ELEMENTOSDEMATEMATICA ELEMENTOS DE MATEMATICAcaece.opac.com.ar/gsdl/collect/document/index/assoc/HASH... · 2012-07-18 · vínculo sin discontinuidades con los colegas de ^ Islas

ELEMENTOSDEMATEMATICA

Propietario: Fundación C A E C E Publicación didáctico científica editada por la Universidad C A E C E - Trimestral

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Dr. Natal io Héctor Guersenzvaig Lic. Lucrec ia Iglesias

Prof . Juan Foncuber ta Lic. Francisco Vil laverde

Prof. Mar io Cozzani

C : n el auspicio del Comi té Argent ino de Educac ión Matemát i ca

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Ex.er ior: u$s30.- o el equivalente en m o n e d a de cada país. E jemplar atrasado: $7.-

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''••¿¿.iO \ .

E L E M E N T O S D E M A T E M A T I C A

P U B L I C A C I O N D I D A C T I C O - C I E N T I F I C A

DE LA UNIVERSIDAD CAECE

VOLUMEN XV NUMERO LVIII D i c i e m b r e 2 0 0 0

SUMARIO

Editorial 3

Posibilidades didácticas de un puzzle de estrellas y navetas Dr. Manuel Fernández Reyes 5

La Biblioteca Lic. Francisco Villaverde ... 16

Sistemas Dinámicos Discretos Lic. Francisco Villaverde 17

Los Problemas en el Aula Prof. Juan Angel Foncuberta 33

Problemas propuestos para 3o C. EGB y polimodal Prof. Mario J. Cozzani 37

Propuesta Didáctica Coordinadora: Lic. Lucrecia D. Iglesias 43

Problemas y soluciones para publicar Dr. Natalio Héctor Guersenzvaig 47

WWW.matemática... Lic. Francisco Villaverde 51

RELME15 - Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa 52

I S S N 0326-8888

1 Estimado colega:

I

de un puzzle de estrellas y navetas". Este artículo fue ^ publicado en el N"19 de la Revista "Números", que ^

Con el número LVIII que entregamos finaliza ^ el año 2000, que es a su vez el fin del milenio y del ^ siglo XX. |

I En él tenemos el enorme placer de publicar § \x un hermoso trabajo del colega español Manuel ^ Fernández Reyes titulado "Posibilidades didácticas ^

publica la Sociedad Canaria de Profesores de ^ Matemáticas "Isaac Newton", de La Laguna, ^ Tenerife, Islas Canarias, España y por gentileza ^ de su autor, fue autorizada su inclusión en nuestra ^ revista. Deseamos que esto sea el comienzo de un ^ vínculo sin discontinuidades con los colegas de ^ Islas Canarias, que nos enriquece. ^

I Además de las secciones permanentes -en el ^

caso de Problemas y Soluciones para publicar, el Dr. h Guersenzvaig, por última vez comenta soluciones ^ recibidas, según se anticipó en el número LVII- se ^ incluye la Io parte del trabajo "Sistemas ^ Matemáticos Discretos" del Profesor Francisco ^ Villaverde que esperamos promueva inquitudes en ^ nuestros esforzados colegas. ^

Finalmente, con carácter informativo se ^ incluye un anuncio sobre la Decimoquinta Reunión ^ Latinoamericana de Matemática Educativa. ^

1 Queda sólo expresar el deseo de la mayor ^ fortuna para nuestros colegas en el comienzo de ^ este nuevo siglo. - ^

I

El Director §

i

ELEMENTOS DE MATEMÁTICA - Vol.XV, Nro. 58, Diciembre de 2000 5

Posibilidades didácticas de un puzzle de estrellas y navetas de Manuel Fernández Reyes(*)

1.-INTRODUCCIÓN

Esta lección de Geometría ha sido preparada con un múltiple propósito: . Con el soporte de un material de fácil elaboración, ayudar a descubrir

relaciones interesantes entre figuras, expresarlas en lenguaje ordinario y demostrarlas formalmente.

. Aprovechar el interés que pueda despertar este proceso, para efectuar cálculos que, propuestos en frío, sin un objetivo atractivo, suelen resultar tediosos.

. Dar oportunidad de usar la regla y el compás, magníficos instrumentos de ayuda y refuerzo, generalmente poco utilizados en nuestras clases.

. Y, por último, utilizar problemas geométricos no rutinarios para hacer insursiones en campos diversos de la Matemática. En este trabajo, concretamente, pretendemos cubrir este objetivo tendiendo puentes entre Geometría euclídea, Geometría analítica y Cálculo integral.

Está concebida para ser desarrollada antes de abordar el cálculo de áreas por integración, una vez que el alumno domine los conocimientos básicos de Analítica \ de resolución de integrales sencillas. En definitiva, lo que proponemos a continuación quizás sirva de ejemplo de cómo organizar clases más dinámicas y con participación activa del alumnado.

2.- ÁREA DELA ESTRELLA

Dado un cuadrado de lado /, si se trazan en su interior arcos de radio r -1/2, con centros en los vértices, resulta un cuadrilátero curvilíneo, con aspecto de astroide, que llamaremos estrella (fig. 1).

Figura 1

/

" Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemática.

6 MANUEL FERNANDEZ REVE-

Liberemos nuestra estrella y dispongamos convenientemente los triángulos mixtilíneos que la aprisionan. Así:

Figura 2

r = 7/2 1

Hemos descompuesto el cuadrado en una estrella y un círculo de radio r - l / 2 . Por tanto:

El área Ae de la estrella es igual a la del cuadrado disminuida en la del círculo.

Esta igualdad nos va a permitir obtener una fórmula que nos déA directamen-te, esto es, sólo en función de / (o de r). Veamos:

l2(4-n) 4

A, =l2 - nr2 = ...=

O bien: = 4 r H 4 - n ) = }

4

(1)

(2)

3.- LA NAVETA Y SU AREA

Se conoce con el nombre de naveta (cada uno de los recintos rayados de la figura 3) la figura determinada por la intersección de dos arcos de radio r - U2, uno centrado en un vértice del cuadrado, y el otro con centro en el del círculo.

í V

\ / y

¿Cómo son las áreas de A t y A2? Parecen iguales, ¿no?. Pero no nos f iemos, es tudiemos matemát icamente la cuest ión.

Figura 3

A, = ( / / 2f nr Al2 - ni2 Z2(4-t i) ,

4 _ ( 4 - t c ) (cuarto de estrella) 2 16

A = A 2 (II)

POSIBILIDADES DIDÁCTICAS DE UN PUZZLE DE ESTRELLAS Y NAVETAS 7

Resumiendo:

_ l 2 ( 4 - f t L r 2 ( 4 - 7 t ) 2 16 4

(4)

Es evidente que:

El área de la naveta es la diferencia entre la del cuadrado de lado 1/2 y la suma de las áreas At y A .

Teniendo en cuenta la igualdad (3), resulta:

lo r- {%-2)

(5)

Si queremos A;¡ en función del radio r, basta sustituir en (5) / por 2r . Se obtiene:

r 2 (tc — 2 ) (6)

Por últ imo, es conveniente disponer de una fórmula para el cálculo directo del área de una naveta conocido su eje mayor d. Vamos a deducir la:

r2+r2 = d2 =>r 2 =d2/2

Sust i tuyendo en (6), se tiene

A _ {d2/2)(n-2) 2

d2 ( t i - 2 ) (V)

4. UNA FORMULA PARA EL ÁREA DE UNA CÚPULA

Llamaremos cúpula a la curva que resulta al cruzar dos navetas según las diagonales de un cuadrado (f igura 5) y el iminar ciertos recintos. La superf ic ie sombreada en la f igura 6 es una cúpula.

Por construcción, los triángulos ABO y OBC son equiláteros y congruentes. I2 a/3

Su lado es el del cuadrado, /. El área de uno de ellos es . 4

Como puede observarse, el sector circular OAC es un tercio del círculo. Por tanto, su área es ni2/3 .

Como los segmentos circulares que delimitan los arcos AB y BC t ienen la misma superf icie , fácil es ver que:

El área de la cúpula es la de un tercio de círculo, menos la de uno se los triángulos.

2a + b + c = (cúpula)

Resolviendo este sistema, resulta:

a = l2 ( -1 + 71/12 + V3 /2 )

b = l2 (l-7i/6-V3/4)

c = í~ (l + n/3-V5)

Y el área buscada es:

A = 4a + c = --- = l2 (-3 + 2m/3 + V3)

6 MANUEL FERNÁNDEZ RE YE 5

A figura 5 figuras

5. ¿QUE SUPERFICIE A B A R C A N DOS NAVETAS E N CRUZ?

4a + 4¿> + c = /2 (cuadrado) 3a + 2b + c = ni214 (cuadrante)


6. EL HACHA DE DOBLE FILO

Desde dos vért ices opuestos de un cuadrado de lado /, t racemos, en su interior, dos arcos de radio r = 1/2. A continuación, t racemos, con igual radio \ centro en el del cuadrado, sendos arcos que unan los extremos de los .interiores. Daremos el nombre de hacha de doble filo al cuadr i lá tero resultante (f igura 10).

Comple tando la c i rcunferencia a la que pertenecen los arcos-f i lo , se r btiene la f igura 11.

Despiecémosla , aislando el hacha y cortando por las líneas discont inuas , eamos qué descubrimientos podemos hacer con este nuevo puzzle.

Como si de la mitosis celular se tratara, el cuadrado ha dado lugar a dos "iz'r.is gemelas. En otras palabras:

£' área Ah del hacha es igual a la mitad de la del cuadrado.

Probemos matemát icamente esto. De la f igura 1 1 se desprende que: -Wa del hacha = Area del circulo - Area de dos navetas £ ; consecuencia:

/

figura 10 figuraU

A, Kl2 21' (re-2) 4 8

r-{2n-2{2vi-2)) _ l 8 2

2 (10)

10 MANUEL FERNANDEZ REVE-

Otra forma de comprobar experimentalmente que el hacha es la mitad del cuadrado, es disponer las piezas de la figura 13 dentro del cuadrado, como a continuación se indica:

7. E L P R O B L E M A D E L A N C L A

Con centro en el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo isósceles (figura 15), se traza el arco CB, de radio / (igual a la longitud de los catetos) y extremos en los de la hipotenusa.

Luego, se trazan dos semicircunferencias cuyos diámetros sean los catetos y que corten a la hipotenusa.

En la especie de ancla resultante vamos a demostrar que el área de la caña es igual a la de los brazos.

La caña es una naveta cuyo eje mayor, AD, es la altura de la hipotenusa que. como se sabe, es media proporcional entre los segmentos CD y DB que determina. Según esto, es:

figura 14

A

figura 15

AD = -jCD • DB = 4CBI2-CBI2 V / 2 + / 2 _ / V 2 2 2

Y aplicando la fórmula (7), el área de la caña es:

( I I )


El área de los brazos se puede obtener restando a la del segmento circular de

cuerda CB = 1 • V 2 / 2 y radio /, la de dos seminavetas de ejes CD y DB, siendo

CD = DB = / • -J2 / 2 . Resulta:

_ /2 (71- 2) l2 (TC-2)

Queda, pues, demostrada la equivalencia de áreas.

8. DE LA ESTRELLA A LA ASTROIDE.

La familia de la astroide.

En el segundo apartado aludíamos al parecido del cuadrilátero curvilíneo 1 estrella) resultante en el interior del cuadrado base de nuestro puzzle, con una de las hipocicloides, la denominada astroide. Antes de establecer la diferencia entre una y otra, recordemos algunas definiciones de interés.

Se llaman curvas epicicloidales a las engendradas por un punto de una curva, o de su plano, al rodar, sin deslizar, sobre otra curva. La curva generatriz se suele denominar "ruleta"; la fija, "base de la ruleta".

Si ambas son circunferencias, y la ruleta se desplaza por el interior de la base, la curva generada es una hipoc.icloide\ si lo hace por el exterior, recibe el nombre de epicicloide.

Si es R el radio de la circunfernecia base y r el de la ruleta, y si es r = 4,-, se genera la HIPOCICLIDE DE 4 RETROCESOS o ASTROIDE.

l2{71-2) (12)

T r a z a d o geomé t r i co de la a s t r o i d e .

La astroide puede también considerarse generada por la trayectoria de un z^.ento rectilíneo de longitud constante R, igual al radio de la circunferencia

:;:í, cuyos extremos se desplazan sobre los ejes de coordenadas.


Esta interpretación nos permite trazar por puntos dicha curva, sin tener que recurrir a su ecuación. A tal efecto, haremos uso de un sencillo proce-dimiento -cuya justificación puede verse, por ejemplo, en A.DONEDDU, Analyse et Geometrie differenciale, Dunod, Paris, 1970, pag. 394-, que consiste en lo siguiente:

Io Considerando el segmento generador en una posición cualquiera, se determina el cuarto vértice V del rectángulo del que dicho segmento es diagonal.

2° Se traza la perpendicular al segmento por V. El piede de estaperpen-dicular es un punto de la astroide.

B Y B / ' / I \ / |

f igura 17 0

\ / .

^ N J A

La figura siguiente muestra la obtención de algunos puntos de un arco de la astroide engendrada por un segmento de 5 unidades. Como la astroide es simétrica respecto a ambos ejes, a partir del arco trazado pueden obtenerse los otros tres que la cierran.

De te rminac ión anal í t ica de pun tos

Para dar cumplimiento a uno de nuestros objetivos, el de aprovechar un problema o cuestión para hacer incursiones en campos diversos de la Matemática, lo que consideramos altamente formativo, vamos a utilizar aquí nociones básicas de Geometría Analítica para valorar los puntos de la astroide anteriormente localizados.


1° Empezaremos por calcular las ordenadas de los vértices V , V , ... de los rectángulos determinados por las posiciones A B , del segmento generador (figura 18):

V, :y = ̂ 5z-2,252 = -^9315=4,5 = 9/2

V2 : y = 4 (terna pitagórica 3, 4, 5)

V,:y = ̂ ]52 -3,52 = JÍ2J5 = 3,6 = 18/5

V4 :y = 3

2o Coordenadas de P : Ecuación de la recta que corta a los ejes en A, (9/4, 0) y (0, 9 /2) :

•=> y = -2x+ 9 / 2 —— 1 —— = 1 : 9 /4 9 /2

Ecuación de su perpendicular por V¡ (9 /4 ,9 /2 ) :

y - 9 / 2 = 1/2 (x-9/4)=> •••=> y = l /2x + 27/8 . Resolviendo el sistema, se obtiene el punto P, de intersección de ambas

rectas. Resulta: P, = (9/20 = 0,5, 36/10 = 3,6).

3o Con este mismo proceso, obtenemos:

P (=1 = 2,6)

P3 (= 1,7, = 1,8)

P4(=2,6, = l)

Ecuación de la as t ro ide

A) Forma paramétrica

Como se sabe, es conveniente en oca-l e s expresar los puntos de una curva función de una tercera variable denomi-

- i i a parámetro". Se obtienen así las *r lu ic iones paramétricas" de la curva en - - r ::ón. Las correspondientes a la astroi-: r . cae no es el caso demostrar aquí, son:

I=R cos36

= / ? s e n 0 (0 < <|> < 2TC) (13)

y

X

Y' figura 19 : r : el parámetro

I i r :_idio de la circunferencia base o la longitud del segmento generador.


B) F o r m a c a r t e s i a n a

El s iguiente proceso t ransforma las ecuaciones paramétr icas en ecuacicr car tes iana:

x = R- c o s > | (1) x 2 / 3 = f l 2 / 3 - c o s 2 ^ ] (2)

y = R- s en>J y2'3 = Rm -sen2^ I

+ = R¿ (14)

(1) Elevando a 2/3 los dos miembros de ambas ecuaciones. (2) Sumando miembro a miembro.

Como e jemplo de empleo de las ecuaciones paramétr icas , ca lculemos las coordenadas del punto medio del arco superior derecho de nuestra astroide (f igura 18), esto es, el correspondiente a un valor del parámetro de 45°:

(¡) = 45°1 x = 5-cos 3 45 = 5 ( y 2 / 2 ) 3 = 5 - ^ 2 / 4 = 1,8

P = 5 J y = 5-sen345 = 5 ( V 2 / 2 ) 3 = 5 - V 2 / 4 = l,8

Y, por últ imo, para no dejar fuera de juego a la ecuación cartesiana, ver i f iquemos que estos valores la sat isfacen:

x2n + y2n=2-(5j2/4)2n =--- = \j¥ x = 5 - ^ 2 / 4 =y

R = 5

Y también: R2" =52'3

9. ÁREA DE LA ASTROIDE. DIFERENCIA CON LA DE LA ESTRELLA

Llegando aquí, es preciso echar mano del Cálculo Integral, y abandonar el camino intuitivo hasta ahora seguido. Consideramos que merece la pena hacerlo, para rematar un ejemplo de cómo estructurar la presentación de ceustiones diversas partiendo de un tema sencillo y manipulable.

Para determinar el área A de la astroide, consideraremos sólo la variación del a

parámetro (f> en el intervalo de 0 a n / 2 . Basta luego multiplicar por 4.

Veamos: x = R • eos3 <|) => dx = -3Rcos2 <f> sen(j) d§ ¡

y = R- sen 3<j)

<J) = 0 => * = j

(¡) = 7c/2=> j; = 0j


A„ =3/8tiR2 (15)

P o r t a n t o :

AJ4 = J* y dx = R sen3<|) ( - 3R eos2 (|) senc^dí)) =

-3R2¡" / 2 sen4(j)cos2(|)iá<j) =

- 3 R 2 [<|)/16-(sen4<j))/64-(seii32(|))/48Í/2 =

-3R2 (-71/32) = 3 i ? V 3 2 :

Esto es:

"El área de la astroide es los 3/8 del área del círculo base".

Por último, ¿cuál es la diferencia entre las áreas de la astroide y la e r.rella, referidas ambas a un mismo círculo?. En otras palabras, ¿qué r.'.perficie queda entre las dos curvas?

A = 3/8nR2 -R2 ( 4 - t i ) =

Í3%R2 - 32R2 +SnR2)/S =

R2{117C—32)/8 I (16)

figura 20

INFORMACION PARA LOS SUSCRIPTORES La redacción de la revista Elementos de Matemática se trasladó a la nueva sede de la Universidad CAECE: Sede Rectorado, Tte. Gral.

J.D. Perón 2933, C.P. 1198

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Sistemas Dinámicos Discretos paparte) de Franc isco F. Vil laverde

RESUMEN En este t rabajo se presenta una introducción a los sistemas dinámicos discretos, orientada a la presentación integrada de varios de los contenidos de Matemática. El campo de estudio de los sistemas dinámicos es muy vasto, prolífico y con una muy importante aceleración en su crecimiento en épocas muy recientes. No solamente comienza a aparecer el tema en publicaciones y libros sino que también ya se encuentran disponibles paquetes de sof tware dedicados a la simulación de sistemas dinámicos, dirigidos a modelar procesos con el objetivo de hacer predicciones o mejorar la comprensión de dichos procesos. En esta introducción se desarrollan primero algunas nociones básicas, algunas def iniciones y e jemplos introductorios así como una enunciación de temas y objetivos a cumplir que se pueden integrar en una presentación de los sistemas dinámicos. En una segunda parte se presentan algunos ejemplos de aplicación, empleándose en su resolución programas utilitarios matemáticos (tales como Mathematica, MathCad y Matlab) mostrando aplicaciones tales como sobrevivir a una epidemia, pagar un préstamo en cuotas y hasta un l lamado de atención por la matanza de ballenas.

1. INTRODUCCIÓN 1.1. LOS SISTEMAS DINÁMICOS Y LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA

El campo de los sistemas dinámicos puede considerarse, en primera aproxi-mación, como la rama de la matemática aplicada que estudia los procesos que ocurren con el transcurso del tiempo.

Se encuentran sistemas dinámicos en una gran cantidad de ramas de la ciencia. Por ejemplo en el pronóstico meteorológico, la dinámica de sistemas mecánicos (p.e: movimiento de planetas ), las alzas y las bajas de las acciones en la Bolsa de Valores, crecimiento de poblaciones y muchas otras situaciones donde el conjunto de variables con las que puede describirse el sistema en estudio varíen con el tiempo.

Gran cantidad de matemáticos, físicos y otros investigadores de todo el mundo están dedicados desde hace relativamente poco tiempo (aproximadamente 30 -ños) con gran intensidad al estudio de los sistemas dinámicos. Todo parece indicar que esa cantidad va en crecimiento dado lo aparentemente fructífero de este campo del conocimiento, además de presentar la característica de que puede ser aplicado a una vasta cantidad de disciplinas científicas (no necesariamente EXACTAS')- El campo de los sistemas dinámicos es una importante área de

investigación contemporánea en matemática que disfruta de la ventaja adicional ¿e ser casi accesible, en algunas ideas básicas, a los no-matemáticos. Muchas r ublicaciones de divulgación (inclusive diarios) incluyen artículos donde comienza a utilizarse el vocabulario propio del campo de los sistemas dinámicos: iteración, -Tractores, caos, bifurcaciones, fractales, autómatas celulares y otros.

18 FRANCISCO F. VILLAVERDE

En la enseñanza de la matemática no se acostumbra realizar la tarea de comu-nicar la vitalidad de la matemática contemporánea a los estudiantes. En la mayoría de los cursos de matemática se enfatiza la matemática de los siglos pasados. Come lógica consecuencia, muchos estudiantes podrían creer que la Matemática muri: en la época de Euclides y Pitágoras, o, si saben cálculo diferencial, en la época de Newton y Leibnitz. Muchos estudiantes podrían suponer que la Matemática es una ciencia que murió hace mucho tiempo.

Una situación semejante puede imaginarse si un físico, un químico o un biólogo enseñaran solamente ciencia del siglo XVII en sus cursos. Ciertamente que la Matemática es una ciencia "acumulativa" y el acercamiento a temas de actualidad requiere conocer temas ya estudiados, pero hay excepciones para ello y habría que buscar ocasiones para dar a los estudiantes una visión de lo que es nuevo y de estudio hoy por los matemáticos. Una de tales oportunidades se presenta en el campo de los sistemas dinámicos.

Una característica de los sistemas dinámicos es la ocurrencia de una situación en la que debe repetirse la aplicación de una función matemática una y otra vez (lo que suele denominarse ITERACION), y luego preguntarse qué ocurre. Aunque parezca asombroso, incluso con funciones polinómicas de variable real o compleja se presentan situaciones de suma complejidad.

Con la función cuadrática y técnicas gráficas elementales, los estudiantes pueden realizar experimentos numéricos de gran interés. El proceso de iteración mencionado es prácticamente imposible hacerlo a mano pero extremadamente fácil realizarlo con una calculadora o una computadora. Un sencillo programa para computadora en algún lenguaje de programación (Pascal, Visual Basic ó C), una planilla de cálculo o el uso de software utilitario matemático (MathCad, Matlab. Mathematica, Maple, etc) permiten realizar ese proceso sin dificultad.

Los estudiantes podrán explorar el desconocido mundo de la dinámica de las funciones cuadráticas, sin mencionar a muchas otras funciones sencillas, cuyas dinámicas son menos conocidas. Ello agrega a la Matemática un componente experimental y lúdico, un laboratorio. Como así muchos físicos,químicos y biólogos han usado desde hace mucho el laboratorio como esencial componente de cursos de introducción de sus disciplinas, existiría ahora la oportunidad de introducir ese componente, y como uno de los resultados se alcanzará una mucho mayor valori-zación y reconocimiento de la importancia de la investigación matemática por parte de los estudiantes.

Sin querer constituir una lista exhaustiva ni ordenada didácticamente, los siguientes son temas que pueden integrarse al encarar una presentación de los sistemas dinámicos en cursos de matemática :

a) funciones de una variable, b) análisis de tablas y gráficos, c) métodos numéricos y gráficos de resolución de problemas, d) sucesiones de números reales, e) elementos de programación y de solución de problemas con auxilio de

calculadoras u ordenadores personales,

SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS 19

f) problemas de aplicación en diversas disciplinas que requieran planteos que conduzcan a modelos matemáticos correspondientes a los sistemas dinámi-cos,

g) límite de sucesiones y funciones de una variable.

1.2 OBJETIVOS DE UNA PRESENTACION DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS

Como puede haber diferentes formas de presentar estos temas se reseñan algunos objetivos que pueden proponerse alcanzar en el caso de que se elija incluir estos temas en la curricula: a Valorar la actividad matemática contemporánea tendiente a explicar con mejor

aproximación los fenómenos de la Naturaleza, bi Integrar técnicas analíticas, gráficas y computacionales para la resolución de

problemas de diversas disciplinas, a Valorar la necesidad de la confección de modelos matemáticos para analizar

procesos y problemas diversos. El desarrollo del temario objeto de este trabajo puede colaborar, junto a otros

:emas, al logro de éstas y otras capacidades. Suponiendo que los contenidos de esta presentación se elijan para ser desarrollados en una unidad completa, entonces se rreponen como objetivos a alcanzar en esa unidad:

_1 Construir modelos matemáticos sencillos de sistemas dinámicos discretos en pro-blemas interdisciplinarios identificando variables y parámetros característicos.

: Resolver los modelos matemáticos de sistemas dinámicos discretos lineales aplicando diversas técnicas analíticas y/o gráficas.

: Resolver los modelos matemáticos de sistemas dinámicos discretos lineales y no u.neales en forma aproximadautilizando calculadoras o software utilitario mate-— ático para implementar procedimientos iterativos y gráficos.

: Interpretar los resultados obtenidos al resolver el modelo matemático en tér-— inos de puntos fijos, ciclos, comportamiento no acotado o incluso impredecible del sistema dinámico discreto.

• SOBREESTETRABAJO

En esta introducción a los sistemas dinámicos se pretende sentar los concep-•: • ; el vocabulario básicos y el tratamiento de ejemplos y problemas, los cuales,

a parecer no estar conectados entre sí, lo estarán bajo las ideas básicas de ~ : cremas dinámicos.

En un principio se presentan las nociones y definiciones básicas y algunos r r ~ : s introductorios. Luego se propondráun conjunto de ejemplos de aplicación •: a: : r.ados con la física, la economía y la biología, que servirán para ilustrar la : - . - a. Jad de los sistemas dinámicos.

V- 3 de los objetivos que se pretende cumplir es promover la experimentación -: 'as mismos ejemplos haciendo uso de algún software utilitario.No se busca

r ira. " i da sustituir la actividad de 'lápiz y papel con la que usualmente se realiza


la búsqueda creativa en la Matemática; en todo caso se intenta complementarla e incentivarla con una motivación atrayente.

2. SOBRE LOS SISTEMAS DINÁMICOS 2.1 ¿ QUE ES UN SISTEMA DINÁMICO?

Durante las últimas décadas, y con el fin de ayudar a la toma de decisiones, se ha desarrollado un interés creciente por el procesamiento de todo tipo de información. En muchas situaciones el interés principal se ha centrado en estudiar cómo evolucionan los datos observados a lo largo del tiempo. En este contexto se ha formalizado el concepto de sistema dinámico, que ha sido objeto de un estudio detallado en una rama especializada de la Matemática aplicada a la que se ha denominado sistemas dinámicos.

En el lenguaje ordinario se entiende por sistema a un conjunto de partes operativamente interrelacionadas, es decir, en el que unas partes actúan sobre las otras, y del que interesa considerar fundamentalmente su comportamiento global. Así, por ejemplo, se habla del sistema nervioso, del sistema bancario, de un sistema ecológico, del sistema planetario, etc. Siempre que se habla de un sistema se sobreentiende que, en cierta forma, el conjunto tiene propiedades de interés que no pueden considerarse la simple suma de las partes. Son estas propiedades, precisamente, las que justifican la consideración del sistema como unidad y no como simple suma de partes.

Un modelo es un sistema abstracto en el que los elementos que interactúan son conceptos abstractos y las relaciones entre ellos están formalizadas. Por ejemplo, se tiene un modelo matemático cuando se definen una serie de variables y se establecen unas relaciones formalizadas entre ellas, como en un sistema de ecuaciones.

En el estudio de un sistema puede suceder que la característica fundamental que interese considerar sea su evolución en el tiempo, y, en concreto, cómo las interacciones entre las partes y de las partes con el medio exterior determinan esta evolución. El modelo del comportamiento dinámico de un sistema se denomina sistema dinámico.

2.2 FUNCIONES, CALCULADORAS CIENTIFICAS Y SOFTWARE UTILITARIO

Supongamos operar con una calculadora científica o bien consideremos lenguajes de programación de alto nivel (Pascal, Visual Basic ó C) o software utilitario de matemática (MathCad, Matlab, Mathematica, Maple, u otros). Tanto la calculadora como los lenguajes de programación citados o el software utilitario tienen a su disposición una gran variedad de funciones programadas.Por ejemplo, la calculadora científica viene equipada con una variedad de teclas defunción. Sin la menor duda hemos visto con anterioridad tal tipo de calculadora con teclas marcadas "sin", "eos", "exp" y otros. Presionando dichas teclas podremos cal-cular las funciones seno, coseno y exponencial. Y ahora volvamos a las iteraciones, o sea el proceso de evaluar una función repetitivamente.


Como ya fue dicho, la mayoría de las calculadoras científicas tienen cierta cantidad de teclas especiales que corresponden funciones tales como ofi, -Jx , senx, eos x , y otras. Presionando una de esas teclas después de que un número 'inicial x haya sido ingresado, se calcula el valor de la función correspondiente. La iteración significa repetir este proceso una y otra vez, usando el resultado del cálculo previo como entrada para la próxima ocasión. O sea que el proceso de iteración consiste en seleccionar un valor x inicial como generador o semilla para luego pulsar una tecla determinada de función repetidamente.

Por ejemplo, para iterar la función raíz cuadrada, lo único que precisamos hacer es seleccionar un valor de x inicial y luego pulsar la tecla -Jx x varias veces. S: elegimos el valor inicial de x = 256, resultará pues la siguiente sucesión: 16 ,4 , Z. 1.414214... ,1,189207..., 1,090508..., 1,044274.... No es difícil demostrar que el Emite de esta sucesión es 1.

En particular el proceso de iteración con la calculadora termina en un número finito de pasos (en una cantidad dependiente del número inicial) dado que la .-iculadora opera con un número finito de cifras decimales (¡todos los números reales son racionales para la calculadora y con número finito de decimales!). A

: r.tinuación se muestra el proceso de iteración con los programas MathCad, Mitlab y Mathematica:

- -MathCad [ MCD]

•atar inicial: xQ =256 n :=0..9

= ••, x proceso de iteración: x =

! ü 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 256 16 4 2 1.41421 1.18921 1.09051 1.04427 1.0219 1.01089

- Mitlab [MLAB]

i 1 = 2 5 6 ;

zzz k = l : 1 0

x ( k + l ) = s q r t ( x ( k ) ) ;

x = : : 1 t h r o u g h 7

1 6 . 0 0 0 0 4 . 0 0 0 0 2 . 0 0 0 0 1 . 4 1 4 2 1 . 1 8 9 2 1 . 0 9 0 5

t : ̂ H S 8 t h r o u g h 1 1

l . : 4 4 3 1 . 0 2 1 9 1 . 0 1 0 9 1 . 0 0 5 4


c) Mathematica [MATH]:

x = T a b l e [ 2 5 6 , { i , 1 0 > ] ;

F o r [ b = { } ; k = l ,

k < 1 0 , k + + ,

y = S q r t [ x [ [ k ] ] ] ;

x [ [ k + 1 ] ] = y ; A p p e n d T o [ b , x [ [ k ] ] ]

] N [ b , 6 ]

{ 2 5 6 . , 1 6 . , 4 . , 2 . , 1 . 4 1 4 2 1 , 1 . 1 8 9 2 1 , 1 . 0 9 0 5 1 , 1 . 0 4 4 2 7 , 1 . 0 2 1 9 }

Utilizando la notación F(x) para la función que caracteriza la iteración, resulta

por consiguiente la determinación de la ¿-ésima iteración a partir del valor inicial x0 corresponde a :

\ - F (k (xo) donde F (k (x) = (F "F (k~' )(x), con ° la composición de funciones y k natural.

Una representación gráfica muy útil, que además sugiere el método analítico para la determinación del límite de la sucesión obtenida, es la que muestra a continuación [MCD]:

función que caracteriza la iteración F(x) = -Jx, l(x)=x

N:=15 k:=0..N x():= 8 valor inicial

r:=0.. N-l u. :=x v _:=x

2r r 2r r 2r+l r 2r+¡ r+1

Los puntos cuyas coordenadas son (u v ) cumplen P0:=(x0, x0) P,:=(x0 , x,) P2:=(x, , x,) .... Los puntos cuyo índice es par están en la bisectriz del primer cuadrante y los

de índice impar en la gráfica de F(x). A partir del punto de coordenadas (x n , x el próximo punto es de coordenadas (xn, xn+1) que se encuentra en la misma vertical del punto anterior. Desde este punto hasta el próximo hay que desplazarse a lo largo de una horizontal. Lo que se obtiene formando una poligonal con los sucesivos puntos P como se ilustra en el gráfico siguiente:

I(z)

F(z)

v r

z .z . u


En la figura se muestran los gráficos de la función identidad, la función F(x) y la poligonal formada por los puntos P(n). Se puede observar la tendencia al punto límite. La absisa de ese punto corresponde a la solución de x = F(x) o x2=x cuya raíz no nula es x = 1. Los valores de x tales F(x) = x se denominan puntos fijos de la función F. En este ejemplo la función F tiene dos puntos fijos: 0 y 1.

2.3 ÓRBITAS.

Sigamos analizando iteraciones con alguna función. ¿Por ejemplo,qué ocurre si pulsamos repetidas veces la tecla de función x2 en una calculadora? Está claro que, si x > 1, elevar al cuadrado repetidamente dará resultados que excederán cualquier número fijado. De hecho, después de sólo unas cuantas repeticiones, la elevación al cuadrado lleva a la aparición de mensajes de error en la calculadora. Esto ocurre porque los resultados numéricos han excedido la capacidad de representación de la calculadora..Los lectores con conocimientos de cálculo podrán probar que si F(x) = x2 se verifica que:

F{" (x) —> para n —> 00 si x > 1 Si 0 < x < 1 , la iteración de F produce una respuesta diferente. Sucesivas

elevaciones al cuadrado de tales números producen resultados positivos cada vez menores, de modo que:

F{" (x) 0 para n —> si 0 < x < 1. Claro que F(n (x) jamás es exactamente igual a 0 para algún valor de n, ya que

e: único número cuyo cuadrado es 0 es 0; las sucesivas iteraciones de F a partir ¿e x simplemente se diferencian de 0 en una cantidad arbitrariamente pequeña con :_! de tomar n lo suficientemente grande.

Es cierto que la calculadora exhibirá el número 0,0000... cuando se calculan repeticiones, pero ello simplemente significa que esos resultados obtenidos

han ido reduciéndose hasta ser demasiado pequeños para ser representados por la calculadora. Finalmente, si x = 1, es evidente que f ( n (x) = 1 para todo valor ¿e Este valor de x es el punto fi jo de F, el transformado de x por F jamás cambia 7 : : las sucesivas iteraciones de F. Resumiendo: la iteración de F determina tres

n a c i o n e s diferentes, que dependen de que 0<x<1, x - 1 ,ó x>1.

Se sugiere al lector completar el análisis para valores negativos de x... La enumeración de las sucesivas iteraciones a partir de un número inicial se

: e-. rmina órbita de dicho número para la función en estudio. Por ejemplo, la órbita - : 1 ?ajo Ja función cuadrática F(x) = x2 está dada por

2 ,4 , 16,256,65536,. . . Er. forma similar la órbita de .5 es

0.5,0.25,0.0625,0.00390625,. . .

I— sucesión de números que c o n f o r m a n una órbi ta puede no pa rece r se a :_ :e r órbi ta que hayamos visto anter iormente, como por e j emplo la órbi ta


continua de una nave espacial o la de un planeta, pero sí existe una conexión. El cálculo iterativo está íntimamente asociado con la solución aproximada de las ecuaciones diferenciales que caracterizan procesos que evolucionan, por ejemplo, en el tiempo.

Las ecuaciones diferenciales permiten predecir, por ejemplo, las órbitas de los cuerpos celestes. El sencillo proceso de iteración mostrado anteriormente descri-be también un sistema en movimiento o evolucionando, y por consiguiente se adopta una terminología similar.

Utilicemos la calculadora para calcular algunas otras órbitas. Usemos la tecla sen x de la calculadora para obtener la órbita de cualquier entrada inicial de la función seno.

Si S(x) = sen x y elegimos el valor inicial de x = 1.57 se obtiene la sucesión: 0.999..., 0.841..., 0.745..., 0.678, ( los primeros términos) ... 0.385..., 0.375..., 0.366..., 0.358... (las iteraciones 17ma a 20ma).

Lentamente, las sucesivas repeticiones de sen x tienden a 0: .099527... ,.099362..., .099199... (las iteraciones 298m;i a 300m")

Puede demostrarse que 5ln (1.57) —> 0 para n —> °° o sea que la órbita de 1.57 tiene a 0 como límite. N O T A : Para calcularla órbita de 1.57 hemos asumido que la función seno opera con argumento en radianes.

Al proceso de interpretación de todas las órbitas de un sistema dinámico dado, caracterizado por cierta función característica, se lo denomina análisis cíe órbitas. Usemos, pues, el análisis de órbitas para interpretar todo lo referente a las órbitas del sistema dinámico caracterizado por otra función, como F(x)=2x.

Evidentemente F(0) = 0, Fa (0) = 0; F(3(0) = 0,... Cada punto de la órbita de 0 es 0. Usando la terminología introducida anteriormente, 0 es un punto fijo de F. Por otra parte, si x > 0, tendremos

F(n (x) —> oo para n —> S i x e s negativo se obtiene una sucesión alternada de valores absolutos no

acotados. En consecuencia , el análisis de órbitas d e F ( x ) = 2x, nos lleva a : Fín (x) ^ + oo si X > 0 F(n (X) - oo si X < 0 F(n (x) = 0 si x = 0

El análisis anterior conduce a la siguiente pregunta básica en el campo de ¡os sistemas dinámicos: ¿es posible predecir la naturaleza de todas las órbitas corres-pondientes a la iteración de cierta función?

Para todos los sistemas de que hemos hablado usando la calculadora, como por ejemplo -Jx ,x2 y senx, la respuesta ha sido afirmativa. He aquí ahora un último ejemplo en el que el tipo de las órbitas puede ser decidido, pero el resultado no es tan fácilmente predecible.

¿ Qué ocurre con sucesivas iteraciones de la función coseno ? Si C(x) = eos x y elegimos por ejemplox=.4 resulta la siguiente sucesión:.921 ...,.604..., .822...,


.680. . . , .777. . . , .... (p r imeras 5 i t e rac iones ) y s i gu i endo .739085 . . . ,

.739085...,.739085... (iteraciones 98 a 100).

La órbita de .4 es una sucesión de números que tiende a .739085.. Sea cual fuere el valor inicial dex, el resultado es el mismo: todas las órbitas tienden a 0.739085....

A continuación se muestra la solución con [MCD],[MLAB] y [MATH],

a) [MCD]

C(x) seos (x)

N := 50

x := 4 o

1 = 1 . . 5

0.921061

0.604976

0.822516

0.68038

0.777334

1 =45. . 50

0.739085139

0.73908513 0.739085136 0.739085132

0.739085134

0.739085132

d e f i n i c i ó n d e la f u n c i ó n

c a n t i d a d d e i t e r a c i o n e s

v a l o r i n i c i a l N

V i : = c W

J).921061

r : = 0 . . N - 1

variable de rango

2-r-f- i ' r + 1


b) [MLAB] » f o r m a t l o n g

» x ( 1 ) = 0 . 4 ; » f o r k = l : 2 0

x ( k + 1 ) = c o s ( x ( k ) ) ;

e n d » x ' a n s =

0 . 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 9 2 1 0 6 0 9 9 4 0 0 2 8 9 0 . 6 0 4 9 7 5 6 8 7 2 6 5 9 4 0 . 8 2 2 5 1 5 9 2 5 5 5 0 3 9 0 . 6 8 0 3 7 9 5 4 1 5 6 5 6 7 0 . 7 7 7 3 3 4 0 0 9 6 5 2 4 6 0 . 7 1 2 7 8 5 9 4 5 5 1 8 3 5 0 . 7 5 6 5 4 2 9 6 1 9 5 8 4 5 0 . 7 2 7 2 1 3 3 0 2 3 4 6 5 8 0 . 7 4 7 0 2 9 8 7 0 5 9 4 1 1 0 . 7 3 3 7 1 0 1 9 3 8 6 6 4 9 0 . 7 4 2 6 9 5 0 6 3 5 3 4 2 3 0 . 7 3 6 6 4 8 6 3 0 2 8 4 6 6 0 . 7 4 0 7 2 4 1 9 5 4 6 8 8 3 0 . 7 3 7 9 8 0 0 4 8 8 7 3 7 2 0 . 7 3 9 8 2 9 0 7 9 8 7 9 7 6 0 . 7 3 8 5 8 3 7 9 7 3 1 3 2 7 0 . 7 3 9 4 2 2 7 4 6 2 1 5 2 2 0 . 7 3 8 8 5 7 6 7 0 9 2 0 0 3 0 . 7 3 9 2 3 8 3 3 5 4 3 2 2 2 0 . 7 3 8 9 8 1 9 2 5 6 8 5 7 5

c) [MATH] x = T a b l e [ 0 • 4 , { i , 2 0 } ] ;

F o r [ b = { } ; k = l ,

k < 2 0 , k + + ,

y = C o s [ x [ [ k ] ] ] ;

x [ [ k + 1 ] ] = y ; A p p e n d T o [ b , x [ [ k ] ] ]

] N [ b , 1 0 ]

{0.4,0.921060994,0.6049756873,0.8225159256,0.6803795416,0.7773340097,

0.7127859455,0.756542962,0.7272133023,0.7470298706, 0.7337101939,0.7426950635,

0.7366486303,0.7407241955,0.7379800489,0.7398290799,0.7385837973,0.7394227462,

0.7388576709}

El número obtenido en este ejemplo para la función cos(x) es lo que se deno-mina un punto fijo o atractorpuntual, queriendo reflejar esta última denominación


el hecho de que las órbitas a partir de determinado conjunto de valores iniciales son atraídas hacia el punto fijo.

Los puntos fijos de un sistema dinámico caracterizado por la función F se obtienen resolviendo la ecuación x = F(x), ya que se buscan los valores de x, que al transformarse por la función F, quedan sin cambio (¡o sea puntos fijos!). El conjunto de valores iniciales cuyas órbitas son atraídas hacia el punto fijo se denomina cuenca de atracción del atractor puntual.

0 . 8 2 5

0 . 8

0 . 7 7 5

0 . 7 5

0 . 7 2 5

0 . 67 Í

0 . 65

2 . 5 7 . 5 10 12 . i 1 7 . ;

Para el ejemplo anterior es interesante observar que el valor obtenido es una sucesión que converge a la raíz de la ecuación transcendente x-cos(x) = 0. Existe un método de solución de ecuaciones de la forma G(x) = 0 que se denomina de iteración a punto fijo aplicable al caso en que la ecuación pueda expresarse como x = F(x). Este método se basa justamente en la determinación de puntos fijos de la función F. Resulta entonces una buena oportunidad para presentar en el contexto propuesto de los sistemas dinámicos algún método numérico de solución de ecuaciones en una variable (incluso ecuaciones trascendentes).

2.4 ITERACION FUNCIONAL Y SISTEMAS DINAMICOS DISCRETOS

Hasta ahora se han presentado ejemplos relacionados con la iteración de fun-: iones que dieron lugar a la posible aparición de puntos fijos atractores y el análisis

órbitas. Existen muchas situaciones en las cuales el estado de un sistema se evalúa en

el transcurso del tiempo, pero considerando el tiempo como una variable discreta. E>to significa que, a los efectos de la descripción del estado del sistema, alcanza : :n conocer los valores de las variables de estado de ese sistema a intervalos de : :empousualmenteequiespaciados. En ese caso al s is témaselo denomina de tiem-r : discreto o sistema dinámico discreto.

