Elettrotecnica - unibo.it...5. Regime sinusoidale Elettrotecnica Corso del CdLin Ingegneria Informatica Anno Accademico 2019/2020 Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica

5. Regime sinusoidale

ElettrotecnicaCorso del CdL in Ingegneria InformaticaAnno Accademico 2019/2020

Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

B

J

2

Regime SinusoidaleGrandezza sinusoidaleSi definisce come grandezza sinusoidale nel tempo quanto segue:

a(t) = A cos(wt + q)dove:

A ampiezza – massimo di a(t), reale posi<vo

w frequenza radiale [s-1] – reale posi<voq fase [1]

T = 2p/w periodo [s]f = 1/T = w/(2p) frequenza naturale [Hz]

Ae = 1T ∫t

t+T A2cos2(wt+q)dt = A2

= 0,707 A

-θ/ω

A

t

T=2π/ω=1/f

) t ( cos A 2 ) t ( cosA a(t)qw

qw+=

+=

e

valore efficace o valore rms.


3

Regime Sinusoidaliin sistemi isofrequenzialiIn un sistema isofrequienziale due grandez-ze sono alla stessa frequenza:

a(t) = Acos(wt + qa)b(t) = Bcos(wt + qb)

In un sistema isofrequenziale la frequenza è la stessa e nota per le grandezze sinusoidali del sistema. Le grandezze sono individuate da due numeri reali: ampiezza e fase. a(t) e b(t) sono individuate dalle ampiezze A e B,e dalle fasi qa e qb. Lo sfasamento di b(t) rispeHo a(t) è dato da:

j = qa – qb

a(t) = A cos wtb(t) = B cos(wt - j)

a(t) è in anticipo su b(t) dell’angolo di sfasamento j

t

j/ω = (θa- θb) /ω

b(t)

a(t)

0

a(t) = A cos wtb(t) = B cos(wt - j)

j = – qb

In un circuito isolatosi si definisce lo zero dei tempi per il sistema di riferi-mento ponendo per una grandezza la fase nulla. Ponendo qa = 0, a(t) e b(t)divengono:

4

t

a(t)

b(t)

j = ±π → a(t) e b(t)in opposizione di fase

t

a(t)

b(t)

j = 0 → a(t) e b(t)in fase

Regime Sinusoidaliin sistemi isofrequenziali

a(t) = A cos wtb(t) = B cos(wt – j)

j = 0 → a(t) e b(t) sono in fase;j > 0 → a(t) é in anticipo rispetto a b(t) di un angolo j;j < 0 → a(t) é in ritardo rispetto a b(t) di un angolo j.Se j = ±p, a(t) e b(t) sono in opposizione di faseSe j = ±p/2, a(t) e b(t) sono in quadratura.

t

a(t)b(t)

j = ±π /2 → a(t) e b(t)in quadratura

5

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriPer l’identitèà di Eulero si ha: eja = casa + j sina

Per cui: A ej(wt + q) = A cos(wt + q) + j Asin(wt + q) a(t) = A cos(wt + q) = Re[A ej(wt + q)] = Re[A ejwt]

dove: A = A ejq = A cosq + j Asinq fasore di a(t) = Acos(wt + q)

)t( θω +

AM

t ℑm

ℜe

a(t)

A


6

C'è una corrispondenza biunivoca (sarà dimostrato) tra

sinusoidi alla stessa frequenza e fasori.


Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasori

a(t) = A cos(wt + q) = Re[A ej(wt + q)] = Re[A ejwt]

dove: A = A ejq = A cosq + j A sinq = A q

con A fasore di a(t) = Acos(wt + q) grandezza che varia sinusoidalmen-te nel tempo (corrente o tensione) passando dalla rappresentazione della grandezza sinusoidale nel dominio del tempo al fasore definito nel dominio della frequenza.

