Elementos finitos

Capítulo 3

Método dos Elementos Finitos

O objetivo deste capítulo é apresentar de forma introdutória os aspectos fundamentais do

método dos elementos finitos, fazendo ilustrações por meio de problemas simples unidimen-

sionais da mecânica das estruturas. Na prática, são várias as dificuldades encontradas na

aplicação dos métodos dos resíduos ponderados e de Ritz:

1. é uma tarefa difícil, se não impossível, conseguir aproximações que satisfaçam as

condições de contorno quando o domínio tem geometria irregular;

2. mudar as condições de contorno ou a geometria do domínio pode significar uma mu-

dança completa na aproximação adotada, não havendo uma escolha sistemática da base

{φ}. Qualquer implementação computacional desses métodos limitar-se-á à solução de

um problema bem específico;

3. adicionar termos à aproximação implica integrações mais trabalhosas e, muitas vezes,

um problema mal condicionado;

4. há casos em que a solução exata do problema não é dada por uma única função,

válida em todo o domínio. Percebemos claramente essa situação na solução da equação

diferencial

au′′ + f(x) = 0 (3.1)

quando o coeficiente a ou a função f(x) são definidos de maneira diferente em trechos

distintos do domínio;

3-1

Método dos Elementos Finitos 3-2

x

u(x)

Figura 3.1 Função qualquer u(x) aproximada por segmentos de reta.

5. os coeficientes ci não têm significado físico. Este item não se constitui, a rigor, numa

dificuldade, mas apenas em algo que pode não ser desejável. Existem algumas for-

mulações do método dos elementos finitos que precisam recorrer a coeficientes ci sem

significado físico.

O método dos elementos finitos mantém os conceitos do método dos resíduos ponderados

ou de Ritz, porém incorpora estratégias com relação à escolha da base {φ} de maneira a con-

tornar as dificuldades acima. A principal dessas estratégias é dividir o domínio em trechos

menores e usar aproximações simples em cada trecho, normalmente polinômios algébricos

de baixa ordem, contrapondo ao uso tradicional de aproximações complexas para todo o

domínio. Cada trecho é um elemento finito. A Figura 3.1 ilustra a situação, ao aproximar

a solução (não linear em x) de um problema por meio de aproximações lineares da solução

dentro de cada elemento. A aproximação em todo o domínio melhora com o aumento do

número de elementos. O método dos elementos finitos impõe certas limitações à continuidade

da aproximação ou de algumas de suas derivadas dentro de cada elemento e entre elemen-

tos adjacentes, de modo que uma aproximação linear dentro do elemento, dependendo do

problema, pode ser rejeitada pelo método. São limitações do próprio método dos resíduos

poderados ou de Ritz ao ser aplicado por trechos e que serão devidamente esclarecidas.

Neste capítulo o método dos elementos finitos é apresentado na sua forma tradicional: (a)

como uma extensão do método de Ritz, para se beneficiar da simplicidade da aproximação,

em termos de continuidade, dentro de cada elemento e entre elementos adjacentes; (b) com

aproximações idênticas para todos os elemento (se num elemento a aproximação é linear, ela

será também linear para os demais elementos); (c) com uma melhor aproximação advinda

da divisão do domínio em um número maior de elementos; (d) com todos os coeficientes ci


tendo significado físico.

3.1 APROXIMAÇÃO POR TRECHOS

Mostremos como modificar a forma fraca de um problema de modo a viabilizar, pelo método

de Ritz, o uso de aproximações por trechos (elementos) em vez de uma única aproximação

em todo o domínio.

Exemplo 3.1 Use o método de Ritz para analisar a estrutura do Exemplo 2.7, aproxi-

mando o deslocamento nas duas metades da barra separadamente.

P

x

QEA constante

O comportamento da barra é descrito por

N ′ + qx = 0 equação de equilíbrio

N = EAεm equação constitutiva

εm = u′ relação deformação-deslocamento (3.2)

em 0 < x < L e está sob as condições de contorno

u(0) = 0 N(L) = P . (3.3)

A carga distribuída qx mostra-se degenerada na carga concentrada Q.

Vamos recapitular a obtenção da forma fraca, multiplicando a equação de equilíbrio por

δu (peso W = δu) e integrando o produto no domínio:∫ L

0

(N ′ + qx) δu dx = 0. (3.4)

Substituindo a integração por partes∫ L

0

N ′δu dx =

∫ L

0

(N δu)′ dx−∫ L

0

N δu′dx

= N δu|L0−∫ L

0

N δu′dx, (3.5)


obtemos

−∫ L

0

N δu′dx+

∫ L

0

qxδu dx−N(0)δu(0) +N(L)δu(L) = 0. (3.6)

Identificamos, neste ponto, o deslocamento u como sendo a variável primária e a força normal

N como sendo a variável secundária. A condição de contorno essencial u(0) = 0 (especificação

da variável primária) implica δu(0) = 0. A introdução da condição de contorno natural

N(L) = P (especificação da variável secundária) resulta em

−∫ L

0

N δεmdx+

∫ L

0

qxδu dx+ P δu(L) = 0 (3.7)

onde δεm = δu′. Como era de se esperar, a forma fraca com W = δu é dada pelo princípio

dos deslocamentos virtuais. Visto que a carga distribuída qx aparece degenerada na carga

concentrada Q, façamos a troca do trabalho realizado por qx pelo trabalho realizado por Q,∫ L

0

qxδu dx ⇒ Qδu(L

2), (3.8)

para obter

−∫ L

0

N δεmdx+Qδu(L

2) + P δu(L) = 0. (3.9)

A expressão equivale à equação de equilíbrio N ′ + qx = 0, com qx degenerado em Q, e

à condição de contorno mecânica N(L) = P . Com a introdução das demais equações do

problema (equação constitutiva e relação deformação-deslocamento), a expressão reduz a

−∫ L

0

EAu′δu′dx+Qδu(L

2) + P δu(L) = 0. (3.10)

Foi essa a expressão utilizada no Exemplo 2.7.

Em resumo, o problema pode ser descrito pela equação de equilíbrio

EAu′′ + qx = 0 0 < x < L (3.11)

dada em termos dos deslocamentos, sujeita às condições de contorno

u(0) = 0 EAu′(L) = P (3.12)

e com qx degenerado em Q. Alternativamente, o problema pode ser descrito pela forma fraca

−∫ L

0

EAu′δu′dx+Qδu(L

2) + P δu(L) = 0 (3.13)

sujeita à condição de contorno

u(0) = 0. (3.14)


Analisando (3.11), percebemos que a solução u(x) é dada por uma única função nos

trechos em que E, A e qx são, simultaneamente, também dados por uma única função. No

caso deste exemplo, EA é constante ao longo de toda a barra, mas o carregamento varia da

seguinte forma: qx = 0 em 0 < x < L/2 (indicado por trecho 1 na figura abaixo); depois

degenera-se numa carga concentrada Q em x = L/2 (indicado por “trecho pontual”); em

seguida volta a ser qx = 0 em L/2 < x < L (indicado por trecho 2). Ou seja, o carregamento

é descontínuo (veja a quarta dificuldade mencionada na página 3-1). Por ser EA constante e

qx = 0 no trecho 1, podemos antecipar que a solução u(x) é um polinômio de primeiro grau.

