Eletronica - Livro - Teoria Dos Circuitos Eletricos

Teoria de Circuitos Eletricos

Versao 0.2

ENGENHARIA DE COMPUTACAO

DRAFT

Prof. Paulo Sergio da Motta Pires

Laboratorio de Engenharia de Computacao e AutomacaoUniversidade Federal do Rio Grande do Norte

Natal-RN, Setembro de 2000

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 i

Resumo

Apresentamos uma versao preliminar e incompleta das Notas de Aula utilizadas no cursode ELE431 - Teoria de Circuitos que ministramos na UFRN para os alunos de graduacao emEngenharia de Computacao.

A versao mais recente deste documento esta disponıvel, no formato pdf, em http:\\www.leca.ufrn.br\~pmotta. Comentarios e sugestoes podem ser enviados para [email protected]

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 ii

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em ambiente Linux Slackware 7.11

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Evolucao :

1. Setembro de 2000 - inıcio, com a Versao 0.1

1http://www.slackware.com

Sumario

1 Conceitos 11.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Funcoes Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1 Funcao Degrau Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.2 Funcao Sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.3 Funcao Rampa Unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.4 Funcao Impulso Unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.5 Propriedades da Funcao δ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Transformada de Laplace de Funcoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . 111.6 Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Expansao em Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7.1 Raızes Reais Distintas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7.2 Raızes Multiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7.3 Raızes Complexas Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.8 Teorema do Valor Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Teorema do Valor Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.10 Diagrama de Polos e Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Metodos para Analise de Circuitos 192.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Componentes de Circuitos Eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Metodo das Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Metodo dos Nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Analise de Circuitos Transformados 343.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Circuitos de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Circuitos em Regime Permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Circuitos Transformados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5 Elementos de Circuito no Domınio da Frequencia . . . . . . . . . . . . 38

iii

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 iv

4 Funcao de Transferencia 434.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 A Funcao H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 Resposta ao Impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Resposta ao Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5 Resposta a Rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.6 Integral de Convolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5 Resposta em Frequencia 475.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Curvas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2.1 H(s) com termo constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.2.2 H(s) com termo s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.2.3 H(s) com termo 1 + τs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2.5 Frequencia de Ressonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6 Serie de Fourier em Analise de Circuitos 576.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.2 A Serie Trigonometrica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3 Translacao de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7 Quadripolos 647.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Parametros Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.3 Parametros Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

A Transformadas de Laplace - Resumo 67

Lista de Figuras

1.1 Representacao de um circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Caracterısticas de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 A funcao degrau unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 A funcao degrau unitario deslocada de a > 0 . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Escalonamento da funcao degrau e da funcao degrau deslocada . . . . 41.6 A funcao pulso quadrado construıda a partir da combinacao de funcoes

degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.8 A funcao sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.9 A funcao rampa unitaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.10 A funcao rampa unitaria deslocada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.11 A funcao delta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.12 Exemplo para deslocamento real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.13 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.14 Diagrama de polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1 Componentes de circuitos eletricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.3 Um circuito eletrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Obtencao das equacoes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Obtencao das equacoes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7 Obtencao das correntes de malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Obtencao da corrente sobre o resistor de 10Ω . . . . . . . . . . . . . . . 262.9 Analise pelo metodo dos nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.10 Analise pelo metodo dos nos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.11 Obtencao do valor da corrente i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.12 Obtencao dos valores das tensoes v1, v2 e v3 . . . . . . . . . . . . . . . . 302.13 Obtencao dos valores das tensoes - fonte controlada . . . . . . . . . . 32

3.1 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3 Respostas no domınio do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4 Regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Capacitor em aberto e indutor em curto . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.6 Circuito apos a chave ter sido aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.7 Analise de circuitos no domınio da frequencia . . . . . . . . . . . . . . 38

v

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 vi

3.8 Representacao do resistor no domınio da frequencia . . . . . . . . . . 393.9 Representacoes do indutor no domınio da frequencia . . . . . . . . . . 403.10 Representacoes do capacitor no domınio da frequencia . . . . . . . . . 413.11 Tensao v(t) sobre o indutor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.12 Corrente i(t) sobre o capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 Funcao de transferencia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Funcao de transferencia H(s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3 Resposta ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.4 Resposta ao degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1 Sistema linear invariante no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.3 Resposta em frequencia para H(jω) = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.4 Resposta em frequencia para H(jω) = jω . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.5 Resposta em frequencia para H(jω) = 1

jω . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.6 Resposta em frequencia para H(jω) = 1 + jωτ . . . . . . . . . . . . . . . 535.7 Resposta em frequencia para H(jω) = 1

1+jωτ . . . . . . . . . . . . . . . . 545.8 Resposta em frequencia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.9 Resposta em frequencia para H(jω) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.1 Decomposicao de um sinal por Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.2 Onda quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3 Onda quadrada deslocada em relacao a onda do Exemplo anterior . . 616.4 Obter a tensao v0(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.1 Quadripolo com grandezas associadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647.2 Quadripolo1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.3 Quadripolo2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Capıtulo 1

Conceitos

1.1 Introducao

Apresentamos algumas definicoes e a fundamentacao matematica necessaria paraanalisar circuitos eletricos no domınio da frequencia.

Neste capıtulo, os circuitos eletricos sao tratados pelo termo mais abrangente desistemas e sao representados sem a preocupacao de caracterizar seus componentes.Na Figura 1.1, e mostrado, entao, um circuito eletrico.

e(t) r(t) SISTEMA

(Circuito Elétrico)E(s) R(s)

Figura 1.1: Representacao de um circuito eletrico

A excitacao, ou entrada, de um circuito pode ser feita atraves de uma fonte decorrente ou de uma fonte de tensao e a resposta, ou saıda, pode ser apresentada emtermos do comportamento da corrente ou da tensao em um ou mais elementos docircuito. No domınio do tempo, a excitacao e a resposta sao representados, respec-tivamente, por e(t) e r(t). No domınio da frequencia, a excitacao e representadapor E(s) e a resposta por R(s). Como iremos verificar, a passagem de um domıniopara outro e possıvel atraves da utilizacao da transformada de Laplace.

Por convencao, iremos adotar letras minusculas para denotar grandezas nodomınio do tempo e letras maiusculas para denotar grandezas no domınio da fre-quencia.

Em analise de circuitos, sao conhecidas a excitacao e o circuito. O objetivoe encontrar a resposta. Em sıntese de circuitos, sao conhecidas a excitacao e aresposta. O objetivo, neste caso, e obter o circuito.

1

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN/Versao 0.2 2

1.2 Sistemas

Algumas definicoes para sistemas :

• Sistemas Lineares - Sao sistemas para os quais vale o princıpio da superposicao.Segundo este princıpio, se e1(t), r1(t) e e2(t), r2(t) sao dois pares diferentes deexcitacao/resposta para um determinado sistema, a excitacao deste sistemapor e(t) = e1(t) + e2(t) deve dar como resposta r(t) = r1(t) + r2(t), como mostradona Figura 1.2. Para estes sistemas, vale, tambem, o princıpio da proporcio-nalidade. Neste caso, se C1e(t) for a excitacao, com C1 constante, a respostasera C1r(t). Diz-se que o sistema, neste caso, preserva a constante de pro-porcionalidade. Outra caracterıstica dos sistemas lineares : a excitacao e acorrespondente resposta estao relacionadas por uma equacao diferencial lin-ear.

SISTEMA

SISTEMA

SISTEMA

C e (t) C r (t)1 1 1 1

C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)C e (t) C r (t)

C e (t) C r (t)2 2 2 2

C e (t) + C e (t) C r (t) + C r (t)1 1 2 2 1 1 2 2

Figura 1.2: Caracterısticas de sistemas lineares

• Sistemas Passivos - Sao sistemas compostos por elementos que nao introduzemenergia.

• Sistemas Recıprocos - Sao sistemas para os quais o relacionamento entre aexcitacao e a resposta permanece o mesmo quando seus pontos de medida saotrocados.

• Sistemas Causais - Sao sistemas para os quais a resposta e nao-antecipatoria,isto e, sao sistemas para os quais se e(t) = 0 para t < T entao r(t) = 0 para t < T .So existira resposta se uma excitacao for aplicada.

• Sistemas Invariantes no Tempo - Sao sistemas para os quais se a excitacao e(t)da como resposta r(t), uma excitacao deslocada, e(t ± T ) dara uma respostadeslocada r(t± T ).


1.3 Funcoes Singulares

Funcoes singulares sao funcoes que apresentam algum tipo de descontinuidade.Iremos analisar as funcoes singulares de maior interesse para a area de circuitoseletricos.

1.3.1 Funcao Degrau Unitario

A funcao degrau unitario, u(t), e definida atraves da relacao :

u(t) =

1, se t ≥ 00, se t < 0

O grafico e mostrado na Figura 1.3

u(t)

t

1

Figura 1.3: A funcao degrau unitario

A funcao degrau unitario deslocada e mostrada na Figura 1.4.

u(t − a)

ta

1

Figura 1.4: A funcao degrau unitario deslocada de a > 0

Observar que :

u(t− a) =

1, se t ≥ a0, se t < 0

A altura da funcao degrau unitario pode ser modificada multiplicando-se afuncao por uma constante. Na Figura 1.5 mostramos o resultado da multiplicacao(escalonamento) dos dois graficos anteriores por uma constante A > 0.


f(t) = A u(t)

A

t

f(t) = A u(t − a)

A

a t

Figura 1.5: Escalonamento da funcao degrau e da funcao degrau deslocada

Utilizando as propriedades de deslocamento e escalonamento mostradas anteri-ormente, podemos construir outras formas de onda.

Exemplo - a funcao pulso quadrado pode ser construıda usando uma combi-nacao de funcoes degrau. Assim, considerando a funcao f(t),

f(t) = 4u(t− 1)− 4u(t− 2)

temos os graficos mostrados na Figura 1.6

4

−4

1

2t

4 u (t − 1)

−4 u(t − 2)

1 2

4

f(t) = 4 u(t − 1) − 4 u(t − 2)

t

Figura 1.6: A funcao pulso quadrado construıda a partir da combinacao de funcoes degrau

Exemplo - na Figura 1.7, apresentamos a funcao

f(t) = u(sent)


f(t) = sen t

t

t

u(sen t)

1

−1

1

...

