ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALpaginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti/APOSTILA_CDI_1_IN… · Web viewPRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS. Nesta tabela,

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁPR

PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS

Nesta tabela, f, g, u e v são funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes

1) [ k ] ’ = 0

2) [ x ] ’ = 1

3) [ k . f ] ’ = k. f ’

4) [ f g] ’ = f ’ g ’ (sendo válida para mais de duas funções)

5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’

6) [ x n ] ’ = n . x n -1

7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’

8)

9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a 1)

10) [ e u ] ’ = u ' . eu

11) [ ] ’ = (para a > 0 e a 1e u > 0)

12) [ ] ’ = (para u > 0)

13) [ ] ’ = (para u > 0)

14) [ sen u ] ’ = u ’ . cos u

15) [ cos u ] ’ = - u ’ . sen u

16) [ tg u ] ’ = u ’ . sec2 u

17) [ cotg u ] ’ = - u ’ . cossec2 u

18) [ sec u ] ’ = u ’ . sec u . tg u

19) [ cossec u ] ’ = - u ’ . cossec u . cotg u

20) [ arc sen u ] ’ =

21) [ arc tg u ] ’ =

22) [ arc cos u ] ’ =

23) [ arc cotg u ] ’ =

24) [ arc sec u ] ’ =

25) [ arc cossec u ] ’ =

PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n são constantes.)

FUNÇÃO DERIVADA1. com 2. 3. com 4. 5. com 6. com 7. 8. com

9.

10. com 11. 12. com

13. com

14. com 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

22.

23.

Definição de Derivada geral:

Definição de Derivada em um ponto p:

Velocidade Instantânea:

Aceleração Instantânea:

Equação da reta tangente: Normal:

Regra da Cadeia:

Derivada da função

inversa:

FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS

1)2) (sendo válida para mais de duas funções)

3) (para )

4) (para )

5) (resumindo as fórmulas (3) e (4))

6) (caso particular da fórmula (3))

7) (extensão da fórmula (4) )

8) ou

9) (consequência da fórmula (8))

10) ( caso geral da fórmula (8))

11) (extensão da fórmula (8))

12)13)14)15)16)17)18)19)

20)


22)


24)

25) 26) =

27) Fórmulas de recorrência: Guidorizzi (2005) vol.1, pág 387, ex.4.

PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS

1)2) (sendo válida para mais de duas funções)

3) (para )

4) (para )

5) (resumindo as fórmulas (3) e (4))

6)

7)

8)9)10)11)12)13)14)15)

16) e

17) e

18) e

19) (integração por partes)

20)

Algumas aplicações das integrais:

DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO

Definição de Derivada geral:

Definição de Derivada em um ponto p:

1) Equação da Reta Tangente:

Equação da Reta Normal:

Velocidade Instantânea:

Aceleração Instantânea:

Variação da Função:

Concavidade da Função:

Ponto de máximo local:

Ponto de mínimo local:

Ponto de inflexão:

Regra da Cadeia:

Regra de L’Hospital:

Derivada da função inversa:

Derivação Implícita:

Primitivas ou Antiderivadas:

Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): onde

A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b.

Integrais aplicações:

Aplicação Física: Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais.

Integrais por partes:

Integração por frações parciais: Seja , com e P(x) um polinômio.

Então:

1) Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então:

e, assim,

=

Resumindo: Com , temos:

2) Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer a divisão. ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS:

TENSÃO CORRENTE POTÊNCIA

RESISTÊNCIA

INDUTÂNCIA

CAPACITÂNCIA

POTÊNCIA MÉDIA: onde T é o período e

ENERGIA: ou

ALGUMAS APLICAÇÕES DO CDI-1 À FÍSICA

e

Se e em temos então:

Pesquisar: Trabalho e Resistência dos Materiais: Momento fletor e esforço cortante

- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0 I. O polinômio

denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x0.

Definição de limites:

Limites especiais: 1) 2) e

CONTINUIDADE: f é contínua em x = p

Fourier: Pesquisar

Laplace: Pesquisar

FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a 0

1)

2)

3)

4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: e

5) Decomposição de polinômios:

6) Fatorações especiais:

MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO:

SOMATÓRIO:

GEOMETRIA ESPACIAL

Prisma:

Cilindro:

Cone:

Esfera:

FUNÇÃO EXPONENCIAL:

Propriedades das potências:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

7)

FUNÇÃO LOGARÍTMICA:

Propriedades logarítmicas:

1) 2)

2) 4)

5) e por consequência

GEOMETRIA ANALÍTICA:

1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem iguais, isto é:

2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é:

ou

A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado por: .

Considerando a circunferência com centro na origem, temos: .

22 xry

2) Equação fundamental da reta: , onde

TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências:

1) 2)

3) ou 4) ou

5) 6)

7) 8)

9)

10) Soma de arcos:

11) Arcos duplos:

12) Relação fundamental trigonométrica e consequências:

13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos:

14) Transformação de soma em produto:

15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos:

PRIMITIVAS

1. INTRODUÇÃO

Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessário determinar a própria função.

É o caso dos seguintes exemplos:

Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado para prever futuras taxas de crescimento daquela população;

Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar a posição futura do corpo;

Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no futuro;

Entre outros.

Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo das primitivas ou integração.

2. DEFINIÇÃO

Uma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primitiva (ou integral indefinida) de f.

Exemplo:

1) Mostre que F(x) = é uma primitiva de f(x) = x2 + 5

Solução: F(x) é uma primitiva de f(x) F ’ (x) = f(x). Assim, derivando F(x), temos: F ’ (x) = x2 + 5 = f(x)

3. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃO

Uma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, F(x) = x3 é uma primitiva da função f(x) = 3x2, pois F ’ (x) = 3x2 = f(x). Da mesma forma, G(x) = x3 + 12 também é uma primitiva de f(x), pois a derivada da constante 12 é zero e G ’ (x) = 3x2 = f(x).

Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante a F também será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de f somando constantes a qualquer primitiva de f.

Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que: G(x) = F(x) + k

4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Existe uma explicação geométrica simples para o fato de duas primitivas quaisquer de uma função diferirem entre si de um valor constante. Se F for uma primitiva de f, então F ’ (x) = f(x). Isto significa que, para cada valor de x, f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G for outra primitiva de f, o coeficiente angular de sua reta tangente também é f(x). Logo, o gráfico de G é “paralelo” ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assim, existe uma constante k, tal que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para várias primitivas da função f(x) = 3x2.

Figura: Alguns exemplos das primitivas de 3x2

y = x3 + k

5. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO

Costuma-se escrever: para exprimir o fato de toda primitiva de f(x) ser da forma F(x) + k.

Por exemplo, para expressar o fato de toda primitiva de 3x2 ser da forma x3 + k, escrevemos:

O símbolo chama-se sinal de integração e indica que queremos encontrar a forma mais genérica da primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que representa “SOMA”. Veremos, uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome de Teorema Fundamental do Cálculo. Na expressão , a função f(x) a ser integrada denomina-se integrando. A constante k (não especificada), acrescentada a F(x) a fim de tornar mais genérica a expressão da primitiva, denomina-se constante de integração.O símbolo dx que segue o integrando serve para indicar que x é a variável em relação a qual efetuaremos a integração.

Definição da integral indefinida (ou primitiva) utilizando a notação de integral

6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO

A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formular várias regras de integração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciação (derivadas).

6.1 REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO

Segundo a regra de potencia: , ou seja, para derivar uma função potência, retiramos

uma unidade do expoente e multiplicamos o expoente original pela função elevada ao novo expoente. Enunciando esta regra no sentido inverso, teremos que, para integrar uma função potência, devemos aumentar seu expoente de uma unidade e dividir o resultado pela nova potência.

Segue-se um enunciado mais preciso da regra. Para ,

ou seja, para integrar ( ), aumenta-se o expoente de uma unidade, e divide-se a função elevada ao novo expoente por este novo expoente.

Para comprovar esta regra, basta observar que:

Exemplos:

1) Calcule as integrais

a) b)

c) d)

e)

A regra da potência vale para todos os valores de n, à exceção de n = - 1 (caso em que é

indefinido).

6.1.1. Como determinar uma primitiva de x–1

Precisamos determinar uma função cuja derivada é . O logaritmo natural ln x é a tal função, logo

. Na realidade, isto só é válido quando x for positivo, pois ln x não é definido para

valores negativos de x. Quando x é negativo, segue-se que ln |x| é a primitiva de , pois, sendo x

negativo, |x| = - x e .

Quando x é positivo, segue-se que ln |x| é a primitiva de , pois sendo x positivo, |x| = x e

.

Assim, a integral de é dada por: .

6.2. INTEGRAL DE ex

A integração da função exponencial ex é trivial, pois ex é sua própria derivada. Assim,

6.3. REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA

É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e transformá-las em regras de integração para estes casos.

6.3.1 Regra da constante multiplicada para integrais

Para qualquer constante k,

ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral da função.6.3.2. Regra da soma para integrais

ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais.Exemplo:1) Calcule as integraisa)

b)

c)

Nota: pelo exemplo c, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a cada uma das 3 primitivas, basta adicionar apenas uma constante k ao final do resultado encontrado.

6.4 INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES

Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. Ocasionalmente, conseguiremos exprimir um produto ou um quociente de uma forma integral, com o auxílio das regras já apresentadas.

Exemplos:

1) Calcule

Fazendo a divisão indicada, temos:

Assim,

2) Calcule

Fazendo a divisão indicada, temos :

, pois

Assim:

7. APLICAÇÕES

Nos exemplos que se seguem a taxa de variação é conhecida e o objetivo consiste em calcular a expressão da própria grandeza. Como a taxa de variação é a derivada, calculamos sua expressão por integração.

7.1. Crescimento PopulacionalExemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de

pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?Solução:Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de variação da população em relação ao tempo, ou seja,

Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de , ou seja,

para alguma constante k.

Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.000, ou seja:

logo e a população daqui a 9 meses será:

7.2. Economia, administração, ciências contábeis e engenharia de produção

Nas aplicações à economia, se conhecemos a função marginal então podemos usar a integração indefinida para determinar a função custo total, conforme ilustram os exemplos a seguir:

Exemplos:1) Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q2 – 60q + 400

reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades?

Solução:Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). Logo,

c’(q) = 3q2 – 60q + 400 e, portanto, c(q) deve ser a primitiva

para alguma constante k.

O valor de k é determinado com base no fato de que c (2) = 900.

Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k k = 212

Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212

e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de:

C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00

2) Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função custo e o custo de produção de 100 unidades?

Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é:

C ’ (x) = 30 – 0,02xLogo

para algum k.

Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos:

35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01

ConsequentementeC(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01

Em particular, o custo da produção de 100 unidades é

C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01

3) Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo F(x) = 5.000 + 60 bicicletas por mês ao preço de P(x) = 80 + 3 u.m. (unidades monetárias) por bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os próximos 16 meses? Resposta: R’ (x) = F(x).P(x) R (x) = ... assim, R(x) = 7.267.840

Solução:

R’ (x) = F(x).P(x) R’ (x) = [5000 + 60 ] . [80 + 3 ]

R’ (x) = 400.000 + 15.000 + 4800 + 180x R’ (x) = 400.000 + 19.800 + 180x

Assim,

= 400.000x+19.800 + +k=400.000x + 13.200 x + 90x2 +

k

R(x) = 400.000 x + 13.200 x + 90x2 (produção nula k = 0)

Logo,

R(16) = 400.000 (16) + 13.200 (16) + 90 (16)2 R(16) = 6.400.000 + 844.800 + 23.040

R(16) = 7.267.840 unidades monetárias.

APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS À ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.

Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita total representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMg). Conhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, podemos obter o custo total e a receita total, ou seja,

Função custo total:

Função receita total:

Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da receita total, como geralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas é zero, este resultado pode ser usado para calcular a constante de integração.

Exemplos ilustrativos:

1) Se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e a função demanda.

Solução:

Função receita total:

.

Como, para x = 0, R(0) = 0, então k = 0.

Portanto,

Função demanda:

2) Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 6x2 - 2x + 200 / unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades.

Solução:

Função custo total:

Para

Portanto, a função custo total é:

Custo para produzir

3) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 20 + 40x - 6x2. O custo fixo é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo variável.

Solução:

4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 25 - 5x. Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda.

Solução:

5) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50.

Solução:

6) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,75x2-20x+10.

Solução:

Teoria e Exemplos - Adaptados de: HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.

Análise Marginal

Frequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do comportamento de sua derivada, procedimento denominado análise marginal. Em seção anterior, discutiu-se questões desta natureza para variáveis econômicas como custo total e receita total gerando respectivamente custo e receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se procura é a recuperação de uma função total a partir de sua derivada, ou seja, de sua função marginal. Enquanto no primeiro caso utiliza-se o cálculo diferencial, no segundo recorre-se ao cálculo integral.

Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas marginais, cabe ressaltar que se pode definir variáveis marginais – e, reciprocamente, resgatar as variáveis totais correspondentes – para qualquer variável econômica.

Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade marginal, propensão

marginal a consumir associam-se respectivamente a onde I representa o imposto total

produzido pela venda de x mercadorias, P a produtividade em função do número de trabalhadores ou máquinas x e C o consumo total como função da renda nacional total x. Pode-se ainda pensar em demanda marginal, eficiência marginal de investimentos, etc. Apresentaremos neste item alguns casos envolvendo variáveis econômicas marginais e totais e como proceder para resolver problemas deste tipo.

Exemplos:

1) Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de

automóveis P seja dada por , onde x representa o número de vendedores. Supondo

que a empresa possui 15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para atingir uma produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem empregados vendedores.

Solução:

Se

A produtividade é nula sem empregados vendedores.

Se

Como x representa o número de empregados, a empresa necessita contratar mais 5 vendedores.

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> dP_dx:=2-0.1*x; := dP_dx 2 .1 x

> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); := P d

[ ]2 .1 x x 2. x .05000000000 x2

> solve(2*x-0.05*x^2=20,{x}); ,{ }x 20. { }x 20.

> plot(2*x-0.05*x^2,x=0..40);

2) Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao número de empregados é dada por dP/dx = 8 – 0,06x, quantos empregados são necessários para produzir 148 carros por dia? Considere que sem empregados não há produção. Resposta: 20 operários

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> dP_dx:=8-0.06*x; := dP_dx 8 .06 x

> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); := P d

[ ]8 .06 x x 8. x .03000000000 x2

> solve(8*x-0.03*x^2=148,{x}); ,{ }x 20. { }x 246.6666667> plot(8*x-0.03*x^2,x=0..270);

Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja: L = R – C. Logo, seu valor será máximo quando a derivada desta diferença anular-se, ou ainda, quando a receita marginal (Rm) igualar-se ao custo marginal (Cm).

Justificativa matemática:

Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de primeira ordem). A condição suficiente é que, também no ponto ótimo, o que, em geral pode ser facilmente verificado.

Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade for qmáx e tendo em vista que o lucro é nulo se a quantidade é nula (constante de integração é nula, k = 0), temos:

que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do gráfico do custo marginal.

Exemplos:

1) Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal Cm (em mil reais) para empregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais x

segundo o expressão e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais

vendedores por , calcule o número de vendedores adicionais necessários a maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo correspondente.

Solução:

A situação ótima mencionada ocorre quando Rm= Cm, ou seja,

Elevando ao quadrado ambos os membros da equação.

Retornando à equação original, verifica-se que 2,76 não é raiz (solução) enquanto 15 sim. Logo, o número de vendedores adicionais que maximiza o lucro associado é x = 15.

De acordo com a expressão apresentada anteriormente, tal lucro será dado por:

Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais.

Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, temos:> Receita_marginal:=2+sqrt(4*x+40); := Receita_marginal 2 2 x 10

> Custo_marginal:=sqrt(48*x/5); := Custo_marginal45 15 x

> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x});

Solve ,2 2 x 10

45 15 x { }x

> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); := q_max { }x 15> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); := q_max 15> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max) =evalf(int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max));

:= Lucro_maximo d

0

15

2 2 x 10

45 15 x x 34.50296455

2) Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por Rm = 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x2 encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. Resposta: x=3 => L=45.

Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> Receita_marginal:=44-9*x; := Receita_marginal 44 9 x> Custo_marginal:=20-7*x+2*x^2; := Custo_marginal 20 7 x 2 x2

> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); ( )Solve ,44 9 x 20 7 x 2 x2 { }x

> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); := q_max ,{ }x -4 { }x 3

> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); := q_max ,-4 3

> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[1])= int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[1]);

:= Lucro_maximo d

0

-4

[ ] 24 2 x 2 x2 x-208

3

> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[2])= int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[2]);

:= Lucro_maximo d

0

3

[ ] 24 2 x 2 x2 x 45

LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS


1) Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 9x2 - 4x + 300 /unidade. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades. Resposta: R$ 2.009,00

2) Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,6x2-10x+50. Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x

3) Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. Resposta: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50

4) Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 40 – 6x. Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda. Resposta: (a) R(x) = 40x – 3x2 (b) p = 40 – 3x;

5) A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 30 + 90x - 3x2. O custo fixo é 80. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo médio variável. Resposta: (a) C(x) = 30x + 45x2 – x3 + 80; (b) CM(x) = 30 + 45x – x2 + 80/x; (c) Cv(x) = 45x – x2 + 80/x.

7.3. Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma derivada. Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as suas soluções. Em alguns casos, além da equação diferencial, podemos conhecer certos valores da função, chamados de condições iniciais.

Exemplos:

1) Se , determine y. Resposta:

2) Se e se y = 2 quando x = 0, determine y. Resposta:

3) Determine a função y = y (x), , tal que:

Solução:

4) Determine a única função y = y (x), definida em , tal que:

Solução:

A condição y(0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2. Desta forma podemos determinar o valor de k.

Assim, de , temos: k = 2 e

5) Determine a função y = y (x), , tal que: , y (0) = 1 e y ’(0) = 0

Solução:

Mas y ’ (0) = , temos

Logo

De

Mas y (0) =1 1 = 0 + 0 + k2 k2 = 1

APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAÍMENTO

Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaímento. Admitindo

que , a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à

quantidade de substância presente, então ou , onde k é a constante de

proporcionalidade.

Resolução da equação diferencial:

Exemplo:

1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa original, determine:a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t.b) A massa de material após quatro horas.c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.Solução:

a) Seja N a quantidade de material presente no instante t. Então . Esta equação diferencial é

linear e separável e sua solução, conforme apresentada anteriormente, é dada por: .Em t = 0, temos N(0) = 50.

Desta forma,

Portanto, .

Em t = 2, houve perda de 10% da massa original de 50 mg, ou seja, 5 mg. Logo, em t = 2, N(2) = 45.

Levando estes valores na equação encontrada, temos:

Resolvendo esta equação encontramos o valor de k - 0,0527.

Observação: Para resolver esta equação utilizamos as propriedades dos logaritmos naturais.Assim, nossa equação com as duas constantes encontradas fica: , onde t é medido em horas.

b) Neste item precisamos encontrar o valor de N para t = 4. Basta substituir na equação encontrada e teremos N = 40,50 mg.

c) Neste item devemos encontrar o tempo para N = 25. Substituindo na equação e utilizando as propriedades dos logaritmos naturais encontramos t = 13,16 horas.

