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M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica
ELETTROMAGNETISMO APPLICATO
ALL'INGEGNERIA ELETTRICA ED ENERGETICA
90 ore ( 9 crediti )
I semestre per il Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Elettrica
60 ore ( 6 crediti)
I semestre per il Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Energetica
Facoltà di Ingegneria-Università di Cagliari
A.A. 2017/2018
Docente: Prof.ssa Mariangela Usai
Ultima modifica(03/10/2017)
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 2
Ing. Mariangela Usai
Assistant Professor
Electrical and Electronics Engineering Dept. –University of Cagliari
Piazza d'Armi - 09123 Cagliari - Italy
Phone:+39 70 675 5898, Fax: + 39 (70) 675-5900
Mobile Phone : 320 4373026
E_mail : [email protected]
Sito di riferimento:
http://people.unica.it/mariangelausai/didattica/
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 3
Elettromagnetismo applicato
all’ingegneria Elettrica ed Energetica_1
Teoria dei Campi
Per Teoria si intende la sintesi delle cognizioni acquisite mediante osservazioni, misure ed elaborazioni matematiche.
Storicamente le Relazioni circuitali (come la legge di Ohm, principi di Kirchhoff, legge di Joule, teorema di Boucherot etc.) sono state introdotte per prime e successivamente con metodo induttivo, esse sono state integrate e sviluppate con modelli matematici della Teoria dei Campi, più generali e adatti a descrivere fenomeni fisici reali.
Ne consegue che:
le relazioni circuitali sono semplicemente espressioni particolari delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esse.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 4
Campo
In generale un campo è definito come la distribuzione spaziale di una quantità scalare o vettoriale, che può essere o non essere funzione del tempo.
Esempi di campi:
Campo termico espresso in funzione della temperatura (grandezza scalare) misurata in ciascun punto regione spaziale del mezzo in cui si vuole definire il campo.
Campo di forze espresse attraverso un vettore
(grandezza vettoriale) definito con modulo direzione, verso e punto di applicazione, come il campo di forze gravitazionale
),,,( tzyxfF
),,,( tzyxf
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 5
La Teoria Elettromagnetica o l’Elettromagnetismo è
lo studio degli effetti delle cariche elettriche a riposo e
in movimento.
Le grandezze relative alla Teoria Elettromagnetica si
definiscono come grandezze di campo
Le cariche elettriche possono essere positive o negative
e entrambe sono sorgenti di campi elettrici.
Le cariche in movimento producono una corrente, che
fa nascere un campo magnetico.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 6
Un campo elettrico variabile nel tempo è accompagnato da un
campo magnetico e viceversa.
I campi magnetico ed elettrico tempo varianti sono accoppiati
e insieme
costituiscono un campo elettromagnetico.
In certe condizioni, quando le sorgenti hanno frequenze di
variazione elevate, i campi elettromagnetici tempo dipendenti,
producono onde che si irradiano dalla sorgente che li ha generati.
I concetti di campi e onde sono essenziali nella spiegazione di
azioni a distanza.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 7
La teoria elettromagnetica è indispensabile per comprendere i principi di diversi fenomeni fisici
Sono di seguito riportati alcuni esempi di applicazioni:
•Oscilloscopi a raggi catodici,
•Radar e Comunicazione satellitare,
•Ricezione televisiva,
•Telerilevamento,
•Telecomunicazione,
•Radio astronomia,
•Dispositivi a microonde,
•Comunicazione con fibre ottiche,
•Transitori nelle linee di trasmissione,
•Problemi di compatibilità elettromagnetica,
•Sistemi di atterraggio strumentale per la guida del pilota in casi di visibilità limitata,
•Atom smashers or particle accelerators (subatomic particles),
•Conversione della energia elettromeccanica.
•Studio del funzionamento del corpo umano e animale
•Impianti nucleari a fissione e a fusione nucleare
•Applicazioni della magnetoidrodinamica
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 8
La teoria circuitale rappresenta una versione restrittiva
o un caso particolare di applicazione della teoria dei campi elettromagnetici.
L’ipotesi che sta alla base del modello circuitale è che:
le dimensioni d’interesse del sistema fisico associato
alla presenza di un campo, siano sufficientemente
piccole da poter trascurare il tempo di trasmissione
degli effetti dei segnali impressi, o sorgenti del campo.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 9
L’ipotesi che sta alla base del modello circuitale si può esprimere nei seguenti modi equivalenti:
• assenza di dimensioni o
• velocità di propagazione del fenomeno elettromagnetico infinita o anche
• tempo nullo di trasmissione del fenomeno elettromagnetico da un punto all’altro della regione di interesse.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 10
Per risolvere i Campi Elettromagnetici occorre tener presente
che la maggior parte delle variabili elettromagnetiche sono
funzione del tempo e dello spazio e sono definite da un modulo e
una fase e molte di loro sono vettori per cui per risolvere
problemi elettromagnetici è richiesta
↓
la conoscenza dell’algebra vettoriale e del calcolo vettoriale e la
soluzione di sistemi di equazioni differenziali alle derivate
parziali
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 11
La teoria circuitale comporta notevoli semplificazioni nella
determinazione delle grandezze incognite rispetto
all’applicazione della teoria dei campi elettromagnetici.