...

Figura 1.7: Onda quadrada

1.3.2 Funcao Sinal

Alguns autores definem a funcao sinal, sgn(t), atraves da expressao :

sgn(t) =

1, se t > 00, se t = 0−1, se t < 0

enquanto outros autores representam a funcao sinal atraves da expressao :

sgn(t) =

1, se t > 0−1, se t < 0

Usando a segunda representacao, podemos escrever sgn(t) = 2u(t)− 1. O graficoda funcao sinal e mostrado na Figura 1.8

1

−1

t

sgn(t)

Figura 1.8: A funcao sinal


1.3.3 Funcao Rampa Unitaria

A funcao rampa unitaria, ρ(t), e definida atraves da relacao :

ρ(t) = t u(t)

O grafico da funcao rampa unitaria e mostrado na Figura 1.9

t

1

1

ρ (t)

Figura 1.9: A funcao rampa unitaria

Na Figura 1.10, mostramos a funcao rampa unitaria deslocada.

ta a + 1

1ρ (t − a)

Figura 1.10: A funcao rampa unitaria deslocada

No caso da funcao rampa, o escalonamento mudara a tangente do angulo formadocom o eixo t.

1.3.4 Funcao Impulso Unitario

A funcao impulso unitario, ou funcao delta, e definida atraves das expressoes :∫∞−∞ δ(t)dt = 1

δ(t) = 0 se t 6= 0

1.3.5 Propriedades da Funcao δ(t)

∫ ∞−∞

δ(t)dt =∫ 0+

0−δ(t)dt = 1


Decorre, da propriedade acima, que :∫ 0−

−∞δ(t)dt =

∫ ∞0+

δ(t)dt = 0

Uma outra propriedade importante,∫ ∞−∞

f(t)δ(t)dt = f(0)

e, por extensao, ∫ ∞−∞

f(t)δ(t− T )dt = f(T )

E conveniente ressaltar que δ(t) = u′(t). O grafico da funcao δ(t) e mostrado na

Figura 1.11

t

δ

Figura 1.11: A funcao delta

1.4 Transformadas de Laplace

A transformada de Laplace permite passar do domınio do tempo para o domınioda frequencia. Ela e definida atraves da equacao :

L [f(t)] = F (s) =∫ ∞

0−f(t)e−stdt

onde s e a variavel do domınio complexo, s = σ + jω, e j =√−1.

Exemplo - podemos utilizar a definicao para obter a transformada de Laplaceda funcao f(t) = u(t). Temos,

L [u(t)] =∫ ∞

0−u(t)e−stdt

=∫ ∞

0e−stdt

= −e−st

s

∣∣∣∣∞0

=1s


Tambem usando a definicao, podemos obter a transformada de Laplace de f(t) =eatu(t). Temos,

L [eatu(t)] =∫ ∞

0−eatu(t)e−stdt

=∫ ∞

0eate−stdt

= −e−(s−a)t

s− a

∣∣∣∣∞0

=1

s− a

Geralmente, as integrais que precisam ser calculadas para se obter a transforma-da de Laplace nao sao tao simples quanto as apresentadas anteriormente ou podemlevar um tempo muito grande para serem obtidas. Estas complicacoes sao evitadas,na maioria dos casos, atraves da utilizacao de propriedades das transformadas deLaplace.

1.4.1 Propriedades da Transformada de Laplace

Proporcionalidade

A transformada de Laplace de uma constante (independente do tempo) vezesuma funcao, e a constante vezes a transformada de Laplace da funcao. Assim,considerando k uma constante,independente de t,

L [kf(t)] = kL [f(t)]

Linearidade

A propriedade da linearidade estabelece que a a transformada de Laplace deuma soma de funcoes e a soma das transformadas de Laplace de cada uma dasfuncoes. Entao,

L [∑i

fi(t)] =∑i

L [fi(t)]

Podemos usar esta propriedada para obter a transformada de Laplace da funcaof(t) = senωt. Utilizando a identidade de Euler,

ejωt = cosωt+ jsenωt

temos,

f(t) = senωt =12j[ejωt − e−jωt

]


Daı, como o uso da propriedade da linearidade,

L [f(t)] = L [senωt]

=12j[L [ejωt]−L [e−jωt]

]=

12j

[1

s− jω− 1s+ jω

]=

ω

s2 + ω2

Diferenciacao

Se F (s) e a transformada de Laplace da funcao f(t), L [f(t)] = F (s), entao

L

[df(t)dt

]= sF (s)− f(0−)

onde f(0−) e o valor de f(t) em t = 0−. Por extensao,

L

[dnf(t)dtn

]= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f

′(0−)− ...− fn−1(0−)

onde os superescritos em f(t) indicam derivada em relacao a t.Exemplo - utilizar a propriedade da diferenciacao para obter a transformada

de Laplace da funcao δ(t). Sabendo que δ(t) = u′(t), temos :

L [δ(t)] = L

[du(t)dt

]= s

1s

= 1

ja que u(0−) = 0.

Integracao


L

[∫ τ

0−f(t)dt

]=F (s)s

Exemplo - utilizar a propriedade da integracao para obter a transformada deLaplace da funcao ρ(t). Sabendo que ρ(t) = u

′(t), temos :

L [ρ(t)] = L

[∫ t

0−u(t)dt

]=

1s

1s

=1s2


Multiplicacao por t

A propriedade da diferenciacao no domınio s e definida atraves da equacao :

L [tf(t)] = −dF (s)ds

ou, generalizando,

L [tnf(t)] = (−1)ndnF (s)dsn

Exemplo - obter a transformada de Laplace da funcao f(t) = te−at. Temos,

L [te−at] = − d

ds

[1

s+ a

]=

1(s+ a)2

Por extensao, temos :

L [tne−at] =n!

(s+ a)n+1

eL [tn] =

n!sn+1

onde n e inteiro positivo.

Deslocamento Complexo


L [eatf(t)] = F (s− a)

Exemplo - obter a transformada de Laplace da funcao f(t) = e−atsen(ωt). Como

L [sen(ωt)] =ω

s2 + ω2

temos,L [e−atsen(ωt)] =

ω

(s+ a)2 + ω2

Considerando f(t) = e−atcos(ωt), temos

L [e−atcos(ωt)] =s+ a

(s+ a)2 + ω2

ja queL [cos(ωt)] =

s

s2 + ω2

Devemos salientar que, neste caso, a utilizacao de uma propriedade eliminoua necessidade da obtencao da transformada de Laplace atraves da resolucao deintegracoes complicadas ou trabalhosas.


Deslocamento Real


L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a)

Exemplo - obter a transformada de Laplace para a funcao mostrada na Figura1.12

f(t)

t

2

a

Figura 1.12: Exemplo para deslocamento real

Podemos observar que a funcao f(t) pode ser escrita como a combinacao de duasfuncoes degrau. Temos, portanto,

f(t) = 2u(t)− 2u(t− a)

Daı,L [f(t)] = 2L [u(t)]− 2L [u(t− a)]

Entao,

F (s) =2s− 2e−as

s

1.5 Transformada de Laplace de Funcoes Periodicas

Se f(t) e uma funcao periodica de perıodo T , isto e,

f(t) = f(t± T ) T e o perıodo

a transformada de Laplace de f(t) pode ser obtida utilizando a equacao :

L [f(t)] =1

1− e−sT

∫ T

0−f(t)e−stdt

1.6 Transformada Inversa de Laplace

Se F (s) e a transformada de Laplace da funcao f(t), define-se a transformadainversa de Laplace atraves da expresao :

L −1[F (s)] = f(t)


Assim, se

F (s) =1s

a transformada inversa sera

L −1[F (s)] = L −1[1s

]

= u(t)

1.7 Expansao em Fracoes Parciais

Uma funcao no domınio da frequencia, F (s), pode sempre ser escrita na forma :

F (s) =N(s)D(s)

onde N(s) representa seu numerador e D(s) representa o seu denominador.As tecnicas de expansao em fracoes parciais auxiliam na obtencao das trans-

formadas inversas de Laplace. Vamos considerar casos em que o denominador dafuncao F (s) apresente raızes reais distintas, raızes multiplas e raızes complexassimples.

1.7.1 Raızes Reais Distintas

Vamos considerar F (s) escrita na forma :

F (s) =N(s)

(s− s0)(s− s1)(s− s2)

onde s0, s1 e s2 sao raızes reais e distintas e o grau do numerador, N(s), e menordo que 3. Expandindo F (s), temos :

F (s) =k0

s− s0+

k1

s− s1+

k2

s− s2

Para obter a constante k0, fazemos :

(s− s0)F (s) = k0 +k1(s− s0)s− s1

+k2(s− s0)s− s2

Considerando s = s0, temos :

k0 = (s− s0)F (s)∣∣∣∣s=s0

Esta notacao indica que, para obter o valor de k0, elimina-se do denominadorda funcao F (s) o termo que depende de s0, (s− s0), substituindo-se o valor de s, nostermos restantes, pelo valor de s0. De modo semelhante, temos

k1 = (s− s1)F (s)∣∣∣∣s=s1


Generalizado, temos

ki = (s− si)F (s)∣∣∣∣s=si

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a funcao

F (s) =s2 + 2s− 2

s(s+ 2)(s− 3)

Observar que o denominador ja encontra-se fatorado. Temos,

F (s) =s2 + 2s− 2

s(s+ 2)(s− 3)=k0

s+

k1

s+ 2+

k2

s− 3

Daı,

k0 = sF (s)∣∣∣∣s=0

=s2 + 2s− 2

(s+ 2)(s− 3)

∣∣∣∣s=0

=13

k1 = (s+ 2)F (s)∣∣∣∣s=−2

=s2 + 2s− 2s(s− 3)

∣∣∣∣s=−2

= −15

k2 = (s− 3)F (s)∣∣∣∣s=3

=s2 + 2s− 2s(s+ 2)

∣∣∣∣s=3

=1315

Temos, entao,

F (s) =13

s−

15

s+ 2+

1315

s− 3Daı,

L −1[F (s)] = f(t) = L −1

[13

s

]−L −1

[15

s+ 2

]+ L −1

[1315

s− 3

]Assim,

f(t) =13u(t)− 1

5e−2tu(t) +

1315e3tu(t)

1.7.2 Raızes Multiplas


F (s) =N(s)

(s− s0)nD1(s)

Observamos que F (s) possui polos multiplos em s0. Expandindo F (s), temos :

F (s) =k0

(s− s0)n+

k1

(s− s1)n−1+

k2

(s− s2)n−2+ ...+

kn−1

s− s0+N1(s)D1(s)

SejaF1(s) = (s− s0)nF (s)


Pela expressao anterior, estamos eliminando da funcao F (s) o fator (s − s0)n.Assim,

F1(s) = k0 + k1(s− s0) + k2(s− s2) + ...+ kn−1(s− s0)n−1 +R(s)(s− s0)n

Daı,

k0 = F1(s)∣∣∣∣s=s0

Derivando F1(s) em relacao a s, temos :

dF1(s)ds

= k1 + 2k2(s− s0) + ..+ kn−1(n− 1)(s− s0)n−2 + ...

entao,

k1 =dF1(s)ds

∣∣∣∣s=s0

Derivando novamente, temos :

k2 =12dF1(s)ds

∣∣∣∣s=s0

Generalizando,

km =1m!

dmF1(s)dsm

∣∣∣∣s=s0

m = 0, 1, 2, ..., n-1

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace para a funcao :

F (s) =s− 2

s(s+ 1)3

Observar que o denominador possui polos reais simples, devido ao fator s, e polosreais multiplos, devido ao fator (s + 1)3. Cada fator deve ser tratado de maneiradiferente.

Expandindo F (s), temos

F (s) =A

s+

k0

(s+ 1)3+

k1

(s+ 1)2+

k2

s+ 1

O coeficiente A e obtida pelo metodo das raızes reais distintas enquanto que oscoeficientes k0, k1 e k2 sao obtidos pelo metodo das raızes multiplas. Entao :

A = sF (s)∣∣∣∣s=0

=s− 2

(s+ 1)3

∣∣∣∣s=0

= −2

Para o caso das raızes multiplas,

F1(s) = (s+ 1)3F (s) =s− 2s

e, entao,


k0 =10!d0

ds0

s− 2s

∣∣∣∣s=−1

= 3

k1 =11!d

ds

s− 2s

∣∣∣∣s=−1

= 2

k2 =12!d2

ds2

s− 2s

∣∣∣∣s=−1

= 2

Entao,

F (s) = −2s

+3

(s+ 1)3+

2(s+ 1)2

+2

s+ 1

A transformada inversa e obtida atraves de :

L −1[F (s)] = L −1

[−2s

]+ L −1

[3

(s+ 1)3

]+ L −1

[2

(s+ 1)2

]+ L −1

[2

s+ 1

]Assim,

f(t) = L −1[F (s)] =32t2e−tu(t) + te−tu(t) + 2e−tu(t)

1.7.3 Raızes Complexas Simples


F (s) =N(s)

(s− α− jβ)(s− α+ jβ)D1(s)

Pode-se mostrar que a transformada inversa de Laplace, devido a presenca dostermos complexos, (s− α− jβ) e (s− α+ jβ) e dada por

f1(t) = Meαtsen(βt+ φ)

onde M e φ sao obtidos atraves da expressao

Mejφ =N(s)βD1(s)

∣∣∣∣s=α+jβ

Exemplo - obter a transformada inversa de Laplace da funcao :

F (s) =s2 + 3

(s+ 2)(s2 + 2s+ 5)

O denominador possui um termo nao fatorado. Realizando a fatoracao, obtemos:

s2 + 2s+ 5 = (s+ 1 + j2)(s+ 1− j2)

Assim, F (s) pode ser reescrita na forma :

F (s) =s2 + 3

(s+ 2)(s+ 1 + j2)(s+ 1− j2)


Observamos que o demoninador de F (s) possui um polo real simples, representa-do pelo termo s+2, e polos complexos simples, representados pelos termos s+1+ j2e s+ 1 + j2. Os dois casos devem ser tratados de maneira diferente.

Para a raiz real simples,

k0 = (s+ 2)F (s)∣∣∣∣s=−2

=s2 + 3

s2 + 2s+ 5

∣∣∣∣s=−2

=75

A transformada inversa referente a apenas este termo e

L −1

[75

s+ 2

]=

75e−2t

Para as raızes complexas, temos α = −1 e β = 2. Os valores de M e φ saocalculados, entao, usando :

Mejφ =s2 + 3

2(s+ 2)

∣∣∣∣s=−1+j2

=2√5e−jtg

−1 12

+π

Logo, M = 2√5

e φ = tg−1 12 + π e, entao,

f1(t) =2√5e−tsen(2t+ tg−1 1

2+ π)

e, assim,

f(t) =75e−2t +

2√5e−tsen(2t+ tg−1 1

2+ π)

1.8 Teorema do Valor Inicial

O teorema do valor inicial estabelece que :

f(0+) = limt→0+

= lims→∞

sF (s)

1.9 Teorema do Valor Final

O teorema do valor final estabelece que :

f(∞) = limt→∞

= lims→0

sF (s)

1.10 Diagrama de Polos e Zeros


F (s) =N(s)D(s)

Define-se os polos de F (s) como sendo as raızes do seu denominador e os zerosde F (s) como sendo as raızes do seu numerador. O diagrama de polos e zeros e


uma maneira de representar graficamente, no plano complexo, os polos e os zerosde uma funcao F (s).

Exemplo - obter o diagrama de polos e zeros para a funcao :

F (s) =s(s− 1 + j1)(s− 1− j1)(s+ 1)2(s+ j2)(s− j2)

Temos,

polos =

s = −1 (duplo)s = −j2s = j2

e

zeros =

s = 0s = 1− j1s = 1 + j1

Seu diagrama de polos e zeros e apresentado na Figura 1.13

−1

1

j2

−j2

Plano s

σ

j ω

Figura 1.13: Diagrama de polos e zeros

Exemplo - Obter o diagrama de polos e zeros para a funcao :

F (s) =2(s− 1)2s2

(s+ 1 + j2)2(s+ 1− j2)2(s+ 1)2

teremos

polos =

s = −1− j2 (duplo)s = −1 + j2 (duplo)s = −1 (duplo)

e

zeros =s = 0 (duplo)s = 1 (duplo)

O diagrama de polos e zeros e mostrado na Figura 1.14. Observar que a constantee explicitada no diagrama atraves de K = 2.


−1σ

j ω

j2

−j2

Plano s

1

K = 2

Figura 1.14: Diagrama de polos e zeros

Capıtulo 2

Metodos para Analise de Circuitos

2.1 Introducao

Em analise de circuitos, a excitacao e o circuito sao conhecidos. A resposta e atensao ou a corrente em um ou em varios elementos do circuito. Apresentaremosalgumas tecnicas que possibilitam a analise de circuitos eletricos.

2.2 Componentes de Circuitos Eletricos

Neste curso, consideraremos circuitos eletricos compostos por resistores, indu-tores e capacitores, alimentados por fontes de corrente ou de tensao. Estas fontespodem ser fontes independentes ou fontes controladas. Todos estes elementos estaomostrados na Figura 2.1.

R

Resistor

Capacitor

C

L

Indutor

v

i

Fonte de Corrente(constante)

Fonte de Tensão(constante)

Fonte de Corrente

i(t)

(variável)

Fonte de Tensão(variável)

v(t)

Fonte de TensãoControlada

Fonte de CorrenteControlada

+ +v(t)

i(t)

−

+

Figura 2.1: Componentes de circuitos eletricos

19

Teoria de Circuitos - PSMP-LECA-UFRN - Versao 0.2 20

Adotaremos, ainda, as polaridades apresentadas na Figura 2.2. A corrente eletri-ca entra no dispositivo (R, L, ou C) em seu polo positivo e sai de uma fonte peloseu polo positivo.

elemento

i +

+

Fonte

Figura 2.2: Polaridades

2.3 Metodo das Malhas

Vamos considerar o circuito eletrico mostrado na Figura 2.3. Este circuito ecomposto por tres resistores, R1, R2 e R3 e e alimentado por duas fontes de tensao,v1 e v2. Fazendo um paralelo entre esta representacao e a representacao utilizadano capıtulo 1, v1 e v2 sao a excitacao, ou a entrada, do circuito, R1, R2 e R3 sao oselementos dentro da caixa denominada sistema e a resposta, ou saıda, pode ser atensao ou a corrente em qualquer parte do circuito. Por exemplo, a resposta podeser a tensao1, ou a corrente, sobre o resistor R1 ou sobre o resistor R2 ou sobre oresistor R3

R R

Rv v3

1 2

1 2−

+

−

+

Figura 2.3: Um circuito eletrico

Este circuito possui duas malhas. Para cada malha, estabelecemos uma correntecujo sentido, arbitrado, e o sentido horario, conforme mostrado na Figura 2.4

1Lembrar que a tensao, em Volts (sımbolo V), entre os terminais de um resistor de resistencia R, em Ohms(sımbolo Ω), e dada pela equacao v = Ri onde i e a corrente sobre o resistor, em Amperes (sımbolo A).


