ELEMEntoS dE CArtogrAfÍA MAtEMátiCA y SU … · conceptos básicos, ... La disciplina de las proyecciones cartográficas -denominada carto- ... cuentra ligada con la topografía

ndash15Revista Geograacutefica de Ameacuterica Central Nordm 46

Centro de Investigaciones en Ciencias Geoloacutegicas (CICG) Observatorio del Desarrollo (OdD)Universidad de Costa Rica pabloramirezucraccr

Fecha de recepcioacuten 13 de agosto del 2010Fecha de aceptacioacuten 20 de octubre del 2010

Revista Geograacuteficade Ameacuterica Central Nordm 46

I Semestre 2011pp 15ndash36

ELEMEntoS dE CArtogrAfIacuteA MAtEMaacutetiCA y SU APLiCACiOacuten En LA ELABorACiOacuten dE LAS

CArtAS gEograacutefiCAS

Pablo Ramiacuterez Granados

rESUMEnEn este artiacuteculo se analizan algunos de los elementos baacutesicos de la cartografiacutea matemaacutetica partien-do de los aspectos generales como sistemas de coordenadas y superficies de referencia Se discuten ademaacutes los elementos cartograacuteficos sobre los esferoides los datums y la definicioacuten de los sistemas de coordenadas geograacuteficas asiacute como las transformaciones esferoidales Una vez establecidos los conceptos baacutesicos se discuten los aspectos fundamentales de la teoriacutea de las proyecciones carto-graacuteficas y sus principales caracteriacutesticas

Palabras claves Cartografiacutea matemaacutetica proyecciones esferoides datums sistemas de coorde-nadas

ABStrACtThis article analyzes some basic concepts about mathematical cartography from general aspects such as coordinate systems and reference surfaces The cartographic elements concerning sphe-roids datum and definitions of geographical coordinate systems are discussed as well as the sphe-roid transformations Based on these basic concepts the fundamental aspects of cartographic pro-jections theory and its main characteristics are discussed

Key words Mathematical cartography projections spheroids datum coordinate systems

16ndash Revista Geograacutefica de Ameacuterica Central Nordm 46

Pablo Ramiacuterez Granados Elementos de cartografiacutea matemaacutetica y su aplicacioacuten en la elaboracioacuten de las cartas geograacuteficas

1 introduccioacuten La estructura baacutesica de cualquier documento cartograacutefico es un sis-

tema de referencia que es definido como un reticulado o una cuadriacutecula y que tiene por objeto la ubicacioacuten geograacutefica de los datos espaciales ya sea en coordenadas geograacuteficas o en coordenadas proyectadas

La elaboracioacuten de un sistema de proyeccioacuten ha sido uno de los temas maacutes interesantes en la ciencia geograacutefica (Snyder 1993) ya que involucra lo esencial de la cartografiacutea la representacioacuten de la Tierra en una super-ficie plana un mapa o carta lo cual conlleva a la utilizacioacuten de ciertas superficies desarrollables de los cuerpos requeridos para modelar matemaacute-ticamente la Tierra es decir la esfera o el esferoide conservando seguacuten sea el caso las aacutereas las formas las direcciones o los aacutengulos lo cual depende del propoacutesito especiacutefico de la carta geograacutefica (Bugayevskiy amp Snyder 1995) Como consecuencia de esto se han creado a lo largo de la historia muchas proyecciones entre las que se pueden citar la Proyeccioacuten de Mercator la Transversal de Mercator la Ciliacutendrica Equidistante la de Cassini la de Albers la Conforme de Lambert la de Bonne entre otras

La disciplina de las proyecciones cartograacuteficas -denominada carto-grafiacutea matemaacutetica- tiene muchas interrelaciones con otras disciplinas especialmente con geografiacutea y matemaacutetica (Snyder amp Steward 1997 Feeman 2000) lo cual ha sido de gran importancia pues constituye el elemento cientiacutefico y teacutecnico para la elaboracioacuten de mapas que seraacuten fuente primaria para el desarrollo de otras disciplinas Pese a dicha im-portancia muchos geoacutegrafos han dejado de lado este conocimiento y desatienden las bases matemaacuteticas suficientes para entenderlo (Feeman 2000) aseveracioacuten que se puede constatar en el acaecer de la academia y la investigacioacuten en Costa Rica donde no hay debate ni discusioacuten en lo relativo a esta materia

