Elementos de Mecanica del Medio Continuo

7/24/2019 Elementos de Mecanica del Medio Continuo

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ELEMENTOS DE MECNICA DEL MEDIO CONTINUO

Profesor: Ing. Juan Armando Ortiz Valera Semestre:2012-2

Serie No 2. Temas: 6 a 7Entrega 02/05/2012 9:15 hrs.

6) Ecuaciones GeneralesResolver obligatoriamente el ejercicio 6 y elegir otros dos para completar tres

1.Dado el siguiente campo de velocidades

( )1/2

2 2

1 1 2 2 1 2 3 1 2; ;v ax bx v bx ax v c x x= = + = +

Donde a, b y c son constantes, determine si la ecuacin de conservacin de masa sesatisface o no.

2.Si el estado de esfuerzos en un sistema de referencia rectangular esta dado por

2 2 2

1 2 2 1

2 2 2 212 1 2 23

2

3

( ) 0

( ) ( 3 ) 0

0 0 2

ij

x x b x x

a b x x x b x

bx

=

Donde ay bson constantes, determine si existen las fuerzas de cuerpo necesarias para que

el cuerpo se encuentre en estado de equilibrio.

3.Si el campo de velocidades asociado a una partcula esta dado por:

t

xcv ii

+= a partir de la ecuacin de conservacin de masa:

Dt

D

x

v

Dt

dvD

i

i

+

==0

)(

determine la variacin de la densidad de la partcula en funcin del tiempo.

Considere que para un tiempo igual a uno la densidad es 0 (densidad inicial), paracualquier tiempo (t) la densidad asociada es y c es una constante que depende delmaterial.

4.Verifique si la ecuacin de conservacin de masa es satisfecha por el siguiente campo de

velocidades ( ), ,v v r z= . Considere que el material es incompresible 1rvr z

=

,

0v= ,1

zvr r

=

. Donde la densidad ( ) es constante y ( ),r z = , con segundas

derivadas parciales continuas en el intervalo.


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5. Desarrolle la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento, tanto en formaintegral como diferencial. Considere que la cantidad de movimiento ( ) est dada por:

;V

mv v dV = =

V

D v dV f Dt

=

donde f representa tanto a las fuerzas de contacto ( )Sf como de cuerpo ( )Cf Donde ( )t representa al vector de esfuerzos y B a la aceleracin producida por las fuerzas

de cuerpo.

S Cf f f= + donde

;S CA V

f t dA f B dV= =

Considere que el teorema de la divergencia se expresa:

( ) ( )V A

u dV u n dA =

y la formula de transporte para un volumen ( )V est dada por:

( )V V

D DdV v dV

Dt Dt

= +

6.Para un continuo cuya ecuacin constitutiva est dada por: 2ij ij kk ij ijp = + +

determine la ecuacin de conservacin de cantidad de movimiento en funcin del campo develocidades.

Considerando que el medio continuo es incompresible desarrolle la ecuacin en notacingeneral. Con esa base desarrolle la ecuacin en coordenadas cilndricas.

7.Dado el siguiente campo de esfuerzos en coordenadas cilndricas.

2 3

5 5

3 Pr 3 P; 0 ;

2 2rr zz

Z Z

R R

= = =

2

2 2 233 Pr ; 0 ;2

rz r z

ZR r z

R

= = = = +

Verifique si dicho campo de esfuerzos satisface las ecuaciones de equilibrio en ausencia defuerzas de cuerpo.