R R

Rv v3

1 2

1 2

MALHA 1 MALHA 2

i i21−

+

−

+

Figura 2.4: Correntes de malha

Para cada malha, ha uma equacao de malha correspondente. As equacoes demalha sao obtidas usando-se os seguintes procedimentos :

• Com relacao a primeira malha : O coeficiente da primeira corrente, i1, e a somados valores das resistencias que pertencem a sua malha. Entao, a corrente i1sera multiplicada por (R1 +R3) ja que sao estes os valores das resistencias quepertencem a sua malha. O coeficiente das correntes de qualquer outra malhae o negativo da soma dos valores das resistencias comuns a primeira e a malhaconsiderada. Assim, a corrente da outra malha, i2, sera multiplicada por −R3

pois R3 e o valor da resistencia comum as duas malhas. O lado direito daequacao e formado pela soma algebrica das fontes de tensao que pertencem amalha. Desta forma, para esta malha, temos a equacao :

(R1 +R3)i1 −R3i2 = v1

• Com relacao a segunda malha : O coeficiente da segunda corrente, i2, e a somados valores das resistencias que pertencem a sua malha. Entao, a corrente i2sera multiplicada por (R2 +R3) ja que sao estes os valores das resistencias quepertencem a sua malha.O coeficiente das correntes de qualquer outra malha eo negativo da soma dos valores das resistencias comuns a segunda e a malhaconsiderada. Assim, a corrente da outra malha, i1, sera multiplicada por −R3

pois R3 e o valor da resistencia comum as duas malhas. O lado direito daequacao e formado pela soma algebrica das fontes de tensao que pertencem amalha. Assim, para esta malha, temos a equacao :

−R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2

Caso existam outras malhas e, consequentemente, outras correntes de malha,repete-se estes procedimentos para cada uma delas.

Para o circuito apresentado, o sistema de equacoes e, entao :

(R1 +R3)i1 −R3i2 = v1

−R3i1 + (R2 +R3)i2 = −v2


ou, na forma matricial, [R1 +R3 −R3

−R3 R2 +R3

] [i1i2

]=[v1

v2

]Exemplo - Utilizando as equacoes de malha obtidas para o circuito mostrado

na Figura 2.4, e considerando R1 = 2Ω, R2 = 1Ω, R3 = 4Ω, v1 = 2V e v2 = 6V , calcularos valores de i1 e i2.

(2 + 4)i1 − 4i2 = 2−4i1 + (1 + 4)i2 = −6

ou [6 −4−4 5

] [i1i2

]=[

2−6

]Daı, obtemos : [

i1i2

]=[−1−2

]Apesar de ser simples, o sistema acima pode ser resolvido atraves da funcao

linsolve do Scilab. Esta funcao considera que o sistema linear esta escrito naforma:

Ax+ b = 0

onde A e a matriz dos coeficientes, b e o vetor dos termos independentes e x e ovetor das incognitas. O vetor x, no nosso caso, e o vetor das correntes.

x =[i1i2

]Temos, entao, os seguintes procedimentos :

===========S c i l a b===========

scilab-2.5Copyright (C) 1989-99 INRIA

Startup execution:loading initial environment

-->// Entrada da matriz A :

-->A = [ 6 -4; -4 5]A =


! 6. - 4. !! - 4. 5. !

--> // Entrada do vetor b (observar a troca dos sinais) :

-->b = [ - 2; 6]b =

! - 2. !! 6. !

-->// Chamada da funcao linsolve :

-->[x] = linsolve(A, b)x =

! - 1. !! - 2. !

-->

Exemplo - Obter as equacoes de malha para o circuito mostrado na Figura 2.5

R

R

R

R

R

R

1

2

3

4

5

6

i

i

i

1

2

3

v1 v 2−

+

− +

Figura 2.5: Obtencao das equacoes de malha

Temos,

(R1 +R2 +R3)i1 −R2i2 −R3i3 = v1

−R2i1 + (R2 +R4 +R5)i2 −R5i3 = −v2

−R3i1 −R5i2 + (R3 +R5 +R6)i3 = v2

ou, na forma matricial,


R1 +R2 +R3 −R2 −R3

−R2 R2 +R4 +R5 −R5

−R3 −R5 R3 +R4 +R6

i1i2i3

=

v1

−v2

v2

Exemplo - Obter, usando as equacoes de malha, as correntes i1 e i2 mostradas

no circuito da Figura 2.6

v1 v

2

R R

R

1 2

3i1 i

2

−

+

−

+

Figura 2.6: Obtencao das equacoes de malha

Temos,

(R1 +R2)i1 −R2i2 = v1 − v2

−R2i1 + (R2 +R3)i2 = −v2

[R1 +R2 −R2

−R2 R2 +R3

] [i1i2

]=[v1 − v2

−v2

]Entao, [

7 −6−6 8

] [i1i2

]=[−5−10

]Obtemos, resolvendo a equacao anterior,[

i1i2

]=[−5 − 5

]Usando o Scilab, temos :

-->A = [ 7 -6; -6 8]A =

! 7. - 6. !


! - 6. 8. !

-->b = [ 5; 10]b =

! 5. !! 10. !


! - 5. !! - 5. !

-->

Exemplo - Obter, usando as equacoes de malha, as correntes i1 e i2 mostradasno circuito da Figura 2.7

R

R

v

v

v1

2

3

R1

2

3i1 i2

−

+

−

+−

+

Figura 2.7: Obtencao das correntes de malha

Temos as sequintes equacoes de malha :

(R1 +R2)i1 −R2i2 = −v1 − v2

−R2i1 + (R2 +R3)i2 = v2 − v3

Daı, considerando R1 = 2Ω, R2 = 4Ω, R3 = 6Ω, v1 = 6V , v2 = 4V e v3 = 3V , temos :[R1 +R2 −R2

−R2 R2 +R3

] [i1i2

]=[−v1 − v2

v2 − v3

]Entao, [

6 −4−4 10

] [i1i2

]=[−10

1

]Resolvendo pelo Scilab,


-->A = [6 -4; -4 10]A =

! 6. - 4. !! - 4. 10. !

-->b = [10; -1]b =

! 10. !! - 1. !


! - 2.1818182 !! - 0.7727273 !

-->

Exemplo - Obter, usando as equacoes de malha, o valor da corrente que passano resistor de 10Ω mostrado no circuito da Figura 2.8

10

8 5

3 2 Ω

Ω

Ω Ω

Ω15 V i1i

i

2

3

−

+

Figura 2.8: Obtencao da corrente sobre o resistor de 10Ω

Obtemos as sequintes equacoes de malha :

(8 + 3)i1 − 3i2 − 8i3 = 15−3i1 + (5 + 2 + 3)i2 − 5i3 = 0−8i1 − 5i2 + (8 + 10 + 5)i3 = 0


ou

11i1 − 3i2 − 8i3 = 15−3i1 + 10i2 − 5i3 = 0−8i1 − 5i2 + 23i3 = 0

Usando o Scilab, obtemos :

-->A = [11 -3 -8; -3 10 -5; -8 -5 23]A =

! 11. - 3. - 8. !! - 3. 10. - 5. !! - 8. - 5. 23. !

-->b = [-15; 0; 0]b =

! - 15. !! 0. !! 0. !


! 2.6327055 !! 1.3998288 !! 1.2200342 !

-->

Portanto, a corrente sobre o resistor de 10Ω e i3 = 1.2200342A.

2.4 Metodo dos Nos

Um no, por definicao, e um ponto de interconexao de elementos. Assim, ocircuito mostrado na Figura 2.9 possui tres nos, como indicado.


Nó de referência

i1

R 1

R 2

R 3 i2

Nó 2Nó 1

Figura 2.9: Analise pelo metodo dos nos

O procedimento para analise de circuitos pelo metodo dos nos :

1. Determinar o numero de nos do circuito. O numero de equacoes sera igual aonumero de nos menos um. No caso, temos tres nos e, portanto, duas equacoes.

2. Eleger um no como o no de referencia. Geralmente, este no e o que possuio maior numero de elementos conectados. No circuito mostrado, o no dereferencia esta destacado. Ao no de referencia e atribuıdo sinal negativo e aosoutros, sinal positivo.

3. As equacoes de nos sao escritas considerando condutancias2. No caso, temostres condutancias:

G1 = 1/R1, G2 = 1/R2eG3 = 1/R3

4. Cada no tem uma tensao em relacao ao no de referencia. Daı, a tensao no no1 e v1 e a tensao no no 2 e v2.

A lei dos nos estabelece o seguinte procedimento : o coeficiente da tensao nono 1, v1, e a soma das condutancias conectadas a ele. Os coeficientes das outrastensoes de no sao o negativo das somas das condutancias entre esses nos e o no 1.O lado direito da equacao e a soma algebrica das correntes qure entram no no 1devido a presenca das fontes de corrente. Para os outros nos, o procedimento esemelhante.

Exemplo - Obter, para o circuito da Figura 2.9, as equacoes dos nos. Temos,

(1/R1 + 1/R2)v1 − 1/R2v2 = i1

−1/R2v1 + (1/R2 + 1/R3)v2 = −i22A unidade de condutancia e Siemens, sımbolo S


ou

(G1 +G2)v1 −G2i2 = i1

−G2v1 + (G2 +G3)v2 = −i2

Estas equacoes podem ser escritas na forma matricial :[G1 +G2 −G2

−G2 G2 +G3

] [v1

v2

]=[i1−i2

]Exemplo - Utilizando a lei dos nos, obter os valores de v1, v2 e i para o circuito

mostrado na Figura 2.10.

4 A

7 A

4

8

12

Ω

ΩΩ

v2

v 1

Nó de Referência

i

Figura 2.10: Analise pelo metodo dos nos

Temos,

(1/4 + 1/8)v1 − 1/8i2 = 4− 7−1/8v1 + (1/12 + 1/8)v2 = 7

ou : [3 −1−3 5

] [v1

v2

]=[−24168

]Usando o Scilab, temos :

-->A = [3 -1; -3 5]A =

! 3. - 1. !! - 3. 5. !

-->b = [24; -168]


b =

! 24. !! - 168. !


! 4. !! 36. !

-->

Entao, v1 = 4V e v2 = 36V . Utilizando o diagrama mostrado na Figura 2.11,obtemos i = 4A

i 7 A

3 A

v 1

Figura 2.11: Obtencao do valor da corrente i

Exemplo - Utilizando a lei dos nos, obter os valores de v1, v2 e v3 para o circuitomostrado na Figura 2.12.

5 A

17 A7 A 3 S

1 S 2 S

1 S 4 S4 S

Nó de Referência

v 1 v 2 v 3

Figura 2.12: Obtencao dos valores das tensoes v1, v2 e v3

Temos :


(3 + 1)v1 − v2 + 0v3 = 7− 5−v1 + (3 + 1 + 2)v2 − 3v3 = 5−0v1 − 2v2 + (2 + 1 + 4)v3 = 17

ou, na forma matricial, 4 −1 0−1 6 −30 −2 7

v1

v2

v3

=

2517

Usando o Scilab, temos :

-->A = [4 -1 0; -1 6 -3; 0 -2 7]A =

! 4. - 1. 0. !! - 1. 6. - 3. !! 0. - 2. 7. !

-->b = [-2 ; -5; - 17]b =

! - 2. !! - 5. !! - 17. !


! 1.1532847 !! 2.6131387 !! 3.1751825 !

-->

Entao, v1 = 1.1532847V , v2 = 2.6131387V e v3 = 3.1751825V .Exemplo - Utilizando a lei dos nos, obter os valores de v1 e v2 para o circuito

mostrado na Figura 2.13. Observar que este circuito possui uma fonte controladade corrente.


5 A 2 v

5 i

v 1 v 2

1 Ω 1 Ω 2 Ω

1/2 Ω

+ v −

i

Figura 2.13: Obtencao dos valores das tensoes - fonte controlada

Neste caso, usamos os seguintes procedimentos :

1. Obter as equacoes de nos como se as fontes fossem independentes. Temos :

(1 + 1 + 2)v1 − 2v2 = 5− 5i−2v1 + (1/2 + 2)v2 = 5i+ 2v

2. Expressar as variaveis controladoras, i e v, em termos das tensoes dos nos.Temos :

i = v1

v = v1 − v2

Portanto, [9 −2−9 −4.5

] [v1

v2

]=[50

]e

-->A = [9 -2; -9 4.5]A =

! 9. - 2. !! - 9. 4.5 !

-->b = [-5 ; 0]


b =

! - 5. !! 0. !


! 1. !! 2. !

-->

Assim, v1 = 1V e v2 = 2V .

Capıtulo 3

Analise de Circuitos Transformados

3.1 Introducao

Circuitos eletricos podem ser analisados no domınio do tempo ou no domınioda frequencia. Como veremos, a analise no domınio do tempo resulta em umaequacao diferencial que deve ser resolvida. No domınio da frequencia, a equacao aser resolvida e uma equacao polinomial.

Utilizaremos a teoria apresentada nos dois capıtulos anteriores para analisar cir-cuitos eletricos. Inicialmente, mostraremos a analise no domınio do tempo. Depois,no domınio da frequencia.

3.2 Circuitos de Primeira Ordem

Vamos considerar o circuito RC mostrado na Figura 3.1, formado por um ca-pacitor e um resitor. A equacao para a corrente no capacitor e dada por :

v(t) C R

i(t)

+

Figura 3.1: Circuito RC

i(t) = Cdv

dt

onde C e a capacitancia do capacitor. A corrente no resitor e dada por :

i(t) =v

R

34


onde R e a resistencia do resistor. Em ambas as equacoes, a tensao v e uma funcaodo tempo,

v = v(t)

Usando a lei dos nos, podemos escrever :

Cdv

dt+v

R= 0

A equacao resultante e, portanto, uma equacao diferencial de primeira ordem.Daı o nome dado a esse tipo de circuito.

Esta equacao diferencial pode ser resolvida por separacao de variaveis. Temos,

dv

v= − 1

RCdt

Entao, ∫dv

v= − 1

RC

∫dt

Temos,

lnv = − t

RC+ k

onde k e a constante de integracao. Considerando v(0) = V0, temos :

v(t) = V0e− tRC

Para fixar conceitos, vamos considerar o circuito LC da Figura 3.2. Este circuitoe formado por um indutor e um resistor. A equacao para a tensao no indutor edada por :

RL

i(t)

Figura 3.2: Circuito RL

v(t) = Ldi

dt

onde L e a indutancia do indutor. A tensao no resitor e dada por :

v(t) = Ri(t)


onde R e a resistencia do resistor. Em ambas as equacoes, a corrente i e uma funcaodo tempo,

i = i(t)

Utilizando a lei das malhas, obtemos

Ldi

dt+Ri = 0

que, tambem, pode ser resolvida por separacao de variaveis. Temos, entao,

i(t) = I0e−RLt

Na Figura 3.7, mostramos os graficos dessas respostas.

v(t)

t

V0

V /e0

τ = RC

i(t)

τ = t

I0

I /e0

L/R

Figura 3.3: Respostas no domınio do tempo

Na Figura 3.7, o parametro τ e a constante de tempo do circuito. E o temponecessario para que a resposta caia por um fator 1/e1.

3.3 Circuitos em Regime Permanente

Em regime permanente, todas as tensoes e correntes stabilizam-se em valoresconstantes. Como a corrente no capacitor e dada por :

i(t) = Cdv

dte, como

v(t) = cte

temos i(t) = 0. Daı, em regime permanente o capacitor comporta-se como umcircuito aberto.

No caso do indutor, temos

v(t) = Ldi

dt1e = 2.718281... e a base do logarıtmo neperiano


e, comoi(t) = cte

temos v(t) = 0. Entao, em regime permanente o indutor comporta-se como umcurto circuito.

Exemplo - Para fixar os conceitos, vamos considerar o circuito mostrado naFigura 3.4. Vamos supor que o circuito esta em regime permanente imediatamenteantes da abertura da chave, em t = 0.

t = 0

10 V 1/4 F

2 H2 Ω

3 Ω−

+

Figura 3.4: Regime permanente

Imediatamente antes da abertura da chave, e por estar em regime permanente,o capacitor funciona como um circuito aberto e o indutor funciona como curtocircuito como mostrado na Figura 3.5.

10 V 1/4 F

2 Ω

3 Ω+v

i

−

+

Figura 3.5: Capacitor em aberto e indutor em curto

Nestas condicoes,i(0−) = 2A

ev(0−) = 6V

Apos a chave ser aberta, o circuito passa a ser o mostrado na Figura 3.6.


10 V 1/4 F

2 H2 Ω

3 Ω

i(0 − ) = 2A

v(0 − ) = 6V−

+

Figura 3.6: Circuito apos a chave ter sido aberta

3.4 Circuitos Transformados

Nem sempre as equacoes diferenciais sao tao simples e podem ser resolvidas demaneira tao facil como as mostradas nos paragrafos precedentes. Na maioria doscasos, a opcao e pelo metodo das transformadas com os procedimentos apresentadosna Figura ??. Inicialmente, o circuito dado no domınio do tempo e transformado emum circuito no domınio da frequencia.Utilizamos, neste processo, a transformadade Laplace. Este circuito e, entao, analisado usando-se as leis das malhas ou dosnos apresentados no Capıtulo 2. O resultado obtido pode ser levado para o dominiodo tempo atraves da transformada inversa de Laplace.

Circuito no domínio do tempo

Circuito no domínio da freqüência

Análise por Malhas ou Nós

R(s)r(t)

Laplace

Inversa de Laplace

Figura 3.7: Analise de circuitos no domınio da frequencia

Para transformar o circuito do domınio do tempo para o domınio da frequencia,precisamos conhecer as transformadas de Laplace das tensoes e correntes de seuselementos.

3.5 Elementos de Circuito no Domınio da Frequencia

No domınio do tempo, a relacao entre a tensao e a corrente em um resistor edada por :


v(t) = Ri(t)

Aplicando a transformada de Laplace na equacao anterior, temos :

V (s) = RI(s)

No domınio da frequencia o resistor e, entao, representado pelo diagrama mostra-do na Figura 3.8.

I(s)

V(s)+

R

Figura 3.8: Representacao do resistor no domınio da frequencia

Para o indutor, as relacoes entre a corrente e a tensao no domınio do tempopodem ser representadas pelas equacoes

v(t) = Ldi

dt

cuja transformada de Laplace e :

V (s) = sLI(s)− Li(0−)

ou

i(t) =1L

∫ t

0−v(τ)dτ + i(0−)

com transformada de Laplace dada por :

I(s) =1sLV (s) +

i(0−)s

onde i(0−) e o valor da corrente em t = 0−. A primeira equacao transformadarepresenta a tensao sobre os elementos apresentados na Figura 3.9(a) enquanto quea segunda equacao transformada representa a corrente sobre os elementos apresen-tados na Figura 3.9(b).


I(s)

sL

L i(0− )+

+

V(s)

(a)

I(s)

1sL i(0 − )

sV(s)

+

(b)

Figura 3.9: Representacoes do indutor no domınio da frequencia

Para o capacitor, as relacoes entre a corrente e a tensao no domınio do tempopodem ser representadas pelas equacoes

v(t) =1C

∫ t

0−i(τ)dτ + v(0−)

com transformada de Laplace dada por :

I(s) =1sLV (s) +

i(0−)s

ou

i(t) = Cdv

dt

cuja transformada de Laplace e :

I(s) = sCV (s)− Cv(0−)

onde v(0−) e o valor da tensao em t = 0−. A primeira equacao transformadarepresenta a tensao sobre os elementos apresentados na Figura 3.10(a) enquan-to que a segunda equacao transformada representa a corrente sobre os elementosapresentados na Figura 3.10(b).


I(s)

1sC

v(0 − )

s

+

V(s)+

I(s)

sC Cv(0 − )

+

V(s)

(a) (b)

Figura 3.10: Representacoes do capacitor no domınio da frequencia

Exemplo - Utilizando o metodo das transformadas, obter a tensao v(t) mostradano circuito da Figura 3.11.Considerar que, com a chave na posicao mostrada, ocircuito esta em regime permanente.

t = 0

2 H

1 V3 V+

v(t)

2 Ω

i

−

Figura 3.11: Tensao v(t) sobre o indutor

Imediatamente antes da chave mudar de posicao em t = 0, temos o circuitomostrado na Figura ??(a). Nesta configuracao, obtemos :

i(0−) = −13A

Apos a chave mudar de posicao, o circuito transformado e, entao, o mostradona Figura ??(b). Para este circuito,

I(s) =9− 2s

3s(2s+ 3)

e, comoV (s) = sLI(s)− Li(0−)


temos,

V (s) =4

s+ 32

e, entao,

v(t) = L −1[V (s)] = 4e−32t

Exemplo - Utilizando o metodo das transformadas, obter a corrente i(t) mostra-da no circuito da Figura 3.12.Considerar que, com a chave na posicao mostrada, ocircuito esta em regime permanente.

t = 0

1 V3 V+ −

2 F

3 Ω

i(t)

Figura 3.12: Corrente i(t) sobre o capacitor

Imediatamente antes da chave mudar de posicao em t = 0, temos o circuitomostrado na Figura ??(a). Nesta configuracao, obtemos :

v(0−) = −1V

Apos a chave mudar de posicao, o circuito transformado e, entao, o mostradona Figura ??(b). Para este circuito,

I(s) = − 43(s+ 1

6)

e, entao,

i(t) = L −1[I(s)] = −43e−

16t

Capıtulo 4

Funcao de Transferencia

4.1 Introducao

Em um sistema linear, a excitacao, e(t), e a resposta, r(t), estao relacionadasatraves de uma equacao diferencial. Aplicando a transformada de Laplace, a relacaoentre a excitacao E(s) e a resposta R(s) passa a ser algebrica. Usaremos a funcaode transferencia para analisar a resposta em frequencia de circuitos.