El presente trabajo sirve como una introduccioacuten a la teoriacutea de las proyecciones cartograacuteficas o cartografiacutea matemaacutetica con el fin de retro-traer el tema y someterlo al conocimiento de acadeacutemicos profesionales y estudiantes para asiacute rescatarlo y revisar la importancia de su comprensioacuten aunado a su utilidad para la creacioacuten de las cartas geograacuteficas temaacuteticas que hoy son ampliamente usadas en los Sistemas de Informacioacuten Geograacute-fica (SIG) y en la Teledeteccioacuten



El artiacuteculo que aquiacute se presenta forma parte del proyecto Nordm 830 ndash A9 ndash 159 Anaacutelisis y Sistema de Informacioacuten Geograacutefica aplicado a la Hidrogeologiacutea de Costa Rica del Centro de Investigaciones en Ciencias Geoloacutegicas de la Universidad de Costa Rica

Este trabajo estaacute dedicado a dos estimados colegas Aacutelvaro Burgos y Eduardo Bedoya quienes me incentivaron a trabajar e investigar en el aacuterea de proyecciones datums y esferoides impulsaacutendome a buscar y aprender sobre la disciplina de la geografiacutea matemaacutetica muy descuidada por los geoacutegrafos actuales

2 Aspectos generalesEl estudio de las proyecciones escalas y sus variaciones le con-

cierne a la cartografiacutea matemaacutetica tambieacuten llamada geografiacutea matemaacutetica (Snyder 1987 Feeman 2000) que ademaacutes de hacer uso de mediciones geodeacutesicas busca desarrollar meacutetodos graacuteficos para la resolucioacuten de pro-blemas de trigonometriacutea esfeacuterica astronomiacutea y navegacioacuten (Bugayevskiy amp Snyder 1995 Yang Snyder amp Tobler 2000)

El estudio y el anaacutelisis de proyecciones involucra conocimientos de geometriacutea diferencial y variable compleja (Pearson 1990 Maling 1993 Bugayevskiy amp Snyder 1995 Yang Snyder amp Tobler 2000 Herrera 2000 Grafarend amp Krumm 2006 Fenna 2007) estos a su vez se basan en dis-tintos meacutetodos matemaacuteticos como el caacutelculo de varias variables (Allan 2004) Wilson amp Kirkby (1975) Allan (2004) y Fenna (2007) ofrecen al geoacutegrafo interesado en estas temaacuteticas aproximaciones didaacutecticas y apli-cadas al anaacutelisis matemaacutetico en cartografiacutea Para un mayor acercamiento a los meacutetodos matemaacuteticos el lector puede consultar las excelentes obras de Spiegel (1988) Spiegel (2001) Ayres amp Mendelson (2001) Marsden amp Tromba (1991) Burden amp Faires (2002) Amazigo amp Rubenfeld (1980) entre otras En la obra de Grafarend amp Krumm (2006) el lector podraacute en-contrar demostraciones matemaacuteticas de las proyecciones partiendo de los conocimientos de geometriacutea diferencial y matemaacuteticas superiores

3 Las superficies de referencia y los sistemas de coordenadasLa ciencia que estudia el aacuterea concerniente a la forma y el tamantildeo

de la Tierra en un sentido geomeacutetrico asociada ademaacutes con el estudio de



ciertos fenoacutemenos fiacutesicos tales como la gravedad se denomina geodesia (Pearson 1990 Maling 1993 Feeman 2002 Fenna 2007) Esta se en-cuentra ligada con la topografiacutea y la cartografiacutea y es indispensable si se requiere la creacioacuten de mapas de la superficie terrestre La Tierra es un cuerpo cercano a la esfericidad aunque presenta grandes irregularidades creadas por las masas de tierra y mar las grandes elevaciones y depresio-nes las montantildeas y los valles Su radio aproximado es de 6 371 km con variaciones de relieve que van desde menos de 9 km sobre el nivel del mar hasta un poco maacutes de 11 km bajo el mismo nivel (Maling 1993 Iliffe amp Lott 2008) para ejemplicar tan solo los extremos en altitud y en profun-didad el monte Everest y la fosa de las Marianas

