35
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected] Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Eliminasi Gauss. Persamaan Linier. Bentuk umum Persamaan Linier: Keterangan: a 1 , a 2 , ..., a n disebut koefisien x 1 , x 2 , ..., x n disebut anu (unknown) b disebut suku konstan Perhatian: - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Eliminasi Gauss

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Persamaan Linier

Bentuk umum Persamaan Linier:

Keterangan:a1, a2, ..., an disebut koefisien

x1, x2, ..., xn disebut anu (unknown)

b disebut suku konstan

Perhatian:Pangkat anu hanya 1, tidak ada perkalian antar anu, anu tidak

muncul sebagai argumen dari fungsi

bxaxaxa nn 2211

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Solusi Persamaan Linier

Sehimpunan bilangan terurut yang jika disubtitusikan kedalam Persamaan Linier, bernilai valid

Contoh:

2x – 3 y + z = 5

{x=1, y=2, z=9} solusi

tetapi {x=9, y=1, z=2} bukan solusi

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Sistem Persamaan Linier (SPL)

Sehimpunan Persamaan Linier yang menjadi satu kesatuan

SPL dengan n anu dan m persamaan

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Solusi Sistem Persamaan Linier

solusi setiap persamaan linier yang terdapat dalam Sistem Persamaan Linier tersebut

Contoh:

{x=2, y=-9} solusi

{x=0, y=-5} bukan solusi

1223

52

yx

yx

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tiga Kemungkinan Solusi SPL

1. Solusi Tunggal

2. Solusi Tak Hingga banyaknya

3. Tak ada solusi

berpotongan pada satu titik solusi tunggal

berhimpit=berpotongan pada tak hingga banyaknya titik solusi tak hingga banyaknya

sejajar=tak berpotongan pada satu titik pun tak ada solusi

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Istilah2 dalam SPL

konsisten : Sistem Persamaan Linier mempunyai solusi

tak konsisten : Sistem Persamaan Linier tak mempunyai solusi

Jika suku konstan bernilai nol semua disebut SPL Homogen

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan

Manakah dari persamaan dibawah ini yang merupakan persamaan linier?

1. 2x + 4y – 3z = 1

2. –3xy – 2y + 5z = 2

3. (sin 2)x + e-3y + 20z = 3

4. 3x + 2x2 – 5x5 = 8

5. –x1+ 2x2 – 2x3 + x4 – 5x5 = 0

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan

Manakah yang menjadi solusi persamaan linier: 2x + 3y – z = -1

1. {x=0, y=-1, z=3}

2. {x=1, y=2, z=9}

3. {x=2, y=1, z=5}

4. {x=-1, y=0, z=-1}

5. {t, sRx=t, y=s, z=1 + 2t +3s}

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan

Manakah dari sehimpunan persamaan di bawah ini yang merupakan sistem persamaan linier?

032

05,0

yx

yx

9tan3cos-6sin

22tan-2cos4sin

33tancos-2sin

5

12

1

32

32

32

xxx

xxx

xxx

13

0sin2

yxy

yx

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Sistem Persamaan Linier ke Matrik

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

=

mb

b

b

2

1

A X = B

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Matrik Lengkap (Augmented Matrix)

Gabungan matrik A dan B membentuk matrik lengkap (augmented matrix)

[A:B] atau

mmnmm

n

n

baaa

baaa

baaa

21

222221

111211

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Eselon Baris Tereduksi

1. Pada setiap baris, bilangan tak nol pertama, adalah satu. Satu ini disebut satu utama

2. Jika ada baris nol diletakkan pada baris paling bawah

3. Letak satu utama pada baris yang lebih bawah, akan terletak lebih ke kanan

4. Pada satu kolom, jika terdapat satu utama, maka entri yang lain bernilai nol

Jika hanya memenuhi 1, 2, dan 3 saja, disebut matrik eselon baris

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan

Manakah yang merupakan matriks eselon

baris tereduksi

21000

10110

20301

D

15000

2100

3010

4001

E

0100

3010

001 32

F

0000

10010

2001

G

21000

1110

20521

21A

15000

2100

3010

4211 31

B

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Subtitusi Mundur

4100

2010

1001 Dengan mengembalikan ke bentuk persamaan linier didapat:

4.1.0.0

2.0.1.0

1.0.0.1

321

321

321

xxx

xxx

xxx

Sehingga solusinya adalah:

4

2

1

3

2

1

x

x

x

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Subtitusi Mundur

Subtitusi x3 dan x4

x2 = 2 + x3 x1 = 2 – 2(2 + x3) – 5x3 = -2 –7x3

Karena x3 sebarang bilangan riil, maka x3 = t

21000

1110

20521

21A

2

1

252

4

421

32

321

x

xxx

xxx

2

1

522

4

421

32

321

x

xxx

xxx

2,,2,72 4321 xtxtxtxRt

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan

Tentukan solusi SPL yang mempunyai matrik eselon baris (tereduksi) berikut:

0100

3010

001 32

F

15000

2100

3010

4001

E

21000

10110

20301

D

0000

10010

2001

G

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Operasi Baris Elementer (OBE)

1. Mengalikan satu baris dengan konstanta tak nol (bi c bi), c0

2. Menukar tempat dua baris (bi bj)

3. Menjumlahkan kelipatan satu baris dengan baris yang lain (bi bi + k bj), k0

Ketiga operasi baris elementer ini tidak mengubah solusi dari SPL

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Eliminasi Gauss(-Jordan)

