Elim

Elemente de inginerie mecanică

8 November 2011 Funcţie didactică Prenume NumeDumitru DASCĂLU 1

© Academia Navală "Mircea cel Bătrân" (ANMB). Orice formă de copiere, stocare, modificareşi/sau transmitere a acestui material fără acordul prealabil şi scris al ANMB este strict interzisă.

http://adl.anmb.roElemente de inginerie mecanicaRitm recomandat de studiu: 2 ore/săptămână

Obiective: Conform programei analitice

Condiţionări: Conform planului de învăţământ

Obiective:

1. Asimilarea şi utilizarea adecvată a notiunilor specifice mecanicii teoretice si teorieimecanismelor;

2. Asimilarea şi aplicarea principiilor mecanicii în practică;

3. Definirea, calculul si utilizarea elementelor de geometria maselor;

4. Utilizarea modelelor si calculelor disciplinei in aplicaţii concrete specifice specializarii;

5. Asigură bazele strict necesare formării deprinderilor inginereşti, legate de terminologiaspecifică, clasificare si functionarea mecanismelor;

6. Asigură formarea deprinderilor de analiză, evaluare şi calcul al mecanismelor.


Cuprins:MODUL I – MECANICA

Cap.I.1 NOTIUNI INTRODUCTIVE1. Noţiuni fundamentale şi principiile mecanicii clasice, obiectul mecanicii, noţiunile

fundamentale ale mecanicii; modele folosite în mecanicã; principiile mecaniciiclasice – 2 ore

Cap. I.2 ELEMENTE DE GEOMETRIA MASELOR

2. Centre de masă - 2 ore

Cap.I.3 STATICA

3. Statica punctului material material liber şi supus la legaturi– 2 ore;

4. Statica solidului rigid, noţiuni fundamentale:

5 Cazuri de reducere a sistemelor de forţe, sisteme particulare de forţe, staticarigidului liber; statica rigidului supus la legãturi fãrã frecare (reazemul simplu,articulaţia, încastrarea, legarea cu fir), frecarea firelor – 2 ore;

Cap.I.4 CINEMATICA

6. Cinematica punctului material: noţiuni fundamentale, sisteme de referinţă– 2 ore;

Elemente de Inginerie Numele complet al cursuluiNumele unităţii de studiu



7. Cinematica punctului material pentru mişcări simple. Elemente de cinematicarigidului - 2 ore

8. Mişcarea plan-paralelã, mişcarea rigidului cu punct fix, mişcarea relativã,compunerea vitezelor în cazul general şi în câteva cazuri particulare, compunereaacceleraţiilor – 2 ore;

MODULUL II – TEORIA MECANISMELOR

9. Aspecte ale proiectarii, mecanismelor si organelor de masini; notiuni fundamentale:element cinematic, cuple cinematice, definitii, clasificari, aplicatii, exemple – 2 ore;

10. Notiuni fundamentale: lant cinematic, mecanisme, definitii, clasificari, aplicatii,exemple – 2 ore;

11. Gradul de libertate al unui lant cinematic, mobilitatea unui mecanism – 2 ore;12. Familia unui mecanism, elemente cinematice, cuple cinematice si grade de

libertate de prisos, cuple cinematice pasive, grupe structurale; - 2 ore;13. Analiza cinematica a mecanismelor, metoda functiei de transfer – 2 ore;14. Mecanisme cu cuple superioare - 2 ore;

Unitatea de învăţare 1 (Notiuni introductive) prezintă elemente de calcul vectorialnecesare fundamentării teoriilor ulterioare, noţiunile fundamentale şi principiile mecaniciiclasice, diviziunile mecanicii, modelele şi metodele folosite în mecanică.

Unitatea de învăţare 2 (Elemente de geometria maselor) prezintă definiţia centrelor demasă ale sistemelor de puncte materiale şi proprietăţile acestora, centrele de masă alecorpurilor elementare şi algoritmul de calcul pentru corpurile compuse. În cea de- a douaparte a unităţii de învăţare, sunt prezentate definiţia, proprităţile şi teoremele care permitcalculul momentelor de inerţie ale corpurilor simple şi compuse.

In cele trei unitati de învăţare din capitolul de Statica, se prezintă reducerea sistemelorde vectori şi condiţiile de echilibru pentru punctul materiale şi sisteme de puncte,materilale si a solidului rigid, în cazul în care acestea sunt libere sau supuse la legături.

Determinarea poziţiei de echilibru.

In cele trei unitati de învăţare din capitolul cinematica defineşte noţiunile cinematiceesenţiale în mecanică: traiectorie, spatiu parcurs, viteza, acceleraţie, pentru cazul generalal miscarii punctului material. Se prezintă distribuţia de viteze şi de acceleraţii în cazulsolidului rigid, apoi caracteristicile mşcărilor particulare ale punctelor materilae şi alesistemelor de puncte materiale. Sunt prezentate noţiunile fundamentale necesarecalculului dinamic al mişcării mecanice, completate cu similitudinea dintre miscarea detranslaţie şi respectiv de rotaţie a unui corp.

Prima unitatea de învăţare din cel de al doilea modul mecanisme, nr. 9, cu titlul,aspecte ale proiectarii, mecanismelor si organelor de masini; notiuni fundamentale:element cinematic; cuple cinematice, definitii, clasificari, aplicatii, exemple, are ca scopprezentarea succinta a etapelor in proiectarea, mecanismelor, masinilor si organelor demasini, precum si introducerea in analiza structurala a mecanismelor prin definireaclasificarea si cu exemplificari ale notiunilor fundamentale de elemente si cuplecinematice. Analiza structurala se continua in unitatea de invatare 10, cu noţiunile de lanţ




cinematic şi mecanisme, notine ce da si titlul modulului. In continuare se studiază înunitatea de invăţare 11, notiunile de grad de libertate a unui lant cinematic, respectivmobilitatea unui mecanism, care se vor folosi in verificarea condiţiilor ca un lanţ cinematicsa functioneze, respectiv un mecanism sa fie desmodrm.

Particularitaţile in aceste evaluări sun prezentate in unitatea de învăţare 12, prinnotiunilor de familia unui mecanism, elemente şi cuple cinematice, respectiv grade delibertate de prisos, grupe structurale.

In unitatea de învăţare 13, cum se enunţă din titlu se ocupa de analiza cinematica amecanismelor, utilizând metoda functiei de transfer, metoda analitică deosebit de generalăsi generoasă în acelaşi timp, cu exemplificari pe mecanisme cunoscute. În unitatea deînvăţare 14, cu titlul ,,Mecanisme cu cuple superioare”, se ocupă de pregătirea studenţilorpentru a înţelege functionrea si casificarea mecanismelor cu roţi dinţate şi calcululgeometriei angrenajelor cilindrice cu dantură dreaptă, precum şi a mecanismelor cu camăprivind funcţionarea, clasificarea lor.


Materialele didactice sunt organizate în 14 unităţi de învăţate pe care studentultrebuie să le parcurgă înainte de întâlnirile de laborator programate. În cadrul sedintelor delaborator, studentul îşi va dezvolta capacitatea de a utiliza modelele de lucru specificedisciplinei si va putea verifica practic elementele teoretice studiate inaintea sedintelor delaborator.

Autorul acestor materiale este Dumitru DASCĂLU ([email protected]). Orele delaborator vor fi susţinute de Dumitru DASCĂLU ([email protected]).

EvaluareEvaluarea activităţii dumneavoastră se realizează pe baza următoarelor criterii:

50% - evaluarea finală (examen/colocviu) 20% - evaluări la seminarii/lucrări de laborator 20% - evaluarea aplicatiilor realizate prin studiu individual; 10% - prezenţa activă la laborator si alte activitati specifice disciplinei.

Bibliografie minimală:

1. RĂDOI M., DECIU E. Mecanica. Ed.Did. şi Pedagogică, Bucureşti, 1981.2. SARIAN M., CARAGHEORGHE E., BOIANGIU D. et al. Probleme de Mecanicã.Ed. Did. şi Pedagogicã, Bucureşti, 1983.3. VOINEA R Mecanica şi rezistenţa materialelor-partea I-a Mecanicã, EdituraAcademiei Navale, Constanţa, 1995.




4. CARP I., PRICOP M., BORDEA V. Mecanică- culegere deprobleme, EdituraAcademiei Navale, Constanţa, 1997.5. DASCALU D. Mecanică pentru ofiterii de marina, Editura PRINTECH, Bucureşti,2004.6 MUNTEAN A. Elemente de mecanică teoretică, Editura Academiei Navale,

Constanþa, 2002.7 CARAGHEORGHE E., BOIANGIU D., VOICULESCU G. Probleme de

mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1975.8 ŢĂPOSU V. Teorie şi problme de mecanică newtoniană, Editura tehnică,

Bucureşti, 1996.9 MUNTEAN A. Culegere de probleme de mecanică, Editura MATRIX ROM,

Bucureşti, 2005.10 MUNTEAN A. Mecanica teoretică. Editura MATRIX ROM, Bucureşti, 2006.11 Chişiu, A. ; ş.a. Organe de maşini. Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981.12 Dascalu, D., Mecanisme şi organe de maşini, vol I, Baze ale studiului

mecanismelor, Ed. Printech, Bucureşti 2006;13 Manolescu N. s.a. Teoria mecanismelor si a maşinilor, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1972.14 Paizi, Gh.; ş.a Organe de maşini şi mecanisme. Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1977.15 Dascălu, D Slămnoiu, G.,., Chioibaş, A., Mecanisme şi Organe de Maşini -

Îndrumar de laborator, Ed. ACADEMIA NAVALĂ MIRCEA CEL BĂTRÂN,CONSTANŢA 2003.

16 Slămnoiu, G., Mecanisme şi Organe de Maşini – Elemente fundamentale dinteoria mecanismelor şi a maşinilor, Vol. 1, Ed. EX PONTO, CONSTANŢA 2003.

A. Bibliografie minimală de studiu pentru studenţi1. DASCALU D. Mecanică pentru ofiterii de marina, Editura PRINTECH,

Bucureşti, 2004.2. VOINEA R Mecanica şi rezistenţa materialelor-partea I-a Mecanicã, Editura

Academiei Navale, Constanţa, 1995.3. RĂDOI M., DECIU E. Mecanică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1981. Muntean A. Culegere de probleme de mecanică, Editura MATRIXROM, Bucureşti, 2005 (capitolele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

4. MUNTEAN A. Mecanica teoretica. Editura MATRIX ROM, Bucureşti, 2006(capitolele 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 14, 15).

2. Dascalu, D., Mecanisme şi organe de maşini, vol I, Baze ale studiuluimecanismelor, Ed. Printech, Bucureşti 2006;




1. Noţiuni introductiveTimp mediu de studiu: 2 oreSarcini de învăţare: Prin parcurgerea acestei unităţi de studiu, studentul va fi capabil să

definească principiile mecanicii clasice si modelele de studiu ale mecanicii clasice utilizeze calculul vectorial şi proprietatile calculului vectorial descrie C

1.1. ELEMENTE GENERALE – SCURT ISTORICApărută din cele mai îndepărtate timpuri, mecanica este o ramură a ştiinţelor

naturii, care studiază una din cele mai simple forme de mişcare a materiei, cunoscută subdenumirea de mişcare mecanică, definită ca modificarea a poziţiei relative a unui corp, sauparte a acestuia, faţă de un alt corp, considerat ca reper (sistem de referinţă).

Baza fenomenelor studiate de mecanică o constituie două noţiuni fundamentale:materia şi mişcarea. Conceptul de materie a avut în timp o evoluţie complexă. Înantichitate, prin materie era considerată numai una din formele sale multiple de existenţă,substanţa.

Această viziune simplistă a fost continuu completată, odată cu noile descoperiri,iar cele mai recente descoperiri în domeniul fizicii nucleare, radioactivităţii arată clar că nuau fost epuizate toate formele de manifestare ale materiei. Caracteristica dominantă aspeciei umane, de depăşire şi autodepăşire a făcut ca problemele cerute de dezvoltareacivilizaţiei umane să fie din ce în ce mai complexe, generând inevitabil, adăugarea de noicapitole disciplinei. Utilizând noi metode de cercetare şi investigaţie, dispunând deaparatul matematic continuu dezvoltat şi perfecţionat, mecanica a devenit o ştiinţăindependentă, capabilă să răspundă celor mai complexe probleme ridicate de tehnicamodernă.

Aprofundarea studiului acestor noi descoperiri, ce sau constituit în domenii aledisciplinei, a făcut ca ulterior din disciplina mecanică să se desprindă ramuri noi cum ar fi:Mecanica relativistă, Mecanica cuantică, Mecanica ondulatorie, Mecanica fluidelor, ca şidiscipline cu pronunţat caracter tehnic - aplicativ cum ar fi: Mecanica mediului continuuelastic, mai bine cunoscut sub denumirea de Rezistenţa materialelor, Macanisme şiOrgane de maşini, Electrotehnica, Mecanica şi construcţia navei şi lista poate continua.

Asemănător a evoluat şi noţiunea de mişcare. În antichitate, bazele cunoştinţelor demecanică au fost puse de Arhitas din Tareut (430–365 î.e.n.), Aristotel (384–322 î.e.n.),dar întemeietorul staticii, prin teoriile sale asupra pârghiilor, asupra unor probleme deechilibru, a compunerii şi descompunerii forţelor paralele, prin definirea centrului degreutate, poate fi considerat Arhimede din Siracuza (287–212 î.e.n.). El stabileşte şi legilede bază ale hidrostaticii. Legat de mişcare, timp de secole, a dominat în ştiinţă concepţiaaristoteliană.

Conform lucrării sale “Mecanica”, Aristotel afirmă că , “un corp care se află înmişcare se opreşte atunci când forţa ce acţionează asupra lui îşi încetează acţiunea”.Limitele acestei teorii, bazate în principal pe observare au fost depăşite de Galileo Galilei,considerat fondatorul dinamicii, fiind învăţatul care a descoperit legea inerţiei, legile căderii




corpurilor, legea oscilaţiilor pendului, legile mişcării corpurilor pe plan înclinat, etc.Înfruntând misticismul, ideile învechite scolastice şi religioase, acesta introduce înmecanică metodele de cercetare ştiinţifică şi experimentale, înlocuind vechiul conceptbazat numai pe observare.

Noua metodă constă în abstractizări ale fenomenului (modelare) şi apoi verificăriexperimentale. Lucrările lui Galileo Galilei au fost continuate şi extinse de o întreagă seriede mari oameni de ştiinţă cum ar fi: E. Torricelli (1608-1647), ucenic al lui G. Galilei, caresa ocupat în mod deosebit de studiul mişcării fluidelor şi presiunii atmosferice; SimonSteve (1548-1650), cu rezultate în compunerea forţelor, a presiunii apei pe pereţii vaselor;Cr. Huigens (1629–1695) elaboratorul teoriei ondulatorii a luminii, cel ce s-a ocupat custudiul pendulului, a ciocnirilor corpurilor elastice, a introdus noţiunile de moment de inerţiemecanic, acceleraţie centripetă, centrifugă, etc; V. Varignon (1654–1722) cunoscut pentrumetodele sale geometrice aplicate în mecanică, prin definirea formelor finale ale relaţiilorlegate de noţiunea de moment şi teorema momentelor. Rezultatele cercetătorilor lui Galileişi a urmaşilor lui au fost valorificate de cel ce este considerat părintele mecanicii clasiceIsaac Newton (1642-1727), matematician, fizician şi astronom englez, care în lucrarea„Philosophiae Naturalis Principia Matematica” (Principiile matematice ale filozofieinaturale”), apărută la 8 mai 1686, a expus în mod sistematic şi unitar noţiunile şi principiilemecanicii alături de teoria gravităţii universale. În sens filozofic, mişcarea, ca şi materia,este veşnică, necreabilă şi absolută, repaosul fiind relativ şi temporar, mişcareaconstituindu-se ca o însusire esenţială a materiei.

Acestor nume ilustre ce au reprezentat etape în dezvoltarea primară a teoriilormecanice mai putem adăuga: Leonardo da Vinci (1452-1519), pictor, savant şi ingineritalian, care printre altele s-a ocupat de studiul frecării, al zborului, a demonstratimposibilitatea existentei mişcării perpetue; astronomul polonez Nicolai Copernic (1473-1543) ce a arătat că planetele au o dublă mişcare; marele Johannes Kepler (1571-1630)astronom german care a stabilit că planetele au o mişcare după traiectorii eliptice stabilindcele tei legi ce le guvernează mişcarea şi care î-i poartă numele.

Teoriile lui Newton au fost preluate şi dezvoltate de mulţi alţi oameni de ştiinţă, dintrecare sau remarcat matematicianul elveţian Leonhard Euler (1707-1783), matematicianulfrancez Louis de Lagrange (1736-1813), Pierce Simon de Laplace (1749-1827), DenisPoisson (1781-1840), matematicianul irlandez William Rowan Hamilton (1805-1865) şi altiicare au adus pană aproape de perfecţiune această ştiinţă.

Conceptele mecanice au fost în continuare dezvoltate de o mulţime de numeconsacrate ale ştiinţei. Astfel fizicianul francez Charles Coulomb (1736-1806) obţinerezultate deosebite în stabilirea expresiei forţelor electrostatice şi magnetice, în studiulfrecării , obţinând legile frecării ce îi poartă numele, fizicianul englez Michael Faraday(1791-1867) cu completarea studiului câmpurilor magnetice şi fenomenele de electroliză.

Continuând rezultatele lui M. Faraday şi modelul creat de el legat de câmpulmagnetic, fizicianul scoţian James Clerk Maxwell (1831-1879) a reuşit să formuleze legilecâmpului electromagnetic. Fizicianul german Heinrich Hertz continuă studiul câmpurilormagnetice, obţinând rezultate deosebite ca şi în studiul vibraţiilor mecanice. Nu putemneglija numele lui Albert Einstein (1879-1955) fizician german care este părintele celei maievoluate teorii, denumită de el teoria relativităţii.

Nu putem trece cu vederea contribuţia în epoca modernă la dezvoltarea mecaniciiteoretice şi aplicate a unor savanţi de origine română ce şi-au căpătat un renume mondial,domeniile cu cele mai mari reuşite fiind în domeniul zborurilor şi deplasării corpurilor înfluide. Lista poate începe cu Herman Oberth, savant născut la Sighişoara ale cărui




contribuţii în domeniul zborurilor cosmice sunt unanim recunoscute. Henri Coandă (1886-1972), inginer, om de ştiinţă, constructor de avioane, pionier al aviaţiei, autor a peste 250de invenţii brevetate, cu aplicaţii în diverse domenii. Este considerat părintele propulsiei cumotoare cu reacţie, pune bazele propulsiei pe verticală a avioanelor, descoperitorul,teoreticianul efectului devierii unui fluid în zona de contact cu un corp sau alt fluid, efect ceîi poartă numele. A desfăşurat o activitate deosebită şi în numeroase alte domenii precum:

- aparate de ochire pentru avioanele militare;- tun de aviaţie fără recul;- înlocuirea metalelor din diverse construcţii;- rezervoare de beton pentru combustibil;- cisterne de beton pentru transportul pe calea ferată;- instalaţie solară pentru desalinizarea apei marine etc.Aurel Vlaicu (1882–1913), a construit unul din primele planoare româneşti, A.

Vlaicu –1909 şi avioane monoplanare. A. Vlaicu Nr. I (1910) şi A. Vlaicu Nr. II (1911) cucare a obţinut performanţe de răsunet la vremea respectivă.

Traian Vuia (1872–1950) – constructor de motoare şi avioane, inventator, pionier alaviaţiei mondiale, eminent om politic. Este primul om din lume care a construit şi a zburatcu un avion mai greu decât aerul, T. Vuia Nr. I, ce a decolat numai cu mijloacele de bord,iar în 1918 realizează două tipuri de elicoptere, prevăzute cu aripi rotative.

Grigore (Gogu) Constantinescu (1881–1965) considerat părintele sonicităţii, (ştiinţatransmiterii energiei prin fluide compresibile), savant de talie mondială unanim recunoscutpentru rezultatele tehnice deosebite ale aplicaţiilor teoriei sale.

Anghel Saligni (1854–1925), inginer constructor, inventator, om de ştiinţă,întemeietorul ingineriei româneşti, pionier al ştiinţei şi tehnicii mondiale, îndeosebi prinsoluţiile noi în proiectarea şi executarea construcţiilor de poduri şi a construcţiilorindustriale (portul Constanţa, silozurile de cereale ale portului Constanţa).

Unul din pionierii proiectării şi utilizării structurilor din construcţii din beton armat,constructorul primelor poduri combinate de şosea şi cale ferată (Adjud – Tg. Ocna),primele poduri metalice cu console fără culee (linia ferată Filiaşi – Tg. Jiu). Cea maiimportantă realizare a sa este conceperea şi proiectarea complexului de poduri pestebraţul Borcea la Feteşti şi peste Dunăre la Cernavodă, cel mai mare din Europa şi altreilea din lume la acea vreme, cu o lungime totală de 4088 m, inaugurat la 14 septembrie1895.

Nu trebuie neglijat efortul făcut de inginerii din ultimele generaţii, ca E. Carafoli, îndomeniul construcţiei de avioane, precum şi domnilor Caius Iacob, Gheorghe Ştefan,Radu Voinea, Dumitru Mangeron, Octave Onicescu, Mihai Sofonea, pentru contribuţiiledomniilor lor în dezvoltarea teoretică a mecanicii, precum şi în formarea şi dezvoltareaşcolii de mecanică din România ultimilor decenii.

Mulţumesc pe această cale profesorilor mei, Petre Sima şi Mihai Tofan de launiversitatea ,,TRANSILVANIA,, DIN BRAŞOV, pentru modul în care m-au ajutat înformarea mea; primul prin uimitoarea simplitate a modului de predare a mecanicii şi aldoilea prin fascinaţia rafinamentului calculului matematic, pentru care păstrez orecunoştinţă unică.




1.2. PRINCIPIILE MECANICII

Deoarece mecanica clasică este o ştiinţă a naturii, în elaborarea teoriilor ei, iniţiatorii,pornind de la realităţi evidente, ce nu puteau fi demonstrate matematic au introdus maimulte principii sau axiome. Acestea reprezintă realităţi ce pot fi evidenţiate experimentaldar nu se pot demonstra şi matematic. Isaac Newton a enunţat pentru prima dată în formăfinală (utilizată şi în prezent ) aceste principiile, pe care le-a denumit axiomele sau legilemişcării.

Axioma I – Principiul inerţiei:Un corp îşi păstrează starea de repaus (nemişcare) sau de mişcare rectilinie şi

uniformă atâta timp cât nu intervin alte forte care să-i modifice această stare. Cele douăstări mecanice, starea de repaus şi de mişcare rectilinie şi uniformă se numesc stăriinerţiale.

Axioma a-II-a – Principiul acţiunii:

Variaţia mişcării este proporţională cu forţa ce produce modificarea, păstrândsensul şi direcţia ei. Cum variaţia vitezei în raport cu timpul este acceleraţia, pe bazaacestui principiu Isaac Newton a stabilit legea fundamentală:

F ma

Aceasta arată că, coeficientul de proporţionalitate între forţă şi variaţia mişcării estemasa corpului m. Prin aceasta Isaac Newton stabilea că variaţia mişcării nu depinde deviteza corpului şi nici de acţiunea simultană a altor forţe, dacă F este o rezultantă.

Axioma a-III-a – Principiul acţiunii şi reacţiunii.Aceasta stabileste că, totdeauna la orice acţiune corespunde o reacţiune egală şi

de sens contrar sau acţiunile reciproce a două puncte materiale sunt totdeauna egale şiîndreptate în sens contrar. În lucrarea sa Newton defineşte ca fiind Corolarul I, un altprincipiu de bază al mecanicii clasice denumit principiul paralelogramului forţelor. Conformacestui principiu, dacă asupra unui punct M acţionează simultan două forţe 1F şi 2F efectullor este acelaşi cu al acţiunii unei singure forţe F , având mărimea şi sensul diagonaleiparalelogramului construit pe cele două forţe .

Pentru a enunţa aceste axiome (legi), Newton a formulat o serie de ipotezesimplificatoare. Astfel prin corp material se înţelege un punct material, iar mişcarea,pentru a putea să fie studiată se raportează la un sistem de referinţă absolut şi imobil. Înaxioma a-II-a masa m este considerată constantă.

a

S = a + b




Denumirile de acţiune şi reacţiune în sensul axiomei a-III-a sunt convenţionaledeoarece este impropriu să se afirme că forţele de acţiune şi reacţiune îşi fac echilibru, eleacţionând asupra a două corpuri diferite.

1.3. MODELELE UTILIZATE ÎN MECANICĂ

Necesitatea de a obţine metode cât mai generale de calcul matematic, capabile săpoată acoperi marea diversitate a fenomenelor din natură a impus realizare unor modelede calcul, capabile să se suprapună cât mai fidel peste evenimentele, determinărileexperimentale verificând rezultatele obţinute prin calcul bazate pe modelul utilizat. Acestnou mod de gândire a apărut odată cu terecerea de la gândirea aristotelică şi scolastică aevului mediu.Depăşirea acestui mod de gândire s-a realizat într-o perioadă foarte lungă detimp, iar fundamentele noului mod de gândire, bazat pe cercetare şi verificareexperimentală au fost puse de Galileo Galilei şi finalizate de Isaac Newton. În lucrarea safundamentală ,,PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA’’, Newtondefineşte primul model al mecanicii, punctul material.

Realizarea modelelor în mecanică a fost impusă de necesitatea de a simplifica şigeneraliza rezultatele teoretice ale studiului mişcării mecanice, întâlnită într-o marediversitate în jurul nostru. Modelele din mecanică conferă o mare generalitate metodelorde studiu. Pe de altă parte, realizarea modelelor permite utilizarea generalizată a unorcalculelor matematice unice pentru un număr foarte mare de aplicaţii. În urma confirmăriirezultatelor obţinute prin calculul matematic de către valorile obţinute experimental sevalidează modelul matematic folosit şi metodica de calcul utilizată. În studiul mişcăriimecanice, punctul material substituie, fie punctele materiale de dimensiuni foarte mici,având formă sferică de raza r foarte mică, neglijabilă, fie corpurile de mari dimensiuni, încazul particular în care toate forţele ce acţionează asupra lui au dreptele suport,concurente într-un punct. Acest punct, (exemplu centrul de greutate) substituie corpulstudiat.

O mulţime de puncte materiale dispuse la distanţe relativ mari, dar careinteracţionează între ele formează un sistem de puncte materiale. Dacă într-un anumitspaţiu delimitat de un domeniu finit, punctele materiale infinit de mici sunt dispuse foarteapropiate între ele, dispuse uniform şi formând diferite structuri cu dispunere uniformă înspaţiu, astfel că detaşând orice volum elementar din orice poziţie din spaţiul dat, numărulde puncte materiale este acelaşi s-au foarte apropiat, acesta constituie continuulmaterial. Cu alte cuvinte, în cadrul sistemelor de puncte materiale, dispunerea lor spaţialăeste discretă, iar în cazul conţinuului de material (corpuri) dispunerea este continuă. Acestmodel se mai defineşte ca mediu continuu sau corp material continuu sau simplu corp.Dacă punctele materiale ale unui corp îşi păstrează poziţia lor relativă şi distanţa dintre eleconstantă, indiferent de sistemul de forţe ce acţionează asupra sa atunci corpul devine unnou model, respectiv corp rigid, sau corp nedeformbil, sau mai simplu rigid.

Aceste modele de studiu se completează în funcţie de posibilităţile de mişcare alepunctului şi rigidului cu două situaţii distincte :

- a) punctul şi rigidul liber ;- b) punctul şi rigidul supus la legărturi.

Un punct este liber dacă poate ocupa orice punct în spaţiu. Orice restricţiegeometrică, constând în imposibilitatea ca punctul să se desprindă de o suprafaţă saucurbă, constituie o legătură mecanică iar punctul este supus la legături. Dacă oarecare treipuncte necoliniare ale unui corp ocupă o poziţie oarecare determintă şi ele pot ocupadependent unul de altul orice poziţie învecinată, atunci corpul este liber. Cu aceste modele




ale mecanicii, se pot rezolva toate problemele de mişcare mecanică de la cele mai simpleşi până la cele mai generale ale punctului material şi/sau rigidului. Pentru a defini mişcareamecanică, definită ca modificarea poziţiei în spaţiu şi timp s-a configurat un model fizicconstănd dintr-un reper considerat fix sau mobil, purtând numele de sistem de referinţă fix(absolut), respectiv unul mobil (relativ).

CAPITOLUL 2– ELEMENTE DE CALCUL VECTORIAL

2.1. ELEMENTE GENERALE

Deoarece, pe parcursul acestui curs, se utilizează în general mărimi vectoriale, cucare este necesar să se efectueze diferite operaţii şi calcule matematice, am considerat

util ca, din multitudinea şi complexitatea aspectelor de calculvectorial dezvoltate la disciplinele de matematică să fiereamintite pe scurt, operaţiile şi proprietăţile ce vor fi utilizate.O mărime scalară, sau scalar este complet determinată prinvaloarea lor numerică. Aceasta, reprezintă un număr pozitivsau negativ urmat de unitatea de măsură, precizând de câteori este cuprinsă unitatea de măsură în mărimea dată.Exemple: distanţa dintre două puncte (4 metri), durata detimp (2 secunde), temperatura (- 5 grade Celsius), etc.

O mărime vectorială r , este definită complet dacă sunt precizate cele treielemente: direcţie, sens şi modul. Direcţia vectorului, reprezintă dreapta suport pe carese află punctul de aplicaţie şi vârful mărimii vectoriale. Luând două puncte pe aceastădreaptă A şi B (fig. 2.1) prin sens se înţelege modul de parcurgere al ei de la A la B sauinvers. Modulul, sau scalarul vectorului r , este un număr real ce reprezintă multiplulunităţii de măsură a mărimii vectoriale studiate.

În sistem de coordonate cartezian un vector se poate descompune după cele treidirecţii ale spaţiului cu ajutorul proiecţiilor sale pecele trei axe. Prin definiţie, numim vector depoziţie a unui punct în raport cu un sistem dereferinţă, vectorul care uneşte originea sistemuluicu punctul dat. Acesta se notează cu r . Pentrusimplificarea scrierii cele trei proiecţii se noteazăuzual cu x, y şi z. În cazul altor vectori, aceste treilitere apar ca indici la litera ce simbolizeazămărimea studiată. Spre exemplu, vectorul :

x y zi j k

Conform figurii 2.2.

x = prox r = r cos

y = proy r = r cos 2.1.

z = proz r = r cos

B

r

A

Fig. 2.1 Exemplude mărimevectorială

z

pr oz r =z

M

γ

k

α O β j prOy r = y

i

prox r = x prOM r

x Fig. 2.2. Proiecţia unui vector rpe axele unui tetraedru regulatdrept




Cosinusurile unghiurilor pe care direcţia vectorului r le face cu axele Ox, Oy şi Ozale sistemului de referinţă, notate uzual cu , , , poartă numele de cosinuşi directori şi sebucură de proprietatea:

2 2 2cos cos cos 1

Vectorul r se scrie cu ajutorul proiecţiilor pe axele sistemului de referinţă curelaţiile:

= cos cos cosr x i y j z k r i r j r k 2.2.

În acest caz modulul vectorului de poziţie r , de proiecţii x, y şi z este dat de relaţia:

r = 222 zyx 2.3.

Condiţia r =0 este îndeplinită dacă şi numai dacă x=y=z=0, adică vectorul sereduce la un punct.

Prin definiţie numim versor, un vector de modul egal cu unitatea. Versorulvectorului r , se notează cu ru şi este dat de relaţia:

rrur == 2 2 2

x i y j z kx y z

2.4.

2.2. POZIŢII PARTICULARE ALE VECTORILOR

Fie doi vectori oarecare:

x y za a i a j a k şi r x i y j z k

Doi sau mai mulţi vectori sunt paraleli dacă, proiecţiile lor pe cele trei axe alesistemului de referinţă sunt proporţionale. Prin această particularitate. Aceşti vectoriformează un fascicol de vectori paraleli. Dacă r a , atunci:

ctz

ay

ax

a zyx . 2.5.

Doi, sau mai mulţi vectori pot fi egali în modul, dacă scalarii vectorilor respectivisun egali. Doi, sau mai mulţi vectori care au aceiaşi direcţie, sens şi modul senumesc echipolenţi. Cu alte cuvinte doi vectori ce au acelaşi modul dacă sunt paraleli şiau acelaşi sens atunci ei sunt echipolenţi. Matematic, condiţia ce se poate scrie este căproiecţiile devin din proporţionale egale:

ax=x; ay=y; az=z; 2.6.2.3. OPERAŢII CU VECTORI.

Operaţiile cu mărimile vectoriale au fost aprofundate în cadrul disciplinelor dematematici, motiv pentru care în continuare se v-a face mai mult o trecere în revistă a lor,evidenţiind numai acele aspecte utilizate în cadrul disciplinei.




2.3.1 Produsul unui vector cu un scalar

v = a rPrin produsul unui vector cu un scalar se obţine tot un vector. Fie vectorul r şi

scalarul a. Vectorul rezultat va avea aceeaşi direcţie cu r , modulul este egal cumodulul lui r amplificat cu scalarul a ( = a r ). Când a este pozitiv vectorii auacelaşi sens, iar dacă a este negativ vectorii au sens contrar.

2.3.2. Adunarea şi scăderea vectorilorPrin adunarea şi scăderea a doi sau mai mulţi vectori se obţin întotdeauna mărimi

vectoriale. Cum s-a studiat şi demonstrat în cadrul cursurilor de matematică, însumareavectorială se poate realiza prin mai multe metode. În continuare sunt prezentate cele maiutilizate metode grafice şi analitice de calcul, utilizate pe parcursul acestei lucrări.

2.3.2.1. Metoda paralelogramului

Se defineşte vectorul sumă S , sau suma a doi vectori mărimea dată de relaţia:

S a b 2.7.

şi vectorul diferenţă D sau diferenţa a doi vectori a şi b mărimea dată de relaţia:

D a b a b 2.8.