)t( qw +

A

t Ám

Âe

a(t)

(w t + q’) Rea(t)

Aej(wt+q) =Acos(wt+q)+j Asin(wt+q)

7

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriRappresentazione nel piano complesso

a(t) = A cos(wt + q) = Re[A ej(wt + q)] = Re[A ejwt]

dove: A = A ejq = A q = = A cosq + j A sinq = = a + jb

Si ha quindi: a = A cosq; b = A sinqA = a2 + b2

q = tan-1 ba con a > 0

Re

Aθ

a

qjeA A =!


Im

8

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriSi considerano le seguenti grandezze sinusoidali di un sistema isofrequienziale:


Il lemma di unicità della trasformata di Steinmetz afferma che:Due grandezze sinusoidali alla stessa frequenza sono uguali se e solo se sono uguali i due fasori che le rappresentano.

a(t) = b(t) A = BAffinchè sia verificata l’uguaglianza a(t) = b(t) deve essere Re[A] = Re[B] eIm[A] = Im[B] cioè deve essere A = B.

a(t) = b(t) Re[Aejwt] = Re[Bejwt] Re[A(coswt+ jsenwt)]=Re[B(coswt+ jsenwt)]Re[A coswt ] + Re[ jA senwt)] = Re[B coswt ] + Re[ j B senwt)]coswtRe[A] - senwt Im[A] = coswtRe[B] - senwt Im[B]

a(t) = b(t) R[A] = Re[B] e Im[A] = Im[B] A = B

A = a + jb and jA = ja – bRe[jA] = - Im[A]

9

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriSi considerano le seguen< grandezze sinusoidali di un sistema isofrequienziale:


Il lemma di linearità della trasformata di Steinmetz afferma che:La combinazione lineare, con coefficienD reali e costanD nel tempo, di due grandezze sinusoidali isofrequenzali sono rappresentate da stessa combinazione lineare (stessi coefficienD) dei due fasori che rappresentano le grandezze.

c1a(t) + c2b(t) c1A + c2B

Ciò è derivato da:

c1a(t) + c2b(t) = c1Re[Aejwt] + c2Re[Bejwt] = Re[(c1A + c2B)ejwt]


10

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriSi consideri la seguente grandezze sinusoidale:

a(t) = Acos(wt + q) il cui fasore è AIl lemma di derivazione afferma che:La derivata rispetto al tempo di a(t), da(t)/dt è descritta dal fasore jwA. Perciò la derivata seconda è derivata moltiplicando il fasore della derivata prima per jw, la derivata terza moltiplicando il fasore della derivata seconda per jw e così via.

da(t)dt jw A

d2a(t)dt2 - w2 A

d3a(t)dt3 - jw3 A

Ciò è derivato da:da(t)

dt = ddt [Acos(wt + q)] = - wAsin(wt + q) = d

dt Re[jwAejwt]

A = a + jb and jA = ja – bRe[jA] = - Im[A]

11

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriEquazione di elemento circuitale passivov(t) = Vcos(wt + qv) = Re[V ejwt]i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]con fasori: V = V ejqv e I = I ejqi

L’equazione dell’elemento circuitale di figura nel dominio del tempo è:

v(t) = L di(t)dt + 1C ∫−&

t i(t’)dt’ + R i(t)dv(t)

dt = L d2i(t)dt2 + R di(t)

dt + 1C i(t)

Re[jwVejwt] = Re[(jw)2 LIejwt] + Re[jwR Iejwt] + Re[Iejwt/C]

Re[jwVejwt] = Re −w2 LI + jwR I + 1C I ejwt

jwVejwt = −w2 LI + jwR I + 1C I ejwt

jwV = −w2 LI + jwR I + 1C I

•i(t) R

·

L

v(t)C

•

12Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriEquazione di elemento circuitale passivo

V = R + j wL − 1wC I

V = Z I o anche Ve = Z Ie

dove Ve = Ve ejqv e Ie = Ie ejqi sono i fasorirela<vi ai valori efficaci.