4.2 A Funcao H(s)

Considerando condicoes iniciais nulas, a relacao entre a excitacao E(s) e a re-sposta R(s) no domınio da frequencia e dada pela equacao

R(s) = H(s)E(s)

onde H(s) e chamada de funcao de transferencia ou funcao de sistema.Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.1

R

sL

I(s)

1sC

V(s)

+

Figura 4.1: Funcao de transferencia H(s)

A entrada, ou excitacao, do circuito e E(s) = I(s). A saıda, ou resposta, eR(s) = V (s). Entao, encontrando a relacao

V (s)I(s)

=R(s)E(s)

43


encontraremos a funcao de transferencia H(s). Temos, entao, usando a lei dasmalhas,

V (s) =

[R+

( 1sC )sL

sL+ 1sC

]I(s)

Entao,

H(s) =V (s)I(s)

= R+( 1sC )sL

sL+ 1sC

Exemplo - Obter H(s) para o circuito mostrado na Figura 4.2

sL

R1

sCIi

I1 Io

Figura 4.2: Funcao de transferencia H(s)

Neste caso, a entrada, ou excitacao, do circuito e E(s) = Ii(s). A saıda, ouresposta, e R(s) = Io(s). Usando a lei dos nos, temos :

Ii(s) = I1(s) + Io(s)

Daı,

Ii(s) =

[1 +

R+ sL1sC

]e, entao,

H(s) =Io(s)Ii(s)

= 1 +R+ sL

1sC

Pelo exposto nos exemplos anteriores, podemos verificar que a funcao de trans-ferencia depende apenas dos elementos de circuito (R, L, C) e e obtida pela apli-cacao das leis das malhas ou dos nos.

4.3 Resposta ao Impulso

Analisando a relacaoR(s) = H(s)E(s)

e obvio que podemos encontrar R(s) sendo conhecidos o circuito,caracterizado porH(s), e a excitacao, E(s). Considerando que a entrada e um impulso unitario,

E(s) = L [δ(t)] = 1

temosR(s) = H(s)


e. desta relacao,

r(t) = h(t)

onde a funcao h(t) e chamada de resposta ao impulso1.Exemplo - Obter a resposta ao impulso para o circuito mostrado na Figura 4.3

C

Rδ( )t+

R

sC1

+

(a) (b)

1

Figura 4.3: Resposta ao impulso

O primeiro passo e transformar o circuito para o domınio da frequencia, comomostrado na Figura 4.3(b). Depois, encontramos a funcao de transferencia,

H(s) =s

R(s+ 1RC )

=1R

[1−

1RC

s+ 1RC

]A resposta ao impulso sera, entao,

ht = L −1[H(s)] =1R

[δ(t)− 1

RCe−

tRC

]

4.4 Resposta ao Degrau

No caso da entrada degrau, temos

E(s) = L [u(t)] =1s

A resposta no domınio do tempo sera, entao,

r(t) = α(t) = L −1

[H(s)s

]Exemplo - Obter a resposta ao degrau para o circuito mostrado na Figura 4.4

R+

R+

(a) (b)

L sL

u(t) 1s

Figura 4.4: Resposta ao degrau1E importante observar que, no domınio do tempo, NAO se define funcao de transferencia


O primeiro passo e transformar o circuito para o domınio da frequencia, comomostrado na Figura 4.4(b). Depois, encontramos a funcao de transferencia,

H(s) =I(s)V (s)

=1

R+ sL

Entao,

α(t) = L −1

[1R

(1s− 1s+ R

L

)]daı,

α(t) =1R

[1− e−t

RL

]u(t)

4.5 Resposta a Rampa

Para uma entrada rampa unitaria,

E(s) = L [ρ(t)] =1s2

r(t) = γ(t) = L −1

[H(s)s2

]

4.6 Integral de Convolucao

Sejam f1(t) e f2(t) duas funcoes que sao iguais a zero para t < 0. Define-se aconvolucao de f1(t) com f2(t) atraves da expressao :

f1(t) ∗ f2(t) =∫ t

0f1(t− τ)f2(τ)dτ

Se

f1(t)↔ F1(s)f2(t)↔ F2(s)

entao,

L [f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)

ComoR(s) = H(s)E(s)

temos :

r(t) = L −1[R(s)] = L −1[H(s)E(s)]

Capıtulo 5

Resposta em Frequencia

5.1 Introducao

Vamos considerar o sistema linear, invariante no tempo, mostrado na Figura 5.1

e(t) r(t)

E(s) R(s)H(s)

Figura 5.1: Sistema linear invariante no tempo

Se a excitacao deste sistema e senoidal,

e(t) = Asenωt

temos,

E(s) =Aω

s2 + ω2

Como a resposta no domınio da frequencia e dada por,

R(s) = H(s)E(s)

temos,

R(s) =AωH(s)s2 + ω2

Expandindo R(s) em fracoes parciais, temos :

R(s) =k1

s− jω+

k2

s+ jω︸︷︷︸Fatores devido a E(s)

+ OUTROS TERMOS︸︷︷︸Fatores devido a H(s)

Os fatores originados devido a excitacao E(s), ou termos com polos associadosa E(s), originam a resposta forcada, tambem chamada de solucao particular ousolucao em regime permanente. Os outros fatores, associados aos polos da funcao

47


de transferencia H(s),origiman a resposta livre tambem chamada de solucao com-plementar ou solucao em regime transitorio.

Iremos nos interessar apenas pela solucao em regime permanente. Neste caso,

R(s) =k1

s− jω+

k2

s+ jω

Como pode ser observado, R(s) possui termos com raızes complexas simples.Como vimos no Capıtulo 1, para estes tipos de funcao a transformada inversa deLaplace e da forma

f(t) = Meαtsen(βt+ φ)

com M e φ sendo obtidos atraves da expressao

Mejφ =N(s)βD1(s)

|s=α+jβ

No caso, temos

α = 0β = ω

D1(s) = 1

Assim,f(t) = r(t) = Msen(βt+ φ)

eMejφ = AH(jω)

ou

M = |AH(jω)|φ = ∠H(jω)

Podemos verificar, entao, que um sistema linear, estavel, invariante no tempo,submetido a uma entrada senoidal possuira, em regime permanente, uma saıdatambem senoidal com a mesma frequencia da entrada. A amplitude e a fase dasenoide de saıda, em geral, serao diferentes.

Assim, para se obter a resposta em frequencia de um circuito, basta substituirs por jω na funcao de transferencia. A resposta em frequencia e formada por doisgraficos: o grafico da resposta em amplitude, |H(s)| em funcao de ω e o grafico daresposta em fase, ∠H(s) em funcao de ω.

Exemplo - Obter a resposta em frequencia para o circuito mostrado na Figura5.2


R

sC1E(s) R(s)

Figura 5.2: Circuito RC

Inicialmente, obtemos a funcao de transferencia deste circuito. Temos,

H(s) =1

1 + sRC

Depois, trocamos s por jω,

H(jω) =1

1 + jωRC

Daı, para a resposta em amplitude,

M(ω) = |H(jω)| = 1√1 + (ωRC)2

e para a resposta em fase,

φ(ω) = ∠H(jω) = −atan(ωRC)

Utilizando o Scilab, obtemos as curvas mostradas na Figura ??.

5.2 Curvas de Bode

Em 1940, H. W. Bode desenvolveu um metodo baseado em assıntotas pararepresentar a resposta em frequencia. A resposta em frequencia, como vimos,depende diretamente da funcao de transferencia do circuito.Em geral, a funcao detransferencia e escrita na forma :

H(s) =N(s)D(s)

Nesta funcao, sao possıveis os seguintes termos :

• Termo constante - Neste caso, a funcao de transferencia e escrita na forma :

H(s) = k

• Termo s - O termo s pode estar no numerador ou no denominador de H(s),

H(s) = s±1


• Termo (1+sτ) - Neste caso, (1+sτ) pode estar no numerador ou no denominadorde H(s),

H(s) = (1 + sτ)±1

• Termo quadratico - H(s) pode ser escrito na forma :

H(s) = (as2 + bs+ c)±1

Vamos apresentar as assıntotas de Bode para cada um dos itens apresentados.

