ELETTROTECNICA Principi ed applicazioni di Ingegneria ... · ELETTROTECNICA – Principi ed applicazioni di Ingegneria Elettrica Lezione 05: Reti elettriche in regime stazionario

ELETTROTECNICAPrincipi ed applicazioni di Ingegneria Elettrica

Corso di Laurea in Ingegneria Civile (6 CFU)

Lezione 05 – Reti elettriche in regime stazionario

Prof. Alberto GeriDipartimento di Ingegneria Astronautica, Elettrica ed EnergeticaArea Ingegneria Elettrica - Via delle Sette Sale n° 12/b, RomaT 06 44585.534/540 F 06 4883235 [email protected]

ELETTROTECNICA – Principi ed applicazioni di Ingegneria ElettricaLezione 05: Reti elettriche in regime stazionarioProf. Alberto Geri <[email protected]>

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Indice dei contenutiReti elettriche in regime stazionario

● Il modello circuitale— Componenti circuitali

— Bipoli

— Multipoli ed i multiporte

• Le reti elettriche— Definizione

— Comportamento

— Elementi topologici fondamentali

• Il metodo generale di analisi— Leggi di Kirchhoff

— Teorema di Tellegen

— Analisi delle reti


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Il modello circuitale

Gene

rato

re

Utili

zzat

ore

Linea

+

Gene

rato

re

Utili

zzat

ore

Linea


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Lo studio dei sistemi elettromagnetici sede di campi statici di con-duzione, fino ad ora eseguito applicando le equazioni di Maxwell,può essere ricondotto allo studio di modelli zero-dimensionali,detti modelli circuitali, il cui comportamento elettrico ed energe-tico è rigorosamente equivalente a quello del sistema originario

J

JS A S BE s

BIRAB

eAB+

A

RBA UBA

Il modello circuitaleComponenti circuitali … introduzione


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• Nella caratterizzazione dei tronchi dei tubi di flusso sede dicampi statici di conduzione ed in presenza o meno di f.e.m.abbiamo già introdotto una modalità di rappresentazionegrafica che, facendo riferimento unicamente a grandezzeintegrali (i.e., la tensione, la corrente, la resistenza e laf.e.m.), fosse in grado di sintetizzare il comportamentoelettrico del sistema elettromagnetico, normalmente descrittoattraverso le equazioni di Maxwell.

• In particolare, nella trattazione relativa al bilancio energeticoin un tubo di flusso chiuso, abbiamo anche mostrato come lastessa rappresentazione grafica che ne rappresenta ilcomportamento elettrico, sia parimenti in grado dirappresentare il suo comportamento energetico.



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• Studieremo ora le modalità attraverso le quali operare unasistematica rappresentazione di sistemi elettromagneticicomunque complessi, e sede di campi statici di conduzione,attraverso modelli circuitali equivalenti.

• Ogni trasformazione energetica che ha luogo all'interno delsistema elettromagnetico verrà rappresentata con uncomponente del modello circuitale, il cui comportamento èrigorosamente descritto attraverso il legame funzionale fra legrandezze integrali, che è stato dedotto dall'applicazionedelle equazioni di Maxwell.

• Il sistema nella sua interezza verrà rappresentato attraversouna opportuna interconnessione di componenti circuitali, e lostudio della risposta del sistema verrà ricondotto allo studiodella risposta del modello circuitale.



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• Un componente circuitale (del modello) rappresenta la tras-formazione energetica che avviene all'interno di una superfi-cie chiusa attraversata da correnti elettriche solo in corrispon-denza di un certo numero finito di sezioni equipotenziali.

• A titolo di esempio prendiamo in considerazione il resistore

legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB

Il modello circuitaleComponenti circuitali … la definizione

Modello elettroma-gnetico sintetico del “resistore”

Modello equiva-lente circuitale ozero-dimensionale


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

Alle sezioni equipotenziali SA ed SB corrispondono i poli (ter-minali o morsetti) A e B delmodello zero-dimensionale.


P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

Ai poli A e B e associata la ten-sione, UAB , e la corrente, I, checompete alle corrispondenti se-zioni equipotenziali SA ed SB.




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB

Il simbolo grafico impiegato perindividuare il componente è uni-vocamente associato alla trasfor-mazione energet ica che i lcomponente rappresenta.





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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

Le proprietà elettriche del resis-tore, i.e. la sua resistenza, sonoesplicitamente indicate nel com-ponente attraverso il simbolo,RAB, o il suo valore numerico.




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

Il comportamento del componente circuitale è des-critto attraverso quel legame funzionale fra tensione,UAB, e corrente, I, che è stato dedotto applicando leequazioni di Maxwell al sistema elettromagneticorappresentato, i.e. la legge di Ohm.




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

Al componente circuitale cosìdefinito si da il nome di resis-tore (od anche bipolo resisti-vo componente cioè con duemorsetti o poli accessibili chesoddisfa la legge di Ohm).




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

È il modello circuitale dei re-sistori impiegati nei circuitistampati, o in altre applicazio-ni ingegneristiche di potenza,nonché il modello di trasfor-mazioni energetiche checoinvolgono conversioni dienergia elettrica in energia dialtra forma (e.g., calore, lavo-ro meccanico) rappresentabilimediante la legge di Joule.




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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legge di Ohm

legge di Joule

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J A B

UAB

IRAB

U AB=RAB I+

È il modello circuitale dei re-sistori impiegati nei circuitistampati, o in altre applicazio-ni ingegneristiche di potenza,nonché il modello di trasfor-mazioni energetiche checoinvolgono conversioni dienergia elettrica in energia dialtra forma (e.g., calore, lavo-ro meccanico) rappresentabilimediante la legge di Joule.




P d=U AB I=RAB I 2=

=U AB

2

RAB


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• Generalizzando quanto nello specifico visto per il resistore, sipossono definire le caratteristiche principali dei componenticircuitali bipolari (i.e., i bipoli).

• Si definisce bipolo un componente dotato di due poli (omorsetti o terminali) accessibili.

• Un bipolo si identifica con un tronco di tubo di flusso di J— la corrente entrante in uno dei due terminali è uguale a quella

uscente dall'altro terminale (i terminali costituisco pertanto una porta), ;

— la tensione fra i terminali è univocamente determinata, essendoverificata la ;

— al bipolo risultano quindi univocamente associate una tensione,U, ed una corrente, I.

• I simboli precedentemente introdotti per il resistore e per ilgeneratore sono simboli specifici di particolari componenti.

∇⋅J=0

∇×E=0

Il modello circuitaleBipoli … la definizione


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• Affinché tensione e corrente siano univocamente individuateoccorre specificare i loro versi positivi di riferimento:— per la tensione viene indicato con il simbolo +, in corrisponden-

za del polo positivo, o con una freccia che punta verso il polopositivo;

— per la corrente viene indicato con una freccia in corrispondenzadi uno dei due morsetti.

• I versi di riferimento possono essere scelti in modoassolutamente arbitrario:— per la tensione, equivale alla scelta arbitraria del verso della

tangente alla linea lungo la quale viene effettuata l'integrazione;

— per la corrente, equivale alla scelta arbitraria del verso della nor-male alla superficie attraverso la quale viene valutato il flusso.

Il modello circuitaleBipoli … i versi positivi di riferimento


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• Affinché tensione e corrente siano univocamente individuateoccorre specificare il loro versi positivi di riferimento:— per la tensione viene indicato con il simbolo +, in corrisponden-

za del polo positivo, o con una freccia che punta verso il polopositivo;

— per la corrente viene indicato con una freccia in corrispondenzadi uno dei due morsetti.

• I versi di riferimento possono essere scelti in modoassolutamente arbitrario:— per la tensione, equivale alla scelta arbitraria del verso della

tangente alla linea lungo la quale viene effettuata l'integrazione;

— per la corrente, equivale alla scelta arbitraria del verso della nor-male alla superficie attraverso la quale viene valutato il flusso.

ATTENZIONE – L'attribuzione dei versi diriferimento non ha nulla a che vedere con ilmoto reale delle cariche elettriche (a cui sonolegate la corrente e la tensione effettive).

AB

S

n≡tx

0l

S A

S B

J

A I

UAB

B+



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• La tensione e la corrente rispetto, ai fissati versi di riferimentopositivi, possono assumere valori numerici sia positivi chenegativi:

— U > 0, il potenziale del polo scelto arbitrariamente come positivoha effettivamente potenziale maggiore rispetto a quellonegativo;

— U < 0, il potenziale del polo scelto arbitrariamente come positivoha potenziale minore rispetto a quello negativo;

— I > 0, la corrente effettivamente scorre nel verso di riferimentopositivo scelto arbitrariamente;

— I < 0, la corrente scorre nel verso opposto a quello di riferimentopositivo scelto arbitrariamente.



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• Abbiamo dimostratoche il prodotto U I rap-presenta la potenzascambiata da un tubodi flusso (i.e. dal bipoloequivalente) attraversole sezioni terminali(i.e., attraverso i duepoli, ovvero la porta).

• Abbiamo altresì evidenziato che quando la corrente esce dal-la sezione a potenziale maggiore (i.e., il polo contraddistintocome positivo, ovvero verso il quale punta la freccia della ten-sione) trattasi di potenza erogata, ovvero di potenzaassorbita nel caso in cui la corrente entri da tale polo.

Pg>0 Pg=Pd Pd>0

IB

UBA

A

IB

UBA

APo

ten

za e

rog

ata

Po

ten

za u

scen

te

Po

ten

z a assorb

itaP

ote

nz a en

tr ante



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• Ai fini della scelta arbitraria dei versi di riferimento positivi sihanno quattro possibilità a cui, tenendo conto delleprecedenti considerazioni, si attribuiscono i seguenti nomi

— Convenzione del generatore• UI > 0, il bipolo eroga potenza;

• UI < 0, il bipolo eroga potenza nega-tiva, i.e. assorbe potenza;

— Convenzione dell'utilizzatore• UI > 0, il bipolo assorbe potenza;

• UI < 0, il bipolo assorbe potenza ne-gativa, i.e. eroga potenza.

I U

+I U

+

I U

+I U

+

Il modello circuitaleBipoli … le convenzioni


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I U

+I U

+

I U

+I U

+

Per ogni bipolo, i versi positivi diriferimento della tensione e della correntepossono essere assegnati in modoassolutamente arbitrario, senza cioètenere conto della sua effettiva natura odel suo prevedibile comportamento. Inrelazione ai versi scelti si dirà quindi cheal bipolo è stata applicata la convenzionedei generatori se la corrente esce dalmorsetto contrassegnato come positivo(morsetto verso cui punta la freccia dellatensione) oppure la convenzione degliutilizzatori se la corrente entra da talemorsetto.



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I U

+I U

+

I U

+I U

+

Il comportamento energeticodel bipolo risulterà inequivo-cabilmente individuato dalsegno del prodotto UI (unavolta determinata numerica-mente la risposta del com-ponete): rispetto alla conven-zione applicata infatti, se ilprodotto è positivo, il bipolosi comporterà come dichiara-to dalla convenzione applica-ta, in caso contrario, si com-porterà in modo opposto.



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• Si osservi che la scelta della convenzione è assolutamen-te arbitraria (i.e., è totalmente svincolata dal presuntocomportamento del bipolo).

• Salvo diversa specificazione si adotterà per ogni bipolo laconvenzione dell'utilizzatore.

• In base a questa assunzione sarà possibile adottare per tutti ibipoli versi di riferimento coordinati: sarà sufficienteindicare il solo verso di riferimento positivo della corrente(scelta usuale), o quello della tensione, affinché risulti univo-camente individuato anche l'altro.

• Se per esigenze particolari, qualche bipolo dovrà essereconvenzionato da generatore, sul bipolo verranno esplicita-mente indicati entrambi i versi di riferimento positivi.

Il modello circuitaleBipoli … i versi di riferimento coordinati


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• Il comportamento di un bipolo è univocamente determinatoquando è noto il legame funzionale, f(U,I) = 0 (ovvero larelazione costitutiva od anche equazione caratteristica delbipolo), fra la tensione e la corrente ai suoi morsetti; relazionequesta che dipende dal comportamento fisico del sistemaelettromagnetico di cui il componente circuitale è modello.

• Per gli stessi bipoli convenzionati da generatori le relazionicostitutive diventano

IRAB

U AB=RAB IA B A B

I eAB

+A B

I

U AB=−eAB

A B

IRAB

eAB

+

U AB=RAB I−e AB

U BA=−RAB I U BA=eABU BA=−RAB I +e AB

Il modello circuitaleBipoli … la relazione costitutiva


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• In relazione alle caratteristiche ed al comportamento deldispositivo elettromagnetico da modellare (e.g., quando i tubidi flusso di J hanno struttura ramificata e quindi le sezioniterminali equipotenziali sono più di due) può esserenecessario far ricorso ad elementi circuitali più complessicome i multipoli (N-poli) ed i multiporte (N-porte).

n

I 2

I 3I 0

I 1

S 0

S1S 2

S3

0

1

2

3

I 0

I 1

I 3

I 2Generico multipolo

(N-polo)

Il modello circuitaleMultipoli e multiporte … la definizione


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• Un N-polo è un componente dotato di N terminali.

• In un N-polo si ha che:

— è nulla la somma algebrica delle correnti ai morsetti;

— (N-1) correnti sono sufficienti a determinare la N-esemia;

— ad un N-polo si possono associare N(N-1)/2 tensioni;

— tutte le tensioni si possono determinare a partire daipotenziali di (N-1) terminali valutati rispetto all'N-esimoassunto come riferimento;

— per caratterizzare un N-polo sono quindi sufficienti (N-1)correnti ed (N-1) tensioni;

— le tensioni e correnti sono legate da (N-1) relazionicostitutive che dipendono dalla sua struttura interna.

Il modello circuitaleMultipoli e multiporte … gli N-poli


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0

1

2

3

I 0

I 1

I 3

I 2

0

1

2

3

I 0

I 1I 3

I 2

− I 0 I 1− I 2 I 3=0I 0= I 1− I 2 I 3

U 12=V 1−V 2

U 23=V 2−V 3

U 31=V 3−V 1

P a=∑k=1

N −1

V k I k=

=∑k =1

N −1

U k0 I k

0

1

2

3I 1

I 3

I 2

U 30U 10

U 20

U 31

U 23U 21

V 2V 1 V 3

Correnti Tensioni Potenza assorbita



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0

1

2

3

I 0

I 1

I 3

I 2

0

1

2

3

I 0

I 1I 3

I 2

− I 0 I 1− I 2 I 3=0I 0= I 1− I 2 I 3

U 12=V 1−V 2

U 23=V 2−V 3

U 31=V 3−V 1

P a=∑k=1

N −1

V k I k=

=∑k =1

N −1

U k0 I k

0

1

2

3I 1

I 3

I 2

U 30U 10

U 20

U 31

U 23U 21

V 2V 1 V 3

Correnti Tensioni Potenza assorbita

Normalmente per N-polo si adottano leseguenti convenzioni:

• si fissa il polo di riferimento (e.g., lo 0);

• Tutte le (N-1) tensioni dei poli si riferi-scono a quello di riferimento (i.e., lo 0);

• come verso di riferimento positivo per le(N-1) correnti si sceglie quello entrantenei poli.

Con queste convenzioni, ed applicando ilteorema di Poynting, si può calcolare lapotenza entrante nel N-polo.



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• Si definisce porta di un componete un coppia di poli in cui lacorrente entrante in uno dei due è sempre uguale a quellauscente dall'altro (e.g., i due morsetti di un bipolocostituiscono una porta).

• Un N-porta è un componente dotato di 2N terminali cherealizzano N porte.

1 '

1

2 '

2

I 1 '

I 1

I 2

I 2 '

1 '

1

2 '

2

I 1'

I 1

I 2

I 2 '

I 1= I 1 '

I 2= I 2 '

Do

pp

io b

ipo

lo

no

n-in

t rinsec

o

Du

e-p

ort

e o

do

pp

io b

ipo

lo

Il modello circuitaleMultipoli e multiporte … gli N-porte


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• Si definisce porta di un componete un coppia di poli in cui lacorrente entrante in uno dei due è sempre uguale a quellauscente dall'altro (e.g., i due morsetti di un bipolocostituiscono una porta).

• Un N-porte è un componente dotato di 2N terminali cherealizzano N porte.

1 '

1

2 '

2

I 1 '

I 1

I 2

I 2 '

1 '

1

2 '

2

I 1 '

I 1

I 2

I 2 '

I 1= I 1 '

I 2= I 2 '

Do

pp

io b

ipo

lo

no

n-in

t rinsec

o

Du

e-p

ort

e o

do

pp

io b

ipo

lo

L'uguaglianza delle correnti di ciascuna porta puòessere dovuta alla struttura interna del N-porte (N-porte intrinseco), o dai collegamenti esterni che ilcomponente realizza (e.g., un 2N-polo collegato aN bipoli realizza un N-porte non intrinseco).



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• Il comportamento di un N-porta è caratterizzato dalle:

— N correnti di porta

— N tensioni tra i terminali di porta

fra loro vincolate da N relazioni costitutive.

• Applicando la convenzione dell'uti-lizzatore a ciascuna porta del com-ponente, il teorema di Poynting con-sente di determinare la potenza as-sorbita da un N-porte che è data da

1 '

1

2 '

2

I 1 '

I 1

I 2

I 2 '

Pa=∑k=1

N

U kk ' I k U 11 '



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• Un generico N-polo può essere considerato come uncomponente a (N-1)-porte avente tutti i terminali negativi delleporte collegati tra loro.

• Questo consente di trattare in modo unificato i componenticircuitali multipoli e multiporta.

1 '

1

2 '

2

I 1'

I 1

I 2

I 2 '

U 10

0

U 20

0

1 2I 1 I 2

U 10 U 20



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Le reti elettriche


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Un circuito elettrico (o rete elettrica)è costituito da una interconnessionecomunque complessa di componentiideali (bipoli, multipoli e multiporte). Icircuiti elettrici godono delle stesseproprietà degli elementi che li compon-gono: se tutti gli elementi godono di unadeterminata proprietà anche il circuitogodrà del la stessa proprietà; èsufficiente che uno solo degli elementiche compongono il circuito non goda diuna determinata proprietà, affinchéanche il circuito nel suo complesso nongoda di quella proprietà.

DefinizioneLe reti elettriche


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Un circuito elettrico (o rete elettrica)è costituito da una interconnessionecomunque complessa componentiideali (bipoli, multipoli e multiporte). Icircuiti elettrici godono delle stesseproprietà degli elementi che li compon-gono: se tutti gli elementi godono di unadeterminata proprietà anche il circuitogodrà del la stessa proprietà; èsufficiente che uno solo degli elementiche compongono il circuito non goda diuna determinata proprietà, affinchéanche il circuito nel suo complesso nongoda di quella proprietà.

I collegamenti fra i componenti circuitali sonorealizzati mettendo in contatto i loro terminali, ounendoli mediante conduttori ideali (ϱ = 0).

I collegamenti, quando realizzati mediante con-duttori ideali, sono a resistenza nulla, quindi ènulla anche la tensione ai loro capi, indipendente-mente dalla corrente che vi scorre.

La forma di questi collegamenti non ha quindieffetto sul comportamento del circuito, e, nellerappresentazioni grafiche (gli schemi circuitali), icollegamenti sono indicati mediante segmenti oarchi che rappresentano conduttori ideali.



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I collegamenti fra i componenti circuitali sonorealizzati mettendo in contatto i loro terminali, ounendoli mediante conduttori ideali (r = 0).



Lo schema del circuito ha il solo scopo di mostra-re quali componenti sono collegati fra loro edattraverso quali terminali, quindi, non riproduce:

• le posizioni nello spazio dei componenti cherappresenta;

• la disposizione dei conduttori (e.g., i cavi) concui nel sistema fisico reale sono eventual-mente realizzate le connessioni fra le sueparti;

perché da esse non dipende la risposta del sis-tema elettromagnetico e quindi del circuito.



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I collegamenti fra i componenti circuitali sonorealizzati mettendo in contatto i loro terminali, ounendoli mediante conduttori ideali (r = 0).



Lo schema del circuito ha il solo scopo di mostra-re quali componenti sono collegati fra loro edattraverso quali terminali, quindi, non riproduce:

• le posizioni nello spazio dei componenti cherappresenta;

• la disposizione dei conduttori (e.g., i cavi) concui nel sistema fisico reale sono eventual-mente realizzate le connessioni fra le sueparti;

perché da esse non dipende la risposta del sis-tema elettromagnetico e quindi del circuito.

Il modello circuitale è un modello a zerodimensioni del sistema elettromagnetico sede dicampi statici di conduzione. I componenti circuitalisono modelli zero-dimensionali dei corrispondenticomponenti del sistema elettromagnetico reale.

Pertanto, lo schema di un circuito può esseredisegnato in vari modi, senza influire sullarisposta dei singoli componenti e del sistema nelsuo complesso; a patto, ovviamente, che sianocorrettamente rappresentate le interconnessionifra i componenti del sistema.



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• Il comportamento di un circuito elettrico (e in particolare loscambio di energia tra i suoi componenti) è pertanto descrittomediante grandezze integrali, indipendenti dalle coordinatespaziali:

— le correnti attraverso i terminali;

— le tensioni (o differenze di potenziale) tra i morsetti.

• Nella rappresentazione circuitale del sistema elettromagneti-co si perdono quindi le informazioni relative:

— alla configurazione geometrica dei tubi di flusso di J;

— alla distribuzione di campo al loro interno.

• Vengono cioè impiegati modelli zero-dimensionali delletrasformazioni energetiche rappresentate.

ComportamentoLe reti elettriche


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• Le tensioni e le correnti mediante le quali è descritto ilcomportamento di un circuito elettrico sono soggette a duetipi di vincoli, espressi attraverso due set di equazioni:

— Equazioni caratteristiche dei componenti (equazionitipologiche)

le tensioni e le correnti ai terminali di ciascun componen-te sono sottoposte a vincoli dipendenti dalle proprietàfisiche del componente stesso (le relazioni costitutive)

— Equazioni dei collegamenti (equazioni topologiche)

i collegamenti tra i componenti impongono ulteriori vincolialle loro tensioni e correnti; tali vincoli non dipendono dacome sono realizzate le connessioni, ma solo da qualiterminali sono collegati tra loro.



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• Si osservi che, attraverso opportune trasformazioni, saràsempre possibile ricondurre multipoli e multiporte adinterconnessioni più o meno complesse di bipoli.

• Per semplicità espositiva, e senza scapito di generalità, inquesta parte del corso si farà riferimento unicamente a retielettriche costituite da un'interconnessione comunquecomplessa di componenti circuitali bipolari.



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• Per le reti elettriche si possono definire i seguenti elementitopologici fondamentali:— nodo, il punto della rete dove si interconnetto i terminali dei

componenti (un terminale isolato è un caso degenere di nodo);

— lato, o ramo, il tratto di circuito che unisce due nodi (un lato cheunisce un nodo degenere si dice appeso, un lato che ha originee termina nello stesso nodo si dice cappio);

— maglia, è un percorso chiuso formato da lati consecutivi nei cuinodi non incidono più di due lati.

nodo degenere nodo

è un unico nodo “improprio”

nodo in senso “stretto”

Elementi topologici fondamentali … i nodiLe reti elettriche


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— maglia, è un percorso chiuso formato da lati consecutivi nei cuinodi non incidono più di due lati.

lato appeso

lati in parallelo lati in serie

cappio

lato della rete

Elementi topologici fondamentali … i latiLe reti elettriche


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— maglia, è un percorso chiuso formato da lati consecutivi nei cuinodi non incidono più di due lati della maglia.

maglia “impropria” maglia “impropria”

maglia della rete

Elementi topologici fondamentali … le maglieLe reti elettriche


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• Operazione prioritaria ad ogni elaborazione (e.g., soluzio-ne) di un rete elettrica è l'individuazione (i.e., numerazione)degli elementi topologici essenziali (i.e., nodi e lati) dellastessa, e la scelta dei versi di riferimento positivi per le ten-sioni e le correnti di lato.

Elementi topologici fondamentali … l'individuazionedei nodi e dei lati

Le reti elettriche


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• Operazione prioritaria ad ogni elaborazione (e.g., soluzio-ne) di un rete elettrica è l'individuazione (i.e., numerazione)degli elementi topologici essenziali (i.e., nodi e lati) dellastessa, e la scelta dei versi di riferimento positivi per le ten-sioni e le correnti di lato.

Si inizia numerando progressivamente i nodi della rete a partiredallo zero (che sarà il nodo di riferimento per i potenziali). Sinumerano progressivamente i lati della rete e per ciascun lato sisceglie arbitrariamente il verso di riferimento positivo della corren-te, convenendo di convenzionare tutti i bipoli come utilizzatori.

i j

+

Iij

Uij

Conv. utilizzatore

Elementi topologici fondamentali … l'individuazionedei nodi e dei lati

Le reti elettriche

2

3 6 8

4

1

5

7


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Il metodo generale di analisi

Leggi di Kirchhoff∑k I k =0 (div J⃗ =0)

∑k U k =0 (rot E⃗ =0)

I1 I2

I5I4

I3

U1

U3U2 U4

(1824 - 1887)


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2

3 6 8

4

1

5

7

Leggi di Kirchhoff … conseguenze della

• In condizioni stazionarie il campo di corrente è solenoidale, equindi, in considerazione di una generica superficie chiusa S,il flusso di J è identicamente nullo, e cioè

∯SJ⋅n̂ds=+I 12− I 23− I 24− I 20=0

n

S

∇⋅J=0Il metodo generale di analisi


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• In condizioni stazionarie il campo di corrente è solenoidale, equindi, in considerazione di una generica superficie chiusa S,il flusso di J è identicamente nullo, e cioè

∯SJ⋅nds=I 12− I 23− I 26− I 27=0

n

La densità di corrente diconduzione è diversa dazero solo nelle aree diintersezione fra la superficieS ed il circuito. In questearee il flusso di J coincidecon la corrispondente cor-rente di lato, a cui si attribui-rà segno positivo (o negati-vo) se il verso di riferimentopositivo della corrente èconcorde (o discorde) con ilversore della normale allasuperficie.

S

Leggi di Kirchhoff … conseguenze della ∇⋅J=0Il metodo generale di analisi


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• In condizioni stazionarie il campo elettrico è irrotazionale, equindi, in considerazione di una generica linea chiusa Γ, lacircuitazione di E è identicamente nulla, e cioè

∮E⋅t dl=−U 20−U 04U 24=−V 2−V 0−V 0−V 4V 2−V 4=0

t

∇×E=0Leggi di Kirchhoff … conseguenze dellaIl metodo generale di analisi

2

3 6 8

4

1

5

7


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2

3 6 8

4

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5

7

• In condizioni stazionarie il campo elettrico è irrotazionale, equindi, in considerazione di una generica linea chiusa Γ, lacircuitazione di E è identicamente nulla, e cioè

∮E⋅t dl=−U 20−U 04U 24=−V 2−V 0−V 0−V 4V 2−V 4=0

L'integrale del campo elettricolungo una linea chiusa Γ è parialla somma algebrica delle d.d.p.che esistono tra le successivecoppie di punti appartenenti allarete. Tra questi punti la d.d.p.coincide con le corrispondentitensioni di lato, ed a cui si attri-buirà segno positivo (o negativo)se il verso di riferimento positivodella tensione è concorde (o dis-corde) con il verso di percorren-za della linea (stabilito da ).

t

t

∇×E=0Leggi di Kirchhoff … conseguenze dellaIl metodo generale di analisi


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Passiamo ora all'enunciazione delle leggi di Kirchhoff, che sonoi principi fondanti della teoria delle reti a parametri concentrati.Dedotte originariamente da evidenze sperimentali hanno poitrovato, come abbiamo dimostrato, ampia ed esauriente giustifi-cazione nelle equazioni di Maxwell ( e ).