Pelo mesmo motivo, a solução u(x) é também um polinômio de primeiro grau no trecho

2. São dois polinômios distintos por causa da presença do “trecho pontual”, sob a ação de

Q, entre os trechos 1 e 2. Um diagrama de corpo livre para cada trecho da barra (trecho

com todas as forças que nele atuam) é mostrado na figura, onde r1x1 e r1x2 são as reações nas

extremidades esquerda e direita do trecho 1 e r2x1 é a reação na extremidade esquerda do

trecho 2.

trecho 1

L2

rx11 rx21 trecho 2

L2

rx12

rx21 rx12

“trecho pontual”

P

Q

P

x

QEA constante

Se a forma fraca (3.13) for usada para aplicar o método de Ritz convencional, o erro

cometido pela solução aproximada poderia ser reduzido com a inclusão de mais elementos

na base {φ} (aumento do espaço de busca da solução). No entanto, jamais a solução exata

seria fielmente reproduzida, pelo menos com uma base de dimensão finita, visto que u(x) é

dada por duas funções distintas: uma denominada u1(x) válida em 0 < x < L/2 e a outra


denominada u2(x) válida em L/2 < x < L (veja Exemplo 2.7). Podemos modificar a forma

fraca para levar em conta essa peculiaridade, ou seja, a peculiaridade de não ser a solução

dada por uma única função.

Expressemos o princípio dos deslocamentos virtuais, já contendo a equação constitutiva

e a relação deformação-deslocamento, para os trechos 1 e 2 isoladamente, e a condição de

equilíbrio do “trecho pontual”:

−∫ L/2

0

EAu′1δu′

1dx+ r1x1 δu1(0) + r1x2 δu1(L

2) = 0 trecho 1

−∫ L

L/2

EAu′2δu′

2dx+ r2x1 δu2(L

2) + P δu2(L) = 0 trecho 2

r1x2 + r2x1 = Q “trecho pontual”. (3.15)

As condições

u1(0) = 0 u1(L

2) = u2(

L

2) (3.16)

são essenciais ao uso da expressão para o trecho 1 uma vez que ela não as contém. Analoga-

mente, a condição

u2(L

2) = u1(

L

2) (3.17)

é essencial ao uso da expressão para o trecho 2. A soma das duas expressões, levando-se em

conta que

δu1(0) = 0 δu1(L/2) = δu2(L/2), (3.18)

resulta em

−∫ L/2

0

EAu′1δu′

1dx−∫ L

L/2

EAu′2δu′

2dx+(r1x2 + r2x1

)︸︷︷︸

δu1(L

2) + P δu2(L) = 0. (3.19)

Q

A introdução do equilíbrio do “trecho pontual” conduz, finalmente, à forma fraca modificada

−∫ L/2

0

EAu′1δu′

1dx−∫ L

L/2

EAu′2δu′

2dx+Qδu1(L

2) + P δu2(L) = 0. (3.20)

É uma expressão de caráter global, válida em todo o domínio, sujeita à condição de contorno

u1(0) = 0 (3.21)

e à condição de continuidade

u2(L

2) = u1(

L

2). (3.22)


A forma fraca modificada (3.20) pode ser obtida diretamente da forma fraca original

(3.13), trocando a única função u(x) por várias funções ui(x), uma em cada trecho, restritas

à condição de ser o deslocamento contínuo na passagem de um trecho para outro. A obtenção

da forma fraca a partir dos dois trechos analisados isoladamente teve o propósito de mostrar

que o deslocamento (variável primária) deve ser contínuo entre trechos (u1(L/2) = u2(L/2))

e que Q ressurge pelo equilíbrio do “trecho pontual”.

Pela ordem de derivação da forma fraca modificada (3.20), as aproximações polinomiais

completas mais simples são

u1(x) = a0 + a1x u2(x) = b0 + b1x. (3.23)

Introduzindo as condições de contorno u1(0) = 0 e de continuidade u1(L/2) = u2(L/2)

exigidas pela forma fraca, obtemos

u1(x) = a1x u2(x) =L

2(a1 − b1) + b1x. (3.24)

A substituição em (3.20) resulta em

−∫ L/2

0

EAa1δa1dx−∫ L

L/2

EAb1δb1dx+Q(δa1L

2) + P

[L

2(δa1 − δb1) + δb1L

]

=

(−EAL

2a1 +

QL

2+PL

2

)δa1 +

(−EAL

2b1 +

PL

2

)δb1 = 0. (3.25)

Como δa1 e δb1 são arbitrários e independentes,

−EAL2a1 +

QL

2+PL

2= 0

−EAL2b1 +

PL

2= 0 (3.26)

ou

a1 =1

EA(P +Q) b1 =

P

EA. (3.27)

Como esperado,

u1(x) =1

EA(P +Q) x 0 ≤ x ≤ L

2

u2(x) =1

EA

(QL

2+ Px

)L

2≤ x ≤ L (3.28)

e

N1(x) = EAu′1 = P +Q 0 ≤ x <L

2

N2(x) = EAu′2 = PL

2< x ≤ L (3.29)

coincidem com a solução exata. �


3.2 UM BREVE HISTÓRICO

Não é fácil estabelecer, com precisão, a origem do método dos elementos finitos. Uma

sinopse dos trabalhos que inspiraram a descoberta do método e suas aplicações é dada por

Gupta e Meek (1996). É no trabalho de Clough (1960) que o nome “método dos elementos

finitos” aparece pela primeira vez para designar o que lá também é chamado de “método de

Argyris”.1 O termo “elemento finito” é usado para contrapor “elemento infinitesimal” tão

presente na mecânica do contínuo.

A partir de 1963 o método começa a se firmar conceitualmente quando alguns autores o

reconhecem como uma forma do método de Ritz, fazendo aplicações inclusive a problemas

fora da mecânica das estruturas. O primeiro livro sobre o método é escrito por Zienkiewicz

e Cheung (1967).

Por ser numericamente estável e de fácil aplicação, o método logo se torna objeto de

vasta pesquisa, aparecendo num grande número de artigos e livros. O avanço tecnológico

dos equipamentos computacionais foi fundamental para o desenvolvimento do método. É

impossível hoje imaginar a prática da engenharia de estruturas sem seu suporte. Em muitos

casos, é ele a única ferramenta capaz de oferecer uma solução confiável. Não é por acaso que

se tornou disciplina obrigatória no currículo das melhores universidades do mundo.

3.3 ELEMENTO DE BARRA

O nome elemento de barra significa aqui um elemento finito típico de treliça. É indiferente

dizer que o elemento deriva-se da teoria de vigas de Euler-Bernoulli ou de Timoshenko, uma

vez que não envolve flexão. Ou seja, u(x), εm(x) e N(x) são as únicas incógnitas sob análise.

A Figura 3.2 mostra um elemento finito “e” num diagrama de corpo livre. O princípio

dos deslocamentos virtuais é dado por

−∫ Le

0

N δεmdx+

∫ Le

0

qxδu dx+ rex1 δue1 + rex2 δu

e2 = 0 (3.30)

ou, introduzindo a equação constitutiva e a relação deformação-deslocamento,

−∫ Le

0

EAu′δu′dx+

∫ Le

0

qxδu dx+ rex1 δue1 + rex2 δu

e2 = 0. (3.31)

1John Hadji Argyris, engenheiro civil grego nascido em Volos em 1913, falecido em Stuttgart em 2004.


Le

rx1e rx2e

x

qx

u1e u2

e

Figura 3.2 Elemento de barra “e” num diagrama de corpo livre.

Denotamos por Le o comprimento do elemento, 0 < x < Le sua coordenada local, ue1 e ue2 os

deslocamentos nas extremidades do elemento, rex1 e rex2 as reações nas suas extremidades. O

traço sobre ue1, rex1, etc. é para enfatizar que as quantidades referem-se ao eixo x.

Partir de um diagrama de corpo livre tem a vantagem de o problema ser descrito, em nível

do elemento, unicamente pela forma fraca (3.31) com todas as reações nodais explicitadas

(veja Exemplo ?.?), sem nenhuma condição de contorno essencial explícita com que se preo-

cupar. No entanto, a aproximação adotada deve permitir que esse elemento “livre” possa

ser devidamente conectado aos elementos adjacentes e aos possíveis apoios, recompondo

toda a estrutura de uma forma discretizada. É um procedimento que dispensa explicitar a

forma fraca modificada da estrutura, como fizemos no Exemplo 3.1, focando-se num simples

elemento.