PROBLEMAS DE TEMPERATURA

A lei do resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, afirma que a taxa de variação, no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio circundante. Sejam T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante.

Então, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é , e a lei de resfriamento de Newton

pode assim ser formulada:

onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.

Resolução da equação diferencial:

Exemplos:1) Uma barra de metal à temperatura de 100º F é colocada em um quarto à temperatura constante de

0ºF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine:a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25ºF.b) A temperatura da barra após 10 min.Solução:

Utilizando a equação e sabendo que , teremos:

Como T = 100 em t = 0 , temos: .

Assim, teremos a solução .

Por outro lado, temos T = 50 em t = 20 e assim obtemos: .

Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0347.

Desta forma, substituindo na equação, teremos

a) O tempo necessário para termos T = 25, será: , resolvendo esta equação, encontramos t = 40 min.

b) Para encontrar T quando t = 10 basta substituir na equação encontrada e teremos: . E, portanto T = 70,71ºF.

2) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100ºF. Se, após 5 min, a temperatura do corpo é de 60ºF, determine:

a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75ºF.b) A temperatura do corpo após 20 minutos.Solução:

Utilizando a equação e sabendo que Tm = 100 teremos:

cuja solução é:

Como T = 50 em t = 0, temos .

Assim, teremos a solução .

Por outro lado, temos T = 60 em t = 5, e assim obtemos:

Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0446.

Desta forma, substituindo na equação, teremos

a) Para encontrar t quanto T = 75, basta substituir T = 75 na equação função encontrada. Assim, . Utilizando as propriedades de logaritmos encontramos t = 15,53 min.

b) Para encontrar T quando t = 20, basta substituir t = 20 na equação e teremos . E, portanto: T = 79,52ºF.

Figura: Tela escrita no Excel para o cálculo do aquecimento ou resfriamento

EXEMPLOS COMPLEMENTARES

1) Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9% da massa original. Determine:

a) A massa restante após 12 horas.b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade (meia-vida = half-life).Solução: Seja a quantidade de substância presente no instante e como a substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:

, onde: Para temos:

Assim,

Por outro lado, para horas, miligramas, logo:

e portanto:

a) Para horas tem-se:miligramas

b) Para miligramas tem-se:

horas

(ou para ser mais preciso, aproximadamente 14 horas 41 minutos e 57 segundos.)

Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:

28

2) Uma barra de metal à temperatura de 60ºC foi colocada em uma sala com temperatura constante e igual a 5ºC. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acutilizando 40ºC. Pergunta-se:

a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10ºC?b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos?Solução: A lei de Newton para a variação da temperatura diz: “A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o

corpo e o meio ambiente”Seja: - a temperatura do corpo- a temperatura do meio ambiente

- a taxa de variação da temperatura do corpo

Assim, a lei de Newton fica: (1)

onde e é uma constante de proporcionalidade, positiva. O sinal negativo na frente de

aparece a fim de tornar negativa em um processo de resfriamento.

A expressão (1) pode ser escrita assim:

cuja solução é: Assim, a) Para e ºC segue-se que: ºCPor outro lado, minutos e ºC, onde

e assimQuando ºC tem-se: minutos e 3 segundosb) Após minutos temos:

ºCSolução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:

29

3) Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70oF, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10oF. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50oF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t igual a 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15oF? Resposta: 36,67oT e 3,06 minutos

4) Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-vida” (half-life) da substância. Sugestão: Considere a substância com 100 mg.Resposta: 6,58 horas

5) Um termômetro é removido de dentro de uma sala é colocado do lado de fora, em que a temperatura é 5oC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20oC; após 5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da sala? Resposta: 24,74oC

30

6) O Isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida (half-life) é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará par 90% do chumbo desaparecer? Resposta: 10,96 horas

7) Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50oF, é posto em um forno a 375oF às 5 horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura T(t) do assado é de 125oF. Quando será a temperatura do assado de 150oF (meio mal passado)? Resposta: 105,12 minutos, ou seja: 6 horas 45 minutos e 7 segundos.

8) Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30ºC. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70ºC. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC.

Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja,

Resposta: t = 22,78 23 minutos

9) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente, há 100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaíram, determine:

a) A expressão da massa no instante arbitrário t.b) O tempo necessário para o decaimento de 10% do material. Resposta: 4 a 1 m 10 d

10) Um corpo à temperatura de 0ºF é colocado em um quarto em que a temperatura é mantida a 100ºF. Se, após 10 minutos a temperatura do corpo é de 25,7ºF, determine:

a) O tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50ºF.b) A temperatura do corpo após 20 minutos.

Resposta: a) 23,9 min 24 min b) 43,75ºF 44ºF

11) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador com uma temperatura constante de 0ºF. Se após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40ºF e após 40 minutos é de 20 ºF, determine a temperatura inicial. Resposta: T0 = 80ºF

12) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado em um forno cuja temperatura é mantida constante em 150 ºF. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75ºF, determine o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100 ºF. Resposta: t 100 = 23,9 min.

31

7.4. Aplicação Geométrica

A seguir veremos, através de um exemplo, como usar a integração para encontrar a equação da curva cujo coeficiente angular é conhecido.

Exemplo: Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta tangente, em cada x, é 3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6).

Solução: O coeficiente angular da reta tangente é a derivada de f. Logo, f ’(x) = 3x2 + 1 e f(x) é a primitiva,

Para determinar a constante k, consideramos o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (2, 6), ou seja, substituímos x = 2 e f(2) = 6 na equação de f(x) e resolvemos a equação em k, obtendo:

6 = (2)3 + 2 + k c = - 4

Assim, a função desejada é:f(x) = x3 + x – 4

7.5. Aplicações Físicas

Suponhamos um ponto P em movimento em uma reta coordenada, com velocidade v(t) e aceleração a(t) no instante t. Do conceito de derivada, sabemos que: v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t) = s’’(t), onde s(t) representa a função posição no instante t.

Assim,

para alguma constante k1.

Analogamente,

para alguma constante k2.

Exemplos:1) Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, , a velocidade é

v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.

Solução:

Equacionando, temos:

De x = x = t2 + t + k

Mas 1 = x(0) 1 = 02 + 0 + k k =1

32

2) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, . Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2

a) Qual a posição da partícula em um instante t?b) Qual a posição da partícula em um instante t =2?c) Determine a aceleração.Solução:

a)

Como x(0) = 2

b) m

c) Como sabemos ou mais precisamente

3) Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t 0. Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.

Solução: v(t) = 2t – 3, t 0 e s(0) = 5,

Mas, como s(0) = 5 s(0) = 02 – 3. 0 + k = 5 k = 5

Para determinar o ponto mínimo, basta determinar o vértice da parábola s(t),

s

Ou, utilizando derivadas,

4) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade , (a e v0 constantes). Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = x0. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.

Solução: v(t) = a.t +v0 e x(0) = x0

Assim,

Como x(0) = x0 k = x0

Nota: Utilizando esta técnica podemos determinar a função posição (s(t)) para um objeto que se move sob a influência da gravidade. A compreensão do problema exige o conhecimento de um fato da física. Sobre um objeto na superfície da terra ou próximo dela atua uma forca – a gravidade

33

– que produz uma aceleração constante, denotada por g. O valor aproximado de g, usado na maioria dos problemas, é 9,8 m/s2.

5) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:a) A distância da pedra ao solo após t segundos.b) O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.c) O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. Solução: O movimento da pedra pode ser representado por um ponto em uma coordenada vertical s com origem no solo e direção positiva para cima

a) A distância da pedra ao solo no instante t é s(t) e as condições iniciais são v(0) = 30 e s(0) = 45. Como a velocidade é decrescente, v ’ (t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Logo,

a(t) = v ’ (t) = -9,8 e , logo , para algum k1.

Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30, vem 30 = 0 + k1 = k1 e, consequentemente,v(t) = -9,8 t + 30

Como s’ (t) = v (t), obtemos:

s’(t) = - 9,8 t + 30 e , logo s(t) = -4,9 t2 + 30t + k2, para algum k2

Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + k2 = k2. Segue-se que a distância do solo à pedra no instante t é dada por:

s(t) = -4,9 t2 + 30 t + 45

b) A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que,

- 9,8 t + 30 = 0 s

c) A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando,

- 4,9 t2 + 30 t + 45 = 0 t = - 1, 24 s ou t = 7,36 s

A solução t = - 1,24 s não é adequada, pois t é não negativo. Logo, resta t = 7,36 s, que é o tempo após o qual a pedra atinge o solo. A velocidade nesse instante é:

v(7,36) = - 9,8 (7,36) + 30 - 42,13 m/s


1) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as.

34

45 m(em t = 0)

s(t)

s

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

d) Resposta:

e) Resposta:

f) Resposta:

g) Resposta:

h) Resposta:

i) Resposta:

j) Resposta:

2) Determine a solução geral da equação diferencial dada:

a) Resposta:

a) Resposta:

3) Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais:a) f ’ (x) = 12x2 – 6x + 1 e f(2) = 5 Resposta: 4x3 – 3x2 + x - 17

b) e y = 21 se x = 4Resposta:

c) f ’’ (x) = 4x – 1 e f ’ (2) = - 2; f(1) = 3 Resposta:

4) Esboce o gráfico da função y = y(x), x , sabendo que:

a) Resposta: y = x2 – x

> plot(x^2-x,x=-10..10);

35

b) Resposta: y = cos 2x

> plot(cos(2*x),x=0..Pi);

c) Resposta: y = e- x – 1

> Limit(exp(-x)-1,x=-infinity)=limit(exp(-x)-1,x=-infinity); limx ( )

e ( ) x1

> Limit(exp(-x)-1,x=infinity)=limit(exp(-x)-1,x=infinity); limx

e ( ) x1 -1

> plot(exp(-x)-1,x=-10..10,y=-10..10);

36

5) Estima-se que daqui a t meses a população de uma cidade estará variando a uma taxa de 4 + 5t 2/3

pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000, qual será a população daqui a 8 meses? Resposta: 10.128 pessoas

6) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 4x+1 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (1, 2). Resposta: f(x) = 2x2 + x – 1

7) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 3x2 + 6x - 2 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (0, 6). Resposta: f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 6

8) Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de para cada valor de x e cujo

gráfico contém o ponto (1, 3). Resposta:

9) Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de x unidades é dado por 20 – 0,015x . Se o custo de fabricação de uma unidade é de R$ 25,00, determine a função custo total e o custo de produção de 50 unidades.

Resposta: C(x) = 20x – 0,0075x2+5,0075 e C(50) R$ 986,26

10) Se a função custo marginal de um produto é dada por e se o custo de produção de 8 unidades é

de R$ 20,00, determine a função custo e o custo de produção de 64 unidades

Resposta: C(x) = e C(64) R$ 56,00

11) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 1 + 4t + 3t2 metros por minuto. Que distância o objeto percorre durante o terceiro minuto? Resposta: S(t) = t + 2t2 + t3 + k => S(3) – S(2) = 48 – 18 = 30 metros

12) Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por minuto. Que distância o objeto percorre durante o segundo minuto? Resposta: S(t) = 3t + t2 + 2t3 => S(2) – S(1) = 26 – 6 = 20 metros

13) Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadas, determine s(t):

a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = - 5; s(0) = 4 Resposta.: s(t) = t2 – t3 – 5t + 4

b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5 Resposta.: s(t) = + 20t + 5

14) Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 6.

a) Qual a posição da partícula no instante t? Resposta: b) Determine a posição da partícula no instante t = 2. Resposta: x(2) = 20c) Determine a aceleração. Resposta: a(t) = 2

15) Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:

a) A sua distância no instante t. Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 500tb) A altura máxima atingida. Resposta: Em t = 51,02 seg acontece hmáx = 12.755,1 m

16) Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine:a) A sua distância do solo após t segundos? Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 5tb) Quando ela atinge o solo? Resposta: t = 1,02 segc) A velocidade com que atinge o solo? Resposta: V(1,02) = - 4,996 m/s = - 5 m/s

37

17) Deixa-se cair um objeto da altura de 300 m. Desprezando a resistência do ar, determine:a) A distância percorrida em t segundos Resposta: S(t) = -4,9t2 + 300b) A velocidade ao cabo de 3 segundos Resposta: V = -29,4 m/sc) Quando o objeto atinge o solo Resposta: ½.9,8.t2 = 300 => t = 7,82 seg

18) Uma constante gravitacional para objetos próximos da superfície da Lua é 1,62 m/s2.a) Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de

20 m/s determine a altura máxima atingida. Resposta: S(t) = - 0,812t2 + 20tb) Se, após sua volta à Terra, o astronauta lança a mesma pedra diretamente para cima com a mesma

velocidade inicial, determine a altura máxima atingida. Resposta: t = 12,34 seg => s = 20,40 m

19) Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleração de 61 cm/s2.a) Se a bola não tem velocidade inicial, que distância percorrerá em t segundos?

Resposta: S(t) = 30,50t2

b) Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos? Resposta: S(5) = 3000 cm e S = So + vo t + ½ a . t2 => vo = 447,50 cm/s

20) Uma pedra é atirada diretamente para baixo de um balão estacionário a 3000 metros acima do solo com uma velocidade de -14,4 m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade 20 segundos depois. Resposta: Depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s.

Dica, sugestão ou explicação dos exercícios:

15) Em t = 0 s, s(0) = 0 m e v(0) = 500 m/s. Use aceleração = 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da

velocidade e aceleração:

17) Em t = 0 s, s(0) = 300 m e v(0) = 0 m/s. Use aceleração = - 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da

velocidade e aceleração:

20) No instante que a pedra é atirada do balão, sua aceleração é de a = dv/dt = -10 m/s². Sua velocidade é v = -10t + k1. Quando t = 0, v = -14,4 m/s; onde k1 = -14,4 e v = ds/dt = -10t - 14,4. Ainda, s = -5t² - 14,4t + k2. Quando t = 0, s = 3.000, onde k2 = 3000 e s = -5t² - 14,4t + 3000. Quando t = 20, s = -5(20)² - 14,4(20) + 3.000 = 712 m e v =-10(20) - 14,4 = -214,4 m/s. Portanto, depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s. Supor vo

= -14,4 m/s e v1 = -20,4 m/s => v = -20,4-(-14,4) = -6. Entendendo os sinais da velocidade e

aceleração:

Sugestão de atividade: Após resolução manual da lista de exercícios, resolva-a utilizando o software de computação algébrica Maple.

38

39


PROCEDIMENTO DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES

Algumas integrais não têm soluções imediatas, porém, através de uma mudança de variável adequada, muitas dessas integrais podem ser calculadas com uso das regras conhecidas. Considere a integral

O objetivo desta técnica é transformar o integrando, que é uma função composta, em uma função simples. Entretanto, a técnica só funciona se no integrando aparece uma função (u) e sua derivada (c.u’), onde c *.

Passo 1: Introduza a letra u para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar a integral.

Passo 2: Reescreva a integral em termos de u. Para reescrever dx, calcule e resolva algebricamente

como se o símbolo fosse um quociente, lembrando dos diferenciais.

Passo 3: Calcule a integral resultante e então substitua u por sua expressão em termos de x na resposta.

Nota: Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada de uma expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolha para u.

Exemplos:1) Calcule:Solução:

Fazendo: u = x +1, temos:

Logo, =

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) (dica: u = 1 + x2 du = 2x dx)

9)

10)

11)

40

12)

13) (dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx)

14)

15)

16)

17)

18)

19) (dica: )

20) (dica: )

21)

22)

23)

24)

25) ,


1) Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que:

a) ,

b) ,

c) ,

d) ,

e)

f)

41

2) Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:Exercício Respostaa)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

o)

p)

q)

r)

s)

t)

u)

v)

INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

Sabemos que: [ sen x ] ’ = cos x [ cos x ] ’ = - sen x

42

[ tg x ] ’ = sec2 x [ cotg x] ’ = - cossec2 x [ sec x ] ’ = sec x . tg x [ cossec x ] ’ = - cossec x . tg x

Assim,

Exemplos:

1) Mostre, utilizando derivadas, que (caso i) cos x > 0

[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ =

(caso ii) cos < 0

[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ =

Nota de revisão: , logo: | x | = x se x 0 e | x | = - x se x < 0

2) Mostre, utilizando derivadas, que (caso i) sec x + tg x > 0

[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ = = = sec

x(caso ii) sec x + tg x < 0

[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ = = = sec

x

3)Nota de revisão:

sen 2 x + cos 2 x = 1 e 1 + tg 2 x = sec 2 x , pois:

4)

Nota de revisão: cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1,

logo cos 2x = 2 cos2 x - 1 cos2 x =

5)

43

6) ... = (Sugestão: )

7) ... =

8) ... =

9) ... = - cos 2x + k (Sugestão: )

10) ... =

11) = = = sec x + k

Nota de revisão: ; ; ;

12) Mostre, utilizando mudança de variável, que

Solução:

* u = cos x

13) Mostre, utilizando mudança de variável, que

Solução:

* u = sen x

14)

15) (Dica: )

16) (Dica: )

17) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = 3 e f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x – 2 sen x + 6x + 8

18) Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 16 cos 2x – 3 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = -2 e f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = 3 sen x – 4 cos 2 x + x + 2.

19) Mostre, utilizando o método de substituição, que:

(i) = (Faça: u = sen x)

(ii) = (Faça: u = cos x)

44

20) Mostre que = (Lembre-se: )

Solução: Como sen 2x = 2 sen x cos x

Assim, =

* u = 2x e

21) Prove, utilizando o método da substituição, que ,

Solução:

* u = e

22) Prove, utilizando o método da substituição, que ,

Solução:

* u = e

45

46


TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES

Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra do produto:

[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x)ou

f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x)

Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva de [f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e

(1)

que é a regra de integração por partes.

Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a regra (1) na seguinte forma usual:

Suponha, agora, que se tenha que calcular . Se você perceber que, multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.

Exemplos: Calcule as seguintes integrais:

1) = ... =

2) = ... =

3) = ...=

4) = ...=

5) = ... =

6) = ... =

7) Sabendo que , mostre que: = x. (ln x – 1) + k

47

Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1 =

8) Sabendo que: , mostre que:

=

9) Sabendo que: , mostre que:

= x.arc sen x + + k

10) = ... =

11) = ... =

12) Sabendo que e mostre que

.

13) Mostre, por integração por partes, que: , com

.> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=int(exp(a*x)*sin(b*x),x)+k;

de ( )a x ( )sin b x x

b e ( )a x ( )cos b xa2 b2

a e ( )a x ( )sin b xa2 b2 k

> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*sin(b*x),x))+k;

de ( )a x

( )sin b x x e ( )a x

( ) b ( )cos b x a ( )sin b xa2 b2 k


.> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=int(exp(a*x)*cos(b*x),x)+k;

de ( )a x ( )cos b x x

a e ( )a x ( )cos b xa2 b2

b e ( )a x ( )sin b xa2 b2 k

> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*cos(b*x),x))+k;

de ( )a x

( )cos b x x e ( )a x

( )a ( )cos b x b ( )sin b xa2 b2 k

48

EXEMPLOS DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS

1) Calcule .Solução:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:

> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k; d ( )sec x 2 x

( )sin x( )cos x k


Onde:


> Int((tan(x))^2,x)=int((tan(x))^2,x)+k; d ( )tan x 2 x ( )tan x ( )arctan ( )tan x k



> Int((csc(x))^2,x)=int((csc(x))^2,x)+k; d ( )csc x 2 x

( )cos x( )sin x k


Onde:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> Int((cot(x))^2,x)=int((cot(x))^2,x)+k;

d

( )cot x 2 x ( )cot x

12 ( )arccot ( )cot x k

49

5) Calcule .Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por temos:

Considerando a substituição:

Assim,


> Int(sec(x),x)=int(sec(x),x)+k; d

( )sec x x ( )ln ( )sec x ( )tan x k

6) Calcule .Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por temos:

Considerando a substituição:

Assim,


> Int(csc(x),x)=int(csc(x),x)+k; d

( )csc x x ( )ln ( )csc x ( )cot x k

50

7) Utilizando resultados anteriores, calcule .Solução:

Onde:

Assim,


> Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;

d

( )sec x 3 x

12

( )sin x( )cos x 2

12 ( )ln ( )sec x ( )tan x k

8) Mostre que .

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> Int((csc(x))^3,x)=int((csc(x))^3,x)+k;

d ( )csc x 3 x

12

( )cos x( )sin x 2

12 ( )ln ( )csc x ( )cot x k

51


1) Calcule as integrais indefinidas:a) Resposta: (x – 1) ex + kb) Resposta: ex (x2 – 2x + 2) + k

c) Resposta: fazendo u = ln x e dv = xdx =>

d) Resposta: fazendo: u = ln x e dv = x2dx

e) Resposta: fazendo: u = x e dv = sec 2 x dx x tg x + ln | cos x | + k

f) Resposta:

g) Resposta: x (ln x)2 – 2x (ln x – 1) + k

h) Resposta:

i) Resposta:

j) Resposta: fazendo: u = x2 e dv

k) Resposta: fazendo: u = x2 e dv = x.cos x2 dx

l) Resposta: fazendo: u = e-x e dv = cos 2x dx

m) Resposta: ( )

2) Calcule as integrais definidas: Nota: resolva este exercício após a definição de integral definida.a) Resposta: 1b) Resposta: 2 ln 2 – 1

c) Resposta:

d) Resposta: =

e) Resposta:


.


.

52

INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO:

Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema.

TEOREMA:

Sejam e então existem constantes A e B tais que:

Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios.

, onde: tem grau menor que 2

Assim, podemos escrever:

Lembre-se:

Prova: Fazendo: u = x– a du = dx e

(c. q. d.)

Exemplos:

1) = ... =

Solução:

= =

= e

Logo

= = = *

Fazendo: u = x –1 du = dx e v = x + 1 dv = dx

Assim,

* = = =

=

53

2) = ... =

Solução: Assim,

Logo:

=

=

3) = ... =

Solução: Assim,

Logo:

* Fazendo: e assim

Lembre-se :

54

NOTA: Para calcular integrais do tipo com , é mais interessante fazer a mudança

de variável do que utilizar a segunda parte do teorema anterior. Ás vezes, torna-se mais fácil a resolução se for realizada a divisão de por antes de aplicar a mudança de variável.

Exemplos:

1) = ... =

Fazendo:

Assim,

=

=

2) = = ... =

Fazendo: u = x – 1 u + 1 = x e du = dx

Assim,

= = =

= =

55


1) Resolva as integrais do tipo

EXERCÍCIO RESPOSTA

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

Sugestão: Resolva também os exercícios 4, 7, 8, 11, 13 e 14 do Guidorizzi, Vol. 1. 5 ed. pág. 375.

56

INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO:

Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema.

TEOREMA:

Sejam e distintos entre si, então existem constantes A, B e C tais que:

Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios.

Exemplos:

1) = ... =

2) = ...= =...=

Sugestão: Resolva também os exercícios do Guidorizzi, Vol. 1, 5 ed. pág. 378-379.

DIGITAR AQUI A RESOLUÇÃO DA QUESTÃO QUE ESTÁ NA PROVA SUBSTITUTIVA.

57

INTEGRAIS QUE RESULTAM EM FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:ARCO TANGENTE E ARCO SENO – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO SIMPLES

De acordo com as derivadas calculadas no capítulo de derivadas, temos:

Exemplos:

1) = ... =

Solução: =

* Fazendo:

2) = ... =

Solução:

* Fazendo:

3) = ... =

Solução:

* Fazendo:

** Racionalizando: e

4) Sabendo que , mostre que: , com

Solução:

58

=

* Fazendo:

5) = ... =

Solução: = + + + =

= + =

* Fazendo: e * *

6) = ... =

Solução:

* Fazendo:

7) Utilizando o exercício anterior, mostre que: = ... =

Solução: Comparando com o que provamos anteriormente, nesse caso a = 2, temos:

=

8) Sabendo que , mostre que , com a>0.

Solução: =

= (c. q. d.)

* Fazendo:

59

60


TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivo do cálculo: Desenvolver as capacidades de reflexão e de cálculo necessárias para o estudo da engenharia (ou tecnologia).

As principais técnicas de integração são: Método da substituição; Integração por partes; Por decomposição. Frações parciais; Integração de funções racionais; Integração de funções irracionais; Substituição trigonométrica; Integrais impróprios de 1.ª e de 2.ª espécie; Fórmulas de recorrências.

Sabemos da importância da integração, principalmente as integrais definidas no cálculo da área de uma região compreendida entre a função dada e o eixo das abscissas (eixo x). Desta forma, duas questões nos fazem refletir:1) Por que integrais envolvendo radicais são importantes?2) Como calcular a área de um círculo, a área de uma elipse, utilizando integrais definidas?

Nesse momento, motivados por estas duas questões estudaremos a técnica de integração por substituição trigonométrica.

Pré-requisitos: Integrais imediatas, primitivas. Integração por substituição; Integrais definidas; Integrais por partes; Geometria plana; Geometria analítica; Trigonometria.

Objetivo específico da mudança de variável trigonométrica: Transformar expressões com radicais, em uma expressão trigonométrica sem radicais.

Nota: A ocorrência de raiz no integrando é algo muito desagradável. Se perceber uma mudança de variável que a elimine, não vacile.

Quadro resumo da substituição trigonométrica: (r > 0, e x é a variável)

Expressão no integrando Substituição trigonométrica

Nota: Ao fazer uma substituição trigonométrica, admitimos que esteja no contradomínio da função

trigonométrica inversa correspondente. Assim, para a substituição , temos , ou

seja, , ou ainda, o ângulo está no 1o ou 4o quadrante. Neste caso, e:

Exemplos:

1) Calcule:

61

Solução: Fazendo as mudanças:

Assim,

= = = = = =

=

= =

2) Utilizando o resultado anterior, calcule: Solução:

= = = =

=

3) Mostre que as substituições trigonométricas indicadas no quadro anterior, eliminam a raiz.

62

4) Aplicação: Prove, utilizando integral definida, que a área do círculo de raio r é dada por Ao = .

Solução:

Consideremos uma circunferência de raio r e de centro na origem (0, 0). Assim, a sua equação reduzida é dada por: . Isolando y e considerando-o como positivo, temos:

Geometricamente, temos:

Assim, Ao =

Fazendo as devidas mudanças:

Se

Se

Logo,

=

=

=

Como Ao = , temos: Ao =

(c.q.d.)

5) Fazer da elipse. Falta digitar.

63

6) Sem usar o resultado do exemplo 1, calcule: Solução: Fazendo as mudanças:

Se

Se

Logo,

= =

=

7) Calcule: Solução:

Lembre-se: = , fizemos anteriormente quando trabalhamos

com integração por partes: , revise, se julgar necessário.

Fazendo as mudanças:

Se

Se

Assim,

= = =

= =

= =

=

64

8) Calcule:Solução:

Lembre-se: = , fizemos anteriormente quando trabalhamos

com integração por partes: , revise, se julgar necessário.

Fazendo as mudanças:

Assim,

= = + k =

= =

=

9) Calcule: Solução:Fazendo as mudanças:

Assim,

= = = = +k =

= + k = + k =

= + k = + k

= + k

65

MUDANÇA DE VARIÁVEL EM

A integração de funções envolvendo radicais do tipo pode simplificar-se fortemente por meio do uso das variáveis ou , ou ,

ou , uma vez que as substituições referidas transformam os radicandos em quadrados perfeitos. Tais considerações decorrem diretamente da identidade trigonométrica fundamental e consequências dessa.

Por exemplo, as substituições , e transformam os radicais , respectivamente, em , e .

Integração por Substituição Trigonométrica - Adaptado de: Doherty Andrade

Integrar é uma técnica, assim como derivar. Existem muitas técnicas de integração: integração por substituição, integração por partes, integração por frações parciais, integração por substituição trigonométrica. Todas bem simples, é só pegar o jeito.

Continuando veremos a integração por substituição trigonométrica. Usada quando o integrando contém uma das seguintes formas

Vejamos alguns exemplos:

1) Para faça a substituição



Fazendo essas substituições obteremos integrais na variável . A expressão da integral na variável original pode ser obtida por meio do auxílio de um triângulo retângulo. Como se faz?

Exemplo: Na integral fazendo a substituição , eliminamos o radical. Por outro lado, façamos um triângulo indicando a substituição trigonométrica realizada.

Do triangulo observamos que e .

66

ANEXO I - LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS

1) Mostre que: =

2) Mostre que: = (interprete geometricamente o resultado)

3) Mostre que: =

4) Mostre que: = (interprete geometricamente o resultado)

5) Mostre que: = (interprete geometricamente o resultado)6) Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrandoa) Resposta: b) Resposta: c) Resposta: d) Resposta:

e) Resposta:

Solução: , pois: se

f) Resposta:

g) Resposta:

Solução: , pois:

h) Resposta:

i) Resposta: Solução: j) Resposta: ou Assim Outra forma: .Assim,

7) Mostre que:

8) Mostre que: =

Dica: =

67

Referências:

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5a

ed. São Paulo: Makrow Books, 1992.

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas e Triplas. São Paulo: Makrow Books, 1999.

FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, Integrais de Superfície. São Paulo: Makrow Books, 1999.

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. I, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. II, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. III, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. IV, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

HOFFMANN, L. D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004.

RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

Bibliografia de Apoio:

ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.I, 2000.

ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.II, 2000.

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, São Paulo: Harbra, 1986.

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, São Paulo: Harbra, 1986.

MUNEN, F. Cálculo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.

LARSON, H. E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 1994.

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 1994.

SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987.

______________________________________Prof. Dr. Eng. José Donizetti de Lima

68

69


INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de Guidorizzi, 2005, vol.1, 5 ed. p. 299ss)

Objetivo: Introduzir o conceito de integral de Riemann, suas propriedades e aplicações. 1. Partição de um intervalo

Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn}, onde:

a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b

Uma partição P de [a, b] divide [a , b] em n intervalos [xi-1 , xi], i = 1, 2, ..., n

A amplitude do intervalo [xi-1 , xi] será indicada por = xi-1 - xi. Assim,

x1 = x1 – x0 ; x2 = x2 – x1; x3 = x3 – x2 ; ... ; xn = xn - xn-1

Os números x1 , x2 , ... , xn não são necessariamente iguais. O maior deles denomina-se amplitude (ou norma) da partição P e indica-se por máx xi .

Uma partição P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn} de [a , b] será simplesmente indicada por:

P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b

Exemplo: [a , b] = [0 , 1]

P = {0, ½ ,1}

P = {0, ¼ , ½ , ¾, 1}

P = {0, 1/10 , 1}

2. Soma de Riemann

Sejam f uma função definida em [a , b] e P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b uma partição de [a , b]. Para cada índice i (i = 1, 2, 3, ... , n) seja ci um número em [xi-1 , xi] escolhido arbitrariamente.

Pois bem, o número:

denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos números ci.Observe que, se f(ci) > 0, será então a área do retângulo Ri determinado pelas retas x = xi-1, x = xi, y = 0 e y = f(ci).

70

a = x0 x1 x2 ... xi-1 xi ... xn-1 xn = b

0 ½ 1

0 ¼ ½ ¾ 1

0 1/10 1

Amplitude = máx xi = ½

Amplitude = máx xi = ¼

Amplitude = máx xi = 9/10

a = x0 x1 x2 ... xi-1 xi ... xn-1 xn = b. . . . c1 c2 ... ci ... cn

Área de Ri =

Por outro lado, se f(ci) < 0, a área de tal retângulo será:

Área de Ri =

Geometricamente, podemos então interpretar a soma de Riemann como a diferença

entre a soma das áreas dos retângulos R i que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo do eixo x. Uma dessas situações é evidenciada na figura a seguir.

= soma das áreas dos retângulos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos

abaixo do eixo Ox.

71

Exemplo:

Seja F uma função definida em [a, b] e seja P: a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 = b uma partição de [a, b]. O acréscimo F(b) – F(a) que F sofre quando se passa de x = a para x = b é igual à soma dos acréscimos F(xi) – F(xi-1) para i variando de 1 a 4:

F(b) - F(a) = F(x4) – F(x0) = [F(x4) – F(x3)] + [F(x3) – F(x2)] + [F(x2) – F(x1)] + [F(x1) – F(x0)]

Isto é:

De modo geral, se P: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b for uma partição de [a, b], então:

Teoremas:

Teorema 1: Teorema de Rolle.

Se f for contínua em (a, b) e derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em (a, b) tal que f ’(c) = 0

Geometricamente:

Teorema 2: Teorema do Valor Médio (TVM).

Se f for contínua em [a , b] e derivável em ]a , b[, então existirá pelo menos um c em ]a , b[ tal que:

ou

Geometricamente, este teorema conta-nos que se s é uma reta passando pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), então existirá pelo menos um ponto (c, f(c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao gráfico

de f, nesse ponto, é paralela à reta s. Como é o coeficiente angular de s e f ’ (c) o de T,

.

72

a c b x

f(b)

f(a)

yT

sf

a c b

Exemplo do T. V. M.

1) Seja f (x) = x2 onde e encontremos um ponto (c, f (c)) que satisfaça o T.V.M. Represente geometricamente.

Solução:

Temos f (x) = x2, logo f ’ (x) = 2x

Pelo T. V. M.

2 = 2x x = 1

O ponto é (1, 1)

Teorema 3:

Sejam F e f definidas em [a , b] e tais que: F ’ = f em [a, b], assim F é uma primitiva de f em [a, b]. Seja a partição P: a = x0 < x1 < x2 <...< xn = b de [a, b], escolhendo conveniente em tem-se:

Prova:

Pelo que vimos anteriormente:

Pelo TVM, existe em [xi-1 , xi] tal que:

e como F ’ = f em [a , b] e resulta:

Nota: Se f é contínua em [a , b] e se os são suficientemente pequenos, para qualquer escolha de ci

em [xi-1, xi] temos:

Logo

É razoável esperar que a aproximação será tanto melhor quanto menor forem os .

73

3. Integral de Riemann: Definição

Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. Dizemos que tende a L,

quando , e escrevemos:

se, para todo , existir um que só depende de mas não da particular escolha dos ci, tal que:

para toda partição P em [a , b], com

Tal número L, que quando existe é único, denomina-se integral (de Riemann) de f em [a , b] e indica-se por . Então por definição:

=

Se existe , então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a , b].

É comum nos referirmos a como integral definida de f em [a , b].

Definimos, ainda:

Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:

> Int(função,x=a..a)=int(função,x=a..a); da

a

função x 0

(com a < b)

74

4. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)

Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: .

Prova: Temos pelo teorema 3 que se P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b é uma partição de [a , b],

existem em tal que .

Assim,

= =

Notas: A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos

para x = a e x = b, respectivamente.

É possível provar que toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b].

Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a , b], então:

É usual denotar a diferença por . Assim,

Exemplos: Calcule

1) = ... =

Solução: é uma primitiva de f(x) = x2 e f é contínua em [1 , 2]

Assim, =

2) = ... = 28 3) = ... = 16

4) = ... = 8 5) = ... =

5) = ... = ln 16 2,77 6) = ... =

7) = ... = 8) = ... = 2

9) = ... = 10) = mudança de variável = ... =

11) = mudança de variável = ... =




75


1) Calcule as seguintes integrais definidas

a) Resposta:

b) Resposta: 18c) Resposta: 4d) Resposta: - 4e) Resposta: 0

f) Resposta:

g) Resposta: - 2

h) Resposta:

i) Resposta:

j) Resposta: 7k) Resposta: 36

l) Resposta:

m) Resposta: 39

n) Resposta:

o) Resposta: 728p) Resposta: 20

q) Resposta:

r) Resposta:

s) Resposta: 0

t) Resposta: 1

u) Resposta: 1

v) Resposta: 0w) Resposta: 2x) Resposta: e - 1

y) Resposta:

z) Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais

(i) Resposta:

(ii) Resposta: 0

76

INTEGRAL DEFINIDA


Seja a função y = f(x) e consideremos o seguinte problema: calcular a área A limitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme a Figura abaixo. Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos tais que:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < ... < xn = b

Seja ci um ponto qualquer de um subintervalo e xi = xi - xi-1 o seu comprimento. Para cada retângulo construído, a sua base é xi e a sua altura f(ci).

Conforme a Figura anterior, a soma das áreas dos n retângulos é dada por:

sendo conhecida como soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a, b].

Note que, à medida que n cresce, o valor de xi decresce fazendo que a área An se aproxime da área sob a curva.

Assim, podemos dizer que a área limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x, de a até b, é dada pelo limite

ou equivalentemente

Este limite recebe o nome de integral definida da função f sobre o intervalo [a, b], sendo indicada pela notação , ou seja,

onde: a = limite inferior de integração e b = limite superior de integração.

Como o cálculo do limite anterior é muito trabalhoso, a integral definida poderá ser calculada através do Teorema Fundamental do Cálculo.

77

INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de: RIGHETTO e FERRADAUTO, 1982)

Introdução: Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo os pontos:

x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn-1, xn

tais que: a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn-1 < xn = b

Esses pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a , b], decompondo-o nos subintervalos

[x0 , x1], [x1 , x2], [x2 , x3], ..., [xi-1 , xi], ..., [xn-2 , xn-1], [xn-1 , xn]

cujos comprimentos:

x1 – x0 = x1 , x2 – x1 = x2 , xi – xi-1 = xi , ... , xn-1 – xn-2 = xn-1 , xn - xn-1= xn

Portanto, de modo geral: xi = xi – xi-1 , i = 1, 2, ..., n

O maior dos comprimentos: x1 , x2 , ..., xn-1, xn é chamado amplitude ou norma da partição.

Tomemos, para cada índice i um ponto i [xi-1 , xi] e consideremos o valor yi = f(i) da função neste ponto.

Se multiplicarmos cada valor de f(i) pelo comprimento do correspondente subintervalo teremos as áreas dos retângulos de base xi e altura f(i).

A1 = x1 . f(1) , A2 = x2 . f(2) , ... , An = xn . f(n)

Somemos estas áreas:

A soma aproxima-se de um número real L, tal que:

,

sendo um número positivo arbitrário, tão pequeno quanto se desejar, então:

O número L diz-se integral definida da função f(x) no intervalo [a, b].

78

Esta integral é indicada pelo símbolo . Temos, assim: =

A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b.

No nosso caso: = Área da superfície AabB

Teorema Fundamental do Cálculo

Habitualmente, indicamos:

que é a expressão do teorema fundamental do cálculo.

A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = a e x = b, respectivamente.

Exemplos:

1) = ... = 28 2) = ... = ln 16 2,77 3) = ... = 2

TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

Nas aulas sobre derivadas resolvemos problemas do tipo: Dada uma função f, determinar a sua derivada, ou seja, determinar f'. Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma função f, achar uma função F tal que F' = f.

Este relevante teorema possibilita achar valores exatos de integrais definidas utilizando uma anti derivada ou integral indefinida. Esse processo pode ser encarado como o inverso da determinação da derivada de uma função.Este teorema estabelece uma relação entre derivadas e integrais – um resultado chave para o cálculo.

Notação:sinal (símbolo) de Integral

integral indefinida de f(x)kconstante de integraçãof(x) integradoUsa-se o adjetivo indefinido pois representa uma família de antiderivadas e não uma função específica.dx símbolo que especifica a variável independente.

A notação foi criada por LEIBNIZ (1646-1716) para representar a integral de f(x) em [a, b], o símbolo S se origina de um S alongado, pois decorre da associação da integral com uma soma onde as parcelas são representadas por f(x) dx.

A integral definida surge de modo natural quando consideramos o problema da determinação da área de uma região do plano xy. Salienta-se que esta é apenas uma das aplicações (pode ser utilizada por exemplo para...).

FÓRMULAS:

79

80


A ÁREA DE UMA FIGURA PLANA – Adaptado de: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/

Sabemos calcular a área de algumas figuras planas como, por exemplo, retângulos, triângulos, círculos e assim por diante. Dependendo da figura, esse problema está resolvido.

Imaginemos porém que o problema é o do cálculo da área do tampo de uma mesa que tem o seguinte formato:

Ou então, suponhamos que queremos revestir uma prancha de surf e, portanto, queremos calcular a área da parte superior para conhecer a quantidade de material a ser usado no revestimento.

Regiões desse tipo nos levam a perceber que as ferramentas de que dispomos para o cálculo de áreas não são suficientes.

Em primeiro lugar, vamos examinar figuras planas simples que são obtidas a partir do gráfico de alguma função conhecida.

Exemplos:

1) Determine a área de um triângulo, como o da figura abaixo, que pode ser obtido a partir do gráfico de .

Solução: Para se calcular a área do triângulo basta a observação de que a base tem medida b = 4 e a altura tem medida h = 2. Logo, a área é A = (b X h) / 2 = 4 unidades de medida de área.

81

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/

2) Determine a área de um triângulo, como o da figura abaixo, que pode ser obtido a partir do gráfico

de .

Solução: Para se calcular a área do triângulo basta a observação de que a base tem medida b = 6 e a altura tem medida h = 2. Logo, a área é A = (b X h) / 2 = 6 unidades de medida de área.

3) Determine a área da região compreendida entre o eixo x e o gráfico da função: .

Solução: Para se calcular a área da região descrita acima, verificamos que é possível dividi-la em duas partes: uma composta por um quadrado e outra por um quarto de círculo.

- A base do quadrado tem 2 unidades. Logo, sua área é A1 = 4.

- O raio da circunferência tem 2 unidades. Logo, sua área é ACírculo = .22 = 4. Como na figura temos um quarto de círculo, a área é A2 = ¼ ACírculo = .

Portanto, a área da região acima é A1 + A2 = 4 + unidades de medida de área.

82

4) Determine a área da região que se encontra entre a parábola y = x2 e o eixo x, para x variando no intervalo [-2, 2].

Solução: Para calcular a área da região descrita acima, não temos nesse momento resultado algum que nos permita fazê-lo rápida e exatamente.

Observemos, em primeiro lugar, que por uma questão de simetria, basta se calcular a área de metade da região; em seguida, multiplicar por 2 o resultado encontrado. Em segundo lugar, no caso presente, temos condição de fazer um cálculo aproximado para a área da região. Vejamos:

Dividindo o intervalo [0, 2] em quatro partes iguais, podemos encontrar 4 retângulos construídos de modo que a base superior esteja sempre por baixo da curva. A soma das áreas desses retângulos fornece um valor aproximado por falta para a área:

Dividindo o intervalo [0, 2] em quatro partes iguais, podemos encontrar 4 retângulos construídos de modo que a base superior esteja sempre por cima da curva. A soma das áreas desses retângulos fornece um valor aproximado por excesso para a área:

Assim,

Assim, a área da região que se encontra entre a parábola y = x2 e o eixo x, para x variando no intervalo [-2, 2] está entre 2.(1,75) = 3,5 e 2.(3,75) =7,5, ou seja:

83

Dividindo o intervalo [0, 2] em oito partes iguais, podemos encontrar 8 retângulos construídos de modo que a base superior esteja sempre por baixo da curva. A soma das áreas desses retângulos fornece um valor aproximado por falta para a área:

Dividindo o intervalo [0, 2] em oito partes iguais, podemos encontrar 8 retângulos construídos de modo que a base superior esteja sempre por cima da curva. A soma das áreas desses retângulos fornece um valor aproximado por excesso para a área:

Assim, a área A da região que se encontra entre a parábola y = x2 e o eixo x, para x variando no

intervalo [-2, 2] é tal que , ou seja:

Assim, podemos notar que, aumentando o número de sub-intervalos, melhor é a aproximação do valor da área da região considerada.

84


1) Calcule a área aproximada, por falta, de um circulo de raio 1, através de 5 sub-intervalos.Solução: Como o circulo é simétrico em relação aos eixos x e y, basta calcular a área de um quarto dele e fazer a multiplicação do resultado por 4.

A circunferência do círculo, facilitando os cálculos, pode ser considerada com centro na origem e raio unitário. Assim, tomando o intervalo [0, 1], podemos considerar a função cujo gráfico fornece o arco situado no primeiro quadrante.

Dividindo então o intervalo [0, 1] em 5 sub-intervalos iguais e calculando a área de cada um dos retângulos obtidos, temos o seguinte resultado:

pois todos os pequenos retângulos têm base 1/5 e a altura, em cada um, é dada pelo valor da ordenada da função calculada na extremidade à direita de cada sub-intervalo.

Assim:

Dessa maneira, .

Esse valor é, em certo sentido, esperado, pois uma parte do círculo não entrou no cálculo da área. Como calculamos a área aproximada por falta, o valor obtido é menor do que o valor real da área do círculo que, por ter raio unitário, sabemos ser Entretanto, evidentemente, se utilizássemos um número maior de sub-intervalos, obteríamos um valor mais próximo de

85

2) Considerando função determine uma aproximação para a área da região

compreendida entre o gráfico de e o eixo , para percorrendo o intervalo [1, 3], calculando a área aproximada por falta e por excesso, com 4 sub-intervalos, determinados pelos pontos: 1, 3/2, 2, 5/2, 3.

Solução: Consideremos a partição do intervalo [1, 3] dada pelos pontos: 1, 3/2, 2, 5/2, 3.

i) Vamos calcular a área aproximada por falta:

Chamando de S a soma das áreas dos 4 retângulos inscritos, temos:

ii) Vamos calcular a área aproximada por excesso:

Chamando de S a soma das áreas dos 4 retângulos circunscritos, temos:

Assim,

86

3) Melhore a aproximação obtida no Exercício 2, através de uma partição mais fina no intervalo [1,

3], dada por: .

Solução:

Consideremos a partição do intervalo [1, 3] dada pelos pontos: .

i) Vamos calcular a área aproximada por falta:

Chamando de S a soma das áreas dos 8 retângulos inscritos, temos:

ii) Vamos calcular a área aproximada por excesso:

Chamando de S a soma das áreas dos 8 retângulos circunscritos, temos:

Assim,

87

Fonte: Disponível em: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/ Acesso em novembro de 2007.

Introdução:

88


89

O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO

O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenas aparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.

Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estão intimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integração são processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, que exploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.

Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a área de uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a soma de áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim utilizando a antiderivada da função envolvida.

Isaac Barrow (1630 - 1677)

Isaac Newton, Sir (1642-1727) Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716)

90

CÁLCULO DE ÁREAS UTILIZANDO INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja f contínua em [a, b], com em [a, b]. Estamos interessados em definir a área do conjunto A do plano limitado pelas retas x = a , x = b , y = 0 e y = f(x).

Seja, então, P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b uma partição de [a , b] e sejam e em [xi-1 , xi] tais que é o valor mínimo e o valor máximo de f em [xi-1 , xi].

Uma boa definição para a área de A devera implicar que a soma de Riemann seja uma

aproximação por falta da área A e que seja uma aproximação por excesso, isto é:

Como as somas de Riemann mencionadas tendem a , quando , nada mais natural do que definir a área de A por:

91

Exemplos:

1) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x

Solução:

2) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x2.

Solução:

3) Calcule a área do conjunto .

Solução:

A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1 , x = 2 ,

y = 0 e pelo gráfico de .

Assim,

92

A seguir apresentaremos situações que evidenciam como estender o conceito de área para outros subconjuntos do 2.

Como em [a , b] e

Seja A o conjunto hachurado

Nota: Observe que = = soma das áreas dos conjuntos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos conjuntos abaixo do eixo Ox.

4) a) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x 3, pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1.

Solução:

Área = , pois

Área 1 = e

Área 2 =

b) Tomando como base o exemplo anterior, calcule e interprete o resultado encontrado.

Solução: = = 0 = Área A2 – Área A1

93

Considere o seguinte subconjunto do 2.

Área A do retângulo hachurado =

=

=A

onde A é o conjunto limitado pelas retas x = a e x = b e pelos gráficos de y = f(x) e y = g(x), com

em [a , b].

5) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 2 e pelo gráfico de y = x2.

Solução:

Área =

6) Represente geometricamente e calcule a área do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que .

Solução:

Área =

Nota: Observe que para cada x em [0 , 1], (x , y) pertence ao conjunto se, e somente se,

94

7) Represente geometricamente e calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y = x e y = x2, no intervalo .

Solução:

Os pontos em que as curvas y = x e y = x2 se interceptam são as soluções do sistema

Assim , as curvas y = x e y = x2 interceptam-se nos pontos de abscissas 0 e 1. Então,

Área = = = 1

8) Calcule a área entre x = -2 e x = 5 sob o gráfico de:

.

Determine também: . O que isto significa?

Solução: A figura ao lado mostra o traçado do gráfico de f com a área desejada A sombreada.

Assim, A = =

= =

= 3 + unidades quadradas.

Também,

= =

Resposta: Isto significa a diferença entre a área acima e abaixo do eixo x.

95

9) Represente geometricamente e calcule a integral definida

Solução: , pois ln 1 = 0.


> Int(1/x,x=-5..-1)=int(1/x,x=-5..-1); d

-5

-1

1x x ( )ln 5

Nota importante: Seria incorreto escrever algo como, por exemplo:

pois, como mostra o gráfico a seguir, a função não é contínua no intervalo [-1, 2].


> plot(1/x,x=-5..5,y=-5..5);

> Int(1/x,x=-1..2)=int(1/x,x=-1..2);

d

-1

2

1x x undefined

96

ÁREA COMPREENDIDA ENTRE DUAS FUNÇÕES

Lembre-se: A área limitada pelas curvas y = f(x) e y = g(x), pelas retas x = a e x = b, sendo f e g funções contínuas em [a, b] e f(x) ≥ g(x), é dada por:

10) Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas y = x2 + x, y = x + 1 e pelas retas x = 2 e x = 4. Resposta: 50/3 u.a.

Solução:

11) Represente geometricamente e determine a área limitada pela parábola y = x2 – 4 e pela reta y = 2–x. Resposta: 125/6 u.a.

Solução:

97

12) Represente geometricamente e determine a área da região limitada pelos gráficos de e Resposta: unidades de área.

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> evalf(solve(exp(x)=x+2)); ,-1.841405660 1.146193221> plot({exp(x),x+2},x=-3..3);

> Area:=Int([x+2-exp(x)],x=-1.841405660.. 1.146193221)= int(x+2-exp(x),x=-1.841405660.. 1.146193221);

:= Area d

-1.841405660

1.146193221

[ ]x 2 ex x 1.949090927

5) Represente geometricamente e determine a área da região limitada pelos gráficos de e entre duas intersecções consecutivas. Resposta: unid. de área.


> solve(sin(x)=cos(x),{x}); { }x14

> sin(Pi/4)=cos(Pi/4); 12 2

12 2

> sin(5*Pi/4)=cos(5*Pi/4); 12 2

12 2

> plot({sin(x),cos(x)},x=0..2*Pi);

> Area:=Int([sin(x)-cos(x)],x=Pi/4.. 5*Pi/4)= int(sin(x)-cos(x),x=Pi/4.. 5*Pi/4);

:= Area d /1 4

/5 4

[ ]( )sin x ( )cos x x 2 2

98

Resolvendo no Maple por etapas o exemplo 1:> restart:

> evalf(Solve(sqrt(48*x/5)=2+sqrt(4*x+40),{x}));

Solve ,

45 15 x 2 2 x 10 { }x

> evalf(solve(sqrt(48*x/5)=2+sqrt(4*x+40),{x})); { }x 15.> # O MAPLE JÁ ELIMINA A RESPOSTA QUE NÃO SE VERIFICA A IDENTIDADE INICIAL> # AGORA, VAMOS CALCULAR O LUCRO MÁXIMO.> Int([2+sqrt(4*x+40)-sqrt(48*x/5)],x=0..15)=int(2+sqrt(4*x+40)-

sqrt(48*x/5),x=0..15); d

0

15

2 2 x 10

45 15 x x

2303

403 10

> Int([2+sqrt(4*x+40)-sqrt(48*x/5)],x=0..15)=evalf(int(2+sqrt(4*x+40)-

sqrt(48*x/5),x=0..15)); d

0

15

2 2 x 10

45 15 x x 34.50296455

> # UTILIZANDO O MAPLE APENAS PARA RESOLVER A EQUAÇÃO FINAL E TESTAR AS RESPOSTAS

> solve(49*x^2-870*x+2025=0,{x}); ,{ }x 15 { }x13549

> evalf(solve(49*x^2-870*x+2025=0,{x})); ,{ }x 15. { }x 2.755102041> # TESTANDO OS VALORES ENCONTRADOS

> evalf(Subs(x=15,sqrt(48*x/5)));

Subs ,x 15

45 15 x

> evalf(subs(x=15,sqrt(48*x/5))); 12.> evalf(Subs(x=15,2+sqrt(4*x+40))); ( )Subs ,x 15 2 2 x 10> evalf(subs(x=15,2+sqrt(4*x+40))); 12.00000000> # LOGO, SATISFAZ> evalf(subs(x=135/49,sqrt(48*x/5))); 5.142857142> evalf(subs(x=135/49,2+sqrt(4*x+40))); 9.142857143> # LOGO, NÃO SATISFAZ. # PORTANTO, A ÚNICA SOLUÇÃO É X = 15.> # AGORA, VAMOS CALCULAR O LUCRO MÁXIMO.> Int([2+sqrt(4*x+40)-sqrt(48*x/5)],x=0..15)=int(2+sqrt(4*x+40)-

sqrt(48*x/5),x=0..15); d

0

15

2 2 x 10

45 15 x x

2303

403 10

> Int([2+sqrt(4*x+40)-sqrt(48*x/5)],x=0..15)=evalf(int(2+sqrt(4*x+40)-

sqrt(48*x/5),x=0..15)); d

0

15

2 2 x 10

45 15 x x 34.50296455

99

APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE ÁREAS: CÁLCULO DE PROBABILIDADE

Uma aplicação importante do cálculo de áreas está relacionada ao cálculo de probabilidade em estatística. Quando conhecemos o modelo probabilístico de uma variável aleatória contínua x, podemos calcular a probabilidade de o fenômeno ocorrer dentro de determinado intervalo de x.

O modelo probabilístico é descrito por uma função f(x) conhecida como função densidade de probabilidade, tendo as seguintes propriedades:

Se então ou seja, a área total limitada pela função densidade de probabilidade e o eixo x, de a até b, é sempre igual a 1 (probabilidade de 100%).

A probabilidade de x tomar valores entre x1 e x2 é dada por que

representa o cálculo de uma área, como mostra a Figura 1.

Exemplo ilustrativo: Suponha que o tempo de vida t de um componente eletrônico, fabricado por certa indústria, seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por

sendo A probabilidade de um componente qualquer dessa indústria ter um tempo de vida entre 100 e 200 horas é dada por:

ou 11,70%

A Figura 2 ilustra o exemplo, mostrando a área colorida relacionada à probabilidade calculada.

Figura 1 Figura 2


1) O diâmetro x das peças produzidas por certa máquina é uma variável aleatória contínua com

função densidade de probabilidade dada por para Calcular a

probabilidade de Resposta: 30,26%

2) Suponha que x seja uma variável aleatória contínua uniforme no intervalo [0, 20], ou seja, sua

função densidade de probabilidade neste intervalo é . Calcular as seguintes

probabilidades: (a) (b) (c) Resposta: (a) 50% (b) 75% (c) 85%

100

APLICAÇÕES DO CÁLCULO DE ÁREAS – ECONOMIA E ADMINSTRAÇÃO


Excedente do consumidor

Seja y = f(x) a função de demanda, representando os diversos preços (y) que os consumidores estão dispostos a pagar pelas diferentes quantidades (x) de um produto. Considere o ponto de equilíbrio (xo, yo), sendo que os consumidores dispostos a pagar mais do que yo pelo produto são beneficiados. Esse benefício global dos consumidores é representado pela área colorida da Figura abaixo e é chamado de excedente do consumidor (EC).

Portanto, o excedente do consumidor (EC) é dado por: .

Exemplo ilustrativo: A função de demanda para uma certa mercadoria é y = 20 -2x, e supondo-se que o preço de equilíbrio é R$ 12,00, determine o excedente do consumidor e represente graficamente a região cuja área determina o excedente do consumidor.

Solução: Sendo y = 12, a quantidade de equilíbrio será dada por 12 = 20 - 2x, ou seja, 2x = 8, que resolvendo, resulta: x = 4. Portanto, o ponto de equilíbrio é dado por (xo, yo) = (4, 12).

Portanto, o excedente do consumidor é R$ 16,00. O gráfico correspondente é mostrado na Figura abaixo.

Excedente do produtor

101

Seja y = f(x) a função de oferta, para determinados artigos, onde y é o preço unitário para x unidades ofertadas. Considere o ponto de equilíbrio (xo, yo), sendo que os produtores que ofertariam os artigos a um preço inferior a yo lucram. Esse ganho total dos produtores é representado pela área colorida da Figura abaixo e é chamado de excedente do produtor (EP).

Portanto, o excedente do produtor (EP) é dado por: .

Exemplo ilustrativo: A função de demanda para uma certa mercadoria é y = 36 – x2 e a função de oferta y = 2x + 1 onde y é o preço unitário e x a quantidade. Determine o excedente do produtor e consumidor e faça os gráficos correspondentes.

Solução: O ponto de equilíbrio é determinado resolvendo-se o sistema:

Para x = 5 resulta y = 2.5 + 1 = 11, ou seja, o ponto de equilíbrio é (xo, yo) = (5, 11).