Le leggi di Kirchhoff impongono legami lineari fra le correnti di lato e le tensioni di lato

e valgono

per ogn i re te e le t t r i ca a pa ramet r i concen t ra t iindipendentemente dalla natura e dal comportamento deglielementi che la compongono.

∇ J=0 ∇×E=0

Leggi di Kirchhoff … i fondamentiIl metodo generale di analisi


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• Legge di Kirchhoff per le correnti (LKC): in ogni reteelettrica a parametri concentrati e per ogni istante di tempo lasomma algebrica di tutte le correnti dei lati che concorrono inun qualsiasi nodo è identicamente nulla, cioè

è una conseguenza diretta della

per scrivere correttamente la somma algebrica, e senzascapito di generalità, si possono assumere positive le correntiche convergono in un qualsiasi nodo e negative quelle cheda esso dipartono.

• In altri termini, la LKC può anche essere enunciata comesegue: la somma delle correnti entranti in un qualsiasi nodo èuguale alla somma delle correnti da esso uscenti.

∑kI k=0 ∇ J=0

Leggi di Kirchhoff … la LKCIl metodo generale di analisi


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• Legge di Kirchhoff per le correnti (LKC): senza scapito digeneralità, conveniamo di assumere positive le correnti checonvergono nei nodi e negative quelle che da essi dipartono

— e.g., per in nodo 2 si avrà I 12− I 20− I 24− I 23=0

Leggi di Kirchhoff … la LKCIl metodo generale di analisi


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• Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT): in ogni reteelettrica a parametri concentrati e per ogni istante di tempo lasomma algebrica di tutte le tensioni dei lati che compongonouna qualsiasi maglia è identicamente nulla, cioè

è una conseguenza diretta della

per scrivere correttamente la somma algebrica, e senza sca-pito di generalità, si possono assumere positive le tensionicon le frecce concordi con il verso positivo di percorrenzadella maglia (scelto arbitrariamente quello orario o antiorario).

• In altri termini, la LKC può anche essere enunciata comesegue: la somma algebriche delle f.e.m. è uguale alla sommadelle cadute di tensioni di tutti i lati della maglia.

∑kU k=0 ∇×E=0

Leggi di Kirchhoff … la LKTIl metodo generale di analisi


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3 6 8

4

1

5

7

• Legge di Kirchhoff per le tensioni (LKT): convenendo diassumere positive le tensioni di lato le cui frecce sonoconcordi con il verso di percorrenza e negative le altre si ha

— e.g., per la maglia 1 si avrà −U 20−U 04U 24=0

2

Leggi di Kirchhoff … la LKTIl metodo generale di analisi

+


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• Teorema di Tellegen: è una conseguenza diretta delle leggidi Kirchhoff e rappresenta il bilancio energetico delle retielettriche

La natura topologica delle equazioni di Kirchhoff comportache per un dato circuito, preso un qualsiasi vettore di tensionidi lato [Uk'], che soddisfi le LKT per quel circuito, ed unvettore di correnti di lato [Ik''], che soddisfi le LKC per unsecondo circuito topologicamente identico al primo, alloravale la seguente relazione (potenze virtuali)

∑kU k I k=U 1 I 1+U 2 I 2+...+U k I k=P1+P2+...+Pk=0

[U ' ][ I ' ' ]T=∑kU k ' I k ' '=U 1 ' I 1 ' '+U 2 ' I 2 ' '+...+U k ' I k ' '=0

Teorema di TellegenIl metodo generale di analisi


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• L'analisi di una rete elettrica consiste nella determinazionedelle correnti e delle tensioni di tutti i lati della rete,assumendo note le relazioni costitutive dei bipoli (equazionitipologiche) e la struttura delle loro interconnessioni, in basealla quale possono essere correttamente scritte le equazionidi Kirchhoff (equazione topologiche).

• Se l sono i lati della rete, 2l sono le incognite da determinare(i.e., le l tensioni di lato e le l correnti di lato), poiché l sono lerelazioni costitutive dei lati della rete (che sono fra loroindipendenti, equazioni tipologiche), l saranno le equazionitopologiche linearmente indipendenti che dovranno esserescritte applicando le due leggi di Kirchhoff.

Analisi delle reti … l'equazioni tipologiche e quelletopologiche



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Analisi delle reti … operazioni prioritarieIl metodo generale di analisi

n=3 l=5 conv. utilizzatore

• Da un punto di vista operativo, per effettuare l'analisi dellagenerica rete in figura occorre:

1) in via prioritaria, individuare e numerare tutti i nodi e tutti ilati della stessa, nonché scegliere arbitrariamente i versidi riferimento positivi per le tensioni e le correnti di lato

Individuare e numeraretutti i nodi (n = 3)

Individuare e numeraretutti i lati (l = 5)

F i s s a r e iversi di rife-rimento po-sitivi.

i j

+

Iij

Uij

Versi coordinati.

3

421 5


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Analisi delle reti … operazioni prioritarieIl metodo generale di analisi


• Da un punto di vista operativo, per effettuare l'analisi dellagenerica rete in figura occorre:

1) in via prioritaria, individuare e numerare tutti i nodi e tutti ilati della stessa, nonché scegliere arbitrariamente i versidi riferimento positivi per le tensioni e le correnti di lato

Individuare e numeraretutti i nodi (n = 3)

Individuare e numeraretutti i lati (l = 5)

F i s s a r e iversi di rife-rimento po-sitivi.

i j

+

Iij

Uij

Versi coordinati.