Pela ordem de derivação da forma fraca (3.31), a aproximação polinomial mais simples é

u(x) = c0 + c1x. (3.32)

Para satisfazer qualquer condição de contorno geométrica em ambas as extremidades do

elemento (uma condição por extremidade), o polinômio de primeiro grau acima já basta. O

próximo passo é incorporar essas condições na aproximação, satisfazendo de uma maneira

genérica

u(0) = ue1 u(Le) = ue2. (3.33)

Ou seja,

c0 = ue1 c1 =ue2 − ue1Le

(3.34)


e

u(x) =

(1− x

Le

)ue1 +

x

Leue2

= φe1ue1 + φe2u

e2

= {φe}T{d}

(3.35)

onde

{φe} =

φe1

φe2

=

1− x

Lex

Le

0 ≤ x ≤ Le

{d}= � ue1 ue2 �

T . (3.36)

As possíveis condições de contorno mecânica já são incorporadas pela forma fraca.

A substituição dos coeficientes ci pelos valores uei da variável primária não elimina grau

de liberdade, apenas troca as incógnitas ci pelas incógnitas uei . Usar (3.35) em vez de (3.32)

facilita impor a continuidade da variável primária entre elementos (condição de contorno

essencial em nível do elemento). Como chamamos de nó cada ponto onde a variável primária

é avaliada na eliminação de ci, então o elemento tem dois nós, um em cada extremidade. A

busca por u(x) se dá, portanto, num espaço vetorial de dimensão 2 gerado pela base {φe}. Oconjunto � 1 x � usado em (3.32) e o conjunto {φe} = � 1− x/Le x/Le � usado em (3.35)

são bases de um mesmo espaço.

A Figura 3.3a mostra um elemento finito isolado, seus dois nós, e as funções φe1 e φe2 da

base local {φe}. Como φe1(0) = 1 e φe2(0) = 0, o deslocamento do nó 1 é definido por φe1. Da

mesma forma, como φe1(Le) = 0 e φe2(Le) = 1, o deslocamento do nó 2 é definido por φe2. Na

Figura 3.3b o elemento é visto como parte de uma barra. A coordenada local x é trocada

pela coordenada global x = x + xe1. O deslocamento nodal uei , referido ao eixo x, é igual ao

deslocamento uei , referido a eixo x, visto que os dois eixos são paralelos. O deslocamento é

interpolado linearmente dentro do elemento a partir dos valores nodais. A representação dos

deslocamentos nodais como sendo exatos é apenas ilustrativo (veja Comentários 3.1).

A substituição de (3.35) na forma fraca (3.31), supondo que EA e qx sejam constantes,


Le

(a)

Le

(b)

x

nó nó

e

e

e

e

e e

Figura 3.3 Elemento de barra: (a) funções φe1 e φe2 da base local {φe}; (b) aproximação

linear ue1φe1(x) + ue2φ

e2(x) conferida pelo elemento.

resulta em

−∫ Le

0

EA

(ue2 − ue1Le

)(δue2 − δue1

Le

)dx+

∫ Le

0

qx

[(1− x

Le

)δue1 +

x

Leδue2

]dx

+ rex1 δue1 + rex2 δu

e2

=

[EA

(ue2 − ue1Le

)+qxLe2

+ rex1

]δue1 +

[−EA

(ue2 − ue1Le

)+qxLe2

+ rex2

]δue2 = 0.

(3.37)

Como δue1 e δue2 são arbitrários e independentes,

EA

(ue2 − ue1Le

)+qxLe2

+ rex1 = 0

−EA(ue2 − ue1Le

)+qxLe2

+ rex2 = 0 (3.38)

ou

EA

Le

1 −1−1 1

ue1

ue2

=qxLe2

1

1

+

rex1

rex2

. (3.39)

Esta equação é a forma discretizada da equação diferencial

EAu′′ + qx = 0 0 < x < Le (3.40)


Le

qx

q Lx e

2q Lx e

2

Figura 3.4 As duas forças nodais qxLe/2 são estaticamente equivalentes à carga qx uni-

formemente distribuída.

e das condições de contorno

N(0) = −rex1 se ue1 for desconhecido

N(Le) = rex2 se ue2 for desconhecido. (3.41)

De uma maneira compacta, a equação do elemento (3.39) escreve-se

[k] {d}= {p}+ {r} =

{f}

(3.42)

onde[k]é a matriz de rigidez do elemento,

{d}é o vetor dos deslocamentos nodais (valores

nodais da variável primária),{f}= {p}+ {r} é o vetor das forças nodais definidos por

[k]=EA

Le

1 −1−1 1

{d}=

ue1

ue2

{f}=qxLe2

1

1

︸︷︷︸

+

r1x1

r1x2

︸︷︷︸

. (3.43)

{p} {r}

O vetor{f}é constituído pelo vetor das forças nodais equivalentes {p} (equivalentes à carga

q0 aplicada ao elemento) e pelo vetor das reações nodais {r} (valores nodais da variável

secundária).

Além de ser estaticamente equivalente à carga qx uniformemente distribuída aplicada ao

elemento (veja Figura 3.4), o vetor

{p} = qxLe2

1

1

(3.44)

é também equivalente no trabalho à carga qx:

{p}T{δd}=

∫ Le

0

qxδu dx. (3.45)

Usar cargas nodais equivalentes no trabalho conduz a uma melhor aproximação do campo

de deslocamento (veja Problema 3.4).


Exemplo 3.2 Refaça o Exemplo 3.1 usando o elemento finito (3.39).

Vamos dividir a barra em dois elementos. Os deslocamentos dos nós no sistema global,

que coincidem com os deslocamentos no sistema local, são indicados por Di e a reação de

apoio por R. É comum chamar demalha um dado arranjo de elementos com o qual dividimos

o domínio do problema.

P

elemento 1

L2

elemento 2

L2

nó 2

D1 D2 D3

elemento 2

nó 1 nó 3nó 2

elemento 1

1rx1 rx21 rx12 rx22

rx21 rx12nó 11rx1

R

nó 3

P

rx22

Q

Q

u11 u2

1 u12 u2

2

Elemento 1 : como não existe carga externa aplicada ao elemento 1, então {p} = {0}. A

equação (3.39) escreve-se

[k] {d}= {r} ⇒ EA

L/2

1 −1−1 1

u11

u12

=

r1x1

r1x2

.

Para melhor visualizar como o elemento se conecta ao elemento vizinho para formar a

estrutura, vamos reescrever sua equação em termos de todos os deslocamentos nodais Di da

estrutura, adicionando linhas e colunas nulas onde forem necessárias. Sabendo-se que

u11 = D1 u12 = D2,


então

EA

L/2

1 −1 0

−1 1 0

0 0 0

D1

D2

D3

=

r1x1

r1x2

0

.

Elemento 2 : de maneira análoga ao elemento 1, escrevemos para o elemento 2

EA

L/2

1 −1−1 1

u21

u22

=

r2x1

r2x2

.

Sabendo-se que

u21 = D2 u22 = D3,

então

EA

L/2

0 0 0

0 1 −10 −1 1

D1

D2

D3

=

0

r2x1

r2x2

.

A soma das equações dos dois elementos resulta em

EA

L/2

1 −1 0

−1 1 + 1 −10 −1 1

D1

D2

D3

=

r1x1

r1x2 + r2x1

r2x2

.