SPL Matrik Lengkap

Matrik Eselon Baris

Matrik Eselon Baris Tereduksi

Solusi SPL

OBE

OB E

Subtitusi Mundur

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss-Jordan

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

~

313202

112130

021123

252211 1b

Contoh (1/ 4)

3322

123

0223

232

5431

5432

54321

54321

xxxx

xxxx

xxxxx

xxxxx

~

313202

112130

021123

231112 21 bb

Tentukan solusi dari SPL disamping

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Contoh (2/ 4)

~

2

3

313202

112130

021123

252211

14

12

bb

bb

~

7111220

112130

6135510

252211

2b

~

2

3

7111220

112130

6135510

252211

24

23

bb

bb

~

5159800

1738171600

6135510

252211

3

4

b

b

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

~9

5

2

781000

5159800

6135510

252211

43

42

41

bb

bb

bb

Contoh (3/ 4)

~

21738171600

5159800

6135510

252211

34 bb

~

781000

68870800

41530510

16210211

381 b

~5

2

781000

0100

41530510

16210211

32

31

868

887

bb

bb

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Contoh (4/ 4)

~

781000

0100

0010

10011 21

868

887

8135

811

86 bb

781000

0100

0010

0001

868

887

8135

811

8127

85

78 54

868

5887

3

8135

5811

2

8127

585

1

xx

xx

xx

xx

karena x5 dapat bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter bilangan riil, misalkan t,

txtxtxtxtxRt 548

878

6838

118

13528

58

1271 ,87,,,

Sampai di sini telah didapat matrik eselon baris tereduksi. Solusi didapat dengan mengembalikan matrik eselon baris tereduksi menjadi SPL dan dilakukan subtitusi mundur

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 1

1. Gunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mencari solusi Sistem Persamaan Linier berikut:a.

b.

423

432

yx

yx

032

625

23

zyx

zyx

zyx

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 2

c.

d.

534

41993

423

16161025

421

4321

421

4321

xxx

xxxx

xxx

xxxx

1252

2332

15322

3364

5321

54321

54321

5431

xxxx

xxxxx

xxxxx

xxxx

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

SPL Homogen

Matrik lengkap

SPL homogen selalu konsisten, minimal mempunyai solusi nol , yang disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi yang lain, disebut solusi tak trivial

0

0

0

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Contoh (1/ 2)

04433

03322

022

02233

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

~

4433

3322

1122

2233 21 bb

~

3

2

2

4433

3322

1122

3311

14

13

12

bb

bb

bb

~

5500

9900

7700

3311

271 b

~

5

9

5500

9900

1100

3311

24

23

bb

bb

~

3

0000

0000

1100

3311 21 bb

0000

0000

1100

0011

Tentukan solusi SPL Homogen disamping

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Contoh (2/ 2)

0

0

43

21

xx

xx43

21

xx

xx

karena x2 dan x4 bernilai sebarang bilangan riil, maka dapat diganti dengan parameter, misalkan, x2=t dan x4=s, sehingga solusi SPL homogen tersebut:

sxsxtxtxRst 4321 ,,,,

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Sifat SPL Homogen

Sistem Persamaan Linier Homogen selalu mempunyai solusi tak trivial, jika banyaknya anu lebih besar dibandingkan banyaknya persamaan.

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 1

a. d.

b.

c. e.

23

21

100

011

011

000

024

012

1100

3300

2211

1122

432

321

321

1. Jika matrik lengkap SPL homogen (suku konstan dihilangkan) dinyatakan di bawah ini, tentukan solusinya:

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 2

3. Tentukan , sehingga SPL homogen mempunyai solusi tak trivial

02

032

zyx

zyx

02

032

yx

yx

034

032

02

zyx

zyx

zyx

03

02

0

zyx

zyx

zyx

0 2

0 2

02

yx

zyx

zyx

2. Tentukan solusi SPL Homogen berikut:

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 3

9tan3cos-6sin

22tan-2cos4sin

33tancos-2sin

4. Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan nilai , dan , dengan syarat 0 , , 2.

5. Tentukan nilai a, sehingga Sistem Persamaan Linier berikut mempunyai: solusi tunggal, solusi tak hingga banyaknya, ataupun tidak mempunyai solusi.

3)5(22

123

4242

0

2

awazy

zyx

wyx

wzyx

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 4

0

03

04

kzyx

zyx

zyx

bazyx

zx

zyx

33

2

823

6. Tentukan k, sehingga Sistem Persamaan Linier Homogen berikut mempunyai solusi tak trivial

7. Tentukan syarat bagi a dan b agar Sistem Persamaan Linier : memiliki solusi tunggal, memiliki solusi jamak atau tidak memiliki solusi.

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 5

0)3(

0)3(

yx

yx

33

12

33

czyax

czbyx

zbyax

8.Tentukan syarat untuk sehingga SPL homogen di bawah ini mempunyai solusi trivial:

9.Diberikan SPL di bawah ini, tentukan nilai a, b, dan c, jika SPL mempunyai solusi tunggal: {x = 1, y=-1, z = 2}

Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona - [email protected]

Tantangan 5

026

33423

0254

1323

wzy

wzyx

wyx

wzyx

10.Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan solusi sistem persamaan linier berikut: