Eletrônica Digital Ferramentas de Simplificação de Circuitos Lógicos Digitais Prof. Wanderley

Eletrônica Digital Ferramentas de Simplificação de Circuitos Lógicos Digitais

Prof. Wanderley

Introdução

Os circuitos lógicos obtidos tal como mostrado na aula anterior, em geral, admitem simplificações;

Simplificações podem ser feitas utilizando a Álgebra Booleana ou Mapas de Karnaugh;

Com Álgebra Booleana pode-se simplificar expressões com 5 ou mais variáveis;

A manipulação algebrica para obtenção do circuito mínimo pode ser uma tarefa árdua;

Mapas de Karnaugh, quando utilizados corretamente, garantem a obtenção do circuito mínimo sem muito esforço;

Entretanto, com 5 ou mais variáveis pode ser impraticável.

Álgebra de Boole - Postulados

A seguir serão apresentados os postulados da: Complementação; Adição; Multiplicação.

Apresenta-se ainda suas respectivas identidades resultantes.

Álgebra de Boole - Postulados Complementação

Seja A uma variável booleana. Então, é dito ser o complemento de A. Assim,

Daí, pode-se estabelecer a identidade

O inversor é o bloco lógico que executa este postulado!

A

01

10

AAse

AAse

AA

0110

1001

AAseeAAse

AAseeAAse

Álgebra de Boole - Postulados Adição

0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

Daí, pode-se estabelecer as identidades:

AA 0)1

1011

0000

Ase

Ase

pois A pode ser 0 ou 1.


0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

11)2 A

1111

1100

Ase

Ase


0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

AAA )3

1111

0000

Ase

Ase


0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

1)4 AA

10101

11010

AAse

AAse

Álgebra de Boole - Postulados Multiplicação

0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

00.)1 A

00.11

00.00

Ase

Ase


0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

AA 1.)2

11.11

01.00

Ase

Ase


0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

AAA .)3

11.11

00.00

Ase

Ase


0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1

0.)4 AA

00.101

01.010

AAse

AAse

Álgebra de Boole - Propriedades

Assim como na matemática comum, valem, na Álgebra de Boole as propriedades: Comutativa Associativa Distributiva


Propriedade Comutativa Na Adição: A+B = B+A Na Multiplicação: A.B = B.A

Propriedade Associativa Na Adição: A+(B+C) = (A+B)+C = A+B+C Na Multiplicação: A.(B.C) = (A.B).C = A.B.C


Propriedade Distributiva A.(B+C) = A.B+A.C

A B C A(B+C) A.B+A.C

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

PROVA

Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan

Esses teoremas são de fundamental importância em simplificações de expressões booleanas

1º Teorema de De Morgan

BABA .

A B

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

BA. BA

PROVA

Extensão para N variáveis

NCBANCBA ..


BABA .

A B

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

PROVA

Álgebra de Boole – Teoremas de De Morgan

BABA .


Trata-se de uma extensão ao primeiro teorema

Primeiro teorema

Podemos reescrevê-lo da seguinte maneira:

BABA .

BABA .

BBAA deocomprementoéedeocomprementoéonde

Álgebra de Boole – Identidades Auxiliares

ABAA .)1

Provamos esta identidade utilizando a propriedade distributiva, seguido da identidade (1+B)=1 do postulado da soma e, finalmente, a identidade A.1=A do postulado da multiplicação

AABA 1.1


CBACABA .)2

BCA

CBA

CBCBA

CBBACAA

CBBACAAA

CABA

.1.

.1

...

.... Propriedade distributiva

PROVA

Identidade A.A=A

Propriedade distributiva

Identidades: 1+X=1 e A.1=A


BABAA .)3

BA

BA

BAAA

BAA

BAA

BAA

BAA

.

..

.

..

.

.

Identidade

PROVA

2º teorema de De Morgan


Propriedade distributiva e identidade

BABAA .)3

XX

0. AA


Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas

Seja a expressão booleana BACAABCS

Use a Álgebra de Boole para simplificá-la ao máximo.

BCBCAS

BCBCAS Propriedade associativa

Evidenciando A

BCBCAS Aplicando XX

BCBCAS Aplicando o teorema de De Morgan

YYAS Fazendo BCY

1.AS Aplicando identidade 1YY

AS Aplicando identidade AA 1.

Evidenciando A

Propriedade associativa

XX

Propriedade associativa

Aplicando XX Aplicando

Aplicando o teorema de De Morgan

YYAS Fazendo BCY Fazendo

1.AS Aplicando identidadeAplicando identidade

AS

Álgebra de Boole – Simplificação de Expressões Booleanas

Tarefa para casa

ACDCDBACSc

CBACBASb

CABCBACBABCACBASa

)

)

)

1) Simplifique as expressões booleanas

2) Obtenha BAS de BAS

3) Obtenha o circuito simplificado que executa a expressão

CBADCABBAS

Simplificação de Expressões Booleanas Utilizando Mapas de Karnaugh

• Mapas de Karnaugh permitem a simplificação de circuitos digitais de maneira mais rápida;• As informações para minimização são extraídas de tabelas verdade;• Quando aplicado corretamente é garantida a obtenção do circuito mínimo.

A

Mapa de karnaugh para duas variáveis

A

BB


A B

0 0

0 1

1 0

1 1

A

A

BB

Região BA


A B

0 0

0 1

1 0

1 1

A

A

BB

Região BA


A B

0 0

0 1

1 0

1 1

A

A

BB

Região BA


A B

0 0

0 1

1 0

1 1

A

A

BB

Região AB


A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A 0 1

1 1A

BB

Exemplo


A

A

BBA

A

BB

A

A

BBA

A

BB

A=1 A=0

B=1 B=0


A 1 1

1 1A

BB

Agrupamentos

1S

A 0 0

1 1A

BB

AS

Quadra Pares

A 1 0

1 0A

BB

BS

Termos isolados

A 0 1

1 0A

BABAS

BB


A B S

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A 0 1

1 1A

BB

Exemplo

Par 1

Par 2

Aregião

Bregião

BAS


BB

3 Variáveis

0 1 3 2

4 5 7 6

A

A

CC C

Região A B C

0 0 0 0

1 0 0 1

2 0 1 0

3 0 1 1

4 1 0 0

5 1 0 1

6 1 1 0

7 1 1 1

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