La Tierra tiene una superficie natural que es complicada esta se lla-ma geoide (Maling 1993 Iliffe amp Lott 2008) y como se mencionoacute an-tes presenta muchas irregularidades Para favorecer la elaboracioacuten de las cartas geograacuteficas en cartografiacutea se utilizan dos cuerpos para modelar la superficie de la Tierra el primero es la esfera y el segundo el esferoide (Snyder 1987) ambos se aproximan a la superficie natural de la Tierra en su forma total especialmente la curvatura general La esfera se usa en car-tografiacutea para mapas de escala pequentildea donde el achatamiento de la Tierra es frecuentemente despreciable y esta es vista como una esfera con un radio particular (Yang Snyder amp Tobler 2000) Asimismo en el caso de la cartografiacutea en Costa Rica la superficie que se analiza corresponde con el elipsoide (Presidencia de la Repuacuteblica Ministerio de Justicia amp Ministerio de Obras Puacuteblicas y Transportes 2007)

Un elipsoide es una figura derivada de la elipse en las secciones coacutenicas (Allan 2004) tiene una serie de propiedades matemaacuteticas impor-tantes con aplicacioacuten directa en la construccioacuten de las diferentes proyec-ciones Algunas de estas caracteriacutesticas son las distancias focales el radio de curvatura de la elipse la longitud de la normal a la elipse la longitud de un arco en la elipse entre otras Allan (2004) y Pearson (1990) ofrecen un mayor detalle de estos y otros paraacutemetros en la elaboracioacuten de las cartas geograacuteficas En un elipsoide o esferoide se pueden diferenciar dos paraacuteme-tros fundamentales los semiejes (figura 1)



figura 1 Paraacutemetros del elipsoide se aprecian los semiejes a y b

A partir de ellos se pueden distinguir dos paraacutemetros especiacuteficos

a-bf = ______ (1)

a

a2-b2

e2 = ______ (2)a2

Dondef = achatamientoe = excentricidada = semieje mayorb = semieje menor

A partir de estos dos paraacutemetros es posible establecer dos derivacio-nes adicionales

e2 = 2f - f2 (3)

b1 - e2 = (1 - f) = ___ (4)

a

De esta manera un elipsoide puede ser completamente definido usando los paraacutemetros a y b o aquellos derivados de estos (ecuaciones 2 3 y 4)



Para la esfera y el esferoide debe definirse un sistema de coorde-nadas que pueda ser adecuado para ambas figuras estas coordenadas se definen a continuacioacuten

bull Latitud el aacutengulo norte o sur desde el plano ecuatorial

figura 2 Definicioacuten de latitud con respecto a la esfera (la misma definicioacuten se mantiene para el esferoide)

bull Longitud el aacutengulo este u oeste desde un meridiano especiacutefico

figura 3 Definicioacuten de longitud con respecto a la esfera (la misma definicioacuten se mantiene para el esferoide)



bull Elevacioacuten una distancia sobre la superficie de la esfera

La definicioacuten de latitud es natural pues estaacute definida fiacutesicamente por el ecuador en tanto la definicioacuten de longitud es en cierta medida arbitra-ria sin razones fiacutesicas para escoger un meridiano particular (Iliffe amp Lott 2008) Un aspecto importante son los conceptos derivados de los teacuterminos de latitud y longitud

bull Paralelos liacuteneas de la superficie de la esfera o elipsoide paralelas al ecuador Estas liacuteneas son de igual latitud

bull Meridianos liacuteneas en la superficie de la esfera recorriendo de polo a polo Estas son liacuteneas de igual longitud

Los paralelos y los meridianos se intersecan en 90deg y el conjunto de paralelos y meridianos es referido como cuadriacutecula Cabe recordar que en cartografiacutea matemaacutetica se definen algunos otros teacuterminos muy semejantes como lo son la latitud y la longitud astronoacutemica la latitud y la longitud geodeacutesica ademaacutes de la latitud y la longitud isomeacutetrica Estas definiciones y su utilizacioacuten pueden ser consultadas en Snyder (1987) Bugayevskiy amp Snyder (1995) Yang Snyder amp Tobler (2000) Hernaacutendez (2000) y Fen-na (2007) Ademaacutes hay que considerar que en la cartografiacutea moderna se debe tomar en cuenta el uso de sistemas de coordenadas geoceacutentricas cartesianas al utilizar observaciones satelitales (Iliffe amp Lott 2008) Las transformaciones entre coordenadas elipsoidales y geoceacutentricas se pueden dar de la siguiente manera