3

421 5

Si consiglia di iniziare la numera-zione dei nodi dallo 0, e di assume-re quest'ultimo come riferimentoper i potenziali (V0 = 0 ).


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Analisi delle reti … equazioni tipologiche basate sullerelazioni costitutive dei lati


Lato 1 f 1(U 10,1 , I 10,1)=0Lato 2 f 2(U 10,2 , I 10,2)=0Lato 3 f 3(U 21 , I 21)=0Lato 4 f 4(U 20,4 , I 20,4)=0Lato 5 f 5(U 20,5 , I 20,5)=0


2) successivamente, si possono scrivere le l = 5 equa-zioni tipologiche basate sulle relazioni costitutive dei latiche la compongono, che in forma implicita sono espri-mibili come (si osservi che nulla vieta di esplicitarle orispetto alla tensione o rispetto alla corrente di lato)


3

421 5


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3) quindi, imponendo l'equilibrio delle correnti (LKC) inciascun nodo della rete, si può dimostrare che è possibilescrivere al più p = n – 1 equazioni linearmente indi-pendenti, e cioè, con riferimento alla rete in figura, p = 2 equazioni

Analisi delle reti … equazioni topologiche basate sullaLKC


Nodo 1 − I 10,1− I 10,2+ I 21=0Nodo 2 − I 21− I 20,4− I 20,5=0

p=n−1=3−1=2

Nodo 0 + I 10,1+ I 10,2+ I 20,4+ I 20,5=0

La terza ed ultima equazione (No-do 0) non è indipendente, si ottieneinfatti sottraendo la seconda dallaprima premoltiplicata per -1 .

3

421 5


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4) infine, imponendo l'equilibrio delle tensioni (LKT) inciascuna maglia della rete, affinché il sistema di ordine 2l ammetta un'unica soluzione, si devono scrivere m = l – p equazioni linearmente indipendenti, e cioè, con riferimen-to alla rete in figura, m = 3 equazioni

Mag. 1(l1l2) Mag. 2(l2l3l4) Mag. 3(l4l5)

Mag. 4(l1l3l4) Mag. 5(l1l3l5) Mag. 6(l2l3l5)

Analisi delle reti … equazioni topologiche basate sullaLKT


−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0−U 20,4+U 20,5=0

m=l− p=5−(3−1)=3+

+U 10,1−U 21+U 20,4=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0

3

421 5


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3

421 5






m=l− p=5−(3−1)=3+

+U 10,1−U 21+U 20,4=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0

−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0−U 20,4+U 20,5=0

Si osservi che m rappresenta, non solo il nume-ro delle equazioni che bisogna scrivere percompletare il sistema risolvente, ma anche ilnumero massimo di equazioni linearmente in-dipendenti che si possono scrivere imponendol'equilibrio delle tensioni alle maglie della rete.Conseguentemente, rappresenta anche ilnumero massimo di maglie indipendenti che sipossono individuare nella rete assegnata.


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3

421 5

−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0−U 20,4+U 20,5=0






m=l− p=5−(3−1)=3+

+U 10,1−U 21+U 20,4=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0

Si osservi che m rappresenta, non solo il nume-ro delle equazioni che bisogna scrivere percompletare il sistema risolvente, ma anche ilnumero massimo di equazioni linearmente in-dipendenti che si possono scrivere imponendol'equilibrio delle tensioni nelle maglie della rete.Conseguentemente, rappresenta anche ilnumero massimo di maglie indipendenti che sipossono individuare nella rete assegnata.

Per scegliere fra tutte le possibili maglie della rete le m maglie indipendenti si può procedere osservando cheuna maglia è indipendente rispetto a quelle già in-dividuate se ha almeno un lato non in comune conle altre (poiché impone una condizione che coinvolgeuna variabile non ancora vincolata, i.e. la tensione dellato non in comune). Per contro, se consideriamo unamaglia i cui lati appartengono tutti a maglie già definitein precedenza, l'equazione di equilibrio delle tensioni dilato coinvolgerà variabili già vincolate, e l'equazionerisultante sarà quindi esprimibile come combinazionelineare della altre (i.e., non è indipendente).


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3

421 5






m=l− p=5−(3−1)=3+

A titolo di esempio, si consi-derino le maglie 1 e 2 (chesono fra loro indipendentiavendo i lati 1, 3 e 4 non incomune) e la maglia 4. Ques-t'ultima, rispetto alle maglie 1 e 2, non è indipendente, in-fatti tutti i suoi lati apparten-gono alle maglie 1 e 2.−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0

−U 10,1−U 21+U 20,4=0

−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0−U 20,4+U 20,5=0

−U 10,1−U 21+U 20,4=0−U 10,1−U 21+U 20,5=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0


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m=l− p=5−(3−1)=3+

−U 10,1−U 21+U 20,4=0−U 10,1−U 21+U 20,5=0−U 10,2−U 21+U 20,5=0

Pertanto, le maglie 1, 2 e 3,che sono fra loro indipenden-ti, costituisco uno dei possibiliinsiemi di m maglie indipen-denti della rete. Si osserviche questo insieme non èunico, infatti, ad esempio,anche le maglie 4, 5 e 6costituiscono un possibilegruppo di m maglie indipen-denti. Non lo sono invece lemaglie 1, 2 e 4 (come peraltro già dimostrato).

−U 10,1+U 10,2=0−U 10,2−U 21+U 20,4=0−U 20,4+U 20,5=0


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Analisi delle reti … l'applicazione del metodoIl metodo generale di analisi

• Esempio. Risolvere la rete in figura verificare il bilancio dellepotenze (i.e., il teorema di Tellegen).

