconocer que la matemática es completamente abstracta y debe aceptarse como una actividad intelectual totalmente separada de las realidades físicas en que se originó, fue el descubrimiento de la geometría no-euclidiana a principios del siglo pasado. Hasta momento, los matemáticos habían considerado que la geometría y el cálculo infinitesimal estaban tratando necesaria v directamente los aspectos concretos del mundo físico. Pero cuando se descubrió que para describir el espacio en el cual vivimos, disponíamos de dos geometrías diferentes e incompatibles, resultó claro
PANORAMA
La Reunión de Bogotá"Hoy por hoy, el punto de vista com
parativo está suscitando un gran interé* nivel de abstracción aún más re-
"Parte considerable del álgebra moderna está dirigida, no hacia el estudio de sistemas algebraicos individuales, sino hacia la comparación y composición de varios de dichos sistemas. Las nociones •de subsistema, homomorfismo, isornor- fismo, suma o producto directos y sistema-cociente se destacan en es'.as investigaciones; puesto que tenemos a mano ejemplos bastante elementales de estos conceptos, no cabe duda de que se podrán Introducir algunos de ellos incluso en el nivel secundario; por ejemplo, no hay razón por la cual los estudiantes secundarios no puedan entender que la propiedad más significativa de los logaritmos es la de introducir un ísomor- fisno entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el aditivo de todos los reales. Desde un punto de vista moderno, el uso de ios -logaritmos en el cálculo numérico está desapareciendo rápidamente debido a la aparición de las máquinas calculadoras, mientras que aumenta el significado de sus propiedades algebraicas.
"Puesto que no es buena piácticá pedagógica enseñar definiciones sin mostrar su utilidad en cierto número de proposiciones o teoremas importantes, algunos de los resultados elementales de la teoría de grupos deberán indudablemente presentarse en cualquier curso donde se trate el punto de vista comparativo. La visualización o representación. de un grupo abstracto como un grupo de permutaciones o transformaciones, la identificación de los homomoríos do un grupo arbitrario con sus grupos-co cíente y los nexos entre los anillos abstractos y los endomorfismos de los grupos abelianos, se cuentan entre ios resultados de esta especie que no deben permanecer inasequibles a estudiantes de 17 a 18 años, razonablemente buenos.
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finado: el estudio de los sistemes algebraicos en los cuales los objetos puedes interpretarse como sistemas algebraicos y las operaciones como operaciones de estos sistemas (tales como la construcción de un homomorfo o de un producto directo). Esta nueva "teoría de las categorías", como se la Lama, ya está resultando muy útil en el estudio de la geometría algebraica abstracta y en forma bastante natural nos está conduciendo también a situaciones análogas a las /a familiares desde hace mucho en la teoría de los números cardinales. Menciono este aspecto reciente del'álgebra, no por su interés inmediato en relación con loa prob.emas de la enseñanza de la matemática, sino porque ilustra convenientemente la forma en que el álgebra se hace cada vez más abstracta, más refina da y más versátil con el andar del tiempo. ¿Quién sabe cuándo habrá que enseñar en los cursos elementales la teoría de las categorías, que ya se está abriendo paso en 'los seminarios de investigación y en los cursos avanzados de postgraduados? Por lo menos observamos que no debe ser demasiado difícil hacer comprender, aun a alumnos relativamente neófitos, que si el álgebra se alimenta de otras ramas de la matemática para producir sistemas algebraicos, también puede alimentarse de sí misma con el mismo propósito y con resultados igualmennte interesantes.
"Retrocedamos un poco y reflexionemos más profundamente sobre las observaciones que acabamos de hacer acerca de algunos lineamientos particularmente característicos del álgebra moderna. ¿Podremos encontrar algún concepto central que sirva de substracto a los puntos de vista tanto operacional como comparativo, tal como los hemos descrito
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(-) Véase ELEMENTOS, año II, pp. 35/41. (N. de los E.)
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binar tales estados simbólicos y así lograr la inferencia, la abstracción, la es- pecialización y demás operaciones características del pensamiento abstracto. No se emprendió un tratamiento simbólico sistemático de la lógica y de la matemática sino hacia el final del siglo XIX. Desde entonces, el desarrollo de diversos lenguajes especializados, completos y estrictamente adaptados a Cos requisitos de los lógicos y los matemáticos, nos ha permitido basar nuestros estudios de estos temas en operaciones formales con cadenas de símbolos. Esto significa que en el fondo debemos tratar con un álgebra en cuyos términos se puedan expre-
tanto la lógica como la matemática; por ejemplo, con el álgebra de Boole, que también tiene relaciones con la teoría de los conjuntos y, lo que es más sorprendente, con la teoría de los circuitos eléctricos; en otras palabras, la lógica misma se convierte en una rama de la matemática o, más específicamente, del álgebra. Así, y en é sentido preciso de este breve examen, llegamos a la conclusión de que la matemática y la lógica son coextensivas y reductibles ambas a un álgebra de símbolos. Esta afirmación pone de relieve en forma perfectamente clara y definida la naturaleza abstracta de la matemática tal como hemos tratado de describirla aquí.
"Al mismo tiempo, esta aserción nos permite plantear otras preguntas acerca de la naturaleza de la lógica y de la matemática que tienen importantes repercusiones filosóficas y pedagógicas. Ya en 1900, David Hilbert había incluido en su célebre lista de importantes problemas matemáticos no resueltos, el de hallar una teoría de la prueba matemática que permitiese establecer el carácter congruente y completo de la matemática, esto es, decidir sin contradicciones, la verdad o falsedad de toda proposición matemática correctamente formulada. Unos veinte años más tarde, Hilbert inició el estudio de este problema en forma sistemática con referencia especial a los fundamentos de la aritmética. Poco tiempo después, Gódel mostró que los problemas lógicos de la aritmética, en la forma precisa planteada, por Hilbert y su escuela, únicamente tienen soluciones negativas que tenazmente implican im-
-perfeccioné En efecto, demostró 'la existencia de proposiciones "indecidibles" en aritmética o, más precisamente, de proposiciones cuya verdad o falsedad no puede probarse en función de las premisas lógicas dadas. Además, Gódel demostró que este fenómeno es de secuencia tan, general que obviamente difícilmente se lo puede eludir, con lo cual dio fin a la ilusión de Hilbert. Casi inmediatamente, Church y Turing descubrieron una dificultad cfigo parecida en la teoría de la prueba, mostrando que aun si existiera una prueba de alguna proposición aritmética, ella podría no encajar en esquema alguno de prueba proscripto de antemano. En suma, ningún procedimiento rutinario o mecánico para construir pruebas en aritmética comprenderá todos los casos en los que es posible encontrar una prueba.
"También los resultados de Church y Turing son muy generales y pueden aplicarse aún más allá de «los límites de la aritmética; dos creencias abrigadas implícitamente por todos o casi todos los matemáticos desde los primeros tiempos de los griegos hasta el presente, se ven así en una nueva y difícil situación. Ya no es posible confiar en poder encontrar, para una disciplina matemática dada, organización lógica completa de proposiciones en verdaderas y falsas, o en poder hallar en forma mecánica tomática pruebas formales de aquellas proposiciones demostrables. Esto no quiere decir que para alguna especie restringida de proposiciones de una disciplina particular no sea posible una organización lógica completa, o que la cons< trucción sistemática de pruebas para las proposiciones verdaderas entre las sometidas a consideración, se halle fuera de nuestro alcance. Por el contrario, Tarski ha demostrado que para una amplia categoría: de proposiciones de la geometría endlidiana basadas en un conjunto particular de axiomas existe un procedimiento de decisión. Esta categoría abarca las proposiciones que uno consideraría normalmente como las más naturales e interesantes de la geometría- plana. Sin embargo, en el tratamiento axiomático de sistemas matemáticos debe esperarse que los conjuntos de axiomas de esa categoría sean escasos. La
que por lo menos una de ellas debía tener la categoría de creación puramente intelectual. Así aprendimos la lección de
cierto sentido, la matemática trasciende la experiencia y llegamos a sostener luego el punto de vista actual de que la matemática no guarda una relación necesaria e inmediata con- lo concreto. Esto no quiere decir que las aplicaciones de la matemática o su interpretación en términos concretos no inspiren y guíen en forma muy valiosa su desarrollo. Nuestra experiencia nos muestra claramente que, si 'bien es cierto que ocasionalmente la matemática nos suministra por adelantado el andamiaje para alguna aplicación nueva y fundamental, hay también veces en que el abordar desde un punto de vista concreto un problema matemático, nos da la clave de su
situación general será tal que pueda aumentarse el esquema de los axiomas agregando ilimitadamente otros nuevos, sin que esto nos conduzca a una contradicción o a su categoricidad. Por otra parte, los resultados de Churh y Turing dejan a'i matemático un campo mucho más amplio que el que tendría si existiera algún método mecánico para construir pruebas de todas las proposiciones verdaderas de una disciplina matemática dada. El hecho de que la construcción de pruebas deba continuar siendo un arte, en vez de un. procedimiento de rutina, muestra la importancia del papel que desempeñará siempre el matemático con talento creador.
