21
3.1 Sistem Persamaan Linier Di dalam matematika, system persamaan linier adalah kumpulan persamaan-persamaan linier yang memiliki variabel- variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut: Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks Ax = b Yang dalam hal ini, Yaitu: 3.2 Metode Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut. Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:

Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

3.1 Sistem Persamaan LinierDi dalam matematika, system persamaan linier  adalah kumpulan persamaan-persamaan

linier  yang memiliki variabel-variabel yang sama. Bentuk umum dari sistem persamaan linier dengan n peubah dinyatakan sebagai berikut:

Dengan mengunakan perkalian matriks, kita dapat menulis persamaan di atas sebagai persamaan matriks  Ax = bYang dalam hal ini,

Yaitu:

3.2  Metode Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga

menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Metode ini berangkat dari kenyataan bahwa bila matriks A berbentuk segitiga atas (menggunakan Operasi Baris Elementer) seperti system persamaan berikut ini:

Page 2: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Maka solusinya dapat dihitung dengan teknik penyulingan mundur  (backward substitution):

Kondisi sangat penting. Sebab bila   , persamaan diatas menjerjakan pembagian dengan nol. Apabila kondisi tersebut tidak dipenuhi, maka SPL tidak mempunyai jawaban.

Contoh:

x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

Page 3: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Solusi system diperoleh dengan teknik penyulihan mundur sebagai berikut:

Melakukan pertukaran baris untuk menghindari pivot yang bernilai nol adalah cara

pivoting yang sederhana (simple pivoting). Masalah ini dapat juga timbul bila elemen pivot

sangat dekat ke nol, karena jika elemen pivot sangat kecil dibandingkan terhadap elemen

lainnya, maka galat pembulatan dapat muncul.

Ada dua macam tata-ancang pivoting, yaitu:

a.       Pivoting sebagian (partial pivoting)

Pada tata-ancang pivoting sebagian, pivot dipilih dari semua elemen pada kolom p yang

mempunyai nilai mutlak terbesar,

Page 4: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Lalu pertukarkan baris k dengan baris ke p. Misalkan setelah operasi baris pertama diperoleh

matriksnya seperti yang digambarkan pada matriks di bawah ini. Untuk operasi baris kedua,

carilah elemen x pada baris kedua, dimulai dari baris ke-2 sampai baris ke-4, yang nilai

mutlaknya terbesar, lalu pertukarkan barisnya dengan baris ke-2

perhatikanlah bahwa teknik pivoting sebagian juga sekaligus menghindari pemilihan pivot =

0 (sebagaimana dalam simple pivoting) karena 0 tidak  akan pernah menjadi elemen dengan nilai

mutlak terbesar, kecuali jika seluruh elemen di kolom yang diacu adalah 0. Apabila setelah

melakukan pivoting sebagian ternyata elemen pivot = 0, itu berarti system persamaan linier

tidak dapat diselesaikan (singular system).

a.       Pivoting Lengkap (complete pivoting)

Jika disamping baris, kolom juga dikutkan dalam pencarian elemen terbesar dan kemudian

dipertukarkan, maka tata-ancang ini disebut pivoting lengkap. Pivoting lengkap jarang dipakai

dalam program sederhana karena pertukaran kolom mengubah urutan suku x dan akibatnya

menambah kerumitan program secara berarti. Contoh:

Dengan menggunakan 4 angka bena, selesaikan system berikut dengan metode eliminasi Gauss:

a.       Tanpa tata-ancang pivoting sebagian (Gauss naif)

b.      Dengan tata-ancang pivoting sebagian (Gauss yang dimodifikasi)

Penyelesaian

a.       Tanpa tata-ancang pivoting sebagian 

 

Operasi baris pertama (0.0003 sebagai pivot)

Jadi,

Page 5: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Solusinya diperoleh dengan teknik penyulihan mundur:

(jauh dari solusi sejati)

Jadi, x=(3.333, 1.001). solusi ini sangat jauh berbeda dengan solusi sejatinya. Kegagalan ini terjadi

karena   sangat kecil bila di bandingkan dengan , sehingga galat pembulatan yang

kecil pada  menghasilkan galat besar di . Perhatikan juga bahwa 1.569 - 1.568 adalah

pengurangan dua buah bilangan yang hamper sama, yang menimbulkan hilangnya angka bena

pada hasil pengurangannya.

a.       Dengan tata-ancang pivoting sebagian

Baris pertama dipertukarkan dengan baris kedua sehingga 0.3454 menjadi pivot

Dengan teknik penyulihan mundur diperoleh:

Jadi, solusinya adalah x = (10.02, 1.000), yang lebih baik daripada solusi a. keberhasilan

ini karena  tidak sangat kecil dibandingkan dengan , sehingga galat pembulatan yang

kecil pada 

 tidak akan menghasilkan galat yang besar pada  .