X = (v + h) cos cos n (5)

Y = (v + h) cos cos n (6)

Z = (1 - e2) v + f sen (7)

= es la latitud norte positivom = es la longitud este positivoh = es la elevacioacuten elipsoidal (la elevacioacuten sobre la superficie elipsoidal)v = es el radio de curvatura del elipsoide



El caacutelculo inverso es tambieacuten posible en el cual las coordenadas elipsoidales son encontradas a partir de las coordenadas geoceacutentricas car-tesianas

Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)

a y b son los semiejes mayor y menor respectivamente

p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2

El geoide corresponde con la figura real de la Tierra considerando sus caracteriacutesticas fiacutesicas en tanto la esfera y el esferoide son los mo-delos o superficies utilizados en cartografiacutea para mapear la superficie de la Tierra Existe un factor que relaciona ambos conceptos y es el datum Un datum es un paraacutemetro cartograacutefico requerido para fijar un sistema de coordenadas a un objeto para fines cartograacuteficos ese objeto es la Tierra (Iliffe amp Lott 2008) aunque es aplicable para cualquier cuerpo celeste La relacioacuten entre el geoide y el esferoide se visualiza de la siguiente manera



figura 4 Datum global mostrando la relacioacuten del elipsoide y del geoide

Sin embargo un datum global no siempre es el adecuado para cierta regioacuten lo cual obliga a realizar una modificacioacuten del mismo esto se hace mediante varias transformaciones las cuales seraacuten expuestas maacutes adelan-te El cambio del datum global lleva a lo que se denomina datum local

figura 5 Datum local donde se muestran diferentes fijaciones del elipsoide a puntos en el geoide



El cambio de coordenadas entre sistemas de coordenadas basadas en diferentes datums implica ciertas transformaciones Existen dos tipos de operaciones matemaacuteticas

bull Conversioacuten la cual excluye cualquier cambio de datumbull Transformacioacuten incluye un cambio de datum

Esta distincioacuten entre ambas operaciones es uacutetil pues permite enfati-zar la importancia de los datums en los procesos de transformacioacuten carto-graacutefica (Iliffe amp Lott 2008) A continuacioacuten se examinaraacuten los meacutetodos de transformacioacuten entre sistemas de coordenadas geoceacutentricos

bull Transformacioacuten de Tres Paraacutemetros Es el maacutes simple de los meacute-todos de transformacioacuten y se usa como una primera aproximacioacuten (Iliffe amp Lott 2008)

(14)

DX DY y DZ = son los paraacutemetros geoceacutentricos para la traslacioacuten del origen al destino

bull Transformacioacuten de Siete Paraacutemetros Las traslaciones requeridas a lo largo de los tres ejes geoceacutentricos pueden contabilizar cientos de metros hasta un kiloacutemetro en casos extremos (Iliffe amp Lott 2008) Esto generalmente cuenta para grandes cambios cuando ocurre una transformacioacuten de un sistema a otro El Meacutetodo de Tres Paraacutemetros no toma en cuenta la desalineacioacuten de los ejes que resultariacutea en cada sistema haciendo una realizacioacuten diferente del eje de giro ni tampoco el efecto de la propagacioacuten de diferentes longitudes estaacuten-dar De esta manera se utiliza una transformacioacuten maacutes precisa que cuenta y permite las rotaciones tridimensionales entre los sistemas de coordenadas



(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)

Donde cada una de las matrices de rotacioacuten r indica una rotacioacuten positiva o negativa sobre el eje Z respectivamente Estas transformacio-nes tambieacuten son conocidas como las Transformaciones de Bursa-Wolf

bull Transformacioacuten de Diez Paraacutemetros Se puede decir que si bien la Transformacioacuten de Siete Paraacutemetros es maacutes precisa esta se halla sujeta a la geometriacutea de la situacioacuten especiacutefica Iliffe amp Lott (2008) discuten con mayor detalle estos aspectos de la geometriacutea Un meacute-todo alternativo que puede ser usado para solventar esta situacioacuten lo constituye el Meacutetodo de Diez Paraacutemetros el cual se define de la siguiente manera

(18)

X0 Y0 y Z0 = son las coordenadas de un punto en el centro del aacuterea de estudio (origen)