"Desde un punto de vista pedagógico, existe una antítesis entre los aspectos manipulativos de la matemática, es decir el cálculo correcto y, en el fondo, mecánico, con símbolos matemáticos, y la búsqueda intuitiva de modelos o características estructurales latentes en determinado sistema matemático. En el pasado se dio mucha importancia en la enseñanza de la matemática, al dominio de las habilidades manipúlativas y a los artificios ingeniosos. Los ejercicios, con excesiva frecuencia del tipo más aburrido, llegaron por lo tanto a ocupar un sitio demasiado prominente en los programas de matemática. Actualmente existe una fuerte tendencia a prestar mayor atención al aspecto estructural, para que los estudiantes comprendan mejor la base de los procedimientos manipulativos que deben aprender y al mismo tiempo penetren dentro de la estructura de los principales sistemas matemáticos que se ^encuentran en el álgebra, la geometría y otras ramas de la matemática. Con la enseñanza de esa manipulación como tal, se corre el riesgo de extinguir el interés, aun de los mejores estudiantes, en una maraña de pesada rutina y de trabajo inútiL Hay muchas razones para creer que la adquisición de una habilidad manipulativa se •logra mejor con el cultivo de la comprensión estructural, que utilizando exclusivamente ejercicios sistemáticos, por muy necesarios que éstos sean. En resumen, un programa moderno de matemática debe resolver la antítesis entre la manipulación y la visión intuitiva, dando a cada una de ellas su posición apropiada y lo-
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solución."Sin embargo, es un hecho que la ma
temática también puede considerarse como un juego que ha de jugarse con piezas sin ningún sentido y de acuerdo con reglas puramente formales y esencialmente arbitrarias; pero que resulta intrínsecamente interesante debido a la fascinación que se experimenta al descubrir y explorar la compleja trama que permiten las reglas del juego. Los matemáticos tienden cada vez más a atacar
problemas con un espíritu que refleja este punto de vista.
"Para compernder más acabadamente las relaciones entre la matemática y la lógica, es necesario examinar el papel que desempeña el simbolismo en el pro-
del pensamiento. Cuando introducimos símbolos especiales para representar números y otros objetos matemá- cos, podemos reconocer fácilmente el carácter arbitrario de lo que estamos haciendo; pero no es tan fácil ver que todo lenguaje tiene el mismo carácter arbitrario y no es menos simbólico que ese lenguaje especial que creamos para nuestra conveniencia matemática. Es aún me-
fácil comprender que todo el proce-
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4nosso del pensamiento es simbólico por su propia naturaleza, puesto que no opera en el mundo exterior sino en estados específicos del cerebro que representan y simbolizan las experiencias de la realidad. La memoria y la retención permiten a la mente comparar, separar y com-
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poder dar una descripción mas completa del estado presente de la matemática es necesario señalar algo de lo que se co
sistemas matemáticos, pero estrictamente sistemas algebrai-
Podemos observar inmediatamente
XX se- encuentra, por ejemplo, en. el reconocimiento'del papel desempeñado en el análisis matemático por los conceptos abstractos del" álgebra topológica y el desarrollo del \análisis funcional como instrumento poderoso para el estudio de los problemas del análisis clásico. Sería bastante exacto afirmar que el análisis ha llegado a ser una parte del álgebra topológica y mientras no investiguemos las demás posibilidades ocultas tras el álgebra y la teoría de los conjuntos ordenados, parece claro que la matemática pura consistirá en el estudio del álgebra topológica, tomada en el sentido más amplio de la palabra.
"De estas consideraciones
grando que se apoyen mutuamente. No podemos contentarnos con adiestrar a nuestros estudiantes en el cálculo rápido y preciso o en. la solución de una serie interminable de artificiosos problemas geométricos, aun cuando, por razones obvias, no debemos despreciar este aspecto de su educación matemática. El éxito, tanto en la matemática pura como en la aplicada, depende de la habilidad para manipular y calcular con los símbolos matemáticos. Debemos también luchar para desarrollar una habilidad igual en la búsqueda de modelos y estructuras, comenzando cuanto antes en el programa escolar.
"En los últimos iiempos, el desarrolle de máquinas calculadoras electrónicas, notablemente versáiiles y veloces, ha cambiado completamente el arte del cálculo numérico y como consecuencia modificado también la clase de preparación en este tipo de cálculo que debe darse en escuelas y universidades. En principio, es ahora posible ejecutar toda clase de manipulación matemática o lógica por procesos mecánicos mucho más rápidos y eficaces que los del más hábi'I matemático. Cálculos muy complicados, imposibles anteriormente, se han vuelto practicables; por lo tanto, en muchos campos donde se aplica la matemática existe una fuerte y creciente demanda de computadoras electrónicas de alta velocidad y de especialistas matemáticos capaces de' Utilizarlas con habilidad y eficacia. Al enseñar el arte del cálculo numérico a nuestros alumnos, se debería entonces dar mucho menos importancia a su preparación para que funcionen como máquinas calculadoras y reforzar su capacitación para utilizar consciente e inteligentemente los diversos auxiliares mecánicos y electrónicos disponibles, comenzando con la regía de cálculo y las calculadoras manuales de mesa. Naturalmente, los matemáticos que van a dirigir y pervisar el uso de las computadoras electrónicas de alta velocidad necesitan un extenso conocimiento de matemática superior y de lógica, y deben recibir esta preparación técnica en la universidad.
"En este examen de ios desarrollos actuales de la matemática se ha prestado hasta- el momento atención, especial a los aspectos algebraico y lógico. Pero, para
con un espíritu nuevo acorde con el que inspira el trabajo de los matemáticos modernos, ya sea que se dediquen a la matemática para su propia satisfacción o como un instrumento para comprender el mur.do en que vivimos. Debemos, pues, reorganizar y enriquecer los programas de matemática haciendo accesible a nuestros estudiantes, t'an pronto y fácilmente com'e sea posible, nuestro crecido bagaje de conocimientos tanto de la matemática pura como de la aplicada, lo cual requiere un análisis cuidadoso de estos programas a la luz de nuestras necesidades actuales y de nuestra mejor comprensión de las diferentes ramas de la matemática y las relaciones entre ellas. Así, por ejemplo, hemos señalado ya cuán.importante
. es comenzar la enseñanza de los conceptos del álgebra moderna en una etapa mucho más temprana. Desde el -punto de vista de las aplicaciones, debemos también señalar que es de similar imporiári- cia introducir en una etapa igualmente precoz los conceptos fundamentales de probabilidad y de estadística, que deben ser reconocidos como la piedra angular de la matemática aplicada y aun de la física moderna, que ha tenido que abandonar los puntos de vista deterministas de tiempos pasados. Un comentario casi obligado que debe hacerse sobre los análisis contemporáneos de los programas de matemática, es la considerable importancia que dan a un desarrollo más explícito y detallado de los aspectos lógicos de la matemática como parte de lá instrucción elemental y secundaria. Este enfoque es absolutamente necesario. Es importante para los jóvenes estudiantes de matemática comprender la necesidad de la precisión y la naturaleza de una prueba. En última instancia, todos los matemáticos necesitarán de una comprensión dara de la naturaleza de la lógica y de su relación con la matemática; pero esto deberá llegar, en mi opinión, en una etapa bastante posterior a la de las escuelas secundarias. Por último, es importante que aun el neófito en matemática capte el método axiomático. Esto es tan cierto para el futuro especialista en matemática aplicada co.mo pa:a el matemático puro.
"En realidad, la construcción de modelos matemáticos de diversos fragmen-
noce comoque son eos. . .que todavía no hemos avanzado mucho en ía exploración de las posibilidades inherentes a la definición extraordinariamente amplia de sistema matemático que se ha dado aquí; el hecho es que las únicas especies de estructuras no algebraicas que han sido investigadas en forma sistemática son las caracterizadas por la presencia de una relación de orden. El estudio de los conjuntos ordenados y su papel en la matemática es un campo esencialmente reciente, aún cuando eí concepto de orden haya sido p'OTle del equipaje intelectual del hombre desde las épocas prehistóricas y reconocido desde el principio como básico tanto en la geometría como en la aritmética. -La topología, con sus nociones centrales de límite y de continuidad, puede definirse en su forma más sencilla en términos de
muy generales sobre la naturaleza de la matemática tal como la entendemos hoy, en la mitad del siglo XX, surge una visión notoriamente clara de la unidad esencial de la matemática. Si en este examen fuese posibje analizar en detalle el progreso técnico de las diferentes ramas de la matemática desde el año 1900 y la forma como, se han entretejido cada vez más íntinjlomente como resultado de la investigación moderna, no haríamos más que que ilustrar y confirma: lo que "a prio- ri" ya resulta evidente. Al .enseñar matemática, aun en los niveíes más elementales, uno de nuestros principales objetivos debe ser el de conducir a nuestros estudiantes a una pronta comprensión de esta unidad subyacente. Y el peor servicio q.ue podríamos hacerles sería el de conservar la separación de la matemática en disciplinas no relacionadas entre sí, concentrando nuestros esfuerzos en inculcarles habilidades técnicas y de manipulación aisladas.
"Habiendo revisado con algún detalle las tendencias características de la matemática moderna —su abstracción, su unidad, su unión con la lógica y su aspecto actual como estudio del álgebra topológica— y habiéndonos referido, aunque con pocos detalles a sus avances técnicos y a la extraordinaria proliferación de sus aplicaciones durante el siglo XX, quisiera terminar con unas pocas palabras sobre 'las consecuencias de esta ojeada a vuelo de pájaro en la enseñanza de la matemática. Al hacerlo, quisiera observar especialmente que se ha vuelto necesario enseñar la matemática
orden y no puede comprenderse sin utilizar las propiedades de los conjuntos ordenados. Eí descubrimiento y desarrollo de la topología en este siglo muestra en forma notable cuán1 ricas e intrincadas puedan ser ias consecuencias de conceptos aparentemente muy simples y primitivos, tal como el de orden. ¿Qué maravillas nos esperarán . cuando intentemos explorar otras relaciones también aparentemente simples y primitivas, y los 'sistemas matemáticos que en sí involucren? Sólo podemos entrever que ía matemática tal como la conocemos hoy, parecerá mañana juego de niños.
"Cuando las posibilidades de estructuras algebraicas y ordinales se combinan, como se hace con el estudio dé los grupos topológicos y de las álgebras to- pológicas, se echan los fundamentos de un extenso desarrollo cuyos principios son un fruto característico de ía matemática del siglo XX. Indudablemente, un recuento detallado de lo que se ha alcanzado durante los últimos cincuenta •años sólo en este campo; nos daría una buena idea de la naturaleza de la matemática moderna y del progreso 'técnico que le debemos. Uno dé los adelantos más significativos de la materática en el siglo
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CUESTIONES DIDACTICASMedios y técnicas para exponer los
conceptos de matemática moderna'*1
• i*tos del mundo real, que constituye la ocupación principal del matemático aplicado. no es sino un ejercicio de axiomática. Una razón muy importante para insistir en un tratamiento axiomático de la geometría en la escuela secundaria es que éste es el único tema de la matemática elemental que guarda una relación palpable con el mundo real y nos suministra un buen ejemplo de construcción de un modelo. No puede decirse otro tanto de la aritmética o del álgebra, como podemos ver si reflexionamos un poco. En la mayor parte de los estudios sobre el tratamiento axiomático de la geometría no se ha destacado suficientemente ese aspecto del asunto, probablemente porque los matemáticos se interesan principalmente en. el lado lógico de la cuestión, como lo muestra claramente la frecuente insistencia en el uso de la palabra "postulado" en lugar de "axioma".
rienda, aun en el plano físico, de los cuales nuestros jóvenes alumnos puedan 'llegar prontamente a ideas tan abstractas como las de función o transformación. Además de preocupamos por estos aspectos característicos de la matemática derna, también debemos presentar la matemática como una actividad creadora y artística del espíritu humano, porque, a pesar de las extraordinarias realizaciones de nuestras máquinas matemáticas, no hay que olvidar que se trata de nuestras propias creaciones y que tales seguirán siéndolo como lo sugieren los resultados de Gódel, Church y Turing. En segundo 'lugar, parte muy importante, y acaso la más importante, de nuestra tarea como maestros, es fomentar en nuestros alumnos, desde el primer día de clase, ese espíritu creador sin el cual la matemática se volvería estéril y perecería.
"Unas palabras más, para terminar. Es una profunda verdad de la psicología humana, que el pensamiento infantil tiende a ser más abstracto, más imaginativo y más creador que el de los adolescentes en muchos aspectos; deberíamos, entonces, aprovechar la maravillosa ocasión que esto nos brinda para iniciar a los niños, aun desde tierna edad, en el verdadero espíritu de la matemática moderna y para guiarlos por entre los elementos de la aritmética, del álgebra y de la geometría intuitiva, antes de que 'lleguen al nivel secundario. Aunque en esta Conferencia nos interesa ante todo la matemática de la escuela secundaria y de la universidad, no olvidemos que todo lo que se haga en estos niveles superiores ha de basarse en lo logrado en la escuela elemental para dirigir los pasos de nuestros alumnos por la senda de la temática".
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GEORGE PAPY(Bruselas, Bélgica)
1. LA PEDAGOGIA DE LAS SITUACIONES. PREPARACION PARA LA MATEMATICA APLICADA.
debido al ritmo acelerado del progreso y de la matematización de las ciencias, nuestros alumnos, en una etapa posterior, tendrán que asimilar nuevos conceptos matemáticos enlazados a situaciones reales. Importa, pues, prepararlos para esta continua apertura del espíritu, a la que la pedagogía de das situaciones favorece.
La elección de situaciones es de gran importancia; ellas deben constituir 'un soporte válido para los conceptos introducidos al mismo tiempo que no pueden,
naturaleza demasiado especial,
iEs muy probable que los muchachos
de 12 a 15 años tengan que usar la matemática más adelante, en las disciplinas más diversas, como medio de comprensión, de investigación y de resolución de problemas.
Para poder usar fecundamente la matemática en situaciones reales, no es suficiente poseer una herramienta perfeccionada que resuelva automáticamente los problemas planteados. La primera y mayor dificultad es reconocer que una situación se presta a un tratamiento matemático y decidir cuál es dicho tratamiento. A ese efecto, la situación concreta que se encara, debe ser idealizada y matematizada. Anotemos que la mayoría de los ejercicios tradicionales de la matemática aplicada no prepara a los alumnos para esta marcha del espíritu, tan esencial sin embargo.
Por consiguiente, la matemática no debe enseñarse como una asignatura aislada que se presenta a alumnos contemplativos. Por lo contrario, tal como lo ha señalado a menudo Caleb Gatteg- no, el objetivo, desde el principio, es hacerla surgir de situaciones bien elegidas que sean creativas para los alumnos.
A través de sus estudios se tratará de preparar a los alumnos para que reaccionen con mente abierta frente a situaciones dadas. Esta actitud es indispensable para abordar todo problema real donde se quiera aplicar la matemática ya adquirida. Y también es esencial para asimilar cualquier nuevo conocimiento matemático. Ahora bien, sabemos que
"Una vez planeado un programa aceptablemente moderno en función de su contenido matemático, hay que tener en cuenta el espíritu que anima la materia que se ha de ver, así como la en que ha de enseñarse. Cabe aquí justamente preguntarse si no debería hacerse, un esfuerzo, aun en los niveles elementales, para subrayar la unidad y el carácter abstracto de la matemática. Desde luego, ni la unificación ni la abstracción, co mo estos mismos términos lo indican, pueden surgir de otra cosa que n.o sea la experiencia, si bien esta experiencia puede ser intelectual o física. Así, pues, en la elaboración de lo unificado y de lo abstracto, hemos de comenzar justamente ofreciendo a nuestros jóvenes alumnos tales experiencias. En verdad, gran responsabilidad para nosotros, como maestros, hallar nuevos tipos de expe-
i por sulimitar el alcance de los mismos. Deben ser atrayentes, acogedoras y susceptibles de desarrollos.
El maestro debe introducir las situacio- someterlas a Gas reacciones de los
manera'V
nes yalumnos. Serán presentadas en forma de permitir la génesis de una matemática unificada y estructurada, de la cual los alumnos deben tomar conciencia.
2. CONJUNTOS Y DIAGRAMAS DE VENN.
Todo aquél que enseñe matemática debe comenzar por reconocer un hecho fundamental: la matemática de hoy ha reencontrado su unidad en el universo conjuntista. La noción de conjunto, tan común, debe, pues, ser introducida y elaborada tan rápido como sea posible.
Todos los alumnos a quienes he dado lecciones sobre conjuntos —y algunos sólo tenían 8 años— poseían una idea
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(Concluirá)
O O O*
Ila OCDE habernos autorizado laEl fin de la educación matemática no se limita al desarrollo de la lógica del
alumno. Incluso opino que este desarrollo no ha de ocupar el primer plano de nutstra enseñanza, al menos del modo que conciben la lógica los matemáticos.
(*) Agradecemos a publicación de la exposición del Prof. PAPY en la reunión de Atenas de noviembre de 1963. (N, delos E.)
P. PUIG ADAM- 73 - .
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ciencia de este hecho .medicrfte ejercicios y ejemplos; en ese momento, ellos han efectivamente reemplazado por una noción precisa su vaga noción anterior de conjunto. Cuidémonos de creer .que la batalla está definitivamente ganada. En ese caso muy simple se producirá el fenómeno que se presenta cada vez que una noción perfeccionada sustituye a una noción anterior vaga y familiar. Cuando los alumnos están fatigados o cuando su atención está solicitada por otro tema, la noción anterior persiste, tal como lo ha señalado muy justamente Ana Sofía Krigowska. Para evitar ese proceso, emplearemos, como se verá más adelante, e1! método del "choque psicológico" preconizado por Caleb Gattegno.
Como un conjunto puede ser determinado respondiendo "sí" para ciertos objetos y "no" para todos los demás, nos encontramos en una situación pedagógica favorable en la cual los alumnos pueden deleitarse fabricando conjuntos tan caprichosos como divertidos. Observemos que de esa manera los alumnos construyen por sí mismos el material sobre el cual se razonará: ese material les resultará perfectamente familiar. La actividad de los alumnos es literalmente agresiva. Están atacando de frente el problema planteado y lo manifiestan sugiriendo como conjunto "ese pedazo de tiza, esa esponja, ese cacto y usted mismo, señor profesor".
"De acuerdo, consideremos ese conjunto. Dispongamos sus elementos sobre el estrado. Una chinita que entrara súbitamente en la clase, ¿podría imaginarse que nosotros hemos decidido formar un conjunto con esos cuatro objetos?".
La clase es formal. La chinita no-podría imaginar nunca que el profesor es un elemento del conjunto.
"Entonces, ¿cómo informárselo?".Con toda naturalidad, los alumnos co
mienzan por preguntar si la chinita conoce francés, holandés, inglés, alemán y, en seguida, si el profesor conoce chino.
Siendo negativas las respuestas a estas cuestiones previas, ¿cómo comunicar a nuestra chinita que hemos formado un conjunto con esos cuatro objetos?
Los alumnos proponen colocar- los objetos en una gran bolsa o en un: cofre.
Afortunadamente, nuestras autoridades
inicial de esta noción. Cuando en ur.a ciase de alumnos de 12 años, se piden palabras que sugieran con diversos matices la idea de conjunto, en algunos minutos se obtiene una cincuentena de respuestas. De acuerdo con mi experiencia, el resultado es menos favorable con alumnos de 17 años que han recibido una enseñanza matemática tradicional intensiva.
Para alumr.os de 12 años, o menos, no se trata, pues, de enseñar la noción de conjunto, que pertenece al conocimiento común. Sólo conviene —lo que es muy importante y a veces muy delicado— afinar el concepto común, bastante vago, y hacer aparecer el concepto matemático.
!escolares no han previste aún la inclusión en el material didáctico de nuestras cla- ces.de una bd.sa o de un cofre destinados a encerrar el profesor (lo que, sin embargo, sería muy útil en clases donde los profesores continúan enseñando la temática tradicional).
Los alumnos continúan con su idea y proponen una cuerda.
No tenemos cuerda, pero nos limitamos a arrojar una tiza a uno de los alumnos, el cual sin otra explicación va valientemente a trazar alrededor del conjunto la imagen de una cuerda.
Se pide en seguida a los alumnos que dibujen el conjunto en sus cuadernos o en-el pizarrón, y lo que ellos dibujan es simplemente el diagrama de Venn.
Se pide ahora a un alumno que represente sobre este dibujo los elementos de ese conjunto.
Mientras que el alumno del pizarrón duda y se pregunta por dónde comenzar el dibujo, surgen sugestiones de la clase, acordes con las edades de los c'iumnos. "Dibuja circulitos, cuadraditos, cruceciias, puntos".