A continuidade da variável primária (deslocamento u) entre os dois elementos é imposta ao

considerar que u12 = u21 = D2. Podemos agora impor a condição de equilíbrio dos três nós,

r1x1 = R r1x2 + r2x1 = Q r2x2 = P ,

para obter

EA

L/2

1 −1 0

−1 2 −10 −1 1

D1

D2

D3

=

R

Q

P

.

Esta é a equação da estrutura, ou o modelo de elementos finitos da estrutura, que decorre do

espalhamento (contribuição) dos dois elementos.

A imposição da continuidade de u entre elementos e do equilíbrio dos nós reduz o número

de incógnitas. O problema, no entanto, continua indeterminado visto que a estrutura está


num diagrama de corpo livre. A matriz

EA

L/2

1 −1 0

−1 2 −10 −1 1

é singular (veja Comentários 3.1).

Impor a condição de contorno

D1 = 0

fornece a equação adicional que torna o problema determinado:

EA

L/2

1 −1 0

−1 2 −10 −1 1

0

D2

D3

=

R

Q

P

.

São três equações e três incógnitas (D2, D3 e R). Diferentemente do método de Ritz con-

vencional, a condição de contorno pode ser escolhida no final da discretização.

Uma maneira simples de se resolver o problema começa pela eliminação da primeira

coluna da matriz uma vez que é toda multiplicada por zero:

EA

L/2

−1 0

2 −1−1 1

D2

D3

=

R

Q

P

.

Em seguida, o sistema é desmembrado em dois:

EA

L/2

2 −1−1 1

D2

D3

=

Q

P

EA

L/2� −1 0 �

D2

D3

= R.

Do primeiro sistema, cuja matriz certamente não é singular,

D2

D3

=

L

2EA

2 −1−1 1

−1

Q

P

=L

2EA

1 1

1 2

Q

P

=L

2EA

P +Q

2P +Q

.


Pós-processamento: substituindo os deslocamentos nodais na segunda equação, obtemos a

reação de apoio

R =EA

L/2� −1 0 �

L

2EA

P +Q

2P +Q

= − (P +Q) .

Para obter as reações nodais (esforços nas extremidades dos elementos), usamos a seguir a

equação[k] {d}= {r} de cada elemento.

Elemento 1

r1x1

r1x2

=EA

L/2

1 −1−1 1

u11

u12

=EA

L/2

1 −1−1 1

D1

D2

=EA

L/2

1 −1−1 1

0

L

2EA(P +Q)

= (P +Q)

−11

.

elemento 1P+Q P+Q

Elemento 2

r2x1

r2x2

=EA

L/2

1 −1−1 1

u21

u22

=EA

L/2

1 −1−1 1

D2

D3

=EA

L/2

1 −1−1 1

L

2EA

P +Q

2P +Q

= P

−11

.


elemento 2 PP

O campo de deslocamento no interior de cada elemento é avaliado a seguir.

Elemento 1 :

u(x) = φ11u1

1 + φ12u1

2

=

(1− x

L/2

)D1 +

x

L/2D2

=x

L/2

L

2EA(P +Q)

=1

EA(P +Q) x 0 ≤ x ≤ L

2.

Neste exemplo, as reações nodais poderiam ter sido igualmente obtidas usando a força nor-

mal:

r1x1

r1x2

=

−N(0)

N(L

2)

=

−EAu′(0)

EAu′(L

2)

= (P +Q)

−11

.

Elemento 2 :

u(x) = φ21u21 + φ22u

22

=

(1− x

L/2

)D2 +

x

L/2D3

=

(1− x

L/2

)L

2EA(P +Q) +

x

L/2

L

2EA(2P +Q)

=1

EA

[(P +Q)

L

2+ P x

]0 ≤ x ≤ L

2.

Como explicado para o elemento 1, podemos alternativamente determinar as reações nodais

neste exemplo usando

r2x1

r2x2

=

−N(0)

N(L

2)

=

−EAu′(0)

EAu′(L

2)

= P

−11

.

Se a estrutura fosse dividida em um número maior de elementos, ou seja, se houvesse um

refinamento no modelo de elementos finitos, nenhuma mudança ocorreria nos resultados já

obtidos (as novas malhas deveriam manter Q como carga nodal). Isto se deve ao fato de a


aproximação linear adotada para o campo de deslocamento em cada elemento reproduzir a

solução exata, uma vez que qx = 0. �

Exemplo 3.3 Refaça o Exemplo 3.2, supondo que a estrutura esteja sob uma carga qx = q0

uniformemente distribuída.

A solução exata do problema é dada por (veja Exemplo 2.6)

u(x) =q0x

EA

(L− x

2

)N(x) = EAu′ = q0 (L− x) .

Indicamos na figura a seguir a barra dividida em dois elementos, como no Exemplo 3.2.

L2

nó 2

D1 D2 D3

elemento 2

nó 1 nó 3nó 2

elemento 1

1rx1 rx21 rx12 rx22

rx21 rx12nó 1

R

1rx1 nó 3rx22

q0

elemento 1

q0

L2

elemento 2

q0

u11 u2

1 u12 u2

2

Elemento 1 : a equação (3.39) escreve-se

EA

L/2

1 −1−1 1

u11

u12

=q0L/2

2

1

1

+

r1x1

r1x2

onde, diferentemente do Exemplo 3.2, {p} não é nulo. Sabendo-se que

u11 = D1 u12 = D2,


então

EI

L/2

1 −1 0

−1 1 0

0 0 0

D1

D2

D3

=q0L/2

2

1

1

0

+

r1x1

r1x2

0

.

Elemento 2 : de maneira análoga ao elemento 1, escrevemos para o elemento 2

EA

L/2

1 −1−1 1

u21

u22

=q0L/2

2

1

1

+

r2x1

r2x2

.

Sabendo-se que

u21 = D2 u22 = D3,

então

EI

L/2

0 0 0

0 1 −10 −1 1

D1

D2

D3

=q0L/2

2

0

1

1

+

0

r2x1

r2x2

.

Vamos somar as equações dos dois elementos,

EA

L/2

1 −1 0

−1 1 + 1 −10 −1 1

D1

D2

D3

=q0L/2

2

1

1 + 1

1

+

r1x1

r1x2 + r2x1

r2x2

,

e impor a condição de equilíbrio dos três nós,

r1x1 = R r1x2 + r2x1 = 0 r2x2 = 0,

para obter a equação da estrutura:

EA

L/2

1 −1 0

−1 2 −10 −1 1

D1

D2

D3

=q0L/2

2

1

2

1

+

R

0

0

.

Perceba que o lado esquerdo da equação mantém-se inalterado em relação ao Exemplo 3.2.

Como

D1 = 0,


então

EA

L/2

1 −1 0

−1 2 −10 −1 1

0

D2

D3

=qL/2

2

1

2

1

+

R

0

0

ou

EA

L/2

−1 0

2 −1−1 1

D2

D3

=q0L/2

2

1

2

1

+

R

0

0

.

Reagrupemos as equações na forma

EA

L/2

2 −1−1 1

D2

D3

=q0L/2

2

2

1

EA

L/2� −1 0 �

D2

D3

=q0L/2

2+R.

Do primeiro grupo de equações,

D2

D3

=

L

2EA

2 −1−1 1

−1

q0L/2

2

2

1

=L

2EA

1 1

1 2

q0L/22

2

1

=q0L

2

8EA

3

4

.

Pós-processamento: substituindo os deslocamentos nodais na segunda equação, obtemos a

reação de apoio

R =EA

L/2� −1 0 �

q0L2

8EA

3

4

− q0L/2

2= −q0L.

Para obter as reações nodais, usamos a seguir a equação[k] {d}= {p} + {r} de cada

elemento.