Occorre in via prioritaria individuare i nodi ed i lati della rete, nonchéfissare i versi di riferimento positivi per le tensioni e le correnti di lato.

Dati: E1=10 V E2=20 V E3=15 V R1=R 4=R 5=10 Ω R2=R 3=20 Ω R6=30 Ω


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…

La rete assegnata ha n = 3 nodi e l = 5 lati. L'analisi delle reterichiede quindi la soluzione di un sistema di 2l = 10 equazioni dateda: l = 5 equazioni costitutive, p = n–1 = 2 equazioni di equilibrio dellecorrenti ai nodi (ottenute applicando la LKC) e m = l–p = 3 equazionidi equilibrio delle tensione di maglia (ottenute applicando la LKT).

(con i>j)

Si sono assunti versidi riferimento coordi-nati applicando laconvenzione dell'uti-lizzatore.

i j

+

Iij

Uij


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…

Equazioni costitutive dei lati (l = 5)

Risolti preliminarmen-te gli eventuali colle-gamenti serie o paral-lelo dei bipoli resistivi,le relazione costituti-ve dei lati si ottengo-no applicando la leg-ge di Ohm o la leggedi Ohm generalizzata.

Lato 1 U 10, R1=(R1+R2) I 10, R1

+E1

Lato 2 U 10, R3=R3 I 10, R3

Lato 3 U 21=R4 I 21+E 2

Lato 4 U 20, R5=R5 I 20, R5

Lato 5 U 20, R6=R6 I 20, R6

−E3


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…

Equazioni di equilibrio delle correnti (LKC) (p = n–1 = 2)

Applicando la LKC atutti i nodi della retefatta esclusione diquello assunto comer i f e r i m e n t o p e r ipotenziali (i.e., il nodo0) si ottengono dueequazioni di equilibriofra loro indipendenti.

Nodo 1 − I 10, R1−I 10, R3

+ I 21=0

Nodo 2 − I 21− I 20, R5− I 20, R6

=0


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…

Equazioni di equilibrio delle tensioni (LKT) (m = l–p = 3)

Individuate le maglieindipendenti della retee fissato un verso po-sitivo di percorrenzaper le stesse, appli-cando la LKT alle siottengono tre equa-zioni di equilibrio fraloro indipendenti.

Maglia 1 −U 10, R1+U 10, R3

=0

Maglia 2 −U 10, R3−U 21+U 20, R5

=0

Maglia 3 −U 20, R5+U 20, R6

=0


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… il sistema lineare risolvente la rete risulta pertanto così definito

U 10, R1=(R1+R2) I 10, R1

+E1

U 10, R3=R3 I 10, R3

U 21=R4 I 21+E2

U 20, R5=R5 I 20, R5

U 20, R6=R6 I 20, R6

−E3

− I 10, R1− I 10, R3

+I 21=0− I 21− I 20, R5

− I 20, R6=0

−U 10, R1+U 10, R3

=0

−U 10, R3−U 21+U 20, R5

=0

−U 20, R5+U 20, R6

=0

− I 10, R1− I 10, R3

+I 21=0− I 21− I 20, R5

− I 20, R6=0

−[(R1+R2) I 10, R1+E1]+R3 I 10, R3

=0

−R3 I 10, R3−(R4 I 21+E 2)+R5 I 20, R5

=0

−R5 I 20, R5+R6 I 20, R6

−E3=0

− I 10, R1− I 10, R3

+I 21=0− I 21− I 20, R5

− I 20, R6=0

−(R1+R2) I 10, R1+R3 I 10, R3

=+E1

−R3 I 10, R3−R4 I 21+R5 I 20, R5

=+E2

−R5 I 20, R5+R6 I 20, R6

=+E3


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… che può essere vantaggiosamente riscritto in forma matriciale

e numericamente si ha

[ −1 −1 +1 0 00 0 −1 −1 −1

−(R1+R2) R3 0 0 00 −R3 −R4 +R5 00 0 0 −R5 +R6

]⋅[I 10, R1

I 10, R3

I 21

I 20, R5

I 20, R6

]=[00

+E1

+E2

+E3

][I 10, R1

I 10, R3

I 21

I 20, R5

I 20, R6

]=[ −1 −1 +1 0 00 0 −1 −1 −1

−30 20 0 0 00 −20 −10 +10 00 0 0 −10 +30

]−1

⋅[ 00

+10+20+15

]=[−0.5762712−0.3644068−0.9406780+0.3305085+0.6101695

] A


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…

Verifica del teorema di Tellegen

U 10, R1=(R1+R2) I 10, R1

+E1=30⋅(−0.5762712)+10=−7.288136 V

U 10, R3=R3 I 10, R3

=20⋅(−0.3644068)=−7.288136 V

U 21=R4 I 21+E 2=10⋅(−0.9406780)+20=10.59322 VU 20, R5

=R5 I 20, R5=10⋅(+0.3305085)=3.3050850 V

U 20, R6=R6 I 20, R6

−E3=30⋅(+0.6101695)−15=3.305085 V

∑ U I=U 10, R1I 10, R1

+U 10, R3I 10, R3

+U 21 I 21+U 20, R5I 20, R5

+U 20, R6I 20, R6

= =4.1999428+2.6558463−9.9648090+1.09235868+2.0166620= =0 W

∑ P g=∑ Pd ovvero ∑ E I=∑ R I 2

∑ E I =−E1 I 10, R1−E2 I 21+E3 I 20, R6

=33.728814 W

∑ R I 2=(R1+R2) I 10, R1

2 +R3 I 10, R3

2 +R4 I 212 +R5 I 20, R5

2 +R6 I 20, R6

2 =33.728815 W

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