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Eletrostática: Análise Vetorial, Força, Campo Elétrico

Otoniel da Cunha MendesDept. Engenharia de Produção Elétrica

otoniel.mendes@fucapi.br

Eletromagnetismo Aplicado

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Os slides desta aula foram adaptados de notas de aulas encontrados na

internet, livros e apostilas.

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Análise Vetorial

O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da interação entre as cargas elétricas em repouso e em movimento.

Os princípios do Eletromagnetismo se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélites, bioeletromagnetismo, plasmas, pesquisa nuclear, fibra ótica, interferência etc... Além de muitos avanços nas áreas da saúde precisarem deste ramo, exemplo: Física Médica.

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A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela qual os conceitos do eletromagnetismo são mais convenientemente explicados e melhor compreendidos.

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Uma grandeza pode ser escalar ou vetorial

Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude.

Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação (direção e sentido)

Grandezas Físicas

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Para representarmos adequadamente as grandezas vetoriaisutilizando o sistema de eixos cartesianos, fazemos uso de um conjuntode vetores de "tamanho" igual a 1 (módulo igual a 1). Esses versores(vetor unitário), assim chamados por terem módulo unitário, sãorepresentados na figura.

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Sistema e Transformação de Coordenadas

No eletromagnetismo, para descrevermos as variações espaciais dessas quantidades, sejam elas elétricas ou magnéticas, devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira unívoca no espaço de forma adequada.

Um sistema ortogonal é aquele que as coordenadas são mutuamente perpendiculares. Sistemas não-ortogonais são

difíceis de trabalhar.

Coordenadas Retangulares

Coordenadas Cilíndricas

Coordenadas Esféricas

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Coordenadas Retangulares

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Coordenadas CilíndricasAs coordenadas cilíndricas são particularmente úteis na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um eixo.

Por exemplo;

1. O campo elétrico devido a uma distribuição retilínea de carga tem esse tipo de simetria.

2. O cálculo do momento de inércia de um objeto cilíndrico relativamente a um eixo que passa pelo centro das suas bases constitui um outro exemplo, etc.

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Um ponto P, em coordenadas cilíndricas, é representado por:

Os intervalos de variáveis são:

),,( zφρ

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Coordenadas Cilíndricas

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Coordenadas Cilíndricas

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Coordenadas EsféricasPor sua vez, as coordenadas esféricas são particularmente úteis na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em torno de um ponto. Nestas condições, todos os pontos colocados à mesma distância do ponto de referência são indistinguíveis.

Por exemplo;

1. O campo elétrico devido a uma carga pontual

2. O momento de inércia de uma distribuição esférica homogênea de massa são exemplos de problemas em que há uma clara vantagem em considerar a sua resolução em coordenadas esféricas.

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Um ponto P, em coordenadas esféricas, é representado por:

Os intervalos de variáveis são:

πφπθ20

00

<≤≤≤∞<≤ r

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Coordenadas Esféricas

φθθ dddrrdV sin2=

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Coordenadas Esféricas

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Operador O operador del ou nabla é um operador vetorial cuja

representação e definição em coordenadas retangulares são mostradas abaixo.

O operador não tem significado físico ou geométrico. O significado só ocorre quando ele é aplicado a uma função.

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GradienteO gradiente de um campo escalar é um vetor que

representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação de um campo escalar.

O gradiente de um campo escalar é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função

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Divergente de um vetor e o Teorema da Divergência

O divergente de um vetor é um escalar, expresso por:

Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo pontual por unidade de volume.

Divergente

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Existe uma identidade matemática importante que envolve o divergente de uma função vetorial, chamada de Teorema do Divergente, ou também, Teorema de Gauss.

A integral do divergente de uma função vetorial, dentro de volume

A integral da superfície da grandeza feita sobre toda a área que delimita

esse volume

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O rotacional de um campo vetorial é obtido aplicando-se o operador nabla a esta função, ou seja multiplicando-se vetorialmente o operador nabla pela função vetorial.

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O rotacional de F é um vetor axial (ou girante), cuja magnitude é a máxima circulação de F por unidade de área, à medida que área tende a zero, cuja a orientação é perpendicular a essa área de orientação

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Rotacional de um vetor e o Teorema de Stokes

O teorema de Stokes nos diz o seguinte: Que a circulação de um campo vetorial A em torno de um caminho fechado L é igual a integral de superfície do rotacional deste vetor delimitada pela superfície S

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Eletrostática

O estudo da eletricidade se iniciou na Antigüidade, por volta do século VI a.C, com o filósofo e matemático grego Tales de Mileto. Ele foi quem observou o comportamento de uma

resina vegetal denominada de âmbar, ao atritar essa resina com tecido e/ou pele de animal, Tales percebeu que daquele processo surgia uma importante propriedade:

1. o âmbar adquiria a capacidade de atrair pequenos pedaços de palha e/ou pequenas penas de aves.

2. Em grego, a palavra elektron significa âmbar, a partir desse vocábulo surgiram as palavras elétron e eletricidade

E tudo começou com o Âmbar...

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Du FayO físico e químico francês Du

Fay (1698-1739) verificou dois tipos de cargas elétricas (vítrea e a resinosa), que mais tarde convencionou-se chamar positiva e negativa (Benjamin Franklin).