5.2.1 H(s) com termo constante

Temos, substituindo s por jω :

H(jω) = k ⇒|H(jω)| = k∠H(jω) = 0

Entao, em dB, temos :

20log|H(jω)| = 20logk =

> 0; para k > 1= 0; para k = 1< 0; para k < 1

Os graficos de resposta em amplitude e resposta em fase sao mostrados na Figura5.3

20log|H(j )|, db

20logk

ω

ω ,rad/s

φ( ω)

ω ,rad/s

j

Figura 5.3: Resposta em frequencia para H(jω) = k


5.2.2 H(s) com termo s

Vamos considerar, inicialmente, s no numerador de H(s). Temos, substituindo spor jω :

H(jω) = jω ⇒|H(jω)| = |jω| = ω∠H(jω) = 90o

Em dB, temos :

20log|H(jω)| = 20logω


20log|H(j )|, dbω

φ( ω)

ω ,rad/s

j

ω ,rad/s

0.1

10

20

−20

0

90

20db/dec

Figura 5.4: Resposta em frequencia para H(jω) = jω

Podemos observar que a inclinacao da reta no grafico da resposta em amplitudee de 20dB/dec. Isso significa que, a cada decada, a amplitude aumenta em 20 dB.O conceito de decada e explicado a seguir. Vamos considerar que a relacao entreduas frequencias, ω1 e ω2, seja dada por :

ω1

ω2= 10k

O expoente k e o numero de decadas entre ω1 e ω2.Se a relacao for dada por :

ω1

ω2= 2m,

o expoente m e o numero de oitavas entre ω1 e ω2.Considerando s no denominador,


H(jω) =1jω⇒|H(jω)| = | 1

jω | =1ω

∠H(jω) = −90o

Em dB, temos

20log|H(jω)| = −20logω


20log|H(j )|, dbω

φ( ω)j

ω ,rad/s

20

−20

00.1

10

ω ,rad/s

−90

−20dB/dec

Figura 5.5: Resposta em frequencia para H(jω) = 1jω

5.2.3 H(s) com termo 1 + τs

Vamos considerar, inicialmente, 1 + τs no numerador de H(s). Temos, substi-tuindo s por jω :

H(jω) = 1 + jωτ ⇒|H(jω)| =

√1 + ω2τ2

∠H(jω) = atanωτ

Daı, em dB, temos

20log√

1 + ω2τ2 =

0; para ω 1

τ3; para ω = 1

τ20logω + 20logτ ; para ω 1

τ

e

atanωτ =

0o; para ω 1

τ45o; para ω = 1

τ90o; para ω 1

τ



20log|H(j )|, dbω

φ( ω)j

ω,rad/s1/ τ

3 dB20 dB/dec

ω,rad/s1/ τ0

45

90

Figura 5.6: Resposta em frequencia para H(jω) = 1 + jωτ

Vamos considerar o termo 1 + τs no denominador de H(s). Temos, substituindos por jω :

H(jω) =1

1 + jωτ⇒

|H(jω)| = 1√

1+ω2τ2

∠H(jω) = −atanωτ

Em dB, temos

20log1√

1 + ω2τ2=

0; para ω 1

τ−3; para ω = 1

τ−20logω − 20logτ ; para ω 1

τ

e

−atanωτ =

0o; para ω 1

τ−45o; para ω = 1

τ−90o; para ω 1

τ



20log|H(j )|, dbω

φ( ω)j

,rad/sωτ1/

1/ τ ,rad/sω0

−45

−90

Figura 5.7: Resposta em frequencia para H(jω) = 11+jωτ

5.2.4 H(s) com termo s2 + as+ b

Considerando, inicialmente, o termo no numerador, a funcao H(s) pode serescrita na forma :

H(s) =s2 + 2ξωns+ ω2

n

ω2n

= 1 +2ξωns+

1ω2n

s2

Fazendo s = jω, temos :

H(jω) = 1− ω2

ω2n

+ j2ξωωn

O modulo de H(jω) e

|H(jω)| =[(

1− ω2

ω2n

)+

4ξ2ω2

ω2n

] 12

Entao,

20log|H(jω)| = 10log[(

1− ω2

ω2n

)+

4ξ2ω2

ω2n

]dB

e

∠H(jω) = atan

2ξωωn

1− ω2

ω2n

As assıntotas sao, entao, dadas por :

20log|H(jω)| =

0; para ω ωn20log2ξ; para ω = ωn40logω − 40logωn; para ω ωn


e

∠H(jω) =

0o; para ω ωn90o; para ω = ωn180o; para ω ωn


Figura 5.8: Resposta em frequencia para H(jω) =

Considerando,agora, o termo no denominador, a funcao H(s) pode ser escrita naforma :

H(s) =ω2n

s2 + 2ξωns+ ω2n

=1

1 + 2ξωns+ 1

ω2ns2

Fazendo s = jω, temos :

H(jω) =1

1− ω2

ω2n

+ j 2ξωωn

O modulo de H(jω) e

|H(jω)| = 1[(1− ω2

ω2n

)2+ 4ξ2ω2

ω2n

] 12

Entao,

20log|H(jω)| = −10log[(

1− ω2

ω2n

)+

4ξ2ω2

ω2n

]dB

e

∠H(jω) = −atan2ξωωn

1− ω2

ω2n

As assıntotas sao, entao, dadas por :

20log|H(jω)| =

0; para ω ωn−20log2ξ; para ω = ωn−40logω + 40logωn; para ω ωn

e

∠H(jω) =

0o; para ω ωn−90o; para ω = ωn−180o; para ω ωn


Figura 5.9: Resposta em frequencia para H(jω) =


5.2.5 Frequencia de Ressonancia

Pelos graficos apresentados nas Figuras 5.8 e 5.9, observamos que, proximo afrequencia ω = ωn ocorre um pico. Este pico, chamado de pico de ressonancia,depende do valor da constante de amortecimento, ξ. Para obter este valor de pico,vamos considerar, sem perda de generalidade,

|H(jω)| = 1[(1− ω2

ω2n

)+ 4ξ2ω2

ω2n

] 12

O valor maximo de |H(jω) ocorre quando o seu denominador for mınimo. Entao,considerando,

f(ω) =(

1− ω2

ω2n

)2

+4ξ2ω2

ω2n

Paradf(ω)dω

= 0

obtemosω = ωr = ωn

√1− 2ξ2

com0 ≤ ξ ≤ 1√

2A frequencia ωr e chamada de frequencia de ressonancia. Fazendo ω = ωr na

equacao para |H(jω)|, temos:

Mr = Max|H(jω)| = 1

2ξ√

1− ξ2

com0 ≤ ξ ≤ 1√

2Para o termo quadratico no numerador,

Mr = Max|H(jω)| = 2ξ√

1− ξ2

Capıtulo 6

Serie de Fourier em Analise deCircuitos

6.1 Introducao

A teoria de Fourier e aplicada diversas areas :

- Analise de Sistemas Lineares

- Teoria de Antenas

- Optica - difracao

- Modelagem de Fenomenos Aleatorios

- Teoria da Probabilidade

- Fısica Quantica

- Problemas de Valor de Contorno

O objetivo e decompor uma funcao, ou sinal, em senoides de frequencias diferen-tes. Algumas formas de onda nao-senoidais sao importantes na analise de circuitos.Na Figura 6.1

57


Σ

ENTRADA SAÍDA

H(s)

Decomposição por

Fourier

Figura 6.1: Decomposicao de um sinal por Fourier

6.2 A Serie Trigonometrica de Fourier

Um sinal f(t) e periodico se

f(t) = f(t± T )

para algum valor de T > 0 e para todo t. Na equacao anterior,

T e o perıodo de f(t). Define-se T0, o perıodo fundamental de f(t), como omenor valor positivo real de T para o qual a equacao anterior e valida

f0 = 1T0

e a frequencia fundamental em Hz, e

ω0 = 2πf0 = 1T0

e a frequencia angular fundamental, em rad/s.

Um sinal periodico f(t) pode ser decomposto atraves da equacao :

f(t) =a0

2+∞∑n=1

[ancos(nω0t) + bnsen(nωt)]

onde an e bn sao coeficientes a serem determinados. A expressao anterior e aserie trigonometrica de Fourier.

Fazendo :

d0 =a0

2dn = (a2

n + b2n)12

θn = atan(− bnan

)


podemos escrever a serie trigonometrica em uma forma mais compacta :

f(t) = d0 +∞∑n=1

dncos(nω0t+ θn)

onde :

d0 - e o valor medio de f(t). Em teoria de circuitos, d0 representa a componentedc de f(t).

d1cos(ω0t+ θ1) - e a componente fundamental ou primeira harmonica de f(t)

d2cos(ω0t+ θ2) - e a segunda harmonica de f(t)

e assim por diante. Usando a identidade de Euler, podemos escrever :

cosx =ejx + e−jx

2

e

senx =ejx − e−jx

2j

Usando a expressao para a serie trigonometrica,

f(t) =a0

2+∞∑n=1

[ancos(nω0t) + bnsen(nωt)]

=a0

2+∞∑n=1

[anejnω0t + e−jnω0t

2+ bn

ejnω0t − e−jnω0t

2j

]

=∞∑

n=−∞cne

jnω0t

com

cn =12

(an − jbn)

c−n =12

(an + jbn) = c∗n

e

an = 2Re[cn]bn = −2Im[bn]

onde os operadores Re[] e Im[] representam, respectivamente, “parte real de” e“parte imaginaria de”e

d0 = c0

dn = 2|cn|; n = 1, 2, 3 . . .θn = angulo de cn


A expressao,

f(t) =∞∑

n=−∞cne

jnω0t

com

cn =1T0

∫ t0+T0

t0

f(t)e−jnω0tdt

define a serie exponencial, ou serie complexa, de Fourier.Exemplo - obter a serie trigonometrica de Fourier para a onda quadrada mostra-

da na Figura 6.2

t

f(t)

−T −T/4 T/4 T

A

......

Figura 6.2: Onda quadrada

Usando a expressao

cn =1T0

∫ t0+T0

t0

f(t)e−jnω0tdt

temosc0 =

A

2e

cn =1T

∫ T4

−T4

Ae−jnω0tdt; n 6= 0

Entao,

cn =A

−jnω0T[e−jnω0t]

T4−T4

Daı,

cn =A

nπsen(

nπ

2)

Como e pedida a serie trigonometrica, temos

an = Re[cn] =A

nπsen(

nπ

2); bn = 0

e, entao,

f(t) =A

2+

2Aπ

[cos(ωot)−13cos(3ω0t) +

15cos(5ω0t)− . . .


6.3 Translacao de Graficos

A translacao de um grafico e um movimento horizontal e/ou vertical sem rotacao.A translacao vertical causa modificacoes no nıvel dc do sinal. Afeta, portanto,apenas os coeficientes a0, d0 e c0. A translacao horizontal causa um deslocamentono tempo. Este deslocamento modifica apenas os valores dos angulos θn

Sejam cn os coeficientes da serie exponencial de Fourier de uma funcao periodicaf(t) e sejam cn os coeficientes da serie exponencial de Fourier para uma funcaoperiodica g(t). Se g(t) for uma translacao de f(t) consitindo de um acrescimo k donıvel dc e de um atraso td, podemnos escrever

g(t) = f(t− td) + k

comc0 = c0 + k

ecn = cne

jnω0td para n = ±1,±2,±3, . . .

