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Manual de eletricidade
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Prof Marcus Fernandes Eletrotcnica Bsica
1
Eletrotcnica Bsica
1. Resolues de Circuitos em corrente contnua
Definies:
a) Bipolo qualquer dispositivo eltrico com dois terminais; Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc.
Smbolo do bipolo:
b) Circuito Eltrico um conjunto de bipolos eltricos interligados;
c) Gerador de Tenso Contnua um dispositivo eltrico que impe uma tenso entre seus terminais, qualquer que seja o
valor da corrente.
Smbolo do Gerador de tenso contnua:
d) Gerador de Corrente Contnua um dispositivo que impe uma corrente, qualquer que seja o valor da tenso aplicada aos
terminais.
Smbolo do Gerador de corrente contnua:
e) Associao de Bipolos em Srie um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo,
obrigatoriamente, passa pelos outros.
V
- +
B1 B2 B3 B4
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f) Associao de bipolos em paralelo um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a tenso aplicada a um ,
obrigatoriamente, aplicada aos outros.
g) Ligao de Bipolos em Estrela um conjunto de trs bipolos ligados de acordo com a figura abaixo
h) Ligao de Bipolos em Tringulo (delta) um conjunto de trs bipolos ligados conforme com a figura abaixo
B1 B2 B3 B4
B1
B2 B3
B1
B3
B2
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Leis dos circuitos: o processo de resoluo de circuitos em corrente contnua baseia nas seguintes leis da Fsica:
a) Lei de Ohm: RVI = ou V = RI
b) 1 Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatrio das correntes que convergem para um mesmo n igual a zero;
(princpio: a energia no pode ser criada ou destruda)
= 0I I3 + I5 I1 I2 I4 = 0 I3 + I5 = I1 + I2 + I4
c) 2 Lei de Kirchhoff (lei das tenses): a soma algbrica das tenses ao longo de um caminho fechado igual soma
algbrica das quedas de voltagem existentes nessa malha
(princpio: a toda ao corresponde uma reao igual e
contrria). = RIE ou 0RIE = -E1+E2+E3=I1R1I2R2+I3r3-I4R4 -E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0
I5I1
I2
I4
I3
+ -
- +
+ -
+-+ -
+--
+
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Anlise de Malhas para resoluo de circuitos Este processo vlido para circuitos planares (que podem ser
representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo
apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.
Exemplo 01:
1 Malha (ABEF): 100 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 I2) 2 Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 I1)
60 = 20I1 - 10I2 60 = 20I1 - 10I2 40 = -10I1 + 20I2 (x2) 80 = -20I1 + 40I2
140 = 30I2 I2 =140/30 = 4,67A
60 = 20I1 10 x 4,67 I1 = (60 + 46,7)/20 I1= 5,33A
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Exemplo 02:
N A: I4 = I1 + I3 N B: I2 = I3 + I6 N C: I1 = I5 + I6 Malha ADCEF: E1 = I1R1 + I4R4 + I5R5 Malha BCD: E2 - E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5 Malha ABCD: -E6 = -I3R3 + I6R6 I4R4 - I5R5
Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos
ligados em Y em circuitos ligados em
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6
em Y
321
21
RRRRRRa ++=
321
31
RRRRRRb ++=
321
32
RRRRRRc ++=
Y em
RcRcRaRbRcRaRbR ++=1
RbRcRaRbRcRaRbR ++=2
RaRcRaRbRcRaRbR ++=3
Exemplo 03:
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2. Resolues de Circuitos em corrente alternada A quase totalidade dos sistemas eltricos trabalha com correntes e
tenses alternadas. Isto se deve ao fato de:
a) Ser mais fcil o transporte da energia para lugares distantes;
b) Ser econmica a transformao de nveis de tenso e de
corrente, de acordo com a necessidade;
c) Ser econmica a transformao de energia eltrica em
energia mecnica e vice-versa;
Fora Eletromotriz de um alternador elementar
m = Fluxo Mximo encadeado com a espira = Velocidade angular da espira (rad/seg) = t = ngulo formado pelo plano da espira com o plano
perpendicular s linhas de fluxo
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= m.cost
dtde = para uma espira
tsen.ndt)tcos.(dndt
dne mm === mas: mm nE = ento: tsen.Ee m =
Funo peridica
y = f(t) peridica se assumir o mesmo valor f(t) para instantes espaados de T, 2T, 3T,...