Occorre dunque definire un criterio per stabilire quando sia
possibile utilizzare la teoria circuitale.
Il criterio consiste nel poter considerare il tempo t di
trasmissione trascurabile o molto piccolo se confrontato con
l’entità delle variazioni temporali delle grandezze elettriche
tipiche della applicazione considerata.
Ciò comporta una analisi delle frequenze delle grandezze
elettromagnetiche che generano il campo e delle dimensioni
fisiche della regione campo.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 12
Infatti se fmax è la frequenza massima relativa alla banda di frequenza
degli spettri delle grandezze elettriche del campo,
il minimo intervallo di tempo che è possibile apprezzare, relativo alla
variazione temporale di una grandezza elettrica è :
mentre il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto
all’altro del circuito risulta sempre:
L dimensione del campo nella direzione della trasmissione della grandezza
di campo, o più in generale dimensione geometrica massima della struttura.
velocità di propagazione nel mezzo della regione del campo che
dipende dalla natura del mezzo, ossia da μ e ε.
maxmin
2
1
ft
v
Lt
1v
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 13
Il tempo impiegato dal campo per propagarsi da un punto all’altro della regione del campo, deve risultare minore del minimo intervallo di tempo relativo a una variazione temporale di una grandezza elettrica di campo, che è possibile apprezzare:
t<< tmin, ossia
Se si considera la lunghezza d’onda λmax relativa alla frequenza massima deve essere:
12
2
1 t max
max
minmin fv
L
ft
v
Ltt
max
maxmax
max 2 f
vL
f
v
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 14
Esempi
Premessa
In una linea la velocità di propagazione del segnale dipende
dal mezzo che circonda i conduttori e in cui si propagano il
campo elettrico e magnetico.
Le costanti μ0 e ε0 del vuoto e la velocità di propagazione nel
vuoto c sono rispettivamente uguali a:
[H/m] 10π4μ7
o
[F/m] 10854.81036
1
c
1 129
o2o
[m/s] 103με
1c
8
oo
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 15
Esempi
Linee aerea
Le costanti μ e ε dell’aria si possono considerare uguali a quelle
del vuoto per cui la velocità v risultante di trasmissione è uguale
a quella del vuoto co = 3*108 m/s
km 6000 50
103 2
8
aerealineaf
vL
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica
Quindi, per L=100 m e f=50 Hz essendo
si ha che:
•una linea aerea lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a
frequenza industriale 50 Hz, può essere studiata con un
modello circuitale a parametri concentrati, mentre
•la stessa linea aerea lunga 100 m, se utilizzata per trasmettere
dei segnali a 6 MHz deve essere studiata con un modello a
parametri distribuiti , infatti:
km 6000 50
103 2002
8
50Hz fper aerea linea
f
vmL
0m5 106
103 2002
6
8
6MHz fper aerea linea
f
vmL
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 17
•Linea in cavo lunga 100 m alimentata in regime sinusoidale a
frequenza industriale 50 Hz.
La lunghezza d’onda λ è un pò più piccola per quelle con
dielettrico diverso dall’aria v ≈ 2 ·108 m/s.
Infatti nei dielettrici, la permettività relativa εr varia tra 2÷5,
mentre la permeabilità relativa μr=1
km 400050
102200m2L
8
f
vcavo
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 18
Per un circuito audio ad alta fedeltà, la frequenza più alta è
fmax ≈ 25 kHz
Le dimensioni del circuito sono molto più piccole della lunghezza d’onda,
si può utilizzare il modello a parametri concentrati
Per un circuito a microonde
fmax =3 GHz÷300 GHz
Le dimensioni del circuito sono molto più grandi della lunghezza d’onda,
per cui si deve usare il modello a parametri distribuiti.
km 12 1025
103 2002
3
8
f
vmL audiocircuito
m 001.01.0 10300103
103 2002
99
8
microonde
f
vmL
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 19
Il concetto di circuito rappresenta una versione restrittiva o un
caso particolare del concetto di elettromagnetismo.
La teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri
concentrati e le equazioni risolutive sono equazioni algebriche e
equazioni differenziali ordinarie.
e
La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti
e le equazioni risolutive sono generalmente equazioni
differenziali alle derivate parziali.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 20
La teoria elettromagnetica tratta i sistemi a parametri distribuiti e le
equazioni risolutive sono generalmente equazioni differenziali alle derivate
parziali e le grandezze fisiche sono grandezze vettoriali o puntuali *
mentre
la teoria circuitale tratta soprattutto i sistemi a parametri concentrati e le
equazioni risolutive sono equazioni algebriche e equazioni differenziali
ordinarie e le grandezze sono fasoriali o algebriche globali **.