Elemento 1

r1x1

r1x2

=EA

L/2

1 −1−1 1

u11

u12

− q0L/2

2

1

1

=EA

L/2

1 −1−1 1

D1

D2

− q0L/2

2

1

1

=EA

L/2

1 −1−1 1

q0L2

8EA

0

3

− q0L/2

2

1

1

=

−21

q0L

2.

elemento 1q L0q L0 2

Elemento 2

r2x1

r2x2

=EA

L/2

1 −1−1 1

u21

u22

− q0L/2

2

1

1

=EA

L/2

1 −1−1 1

D2

D3

− q0L/2

2

1

1

=EA

L/2

1 −1−1 1

q0L2

8EA

3

4

− q0L/2

2

1

1

=

−10

q0L

2.

elemento 2

q L0 2

O campo de deslocamento no interior de cada elemento é avaliado a seguir.


Elemento 1

u(x) = φ11u1

1 + φ12u1

2

=

(1− x

L/2

)D1 +

x

L/2D2

=x

L/2

3q0L2

8EA

=3q0L

4EAx 0 ≤ x ≤ L

2.

Como o deslocamento u(x) é aproximado, pois qx = 0, as reações nodais avaliadas usando a

força normal,

r1x1

r1x2

=

−N(0)

N(L

2)

=

−EAu′(0)

EAu′(L

2)

=3q0L

4

−11

,

diferem dos valores exatos

−21

q0L

2

obtidos pela equação do elemento 1. Isto se deve ao fato de ser u(x) um campo exato

apenas em relação ao elemento sob forças nodais equivalentes. Considerar N(0) e N(L)

como sendo da barra sob a carga uniformemente distribuída conduzirá mesmo aos valores

inexatos ilustrados acima. A equação do elemento identifica os valores exatos de r1x1 e r1x2

porque procede de maneira semelhante ao que mostramos na figura a seguir para avaliar

r1x1 por equilíbrio. Destacamos na figura um trecho infinitesimal do elemento próximo à sua

extremidade esquerda, indicando a reação nodal r1x1, a carga nodal equivalente q0L/4 e a

força normal N(0) avaliada pela derivada de u(x). Por equilíbrio, obtemos o valor exato de

r1x1 pois N(0) refere-se ao elemento com carga nodal equivalente e, portanto, é exato.

N(0)1rx1

q L0 4

rx1=-N(0)-q L0 4

=-q L0 4

3q L0 4 -

=-q L0


Elemento 2

u(x) = φ21u2

1 + φ22u2

2

=

(1− x

L/2

)D2 +

x

L/2D3

=

(1− x

L/2

)3q0L

2

8EA+

x

L/2

4q0L2

8EA

=q0L

4EA

(3L

2+ x

)0 ≤ x ≤ L

2.

Da mesma forma que no elemento 1, as reações nodais avaliadas usando a força normal,

r2x1

r2x2

=

−N(0)

N(L

2)

=

−EAu′(0)

EAu′(L

2)

=q0L

4

−11

,

conduz às reações nodais que diferem dos valores exatos

q0L

2

−10

obtidos pela equação do elemento 2.

As soluções exata e de elementos finitos são representadas graficamente a seguir. Compare

os resultados aqui indicados com os da figura no final do Exemplo 2.6.


uL /EA2q0

x/L0,5

x/L

NLq0

10,5

exato

elem. fin.

exato

elem. fin.

1

0,5

1

Considerando que qx = 0, o campo (3.35) admitido para o elemento não reproduz a solução

exata. No entanto, este exemplo traz alguns resultados surpreendentes: (a) os deslocamentos

nodais {D} são exatos; (b) a reação de apoio R é exata (avaliada usando a equação da

estrutura); (c) as reações nodais {r}, avaliadas usando a equação do elemento, são também

exatas. Isto se deve ao elemento de barra satisfazer os requisitos explicados nos Comentários

3.1. O uso de uma malha mais refinada melhoraria o campo de deslocamento no interior

de cada elemento (campo ainda linear mas para um elemento menor), disponibilizaria um

número maior de valores exatos para deslocamentos e reações nodais, manteria a reação de

apoio inalterada e exata independentemente da malha adotada. �


x

elemento 1nó 1 nó 2

1

1

1 1

D1 D2 D3

elemento 2

nó 1 nó 3nó 2

elemento 1

1D1 1=u

nó 2 nó 3elemento 2

x

2

2

2 2

D3

2u =D2 3

21u =D =u2 2 1

x

Figura 3.5 Barra dividida em dois elementos, com o campo de deslocamento representado

na base local {φe} de cada elemento.

Base Global

A Figura 3.5 traz a barra dividida em dois elementos, como usada nos Exemplos 3.2 e 3.3,

com o campo de deslocamento representado na base local {φe} de cada elemento.

Considerando a relação que existe entre os deslocamentos locais uei e globais Di, e entre

as coordenadas local x e global x, escrevemos

u(x) =

D1φ1

1 +D2φ1

2 0 ≤ x ≤ L

2

D2φ2

1 +D3φ2

2

L

2≤ x ≤ L.

(3.46)

Como uma função φei (i = 1, 2) só não é nula dentro do elemento “e”, podemos adicionar as


duas expressões acima para obter uma única expressão dada por

u(x) =(D1φ

1

1 +D2φ1

2

)+(D2φ

2

1 +D3φ2

2

)

= D1φ1

1 +D2

(φ12 + φ21

)+D3φ

2

2

= D1φ1 +D2φ2 +D3φ2

= {φ}T {D} (3.47)

onde

{φ} =

φ1

φ2

φ3

{D} =

D1

D2

D3

(3.48)

e

φ1(x) =

φ11(x) x ∈ elemento 1

0 x ∈ elemento 2

φ2(x) =



(3.49)

φ3(x) =

0 x ∈ elemento 1

φ22(x) x ∈ elemento 2.

A busca do deslocamento u(x) em toda a barra se dá, portanto, num espaço vetorial de

dimensão 3 gerado pela base global {φ} (veja Figura 3.6). Se localmente as funções φe1 e φe2

interpolam os valores nodais ue1 e ue2 para fornecer o deslocamento em qualquer ponto do

elemento “e”, globalmente as funções φ1, φ2 e φ3 interpolam os valores nodais D1, D2 e D3

para fornecer o deslocamento em qualquer ponto da barra.

A Figura 3.7 mostra as n função φi(x) da base global, caso a barra seja dividida em

n − 1 elementos, num total de n nós. Perceba que uma função φi da base só não é orto-

gonal às funções φi−1 e φi+1. Ou seja, a aproximação por elementos finitos conduz a uma

base próxima de ser ortogonal, inclusive em suas derivadas, o que explica o bom condiciona-

mento da equação da estrutura se comparada com o método de Ritz convencional. Além


nó 1 nó 3nó 2

D1

D2 D3

x

Figura 3.6 Barra dividida em dois elementos, com o campo de deslocamento representado

na base global {φ}.

disso, adicionar elementos não implica integrações mais trabalhosas (veja a terceira dificul-

dade mencionada na página 3-1). Uma consequência prática importante do uso dessa base

é que a matriz de rigidez gerada é esparsa, podendo ser armazenada e tratada com eficiên-

cia computacional (ao dividir o domínio em trechos e fazer aproximações do deslocamento

nesses trechos, o método dos elementos finitos constrói para todo o domínio bases “quase

ortogonais”).


Figura 3.7 Funções φi(x) da base global {φ} para a barra dividida em n− 1 elementos.


Comentários 3.1 :

• A conexão dos elementos para recompor a estrutura é feita de maneira sistemática e se

baseia: (a) na continuidade do deslocamento (restrição sobre a variável primária) entre

elementos adjacentes; (b) no equilíbrio dos nós (restrição sobre a variável secundária).