ento y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT) T = perodo
Freqncia n de perodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)
T1f = ex.: para f = 60Hz T = 1/60 = 0,01667 seg
Ento ft2sen.Eef2T2
m ===
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Freqncias usuais: 50Hz (Europa, Paraguai) 60Hz (Brasil, USA) 25Hz (alguns sistemas de trao eltrica) 250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 30 kHz (telegrafia sem fio) 150 kHz (Radiodifuso Ondas Longas) 500 a 1500 kHz (Radiodifuso Ondas Mdias - 200 a 600m) 30 MHz (Radiodifuso Ondas Curtas at 10m)
Fase e diferena de Fase
F(t) = A.sen(t+) (t+) = ngulo de Fase
Se duas grandezas senoidais )tsen(.Ee)tsen(.Ee22m2
11m1
=+=
tm a
mesma freqncia, a diferena de fase ou defasagem entre elas
em um dado instante ser: 2121 )t()t( =++ ex.: )30tsen(.75e
)30tsen(.100e2
1
=+=
30 (-30) = 60 a senide e1 passa pelos seus valores zero e mximo com avano de 60 sobre a senide e2
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Quando duas ou mais grandezas
alternadas tm a mesma fase
elas se acham em concordncia
de fase ou simplesmente em
fase Quando a Diferena de fase
entre duas grandezas alternadas
for de 90 elas esto em
quadratura
Quando a diferena de fase for
de 180, esto em oposio
Valor Mdio A expresso que d o valor mdio de uma funo :
=T
0mdio dt)t(fT
1Y
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para a senide esse valor nulo para um ciclo, e por isso
definido para um semi perodo. Assim o valor mdio de
i=Im.sen pode ser achado integrando a senide de 0 a . [ ] mmm0m
0mdiom I637,0I.2)11(IcosId.sen.I1I ==+===
Analogamente: mmmdio V637,0V.2V ==
Valor eficaz
Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistncia R em t segundos: I2Rt Energia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma resistncia , a cada instante i2R
Assim: ==T
0
T
0
222t1.dt.iIdt.RiRtI sendo T=2 (perodo)
==2
0
22m2
0
22m2 dcos21
21
2Id.sen.I2
1I
mmm2m2
0
2m2 I707,02I
2II2
I22sen
4II
2====
=
analogamente: mm V707,02VV ==
OBS.: os voltmetros e ampermetros de corrente alternada indicam os valores eficazes de corrente e tenso
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Representao vetorial das Grandezas Senoidais
= t radianos 0x=0A.sent=Im.sent
Vantagens:
1. O vetor mostra as duas caractersticas que definem a senide:
o ngulo de fase e o valor mximo;
2. A diferena de fase entre as duas grandezas alternadas pode
ser representada vetorialmente. A figura
ao lado nos mostra o vetor OB em
avano de graus sobre o vetor AO. Se OB e AO representam os valores
mximos das voltagens e1 e e2, elas sero expressas por:
e1 = OB.sent e2 = OA.sen(t-)
3. A soma ou a diferena de duas ou mais grandezas senoidais
se reduz a uma composio de vetores.