8.Considerando que se tiene un fluido viscoso, lineal e incompresible, para el que el campode velocidades, en coordenadas cilndricas, esta dado por


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( , )rv v r= 0v = 0zv =

a). A partir de la ecuacin de la continuidad analice si cumple que

( ) ( ),rf

v donde f es una funcin cualquiera der

=

b). La ecuacin constitutiva de un fluido viscoso, lineal e incompresible es

2ij ij ijp = +

Por otra parte en ausencia de fuerzas de cuerpo, y en base a la ecuacin de conservacin de

cantidad de movimiento verifique si

( ) ( )2 2

2 4 0f ff k

+ + + =

con2 2

22

f kp C

r r

= + + , donde ky Crepresentan constantes

7) El Slido ElsticoResolver obligatoriamente los ejercicios 10, 13 y elegir otros dos para completarcuatro

9.Muestre que para un material incompresible ( 1/2) que:a) La ley de Hooke toma la forma:

13

2 ( )ij ij kk ij

= +

b)

; ;3

Ek = = = ; pero ( )2 3k =

10. Un cuerpo es sometido a una serie de solicitaciones que provoca la distorsin delmismo, situacin que se puede representar con el tensor

ije . Con esta base defina los

tensores de deformacin (ij ) y de rotacin ( ijw ).

Por otra parte determine las deformaciones y esfuerzos principales considerando que el

material presenta un mdulo de elasticidad de 200 GPa y un coeficiente de Poisson de(1/3), es homogneo e isotrpico y las deformaciones son elsticas.

Determine el estado de esfuerzos correspondientes, as como el cambio de volumen y el

esfuerzo hidrosttico.


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3

25 10 12

2 8 15 10

9 7 10

ij

me

m

=

11. Para un slido elstico homogneo lineal e isotrpico se puede demostrar que soloexisten 2 constantes elsticas linealmente independientes (constantes de Lam). Razn por

la cual la relacin entre esfuerzo y deformacin se expresa:

2ij ii ij ij

= +

Considerando que el coeficiente de Poisson () representa la relacin de la deformacin

transversal (T) a la longitudinal (l)

T

l

=

El cociente esfuerzo () deformacin () en un ensayo de traccin definen al mdulo deelasticidad (E)

E

=

Con base en lo antes expuesto demuestre que la ecuacin constitutiva se puede expresar

como:

( ) ( )( )

11

2 1ij ij kk ij

= +

+

y que:

( )( )11 11 22 331

E = +

( )( )22 22 11 331

E = +

( )( )33 33 11 221

E = +

23 311212 23 31, ,

2 2 2

= = =

12. La ecuacin constitutiva de un slido, elstico, homogneo, lineal e isotrpico seexpresa como:

( ) ( )( )1

12 1ij ij kk ij = + +

donde: - deformacin- esfuerzo - Mdulo de Rigidez a corte (Representa la relacin del esfuerzo de corte a ladeformacin angular)

- Coeficiente de Poisson T l = (Representa la relacin de la deformacintransversal a la longitudinal)


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Con base a lo anterior desarrolle las ecuaciones representadas a travs de la notacin ndice.

En el rango elstico la relacin esfuerzo deformacin es lineal y la energa de deformacin

se expresa como:ij ijdw d =

Considerando lo antes expuesto determine la expresin, en notacin ndice que representa

el trabajo de deformacin elstica.

13.Para resolver un sistema biaxial de deformaciones es necesario determinar 11 22 12, , ,esto a partir de la solucin simultanea de las tres ecuaciones diferenciales caractersticas del

sistema:

11 12

1 2

0x x

+ =

; 21 22

1 2

0x x

+ =

; ( )

2 2

11 222 2

1 2

0x x

+ + =

Para este caso la solucin se expresa a travs de una funcin de Airy (), en este caso los

esfuerzos se definen como:

2

11 2

2x

=

;

2

22 2

1x

=

;

2

12

1 2x x

=

Con base en lo anterior demuestre que () representa una funcin de esfuerzos de Airy

Con base en lo anterior defina el estado de esfuerzos y de deformacin asociado.

321 2

1 2 22

3

4 3 4

x xF Px x x

c c c

= +

Considere que el material se comporta como un slido elstico homogneo e isotrpico,

con constantes elsticas , , , ,E K .

Nota: La funcin antes indicada se emplea para describir el comportamiento de unaviga sometida a flexin, a la cual se le aplica una carga longitudinal.