A partir das observações de Du Fay, pode-se enunciar que:

Cargas elétricas se sinais iguais se repelem, e cargas se sinais contrários se atraem.

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A carga elétrica assim como a massa, é uma propriedade intrínseca da matéria.

No século XVIII, a carga elétrica era considerada como um fluido contínuo . Entretanto, no início do século XX, Robert MILLIKAN (1868-1953)descobriu que o fluido elétrico não era contínuo e, sim, que a carga elétrica era constituída por um múltiplo inteiro de uma carga fundamental e, ou seja a carga qde um certo objeto pode ser escrita como

tendo e o valor de 1,60 x 10-19 C e sendo uma das constantes fundamentais da natureza

Mas, a teoria do Modelo Padrão das partículas elementares prevê os quarks que são partículas de carga 2e/3 ou e/3

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A maioria dos corpos na natureza encontram-se neutros, ou seja , o número de prótons é igual ao número de elétrons. Podemos, por alguns processos retirar ou colocar elétrons num determinado corpo. Assim dizemos que o corpo sofreu uma eletrização.

Existem três tipos de Eletrização de corpos:

1. por atrito; 2. por contato; 3. por indução.

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Quando dois corpos condutores entram em contato, sendo um neutro e outro carregado, observa-se que ambos ficam carregados com cargas de mesmo sinal.

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A indução ocorre quando se tem um corpo que esta inicialmente eletrizado e é colocado próximo a um corpo neutro. Com isso, a configuração das cargas do corpo neutro se modifica de forma que as cargas de sinal contrario a do bastão tendem a se aproximar do mesmo. Porém, as de sinais iguais tendem a ficar o mais afastadas possível. Ou seja, na indução ocorre a separação entre algumas cargas positivas e negativas do corpo neutro ou corpo induzido.

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Lei de CoulombA Lei de Coulomb (1736-1806) foi descoberta pelo físico francês Charles

Augustin de Coulomb, trata do princípio fundamental da eletricidade.

Em 1785, Coulomb fez uma série de medidasrelacionando o valor da força elétrica entre duascargas com o valor das distâncias entre elas.Coulomb chegou às seguintes conclusões:

• A força elétrica é diretamenteproporcional a cada uma das duas cargas.

• A força elétrica é inversamenteproporcional ao quadrado da distância entre ascargas.

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Permissividade do espaço livre

Para transformamos numa igualdade precisamos introduzir uma constante:

Onde esta interação se dá pela troca de fótons entre as cargas (Eletrodinâmica Quântica)

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Forma Vetorial da Lei de CoulombVetorialmente expressamos a lei de Coulomb por;

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Se mais de uma carga estiver agindo sobre uma dada carga Q, então a força resultante será dada pela soma vetorial de todas as forças, ou seja, está implícito o chamado Principio da Superposição, válido para cargas fixas ou especificas, que diz:

“O efeito da ação de várias cargas pontuais sobre outras pode ser obtido somando a contribuição que cada carga, interagindo sozinha com a carga em questão, produz sobre a mesma”

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O campo elétricoPelo princípio da superposição,vimos que a força que um

conjunto de cargas puntiformes q1, q2,...,qn exerce sobre uma carga de prova q0 é dado por:

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Portanto, o campo elétrico devido à distribuição de cargas q1, q2,...,qn, em um dado ponto é dado por:

Para medir o campo devido à distribuição de cargas devemos medir a força exercida por esse conjunto de cargas numa carga teste q0 e dividir pelo próprio valor de q0. Para que não haja influência da carga teste sobre o conjunto inicial, podemos definir o campo como

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Você deve estar se perguntando: O que ganhamos introduzindo o conceito de CAMPO ELÉTRICO?

1. Veja a equação, perceba que o campo elétrico é o mesmo qualquer que seja a carga de prova.

2. Enquanto a Força Coulombiana é diferente para cada carga que nela seja aplicada a força.

3. Portanto, precisamos determinar o campo elétrico, uma única vez,para cada distribuição de carga.

Até o momento você estudou apenas cargasque chamamos de discretas, ou seja, um númeromuito pequeno de cargas.

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Verifique que o campo elétrico de cargas pontuais é radial. Agora, o que significa radial?

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Este exemplo ser para denotar o sentido da força em relação a um capo elétrico.

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Linhas de Campo

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Distribuição contínua de cargasOs casos estudados até então é o caso de cargas discretas, onde o

número de cargas carregadas é pequeno. Agora, se falarmos em um número muito grande de cargas e, portanto, faz sentido falarmos em uma distribuição contínua de cargas.

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Distribuição contínua de cargasCampo devido a um anel uniformemente carregado com carga q

Quando falamos em um anel carregado, estamos dizendo que isto é “distribuição

contínua de cargas”.

Precisamos definir uma melhor simetria para que possamos

resolver este problema.

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Campo devido a um disco de raio R uniformemente carregado com densidade superficial de carga

Precisamos definir uma melhor simetria para que possamos

resolver este problema.

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Campo de um fio infinito carregado com densidade linear de carga uniformeλ

Precisamos definir uma melhor simetria para que possamos

resolver este problema.

Além disso precisamos comentar sobre fios finitos e

infinitos