_____________________________________________________________ *
grandezze definite generalmente come vettoriali G(x,y,z,t) che
dipendono
• dal punto P in cui sono definite e quindi dalle coordinate (x,y,z, se cartesiane) e che variano con il
tempo (t) e
• riferite a una linea elementare dl, superficie dA, volume elementare dV intorno al punto P
Determinare G comporta conoscere le sue 3 componenti per ogni istante, quindi la risoluzione di 3 sistemi di
equazioni, uno per ciascuna componente.
**
Ciò comporta la risoluzione di un solo sistema di equazioni per ogni grandezza che si vuole determinare.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 21
I circuiti
• sono modellati con elementi a parametri concentrati come le resistenze, le induttanze, mutue induttanze e le capacità,
e
• le grandezze principali del sistema sono le tensioni e le correnti (grandezze globali)
Nei circuiti in corrente continua (cc):
le grandezze del sistema sono costanti e risultano determinabili con equazioni algebriche.
Nei circuiti in corrente alternata (ac):
le grandezze del sistema sono tempo dipendenti: esse sono quantità scalari e indipendenti dalle coordinate spaziali e le equazioni risolutive sono equazioni differenziali ordinarie.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 22
I campi
Nella modellazione dei campi la maggior parte delle variabili
introdotte nella teoria elettromagnetica sono funzioni del tempo
e delle coordinate spaziali.
Per definire la maggior parte di queste variabili si utilizzano le
grandezze vettoriali: i vettori e la loro trattazione richiede la
conoscenza dell’algebra e del calcolo vettoriale.
Anche nei casi statici le equazioni risolutive sono generalmente
equazioni differenziali alle derivate parziali.
La finalità della teoria dell’elettromagnetismo consiste nel saper
modellare e sviluppare un modello elettromagnetico che
descriva un sistema fisico , determinando le relative formule di
risoluzione.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 23
Equazioni di Maxwell
Le leggi fondamentali dell’elettromagnetismo sono espresse
dalle Equazioni di Maxwell, che descrivono analiticamente
come:
ogni variazione del campo elettrico o magnetico nello spazio
presuppone
l’esistenza o la variazione nel tempo, di un campo di altro tipo
(magnetico o elettrico) nello stesso punto.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 24
• Le Equazioni di Maxwell, con
• le Equazioni di continuità che esprimono il Principio di
Conservazione della Carica Elettrica secondo il quale :
la variazione della densità spaziale di carica ρ entro un
volume V è pari al flusso della densità corrente J attraverso
la superficie S che limita il detto volume (ossia, all'integrale
di superficie) e analiticamente equivale a:
Inoltre, la carica elettrica totale di un sistema è un invariante relativistico (ossia il suo valore non dipende dal
sistema di riferimento).
• e le Relazioni Costitutive
consentono di studiare e risolvere problemi inerenti i campi, di
qualunque natura essi siano.
SV
t
QIdSJdV
t
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 25
Il principio della conservazione della carica elettrica è un
postulato o legge fondamentale della fisica che stabilisce che la
carica elettrica è conservativa, cioè che la carica non può essere
ne creata ne distrutta.
Tale principio deve essere soddisfatto sempre e in qualunque
circostanza ed è rappresentato matematicamente attraverso
l’equazione di continuità della teoria dei campi:
Analogamente nella teoria circuitale il primo principio di
Kirchhoff della teoria circuitale afferma la proprietà di
conservazione della carica elettrica, ossia che non c’è
accumulo di cariche in una connessione, ossia:
SV
t
QIdSJdV
t
0I
i
i
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 26
La risoluzione analitica di tale modello matematico, costituito dalle:
Equazioni di Maxwell
Equazioni di Continuità
Relazioni Costitutive
presenta notevoli difficoltà per la complessità di risoluzione e l’entità
dei calcoli.
Attualmente si tende risolvere tali problemi
con metodi numerici, mediante efficienti e accurati codici di calcolo
che implementano il Metodo degli Elementi Finiti (FEM):
come i software Maxwell, Ansys, FEM, COMSOL e altri.
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 27
Il modello matematico per la risoluzione dei campi
elettromagnetici è descritto con le Equazioni di Maxwell
in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale
Legge di Faraday
Legge di Ampere
Legge di Gauss
t δ
B δE
t δ
D δJH
D
0B
t d
dldE
C
C S
sdt
DIldH
QsdDS
0sdBS
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica
Le grandezze vettoriali basilari per lo studio dei campi
Campo elettrico [V/m]
Induzione magnetica [T] o [Wb/m2]
Campo magnetico [A/m]
Spostamento elettrico [C/m2]
Densità di corrente [A/m2]
Tali grandezze sono grandezze puntuali ed esprimibili vettorialmente.