Cuando la matriz de rotacioacuten usa la convencioacuten de la ecuacioacuten 17 este meacutetodo se conoce como Molodensky-Badekas (Iliffe amp Lott 2008)

Con respecto a las transformaciones entre sistemas de coordenadas geograacuteficas se puede mencionar el siguiente meacutetodo

bull Meacutetodo de Molodensky Se entiende por un conjunto de ecua-ciones para transformar un conjunto de coordenadas elipsoidales a otro Los cambios en latitud longitud y elevacioacuten elipsoidal Δφ Δλ y Δh se agregan a las coordenadas de origen para llegar al sistema de coordenadas de destino

(19)

Una vez establecidos y discutidos algunos de los conceptos de esfe-roide y datum en suma con sus meacutetodos de transformacioacuten es necesario comenzar con lo referente a las proyecciones geograacuteficas y sus conceptos maacutes importantes

El sistema de coordenadas de referencia en la creacioacuten de las cartas geograacuteficas es un conjunto de coordenadas relacionadas con un datum par-ticular De esta manera se hace necesario considerar coacutemo organizar los datos de manera tal que se pueda construir una superficie plana es decir un mapa Existen dos importantes razones para ello la presentacioacuten de los datos como un documento de uso praacutectico en papel o digital (bidimensio-nal) y la facilidad de guiarse en un espacio bidimensional (mapa) que en un espacio tridimensional (esferoide o esfera)

Una proyeccioacuten se define como un sistema ordenado de meridianos y paralelos en una superficie plana (Pearson 1990 Maling 1993 Iliffe amp Lott 2008) Esta definicioacuten conlleva a la certeza de que es imposible convertir una esfera o un elipsoide en una superficie plana sin que ocu-rra en el proceso una distorsioacuten o corte de esta manera llega a la pro-yeccioacuten Los conceptos de distorsioacuten estaacuten asociados a varios aspectos como lo son la elipse de distorsioacuten tambieacuten conocida como Indicatriz de Tissot (Maling 1993 Feeman 2000) la escala areal y la deformacioacuten angular (Maling 1993)



Existen algunos conceptos fundamentales que es conveniente intro-ducir antes de definir los aspectos matemaacuteticos en la construccioacuten de las proyecciones (Snyder 1987 Maling 1993 Fenna 2007 Iliffe amp Lott 2008) los cuales procederemos a mencionar de manera inmediata

4 grilla y cuadriacuteculaEl conjunto de paralelos y meridianos que aparecen en el mapa se

conocen como cuadriacutecula siendo en algunos casos no mostrada graacutefica-mente en su totalidad y en otros aparece en las esquinas y como marcas dentro del documento cartograacutefico como informacioacuten marginal (Ma-ling 1993 Fenna 2007 Iliffe amp Lott 2008) La cuadriacutecula no se con-sidera la base del sistema de coordenadas del mapa para los diferentes propoacutesitos computacionales en su lugar existe un sistema de referencia conocido como grilla que se encuentra sobrepuesto en el mapa y estaacute dado en coordenadas x y las cuales son denominadas este (E) y norte (N) frecuentemente

5 factor de escalaLas caracteriacutesticas de la superficie terrestre son sometidas a distor-

siones cuando son proyectadas en un plano Una manera de evaluar la distorsioacuten es utilizando la siguiente ecuacioacuten

Dist proyeccioacutenK = _________________ (20)

Dist elipsoide

Este paraacutemetro es diferente en cada proyeccioacuten y no estaacute relaciona-do con la escala del mapa El valor ideal del factor de escala es 1 lo cual indica que no hay distorsioacuten aunque debe aclararse que una distorsioacuten no es un error en el mapa

6 Superficies desarrollablesHistoacutericamente las proyecciones fueron derivadas al proyectar un

elipsoide o esfera en una superficie intermedia estas superficies se cono-cen en cartografiacutea como superficies desarrollables (figura 6) en el sentido



de que se pueden desplegar en forma de plana como los mapas en contra-posicioacuten evidente con la figura del planeta (esfera o elipsoide) que es una figura no desarrollable

figura 6 Superficies desarrollables para un elipsoide o una esfera

Estas figuras o superficies desarrollables aluden al origen graacutefico correspondiente al planeta pero realmente son estrictas expresiones mate-maacuteticas Entonces es posible derivar un conjunto de foacutermulas con el fin de convertir coordenadas geograacuteficas en coordenadas de grilla en teacuterminos estrictamente matemaacuteticos expuestos a continuacioacuten