Reprezentarea calculului grafic a sumei şi diferenţei a doi vectori obţinute prinutilizarea metodei paralelogramului sunt redate în figura 2.3.

Metoda constă în obţinerea prin translaţii şi paralelism a doi vectori, echipolenţi cei doivectori daţi dar având originea comună. Ducând apoi paralele prin vârfurile celor doi vectori seobţine vectorul sumă, ce reprezintă diagonala mare a paralelogramului anterior obţinut.

Pentru calculul diferenţei, serealizează aceiaşi operaţie, deosebireaconstând în construcţia grafică avectorului a cu vectorul - b , respectândaceiaşi regulă. De această dată rezultăvectorul diferenţă, ce reprezintă diagonalamică a aceluiaşi paralelogram.

2.3.2.2. Metoda triunghiului

Metoda triunghiului, este o metodă simplificată faţă de metoda paralelogramului.Această metodă, porneşte de la observaţia

că laturile paralelogramului sunt congruente, douacâte două. Ca atare diagonala paralelogramuluieste în acelaşi timp cea de a treia latură comuna acelor două triunghiuri la care celelalte două laturisunt vectorii însumaţi. În primul caz, se duce în

D = a - b S = a + b

a

-b b

Fig. 2.3. Metoda paralelogramului

b

a

S b a

O

Fig. 2.4. Metodatriunghiului




vârful vectorului b originea unui vector echipolent cu vectorul a ;

se uneşte originea vectorului b cu vârful vectorului a şi se obţine vectorul sumăS b a . În cel de al doilea caz, ducând în vârful vectorului a un vector echipolent cuvectorul b rezultă aceiaşi sumă S a b . Această dublă egalitate probeazăproprietatea de comutativitate a adunării vectoriale.

2.3.2.3. Metoda poligonală

Metoda poligonală, porneşte de la observaţia că vectorul rezultant obţinut prinmetoda triunghiului uneşte originea primului vector cu vârful celui de al doilea. În cazul atrei vectori, aplicând metoda triunghiului de două ori, rezultă că se va duce în vârful sumeiprimilor doi vectori originea vectorului echipolent cu al treilea vector al adunării. Sumacelor trei vectori , va fi segmentul orientat ce uneşte originea primului vector al sumei cuvârful vectorului echipolent cu cel de al treilea. Putem extinde rezultatul la un sistem de nvectori oarecare în spaţiu, repetând aceiaşi metodă. Vectorul rezultant va uni origineaprimului vector cu vârful vectorului echipolent, corespunzător ultimului vector al sumei. Încazul însumării, utilizând metoda poligonală, a trei sau mai mulţi vectori având direcţiioarecare în spaţiu, vectorul rezultant se obţine astfel. Se porneşte de la primul vector dinsistem, care se alege la întâmplare s-au după o anumită motivaţie. În continuare seaşează succesiv, după o ordine impusă sau aleatoriu aleasă (proprietatea decomutativitate permite alegerea oricărei ordine de adunare a celor n vectori) origineavectorului echipolent celui de al doilea vector, în vârful său originea vectorului echipolentcelui de al treilea şi operaţia se repetă succesiv cu restul vectorilor, respectând aceiaşiregulă. Vectorul rezultant este segmentul uneşte originea primului vector cu vârfulechipolentului ultimului vector şi poartă numele de rezultantă notându-se uzual cu R .Deoarece prin însumarea vectorială utilizând metoda poligonală, putem însuma şi vectoriicare au aceiaşi direcţie şi modul dar sens opus, metoda este valabilă şi în cazul când nusunt numai adunări dar şi diferenţe între cei n vectori cu care se operează.

1V 2V 2V

3V 1V 3V

4V

R

4V

Fig. 2.5. Metoda poligonală

Reprezentarea grafică a acestei metode pentru patru vectori este redată în figura2.5.

1 2 3 4R V V V V




2.3.2.4. Metoda proiecţiilor

Metoda proiecţiilor este o metodă ce pune bazele metodelor analitice ale calcululuivectorial. În figura 2.6. este redat un sistem de n vectori iF , a căror rezultantă iR F este obţinută pe cale grafică utilizând metoda poligonală. Faţă de acest sistem devectori luăm o dreaptă oarecare (∆) de versor u . Prin originea fiecăruia din cei n vectoridin însumarea prin metoda poligonală şi vârful ultimului vector, se duce câte un plan Kiperpendicular pe dreapta . Se notează în ordine crescătoare, cu Ai, intersecţia celorn+1 plane cu dreapta .

Conform rezultatelor anterioare, rezultanta celor n vectori iF ai sistemului dat este:

1 2 3 ... n iR F F F F F 2.9.

Analizând rezultatul grafic din fig. 2.6., rezultă că, segmentul A1An+1, reprezintăproiecţia pe dreapta a rezultantei R , notată cu pr∆ R . În mod identic rezultă corelaţia

dintre proiecţiile forţelor iF şi segmentele determinate pe dreapta dată (relaţia 2.10.).

Apar evidente următoarele rezultate:

K2 K3 K4

K1 Kn

2F 3F Kn+1

1F

nF

iR F

An

A1 A2 A3 A4 An+1

Fig. 2.6. Reprezentarea grafică a metodei proiecţiilor.

A1An+1 = pr∆ R

A1A2 = pr∆ 1F

A2A3 = pr∆ 2F 2.10.

.

.

AnAn+1 = pr∆ nF




În plus, analizând relaţiile dintre segmentele de pe dreapta ∆ rezultă:

A1An+1 = A1A2 + A2A3 + A3A4 +…+ An-1An – AnAn+1

Se observă că însumarea segmentelor se face algebric. Înlocuind segmentele cuproiecţiile echivalente, se demonstrează că, proiecţia pe o dreaptă oarecare ∆ arezultantei R a unui sistem de n vectori 1F , 2F , …, nF , este egală cu suma algebrică aproiecţiilor celor n vectori pe dreapta dată. Aceasta se numeşte teorema proiecţiilor, iarmatematic se exprimă cu relaţia:

1

n

ni

pr R pr F

2.11.

Acest rezultat se poate valorifica dacă considerăm trei drepte concurente axeletriedrului ortogonal, Ox, Oy, Oz. Faţă de acest sistem de axe se poate aplica de trei oriteorema proiecţiilor, fiecare vector putând avea maxim trei proiecţii, câte una pe fiecareaxă.

Dacă vectorul este perpendicular pe una din axe, este evident că proiecţiavectorului pe axa respectivă este zero. Aplicând relaţia 2.12. pe fiecare axă, rezultă căîntr-un sistem de coordonate cartezian cele trei proiecţii ale rezultantei R a unui sistem deforţe, 1F , 2F …, nF este egală cu suma algebrică a proiecţiilor celor n vectori pe axeletriedrului. Făcând notaţiile de mai jos:

prOx R = Rx

prOy R = Ry

prOz R = Rz

prOx 1F = F1x

prOy 1F = F1y

prOz 1F = F 1z

.

.

prOx nF = Fnx

prOy nF = Fny

prOz nF = Fnz

şi înlocuindu-le în relaţiile 2.12. se obţine:

Rx = 1F x + F2x + …+ Fnx =1

n

ixi

F

Ry = 1F y + F2y + …+ Fny =1

n

iyi

F 2.12.




Rz = 1F z + F2z +…+ Fnz =1

n

izi

F

relaţii în care însumarea se face algebric. Considerând cei trei versorii , ,i j k , ai celor 3axe de coordonate Ox, Oy, Oz, conform fig. 2.2., orice vector iF va avea direcţia dată de

cele trei unghiuri , ,i i i .

Aplicând proprietatea produsului scalar a doi vectori (rel.2.15.), că proiecţia unuivector pe o dreaptă este egală cu produsul scalar dintre vector şi versorul drepteirespective, se obţine:

prOx iF = ii F ׀ = i ∙׀ ׀ iF ∙׀ cos αi = Fix

Dacă notăm cu α, β, şi γ unghiurile pe care rezultanta R a sistemului de forţe leface cu axele sistemului, atunci:

Rx = R cos αRy = R cos βRz = R cos γ

respectiv:Rx = R cos α= F1cos α1 + F2cos α2 +…+Fn cos αn

Ry = R cos β= F1cos β1 + F2cos β2 +…+Fn cos βn 2.13Rz = R cos γ= F1cos γ1 + F2cos γ2 +…+ Fn cos γn

Putem în acest mod să calculăm analitic rezultanta sistemului de vectori R . Direcţialui R este dată de cele trei cosinusuri directoare ale unghiurilor , , , pe care rezultantale formează cu axele Ox, Oy, respectiv Oz, modulul fiind calculat conform relaţiei 2.3.,obţinând relaţiile 2.14.

RR

RF xix cos ;

RR

RF yiy cos ; 2.14.

RR

RF ziz cos

׀ R = ׀ 222zyx RRR = 222 )()()( iziyix FFF .

2.3.3. Produsul scalar a doi vectori

Produsul scalar a doi vectori r şi F , notat şi cu forma restrânsă ,r F este prindefiniţie un scalar, dat de relaţiile 2.15.:

,r F = r F ׀ = r ∙׀ ׀ F cos ׀ α, 2.15.




F

α

P r A

B

d

O

α fiind unghiul format de cei 2 vectori, având originea comună. Datorită parităţii funcţieicosinus:

,r F = F r ׀ = F ׀ ׀∙ r = cos(-α) ׀ ׀ r ∙׀ ׀ F cos ׀ α = r F

ce demonstrează proprietatea de comutativitate a produsului scalar.Rezultă în plus că, pentru doi vectori diferiţi de zero condiţia de ortogonalitate este:

F r = 0Utilizând proiecţiile celor doi vectori,

x y z

r x i y j z kF F i F j F k

analitic produsul scalar este dat de relaţia:

r F = x y zxF yF zF

Pentru suma celor trei produse ale proiecţiilor celor doi vectori ai produsului scalarse poate utiliza termenul de trinomul produsului scalar a doi vectori.

Dacă u este versorul unei drepte ∆, iar F un vector a cărui dreaptă suportintersectează dreapta sub un unghi α, atunci:

,u F = u ∙ F ׀ = u ∙׀ ׀ F cos ∙׀ α = Fcos α = pr∆ F 2.16.

Aceasta reprezintă o proprietate foarte mult utilizată în calculele analitice vectoriale,anume: prin produsul scalar dintre un vector şi versorul unei drepte date se obţineproiecţia vectorului pe acea dreaptă.

2.3.4. Produsul vectorial a 2 vectori

Prin definiţie, produsul vectorial P a doi vectori oarecare notaţi cu r , respectiv F ,este un vector dat de relaţia:

P r F 2.17.având direcţia (fig.2.7.) perpendiculară pe planul format din cei doi vectori, origineacomună cu cei doi vectori, sensul dat de regula burghiului drept, sau prin rotirea primuluivector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt, iar modulul este dat de relaţia:

׀ P ׀ =׀ r ∙׀ ׀ F ∙׀ sin α 2.18.α este unghiul format de cei doi vectori. Direcţia produsului vectorial este perpendiculară

pe planul format de cei doi vectori. Din figura 2.7.rezultă că:

׀ r sin ׀ α =dîn care d reprezintă distanţa de la originea primuluivector la dreapta suport a celui de al doilea. Rezultă:

׀ P = ׀ F∙ d 2.19.mai apare un rezultat geometric interesant. F∙dreprezintă, de două ori aria triunghiului format de ceidoi vectori concurenţi. Aceasta arată că, modululprodusului vectorial a doi vectori este egal cu




dublul ariei triunghiului format de cei doi vectori, o proprietate utilă în uneledemonstraţii.

Produsul vectorial, se poate calcula analitic, pornind de la proiecţiile celor doivectori pe axele sistemului de referinţă, ajutorul determinantului simbolic saucaracteristic metodă numită în lucrare cu denumirea de metoda determinantului. Peprima linie, determinantul simbolic are în ordine cei trei versori ai sistemului de referinţă,pe a doua proiecţiile primului vector al produsului iar pe cea de a treia proiecţiile celui de aldoilea. Proiecţiile pe axe ale sistemului de referinţă sunt minorii celor trei versori, , ,i j k ,ai determinantului simbolic.

Rezultă:

x y z

i j kr F x y z

F F F = (yFz - zFy) i + (zFx - xFz)∙ j + (xFy- yFx)∙ k 2.20.

2.3.5. Dublul produs vectorial

Dublul produs vectorial a trei vectori w este un vector a cărui expresie matematicăeste:

( )w a b c 2.21.

Acesta se poate calcula prin utilizarea, de două ori succesiv, a metodeideterminantului simbolic, calculând mai întâi produsul vectorilor din paranteză şi apoiprodusul dintre primul vector şi produsul ultimilor doi.

În multe situaţii ne avantajează calculul dublului produs vectorial a trei vectoriutilizând o altă relaţie demonstrată la matematică. Această expresie se obţine prindescompunerea dublului produs vectorial după direcţiile vectorilor din paranteze, conformrelaţiei:

( ) ( )w a c b a b c 2.22.

ce arată că dublul produs vectorial a trei vectori se poate descompune după regula:produsul scalar dintre primului şi cel de al treilea vector, după direcţia celui de aldoilea, din care se scade produsul scalar dintre primul şi al doilea vector dupădirecţia celui de al treilea.

2.3.6. Produsul mixt a trei vectori

Produsul mixt a trei vectori a , b , c , se notează cu ( a , b , c ) şi este dat de relaţia:

( a , b , c ) = a (b c ) 2.23.

În sens fizic, acest scalar, reprezintă volumul paralelipipedului construit cu ajutorulcelor trei vectori, având aceiaşi origine, fiind consideraţi ca muchii. O consecinţă a acestuirezultat este că produsul mixt nu se schimbă când cei trei vectori sunt permutaţi circular. Înconsecinţă:

a (b c ) =b ( c a ) = c ( a b ) 2.24.




ce demonstrează proprietatea de comutativitate a produsului mixt.O altă consecinţă este că produsul mixt este nul când cei trei vectori sunt coplanari.Expresia produsului mixt a trei vectori este dată de valoarea determinantului ce are

pe cele trei linii proiecţiile celor trei vectori:

( a , b , c ) =x y z

x y z

x y z

a a ab b bc c c

2.25.

Aplicaţie. Se dau vectorii:

2 3 4a i j k , 4 3b i j k , 3 2c i j k .

Se cere să se calculeze:

) ?) ?) ?) ( ) ?) ( ) ?

a a b cb a bc a bd a b ce a b c

Rezolvare.

a) a b c 2 3 4 ( ) 4 3 ( ) 3 2i j k i j k i j k 4 j k

Pentru punctul b), produsul scalar se obţine calculând trinomul produsului scalar,obţinând:

(2 3 4 )( 4 3 ) 2 12 12 26a b i j k i j k

Pentru calculul produsului vectorial de la punctul c) se vor utiliza cele două metode.În primul caz, se efectuează produsul vectorial, aplicând regula distribuţiei produsuluivectorial faţă de operaţia de adunare-scădere şi aplicând proprietăţile produsului vectorialal versorilor , , ,i j k respectiv:

0i i j j k ki j kj k ik i j

Utilizând aceste relaţii se obţine:

(2 3 4 ) ( 4 3 ) 8 6 3 9 4 16 7 2 5a b i j k i j k ji ik ji jk ki kj i j k




În al doilea caz, se aplică metoda determinantului simbolic, precizând semnulcorespunzător fiecărei proiecţii al vectorilor daţi se va obţine:

a b 2 3 41 4 3

i j k

= (9 16) ( 4 6) (8 3)i j k = 7 2 5i j k

Pentru dublul produs vectorial de la punctul d) se aplică relaţia 2.22.a. respectiv:

( ) ( ) ( ) ,

(2 3 4 ) ( 3 2 ) 2 9 8 19(2 3 4 ) ( 4 3 ) 26

( ) 19(2 3 4 ) ( 26)( 4 3 ) 19 76 57 26 78 52( ) 45 154 109

a b c a c b a b c

a c i j k i j ka b i j k i j k

a b c i j k i j k i j k i j ka b c i j k

Pentru produsul mixt de la punctul e), se calculează mai întâi produsul vectorial şiapoi cel scalar obţinând:

1 4 3 ( 8 9) ( 2 3) ( 3 4)1 3 2

( ) (2 3 4 ) ( ) 2 3 4 3

i j kb c i j k i j k

a b c i j k i j k

Acelaşi rezultat se obţine, însă mult mai rapid dacă se foloseşte relaţia 2.25. calculând

2 3 41 4 31 3 2

=3

Aplicaţie. Trei forţe 1 2 3, ,P P P sunt diagonalele feţelor paralelipipeduluiOABCDEFG, de laturi a, b, c. Să se calculeze rezultanta celor trei forţe.

Proiectând cele trei forţe în tabel sunt date proiecţiile lor.

Forţa ixF iyF izF

1P a b 0

2P a 0 c

3P 0 b c




Cum s-a demonstrat x y zR R i R j R k în care:

3 3 3

1 1 1

2 2 2 2 2 2

0 2 , 0 2 , 0 2

2 2 2 2( )

2

x ix y iy z izi i i

x y z

R F a a a R F b b b R F c c c

R ai bj ck ai bj ck

R R R R a b c

iar direcţiile pe care aceasta le face cu axele sistemului de referinţă sunt:

2 2 2 2 2 2

2cos2

x ixR F a aR R a b c a b c

;

2 2 2 2 2 2

2cos2

y iyR F b bR R a b c a b c

;

2 2 2 2 2 2

2cos2

izz FR c cR R a b c a b c

Rezolvări:1. Se folosesc relatiile din curs




2. Centre de greutate si momente de inerţiemecaniceTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de învăţare: Prin parcurgerea acestei unităţi de studiu, studentul va fi capabil să

definească A utilizeze B descrie C

2. Centre de masă, centrul de masă în cazul corpurilor, plãcilor şi bareloromogene, centrul maselor în cazul corpurilor compuse

2.1. Centre de greutate.

În practică, datorită razei foarte mari a Pământului, se poate aproxima că două saumai multe corpuri situate la suprafaţa Pământului sunt atrase de centrul pământului cuforţe ce pot fi considerate paralele. Deci forţa de gravitaţie ce acţionează asupra a douăsau mai multe corpuri constituie un sistem de forţe paralele (vezi cursul 4).

În această situaţie, centrul forţelor paralele pentru un sistem de puncte materialedevine centrul de greutate al sistemului de puncte materiale.

Notăm cu cr coordonata centrului de greutate pentru un sistem de puncte având

masele mi şi vectorii de poziţie ir .

i

ii

i

ii

i

iic m

rmgm

rgmF

rFr 2.39.

Pentru un sistem cartezian:

kjikzjyixr CCCC 2.40.

kzjyixr iiii

km

zmj

mym

im

xmr

i

ii

i

ii

i

iiC

2.41.




i

iiC

i

iiC

i

iiC

mzm

z

mym

y

mxm

x

2.42.

Dar Mmi , masa sistemului de puncte. Atunci:

iiC

iiC

iiC

iiC

zmMzMymMyMxmMxM

rmrM

Aceste ecuaţii constituie teorema momentelor statice, care afirmă că: produsuldintre masa unui sistem de puncte şi vectorul de poziţie al centrului de greutate în raportcu un punct este egală cu suma algebrică a produselor scalare dintre masa fiecărui punctşi vectorul de poziţie al punctului în raport cu O. Deci numim moment static produsul dintremasa unui corp şi distanţa până la reperul dat.

Centrul de greutate al corpurilor.

În cazul corpurilor vom considera că împărţim corpul dat într-un număr finit de mare de

corpuri elementare de masă dm. Însumarea algebrică se înlocuieşte cu o însumare mult

mai fină: integrarea. Rezultă:

D

DC dm

dmrr , unde r este vectorul de poziţie al unui element de masă dm.

Integrarea se face pe domeniul D, unde D reprezintă conturul corpului, respectiv

suprafa. Aşadar, scriind într-un sistem de coordonate:

kdm

dmzj

dm

dmyi

dm

dmxr

D

D

D

D

D

DC

2.43.




În cazul unui corp, teorema momentelor statice:

D

DC dm

dmrr ;

D

D

dm

dmxx ;

D

D

dm

dmyy ;

D

D

dm

dmzz 2.44.

Teorema momentelor statice pentru corpuri omogene de formă particulară (centrul de greutate alcorpurilor).

Numim corp omogen acel corp pentru care orice unitate de volum are aceeaşigreutate. Se notează cu şi se numeşte densitate raportul dintre masa unui corp şivolumul său, sau greutatea unităţii de volum.

dVdmdVdm

Vm

;

D

D

D

DC dV

dVr

dV

dVrr

,

sau cu ajutorul proiecţiilor obţinem:

D

DC

D

DC

D

DC

dV

dVzz

dV

dVyy

dV

dVxx

2.45.

ce reprezintă teorema momentelor statice pentru un corp omogen, ce arată că un corpomogen poate fi substituit cu un punct material având intreaga sa masă concentrată încentrul de greutate.

1. Corpuri tip placă., de grosime constantă g.




dA

dV

g

dAgdV

dA

dAr

dAg

dAgr

dV

dVrrC 2.46.

forma vectorială, ce se pate scrie cu ajutorul proiecţiilor cu relaţia:

dA

dAyy

dA

dAxx

C

C

2.47.

ce reprezintă teorema momentelor statice pentru o placă omogenă de grosime constantă.

2. Corpuri de tip bară, omogene, de secţiune constantă s.

s dV = s∙ dl

dl

dl = lungimea elementară de integrare;

dl

dlr

dls

dlsr

dV

dVrrC 2.48.

ce reprezintă forma vectorială a centrului de masă al unei bare în cazul general.Pentru barele drepte, considerând axa de simetrie a barei ca fiind OX, atunci se

calculează o singură proiecţie:




dl

dlxxC 2.49

.

-simetrie faţă de OY:

dl

dlyyC

-simetrie faţă de OZ:

dl

dlzzC

Pentru barele drepte:

0CC zydxdl

Observaţii:1. În cazul corpurilor omogene, dacă un corp are un plan de simetrie, atunci centrul

de greutate se va găsi în planul respectiv.2. Dacă un corp are o axă de simetrie (2 plane de simetrie ce se intersectează),

atunci centrul de greutate se va găsi pe ea.3. Dacă un corp are două axe de simetrie ce se intersectează, atunci centrul de

greutate se va găsi la intersecţia lor.

Centrul de greutate pentru un sistem de corpuri omogene şi neomogene.

În aplicaţii putem avea foarte des situaţii în care corpul final poate fi împărţit încorpuri mult mai simple, pentru care centrul de greutate are o poziţie cunoscută sau poate

fi calculată uşor. Notăm cu Cr vectorul de poziţie al centrului de greutate al corpuluicompus din mai multe corpuri simple.

D D1

D2

D3




1 2 3

321

D D D

DDD

D

DC dmdmdm

dmrdmrdmr

dm

dmrr

11

111

, mdmrmdmrDD

,

unde cr este vectorul de poziţie al centrului de greutate al corpului de masă m1.

i

iiCC m

rmr

mmmrmrmrmr

321

3322112.50.

kzjyixkjir

kjir

CiCiCiiiii

C

i

Cii

i

Cii

i

Cii

mzm

mym

mxm

;; 2.51.

Observaţii:1. Dacă în corpul respectiv apar goluri, atunci masa acelor goluri se introduce în relaţia de calcul cu semnul minus, atât la numitor,cât şi la numărător.

Exemplu:

Presupunem că al doilea corp este un gol → m2 = -m2. Rezultă:

321

332211

mmmrmrmrmrC

2. Dacă un corp are un plan de simetrie, atunci centrul de greutate se găseşte înplanul respectiv.




Aplicaţii.1. Calcularea centrului de greutate pentru o bară omogenă de forma unui arc de cerc, de semiunghi la vârf α şi rază R.

y

dl

dӨ

O Ө x

α

R

Fig. 2.18. calculul centrului de greutate pentru o bară omogenă tip arc de cerc.

dl

dlxxC

unde x este coordonata centrului de greutate a elementului de lungime dl.

dRdlRx cos .

Deci:

sin2sin2sin

coscos

RRR

d

dR

dR

dRRxC , 2.52.

[α] exprimat în radiani.




2. Calcularea centrului de greutate pentru o placă omogenă de grosime constantă,având forma unui sector de cerc.

y

2/3 R dl

dӨ

Ө x

α

2 cos3 x R R

Fig. 2.19.

dA

dAxxC ; Din fig. 2.19. rezultă relaţiile geometrice evidente:

2 1cos , ,3 2

x R dA dl R dl R d

sin32sin

32

cos32

21

21cos

32

2

2

RR

d

dR

dR

dRRxC , 2.53.

[ ] = radiani.

3. Calcularea centrului de greutate în cazul blocurilor.

Numim bloc orice corp masiv, pentru care toate cele 3 dimensiuni de gabarit aumărimi. Exemplu un con drept.

z

R

G

dz

H r

z

O y




x

Fig. 2.20.

dV

dVzzC ; dzrdV 2

Din asemănarea triunghiurilor: zHRr

Hz

Rr

; dzzHRdV 2

2

2

Hz

z

dzz

dzz

dzzH

R

dzzH

Rz H

H

H

H

H

433

4 03

4

0

2

0

3

0

22

20

22

2

2.2.1. Momente de inerţie mecanice.

Momentele de inerţie mecanice reprezintă o noţiune ce ne dă posibilitatea ca săputem evidenţia din punct de vedere dinamic efectul modului de dispersie în spaţiu a unuisistem de puncte materiale sau în cazul unui corp modul de dispoziţie a masei acestora înspaţiu. În sens mecanic, momentele de inerţie mecanică sunt noţiuni cu ajutorul căroraputem evidenţia efectul inerţial în mişcarea de rotaţie.

Din punct de vedere matematic numim momentul de inerţie mecanic al unui punct demasă mi situat la distanţa d faţă de un reper, ca fiind produsul dintre masă şi pătratuldistanţei la acel reper. Reperul poate fi un plan, o axă sau un punct.

Fig. 5.9 Calculul momentelor de inerţie mecanice.

Se definesc:

- momentele de inerţie planare şi se notează cu:




2

2

2

myJ

mxJ

mzJ

zzox

yoz

xoy

- momentele de inerţie axiale care se repostează la cele 3 axe:

22

22

22

yzxmJJ

xzmJJzymJJ

zoz

yoy

xoz

- momentele de inerţie polare când reperul este un punct sau pol:)( 2222

0 zyxmmrJ

Se mai defineşte în plus, momentul de inerţie centrifug sau centrifugal produsul dintremasă şi distanţa x şi y la cele 2 plane:

xzzx

zyyz

yxxy

JmzxJJmyzJJmxyJ

Observaţie

Momentele de inerţie mecanice cu excepţia celor centrifugale sunt întotdeaunamărimi pozitive. Momentele centrifuge pot fi pozitive, nule sau negative.

Relaţii de recurenţă:

zyxzoxyozxoy JJJJJJJ 21

Pentru un sistem de puncte materiale momentele de inerţie mecanică se însumeazăpentru obţinerea momentului de inerţie rezultant.

2

2

2

iizox

iiyoz

iixoy

ymJ

xmJ

zmJ

22

22

22

iiiz

iiiy

iiix

xymJ

zxmJ

zymJ

Pentru un corp se consideră că împărţim corpul într-un numărul infinit de mare decorpuri elementare de masă dm iar însumarea o facem cu ajutorul integralei. Expresiilepentru momentele de inerţie planare şi axiale pentru un corp, sunt redate mai jos:




2

2

2

xoy

yoz

zox

J z dm

J x dm

J y dm

respectiv:

dmyxJ

dmzxJ

dmzyJ

z

y

x

22

22

22

; iar cele polare 20J r dm

iar pentru un sistem de puncte 20 ii rmJ

În calculele de rezistenţă, sunt necesare momentele de inerţie geometrice alecorpurilor, în special sunt necesare cele axiale. În calcule acestea se notează cu I, indiciipurtând aceiaşi semnificaţie. Pentru calcule se porneşte de la faptul că dacă un corp esteomogen atunci putem scrie că: dvdm ; Deoarece este constant, atunci J I .

Raza de giraţie

Se notează cu i şi este distanţa teoretică ce îndeplineşte condiţia că:2miJ 5.67.

adică acea distanţă imaginară faţă de un reper (plan, axă, pol) concentrând întreaga masăa corpului să respecte această relaţie.

Exerciţii1. Rezolvaţi independent problemele rezolvate din curs;

2. Definiţi teorema momentelor statice pentru un sistem de puncte corp şi sistem decorpuri.

3. Care sunt principalele diferente de calcul intre corpurile propriuzise, cele tip placa sicele tip bară.




3.Statica punctului material liberTimp mediu de studiu: 2 ore



STATICA, este partea mecanicii care studiază condiţia de echilibru a punctelor şisistemelor de puncte, a corpurilor şi sistemelor de corpuri libere sau supuse unor legături,sub acşiunea unei forţe sau sistem de forţe, până la momentul limită, înainte de apariţiamişcării.

2.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL.

Studiază punctele materiale în echilibru (fără existenţa mişcării relative).

Punctul material poate fi: liber, atunci când poate ocupa orice punct în spaţiu sausupus la legături.

2.1.1. STATICA PUNCTULUI MATERIAL LIBER.

Fie M un punct material, asupra căruia acţionează n forţe.

2F

kF M 1F

nF R

n

iin FFFFR

121 ...

Dacă rezultanta R 0, Punctul se v+a deplasa după direcţia acelei rezultante. DacăR = 0, punctul rămâne nemişcat. Spunem că punctul se află în echilibru. Utilizând teoremaproiecţiilor, analitic, condiţia de echilibru static al punctului material se scrie cu relaţia,




A(m)

B(m) C(m)D

X

Y

M(m1)

F1 F2

F3

׀ R = ׀ 222zyx RRR =0 2.1.

respectiv: Rx = 0

Ry = 0 2,2.

Rz = 0

Dacă sistemul de forţe este coplanar ( ,1F ,2F …, nF aparţin aceluiaşi plan л),notând direcţiile planului cu Ox şi respectiv Oy, se obţine condiţia de echilibru a punctuluiîn plan:

Rx = 0; Ry = 0.

Dacă sistemul de forţe prezintă cazul particular când cele n forţe se găsesc peaceeaşi dreaptă (axă), dacă notăm axa cu Ox, condiţia de echilibru va fi: Rx = 0.

Aplicaţie.

Un punct material M de masă m, este atras de trei puncte de mase m cu oforţă după legea lui Newton. Să se determine relaţia între b şi h. Dacă cele treipuncte se găsesc în vârfurile unui triunghi isoscel de bază b şi înălţime h, iarechilibrul se realizează la jumătatea

lui h.

1 1 1 11 2 32 2 2 2

1 11 32 2 2 2

2 22 2

; 4 ;

4 ; 4 :

14 4 2

m m m m m m m mF k F k k F kB M A M h C M

m m m mF k F k d e o a r e c eh b h bh bB M h b C M

Condiţiile de echilibru pentru cele trei forte ce actionează asupra punctuluimaterialrevin la:

3

13

1

0

0

ii

ii

F x

F y

Înlocuind în condiţiile de echilibru, proiecţiile celor trei forţe se obţin relaţiileurmătoare:




3 1

2 1 3

13 12 2

1 22 1 3 12 2

1

( ) 0( ) 0

( )4 (cos cos ) 0 cos cos

( )4 (1 sin sin ) sin sin 2 sin sin2

ox F x F xoy F y F y F y

m mox k F x F xh bm m Foy k o F F F F

h b F

2 2 2 21

2 21

2 2

2

2 2 2

22 2 2

2

2

2

3

d in t r iu n g h iu l fo r te lo r a v e m :4 ( ) 1s in

8 24 s in

11 12 2

1

:

1 1 ( 1) 1 2 ( 1) 421

k m m h b h bh k m m h

In B M Db h

bh b h h

hb h bh

bN o ta m th

t t t tt

2.1.2. STATICA PUNCTULUI MATERIAL SUPUS LA LEGĂTURI.

Prin legătură mecanică se înţelege o restricţie geometrică (un punct nu se poatemişca oriunde în spaţiu). Ca atare, punctul material are un număr mai redus de grade delibertate faţă de punctul liber.Atât timp cât legătura se menţine, punctul va rămâne pe aceasuprafaţă, plan, curbă în spaţiu sau plan, sau o dreaptă oarecare.

Pentru a putea analiza statica punctului material supus la legături este necesar săcunoaştem axioma legăturilor. Aceasta postulează că: orice legătură mecanică se poatesubstitui cu un echivalent mecanic constând din forţe sau momente.

Legăturile pot fi de două feluri:

-legături unilaterale: când legătura se menţine numai într-un sens, sub acţinea uneiforţe;

-legături bilaterale: când, chiar dacă forţa acţionează în ambele sensuri, legătura semenţine.

Fie o suprafaţă în spaţiu pe care se găseşte un punct material M. Dacă asupra

punctului acţionează un sistem de forţe exterioare de rezultantă R , punctul material

rămâne în echilibru dacă legătura acţionează cu o forţă,

R egală şi de sens contrar lui R .

R

=,

R 2.3.




Ducem prin M un plan tangent la suprafaţă, respectiv o dreaptă perpendiculară peplanul de tangenţă prin M. Ea se numeşte normala la suprafaţă în punctul M, iar versorul

ei se noteză cu n. Normala n şi vectorul R formează un plan γ care se intersectează cu după o direcţie numită tangenta la suprafaţă în punctul M. Cum aceste 2 drepte suntconcurente în M şi perpendiculare, vectorii R şi 'R se pot descompune după cele douădirecţii:

n γ = plan de tangenţă

γ = plan normal ce conţine R

R n = normala la plan

nR TR

M

T N,R

R = TN RR respectiv: 'R = TN . N poartă numele de componenta normală a legăturii,iar T componenta tangenţială a legăturii, ce apare datorită frecării.

Condiţia 2.3. devine:

TN RR = TN 2.4.

respectiv:

NR = N

TR =TPornind de la cele două componente de descompunere a celor doua rezultate, întâlnim două tipuri de legături.

Cazul 1.