V ed I ed anche Ve e Ie si riferiscono a grandezze sinusoidali e perciò sono dei fasori. Z è un numero complesso definito impedenza.

Impedenza [W]: Z = R + j wL − 1wC e Y = 1

Z ammeIenza [S]

Z = R + j X con R resistenza e X reaIanza

X = wL − 1wC = XL + XC con XL = wL e XC = − 1

wC

•i(t) R

·

L

v(t)C

•

13

•i(t) R

·

L

v(t)C

•

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriEquazione di elemento circuitale passivov(t) = Vcos(wt + qv) = Re[V ejwt]i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]con fasori V = Vejqv e I = I ejqi = I e-jj

V = Z I dove Z = R + j X = Z ejqz

con Z = R2+X2; qz= j = tan-1 XR

I = VZ = VZ ej(qv-qz) = I ej(qV – j) ove j = qv – qi

con I = VZ = VR2+X2 = V

R2+ wL − 1wC

2

e con qi = qv - qz = qv - j = qv – tan-1 XR

Re

Im

I!V!

qz

qi =qv–qz= = qv–j

14

•i(t) R

·

L

v(t)C

•

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiTrasformata di Steinmetz: sinusoidi e fasoriEquazione di elemento circuitale passivov(t) = Vcos(wt) = Re[V ejwt]i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]con fasori V = V e I = I ejqi = I e-jj

V = Z I dove Z = R + j X = Z ejqz

con Z = R2+X2; qz= j = tan-1 XR

I = VZ = VZ ej(qv-qz) = I ejqi = I e-jj ove j = – qi

con I = VZ = VR2+X2 = V

R2+ wL − 1wC

2

e con qi = - qz = - j = – tan-1 XR

Re

Im

I!

V!qz

qi = qv-qz = – j

15

Re

Im I! V!

•

•

R

I!V!

t

v(t)

i(t)

v(t) e i(t) in fase

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiEquazione del resistore: Z = Rv(t) = Vcos(wt) = Re[V ejwt]i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]

V = V e I = I ejqi = I e-jj

V = Z I dove Z = Z ejqz = Rcon Z = R2+X2 = R; qz= tan-1 X

R = 0

I = VR e-jj = VRi(t) = I cos(wt – j) = VR cos(wt)


v(t) = Ri(t) ⇔ V = RI

16

Re

Im

I!

V!

•

•

L

I!V!

i(t) e v(t) sono in quadraturai(t) è in ritardo su v(t) di π/2

t

v(t)

i(t)

Regime Sinusoidali in sistemi isofrquenzialiEquazione dell’induttore: Z = jwLv(t) = Vcos(wt)i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]


V = Z I dove Z = R + j X = jwLcon Z = X2 = wL; qz= j = tan-1+∞ = p/2

I = VZ = VwL e-jqz = I e-jp/2

i(t) = I cos(wt – j) = VwL cos(wt-p2)


v(t) = L,-,.

⇔ V = ȷ Lω I

17

i(t) e v(t) sono in quadraturai(t) è in anticipo su v(t) di π/2

Regime Sinusoidali in sistemi isofrquenzialiEquazione del condensatore: Z = -j 1

wCv(t) = Vcos(wt)i(t) = Icos(wt + qi) = Re[ I ejwt]


V = Z I dove Z = R + j X = - j 1wC

con Z = X2 = 1wC ; qz= j = tan-1-∞ = -p/2

I = VZ = VwC e-jqz = I e jp/2

i(t) = I cos(wt – j) = VwC cos(wt + p2)


•

•

C

I!V!

Re

ImI!

V!

t

v(t)

i(t)

v(t)= 23∫4&. i(t’)dt′ ⟺ i(t)=C,:,. ⟺ V=- ȷ 2;< I

18

å=k keq Z

1 Z1

!!

å=k

keq Z Z !!