(E N) = f ( m) (21)

La foacutermula anterior expresa coacutemo las coordenadas de grilla estaacuten en funcioacuten de las coordenadas geograacuteficas de latitud (φ) y de longitud (λ)

7 Caracteriacutesticas de preservacioacutenUna vez seleccionada la superficie desarrollable el siguiente paso

es sugerir las reglas para la transformacioacuten de las coordenadas desde la esfera o esferoide Teoacutericamente existen un sinnuacutemero de ellas asiacute que la escogencia dependeraacute del propoacutesito de la proyeccioacuten Debe recordarse que no es posible obtener una proyeccioacuten sin que haya alguacuten tipo de distorsioacuten La forma aacuterea y tamantildeo de las caracteriacutesticas de la superficie en la esfera o esferoide seraacuten diferentes cuando son proyectadas Lo usual en cartogra-



fiacutea matemaacutetica es preservar una de estas caracteriacutesticas a expensas de las otras (Pearson 1990 Maling 1993 Bugayevskiy amp Snyder 1995 Yang Snyder amp Tobler 2000 Iliffe amp Lott 2008)

Podriacutea requerirse que ciertas distancias medidas en el esferoide o en la esfera puedan mantenerse sin distorsioacuten en el documento cartograacutefico a traveacutes de la proyeccioacuten Es obvio que no es posible preservar todas las distancias sin embargo se puede lograr que todas las distancias en los meridianos aparezcan sin distorsioacuten Esto se puede ver en la relacioacuten del factor de escala a lo largo de un meridiano que sea igual a 1 (km = 1) mos-trado en la figura 7

figura 7 Proyeccioacuten de una unidad cuadrada preservando las dis-tancias a lo largo de un meridiano

Una proyeccioacuten que ejecute esta relacioacuten es llamada proyeccioacuten equidistante donde es notable que el factor de escala a lo largo de los paralelos (kp) es diferente de 1 ocasionando de esta manera que tanto la forma como el aacuterea hayan sido modificadas

Otra alternativa de proyeccioacuten es aquella que obliga a preservar el aacuterea (figura 8) y que es nombrada como proyeccioacuten equivalente o equiaacuterea



figura 8 Proyeccioacuten de una unidad cuadrada preservando el aacuterea

En este caso la relacioacuten del factor de escala es (kmkp = 1) que el aacuterea de la unidad cuadrada proyectada se mantiene igual a 1

Otra opcioacuten de proyeccioacuten es aquella en la cual se preserva la forma y es conocida como ortomoacuterfica o maacutes comuacutenmente como proyeccioacuten conforme la cual mantiene una relacioacuten de factor de escala (km = kp) donde se preserva la forma al mantener los aacutengulos (figura 9)

figura 9 Proyeccioacuten de una unidad cuadrada preservando la forma

Al preservar el aacuterea una proyeccioacuten conforme u ortomoacuterfica estaacute preservando tambieacuten los aacutengulos a diferencia de las proyecciones equi-distante y equivalente Esto justifica el porqueacute las proyecciones conformes



son de gran significancia en catastro y agrimensura ya que los aacutengulos medidos en campo pueden ser transferidos a la proyeccioacuten por medio de caacutelculos

8 Proyecciones acimutalesPara las proyecciones acimutales los paralelos son representados

por ciacuterculos conceacutentricos en tanto los meridianos son representados por liacuteneas rectas pasando a traveacutes del centro de los ciacuterculos en aacutengulos igua-les a la diferencia entre las correspondientes longitudes de los meridianos En concordancia con esta definicioacuten las ecuaciones generales pueden ser descritas de la siguiente manera

x = t sen a (22)

y = t cos a (23)

t = f (z) a z = aacutengulos esferoidales

Las proyecciones acimutales son generalmente usadas para disentildear mapas de pequentildea escala siendo en este caso la Tierra (u otro cuerpo) to-mada como una esfera El polo del sistema de coordenada es usado como polo geograacutefico para el aspecto normal o polar