Para describir la evolución de los estados del sistema (cambio del estado del m e m a con el tiempo) o, como se acostumbra decir, para conocer la dinámica del

::ema será necesario conocer una ecuación de evolución que esencialmente Trrmita predecir el estado actual conocidos los estados anteriores. La forma de ir. ?tar matemáticamente esa ecuación de evolución es

28

X, , = F (X , k ) k+l v k' /

donde la variable k hace referencia al instante de tiempo (por ejemplo k.h donar h es el intervalo de tiempo entre los instantes de tiempo considerados), X ur^ variable o un conjunto de variables (¡un vector!) con cuyo valor en un instante queda caracterizado el estado del sistema y F una función que, en definitiva, determina la dinámica del sistema puesto que es la que proporciona el estado futuro ( Xk+1) del sistema cuando se conoce el estado actual (Xk).

En el caso en que Xk+1 no depende de k en forma explícita el sistema dinámico se denomina autónomo (a ellos dedicaremos los próximos comentarios y ej emplos .

Esa ecuación se denomina ecuación en diferencias o ecuación de recurrencia. y en este caso, por vincular el estado actual y el estado futuro, se denomina de primer orden. Esto no significa que no puedan considerarse situaciones en las cuales el estado futuro pueda depender del estado actual y de otros anteriores. Se puede probar que siempre puede reducirse el análisis al problema de primer orden con una adecuada introducción de variables de estado auxiliares.

Si la función F es lineal la ecuación en diferencias se denomina lineal y. en ese caso, existen métodos sistemáticos (como ocurre con las ecuaciones diferen-ciales lineales) para resolverla. No sucede lo mismo si F e s no lineal, en ese caso no hay un método general de resolución y queda abierto el camino para utilizar métodos de simulación numérica.

La solución de la ecuación en diferencias de primer orden correspondiente a determinada condición inicial X( |corresponde a la iteración de la función F a partir de esa condición inicial. Esto es:

Xk=F<"(X„) para obtener el elemento k de la órbita de cierto valor inicial se deben realizar k iteraciones con la función F a partir de ese valor inicial. En algunas situaciones es factible obtener una relación directa entre Xk, X(j y k como sucede siempre que F es una función lineal. Queda entonces sentada la relación entre la solución de la ecuación de evolución de un sistema dinámico discreto y la iteración de una función a partir de un determinado número, como se realizó en secciones ante-riores.

Un posible comportamiento a largo plazo de un sistema dinámico es alcanzar o tender a un punto fijo que corresponde aun punto fijo de la función F. En algunas situaciones un punto fijo corresponde a alcanzar un estado de equilibrio que puede ser estático o bien dinámico. Esta última posibilidad es laque corresponde cuando se equilibran causas de aumento de las variables de estado con causas que la disminuyan. Por ejemplo, en la dinámica de poblaciones, donde hay nacimientos y muertes, se puede alcanzar una población de equilibrio si se produce una igualdad entre las tasas de nacimiento y fallecimiento.

Las ecuaciones en diferencias o las relaciones de recurrencia aparecen en otras situaciones. Muchos métodos numéricos para obtener aproximaciones a la solución de ecuaciones no lineales (método de Newton, del punto fijo por ejemplo) o ecuaciones diferenciales (método de Euler o Runge Kutta) se reducen a ecua-


ciones en diferencias. La obtención de fracciones continuas, las cadenas de Markov, los filtros digitales en procesamiento de señales, o la generación de números aleatorios son otros ejemplos de problemas en los que se presentan las ecuaciones en diferencias.

Para la generación de sucesiones de números al azar (en realidad pseudoa-leatorios) existen gran cantidad de algoritmos; entre ellos puede citarse el deno-minado de congruencia lineal multiplicativa. Este método se basa en la generación de una sucesión a partir de un valor inicial (semilla ) x() > 0 y luego

x+ 1 = a x[ (mod m) donde a > 1 y m un número 'grande' (por ejemplo 231 - 1) y con mod se indica que se debe considerar el resto de a x. al dividirlo por m (para más detalle consultar [Knuth]).Con estealgortimo se presenta la forma iterativax.+1 = F(x\) (¡un sistema dinámico discreto!).

Por ejemplo, con a = 13, m = 31,y x() = 1, los primeros términos de la sucesión son:

1 13 14 27 10 6 16 22 7 29 5 como puede verificarse con Matlab :

» x ( 1 ) = 1 ; » a = 1 3 ; c = 0 ; m = 3 1 ;

» f o r k = l : 1 0

x ( k + l ) = r e : m ( a * x ( k ) + c , m ) ;

end » x

1 13 14 27 10 6 16 22 7 29 5

¿Cuál es el próximo término de la sucesión? Parecería impredecible, pero se puede calcular 13 5 mod(31). que es 3. Los primeros 30 términos de la secuencia son una permutación de los enteros de 1 a 30 y luego la secuencia se repite. Tiene un período igual a m - 1.

A partir de esta secuencia de enteros seudoaleatorios se puede obtener una secuencia de números en coma flotante en [0,1}.

En el ejemplo presentado, resulta

» f o r m a t s h o r t

x ( l : 8 ) / m

ans =

Colunms 1 through 8

3 . 0 3 2 3 0 . 4 1 9 4 0 . 4 5 1 6 0 . 8 7 1 0 0 . 3 2 2 6 0 . 1 9 3 5 0 . 5 1 6 1 0 . 7 0 9 7

Sólo hay un número finito de posibles resultados: 30 en este caso. El menor tí 1/31, el mayor es 30/31. La función generadora de números aleatorios en la

ersión 4.x de Matlab tiene una estructura similar a la del ejemplo. Es un generador le congruencia multiplicativo con parámetros a=75= 16807,777-231 -1 = 2147483647.

30

2.5 PUNTOS FIJOS Y PERIÓDICOS

Existen tipos de órbitas de interés para analizar en un sistema dinám:: : discreto, distintas de los puntos fijos y las órbitas que tienden a éstos (o al infin::

Es indudable que el más importante tipo de órbita es un punto fijo. Recorder que un punto x() es llamado punto fijo para F si F(x(J = x(|. Tengamos en cuenta c c ; los puntos fijos jamás cambian cuando son argumento de la función que se i t t - -Dado que F(xQ) = xQ, entonces F(F(xfl)) = F(x0) = xQ, y, en general, F " (x, = Por ejemplo, como hemos visto en las anteriores secciones, tanto 0 como 1 ser puntos fijos para S(x) = Vx y T(x) = x2. De modo similar, 0 es un punto f i jo SfxJ^sen x mientras que 0.739085 es una aproximación al punto fi jo para la fun-ción eos x .

Otro tipo de órbita es la órbita periódica o ciclo. La órbita de x() es periódi: si hay un entero N tal que F(N(x()J = x(). El punto xQ se denomina entonces pur.:: periódico de período N. A modo de ejemplo consideremos la función R(x) = con x^O . Nótese que x= 1 y x = -1 son ambos puntos fijos para R, dado que R(l) = 1 y R(-\) =-1. Sin embargo, cualquier otro valor de x genera un ciclo c : período 2. Sin duda que si x es distinto de 1, - 1 y 0, tendremos

R(x) = \/x con x ± 0

R12 (x) = R( 1/x) = l / ( l /x) = x

de donde x y R(x) se hallan en la misma órbita periódica para la función R. Una situación similar se tiene para la función N(x)=-x. Evidentemente 0 es ur.

punto fi jo para N, pero todos los demás puntos se ubican en un ciclo de período do-. Veamos algunas propiedades de las órbitas periódicas. Supongamos que

x > 0 se ubica en una órbita que es un ciclo de período 4. Podemos escribir: xi = F(x()) x2 = F(x,) = F{2 (x0)

x3 = F(x2) = F'3 (xH)

x4 = F(x3) = F(4 (xfl)

dado que x tiene período 4. En consecuencia la órbita de x(¡ resulta x0 , x , , x2, x3 , x() x¡, x2 , x3 , xQ

¿Cómo resultan las órbitas de x , x , x,? También ellas son ciclos, dado que sabemos, por ejemplo, que x¡ = F(x(j) = F(4 (x ) o sea que la órbita de x, es

X j , X 2 , X 3 , X ( ) ^ X j , A , , X 3 , X ( ) ^ ^

Por consiguiente, cada punto de un ciclo de período 4 para la función F será también punto fijo para F(4 así como también para F(fl- F<12, y en general, para F(4n

para cualquier natural n. Todos esos múltiplos de 4 son llamados períodos del ciclo. De cualquier modo, se reserva el nombre período para 4, el mínimo período del ciclo (el máximo común divisor de todos los períodos).

La importancia de las órbitas periódicas o ciclos radica en el hecho de que éstas representan fenómenos cíclicos o periódicos en procesos tales como, por


ejemplo, las fluctuaciones estacionales de las poblaciones de determinado animal, 0 población de insectos, o el de cualquier fenómeno periódico de los que estudia la Física.

Otro tipo de órbita de un punto es la eventualmente fija o eventualmente periódica. Son puntos cuya órbita no es fija o periódica, sino para algún punto final de la órbita de ese punto resulta una órbita que es fija o periódica. Por ejemplo, x = -1 es eventualmente fi jo para T(x) = x2. Esto es cierto dado que T(-1) es dis-tinto de -1 (de modo que -1 no es un punto fijo), pero T(-l) = 1, y 1 es un punto fijo.

Del mismo modo, los puntosx = p, 2p, 3p... son todos eventualmente fijos para la función S(x) = sen x, dado que 0 es fijo para S, y 0=S(p)=S(2ip)=S(3p)= ...

Finalmente, el punto 1 es eventualmente periódico para F(x) = x4 - 1 porque F( l) = 0 y 0 origina un ciclo de período 2.

2.6 PUNTOS FIJOS ATRACTORES Y REPULSORES

Existe una importante diferencia en el comportamiento cualitativo de un sistema dinámico en los puntos fijos, que puede ser fácil de explicar analizando dos ejemplos. Consideremos las dos funciones H(x)=x/2 y G(xJ=2x.Ambas funciones ::enen aO como punto fijo. Pero los comportamientos para puntos cercanos aO son diferentes en cada caso. Para H, el análisis gráfico muestra que todas las órbitas tienden a 0 bajo iteración: 0 atrae las órbitas de todos los puntos. Esto, por supuesto, ruede ser fácilmente comprobado usando por ejemplo una calculadora. Por :onsiguiente llamaremos a 0 punto fijo atractor para H. Por otra parte, todas las rrbitass no nulas para G se comportan en forma diferente: se comportan apartándose de 0. En este caso 0 es un punto fijo repulsor.

Para ser más precisos, supongamos que una función F tiene un punto fijo p. El punto p se denomina atractor si existe un intervalo a < x < b al que pertenezca -7. el que todos los puntos tienen órbitas que tienden a p. Es decir que a < x < b e7ronces

F'" (x) p para n —» oo .

Esto significa que los puntos que están lo suficientemente cerca de p (dentro de*. intervalo a < x < b ) tienen órbitas que tienden a p.