Cuando el alumno se apresta a dibujar los puntos o las cruces, yo generalmente se lo impido gritando: "iAlto ahí!". Sabemos que podríamos dibujar puntos. Pero no lo haremos. Nos limitaremos a representar, mediante puntos, ciertos objetos del'conjunto cuando sea útil para aclararlos. Si dibujáramos sistemáticamente todos los puntos de los conjuntos finitos considerados, ' condicionaríamos a los ctumnos a restringir el concepto de conjunto tan sólo a los conjuntos finitos y los expondríamos a dificultades suplementarias cuando los conjuntos son infinitos. Ahora bien, encontraremos inevitablemente, y desde el comienzo, conjuntos infinitos.
He aquí un conjunto formado por cuatro objetos: la Torre Eiffel, mi reloj, el rey de Eélgica y esta regla. Se dibuja e. conjunto' en el pizarrón y después se hace representar toda una serie de objetos, el general De Gaul'le, la ciudad de París, mi reloj, el director del colegio, etc. Para cada objeto se coloca un punto, en el interior o en el exterior del diagrama, nunca en el contorno. Si se prosigue el ejercicio después que se han colocado cuatro ountds en el interior del diagrama, los
alumnos observarán, después de algunas preguntas suplementarias: "Ahora todos ios nuevos puntos deberán ser colocados en el exterior del recinto". Es el momento de pedir que representen el horario de mi reloj. Con cierta reticencia, lentitud y vacilación, el alumno dibuja también el punto fuera del diagrama. |Éste es el choque! En realidad, el horario es un fragmento del reloj, pero gracias a nuestra imaginación creadora, los hemos separado, lo que el dibujo muestra intuitivamente.
Como la mayoría de los enseñantes, hemos comenzado por emplear el sombreado o el colorido de las partes interiores del diagrama. Hemos abandonado este método porque conduce a errores a los alumnos. El diagrama de Venn es una cuerda colocada alrededor de ciertos objetos, sin alterarlos en nada. Con posterioridad, convendrá considerar simultáneamente muchos conjuntos. Para peder reencontrarlos, los mismos alumnos proponen representarlos por siglas, iniciales o letras.
Cuando debemos representar simultáneamente dos conjuntos, representaremos al primero, por ejemplo, con una cuerda amarilla y al segundo con una cuerda azul, y anotaremos A en amarillo y B en azul.
El diagrama permite introducir fácilmente el conjunto vacío y particularmente mediante un conjunto que quizás sea vacío. He aquí una clase de alumnos de 15 años.
"Dibujen en seguida el diagrama del conjunto de los alumnos de más de 1,50 metros y el de los alumnos de más de 1,75 metros".
Sin saber nada más sobre la clase, podemos razonar sobre esos conjuntos. Si se nos señala que ninguno de los alumnos de esa clase mide más de 1,75 metros entonces dicho conjunto es vacío. Llevaremos dicha información di gráfico adoptando una convención que me ha sido sugerida por algunos alumnos , y que consiste en sombrear la parte vacía.
Pido a un alumno que piense en un conjunto Aya otro alumno que piense
conjunto B. Sin saber nada más, puedo representar simultáneamente a los dos conjuntos mediante el esquema:
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Los primeros ejemplos son siempre colecciones preestablecidas: escuadrólos de aviones, clases de alumnos, atlas de mapas geográficos, rebaños de ovejas, enjambres de abejas. Sobre estos ejemplos podemos ya comenzar a reconocer cuáles son los elementos de tales o cuales conjuntos.
-•"¿Es mi pipa un elemento de ese rebaño de ovejas?’'.
-—■"No".--"¿Por qué?".—"Porque su pipa no es una oveja.
Sólo ovejas pueden ser elementos del rebaño de ovejas".
~"La cola de esa oveja, ¿es una oveja?'^
—"No, la cola de una oveja no es una oveja".
—"La cola de esa oveja, ¿es un elemento del rebaño de ovejas?".
La respuesta es negativa.Procediendo de esta manera hemos re
emplazado por una noción más precisa la idea vaga de conjunto nacida del conocimiento común.
Cuando las abejas de un enjambre están en una colmena, tanto las abejas como sus alas están en la colmena. De acuerdo con el sentido común, los fragmentos de los elementos de un conjunto a menudo son como miembros del conjunto.
En matemática, un conjunto está determinado cuando, para todo objeto, existe una respuesta clara para la pregunta: ¿Pertenece este objeto al conjunto? Se hace que Cos muchachos adquieran con-
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:i:parte, enseñando la geometría y el álge
bra, en la tediosa manera habitual. Esto es traicionar deliberadamente el espíritu de la matemática de hoy y falsificar las concepciones de los alumnos.
Sugerimos, pues, comenzar el estudio de la geometría por los métodos conjun- tistas. Los ejemplos fundamentales que proporciona Ca geometría son, por otra parte, de tal naturaleza que vivifican la primera enseñanza sobre conjuntos. Tal como lo ha subrayado Krygowska, es esencial hacer representar mediante dia- gramos de Venn conjuntos no limitados y no compactos, como por ejemplo el conjunto de los puntos exteriores a un círculo o a un triángulo o, más simplemente, el conjunto de los puntos de una recta.
Es necesario no olvidar más que la enseñanza tradicional de la geometría, que es muda o confusa con respecto a tos puntos fronteras, impone a los aCumnos un condicionamiento no espontáneo que deberá detruirse a toda costa cuando comience el estudio del análisis. Esto me ha ocurrido en forma sorprendente, hace unos veinte años, cuando por una sucesión de circunstancias, debí dar dos lecciones consecutivas a niños de 11 años y a jóvenes de 19. En la primera lección, hice "descomponer" un cuadrado en cuatro cuadrados iguales trazando las bases medias. Uno de los alumnos me preguntó dónde "iban" los punios de las bases medias. Asombrado por la pregunta, respondí estúpidamente que eso no tenía importancia e hice alusión al recorte de un cuadrado siguiendo las bases medias. De esa manera, yo había constreñido a los alumnos a no plantearse preguntas sobre los puntos fronteras, en el momento en que esa preocupación les resultaba natural.
En la lección siguiente explicaba los comienzos del análisis y tenía las mayores dificultades para-hacer entender la diferencia entre un cuadrado cerrado y otro abierto.
Es necesario comprender que la tarjeta postal es un material intuitivo insuficiente para hacer resaltar la distinción entre rectángulo abierto, rectángulo cerrado e, incluso, rectángulo ni abierto ni cerrado.
También aquí, para poner en eviden-
1cia estas nociones, he adoptado sugestiones de algunos de mis alumnos de las clases experimentales. Adoptando la convención de los colores de las señales luminosas, trazamos en verde los puntos comprendidos en el conjunto y en rojo los puntos fronteras eliminados. Esto lleva, además, muy naturalmente a problemas prodigiosamente interesentes sobre los conjuntos convexos. (Aquí también, para mayores detalles, recurrir a "Ma- thématique Moderne - I", Caps. 6 y 11).
Limitémonos a señalar la importancia de la doble visión:
1. Visión intuitiva en el plano.2. Visión iniuitiva de la estructura ló
gica mediante los diagramas de Venn.
Por importante que sea, la visión espacial intuitiva no pone en evidencia la estructura lógica en las situaciones simples, porque la respuesta a las preguntas planteadas surge a menudo sin razonamiento. La ayuda del diagrama de Venn es entonces saludable.
Los ejercicios que consisten en pasar de una representación a otra, y viceversa, interesan prodigiosamente a los alumnos porque la respuesta a las cuestiones planteadas nunca se conoce de antemano.
Tomar conciencia de esta doble representación posible es un hecho fundamental y enriquecedor.
universalmente que el análisis matemático es particularmente importante por las aplicaciones. Y bien, el análisis concierne esencialmente a las funciones.
¿Continuaremos en la enseñanza siguiendo la vía histórica esperando, para introducir las funciones, haber llegado a la situación crucial, crítica y difícil en que ya no es posible continuar sin usar explícitamente la noción de función? Eso equivaldría a superponer deliberadamente las dificultades y a privarse de una herramienta maravillosa para la elaboración de la matemática anterior.
La noción de función pertenece al conocimiento común y es fácil hacerla surgir de él. Pero no se podrá circunscribir esta noción más que colocándola en su marco natural y, por otra parte, inevitable, el de las relaciones. Las relaciones intervienen de manera constante y más o menos precisa, prácticamente en todas las actividades racionales.
Históricamente, ha habido dificultades para poner en evidencia la noción de función porque al comienzo no se tomaban en cuenta más que las funciones definidas analíticamente. Tanto que como todas las funciones con derecho de ciudadanía en matemática eran continuas, no se había puesto en evidencia le noción de continuidad.
De la misma manera, las propiedades especiales de las relaciones como la re- flexividad, la simetría, la antisimetría, la transiiividad, no pueden comprenderse más que en presencia de relaciones que no tienen tales propiedades.
El psicólogo Wittmann ha subrayado que en una clase escolar, uno de los centros de interés espontáneo hacia los 10 años o menos, es el conjunto de los nombres y apellidos de los alumnos de la clase.
He aquí una clase de alumnos de 9 años. Sin decir una palabra, dibujemos en el pizarrón puntos ¿loramente dispuestos como los alumnos en el aula. Ni una palabra se ha pronunciado, pero se ha presentado una situación a los alumnos y ella debe haberles sugerido preguntas porque levantan las manos para dar respuestas.
"Son los bancos"."Pero no, no son los bancos, porque
!Es todavía muy fundamental que los
alumnos comprendan que tres conjuntos A, B, C pueden siempre ser representados por la hoja de trébol, que se convertirá posteriormente en una verdadera máquina de pensar.
i
i
Es muy fructífero, en casos particulares de los conjuntos A, B y C, sombrear las partes vacías.