9 Proyecciones ciliacutendricasLa cuadriacutecula normal de las proyecciones ciliacutendricas tiene una forma

simple los meridianos son representados por liacuteneas paralelas igualmente espaciadas y los paralelos son liacuteneas ortogonales a los meridianos Pueden ser conformes equivalentes o en algunos casos equidistantes es asiacute que la superficie seraacute mapeada mediante una proyeccioacuten ciliacutendrica adquiriendo la forma de un elipsoide o esfera Las direcciones baacutesicas coinciden con los paralelos y los meridianos por lo tanto las escalas a lo largo de me-ridianos y paralelos son los valores extremos para cada punto Las ecua-ciones generales para las proyecciones ciliacutendricas elipsoidales normales tienen la siguiente forma



x = bn (24)

y = f (z) (25)

b = radio de los paralelos estaacutendarz = latitud m = longitud

10 Proyecciones coacutenicasLas proyecciones coacutenicas en su aspecto normal son proyecciones

en las cuales los paralelos son representados por arcos de ciacuterculos con-ceacutentricos y los meridianos por un conjunto de liacuteneas rectas dibujadas desde el centro de los ciacuterculos Los aacutengulos entre los meridianos en la proyeccioacuten y en el elipsoide o esfera son proporcionales Las ecuaciones generales son de la siguiente manera

x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)

t = f (z) d = ama = aacutengulo parameacutetrico en funcioacuten de t

Las proyecciones coacutenicas pueden ser conformes equivalentes y en algunos casos equidistantes

11 Proyecciones perspectivasEn el anaacutelisis de las proyecciones existen ciertas propiedades pers-

pectivas que detallan auacuten maacutes el desarrollo de cartas geograacuteficas cons-truidas al desarrollar una esfera o un esferoide Estas se definen como proyecciones gnomoacutenicas estereograacuteficas y ortograacuteficas

En la proyeccioacuten gnomoacutenica se considera un plano de proyeccioacuten tangente a la superficie esfeacuterica y el centro de proyeccioacuten coincide con el centro de la esfera (figura 10) Dicha proyeccioacuten puede ser ecuatorial si el plano de proyeccioacuten es tangente a la esfera en un punto del ecuador



polar cuando el punto de tangencia es uno de los polos u oblicua cuando el punto de tangencia no se encuentra en el ecuador ni en el polo

En la proyeccioacuten estereograacutefica se considera un plano de proyeccioacuten tangente a la superficie terrestre y el centro de proyeccioacuten se halla en un punto diametralmente opuesto al punto de tangencia (figura 10) Al igual que la proyeccioacuten gnomoacutenica esta proyeccioacuten puede ser ecuatorial polar u oblicua

En el caso de la proyeccioacuten ortograacutefica esta se da cuando se consi-dera un plano de proyeccioacuten tangente a una esfera y un centro de proyec-cioacuten contenido en la perpendicular al punto de tangencia A una distancia infinita las proyectantes son liacuteneas paralelas entre siacute en cuyo caso se tiene una proyeccioacuten ortograacutefica u ortogonal que tambieacuten puede ser ecuatorial polar u oblicua (figura 10)

figura 10 Proyeccioacuten perspectiva ecuatorial



Paraacutemetros cartograacuteficos de las Cartas Geograacuteficas de Costa Rica re-lacionados con la cartografiacutea matemaacutetica

PAraacuteMEtroS dE LoS ELiPSoidES Uti-LiZAdoS En CoStA riCA

ParaacutemetroElipsoide

Clarke 1866 WgS 84Semieje mayor 63782064 6378137Semieje menor 63565838 6356752314

PAraacuteMEtroS dE LA ProyECCiOacuten CrtM (UtM o gAUSS - KrUumlgEr)

Meridiano Central 84deg00`Paralelo Origen 0deg

Paralelo Referencia 10deg00`Falso Este (m) 500000

Falso Norte (m) 0

PAraacuteMEtroS dE LA ProyECCiOacuten LCrn (PCCL)

Meridiano Origen 84deg20`Paralelo Origen 10deg28acute

Paralelo Referencia 1 09deg56`Paralelo Referencia 2 11deg00`

Falso Este (m) 500000Falso Norte (m) 271820522

PAraacuteMEtroS dE LA ProyECCiOacuten LCrS (PCCL)






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Yang Q Snyder JP amp Tobler W (2000) Map Projections Transforma-tions Principles and Applications Londres Taylor amp Francis