Portanto, o excedente do produtor é R$ 25,00. O gráfico correspondente é mostrado na Figura abaixo.

Portanto, o excedente do consumidor é R$ 83,33. O gráfico correspondente é mostrado na Figura abaixo.

102


1) Dada a equação de demanda p = 30 – x2, sendo p o preço e x a quantidade, determine o excedente do consumidor sabendo-se que o preço de equilíbrio é R$ 5,00. Fazer o gráfico correspondente. Resposta: R$ 83,33

2) Para certo produto a equação de oferta é x2 – 100y + 100 = 0, sendo o preço de equilíbrio R$ 10,00. Determine o excedente do produtor e faça o gráfico correspondente. Resposta: R$ 180

3) Dada a equação de demanda x + 20 y = 160 e a equação de oferta 260y – x = 400. Determine os excedentes do consumidor e do produtor se o mercado está em equilíbrio. Resposta: R$ 360,00 e R$ 27,69

4) A função de demanda para certa mercadoria é y = 100 - 4x e supondo-se que o preço de equilíbrio é R$ 8,00, determine o excedente do consumidor e represente graficamente a região cuja área determina o excedente do consumidor. Resposta: R$ 1.058,00

103


1) Represente graficamente e determine a área A sob o gráfico de f(x) para a x b, ou seja, calcular a integral .

a) f(x) = 4x 0 x 7 Resposta: A = 98b) f(x) = 3x2 0 x 4 Resposta: A = 64c) f(x) = 4x2 0 x 3 Resposta: A = 36

d) f(x) = x3 0 x 3 Resposta: A =

2) Represente graficamente e calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 + 2x + 5 entre x = 0 e

x = 2. Resposta:

3) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 – 4x e o eixo x no

intervalo [0 ; 4]. Resposta:

4) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = 5x – x2 e o eixo x no

intervalo [0;7]. Resposta:

5) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 3x e y = x2. Resposta:

6) Represente graficamente e calcule a área da região limitada pelas curvas y = 4x–x2 e y = 2x2–8x.Resposta: 32

7) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = x2 + 2, pelo eixo dos x e pelas retas x = -1 e x = 2. Resposta: 9

8) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = x2 - 4, pelo eixo dos x

e pelas retas x = 0 e x = 2. Resposta:

9) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = x3 – 6x2 + 8x, pelo

eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 4. Resposta:

10) Represente graficamente e calcule a área da superfície limitada pela curva y = - x2 + 8x - 7, pelo eixo dos x e pelas retas x = 5 e x = 8.

Resposta:

104

11) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x3 e o eixo x no intervalo [0, 2] Resposta: 4

12) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = 4x2 e o eixo x no intervalo [0 , 3]. Resposta: 36

13) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 e o eixo x no intervalo [0 , 3]. Resposta: 9

14) Determinar a área das seguintes regiões, utilizando integral definida, representadas nos gráficos a seguir:

a) b)

Resposta: Resposta: 15

105

15) Represente graficamente e calcule a área sob o gráfico de f(x) = 100 - x2 no intervalo [0 , 10].

Resposta:

16) Represente graficamente e calcule a área da região entre o gráfico de f(x) = x2 – 4x +3 e o eixo x no intervalo [0 , 5].

Resposta: , pois: A1 = , A2 = e A3 =

17) Represente geometricamente e calcule a área A sob o gráfico da função f(x) = entre x = -1 e

x = 2.Solução: Um traçado do gráfico de f (figura ao lado) mostra

que ela está abaixo do eixo x no intervalo [-1, 0].

Não podemos calcular A simplesmente calculando

, já que a área abaixo do eixo de x

proporciona uma contribuição negativa para esta

integral. Entretanto, dividindo o intervalo [-1, 2]

em dois subintervalos, podemos facilmente

calcularmos a sua área:

106

107


CÁLCULO DE VOLUME DE SÓLIDOS

Adaptado de MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007.

Uma outra aplicação de integrais é para o cálculo de volumes. A ideia é a mesma que para o cálculo de áreas de regiões planas. Isto é, aproximaremos o sólido pela união de sólidos pequenos cujos volumes são conhecidos, para depois aplicar o limite quando o número destes pequenos sólidos inseridos vai para o infinito.

Superfícies de Revolução

As superfícies de revolução são geradas por uma curva, chamada curva geratriz que gira em torno a uma reta L chamada de eixo de revolução. Por exemplo, quando a parábola y = x2 gira sobre o eixo Y gera um parabolóide, como ilustra as figuras a seguir.

Ao longo do eixo de revolução a superfície se gera como uma função do raio. De forma análoga, quando uma curva y = g(x) gira ao redor do eixo das abscissas temos, por exemplo:

108

CÁLCULO DE VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Estudamos um processo para o cálculo de áreas de superfícies planas, ou seja:

A nossa curiosidade nos leva a estabelecer um processo para o cálculo do volume de sólidos de revolução.

O processo para o cálculo de volume é mera extensão do processo estudado para o cálculo de áreas, pois o volume procurado pode ser pensado como uma soma de Riemann, isto é:

ou

quando o eixo de revolução é uma fronteira da superfície girada for o eixo dos x.

Se for o eixo dos y, então:

Exemplo: Se f(x) = k, , o sólido obtido seria um cilindro e teríamos:

V cilindro = A base . h = .r2

Assim:

Utilizando Integrais temos:

Exemplo numérico:

1) Seja f(x) = 5, represente geometricamente e calcule o volume do cilindro obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, no intervalo .

Solução:

Da geometria espacial, sabemos que: V = .52.(4-2) = 50

Utilizando integrais:

109

k

Cálculo do volume V do sólido obtido pela rotação do gráfico de y = f(x) em torno do eixo x, sendo: e . A figura a seguir ilustra essa situação.

Se f(x) fosse constante e igual a k, o sólido obtido seria um cilindro e teríamos:

Não sendo f(x) constante, subdividimos [a, b], e o sólido se apresentará decomposto em fatias aproximadamente cilíndricas.

Para obter o volume V, basta aproximá-lo pela soma dos volumes das fatias cilíndricas:

1a fatia:

2a fatia:

3a fatia:

nésima fatia: Temos então:

ou seja,

110

Quanto menores as espessuras das fatias, mais a soma indicada se aproximará do volume V do sólido considerado.

Exemplo:

1) Seja f(x) = x, represente geometricamente e calcule o volume do cone obtido pela rotação de f(x) em torno do eixo x, no intervalo .

Solução:Da geometria espacial, sabemos que:

Utilizando integrais:

111

Exemplos:

1) Prove, utilizando integral definida, que o volume de um cilindro de raio da base r e altura h é dado por:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> y:=r; := y r

> V:=Int(Pi*y^2,x=0..h)=int(Pi*y^2,x=0..h); := V d

0

h

r2 x r2 h

2) Prove, utilizando integral definida, que o volume de uma esfera de raio r é dado por:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> y:=sqrt(r^2-x^2); := y r2 x2

> V:=Int(Pi*y^2,x=-r..r)=int(Pi*y^2,x=-r..r); := V d r

r

( )r2 x2 x43 r3

3) Prove, utilizando integral definida, que o volume de um cone de raio da base r e altura h é dado

por:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:

> y:=(r/h)*x; := yr xh

> Int(Pi*y^2,x=0..h)=int(Pi*y^2,x=0..h); d

0

h

r2 x2

h2 x13 r2 h

4) Prove, utilizando integral definida, que o volume de um tronco de cone de bases paralelas com

raios das bases medindo R e r e altura h é dado por:

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:

> y:=((R-r)/h)*x+r; := y ( )R r x

h r

> Int(Pi*y^2,x=0..h)=simplify(int(Pi*y^2,x=0..h));

d

0

h

( )R r xh r

2

x 13 h R2 1

3 h R r13 r2 h

DIGITAR SOLUÇÃO ALGÉBRICAS, destes 4 exemplos

112

5) Mostre, utilizando integral definida, que o volume de um tronco de cone de altura h = 6 e Raios das bases R = 15 e r = 3 é 558. Veja sugestão nas figuras a seguir.

Solução:

onde: e

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> R:=15; := R 15> r:=3; := r 3> h:=6; := h 6> y:=((R-r)/h)*x+r; := y 2 x 3> plot(y,x=0..h);

> Int(Pi*y^2,x=0..h)=simplify(int(Pi*y^2,x=0..h));

d

0

6

( )2 x 3 2 x 558

> V:=h*Pi/3*(R^2+R*r+r^2); := V 558

113

15

3

6

VOLUME DE SÓLIDOS – Adaptado de: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/

1. Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal

Nesses problemas observamos que temos um sólido compreendido entre dois planos paralelos e que é conhecida a área da secção transversal obtida por um plano qualquer paralelo aos planos inicialmente dados, então o volume do sólido é dado por:

ou

conforme a secção transversal seja perpendicular ao eixo x ou y, respectivamente.

Essa é uma primeira maneira de encontrarmos o volume de um sólido, quando a área de qualquer secção transversal é conhecida.

Exemplos:

1) Utilizando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada, sendo

b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide, é dado por: .

Solução: Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

Para cada corte transversal na altura h – y temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é (2x)2.

Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

ou seja, a área de cada secção transversal é

Logo, o volume da pirâmide é dado por:

114


2) Utilizando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é dado por:

Solução: Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a seção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é

Logo, o volume do cilindro é dado por:

3) Utilizando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um

círculo de raio r, é dado por: .

Solução: Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é

Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever:

ou seja, a área de cada secção transversal é:

Logo, o volume do cone é dado por:

115

2. Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x ou y de um conjunto A

Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Consideremos o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = a e x = b:

Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x.

Considerando uma partição P do intervalo [a, b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b, seja:

, onde para todo que é uma soma de Riemann

para a função , relativa à partição P do intervalo [a, b].

Definimos o volume do sólido B como sendo:

É preciso observar que cada seção transversal do sólido B, obtida a partir de x [a, b], é um círculo centrado no ponto (x, 0) e raio f(x) e, portanto, cuja área é [f(x)]2.

116

Exemplos:

1) Seja f(x) = sen x, x [0, ]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = .

Solução: O volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelo gráfico de f(x) = sen x, pelo eixo x, e as retas x = 0 e x = ,

é dado por:

Uma vez que ,241

212cos

21

212 kxsenxdxxdxxsen

temos:

220

410

212

41

212

41

21 2

00

2

sensenxsenxdxxsenV

2) Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de para sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.

Solução:a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de ,xy para é girada ao redor do eixo x:

O volume do sólido é dado por:

22

][)]([2

0

22

0

2

0

22

xdxxdxxdxxfVb

a

117

b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de para é girada ao redor do eixo y:

O volume do sólido é dado por:

5

2165

2424

V

Observações:

1) A função x = 2 representaria um cilindro, desta devemos descontar o sólido formado por x = y2, pois o mesmo não pertence ao nosso sólido, como é possível observar na figura acima.

2) No intervalo analisado a função x = 2 é superior a x = y2.

3) A região a ser rotacionada é limitada pelas funções: x = 2; x = y2; y = 0 e y = .

118

x = y2

x = 2

3. Volume de um sólido pelo método dos invólucros cilíndricos

Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.

O volume de cada uma das cascas é dado por:

Obs.: O índice “e” refere-se a externo e o índice “i” refere-se a interno.

ou ainda, colocando e temos:

Seja f uma função contínua em um intervalo [a, b] com 0 x b. Consideremos o conjunto A. delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = a e x = b. Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.

Observamos as cascas cilíndricas compondo o sólido gerado:

Por esse processo, o volume do sólido composto das cascas cilíndricas é dado por:

n

i

b

aiiin

dxxfxxxfxV1

)(2)(2lim

onde indica o raio de cada invólucro e indica a sua altura.

119

Exemplos:

1) Através do método dos invólucros cilíndricos determine o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de ,xy para ao redor do eixo y.

Solução:

O sólido é gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de para ao redor do eixo y

Utilizando o método dos invólucros cilíndricos, temos:

5

21652222)(2

2

0

252

0

232

0

xdxxdxxxdxxfxV

b

a

2) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de e para ao redor do eixo y.

Solução:

O sólido é obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de e para ao redor do eixo y.

As duas funções se interceptam (encontram) nos pontos (0, 0) e (1, 1).

O volume do sólido pode ser calculado pelo método das cascas e, portanto, é igual a:

120


1) Considere a região delimitada por ,22 xry o eixo x e as retas x = - r e x = r, sendo girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio r. Mostre que seu volume é dado por:

Solução: A região delimitada por o eixo x, e as retas x = - r e x = r, é girada ao redor do eixo x. O sólido originado é uma esfera de raio r.

O volume da esfera gerada é dado por:

33

33

33

2222

222

34

333)()]([ rrrrrxxrdxxrdxxrdxxfV

r

r

r

r

r

r

b

a

2) Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região

compreendida pelo gráfico de e , no intervalo . Calcule também o volume do

sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.

Solução:

a) A região compreendida pelo gráfico de e , no intervalo é girada em torno do

eixo x. A rotação em torno do eixo x gera um sólido:

121

Inicialmente, vamos encontrar a intersecção dos dois gráficos: 1111 23

xxxxx

x

Logo, o volume do sólido é dado por: 21 VVV sendo:

85

81

2121

2111

1

2/1

21

2/12

21

2/1

21

2/11

xx

dxxx

dxxdxx

V

e

E assim,

2495

24)8015(

310

85

V

b) A região compreendida pelo gráfico de xy e , no intervalo é girada em torno do

eixo y. A rotação em torno do eixo y gera um sólido:

Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas cilíndricas é:

3

1

3

1

231

2/1

231

2/1

12121212 dxxdxxdxx

xxdxxx

xV

Efetuando os últimos cálculos, temos:

3) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.

122

Solução: A região a ser girada para gerar o sólido cujo volume estamos procurando é a seguinte.

O sólido gerado é então:

Em primeiro lugar, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos determinar a interseção da reta com a circunferência, sendo

112222

222222

xxxxx

yx

xy

Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:

1

0

1

0

332

1

0

2

34

322

332)2( xxxdxxdxxV

123

4) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto: x2 + (y - 2)2 1.

Solução:

A região mencionada é a seguinte.

Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.

Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções

Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:

124


1) Represente graficamente e calcule o volume V do sólido obtido pela rotação do gráfico de f(x), a x b, em torno do eixo x, em cada caso, ou seja, calcular a integral, .

a) Resposta:

b) Resposta:

c) Resposta:

2) Represente geometricamente e calcule o volume do cone obtido pela rotação do gráfico de y = 3x em torno do eixo x, no intervalo . Resposta:

3) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x, no intervalo .

Resposta:

4) Represente geometricamente e calcule o volume do tronco de cone obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x. Resposta:

5) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x, entre x = 0 e x = 3

Resposta:

6) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x, x [-3 , 3]. Faça uma figura e interprete o número resultante.

Resposta:

7) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x, para x entre 0 e 2. Faça uma figura e interprete o número

resultante.

Resposta:

8) Represente graficamente e calcule o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de , x [-2 , 2] em torno do eixo x. Faça uma figura.

Resposta:

9) Represente graficamente e calcule o volume da esfera de raio 1.

Resposta:

125

10) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio r.

Resposta:

SUGESTÃO: A equação reduzida de uma circunferência é dada por: , onde:

(xc , yc) representa o centro da circunferência e r o raio da mesma. Considere um circulo com centro na origem (0,0) e raio r qualquer.

11) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume do sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo x.

Resposta:

12) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume de um cone circular reto com raio da base r = 3 e altura h = 5.

Resposta:

13) Represente graficamente e calcule, utilizando integral definida, o volume da esfera de raio R = 5.

Resposta:

126

127


COMPRIMENTO DE ARCOS

Dada uma curva qualquer, queremos encontrar seu comprimento de arco. Faremos isto aproximando a curva através de uma poligonal. Isto é, particionaremos o intervalo onde se encontra a curva e subdividiremos seu intervalo em n partes iguais. Em cada subintervalo, aproximaremos a curva por um segmento de reta que une os extremos da curva nesse intervalo. Algumas ilustrações são apresentadas nas figuras a seguir:

Mas, sabemos que e a soma acima é a soma de Riemann, então:

ou

Podemos, também pensar em calcular o comprimento pensando no eixo y, neste caso, teremos:

ou

128

Dos gráficos anteriores concluímos que o comprimento de arco no intervalo [xi, xi+1], é aproximado pelo segmento de reta que une os pontos (xi, f(xi)) e (xi+1, f(xi+1)). Portanto, a distância entre estes pontos é dado por:

Se denotamos por C o comprimento de arco da função y = f(x) no intervalo [a, b], o valor aproximado de C no intervalo [a, b] será igual a soma dos segmentos de retas sobre cada intervalo [xi, xi+1], isto é:

Denotando por e aplicando o Teorema do Valor Médio (TVM), existe um número ci

[xi, xi+1] tal que:

ou

Substituindo esta expressão no somatório aproximado, encontramos:

Note que o somatório acima é uma soma de Riemann. Portanto tomando limite quando n encontramos que:

Desta forma temos provado o seguinte teorema.

Teorema: Seja f uma função contínua em [a, b] e diferenciável sobre ]a, b[. Então o comprimento de arco C da curva descrita por f no intervalo [a, b] é dado por:

Em resumo: Seja f uma função contínua e derivável no intervalo fechado [a, b]. O comprimento do arco é dado por:

129

Exemplos:

1) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x no intervalo [0, 1].Solução:Calculando a derivada da função, temos que:

Denotando por C o comprimento de arco pelo Teorema anterior sabemos que:

Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, para o cálculo do comprimento de arcos, temos:

+ APLICAÇÕES - COMPRIMENTO DE ARCOS => C = d

a

b

1

dydx

2

12

x

> restart:> f:=x;#INFORME A FUNÇÃO := f x> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx 1> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b);

:= COMPRIMENTO d

0

1

2 x 2

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b)=evalf(int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b));

:= COMPRIMENTO d

0

1

2 x 1.414213562

130

2) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função no intervalo [-1, 1].

Solução: Calculando a derivada da função, temos que:


Para calcular esta integral, fazemos uma substituição trigonométrica.

Note que quando x varia de 0 a 1, está variando de 0 até /4. Substituindo, encontramos que:

No estudo das integrais, que são resolvidas pela técnica da Integrando por partes, vimos que:

Lembre-se:

Logo,

unidades de comprimento.

Utilizando o software de computação algébrica Maple, para os cálculos intermediários, temos:

> restart:> Int(sec(theta),theta)=int(sec(theta),theta);

d

( )sec ( )ln ( )sec ( )tan

> Int((sec(theta))^3,theta)=int((sec(theta))^3,theta);

d ( )sec 3

12

( )sin ( )cos 2

12 ( )ln ( )sec ( )tan

> Int((sec(theta))^3,theta=0..Pi/4)=int((sec(theta))^3,theta=0..Pi/4);

d

0

/1 4

( )sec 3 12 2

12 ( )ln 1 2

> > 2*Int((sec(theta))^3,theta=0..Pi/4)=2*int((sec(theta))^3,theta=0..Pi/4);

2 d

0

/1 4

( )sec 3 2 ( )ln 1 2

131


> restart:

> f:=1/2*x^2;#INFORME A FUNÇÃO := f12 x2

> a:=-1;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a -1> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx x> INTEGRAL_INDEFINIDA:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x);

:= INTEGRAL_INDEFINIDA d 1 x2 x

12 x 1 x2 1

2 ( )arcsinh x

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b);

:= COMPRIMENTO d

-1

1

1 x2 x 2 ( )ln 2 1


:= COMPRIMENTO d

-1

1

1 x2 x 2.295587150

132

3) Prove, utilizando integral definida, que o comprimento (perímetro) de um círculo de raio r é dado por: 2r.