Por ejemplo, 0 es un punto fijo atractor para F(x)=x2, dado que todos los ren tos en el intervalo -1<X<1 tienen órbitas que tienden a 0. El intervalo (a, b)

z denomina cuenca de atracción asociada al punto atractor. Las condiciones : - í debe verificar la función F para que tenga un punto fi jo y para que la órbita de

- determinado valor inicial tenga por límite un punto fijo son las que especifican 1 • teoremas que siguen:

T ¿ : r ema 1: (un teorema del punto fijo) r t í una función continua en [a,b] y F(x)e [a.b] para toda XE [a,¿>] enton-F :iene un punto fijo en [a,b]. Si además, F'(x) existe en (a.b) y )F'(x)j <k<\

;oda xe(a,b) entonces F tiene un punto fijo único p en [a,b]

~ - "¿ma 2: (convergencia de una sucesión hacia el punto fi jo atractor)

32 FRANCISCO F. \ 3 E

Sea F una función continua en [a,b] y supongamos que F(x) 6 [a.b] p:<r

x e [a,b]. Además supongamos que F' existe en (a,b) con | F'(x) | < k < i . toda x e (a,b). Si pa e [a.¿>], entonces la sucesión definida por pn = F{p ), n > 1 co,

al único punto fijo p en [a, b], (Para las demostraciones ver [Burden])

De aquí queda justificado el comportamiento en torno de cero (un punte f: : en ambos casos) para las funciones G y H. Para H se cumple H\x) < 1 para todo x, mientras que se cumple G'(x) > I Er forma análoga el lector podrá analizar el sistema dinámico caracterizadc ? : -F{x) = cos(x) (ya presentado como ejemplo).

2.7 PUNTOS PERIODICOS ATRACTORES Y REPULSORES

Al igual que los puntos fijos, las órbitas periódicas pueden también ser a l t e r a -damente atractoras o repulsoras. Consideremos, porejemplo, la función F(x)=-Los puntos 1 y -1 corresponden a un ciclo de período 2. Este ciclo es una órb::_ periódica repulsora. Puede comprobarse fácilmente que si lxl>l, \Fin(x)\ —> dc

Por otra parte, si bel < 1 es \F'"(x)\ —>0. De ahí que cualquier punto cercan : a +1 ó a -1 tiene una órbita que tiende a alejarse de esos puntos.

Finalmente, también podemos deducir que el ciclo es repulsor operando cor F^-(x).

Tenemos F{2 (x) = F(-x3) = - (-x3J3 = xv. Tanto x = 1 como x = -1 son punte -fijos para F{2, y ambos son claramente repulsores. Puesto que ninguno de ellos son puntos fijos de F, deben por consiguiente determinar un ciclo de período 2. ——


Los Problemas en e! Aula de Juan Ángel Foncuberta

LA SEÑORA SOPHIE GERMAIN (1776-1831) Por aquellos años era muy mal visto que una mujer se dedicara a las matemáticas. Por esta razón, Sophie no tuvo acceso a la famosa École Polytechnique de París y se vio obligada durante mucho tiempo a firmar sus trabajos con el seudónimo de Monsieur Le Blanc. Fue discípula de Lagrange y trabajó con Gauss aportando notables contribuciones a la matemática y la física. Más información e interesantes anécdotas sobre esta mujer singular pueden encontrarse en el libro de Simón Singh "El último teorema de Fermat"

1 . -Competenc ia en t r e t res especies.

Si suponemos que tres especies compiten por los mismos recursos tendremos el siguiente sistema de ecuaciones en diferencias:

X(t + l)-X(t)= AnX(t)- A lzx(t)x(t)- A13X(t)Y(t)-A14X(t)z(t)

Y(t + 1) - Y(t)= A21Y(t)- A22Y(t)Y(t)- A23Y(t)x(t)- A24Y(t)z(t)

z(t + 1)-Z(t) = A„Z(t)-A32z(t)z(t)-A„z(t)x(t)-A34Z(t)Y(t) Obsérvese que cada especie compite consigo misma y con las demás. En las

- guras se ilustran las marchas de las poblaciones a través del tiempo para los Siguientes valores de los coeficientes:

A, = 0,2 AJ2 = 0,0001 A,, = 0,0003 A)4 = 0,0004 A,, = 0,3

. 4 . 0 , 0 0 0 2 A24 = 0,0003 Ait = 0,2 A}2 = 0,000i A,,= 0,0001

:r_ los valores iniciales: X(0)=70, Y(0)=60, X(0) = 50

-Población su je t a a explotación.

Hemos visto en un artículo anterior que un modelo sencillo pero adecuado de e amiento de una población cuando se tiene en cuenta la disponibilidad de cursos puede simbolizarse mediante la ecuación diferencial :

¿x dt = r x ( l - x / K ) (1). K mide la capacidad de saturación del medio. Vemos que para x = K la población detiene su crecimiento y que si x > K ,1a ee crecimiento es negativa.

E: máximo de f ( x ) = r x ( l - x / K ) es x = K / 2 y = r x / 4

A r =0,0001

A =0,0003

31 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

- Seriel

Especie Y

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

0 T - ^ l - N O C O C D C O C M L O C O i— •«— i— t— C\J CM C\J

Especie Z

200

Seriel "|

LOS PROBLEMAS EN EL AULA 35

Ejemplo : Sea una población de peces descripta por dx /d t = x ( 2 0 - x ) . Este modelo no tiene en cuenta la disminución ocasionada por la pesca.

Agregaremos un término que corresponda a las capturas. Por razones de simplicidad supondremos que el nuevo término es una constante.

dx /dt = x(20 - x ) - C

El segundo miembro simboliza una familia de parábolas.

Para hallar los valores de x para los cuales se detiene el crecimiento resol-

vemos la ecuación y obtenemos: x = (20+ -7 (400-40 ) ) /2

51*20 *• x*2"í-1) * (-1001 **20 + tfTi'Vt * C*50f, ¿"SO *

C Raíces

100 10 80 5,53; 14,47 60 3,68; 16,32 40 2 ,25;17,75 20 1,06; 18,9 0 0;20

Si C < 1 0 0 hay dos raíces reales. Si C = 100 la parábola representativa de dx/dt es tangente al eje x de la

población. Para C > 1 0 0 la curva no tiene puntos comunes con el eje de las x lo que

carece de sentido en este problema. Para una pesca C = 100, cualquier pequeña variación puede determinar la

marcha hacia la extinción de la especie. También, algún estímulo favorable alienta la recuperación de la población.

Estas variaciones pueden suceder por azar, impuestas por resolución de las autoridades limitando las capturas o bien por razones económicas: al disminuir la población resulta más costoso aumentar la cosecha. Si se tiene en cuenta esta última circunstancia el modelo podría mejorarse empleando una función no constante de cosecha. Por ejemplo:

dx /d t = r x ( 2 0 - x ) - ( C +0,1 x) . Observamos que la captura sólo puede aumentarse si aumenta el número de

peces.

36 JUAN ÁNGEL FONCUBERTA

Continuamente se desarrollan modelos como los vistos y otros más complica-dos donde se tienen en cuenta factores como las utilidades generadas por la pes-ca D.N.Burghes cita el modelo de 1964 para la Ballena Azul con r = 0,114y K =-2100000

Los puntos como C = 100 se denominan de bifurcación porque pequeñas modificaciones en las cercanías del punto pueden determinar rumbos muy dispares en el curso de los acontecimientos.

BIBLIOGRAFIA - Burghes David N. Renewable resource depletion:the conservation problem.

(Int Journal Math.Sci. Technol. (Abril-junio 1980) - Blanchard P., Devaney R.,Hall G.- Ecuaciones diferenciales (International

Thomson Editores (1999)

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS DEL NÚMERO ANTERIOR

1 1 1.- Probar que lH +

3" 2 52

/ 1 1 1

2- 3" 4

Consideramos:

1 + A 4 4 + -2 3 4

f l \ f 1 , 1 1 + -

v 2 - y

+ 3 2 A2

\ f + 1+1 52 62

1 + 1 + 1 + -, 3 5

+ -

V 1 + 1 + ^ 7

2 3

por lo tanto: 4

1 + 1 + 1 + -

2 3 = 1 + 1 + 1 +

3 5

Todas las propiedades aplicadas (asociatividad, suma y multiplicación por constante) son lícitas por tratarse de series convergentes.

2.- Resolver la ecuación en diferencias: X(f + l ) -X( í )= 6 si x(o) = 2

Solución: X(2n)=4 y X{2n-í)=2

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Hallar una curva para la cual el segmento de la normal en cualquier punto de la misma, comprendido entre los ejes coordenados, esté dividido por ese punto en partes iguales.

2.- Hallar la curva cuya subtangente sea el doble de la abscisa del punto de contacto.


Problemas Propuestos para 39ciclo E . 3 . B y Polimodal

de Mario Cozzan i

INTRODUCCIÓN

He decidido introducir como variante en esta sección de problemas algunas soluciones propuestas por mis alumnos del "Colegio Secundario Santo Tomás de Aquino". Esto creo que puede ser de utilidad y resultar beneficioso para nosotros, co-mo docentes. Algunas soluciones están personalizadas, porque las considero sencillamente originales. Otras no, porque fueron realizadas en conjunto, entre los alumnos y el profesor.La matemática desde lo elemental hasta lo más complicado requiere de una actitud, creativa y es fundamental el manejo y la utilización de los objetos matemáticos que se han inventado, se inventan o están por inventarse.

Ejercicio 1. i) Hallar el área y el volumen de un cubo sabiendo que su diagonal (distancia

entre vértices opuestos) vale 8 cm. ii) Hallar el ángulo que forman las diagonales de un cubo,

i i i > Hallar las coordenadas de los vértices del cubo. - i v) Verificar la relación entre el número de vértices, aristas y caras de un cubo:

V - A + C = 2. v Hallar el área del triángulo AB'C. Clasificarlo.

vii Hallar la ecuación del plano que contiene a A, B' y C, siendo A(1,0,0), B ' ( l , l , l ) y C ( 0 , l , 0 ) .

ñ i Hallar la distancia del punto B al plano obtenido en el punto anterior. *iii Calcular el volumen del tetraedro de

base AB'C y vértice B de dos formas distintas.

i \ Probar que el plano determinado por OA'C ' es paralelo al plano determi-nado por AB'C.

\ Verificar que las rectas A 'B ' y BC son alabeadas.

l i Verificar que las rectas OB' y O'B son coplanares.

t i i Mostrar que el punto de intersección re las rectas OB' y O'B es el centro re sravedad del cubo.

