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Formulário Eletromagnetismo
1
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO
COORDENADORIA DO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Eletromagnetismo – 2º semestre de 2010 – Turnos Integral e Noturno
FORMULÁRIO – Capítulos 1 a 5 do Livro Texto Professor: Marco Aurélio de Oliveira Schroeder
I. Análise Vetorial (Capítulos 1 a 3) Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas
rar raθ
raφ rax • senθ cosφ cosθ cosφ - senφ ray • senθ senφ cosθ senφ cosφ raz • cosθ - senθ 0
raρ raφ
raz rax • cosφ - senφ 0 ray • senφ cosφ 0 raz • 0 0 1
Formulário Eletromagnetismo
2
Comprimentos, áreas e volumes diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Sistema Comprimento (d L ) Área (d s ) Volume(dv)
Cartesiano zyx adzadyadxLd ++=
zz
yy
xx
adxdysd
adxdzsdadydzsd
=
==
dzdydxdv =
Cilíndrico zp adzadadLd +φρ+ρ= φ
zz addsd
adzdsd
adzdsd
φρρ=
ρ=
φρ=
φφ
ρρ
dzdddv φρρ=
Esférico φθ φθ+θ+= adsenrardadrLd r
φφ
θθ
θ=φθ=φθθ=
ardrdsdadrdsenrsd
addsenrsd r2
r φθθ= ddrdsenrdv 2
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas SISTEMA Cartesiano Cilíndrico Esférico
Cartesiano
zzyyxx
===
zzsenycosx
=φρ=φρ=
θ=
φθ=φθ=
rcoszsen rsenycos senrx
Cilíndrico
zz20 )x/y(tan
0 yx1-
22
=π≤φ≤=φ
≥ρ+=ρ
zz =φ=φρ=ρ
θ=φ=φ
θ=ρ
rcosz
senr
Esférico
( )( ) π≤φ≤=φ
π≤θ≤+=θ
≥++=
20 x/ytan
0 zyxtan
0r zyxr
1-
221-
222
( )π≤φ≤φ=φπ≤θ≤ρ=θ
≥+ρ=
20 0 ztan
0r zr1-
22
φ=φθ=θ
= rr
Formulário Eletromagnetismo
3
DIVERGÊNCIA
CARTESIANAS: zzD
yyD
xxD
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=•∇ D
rr
CILÍNDRICAS: zzDD1)D(1
∂
∂+
∂φφ∂
ρ+
∂ρρρ∂
ρ=•∇ D
rr
ESFÉRICAS: ∂φφ∂
θ+
∂θ
θθ∂
θ+
∂
∂=•∇
D
senr1)senD(
senr1
r
)rDr(
r1
2
2Drr
GRADIENTE
CARTESIANAS: zyx zV
yV
xV
V aaarrrr
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
CILÍNDRICAS: zzVV1VV aaa rrrr
∂∂
+∂φ∂
ρ+
∂ρ∂
=∇ φρ
ESFÉRICAS: φθ ∂φ∂
θ+
∂θ∂
+∂∂
=∇ aaa rrrr Vsenr1V
r1
rVV r
LAPLACIANO
CARTESIANAS: r∇ = + +2
2
2
2
2
2
2VV
xV
yV
z∂∂
∂∂
∂∂
CILÍNDRICAS: r∇ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ + +2
2
2
2
2
21 1
VV V V
zρ∂∂ρ
ρ∂∂ρ ρ
∂∂φ
∂∂
ESFÉRICAS: r∇ =
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ +
22
22 2 2
2
21 1 1
Vr r
rVr r
Vr
V∂∂
∂∂ θ
∂∂θ
θ∂∂θ θ
∂∂φsen
sensen
ROTACIONAL
CARTESIANAS: zxy
yzx
xyz
yH
xH
x
Hz
H z
Hy
H aaaHrrrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
=×∇
CILÍNDRICAS: ( )
zzz
HH1 Hz
H
zHH1 aaaH
rrrrr⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂φ
∂−
∂ρ
ρ∂
ρ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂ρ∂
−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂φ∂
ρ=×∇ ρφ
φρ
ρφ
ESFÉRICAS:
( ) ( )θ
φθφ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂φ∂
θ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂φ∂
−∂θ
θ∂
θ=×∇ aaH
rrrr
rrHH
senr1
r1 HsenH
senr1 r