Exemplo - obter a serie trigonometrica de Fourier para o sinal apresentado naFigura 6.3

t

f(t)

...

T−T

A/2

−A/2

...

Figura 6.3: Onda quadrada deslocada em relacao a onda do Exemplo anterior

Por comparacao, observamos que g(t) e originada de uma translacao da funcaof(t) do Exemplo anterior. Especificamente,

g(t) = f(t− T

4)− A

2

Entao,

td =T

4e

k =A

2Desta forma,

c0 = 0

ecn = cne

−jnπ2


Portanto,

g(t) =2πA

[cos(ω0t−

π

2)− 1

3cos(3ω0t−

3π2

) +15cos(5ω0t−

5π2

)− . . .]

ou

g(t) =2πA

[sen(ω0t) +

13sen(3ω0t) +

15cos(5ω0t) + . . .

]Exemplo - considere o circuito mostrado na Figura 6.4-a tendo como tensao de

entrada, vi(t), o sinal mostrado na Figura 6.4-b. Obter a tensao de saıda, v0(t) sobreo capacitor, em regime permanente. Considerar E = 30π e T = 4s.

+v (t)i 1 F

1 Ω

v (t) o

(a)

t

...

T−T

...

v (t)i

(b)

E

Figura 6.4: Obter a tensao v0(t)

Como temos um sinal periodico nao-senoidal e desejamos obter a resposta emregime permanente (que pressupoe uma entrada senoidal, como vimos anterior-mente), devemos representar vi(t) atraves da serie trigonometrica de Fourier. Seconsiderarmos o sinal representado no primeiro Exemplo deste Capıtulo, vemos quevi(t) pode ser escrito como :

g(t) = f(t− T

4) + 0

Entao,

td =T

4e

k = 0

Desta forma,

c0 =A

2=E

2e

cn = cne−jnπ

2

Portanto,

vi(t) =E

2+

2πA

[cos(ω0t−

π

2)− 1

3cos(3ω0t−

3π2

) +15cos(5ω0t−

5π2

)− . . .]


ou

vi(t) =E

2+

2πA

[sen(ω0t) +

13sen(3ω0t) +

15cos(5ω0t) + . . .

]Substituindo os valores de E e T , temos :

vi(t) = 15π + 60sen(ω0t) + 20sen(3ω0t) + 12sen(5ω0t) + . . .

Como a resposta em regime permanente para cada uma das parcelas senoidaisde vi(t) e dada por :

r(t) = Msen(ω0t+ φ)

comM = A|H(jω)|

eφ = ∠H(jω)

temos que obter H(s) e, depois, fazer s = jω. Para o circuito dado, temos :

H(s) =V0(s)Vi(s)

=1

s+ 1

e, entao,

|H(jω) =1√

1 + ω2

eφ = −atanω

Os calculos sao mostrados na Tabela

Frequencia ω0 Amplitude Entrada Fase Entrada |H(jω)| Amplitude M Fase φ

0 15 π 0 1 15 π 00.5 π 60 0 0.5370 32.22 -57.521.5 π 20 0 0.2076 4.150 -78.022.5 π 12 0 0.1263 1.516 -82.74

Assim,

v0(t) = 15π + 32.22sen(ω0t− 57.52) + 4.150sen(3ω0t− 78.02) + 1.1516sen(5ω0t− 82.74) + . . .

Capıtulo 7

Quadripolos

7.1 Introducao

Os quadripolos sao dispositivos com dois pares de terminais. Cada par de ter-minais definem uma porta. Na Figura 7.1, mostramos um quadripolo com suasgrandezas associadas.

QUADRIPOLOV V1 2

I 1 I 2

Figura 7.1: Quadripolo com grandezas associadas

Na Figura 7.1, V1 e I1 sao, respectivamente, a tensao e a corrente na porta deentrada do quadripolo enquanto V2 e I2 sao, respectivamente, a tensao e a correntena porta de saıda do quadripolo.

Na analise de circuitos atraves de quadripolos, utilizamos relacionamentos entreas grandezas I1, V1, I2 e V2. Estes relacionamentos sao chamados de parametros doquadripolo.

7.2 Parametros Z

Neste caso, o relacionamento entre as grandezas do quadripolo e escrito naforma:

V1 = Z11I1 + Z12I2

V2 = Z21I1 + Z22I2


Z =[Z1,1 Z1,2

Z2,1 Z2,2

]64


Os parametros Zij podem ser obtidos atraves das equacoes :

Z11 =V1

I1

∣∣∣∣I2=0

Z21 =V2

I1

∣∣∣∣I2=0

Z12 =V1

I2

∣∣∣∣I1=0

Z22 =V2

I2

∣∣∣∣I1=0

O termo Z11 e chamado de impedancia de entrada em circuito aberto, Z22 e aimpedancia de saıda em circuito aberto e Z12 e Z21 sao as impedancias de transfer-encia (trans-impedancias) em circuito aberto. Os parametros Z sao chamados deimpedancia em circuito aberto.

A obtencao dos parametros Z pode ser feita utilizando-se as equacoes anteriores,com as respectivas modificacoes no circuito, ou diretamente atraves da utilizacaodas leis das malhas ou dos nos.

Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.2.

+ +

V V1 2

+

4I 2I1 I2

0.1 F

3 Ω

Figura 7.2: Quadripolo1

Utilizando a lei das malhas, e lembrando que a analise e feita no domınio dafrequencia, temos

V1 = 4I2 +10s

(I1 + I2)

V2 = 3I2 +10s

(I1 + I2)

ou

V1 =10sI1 + (4 +

10s

)I2

V2 =10sI1 + (3 +

10s

)I2

Entao,

Z =[

10s 4 + 10

s10s 3 + 10

s

]Exemplo - obter a matriz Z para o circuito mostrado na Figura 7.3.


+ +

V V1 2

I1 I2

R R

R

1

2

3

Figura 7.3: Quadripolo2

Utilizando a lei das malhas, temos :

V1 = R1I1 −R1I3

V2 = R3I2 +R3I3

0 = −R1I1 +R3I2 + (R1 +R2 +R3)I3

Entao,

Z =1

R1 +R2 +R3

[R1(R2 +R3) R1R3

R1R3 R3(R1 +R2)

]

7.3 Parametros Y

O relacionamento entre as grandezas do quadripolo, neste caso, e escrito naforma:

I1 = Y11V1 + Y12V2

I2 = Y21V1 + Y22V2


Y =[Y1,1 Y1,2

Y2,1 Y2,2

]Os parametros Yij podem ser obtidos atraves das equacoes :

Y11 =I1

V1

∣∣∣∣V2=0

Y21 =I2

V1

∣∣∣∣V2=0

Y12 =I1

V2

∣∣∣∣V1=0

Y22 =I2

V2

∣∣∣∣V1=0

O termo Y11 e chamado de admitancia de entrada em curto-circuito, Y22 e aadmitancia de saıda em curto-circuito e Y12 e Y21 sao as admitancias de transferencia(trans-admitancias) em curto-circuito. Os parametros Y sao, portanto, chamadosde admitancias em curto-circuito.

Apendice A

Transformadas de Laplace - Resumo

• Definicao

L [f(t)] = F (s) =∫ ∞

0−f(t)e−stdt

• Propriedades

1. ProporcionalidadeL [kf(t)] = kL [f(t)]

2. LinearidadeL [∑i

fi(t)] =∑i

L [fi(t)]

3. Diferenciacao

L

[df(t)dt

]= sF (s)− f(0−)

L

[dnf(t)dtn

]= snF (s)− sn−1f(0−)− sn−2f

′(0−)− ...− fn−1(0−)

4. Integracao

L

[∫ τ

0−f(t)dt

]=F (s)s

5. Deslocamentos

– Domınio do tempo

L [f(t− a)u(t− a)] = e−asF (s− a)

– Domınio da frequencia

L [eatf(t)] = F (s− a)

6. Multiplicacao por t

L [tf(t)] = −dF (s)ds

L [tnf(t)] = (−1)ndnF (s)dsn

67


• Transformadas

– Funcoes Singulares

1. Funcao degrau unitario

L [u(t)] =1s

2. Funcao rampa unitaria

L [ρ(t)] =1s2

3. Funcao impulso unitarioL [δ(t)] = 1

– Funcoes Ordinarias

f(t)←→ F (s) f(t)←→ F (s)eatu(t) = 1

s−a senωt = ωs2+ω2

te−at = 1(s+a)2 cos(ωt) = s

s2+ω2

Referencias Bibliograficas

[*] LATEX

[1] Klaus Steding-Jessen, LATEX Demo : Exemplos com LATEX 2ε, 2000, disponıvelem http://biquinho.furg.br/tex-br

[2] H. Kopka, P.W. Daly, A Guide to LATEX - Document Preparation for Beginnersand Advanced Users, Addison Wesley, 1993.

[3] M. Goossens, F. Mittelbach, A. Samarin, The LATEX Companion, AddisonWesley, 1994.

[*] Scilab

[4] Scilab Group, Introduction to Scilab - User’s Guide. Esta referencia, e as outrasescritas pelo Scilab Group, podem ser obtidas em http://www-rocq.inria.fr.

[5] Paulo S. Motta Pires, Introducao ao Scilab - Versao 0.1, pode ser obtida emhttp://www.leca.ufrn.br/~pmotta

[*] Circuitos

[6] F. F. Kuo, Network Analysis and Synthesis, Second Edition, John Wiley, 1966

[7] Prof. Walmir Freire, Notas de Aula do Curso de Circuitos Eletricos II, DEE-UFRN

[8] D. E. Johnson, J. L. Hilburn, J. R. Johnson, P. D. Scott, Basic Electric CircuitAnalysis, 5th Ed., 1995, Prentice Hall

[9] R. A. DeCarlo, P-M. Lin, Linear Circuit Analysis, 1995, Prentice Hall

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Documents

Eletronica - Livro - Teoria Dos Circuitos Eletricos