Solução: Sabemos da geometria analítica, que: A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado por: .

Considerando a mesma com centro na origem, temos: .

Geometricamente, isolando y, e considerando y 0, temos:

De

Assim, a função é dada por:

Calculando a derivada da função, temos que:

Assim

Fazendo

Se e se

133

4) Determine o comprimento da circunferência de raio r.Solução: Seja f uma função contínua e derivável no intervalo fechado [a , b]. O comprimento do arco é dado por:

(1)

0 X

Y

222 ryx (2)

De e

Substituindo em (1) temos:

(c. q. d.)

Lembre-se: , com a > 0.

Prova: =

= (c. q. d.)

* Fazendo:

134

5) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x2 no intervalo [0, 1].Solução: Calculando a derivada da função, temos que:



Se e se

Do triângulo ao lado, temos:

e

Assim, quando x varia de 0 a 1, está variando de 0 até arc tg 2. Substituindo, encontramos que:


Lembre-se:

Logo,


135


> restart:> Int(sec(theta),theta)=int(sec(theta),theta);

d



d ( )sec 3

12

( )sin ( )cos 2

12 ( )ln ( )sec ( )tan

> Int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(2))=int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(2));

d

0

( )arctan 2

( )sec 3 512 ( )ln 5 2

> 1/2*Int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(2))=1/2*int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(2));

12 d

0

( )arctan 2

( )sec 3 12 5

14 ( )ln 5 2

Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, para o cálculo do comprimento de arcos, temos:> restart:> f:=x^2;#INFORME A FUNÇÃO := f x2

> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx 2 x> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b);

:= COMPRIMENTO d

0

1

1 4 x2 x 12 5

14 ( )ln 2 5


:= COMPRIMENTO d

0

1

1 4 x2 x 1.478942857

Observação:

6) Estabeleça uma integral para determinar o comprimento do arco da equação de e .

136

Solução:

De com e

Assim

u. c.

Utilizando integração numérica (método de Simpson, por exemplo):

d

-1

2

2 9 y4 6 y2 y 8.725000539

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=y^3-y;#INFORME A FUNÇÃO := f y3 y> c:=-1;# INFORME O LIMITE INFERIOR := c -1> d:=2; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := d 2> plot(f,y=c..d);

> dx_dy:=diff(f,y); := dx_dy 3 y2 1

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d)=int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d);

COMPRIMENTO d

-1

2

2 9 y4 6 y2 y23 122

13 5 :=

112 3 2

( )/3 4

23 2 2 2

29 5 3 2

( )/1 4

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d)=evalf(int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d));

:= COMPRIMENTO d

-1

2

2 9 y4 6 y2 y 8.725000539

Sugestão de atividade: Resolver pelo meu Programa de Integração Numérica => f:=sqrt(2+9*y^4-6*y^2)

137

iy

ix

id

7) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x2 - 2x +1 no intervalo [0, 1].Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=x^2-2*x+1;#INFORME A FUNÇÃO := f x2 2 x 1> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx 2 x 2> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x=a..b);

:= COMPRIMENTO d

0

1

5 4 x2 8 x x 12 5

14 ( )ln 2 5


:= COMPRIMENTO d

0

1

5 4 x2 8 x x 1.478942857

8) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = 3x2 + x - 1 no intervalo [0, 1].Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=3*x^2+x-1;#INFORME A FUNÇÃO := f 3 x2 x 1> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);


COMPRIMENTO :=

d

0

1

2 36 x2 12 x x 176 2

112 ( )ln 7 5 2

112 ( )ln 1 2


:= COMPRIMENTO d

0

1

2 36 x2 12 x x 4.153834025

138

9) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x2 + 5x no intervalo [0, 1].Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=x^2+5*x;#INFORME A FUNÇÃO := f x2 5 x> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);


COMPRIMENTO :=

d

0

1

26 4 x2 20 x x 354 2

14 ( )ln 7 5 2

54 26

14 ( )ln 5 26


:= COMPRIMENTO d

0

1

26 4 x2 20 x x 6.083514893

10) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = 5x2 + x + 3 no intervalo [0, 1].Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=5*x^2+x+3;#INFORME A FUNÇÃO := f 5 x2 x 3> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0> b:=1; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 1> plot(f,x=a..b);


COMPRIMENTO :=

d

0

1

2 100 x2 20 x x 1120 122

120 ( )ln 11 122

120 2

120 ( )ln 1 2


:= COMPRIMENTO d

0

1

2 100 x2 20 x x 6.114824311

139


1) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função no intervalo [0, 2].Solução: Calculando a derivada da função, temos que:



Se e se

Do triângulo ao lado, temos:

e

Assim, quando x varia de 0 a 1, está variando de 0 até arc tg 4. Substituindo, encontramos que:


Lembre-se:

Logo,


Observamos que o arco de parábola para tem o mesmo comprimento – pois uma translação vertical não altera o comprimento do arco – e, consequentemente, por simetria, o comprimento do arco

de parábola, para também é

140


> restart:

> Int(sec(theta),theta)=int(sec(theta),theta); d



d ( )sec 3

12

( )sin ( )cos 2

12 ( )ln ( )sec ( )tan

> Int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(4))=int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(4));

d

0

( )arctan 4

( )sec 3 2 1712 ( )ln 17 4

> 1/2*Int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(4))=1/2*int((sec(theta))^3,theta=0..arctan(4));

12 d

0

( )arctan 4

( )sec 3 1714 ( )ln 17 4


> restart:> f:=x^2+1;#INFORME A FUNÇÃO

:= f x2 1

> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0

> b:=2; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b 2

> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx 2 x

> INTEGRAL_INDEFINIDA:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x);

:= INTEGRAL_INDEFINIDA d 1 4 x2 x

12 x 1 4 x2 1

4 ( )arcsinh 2 x


:= COMPRIMENTO d

0

2

1 4 x2 x 1714 ( )ln 4 17


:= COMPRIMENTO d

0

2

1 4 x2 x 4.646783762

141

2) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função no intervalo [0, 4].Solução: Conforme observação do exemplo anterior, temos:- - Quando - Quando Desta forma é mais fácil calcular esse comprimento pensando no eixo vertical (eixo y, ou das ordenadas). Neste caso: .

Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple, para o cálculo do comprimento de arcos, temos:> restart:> f:=y^2;#INFORME A FUNÇÃO

:= f y2

> c:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := c 0

> d:=2; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := d 2

> plot(f,y=c..d);

> dx_dy:=diff(f,y); := dx_dy 2 y

> INTEGRAL_INDEFINIDA:=Int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y)=int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y);

:= INTEGRAL_INDEFINIDA d 1 4 y2 y

12 y 1 4 y2 1

4 ( )arcsinh 2 y

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d)=int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d);

:= COMPRIMENTO d

0

2

1 4 y2 y 1714 ( )ln 4 17

> COMPRIMENTO:=Int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d)=evalf(int(sqrt(1+(dx_dy)^2),y=c..d));

:= COMPRIMENTO d

0

2

1 4 y2 y 4.646783762

142

3) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função no intervalo [0, 1].

Solução: Calculando a derivada da função dada, temos:


Solução: Utilizando o software de manipulação algébrica Maple, temos:> restart:

> f:=2/3*sqrt(x^3);#INFORME A FUNÇÃO := f23 x3


> dy_dx:=simplify(diff(f,x)); := dy_dxx2

x3


:= COMPRIMENTO d

0

1

1 x x 43 2

23


:= COMPRIMENTO d

0

1

1 x x 1.218951415

143

4) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função no intervalo [0, /3].

Solução: Calculando a derivada da função, temos que:


Solução: Utilizando o software de manipulação algébrica Maple, temos:> restart: f:=ln(cos(x));#INFORME A FUNÇÃO := f ( )ln ( )cos x> a:=0;# INFORME O LIMITE INFERIOR := a 0

> b:=Pi/3; # INFORME O LIMITE SUPERIOR := b13

> plot(f,x=a..b);

> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx ( )sin x( )cos x

> INTEGRAL_INDEFINIDA:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x);INTEGRAL_INDEFINIDA :=

d

1

( )sin x 2

( )cos x 2 x 21( )cos x 2

arctanh

( )sin x1 ( )cos x ( )cos x


:= COMPRIMENTO d

0

/1 3

1( )sin x 2

( )cos x 2 x 2

arctanh

13 3


:= COMPRIMENTO d

0

/1 3

1( )sin x 2

( )cos x 2 x 1.316957897

144

5) Se , determine o comprimento do arco do gráfico de f do ponto a

. Resposta: unidades de comprimento

Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple, temos:> restart:> f:=3*x^(2/3)+10;#INFORME A FUNÇÃO := f 3 x

( )/2 310


> dy_dx:=diff(f,x); := dy_dx 21

x( )/1 3

> INTEGRAL_INDEFINIDA:=Int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x)=int(sqrt(1+(dy_dx)^2),x);

:= INTEGRAL_INDEFINIDA d

1

4

x( )/2 3 x

x( )/2 3 4

x( )/2 3 x( )/1 3 ( )x( )/2 3 4


COMPRIMENTO d

8

27

14

x( )/2 3 x 3 3 27 4 27( )/1 3

:=

49 3 27 4 27

( )/1 327

( )/1 32 2 8 4 8

( )/1 32 8 4 8

( )/1 38

( )/1 3


:= COMPRIMENTO d

8

27

14

x( )/2 3 x 24.24474960

Observação: Resolver utilizando apenas mudança simples de variável.

145

6) Determine o perímetro da elipse:

Solução: e

7) (Rivera, 2007, pág. 416) Calcule o comprimento da curva dada por , no intervalo Resposta: a

8) Calcule o comprimento da curva dada por

Sugestão: Pesquisar outros autores, por exemplo: Quidorizzi (2005), p. 416-417; Rivera (2007), p. 414-418, entre outros.

MOTIVAÇÃO: Elementos de um Polígono Regular Inscrito em uma Circunferência

Centro (O) é o centro da circunferência.

Lado (l) é o segmento de reta que une dois vértices consecutivos.

Raio (R) é o segmento de reta que une o centro do polígono a um dos vértices.

Apótema (m) é o segmento de reta que une o centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.

Relações métricas nos Principais Polígonos Regulares Inscritos

Triângulo Equilátero

Quadrado

146

Hexágono Regular

Analisando, as figuras anteriores (polígonos inscritos), temos:

Sugestão: PESQUISAR OS POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

147

148


INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

Adaptado de: HOFFMANN, Laurence D. & BRADLEY, Gerald L. Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações. Rio de Janeiro: Sexta Edição, LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1999. Com exceção das aplicações aos softwares MAPLE e MATLAB.

Objetivo: Estender o conceito de integral definida para integrais da forma:

na qual o limite superior de integração não é um número finito. Tais integrais são conhecidas como integrais impróprias e surgem em diversas situações práticas.

Interpretação Geométrica: Se f é não-negativa, a integral imprópria pode se interpretada como a área da região sob o gráfico de f à direita de x = a (veja as figuras a seguir).

Embora esta região tenha uma extensão infinita, sua área pode ser finita ou infinita, dependendo de quão rapidamente f(x) tende a zero quando x cresce.

Uma abordagem razoável para encontrar a área de uma região desse tipo é primeiro utilizar uma integral definida para calcular a área de x = a até um número finito x = N, e então fazer N tender ao infinito na expressão resultante. Isto é:

Área total =

Isto motiva a seguinte definição:

A Integral Imprópria

Se o limite que define a integral imprópria é um número finito, a integral converge. De outra forma a integral diverge. A seguir têm-se alguns exemplos:

Exemplos:

1) Calcule

Solução: Primeiro calcule a integral de 1 a N e então faça N tender ao infinito. Organize seu trabalho da seguinte forma:

A seguir, tem-se a solução utilizando o software de computação algébrica MAPLE.

> restart:> # De forma direta:> plot(1/x^2,x=1..infinity,color=black);

> Int(1/x^2,x=1..infinity)=int(1/x^2,x=1..infinity);

d

1

1x2 x 1

> # Utilizando processo semelhante ao manual:> Int(1/x^2,x)=expand(int(1/x^2,x=1..N));

d

1x2 x

1N 1

> Limit(-1/N+1,N=infinity)=limit(-1/N+1,N=infinity);lim

N

1N 1 1

2) Calcule

Solução:

A seguir, tem-se a solução utilizando o software de computação algébrica MAPLE.

> restart:> # De forma direta:> plot(1/x,x=1..infinity,color=black);

> Int(1/x,x=1..infinity)=int(1/x,x=1..infinity);

d

1

1x x

> # Utilizando processo semelhante ao manual:> Int(1/x,x)=int(1/x,x=1..N);

d

1x x ( )ln N

> Limit(ln(N),N=infinity)=limit(ln(N),N=infinity);lim

N ( )ln N

> plot(ln(N),N=0..50,y=-1..6,color=black); # REVISÃO DO GRÁFICO DO LN

Conclusão dos dois primeiros exemplos:

Note que a integral imprópria do exemplo 1 convergiu, enquanto a da função do

exemplo 2 divergiu. Em termos geométricos, isto significa que a área à direita de x = 1 sob a curva

é finita, enquanto a área correspondente sob a curva é infinita. A razão para a diferença

é que, quando x cresce, tende a zero mais rapidamente do que .

Novamente, utilizando o software Maple, para comparar os gráficos e assim ilustrar o fato de uma função convergir e da outra divergir.

> plot([1/x^2,1/x],x=0..5,y=0..5,title="Converge x Diverge", legend=["y=1/x^2", "y=1/x"]);

Integrais impróprias de outros tipos

De forma semelhante, define-se também as integrais impróprias dos tipos:

(i)

(ii)

Nota: Estes tipos de integrais são largamente empregados no cálculo de probabilidade relacionadas a várias aplicações na área industrial.

Aplicações das integrais impróprias à Estatística

Algumas das aplicações mais importantes da integração para as ciências sociais e biológicas estão nas áreas da probabilidade e estatística. Nesse momento estamos interessados em explorar a relação entre a integração e a probabilidade. Integrais impróprias representarão um papel importante nesta discussão.

Variáveis aleatórias:

A duração de vida de uma lâmpada selecionada ao acaso de um estoque do fabricante é uma quantidade que não pode ser prevista com certeza. Na terminologia estatística, o processo de selecionar uma lâmpada ao acaso é chamado de um experimento aleatório, e a duração de vida da lâmpada é dita ser uma variável aleatória. Em geral, uma variável aleatória é um número associado com o resultado de um experimento aleatório.

Uma variável aleatória que pode assumir apenas valores inteiros é dita ser discreta. O valor de uma carta de baralho selecionada ao acaso e o número de vezes que dá coroa ao se jogar uma moeda são variáveis aleatórias discretas. Assim também é o QI de um estudante universitário selecionado ao acaso, pois os QIs são medidos em números inteiros.

Uma variável aleatória que pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo é dita ser contínua. Algumas variáveis aleatórias contínuas são o tempo que um motorista selecionado ao acaso espera em um sinal de trânsito, o intervalo de tempo entre as chegadas de aviões sucessivos selecionados ao acaso no aeroporto, e o tempo que leva para que uma pessoa selecionada ao acaso aprenda uma determinada tarefa. O cálculo integral é usado no estudo das variáveis aleatórias contínuas.

Probabilidade:

A probabilidade de um evento que pode resultar de um experimento aleatória é um número entre 0 e 1 que especifica a chance de ocorrência do evento. Em particular, a probabilidade é a fração do tempo que o evento pode ser esperado ocorrer se o experimento for repetido um grande número de vezes. Por exemplo, a probabilidade de que uma moeda perfeitamente balanceada jogada resulte em cara é de 1/2, pois espera-se que este evento ocorra aproximadamente 1/2 do tempo se a moeda for jogada repetidamente. Em um grupo contendo 13 homens e 10 mulheres, a probabilidade é de 10/23 de que uma pessoa selecionada ao acaso seja uma mulher. A probabilidade de um evento que não pode ocorrer é zero. Por exemplo, se você jogar um dado comum, a probabilidade de que você obtenha um número entre 1 e 6, inclusive, é 1, enquanto a probabilidade de obter um 7 é zero.

Considere novamente o experimento aleatório no qual uma lâmpada é selecionada ao acaso de um estoque de um fabricante. Um possível evento resultante deste experimento é que a duração de vida da lâmpada selecionada seja entre 20 e 35 horas. Se X é a variável aleatória que denota a duração de vida de uma lâmpada selecionada ao acaso, este evento pode ser descrito pela inequação 20 X 45, e sua probabilidade denotada por P(20 X 45). Analogamente, a probabilidade de que a lâmpada funcionará por pelo menos 50 horas é denotada por P(X 50) ou P(50 X ).

Função Densidade de Probabilidade (fdp)

Uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória contínua X é a função não-negativa f com a propriedade de que P(a X b) seja a área sob o gráfico de f de x = a até x = b. Uma função densidade de probabilidade possível para a duração de vida de uma lâmpada está esboçada no gráfico a seguir.

Observe que a forma do gráfico reflete o fato de que a maioria das lâmpadas queimam relativamente rápido. Por exemplo, a probabilidade de que uma lâmpada falhará dentro das primeiras 40 horas é representada pela área sob a curva entre x = 0 e x = 40. Isto é um número muito maior do que a área sob a curva entre x = 80 e x = 120, que representa a probabilidade de que a lâmpada falhará entre a sua 80a hora e a 120a hora de uso.

A propriedade básica das funções densidade de probabilidade pode ser estabelecida em termos de integrais que você usaria para calcular suas áreas apropriadas.

Função Densidade de Probabilidade (fdp): Uma Definição

Uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória continua X é uma função não-negativa f tal que:

Os valores de a e b nesta formula não precisam ser finitos. Se um ou outro for infinito, a probabilidade correspondente é dada por uma integral imprópria. Por exemplo, a probabilidade de que X seja maior ou igual que a é:

A área total sob o gráfico de uma função densidade de probabilidade deve ser igual a 1. Isto é porque a área total representa a probabilidade de que X esteja entre e , o que é um evento que certamente ocorrerá. Está observação pode ser reescrita em termos de integrais impróprias.

Função Densidade de Probabilidade (fdp): Uma propriedade

Se f é uma função densidade de probabilidade para uma variável aleatória continua X.

O problema de determinar a função densidade de probabilidade adequada para uma determinada variável aleatória é um problema central da Teoria da Probabilidade que está além do escopo desta nota de aula. Envolve técnicas que podem ser encontradas na maioria dos textos sobre probabilidade e estatística.

As figuras a seguir foram construídas no software de computação numérica MATLAB. Os cálculos também foram obtidos por esse software.

-3 -2 -1 0 1 2 30

10

20

30

40

50

60

70

80

90HISTOGRAMA COM AJUSTE A CURVA NORMAL

eixo x

eixo

y

(f. d. p.)

