Fisica 2019/2020 Lezione 19 9/12/2018

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Elettromagnetismo (2/6)La legge di Gauss ed Il potenziale elettricoLezione 20, 9/12/2019, JW 23.7, 24.1-24.3, 24.5

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Il flusso del campo elettrico

Il flusso è una misura del campo elettrico perpendicolare a una superficie.

Definizione di flusso del campo elettrico: Ф = 𝐸𝐴 cos𝜃Nel SI si misura in Nm2/C

Per una superficie chiusa:Il flusso è positivo per linee del campo che lasciano il volume racchiuso.Il flusso è negativo per linee del campo che entrano nel volume racchiuso.

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La legge di GaussLa legge di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa arbitraria è proporzionale alla carica racchiusa al suo interno:

Φ = /01

Dove 𝜀3 è chiamata la costante dielettrica del vuoto:𝜀3 =

4567 = 8,85 ; 10

>4?C?N>4m>?

Controllo:

Per carica puntiforme 𝐸 = 𝑘 /AB =

/5601AB

Flusso attraverso sfera di raggio 𝑟 : Φ = 𝐸𝐴 = /5601AB

; 4𝜋𝑟? = /01

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La legge di GaussConsidera una sottile lamina carica che si estende all’infinito con densità di carica 𝜎 Cm>?

Per simmetria, si aspetta che il campo sia perpendicolare alla lamina.

Scegliamo per superficie gaussiana un cilindro.

Nessuna linea del campo attraversa la superficie laterale del cilindro.

Il flusso è determinata dal contributo delle due basi: Φ = 2𝐸𝐴

Legge di Gauss: 2𝐸𝐴 = GH01→ 𝐸 = G

?01

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L’energia potenziale elettrica

La forza elettrica è conservativa: di conseguenza deve essere associata a un’energia potenziale.

Per spostare una carica di prova positiva q0, in direzione opposta a un campo, la forza elettrica compie un lavoro

L = –q0Ed

La variazione di energia potenziale elettrica è l’opposto del lavoro

DU = –L = q0Ed

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Il potenziale elettrico

Come campo elettrico 𝐸 = K⃗/1

,

definiamo potenziale elettrico 𝑉 :

∆𝑉 = ∆N/1= >O

/1

(come per l’energia potenziale, il potenziale elettrico può esserre posto uguale a zero in un punto qualsiasi; solo le variazioni di potenziale elettrico sono misurabili)

Nel SI si misura in joule/coulomb = volt (V)

Nei sistemi atomici, un’unità di misura di energia pratica è l’elettronvolt: la variazione di energia di un elettrone che si muove attraverso una differenza di potenziale di 1V:

1 eV = 1,60 ; 10>4SC 1V = 1,60 ; 10>4SJ

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a) ∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 = 2,20 ; 10>WC ; 24V = 5,28 ; 10>XJb) ∆𝑈 = 𝑞∆𝑉 = −1,10 ; 10>WC ; 24V = −2,64 ; 10>XJ

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Il campo elettrico e la rapidità di variazione del potenziale elettrico

Spostando 𝑞3 una distanza ∆𝑠 nella direzione di 𝐸, il campo elettrico compie un lavoro 𝐿 = 𝑞3𝐸∆𝑠

Perciò, ∆𝑉 = − O/1= −𝐸∆𝑠, dunque 𝐸 = −∆\

∆]

Il campo elettrico depende dalla rapidità di variazione del potenziale elettrico rispetto allo spostamento.

Il campo elettrico può anche essere espresso in V/m.

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La conservazione dell’energiaLa forza elettrica è conservativa.

Trascurando la presenza di altre forze, l’energia totale di una carica elettrica si conserva:

Per una carica che si muove da A a B:𝐾H +𝑈H = 𝐾 +𝑈`

4?𝑚𝑣H

? + 𝑞𝑉H = 4?𝑚𝑣`

? + 𝑞𝑉

E quindi cB𝑚𝑣`? = c

B𝑚𝑣H? + 𝑞(𝑉H −𝑉 )

Se 𝑣H = 0 (accelerazione da fermo): 𝑣` = 2𝑞(𝑉H −𝑉 )/𝑚

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Accelerazione di elettroniEsempio: elettrone accelerato attraverso differenza di potenziale di 1000V

Conservazione di energia: energia elettrica trasformata in energia cinetica

𝐸f,g = 𝐸f,h

−𝑒𝑉g +4?𝑚𝑣g? = −𝑒𝑉h +

4?𝑚𝑣h?

𝑒Δ𝑉 = 4?𝑚𝑣?

𝑣 = ?kl\f

= ?;4,W;43mcno;4333pS,4;43mqcrs

=

1,88 ; 10t ⁄m s = 18800km/s

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Il potenziale elettrico di una carica puntiforme

Considera una carica punitforme +𝑞 nell’originee una carica di prova +𝑞3 in quiete in 𝐴.

Accelera e raggiunge velocità 𝑣 in 𝐵.

La differenza di energia potenziale tra 𝐴 e 𝐵 è

𝑈H −𝑈` =𝑘𝑞3𝑞𝑟H

−𝑘𝑞3𝑞𝑟

Segue che

𝑉H −𝑉 =1𝑞3

𝑈H −𝑈` =𝑘𝑞𝑟H−𝑘𝑞𝑟

Scegliendo 𝑉 = 0 per 𝑟 = ∞: 𝑉 = 7/A

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La sovrapposizione del potenziale elettrico

Il potenziale elettrico di un gruppo di cariche puntiformi è dato dalla somma algebrica dei potenziali delle singole cariche.

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Condensatori

Un condensatore ha la capacità di immagazzinare carica elettrica ed energia.

Solitamente, consiste da due conduttori.

Mettendo una differenza di potenziale 𝑉, una acquista carica +𝑄, l'altra –𝑄.

La carica 𝑄 è proporzionale a 𝑉 : 𝑄 = 𝐶𝑉

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Analogia con secchio d'acqua1) La sezione trasversale rappresenta la capacità 𝐶2) La quantità di acqua rappresenta la carica 𝑄3) L'altezza dell'acqua rappresenta la differenza di potenziale 𝑉

Stesso livello di acqua(differenza di potenziale 𝑉)Per i due secchi

Meno acqua (carica 𝑄) Nel secchio stretto (di piccola capacità 𝐶)

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Condensatore a facce piane parallele

Due armature piane a parallele di area 𝐴, separate da una distanza 𝑑.

Se si porta una carica +𝑄 e −𝑄 sulle due armature, se crea un campo elettrico

𝐸 =𝜎𝜀3=

𝑄𝐴𝜀3

La differenza di potenziale è𝑉 = 𝐸𝑑

La capacità risulta𝐶 = }

\ =}~��1

�= H01

�

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