)cos(.I.I.2III 12m2m12m21m2m0 ++=
O
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2m21m12m21m1
0 .cosI .cosIsen.Isen.Itan +
+=
Parmetros dos circuitos de C.A
Resistncia
Unidade: (ohm) Carga Resistiva ou carga hmica
Indutncia
Unidade: H (Henry)
Carga Indutiva
Capacitncia
Unidade: F (Farad)
Carga Capacitiva
Lei de Ohm para os circuitos de C.A
Consideremos uma bobina c/ resistncia eltrica R e indutncia L:
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sRA=
Passando-se uma corrente eltrica nessa bobina aparecer um
fluxo magntico dados por: = Li Se i varivel, tambm ser! aparecer uma f.e.m. de auto induo dada por:
( )dtdiLdt
Liddtde ===
na figura anterior, temos ento:
dtdi
dtdiLRiv += derivada da corrente eltrica em relao
ao tempo.
Uma bobina que tem uma resistncia R e uma indutncia L representada conforme abaixo:
Se o circuito tem elevada resistncia eltrica e indutncia
desprezvel, o representamos apenas pela resistncia, e dizemos
que o circuito puramente hmico ou puramente resistivo.
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Se ocorrer o inverso, isto , se a resistncia por desprezvel em
relao ao efeito da indutncia, e dizemos que ele puramente
indutivo.
Ex.: enrolamento de mquinas eltricas, transformadores, etc.
Se forem considerados tanto a resistncia quanto a indutncia do
circuito, ento ele ser denominado circuito indutivo ou circuito RL.
Circuito puramente hmico L = 0 R 0 R
viRivdtdiLRiv ==+=
Supondo v = Vmax.sent Rtsen.Vi max =
tsen.ItsenRVi maxmax ==
Quando a tenso for mxima, a corrente tambm ser:
0
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tsen.ItsenRVitsen.Vv maxmaxmax ===
Dizemos ento que as duas senides esto em fase entre si ou
que a corrente e a voltagem ento em fase num circuito puramente
hmico.
RVIR
V707,0I.707,0RVI efefmaxmaxmaxmax ====
Concluso: os circuitos puramente hmicos, quando alimentados
por corrente alternada, apresentam o mesmo
comportamento do que quando alimentados por corrente
contnua. A freqncia das correntes alternadas no
influencia os fenmenos que se processam no circuito.
Circuito puramente Indutivo L 0 R 0 dt
diLvdtdiLRiv =+=
Nos circuitos puramente indutivos toda tenso aplicada aos
seus terminais equilibrada pela f.e.m. de auto-induo.
Dado:
( ) ( )dt
tsendI.Ldttsen.IdLvtsen.Ii maxmaxmax ===
cos = sen(+90) cos30 = sen(/6 +90) 0,866 = 0,866
tcos.I.Lv max = )90tsen(.I.Lv max +=
0
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Isto , essa voltagem tambm alternada senoidal com valor
mximo igual a LImax, defasada 90 em adiantamento em relao corrente alternada do circuito.
Vmax = LIMax 0,707 Vmax = 0,707 LIMax Vef = LIef Vef = XLIef XL = L = 2fL Reatncia indutiva (anloga resistncia) Unidade da reatncia: (Ohms) Observamos que a reatncia Indutiva funo da freqncia e da
indutncia: fX LX
Concluso: Sempre que uma corrente alternada atravessa um
circuito puramente indutivo (de reatncia XL = 2fL), tem-se uma queda de tenso dada por Vef = XL.Ief, defasada de 90 em adiantamento em relao
corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma
voltagem alternada senoidal aos terminais se um
reatncia XL de um circuito puramente indutivo, verifica-se a passagem de uma corrente eltrica de valor Ief = Vef/XL ,defasada de 90 em atraso em relao tenso.
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Exemplos:
1) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H
alimentado por uma tenso cujo valor eficaz 110v e cuja
freqncia 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada
que circula nesse circuito.
XL=2fL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4 Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584A Ief = 584mA
2) No problema anterior, traar o diagrama vetorial e
representao senoidal da tenso e corrente eficaz.
Ex.: v = 50.sen(30t + 90)
i = 10.sen30t
3) Num circuito puramente hmico, aplicou-se uma voltagem dada
por v=120.sen(314t). Se a resistncia total do circuito mede 10, calcule qual dever ser a leitura de um ampermetro se corretamente inserido no circuito.