Observações:

1) f.d.p.: Função densidade de probabilidade

2) Percentuais da Distribuição Normal:

- MAIS ou MENOS 1 SIGMA = 68,27%- MAIS ou MENOS 2 SIGMA = 95,45%- MAIS ou MENOS 3 SIGMA = 99,73%- MAIS ou MENOS 4 SIGMA = 99,99%

Utilizando o software de computação numérica MATLAB:

Gerar o gráfico da função de distribuição normal padronizada univariada (N(0,1): = 0 e = 1).

Determinar os percentuais de 1, 2, 3 e 4.

Solução:function y=fdp_normal(x)y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));function distr_normal_integralArea_1S=quad('fdp_normal',-1,1)*100;Area_2S=quad('fdp_normal',-2,2)*100;Area_3S=quad('fdp_normal',-3,3)*100;Area_4S=quad('fdp_normal',-4,4)*100;disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 1 SIGMA = 'num2str(Area_1S) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 2 SIGMA = 'num2str(Area_2S) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 3 SIGMA = 'num2str(Area_3S) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 4 SIGMA = 'num2str(Area_4S) '%'])disp(' ')pausex=-4:0.01:4;y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));plot(x,y,'b.')gridtitle('DISTRIBUIÇÃO NORMAL UNIVARIADA')xlabel('eixo X')ylabel('eixo Y')%gtext('<------------- 99,99% ---------------->')pausehold onx=-3:0.01:3;y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));plot(x,y,'r.')%gtext('<--------- 99,73% --------->')pausehold onx=-2:0.01:2;y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));plot(x,y,'g.')%gtext('<------ 95,44% ------>')pausehold onx=-1:0.01:1;y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));plot(x,y,'y.')%gtext('<-- 68,27% -->')legend('+ ou - 4 sigma','+ ou - 3 sigma','+ ou - 2 sigma','+ ou - 1 sigma')pausex=-2:0.01:2;y=(1/sqrt(2*pi)*exp(-0.5*(x.^2)));area(x,y)pauseclose

> distr_normal_integral MAIS ou MENOS 1 SIGMA = 68.2691% MAIS ou MENOS 2 SIGMA = 95.4499% MAIS ou MENOS 3 SIGMA = 99.733% MAIS ou MENOS 4 SIGMA = 99.9938%

OUTRA FORMA: Utilizando a função MATLAB normpdf

function normalx=-3:0.01:3;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)xlabel ('Eixo x')ylabel ('Eixo y')title ('DISTRIBUIÇÃO NORMAL')grid %gradepausecloseformat banksigma1=(normcdf(1,0,1)-normcdf(-1,0,1))*100;sigma2=(normcdf(2,0,1)-normcdf(-2,0,1))*100;sigma3=(normcdf(3,0,1)-normcdf(-3,0,1))*100;sigma4=(normcdf(4,0,1)-normcdf(-4,0,1))*100;disp(' ')disp('PERCENTUAIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL ')disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 1 SIGMA = 'num2str(sigma1) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 2 SIGMA = 'num2str(sigma2) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 3 SIGMA = 'num2str(sigma3) '%'])disp(' ')disp([' MAIS ou MENOS 4 SIGMA = 'num2str(sigma4) '%'])Resultados: PERCENTUAIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL MAIS ou MENOS 1 SIGMA = 68.2689% MAIS ou MENOS 2 SIGMA = 95.45% MAIS ou MENOS 3 SIGMA = 99.73% MAIS ou MENOS 4 SIGMA = 99.9937%

Programas escritos no software de Computação Algébrica Maple

(versão 7 ou 10)

SIGNIFICADO GEOMÉTRICODERIVADA INTEGRAL

INTEGRAL

UM NOVO AMBIENTE DE ENSINO - MODELAGEM MATEMÁTICA – UMA ABORDAGEM FLEXÍVEL

O texto a seguir é adaptado de: BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferencias Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1999.

Pré-requisitos às Equações Diferenciais: Um conhecimento razoável de cálculo, adquirido através de um curso de dois ou três semestres ou equivalentes.

O ambiente no qual os professores ensinam e os alunos aprendem equações diferenciais mudou bastante nos últimos anos e continua a mudar com grande rapidez. Hoje em dia, a maioria dos estudantes de equações diferenciais dispõe de algum tipo de equipamento de computação, seja uma calculadora gráfica, um computador portátil ou uma Workstation de mesa. Estes equipamentos tornam relativamente fácil executar trabalhosos cálculos matemáticos, gerar gráficos de alta qualidade e, em muitos casos, executar complexas manipulações simbólicas.

O fato de a maioria dos estudantes dispor desses recursos permite que os professores, se quiserem, modifiquem substancialmente sua apresentação do assunto e suas expectativas quanto ao desempenho dos estudantes. Naturalmente, os professores têm diferentes opiniões sobre como um curso de equações diferenciais deve ser ministrado nessas circunstâncias.

Uma opção é dedicar menos tempos aos detalhes práticos envolvidos na busca de soluções e mais atenção às conclusões que delas podem ser extraídas. Como consequência, em muitas faculdades e universidades os cursos de equações diferenciais estão se tornando muito mais visuais, muito mais quantitativos e menos concentrados em fórmulas do que no passado.

A razão principal para resolver muitas equações diferenciais é procurar aprender algo a respeito do processo físico que a equação se propõe a representar.

A importância das equações diferenciais está no fato de que mesmo as equações mais simples correspondem a modelo físicos úteis, como por exemplo o decaímento de substâncias radioativas, o comportamento de sistemas de massas e molas e o comportamento de circuitos elétricos.

“Em nossa opinião o lápis e o papel deve ser combinado com o uso de computadores.”

“O professor deve decidir, à luz das circunstâncias em que se encontra, como tirar maior vantagem dos recursos computacionais; certamente só terá a lucrar com isto.”

Um outro aspecto do computador que é muito relevante para o estudo de equações diferenciais é a disponibilidade de programas muito poderosos e gerais que efetuam cálculos simbólicos e também numéricos. Entre eles estão Derive, Macsyma, Maple e Mathematica, que podem ser usados em diversos tipos de computadores pessoais ou estações. Entre outras coisas, estes programas podem efetuar, muitas vezes pela ação de um só comando, as operações analíticas envolvidas na resolução de muitas equações diferenciais. A utilização de manipuladores simbólicos, ou de sistema de álgebra computacional, ainda é relativamente nova, mas quem espera lidar com equações diferenciais em um nível não-elementar tem que se tornar familiar de pelo menos um programa de computação simbólica e saber explorar as formas de sua utilização.

Para o estudante, estes diversos recursos computacionais influenciam a maneira de estudo das equações diferenciais. É ainda essencial entender como os diversos métodos de solução operam, e este entendimento é alcançado, em partem pela resolução detalhada de um número suficiente de exemplos. Depois de um certo tempo, porém, o estudante deve planificar a atribuição da execução dos detalhes de rotina (muitas vezes repetitivos) a um computador, reservando tempo para dedicar maior atenção à formulação apropriada do problema e à interpretação da solução. Em particular, o estudante deve esforçar-se em combinar os métodos numéricos, gráficos e analíticos de modo a

conseguir o entendimento máximo do comportamento da solução e do processo subjacente à modelagem do problema. Na nossa opinião, o estudante deve sempre tentar utilizar o melhor instrumento disponível para cada tarefa, Em alguns casos, é o lápis e o papel. Em outros, o computador ou uma calculadora. Muitas vezes, a combinação ponderada de ambos é o melhor.

Dois pacotes de software largamente usados nos cursos de equações diferenciais são Maple e Mathematica.

PESQUISAR Os programas de computador para o estudo de equações diferenciais estão mudando depressa demais para que seja possível mencioná-los em um artigo (notas de aulas) como este. Informações atualizadas podem ser obtidas no site da Word Wide Web mantido pelo projeto C. ODE. E no endereço htpp://www.hmc.edu/~codee/home.html. Outra boa fonte são as seções Review e Computer Corner do The College Mathematics Jornal, publicado pela Associação Americana de Matemática.

PESQUISAR ESTES LIVROS: Os livros Differential Equations with Maple e Differential Equations with Mathematica, de K.R. Coombes, B.R. Hunt, R.L. Lipsman, J. E. Osborn e G. J. Stuck, todos da University of Maryland, estão disponíveis para aqueles que fazem uso desses pacotes.

COOMBES, K.R.; HUNT, B.R.; LIPSMAN, R.L. OSBORN, J. E. & STUCK, G. J., Differential Equations with Maple e Differential Equations with Mathematica. New York: Wiley, 1995.

NO BRASIL: EDOs VIA MAPLE

EDOs VIA MAPLE

Inicialmente, tentaremos dar uma perspectiva do estudo das equações diferenciais, estudo este que atraiu a atenção de muitos entre os maiores matemáticos nos últimos três séculos. Não obstante, continua a ser um campo dinâmico de investigação, com muitas questões interessantes ainda em aberto.

Experimentando o software de computação algébrica MAPLE na introdução às EDO.

Um outro aspecto do computador que é muito relevante para o estudo de equações diferencias é a disponibilidade de programas muito poderosos e gerais que efetuam cálculos simbólicos e também numéricos, como por exemplo o Maple.

BRONSON. Richard. Moderna introdução às equações diferenciais. tradução de Alfredo Alves de Farias, revisão técnica Roberto Romano. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1977.

Nos últimos 20 (vinte) anos verificou-se acentuado desenvolvimento no campo das equações diferenciais. O advento dos computadores de alta velocidade tornou viável a resolução de equações por métodos numéricos, resultando em toda uma gama de métodos novos. O tratamento, pelos processos computacionais, de inúmeros problemas de engenharia atual presta-se tanto aos métodos matriciais como aos métodos da transformada de Laplace.

VER LIVRO DO ZILL E O BOYCE DIPRIMA

RESOLUÇÃO DE EDOs UTILIZANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

EDOs de Primeira Ordem – Modelo Geral: com

Tomando a equação:

(1)

Aplicando a transformada de Laplace e o teorema da linearidade das transformadas, temos:

(2)

Por outro lado, sabemos que a transformada de Laplace para a derivada é dada por:

(3)

Substituindo a equação (3) na equação (2), temos:

(4)

Desenvolvendo,

(5)

Finalmente, isolando vamos a:

(5)

Após determinarmos uma função em s, devemos determinar a transformada inversa de Laplace, feito isto teremos resolvido a EDO de primeira ordem.

A seguir, tem-se o programa escrito no software Maple (versão 10) para a solução de EDOs de primeira ordem utilizando a transformada de Laplace, sendo necessário para isto que o usuário informa os valores solicitados, ou seja, os valores de a, b, c0 e f(x).

Programa – EDOs de Primeira Ordem – Modelo Geral: a*y' + b*y = f(x) com y(0) = c0

> restart:Ex 1> a:=1; := a 1> b:=-7; := b -7> c0:=3; := c0 3> f_x:=0;# INFORME A FUNÇÃO A SER TRANSFORMADA := f_x 0> with(inttrans):# CARREGA O PACOTE DE EDOs> L_f_x:=laplace(f_x,x,s); # CALCULANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

:= L_f_x 0

> L_Y:=c0/(a*s+b)+L_f_x/(a*s+b); := L_Y3s 7

> y=invlaplace(L_Y,s,x); # CALCULANDO A FUNÇÃO INVERSA DE LAPLACEy 3 e ( )7 x

Programa – EDOs de Primeira Ordem – Modelo Geral: a*y' + b*y = f(x) com y(0) = c0

> restart:Ex 2> a:=1; := a 1> b:=-2; := b -2> c0:=0; := c0 0> f_x:=3*exp(2*x);# INFORME A FUNÇÃO A SER TRANSFORMADA := f_x 3 e ( )2 x

> with(inttrans):# CARREGA O PACOTE DE EDOs> L_f_x:=laplace(f_x,x,s); # CALCULANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

:= L_f_x3s 2

> L_Y:=c0/(a*s+b)+L_f_x/(a*s+b); := L_Y3

( )s 2 2

> y=invlaplace(L_Y,s,x); # CALCULANDO A FUNÇÃO INVERSA DE LAPLACEy 3 x e ( )2 x

Equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes

O procedimento utilizado na equação diferencial de primeira ordem pode ser aplicado à equação diferencial linear de segunda ordem, geral, com os coeficientes constantes.

(01)

Com a hipótese de a solução obedecer às condições do teorema (corolário), com , podemos tomar a transformada da equação (01) e conseguir assim,

(02)

ou melhor

(03)

onde: é a transformação de e )(sY é a transformada de

Pela resolução da equação (03), em , encontramos:

(04)

O problema é então resolvido desde que possamos encontrar a função cuja transformada seja )(sY .

A seguir, tem-se o programa escrito no software Maple (versão 10) para a solução de EDOs de primeira ordem utilizando a transformada de Laplace, sendo necessário para isto que o usuário informa os valores solicitados, ou seja, os valor de a, b, c, f(x), c0 e c1.

Programa

EDOs DE SEGUNDA ORDEM => Modelo Geral: a*y'' + b*y' + c*y = f(x) com y(0) = c0 e y'(0) = c1> restart:> a:=1; := a 1> b:=2; := b 2> c:=5; := c 5> f_x:=3*exp(-2*x);# INFORME A FUNÇÃO A SER TRANSFORMADA (2.o membro)

:= f_x 3 e( ) 2 x

> c0:=1; := c0 1> c1:=1; := c1 1> with(inttrans):# CARREGA O PACOTE DE EDOs> L_f_x:=laplace(f_x,x,s); # CALCULANDO A TRANSFORMADA DE LAPLACE

:= L_f_x3s 2

> L_Y_s:=((a*s+b)*c0+a*c1)/(a*s^2+b*s+c)+L_f_x/(a*s^2+b*s+c);

:= L_Y_s s 3

s2 2 s 53

( )s 2 ( ) s2 2 s 5

> L_Y_s:=simplify(((a*s+b)*c0+a*c1)/(a*s^2+b*s+c)+L_f_x/(a*s^2+b*s+c));

:= L_Y_s s2 5 s 9

( )s 2 ( ) s2 2 s 5

> y=invlaplace(L_Y_s,s,x); # CALCULANDO A FUNÇÃO INVERSA DE LAPLACE

y 35 e

( ) 2 x 110 e

( ) x( )4 ( )cos 2 x 13 ( )sin 2 x

Experimentando o Software de Computação Algébrica MAPLE na Introdução às EDPs

A seguir, apenas a título de ilustração, veremos uma aplicação das EDPs: a equação de Laplace ou equação harmônica, aplicada ao fluxo de calor.

Sabe-se que a equação que rege o fluxo de calor é dada por:

onde é a temperatura em um ponto e no instante de tempo e é uma constante característica do material de que é feita a placa.

No equilíbrio térmico não varia com o tempo e, portanto, . Desta forma, a equação se torna:

De forma análoga, para o (tridimensional ou 3 variáveis), temos: .

Definição:

Uma função diz-se harmônica quando satisfaz à equação de Laplace: .

Uma função diz-se harmônica quando satisfaz à equação de Laplace:

.

Nota: Essas equações são exemplos de equações diferenciais parciais (conhecidas como EDP, e de grande aplicabilidade).

A equação , pode aparecer em problemas de eletricidade, calor,

aerodinâmica, teoria do potencial e em muitos outros campos.

Por outro lado, a equação aparece na teoria da condução, bem como na

difusão de nêutrons em uma pilha atômica para a produção de energia nuclear.

E ainda, a equação aparece no estudo de vibração de cordas ou fios, bem como na

propagação de sinais elétricos.

Exemplos:1) Verifique que a função é harmônica. Solução:

(c.q.d)

2) Verifique que a função é harmônica. Solução:

(c.q.d)

3) Verifique que a função é harmônica. Solução:Observe que este exemplo é a soma dos exemplos 1 e 2, assim, de forma direta, temos:

(c.q.d)

Nota: A derivada de uma função harmônica é uma função harmônica. Da mesma forma, a soma de funções harmônicas é uma função harmônica.

4) Se tem derivadas parciais de 2a ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace

, ela é dita uma função harmônica. Verificar se as funções dadas são harmônicas:

a) b) c) Resposta: a) Sim b) Não c) Sim

A seguir, tem-se a rotina implementada no software de computação algébrica MAPLE para determinar se uma função dada é função harmônica.

BREVE REFERENCIAL TEÓRICO:Se Z = f(x, y) tem derivadas parciais de 2.a ordem contínuas e satisfaz a equação de Laplace: Zxx + Zyy = 0, ela é dita uma função harmônica.Onde: - Z = f(x, y): função a ser analisada - Zx: 1.a derivada de Z em relação a x; Zy: 1.a derivada de Z em relação a y- Zxx: 2.a derivada de Z em relação a x; Zyy: 2.a derivada de Z em relação a y Programa> restart:> Z:=y^3-3*x^2*y; # DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO A SER ANALISADA := Z y3 3 x2 y> # DERIVADAS DE 1.A ORDEM> Zx:=diff(Z,x); := Zx 6 x y> Zy:=diff(Z,y); := Zy 3 y2 3 x2

> # DERIVADAS DE 2.A ORDEM> Zxx:=diff(Zx,x); := Zxx 6 y> Zyy:=diff(Zy,y); := Zyy 6 y> if Zxx+Zyy=0 then print(À FUNÇÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) else print(À FUNÇÃO NÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, NÃO SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) fi;

A FUNÇÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE. Exemplo 01> restart:> Z:=exp(x)*sin(y)+exp(y)*cos(x); # DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO A SER ANALISADA := Z ex ( )sin y ey ( )cos x> # DERIVADAS DE 1.A ORDEM> Zx:=diff(Z,x); := Zx ex ( )sin y ey ( )sin x> Zy:=diff(Z,y); := Zy ex ( )cos y ey ( )cos x> # DERIVADAS DE 2.A ORDEM> Zxx:=diff(Zx,x); := Zxx ex ( )sin y ey ( )cos x> Zyy:=diff(Zy,y); := Zyy ex ( )sin y ey ( )cos x> if Zxx+Zyy=0 then print(À FUNÇÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) else print(À FUNÇÃO NÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, NÃO SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) fi;

A FUNÇÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE. Exemplo 02> restart:> Z:=x^2+2*x*y; # DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO A SER ANALISADA := Z x2 2 x y> # DERIVADAS DE 1.A ORDEM> Zx:=diff(Z,x); := Zx 2 x 2 y> Zy:=diff(Z,y); := Zy 2 x> # DERIVADAS DE 2.A ORDEM> Zxx:=diff(Zx,x); := Zxx 2> Zyy:=diff(Zy,y); := Zyy 0> if Zxx+Zyy=0 then print(À FUNÇÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) else print(À FUNÇÃO NÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, NÃO SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LAPLACE.`) fi;

A FUNÇÃO NÃO É HARMÔNICA, OU SEJA, NÃO SATISFAZ A EQUAÇÃO DE LA \PLACE.