Muy rápidamente, los alumnos se familiarizan con los conjuntos, tanto que los consideran como datos concretos. A partir de dos conjuntos A y B se les pide que dibujen los conjuntos que sugiere el esquema, lo que introduce el álgebra de conjuntos. Esto les permitirá poner en evidencia un nuevo cálculo cuyas reglas se Gsemejan a las del cálculo usual, pero que difieren notablemente én lo que concierne a la distributividad mutua de D y (j. (Para más detalles sobre el álgebra de conjuntos véase "Mathématique Moderne - I", Caps. 3 y 4).
Para terminar, quiero subrayar que los alumnos comprenden mejor la razón de las reglas usuales del cálculo algebraico con números naturales, por ejemplo, cuando se les ha presentado un álgebra cuyas reglas son diferentes.
*
f
4 RELACIONES Y GRAFICOS
La matemática se presenta hoy bajo un aspecto explícita y conscientemente relacional. La matemática siempre ha usado relaciones como la igualdad, el paralelismo, la perpendicularidad, la relación "mayor que" y relaciones que son funciones como la adición, la multi-
i
plicación.Antes era posible desarrollar la mate
mática sin extenderse sobre la noción de relación. Las relaciones regían los enla-
entre los objetos matemáticos, pero sí mismas objetos de la ma-
i3. LA DOBLE VISION EN GEOMETRIA
Y LA PREPARACION PARA LOS COMIENZOS DEL ANALISIS. 1
cesLo más lamentable de ciertos esfuerzos
de renovación de la enseñanza de la matemática reside en la introducción de ciertas nociones conjuntistas y relaciónales como una especie de rama nueva e independiente y en continuar por otra
no eran entemática. Euclides pudo desarrollar Elementos sin usar explícitamente la noción de función. Por el contrario, la visión moderna de las geometrías utiliza de manera sistemática las transformacio-
funciones. En fin, se admite
sus
r.es, que son- 76 - - 77 -
'>:
Conrado está ausente y no hay ningún punto en su lugar".
Júbilo: "Somos nosotros".Obsérvese que de repente hemos re
presentado por puntos, personajes tan importantes como los alumnos. Después de .un hecho ta., ellos están prontos para representar por puntos todo lo que se ve, particularmente algunas rectas.
—"Somos nosotros".—"Ah, son ustedes.. Y usted ¿dónde
está?".Los niños tienen una tendencia natu
ral a la abstracción. Ninguno de ellos ha respondido nunca "Yo estoy en Zoute- naia" o “en la escuela primaria de Vla- divostock".
No, el alumno va al pizarrón e indica el punto que lo representa ... equivocándose a veces. Es muy interesante comprobar. que algunos alumnos cometen res sistemáticos efectuando una simetría con respecto a uno u otro de los ejes del auía o con respecto al centro de la misma. Esta información es valiosa con respecto a los alumnos, pues se verifica ulteriormente en geometría que ciertos alumnos continúan cometiendo esos errores sistemáticos y proporcionan respuestas que desconcertarían a un docente sin experiencia.
Ahora pido a cada alumno que señale a todos los alumnos de la clase cuyo nombre comience por la misma letra que comienza su apellido. He aquí una frase larga, más larga y complicada que la mayoría de las que emplea usualmente la matemática. Será preciso repetir esta frase, será preciso comprenderla. Si su estructura es bastante complicada, al menos su comprensión está facilitada porque todas las nociones que encierra son familiares a los alumnos.
Sin demora, algunos alumnos indican a otros en la clase. Se verifican las puestas, se ha comprendido la pregunta, se observan cada vez más dedos indicando alumnos. Mi papel es reunir la información. ¿Cómo hacerlo? Pido a 'los alumnos que me ayuden y hagan sugestiones. Las respuestas varían mucho de una clase a otra. A menudo los alumnos proponen rápidamente' dibujar una flecha, que es la imagen del dedo extendido. A veces se limitan a proponer línea. Se trata, en este caso, de compro
bar, como dican los alumnos, que. "con una línea no se ve quién señala a quién". A veces los alumnos proponen otros, métodos que se revelan insuficientes. Pero siempre la flecha es propuesta finalmente por algún alumno, y la clase la adopta de inmediato.
Ahora conviene hacer el gráfico. Poco a poco, como el pájaro que construye su nido, los alumnos acuden uno a uno a trazar las flechas que le conciernen. Además, se les pide que las iracen de manera de no estropear el dibujo, lo que constituye un ejercicio excelente e interesante.
La experiencia nos ha revelado que este ejercicio era mejor realizado en general por alumnos de 9 a 12 años, que por los de 15 a 18, maltrechos por la matemática euclidiana.
Los alumnos de 9 años nc están todavía condicionados por la línea recta. Con su despierto espíritu de juegc, nos muestran con candor, que sólo importan el origen y el extremo de la flecha presentándonos esquemas como el siguiente:
gunos alumnos (de 8 años) dan respuestas buenos una media hora después que los más rápidos.
Hecho este ejercicio, es inútil preguntarse qué hacer después, pues los alumnos patalean y proponen:
"Señor, de nuevo un juego como ése", y algunos precisan:
"Juguemos al juego del apellido-apellido".
Lo que provoca la exclamación" de otros alumnos:
• "Eso será mucho más fácil".Tal como se ve, la ‘ley del menor-es
fuerzo conduce espontáneamente a los alumnos a una relación de equivalencia. Les preguntamos rápidamente:
"Por qué el nuevo juego será más fácil".
A B C
Respuesta del alumno: "Esta vez es imposible".
—"Pero, sin embargo, en la vida existen. otras cosas que líneas rectas".
Resultado:
;! A Ci
Es verdad que la matemática tradicional estudia no sólo las rectas sino también las circunferencias....
Una alumna que había pasado hasta entonces totalmente inadvertida en la clase, traza el bucle que se ve a continuación:
Y los alumnos indican sucesivamente, en su lenguaje ingenuo, que la nueva relación es simétrica ("si yo te señalo, tú me señalas"), reflexiva (un bucle en todas partes) y transitiva.
Jugaremos cfl nuevo juego y haremos muchos ejercicios. Gracias a los gráficos, los alumnos de 9 y 10 años son capaces de razonamientos considerados, a menudo, como abstractos.
Nos liberaremos de la representación de la clase haciendo ejercicios relativos a conjuntos de niños desconocidos y referentes a otras situaciones. Se pedirá particularmente q u e se completen los gráficos no terminados. Queda entendido que las relaciones de parentesco se introducen cquí muy naturalmente y conducen a la composición de relaciones.
No podemos extendernos sobre los numerosos ejercicios que sugiere la aparición de los gráficos en «la enseñanza y
les cuales remitimos a "Mathémati-
erro-
o!
Se trataba de la señorita Brigitte Bar-
Obsérvese que ninguna flecha adorna ese bucle. En un caso análogo, Claudia Cardinale había dibujado-
dot.
Con alumnos de 15 años, i ay de mí!, esas fantasías han desaparecido. En el pizarrón no figura ningún rectángulo, pero '.a clase es, grosso mcác, rectangular. También conforme a los deplorables hábitos de la enseñanza tradicional, se sale del rectángulo y el gráfico se vuelve cada vez más enredado y confuso. Antes de trazar cada flecha, repetimos imperturbable e infatigablemente:
"Traza la flecha como quieras, pero de manera de no estropear el dibujo".
Pero he aquí que, por fin, un alumno tiene la originalidad de trazar una flecha por el exterior. Se ha roto
Las dos convenciones son admisibles, pero es divertido comprobar que en las clases donde se ha adquirido el hábito de colocar una flecha sobre el bucle, este último, como un órgano sin función, se atrofia y finalmente desaparece.
Se observa que a veces el gráfico se realiza olvidando los bucles; los alumnos reemplazan la noción "todos los alumnos de la clase" por la noción "todos los alumnos de la clase distintos de mí".
no
para'que Moderne - I" (cap. 7). Esos ejercicios deben ser hechos por los alumnos en hojas grandes y usando los lápices de minas multicolores, llamados "magicolo- res".
Cuando los alumnos tienen una colección bastante importante de gráficos, ellos esbozan una especie de clasificación. Dicen, por ejemplo, la relación "+ 5V es
la relación "tiene como madre". Ha llegado el momento de ayudarlos a hacer esa clasificación poniendo en Evidencia las nociones de reflexividad; simetría, antisimetría, transitividad y fun-
jres-
Esta observación no es, sin embargo, general, y en una de mis clases demostrativas, uno de mis alumnos me ha respondido: "Yo debo señalarme".
Anotemos que el ejercicio anterior se adapta a la pedagogía colectiva. Cada alumno debe dibujar las flechas que parten de él. En este ejercicio, las respuestas de los buenos alumnos no anulan el problema para los alumnos más lentos. Al-
u.n marco, y ahora todas las nuevas flechas siguen el camino de la evasión.
Con alumnos de 17 años, pertenecientes a clases científicas, me he hallado frente a situaciones más asombrosas todavía. Todas las flechas eran bien recias, como vectores rígidos. He aquí que “a" debe señalar a "c":
ir como
una
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chachos contemporáneos del arte abstracto.
He aquí uno de los teoremas fundamentales de toda la matemática: "La composición de relaciones es asociativa".
Este teorema se usará, muy a menudo, en su forma más general y en particular en el caso de funciones Importa, pues, dar su demostración en lá forma más simple, es decir por las relaciones. Como la compuesta de dos funciones es una función, este teorema es aplicable en particular para las funciones. (Véase "Ma- thématique Modeme - I", caps. 9 y 10).
cióri. Esas propiedades son muy difíciles cuando se las presenta en forma algebraica abstracta y muy fáciles, por el contrario, cuando se utilizan los gráficos. Dibujos llamativos permitirán a [os alumnos recordar estas definiciones. En particular, la antisimetría, que exposiciones infortunadas han podido hacer aparecer como temible, es muy fácil.
Una relación es antisimétrica si entre dos puntos distintos no hay jamás ida y vuelta.
Queda entendido que se estudiarán, en particular, las equivalencias y, sobre todo, las relaciones de orden.