ZY1 =ZΔ1ZΔ2

ZΔ1 + ZΔ2 + ZΔ3

ZΔ1 =ZY1 ZY2 + ZY2 ZY3 + ZY3 ZY1

ZY3

Serie di impedenze

Parallelo di impedenze

ConnessioneStella-triangolo

1Z! 2Z! nZ!

� · ·� ��

·

1Z!

2Z!

nZ!� �

·

·1

3

2ZΔ1

ZΔ2 ZΔ3

ZY1

ZY3ZY2

�

� �

�


Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiElementi circuitali

19

ω0 ω

j

ω0 ω

I (ω)

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiElemento circuitale passivoRisonanzav(t) = V cos(wt + qv) = Re[V ejwt]i(t) = I cos(wt + qi) = Re[ I ejwt]

V = Vejqv e I = I ejqi = I e-jj

V = Z I dove Z = R + j wL− 2wC

e Z = R2 + wL − 2wC ; j = tan-1

wL 4 >wCR

w0 frequenza di risonanza: w0L −1

w0Cw0 = 1

LC

?i(t) R L

v(t)C

?

2

Alla frequenza di risonanza ω0 = 1/ LC la reaHanza indu`va e capaci<va in serie sono uguali in valore assoluto. Quindi la reaHanza totale è nulla. Pertanto:Ø l'impedenza è solo resis<va,Ø l'ampiezza/valore efficace di I(ω0) e Ie(ω0) sono

massimi (mo<vazione del termine "risonanza"). Ø la tensione e la corrente sono in fase.

20

i(t) R

•

L

v(t)C

�� = Z �� = R�� + jXL�� + jXC��

wL = 2wC (w = w0)

XL + XC = 0 → j = 0wL < 2

wC (w < w0 )XL + XC < 0 → j < 0

I!V!

IX j C!

I R !

I!

V!

IX j L!

I!

IX j C!

I R !

IX j L!

V!

IX j C!

IX j L!

I R !

Z capacitiva → �� anticipa ��

Z resistiva→ �� e �� in fase

Z induttiva→ �� in ritardo su ��

Z = R + jX con X = XL + XC

e XL = wL, XC = - 2wC

j = tan-1 X/R → cos j = cos (tan-1 X/R)

wL > 2wC (w > w0)

XL + XC > 0 → j > 0

•

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiElemento circuitale passivo

21

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiElemento circuitale passivoAntirisonanzaV = Vejqv e I = I ejqi = I e-jj

V = Z I dove ZC = - j 1wC ZL = j wL

Z = Z

CZLZC+ZL

= - j L/CwL− 1

wC= jXLC e Z = L/C

wL− 1wC

I(w) = CV L/CwL− 1

wC

w0 freq. di risonanza: w0L −1

w0Cw0 = 1

LC

Alla frequenza di risonanza ω0 = 1/ LC i moduli della reattanza induttiva e capacitiva sono uguali. Perciò l’impedenza totale del parallelo delle due induttanze è infinita e di conseguenza la corrente totale I(w0) è nulla.

ω0 ω

XLC

?L CV!

I!

V! I!?


22

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiElemento circuitale passivoAntirisonanza

Z = Z

CZLZC+ZL

= - j L/CwL− 1

wCe Z = L/C

wL− 1wC

I(w) = CV L/CwL− 1

wC

Alla frequenza di risonanza ω0 = 1/ LC è I(w0) = 0 e dalle LKC ed LKT risulta İL = -İC e VL =VC: l'energia che entra nel condensatore è uguale all’energia uscente dall'induHore. Pertanto risulta:

Ø l'impedenza totale è infinita; Ø la corrente totale che fluisce aHraverso il circuito è nulla;Ø le corren< nell'induHore e nel condensatore sono:

I(w0) = 0 ; İL = -İC = - j CL V

ω0 ω

XLC

?L CV!

I!

V! I!?

23

• Metodo generale di analisi (2r incognite, 2r equazioni con req.i topologiche ed r eq.i degli elementi)

• Metodo di sostituzione delle tensioni (r inc.e, r eq.i)• Analisi nodale (n-1 inc.e, n-1 eq.)• Metodo di sovrapposizione degli effetti• Equivalenza serie–parallelo• Equivalenza stella-triangolo • Circuiti equivalenti di Thévenin e di Norton• Teorema di Tellegen

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenziali- Analisi circuitale -

Metodo di analisi del circuito nel dominio delle frequenze

I metodi di analisi circuitale vis< nel precedente capitol sono validi anche nel dominio delle frequenze con I fasori.


24

Analisi Circuitalenel dominio del tempo

Equazioni integro-differenziali

Trasformata dal dominio di tempo

al dominio di frequenza(trasformata di

Steinmetz)

Equazioni algebriche

Soluzione del problema circuitalecon metodo di analisi

circuitalee

Trasformazioneinversa

dal dominio delle frequenze al dominio

del tempo

)i(v

0v

0i

rr

m r

n r

rf=

=

=

åå

)(

0

0

rr

m r

n r

IV

V

I

!!

!

!

rf=

=

=

åå

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenziali- Analisi circuitale -


Vr = Z r Ir + V0r

25

•

•

i(t)

v(t)

)tcos(I i(t)tcosV v(t)

M

M

j-w=w=

t

v(t)

i(t)

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza elettrica nel regime sinusoidaleLa potenza istantanea è data da:

p(t) = v(t) i(t) Assumendo qv = 0 da cui qi = - j si ha:v(t) = V coswt e i(t) = Icos(wt-j)i(t) = I (coswt cosj + sinwt sinj) =

= I coswt cosj + I sinwt sinj == ia(t) + ir(t)

doveia(t) corrente attiva: ia(t) = I coswt cosj

(componente in fase con la tensione)

ir(t) corrente reattiva: ir(t) = I sin wt sin j(componente in quadratura rispetto alla la tensione)


26

•

•

i(t)

v(t)

)tcos(I i(t)tcosV v(t)

M

M

j-w=w=

t

v(t)

i(t)

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza elettrica nel regime sinusoidale

p(t) = v(t) i(t) == v(t) ia(t) + v(t) ir(t) == pa(t) + pr(t)

La potenza totale istantanea è la somma della potenza attiva istantanea:

pa(t) = v(t) ia(t)e della potenza reattiva istantanea:

pr(t) = v(t) ir(t)


27

t

v(t)ia(t)

pa(t)

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza istantanea attiva

Potenza istantanea attiva:pa(t) = VI cosj cos2wt

pa(t) = v(t) ia(t) = Vcoswt Icoswt cosj == VI cosj cos2wt

La potenza istantanea aKva pa(t) è dovuta alla componente a`va della corrente che è in fase con la tensione. La corrente a`va è quindi dovuta alla componente resis<va dell’elemen-to circuitale. La potenza istantanea aKva è sempre posiDva. Quindi è una potenza che fluisce nell’elemento circuitale ed è dissipato dalla sua componente resis<va. Essa quindi viene u<lizzata dall’elemento circuitale ed, in par<colare ,dalla sua resistenza che cos<tuisce un carico del circuito.


28

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza istantanea reattiva

Potenza istantanea reattiva:pr(t) = D1 2VI sisj sin2w

pr(t) = v(t) ir(t) = Vcoswt Isinwt sinj == D1 2VI sinj sin2wt

La potenza istantanea reattiva pr(t) è dovuta alla componente reattiva della corrente che è in quadratura con la tensione. La corrente reattiva è quindi dovuta alla reattanza dell’ele-mento circuitale. La potenza istantanea reat-tiva media è nulla. Quindi è una potenza che entra nell’elemento circuitale per un quarto di periodo (T/4 = p/(2w)) ed esce per il quarto di periodo successivo. E’ quindi una componente della potenza che non viene utilizzata dal cir-cuito ma viene immagazzinata e poi rilasciata dagli elementi con memoria del circuito.


t

v(t)ir(t)

pr(t)

29

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza attiva

La potenza aKva P è la media della potenza istantanea p(t) in un periodo T = 2π/ω. Essa corrisponde alla media della potenza istantanea a`va in quanto la media della potenza istantanea rea`va è uguale a zero.

P = 1T ∫t0

t0+T p(t’)dt’ = 1T ∫t0

t0+T pa(t’) +pr(t’) dt’ = 1T ∫t0

t0+T pa(t’)dt’ =

= 1T ∫t0

t0+T VI cosj cos2wt′ dt’ =

= 12 VI cosj = Ve Ie cosj

dove Ve e Ie sono i valori efficaci della tensione e della corrente. "cosϕ" è il faIore di potenza. La potenza a`va è la potenza media u<lizzata dal circuito e viene dissipata dai suoi resistori.

Nel sistema di unità SI la potenza a`va è misurata in watt [W].


30

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza reattiva

La potenza reaKva Q è il valore massimo della potenza rea`va istantanea pr(t), con il segno dell’angolo di sfasamento fra tensione e corrente j:

Q = pr(t) Max ? segno(j) = 12 VI sinj = VeIe sinj

Il segno dell’angolo j è dato dal segno del seno dell’angolo. Q è il valore massimo della potenza scambiata dagli elemen< circuitali con memoria nel circuito.

Q può essere posi<vo o nega<vo a seconda del segno di j. Per un carico induKvo Q è posiDvo, per un carico capaciDvo Q è negaDvo.

Nel Sistema SI delle Unità Q è misurato in volt-ampere reattivi [VAR].


31

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza complessaLa potenza complessa N è definita come:

N = 12 V I* = Ve Ie* dove I* è il complesso coniugato del fasore I.

N = Ve Ie* = Ve ejqv Ie e-jqi = Ve Ie ej(qv – qi) = Ve Ie ejj== Ve Ie cosj + j Ve Ie sinj =

= P + jQ

Inoltre, poiché Ve = Z Ie , risulta:

N = Ve Ie* = Z Ie I e* = ZIe2 = (R+jX)Ie

2 == R Ie

2 + j X Ie2 = P + jQ

P = R Ie2 , Q = X Ie

2

I = I ejq = a+jb I* = I e-jq = a-jb


N = 12 VI* = VeIe*

= P + jQ = RIe2 + jXIe

2

P = 12 VI cosj = VeIe cosj =

= 12 R I2 = R Ie2

Q = 12 VIsinj = VeIesinj =

= 12 X I2 = X Ie2

32

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiPotenza apparente

La potenza apparente N è definita come:

N = 12 V I = Ve Ie

Nel sistema di unità SI la potenza attiva è misurata in volt-ampere [VA].

Dalla definizione di P e di N risulta:

P = N cosj od anche N = Pcosj

Poiché P è la componente della potenza utilizzata ed N riporta i volt-ampere che devono essere forniti alla rete dal generatore, le espressioni prodotte mettono in risalto l’importanza del fattore di potenza cosj che deve essere il più vicino possibile all’unità e l’angolo sfasamento j il più ridoto possibile.


33

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiAdditività delle potenze


+-

I!V!

1Z! 2Z!•

•

+-

I!

V!1Z! 2Z!

•

•

Quando due impedenze Z1 e Z2 sono in serie (figura in alto), per la LKT risulta:

Ve = Ve,1 + Ve,2

N = Ve Ie* = (Ve,1 + Ve,2) Ie* == N1 + N2

Quando due impedenze Z1 e Z2 sono in parallelo (figura in basso), per la LKC risulta:

Ie = Ie,1 + Ie,2

N = Ve Ie* = Ve ( Ie,1* + Ie,2*) == N1 + N2

34

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiAdditività delle potenze


·

Rk

Xk

I!

V! +-

•

••

•

•

•

Quindi per un circuito di r elemen< passivi, indipendentemente dal faHo che le impedenze siano collegate in serie od in parallelo, o siano presen< entrambi i collegamen< (come in figura), la potenza totale fornita dal o dai generatori è uguale alla somma delle potenze u<lizzate dai singoli relemen< circuitali passivi:

N = Ve Ie* = ∑k=1r Ve,k Ie,k* = ∑k=1

r Nked anche:

N = P + jQ = ∑k=1r (Pk + jQk) = ∑k=1

r Pk + j ∑k=1r Qk

P = ∑k=1r Pk = ∑k=1

r RkIe,k2 e Q = ∑k=1

r Qk = ∑k=1r XkIe,k

2

35

Regime Sinusoidali in sistemi isofrequenzialiFattore di potenza


Il fattore di potenza cosj, con j = qv – qi , angolo di sfasamento fra tensione e corrente, determina il rapporto fra potenza attiva, componente della potenza utilizzata, e potenza apparente, definita dal prodotto dei valori efficaci di corrente e tensione che devono essere forniti dai generatori.

E’ necessario che il fattore di potenza sia il più possibile vicino all’unità e perciò che l’angolo di sfasamento sia il più piccolo possibile (molte compa-gnie elettriche fanno pagare per il cosj < 0.9 corrispondente a j > 26°)

jjj tan

cos IVsen IV

PQ

==ee

ee÷øö

çèæ=

PQtan cos cos 1-j

jj cos Ncos IVP == ee NP

IVP cos ==ee

j

Þ¯= N I cos V P cos V

P I , eee

e jj

andfixed at fissati P e Ve

36Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica e dell’Informazione «Guglielmo Marconi»


G~ U?

V!

V!

' V!

Rln? ?

?

Riduzione dell'angolo di sfasamentoØ La riduzione della corrente viene rido7a porta alla riduzione della potenza

dissipata lungo la linea (PL = 2Rln I2).Ø Si richiede una tensione che non varia lungo la rete. Poiché é VG = V+2RlnI,

al fine di ridurre la caduta di tensione tensione lungo la linea, 2RlnI si deve ridurre il più possibile la corrente.

Ø Inoltre i volt-ampere, energia apparente che deve essere generata dal generatore, diminuisce con la diminuzione della corrente.

37


Correzione dell'angolo di sfasamentoLa maggior parte dei carichi sono induttivi e funzionano con con un angolo di sfasamento jpositivo (corrente in riardo sulla tensione).

Per ridurre j e portarlo a j' (di solito cosj' = 0,9 e tanj’ = tan cos-1 0,9) si pone un condensatore in parallelo con il circuito dell’utilizzatore. Il condensatore richiede una potenza reattiva negativa che compensa la potenza reattiva positiva dovuta alla reattanza di tipo induttivo dell’utilizzatore:

•

•

C

LI!

V!CI!

I!

U

•

•

CI!

V!

I!LI!

CI!

jj’

dove Q è la potenza reaDva del cir-cuito dell’uFlizzatore da correggere e QC = -ωCVe

2 (IC,e = - ωCVe) è la potenza reaDva dovuta al condensatore,

38


Poiché QC = -ωCVe2 (IC,e = -ωCVe), la capacità

del condensatore C risulta essere:

•

•

C

LI!

V!CI!

I!

U

•

•

CI!

V!

I!LI!

CI!

jj’


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Elettrotecnica Corso del CdL

in Ingegneria Informatica

Alma Mater Studiorum - Università di Bologna


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Elettrotecnica - unibo.it...5. Regime sinusoidale Elettrotecnica Corso del CdLin Ingegneria Informatica Anno Accademico 2019/2020 Dipartimento di Ingegneria dell’Energia Elettrica