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Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A
Reviso de Nmeros Complexos
1j1j 2 == Z1 = 6 Z4 = -3 + j2
Z2 = 2 j3 Z5 = -4 j4 Z3 = j4 Z6 = 3 + j3
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Outras formas dos nmeros complexos
== cosZxZxcos
== senZyZysen
Z = x + jy = |Z|cos + j|Z|sen = |Z|(cos +jsen) Tg = y/x
xyarctg= 22 yxZ +=
argumento de Z Mdulo ou valor absoluto de Z
A frmula de Euler, ej = (cos jsen), possibilita outra forma para representao dos nmeros complexos, chamada
forma exponencial:
Z = x jy = |Z|(cos jsen) = |Z|ej
A forma polar ou de Steinmetz para um nmero complexo Z bastante usada em anlise de circuitos e escreve-se
|Z| onde aparece em graus Esses quatro meios de se representar um nmero complexo esto
resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da
operao a ser efetuada. Forma retangular Z = x jy 3 + j4 Forma Polar Z = |Z| 553,13 Forma exponencial Z = |Z|ej 5ej53,13 Forma trigonomtrica Z = |Z|(cos jsen) 5(cos53,13+jsen53,13)
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Conjugado de um nmero complexo
O conjugado Z* de um nmero complexo Z = x + jy o nmero complexo Z* = x jy Ex.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2 Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 j4 Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 j10
Na forma polar, o conjugado se Z = |Z| Z*= |Z|- Na forma Z = |Z|[cos() + jsen()] o conjugado de Z Z* = |Z|[cos(-) + jsen(-)] Mas cos()=cos(-) e sen(-) = -sen(), ento Z* = |Z|[cos() - jsen()] ex.: Z = 730 Z* = 7-30 Z = x + jy Z* = x - jy Z = |Z|ej Z* = |Z|e-j Z = |Z| Z* = |Z|- Z = |Z|(cos + jsen) Z* = |Z|(cos - jsen)
Z1=3 + j4 Z1*=3 j4 Z2=5143,1 Z2*=5-143,1
O conjugado Z* de um nmero complexo Z sempre a imagem de
Z em relao ao eixo real, como mostra a figura.
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Soma e diferena de nmeros complexos Para somar ou subtrair dois nmeros complexos, soma-se ou
subtrai-se separadamente as partes reais e imaginrias dos
nmeros na forma retangular. Z1=5-j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-28)=2j10 Z2=-3j8 Z1Z2=[5(-3)]+j[(-2)(-8)]=8+j6
Multiplicao de nmeros complexos O produto de dois nmeros complexos, estando ambos na
forma potencial ou na forma polar:
Z1=|Z1|ej1=|Z1|1 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(1+2) Z2=|Z2|ej2=|Z2|2 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)1+2
O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os
nmeros complexos como se fossem binmios: Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2 = (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)
ex. 01: Z1 = 5ej/3 Z1Z2 = (5.2)ej(/3-/6) = 10ej/6 Z2 = 2e-j/6
ex. 02: Z1 = 230 Z1Z2 = (5.2)[30+(-45)] Z2 = 5-45 Z1Z2 = 10-15
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Diviso de nmeros complexos
)21(j21
2j2
1j121 eZ
ZeZeZ
ZZ
== forma exponencial
)(ZZ
ZZ
ZZ
2121
2211
21 =
= forma polar
A diviso na forma retangular se faz multiplicando-se
numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
222212212121
2222
2211
21
yx)xyxy(j)yyxx(
jyxjyx
jyxjyx
ZZ
+++=
++=
Exemplos:
1) Z1=4ej/3, Z2=2ej/6 6j6j
3j
21 e2
e2
e4ZZ
==
2) Z1=8-30, Z2=2-60 == 304602308
ZZ21
3) Z1=4-j5, Z2=1+j2 513j6
2j12j1
2j15j4
ZZ21 =
+=
Transformao: forma polar forma retangular 5053,1 = 50(cos53,1 + jsen53,1) = 50x0,6 + j50x0,7997 = 30 + j40 100-120 = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50 - j86,6
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Circuito puramente Capacitivo
Se v = Vmax.sent q = Cv
dt)tsen.V(dCdt
)Cv(ddtdqi max ===
i = .C.Vmax.sen(t + 90) i = Imax.sen(t + 90)
Se Imax = .C.Vmax 0,707.Imax = 0,707..C.Vmax
Ief = .C.Vef ou efef IC1V =
C
C
XfC21
XC1
=
=
Reatncia Capacitiva
A corrente num circuito puramente capacitivo est 90 adiantada
em relao tenso
OBS.: num circuito indutivo: f XL corrente
f XC corrente Se f=0 XC = capacitor no deixa passar corrente DC
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Circuito RL ou indutivo
Praticamente consiste de um circuito puramente hmico de
resistncia R em srie com um circuito puramente indutivo de
indutncia L
A corrente i ao atravessar a resistncia R, provoca uma queda de tenso dada por VR=Riem fase com a corrente i.