r( )
φθ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛∂θ∂
−∂
∂+ a
r
Hr
rHr1 r
Formulário Eletromagnetismo
4
II. Campos Eletrostáticos (Capítulo 4)
Lei de Coulomb:
RaR
QQF ˆ
41
221
0επ=
r ; '
'ˆrrrr
RRaR rr
rrr
−−
== ; mFx /10854,8 120
−=ε
Campo Vetorial Intensidade de Campo Elétrico: P
Q QFE
P
rr
0lim→
=
i. Carga pontual ⇒ RaRQ
E ˆ4
12
0επ=r
ii. Linha de carga ⇒ RaRdE ˆ'
41
2´0
lrl
l
ρεπ ∫=
iii. Superfície de carga ⇒ RS
S
aR
SdE ˆ´4
12
´0
ρεπ ∫=
r
iii. Volume de carga ⇒ Rv
v
aR
vdE ˆ´4
12
´0
ρεπ ∫=
r
Casos particulares:
a) Linha infinita de carga ⇒ ρρεπρ aE ˆ
2 0
lr=
b) Lâmina (ou plano) infinita de carga ⇒ nS aE ˆ
2 0ερ
=r
Campo Vetorial Densidade de Fluxo Elétrico: EDrr
0ε=
Fluxo Elétrico: SdDS
rr•= ∫ψ
Lei de Gauss:
encQ=ψ ; encS
QSdD =•∫rr
; VD ρ=•∇rr
Diferença de Potencial Elétrico: ∫ •−==−=B
APABAB dE
QWVVV l
rr
∫ •−=−P
REFREFP dEVV l
rr
Potencial Elétrico Absoluto: REF
P
REFP VdEV +•−= ∫ l
rr
Formulário Eletromagnetismo
5
Potenciais e diferenças de potencial de distribuições particulares de carga:
i. Carga pontual ⇒ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
REFpREFP rr
QVV 114 0επ
ii. Linha de carga ⇒ RdV ´
41
´0
ll
l
ρεπ ∫=
iii. Superfície de carga ⇒ RSdV S
S
´4
1
´0
ρεπ ∫=
iii. Volume de carga ⇒ RvdV v
v
´4
1
´0
ρεπ ∫=
Casos particulares:
a) Linha infinita de carga ⇒ P
REFLREFP VV
ρρ
επρ
ln2 0
=−
b) Lâmina (ou plano) infinita de carga ⇒ ( )PREFS
REFP DDVV −=−02 ε
ρ, onde DREF e
DP correspondem, respectivamente, às distâncias verticais dos pontos de referência e
P em relação à lâmina de carga.
Relação entre Campo Elétrico e Potencial: VE ∇−=rr
Natureza não rotacional do campo eletrostático: 0=∇ EXrr
; 0=•∫C
dE lrr
Densidade de Energia em campos eletrostáticos:
∫∫ =•=vv
E dvEdvEDW 202
121 ε
rr
Formulário Eletromagnetismo
6
III. Campos Elétricos em Meio Material (Capítulo 5)
Corrente elétrica: tdQdI =
Campo Vetorial Densidade de Corrente elétrica: SdJIS
rr•= ∫
Campo Vetorial Densidade de Corrente de Condução: EJC
rrσ=
Campo Vetorial Densidade de Corrente de Convecção: UJ vconvecção
rrρ=
Resistência de condutores de seção reta uniforme:
SSSdJ
dE
IVR C
SC
B
A
σρ ll
rr
lrr
==•
•−==∫
∫
Potência dissipada (Efeito Joule):
RVIRIVdvEdvJEP
vvC
222 ====•= ∫∫ σ
rr
Campo Vetorial Polarização: EP e
rr0εχ=
Campo Vetorial Densidade de Fluxo Elétrico: EPEDrrrr
εε =+= 0
0
;1εεεεχ =−= rre
Capacitância de um capacitor de placas paralelas: dA
dE
SdD
VQC B
A
S ε=•−
•==
∫
∫
lrr
rr
Equação da Continuidade: tJ
∂∂
−=•∇ρrr
Tempo de Relaxação: σε
=rT
Condições de Interface:
i. Tangenciais ⇒ 2
2
1
121 ;
εεtt
ttDD
EE ==
ii. Normais ⇒ SnnSnn EEDD ρεερ =−=− 112212 ; Observação:
Todas as fórmulas da Parte II deste formulário são válidas para a Parte III, desde
que seja substituído, em cada uma delas, ε0 por ε = εrε0.