Dacă T = 0, legătura este fără frecare şi se numeşte legătură lucie sau ideală.Acest lucru implică RT = 0. Condiţia de echilibru este: N = RN.

Cazul 2.




Dacă T 0, avem legătură cu frecare sau legătură rugoasă sau aspră. Condiţia deechilibru este: N = RN

T = RT.

Poziţia unui punct în spaţiu este redată cu ajutorul celor trei coordonate. Scriereacelor 3 condiţii de echilibru în spaţiu, Rx = Ry = Rz = 0 este suficientă pentru a putea definipoziţia de echilibru a unui punct material.

Aplicaţie.

Să se determine poziţia de echilibru pentru un inel ce se poate mişca pe un arclucios sub acţiunea forţelor P şi Q , precumşi reacţiunea N.

În general, pentru rezolvarea problemelor de mecanică întâlnimdouă aspecte de bază:

- aspectul mecanic propriu-zis, ce constă înstatică în înlocuirea legăturilor cu echivalentulmecanic (forţe şi momente), precum şistabilirea condiţiilor de echilibru static.- aspectul matematic, când, utilizândrezultatele de la geometrie, trigonometrie,matematică analitică şi superioară, dupăcaz, se stabilesc condiţii suplimentare şi serezolvă problema propriuzisă.

Codiţia de echilibru a punctului revine la:

0 ixF

0 iyF

pentru ecuaţia vectorială NQP , care scrisă cu ajutorul proiecţiilor devine:

NQP

QP

)22

sin(2

sin

0)22

cos(2

cos

Prin rezolvarea sistemului se obţine valoarea unghiului şi a normalei N

2) O bilă este fixată de un plan lucios cu ajutorul unui fir ce formează cu planul un unghi . Să se determine tensiunea în fir şi reacţiunea planului dacă bila are greutatea G. Să sedetermine valorile extreme ale lui T şi N.




X

Y

G

n

Ty T

( ) : 0; ; cos ;cos

( ) : 0; sin ;

y y y

x x

Goy T G T G T T G Ty

ox T N N T T Gtg

valorile lui T şi N sunt maxime când 90

valorile lui T şi N sunt minime când 0

3) Pentru ridicarea unei greutăţi P se foloseşte sistemul din figură, în carebara rigidă este articulatăîn partea de jos şi legatăcu un fir orizontal. Încapătul de sus al grinziise găseşte un scipeteideal peste care estetrecut firul de care estelegată greutatea P, decare trage electromotorulce ridică sarcina. Se certensiunile T1 şi T2.

1 2

1

1

2

0 ( ) : cos sin 0( ) : cos cos 00

(1 cos )cos

(1 cos ) (sin )

xi

yi

F ox T T Poy T P PF

PT

T P tg P

2.1.3. FRECAREA ŞI LEGILE EI.

Frecarea apare ca o componentă suplimentară într-o legătură, în urma interacţiunii mecanice a suprafeţelor corpurilor în contact.Primul care a studiat şi a stabilit aceste legi ale frecării a fost Coulomb şi de aceea se numesc legile lui Coulomb sau legile frecăriiuscate. Frecarea este uscată întrucât în cazul frecării umede apare a III a substanţă (lubrifiant), care modifică comportamentullegăturii.

Prima lege a frecării uscate.




Forţa de frecare dintre două corpuri uscate este proporţională cu normala pesuprafaţă. (nu depinde de dimensiunea suprafeţelor în contact, ci numai de calitatea lor).

Conform fig. 2.1.

NTtg

Valoarea limită sau extremă a unghiului α, corespunde momentului în care corpulîncepe să se mişte, se notează cu φ şi se numeşte unghi de frecare.

Pentru această valoare tgφ = μ (αmax = φ ) şi se numeşte coeficient de frecareuscată, iar valorile lui μ se stabilesc experimental pentru diferite perechi de corpuri,întâlnite mai des în practică, având în vedere şi calitatea celor două suprafeţe în contact.

R Nα

T FG Fig. 2.1. Legătura cu frecare cu alunecare.

În cazul unui punct situat pe o suprafaţă oarecare, forţa pentru care unghiul φ = μpoate acţiona pe orice direcţie a spaţiului, ca atare limita este un con de frecare desemiunghi la vârf φ. Pentru oricare alt unghi α ≤ φ echilibrul se păstrează.

A II a legea a frecării uscate.

Forţa de frecare nu depinde de materialul şi calitatea suprafeţelor în contact (sau dedimensiunea suprafeţelor în contact).

A III a Legea frecării uscate.Forţa de frecare nu depinde de viteza relativă dintre cele două corpuri.

Exerciţii

1. Scrieti conditiile matematice pentru eclibrul punctului material liber si supus lalegături;

2. Definiţi legaturile lucii si cu frecare şi condiţiile matematice ce le definesc;

3. Rezolvaţi problemele propuse prin munca independentă, folosind soluţiile din curspentru a vă verifica solutia si rezultatul;

4. Enuţaţi cele trei legi ale frecării uscate;




4. Statica solidului rigidTimp mediu de studiu: 2 ore


definească rigidul si legaturile sale; utilizeze condiţiile de echilibru pentru un rigid liber si supus la legaturi; descrie echivalentul legaturilor mecanice si sa le utilizeze in aplicaţii;

4. STATICA RIGIDULUI.NOŢIUNI FUNDAMENTALE

Numim rigid un corp pentru care distanţa dintre două puncte oarecare ale sale nuse modifică sub acţiunea unor forţe exterioare finite, oricât de mari ar fi. Rigidul este onoţiune teoretică ce simplifică foarte mult rezolvarea problemelor de mecanică. În cazulstaticii corpurilor este necesar să definim şi să studiem anumite noţiuni specifice şiproprietăţilor lor.

4.2.1. Noţiuni fundamentale.

4.2.1.1. Caracterul de vector alunecător al forţei.Această proprietate arată că dacă schimbăm punctul de aplicaţie al forţei ce acţionează asupra unui rigid pe suportul său, efectul nuse schimbă. Conform demonstraţiei grafice din fig. 2.2., considerând un sistem de două forţe coliniare, egale în modul dar de senscontrar, al căror efect reciproc asupra corpului este nul, anulând forţa din A cu cea din B de sens contrar, rămâne o singură forţă înB. Ca atare, efectul rămâne neschimbat.

F F

A A A

FB B

Fig 2.2.Materializarea caracterului de vector alunecător.




2.2.1.2. Momentul unei forţe în raport cu un punct.

Această mărime este necesară în studiul echilibrului corpului întrucât, spredeosebire de punctul material, în cazul în care o forţă acţionează asupra unui efectulpoate fi nu numai o deplasare, ca în cazul punctului material, ci şi o rotire cu un unghi θ.

Prin definiţie, numim moment al unei forţe înraport cu un punct notat cu OFM produsul vectorialdintre vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie alforţei în raport cu un punct ales şi vectorul F . Relaţiade calcul este 2.6. iar soluţia grafică este redată înfig.2.4.

FOAFrM OF 2.6.

Direcţia este perpendiculară pe planul formatde r şi F , Sensul se determină cu regula burghiuluidrept (tirbuşonului), sau rotind pe r peste F pe drumulcel mai scurt. Modulul momentului este egal cu:

׀ OFM OA׀ = ׀ ׀ ∙ ׀ F ׀ ∙ sin α = ׀ F ׀ ∙ OA׀ ׀ ∙ sin α = F ∙ d 2.7.

în care d reprezintă distanţa de la o la dreapta suport a forţei F. Modulul lui MOF este egalcu dublul ariei triunghiului determinat de punctul O şi vectorul F . Conform figurii2.utilizând un sistem de axe triortogonal faţă de care, utilizând teorema proiecţiilor, putemscrie:

kzjyixr

kFjFiFF zyx

zyx

OF

FFFzyxkji

M = (y∙ Fz - z∙ Fy)∙ i + (z∙ Fx - x∙ Fz)∙ j + (x∙ Fy - y∙ Fx)∙ k 2.8.

z

y

x

OZ

OY

OX

OF

FFF

xyxz

yzFr

MMM

M

0

00

Proprietăţile momentului unei forţe în raport cu un punct.

1) OFM este nul atunci când: a) r = 0; b) F= 0; c) cei doi vectori sunt paraleli.




2) Dacă schimbăm punctul de aplicaţie al forţei F pe o dreaptă suport, OFMrămâne neschimbat. Se poate demonstra aplicând caracterul vector alunecător al forţei

sau pornind de la observaţia că r şi dreapta suport rămân constante, direcţia lui OFM

rămâne neschimbată, sensul rămâne neschimbat iar modulul este ׀ OFM = ׀dF =constant.Matematic, demonstrăm această proprietate, alegând un punct C ca în

figura 2.4. Pornind de la definiţie momentul este dat de relaţia:

OFM r F

În triunghiul OCA, r r ' CA . Deci r ' r CA . Aplicând proprietatea dedistributivitate a produsului vectorial faţă de operaţia de adunare sau scădere se obţine:

MOF = ( r CA) F r F CA F MOF . ( 0 FCA deoarece α = 0)

3) Odată cu schimbarea punctului O momentul se schimbă. Această proprietatearată caracterul de vector legat al lui OFM .

FrM OF şi FrM FO ,,

Din triunghiul OO΄A, rezultă că rOOr ,, . Înlocuind obţinem:

FOOMFOOFrFOOrFrOOFrM OFFO ,,,,, ))()(,

Odată cu schimbarea punctului O, momentul forţei în raport cu punctul O΄ este egalcu momentul OFM din care se scade momentul în raport cu punctul O, dat de forţa

Faplicată în O΄.




Aplicaţie: Să se calculeze momentul forţei F având modulul de 12KN şi care acţionează în

lungul dreptei AB (de la A la B ) în raport cu punctele O,C,D.

( )

2 ; 5 4 2 ;

5 4 2 5 4 2 5 4 225 16 4 45 3 5

5 4 2 412 ( 5 4 2 )3 5 5

4 32( 2 ) ( 5 4 2 ) 1 1 2 (5 20 16 8

5 5 5

AB

AB AB

C F

CA i j k AB i j k F F U

AB i j k i j k i j kU UAB

i j kF i j k

i j kM i j k i j k

( )

8 16 40 8 20) ( ) ( )5 5 5 5 5 5

4 4 4 181 4 181(6 12 9 ) (26 144 81) 4 12 sin ; sin5 5 5 5 4 12

C F

i j k

i j k M

2.2.1.3. Momentul unei forţe în raport cu o dreaptă.

Numim moment al unei forţe în raport cu o dreaptă Δ ( FM ) proiecţia pe axa Δ a

momentului forţei F în raport cu un punct oarecare ce aparţine dreptei Δ. Se noteză cu

U versorul axei Δ. Cum produsul scalar dintre un vector şi un versor este proiecţiavectorului pe acea dreaptă, momentul unei forţe în raport cu o dreaptă se poate scrie caprodus scalar dintre momentul forţei în raport cu punctul O şi versorul dreptei Δ:

OFMUM U (r F) 2.10.

Verificăm dacă acest moment nu se schimbă cu punctul ales de pe dreaptă.

Presupunem că în punctul O1 avem alt moment:

1'

O F 1M U M U ( r F) ;

Conform figurii este evident că:

1 1r O O r

1 1M U [(O O r ) F] U (O O F) U ( r F) ; ( U este paralel cu

OO1 )




'M U (r F) şi MΔ ׀ = U ׀ ׀ ∙ OFM cos ∙׀ α = 1∙ M OF ∙cos α

Fig 2.6. Calculul momentului unei forţe în raport cu o dreaptă

Această relaţie arată că în funcţie de semnul valorilor cos α, MΔ poate avea acelaşisens cu UΔ sau sens contrar. Ca atare, deşi un scalar funcţie de semnul cosinusuluiunghiului lui MΔ i se poate asocia caracterul de vector. În aplicaţiile practice, funcţie departicularităţile datelor problemei, determinarea momentului unei forţe în raport cu o axăse poate realiza mult mai uşor, proiectând forţa pe un plan perpendicular pe dreapta Δ,plan dus prin punctul O.

Pentru determinarea relaţiei de calcul conform fig. 2.7. sau folosit următoarelenotaţii:

- π este un plan perpendicular pe dreapta Δ, dus prin punctul O de pe dreaptă,- γ este un plan perpendicular pe planul π astfel încât F aparţine planului γ;- π ∩ γ = dreapta Δ′ şi Δ ′ Δ″;

F1 este proiecţia forţei Fpe planul π şi F2 este proiecţia forţei F pe planul γ;

1 2F F F r1 este proiecţia vectorului de poziţie r pe planul π; iar r2 este proiecţia lui r pe planul γ;

1 2r r r

Cu d am notat distanţa de la punctul O la dreapta suport a proiecţiei forţei F peplanul π. În aceste condiţii, pornind de la definiţie rezultă:

MΔF = OFU M U (r F) 2.11.

4.2.1.4. Cuplul de forţe.

Cuplul de forţe reprezintă o pereche de două forţe egale în modul, dispuse după direcţiiparalele şi având sens contrar, al căror efect este momentul cuplului de forţe F şi F .




Conform fig. 2.8, momentul cuplului de forţe ),( FFM este suma vectorială a

momentelor forţelor F şi F în raport cu punctul, O ales arbitrar în spaţiu. Conform

relaţiei 2.6. momentul în raport cu punctul O al celor două forţe este:

Dacă se dă factor comun forţa F , obţinem relaţia finală a momentului cuplului deforţe

FBAFOBOAM FFO )(),( 2.13.

Modulul său este dat de relaţia: ׀ M(F, F) ׀ = ׀ BA ׀ ּ◌

׀ F ׀◌ּ sinα

Dar cum rezultă din fig. 2.8.ABd

sin , deci AB · sin α = d, şi în consecinţă:

M(F. –F) = F ּ◌d 2.14.

Proprietăţile cuplului de forţe.

1) Suma proiecţiilor forţelor pe orice direcţie u din spaţiu este nulă aşa cum rezultădin relaţia:

0)( uFuFuFuF

2) Momentul cuplului de forţe, este un vector, dispus perpendicular pe planul formatde cele două forţe. Sensul se determină cu regula burghiului drept, sau orice altă metodăutilizată pentru stabilirea sensului unui produs vectorial. Modulul este constant pentru unsistem dat de forţe depinzând numai de modulul forţelor şi distanţa dintre dreptele suportale celor două forţe

FOBFOAFOBFOAMMM FOOFFFO )(),(




3) Momentul unui cuplu de forţe este un vector liber. Această proprietate estedemonstrată de faptul că modulul cuplul de forţe este constant pentru două forţe date,fiind egal cu produsul scalar dintre modulul forţei şi distanţa dintre dreptele suport aleforţelor (M(F. –F) = F ּ◌d)

Operaţii cu cupluri de forţe.Fiind o mărime vectorială şi nedepinzând de punctul de calcul, două sau mai multe

cupluri de forţe se pot însuma vectorial, având cazul particular a n vectori concurenţi careva avea întotdeauna ca rezultantă un vector unic. Calculul rezultantei se face utiliz\nd unadin metodele prezentate în capitolul 1.

Calculul cuplurilor echivalente.

Deoarece în unele aplicaţii practice de multe ori nu este posibil să realizămaplicarea unui cuplu cu forţele de modul şi direcţie date şi la distanţa d, atunci estenecesar să găsim un cuplu echivalent cu primul, dar la care să putem schimba fie direcţiaforţelor, fie distanţa dintre dreptele suport, modulul fiind calculat matematic, sau altecombinaţii

2.2.1.5. Torsorul de reducere.

Noţiunea de torsor de reducere a apărut ca necesitate a stabilirii condiţiilor deechilibru pentru un corp; astfel se pune problema să calculăm efectul unei forţe într-unpunct al unui corp. Efectul unei forţe ce acţionează asupra unui corp într-un punct O sereduce la o forţă egală şi de acelaşi sens cu forţa dată şi un moment OM egal cu

momentul forţei în raport cu punctul O. Perechea de vectori F şi OM se numeşte torsorul

de reducere al forţei F în raport cu punctul O. El se notează cu:

OFO M

F)(

Fig. 2.11. Reducerea unei forţe într-un punct




Torsorul de reducere al unui sistem de forţe.

Prin definiţie spunem că un sistem de forţe oarecare ce acţionează asupra unuicorp se reduce ca efect într-un punct O al corpului la un torsor de reducere, format de

perechea de vectori R şi OM .

În care:

nFFFR ...21 = iF şi )(...)()( 21 nOOOO FMFMFMM = )( iO FMTorsorul minimal şi axa centrală.

Consider\nd un punct de reducere O (fig. 2.13.) , se observă că cei doi vectori aitorsorului de reducere formează un plan. În acest plan, descompunem pe MO după odirecţie dată de R si a doua direcţie cea perpendiculară pe R . Rezultă că

NRO MMM . Pentru a vorbi de un torsor minimal, se porneşte de la faptul că proiecţia

lui OM pe R este un invariant.

MO

(MN)

O (MR) R

Fig. 2.13. Calculul torsorului minimal.

Din reprezentarea grafică şi relaţia lui OM rezultă că pentru un sistem de forţe dat,

OM are valoarea minimă egală cu RM , atunci când MN este nul. Numim torsor minimal alunui sistem de forţe ca fiind perechea de vectori formată din:




minR

RM

ROR UMM 2.26.

Torsorul minimal ne ajută ca pentru un sistem de forţe dat să cunoaştem efectulminimal al acestuia. Prin definiţie, locul geometric al punctelor pentru care torsorul esteminimal se numeşte axă centrală. Fie un punct P aparţinând acestei axe centrale.Momentul tosorului de reducere în P se scrie (2.6.):

ROPMM OP

Fie r vectorul de poziţie al lui P în raport cu O. Atunci:

kzjyixrOP ,

unde x, y, z sunt coordonatele punctului P, un punct curent de pe axa centrală şi:

kMjMiMM OzOyOxO ; kRjRiRR zyx ;

kMjMiMM PzPyPxP

Atunci:

kyRxRMjxRzRMizRyRMRRRzyxkji

MM zyOzzxOyyzOx

zyx

OP )]([)]([)]([

kMjMiM PzPyPx

Cum axa centrală este dreapta suport a rezultantei R., rezultă că matematic această condiţie de paralelism se poate scrie:

ctR

MR

MR

M

z

Pz

y

Py

x

Px

Sau ţinând cont de rezultatele anterioare, ecuaţia axei centrale devine:

.ctR

yRxRMR

xRzRMR

zRyRM

z

xyOz

y

zxOy

x

xzOx

2.27.




Aceasta este ecuaţia axei centrale pentru un sistem de forţe de rezultantă R şicuplu rezultant cu proiecţiile MOx, MOy, MOz.

Exerciţii

1. Definiţi noţiunile de moment al unei forţe in raport cu un punct si o axă, cuplu de forţe,scrieţi expresiile lor matematice şi proprietăţile lor.

2. Definiţi noţiunile de trorsor de reducere al unei forţe si sistem de forţe într-un punct, axacentrală şi scrieţi expresiile lor matematice precizând marimile ce intervin.

3. Rezolvaţi Care sunt principalele ...

... ... ...

Rezolvări:Formulaţi aici indicaţii de rezolvare (sau rezolvări complete):

1. se foloseşte X, se obţine Y, se aplică Z. Rezultatul final este Q

2. ... reprezintă ...

3. Răspuns corect: b (deoarece ...)




5. Statica rigiduluiTimp mediu de studiu: 2 ore



STATICA RIGIDULUI

Cazuri de reducere al unui sistem de forţe oarecare.

Stabilirea cazurilor de reducere se face pornind de la valorile particulare pe care lepot avea cele două componente ale torsorului de reducere.

OO

MR

1) 0 OMR 2.28.

Torsorul de reducere are componentele nule; corpul se află în echilibru.

Condiţia de echilibru pentru un corp este:

00

OMR

2)

00

OMR

2.29.

Sistemul de forţe are torsorul cu o singură componentă, R , care produce odeplasare a corpului după direcţia sa. Dacă corpul este liber, atunci el se va deplasa după

R . Dacă este legat în punctul O, legătura trebuie să acţioneze cu o forţă egală în modul

cu R şi să acţioneze în sens contrar, stabilind echilibrul conform cazului 1 de reducere.

3)

00

OMR

2.30.




Torsorul de reducere are o singură componentă, OM . Rezultă că sistemul de forţeeste echivalent cu un cuplu de forţe acţionând în punctul O; corpul are o mişcare derotaţie.

MO

-R O R

d

Fig. 2.15. Cazul 3 de reducere.

4)

00

OMR

2.31.

În această situaţie există 2 cazuri:

a) 0 OMR 2.32.

Torsorul are două componente, R şi OM , perpendiculare.

Acest caz de reducere este echivalent cu o forţă R acţionând în lungul axei centraleşi un moment MO dat de un cuplu de forţe F şi –F, astfel încât MO = F∙ d.. În plus pentruacest caz paricular RM =0. Corpul execută o mişcare de rototranslaţie plană.

b) 0 OMR 2.33.

Este cazul cel mai general: când sistemul de forţe se reduce la o rezultantă unicăde-a lungul axei centrale şi un cuplu ce formează un unghi diferit de 90o cu axa centrală.Corpul execută o mişcare de rotaţie suprapusă cu o translaţie în spaţiu după direcţiioarecare în spaţiu.

5.2.1.6. Sisteme particulare de forţe.

Adesea în practică, sistemul de forţe prezintă anumite particularităţi.

1) Sistemul de forţe coplanare.

Este cel mai simplu şi cel mai utilizat sistem de forţe particulare.




Proprietate: toate forţele au dreapta suport în acelaşi plan. În cazul general:

kFjFiFF iziyixi

În acest caz, rezultanta are numai două componente( izF =0.):

jRiRjFiFFR yxiyixi 2.34.

Deci, rezultanta unui sistem de forţe coplanare aparţine aceluiaşi plan. În acelaţitimp, punctul de reducere aparţinând planului forţelor, face ca şi vectorii de poziţie săaparţină planului. Deci:

kjyixr iii 0

Ca atare momentul rezultant devine:

00...

00

11

11

nYnX

nn

YX

iiO

FFyx

kji

FFyx

kjiFrM

kFyFxM iXiiYiO )]()[(

kMM OO 2.35.

Grafic acest caz de reducere este ilustrat în fig. 2.16.

Momentul unui sistem de forţe coplanare este dispus după o direcţie perpendicularăpe planul forţelor. În cazul sistemului de forţe coplanare, torsorul are două componenteperpendiculare.




2) Sistemul de forţe paralele.

Proprietate: toate dreptele suport ale forţelor sunt paralele.

i iF F u , unde u este versorul dreptei suport.

uFrFrMuFuFFR

iiiiO

iiiO )(

)( R ׀׀ u şi uM O 2.36.

Dacă alegem un punct O, datorită caracterului de vector alunecător al forţei, toateforţele se pot translata pe suportul lor astfel încât toate să aibă originea într-un planperpendicular pe versorul u , şi care să-l conţină pe O. Rezultă că orice cuplu

iiOi FrM va fi un vector situat în planul definit anterior ( 0OiM ); OiO MM .

De aici rezultă că 0OM şi OMR . O aplicatie deosebit de utilă a acestor rezultate oconstituie calculul centrelor de masă (vezi curs 2)

2.3. ECHILIBRUL RIGIDULUI.

Prin definiţie numim rigid corpul ideal, ipotetic care indiferent de numărul şi valoareaforţelor ce acţionează asupra sa deformaţiile sunt nule, sau se pot neglija.

Ca şi în cazul punctului material se studiază echilibrul rigidului în cele două situaţii:

- Rigidul liber.

- Rigidul supus la legături.




Legăturile pot fi:

-fără frecare;

-cu frecare.

2.3.1. Rigidul liber.Dacă un corp este liber, condiţia ca el să fie în echilibru este ca torsorul de reducere al forţelor exterioare să fie nul.

x

O yO

z

R 0R 0

R 0M 0

R 0

şi

000

OZ

OY

OX

MMM

2.57.

În cazul cel mai general, pentru determinarea poziţiei de echilibru a unui corp putemscrie 6 ecuaţii. Aceste ecuaţii prezintă particularităţi în funcţie de sistemele particulare deforţe.Exemplu: în cazul unui sistem de forţe plane, coordonatele de echilibru sunt deforma:

000

OZ

y

x

MRR

2.58

datorită faptului că studiem rigidul, la cele 6 ecuaţii se adaugă încă 3 ecuaţii ce reprezintădistanţele dintre cele 3 puncte care rămân constante. Cum cele 3 puncte se aleg aleatoriu,rezultă că cele 3 distanţe AB, BC şi CA sunt cunoscute.

213

213

213

223

223

223

212

212

212

)()()()()()()()()(

zzyyxxCAzzyyxxBCzzyyxxAB




2.3.2. RIGIDUL SUPUS LA LEGĂTURI.

În cazul rigidului supus la legături, întâlnim 2 situaţii: legături lucioase şi legături cu frecare. Este necesar să introducem, pe lângă

noţiunea de torsor de reducere al forţelor exterioare şi noţiunea de torsor al forţelor din legături: O' . Condiţia de echilibru este:

OO '

Componentele celor doi torsori de reducere trebuie să fie egale în modul, dispuse pe aceeaşi direcţie şi având sensul contrar.

2.3.2.1. Legăturile rigidului:

Se vor studia mai întâi legăturile fără frecare ale rigidului:

-reazemul simplu;

-articulaţia;

-încastrarea;

-legătura cu fir.

Reazemul simplu.

Este cea mai simplă legătură mecanică, care împiedică deplasarea unui punct al corpului pe o anumită direcţie.În mecanică seutilizează axioma legăturilor, care afirmă că orice legătură se poate înlocui cu un echivalent mecanic al său, format din forţe şi (sau)momente. Reazemul se reprezintă astfel:

Echivalentul mecanic al unui reazem este o singură forţă dispusă pe direcţia pecare deplasarea este impusă.

Cazurile particulare de reazem:În cazul reazemului simplu, legătura are loc într-un singur sens. Atunci când studiem echilibrul unui corp se are în vedere că pefigură se notează forţa cu care legătura acţionează asupra corpului.




ArticulaţiaNumim articulaţie legătura unui corp prin care un punct al corpului rămâne fix. Articulaţia spaţială se numeşte articulaţiesferică. Grafic, articulaţia se reprezintă astfel:

În spaţiu o articulaţie are echivalent 3componente, câte o reacţiune pe fiecare dindirecţiile spaţiului:

În plan o articulaţie are două componente, pentru care se folosesc în mod uzualurmătoarele notaţii:

RX = H = X; RY = V = Y;




În cazul în care solicitarea are loc pe o singură direcţie,articulaţia devine reazem.

Încastrarea.

Este legătura mecanică ce anulează orice mişcare relativă între cele două corpuri legate. În spaţiu o încastrare are ca echivalent 6componente: 3 forţe ce se opun deplasării relative pe cele 3 direcţii şi3 momente care se opun rotirii relative în jurul celor 3 axe.

Încastrarea plană, are trei componente, două reacţiuni pe direcţiile planului, RX = H = X,respectiv: RY = V = Y şi un moment MO, perpendicular pe planul forţelor.

Legarea cu fir.Considerând firul ipotetic (perfect flexibil, inextensibil), legătura cu fir poate fi echivalată iplan cu reazemul pe un cilindru iar în spaţiu cu reazemul pe o sferă. Prin legarea cu firun punct al corpului legat se menţine tot timpul cât forţa de legătură acţionează în sensul întinderii firului la o distanţă constantă faţăde punctul de fixare, egală cu lungimea firului. Legarea cu fir este echivalată cu o forţă în lungul firului.

Frecarea firelor. Ecuaţia lui EULER.

Apare atunci când există un corp de formă cilindrică, peste care este trecut uncablu considerat ideal. Se pune problema determinării forţei de frecare ce apare în acestcaz.

Datorită coeficientului de frecare dintre cele două corpuri, forţa T2 cu care tragemva trebui să învingă forţa T1 rezistivă şi forţa de frecare dintre cele două corpuri.




T2 ≥ T1

Problema care se pune este să găsim condiţiile de echilibru. Pentru aceastaconsiderăm că desprindem din cablu un element dφ, la distanţa unghiulară φ de capăt,conform fig. 3.30.

2 2 2 2 2

2

V dV, dar dV dA dx.

Aria elementară este dată de relaţia:

dA (y dy) y y 2 y dy dy y

dy 0, deci: dA 2 y dydV 2 y dy dx V 2 y dy dx 2 y dA, cum însă

y dA A;

Fig. 5.30. Calculul frecării firelor

02

sin2

sin2

02

cos

ddTdTdN

dNddT;

022

2

0

ddTdTdN

dNdT;

dTdN

dTdNdNdT 0

dTdT

dTdT

12

1

2 lnln0ln

TTTTTTcT

1

2lnTT

-prima formă a ecuaţiei lui EULER.




eTT

1

2 -a doua formă a ecuaţiei lui EULER. 2.61.

eTT 12 -a treia formă a ecuaţiei lui EULER.

Observaţie:

1. Se observă că în cazul frecării firelor, forţa de tracţiune are o creştere exponenţială în

raport cu o forţă reactivă pe care trebuie să o învingă, indicele exponenţial fiind

determinat de coeficientul de frecare μ şi de unghiul de înfăşurare θ.

2. Unghiul de înfăşurare θ este unghiul cuprins între perpendicularele duse dincentrul cercului în punctele de desprindere a firului de pe roată. Acest unghi poate fi maimare de 3600, în cazul în care am o singură înfăşurare şi depăşeşte 3600, atunci cândsunt mai multe înfăşurări.

Exerciţii

1. Precizaţi cele 4 cazuri de reducere al unui sistem de forţe oarecare şi relaţiilematematice cu care se identifică.

2. Definiţi sistemele de forţe coplanare si paralele si precizaţi particularităţile torsorului dereducere.

3. care sunt condiţiile matematice ce definesc ecilibrul rigidului liber si supus la legaturi?

4. Care sunt principalele legaturi fară frecare ale rigidului si echivalentul lor?

5. Care este ecuaţia lui Euller, in cazul frecării firelor?




6. Cinematica punctului material. Noţiunifundamentale. Sisteme de referinţăTimp mediu de studiu: 2 ore

Sarcini de învăţare: Prin parcurgerea acestei unităţi de studiu, studentul va fi capabilsă

definească noţiunile fundamentale utilizate în studiul cinematicii miscării unuipunct material si să stăpânească expresiile matematice de definire (legile lor ) să definească sistemele de referinţă cartezian şi polar şi modul de utilizare; calculeze legile de mişcare ale punctului în cele două sisteme de coordonate;

6.1 Noţiuni fundamentale6.1. NOŢIUNI FUNDAMENTALE

După cum s-a văzut din prezentarea generală, pentru a studia cinematica punctuluimaterial este necesară definirea unor mărimi specifice legate de cele două aspecte debază din cinematică evaluarea poziţiei în spaţiu a punctului studiat, a modului deschimbare a acestei poziţii în timp, precum şi a departajării în timp a mişcărilor punctelorstudiate. Prin mobil se înţelege punctul sau corpul care efectuează deplasareaindiferent de forma dimensiunile sale. În continuare se vor definii principalele noţiunispecifice cinematicii, cunoscute şi sub denumirea generală de parametrii cinematici.

6.1.1. Timpul

Timpul este mărimea ce ne ajută să departajăm mişcările în evoluţie, însuccesiunea sau în simultaneitatea lor, precum şi pentru evaluarea matematică aduratei de mişcare.

Este o mărime scalară, mereu crescătoare, cu reper convenţional arbitrar ales,uzual notată cu t.

6.1.2. Traiectoria

Traiectoria se defineşte ca locul geometric al punctelor succesiv atinse sauposibil a fi atinse de un punct în timpul deplasării. Traiectoria reprezintă în fapt orestricţie punctului poate fi cel mai uşor definită cu ajutorul vectorului de poziţie )(tr conformdefiniţiei date în capitolul I. Exprimarea matematică a vectorului de poziţie depinde desistemul de referinţă utilizat. Forma cea mai generală se exprimă cu ajutorul a treicoordonate generalizate geometrică prin care punctul material poate ocupa numai anumitepoziţii în spaţiu. Poziţia q1= q1(t), q2= q2(t), q3 = q3(t), care pot fi unghiuri sau distaţe funcţie

de coordonatele utilizate.Vectorul de poziţie se scrie, ca o funcţie :

( ) 1 2 3( , , )tr r q q q

y

s

x




Deoarece forma traiectoriei este foarte importantă, forma sa intră în modul dedefinire a mişcării. Dacă traiectoria este o dreaptă, mişcarea este denumită rectilinie.Dacă traiectoria este un cerc, mişcarea poartă numele de mişcare circulară. Dacătraiectoria este o elice, sau spiră mişcarea poară numele de mişcare elicoidală sauspirală. Funcţie de suprafaţa pe care este înfăşurată spira, putem avea cazurileparticulare de elice cilindrică, conică, sferică etc.

6.1.3. Spaţiul parcurs

Spaţiul parcurs de un mobil într-un interval de timp, se defineşte ca fiind lungimeaarcului de curbă din traiectorie, cuprinsă între două puncte A şi B conform fig. 3. Punctul A,corespunde momentului t1, numit de început al studiului mişcării. Dacă acest moment sesuprapune cu momentul iniţierii mişcării, atunci el se notează cu t0 şi reprezintă momentuliniţial iar punctul A, reprezintă punctul de pornire. Punctul B, reprezintă cel de al doileamoment al studiului cinematic. Dacă mişcare se sfârşeşte în acest moment t2 reprezintămomentul final al mişcării. Dacă mişcarea continuă şi după atingerea punctului B atunci t2reprezintă un moment oarecate din timpul mişcării, notîndu-se cu t. Conform figurii arculAB, reprezintă spaţiul parcus de mobil în intervalul t2 – t1, respectiv până la momentul t,dacă t0 =0. Este necesar să se facă distincţie între traiectorie si spaţiul parcurs, deoarecenu întotdeauna spaţiul parcurs (mai simplu spaţiul) şi traiectoria sunt mărimi echivalente.Dacă se consideră mişcarea circulară din figura 6.1., traiectoria este un cerc, iar spatiulparcurs poate fi fie lungimea arcului s, cuprins între cele două puncte A şi B, sau un numărde lungimi de cerc la care se adaugă arcul s. Dacă mişcarea este rectilinie atunci spaţiulparcurs reprezintă o distanţă, notată cu d sau x, coordonata axei în lungul căreia are locdeplasarea. Dacă primele mărimi sunt direct măsurabile, cosiderate ca mărimi primare, cuajutorul lor se pot defini alte mărimi numite mărimi derivate, ce vor fi definite în continuare.

6.1.4. Viteza

Viteza, este mărimea care ne ajută să diferenţiem doua mişcări în care se parcurgeacelaşi spaţiu, dar în intervale de timp diferite. Matematic, viteza se exprimă ca raportuldintre spaţiul parcurs şi timpul de parcurgere. Când distanţa şi timpul sunt relativ mari,viteza poartă numele de viteză medie, notată cu mv dată de relaţia:

2 1

2 1m

s s svt t t

6.1.




În care s este egal cu lungimea arcului din traiectorie parcurs de mobil între

cele două momente 1 şi 2. Aceasta reprezintă exprimarea spaţiului cu ajutorul

coordonatei curbilinii s. Dacă intervalul de timp Δt este foarte mic, tinzând către 0,

atunci viteza poartă numele de viteză instantanee, sau momentană. Dacă raportăm

mişcarea la un sistem de axe de coordonate, iar traiectoria unui punct o definim cu

ajutorul vectorului de poziţie r , se poate accepta că s r . Cum vectorul de poziţie

este un vector, rezultă că viteza instantanee este o mărime vectorială, ce se calculează

cu relaţia:

trv

t

0

lim 6.2.

Realizând un artificiu de calcul matematic simplu, prin înmulţirea relaţiei de definiţiea vitezei cu rapoarte egale cu unitatea ce nu schimbă deci valoarea expresiei şi grupândconvenabil apoi cum este redat în continuare, se obţine:

0lim

t

rr sv v vr s t

6.3.

deoarece:

s vt

reprezintă modulul vitezei, iar

1r

s rs

În plus, conform demonstraţiei matematice,precum şi celei geometrice din fig. 6.2.

rr

deoarece r 0, caz în care arcul de curbă subântins poate fi aproximat cu un arc de cerc, în carese ştie că tangenta în punctul median şi coarda ce subântinde arcul sunt paralele. Din cele douăargumente rezultă o proprietate deosebit de importantă, vectorul viteză este totdeauna dispus după

z

Δs

Δr

r(t)

r(t + Δt)

y

x

Fig. 6.2. Determinarea vitezei instantanee




tangenta la traiectorie. Pentru simplificarea modului de scriere în mecanică se foloseşte exprimareasimplificată a operatorului de derivare în raport cu timpul a unei mărimi vectoriale prin plasareaunui punct deasupra mărimii respective. Plasarea a două puncte semnifică derivata de ordinul doi înraport cu timpul a vectorului respectiv, cum se va utiliza la exprimarea acceleraţiei. Aşadar:

drv rdt 6.4.

Fiind o mărime vectorială vom vorbi despre variaţia vitezei fie ca direcţie, sens sau modul, sau toate la un loc.

6.1.6. Acceleraţia

Mărimea care exprimă variaţia vitezei raportată la timp poartă numele de acceleraţie. Ca şi în cazul vitezei,dacă intervalul de timp la care raportăm mişcarea este relativ mare, atunci acceleraţia poartă numele de acceleraţiemedie ma dată de relaţia matematică:

2 1

2 1m

v vvat t t

6.5.

Când 0t , aceleraţia poartă numele de acceleraţie instantanee şi se calculeazăcu relaţia:

lim v dva v rt dt

6.6.

În tehnică mai există şi noţiunea de acceleraţie de ordinul al doilea, sau secundară ce redă modul de variaţie alacceleraţiei anterioare, numită în acest caz primară,

daa rdt 6.7.

Mai poate fi denumită acceleraţia de confort, deoarece valorile ei influenţează starea fizică a omului supusunor astfel de mişcări.

6.2. SISTEME DE REFERINŢĂ

În practică, determinarea poziţiei în spaţiu a unui punct se poate realiza funcţie deinstrumentele şi aparatura disponibilă cu ajutorul a trei coordonate constând în distanţesau unghiuri. Totodată, calculele matematice impun diferite mărimi mai uşor măsurabile,sau care sunt capabile să ajute la explicarea unor fenomenre sau efecte. În continuaresunt prezentate cele mai utilizate sisteme de coordonate.

6.2.1. Sistemul de coordonate carteziene




Este cel mai utilizat sistem de coordonate. Conform fig. 6.4., sistemul este definit de trei axe de referinţă douacâte două perpendiculare, de versori , ,i j k ce îndeplinesc următoarele condiţii:

2 2 2

01

i j kj k ik i ji j i k j ki j k

6.10.Considerând un astfel de sistem de referinţă cartezian, conform fig.6.4. şi un punct oarecare M de pe

traiectoria sa, proiecţiile sale conform capitolului I sunt x, y, z,iar vectorul de poziţie ( ) ( , , )tr r x y z , este dat de relaţia:

r x i y j z k .

Utilizând relaţia de definiţie, 6.4. viteza înacest caz este:

x y zv r x i y j z k v i v j v k

x

y

z

v xv yv z

6.11.

reprezintă proiecţiile vectorului viteză în sistemul cartezian decoordonate. Utilizând aceste notaţii ale vitezei, modulul săudevine:

2 2 2 2 2 2x y zv x y z v v v

6.11.a

Direcţia vitezelor într-un sistem cartezian se stabileşte cu ajutorul cosinuşilor directori ai unghiurilor α, β şi γ,pe care vectorul viteză le face cu axele Ox, Oy şi Oz.

2 2 2

2 2 2

2 2 2

cos

cos ;

cos

x

y

z

v xv x y zv yv x y z

v zv x y z

6.12.

Acceleraţia devine:

2 2 2 2 2 2

, de modulx y z

x y z

a v x i y j z k a i a j a k

a x y z a a a

6.13.

z

M

r

k

O y

M’

xFig 6.4. Sistemul de referinţă cartezian




iar cei trei cosinuşi directori ai direcţiei sale conform relaţiilor de mai jos:

2 2 2 2 2 2

2 2 2

cos ' ; cos '

cos '

x x y ya ax y z x y z

z za x y z

6.14.

Aplicaţii.

1. Legea de mişcare a unui punct este :

2 21 12 2

r t i t j

,

unde α < 0, iar β, γ sunt constante. Ştiind că mişcarea începe la momentul t = 0, să se determinetraiectoria, viteza, acceleraţia şi hodograful vitezei.

Deoarece vectorul de poziţie are numai proiecţiei după axele Ox şi Oy, mişcarea este plană, iartraiectoria este în planul xOy. Ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sunt:

2 21 1;2 2

x t y t

Eliminând timpul între coordonate, se obţine ecuaţia:

xy

care este o semidreaptă. Prin derivarea vectorului de poziţie se obţine:

v r ti tj ; a r i j

ce reprezintă expresiile vitezei şi acceleraţiei. Modulul lor devine:

2 2 2 2 2 2( ) ( ) , iarv t t t Kt a

ce definesc o mişcare rectilinie uniform accelerată ce porneşte din origine.

2. Un punct material se deplasează după legea x = 15 t2 ; y = 4 - 20 t2. Se cer: ecuaţiatraiectorie, viteza şi acceleraţia.

Prin datele problemei se dau ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Prin eliminarea timpuluiîntre ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, se obţine ecuaţia acesteia:

434 xy .




ce arată că traiectoria este o dreaptă. Poziţia în momentul iniţial se obţine pentru t = 0 şirezultă coordonatele punctului:

x = 0 ; y = 4

Viteza are componentele :

0xv x 30t ; vy = y = - 40t 0 30 40v ti tj

iar modulul este:

2 2(30 ) (40 ) 50v t t t

Mişcarea fiind plană, suportul vitezei are direcţia dată de cosinusul unghiului pe care vitezaîl face cu axa Ox:

3cos5

xvv

.

Acceleraţia are componentele :

xa 030 x ; 040 ya y 30 40a i j

de modulul: 2 2(30) (40) 50a =const.

şi direcţie : 3cos5

xaa

Rezultat firesc deoarece mişcarea fiind rectilinie viteza şi acceleraţia sunt coliniare.Acceleraţia are acelaşi sens cu viteza şi este constantă. Mişcarea este uniform accelerată.

6.2.2. Sistemul de coordonate polare

Este un sistem utilizat numai dacă punctulmaterial execută o mişcare plană. Numim mişcareaplană, cazul particular în care punctul rămâne tot timpulmişcării în acelaşi plan.

Pentru studiu se alege din sistemul cartezian,planul xOy. Pentru aceasta se defineşte un pol al mişcăriiO şi axa polară, axa Ox. Poziţia unui punct în plan îldefinim prin vectorului de poziţie r şi unghiul pe care acesta îl face cu axa Ox. Se introduc versoriiacestui sistem, pe care-i notăm cu u şi u . Versorul

u este versorul vectorului de poziţie, iar u esteversorul perpendicular pe primul rorit în senstrigonometric, sau antiorar. Pentru a calcula parametrii

v

vv

aa a

j

u

y

O




cinematici vom exprima pe u şi u , versori variabili în direcţie cu ajutorul proiecţiilor lor pe axele sistemului.

cos sin

sin cos

u i j

u i j

Având în vdere că cei doi versori depind de timp prin intermediul variabilei , prin derivarese obţine:

sin cos ( sin cos )

cos sin (cos sin )

u i j i j u

u i j i j u

6.16.

Ecuaţia traiectoriei va fi dată de relaţia:

r ru 6.17.

Prin derivarea vectorului de poziţie după regula de derivare a produsului şi utilizând relaţiile6.16. obţinem:

v r ru ru ru r u 6.18.

Scriind expresia vitezei cu ajutorul proiecţiilor conform fig.6.5. şi punând condiţia deidentitate a celor două expresii vectoriale ale vitezei se obţin expresiile proiecţiilor vitezei în sistemcartezian, date de relaţiile:

v v u v u ru r u

v r

v r

6.19.

Expresiile vitezei în coordonate polare, cum era de aşteptat arată că viteza are douăcomponente. Una coliniară cu uρ şi dată de variaţia în modul a vectorului de poziţie ca în cazulmişcării rectilinii dacă unghiul rămâne constant şi una perpendiculară pe uρ, dată de variaţiaunghiului ă vectorul de poziţie ar rămâne constant, ca în cazul mişcării de rotaţie, în care . Aceste mişcări particulare ale punctului sunt prezentate în paragrafele 6.2.5.1., respectiv6.2.5.2..

Derivând expresiile vitezei se obţin expresiile acceleraţiei în coordonate polare:

2( ) (2 )a v r ru ru r u r u r u r r u r r u

Ca şi viteza, acceleraţia are tot două componente după direcţiile sistemului de referinţă,conform fig.6.5.. Exprimând matematic aceast rezultat şi identificând relaţiile se obţin proiecţiileacceleraţiei pe axele sistemului, şi modulul său:




2

2 22

2

2

a r ra a u a u

a r r

r r r r

6.20.

Aplicaţie: Să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia absolută a unui punct ale căruiecuaţii parametrice în coordonate polare sunt :

tr a et

Pentru calculul expresiei traiectoriei, r=r( ă timpul din cele două relaţii,obţinând:

ce reprezintă ecuaţia traiectoriei.t r ae

Aceasta reprezintă ecuaţia unei spirale

logaritmice. Pentru calculul vitezei şi acceleraţiei derivând în raport cu timpul obţinem:

tdrr a edt

şi 2 tr a e , iar , şi =0 . 6.20.a.

Utilizând relaţiile 6.19. pentru viteză obţinem:

v v u v u , în care , respectivt tv r a e v r r ae .

Modulul vitezei este:

2 2 2 2 2 2 2 2t t tv a e a e ae

iar unghiul făcut de viteză cu vectorul de poziţie se calculează cu relaţia:

*( , ) vtg v tgv

Conform relaţiilor 6.20. a a a , iar pentru aplicaţia dată utilizând şi rezultatele din

relaţia 6.20.a. rezultă:

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

( ) 4 ( )

t t t

t t t t

a r r ae ae a r r ae

a e a e a e ae

iar unghiul făcut de acceleraţie cu vectorul de poziţie se calculează cu relaţia:

*2 2

2( , ) atg a tga




Exerciţii:

Definiţi noţiunile fundamentale utilizate în studiul cinematicii miscării unui punctmaterial si expresiile matematice de definire a lor (legile lor ); Definiţi sistemele de referinţă cartezian şi polar şi deduceţi, expresiileparametrilor cinematici, traiectorie, viteză şi acceleraţie specifice fiecăruia; Rezolvaţi problemele propuse şi rezolvate independent de curs;




7. Cinematica punctului material pentrumişcări simple. Elemente de cinematicarigiduluiTimp mediu de studiu: 2 ore


definească mişcările particulare ale punctului material si sa le poată utiliza inrezolvarea unor aplicatii concrete;

utilizeze in evaluarea mişcării unui rigid, modelul de studiu utilizat in mecanică; descrie cele două mişcări simple ale rigidului de translaţie şi de rotaţie si să explice

diferenţele fundamentale dintre ele;

MIŞCĂRI PARTICULARE ALE PUNCTULUI MATERIAL

1.4.2.1 Mişcări rectilinii

1.4.2.1.1 Mişcarea rectilinie uniformă

Mişcarea rectilinie uniformă este mişcarea unui punct a cărui traiectorie este un segmentde dreaptă şi cu viteza constantă în modul. Se alege sistemul cartezian de axe decoordonate Oxyz astfel încât axa Ox să fie pe dreapta pe care are loc mişcarea. Sepresupune că, la momentul iniţial t =0 al mişcării, punctul se află în poziţia dată de 0xx

şi are viteza 0vv . Din condiţiile prezentate, rezultă că

0, , 0x y zy z v C v v .

Cum

xvx ,

rezultă, prin integrare,

1CCtx .

Folosind condiţiile iniţiale, se determină valorile celor două constante şi se obţine

0,00 zyvtxx ,

ecuaţiile mişcării rectilinii şi uniforme.

Ca derivată a vitezei în raport cu timpul, acceleraţia punctului este nulă. Reciproc,dacă o mişcare are acceleraţia nulă, atunci mişcarea este rectilinie şi uniformă, ceea ce s-a demonstrat şi în observaţiile 7.1, dar rezultă şi din următorul calcul:




din

0a ,

rezultă

0 zyx .

Prin integrare, se obţine

000 ;; zctzybtyxatx ,

unde s-au notat cu 000 ,, zyx , coordonatele vectorului de poziţie la momentul iniţial, iar cua, b, c componentele constante ale vitezei.

Eliminând t între aceste trei relaţii, se obţine ecuaţia explicită a curbei pe care se aflătraiectoria. În cazul considerat, se ajunge la următorul rezultat

czz

byy

axx 000

,

care reprezintă ecuaţiile unei drepte, deci mişcarea este rectilinie. Pe de altă parte,proiecţiile vitezei pe axele de coordonate sunt

cvbvav zyx ,, ,

de unde

222 cbav ,

deci viteza este constantă, adică mişcarea este rectilinie uniformă.

1.4.2.1.2 Mişcarea rectilinie uniform variată

Mişcarea rectilinie uniform variată a unui punct este mişcarea a cărei traiectorie este unsegment de dreaptă şi a cărei acceleraţie este constantă. Ca şi la mişcarea rectilinie şiuniformă, sistemul de coordonate se alege cu Ox dreapta pe care are loc mişcarea, iarcondiţiile iniţiale, la 0t , sunt 0 0,x x v v . Din faptul că mişcarea are loc de-a lungul axeiOx, rezultă că, în tot timpul mişcării,

0 zy .

Notând cu a valoarea constantă a modulului acceleraţiei, adică x a , se obţine, prinintegrare

1x v a t C

şi, încă,

21 2

12

x a t C t C .




Din condiţiile iniţiale, se determină valorile celor două constante de integrare. Se găseştelegea de mişcare în mişcarea rectilinie uniform variată

20 0

1 , 02

x a t v t x y z

şi expresia vitezei

0v a t v .

Eliminând t între relaţiile de mai sus, se ajunge la formula lui Galilei

020 2 xxavv .

În cazul în care punctul material pleacă din origine, fără viteză iniţială, se obţine

axv 2 .

Un exemplu deosebit de important este căderea sau aruncarea unui solid rigid(care poate fi asimilat cu un punct material), pe verticală în vid. În acest caz, acceleraţianumită acceleraţia gravitaţiei (acceleraţia gravitaţională) este constantă ca mărime,direcţie şi sens, fiind vertical descendentă. La latitudinea ţării noastre, mărimeaacceleraţiei gravitaţionale este

281,9smg .

Aplicaţie

Două puncte materiale se deplasează pe o dreaptă unul spre celălalt. Primul pleacă dinpunctul A, în mişcare uniformă cu viteza v1, celălalt pleacă din punctul B, după t1 s de laplecarea primului şi are o mişcare uniform accelerată, cu viteza iniţială v0 şi acceleraţia a(fig. 1). Cunoscând distanţa AB=d, să se determine locul şi momentul întâlnirii celor douăpuncte materiale.

Soluţie

Aplicând formulele, se obţin legiile de mişcarepentru cele două puncte. Astfel, pentru punctul aflatîn mişcare rectilinie uniformă, legea de variaţie aabscisei sale x, pentru Ox = AB, este

11 ttvx ,

iar pentru cel aflat în mişcare rectilinie uniform variată

,2 0

2

dtvtax

Figura 1




pentru 0t . Întâlnirea are loc când punctele sunt caracterizate prin aceeaşi abscisă, iartimpul t este acelaşi, adică

dtvtattv 0

2

11 2.

Se obţine, astfel, o ecuaţie de gradul al doilea în t

20 1 1 12 2( ) 0a t v v t d v t .

Cum problema nu are sens în cazul în care, în momentul în care porneşte cel de-aldoilea mobil, primul să fi depăşit deja punctul B, deci pentru 1 1v t d , rezultă că produsulrădăcinilor ecuaţiei de mai sus este negativ, deci ecuaţia admite o rădăcină pozitivă şi unanegativă. Evident, convine doar cea pozitivă. Discriminantul ecuaţiei

20 1 1 14 8v v d v t

este pozitiv, ca sumă de numere pozitive, deci problema admite soluţie unică. Dacă 1t este rădăcina pozitivă a ecuaţiei de mai sus, valoarea ei reprezintă timpul după caremobilele se întâlnesc

20 1 0 1 1 1

1

4 8'

v v v v d v tt

a

Locul de întâlnire este dat de

111 ttvx .

1.4.2.2 Mişcări curbilinii

1.4.2.2.1 Mişcarea circulară

Mişcarea circulară este mişcarea a cărei traiectorie este un cerc sau un arc de cerc.

s s t R t ,

unde t este legea de variaţie a unghiului polar.

,ddt .

v s R R

şi

2 2 22

c

a s R Rv Ra RR R




Se numeşte viteză unghiulară mărimea scalară egală cu derivata în raport cu timpul aunghiului descris de raza solidară cu punctul care se mişcă

dtd .

Se numeşte acceleraţie unghiulară mărimea scalară care caracterizează variaţia vitezeiunghiulare în unitatea de timp şi se exprimă prin derivata vitezei unghiulare în raport cutimpul

dtd .

Ca şi în cazul mişcării rectilinii, mişcarea circulară poate fi:

1) mişcare circulară uniformă, în cazul în care modulul vitezei este constant. Cum

0 0t

Înlocuind în legea orară, se găseşte ecuaţia orară în mişcarea circulară uniformă

0 0s R t .

Mărimile vitezei şi proiecţiilor acceleraţiei sunt2

0 0, 0,v R a a R .

2) Mişcarea circulară uniform variată este mişcarea circulară, pentru care consta .

20 0 0 0 0 0

1 , ,2

t t t ,

unde 000 ,, sunt valorile funcţiilor corespunzătoare la momentul iniţial al mişcării.

Exerciţii1. Diagrama de mişcare a unui punct (reprezentarea vectorului de poziţie, ca funcţie

de timp) este o linie dreaptă. La 0, 2 , 90t s x mm . În intervalul de timp de la

1 0,6t s la 2 1,2t s , punctul se deplasează 180x mm .

a) Să se determine ecuaţia de mişcare.b) Care este viteza punctului?

2. Precizaţi parametrii cinematici (spatiul parcurs, viteza şi acceleraţia) in miscarearectilinie uniform accelerată;

3. Precizaţi parametrii cinematici spatiul parcurs, viteza şi acceleraţia unui punct pe otraiectorie circulară si viteza şi acceleratia unghiulară a acestuia;

Răspunsuri:

1. Pentru că graficul este un segment de dreaptă, mişcarea este rectilinie uniformă.Legea de mişcare este




0x x v t .

Viteza este constantă şi se determină din

180 0,3 /0,6

dxv m sdt

.

Din condiţia iniţială, la 0,2t s , 90x mm , se obţine legea de mişcare

150 300 ( )x t mm

sau

0,15 0,3 ( )x t m .

CINEMATICA RIGIDULUI

7.1. FUNDAMENTAREA PROBLEMEI.

În cazul cinematicii rigidului problema se complică fată de punct. Rezolvareaproblemei cinematicii rigidului revine la a putea preciza în orice moment parametriicinematici (traiectorie viteză, acceleraţie) pentru oricare punct al corpului. Considerând uncorp de formă oarecare, se utilizează două sisteme de referinţă. Un sistem de referinţăconsiderat fix, ale cărei mărimi definitorii sunt însoţite de indicele 1, notat prescurtat cuS.R.F. şi un sistem de referinţă mobil legat de corp, Oxyz notat prescurtat cu S.R.M.. Înaceste condiţii, poziţia punctului M, o putem reda cu vectorul 1r , în S.R.F., cu vectorul depoziţie r în raport S.R.M., iar originea S.R.M. faţă de cel absolut prin vectorul de poziţie

Or . Cei trei vectori se observă că se pot exprima cu ajutorul proiecţiilor astfel:

1 01 1 1 11 1 1 01 01 011 1( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )r x t i y t j z t k r x t i y t j z t k r xi t y j t zk t 7.1.

Dacă analizăm pe rândcele trei mărimi vectoriale dinrelaţia 7.1. se observă căpentru a definii primii doivectori, este necesar săcunoaştem cele sase proiecţii.Proiecţiile lui r pe axelesistemului mobil sunt constanteşi cunoscute deoarece punctulM se alege, deci coordonatelesale sunt cunoscute. În schimb,

, ,i j k sunt versori, constanţi înmodul dar variabili în direcţie.Deoarece pentru definirea unui

vector sunt necesare trei mărimi (exemplu trei proiecţii, trei unghiuri, etc.), atunci, pentru

M

z

z1 r y

1r k j

O

Or i

x

O1 y

x

Fig.7.1. Calculul parametrilor cinematici ai unui punct curent al unuicorp




definirea lor avem nevoie de nouă mărimi scalare funcţie de timp, cu ajutorul cărora sădefinim unic poziţia corpului. Adăugând la cele nouă mărimi cele trei proiecţii ale lui Or , arfi necesare douăsprezece ecuaţii. În realitate, aceste nu sunt toate independente camărimi. Deoarece cei trei versori formează un triedru ortonormal se pot scrie cele saseecuaţii date de relaţiile 7.3.. Dacă se scad cele sase ecuaţii rezultă că mai rămăn numaisase mărimi independente cu care se poate exprima vectorul de poziţie 1r .

Conform fig. 7.1. se poate scrie ecuaţia 7.2., care exprimă vectorial ecuaţia triectoriei unui punct oarecare M alcorpului:

rrr 01 7.2.

7.4. MIŞCĂRILE PARTICULARE ALE RIGIDULUI

7.4.1. MIŞCAREA DE TRANSLAŢIE A RIGIDULUI

Prin definiţie numim mişcare de translaţie mişcarea unui corp în care orice dreaptăa corpului rămâne tot timpul mişcării paralelă cu ea însăşi.

Este mişcarea cea mai simplă întâlnită. În practică se pot întâlni două forme demişcări de translaţie, funcţie de traiectoriile descrise de punctele în mişcare. Formarectilinie este cel mai des întâlnită, ca exemplu fiind mişcarea liftului, mişcarea pistonului încămaşa sa, mişcarea căruciorului şi mesei de la maşinile unelte, mişcarea berbeculmaşinii de rabotat, mişcarea vagoanelor pe o linie de cale ferată dreaptă, mişcarea unuicorp tras pe un plan, mişcaea culatei tunului, etc.. A doua formă este mai rar întîlnităatunci când traiectoria are diverse forme curbe în plan sau în spaţiu. Ca exemplu putemconsidera mişcarea bielei orizontale de la locomotivele cu abur care leagă între ele maimulte roţi de tracţiune, mişcarea scaunelor de la roţile verticale folosite în parcurile dedistracţii (scârciob), mişcarea cabinelor şi gondolelor utilizate în transportul pe cablu, etc..

Din punct de vedere matematic, această proprietate se transpune în felul următor.

Deoarece prin definiţie orice dreaptă a corpului rămâne paralelă cu ea însâşi rezultăcă cei trei versori ai sistemului de referinţă mobil devin constanţi şi în direcţie. În acest caz

0,i j k 0 0,x y z

Pornind de la relaţia vitezelor a lui Euler 7.7. această particularitate conduce la:

0Mv v v 7.16.

ce arată că în mişcarea de translaţie toate punctele au aceeaşi viteză. Cu alte cuvinte înmişcarea de translaţie a unui corp viteza este un invariant cu punctul.

Expresia vitezei ne arată că prin derivarea sa se obţine relaţia imediată,

0 Mv a a a 7.17.

Relaţia 7.17. demonstrează că acceleraţia oricărui punct al unui corp aflat înmişcare de translaţie în fiecare moment este o constantă. Deci acceleraţia reprezintă aldoilea invariant cu punctul în cazul cinematicii rigidului.




7.4.2. MIŞCAREA DE ROTAŢIE A RIGIDULUIPrin definiţie, numim mişcare de rotaţie a unui corp, mişcarea în care oricare două puncte

ale corpului rămân fixe pe toată durata mişcării. Cele două puncte definesc o dreaptă, ce rămânefixă în timpul mişcării. Această dreaptă fixă poartă numele de axa mişcării de rotaţie.

Mişcarea de rotaţie are deosebit de multe aplicaţii în tehnică, cum ar fi spre exemplu:mişcarea volantului unui motor, rotorul unui electromotor, axul unei turbine, etc.

Pentru studiul parametrilor cinematici, conform fig. 7.3., se alege un sistem de axe fix şi unsistem de axe mobil convenabil, astfel ca originile celor două sisteme O şi respectiv O1 să sesuprapună. În acst caz, axele Oz, respectiv O1z1 se suprapun, iar direcţia vitezei unghiulare , cereprezintă variaţia unghiului de rotaţie a sistemului mobil în raport cu cel fix se va suprapune pestecele două axe, fiind pozitivă în sensul pozitiv al axelor. Cum rezultă din figură, traiectoria lui M, unpunct al corpului ales aleatoriu, este un cerc de rază O2M=d, situat într-un plan perpendicular pe axa

de rotaţie. Punctul O2 reprezintă cel de al doilea punctal axei de rotaţie, ce este chiar axa Oz.Datorită particularităţii de alegere a sistemului de axe,

1 . 0k k ct k .Conform notaţiilor lui Poisson relaţia 7.5.

avem:

0, 0x yj k k i

,zk k k .

Fig. 7.3. Mişcarea de rotaţie a rigidului şideoarece, 1 10, şioO O r r r

ecuaţia lui Euler 7.7. devine:

2 2 2 2

0 0 0 , , 0.

( ) ( )

M x y z

M

i j kv v r yi x j k v y v x v

x y z

v y x x y d

7.18.

Pentru analiza variaţiei cu punctul a parametrilor cinematici ai unui rigid se utilizeazăepura vitezei şi epura acceleraţiei. Epura reprezintă transpunerea grafică a parametrilorcinematici a două sau mai multe puncte coliniare ale unui rigid, cu rolul de a evidenţiamodul de variaţie a parametrului evaluat. Pe baza relaţiilor 7.18. sunt trasate alăturat,epura vitezelor în mişcarea de rotaţie. Din analiza acestor epure ale vitezelor, precum şi arelaţiilor matematice se pot trage mai multe concluzii.

z=z1

y1

x1

x

y

M

O2

r1=r

v

O1=O

d




-Se poate vedea că pentru două sau mai

multe puncte coliniare situate pe o dreaptăperpendiculară pe axa de rotaţie, vitezaabsolută a punctelor ca şi proiecţiile sale peaxele sistemului fix sunt vectori paraleli, deacelaşi sens dacă punctele sunt de aceiaşiparte a axei de rotaţie, al căror modul esteproporţional cu distanţă faţă de axa derotaţie. Cu alte cuvinte vârful vectorilorvitezelor a n puncte coliniare situate pe odreaptă perpendiculară pe axa de rotaţie esteo dreaptă ce trece obligatoriu prin axa derotaţie, întrucât toate punctele de pe axa derotaţie au viteza nulă. Conform figurii şiproiecţiile vitezelor se bucură de aceiaşiproprietate. Acest rezultat se verifică

matematic, deoarece:

, , ,M x yv d v y v x

ce arată că modulul vectorului viteză în mişcarea de rotaţie a unui corp prezintă o variaţieliniară cu depărtarea faţă de axa de rotaţie.

Conform fig. 7.3. cu d s-a notat distanţa punctului faţă de axa de rotaţie.

- considerând trei puncte A2, A’2, A”2 situate pe o dreaptă paralelă cu axa derotaţie, conform epurei sunt vectori echipolenţi, având aceiaşi direcţie sens şi modul.Matematic acest rezultat se verifică prin faptul că viteza nu depinde de coordonata z, toatecele trei puncte având aceleaşi coordonate x şi y.

- pornind de la definiţie orice punct de pe axa de rotaţie este nulă.

- vitezele sunt dispuse întotdeauna într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie.CALCULUL ACCELERAŢIILORPentru calculul acceleraţiilor se poate porni de la relaţia lui Rivals 7.14.

( )M oa a r r . Dacă se are în vedere că acceleraţia unghiulară k este unvector constant în direcţie şi coliniar cu .

2 20 0 0 0 ( ) ( ) 00

M

i j k i j ka a y x i x y j k

x y z y x

7.19.

- Rezultă că şi acceleraţia unui punct al unui corp în mişcare de rotaţie are numaicomponente în planul xOy. Cum era de aşteptat, se observă că aceste două componente

y1

z1

x1

1z1

O 1

r” 2

r’ 2

A” 2

A ’ 2

V A”2

V A ’ 2

A 1

A 2A 3

V A2V A1V x1V y1

V x2

V y2

V A3

V y3

V x3

FFig.7.4. Epura vitezelor în mişcarea de

rotaţie.




sunt aceleaşi cu cele ale punctului în mişcare de rotaţie. O componentă tangenţială latraiectorie, de modul a d , având proiecţiile pe axa Ox egală cu y respectiv x

pe axa Oy şi componenta normală orientată către centrul de rotaţie de modul2na d , având proiecţiile pe axa Ox egală cu 2 x respectiv 2 y pe axa Oy. Din

expresia vectorială a lui a , deoarece0r r rezultă că:

2( ) ( ) ( )r r r r

ce confirmă că această componentănormală este dispusă în lungul lui ravând sens contrar, adică esteorientată totdeauna către centrul derotaţie, respectiv:

2 na r r a a 7.20.

Calculând conform relaţiei 7.19. modulul acceleraţiei, se obţine:

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4( ) ( )a y x x y r r r

ce arată că şi acceleraţia prezintă o variaţie liniară cu punctul.

Acest rezultat se confirmă şi cu epura acceleraţiilor unui rigid în mişcare de rotaţieconform fig .7.5.

Exercitii:

1. Definiţi modelul de studiu al mişcării rigidului

2. Precizaţi modul de distribuţie al vitezei şi acceleraţiei unui punct alunui corp cu poziţia sa in geometria corpului pentru miscările particulare detranslaţie şi rotaţie a rigidului. Explicaţi diferenţele constatate.

z1

x1

y1o

xr2

xr1

r1-2r1

A ’ 2 atA ’ 2

anA ’2

anA2atA2

aA2r2

A 1

A 2

Fig 7.5. Epura acceleraţiilor în mişcarea derotaţe.




8. Dinamica punctului materialTimp mediu de studiu: 2 ore


definească noţiunile fundamentale ale dinamicii punctului material; utilizeze relaţiile lor de definiţie; utilzeze legile de variaţie ale marimilor dinamice studiate si sa le interpreteze in

aplicaţii; Dinamica punctului materialDinamica studiază mişcarea mecanică luând în consideraţie masa, forţele şi

momentele ce o generează. În cadrul dinamicii se însumează rezultatele matematiceobţinute în capitolele din statică, unde s-au studiat condiţiile de echilibrul cu cele dincinematică unde s-a studiat mişcarea mecanică numai sub aspect geometric fără a seconsidera mărimile mecanice care o produc. Pentru această abordare, pe lângă o serie denoţiuni introduse în statică şi cinematică este necesar să fie introduse noţiuniifundamentale specifice dinamicii ce vor fi studiate în capitolele ce urmează.

8.1. NOŢIUNI ŞI TEOREME FUNDAMENTALE ÎN STUDIUL DINAMICIIPUNCTULUI MATERIAL LIBER

8.1.1. Lucrul mecanic

Fie un punct material care sub acţiunea uneiforţe F se deplasează de la M1 la M2 conform fig8.1. Dacă forţa F este constantă în direcţie sensşi modul, iar deplasarea de la M1 la M2 esterectilinie, atunci numim lucrul mecanic produsuldintre forţă şi deplasarea M1M2, care poate fioricât de mare. Matematic relaţia de definiţie este:

1 2 1 2 1 2 2 1cos , cumL F M M F M M M M r r r L F r 8.1.

Pornind de la proprietăţile legate de produsul scalar se obţin următoarele relaţii decalcul echivalente:

cos cos , , dar

cos , r r

L F r F r F r

F F r pr F L pr F r

8.2.




sau proiectând pe direcţia forţei deplasarea r

cos F Fr F r pr r L pr r F 8.3.

Relaţiile 8.2. şi 8.3. arată că lucru mecanic se poate calcula cu produsul scalardintre unul din vectori şi proiecţia celuilalt pe el.

Funcţie de valorile unghiului dintre vectorii produsului scalar lucru mecanic seclasifică astfel:

Dacă 0 0,2

L purtând numele de lucru mecanic motor sau activ,

generând mişcarea.

Dacă 0,2

L purtând numele de lucru mecanic rezistent sau pasiv,

opunându-se mişcării.Dacă 0 L=0 avem lucru mecanic nul.

8.1.2.Lucru mecanic elementar

Dacă însă, conform fig 8.1. forţa nu mai este constantă atunci cele două puncte seconsideră suficient de apropriate astfel încât să se poată face aproximaţia că forţa esteconstantă iar 0r dr . Pentru acest caz lucru mecanic poartă numele de lucrumecanic elementar , se notează cu dL , fiind calculat cu relaţia:

dL F dr 8.8.

Proprietăţile lucrului mecanic elementar

P1. Lucru mecanic elementar se poate calcula cu produsul scalar dintre unul dinvectori şi proiecţia celuilalt pe el conform relaţiilor 8.2. şi 8.3.

P2. Dacă deplasarea dr se obţine ca o sumă de deplasări 1 2 ... ndr dr dr dr ,atunci,

1 21

...n

n ii

dL Fdr F dr dr dr Fdr

8.5.

lucrul mecanic elementar dL se obţine ca o sumă algebrică a lucrurilor mecaniceelementare efectuate de forţa F pe fiecare deplasare ird

P3. Dacă F se obţine ca rezultantă a unei sume de forţeconcurente 1 2 ... nF F F F

1 21

...n

n ii

dL F dr F dr F dr F dr F dr

8.6.

adică lucrul mecanic elementar dL se obţine ca sumă algebrică a lucrurilor mecaniceelementare efectuate de fiecare forţă Fi în timpul deplasării punctului material cu rd .




P8. Dacă

1,0cos

2,0 avem lucru mecanic elementar motor sau

activ fiind cel care generează mişcarea

Dacă

1,0cos,

2 lucrul mecanic se opune deplasării corpului şi se

numeşte lucru mecanic elementar rezistiv sau pasiv (se opune mişcării).

P5. Având în vedere că de la cinematică dr vdt şi dacă se face unartificiu simplu

de calcul

dt drdL Fdr F dt F vdtdt dt

8.7.

Dacă se foloseşte un sistem de referimţă cartezian, atunci:

,x y z x y z x x y y z zF F i F j F k v v i v j v k dL F v F v F v dt 8.8.

8.1.3.Lucru mecanic total sau finit

Atunci când punctul material se deplasează pe un arc S al unei curbe între douăpuncte A şi B , lucrul mecanic efectuat de forţa F poartă numele de lucrul mecanic totalsau finit şi se obţine însumând prin integrare lucru mecanic elementar pe fiecare intervalinfinitezimal, cumulând proprietăţile P4 şi P5. este:

0

S

t AB ABL dL L dL 8.9.

8.1.4. Puterea

Prin definiţie, când forţa ( şi /sau momentul în cazul rigidului ) sunt constante atunciputerea reprezintă lucrul mecanic efectuat în unitaea de timp respectiv:

LPt 8.10.

Când forţa ( şi /sau momentul în cazul rigidului ) sunt variabile, atunci prin definiţie,variaţia lucrului mecanic elementar în raport cu timpul o numim putere, şi se noteazăcu P, fiind dată de relaţia:

dLP F vdt 8.11.

În mişcare de rotaţie, datorită particularităţilor stabilite la cinematică:

cos0F v F v F v F v

Cuplul dat de momentul forţei ce produce mişcarea de rotaţie este:




sin / 2, =M F R FR

iar viteza periferică v R , în care R este raza cercului pe care se mişcă punctul.Înlocuind aceste relaţii care în relaţia 8.11. conduce la:

MP 8.12.

8.1.5. Impulsul mecanic şi teoremele sale

Impulsul mecanic, uzual impulsul sub o formă ştiinţifică a fost definit şi introdus deLeonardo da Vinci şi Galileo Galilei, fiind denumit de Newton şi cantitate de mişcare. Prindefiniţie numim impuls mecanic al unui punct de masă m ce se deplasează cu vitezav , vectorul coliniar cu v şi având modulul proporţional cu aceasta. Cum este redatîn fig.8.2. impulsul este notat cu H , iar expresia matematică de calcul este:

vmH 8.13.

Teoremele impulsului

Prima teoremă stabileşte legea de variaţia impulsului în raport cu timpul. Pentruaceasta, derivând expresia sa matematică de calcul se obţine:

( )dH d dvH m v m m a Fdt dt dt

sau:

H F 8.14.

Relaţia 8.14., teorema impulsului careafirmă: variaţia impulsului unui corp esteegală cu forţa F ce acţionează asuprapunctului în acel interval de timp.

Teorema conservării impulsului

Dacă în timpul mişcării, într-un interval de timp asupra corpului nu acţioneazănici o forţă sau rezultanta forţelor este nulă atunci spunem că impulsul seconservă. 0F . Aceasta implică:

CHFH 0 8.15.

Conservarea impulsului poate fi totală, ca în cazul de mai sus, sau parţială, avândîn vedere că într-un sistem de axe cartezian,

kFjFiFF

kHjHiHH

zyx

zyx

z ( )M t

v

kH mv

j

O y

x Fig. 8.2. Impulsul mecanic.

Fig. 8.1. Calculul lucrului mecanicelementar




putem avea mai multe situaţii particulare. Astfel, când Fx=0, Fy 0 Fz0 rezultă relaţiile8.16.a., iar dacă Fx=0, Fy 0 Fz0, relaţiile 8.16.b:

0

0

0

)

z

y

x

H

HH

a

0

0

0

)

z

y

x

H

HH

b

8.16.

Relaţiile anterioare arată că impulsul se poate conserva şi numai parţial pe una (cazula) sau două (cazul b) din direcţiile spaţiului.

8.1.6. Momentul cinetic şi teoremele sale

Numim moment cinetic al unui punct de impuls H în raport cu un punct 0,produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului şi impulsul său. Aceastămărime dinamică se notează cu 0K şi se calculează cu una din relaţiile următoare:

vrmvmrHrK 0 8.17.

Ce arată că momentul cinetic este un vector perpendicular pe planul format de ceidoi vectori, sensul se determină cu regula burghiului drept, sau rotind primul vector peste

al doilea pe drumul cel mai scurt, iar modululeste dat de relaţia:

sin0 vrmK

Dar, în cadrul cinematicii s-a definitnoţiunea de viteză areolară dată de relaţia:

vr21

de unde rezultă:

mK 20 8.18.

Teorema momentului cinetic (legea de variaţie)

Prima teoremă se obţine derivând expresia momentului cinetic 0K în raport cu timpulobţinând:

00 0

dK d dvK r mv r mv r m r ma r F Mdt dt dt

8.19.

z

H mv

oK v

k ( )M t

r

O y

x Fig. 8.3. Momentul cinetic

Fig. 8.1. Calculul lucrului mecanicelementar




în care s-au folosit de la cinematică relaţiile dv madt , respectiv momentul forţei F în raport

cu punctul 0, 0r F M . Această relaţie arată că, variaţia în timp a momentului cineticeste egală cu momentul forţei rezultante în raport cu punctul O. În plus derivând relaţia8.18.

0 2 2K m m 8.19.

în care reprezintă acceleraţia areolară.

Teorema conservării momentului cinetic

Dacă momentul forţei F , ce poate fi o forţă sau rezultantă a n forţe ce trec prinacelaşi punct M (concurente) este zero ( 0 0M ) atunci momentul cinetic se conservă:

0 00K K C 8.20.

Aceasta reprezintă teorema conservării momentului cinetic. Dacă se utilizeazărelaţia 8.19. se obţine o a doua formă a teoremei conservării momentului cinetic.Momentul cinetic se conservă dacă viteza areolară este constantă. Aceasta estecunoscută sub numele de legea constanţei ariilor.

Aceasta afirmă că vectorul de poziţie a punctului ,, mătură’’ arii egale în intervale detimp egale. Ţinând cont că într-un sistem de axe cei doi vectori, se pot scrie cu relaţiile

kKjKiKK

kMjMiMM

zyx

zyx

0000

0000

Se vede că, la fel ca impulsul, momentul cinetic se poate conserva integral sau parţialnumai pe una sau două din direcţiile spaţiului, funcţie de proiecţiile nule ale momentuluiforţei în raport cu punctul O. Dacă analizăm variaţia impulsului şi a momentului cinetic, prinsimilitudine cu torsorul de la statică se poate defini un torsor dinamic. Conform relaţiei dedefinire a unui torsor al forţei F, acesta este dat de relaţia:

00

FF

M

8.21.

în care F este o forţă sau rezultanta unui sistemde forţe exterioare ce acţionează asuprapunctului, iar M0 este momentul forţei sausistemului de forţe în raport cu punctul O. Deciputem nota:

00

HH

K

HH v F

Oo K oK v M

oK H

F oM O

Fig.8.4. Variaţia componentelortorsorului dinamic




sau:

0 0

0 0

H FH F

K M

8.22.

Variaţia torsului dinamic în raport cu timpul 0 H este egală cu torsorul 0 F , fiind

redată în fig.8.4. Prin analogie, cu definiţiile de la cinematică, aceasta arată că forţa F şimomentul oM reprezintă viteza de variaţie ale impulsului, respectiv momentul cinetic.

8.1.7. Energia mecanică

Energia mecanică reprezintă suma dintre energia cinetică (de mişcare) pe care oposedă un punct datorită deplasării sale la care se adaugă energia potenţială (depoziţie) în raport cu un sistem de referinţă:

c pE E E 8.23.

Cele două componente ale energiei se calculează cu relaţiile de mai jos cunoscutede la fizică, în care: m - reprezintă masa punctului sau corpului; g – acceleraţiagravitaţională; v – viteza şi h înălţimea la care se găseşte punctul faţă de reperul ales.

212c pE mv E mgh 8.24.

Ep este o energie de punct U=U(x,y,z). Dacă se consideră două puncte A(x0,y0,z0) şiB(x,y,z) atunci energia potenţială sau potenţialul V v-a fi, V=UB-UA . Acest potenţial esteegal cu lucrul mecanic elementar necesar pentru a transporta uniform corpul din A în B.

8.1.8. Energia cinetică şi teorema sa

Se pune problema stabilirii modului de variaţie a energiei cinetice ?cdE . Prin

diferenţierea expresia energiei cinetice 212cE mv şi aplicarea unui artificiu simplu de

înmulţire cu 1 a expresiei diferenţialei se obţine:

21 22 2c

mvdv dtdE d mvdt

Dacă se grupează convenabil termenii, pentru a se putea utiliza de la cinematicămărimile cunoscute:




vdt drdv adt

şi utilizând aceste relaţii se obţine teorema energiei cinetice:

cdE m a dr F dr dL 8.25.

Aceasta ne arată că variaţia energiei cinetice este egală cu lucrul mecanic efectuatde către forţa F în timpul deplasării punctului material cu rd . Considerând două puncte Aşi B rezultă:

ABBAc dLEEdE 8.26.

Această formă de scriere se aplică foarte frecvent în rezolvarea problemelor dedinamică, atunci când cunoaştem masa, parametrii cinematici într-unul din cele douăpuncte şi lucrul mecanic necesar deplasării punctului material între cele două puncte.

ANALOGIA DINTRE MIŞCAREA DE ROTAŢIE ŞI MIŞCAREA DETRANSLAŢIE

Din teoriile dezvoltate anterior s-a putut observa că în mişcările compuse, înmajoritatea cazurilor se poate aplica principiul suprapunerii de efecte, aceste mişcării fiindobţinute prin diferite combinaţii ale mişcării de translaţie şi cea de rotaţie. Deoarecemodelarea şi înţelegerea relaţiilor de calcul în mişcarea de translaţie este mai uşoară şiintuitivă este prezentat în continuare tabelar un paralelism matematic şi terminologic,formal între mărimile specifice rigidului în mişcarea de translaţie, respectiv de rotaţie. Dinpunct de vedere cinematic în translaţie se defineşte deplasarea liniară s, ce arecorespondent rotirea cu unghiul în mişcarea de rotaţie, iar derivatele lor în raport cutimpul prezintă similitudine matematică şi de terminologie după cum rezultă din tabel. Îndinamică se remarcă de asemenea o similitudine perfectă dacă se utilizează similitudinilede la cinematică la care se adaugă echivalarea masei de inerţie din translaţie cu momentulde inerţie mecanic J, definit in capitolul 2 al acestui curs.

În aplicaţii impulsul şi teoremele sale, este utilizat preponderent în studiul mişcărilorde translaţie, iar momentul cinetic şi teoremele sale, pentru studiul mişcării de rotaţie.Energia cinetică şi legea sa de variaţie, constituie o modalitate comodă şi rapidă derezolvare a problemelor de dinamică, atunci când se cunosc parametrii iniţiali, mişcărileexecutate, legile şi mărimile dinamice, iar prin calcule se determină parametrii la unmoment dat t.




Mişcare de translaţie Mişcare de rotaţie

Spaţiul parcurs

s

Unghiul de rotaţie

Viteza liniară

v= s

Viteza unghiulară

Acceleraţia liniară

a v s

Acceleraţia unghiulară

Masa inerţială

m

Moment de inerţie mecanic

J

Forţa rezultantă

F

Momentul rezultant

M

Ecuaţia fundamentală

ima F R Ecuaţia fundamentală

i oJ M M Impulsul

o c

o c o c

H m v

H m v m a

Momentul cinetic

o

o

K J

K J J

Lucrul mecanic elementar

odL R dr

Lucrul mecanic elementar

0dL M d

Energia cinetică

212

E mv

Energia cinetică

212

E J




9. Aspecte ale proiectarii, mecanismelor siorganelor de masini; notiuni fundamentale:element cinematic, cuple cinematice,definitii, clasificari, aplicatiiTimp mediu de studiu: 2 ore


definească şi să clasifice noţiunile de element cinematic şi cuplă cinematică utilizeze reprezentarea structurală descrie etapele şi modul de proiectare a mecanismelor

1.1. ASPECTE ALE PROIECTARII, MECANISMELOR SIORGANELOR DE MASINIActivitatea de proiectare a mecanismelor şi organelor de maşinieste o activitate

deosebit de complexă, care necesită un complex de cunoştinţe de fizică, mecanica,mecanica fluidelor, rezistenţa materialelor, tehnologia materialelor, desen tehnic, tribologiesi alte discipline de specialitate. Proiectarea, porneşte de la necesitatea soluţionării uneiprobleme concrete. După stabilirea problemei pe baza datelor de proiectare se trece laalegerea mecanismului, dintre cele existente sau conceperea unui mecanism nou. Odatastabilit mecanismul se trece la proiectarea sa din punct de vedere dimensional, studiulcinematic, pentru a se stabili daca se pot atinge parametrii cinematic conform datelor deproiectare. In final se trece la calculul dinamic care stabileşte valorile şi tipul solicitarilor lacare sunt supuse elementele cinematice si cuplele acestuia. In continuare se trece la ceade a doua etapă in care se face proiectarea organologică. In acesta etapă se proiecteazatipodimensional fiecare parte componenta (organ de maşină) a viitoarei maşini sauinstalaţii. In această etapă o parte dintre organele de masini se concep ca noutăşiabsolute, o altă parte se aleg dintre cele existente si se dimensionaza in conformitate cusolicitarile cunoscute, o alta parte o reprezintă organele standardizate, care se alegdimensional funcţie de solicitari şi o altă parte o constituie organe le de maşini care sealeg, fără a fi calculate sau dimensionate. De multe ori, proiectarea formelor si culorilor caşi a nivelului de finisare constituie un element vital, functie de destinatia si celor carora lise adreseaza produsul respectiv. Din acestt punct de vedere, in activitatea de proiectarepersonalitatea proiectantului sau colectivului de proiectare se manifestă deosebit deputernic. Mai trebuie avut in vedere că in activitatea de proiectare trebuiesc respectatefoarte multe standarde norme si alte impuneri, cum ar fi preţul de cost si tehnologiadisponibilă, materialele disponibile etc. In cazul productiei de masă, după analizeleverificarile colectivelor de specialisi pe domeniu a proiectului, se trece la realizareaprototipului, evaluare eventualelor imbunătăţiri şi corectări şi testări. In continuare se trecela realizarea produsului zero, iar după evaluare eventualelor imbunătăţiri şi corectări şitestari se trece in sfârsit la producerea lotului zero. In continuare se va urmari dacă suntlucruri ce pot fi inbunatăţite corectarea lor fiind o activitate permanentă şi continuă.




1.2. REPREZENTAREA STRUCTURALĂÎn cadrul mecanicii, utilizarea unor modele mecanice de studiu reprezintă un mare

avantaj, datorită generalizării soluţiilor găsite, ce se pot particulariza, de la caz la caz. Prinextensie se poate spune că reprezentarea structurală este echivalentul modelului dinMecanică. Reprezentarea structurală asigură o largă generalizare a mecanismului studiat,este uşor de realizat mecanismul pentru studiu, permite reprezentări succesive şisecvenţiale, elimină cunoaşterea aprofundată a desenului tehnic pentru a putea înţelegesoluţia discutată, oferă specialistului în organe de maşini, numit prescurtat organolog,care v-a pune în aplicare mecanismul realizat o mare libertate de manevră, fără a finecesară o colaborare indispensabilă.

Pentru a exemplifica se consideră exemplul din fig.1.1., în care este reprezentatmecanismul de deschidere a supapelor unui motor cu ardere internă, cu ajutorul uneischeme constructive, iar anexat este reprezentat schematic acelaşi mecanism. În ambelecazuri, 1 reprezintă axul cu came, care se roteşte în sensul dat de săgeata alăturată.Acesta reprezintă un ax pe care sunt prelucrate camele. Aceste came reprezintă corpuricu o formă geometrică particulară care generează cum se va dezvolta în capitolul 5, omişcare a tachetului, cate în acest caz este piesa 3, purtând în cazul acestui mecanismdenumire specifică de culbutori. Cama se află în contact cu o rolă 2, care are rolul de areduce frecările, înlocuind frecarea de lunecare cu cea de rostogolire. Rola este montatăsă se poată roti în culbutorul 3. Acesta la rândul său se poate roti liber în jurul axei fixe pela baza mecanismului. După cum se vede, culbutorul reprezintă o pârghie de genul unu.

Când cama se roteşte acţionată de sistemul de distribuţie, datorită profilului special,produce o rotire a culbutorului. Acesta la rândul său, datorită legăturii speciale pe care oare cu capătul supapei 4, împinge această supapă deschizând aşa cum se vede camerade ardere a motorului. Pentru a readuce supapa în contact cu cama şi pentru a închide din

Fig.1.1.




nou camera de ardere, mecanismul este prevăzut cu două arcuri 5. Mecanismulechivalent, reprezentat alăturat realizează toate aceste funcţii. În plus, se poate folosi înoricare altă aplicaţie în care este necesar obţinerea aceleiaşi transformări a rotaţieiuniforme a camei, în mişcare de translaţie a tijei 5.

De asemenea realizarea reprezentării unor legături ce apar între elementecinematicele componente ale mecanismului pot complica foarte mult problemareprezentării grafice. Astfel, conform anexelor I reprezentarea ansamblului format de unşurub şi o piuliţă, este incomparabil mai simplu dacă se acceptă reprezentarea simbolicăalăturată. Prin reprezentarea simplificată cu ajutorul simbolurilor este necesar ca acestesimboluri să fie cât mai sugestive, cât mai simple ca reprezentare şi să cunoască o cât mailargă accepţiune în rândul specialiştilor, dar nu numai. Pentru a exemplifica acest concept,în anexă sunt prezentate mai multe exemple de mecanisme prin reprezentarea structuralăşi câte o soluţie constructivă practică, ce poate fi utilizată de utilizatori pentru a realizaproiectări de mecanisme asemănătoare.

1.3. NOŢIUNI STRUCTURALE DE BAZĂ ALE ANALIZEISTRUCTURALE

Un sistem tehnic în cel mai larg înţeles al cuvântului conţine în structura unul saumai multe mecanisme care execută fie transmitere sau transformarea de mişcări, fieefectuarea unui lucru mecanic util cum ar fi: modificarea formei geometrice a pieselor pemaşini unelte, a transportării de piese, ansamble şi subansamble, materiale în cadrul unuiproces de automatizare din industria textilă, metalurgică, construcţii de maşini, activităţiportuare etc. Pentru studiul acestui sistem tehnic, acesta se descompune în părţile salecomponente, ce pot fi maşini de acţionare, transmisii, maşini de lucru, etc. Toate acestepărţi componente, la rândul lor sunt constituite din mecanisme, care constituie elementulde bază al tuturor acestor sisteme tehnice. La rândul lor aceste mecanisme suntconstituite din părţi componente, ce se vor studia în continuare, precum şi condiţiile cetrebuie să le îndeplinească pentru buna lor funcţionare.

1.3.1. ELEMENTE CINEMATICE

Mişcarea, în sensul definiţiei poate fi considerată pe lângă sensul definit lamecanică şi aspecte legate de compresibilitate, elasticitate, flexibilitate, curgere, câmp,etc. Mişcarea are la bază cuvântul grecesc ,,cinema,, care s-a considerat necesar să fieatribuit părţilor componente mobile şi care asigură mobilitate mecanismelor, aceastăcalitate fiind conţinută chiar în denumirea lor.

Elementul cinematic se defineşte ca partea mobilă a unui mecanism, carelegat în continuare cu unul sau mai multe componente mobile sau fixe, prinintermediul unor legături ce restricţionează mişcările relative, permite transmitereaîn sensul dorit a mişcării şi/sau forţei sau momentului.




După starea şi calităţile fizice, elementele cinematice pot fi clasificate în mai multeclase, după cum urmează.

Elemente cinematice solide. Acestea pot fi rigide, sau nedeformabile sau la caredeformaţia este neglijabilă, raportată la dimensiunile şi rolul său. Au cea mai mareîntrebuinţare în construcţia de maşini. În cazul acestei lucrări vor fi studiate mecanismelecare au în componenţă astfel de elemente cinematice. Exemple pot fi multiple: bielele,manivelele, pistoanele, culisele, camele, tacheţii, culbutorii, roţile dinţate, etc. O altăcategorie o reprezintă, elementele elastice, care se pot deforma, revenind la forma iniţială.cum este în cazul arcurilor de diferite forme.

Elemente cinematice flexibile. Acestea au ca utilizare preponderentă latransmisiile între două sau mai multe elemente cinematice aflate la distanţă mare unele dealtele. Exemple de elemente cinematice flexibile sunt lanţurile, cablurile, curelele pentrutransmisii etc..

Elemente cinematice lichide. Acestea sunt în general orice fluid incompresibil.Pentru sisteme energetice, la unele prese, instalaţii hidraulice pot fi apa, dar cel maiadesea uleiul hidraulic. Uleiul are utilizare întinsă în instalaţiile automate, maşinile uneltepentru prelucrarea metalelor precum şi la servomotoarele utilizate la efectuarea de diferiteservicii auxiliare şi în procesele tehnologice automatizate, la macarale hidraulice, agregatede manipulat mărfuri în activităţile portuare. Maşinile şi instalaţiile care folosesc acestelement cinematic sunt studiate separat la discipline de specialitate (Maşini şi instalaţiihidraulice).

Elemente cinematice gazoase. În afară de elemente cinematicele menţionate maisus se pot considera şi elemente cinematicele gazoase, dacă se are în vedere întreagagamă de maşini şi unelte pneumatice la care aerul, dar nu numai, transmite mişcarea de laelementul conducător la cel condus, sau de execuţie. Un exemplu de mecanism în careexistă un element cinematic gazos poate fi ciocanul pneumatic, turbinele de curăţat corpulnavelor, sistemele de frânare ale autovehiculelor cu comandă sau/şi execuţie pneumatică,etc. Şi aceste mecanisme la care elementul cinematic este gazos constituie domeniul altordiscipline de specialitate ca pneumatice, etc.

Elemente cinematice electrice. Trebuie menţionate aici şi „elemente cinematicele"electrice din diferitele mecanisme, în sensul care se utilizează în teoria mecanismelor. Latransmiterea mişcării intervine câmpul electromagnetic produs de curentul electric ce treceprin spirele unui electromagnet, câmpul dintre plăcile condensatoarelor, etc, fiind studiatela disciplinele specifice domeniului maşinilor şi instalaţiilor electrice.

1.3.2. ELEMENTE CINEMATICE SOLIDE

1.3.2.1. Reprezentarea structurală a elementelor cinematice şi a mişcărilorelementelor conducătoare.

Pentru realizarea unor reprezentări grafice cat mai simple, aşa cum s-a spus înparagraful anterior, elementele cinematice se reprezintă în teoria mecanismelor şi a




maşinilor nu prin imaginea lor reală ci prin reprezentări structurale, respectiv cu ajutorulunor semne convenţionale, în scopul simplificării desenelor şi uşurării înţelegerii moduluide funcţionare a mecanismelor. Reprezentarea structurală sau schematică a elementelorcinematice, se face conform STAS 1543-62. Elementele cinematice solide se reprezintăcu ajutorul unor simboluri şi semne convenţionale formate din linii de diferite forme care săsugereze cat mai mult funcţionarea şi forma fizica a elementului reprezentat. Pentruidentificare, elementele cinematice se numerotează cu cifre arabe. Dacă elementelecinematice sunt bare, ele se vor reprezenta cu ajutorul unor linii drepte, curbe sau frânte,exemplu, elementele 1, 2, 3, 4, 6, 7. date în fig.1.1. Prin îngroşarea unor colturi ale liniilorfrânte este sugerat faptul ca în punctul respectiv avem o încastrare a celor două braţe aleelementelor cinematice, respectiv între cuplele de translaţie, cele reprezentate cu ajutoruldreptunghiurilor, cum se va dezvolta în paragraful următor, ce sunt notate cu litere mari.Cercurile reprezintă tot legături ce permit o rotaţie relativă între elementele cinematice. Încazul elementului 7, cele două braţe, ocolesc legătura din R, rămânând rigide între ele. Încazul unor elemente cinematice sub formă de plăci, elementul 8, se încearcă a sugeraforma necesară pentru a se asigura buna funcţionare a mecanismului.

De asemenea putem avea şi elemente cinematice realizate din bare drepte ceformează poligoane închise sau nu, elementul 7, din fig.1.2. sau alte forme complexereprezentarea se realizează prin linii frânte şi curbe prin care se poate sugerata formareala a elementului cinematic, cu rol funcţional.

Mişcările elementelor cinematice se reprezintă schematic în teoria mecanismelor,conform STAS 1543-62,

- mişcarea rectilinie într-un sens alternativă;

- mişcarea de rotaţie în plan, sau spaţiu;

- mişcarea de şurub (roto-translaţie) etc.

Elementele cinematice conducătoare având mişcare cunoscută, sunt identificategrafic cu ajutorul unor săgeţi ce însoţesc reprezentarea elementului cinematic respectiv,aşa cum este redat în fig.1.3.. Daca săgeţile au coada curbă, elementele 2 şi 3 atuncielementului cinematic conducător are o mişcare de rotaţie. Daca săgeata are coadadreapta elementul cinematic conducător are mişcare de translaţie. Daca sunt săgeţi la

Fig.1.2.




ambele capete, elementul 1 din fig.1.3., sau două săgeţi paralele dar de sensuri alesăgeţilor contrar, elementul 3, aceasta sugerează o mişcare alternanta de translaţierespectiv rotaţie. Daca elementul cinematic are o mişcare oscilatorie alternanta în caresensul primei alternante este important atunci mişcarea este precizata cu ajutorul a douasăgeţi, una cu coada reprezentata cu linie continua, corespunzătoare primului sens demişcare şi cealaltă cu linie întreruptă şi sens contrar ce reprezintă a doua mişcare. Suntcazuri când chiar în plan este necesară reprezentarea mişcării de rotaţie prin vectorulvitezei unghiulare i corespunzătoare elementului respectiv i, fig.1.3., elementele 2, 3,sau viteza v, cu sensul respectiv, aşa cum se prezintă în fig.1.3., elementul 1.

Reprezentarea are avantajul că permite găsirea sensul de rotaţie aelementului de execuţie, precum şi a celorlalte elemente conduse .

1.3.2.2. Clasificarea elementelor cinematiceDupă rolul elementelor cinematice acestea pot fi:

- elemente cinematice conducătoare, sunt elementele care au mişcarecunoscută, reprezentate după regulile stabilite anterior;

- elemente cinematice conduse, sunt cele care primesc şi transmit mişcarea dela elementul conducător, fiind cele mai multe;

- elemente de execuţie, cele care realizează funcţia pentru care a fost realizatmecanismul;

- elementul bază, sau baza, este singurul element din componenţamecanismelor fără mişcare, purtând diferite nume ca suport, şasiu, batiu, etc.cel mai adesea se substituie cu legăturile fixe ale elementelor cinematice alemecanismelor, exemple fig.1.4.a, elementele 3, 5, 6, fig.1.4.b, elementele 4, 5,sau fig.1.4.c, elementul 5.

După forma şi numărul legăturilor, putem avea:

- elemente cinematice simple, conform fig.1.2., elementele 1, 2, 4, 6, cele dinfig.1.3.;

- elemente cinematice complexe, elementele 5, 7, 8, din fig.1.2., arborii cotiţi aimotoarelor policilindrice, la care se leagă bielele fiecărui piston, decalate ceconferă un mare grad de complexitate, axele cu came de la motoare, maşiniautomate, etc.;

Fig.1.3.




Clasificare structurală. Clasificarea structurală are drept criteriu numărul cuplelorcinematice (legăturilor) pe care le conţine elementul. Pentru aceasta se introducenoţiunea de rangul elementelor cinematice. Prin definiţie, rangul elementelor cinematiceeste un număr întreg, notat cu j, egal cu numărul legăturilor pe care acestea le realizează,sau posibil a fi realizate cu elementele cinematice vecine,.

În fig.1.4.a., sunt reprezentate elemente cinematice cu o singură legătură, deci j=1,numite şi monare, întrucât au doar cate o cuplă de legătură de rotaţie, elementele 1, 2, 3,4 şi de translaţie elementele 2 şi 5.

În fig.1.4.b, sunt reprezentate elemente cinematice binare, cu j=2, cu diferitecombinaţii ale cuplelor de rotaţie sau translaţie, iar în fig.1.4.c, elemente cu 3 cuple j=3,numite ternare, având diferite combinaţii ale cuplelor cinematice.

Putem întâlnim în practică şi multe alte tipuri de elemente cinematice polinare, adicăcu numere de cuple mai mari de trei.

Elementele cinematice de rang j<2 se mai numesc şi simple iar elementecinematicele de rang j >2 se mai numesc elemente cinematice complexe.

Fig.1.4.




1.3.3. CUPLE CINEMATICE1.3.3.1. Aspecte generale

Pentru realizarea mişcării unic determinate a unui mecanism este necesar caelementelor cinematice care compun acest mecanism să li se limiteze libertatea dedeplasare relativă. Reducerea libertăţii de mişcare a elementelor cinematice se face prinintermediul unor soluţii tehnice care asigură o legătură între elementele cinematice, carelimitează selectiv mişcările relative între elementele legate.

Soluţia tehnică prin care se asigură legarea a două sau mai multe elementecinematice (corpuri) în scopul limitării selective a libertăţilor de mişcare relativă aleacestora, legare care se poate realiza continuu sau periodic, pe o suprafaţă, linie saupunct se numeşte cuplă cinematică.

De multe ori, realizarea legăturii cu restricţiile impuse, necesită soluţii maicomplexe. Corpurile care formează cupla cinematică se numesc elemente ale cuplei.Realizarea funcţiilor restrictive ale cuplelor se poate realiza diferit, funcţie de dimensiunilemecanismului, de solicitările relative dintre cuple, de mediul în care va lucra cuplarespectivă, de condiţiile de preţ şi problemele de fiabilitate, etc. De asemenea funcţie deutilizări, contactul dintre suprafeţele cu mişcare relativă ale cuplei se poate realiza direct,în cazul cuplelor cu lunecare sau prin intermediul unor corpuri de rostogolire, numite cuple

cu rostogolire, sau cel mai adesea curulmenţi, pornind de la denumirea derulment a soluţiei tehnice ce faceposibil acest lucru.

1.3.3.2. Clasificareacuplelor cinematice

Diversitatea tot mai mare acuplelor cinematice a făcut ca să fienevoie de multe criterii de clasificarepentru a putea defini toateparticularităţile lor. Un prim criteriu îlconstituie soluţia constructivă derealizare a legăturii.

Clasificarea cuplelorcinematice din punct de vedere

constructiv se face în două mari grupe:

-cuple cinematice închise;

-cuple cinematice deschise;

Cuplele cinematice închise, sunt cele la care contactul dintre elemente cinematicelese menţine permanent, datorită soluţiei constructive. Un exemplu îl constituie cazul bileidin fig.1.5., când datorită existenţei plăcii superioare, bila este obligată să rămână tottimpul între cele două plăci. Dacă se elimină placa superioară, cupla devine deschisă. Un

Fig.1.5.




alt exemplu este cupla de rotaţie denumită lagărconform fig.1.7. Lagărul este format din fusul 1, careeste montat în interiorul cuzinetului 2 al lagărului. Unalt exemplu este şi cupla dintre rola tachetului 1 şiprofilul camei realizat sub forma unui canal dinfig.1.8.. Astfel cum se vede din desen, rola tachetului1 ghidată în canalul practicat în camă, fără a putea săîl părăsească. Prin rotirea camei 1, cu orice unghi,tachetului i se imprimă o translaţie cu o valoare binedeterminată. În fig.1.9. este redată cupla sferică, în

care sfera pivotului este înfăşurată de suprafaţa sferică la interior a braţului. Cea maireprezentativă şi uzuală realizare practică, o constituie pivoţii suspensiilor şi direcţiilor dela automobile şi autovehicule. De asemenea se utilizează la schimbătoarele de viteză dela automobile, pentru fixarea schimbătorului. Avantajul cuplelor cinematice închise constăîn atenuare şocurilor din elemente cinematicele componente.

Cuple cinematice deschise sunt cuplele carese caracterizează prin faptul că asigurare,contactului între elemente cinematicele componentenu se poate realiza decât condiţionat de existenţaunei forţe sau moment.Această forţă sematerializează fie prin greutatea proprie G a unuidin elemente cinematice, aşa cum se vede în figura1.2. dacă nu ar fi placa superioară, fie ci ajutorulunui resort, cum este contactul dintre cama 1 şi rola2, a tachetului 3, din fig.1.1.. În fig.1.5. este redată ocuplă deschisă realizată între două suprafeţe curbea doi cilindrii, în care cel superior este acţionat de o

forţă de contact F.

Clasificarea cuplelor cinematice dinpune de vedere cinematic, are la bazăposibilităţile de mişcare relativă a elementelorsupuse legăturii, putând avea:

- cuple cinematice plane;

-cuple cinematice spaţiale;

Cuplele cinematice plane sunt cuple carepermit elementelor cinematice componentemişcări fie într-un singur plan fie în planeparalele.

Astfel în fig.1.7. al lagărului, (cupla derotaţie), fusul 1 realizează o mişcare de rotaţieîn jurul axei cuzinetului lagărului 2. În figura 1.5.

Fig.1.8.

Fig.1.6.

Fig.1.7.




elementul mobil bila are o mişcare de roto-translaţie plană faţă de elementele fixe, formatede cele două plăci. În fig.1.1. deplasarea supapei în ghidajul său realizează o cuplă detranslaţie. Denumirea de cuplă de translaţie vine de la denumirea din mecanică a mişcăriiîn care orice dreaptă a corpului mobil rămâne tot timpul paralelă cu ea însăşi. O cuplăcinematică plană este şi ansamblul a două plăci, care alunecă una faţă de cealaltă în oricedirecţie a planului de contact. Dacă se scoate bila dintre plăcile din fig.1.6., placasuperioară, devenind astfel elementul mobil al legăturii, putând să se deplaseze numai înplanul determinat de suprafaţa plăcii de bază, redat în fig.1.12.

Cuple cinematice spaţiale sunt cuple care permit elemente cinematicelorcomponente mişcări relative spaţiale.

Astfel cupla sferică, din fig.1.9. permite elementului cu un capăt sferic, numit şipivotul cuplei, o mişcare spaţială de rotire relativă după toate cele trei direcţii ale spaţiului

în raport cu elementul conjugat numit braţul cuplei,studiată în cadrul mecanicii, ca mişcarea rigiduluicu un punct fix. O astfel de cuplă cinematică seutilizează la automobile, cum s-a arătat maiînainte, precum şi în domenii în care legăturatrebuie să menţină fix un punct de multe oriteoretic, sau imaginar, cum ar fi în cazul radarelorspaţiale, a girocompaselor, a transmisiilorcardanice, etc..

Cupla sferică din spaţiu, reprezintăechivalentul celei de rotaţie a lagărului din plan,fig.1.7.

O cuplă cinematică spaţială este şi cuplaşurub-piuliţă, care permite şurubului o mişcareelicoidală faţă de piuliţă, din care cauză se mainumeşte şi cuplă elicoidală. Datorită posibilităţii detransformare a mişcării de rotaţie în cea detranslaţie se utilizează pe scară largă în realizarea

de cricuri şi instalaţii de ridicat sau presat cum se redă în exemplele constructive dinanexa I, precum şi a mecanismelor de avans de la maşinile unelte, sisteme de comandă,de închidere şi deschidere, etc.. Dacă se notează cu p pasul şurubului, reprezentânddeplasarea şurubului în lungul axei la o rotaţie completă a sa, atunci la o rotaţie cuunghiul a şurubului, deplasarea x a acestuia este obţinută după principiul regulii de treisimple, respectiv a proporţiilor, fiind data de relaţia:

2x p

1.1.

Deoarece între cei doi parametri ai mişcării spaţiale a şurubului să piuliţei există orelaţie dată de formula 1.1. din cele două mişcări se consideră ca o singură libertate acuplei.

vx vy vz x y z

0 0 0 1 1 1

Fig.1.9.




Din punct de vedere al contactului suprafeţelor cuplelor, în practică întâlnim:

- cuple inferioare;

-cuple superioare;

Cuplele inferioare, la care contactul se realizează prin intermediul unor suprafeţe cese află în contact direct, ce pot avea diferite forme geometrice de suprafeţe de contactplane, curbe, circulare, profilate, complementare, sau reciproc înfăşurabile, cum este cazulcuplelor filetate.

Exemple pot fi considerate, cuplele de rotaţie din plan, fig.1.7., respectiv din spaţiu,fig.1.9.. Îmbunătăţirea randamentului ţi a fiabilităţii acestor cuple se realizează prinutilizarea de materiale cu proprietăţi atifricţiune deosebite, cum ar fi aliaje ale cuprului,bronzuri, alame, fonte speciale, aliajele sinterizate şi grafitate, mase plastice şi răşinispeciale, teflon simplu sau grafitat, etc..

Cuplele superioare, sunt cele la care contactul suprafeţelor mobile ale cuplei areloc teoretic într-un punct definite cuple cu contact punctiform, ca exemplu putândconsidera contatul bilei din fig.1.5. cu plăcile între care este prinsă, sau cu contact liniar,dacă contactul între cele două suprafeţe are loc după o linie dreaptă sau curbă. Caexemple se pot da, contactul liniar al unei prisme cu un plan, dacă legătura se realizeazădupă o muchie a prismei, contactul unei role cilindrice cu un plan, dacă generatoareacilindrului se află în contact cu planul, etc.. Această clasificare este deosebit de importantăavând în vedere că în cazul cuplelor inferioare, randamentul este teoretic minim, darcapacitatea portantă maximă, iar în cazul cuplelor superioare, cu contact punctiform sauliniar este maxim dar capacitatea portantă scade exponenţial cu dimensiunea contactului,iar uzurile sunt mult mai mari, necesitând materiale cu proprietăţi de rezistenţă deosebite,cum este cazul rulmenţilor, precum şi lubrifianţi cu calităţi superioare.

Clasificarea structurală este cea mai importantă clasificare pentru analizastructurală a mecanismelor, întrucât cu ajutorul acestor concluzii putem realiza otranspunere matematică a condiţiilor structurale pe care le poate îndeplini un mecanismpentru a funcţiona în siguranţă. Clasificarea structurală împarte cuplele cinematice în cinciclase, la care se adaugă cuplele de fixare, la care elementelor nu li se permite nici omişcare relativă.

Generic clasa unei cuple se notează cu ,,m”, având pentru cuplele cinematice, decicu mişcare valori de la 1 la 5.

Prin definiţie clasa unei cuple este un număr întreg, egal cu numărul restricţiilorimpuse de cupla respectivă. Pentru a stabili clasa unei cuple se analizează mişcărilerelative permise şi anulate celor două corpuri, raportate la un sistem unic de referinţă.Pentru aceasta se are în vedere că un corp liber în spaţiu poate executa maximum şasemişcări, constând din trei rotaţii şi trei translaţii în raport cu un sistem de referinţăcartezian, ales convenabil, funcţie de mişcările permise. Pentru studiul acestor mişcări şistabilirea clasei unei cuple se recomandă o metodă tabelară. Pentru aceasta se alegeconvenabil pentru fiecare cuplă analizată un sistem de referinţa unic, ales convenabilpentru elementele cinematice supuse legăturii, după care se întocmeşte un tabel, formatdin două linii şi şase coloane. În tabel se trec pe prima linie cele 3 translaţii maxime, pe




care le identificăm cu ajutorul celor 3 viteze , ,x y zv v v , respectiv cele 3 rotaţii precizate

prin vitezele unghiulare corespunzătoare direcţiilor sistemului, , ,x y z .

În a doua linie a tabelului, după analiza individuală a existenţei sau nu a uneimişcări din cele şase, se completează cucifra 1 existenţa mişcării, iarrestricţionarea mişcării de către cuplacinematică o precizam cu cifra 0. Lasfârşit, clasa cuplei studiate este egalăcu numărul de cifre 0 din cea de a doualinie a tabelului.

Obs. Dacă o cuplă permite douamişcări între care însă există o relaţiematematică bine definită se considerădoar o singură legătură sau restricţiedintre cele doua mişcări permise. Unexemplu elocvent îl constituie cuplafiletată dintre şurub şi piuliţă, la carerelaţia de corelare este dată de relaţia1.1.. În continuare se vor exemplifica

cele cinci clase de cuple cinematice.

Cupla cinematică de clasa 1 (m=1). Suprimă un grad de libertate al elementuluimobil. În fig.1.10. este reprezentată o astfel e cuplă cinematică, formată dintr-o bilă carese poate rostogoli cu lunecare pe placa de bază. Realizând analiza conform celor stabilite,se poate trage concluzia că bila poate avea cinci mişcări posibile independente, precizatecu cifra în tabelul anexat şi raportate la sistemul de axe de coordonate indicat în figură.Placa 2 nu permite bilei 1 deplasarea în direcţia axei z, deci 0zv . Deplasarea în sus ar

îndepărta-o de plan şi cupla nu ar maiavea sens, deoarece punctul ca formă demanifestare a legăturii ar dispărea.

Se vede deci că în cazul de faţăm=1. pentru o scriere mai simplificată senotează cupla de clasă 1 cu C1 . În uneletratate de teoria mecanismelor seobişnuieşte să se noteze cu p5 în loc deC1, indicele 5 indicând numărul de gradede libertate permise de cuplă elementecinematicelor sale, iar litera p fiind iniţialacuvântului „pereche" (de elementecinematice). Se va vedea mai departe

însă că o cuplă cinematică nu este formată totdeauna numai din două elementecinematice ci pot fi în număr mai mare.




Cupla cinematică de clasa a II-a (m=2).

Este reprezentată în cazul cel mai general în fig.1.11.. Ea este formată dintr-uncilindru care se rostogoleşte şi alunecă pe o placă de bază. În raport cu sistemul de axeindicat în figură mişcările interzise sunt: 0zv , 0x . în consecinţă rezultă că, m=2 ,respectiv o cuplă de clasă C2. Mişcările independente rămase posibile cilindrului faţă de

placa 2 sunt două translaţii şi celedouă rotaţii.

Cupla cinematică de clasa a-III-a (m=3, simbol C3. Suprimăelementelor cinematice supuseacestei legături 3 grade de libertate.Un exemplu ilustrativ este cel alcuplelor sferice cum este redat înfig.1.9.. Conform reguliistabilite, analizând mişcările posibilese observă conform tabelului anexat,că aceasta cuplă nu permite nici otranslaţie, permiţând toate cele treirotaţii. Un alt exemplu este redat în

fig.1.12. în care este reprezentată cupla cinematică plană, realizat prin contactul uneiplăci prismatice cu o altă placă.

Conform tabelului, este deci tot o cuplă de clasa a-III-a, la care sunt suprimateelemente cinematicelor cele două rotiri după axele Ox ,respectiv Oy şi o translaţie dupăaxa Oz.

Cupla cinematică de clasa a IV-a, cu m=4,având ca simbol C4. Are ca exemplu caracteristiccupla cilindrică de rototranslaţie în jurul axei tijeidin fig.1.13.

Elementul 1 fiind o tijă cilindrică, se poatemişca faţă de manşonul 2 printr-o translaţie dupădirecţia axei Oy, respectiv vy şi o rotaţie dupăaceiaşi axă cu y , care sunt mişcări

independente între ele.

În fig.1.14. sunt prezentate variante decuple de clasă C4, utilizate pe scară largă în

conceperea şi construcţia mecanismelor, atât inferioare cât si superioare.




Cupla cinematică de clasa a V-a, la care, m=5, fiind codificată cu C5, permite elementelor

cinematice supuse legăturii o singură mişcareindependentă. În fig.1.8. este redată cupla derotaţie, respectiv lagărul cu alunecare. Fiindredată detaliat schema constructivă se poatestabili clar că singura mişcare permisă este omişcare de rotaţie în jurul axei fusului lagărului,caz în care cupla se numeşte de cuplă de rotaţie.Dacă între cele două elemente se introduce unrulment atunci cupla este cuplă de rotaţie curostogolire. În fig.1.15. este prezentat cazul încare cupla permite doar o mişcare de translaţiedupă direcţia vx, caz în care devine o cuplă

declasă 5 translaţie. În cazul unor maşini unelte aceste cuple se mai numesc şi ghidaje,sau pornind de la forma geometrică din fig.1.15., se mai numesc şi cuple prismatice.

Elementul prismatic al cuplei, pe care poate să alunece elementul cinematic mobil,se mai denumeşte, pornind de la mişcarea de translaţie numită şi glisare sau culisare, deglisieră, respectiv culisă, iar elementul cinematic mobil, de piatră a glisierei, sau piatră deculisă. Realizarea translaţiei fără rotaţie se poate realiza şi cu alte soluţii tehnice, respectivcu ajutorul altor forme prismatice, hexagonale, triunghiulare, pătrate, ovale, sau combinatedin suprafeţe cilindrice cu o suprafaţă plană ce împiedică rotirea relativă dintre culisă şipiatra de culisă, sau practicând unul sau mai multe canale în lungul glisierei, în care seintroduce fie capătul unui şurub, fie un corp paralelipipedic, numit pană, sau mai nou,corpuri de rostogolire recirculabile, ce înlocuiesc frecarea de lunecare cu cea derostogolire. O altă soluţie utilizată o constituie realizarea de forme complexe,

Fig.1.14.




complementare a celor două suprafeţe reciproc înfăşurabile, cu alternanţe de plinuri şigoluri, numite caneluri. Un alt caz de cuplă de clasa cinci este cel al cuplelor cinematicefiletate din fig.1.16., în care elementele cinematice execută o mişcare de şurub,constând dintr-o translaţie în lungul axei şurubului vx şi o rotaţie x în jurul aceleiaşi axe,considerată în acest caz axa Ox. Deşi cele două elemente execută două mişcări, acestenu sunt independente, cupla fiind de clasă cinci, deoarece:

2x xpv

1.2.

Pornind de la definiţia acestui gen de mişcare din mecanică, de mişcare elicoidală,cupla se mai numeşte cuplă elicoidală.

Cupla cinematică de clasa a-VI-a, cu m=6, nu se poate utiliza în studiulmecanismelor, deoarece aceasta nu permite nici o mişcare relativă elementelor supuseacestor legături. Ea există însă în construcţiile civile şi a maşinilor sub denumirea de„încastrare,, deoarece suprimă elemente cinematicelor toate cele 6 grade de libertate.

Exerciţii

1. Reprezentaţi structural un mecanism cu camă.

2. Definiţi noţiunile de element cinematic şi cuplă cinematica.

3. Care sunt principalele criteri de clasificare ale elementelor cinematice. Enumerţi siexemplificaţi clsificarile pentru cele mai importante criterii

4. Care sunt principalele criteri de clasificare ale cuplelor cinematice. Enumeraţi siexemplificaţi clsificarile pentru cele mai importante criterii

Rezolvări:

1. se folosesc notiunile din curs.

Fig.1.16.




10. Notiuni fundamentale: lant cinematic,mecanisme, definitii, clasificari, aplicatiiTimp mediu de studiu: 2 ore


definească şi să clasifice noţiunile de lanţ cinematic şi mecanism utilizeze criteriile de clasificare pentru exemple concrete de mecanisme de largă

utilizare

10.3.4. LANŢURILE CINEMATICE

Prin definiţie numim lanţ cinematic doua sau mai multe elementecinematice legate între ele prin intermediul unor cuple. Lanţul cinematic esteo noţiune abstractă, teoretică, necesară în dezvoltarea teoriei mecanismelor.

Caracteristica fundamentală a acestora constă în faptul că într-un lanţcinematic toate elementele sunt mobile (cinematice) iar prin modificarea sauselectarea opţională a cuplelor lanţului, putem obţine din acelaşi lanţcinematic un număr mare de mecanisme. Într-un lanţ cinematic cuplele senotează cu litere mari iar elementele cinematice cu cifre arabe.

10.3.4.1. Clasificarea lanţurile cinematice

Clasificarea lanţurilor cinematice, se poate face pe baza mai multorcriterii, descrise în continuare.

După felul mişcărilor permise:

- lanţuri cinematice plane, atunci când, toate elementele cinematicese mişca în acelaşi plan, sau în plane paralele.

- lanţuri cinematice spaţiale, atunci când există elementecinematice astfel încât să avem mişcări după toate cele trei axeale spaţiului.

După complexitatea structurală avem

- lanţuri cinematice simple, sunt caracterizate de faptul căelementele cinematice componente au rangul 2j , conformexemplelor din fig.1.17. şi fig.1.18.

- lanţuri cinematice complexe, atunci când există cel puţin unelement cinematic pentru care 3j , cum este redat în fig.1.19.

După rangul elementelor cinematice avem:




- lanţuri cinematice deschise, în care există cel puţin un elementcinematic cu J=1, toate exemplele din fig.1.17., a, elementele 1 şi2, b, elementele 1 şi 3, şi c, elementele 1 şi

exemplele din fig.1.19.a, elementele 1, 4 şi 5, b, elementele 1, 5, 6, şi 8.

- lanţuri cinematice închise, sunt lanţurile cinematice pentru care toateelementele au 2j , exemplele din fig.1.18.

Fig.1.17.

Fig.1.18.

a b

Fig.1.19.




10.3.5. NOŢIUNEA DE MECANISM

Utilizând noţiunea de lanţ cinematic, se defineşte mecanismul cafiind orice lanţ cinematic cu un element fix numit bază, şasiu, batiu,suport, etc. În cazul mecanismelor spre deosebire de lanţurile cinematice,cuplele sunt precizate explicit, cuple de clasa 5 de rotaţie sau translaţie, cuplede clasa 4 de rototranslaţie, etc..

În sens larg numim mecanism un grup de elemente cinematicelegate la o baza precum şi între ele cu ajutorul unor cuple cinematiceprecizate explicit. Scopul mecanismelor este transmiterea cu sau fărătransformare a unei mişcări sau cuplu ori forţă precum si transformarea uneienergii nemecanice în energie mecanică şi invers. Ca exemplu se poateconsidera motoarele cu mecanism bielă manivelă, care transformă energiede explozie a amestecului corburant în lucru mecanic util iar compresorul,transformă energia mecanică în energia de comprimare a gazului respectiv,deci o energie internă. Prin definiţie, numim mecanism motor, mecanismulla care este precizat elementul, sau după caz elementele conducătoare.

10.3.5.1. Clasificarea mecanismelor

Mecanismele se clasifică asemănător cu lanţurile cinematice. Astfeldupă restricţiile mişcării elementelor cinematice, acestea pot fi:

- mecanisme plane- mecanisme spaţiale.

Funcţie de complexitatea legăturilor dintre elemente şi a mişcărilor lorca şi în cazul lanţurilor cinematice avem mecanisme simple şi mecanismecomplexe, în funcţie de mecanismul din care provin.

Funcţie de cuplele ce leagă elementele cinematice avem:

- mecanisme cu cuple cinematice inferioare- mecanisme cu cuple cinematice superioare

Avem mecanisme cu cuple cinematice inferioare atunci când încomponenta mecanismelor nu întâlnim nici o cupla superioară. Suntprezentate în fig.1.21., diferite mecanisme uzuale, toate având la bază lanţulcinematic format din patru laturi la care modificând raportul acestor laturi,




menţinând acelaşi element fix 4, care devine baza mecanismului, se porrealiza aşa cum se vede o mare gamă de mecanisme, definite pe desen.

În fig.1.21. sunt prezentate diferite variante de mecanisme, toateobţinute din lanţul cinematic cu trei laturi prin modificarea tipului de cuple.

Astfel în exemplele a, b, c, d folosind cuplele A şi B de clasă 5 derotaţie şi C o cupla de clasa 4 de roto-translaţie se pot obţine diferite varianteale mecanismului manivelă piston, dacă elementul conducător este manivela1şi elementul condus de execuţie pistonul, cum este cazul mecanismului dela compresoarele de aer cu acest mecanism de acţionare. Dacă elementulconducător este pistonul, cum este cazul în care acest mecanism este folositpentru motoarele cu ardere internă, în care pistonul 4, este elementconducător deoarece transmite mişcarea rezultată în urma explozieiamestecului corburant, datorită scânteii date de bujii, în cazul celor cuscânteie, respectiv a autoaprinderii, în cazul celor ce funcţionează după cicluldiessel, la arborele cotit, elementul 1, care devine element condus de

Fig.1.20.




execuţie.

Dacă se fixează cupla de translaţie din C, şi cupla din B se realizeazăca o cuplă de clasă patru de rototranslaţie plană atunci mecanismul setransformă în mecanism de tangentă, exemplul d. Dacă de alege cupla din Cde rotaţie în schimb cupla din B rămâne o cuplă de clasa 4 de rototranslaţieatunci mecanismul devine mecanism cu culisă în cele trei variante date înexemplele f, g, h. De asemenea sun mecanisme cu cuple inferioaremecanismele cu cuple elicoidale din anexa I, precum şi exemplele dinfig.1.22., 1.23., 1.27., 1.28., 1.29., 1.30., 1.33., 1.34.,

Mecanismele cu cuple superioare dacă în componenta acestormecanisme există cel puţin o cuplă superioară, cum este cazul mecanismelorcu roţi dinţate, descrise în capitolul 4, marea majoritate a mecanismelor cucame, dezvoltate în capitolul 5.

Cele mai uzuale mecanisme poartă denumiri specifice pornind de laanumite particularităţi ale formelor constructive de la tipurile de mişcare aleelementelor cinematice şi anumite elemente de specificitate, chiar

Fig.1.21.




constructivă, după cum a rezultat din exemplele din cele două figuri, 1.20. şirespectiv 1.21. şi 1.24..1. Definiţi termenul de lanţ cinematic.

2. Realizaţi clasificarea lanţurilor cinematice

3. Definiţi termenul de mecanism.

4. Realizaţi clasificarea mecanismelor. Exemple.

5. Reprezentaţi pentru două secvenţe alese aleator un mecanism patrulater, un mecanismparalelogram, un mecanism bielă manivelă.

Rezolvări:1. se folosesc noţiunile din curs.




11. Gradul de libertate a unui lantcinematic, mobilitatea unui mecanismTimp mediu de studiu: 2 ore


definească noţiunile de lanţ cinematic si gradul de mobilitate al unui lanţ cinematic,grupe structurale;

definească noţiunile de mecanism şi mobilitatea mecanismului; definească şi să utilizeze condiţia de desmodromie; descrie principalele mecanisme si lanţurule cinematice din care provin

1.3.4.2. Gradul de mobilitate al unui lanţ cinematic

Prin definiţie, gradul de mobilitate al unui lanţ cinematic, este un numărîntreg, notat cu G, ce reprezintă diferenţa dintre numărul total al libertăţilorelementelor cinematice, notat cu L şi numărul total al restricţiilor impuse decuplele cinematice R. Conform definiţiei:

G= L - R 1.3.

Dacă notăm cu e numărul total al elementelor cinematice ale lanţului, şiavând în vedere că un corp în spaţiu poate efectua maximum şase mişcăriatunci, numărul total al libertăţilor elementelor cinematice devine:

L=6 e 1.4.

Numărul total al restricţiilor R se calculează prin cumularea tuturorrestricţiilor introduse de cuplele lanţului cinematic. Astfel, considerând o cuplăde clasă m, aceasta va introduce m restricţii. Dacă notăm cu 1c numărul totalal cuplelor lanţului de clasă 1 atunci numărul total al restricţiilor cuplelor declasă 1, notat cu 1R , este egal cu:

1 1R 1 c 1.5.

Pentru cuplele de clasă m, al căror număr total este notat cu cm vomavea un număr total de restricţii Rm, dat de relaţia:

m mR mc 1.6.cum ce poate lua valori cuprinse între 1 şi 5. Numărul total al restricţiilor R alelanţului cinematic se va obţine prin însumarea tuturor restricţiilor introduse decele cinci clase de cuple cinematice, date de relaţia 1.6.:




5 5

1 2 51 1

.... m mm

R R R R R mc

1.7.

Prin înlocuirea relaţiilor 1.4. şi 1.7., în 1.3., se obţine forma finală decalcul a gradului de libertate G a unui lanţ cinematic spaţial sub forma:

5

1 2 51

6 6 1 2 .... 5mG e mc e c c c 1.8.

În cazul lanţurilor cinematice plane, formula 1.8. se modifică astfel. Încazul mişcărilor plane un corp poate efectua maxim trei mişcări. Rezultă cădin cele 6 mişcări posibile în cazul plan mai rămân doar două translaţii dupăaxele planului x,Oy şi o rotaţie după direcţia axei Oz. De asemenea toatecuplele cinematice vor introduce cele trei restricţii comune specifice mişcăriiplane. În acest caz, gradul de libertate al unui mecanism plan va purtaindicele trei şi este dat de relaţia:

5

3 3 5 44

(6 3) ( 3) 3 2mm

G e m c G e c c

1.9.

Această relaţie, ca şi întregul concept de lanţ cinematic va fi utilizatăpentru calculul condiţiilor ce trebuie să le îndeplinească un mecanism pentrua funcţiona în condiţiile impuse. Deoarece această relaţie este folosită înanaliza structurală a lanţurilor cinematice, ea mai este cunoscută subdenumirea de formula structurală a lanţurilor cinematice.

1.3.5.2. Mobilitatea mecanismelor si condiţia de desmodromie

Dacă în cazul lanţurilor cinematice cu ajutorul formulei structurale secalculează gradul de mobilitate G, în cazul mecanismelor se introducenoţiunea de mobilitatea mecanismului, notată cu M şi având aceiaşisemnificaţie ca în cazul lanţurilor cinematice. Pentru calcul se porneşte de laacelaşi raţionament ca şi în cazul lanţurilor cinematice dată de relaţia 1.3.,mobilitatea rezultând ca diferenţa dintre numărul total al libertăţilor L şi alrestricţiilor R,

M=L-R 1.10.

Numărul total de libertăţi L se calculează pornind de la faptul că spredeosebire de lanţul cinematic, mecanismul are un element fix. În consecinţă,înlocuind în relaţia 1.4. acest lucru se obţine:

L=6(e-1)=6 n 1.11.




în care e reprezintă, numărul total al elementelor cinematice ale lanţuluigenerator, iar cu n, se notează numărul de elemente mobile alemecanismului. Numărul total al restricţiilor R, se calculează ca şi la lanţurilecinematice cu relaţia 1.7. Cu aceste modificări, mobilitatea mecanismuluispaţial este dată de relaţia:

5

5 4 3 2 1 61

6 6 5 4 3 2 1mM n mc n c c c c c M 1.12.

Pentru a preciza faptul că relaţia este pentru cazul spaţial, se poatenota cu 6M - mobilitatea mecanismului spaţial.

Pentru mecanismele plane, raţionând ca în cazul lanţurilor cinematicese obţine relaţia de calcul:

5

3 5 4 34

(6 3) ( 3) 3 2mm

M n m c n c c M

1.13.

unde m reprezintă numărul de restricţii induse de o cupla de clasă m, ca şi încazul lanţurilor cinematice.

Prin definiţie spunem că un mecanism este desmodrom dacă toateelementele cinematice ale mecanismului au între ele o mişcare relativăunic determinată. Cu alte cuvinte elementele cinematice supuse legăturilormecanismului se mişcă pe traiectorii, drumuri, etc cunoscute. Aceastăcondiţie se numeşte desmodromie, termen compus ce vine din limba greaca,desmis însemnând legat, condiţionat, în interdependenţă, iar dromos drum.

În analiza structurală a unui mecanism este deosebit de important sastabilim dacă mecanismul studiat este sau nu desmodrom. În caz contrarrestul studiilor şi analizelor nu îşi au rostul dacă mecanismul estenedesmodrom.

În concluzie orice studiu al unui mecanism trebuie să înceapă cuverificarea desmodromiei. Prin definiţie, din punct de vedere matematicun mecanism este desmodrom dacă mobilitatea sa M este egală cunumărul elementelor cinematice conducătoare.

1.3.6. GRUPELE STRUCTURALE

1.3.6.1. Aspecte generale

Grupele structurale reprezintă lanţuri cinematice simple care adăugatesau extrase dintr-un mecanism nu modifica structura acestuia. Pentru aîndeplini această condiţie rezultă că trebuie ca gradul de mobilitate G al




acestor grupe să fie zero. În plus mai trebuie precizat la regula de adăugaresau extragere că acestea trebuie făcute astfel ca sa rămână după extrageresau adăugare tot un lanţ cinematic, fie închis, având un element fix, fiedeschis când se ajunge la un lanţ fundamental cu un element fix.

Grupele structurale ne sunt utile în analiza cinematica şi dinamicapentru că ne da posibilitatea studiului parţial al mecanismului care reprezintăun mare avantaj aşa cum vom vedea. De aceea se mai numesc şi grupecinematice. Din acest motiv este bine să se respecte următoarele observaţiilegate de împărţirea unui mecanism în grupe structurale.

1. Grupele structurale trebuie sa conţină un număr de elemente cat maimic posibil.

2. Grupele structurale trebuie sa fie cat mai simple.3. Împărţirea în grupe structurale se face pornind de la elementul

cinematic conducător şi mergând din aproape în aproape până laelementele cinematice de execuţie.

4. Grupele structurale trebuie sa conţină un număr cat mai mare deelemente, cuple sau puncte cu mişcare cunoscută.

5. În formarea grupelor structurale trebuie sa avem în vedere un aspectdeosebit de important legat de posibilitatea de echivalare structurală acuplei cinematice de clasa 4 de rototranslaţie cu un lanţ cinematiccu două elemente cinematice şi trei cuple de clasa 5, cum esteredat în fig.1.35.. Această echivalare din punct de vedere structural neajută în multe aplicaţii. După cum rezultă din figură, între elementul 1 şi3, există o cuplă de clasă patru de rototranslaţie. Pentru a se stabili maiuşor acest lucru în cazul mecanismelor plane, se remarcă din fig.1.35.a,în care este redată cupla de clasă patru de rototranslaţie, modificareadistanţei x, datorită cuplei de translaţie, ce permite glisarea patinei peelementul cinematic 1 şi prin modificarea unghiului , cu vitezaunghiulară 2 datorită componentei de rotaţie dintre patină şi elementulcinematic 3. Acesta este cazul suprapunerii celor două mişcăripermise de cupla din B dintre elementele 1 şi 3. Conform figuriifig.1.35.b, este redat cazul în care se separă cele două componente alecuplei, prin introducerea patinei ca element cinematic, separat, care seleagă prin cele două cuple separate de data aceasta, constând într-ocuplă de translaţie din B şi una de rotaţie din C. Conform detaliilorgeometrice cele două cuple realizează aceleaşi funcţii, respectivmodificarea distanţei x şi a unghiului metoda purtând numele demetoda separării cuplei de clasă patru.

6. În cazul mecanismelor plane pornind de la condiţia de grad demobilitate nul al grupei structurale şi posibilitatea de a echivala cuplelede clasă patru după regula de mai sus, relaţia 1.13. devine:




'3 53 ' 2 0M n c 1.21.

din care se obţine condiţia de existenţă a numărului de elemente 'n şinumărul de cuple de clasă 5 '

5c pentru o grupă structurală, având în vederecă cele două mărimi sunt numere întregi, redate în continuare sub formătabelară, respectiv:

n’ 2 4 6 8 ...'5c 3 6 9 12 ...

1.3.6.2. Clasificarea grupelor structurale

Grupele structurale se împart după mai multe criterii, astfel:

1. După numărul elementelor cinematice componente n, careformează în cazul unei grupe un contur închis, respectiv după rangulmaxim al elementelor componente se împart în clase. Prin definiţieclasa unei grupe, este un număr întreg, egal cu numărulelementelor ce formează laturilor unui contur închis, respectivrangul maxim al elementelor ce compun grupa, dacă nu existăcontururi închise. Funcţie de acest număr grupele cinematice poartădenumiri specifice, astfel:

- pentru n=2 avem grupele cinematice de clasă doi, numite diadedin tabelul cu diadele de mai jos;

- pentru n=3 avem grupele cinematice de clasa 3, numite şi triade(fig.1.36.a şi b, datorită rangului maxim j=3);

- pentru n=4 avem grupele cinematice de clasa 4 numite şi tetrade(fig.1.36.c);

a b

Fig.1.35.




- pentru n=5 avem grupele cinematice de clasa 5 sau pentade.2. După numărul cuplelor posibile de legătura, grupele structurale se

împart în ordine. Ordinul este un număr întreg egal cunumărul cuplelor posibile a se lega la alte mecanisme.Exemple sunt redate în fig.1.36., în care sunt precizate pe figură

ordinul şi cuplele ce au stat la baza stabilirii lui. Astfel în fig.1.36.a,deoarece elementele 1 şi 2 au rangul 3, grupa este o triadă, de ordin4, deoarece cuplele A, D, C şi E, sunt libere, putând realiza cu alteelemente cinematice patru legături. În fig.1.36.b, se redă tot cazulunei triade formată din patru elemente cinematice dar datoritărangului j=3 al elementului doi este triadă, de ordinul trei datorităcuplelor A, E, F.

3. În cazul aceleiaşi grupe şi ordin grupele structurale se clasifică înaspecte, în funcţie de tipul cuplelor ce o compun. Deoarece în aplicaţiileuzuale vom folosi numai diade se vor analiza doar aspectele acestei grupe.

Exemple semnificative, cu cuplele separate precum şi cu cuplesuprapuse şi mecanismele reprezentative din care provin sunt redate întabelul cu diadele de mai jos.

Diadele, aspectele lor şi mecanismele reprezentative

Schema cinematică cucuple separate, aspectul şi

caracteristica diadei

Schema cinematicăcu cuplelesuprapuse

Schema cinematică şi denumireamecanismului reprezentativ

a b c

Fig.1.36.




diada de aspect 1, cu treicuple de rotaţie(RRR) Nu există Mecanismul patrulater

diada de aspect 2, cudouă cuple de rotaţie şiuna e translaţie (RRT)

Mecanismmanivela-piston

diada de aspect 3, cudouă cuple exterioare derotaţie şi una de translaţie

interioară (RTR)

Mecanism cu culisă oscilantă saurotativă

diada de aspect 4, cudouă cuple exterioare detranslaţie şi una de rotaţie

interioară (TRT)

Mecanism balansier -piston(piston 2 ,balansier 1)




Mecanism patrulater (M3=2)

Diada de aspect 5, cudouă cuple de translaţie

(una interioara şi unaexterioara) şi una

exterioară de rotaţie

varianta A

varianta B

Mecanism patrulater dublu-balansier

Mecanism cu culisa de translaţie

Exerciţii:definiţi noţiunile de lanţ cinematic si gradul de mobilitate al unui lanţ cinematic,

grupe structurale;

definiţi noţiunile de mecanism şi mobilitatea mecanismului. Relaţia de calcul amobilităţii pentru un mecanism plan ţi spaţial;

Definiţi noţiunea de desmodromie şi să se utilizeze pentru verificarea condiţiei dedesmodromie pentru mecanism patrulater si bielă manivelă;

descrie principalele mecanisme si lanţurule cinematice din care provin;

Rezolvări:1. Se folosesc noţiunile din curs




12. Familia unui mecanism, elementecinematice, cuple cinematice si grade delibertate de prisos sau pasive structuralTimp mediu de studiu: 2 ore

definească şi să identifice familia unui mecanism, rolul şi importanşa sa in analizastructurală a mecanismelor;

înţeleagă utilitatea elemente cinematice, cuple cinematice si grade de libertate deprisos sau pasive structural;

1.3.5.3. Cuple, elemente cinematice şi mobilităţi pasive structural

În teoria mecanismelor, a apărut necesitatea separării elementelorcomponente ale mecanismelor şi gradelor de mobilitate ale elementelor, caredacă se suprimă sau adaugă unui mecanism nu îl influenţează structural,deşi efectele practice sunt avantajoase. Acest termen de pasiv, sau deprisos, se justifică prin faptul că, pentru a se îmbunătăţii funcţionarea şiperformanţele unui mecanism, precum şi pentru a reduce solicitările şimasele inerţiale ale elementelor componente ale mecanismelor, cu scopul dediminuare a uzurilor, a forţelor şi modului de solicitare a cuplelor se utilizeazăsoluţii tehnice, care din punct de vedere structural nu modifică cu nimicmecanismul de bază. Toate aceste elemente pasive sau de prisos din punctde vedere structural sunt totdeauna motivate din punct de vedere organologicşi funcţional. Pentru a se înţelege se considera un exemplu deosebit desimplu al balamalei ce asigură posibilitatea deschiderii uşilor, ferestrelor, etc.În cazul balamalei, din punct de vedere structural pentru funcţionarea sa, ar fimereu suficientă o singură balama. Pentru a reduce dimensiunile de gabaritîn cazul balamalei unice şi pentru a simplifica construcţia la montarea uşii potfi folosite 2, 3 si chiar 4 balamale, pentru aceiaşi funcţie sau, pentru cazuriextreme balama tip panglica, ce conţine un număr foarte mare de balamale,legate între ele funcţie de lungimea şi dimensiunile uşii.

De aceia în analiza mecanismelor trebuie să putem identifica situaţiileîn care există aceste elemente de prisos pentru a fi eliminate din calcululmobilităţii, deoarece erorile sunt foarte mari şi se descoperă mecanisme caredeşi funcţionează, din calculul mobilităţii rezultă contrariul. Astfel dacă din




calcule se obţine mobilitatea 0 a unui mecanism, aceasta defineşte situaţiade mecanism blocat, în sensul că toate elementele cinematice sunt fixerelativ între ele.

Dacă mobilitatea calculată este M=-1, aceasta arată că pentru a seputea realiza funcţionarea acelui mecanism trebuie să-i mai asigurăm douămobilităţi. În unele cazuri este avantajos ca distribuirea sarcinii ce solicită unelement cinematic să fie avantajos a fi preluată de două sau mai multeelemente cinematice reducând în acest fel gabaritul şi în consecinţă efecteleinerţiale sau îmbunătăţind funcţionarea mecanismului ca în cazulmecanismului paralelogram din fig.1.22.

Pentru utilizarea corectă a formulei structurală 1.13. a mobilităţii,există posibilitatea de a realiza evaluare prin scrierea ordonată, conform

modelului de mai jos, numittablou de analiză structurală,care înseamnă, o scrieresimplificată dupăidentificarea corectă anumărului de elemente şicuple cinematice. Astfelprima descriere din acesttablou de analiză de mai josprecizează că, în A, seleagă baza, notată cu bz deelementul cinematic 1,printr-o cuplă de rotaţie de

clasă m=5,:

5 - ( -1) - RA bz C 5(3 ) RD bz C

5 - (1- 2) - RB C 5(3 4) RE C

5 - (1- 2) - RC C 5(4 1) RF C

Analizând descrierea legăturilor se observă de fapt că se pot consideradouă mecanisme şi pe de altă parte că elementul 4, leagă în condiţii similare

elementele 1 şi 3. Deci în formula structurală 1.13. sunt, n=3, c5=4, c4=0,deci:

Fig.1.22.




3 5 43 2 3 3 2 4 1 0 1M n c c

În acest caz pe lângă reducerea dimensiunilor elementului 2 datorităpreluării a unui procent din solicitare de către elementul 4, elementul pasiv 4asigură continuitatea mişcării mecanismului. În secvenţa 2, a mecanismuluireprezentată cu linie întreruptă, s-a ales momentul în care braţele

elementelor 1 şi 3 sunt coliniare cuelementul 2, poziţiile cuplelor fiind A’, B’,D şi C’ de coliniaritate, elementul 4,împiedica riscul ca elementul 3 săînceapă să se mişte în sens contrartransformând mecanismul paralelogramîn mecanism antiparalelogram. Înconcluzie mecanismul are elementul 4şi cuplele E şi F cuple de prisos.

În fig.1.23. este prezentatexemplul mecanismului de antrenare amaşinii tip şeping, la care manivela 1,se roteşte uniform, antrenând culisa 3într-o mişcare de oscilaţie în jurul cupleifixe din C. Datorită cuplelor detranslaţie din F şi G elementul 4

produce o translaţie a elementului cinematic 5. Dacă se realizează tabloul deanaliză structurală se obţine:

5 - ( -1) - RA bz C ; 5(3 4) RD C ; 5(5 ) TG bz C

4 - (1- 3) - RTB C ; 5(4 5) RE C ;

5 - (3 - ) - RC bz C ; 5(5 ) TF bz C ;

Analizând tabloul se remarcă evident că cupla din g este o cuplă deprisos şi trebuie eliminată. Aşadar, pentru formula structurală 1.13. vom avea:n=5, c5=5, c4=2, iar mobilitatea este:

3 5 43 2 3 5 2 5 1 2 1M n c c

ce arată că mecanismul este desmodrom. În cazul mecanismelor cu came,fig.1.24.a rola 3, nu are efect structural asupra mecanismului ci înlocuieştefrecarea de lunecare dintre cama şi tachetul cu vârf într-o frecare derostogolire reducând astfel forţele rezistive de frecare şi mărind fiabilitatea

Fig.1.23.




mecanismului datorita avantajelor frecării de rostogolire comparativ cufrecarea de lunecare. Deci la calculul mobilităţii mecanismului rola nu se ia încalcul.

În cazul mecanismului cu camă din fig.1.24.b, tachetul se deplaseazăsus şi jos, urmărind profilul camei, Pentru a reduce uzura acestui contact i sepermite tachetului, o rotaţie cu viteza unghiulara 2 în jurul axei proprii.

Această mişcare constituie un grad de mobilitate de prisos, carepermite tachetului să schimbe continuu punctul său de contact dintre capulbombat al tachetului cu cama, reducând în acest fel uzura dintre cele douăsuprafeţe.

De asemenea, în cazul mecanismului cu camă din fig.1.1. arcul interpusîntre un umărul tachetului şi reazemul mecanismului nu are rol structural înfuncţionarea mecanismului ci este un element pasiv care însa readuce

tachetul în poziţiade contact cucama la

inversareasensului său demişcare, cândurmează peprofilul camei, cumse v-a arăta încapitolul 5, zona

de coborâre.

În fig.1.25. este prezentat cazul în care mecanismul paralelogram estefolosit ca sistem multiplicator, pentru a transmite aceiaşi mişcarea la maimulte elemente cinematice, în acest caz la cele trei roţi active ale locomotivei.

a b

Fig.1.24.

Fig.1.25.




Evident că unul dintre cele două elemente conduse 3, sau 4, sunt elementede prisos, alături de cuplele cu care se leagă. Evident în calculul mobilităţiiaceste cuple şi elementul corespunzător nu se vor lua în considerare.

1.3.5.4. Cuple multiple

Sunt situaţii în care într-un mecanism se leagă în acelaşi punct teoreticde cuplare doua sau mai multe elemente cinematice. În cazul în care într-ocuplă se leagă mai mult de doua elemente cinematice atunci vorbim de cupla

multipla. În analiza structurala este strict necesar ca să folosim ordinul demultiplicitate al cuplei k în sensul că dacă în cuplă se leagă n elemente

Fig.1.26.




cinematice, numărul de cuple pe care le introducem în analiza structuralaeste numit ordin de multiplicitate, se notează cu k şi este dat de relaţia:

k=n-1 1.14.

Există tendinţa precizării ordinului de multiplicitate prin numărul inelelorconcentrice, la reprezentarea structurală, conform căreia numărul de ineleconcentrice este egal cu ordinul de multiplicitate, cum este redat în fig.1.26.Pentru a se înţelege mai bine pentru exemplificare în fig.1.26.sunt redate prinschema constructivă în secţiune şi vedere laterală, şi reprezentareastructurală, trei exemple de cuple de rotaţie. Astfel în cazul a, din fig.1.26.este cazul unei cuple multiple simple, redat constructiv şi structural îndreapta. În exemplul b, este cazul în care se leagă trei elemente deci k = 3-1=2. Pentru o scriere simplificată, cum este precizat şi pe figură se poate scriesimbolul cuplei cu 2

5C , precizând astfel şi ordinul de multiplicitate.

Dacă se are în vedere că în cazul mecanismelor plane cuplele pot fi de clasă5 de rotaţie, sau translaţie, sau de clasă 4 de rototranslaţie, atunci se potintroduce aceste particularităţi în simbolul de scriere a cuplei după formaaceasta, 2

5RC , 2

5TC , respectiv 4

RTC . În exemplul din cazul c, este cazul cupleicu patru elemente cinematice supuse legăturii, fiind deci o cuplă cu ordinul demultiplicitate 3, de rotaţie, simbolizată cu 3

5C , sau cu precizarea tipului de

mişcare de rotaţie din cuple 35

RC .

1.3.5.5. Noţiunea de familia mecanismelor

În aplicaţii s-au observat de multe ori erori în aplicarea formulei decalcul a mobilităţii unui mecanism, chiar dacă s-a ţinut cont de cuplele,elementele şi gradele de prisos în sensul celor descrise în paragraful anterior.

Pentru a rezolva această eroare V. V. Dobrovolschi, a introdus noţiuneade familie a mecanismelor. Introducerea acestei noţiuni s-a realizat pringeneralizarea calculului mobilităţii mecanismelor plane care conform relaţiei1.13. reducea cu trei gradele de libertate ale fiecărui element cinematic,respectiv deveneau comune cele trei restricţii specifice mişcării plane. Prinsimilitudine există mecanisme care pot avea un număr de restricţii comunetuturor elementelor cinematice. Prin definiţie numim familia unuimecanism numărul întreg „f” egal cu numărul restricţiilor comuneimpuse tuturor elementelor cinematice ale unui mecanism în raport cuun sistem de referinţă unic. Pentru stabilirea familiei unui mecanism se




recomandă o metodă tabelară. Conform acestei metode pe verticala sunttrecute elementele cinematice ce compun mecanismul iar pe orizontalamişcările maxime posibile ale unui corp liber în spaţiu.

După ce alegem un sistem de referinţă unitar în mod convenabil pentrumecanismul studiat, se trece la analiza succesivă a mişcărilor fiecăruielement cinematic, prin raportarea la sistemul unic de referinţă. Tabelul vaavea un număr de şapte coloane şi un număr de linii egal cu cel alelementelor plus una pentru a se trece sumarea coloanelor pe verticală. Seîncepe analiza cu elementul conducător, terminând cu cel condus deexecuţie. În tabel, în dreptul elementului ce se analizează în coloana dindreptul mişcării analizate, se trece cifra 1, dacă elementul poate să executemişcarea, respectiv 0, când mişcarea este restricţionată de către legătură. Lasfârşit, după ce s-a terminat de analizat toate elementele, iar tabelul a fostcompletat, se aduna pe verticala cifrele din fiecare coloana, iar rezultatul setrece în ultima linie. Prin definiţie familia mecanismului va fi numărul întregegal cu numărul coloanelor pentru care suma este 0.

Obs : Dacă între două mişcări permise la un mecanism exista între eleo funcţie matematica de interdependenţă atunci din cele doua mişcări posibilese alege numai una. Pentru a calcula mobilitatea mecanismului de familie fse procedează ca în cazul mecanismelor plane.

Având în vedere că în cazul mecanismului de familie f avem f restricţiicomune tuturor elementelor cinematice rezultă că din cele şase mişcărimaxime posibile ale unui corp liber în spaţiu mai rămân 6-f. În ce priveştecalculul restricţiilor din cele m restricţii ale unei cuple vom scădea cele frestricţii comune. Ca atare mobilitatea unui mecanism de familie f este egalăcu numărul de mişcări posibile ramase, fiind calculată cu relaţia:

5

1(6 ) ( )f m

fM f n m f c

1.15.

Considerând cazul mecanismelor plane pentru care f=3 şi înlocuind înrelaţia 1.15., se regăseşte formula de calcul a mecanismelor plane, 1.13.,respectiv:

3 5 43 2M n c c 1.16.




Pornind de la această noţiune mecanismele se pot grupa pe familii. Încontinuare se vor prezenta câteva exemple pentru a putea utiliza corect

această noţiune. Astfel, în fig.1.27. este redat cazul unui mecanism spaţialcare transformă mişcarea de rotaţie a elementului conducător 1, în mişcarede translaţie a elementului 3, ce poartă numele de piatră de culisă.

Mecanismul este cunoscut sub denumirea de mecanism manivelăpiston spaţial. O utilizare a sa este pentru antrenarea cuţitului tăietor alternantal cositoarei mecanice, ce permite modificări ale unghiului braţului de tăierefaţă de maşina de antrenare, funcţie de teren. Analizând ultima coloană atabelului se trage concluzia că mecanismul este de familie 0. Deci aplicândf=0, în formula 1.15. şi având în vedere că, din tabloul structural,

5 ( -1) - RO bz C ; 3 - (1- 2) - RA C ; 3(2 3) RB C ; 4(3 ) RTB bz C ;

rezultă că n=3, c5=2, c4=1,c3=1, restul de cuple fiind nul se obţine:

6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 3 5 2 4 1 3 1 2 0 1 0 1M n c c c c c

1.17.

ce arată că mecanismul este desmodrom.

În fig.1.28.a este prezentat mecanismul şurub de LENINGRAD, înreprezentare ca schemă constructivă şi fig.1.28.b, reprezentarea structurală.După cum rezultă din cele două reprezentări, mecanismul transmite fărătransformare mişcarea de rotaţie a elementului conducător 1, prin intermediulelementului 2, ale cărui axe de simetrie ale celor două braţe relativperpendiculare, rămân tot timpul paralele cu axele Oy, respectiv Oz, laelementul cinematic condus 3. Această mişcare particulară de paralelismpermanent cu cele două axe, face imposibilă orice rotaţie, ce face ca acestelement să aibă posibilitate de execuţie a tuturor celor trei translaţii în spaţiu

xv yv zv x y z

1 0 0 0 0 1 0

2 1 1 1 1 1 1

3 1 0 0 0 0 0

2 1 1 1 2 1

Fig.1.27.




cum rezultă şi din tabelul de stabilire a familiei anexat. Pentru a stabili familiaacestui mecanism se întocmeşte tabelul conform regulii stabilite, rezultând osingură restricţie comună tuturor elementelor cinematice, rotaţia după direcţiaOx, deci familia mecanismului f=1, care aplicată în formula 1.15. se obţinerelaţia de calcul a mecanismelor de familie 1, dată de relaţia:

5 5 4 3 25 4 3 2 1M n c c c c 1.18.

Pentru stabilirea tipului şi număruluilegăturilor, se întocmeşte tabloul structuralde analiză, după cum urmează:

5 - ( -1) - RA bz C ; 4 - (2 - 3) - RTC C ;

4 - (1- 2) - RTB C ; 5(3 ) RD bz C ;

Din analiza tabloului structural de analiză şi din reprezentareastructurală din fig.1.27.b, mecanismul are: n=3, c5=2, c4=2, c3=0, c2=0.

Dacă se înlocuiesc aceste valori în relaţia 1.18. se obţine se obţine:

5 5 3 4 2 3 2 1M

xv yv zv x y z

1 0 0 0 0 1 0

2 1 1 1 0 0 0

3 0 0 0 0 0 1

1 1 1 0 1 1

C Fig.1.28.




Rezultatul arată că mecanismul este desmodrom. În fig.1.28.c. esteredat cazul aceluiaşi mecanism, la care se folosesc două elemente 2intermediare, unul dintre ele fiind pasiv, împreună cu cuplele de legătură,formula de calcul a mobilităţii fiind aceiaşi. Este încă o ilustrare a utilităţiifolosirii elementelor şi cuplelor de prisos. Pentru o funcţionare mai silenţioasăaceste mecanisme se utilizează cu un număr impar de elemente pasive 2.Exerciţii

prezentaţi exemplele din curs şi motivaţia de utilizare de elemente cinematice,cuple cinematice si grade de libertate de prisos sau pasive structural;

definiţi noţiunea de cuplă multiplă si relaţia de stabilire a ordinului de multiplicitate; definiţi şi identificaţi familia mecanismelor prezentate în curs.

Rezolvări:Se folosesc informaţiile din curs.




13. Analiza cinematică a mecanismelor,metoda funcţiei de transferTimp mediu de studiu: 2 ore


definească parametrii cinematici (traiectotie, deplasare, viteză, acceleraţie) pentruun mecanism

cunoască principial cele 3 metode de anliză cinematică, să aprofundeze si săutilizeze metoda analitică a funcţiei de transfer

utilizeze metoda analitică a funcţiei de transfer pentru un mecanism dat

5,1 ANALIZA CINEMATICĂ AMECANISMELOR CU BARE ARTICULATEÎn cadrul analizei cinematice se studiază cei cele trei mărimi conform rezultatelor de

la mecanică, denumiţi parametrii cinematici. Prin parametrii cinematici, se înţeleg cele treimărimi cu ajutorul cărora definim mişcarea în sensul modificării poziţiei geometrice a unuicorp şi a unor distanţe relative dintre aceste corpuri, precum şi a modului de variaţie aacestor distanţe respectiv, spaţiul parcurs, viteza şi acceleraţie, prin prisma transformărilorce au loc în timpul funcţionarii mecanismului. Prin definiţie traiectoria unui punct reprezintălocul geometric al poziţiilor pe care le-a ocupat sau urmează să le ocupe un punct aflat înmişcare. Spaţiul parcurs de un punct reprezintă lungimea arcului de traiectorie dintre douăpoziţii ale punctului după un anumit interval de timp. Determinarea valorilor acestor mărimise poate face prin diferite metode de calcul [MKO72][VIA82]. În lucrare se vor dezvoltadouă metode de rezolvare de bază:

- Metoda grafo-analitica;

- Metoda analitica.

Metoda grafică este cea mai veche metoda, este o metoda depăşita fiind folositafoarte rar mai mult pentru analize principale. Datorita dezavantajelor cum ar fi utilizareaunei metode grafice greoaie de derivare şi integrare grafica, necesitarea întocmirii la scaraa multor desene şi în consecinţă introducerea unor erori relativ mari, metoda se utilizeazătot mai puţin.

Metoda analitica este cea mai evoluata, folosită pentru calculul parametrilor cinematicipe baza proiecţiilor poziţiilor punctelor pe sisteme de axe, urmată de rezolvarea analitică aecuaţiilor obţinute.

Aceasta metoda prezintă următoarele avantaje:

- o precizie deosebit de buna de calcul;- posibilitatea utilizării sistemelor de calcul moderne pentru rezolvarea

acestor ecuaţii;




- determinarea unor funcţii continui a valorilor parametrilor cinematicicalculaţi, spre deosebire de metoda grafica în care parametrii cinematicise determină pentru fiecare secvenţă separat;

- existenta unor funcţii literare cu ajutorul cărora definim parametriicinematici ne permite sa stabilim cu mare precizie fie anumite valoriextreme ale parametrilor studiaţi, fie anumite valori particulare funcţie deaplicaţia mecanismului.

Aceasta metoda prezintă dezavantajul ca se adresează în general specialiştilor înmecanisme fiind mai greu accesibila celor în formare deoarece în urma aplicării metodeirezultă numai nişte valori numerice, fără a avea în spate un suport aplicativ concretizatprin desene şi reprezentări grafice, aşa cum ne dau metodele grafice.

Metoda grafo-analitica îmbină parţial avantajele şi dezavantajele primelor două fiind ometoda utila formării viitorilor specialişti în teoria mecanismelor. Conform principiiloracestei metode calculul parametrilor cinematici se face parţial grafic şi parţial analitic.Pentru o soluţionare optimă este bine ca să se realizeze determinările prin ambele metodeşi să se confrunte rezultatele.

5.2 ASPECTE GENERALECum s-a mai spus, metodele grafice de analiză cinematică a mecanismelor sunt in-

tuitive şi expeditive, dar rămân tributare preciziei şi cum s-a văzut construirea planurilorvitezelor şi acceleraţiilor trebuie făcută pentru fiecare poziţie a elementului conducător.Pentru a realiza o mărire a preciziei de evaluare a parametrilor cinematici aimecanismelor precum şi pentru o aprofundare a calculului se impune folosirea metodeloranalitice. În literatura de specialitate sunt diferite metode analitice, dar o metodă foartegenerală şi cu o sferă de aplicabilitate deosebit de largă este metoda funcţiile detransmitere sau de transfer.

Fundamentul metodei constă în a se obţine acele funcţii care stabilesc o legăturăîntre parametrii cinematici ai elementului conducător sau a elementelor conducătoare,când este cazul şi cei ai unei element cinematic considerat condus, ce poate fi de execuţiesau element conducător în următoarea etapă de analiză, cum se v-a vedea în continuare.Pentru o mai largă generalizare a metodei, se introduce noţiunea de coordonatăgeneralizată, notată cu q1, pentru elementul cinematic conducător, respectiv cu qk, pentrucel condus sau de execuţie. Aceste coordonate generalizată pot fi deplasări unghiularesau deplasări liniare, după cum elementele 1 şi k execută mişcări de rotaţie sau detranslaţie.

Se defineşte astfel, funcţia de transmitere de ordinul zero, sau funcţia depoziţie, sau funcţia primară ca fiind funcţia care stabileşte legătura între parametrul qt

care fixează poziţia elementului condus k şi parametrul q1, o coordonată independentăcare fixează poziţia elementului conducător 1.

Această funcţie poate fi pusă sub forma :




1, 0k k kR q q R 2.84.

ce este specifică unui anumit mecanism. Pe lângă cele două coordonate generalizate înrelaţie mai intră ca nişte constante lungimile elementelor mecanismului, sau anumiteunghiuri constante. Derivând 2.84. în raport cu timpul, având în vedere că funcţia detransfer depinde de timp prin intermediul coordonatelor generalizate 1 1( ) ( );t k k tq q q q se obţine:

11

0;k kk

k

R Rq qq q

'1k kq R q 2.85.

în care cu 'kR s-a notat expresia:

' 1

k

kk

k

RqR Rq

2.86.

ce poartă numele de funcţie de transmitere de ordinul întâi, care stabileşte ocorelaţie între vitezele generalizate, ale elementului condus şi a celuiconducător. Pentru simplificarea scrierii s-a folosit scrierea prescurtată cuajutorul punctelor a derivatelor absolute în raport cu timpul, respectiv:

kk

dqqdt

; 11

dqqdt

2.87.

Derivând în raport cu timpul relaţia 2.85. se obţine:'' 2 '

1 1k k kq R q R q 2.88.

în care s-au folosit notaţiile:2 2

112 2; ;k

kd q d qq qdt dt

2.89.

2 2 22' '

2 2'' 1 1

2k k kk k

k kk

k

k

R R RR Rq q q qR R

q

2.90.




Expresia ''kR este funcţia de transmitere de ordinul doi şi aşa cum se

poate constata din 2.90, alături de funcţia de transmitere de ordinul întâi Rk',stabileşte legătura între acceleraţia generalizată kq a elementului condus k şiviteza generalizată 1q , respectiv acceleraţia 1q ale elementului conducător 1.Pentru obţinerea funcţiei de transfer, se înlocuiesc elementele cinematice cuvectorii echivalenţi, care unesc cuplele fiecărui element, după care seproiectează aceşti vectori pe axele unui sistem de referinţă plan unitar şi alesconvenabil. Pentru a scrie cât mai uşor ecuaţiile de proiecţii, prin relaţiiunitare, indiferent de mecanism, unghiul cu care definim poziţia vectorilor înraport cu axa Ox, sunt unghiuri orientate în sens trigonometric conform figurii.Folosind aceasta marcare a unghiului atunci ecuaţia vectorială pentru un lanţde vectori ai unui mecanism oarecare:

1 2 31

... 0, 0n

n kl l l l l 2.91.

devin cu ajutorul proiecţiilor pe axele planului:

1 1 2 2

1 1 2 2

: cos cos ... cos 0: sin sin ... sin 0

n n

n n

Ox l l lOy l l l

2.92.

În continuare din cele doua ecuaţii ale sistemului se obţine o relaţie întrecoordonata generalizată kq a elementului condus 1q şi celelalte mărimiconstante ale mecanismului studiat. În cazul mecanismelor complexe carepot să fie formate din N cicluri închise de vectori (însemnând un număr n devectori, care sa formeze un contur închis), pentru care se pot scrie ecuaţii detipul 2.91.. Din cele N sisteme de ecuaţii ce se pot scrie doar pentru N-1ecuaţiile vor fi independente. Deci, dacă notăm cu K numărul de cicluriindependente de vectori, atunci:

1K N 2.93.

Conform [VIA82], pentru calculul lui K, se poate utiliza relaţia:5

1k

kK c n

2.94.

în care kc , reprezintă numărul de cuple de clasă k, iar n numărul de elementemobile.




2.2.2. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMULUI

PATRULATER CU CUPLE DE ROTAŢIE

La mecanismul patrulater din fig.2.9. numărul de cicluri independente K,pe baza relaţiei 2.93., este K = 4 - 3 = 1, deoarece sunt 4 cuple de clasă 5 şi3 elemente cinematice mobile. Se consideră că elementul AB esteconducător 1 (q1 = 1 ), iar elementul BC este condus deci qk = 3 . Din ecuaţiade închidere a conturului închis ABCDA (ciclul independent) proiectată pecele două axe de coordonate rezultă:

1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3

cos cos cos 0sin sin sin 0

l l l ll l l

2.95.

deoarece 4 . Eliminând unghiul 2 , variabilă ce nu ne interesează încalculul actual, se obţine funcţia de transfer primară, conform relaţiei 2.84.sub forma:

2 2 2 23 1 3 1 2 3 4 1 3 1 3 1 4 1 3 4 3, 2 cos 2 cos 2 cos 0R R l l l l l l l l l l 2.96.

Deoarece este funcţia de transfer pentru calculul parametrilorelementului 3, s-a notat simbolic cu indicele 3. Pentru calculul vitezei şiacceleraţiei unghiulare a elementului 3 se calculează derivatele parţiale deordinul unu şi doi ale lui R3 după cum urmează:

Fig.2.9.




31 3 1 3 1 4 1

1

31 3 1 3 3 4 3

3

23

1 3 1 3 1 4 121

23

1 3 1 3 3 4 323

23

1 3 1 31 3

2 sin 2 sin

2 sin 2 sin

2 cos 2 cos

2 cos 2 cos

2 cos

R l l l l

R l l l l

R l l l l

R l l l l

R l l

2.97.

care înlocuite primele două în relaţia 2.86. şi prelucrate ne dau funcţia detransfer primară:

' 3 1 3 4 113

3 1 1 3 4 3

sin sinsin sin

l llRl l l

2.98.

de unde rezultă înlocuind 2.98. în relaţia 2.85. că:

' 3 1 3 4 113 3 3 1 1

3 1 1 3 4 3

sin sinsin sin

l llRl l l

2.99.

În continuare înlocuind relaţiile 2.97. în 2.90. şi prelucrând se obţinefuncţia de transfer secundară dată de relaţia:

2'1 3 1 3 4 1 3 3 1 1 3 4 3''

33 1 1 3 4 3

cos cos cos cos

sin sin

l l l l R l lR

l l l

2.100.

Dacă se înlocuieşte în 2.88., se obţine expresia analitică a lui 3 , avândîn vedere că 1 1 0 . Pentru a se obţine expresiile lui 3 si 3 funcţie numaide lungimile constante ale mecanismului şi unghiul 1 , din cele douătriunghiuri ce se formează ducând diagonala BD, obţin:

2 2 2 21 2 3 4 1 4 1

2 2 23 1 4 1 4 1

1 11

4 1 1

2 cosarccos2 2 cos

sincos

l l l l l ll l l l l

larctgl l

2.101.




03 2 1

2 2 2 20 1 2 3 4 1 4 1 1 1

2 24 1 13 1 4 1 4 1

360

2 cos sin360 arccoscos2 2 cos

l l l l l l larctgl ll l l l l

Acum cunoscând 3 si 3 , se poate determina cu exactitate viteza şiacceleraţia liniară a oricărui punct cu coordonate cunoscute, pentru oricepoziţie a elementului cinematic conducător, funcţie de variabila 1 .

Dacă se doreşte determinarea vitezei şi acceleraţiei unghiulare aelementului 2, se procedează similar, numai că din ecuaţiile de proiecţii 2.95.se elimină variabila 3 , iar 2kq . Se obţine:

2 2 2 22 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 1 4 1 2 4 2, 2 cos 2 cos 2 cos 0R R l l l l l l l l l l 2.102.

în care se observă că relaţiile funcţiilor de transfer primitive sunt similare întreele dacă se schimbă 3 cu 2 . Deci funcţia de transfer primară şi ceasecundară se obţin înlocuind 3 cu 2 în relaţiile 2.98. respectiv 2.100., astfelse obţine:

' 2 1 2 4 112

2 1 1 2 4 2

sin sinsin sin

l llRl l l

2.103.

2'1 2 1 2 4 1 2 2 1 1 2 4 2''

22 1 1 2 4 2

cos cos cos cos

sin sin

l l l l R l lR

l l l

2.104.

Pentru a se calcula 2 , se înlocuieşte 2.103. în 2.85., iar pentru a secalcula 2 , se înlocuieşte 2.104. în 2.88.. Pentru a exprima cele două măriminumai funcţie de variabila 1 , conform fig.2.8. se calculează cu relaţiigeometrice simple mărimile geometrice necesare, după cum rezultă:

2 2 1

2 2 2 21 2 3 4 1 4 1

2 2 22 1 4 1 4 1

1 11 1

4 1 1

2 cosarccos2 2 cos

sincos

l l l l l ll l l l l

larctgl l

2.105.




2.2.3. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMULUI BIELĂ-MANIVELĂ

Mecanismul bielă manivelă, sau manivelă piston reprezentat în fig.2.9.este mecanismul utilizat pentru realizarea motoarelor cu ardere internă,atunci când elementul conducător este pistonul, respectiv piatra de culisă,sau pentru compresoarele de aer cu piston, atunci când elementulconducător este manivela 1. Mecanismul în primul caz de utilizare transformăo de translaţie într-o mişcare de rotaţie, a manivelei şi invers în cel de aldoilea caz. Mecanismul având două elemente cinematice c5=2, c4=1 şi fiindplan M3=3n-2c5-c4=1, deci este desmodrom, respectiv calculând relaţia 2.94.

se obţine,5

1k

kK c n

=3-2=1, deci mecanismul are un singur ciclu. Folosind

notaţiile din figura 2.10. şi elementele de particularitate, respectiv0 0

3 3270 , 180 , iar elementul 3, se notează cu e şi poartă numele deexcentricitate sau dezaxare, din sistemul 2.92. se obţine:

1 1 2 2 3 4 4

1 1 2 2 3 4 4

cos cos cos cos 0sin sin sin sin 0

l l e ll l e l

1 1 2 2 3

1 1 2 2

cos cos 0sin sin 0

l l ll l e

2.106.

Dacă din relaţiile 2.106. se elimină unghiul variabil 2 se obţine funcţiade transfer primitivă, sau de poziţie, considerând că elementul AB esteconducător 1 (q1 = 1 ), iar elementul AD este condus deci qk = 4l sub forma:

2 2 2 24 1 4 1 2 4 1 4 1 1 1, 2 cos 2 sin 0R l R l l e l l l l e 2.107.

Fig.2.10.




Pentru obţinerea vitezei de deplasare a lui C, respectiv 4cv l şi aacceleraţiei liniare 4ca l , este necesar să se calculeze derivatele parţiale deordinul unu şi doi:

41 4 1 1 1

1

44 1 1

4

24

1 4 1 1 121

24

24

24

1 11 4

2 sin 2 cos

2 2 cos

2 cos 2 sin

2

2 sin

R l l l e

R l ll

R l l l e

Rl

R ll

2.108.