A corrente i ao atravessar a indutncia L, determina uma queda de tenso indutiva Vx = XLi, defasada de 90 em adiantamento sobre a corrente i.
A queda de tenso total atuante entre os terminais do circuito
dada pela soma vetorial de VR e VX:
)XR(i)iX()Ri(VVVVVV 2L222L22X2RXR +=+=+=+=ZiVXRiV 2L2 =+= Z = impedncia do circuito
Z um nmero complexo da forma: Z= R+jXL = R+jL
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Considerando-se Z numa representao grfica, teremos:
RXarctgR
Xtg LL == Na forma polar podemos escrever:
= ZZ 2L2 XRZ +=
RXarctg)L(RZ L22 +=
Circuito RC ou Capacitivo
Se i igual a 1 ampere, teremos:
== C1jRjXRZ C
C1XR
Xarctg Cc =
=
ZXarcsen C=
ZRarccos=
Na forma polar: =
+= ZR
XarctgC1RZ C
22
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Outra forma da lei de Ohm:
E = (R+jX)I
22 XRZ += RXarctg=
= ZZ RXarctgXRZ 22 +=
Exemplos:
1) Um circuito RL srie de R=20 e L=20mH tem uma impedncia de mdulo igual a 40 . Determinar o ngulo de defasagem da corrente e tenso, bem como a freqncia do circuito.
Z = R+jXL = |Z| 40.cos + j40.sen Z = 20+jXL = 40 = arccos 20/40 = arccos 1/2 = 60 XL = 40.sen60 = 40x0,866 XL = 34,6 XL = 2fL f = XL/2L 34,6/(6,28 x 0,02) f = 34,6/0,1256 f = 275,5Hz
E = ZI
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2) Um circuito srie de R = 8 e L = 0,02H tem uma tenso aplicada de v = 283.sen(300t+90). Achar a corrente i.
XL = L = 300x0,02 = 6 Z = 8 +j6 Vef = 0,707 x 283 1010068 22 ==+ Vef = 200 = arctg 6/8 = 36,9 V = 20090 Z = 1036,9
=== 1,53209,3610
90200ZVI
)1,53t300sen(.220i += 3) Dados v = 150.sen(5000t+45) e i = 3sen(5000t-15),
construir os diagramas de fasores e da impedncia e
determinar as constantes do circuito (R e L) v = 0,707x15045 = 106,0545 I = 0,707x3-15 = 2,12-15
3,43j25)866,0j5,0(50Z
)60senj60(cos5060501512,24505,106
IVZ
+=+=+==
==
XL = 2fL = L = 43,3 L = 43,3/5000 L = 8,66mH R = 25
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Circuito RL srie
Concluso: O circuito RL em srie se comporta exatamente como
um circuito RL que tenha resistncia hmica igual a
R = R1 + R2 e reatncia indutiva XL = XL1 + XL2.
Assim sendo Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)
Ou na forma fasorial:
21212
212
21 RRLLarctg)LL()RR(ZZ +
++++==
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Circuito RC srie
Concluso: o circuito RC srie se comporta exatamente como um
circuito RC que tenha resistncia hmica igual a R =R1 + R2
e reatncia capacitiva 21
2C1CC C1
C1XXX +=+=
Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2)
+++=+++= 21212C1C21 C1
C1j)RR()XX(j)RR(
ou na forma fasorial:
2121
2
21
221 RR
C1
C1
arctgC1
C1)RR(ZZ +
+
+++==
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Podemos ento generalizar:
V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT
ZT = Z1 + Z2 + Z3 Generalizando:
Circuito Paralelo
T321321321T Z
1Z1
Z1
Z1VZ
VZV
ZVIIII =
++=++=++=
321T Z1
Z1
Z1
Z1 ++=
generalizando
...Z1
Z1
Z1
Z1
321T+++=
O inverso da impedncia de um circuito chamada de
Admitncia, cujo smbolo Y. Ento no circuito acima teremos: IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3)
IT = YTV YT = Y1 + Y2 + Y3
ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...
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Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito
igual ao produto da tenso total aplicada aos seus terminais pela
admitncia total equivalente.
Portanto a Admitncia equivalente de qualquer nmero de
admitncias em paralelo igual a soma das admitncias
individuais.
Z = R jX +jX reatncia indutiva (XL) -jX reatncia capacitiva (-Xc)
Analogamente:
Y = G jB G Condutncia B Susceptncia
+jB Susceptncia capacitiva (BC) -jB Susceptncia indutiva (-BL)
Unidades de Y, G e B MHO ou ou -1 Como a corrente I pode estar adiantada, atrasada ou em fase com V, conseqentemente, 3 casos podem ocorrer: 1 Caso
V = |V| V = |I|
R0ZI
VZ ===
A impedncia do circuito uma resistncia pura de R ohms
G0YY
IY ===
A admitncia do circuito uma condutncia pura de G mhos
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2Caso: O fasor corrente est atrasado de um ngulo em relao tenso
V = |V| I = |I|(-)
)(IVZ
=
LjXRZ +=
A impedncia de um circuito com fasores V e I nesta situao consta de uma resistncia e uma reatncia indutiva em srie
= V)(IY
LjBG)(Y =
A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia indutiva em paralelo
3Caso: O fasor corrente est avanado de um ngulo em relao tenso
V = |V| I = |I|(+)
)(IVZ +
=
LjXRZ +=
A impedncia do circuito consta de uma resistncia e uma reatncia capacitiva em srie
+= V)(IY
LjBG)(Y =
A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia capacitiva em paralelo
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Converso Z - Y Forma polar: dado Z=553,1
)53,1(2,01,5351
Z1Y ===
Forma Retangular: Y = 1/Z
22 XRjXR
jXRjXR.jXR
1jXR
1jBG +=
+=+=+
2222 XRXjXR
RjBG +++=+ 22 XR
RG +=
22 XRXB +
=
Z = 1/Y
22 BGjBG
jBGjBG.jBG
1jBG
1jXR +=
+=+=+
2222 BGBjBG
GjXR +++=+ 22 BG
GR +=
22 BGBX +
=
Exemplos: 1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitncia equivalente Y.
)]1,53sen(j)1,53[cos(2,0)1,53(2,01,5351
Z1Y +====
Y = 0,12 j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS outro mtodo
( ) MHOS12,0169 3XR RG 22 =+=+= ( ) MHOS16,0169 4XR XB 22 =+=+= Y = 0,12 - j0,16
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2) No circuito srie abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das quedas de tenso igual tenso aplicada
ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 j6 ZT = 4 j3
52534Z 22T ==+= == 9,364
3arctg ZT = 4 j3 = 5(-36,9) Impedncia Capacitiva
=== 9,3620)9,36(50100
ZVIT
V1 = IZ1 = 2036,9 x 4 = 8036,9 = 80(cos36,9+jsen36,9) = 64 + j48 V2 = IZ2 = 2036,9 x 390 = 60126,9 = 60(cos126,9+jsen126,9) = -36 + j48 V3 = IZ3 = 2036,9 x 690 = 120(-53,1) = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 j96 V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 j96) V = 100 + j0 = 1000
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3) Achar a corrente total e a impedncia total do circuito paralelo abaixo, traando o diagrama de fasores:
Z1 = 100
=+= 1,53534arct43Z 222
)9,36(1086arct68Z 223 =+=
)9,36(10050
1,535050
010050
ZV
ZV
ZVIIII
321321T
++
=++=++== 50 + 10(-53,1) + 536,9 = 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9] = 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] = (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5 = )45,18(81,1515
5arctg515 22 =
+
Logo: === 45,1816,3)45,18(81,15050
IVZT
T ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1
=== 05010050
ZVI1
1 )1,53(101,535050
ZVI2
2 ===
=== 9,365)9,36(10050
ZVI3
3
Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalente
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4) As duas impedncias Z1 e Z2 da figura abaixo esto em srie com uma fonte de tenso V = 1000. Achar a tenso nos terminais de cada impedncia e traar o diagrama dos fasores
de tenso.
Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4) Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4
Zeq = 45,1865,12124arctg412 22 =+
)45,18(9,745,1865,120100
ZVIeq
===
V1 = IZ1 = 7,9(-18,45)x10 = 79(-18,45) = 75 - j25 V2 = IZ2 = [7,9(-18,45)]x[4,4763,4]
= 35,3(45) = 25 + j25 Verifica-se que:
V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 1000
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5) Calcular a impedncia Z2 do circuito srie da figura abaixo:
6020)15(5,2
4550IVZeq =
== Zeq = 20(cos60 + jsen60) = 10 + j17,3 Como Zeq = Z1 + Z2: 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 Z2 = 10 5 + j17,3 j8
Z2 = 5 + j9,3 6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito srie-
paralelo abaixo
14,814,142j1410j5)10j(510Zeq =+=++=
)14,8(07,714,814,140100
ZVIeq
T ===
)14,8(07,7x10j5)10j(5I.ZV10j5
)10j(5Z TABABAB +==+=
)54,71(16,310j)14,8(07,7x10j5)10j(5
10jVI AB1 =
+==
)46,18(32,65)14,8(07,7x10j5)10j(5
5VI AB2 =
+==
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7) Achar a impedncia equivalente e a corrente total do circuito
paralelo abaixo
2,0j5j1Y1 == 2,0jj5
15jj
xj5jxj1
2 ===
0866,0j05,066,8j51Y2 =+=
0866,0j05,010066,8j5
66,85)66,8j5(
)66,8j5)(66,8j5()66,8j5(
22 ==+=+
067,0151Y3 ==
1,0j10j1Y4 == 1,0jj10
110j
jxj10j
xj12 ===
Yeq = 0,117 j0,1866 = 0,22(-58) IT = V.Yeq =(15045)[0,22(-58)]=33(-13)
=== 5855,4)58(22,01
Y1Zeq
eq
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8) Determinar a Impedncia do circuito paralelo abaixo
=== 3663,06050
245,31VIY Teq
Yeq = 0,63(cos(-36)+jsen(-36) = 0,51 j0,37 Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, ento:
37,0j51,0)12,0j16,0(1,0Y3j41
101YY 11eq =+++++=
Y1 = 0,51 j0,37 0,1 0,16 +j0,12 = 0,25 j0,25
)45(35,025,025,0arctg25,025,0Y 221 =+=
=== 4535,01
Y1Z1
1 Z1 = 2,8645 = 2 + j2
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9) Dado o circuito srie-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.
22AB 434j35,0j2,04j3
12j1
51Y +
++=++=
34,0j32,016,0j12,05,0j2,0YAB =++=
)7,46(467,032,034,0arctg34,032,0Y 22AB =
+=
56,1j47,17,4614,2)7,46(467,01
Y1ZAB
AB +====
Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,4262,1