1 introduccioacuten La estructura baacutesica de cualquier documento cartograacutefico es un sis-

tema de referencia que es definido como un reticulado o una cuadriacutecula y que tiene por objeto la ubicacioacuten geograacutefica de los datos espaciales ya sea en coordenadas geograacuteficas o en coordenadas proyectadas

La elaboracioacuten de un sistema de proyeccioacuten ha sido uno de los temas maacutes interesantes en la ciencia geograacutefica (Snyder 1993) ya que involucra lo esencial de la cartografiacutea la representacioacuten de la Tierra en una super-ficie plana un mapa o carta lo cual conlleva a la utilizacioacuten de ciertas superficies desarrollables de los cuerpos requeridos para modelar matemaacute-ticamente la Tierra es decir la esfera o el esferoide conservando seguacuten sea el caso las aacutereas las formas las direcciones o los aacutengulos lo cual depende del propoacutesito especiacutefico de la carta geograacutefica (Bugayevskiy amp Snyder 1995) Como consecuencia de esto se han creado a lo largo de la historia muchas proyecciones entre las que se pueden citar la Proyeccioacuten de Mercator la Transversal de Mercator la Ciliacutendrica Equidistante la de Cassini la de Albers la Conforme de Lambert la de Bonne entre otras

La disciplina de las proyecciones cartograacuteficas -denominada carto-grafiacutea matemaacutetica- tiene muchas interrelaciones con otras disciplinas especialmente con geografiacutea y matemaacutetica (Snyder amp Steward 1997 Feeman 2000) lo cual ha sido de gran importancia pues constituye el elemento cientiacutefico y teacutecnico para la elaboracioacuten de mapas que seraacuten fuente primaria para el desarrollo de otras disciplinas Pese a dicha im-portancia muchos geoacutegrafos han dejado de lado este conocimiento y desatienden las bases matemaacuteticas suficientes para entenderlo (Feeman 2000) aseveracioacuten que se puede constatar en el acaecer de la academia y la investigacioacuten en Costa Rica donde no hay debate ni discusioacuten en lo relativo a esta materia

El presente trabajo sirve como una introduccioacuten a la teoriacutea de las proyecciones cartograacuteficas o cartografiacutea matemaacutetica con el fin de retro-traer el tema y someterlo al conocimiento de acadeacutemicos profesionales y estudiantes para asiacute rescatarlo y revisar la importancia de su comprensioacuten aunado a su utilidad para la creacioacuten de las cartas geograacuteficas temaacuteticas que hoy son ampliamente usadas en los Sistemas de Informacioacuten Geograacute-fica (SIG) y en la Teledeteccioacuten



















a-bf = ______ (1)

a

a2-b2

e2 = ______ (2)a2



e2 = 2f - f2 (3)

b1 - e2 = (1 - f) = ___ (4)

a


















Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0





















































a-bf = ______ (1)

a

a2-b2

e2 = ______ (2)a2



e2 = 2f - f2 (3)

b1 - e2 = (1 - f) = ___ (4)

a


















Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0












































a-bf = ______ (1)

a

a2-b2

e2 = ______ (2)a2



e2 = 2f - f2 (3)

b1 - e2 = (1 - f) = ___ (4)

a


















Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0







































a-bf = ______ (1)

a

a2-b2

e2 = ______ (2)a2



e2 = 2f - f2 (3)

b1 - e2 = (1 - f) = ___ (4)

a


















Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0



















































Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0












































Z = (1 - e2) v + f sen (7)





Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0






































Ytan m = _____ (8)

X

z + f b sen3 utan = _______________ (9)

p - e2 a cos3 u

h = p sec - v (10)


p = ( X2 + Y2)12 (11)

Z atan u = __ __ (12)

p b

e2

f = ______ (13)1 - e2













(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0














































(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0









































(14)





(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0





































(15)

f 1 - az ay R= az 1 - ax -ay ax 1 (16)

f 1 az - ay R= -az 1 ax ay - ax 1 (17)



(18)







(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0








































(19)












Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0











































Dist elipsoide









(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0








































(E N) = f ( m) (21)























x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0






















































x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0















































x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0








































x = t sen a (22)

y = t cos a (23)







x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0





































x = bn (24)

y = f (z) (25)




x = t sen d (26)

y = t s - t cos d (27)





















Falso Norte (m) 0


















































Falso Norte (m) 0












































Falso Norte (m) 0




































































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