PARTE DA APOSTILA DOS PROFESSORES ELAINE E DEVANIL (2006)

Muitos problemas de Matemática Aplicada normalmente podem ser modelados de acordo com as quatro situações (não muito bem definidos) como: Construção de um modelo para descrever algum fenômeno físico. Estabelecimento de um procedimento matemático adequado ao modelo físico. Realização de cálculos numéricos aproximados com o uso do Modelo Matemático preestabelecido. Comparação das quantidades numéricas obtidas através do Modelo Matemático com aquelas que

se esperava obter a partir da formulação do modelo criado para resolver o problema. Após estas etapas, costuma-se analisar os resultados e na verificação de que os mesmos estão adequados, aceita-se o modelo e na inadequação dos resultados, reformula-se o modelo, geralmente introduzindo maiores controles sobre as variáveis importantes, retirando-se os controles sobre as variáveis que não mostraram importância.

A seguir daremos alguns exemplos de equações diferenciais e as diversas áreas onde elas aparecem. O exame dessas equações por matemáticos teóricos, matemáticos aplicados, físicos teóricos, químicos, engenheiros e outros cientistas através dos anos levou á conclusão que existem certos métodos definidos, através dos quais estas equações podem ser resolvidas. Entretanto, a despeito de tudo que é conhecido, muitas equações permanecem insolúveis. Algumas delas de grande importância.

Exemplos – Aplicações:

1) . Famosa em mecânica e aparece no estudo de movimento harmônico simples e também

no estudo das pequenas oscilações de um pêndulo simples. Ela poderá, entretanto, aparecer em muitas outras situações.

2) . Esta equação aparece em mecânica, calor, eletricidade, aerodinâmica e em

muitos outros campos de estudos.

3) . Aparece em problemas de vôos de foguetes.

4) . É uma equação importante em engenharia civil na teoria de deflexão de vigas curvas.5) . Aparece no estudo de problemas sobre suspensão de cabos.

6) . Pode aparecer em problemas de eletricidade, calor, aerodinâmica, teoria do

potencial e em muitos outros campos

7) Aparece na teoria da condução, bem como na difusão de nêutrons em uma

pilha atômica para a produção de energia nuclear.

8) . Aparece no estudo de vibração de cordas ou fios, bem como na propagação de sinais

elétricos.

9) . É famosa na teoria de análise de forças ou pressões.

O MODELO MALTHUSIANO PARA O CRESCIMENTO DE UMA POPULAÇÃO(VER O MATERIAL DO ULISSES)

Neste exemplo vamos estudar alguns modelos bem simples que tratam da dinâmica de uma população. Os modelos que vamos analisar são obtidos fornecendo a taxa de crescimento da população. A taxa de

crescimento de uma população p(t), em um instante t, é ( )dp t

dt .

O MODELO MALTHUSIANO

Supomos que a taxa de crescimento da população é constante e igual a k. Assim temos

( )dp t

dt k ( )p t . Este modelo e' bom para descrever a dinâmica de uma população de

microorganismos e em um intervalo limitado de tempo.

A equação que descreve a dinâmica da população é dada por:

> diff(p(t),t) = k*p(t); t ( )p t k ( )p t

A constante k é a medida que mostra como a população cresce por unidade de tempo. Se k = 0 então a população não cresce e se k<0 a população está decrescendo.

> populacao := %: subs(k=0,populacao); t ( )p t 0

Podemos utilizar Maple e "dsolve" para resolver a equação diferencial. Devemos especificar as

condições iniciais, i.e.,os valores de ( )p t e d ( )p t

dt em t 0 . Supomos que a população inicial

seja igual a P0..

> dsolve({%,p(0)=P0},p(t)); ( )p t P0

Como você pode ver, a solução é a curva constante. Isto significa que a população será sempre a mesma. Vamos plotar um gráfico de ( )p t contra o tempo para um particular P0 inicial = 0.1:

> subs(P0=0.1,%); ( )p t .1

O comando RIGHT-HAND copia o lado direito da equação, que é o que vamos plotar.

> rhs(%); .1

Usamos o comando "plot":

> plot(%,t=0..10);

Agora vamos experimentar para ver o que acontece se um pequeno número k, correspondendo a taxa de crescimento, for considerado.

> subs(k=1/10,populacao); t ( )p t

110 ( )p t

> soln := dsolve({%,p(0)=k},p(t)); := soln ( )p t k e ( )/1 10 t

Esta solução parece mais complicada do que quando k = 0. Vejamos o comportamento num gráfico com o valor de k=0.1.

> subs(k=0.1,soln); ( )p t .1 e ( )/1 10 t

Vamos tomar o lado direito para plotar.

> rhs(%); .1 e ( )/1 10 t

Agora o comando plot.

> plot(%,t=0..100);

Como você pode ver a população cresce exponencialmente.

Agoroa vamos tentar substituir um valor de k <0 na equação e então resolver e plotar o resultado.

> populacao := diff(p(t),t) = -k*p(t); := populacao t ( )p t k ( )p t

Se k= 1/10 temos a equação abaixo. Tente valores tais como 1/2, 1, 2, 3 e 4 no comando abaixo . Você nota alguma diferença sobre a solução para valores grandes de k?

> subs(k=1/10,populacao); t ( )p t

110 ( )p t

> soln := dsolve({%,p(0)=P0},p(t)); := soln ( )p t P0 e ( ) /1 10 t

> subs(P0=0.1,soln); ( )p t .1 e ( ) /1 10 t

> rhs(%); .1 e ( ) /1 10 t

> plot(%,t=0..100);

MODELO DE VERHULST

Não parece razoável ter numa população uma taxa de crescimento constante. O modelo Verhulst leva isto em conta, a taxa de crescimento proposto por ele é dp(t)/dt = (a-bp)p, onde a e b são constantes positivas. O modelo de Verhulst supõe que a taxa de crescimento decresce linearmente com a população. Este ainda não é um modelo ideal, pois não leva em conta que a taxa de produção de novos membros da espécie depende da idade dos pais, isto é, os novos membros não contribuem de imediato para o aumento da espécie.A equação que descreve a dinâmica da população neste modelo é dada por.> diff(p(t),t) = (a-b*p(t))*p(t);

t ( )p t ( )a b ( )p t ( )p t

> vpopulacao := %: subs(a=b+1,b=2,vpopulacao);

t ( )p t ( )3 2 ( )p t ( )p t

> subs(P0=200,%);

t ( )p t ( )3 2 ( )p t ( )p t

> dsolve({%,p(0)=200},p(t));Como você pode ver, a solução tem uma exponencial no denominador.

( )p t 31

2397200 e ( ) 3 t

> simplify(%);( )p t 600

1

400 397 e ( ) 3 t

O comando RIGHT-HAND copia o lado direito da equação, que é o que vamos plotar.> rhs(%);

6001

400 397 e ( ) 3 t

Vamos plotar um gráfico de p(t) contra o tempo para um particular P0 inicial = 200. Utilizamos o comando "plot":> plot(%,t=0..10);

O que acontece quando o tempo tende para o infinito? A população tende para uma população limite que é dada por a/b.> #restart;

ANEXO III – EXEMPLOS DE APLICAÇÕES

SÉRIE DE FOURIER – DESENVOLVIMENTO TEÓRICO E IMPLEMENTAÇÕES NO SOFTWARE DE COMPUTAÇÃO ALGÉBRICA MAPLE

1) Eletroencefalograma (Ondas cerebrais interpretadas por séries).

ELETROENCEFALOGRAMO – Ondas cerebrais interpretadas por séries

2) Variação do dólar???

3) Variação da bolsa de valores, gráfico do pregão???

CONFIGURAÇÃO INDICADA PARA O MICROSOFT EQUATION

Referências:

1. ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.I, 2000.

2. ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.II, 2000.

3. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5a ed. São Paulo: Makrow Books, 1992.

4. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas e Triplas. São Paulo: Makrow Books, 1999.

5. FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, B.G. Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, Integrais de Superfície. São Paulo: Makrow Books, 1999.

6. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. I, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

7. GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. II, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

8. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. III, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

9. GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. IV, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001

10. HOFFMANN, L.D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004.

11. LARSON, H.E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.

12. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, São Paulo: Harbra, 1986.

13. LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, São Paulo: Harbra, 1986.

14. MUNEN, F. Cálculo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.

15. MUNOZ RIVERA, J.E. Cálculo Diferencial e Integral I. Textos de Graduação. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Departamento de Matemática Aplicada e Computacional. Laboratório Nacional de Computação Científica. Petrópolis, Rio de Janeiro – Brasil, 2007.

16. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

17. RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A.S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982

18. SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987.

19. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 1994.

20. SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 1994.a

21. Site “E-calculo”. Disponível em: http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu. Acesso em: novembro 2007.

22. Site “Kit de sobrevivência em cálculo”. Disponível em: http://www. Acesso em: novembro 2007.

______________________________________Prof. Dr. Eng. José Donizetti de Lima

http://www./

http://www.cepa.if.usp.br/e-calculo/menu

Sugestão:

1) (0,5 ponto) Se f(x) = x3, então é igual a:

(A)0 (B) 1(C) x3

(D)3x2

(E)2) Segundo o Teorema do Valor Médio, se uma dada função f é contínua no intervalo fechado [a, b] e

derivável no intervalo aberto (a, b), existe um ponto c (a, b) tal que: Resposta:(A) f(b) – f(a) = f ’ (c) . (b – a)(B) f ’ (c) está entre f(a) e f(b)(C) f ’ (c) = 0(D) f(b) – f(a) = f ’ (c)

(E) f ’ (c) =

3) vale

(A) 1(B) 4(C) e

(D)

(E)

4) Dada a função F(x) = , a sua derivada F’(x) é:

(A) 1 - ex

(B) 1 – e-x

(C) – e-x

(D) e-x

(E) ex – 1

5) Uma curva é tal que a tangente em cada um de seus pontos é perpendicular à reta que liga o ponto à origem. A curva satisfaz, então, a equação diferencial:

(A)y’ = (B) y’ = (C) y’ = (D) y’ = (E) y’ =

6) O aluno de Licenciatura nem sempre se dá conta da relação entre o curso da Universidade e os temas que vai lecionar. A integral de Riemann, por exemplo, esclarece a definição de área. Tanto o cálculo da integral pode servir para o cálculo de áreas quanto vice-versa.

a) Esboce o gráfico de y = para 0

b) Calcule o valor da integral por meio de sua interpretação como área no plano,

recorrendo apenas à Geometria e à Trigonometria estudadas usualmente nos cursos Fundamental e Médio.

7) Em alguns livros didáticos de Matemática são apresentados resultados práticos (objetivos, segundo os autores), que colocam o aluno como um aplicador de fórmulas surgidas não se sabe de onde, e sem explicitar para o estudante a estrutura lógico-dedutiva da Matemática. Muitos desses livros apresentam, como uma receita mágica, a fórmula que resolve as equações quadráticas. Sendo a, b e c números reais tais que a 0 e b2 – 4ac > 0, demonstre que, se x é um real tal que:

ax2 + bx + c = 0, então x = ou x =

Nota: Lembre-se:

1) 2) (Função Ímpar)

3) (Função Par) 4) para 5) para

PERÍODOS?

Definição: Uma função f é periódica, com período p > 0, se o domínio de f contiver x + p sempre que x for nele contido, e se:

f(x + p) = f(x)

para qualquer valor de x.

Observação: Decorre imediatamente da definição que se p for um período de f, então 2p também é um período e na realidade qualquer múltiplo inteiro de p é um período. O menor valor de p para o qual f(x + p) = f(x) é o período fundamental de f. A propósito, deve-se observar que uma constante pode ser imaginada como uma função periódica com um período arbitrário, mas sem período fundamental.

Exemplos:

- O período das funções e é




and so on

Portanto, o período das funções e é

Dica: Se duplicar a velocidade de meu trabalho, terminarei o mesmo na metade do tempo, se triplico a velocidade gastarei a terça parte do tempo, o período das funções senos e cossenos seguem essa mesma lei (ou proporção).

PAR OU ÍMPAR?

Funções pares: Uma função f(x) é uma função par se para todo x pertencente ao domínio de f, tem-se: f(-x) = f(x).

Observe que as funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical (eixo OY).

Exemplos: 1) f(x) = x2 2) f(x) = x4 3) f(x) = cos (x)

Funções ímpares: Uma função f(x) é uma função ímpar se para todo x pertencente ao domínio de f, tem-se: f(-x) = -f(x).

Observe que as funções ímpares são simétricas em relação à origem (0, 0) do sistema de eixos cartesiano.

Exemplos: 1) f(x) = x 2) f(x) = x3 3) f(x) = sen (x)

Utilizando o software de computação algébrica Maple para calcular as principais integrais trigonométricas:

> Int(sin(x),x)=int(sin(x),x)+k; d

( )sin x x ( )cos x k

> Int(cos(x),x)=int(cos(x),x)+k; d

( )cos x x ( )sin x k

> Int(tan(x),x)=int(tan(x),x)+k; d

( )tan x x ( )ln ( )cos x k

> Int(cot(x),x)=int(cot(x),x)+k; d

( )cot x x ( )ln ( )sin x k

> Int(sec(x),x)=int(sec(x),x)+k; d

( )sec x x ( )ln ( )sec x ( )tan x k

> Int(csc(x),x)=int(csc(x),x)+k; d

( )csc x x ( )ln ( )csc x ( )cot x k

> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k; d ( )sec x 2 x

( )sin x( )cos x k

> Int((csc(x))^2,x)=int((csc(x))^2,x)+k; d ( )csc x 2 x

( )cos x( )sin x k

> Int(sec(x)*tan(x),x)=int(sec(x)*tan(x),x)+k; d

( )sec x ( )tan x x ( )sec x k

> Int(csc(x)*cot(x),x)=int(csc(x)*cot(x),x)+k; d

( )csc x ( )cot x x ( )csc x k

> Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;

d

( )sec x 3 x

12

( )sin x( )cos x 2

12 ( )ln ( )sec x ( )tan x k

> Int((csc(x))^3,x)=int((csc(x))^3,x)+k; d

( )csc x 3 x

12

( )cos x( )sin x 2

12 ( )ln ( )csc x ( )cot x k

GEOMETRIA PLANA

1) A área de um hexágono pode ser obtida através do cálculo da área de seis triângulos. Se o hexágono é regular, basta calcular a área de um dos triângulos e multiplicar o resultado por 6.

2) Para obter a área da região vermelha abaixo, basta encontrar a área do círculo e subtrair dela a área do quadrado.

3) Para obter a área da região vermelha, supondo que as ligações entre as quatro partes não têm espessura - isto é, são tão somente dois segmentos - precisaremos fazer algumas construções. Quais?

Inicialmente, quando possível devemos preparar a função dada para depois determinar a sua derivada ou integral.

, sendo a função toda positiva ou toda negativa

SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS DEFINIDAS

Sejam e funções tais que é contínua em e é contínua em tal que e Então:

Para efeito de cálculos, o teorema anterior pode ser pensado de maneira mais prática da seguinte forma. Diante de uma integral definida fazemos

A substituição dos termos

anteriores na integral definida mencionada resulta em

APS DE REVISÃO DE INTEGRAIS

Lista elaborada pela professora Ms. Marieli Musial Tumelero

Calcule as integrais a seguir:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)15) 16)17)18)19)

20)

21)22)

23)

24)25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)37)38)

39)

40)

41)

42)

RESPOSTAS, DICAS, SUGESTÕES E/OU SOLUÇÕES

1)

2)

3) ou

4)

5)

6)

7)

8)9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)21)

22)

23) =>

24)

25)

26)

27)28)29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

41) , depois substituição trigonométrica =>

42)

Digitada por Gabrielli Monzani de LimaReferências:

ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Cálculo. vol. 1. Tradução: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2002.

LEITHOLD, L. O cálculo com geometria analítica. Vol.1. 3a ed. São Paulo: Harbra, 1994.

LIMA, J. D. de. Apostila de Cálculo Diferencial e Integral I. UTFPR, Pato Branco, 2012.

STEWART, James. Cálculo. Vol. 2. 6a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.

SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com geometria analítica. Vol. 1. 2a ed. São Paulo: Makron Books do Brasil,1994.

THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 10. ed. São Paulo: Person, 2002.

APS DE REVISÃO DE INTEGRAIS

Lista elaborada pela professora Ms. Marieli Musial Tumelero

1) Calcule a área delimitada pelo eixo x e pela parábola y = 6 − x − x2.

2) Seja f(x) = sen x em [0, 2]. Determine:

(a) A integral definida de f(x) no intervalo [0, 2].

(b) A área entre o gráfico de f(x) e o eixo x no intervalo [0, 2].

3) Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o sólido formado pela rotação sob a

curva em torno do eixo x, onde x e y estão em cm. Determine o volume do tumor.

4) Determine o comprimento da curva y = ½(ex + e-x), 0 x 2.

5) Determine a área da região entre o eixo x e o gráfico de f(x) = x3 − x2 − 2x, sendo -1 x 2.

6) Determine a área da região compreendida entre a parábola y = 2 − x2 e a reta y = −x.

7) Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e pelas curvas dadas:

(a) y = x, y = 1, x = 0;

(b) y = x2 + 1, y = x + 3;

(c) y = sec x, y = , -/4 x /4.

8) Determine a área da região do primeiro quadrante que é limitada por y = , y = x − 2 e pelo eixo x.

9) Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x = 2/y e 2 x 4.

10) Determine a área comprendida entre as curvas x = 2y2, x = 0 e y = 3.

11) A região entre a curva y = , 0 x 4, e o eixo x gira em torno desse eixo para gerar um sólido. Determine seu volume.

12) Determine a área compreendida entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4x.

13) O círculo x2 + y2 = a2 é girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume.

14) Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno da reta y = 1, da região definida por y = e pelas retas y = 1 e x = 4.

15) A região limitada pelas curvas y = x2 + 1 e por y = −x + 3 determina um sólido quando girado em torno do eixo x. Determine o volume deste sólido.

16) Determine o comprimento da curva y = (x/2)2/3 de x = 0 a x = 2.

17) Calcule a área da região entre o gráfico da função f(x) = cos2 x e o eixo x de [0, 2].

18) Determine o volume do sólido obtido pela rotação de cada região em torno do eixo y:

(a) A região delimitada pelo triângulo com vértices em (1, 0), (2, 1) e (1, 1);

(b) A região, no primeiro quadrante, limitada pela parábola y = x2, pelo eixo x e pela reta x = 2.

19) Calcule a área da região entre o gráfico da função f(x) = sen2 x e o eixo x de [0, 2].

20) A região compreendida entre a parábola y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido. Determine o volume deste sólido.

21) Determine o comprimento das curvas:

(a) x = 1 − t, y = 2 + 3t, −2/3 t 1;

(b) y = x2, −1 x 2 ;

(c) x = cos t, y = t + sen t, 0 t ;

(d) x = t3, y = 3t2/2, 0 t ;

(e) x = 8cos t + 8t sen t, y = 8cos t − 8t sen t, 0 t /2.

22) Determine a área da região em forma de hélice compreendida entre a curva x − y3 = 0 e a reta x − y = 0.

23) Determine a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1/x2 e o eixo x.

RESPOSTAS, DICAS, SUGESTÕES E/OU SOLUÇÕES

4) Sugestão:

Lembre-se:

8)

10)

18) (a) (b)

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ELEMENTOS DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALpaginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti/APOSTILA_CDI_1_IN… · Web viewPRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS. Nesta tabela,