El estudio de la relación de orden debe ser el objeto de la solicitud particular de los docentes. Por razones históricas, ha sido muy descuidada en la enseñanza tradicional. Con respecto a las relaciones de orden, como Pasch lo puso en evidencia, la construcción euclidiana deja más que desear. Gracias a ciertas ideas de Artin, hoy es posible introducir las nociones relativas al orden desde el comienzo de la geometiía (véase "Mathé- matique Modeme - I", cap. 15).
Las nociones de parentesco han introducido la composición de relaciones, Co mismo, por otra parte, que ciertos ejemplos del álgebra. Al cabo de cierto tism- co, la noción de relación como objeio se ha vuelto muy familiar a los alumnos que dibujan voluntarios una relación amarilla y una relación azul definidas en el mismo conjunto. Componer esas dos relaciones y dibujar en rojo la compuesta de la relación amarilla y la relación azul, es entonces un juego a la vez abstracto y apasionante que necesita atención y organización. Es bien claro que la composición no es conmutativa (“mi abuela paterna no ss mi abuelo materno") pero es muy agradable confirmarlo dibujando en verde la compuesta de la relación azul y la relación amarilla.
Todos los docentes que han usado gráficos han señalado la reacción afectiva positiva de los alumnos ante esos dibujo' multicolores. La mayoría de los alumnos son, por otra parte, sensibles a la belleza del dibujo. Eligen con cuidado los colores y prestan mucha atención a la forma del dibujo.
Es sorprendente que esos gráficos estén en concordancia de fase con los mu-
C. BREARD., Mathématiques. Clases de ó9 (1961), 5* 4? y 3q (1962). Ed. L'ECOLE, París.
evita repeticiones y muestra la unidad de la matemática", dice con cierta ingenuidad el autor—. Anotamos de paso algunos curiosos enunciados: "Todas las rectas son iguales", "todas las semirrectas son iguales", apoyándose en que es posible la "superposición". Y también que "un axioma es un teorema que se admite sin demostración". Se desarrollan las operaciones aritméticas con números naturales, pudiéndose advertir que se evita el inconveniente de la trasposición de un miembro a otro de una igualdad acudiendo a la aplicación de "nuestras" propiedades uniformes; siempre se señala la conmutatividad, la asociatividad y el elemento neutro. En las operaciones con segmentos se introduce el concepto de "operador", noción "tan simple y tan natural que en relación con la de apfí- cación permite en seguida introducir las fracciones arquimedianas, primero y las fracciones, luego". En este tomo se denomina indistintamente "circulo" o "circunferencia" a la curva y se adelanta que "el interior de un círculo es un dominio convexo". Al considerar los polígonos leemos: "Un polígono es una línea poligonal cerrada"; para salvar el escollo consiguiente se introdrce la noción de "dominio poligonal" pero se sigue pidiendo el área de un polígono. La simetría se considera con mucho interés y se señala "la facilidad con que los alumnos comprenden las demostraciones por simetría". También merece especial atención la noción de "correspondencia o aplicación" y su representación gráfica. Se insiste en los trabajos prácticos y en el cálculo mental.
El manual de también comienza con generalidades sobre conjuntos, el que es todavía "toda colección de objetos", sin precisar cuáles. Entre las definiciones y axiomas leemos: "polígono es una línea poligonal cerrada"; "círculo es una circunferencia", pero "segmento de círculo no es arco sino porción del dominio interior al círculo". Se estudian las "aplicaciones y funciones" aunque "se designa a veces la aplicación f por el vocablo función". "El paralelismo precede a la ortogo- naiidad como la geometría afin precede a la métrica." Ahora leemos: "un axioma es una propiedad admitida sin demostración". Se ¡n-
El primer ciclo de la enseñanza francesa comprende las clases de 6°, 59, 4° y 3°, para los alumnos de 11 a 14 años. Estos difundidos textos están destinados a ellos.
En el prólogo del texto de ó® el autor afirma: "Una tendencia, acentuada en los últimos años, procura reemplazar el curso completo por un resumen, por un extracto condensado". Advierte los inconvenientes de ellos porque llegan a hacer creer a los alumnos que no hay razonamiento matemático y afirma que "hemos ensayado darle más que "recetas de cocina", el medio de comprender, presentándoles razonamientos accesibles y apelando a la intuición".
Con ese criterio se tratan los distintos asjntos, por ejemplo, regla, escuadra, compás, mediciones de longitudes y ángulos, construcciones geométricas elementales, áreas y volúmenes, tiempo, densidad, velocidad, regla de tres simple, etc. Los trabajos prácticos acompañan a cada lección, con aplicaciones del cálculo mental, dibujo ornamental y diseño de letras, problemas y uso de tablas.
Como en otros textos franceses el autor llama "círculo" a una línea —nuestra circunferencia— e introduce la noción de "perímetro del círculo" rodeándolo con un hilo — pr:mera contradicción— y después trata el "área del circulo" —segunda contradicción—. Resulta incomprensible este defecto en un texto donde tanto se cuida la precisión del lenguaje. El libro está lleno de sugestiones útiles para nuestros grados primarios superiores y para los dos primeros años de nuestra escuela secundaria. La fórmula del interés simple |j=C.t.n, raramente usada entre nosotros, es mucho más inmediata que la clásica.
. En el texto de 5° se trata de abstraer la noción de número natural —entero según la costumbre francesa— de la noción de conjunto y de correspondencia biunívoca,- al mismo tiempo se estudian recta, semirrecta y segmento, y. la convexidad, pues la geometría se estudia simultáneamente con la aritmética —"lo que
5. UN SOSTEN INTUITIVO DE LA NOCION DE CONJUNTO INFINITO.
Un conjunto E se dice infinito si existen: a e E. b £ E \ -{a ¡ , c £ E \ -¡ a,b }, d e E \ -j a,b,c , etc.
Tracemos flechas desde a hasta b, desde b hasta c, desde c hasta d> etc. Habremos diseñado así el gráfico de una relación que llamamos "retahila". 0)
l
La noción de retahila es muy simple y el lenguaje gráfico la traduce claramente.
La definición más formalizada y algorítmica de las retahilas es más bien difícil. También el lenguaje gráfico será de gran utilidad para todo lo que concierne a los conjuntos infinitos.
Un conjunto es infinito si en él se puede definir una retahila. A partir de esio se demuestra fácilmente la propiedad de De- dekind: un conjunto es infinito si es co- ordinable con una de sus pactes propias.
Señalemos, en fin, que con alumnos de 15 años se demostrará fácilmente el Teorema de Bernstein (-’) por la consideración de retahilas definidas en partes disjuntas dos a dos (ver "Mathématique Modeme, I", cap. 16).
i
I
(Continuará)1J tn e* original francés: "ribambelle". (N. de los E.) ( > También llamado "de Cantor-Bernstein": Si cada
de los conjuntos es coordinable con parte • del otro, ambos son coordinabas entre sí. (N. de los E.)uno
- 80 - - 81
í
prácticas pueden obtenerse de la consulta de las series de ejercicios de todos los lextos comentados.
En la primera se examinan las razones que fundamentan "la ¡n’roducción del material concreto o semiconcreto en la actividad del alumno"' C. Gcittegno considera la percepción y la acción como bases del pensamiento matemático, ' sosteniendo que "cada pensa- m¡enfo’: matemático utiliza las imágenes de modv explícito (por tanto, las percepciones y las acciones, ambas íntimamente ligadas) y cada operación matemático conserva los vestigios ele su origen activo". Su exposición es una fundamentada introducción desde el punto degista psicológico en la que se insiste en que "debemos reconocer que el pensamiento' abstracto puede desarrollarse mucho más allá de lo que hemos tomado por norma al aceptar que el niño es incapaz de pensar de cierta manera antes de una edad deter-
siste en la aplicación de la simetra en el estudio de las propiedades geométricas y se retoma el concepto de vector, siempre intuiti-• vamente como "segmento orientado" y se estudian las propiedades-elementales del cálculo vectorial, geometría algebraica rectilínea, operaciones con polinomios, identidades algebraicas notables, propiedades de los cuadriláteros, cuadriláteros inscritos y circunscritos, ecuaciones con una incógnita, polígonos regulares, tangentes, problemas de primer grado. En todo el libro se destaca el papel asignado a los vectores. "Las operaciones vectoriales son más fácilmente asimiladas por los alumnos. Ya no es necesario' defender la causa del cálculo vectorial. Está causa ya está ganada." "Los colegas que dudan son cada vez menos y una única tentativa leal los traerá a nuestras filas." Se insiste en la ejercitación abundante y se advierte que es absolutamente necesario dar ejercicios de fácil comprensión sobre simetría y vectores. Se proponen ejercicios de demostración y otros de exámenes finales.
El texto de 3? es el final del primer ciclo y preparatorio para el segundo. "Las nociones de álgebra moderna (conjuntos, aplicaciones...) se relacionan con cuestiones de lógica elemental, con condiciones de equvalencia y con lugares geométricos." Luego de una serie de temas se vuelve a los vectores, nociones de trigonometría, ecuaciones con varias incógnitas, nociones de geometría analítica, variación de funciones, áreas de figuras poligona'es—resalta aquí la inconveniencia de haber designado como polígono lo que es su contorno, pues por área del rectángulo,' por ejemplo, se entiende el área del dominio o superficie plana por él limitada—, área de figuras circulares —vuelve a repetirse la contradicción antes señalada, esto es, el círcjlo —línea— tiene área—, movimiento uniforme, problemas algebraicos y cuestiones de geometría del espacio. Todo ello con la misma abundante ejercitación de los otros textos y el empleo de tablas.
De la ojeada de estos textos surge f'exió.i final: si el estudiante francés termina su primer ciclo a los 15 años con todo este bagaje de conocimientos, debemos rendirle nuestro homenaje, porque entendemos que es mucho más de lo que suele hccerse entre ctros. Justamente, este extenso comentario tiene como objeto ser un toque de atención por lo que so hace en otras .partes del. mundo en este campo de la educación.
•Cumple agregar que. muchas sugerencias
y la acción en la enseñanza de la geometría intuitiva". Ya hemos expresado nuestra admiración por la forma atrayente con que la profesora italiana aborda estos temas, reveladora de una experiencia didáctica original y fecunda. E. Castelnuovo —como es sabido- preconiza un método "constructivo", no meramente "descriptivo", en la enseñanza de ’lü geometría intuitiva. Pues bien, la lectura del trabajo da cabal idea del sentido que atribuye al término "constructivo", mostrahdo comparativamente en diversos temas su diferencia con lo tradicional. Ocasionalmente, hemos recomendado su consulta; ahora volvemos a hacerlo. Son muchas las sugest.iofies para el decente interesado en estas cuestiones' Sobre todo es esclarecedor.
La segunda sección se consagra al filme matemático; se suceden los nombres de realizadores conocidos en este campo-. J. L. Nicólét ("Intuición matemática y dibujos animados")/ T. J. Fletcher ("Los problemas del filme matemático") y L. Motard ("Las técnicas del dibujo animado matemático"/; Gattsgno cierra la sección con un comentario basedo en su propia experienc.a sobre "La enseñanza por e! filme matemático".
!Alian LYTEL, ABC's of Boolean Algebra. Ed.-
H. W. SAMS; Indianapolis, '-963. W. FOUL- SHAM, Slough, 1954.
En sólo poco más de cien páginas, muy bien impresas e ilustradas con claras y numerosas figuras, el autor —a qu<en se deben otros textos similares sobre computadoras, programación, motores eléctricos y generadores— se propone ofrecer a los ingenieros que deseen entender y saber trazar circuitos representativos de funciones lógicas, a los técnicos electrónicos que aún sean neófitos en la lógica de las computadoras, a los estudiantes y a los legos que se interesen por esos asuntos, las nociones del cálculo proposicional y del cálculo de clases que se requieren para conocer el fundamento de las oplicaciones técnicas del Algebra de Boole. Para ello se vale de cuadros comparativos que muestran fas semejanzas y las diferencias de las operaciones de esa álgebra con las correspondientes de la ordinaria o clásica. Logrado ese propósito, en forma más práctica que rigurosa, presenta los distintos tipos de circuitos que se utilizan en la electrónica. También se ocupa de la numeración binaria y su intervención en los circuitos que se emplean en los contadores.
En nuestras columnas se acaba de exponer esta teoría matemática considerada como "el lenguaje de los sistemas digitales de hoy día"; la lectura del ABC que comentamos muestra claramente su importancia práctica. Aconsejamos su consulta a quienes se interesen por estes temas.
minada a menos que sea un prodigio". Mostrando, una notable coincidencia con otros integrantes del grupo lenovador, añade que "el desarrollo histórico de la cultera, aunque tenga algo que aportar a nuestra comprensión del momento presente, tal vez sea absolutamente extraño a lo que es o sería capaz de lograr el espíritu, solicitado de manera nueva". Más aún: "Un deterninismo rígido en exceso, ayudado por un historicismo algo sentimental, puede hacernos caer en e! peligro de ignorar continentes enteros potencialmente presentes en nuestro universo mental".
W. Serváis trata luego "el problema de las relaciones entre lo concreto y lo abstracto". Esto le permite extenderse sobre la ¡dea de la abstracción, cuya posesión es requerida
enseñanza como la de la matemá-
Son contados los docentes que en el mundo se ayudan con oelículas cinematog-'áficas para enseñar nuestra asignatura —lo reconoce el mismo Gattegno—; no sabemos de nadie que lo haga en nuestro país. Indudablemente es material de disponibilidad muy restringida. Las experiencias son escasas y "corren el riesgo de no convencer a nadie". Pero, aún sin compartir plenamente el optimismo ajeno, no podemos negar que "en la dinamización de la enseñanza hay un lugar para este material" que puede llegar a ser muy útil. El entusiasmo de sus pioneros merece que se los atienda y conozca debidamente. En el libro se consignan películas recomendadas sobre temas de matemática.
La tercera sección se dedica al material didáctico conocido como "modelos". L. Cqm- pedelli se ocupa de los "modelos geométricos"; parte de la "génesis" y el "sigiificad.o" de este material que luegD analiza para distintos niveles de enseñanza. A. Biguenet describe les "modelos animados para la enseñanza de la geometría": planchas plásticas deslizables, sistemas articulados tipo "rnecca- no". J. W. Peskett expone "Métodos de fabricación de modelos y materiales necesarias"
f
por un.atica, basada en símbolos y modelos. Así se ocupa primero de su naturaleza y posibilidad según distintas posturas filosóficas y matemáticas, y luego pasa revista a la abs*racción espontánea, el apoyo concreto de les símbolos la abstracción conceptual y la abstracción axiomática. Y excluye: "La abstracción nc se extrae simplemente de aquellas cosas presentes a nuestro conocimiento, sin importar el nivel a que estén. Es, a fin de cuentas, la toma.,de conciencia, en esta actividad, de ciertas, permanencias independientes de las contingencias que ya son indiferentes, puesto que se las desecha, bien espontáneamente, bien deliberadamente". .
C. GATTEGNO y otros. El material para la enseñanza de las matemáticas. AG'JILAR, Madrid, 1964,una re-
!Tuvimos hace poco —véase ELEMENTOS,
año I, pág. 153— oportunidad de ocuparnos de otra publicación semejante.- ae la CIEMEM También en ésta que hoy comentamos se han reunido contribuciones de destacados especialistas en trabajes que se han agrupado en tres secciones, precedidas por un ilustrativo prólogo escrito por la misma Comisión para orientar al lector.
nos-f
Si las contribuciones anteriores apuntan a la fundamentación de una didáctica, la colaboración de E. Castelnuovo desarrolla un aspecto concreto de osa didáctica: "El objeto (Sigue en la pág. *SóJ
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JI
Correo de ELEMENTOSEditores
José Banfi — Alfredo B. Besiocional celebrada en Atenas (Grecia) en viembre del año pasado. Esta publicación es la cuarta de la serie que sobre la enseñanza de la matemática moderna edita la referida organización europea por medio de su Dirección de Asuntos Científicos. Más adelante habremos de ocuparnos también sobre el desarrollo y las conclusiones de esta importante reunión internacional, a la que acudieron representantes de Grecia, Alemania, Bélgica, Noruega, Estados Unidos, Francia, España, Islandia, Holanda, Turquía, Canadá, Lcxem- burgo, Suiza, Suecia, Dinamarca, Austria, Portugal, Irlanda, Gran Bretaña e Italia.
7. Convocado por NSF/AID, se acaba de reunir, en Río de Janeiro, entre el 30 de noviembre y el 2 de diciembre, el grupo consultivo integrado por Oscar ABUAUAD, Bernardo ALFARO S , José BABINI, Alfredo PE- REIRA GOMEZ, Carlos IMAZ J., Burton W. JONES, Rafael LAGUARDIA, Marshal! H. STONE y José TOLA P., para estudiar diversas cuestiones relacionadas con la enseñanza de la matemática en América Latina. Hubo acuerdo en la conveniencia de actualizar los programas de matemática de enseñanza media, adoptando medidas para que los cambios y modificaciones se realicen por etapas facilitando así la adaptación del profesorado, cuyo perfeccionamiento es parte esencial de la tarea. Se recomienda poner en práctica a la mayor brevedad lo acordado en México en marzo de 1963, referente a la edición de monografías sobre temas de matemática moderna. Asimismo se sugiere la preparación de cortos fascículos sobre nuevos tratamientos de algunos puntos de los programas, la elaboración de textos actualizados para- los alumnos y la edición de un boletín informativo latinoamericano sobre actividades y publicaciones tendientes a mejorar la enseñanza de la asignatura. Aunque en esta oportunidad "se recuerda que actualmente el GEEM de Sao Paulo edita un boletín informativo que, convenientemente ampliado, podría plir esa finalidad", los editores de ELEMENTOS advertimos complacidos que la necesidad de órganos periódicos de información sigue siendo reconocida en las recniones internacionales de especialistas.
1. Con fecha 15 de diciembre, el Ministerio de Educación y Justicia de la Nación ha resuelto "crear la COMISION NACIONAL PARA LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA, con el objeto de llevar a la práctica las recomendaciones de la Primera Conferencia Interameri- cana sobre Educación Matemática". Estará integrada por Luis A. SANTALO, Alberto GONZALEZ DOMINGUEZ, José BABINI, Oscar VARSAVSKY, Mario A. CASTAGNINO, Celina REPETTO, Roberto P. J. HERNANDEZ, Hellmut R. VÓLKER y Atilio PIAÑA, además de los representantes que designen la Facultad de Ingeniería, el Consejo Nacional de Educación Técnica y el Servicio Nacional de la Enseñanza Privada.
2. El Consejo de Edccación de San Luis dispuso la difusión de las nuevas concepciones sobre la enseñanza de la matemática, organizando una serie de charlas que estuvieron a cargo de las profesoras Irma Bustos, Nidia Sosa, Emma Flores y Dora Lopresti, concurrentes al curso de enero último en esa misma provincia.
3. La profesora María Z. Larrea ha publicado, con el auspicio del Colegio Nacional de La Plata, una síntesis del desarrollo del último curso de perfeccionamiento de San Luis.
no-
Fernández Blanco 2045 Buenos Aires (Argentina)
No podemos evitar referirnos nuevamente a la difícil situación económica de la Revista. Necesitamos urgentemente aumentar el número de suscriptores. De no lograrlo, tendremos que dejar de publicarla, porque los gastos superan considerablemente a los recursos. Nuestros colegas, los profesores de matemática argentinos, tienen en sus manos la posibilidad de evitar la desaparición de una publicación —la única en su género en Hispanoamérica— dedicada específicamente a su quehacer cotidiano, que procura mantenerlos al corriente de las novedades en ese campo y aspira a convertirse en el vehículo de sus opiniones e inquietudes. Pese a la aparente evidencia, nos negamos a admitir su indiferencia profesional.
Habíamos anunciado para este número "Una presentación actualizada del cálculo de longitudes, áreas y volúmenes". Lamentables razones de espacio nos impidieron incluir esta colaboración del licenciado H. Merklen,- queda, pues, para el próximo.
Recogemos las opiniones del profesor Alfredo S. LARA (Santos Lugares, B. A.):
"Temas como "El álgebra de Boole" no son convenientes para una revista de aparición tan espaciada. Creo que muchos lectores hubieran preferido que se editara un folleto sobre el mismo, y el autor, el siempre ¡oven profesor Jaime, también hubiera podido tener la oportunidad de extenderse más ampliamente, valorizando más su valioso trabajo".
"Si bien la reforma de los planes de estudio merece nuestra atención y es necesario ganar adeptos a la reforma entre el profesorado, ¿no creen que los profesores en ejercicio necesitan una guía para desarrollar los temas actuales? (¡Y en qué forma la necesitan!). Muchos son solamente maestros, otros técnicos y algunos ingenieros sin ninguna preparación docente. Estimo que, aun en los temas más conocidos, ellos necesitan una orientación sobre el enfoque y amplitud con que deben tra
tarse. Recuerden que en muchísimas escuelas los "DEP. de MAT." no tienen existencia real, y que los regentes de estudio apenas pueden cumplir las tareas administrativas".
Contestamos:
"Compartimos plenamente su opinión acerca de la colaboración del profesor Jaime,- necesitamos aclararle que le solicitamos ese trabajo a nuestro ex-profesor del Instituto porque estábamos convencidos de la conveniencia de su difusión a ámbitos más extensos que los de los cursos en que lo expuse. Seguimos creyéndolo así y además entendemos que en el año del centenario de la muerte de George Boole debíamos a nuestros lectores una exposición didáctica y accesible sobre un tema que los profesores secundarios de matemática no pueden dejar de conocer, dada su enorme trascendencia actual “como muy bien lo expresa Santaló en la nota bibliográfica reproducida en el N9 3 de !a Revista—. Su aparición en ELEMENTOS no ha excluido su posible publicación en otra forma; pero nos parece que el profesor Jaime no había pensado hacerlo, por lo que de esa manera ha dejado de permanecer inédito y ha podido ser conocido más ampliamente".
"En cuanto a la segunda parte de sus sugestiones, también concordamos con Ud. respecto de la insuficiencia profesional de algunos colegas. Sin pretender tener la clave de la solución, ELEMENTOS quiere contribuir al mejoramiento de nuestra escuela secundaria ayudando a sus profesores en su superación. Aunque su objetivo fundamental es el de informar sobre el movimiento mundial de renovación en la enseñanza de la asignatura —para "meditar sobre esa exigencia y capacitarnos para enfrentarla"—, no queremos descuidar el real momento presente ocupándonos de un futuro por materializarse; pero indudablemente deben ser los mismos lectores los
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4. El día 6 de octubre, en el College de la Florence de Ginebra, el prestigioso matemático belga, George PAPY, reformador de la enseñanza de la matemática en su país y director del Centro Belga de Pedagogía de la Matemática, dio dos clases experimentales ante un nutrido grupo de profesores suizos.
5. Desde el 8 hasta el 10 de octubre, se realizó en Villa Falconieri, Frascati, Italia, el "Seminario sobre las matemáticas en el ingreso a la Universidad. Situación actual y situación deseable", convocado por el "Centro Europeo de Educación". Concurrieron delegaciones de Alemania, Bélgica, Francia, Holanda e Italia, encabezadas por Heinrich Behncke, George Papy, André Lichnerowitz, L. Kuipers, E. A. Kjellberg Bo y Luigi Campe'- delli. También estuvieron presentes los
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fesores argentinos Cristina Verdaguer de Banfi y José Banfi, coeditor de ELEMENTOS.
6. La OCDE acaba de poner en circulación e! informe sobre la conferencia interna-
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los que deseen exponer los frutos de su experiencia docente y los que quieran trasmitir sus conocimientos matemáticos. Pceden tener la seguridad de que serán recibidos con todo agrado, porque la Revista no está al servicio de unos pocos; se la ha concebido con un espíritu altruista".
que planteen con precisión los temas que desearían ver tratados. De otra manera corremos el riesgo de incurrir en repeticiones de cosas sabidas, insinuando una subestimación de los colegas que leen la Revista".
"Además, no debe olvidarse que las páginas de la Revista están abiertas para todos
ELEMENTOS debe continuarapareciendo.no lo olvide
"Materiales multiva'entes', esto es, materiales deliberadamente sirven para diversos Dos ejemplos ha escogido: el geoplano
(Viene de la pág. 83)
para alumnos comprendidos entre "4 y 94 años".
La penúltima colaboración se debe a P. Puig Adam y versa sobre "Modelos preparados y modelos hechos". Destaca certeramente la. finalidad: "los modelos debieran traducir ("hechos") o suger¡<- ("preparados") ¡deas matemáticas, creando situaciones activas de aprendizaje '. Como la misión de los modelos es provocar la abstracción y la concreción, Puig Adam hace atinadas observaciones sobre estos dos actividades en el aprendizaje. Se refiere luego a la ventaja de los modelos "hechos" sobre los "preparados" y a la confección y uso de modelos en la escuela. Pero, la confección de modelos no debe hacer olvidar "la fuente más rica e instructiva de los modelos preparados, el ambiente externo, la vida misma". Describe así modelos insosoecha- dos "que saltan a la vista" una ventana, una falleba, una cortina enrollada, un juguete para armar mosaicos, un trozo de vidrio, desechos en general. Este artículo muestra la aptited didáctica que siempre se reconoció a su autor.
A Gattegno se debe un tercer artículo:
queusos.y las regletas. Huelga el comentario ante su autoridad consagrada. Como le preocupan las situaciones dinámicas, el material multiva- lente debe tender a provocarlas; describe detalladamente cómo lograrlo en el diálogo- permanente con las mentes más jóvenes de los alumnos. Acompaña al artículo una nómina bibliográfica sobre el tema, especialmente acerca del material Cuisenaire.
De Usted depende
Oportunamente elogiamos el esfuerzo editorial que supone la publicación de libros de esta clase. Hoy debemos reiterarlo y ampliarlo, si se puede, porque, además la obra está muy bien ¡lustrada. Esta compilación es digno complemento de la ya citada. No tiene la misma densidad conceptual, es obvio, pero abunda en aspectos concretos de la labor docente y, lo que es más, orienta debidamente en el empleo y el uso del material didáctico más en boga en la actualidad-
Esta obra fue recomendada en la circular 19/63; sería conveniente que también la tuvieran en cuenta los que tienen a su cargo la formación de los futuros profesores. '
SugieraColaborer
Difúndala
i-jHEMOS RECIBIDO:¡ IMPORTANTEC. BRÉARD: Mothémotjques. Classts de 6«. (1963); Clames de 5*. (1962); Classes de 4° (1962); Classes
de 3e. (2962.1. l'ECOLE; París.C- B,R! :̂r Af>rIthmé,iclüe-A,9ébre- Classes de 5®., 4c. ef 3® Géomélrie. Classes de 5c, 4c. e» 3°.
L'ECOLE; París.C. BRÉARD: Mafhématíquos. Classes de 2c. A, B. (1961); Classes de 2®. A', C, M, M'. (1962); Classes
de le. A, B (1962;,- Classes de le. A', C, M, M'. (1962.. L'ÉCOLc- París L M' P- C * 8- " Á-^e. Gíométrie et Mó-
L LESblimé;JALE™:pc“fr964qUe!' M- P- C * Spécia,es B- Tome "* A"°^' S.o.b.inuo o. Pro-
^\n^ícN.NE: A,9ébr°- M- G- p- et Spéciales A. A. COLIN; París, 1964 J. NICOLLE: La symélrie. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1957.f' RnrTPioEup Lr n|G,)¡Se ma.,bémat^ue- PRESSEs UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1964 (5®. édiHon).
' TaS S, Tr - ÍESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963 Í2e. éditían). -A DF AfH r |qT et theor.e des nombres. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963.
* (5* édrtión) ‘ r'e C0,Cul ,ensorIel- PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963
i'dbacm? robrcp;0mIe;;cRESSES ud“,taires de france'- p°^ 1953 (2e.M QUEYSANNE A DE ACHPT '“ u ’ RE5SES UNIVERS,TA'RpS DE FRANCE;. París, 1964.............
Q(5eY¿d!«on) ’ CHET' La!9ebro Pódeme. PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE; París, 1963
La elevación de los costos de imprenta, papel, grabados, etc., nos ha provocado una difícil situación que puede determinar que "ELEMENTOS" pueda dejar de aparecer. Pero han sido tantas las voces de aliento que hemos recibido desde nuestra aparición, que no vacilamos en recurrir a nuestros lectores en búsqueda de colaboración.
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Si se consigue elevar el número de suscriptores —puesto que no queremos elevar el precio de la revista— el problema quedará resuelto. Si Ud. es amigo de "ELEMENTOS" contribuirá seguramente a esta solución, consiguiendo suscriptores entre sus amigos.
LOS EDITORES
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P I La velocidad del sonido parecía un limite extremo... Sin embargo la ciencia y la técnica, enL"“ un esfuerzo extra, lograron alcanzarlo y aún sobrepasarlo. Así se fueron superando las veloci
dades MACH 1... MACH 2... ¡Siempre un Mach extra, cuando todo parece logrado!ESSO está presente en todas estas conquistas de la voluntad humana. ESSO contribuye con sus investigaciones, con los nuevos productos que crea y desarrolla: combustibles, lubrican-
t/v I PvM tes y servicios que se ejecutan mediante las más modernas instalaciones (tales como las recientemente inauguradas en el Aeropuerto Internacional de Ezeiza). ESSO participa activamente en todas las^realizaciones del progreso y muy particularmente en el ámbito del transporte terrestre, marítimo, aéreo y... ¡sí, también en la conquista del espacio exterior!... ¡Para ESSO siempre hay algo extra por lograr!... Por eso, también...
MACH
en el transporte, ESSO es SERVICIO EXTRA
(ísso)INVESTIGANDO LAS EXIGENCIAS DEL MARAÑA ESSO SIRVE LAS NECESIDADES DE HOY