E
B
H
D
J
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 29
Tali grandezze vettoriali sono inoltre legate tra loro dalle
seguenti equazioni costitutive del mezzo, determinate dalle
proprietà del mezzo:
dove: permettività [F/m]
permeabilità magnetica [H/m]
conducibilità elettrica [S/m]
densità volumica [C/m3]
del mezzo della regione spaziale in cui si manifestano i campi.
E D
HB
EJ
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed
Energetica
30
= 0 r è la permettività assoluta
r permettività relativa
0 permettività nel vuoto ossia la costante di
proporzionalità fra la densità di flusso elettrico
e l’intensità del campo elettrico nel vuoto:
= 0 r è la permeabilità magnetica assoluta
R permeabilità relativa
0 permeabilità nel vuoto, ossia la costante di
proporzionalità fra la densità di flusso magnetico
e l’intensità del campo magnetico nel vuoto:
D
E
E εD o
B
H
o
o
Bμ
1H
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 31
Nel modello elettromagnetico ci sono tre costanti universali:
o o e c, dove c è la velocità di propagazione delle onde
elettromagnetiche nel vuoto o nell’aria (compresa la luce) e
I valori di o e di o sono:
• definiti dalla scelta del sistema di unità di misura e
• non sono indipendenti.
Nel Sistema Internazionale (SI):
[H/m] 10π4μ7
o
[F/m] 10854.81036
1
c
1 129
o2o
[m/s] 103με
1c
8
oo
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 32
Esistono due approcci fondamentali per lo studio dei
campi e dell’elettromagnetismo:
• Approccio induttivo: si parte da leggi sperimentali
che vengono generalizzate per essere poi sintetizzate
nella forma delle equazioni di Maxwell,
• Approccio deduttivo: partendo dalle equazioni di
Maxwell, si identifica ciascuna equazione con una
appropriata legge sperimentale e si adattano le
equazioni a condizioni generali o a situazioni statiche
o tempo varianti
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 33
In generale per lo studio un fenomeno scientifico attraverso
la definizione di un modello ideale, sono previsti tre fasi
fondamentali:
•I° fase: definizione di alcune grandezze fondamentali
pertinenti al fenomeno in studio;
•II° fase: specificazione delle formule matematiche di
queste grandezze;
•III° fase : definizione delle relazioni fondamentali con
postulati o leggi
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 34
Per lo studio della teoria dell’elettromagnetismo attraverso la
definizione di un modello ideale elettromagnetico, sono previsti
tre fasi fondamentali:
•I° fase: definizione delle grandezze fondamentali
dell’elettromagnetismo;
•II° fase: specificazione delle formule matematiche che legano
queste grandezze (algebra e calcolo vettoriale ed
equazioni alle derivate parziali);
•III° fase : definizione dei postulati fondamentali per i campi
magnetici statici, campi magnetici permanenti e campi
elettromagnetici
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 35
I postulati e le leggi sono basati su numerose osservazioni
sperimentali acquisite in condizioni controllate e efficacemente
sintetizzate.
Le grandezze del modello matematico possono essere distinte
grossolanamente in due categorie:
•Le grandezze sorgenti o cause ( cariche elettriche fisse o in
movimento) e
•Le grandezze del campo generato dalle sorgenti o effetti.
La carica elettrica si indica con la lettera q o Q.
Essa è una proprietà fondamentale della materia ed esiste come
multiplo positivo o negativo della carica elettrica elementare di
un elettrone e
[C] 1060.1 19e
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 36
Si definisce densità di carica volumica :
dove è la quantità di carica in un volume molto piccolo v.
In alcune situazioni fisiche una quantità di carica q può
essere identificata con un elemento di superficie s o di linea l ,
in questi casi si definisce la densità di carica superficiale s :
o la densità di carica lineare l :
][C/m Δv
Δqlimρ
3
0Δv
[C/m] Δl
Δqlimρ
0Δll
][C/m Δs
Δqlimρ
2
0Δss
M. Usai Elettromagnetismo applicato all’ingegneria Elettrica ed Energetica 37
Le densità di carica definite variano generalmente da punto a
punto con le coordinate spaziali.
La corrente I è velocità della variazione della carica rispetto al
tempo, cioé:
In elettromagnetismo di definisce la densità di corrente
che misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l’unità di
superficie normale alla direzione del flusso di corrente.
è un vettore di ampiezza pari alla corrente per unità di
superficie [A/m2] la cui direzione e verso sono quelle del flusso
di corrente.
[A] o [C/s] dt
dqI
J
J