• O polinômio completo escolhido para aproximar o deslocamento (variável dependente

presente na forma fraca) deve ser tal que: (a) o deslocamento (variável dependente)

seja contínuo dentro do elemento até, pelo menos, a derivação de ordem mais elevada

presente na forma fraca; (b) o deslocamento (agora, por ter sido identificado como

variável primária) seja contínuo entre elementos adjacentes. É interessante consultar

a aplicação desse procedimento para gerar o “elemento de viga de Euler-Bernoulli” na

Seção 3.5.

• Num forma compacta, a equação da estrutura escreve-se

[K] {D} = {P}+ {R} = {F} (3.50)

onde [K] é a matriz de rigidez da estrutura e {D} é o vetor dos deslocamentos nodais.

O vetor {F} = {P} + {R} das forças nodais é constituído pelo vetor {P} das forças

nodais equivalentes (obtido do vetor {p} dos elementos) e pelo vetor {R} das forças

externas (incluem as reações de apoio) aplicadas aos nós. No Exemplo 3.2

{P} = {0} {R} =

R

Q

P

(3.51)

e no Exemplo 3.3

{P} = q0L

4

1

2

1

{R} =

R

0

0

. (3.52)

Temos obtido {R} pelo equilíbrio de cada nó apenas para enfatizar o que se passa

no processo de espalhamento. No entanto, esse vetor pode ser obtido de maneira

expedida só em observar as forças nodais aplicadas. Antes da solução do problema, se

um deslocamento Di é conhecido, a correspondente força Ri é incógnita, e vice-versa.


• O sistema linear [K] {D} = {F} tem uma, e somente uma, solução para [K] não

singular. Se {F} = {0}, por exemplo, a solução será {D} = {0} para [K] não singular,

mas haverá infinitas soluções para [K] singular. É fácil, portanto, entender por que

[K] é singular quando a estrutura apresenta movimento de corpo rígido.

• Após a discretização, o contínuo desaparece e sobram apenas os nós. Na equação

[K] {D} = {F}, a contribuição nodal representada por {F} vem das forças externas,

incluindo as reações de apoio, e a contribuição nodal representada por [K] {D} vem

do material (forças internas). Nos Exemplos 3.2 e 3.3, as forças internas no nó 1 vêm

do elemento 1; no nó 3 vêm elemento 2; no nó 2 vêm de ambos os elementos 1 e 2.

• A imposição das condições de contorno é feita na equação da estrutura após o espalha-

mento de todos os elementos, lembrando que conhecemos em cada nó a força externa

ou o deslocamento correspondente, mas não ambos simultaneamente. Alterar uma

condição de contorno, ou adicionar ou remover elementos por causa de uma mudança

na geometria da barra, é algo relativamente simples.

• No Exemplo 3.2, em cada elemento

EAu′′ = 0 (3.53)

pois qx = 0. Como a solução exata u(x) é um polinômio de primeiro grau, a solução es-

tará no espaço gerado pela base {φe} do elemento. Portanto, naquele exemplo qualquer

resultado obtido pelo método dos elementos finitos é exato.

• Lucena Neto et al. (201?) mostram que um elemento finito conduzirá a valores exatos

dos deslocamentos nodais {D}, reações de apoio e reações nodais {r}, independente-mente da distribuição do carregamento, se:

(a) o problema for linear;

(b) a base local {φe} do elemento é a mesma que define a solução geral da equação

homogênea;

(c) os vetores {p} são equivalentes no trabalho;

(d) as reações de apoio são avaliadas usando a equação [K] {D} = {F} da estrutura;

(e) as reações nodais {r} são avaliadas usando a equação[k] {d}={f}do elemento.


No caso específico do problema 3.3, em cada elemento

EAu′′ = q0. (3.54)

A solução exata u(x) é um polinômio quadrático, que não pertence ao espaço gerado

pela base local {φe} do elemento. No entanto, o problema é linear, o elemento é

aproximado por um polinômio de primeiro grau que coincide com a solução geral da

equação homogênea

EAu′′ = 0 (3.55)

e somente {p} equivalentes no trabalho são utilizados. Portanto, os deslocamentos

nodais {D} obtidos deveriam mesmo ser exatos, assim como a reação de apoio e as

reações nodais {r} devido ao procedimento adotado em avaliá-las.

• Elementos gerados a partir da solução da equação homogênea são conhecidos por su-

perconvergentes e, na prática, só existem para problemas unidimensionais.

• Tradicionalmente, o campo de deslocamento num elemento é aproximado por

u(x) = {φe}T{d}

onde {φe} é a base do espaço vetorial definido a partir dos valores nodais{d}

das

variáveis primárias. A busca por uma melhor aproximação se dá dividindo o domínio

em um número maior de elementos (refinamento da malha). Nada impede, no entanto,

que o campo de deslocamento no elemento seja definido num espaço de dimensão

variável, por exemplo,

u(x) = {φe}T{d}+ {Φ}T {c}

onde a ampliação {Φ} da base está associada a valores não nodais {c}, sem significado

físico. A busca por uma melhor aproximação poderia agora se dar: (a) fixando {Φ},mas aumentando o número de elementos; (b) fixando o número de elementos, mas

aumentando a dimensão de {Φ}; (c) aumentando o número de elementos e a dimensão

de {Φ}. Dizemos que no caso (a) ocorre um refinamento h ou da malha (h simboliza

a dimensão do elemento), no caso (b) ocorre um refinamento p (p simboliza a ordem

do polinômio que gera o elemento) e no caso (c) ocorre um refinamento hp.


qx

Le

x

y

x

y

x

y

u1e

v1e

u1e

v1e

u2e

v2e

u2e

v2e

a

rx1e

rx2e

rx1e

ry1e

rx2e

ry2e

(a)

(b)

Figura 3.8 (a) Reações nodais rex1, rex2 e carga externa qx no sistema local xy, e reações

nodais rex1, rey1, r

ex2, r

ey2 no sistema global xy; (b) deslocamentos nodais ue1, v

e1, u

e2, v

e2 no

sistema local xy e deslocamentos nodais ue1, ve1, u

e2, v

e2 no sistema global xy.

• Com a definição acima, o método de Ritz tradicional pode ser visto como o método

dos elementos finitos no qual um único elemento é adotado para todo o domínio sob

refinamento p.

3.4 ELEMENTO DE TRELIÇA PLANA

Denominamos elemento de treliça plana o elemento de barra orientado arbitrariamente num

plano, como indicado na Figura 3.8. A equação do elemento (3.42), válida no sistema local

xy, será transformada para o sistema global xy e usada para modelar treliças.

Pela figura percebemos que as componentes do deslocamento em cada nó nos sistemas


local e global estão relacionadas por

ue1 = ue1 cosα+ ve1 senα

ve1 = −ue1 senα+ ve1 cosα

ue2 = ue2 cosα+ ve2 senα

ve2 = −ue2 senα+ ve2 cosα (3.56)

ou

ue1

ve1

ue2

ve2

=

cosα senα 0 0

− senα cosα 0 0

0 0 cosα senα

0 0 − senα cosα

ue1

ve1

ue2

ve2

. (3.57)

Como no sistema local a equação do elemento (3.42) só envolve as componentes axiais

ue1 e ue2 do deslocamento nodal, então

ue1

ue2

=

cosα senα 0 0

0 0 cosα senα

ue1

ve1

ue2

ve2

⇒{d}= [T ] {d} . (3.58)

A matriz de transformação

[T ] =

c s 0 0

0 0 c s

c = cosα s = senα (3.59)

relaciona os deslocamentos nodais {d} do elemento no sistema global com os deslocamentos

nodais{d}no sistema local. Poderíamos igualmente mostrar que

{d} = [T ]T{d}. (3.60)

As mesmas relações são válidas para as forças nodais:

{f}= [T ] {f} {f} = [T ]T

{f}. (3.61)

Substituindo (3.58) na equação do elemento (3.42), seguida de sua pré-multiplicação por

[T ]T , obtemos

[T ]T[k][T ]

︸︷︷︸{d} = [T ]T

{f}

︸︷︷︸. (3.62)

[k] {f}


No sistema global xy a equação do elemento é, portanto, dada por

[k] {d} = {f} (3.63)

onde

[k] = [T ]T[k][T ] (3.64)

é a matriz de rigidez do elemento no sistema global. O desenvolvimento dessa matriz resulta

em

[k] =

c s 0 0

0 0 c s

T

EA

Le

1 −1−1 1

c s 0 0

0 0 c s

=EA

Le

c2 cs −c2 −cscs s2 −cs −s2

−c2 −cs c2 cs

−cs −s2 cs s2

. (3.65)

Exemplo 3.4 Use o método dos elementos finitos para determinar na treliça plana indicada:

(a) os deslocamentos nodais;

(b) as reações de apoio;

(c) as reações nodais.