Formulário Eletromagnetismo
7
Formulário de Derivadas #
# u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias.
1. [ ] 0adxd
=
2. [ ] cxcdxd
=
3. [ ] 1nn xncxcdxd −=
4. [ ]x2
1xdxd
=
5. [ ]dxdu
un
1udxd
n 1nn
−=
6. [ ]dxdv
dxduvu
dxd
+=+
7. [ ]dxducuc
dxd
=
8. [ ]dxduv
dxdvuvu
dxd
+=
9. 2v
udxdvv
dxdu
vu
dxd −
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
10. [ ]dxduunu
dxd 1nn −=
11. [ ]dxduaaa
dxd uu ln=
12. [ ]dxdvuu
dxduuvu
dxd v1vv ln+= −
13. ( )[ ]dxdu
dudfuf
dxd
=
14. [ ] ( )1a,0adxdu
uelog
ulogdxd a
a ≠≠=
15. [ ]dxdu
u1u
dxd
=ln
16. [ ]dxduucosusen
dxd
=
17. [ ]dxduusenucos
dxd
−=
18. [ ]dxduusectgu
dxd 2=
19. [ ]dxduucosecucotg
dxd 2−=
20. [ ]dxdutguusecusec
dxd
=
21. [ ]dxduucotgucosecucosec
dxd
−=
22. [ ]dxdu
u1
1uarcsendxd
2−=
23. [ ]dxdu
u1
1uarccosdxd
2−−=
24. [ ]dxdu
u11uarctg
dxd
2+=
25. [ ]dxdu
u11uarccotg
dxd
2+−=
26. [ ]dxdu
1uu
1uarcsecdxd
2 −=
27. [ ]dxdu
1uu
1uarccosecdxd
2 −−=
28. dxdu
dudy
dxdy
= (Regra de Chain)
29. dzzFdy
yFdx
xFdF
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
(Diferencial total de )z,y,x(F )
30. yFxF
dxdy0)y,x(F
∂∂∂∂
−=⇒=
Formulário Eletromagnetismo
8
Formulário de Integrais #
#u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias.
1. ( )[ ] )x(fdxxfdxd
=∫
2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫
3. Cdxuadxua += ∫∫
4. ( )1nC1n
uduu1n
n −≠++
=+
∫
5. ∫ += Cuu
du ln
6. ∫ += Cedue uu
7. ( )1a,0aCa
aduau
u ≠>+=∫ ln
8. ∫ +−= Cucosduusen
9. ∫ += Cusenduucos
10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln
11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln
12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln
C42
utg +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+= ln
13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln
= C2utg +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ln
14. ∫ +−= C4
u2sen2uduusen2
15. ∫ ++= C4
u2sen2uduucos2
16. ∫ += Cutgduusec2
17. ∫ +−= Cucotgduucosec2
18. ∫ +−= Cuutgduutg2
19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg2
20. ∫ += Cusecduutgusec
21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec
22. Cauarctg
a1
audu
22 +=+
∫
23. Cauau
a21
audu
22 ++−
=−
∫ ln
24. Cuaua
a21
uadu
22 +++
=−
∫ ln
25. Cauarcsen
ua
du22
+=−
∫
26. Cauuau
du 2222
+++=+
∫ ln
27. Cauuau
du 2222
+−+=−
∫ ln
28. Cauarcsec
a1
auu
du22
+=−
∫
29. Cu
auaa1
auu
du 22
22+
++−=
+∫ ln
30. Cu
uaaa1
uau
du 22
22+
−+−=
−∫ ln
31. ( )
Cau
ua1
au
du2222/322+
+=
+∫
32. 2222 ua2uduua −=−∫
Cauarcsen
2a 2
++
33. 2222 au2uduau ±=±∫
Cauu 22 +±+± ln
34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes)