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Eletrônica Digital 1Curso Técnico Eletrônica
Fábio Kurt Schneider
• Funções Lógicas
• Álgebra Boolena
• Soma de Produtos e Produto de Somas
• Aritmética binária
• ESTE MATERIAL ESTÁ BASEADO EM SLIDES PREPARADOS PELO PROF. GILSON YUKIO SATO
Funções Lógicas
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Variáveis e Constantes Booleanas• Só podem assumir dois valores: 1 e 0
• Nível lógico alto/Nível lógico baixo
• Verdadeiro/Falso
• Chave Fechada/Chave Aberta
• Ligado/Desligado
• Nos circuitos eletrônicos• Ambos valores são representados por uma faixa de
valores (e.g.: tensão 0V - 5V ou corrente 0mA – 10 mA)
• Exemplo: o “1” é representado por uma tensão entre 2,0V e 5,0V e o “0” por uma tensão entre 0V e 0,8V
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Tabela Verdade (TV)
• Mostra o estado das saídas em função do valor das entradas
• S = 1 quando B estiver contente (1). As crianças A e B ficam contentes (1) quando ganham sorvete. A criança B ainda está desenvolvendo ... E só fica contentente quando é a única que ganhou ...
Circuito Lógico
A
BS
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Função OU (OR)
• A saída vai para “1” se ao menos uma das entradas é “1”
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
S = A + B
A
BS
S≥ 1A
B
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta OU - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta OU - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Função E (AND)
• A saída vai para “1” somente se todas as entradas forem “1”
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
S = A · B
S&A
B
S = AB
A
BS
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta E - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta E –Exemplo: “B habilita atuação de A quando ‘1’”
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Função NÃO (NOT)
• A saída é o complemento da entrada
A S
0
1
1
0S = A’ = A
A S
S1B
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta NÃO - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Expressões Algébricas de Circuitos Lógicos
Tocci, 2007
?
?
?
?
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exemplos
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exemplos
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Circuitos Lógicos x TABELA VERDADE
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta NOU (NOR)
• A saída da porta NOU é o complemento da função OU
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
S = A + B
A
BS
S≥ 1A
B
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta NOU - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta NE (NAND)
• A saída da porta NE é o complemento da função E
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
S = A · B
S = AB
A
BS
S&A
B
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Porta NE - Exemplo
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Importante
S = A + B S = A + B≠A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
≠
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Função XOR
• Função OU exclusivo - A saída vai para “1” se somente uma das entradas é “1”
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0S= 1
A
B
S = A + B
A
BS
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Função XOR
S = A + B = AB + AB
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
AB AB
0
1
0
0
0
0
1
0
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Precedência
Parênteses NÃO E OU
S = A + B·C
1°
S = (A + B)·C
1°
S = A + B ·C
1°
Álgebra Booleana
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
(1) x·0 = 0
(2) x·1 = x
(3) x·x = x
(4) x·x = 0
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
(5) x+0 = x
(6) x+1 = 1
(7) x+x = x
(8) x+x = 1
A B S
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
Comutativa
(9) x+y = y+x
(10) x·y = y·x
Associativa
(11) x+(y+z) = (x+y)+z = x+y+z
(12) x·(y·z) = (x·y)·z = x·y·z
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas BooleanosDistributiva
(13a)
x·(y+z) = x·y+x·z
(13b)
(w+x)·(y+z) = w·y+w·z+x·y+x·z
(13c)
x+(w·y) = (x+w)·(x+y)
(13d)
w·x+y·z = (w+y)·(w+z)·(x+y)·(x+z)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
(14) x+x·y = x
Prova
x+x·y = x(1+y) (13a)
como
(1+y) = 1 (6)
então
x·1 = x (2)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
(15a) x+x·y = x+y
Prova
x+x·y = (x+x)·(x+y) (13c)como
(x+x) = 1 (8)
então
x+x·y = 1·(x+y) = x+y (2)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas Booleanos
Exercício : Provar o teorema acima
(15b) x+x·y = x+y
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Teoremas de DeMorgan
(16) x+y = x · y
(17) x·y = x + y
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Equivalência Portas NE
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Equivalência Portas NOU
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Circuitos Integrados
• As portas lógicas são comercializadas em forma de circuitos integrados
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Encontre um circuito equivalente utilizando somente
portas NE
• Repita o exercício utilizando somente portas NOU
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Sabendo que o alarme é ativo quando Z=1, determine em
que combinações de entrada o alarme é ativado
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Sabendo que o sinal MEM é ativo quando em 1, determine
em que combinações de entrada ele é ativado
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Sabendo que o sinal MEM é ativo quando em 1, determine em
que combinações de entrada ele é ativado
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios
• Qual a forma de onda da saída X ?
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios
• Para os circuitos ao lado:
• A) Obtenha a expressão booleana
• B) Obtenha a tabela verdade
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Qual a forma de onda da saída X ?
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Imagine que os sensores mostrados abaixo monitoram um
motor. Quando a operação do motor não é normal uma luz de advertência é acesa. Em que circunstâncias ela acenderá ?
Tocci, 2007
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Em quais circunstâncias o LED acenderá ?
Tocci, 2007
Soma de ProdutosProduto de Somas
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma e Produto Booleanos
• OU = Soma booleana
• E = Produto booleano
Não esqueça: soma e produto booleanos são diferentes
da soma e do produto algébrico !!