Înlocuind primele două ecuaţii în relaţia 2.86. şi prelucrate ne daufuncţia de transfer primară:

' 4 1 14 1

4 1 1

sin coscos

l eR ll l

2.109.

de unde rezultă înlocuind 2.108. în relaţia 2.85. că:' 4 1 1

4 4 1 1 14 1 1

sin coscosc

l ev l R ll l

2.110.

În continuare înlocuind relaţiile 2.108. în 2.90. şi prelucrând se obţinefuncţia de transfer secundară dată de relaţia:

2' '1 4 1 1 4 4 1 1''

44 1 1

cos sin 2 sin

sin

l l e R R lR

l l

2.111.

Având în vedere că 1 1 0 , dacă se înlocuieşte în 2.88., se obţineexpresia analitică a acceleraţiei pistonului:

2' '1 4 1 1 4 4 1 1'' 2 2

4 4 1 14 1 1

cos sin 2 sinsinC

l l e R R la l R

l l

Dacă se consideră mecanismul bielă manivelă axat (e=0) conformfig.2.11. şi se folosesc notaţiile consacrate, respectiv spaţiul parcurs de pistonl4=S, lungimea manivelei egală cu raza cercului l1=r, l2=l şi 1 , iar

32 , atunci se poate scrie că:




cos cosS r l 2.112.Tot din cele două triunghiuri dreptunghice ABE şi BCE se pot scrie

relaţiile geometrice evidente:

2 2sin sin cos 1 sinrl

2.113.

în carelr . Dacă se înlocuieşte 2.113. în 2.112. se obţine:

2 2cos 1 sinS r l 2.114.

Exerrciţii

1. Care sunt cele trei metode principale de analiză cinematică a mecanismelor. Analiza lorcomparativă.

2. Definiţi noţiunea de cooredonata generalizată. Rolul său in utilizare metodei funcţiei detransfer.

3. Care este principliul metodei funcţiei de transfer şi etapele in aplicarea ei.

4. Definiţi funcţia de transfer primar şi rolul său

5. Care este expresia vitezei şi acceleraţiei generalitzate şi care sunt mărimile ce intervin.

6. Să se stabilească traiectoria si să se calculeze viteza şi acceleraţia unghiulară pentruelementul 3 al unui mecanism patrulater cu cuple de rotaţie

Rezolvări:1. se folosesc cunoştinţele din curs.

Fig.2.11.




14. Mecanisme cu cuple superioareTimp mediu de studiu: 2 oreSarcini de învăţare: Prin parcurgerea acestei unităţi de studiu, studentul va fi capabil să

definească mecanismele cu roti dintate si cu came, principiul lor de functionare sielementele specifice ale elementelor cinematicece stau la baza conceperii lor;

utilizeze principalele clasificari ale acestor mecanisme in activitatile cotidiene. descrie elementele de particularitate ale mecanismelor conform clasificarilor, cu

avantajele si dezavantajele lor; utilizeze literature de specialitate in vederea calcului cinematic al elementelor

cinematice ale mecanismelor cu roti dintate (angrenajelor);

14.3. Mecanisme cu roti dintate (angrenaje) evolventice4.3.1. ELEMENTE GENERALEDacă în istoria construcţiei de maşini angrenajele au o vechime de peste două

milenii, angrenajele evolventice, sau mecanismele cu roţi dinţate evolventice, care s-auimpus în acest domeniu şi care vor fi studiate în continuare au o vechime de numai douăsecole iar utilizarea lor industrială mai puţin de un secol [JVD1889]. Aceste mecanisme curoţi dinţate evolventice actuale, atât de răspândite şi perfecţionate, mai sunt cunoscute înliteratura tehnică sub numele de angrenaje. Acestea au înlocuit mai vechile angrenaje(mecanisme) cicloidale cu bolţuri sau roţi, care au fost prezentate pe scurt în capitolulanterior. Prin definiţie angrenajul evolventic, cunoscut, cum s-a mai afirmat anterior,datorit largii utilizări şi sub denumirea generică de angrenaj, este un mecanism careserveşte la transmiterea directă şi forţată de la un arbore conducător la un arbore condus,a unei mişcări şi a unei forţe sau moment.

Elementele cinematice care stau la baza acestor mecanisme, realizând funcţia debază, sunt roţile dinţate. Aceste elemente cinematice au caracteristică existenţa unui profilspecial, constând din alternanţa regulată de goluri şi plinuri identice. Plinurile poartănumele de dinţi iar suprafaţa rezultată de dantură. Transmiterea mişcării şi sarcini de la oroată la alta se asigură dacă dinţii unei roţi pătrund în golurile roţii de legătură, permiţândmişcarea relativă dintre ele astfel ca punctual comun dintre perechile de dinţi în contact săaibă mereu aceiaşi viteză. Acest proces continuu de întrepătrundere a danturilor poartănumele de angrenare iar ansamblul celor două elemente cinematice de angrenaj. Roatacu mişcare cunoscută, care generează mişcarea angrenajului poartă numele de roatăconducătoare. Cea care primeşte mişcarea de roată condusă. În majoritatea cazurilor,mecanismele cu roţi dinţate se folosesc pentru a reduce turaţia şi a creşte cuplul transmis.În acest caz roata conducătoare, are dimensiunile mai mici decât cea condusă, iar pentrusimplificarea exprimări, uzual ea se mai numeşte pinionul angrenajului.

Roata dinţată de rază infinită poartă numele de cremalieră, sau roată plană. Printrecerea de la roata cilindrică la cea plană, datorită particularităţii date de transformareacercului de bază (ce se va defini ulterior) al roţilor dinţate în dreaptă în cazul acestorcremaliere acestea se bucură de o proprietate deosebit de utilă, anume, dinţii au flancurilerectilinii. Cu excepţia cremalierelor, roţile dinţate execută mişcări de rotaţie, în jurul unoraxe numite axe de rotaţie. Contactul între flancurile a doi dinţi ai unui angrenaj, aflaţi înangrenare se realizează după o linie dreaptă sau curbă, funcţie de tipul roţilor ce




angrenează. Din acest motiv, mecanismele (transmisiile) cu roţi dinţate fac parte din clasamecanismelor cu cuple superioare.

Angrenarea dintre două roţi dinţate este o cuplă de clasă m egală cu patru,deoarece permite atât o rotire relativă între cele două elemente cinematice cât şi olunecare relativă între suprafeţele de contact ale flancurilor dinţilor.

Dintre avantajele angrenajelor, care au favorizat dezvoltarea lor atât de amplă sepot enumera :

-asigurarea unui raport de transmisie constant conform calculelor (excepţieangrenajelor eliptice şi cele speciale);

-stabilitate a raportului de transmitere odată cu variaţi distanţei dintre axe;-durabilitate foarte bună;-siguranţă în exploatare;-dimensiuni şi gabarit relative redus;-randament ridicat ( ajungând până la 0,995);-transmiterea de puteri într-un domeniu larg de viteze şi rapoarte de transmitere;Dezavantajele angrenajelor sunt:-necesitatea unei precizii înalte de execuţie şi montaj ce implică tehnologii de

prelucrare relativ scumpe şi maşini de prelucrare specializate sau în unele cazuri speciale;-funcţionarea zgomotoasă odată cu creşterea vitezelor şi a durităţii flancurilor;-restricţionarea rapoartelor de transmitere datorită necesităţi ca numărul de dinţi ai

fiecărei roţi să fie un număr întreg;-uzuri disproporţionate între flancurile celor două roţi datorită numărului de contacte

diferit pentru aceiaşi durată de funcţionare;-sisteme de montaj destul de complexe şi precise;14.3.2. CLASIFICAREA ANGRENAJELORDatorită dezvoltării şi perfecţionării continue a angrenajelor, acestea sau diversificat

şi în consecinţă, studiul lor presupune necesitatea clasificării lor după diverse criterii,pentru ca specialiştii să poată comunica între ei. Pentru a înţelege mai bine acesteclasificări, au fost redate spaţial, utilizând o reprezentare simplificată, în figurile de mai josclasele principale de mecanisme cu roţi dinţate. Aceste mecanisme vor fi analizate detaliatulterior.

a) după poziţia relativă a axelor celor două roţi aflate în angrenare, angrenajele potfi:

- angrenaje cu axe paralele (fig.4.4.);- angrenaje cu axe concurente (fig.4.5.);- angrenaje cu axe încrucişate (fig.4.6.);b) după forma geometrică a suprafeţelor de dispunere suprafeţelor danturate,

angrenajele pot fi:- cilindrice (fig.4.4.; fig.4.7. şi fig.4.8.);- conice (fig.4.5.);




- eliptice fig.4.9.- alte suprafeţe (plane, cremalierele din fig.4.7.; suprafeţe riglate de revoluţie, în

cazul roţilor melcate şi fig.4.6. b şi c, sau a melcului globoidal, fig.4.6. c);c) după modul de dispunere a axei de simetrie a dinţilor roţilor componente, în

raport cu axele de rotaţie, angrenajele pot fi:- cu dinţi simpli, care la rândul lor pot fi:- cu dinţi drepţi, când sunt paraleli cu axa de rotaţie (fig.4.4.a; fig.4.5. a;fig.4.6.a);- cu dinţi înclinaţi, când formează un unghi constant cu axa de rotaţie

(fig.4.4.b; fig.4.5.b; fig.4.6.b);- cu dinţi curbi, când formează un unghi variabil cu axa de rotaţie

(fig.4.5.c).- cu dinţi compuşi, care la rândul lor pot fi:

- cu dinţi în V (fig.4.4., c);- cu dinţi în W etc.

d) după profilul dinţilor angrenajele pot fi:- evolventice (profilul este evolventic);- cicloidale (profilul este o cicloidă, descrise anterior);- arc de cerc (profilul este un arc de cerc);- speciale (profilul este o altă curbă);e) după modul de mişcare a axelor roţilor, angrenajele pot fi:- ordinare (la care axele sunt fixe) (fig.4.4., ...., 4.6.);- planetare (la care o axă este mobilă) (fig.4.8.).În general angrenajele simple au gradul de mobilitate unu (M =1). Dacă un sistem

de angrenaje are gradul de mobilitate M = 2 sau mai mare, se numesc diferenţiale.Prin definiţie raportul de transmitere i12 al unui angrenaj este raportul dintre viteza

unghiulară 1 a roţii dinţate conducătoare 1 şi viteza unghiulară 2 a roţii dinţate conduse2, adică:

121

2

1

2

nin

4.1.

e) Funcţie de valoarea raportului de transmitere 12i , numită în teoria mecanismelor(funcţia de transmitere de ordinul întâi), angrenajele pot fi:

- cu raport de transmitere constant 12i ct (fig.4.4., 4,5., 4.6., 4.7., 4.8.a.);

- cu raport de transmitere variabil ( 12i ct ) ; angrenaje eliptice, etc. fig.4.8.b.

f) Tot funcţie de valoarea raportului de transmitere i12, angrenajele se mai pot clasificăastfel:

dacă 12i > 1, angrenajul este demultiplicator;




dacă i12 < 1, angrenajul este multiplicator.

a

12

b

Fig .4.8.

a bFig.4.7.




Angrenajele cu raport de transmitere instantaneu constant, i12= ct., sunt cele mairăspândite, motiv pentru care li se va acorda o atenţie deosebită.

4.3.3.GEOMETRIA DINŢILOR ROŢILOR DINŢATECILINDRICE CU DANTURĂ DREAPTĂProfilul unui dinte al unei danturi are caracteristic cele două flancuri simetrice care

limitează grosimea dintelui şi o suprafaţă circulară care delimitează înălţimea dintelui.Cu baza, dintele se încastrează în corpul roţii, cu ajutorul a două suprafeţe circulare

de racordare. De o deosebită importanţă sunt cele două flancuri, funcţie de care aşa cums-a văzut angrenajele se clasifică în cicloidale şi evolventice. De aceia, de-a lungulîndelungatei istorii a angrenajelor a fost o lungă dispută legată de profilul flancurilor dinţilorcare în fond stabilesc performanţele angrenajelor. Actualmente, se consideră profilulevolventic ca fiind optim din punct de vedere funcţional şi tehnologic.

4.3.3.1. Profilul evolventic al angrenajelor cilindrice cu dinţi drepţiConform celor prezentate, se defineşte (Fig.4.9.) pentru angrenajele cilindrice cu

dantură dreaptă, profilul evolventic, ca locul geometric, al unui punct fix de pe o dreaptă,numită generatoare, care se rostogoleşte fără lunecare pe un cerc, numit cerc de bază.

Diametrul cercului de bază senotează cu db . Se consideră A punctulfix de pe dreapta generatoare. Prinrotirea dreptei generatoare pe arcul decerc din dreapta, cu unghiul , seobţine profilul evolventic, numit maiexact după modul de generare profilulevolventic de cerc, pe care se găseştepunctul B, corespunzător unghiului dat.Dacă se roteşte dreapta generatoare însens contrar, atunci se va genera unprofil simetric cu primul, faţă de dreaptaOA. Acest al doilea profil reprezintă celde al doilea flanc al dintelui.Considerând punctul B, ca fiind punctulde contact al roţii cu flancul dintelui roţii

cu care acesta vine în contact, acest unghi , poartă numele de unghi de angrenare, saupentru calcule organologice unghi de presiune.

Conform definirii lui R. Willis unghiul se numeşte involut de α, ce se notează cuinv α sau după alţi autori cu ev α (evolventă, sau evoluta de α).

Din fig.4.9. se poate calcula lungimea arcului subântins de unghiul la centru ( ) ,cu relaţiile geometrice imediate:

AK = ( ) / 2bd 4.2.

Pe de altă parte, rostogolirea dreptei generatoare MK fără lunecare pe cercul de bazămotivează egalitatea dintre arcul AK şi segmentul MK

AK = MK 4.3.

Dar, din triunghiul OKB, dreptunghic în K, putem scrie că:

M

A

K

O

Fig. 4.9.




tg α=/ 2b

MKd

4.4.

Înlocuind relaţiile 4.2. şi 4.3. în 4.4. se obţine:

tgα=( ) / 2

/ 2b

b

dd

4.5.

respectiv:inv α = ev α = tg α - α 4.6.

Relaţia 4.6. reprezintă ecuaţia de calcul a funcţiei involut de α care se efectueazăcu o precizie de şase zecimale exacte. Pentru calcul unghiul de angrenare trebuieexprimat în radiani cu ajutorul numărului .

Considerând diametrul d al cercului pe care se află punctul B, ca un punct curentde pe evolvent se mai obţine o relaţie utilă din triunghiul OKB respectiv.

d =d b /cos α 4.7.

Pornind de la aceste rezultate rezultă că dintele unei roţi dinţate cu dantură dreaptă,este limitat pentru contactul cu roata cu care angrenează de două flancuri cu profilevolventic simetric, obţinute prin rotirea aceleiaşi drepte generatoare pe cercul de bazăîntr-un sens şi apoi în sens contrar. Evident, profilul evolventic poate avea oricedimensiune funcţie de unghiul de rotaţie α. În cazul danturilor, aceste arce evolventice suntlimitate de punctul de intersecţia a evolventelor celor două flancuri ale aceluiaş dinte.Punctul de intersecţie a celor două evolvente se notează cu V iar cercul ce conţineaceste puncte poartă numele cercul vârfurilor evolventelor. Diametrul acestui cerc senotează cu dv , respectiv, conform fig.4.10. Rv. Conform fig.4.10. profilul dintelui estelimitat la exterior de o suprafaţă cilindrică. Cercul de bază al suprafeţei poartă numele decerc exterior având diametrul de, respectiv raza cercului exterior Re

4.3.3.2. Geometria dintelui unei roţi cu dantură exterioarăÎn urma perfecţionării continui atât a tehnologiilor de prelucrare cât şi a generalizării

utilizării industriale a angrenării evoventice, a apărut necesitatea asigurăriiinterschimbabilităţii depline a roţilor dinţate, reducerea numărului de scule prinstandardizarea elementelor geometrice ale profilului dintelui. Astfel toate danturilecilindrice sunt definite cu ajutorul unei cremaliere, conform fig. 4.10., numită cremalieră dereferinţă.

Acestea reprezintă o roată dinţată cu raza tinzând către infinit. Conjugatacremalierei de referinţă, conform fig.4.10. se defineşte ca fiind cremaliera generatoare,care stă la baza proiectării sculelor, tehnologiilor şi maşinilor de prelucrare În aceastăsituaţie, cercul de bază devenind o dreaptă, evolventele flancurilor acestei roţi devindrepte, formând cu planul de referinţă al roţii un unghiul egal cu unghiul de angrenare saude presiune , definit anterior. Conform STAS 821-82 în figura 4.10. sunt redate celedouă cremaliere, precum şi dintele unei roţi dinţate. Cu ajutorul cremalierei de referinţă, sepot stabili elementele definitorii ale profilului dinţilor roţilor dinţate corespunzătoare acestuiprofil. Negativul cremalieră de referinţă poartă numele de cremalieră generatoarematerializând în fond elementele geometrice definitorii ale sculei cu care se realizeazăacest profil. Dreapta MN, poartă numele de linia de referinţă sau axa cremalierei, fiind odreaptă particulară ce se bucură de proprietatea că grosimea dintelui cremalierei dereferinţă, segmentul NP, este egal cu grosimea golului NM. Segmentul MP se notează cu




p şi poartă numele de pasul danturii. Se mai poate observa o proprietate deosebit deimportantă, că în cazul cremalierei pasul este constant pe toată înălţimea cremalierei.

Conform STAS 821-82 şi fig.4.10. se defineşte ca pasul danturii distanţa dintreintersecţiile a două flancuri succesive ale cremalierei de referinţă cu linia de referinţă.

Conform figurii, cercul tangent la linia de referinţă a cremalierei, este unul particular,numit cercul de divizare al roţii dinţate, având raza Rd şi diametru dd , numite razarespectiv diametru cercului de divizare, care se vor defini în paragraful 4.3.4.

Funcţie de necesităţi, elementele geometrice ce dau dimensiunea cercurilor danturiiroţilor se pot evalua fie cu ajutorul diametrelor fie ale razelor însoţite de acelaşi indice.Indicele reflectă poziţia cercului sau o caracteristică a sa. Pentru o mai uşoarăstandardizare a geometriei angrenajelor se introduce noţiunea de modulul angrenajuluinotată cu m, dată de relaţia de definiţie:

pm 4.8.

Modulul m, astfel definit reprezintă una din mărimile fundamentale cecaracterizează o dantură, se măsoară în unităţi de lungime, uzual milimetrii şi cu ajutorulei sau pot exprima toate celelalte mărimi geometrice ale dintelui precum şi a întreguluiangrenaj, cum se va demonstra ulterior.

Valori standardizate ale modulului sun redate în anexă, sub formă tabelară conformtabelului. Linia de referinţă împarte dintele în două. Parte superioară poartă numele decapul dintelui, iar partea inferioară de piciorul dintelui. Pentru a exprima valoric unitardimensiunile mărimilor legate de înălţimea dintelui în funcţie de modulul danturii seintroduce f, ce poartă numele de coeficient de înălţime a capului dintelui, având valoarea:

- f =1, pentru dantura normală;- f =0,85 pentru dantura scurtată, pentru a obţine dinţi mai scunzi şi

mai robuşti, spre exemplu dantura roţilor din cutiile de viteze;Conform fig.4.10. se mai definesc următoarele mărimi ale dintelui unei roţi dinţate.- înălţimea capului dintelui ha, dat de relaţia:

ha = f m 4.9.

- înălţimea piciorului dintelui hb, dat de relaţia:

Fig. 4.10.




0 bh f m c 4.10.

în care:

0 0c m 4.11.

poartă numele de joc radial, sau denumiri mai vechi ca joc de fund, sau joc funcţional alangrenajului, care conform figurii, are rolul funcţional de a permite eliminare excesului delubrifiant în timpul funcţionării din zona de contact, precum şi a eventualelor impurităţi ceajung în zona de contact. Pentru a se putea mai uşor standardiza valorile sale acesta seexprimă funcţie de modulul roţii cu ajutorul coeficientului jocului de fund 0 = 0,25. Aşadarpentru dantura normală:

b=1,25m 4.12.- înălţimea dintelui h este dată de relaţia geometrică evidentă:

h = ha +hb = (2f + 0 )m 4.13.

Pentru roţile danturate normale unghiul de angrenare poate avea valori diferitefuncţie de tară, precum şi funcţie de domeniul de utilizare. Pentru danturile normale, fărădeplasare de profil, unghiul se notează cu 0 . În ţara noastră valoarea standardizată

este 00 20 sexagesimale. Se mai folosesc şi alte valori standardizate cum ar fi 14.5,

014 sexagesimale în SUA, 015 în vechile standarde germane, sau 022,5 în industriaaeronautică.

Mărimile definite până acum caracterizează dintele unei roţi dinţate consideratenormale. Pe lângă acest profil considerat normal fiind dispus conform desenului dinfig.4.10., pentru multe aplicaţii însă este avantajos sau necesar ca profilul roţii să fiedeplasat fie către vârful V al dintelui, purtând denumirea de deplasare de profil pozitivă, fiecătre centrul roţii, purtând denumirea de deplasare negativă. Aceste aspecte se vordezvolta ulterior. Dimensiunea radială cu care se realizează această deplasare se noteazăcu x. Pentru o mai uşoară standardizare a valorilor deplasărilor de profil funcţie de raportulde transmitere, numărul de dinţi, etc. ce vor fi definite ulterior, el se exprimă funcţie demodulul m, cu relaţia:

x m 4.14.

în care , poartă numele de coeficient al deplasării de profil, poate avea atât valoripozitive, în cazul deplasărilor pozitive şi negative, pentru deplasări negative, conform unorreguli ce se vor stabili în paragraful respectiv.

4.3.4. GEOMETRIA ROŢILOR DINŢATE CILINDRICE CU DANTURĂ DREAPTĂ4.3.4.1. Geometria roţilor dinţate cilindrice cu dantură dreaptă cuangrenare exterioarăPentru a defini elementele geometrice ale unei danturi, se vor folosi mărimile

definite anterior precum şi elementele geometrice din fig 4.11. unde se poate remarcaalături de roata dinţată şi cremaliera corespunzătoare.Diametrul cercului de divizare dd

Conform figurii, aşa cum s-a mai spus anterior, cercul tangent la linia de referinţă acremalierei, este unul particular, numit cercul de divizare al roţii dinţate, având raza Rd şidiametru dd , numite raza respectiv diametrul cercului de divizare.




Prin definiţie, numim cerc de divizare al unei roţi dinţate, cercul ce se bucură deproprietatea că grosimea dintelui şi a golului roţii dinţate pe acest cerc sunt egale, fiindsingurul cerc pe care se realizează această divizare a pasului, proprietate ce transferă şidenumirea folosită. Dacă se respectă această condiţie atunci roata poartă denumirea deroată cu dantură normală, formând un angrenaj normal. După cum se vede din figură, cu cât

ne depărtăm de centrul roţii pasul creşteşi scade cu apropierea.

Pentru definirea celorlalteelemente geometrice ale unei roţi dinţatecu dantură normală se porneşte de lacercul de divizare şi se utilizeazămărimile definite la geometria dintelui.

Conform figuri 4.11. profiluloricărei roţii dinţate cilindrice cudantură dreaptă se poate defini cuajutorul a mai multor pânze cilindriceconcentrice ale căror diametre senotează simbolic cu d însoţit de unindice inferior, iar pentru raze cu Rînsoţit de acelaşi indice. Indiceledefineşte poziţia pânzei circularerespective. Cum se va demonstra încontinuare conform relaţiei 4.19, relaţia

de calcul este: dd= m z= 2 dR 4.16.

Numărul de dinţi zConform celor enunţate anterior lungime cercului de divizare trebuie să fie un

multiplu întreg de paşi corespunzători diametrului de divizare şi notat cu pd. După cumrezultă din figură un pas cuprinde un gol şi un plin. De aceea numărul de paşi este egalcu numărul de dinţi ai roţii. De aceea poartă numele de număr de dinţi şi se notează cu z.

Pornind de la condiţia că pe cercul de divizare lungimea cecului, este un multipluîntreg z de paşi se obţine:

dd=z pd 4.17.

Cum s-a mai spus, pentru a putea restructura calculul angrenajelor, se noteazăm=pd/ 4.18.

deci rezultă o relaţie deosebit de utilă care exprimă dependenţa dintre mărimeacaracteristică a profilului m şi o mărime geometrică a roţii danturate, respectiv:

dd= m z= 2 dR 4.19.

Diametrul cercului exterior de

Cercul cilindrului care limitează la exterior dantura roţii dinţate poartă numele decerc exterior iar diametrul de definire este numit diametru exterior, fiind notat cu de,respectiv raza exterioară Re.

Conform figurilor 4.11. şi respectiv 4.12. pentru diametrul exterior se poate scrierelaţia geometrică imediată:

Fig. 4.11.




de= dd+2a=mz+2mf=m(z+2f) 4.20.Pentru angrenajele normale din ţara noastră f=1, deci:

de=m(z+2)=2Re 4.21.Diametrul cercului interior di

Diametrul cercului interior, reprezintă diametrul cercului cilindrului ce limitează goluldanturii şi conform celor două figuri 4.1. şi 4.11. rezultă relaţia geometrică evidentă:

di = dd – 2b = mz - 2m(f + 0 )=2Ri 4.22.

şi particularizând pe f şi 0 se obţine o relaţie utilă în aplicaţiile practice de calculgeometric al angrenajelor.

di =m(z - 2,5) 4.23.

II. Mecanisme cu came5.1. ASPECTE GENERALEMecanismele cu came constituie o clasă de mecanisme care au cunoscut o

puternică dezvoltare. În principal acestea se compun din două elemente cinematice,conform fig.5.1. cu rol şi denumiri specifice. Astfel, elementul cinematic conducător 1,conform figurii 5.1. poartă numele de cama mecanismului, iar elementul cinematic condus2, poartă numele de culegătorul mecanismului cu came sau tachet. Rezultă din cele spusecă aceste mecanisme sunt mecanisme uni-sens. În vederea micşorării uzurii suprafeţei decontact dintre camă şi tachet, în cazul contactului cu lunecare, la unele mecanisme seînlocuieşte frecarea de lunecare cu frecarea de rostogolire, prin introducerea unei role 3.Cama, este un element cinematic specific acestor mecanisme, fiind caracterizat de

existenţa unei suprafeţe profilate cu carevine în contact culegătorul şi poate săexecute mişcare de rotaţie, de translaţiesau plan-paralelă. Datorită profilelorfoarte diversificate şi variate pe care lepoate avea cama, culegătorul-elementulcondus, poate să realizeze cele maidiverse legi de mişcare, fapt ce a făcutca aceste mecanisme să cunoască oaşa dezvoltare în timp, rămânând mereuactuale. Acest fapt conferămecanismelor cu came o arie derăspândire mare în construcţia demaşini, deşi conţin o cuplă superioarăde clasa a IV-a, datorită contactuluidintre camă şi culegător şi execuţia loreste mai costisitoare decât amecanismelor articulate. În generalaceste mecanisme sunt mecanisme

ciclice, iar pentru a realiza acest lucru, profilul camelor ce au o mişcare de rotaţieuniformă, are patru zone, corespunzătoare celor patru faze de mişcare ale culegătorului,astfel încât la o rotaţie completă, tachetul să revină în poziţia iniţială. Funcţie de mişcareatachetului, cele patru zone poartă denumiri sugestive: A—B, zona pentru urcare, pentrucare mărimile caracteristice poartă indicele u, B—C este zona pentru repaus superior cu

Fig.5.1.




indicele R, C—D, zona de coborâre, indice c şi D—A, zona pentru repaus inferior, cuindice r.

Pentru a se obţine zonele de repaus, se observă că acestea trebuie să fie suprafeţecirculare în cazul camelor cu mişcare de rotaţie, respectiv suprafeţe paralele cu direcţia dedeplasare la cele cu mişcare de translaţie.Cercul de rază r, corespunzător suprafeţei derepaus inferior, egală cea mai mică distanţa de centrul de rotaţie al profilul camei şi poartănumele de cerc de bază. Unghiul corespunzător fiecărei faze, măsurat cu vârful în centrulcamei se numeşte unghi de profil al camei sau unghi constructiv, fiind mărimi fixe pentru ocamă şi se notează cu , însoţit de un indice corespunzător fiecărei zone: u la urcare,

R repaus superior, c la coborâre, r repaus inferior. Unghiul cu care se roteşte camapentru realizarea unei faze se notează cu , se numeşte unghi de rotaţie al camei, sauunghi funcţional , însoţit de câte un indice corespunzător fazei de urcare, repaus superior,coborâre, repaus inferior.

În fig.5.1 arată doar unghiul de rotaţie u al camei corespunzător urcării. Acestaeste unghiul ce se obţine între direcţia OA şi dreapta ce uneşte centrul de rotaţie al camei0 cu punctul de intersecţie al direcţiei culegătorului cu cercul de bază, de rază r.

Distanţa de la centrul de rotaţie 0 al camei până la direcţia de mişcare a tachetuluise numeşte excentricitate şi se notează cu e. Când excentricitatea este zero, unghiul deprofil al camei este egal cu unghiul de rotaţie al camei. Culegătorul poate executa, deasemenea, o mişcare de rotaţie sau de translaţie sau plan paralelă.

Reprezentarea grafică a mărimii deplasărilor liniare sau unghiulare ale tachetului peparcursul unei faze şi succesiunii diferitelor faze ale mişcării funcţie de unghiul de rotaţierespectiv deplasarea camei, când acestea au mişcare de translaţie, poartă numele deciclogramă.

Ciclogramele pot fi polare, reprezentate cu ajutorul unghiului de răsucire a camei,fără a da indicaţii despre modul de variaţie a mişcării tachetului, sau carteziene care suntmai detaliate cum se pot remarca în fig.5.2.

5.2. CLASIFICAREA CAMELORMultiplele avantaje ale acestor mecanisme, a dus la o diversificare deosebită a

acestor mecanisme, de aceia este strict necesară o clasificare a lor după principalelecriterii de clasificare ce ne ajută să putem defini cu mai mare uşurinţă particularităţile unuimecanism oarecare.

a) după forma constructivă a profilului camei:- camă plană la care profilul care imprimă mişcarea tachetului

este plan. Exemple în fig.5.2., 5.3., 5.4., 5.6..- camă spaţială (camoidă) la care axa canalului profil al camei

este o curbă spaţială (fig.5.5. a, b,).b) după felul mişcării camei:

- came cu mişcare de rotaţie (fig. 111-70, 7\), la care mişcarea camei estecirculară continuă; Exemple în fig.5.2., 5.3., 5.4.a, b,c, d, e,.5.5., 5.6.

- camă cu mişcare oscilantă, ea având rolul de balansier într-un mecanismcare o acţionează.




- camă cu mişcare de translaţie, fig.5.3. f, g, h, unde apare clarcum ecuaţia a profilului camei este însăşi legea de deplasare a centrului rolei.

c) după forma de contact a tachetului cu profilul camei:- tachet cu vârf, fig.5.3., a, b, f, 5.4. ;- tachet cu rolă, fig.5.3. c, d, g, 5.5., 5.6.;- tachet cu disc plan, fig.5.3. e, sau bombat, fig.5.3. h ;

d) după felul mişcării tachetului:

a b c d

e f g h

Fig.5.3.

a b c d

Fig.5.2.




- tachetcu mişcare rectiliniealternativă, fig.5.3. a, b,

e, f, h,5.4., 5.5., 5.6. ;

- tachetcu mişcare oscilantă(fig.5.3. c, d, g ;e) după poziţia direcţieide deplasare atachetului faţă de centrulde rotaţie acamei:- came cu tachet

central, sau axat fig.5.3. a, c, e, 5.4., 5.6.;- came cu tachet dezaxat, fig.5.3. b, d. - came cu tachet paralel, fig.5.5.a.- came cu tachet cu mişcare înclinată, fig.5.5.b.

f) după numărul de cicluri ale tachetului în timpul unei rotaţiicomplete a camei:

- came simple, fig.5.2, 5.5., 5.6.;- came multiple, fig.5.4., care pot fi duble, a, triple b, qua-

druple c;

g) după modul de asigurare a contactului permanent dintrecamă şi tachet :

- cu contactul asigurat prin ghidare (închidere geometrică),fig.5.5. a,b;

- cu contactul asigurat prin forţa unui resort, fip.5.6..h) după numărul zonelor de lucru ale camei cu simplu efect, pot fi:

a b

Fig.5.5. Fig. 5.6

Fig.5.4.




- cu patru zone fig.5.2. a;(u, R, c, r)- cu trei zone fig.5.2. ;b, (u, R, c,), fig.5.2. c;(u, c, r);- cu două zone de lucru, ; fig.5.2. d;(u, c,);

i) după legea de mişcare a tachetului:- legea de mişcare parabolică;- legea de mişcare sinusoidală;- legea de mişcare cosinusoidală;- legea de mişcare logaritmică;- legea de mişcare combinată;

Analiza cinematică a mecanismelor plane, cu camă, se poate face pe bazamecanismului înlocuitor obţinut prin înlocuirea cuplei superioare de clasă patru cu cupleinferioare de clasă cinci. Pentru metodele de analiză cinematică a mecanismelorînlocuitoare [vezi VHL75].

Exerciţii definească mecanismele cu roti dintate si cu came, principiul lor de functionare si

elementele specifice ale elementelor cinematicece stau la baza conceperii lor; enumerati principalele criterii de clasificari ale acestor mecanisme. Exemple. Sa se calculeze elementele geometrice ale unei roti dintate cilindrice la care se

cunosc: modulul m=2.5, z=40, Sa se calculeze elementele geometrice ale unui angrenaj cilindric la care se

cunosc: modulul m=2.5, z2=40, i12=4. S se traseze profilul unei came cu tachet cu varf si apoi cu tachet cu rola la care se

cunosc:raza minima r’=20mm, cursa maxima de urcare hu=30mm, excentricitateae=0, tu=tc=2tr=2tR, iar cama are o miscare de rotatie continua si constanta.Rezolvări:

Documents

Elim