38 MARIO COZZANI

SOLUCION:

i) 8cm = OB' = Jx2 + x2 + . r

(8cm)2 = ~OB' = 3x2

64cm2 = 3x2 => x = 4,6188

A = 128cm2 V =98,5344cm3

ii) El vector 0 5 ' = (1,1,l) y 0 ' f l = ( l , l - l )

OB'CTB 1 + 1-1 1 coscp =

OB O'B V3-V3 3 <p = 70°,5.

f [64 Í64 A

Si el vector OB' fuera

entonces (ps70° ,5 .

y O'B, ¡64 164

T " v T '

iv) V = vértices = 8 A = aristas = 12 C = caras = 6

- 1 2 + 6 = 2

Esta relación entre los vértices, aristas y caras de un pol iedro se l lama relación de Euler (1707-1783). Vale para los poliedros convexos, y aún para los no convexos, siempre y cuando no tengan agujeros que vayan de un lado al otro.

v) Área ACB'=- ACxAB'\ = -• S

2 ¡ 2

vi) x+y-z = l ~N = ( l , l , - l )= í + ] - k

2 vii) d = •Jl

viii) VT =--V,J =— ( V ' volumen del paralelepípedo) 6 6

Otra forma:

VT = 3 Sbase>< altura:

d{B) =

l . J l . J _ = i 3 2 \Í2 6

x+y-z-1 1 + 1 - 0 - 1 1

4~3 S S ^ (5( l , l ,0))

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 39

ix) 0(000) a ' ( io i ) c'(on)

-x-y + z = 0 N' = (-1,-1,1 ) = -T-j+k

Ñ//N' entonces se demuestra que los planos son paralelos.

x) La recta A'B' es (xyz)= (lOl)+ A,(010)

A'(lOl) fi'(lll).

La recta BC es (xyz)= (010)+/(-100)

5(110) c(oio). De (I) y (II) obtenemos:

( I )

(II)

y = 0 + l-X x = 0-1-1 y = 1 + 0-?

z = 0 + 0-/

l = -t

X = 1 .

1 = 0 Absurdo

Las rectas son alabeadas. ¿Por qué? Tenga en cuenta t = — 1, A,= l .

) 0(0,0,0) 5*(l,l,l) 0'(0,0,l) 5(1,1,0)

(x, y, z) = A,(l,l,l)

(x, y, z)= (0,0,1)+í(l, 1,-1)

La recta OB'

La recta O'B

De (I) y (II):

(I)

(II)

x = X y = X z = 1

x = t y = t

z = l-t

Las rectas se cortan en el punto 1 1 1

X = t = \ - t 2t = 1

f = 1 /2

A

\ J

xii) El centro de gravedad del cubo es:

GA + GO + GC + G5 + GA' + GB' + GC1 + GO' = 0

A + O + C + B + A'+B'+C'+0'= 8 G

(1,0,0)+ (0,0,0)+ (0,1,0)+ (1,1,0)+ (1,0,1)+ (1,1,1)+ (0,1,1)+ (0,0,1)= 8 • (xG,y0,za)

~ (4,4,4) = (xG ,ya,za)

G = (xc,yG,zG) ' l 1 P

v 2 ' 2 ' 2 y

40 MARIO COZZANI

E j e r c i c i o 2. (*) Calcular el área del tr iángulo ABC.

y B B'

C(3 , - l )

B(2,4)

A(-2,0)

A

C

SOLUCIONES

a) Solución propuesta por la Srta. María Martha Solé, a lumna de 2do. B.O.

"A simple vista muevo tres partes del tr iángulo:

AMR hacia M'R'B AOC' hacia C'BB' MSCR hacia M'R'ST Luego queda formado el rectángulo bxh. 3.4 = 12 equivalente al Área del

t r iángulo ABC."

b) El mismo problema fue propuesto en 5to B.O. (Bachil lerato orientado) del "Colegio Santo Tomás de Aquino", equivalente a un 4to año de la escuela clásica.

Por Pi tágoras calcularon: AB = V42 +4 2 = V32 = 22

BC = y¡ f - + 5 2 =V26

AC = Vi2 +5 2 = a/26

Usando la fórmula de Herón:

A = p{p - a)(p -b\p - c)

+ 2V26

' 1 Se propone este ejercicio en 2do B.O. (Bachillerato orientado) equivalente a un 1er año de la escuela clásica del "Colegio Secundario Santo Tomás de Aquino".

PROBLEMAS PARA 3o CICLO DE E.G.B. Y POLIMODAL 41

p = 2V2 + V26

A = V (2V2 + a/26 )• (2V2 + V26 - 4A/2 )• (2V2J

A = 7(a/26 + 2A/2)-(A/26-2A/2)-8=V(26-8)-8=A/Í8^8

A = A/Í44 =12

c) Como se observa que BC = AC es ABC un triángulo isósceles. Se calcula

el módulo del producto vectorial A = ~ CBxCA .

CB = (-1,5) C4 = (-5,l)

CBxCA =

CBxCA

A = 12

T j k - 1 5 0 - 5 1 0

= &(- ! + 25) =24-le

•^24f = 24

Ejerc ic io 3 ( t ) Transformar en producto x2 + 7x + 12 y hallar los ceros. SOLUCIÓN propuesta por el alumno Matías Vicens.

x2 +lx+ 12 = x2 +lx +12,25-0,25 = x2 +lx + (3,5)2 -(0,5)2 =

= x2 + 2 • 3,5x + (3,5)2 - (0,5)2 = (x + 3,5)2 - (0,5)2 =

= (x + 3,5 + 0,5) • (x + 3,5 - 0,5) = (x + 4) • (x + 3)

Luego, los ceros son -4 y -3.

E jercicio 4(* Calcular la altura de un triángulo equilátero que tiene 27 cm i s perímetro. SOLUCIONES a Propuesta por los alumnos alumnos Juan Ignacio Barreiro y Luis Federico

Barutta.

5 ; propone en 3ero B.O. que equivale a 3er. aliño del "Colegio Secundario Santo Tomás de A q n i n o " 5 ; r : ? p o n e en lero B.O. que equivale a 7mo. grado de la escuela clásica del "Colegio Secundario 5 r a : ; Tomás de Aquino"

42 MARIO COZZANI

Usando la fórmula de Herón: = 27/2 , a = b = c = 9cm

A- 27 27 \ 3 27 / n \

v 2 y

3-9 2

A =

h =

81-V3 _ b a s e x h _ 9 x h 4 2

8 1 - a / 3 - 2 _ 9 V 3

9-4 ~ 2

b) h : •V3 .

E j e r c i c i o 5. Se propone realizar un razonamiento para probar el f amoso Teorema de Pi tágoras.

Solución del alumno Jorge Drestein (Colegio Nacional Buenos Aires, año 1 972) quien sugiere usar el Teorema de Ptolomeo. Le pregunto qué dice dicho teorema y me responde: «en todo cuadrilátero inscriptible en una circunfe-rencia, la suma de los productos de los lados opuestos es igual al producto de las dos dia-gonales'. dd'=mq + np»

Entonces le pregunto ¿Qué razonamiento util iza para llegar al Teorema de Pi tágoras? El a lumno me responde:

Si el cuadrilátero ABCD fuera un rectán-gulo, como sabemos que todo rectángulo es inscriptible en una circunferencia, entonces estamos en condiciones de elaborar el Teo-rema de Pitágoras, ya que las dos diagonales son iguales y los lados opuestos también. Luego queda:

d2 P'+q2


Propuesta Didáctica Coordinadora: Lic. Lucrecia D. Iglesias Autora: Lic. Elisa Quastler

En el presente trabajo la Lic. Quastler propone el estudio de la parábola como forma de representación de una función de segundo grado.

La introducción del tema ante los alumnos debe mencionar el gran interés del mismo por las aplicaciones en física, en particular en la mecánica. Pueden citarse como ejemplos la trayectoria de un cuerpo que se lanza verticalmente hacia arriba y la trayectoria de un cuerpo que se mueve con movimiento uniformemente variado.

En la GUÍA DE TRABAJO que sigue se ofrecen distintos casos particulares para analizar cómo las características de la forma de la parábola corresponden a las características específicas de la función de segundo grado que representa.

Para abordar la tarea es necesario que los alumnos dispongan de conocimien-tos y habilidades previas:

- Concepto de función, su fórmula, su representación. - Habilidades para construir gráficos cartesianos. - Habilidades para realizar transformaciones algebraicas elementales con

números racionales. - Concepto de simetría, de eje de simetría. - Habilidad para determinar la fórmula de una relación cuya representación

es una recta paralela al eje de ordenadas.

Ejercicio 1

a) Lee la siguiente definición:

Se llama función cuadrática a toda función cuya fórmula puede ser l levada a la forma: y = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números racionales y a * 0 .

¿Cuáles de las que siguen son fórmulas que corresponden a funciones cuadráticas?

GUIA DE TRABAJO 1

y+ 2 = 3x2 - x y = 0,25 + 0 , 5 0 * + x : .2

w ,2 z2 1 i x y = 36 + .2

5 5 25

44 LUCRECIA DELIA IGLESIAS

b) En las func iones cuadrát icas hal ladas en a) de termina los valores de a, b y c.

c) Just i f ica por qué debe ser a * 0 .

Ejercicio 2

a) Dada la fórmula y = x2 indica qué valores de a, b y x le cor responden y representa la función cuadrát ica.

b) Observa la representac ión, ¿crees que es s imétr ica? Si es así, indica cuál es el eje de s imetr ía y escr ibe su fórmula.

Ejercicio 3

a) En un mismo s is tema de coordenadas representa las func iones dadas por las fórmulas:

y=x2, y = 2x2, y = 3x2, y = 4x2

b) Compara los gráf icos: a medida que el valor de a aumenta ¿qué var iac ión ocurre en las parábolas?

c) En un s is tema análogo al de a) representa las func iones dadas por las fórmulas:

y = -x2, y = -2x2, y = - 3 x 2 , y = - 4 x 2

d) Compara cada parábola con la del punto a) que t iene el coef icien-te opuesto. ¿Qué relación t ienen los gráf icos? Si te hace fal ta usa papel de calcar para conf i rmar tus observac iones.

Ejercicio 4 a) En el gráf ico del e jercic io 3a) representa y = 1/2- x2. ¿Cómo es

la nueva parábola en comparac ión con las anter iores?

b) ¿Crees que podrías usar papel de calcar para rep resen ta r tam-bién y = - 1 / 2 - x2 ? Si es así, hazlo en el gráf ico de 3c).

c) Para establecer el compor tamiento de las parábolas que repre-sentan fórmulas del t ipo y = ax2 con —1 < a < 1, el ige otros valores de a, construye los gráf icos y anota si se conf i rma lo que observaste en a) y b) de este ejerc ic io.

U n a p u e s t a en c o m ú n de los r e su l t ados de los e j e r c i c io s de la GUÍA 1 d e b e se rv i r pa ra o r g a n i z a r u n a s ín tes i s ace rca de las f u n c i o n e s c u y a f ó r m u l a es del t ipo y = ax2, su c o m p a r a c i ó n con y = x2, etc.

C o m o t a rea de s ín tes i s i nd iv idua l c a d a a l u m n o p u e d e c o m p l e t a r u n c u a d r o , en el q u e las c o l u m n a s sean :

• c o n d i c i ó n sob re a (es tán dadas )

PROPUESTA DIDÁCTICA 45

• fórmula (el alumno escribe un ejemplo no usado antes de una fórmula del tipo y = ax2 que cumple la condición).

• gráfico con el de y = x2 (el alumno hace un bosquejo de la representación de su ejemplo de fórmula en un sistema que ya tiene dibujada y = x2).

• y = 0 (el alumno indica para qué valor o valores de x es y = 0 )•

• signo de y ^ 0 (el alumno indica el o los intervalos en los que y es mayor que 0 y también en los que y es menor que 0).

• máximo (el alumno indica si lo hay o no, y si lo hay en qué valor de x ocurre).

• mínimo (análogo a máximo).

F Ó R M U L A S DE T IPO y = ax2

condición sobre a

ejemplo de fórmula

gráfico con el de y = x2

y = 0 signo de y * 0

máximo mínimo

a = 1 V Y-a > 1 V j 0 < a < 1 V - 1 < a < 0 V \L a < - 1 V y Cuando todos hayan completado satisfactoriamente el cuadro el profesor

puede institucionalizar el concepto de vértice de una parábola y usar la nomenclatura en preguntas del tipo:

¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola que es ejemplo en el segundo renglón del cuadro? ¿Es un máximo o un mínimo?

¿En qué casos del cuadro el vértice es un máximo? ¿En qué casos es un ziínimo?

46 LUCRECIA DELIA IGLESIAS

GUIA DE TRABAJO 2

Ejercicio 1 ¡A continuación vamos a considerar las funciones cuadráticas en que las fórmulas son del tipo y = x2 + c (c 0) o y = - x 2 + c (c 0) • ¿Cuáles de las fórmulas que siguen se pueden llevar a la forma y = x2 + c o y = - x 2 + c con (c ^ 0) ? ¿Qué número es c en cada una?

y = x2 - 1 - x 2 = ^ - y y + 4 = (x -2 ) 2 2 x 2 + 2 y = 2

y = 1 — x2 * 2 = y ~ y - 4 x = (x-2f 2 y - ( x + 2 ) z = 0

Ejercicio 2

a) Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones dadas por:

y - x2 y = x2 +2 y = x 2 + 4 y = x2 - 1 y = x2 - 3

b) Observa los gráficos de a) y anota cómo influye la variación del coeficiente c e n las parábolas.

c) Escribe para cada parábola las coordenadas del vértice, indica si es máximo o mínimo y analiza la simetría.

Ejercicio 3

a) Escribe tres fórmulas del tipo y = - x 2 + c y represéntalas en un mismo sistema de coordenadas junto con y = - x 2 .

b) y c) Repite los pasos b) y c) del ejercicio 2. d) Compara las observaciones de b) en los ejercicios 2 y 3 y anota

conclusiones.

La puesta en común de los resultados de los ejercicios de la guía 2 es un momento adecuado para que los alumnos, organizados en pequeños grupos, propongan qué columnas y qué líneas debiera tener un cuadro de resumen para las características de las funciones dadas por las fórmulas del tipo y = x1 + c (c -t- 0) o del tipo y = -x 2 + c, (c * 0) . Cada grupo debiera presentar su propuesta en una hoja de papel grande como para poder examinarlos a la vez y llegar a conclusiones sobre si registran todos los aspectos analizados y si dan cuenta de todos los casos posibles.

Si el profesor lo estima conveniente, él puede proveer una sugerencia acerca de qué condiciones resultan de combinar los valores de a con los valores de c: a = 1, a = -1, c > 0, c < 0 . O sea, las cuatro condiciones que siguen:

a= 1, c> 0 a = 1, c < 0 a = -\, c>0 a = -\, c < 0 En el próximo número ofreceremos la continuación de la propuesta con nuevas

guías que completarán los casos de funciones cuadráticas que faltan y con actividades diferenciadas, necesarias para atender a las diferencias de ritmo de trabajo de los alumnos.


Problemas y Soluciones para publicar de Natalio Héctor Guersenzvaig y Daniel Prelat

PROBLEMA 1 Sean al,a2,a3,...,an «números reales positivos tales que at <a2 < a, <...<an.

Recordemos que las medias aritmética, geométrica y armónica de estos números son:

MedArit (a],a2,...,an)-al+a2 + •••+an

MedGeom (a, ,a2,...,an )= (a, ,a2...an)«

MedArm (a,, a2,..,, an) = • 1

MedArit _L JL a, 1 1

Demostrar que:

a < MedArm (a,, a2. 2n) < MedGeom (at, a2,..., an )< MedArit (a,, a2,..., an) < an

> que vale una (cualquiera) de las igualdades sii a, = a , = a3 = ... = an sii valen roJai- las igualdades. La demostración no requiere ningún método trascendente: sólo ingenio e inducción completa (por ejemplo). Aproveche este resultado para resolver el siguiente "problema de extremos condicionados" sin necesidad de multiplicadores de Lagrange (método sencillo para determinar puntos estaciona-nos pero no tan sencillo para establecer el carácter extremal de dichos puntos) : j e todos los paralelepípedos rectangulares de área = A (fija), determinar si existe i o existen) el (los) de volumen máximo. Generalice este resultado a paralelepípedos rectangulares /i-dimensionaJes.

PROBLEMA 2 En este problema, trabajaremos con curvas y superficies en el espacio

tridimensional. Para evitar complicaciones ajenas al problema se pueden conside-rar a las curvas como trozos de hilo "suficientemente fino" y a las superficies como -minas de goma "suficientemente finas", entendiendo en ambos casos "suficien-

:emente f ino" en el sentido de que no nos interesa el espesor del hilo ni el espesor Je las láminas. Otra cosa que necesitaremos es el concepto de superficie :rientable, que en el caso de superficies en el espacio tridimensional equivale

48 NATALIO HÉCTOR GUERSENZVAIG Y DANIEL PRELA7

(aunque no sea la definición de orientabilidad) a la "bilateralidad", es decir: un¿ superficie en el espacio tridimensional es orientable sii tiene dos lados. El ejemp".: de superficie no orientable más popular es el de la cinta de Moebius. Existe un teorema (de Seifert) que afirma que toda curva cerrada simple en el espacio tridimensional es el borde de alguna superficie orientable. Se trata de un teorema nada trivial que está relacionado con propiedades profundas del espacio euclídeo de tres dimensiones, y suele ser utilizado alegremente sin mención expresa en los cursos elementales de cálculo vectorial. Le propongo al lector que dibuje una superficie orientable que tenga como borde a la curva dada en los dos siguientes casos:

La curva (a) es el borde de una cinta de Moebius. Lo que el lector debe encontrar es una superficie bilátera que la tenga como borde.

PROBLEMA 3

Dados tres enteros positivos a, b y c, sea fa hc : 9t —» tal que

fa,hAx) = e"x+ehx-ec\ Demuestre que las dos siguientes proposiciones son equivalentes: (I) Para todo entero n > 3 no existen enteros positivos a, b y c tales que

n . t n n a + b = c

(II) Para todos a, b y c enteros positivos y para todo n> 3 ,1a derivada n-

ésima de fa,h,c en x=0 es no nula. Esta equivalencia (cuya demostración solo requiere métodos elementales de

Análisis) es una muestra elemental de las profundas conexiones existentes entre las distintas ramas de la Matemática, en este caso el Análisis y la Aritmética: la proposición (II) se refiere a una propiedad analítica de una combinación lineal de funciones exponenciales y la proposición (I) es el legendario "Teorema de Fermat", como el lector habrá reconocido inmediatamente. Recordemos que este teorema, demostrado recientemente, fue enunciado en el siglo XVII. Por lo tanto si usted encuentra una demostración de (II) (sin utilizar (I), desde luego), la Dirección de la Revista le obsequiará una estadía con todos los gastos pagos en las hermosas playas de Marte, a usted y toda su familia. (Según las últimas observaciones de los observatorios astronómicos, existen algunas playas en Marte tan hermosas como las del Caribe, con hoteles 12 estrellas, locales de fast-food y peloteros para los marcianitos.)

PROBLEMAS Y SOLUCIONES PARA PUBLICAR 49

SOLUCIONES Problemas propuestos en Junio de 2000

Matrices idempoten tes de o rden 2

67.- Una matriz cuadrada A, con coeficientes en un campo (cuerpo conmutativo) cualquiera K se dice idempotente si A2 = A. Describa paramétrica e implíci-tamente las matrices no nulas idempotentes de orden 2 con coeficientes en K que son distintas de ±/2 ( ( I 2 ) es la matriz identidad de orden 2) .

Solución: Sea A = ^ ¿ J * ± / 2 . Dado que el polinomio característico de A

es p = X2 ~(a + d)X +(ad-bc), de donde sigue A2~(a + d)A + (ad-bc)l2 = 0

por el teorema de Hamilton-Cayley, la condición A2 = A equivale a

(l -a - d)A + (ad - bc)¡ = 0 , a su vez equivalente a

a + d = 1, ad-bc = Q

porque / , y A son matrices linealmente independientes. Luego las matrices A que verifican alguna de las tres alternativas

a = 0, d = 1, be = 0 a = l, ai = 0, be = 0

a ^ 0,1, d=\-a, c^0 , ¿ = a ( l - a ) / c

constituyen (verificar esto) la colección de matrices idempotentes de orden 2.

Restos y s is temas l ineales

45.- Sean 8 un número real cualquiera y n un entero positivo arbitrario. De-termine la verdad o falsedad de la afirmación siguiente: el reesto de dividir e: polinomio complejo P = (eos9 + XsenO)" por Q = X2+1 está dado por c?s!«0)+Zsen(n0). Justifique su respuesta.

Solución. Sean C y R = a + bX respectivamente el cociente y resto de divifir " ?or Q = (x + i) (X - i). Luego P = CQ+R , de donde sigue P(± i) = R(±i). Por

fórmula de De Moivre resulta

a + bi = cos(«9)+sen(«0), a—bi = cos(«9)-sen(«0)

Luego a=cos(«9), £=sen(«8),

así que la afirmación del problema es verdadera.

s y s i s temas l ineales

- I _da la transformación lineal

T:R3 ->R?':T(x, y,z)= (x-y, y-z,x-z) - i r las imágenes y preimágenes del plano

NATALIO HÉCTOR GUERSENZVAIG Y DANIEL PRELAT

x+y-3z=0.

Solución. El conjunto {v, = (l,-l,0),v2 = (l,2,l)} es una base del plano dado ü . Luego

{r(v,)=(0,1,1,>r(v2)= ( - u o ) } es una base del plano 7*(n) que tiene ecuación x+y-z = 0 . Por otra parte, la preimagen r~'(n) coincide con la preimagen de la inter-sección de II con la Imagen de T. Por el teorema que relaciona las dimensiones del dominio, núcleo e imagen tenemos que Im(r) = 7 ( n ) . Resolviendo el sistema

x + y - 3z = 0, x + y-z = 0 hallamos que {(l,-l,o)} es una base de la (recta) intersección de n con Im(r). Una solución de r(x,y,z)=( 1,-1,0) es v3=(l,0,l).

Dado que v4=(l,l,l) es una solución de T(x, y, z)= (0,0,0), resulta que la preimagen de ÍI es el plano generado por los vectores v3 y v4 cuya ecuación es x - z = 0 . ——.—————-> — ——'—

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ELEMENTOSDEMATEMATICA ELEMENTOS DE MATEMATICAcaece.opac.com.ar/gsdl/collect/document/index/assoc/HASH... · 2012-07-18 · vínculo sin discontinuidades con los colegas de ^ Islas