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14. Una barra de seccin circular de radio r y longitud l, es sometida a un momentotorsionante MT, donde el eje x1coincide con el eje del cilindro. El momento torsionante

produce un pequeo ngulo de rotacin definido por , donde = (x1), (la deformacines elstica).

Considerando lo antes expuesto determine:

i) Campo de desplazamientos producto de la rotacin : ( , )i

u u x = .

ii) Campo de deformacinij

iii) Campo de esfuerzos considerando que se trata de un slido de Hooke.iv) En ausencia de fuerzas de cuerpo el estado de esfuerzos propuesto debe garantizar el

cumplimiento de las ecuaciones de Cauchy. A partir de esto, Qu se puede concluir?.v) Determinar el estado de esfuerzos en funcin del momento torsionante (MT) el momentopolar de inercia (Ip) y la posicinxi.

vi) Determine los esfuerzos principales

vii) Determine la orientacin de los esfuerzos principales casos determine el ngulo de losplanos de falla con relacin al ejex1.


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viii) Si el material es dctil la falla es por cortantes (cortante mximo), mientras que si es

frgil es por efecto del esfuerzo normal mximo. Para ambos determine el ngulo descrito

entre la superficie de fractura y el eje de la barra.

15.Considere un medio elstico, homogneo, lineal e isotrpico en el cual se presenta el

siguiente campo de desplazamientos.

( ) ( )3 3 3 1 2; 0u sen x ct sen x ct u u = + + = =

Cul es la naturaleza de la onda elstica que describe el campo de desplazamientos?

Longitudinal o transversal, Irrotacional o Isovolumen.

Cul es la direccin de propagacin?

Determine el campo de deformaciones asociadoDetermine el campo de esfuerzos asociado

Bajo qu condiciones la ecuacin de movimiento (Navier) es satisfecha cuando se

desprecian las fuerzas de cuerpo?.

Si para la frontera x3 = 0, sta se encuentra libre de solicitaciones, entonces bajo quecondiciones la ecuacin de movimiento satisface las condiciones de frontera para cualquier

tiempo.

16.En la figura se presenta la distorsin generada por una dislocacin de tornillo (hlice)en un cristal. Considerando que los desplazamientos productos de la dislocacin son:

1 21 2 3 3

1

0 ; 0 ; ( ) ; tan2 2

xb bu u u f u

x

= = = = =

donde el vector de burgers de la dislocacin b tiene una magnitud b y es paralelo al eje

x3.

Con base en lo antes expuesto y considerando que se trata de un slido elstico homogneo

lineal e isotrpico, determine:a) Tensor de deformaciones asociado

b) Tensor de esfuerzos asociado

c) Cul es el cambio del volumen asociado a la presencia de la dislocacin de tornillo?d) Cul ser la rapidez de variacin de volumen asociado a la condicin antes expuesta?

e) Considerando que la teora de medios continuos se puede aplicar a partir de un radio r0y

hasta el radio del cristal R, determine la energa de asociada a la dislocacin.

i


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f) Explique usted que suceder con respecto al estado de esfuerzos y a la energa

involucrada, si el material no es isotrpico.

g) Despreciando el efecto de las fuerzas de cuerpo existir equilibrio?

h) Considerando que los esfuerzos normales sobre las paredes laterales del elemento debenser igual a cero y que el esfuerzo axial debe ser diferente de cero, el modelo propuesto

cumple con estas condiciones?

17.Desarrolle las relaciones que permiten determinar cualesquier constante elstica a partirde conocer dos de stas. Esto para un slido elstico, lineal homogneo e isotrpico.

, E,

,

E,

K,

E

k

18.Para una condicin de deformacin plana en un medio continuo se ha propuesto comosolucin la siguiente funcin de Airy:

4 2 2 4

1 1 2 22 12 6x x x x= +

a) Determine el estado de esfuerzos asociado al medio continuo

b) Si se trata de un slido elstico, homogneo, lineal e isotrpico determine el campo dedeformaciones.

c) Existir un vector de desplazamientos a travs del cual se representa la deformacin

del slido?d) Verifique la existencia de condiciones de equilibrio

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