P

Rx1

Ry1 Ry3

A, E, L

A, E, L2

A, E, L


A aplicação do método de Ritz convencional a essa treliça seria impossível por causa de

sua geometria. Mostremos como essa dificuldade é eliminada usando o método dos elementos

finitos. Numeremos os elementos, os nós e os deslocamentos nodais no sistema global como

indicado a seguir.

x

y elemento 1 elemento 2

elemento 3D1

D2

D3

D4

D5

D6

nó 1

nó 2

nó 3

O posicionamento do sistema local em cada elemento é mostrado na figura abaixo, lembrando

que o nó 1 de um elemento situa-se na origem do sistema e o eixo z aponta para fora da

página (o sistema xyz é dextrogiro).

x

y

x

yx

y

elemento 1 elemento 2

elemento 3

x

y45o

-45o

Para se fazer o espalhamento de cada elemento, devemos lidar com sua equação dada por

(3.63) no sistema global.

Elemento 1 θ = 45◦ Le = L

EA

L

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 50, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5

−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5

u11

v11

u12

v12

=

r1x1

r1y1

r1x2

r1y2


u11 1rx1,

1v , 1 ry11

1 1u , 2 rx2

11v , 2 ry2

Sabendo-se que

u11 = D1 v11 = D2 u12 = D3 v12 = D4,

então

EA

L

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 0 0

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 0 0

−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5 0 0

−0, 5 −0, 5 0, 5 0, 5 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

=

r1x1

r1y1

r1x2

r1y2

0

0

onde a equação do elemento é escrita em termos de todos os deslocamentos nodais Di da

estrutura, adicionando linhas e colunas nulas onde forem necessárias.

Elemento 2 θ = −45◦ Le = L

EA

L

0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

−0, 5 0, 5 0, 5 −0, 5−0, 5 0, 5 0, 5 −0, 50, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

u21

v21

u22

v22

=

r2x1

r2y1

r2x2

r2y2

u1 rx1,2 2

2v , 1 ry12

2u , 2 rx22

2v , 2 ry22

Sabendo-se que

u21 = D3 v21 = D4 u22 = D5 v22 = D6,


então

EA

L

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

0 0 −0, 5 0, 5 0, 5 −0, 50 0 −0, 5 0, 5 0, 5 −0, 50 0 0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

D1

D2

D3

D4

D5

D6

=

0

0

r2x1

r2y1

r2x2

r2y2

.

Elemento 3 θ = 0◦ Le =√2L

EA√2L

1 0 −1 0

0 0 0 0

−1 0 1 0

0 0 0 0

u31

v31

u32

v32

=

r3x1

r3y1

r3x2

r3y2

3u1 rx1, 3

3v , 1 ry13

3u , 2 rx23

3v , 2 ry23

Sabendo-se que

u31 = D1 v31 = D2 u32 = D5 v32 = D6,

então

EA√2L

1 0 0 0 −1 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

−1 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0

D1

D2

D3

D4

D5

D6

=

r3x1

r3y1

0

0

r3x2

r3y2

.


Vamos adicionar as equações dos elementos,

EA

L

0, 5 + 1/√2 0, 5 −0, 5 −0, 5 −1/

√2 0

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 0 0

−0, 5 −0, 5 0, 5 + 0, 5 0, 5− 0, 5 −0, 5 0, 5

−0, 5 −0, 5 0, 5− 0, 5 0, 5 + 0, 5 0, 5 −0, 5−1/

√2 0 −0, 5 0, 5 0, 5 + 1/

√2 −0, 5

0 0 0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

D1

D2

D3

D4

D5

D6

=

r1x1 + r3x1

r1y1 + r3y1

r1x2 + r2x1

r1y2 + r2y1

r2x2 + r3x2

r2y2 + r3y2

,

e impor a condição de equilíbrio dos nós,

r1x1 + r3x1 = Rx1

r1y1 + r3y1 = Ry1

r1x2 + r2x1 = 0

r1y2 + r2y1 = P

r2x2 + r3x2 = 0

r2y2 + r3y2 = Ry3,

para obter

EA

L

1, 207 0, 5 −0, 5 −0, 5 −0, 707 0

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 0 0

−0, 5 −0, 5 1 0 −0, 5 0, 5

−0, 5 −0, 5 0 1 0, 5 −0, 5−0, 707 0 −0, 5 0, 5 1, 207 −0, 50 0 0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

D1

D2

D3

D4

D5

D6

=

Rx1

Ry1

0

P

0

Ry3

.

Em particular, a condição de equilíbrio do nó 2,

r1x2 + r2x1 = 0

r1y2 + r2y1 = P ,


pode ser visualizada na figura a seguir.

2rx1

2ry1

2rx2

2ry2elemento 2

1rx1

1rx21ry1

1ry2

elemento 1

nó 2

P

1rx2 2rx12ry11ry2

A introdução das condições de contorno

D1 = 0 D2 = 0 D6 = 0

resulta em

EA

L

1, 207 0, 5 −0, 5 −0, 5 −0, 707 0

0, 5 0, 5 −0, 5 −0, 5 0 0

−0, 5 −0, 5 1 0 −0, 5 0, 5

−0, 5 −0, 5 0 1 0, 5 −0, 5−0, 707 0 −0, 5 0, 5 1, 207 −0, 50 0 0, 5 −0, 5 −0, 5 0, 5

0

0

D3

D4

D5

0

=

Rx1

Ry1

0

P

0

Ry3

ou

EA

L

−0, 5 −0, 5 −0, 707−0, 5 −0, 5 0

1 0 −0, 50 1 0, 5

−0, 5 0, 5 1, 207

0, 5 −0, 5 −0, 5

D3

D4

D5

=

Rx1

Ry1

0

P

0

Ry3

.


Reagrupemos as equações na forma

EA

L

1 0 −0, 50 1 0, 5

−0, 5 0, 5 1, 207

D3

D4

D5

=

0

P

0

EA

L

−0, 5 −0, 5 −0, 707−0, 5 −0, 5 0

0, 5 −0, 5 −0, 5

D3

D4

D5

=

Rx1

Ry1

Ry3

.

Do primeiro grupo de equações,

D3

D4

D5

=

L

EA

1 0 −0, 50 1 0, 5

−0, 5 0, 5 1, 207

−1

0

P

0

=L

EA

1, 354 −0, 354 0, 707

−0, 354 1, 354 −0, 7070, 707 −0, 707 1, 414

0

P

0

=

−0, 3541, 354

−0, 707

PL

EA.

Substituindo esse resultado no segundo grupo de equações,

Rx1

Ry1

Ry3

=EA

L

−0, 5 −0, 5 −0, 707−0, 5 −0, 5 0

0, 5 −0, 5 −0, 5

−0, 3541, 354

−0, 707

PL

EA=

0

−0, 5−0, 5

P .