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma de Produtos
• Soma de Produtos
• “OU” entre “E”s• Representa todas situações em que a função
é igual a “1”• Cada produto representa uma ou mais
situações nas quais a função é igual a “1”
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma de Produtos
DCA+DBA
Produto
Soma de Produtos
Produto
Ex: BA+CBA+DC+D
Ex: BA+DC+FE+KG+LH
NÃO É: ML+NKL+NM+K
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma de Produtos Padrão
• Forma canônica ou padrão• Soma de minitermos• Minitermo = termo de produto onde cada
literal ocorre obrigatoriamente somente uma vez• CB’A minitermo para f(C,B,A)• CB’BA não é minitermo (B ocorre 2X)• CA não é minitermo para f(C,B,A) (não há
B)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma de Produtos Canônica
minitermo
Soma de Produtos Canônica
f(C,B,A) = CBA+CBA
minitermo
Ex: f(M,N,K,L) = MNKL+MNKL+MNKL
NÃO É: f(M,N,K,L) = MNL+MNKL+MNKL
Elaborado por Gilson Yukio Sato
SP padrão a partir da Tabela Verdade
00011100
000001010011100101110111
CBA S LEMBRE-SE: na SP os minitermos representam situações em que S é “1”
CBA CBA CBA+ + = S
011 100 101
S = m(3,4,5)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
SP padrão a partir de SP
f(c,b,a) = acb + ab
f = acb+ab1 (2)
como (x+x) = 1 (8)
então f = acb+ab(c+c)
f = acb+abc+abc (13a)
f = abc+abc+abc
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Produto de Somas
• Produto de Somas
• “E” entre “OU”s• Representa todas situações em que a função
é igual a “0”• Cada soma representa uma ou mais situações
nas quais a função é igual a “0”
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Produto de Somas
(D+C+A)·(D+B+A)
Soma
Produto de Somas
Soma
Ex: (B+A)(C+B+A)(D+C)D
NÃO É: (M+L)(N+K+L)(N+M)K
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Produto de Somas Padrão
• Forma canônica ou padrão• Produto de maxitermos
• Maxitermo = termo de soma onde cada literal ocorre obrigatoriamente somente uma vez
• C+B’+A maxitermo para f(C,B,A)
• C+B’+BA não é maxitermo (B ocorre 2X)
• C+A não é maxitermo para f(C,B,A) (não há B)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Produto de Somas Canônico
maxitermo
Produto de Somas Canônico
f(C,B,A) = (C+B+A)·(C+B+A)
maxitermo
Ex: f(M,N,K,L) = (M+N+K+L)(M+N+K+L)
NÃO É: f(M,N,K,L) = (M+N+L)(M+N+K+L)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
PS padrão a partir da TV
11100011
000001010011100101110111
CBA S LEMBRE-SE: na PS os maxitermos representam situações em que S é “0”
C B
0 1 1 1 0 0 1 0 1
S = m(3,4,5)
A C B A C B A+ + + + + + = S· ·( ) ( ) ( )
Elaborado por Gilson Yukio Sato
PS padrão a partir de PS
f(c,b,a) = (a+c+b)(a+b)
como (xx) = 0 (4)
f = (a+c+b)(a+b+0) (5)
então f = (a+c+b)(a+b+cc)
f = (a+c+b)(a+b+c)(a+b+c) (13c)
f = (a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios• Obtenha as equações
na forma SP e PS canônicas.
• Utilizando álgebra booleana, simplifique as equações
• Extra: Prove algebricamente que as formas SP e PS são equivaventes
00101011
000001010011100101110111
CBA S1011001101100110
0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
DCBA S
0001101000110101
0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111
DCBA S
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios
• Projete um circuito com três entradas (L,M,N) cuja saída será “1” quando o número de “1”s na entrada for maior que o número de “0”s.
• Projete um circuito com quatro entradas (P,Q,R,S) cuja saída será “1” quando somente duas entradas forem “1”
• Projete um circuito que converta um dígito em BCD para BCD excesso 3.
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Exercícios
• Prove que:• X’YZ+XY’Z+XYZ’+XYZ = YZ+XZ+XY
• Dica: A+B+C+D = A+B+C+D+A+A
• Obtenha a SP padrão ou canônica da seguinte equação• F(A,B,C,D) = BCD + A
Aritmética Binária
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma binária
(Vahid, 2008)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Meio-Somador
(Vahid, 2008)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Somador Completo
(Vahid, 2008)
Elaborado por Gilson Yukio Sato
Soma binária
(Vahid, 2008)
EXERCÍCIOSApresente, passo a passo, a prova algébrica de que a equação abaixo é verdadeira:
BABAA )(
EXERCÍCIOS
Desenvolva a equação abaixo de maneira que na sua forma final ela possa ser representada
somente com uma porta NOU de 3 entradas, três portas NOU de 2 entradas e portas NÃO. Apresente o desenvolvimento passo a passo e o desenho final do circuito.
Dica: ABCD = ABCDAA
CBACBACBACBA
EXERCÍCIOS
Simplifique algebricamente ao máximo a equação abaixo. Apresente toda simplificação passo a passo. Omissões podem acarretar diminuição na nota.
BCACABABC
EXERCÍCIOS
Simplifique algebricamente ao máximo a equação abaixo. Apresente toda simplificação passo a passo e o desenho do circuito da equação simplificada. Omissões podem acarretar diminuição na nota.
ADCBA
EXERCÍCIOSDada a tabela verdade :
a) apresente sua equação na forma de soma de produtos,
b) simplifique algebricamente ao máximo a equação obtida,
apresentando a simplificação passo a passo e
c) desenhe o circuito da equação simplificada.
X Y Z W OUT0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 0 1 10 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 0 1 01 1 1 0 11 1 1 1 0
EXERCÍCIOSDado o circuito:
a) apresente a tabela verdade do circuito,
b) apresente a equação do circuito,
c) simplifique algebricamente ao máximo a equação
obtida, apresentando a simplificação passo a passo e
d) apresente passo a passo o desenvolvimento da
equação simplificada na equação soma de produtos
canônica.
&
&1 11
A
B
Cx
EXERCÍCIOS