Elementos de Análise NuméricaEquações diferenciais - motivação, classificação de equações diferenciais - método de Euler - métodos de Runge-Kutta de segunda

Elementos de Análise NuméricaEquações diferenciais

- motivação, classificação de equações diferenciais

- método de Euler

- métodos de Runge-Kutta de segunda ordem (Huen e “Midpoint”)

- método de Runge-Kutta de quarta ordem

- caso especial: método de Crank-Nicolson

Introdução à solução de equações diferenciais ordinárias

Pontos mais importantes:

1


A equação anterior chama-se equação diferencial porque é

composta por uma variável dependente e a respectiva derivativa

em função da variável independente.

As leis fundamentais da natureza são baseadas em observações e

são expressas por equações diferenciais. Exemplo: segunda lei de

Newton:

2

m

F

dt

dv

Para obter v, a equação tem que ser integrada!


Te

Ts=TQint

.

me

.

ms = me

. .

Qext

.

T depósito com entrada e saída de massa (igual caudal), podendo haver trocas de energia com o ext. e fontes int.

Y = = f (t , T ).

) , , , ,(/ extinte QQTTmfdtdT

Y= T ( t )

outro exemplo:


4

-ordem da equação diferencial:

dx

dTkq

2

2

dx

Td

dt

dT

-primeira ordem

-segunda ordem

-linearidade:

dx

Vd2

senl

g

dt

d2

2

-linear

-não linear

(Poisson)

Só em casos simples podemos resolver equações diferenciais não lineares analiticamente!


5

sabe-se y’ = f (x, y) , conds. iniciais : (xo , yo ) ou (xo , y’o )

pretende-se y = F (x ) conj. pontos (xi , yi )

)y,x(fdx

dy

soluçãoy=F(x)

Solução: yi+1=yi+x x=xi+1-xi

Nova estimativa = estimativa anterior + declive passo


Método de Euler

6

y = F(x)

y

xxi

yi

xi+1

yi+1

x

xxx i1i

x)y,x(fyy iii1i

),( ),( 1i1iii yxyx

• método de 1ª ordem (1 estimativa f em cada passo)

)y,x(f ii

''i

2

x y2

x

• o erro local é da ordem de x2

do desenvolvimento em série de Taylor :

• o erro global vai-se acumulando ( ~ x)


7

T

V=100 l

20ºC

T

3 l/min

3 l/min

exemplo :

C60º0)T(t; )TT(Vc

cV)t,T(f

dt

dTentr

p

p

Solução analítica:

t

V

V

entrentr eT-0)T(tT)t(T

Método de Euler(t=4 min):i t, min T_exacto,ºC T_Eu, ºC erro_Eu, ºC0 0 60.0 60 0.01 4 55.5 55.2 0.32 8 51.5 51.0 0.53 12 47.9 47.3 0.64 16 44.8 44.0 0.85 20 42.0 41.1 0.86 24 39.5 38.6 0.9


8

Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem

=(a1k1+a2k2)

yi+1=yi+(a1k1+a2k2)×x

onde

k1= f(xi,yi)

k2=f(xi+p1 x, yi+q11k1 x)

então,

-constantes a1, a2, p1 e q11 são para determinar

-aplicando a expansão de Taylor (sem prova), obtemos:

2

1qa

2

1pa

1aa

112

12

21

Três equações 4 incógnitas

um grupo de métodos

Uma constante (a2) é escolhida “arbitrariamente”.


9

Método de Heun (Euler melhorado) (a2=0,5)

y = F(x)

y

xxi

yi

• método 2ª ordem (2 estimativas f /passo)

xi+1

)),(,(),(2 iii1iiii1i yxfxyxfyxfx

yy

declive médio das tangentes em xi e xi+1

• o erro local é da ordem de x3

yi+1

yi+1=yi+(0.5k1+0.5k2)×x onde

k1= f(xi,yi)

k2=f(xi+x, yi+k1x)

Nota: idêntico à solução de Euler


T

V=100 l

20ºC

T

3 l/min

3 l/minC60º0)T(t; )TT(

Vc

cV)t,T(f

dt

dTentr

p

p

Solução Heun : ientr TTV

Vk

1

Método de Heun (t=4 min): 1)(

2 iEuler

entr TTV

Vk

i t, min T_exacto,ºC k_1 k_2 T_He, ºC erro_He, ºC0 0 60.0 60.0 0.01 4 55.5 -1.2 -1.1 55.5 0.02 8 51.5 -1.1 -0.9 51.5 0.03 12 47.9 -0.9 -0.8 48.0 -0.14 16 44.8 -0.8 -0.7 44.9 -0.15 20 42.0 -0.7 -0.6 42.1 -0.16 24 39.5 -0.7 -0.6 39.7 -0.2

exemplo :


11

Método de “Midpoint” (Euler modificado) (a2=1)

y = F(x)

y

xxi

yi

• método 2ª ordem (2 estimativas f /passo)

),(

2,

2 iiiii1i yxfx

yx

xfxyy

declive da tangente no ponto médio

• o erro é da ordem de x3

yi+1

xi+x/2xi+1

yi+1=yi+k2x onde,

k1=f(xi, yi)

k2=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k1 x )


exemplo :

T

V=100 l

20ºC

T

3 l/min

3 l/min C60º0)T(t; )TT(Vc

cV)t,T(f

dt

dTentr

p

p

Solução “Midpoint” : ientr TTV

Vk

1

tk5.0TTV

Vk 1ientr2

Método de Midpoint (t=4 min):

i t, min T_exacto,ºC k_1 k_2 T_MP, ºC erro_MP, ºC0 0 60.0 60.0 0.01 4 55.5 -1.2 -1.1 55.3 0.12 8 51.5 -1.1 -1.0 51.2 0.23 12 47.9 -0.9 -0.9 47.6 0.34 16 44.8 -0.8 -0.8 44.4 0.45 20 42.0 -0.7 -0.7 41.5 0.46 24 39.5 -0.6 -0.6 39.0 0.4

12


13

Métodos de Runge-Kutta de quarta ordem (4 avaliações da f/passo)

yi+1=yi+1/6(k1+2k2 +2k3 +k4)x

onde

k1= f(xi,yi)

k2=f(xi+0.5x, yi+0.5 k1 x)

k3=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k2 x)

k4=f(xi+ x, yi+k3 x)


14

exemplo :

T

V=100 l

20ºC

T

3 l/min

3 l/min Solução RK4 :

ientr1 TTV

Vk

tk5.0TT

V

Vk 1ientr2

tk5.0TTV

Vk 2ientr3

tkTT

V

Vk 3ientr4

i t, min T_exacto,ºC k_1 k_2 k_3 k_4 T_RK4, ºC erro_RK4, ºC0 0 60.0 60.0 0.001 4 55.5 -1.20 -1.13 -1.13 -1.06 55.5 0.002 8 51.5 -1.06 -1.00 -1.00 -0.94 51.5 0.003 12 47.9 -0.94 -0.89 -0.89 -0.84 47.9 0.004 16 44.8 -0.84 -0.79 -0.79 -0.74 44.8 0.005 20 42.0 -0.74 -0.70 -0.70 -0.66 42.0 0.006 24 39.5 -0.66 -0.62 -0.62 -0.58 39.5 0.00

t=4 min:


15

Caso especial: método de Crank-Nicolson

y = F(x)

y

xxi

yi

• método 1ª ordem com precisão equivalente a 2ª

2

1iii1i

yyfxyy

declive da tangente para y médio

se y’ = f ( y )ex: dT/dt = f (T)

semi-implícito

yi+yi+1

2

yi+1

xi+1


16

T

V=100 l

20ºC

T

3 l/min

3 l/min

C60º0)T(t; )TT(Vc

cV)t,T(f

dt

dTentr

p

p

Solução Crank-Nicolson :

t2

TTT

V

VTT 1ii

entri1i

t=4 min):

i t, min T_exacto,ºC T_CR, ºC erro_CR, ºC0 0 60.0 60.0 0.001 4 55.5 55.5 0.012 8 51.5 51.5 0.013 12 47.9 47.9 0.014 16 44.8 44.7 0.015 20 42.0 41.9 0.026 24 39.5 39.5 0.02


17

Comparação dos métodos

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 5 10 15 20 25

t, min

Err

o, º

C

Euler

Euler_imp

Heun

Midpoint

Crank- Nic.

RK-4

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