Para obter as reações nodais, usamos a seguir a equação[k] {d}= {r} de cada elemento.

Elemento 1 θ = 45◦

[T ] =

0, 707 0, 707 0 0

0 0 0, 707 0, 707

{d}= [T ] {d} = [T ]

0

0

D3

D4

=

0

0, 707

PL

EA

{r} =[k] {d}=EA

L

1 −1−1 1

0

0, 707

PL

EA=

−0, 7070, 707

P .


0,707 P

0,707 P

x

y

Elemento 2 θ = −45◦

[T ] =

0, 707 −0, 707 0 0

0 0 0, 707 −0, 707

{d}= [T ] {d} = [T ]

D3

D4

D5

0

=

−1, 208−0, 5

PL

EA

{r} =[k] {d}=EA

L

1 −1−1 1

−1, 208−0, 5

PL

EA=

−0, 7080, 708

P .

0,708 P

0,708 Px

y


Elemento 3 θ = 0◦

[T ] =

1 0 0 0

0 0 1 0

{d}= [T ] {d} = [T ]

0

0

D5

0

=

0

−0, 707

PL

EA

{r} =[k] {d}=

EA√2L

1 −1−1 1

0

−0, 707

PL

EA=

0, 5

−0, 5

P .

0,5 P 0,5 P x

y

�

As seguintes vantagens de se discretizar todo o domínio a partir de um elemento simples

foi ilustrado nos exemplos anteriores: (a) contornar a dificuldade de não ser a solução dada

por uma única função (Exemplo 3.2); (b) aproximar uma solução genérica pelo refinamento

da malha (Exemplo 3.3); (c) lidar com geometrias irregulares simplesmente rotacionando o

elemento (Exemplo 3.3).

3.5 ESTRUTURA DE UM PROGRAMA

Existem hoje vários programas de elementos finitos no mercado. Destacamos: ABAQUS,

ADINA, ANSYS, COSMOS, LUSAS, NASTRAN e SAP. Sua utilização permite a definição

de um modelo de elementos finitos para o problema, requerendo a preparação de dados de

acordo com especificações contidas nos manuais. Não é necessário um conhecimento completo

da teoria usada para desenvolver cada elemento. Entretanto, isto pode fazer alguma falta

na hora de interpretar e verificar os resultados. O ideal seria que o usuário entendesse

fisicamente o problema, como os elementos utilizados se comportam e quais as limitações da

teoria na qual são baseados, e soubesse interpretar os resultados quanto à sua exatidão.


Os resultados de uma análise são geralmente volumosos. Para facilitar o processamento

tanto dos dados de entrada como desses resultados, existem hoje comercialmente disponíveis

programas com recursos gráficos cada vez mais sofisticados. Destacamos: FEMAP, GEOSTAR,

HYPERMESH, INGRID e PATRAN.

Para desenvolver um programa de elementos finitos eficientemente, é preciso familiaridade

com três disciplinas:

• mecânica do contínuo: formulação do modelo matemático do problema físico em nível

apropriado de aproximação;

• análise numérica: seleção de algoritmos numéricos robustos;

• computação.

O fluxograma de um programa para a análise estática linear de uma estrutura em barras,

em que as variáveis nodais são os deslocamentos, tem mais ou menos a sequência indicada a

seguir.


Início

Montagem das forças nodais equi-

valentes no sistema local{ }p_

Montagem da matriz de rigidez

do elemento no sistema local de eixos

[ ]k_

Determinação das reações de apoio(nos pontos onde os deslocamentos são prescritos)

Fim

montagem do vetor deforças nodais e da matriz

de rigidez da estrutura

para todosos elementos

para todosos elementos

_

] }{d}=[T{dDeterminação dos deslocamentos nodais

no sistema local , seguida da

determinação das reações nodais

( )( k ){ } { } { }r d - p = [ ]

_ __

[T]T{ }p_

_Transformação de

{ }p para o sistema global

( ), seguida de seu espalhamento

no vetor de forças nodais da estrutura{ }P

Transformação de [ ]k para o sistema global

, seguida de seu espalha-

mento na matriz de rigidez

( )[ ]K da estrutura

_

[T]T[ ]k_

[T]

Imposição das condições de contorno à equação

[ ] =K D{ } { }F da estrutura, seguida de sua solução

(determinação dos deslocamentos nodais)


A entrada de dados pode ser feita de várias maneiras:

• arquivo de entrada: normalmente dificulta a compreensão por outro usuário;

• questionário: os dados são introduzidos por meio de uma interação usuário-máquina;

• pré-processamento gráfico (CAD): é a mais desejada. A geração automática de malha

via CAD está, hoje, bastante avançada.

É na entrada de dados que se definem a geometria da estrutura, as propriedades do material,

o carregamento e as condições de contorno. É também nesta fase onde o usuário toma uma

importante decisão: escolher os elementos a serem utilizados e a discretização (divisão da

estrutura em elementos, estabelecendo as coordenadas dos nós).

O vetor {p} de forças nodais equivalentes e a matriz[k]de rigidez de cada elemento

podem ser adicionados, respectivamente, ao vetor de forças nodais e à matriz de rigidez da

estrutura à medida que são montados. A vantagem desse procedimento é permitir que {p}e[k]sejam utilizados apenas temporariamente por um elemento e depois liberados para o

armazenamento das informações de um próximo elemento.

A matriz de rigidez da estrutura tem características que facilitam a sua montagem e

armazenamento: é simétrica (como seria em qualquer problema conservativo) e esparsa.

A solução do sistema de equações, para determinação dos deslocamentos nodais, é a parte

que mais consome tempo de computador. Após concluída esta etapa, o usuário tem nas mãos

todos os ingredientes para responder suas perguntas. Começa a fase do pós-processamento:

determinação das reações de apoio, distribuição de tensão, etc.

Não existe critério para definir o número ótimo de elementos a ser utilizado na solução

de um problema (representação de um sistema com infinitos graus de liberdade por um com

número finito). Na dúvida, deve ser feito teste de convergência, comparando soluções obtidas

com diferentes refinamentos. A malha ótima seria aquela que fornecesse a aproximação

desejada com omenor número possível de elementos (reduzido número de graus de liberdade).

Alguns conselhos podem ser seguidos:

• levar em conta as descontinuidades geométricas, nas propriedades do material ou no

carregamento;

• discretizar mais nos pontos de concentração de tensão;


• usar elementos pouco distorcidos para evitar mau condicionamento numérico;

• cada refinamento da malha seja obtido pela divisão dos elementos da malha anterior,

mantendo assim os nós e as interfaces já existentes. Matematicamente, dizemos que

esse tipo de refinamento retém a aproximação anterior como um subconjunto da apro-

ximação atual (corresponde a acrescentar mais termos ao método de Ritz tradicional);

malha original de uma placa discretizadaem elementos triangulares

malha refinada, mantendonós e interfaces existentes

malha refinada, mantendo nós mas nem todas as interfaces existentes

A discretização de diferentes domínios é ilustrada nas cinco figuras a seguir. A primeira

mostra a estrutura, sem as lajes, de um edifício de três andares discretizada por elementos

de barra.


A discretização da estrutura abaixo é menos trivial. É uma placa com furo, discretizada

numa malha de elementos triangulares e quadrilaterais. Observe um maior refinamento nos

pontos de concentração de tensão.

A próxima figura contém um modelo feito no MSC/NASTRAN para o EMB-145SA

SIVAM fabricado pela Embraer: o revestimento é discretizado por elementos QUAD4; os

reforçadores longitudinais e as cavernas por elementos BAR.


A figura a seguir mostra uma carroceria de automóvel dividida em 11732 elementos tri-

angulares de casca.


Finalmente, uma taça de champagne é discretizada em 1117 elementos tetraédricos como

indicado.

Documents

Elementos finitos