3.2  Eliminasi Gauss-Jordan

Dalam aljabar linear, eliminasi Gauss-Jordan adalah versi dari eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss-Jordan kita membuat nol elemen-elemen di bawah maupun di atas diagonal utama suatu matriks. Hasilnya adalah matriks tereduksi yang berupa matriks diagonal satuan (semua elemen pada diagonal utama bernilai 1, elemen-elemen lainnya nol).

Page 6: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Dalam bentuk matriks, eliminasi Gauss-Jordan ditulis sebagai berikut:

Solusinya:

 

Seperti pada metode eliminasi gauss naïf, metode eliminasi Gauss-Jordan naïf tidak menerapkan tata-ancang pivoting dalam proses eliminasinya.

Langkah-langkah operasi baris yang dikemukakan oleh Gauss dan disempurnakan oleh Jordan sehingga dikenal dengan Eliminasi Gauss-Jordan, sebagai berikut:

-          Jika suatu baris tidak seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama pada baris itu adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama (leading 1). Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari nol, maka baris-baris ini akan dikelompokkan bersama pada bagian paling bawah dari matriks.

-          Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi. Setiap kolom memiliki 1 utama memiliki nol pada tempat lain.Contoh: x + y + 2z = 9

2x + 4y - 3z = 1

3x + 6y - 5z = 0

Page 7: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.

eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan

Contoh eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-JordanSelesaikan bentuk SPL berikut:2x1 + x2 + 4x3 = 163x1 + 2x2 + x3 = 10x1 + 3x2 + 3x3 = 16dalam bentuk matriks:

Penyelesaian (Eliminasi Gauss):

 langkah (1)

 langkah (2)

 langkah (3)

Page 8: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

 langkah (4)

 langkah (5)

 langkah (6)

 langkah (7)Dengan demikian diperoleh:

Untuk memperoleh x1 dan x2 subt pers (3) ke pers. (1) dan (2), x3 = 3x2 – 10(3) = -28                                              x2 – 30 = -28                                                  x2 = 2Untuk memperoleh x1:

            

                           Jadi diperoleh x1 = 1, x2 = 2 dan x3 = 3Penyelesaian (eliminasi Gauss-Jordan):Untuk eliminasi Gauss-Jordan langkah (1) – langkah (3) sama dengan langkah (1) – (3) pada eliminasi Gauss,

Jadi Diperoleh: Jadi, diperoleh x1 = 1, x2 = 2 dan x3 = 3.

Page 9: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Metode Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

Ciri ciri Metode Gauss adalah

1. Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)2. Baris nol terletak paling bawah 3. 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya4. Dibawah 1 utama harus nol

Eliminasi Gauss Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

Page 10: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan

Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan

2X1 + X2 + 4X3 = 8

3X1 + 2X2 + X3 = 10

X1 + 3X2 + 3X3 = 8

Berikut adalah penyelesaiannya :

Eliminasi Gauss

Page 11: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi

X3 = 0.538

X2 - 0.25(X3) = 1.25

X2 = 1.25 + 0.25(0.538)

X2 = 1.384

X1 - 2X2 + X3 = 0

X1 = 2X2 - X3

X1 = 2(1.384) - 0.538

X1 = 2.23

Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538

Page 12: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan : 

Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.

Page 14: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

https://iragitawulandari.wordpress.com/2012/12/15/metode-gauss-jordan/

Metode Gauss JordanEliminasi Gauss

Penjelasan

Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.

 

Kelebihan dan Kekurangan

Metode ini digunakan dalam analisis numerik untuk meminimalkan mengisi selama eliminasi, dengan beberapa tahap

Keuntungan :

–          menentukan apakah sistem konsisten

–          menghilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap langka

–          ebih mudah untuk memecahkan

kelemahan :

–          memiliki masalah akurasi saat pembulatan desimal

Contoh Soal :

Diketahui persamaan linear

x + 2y + z = 6

x + 3y + 2z = 9

2x + y + 2z = 12

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

1      2       1           6

1       3     2         9

2       1     2        12

Operasikan Matriks nya:

Page 15: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

1     2     1     6

0     1     1     3

2     1     2     1                 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1

 

 

1     2     1    6

0     1     1     3

0    -3     0     0                 Baris ke-3

dikurangi 2 kali baris ke-1

 

 

1     1    1     6

0     1     1    3

0     0     3    9                   Baris ke-3

ditambah 3 kali baris ke-2

 

 

1     2    1     6

0     1    1     3

0    0    1      3                   Baris ke-3

dibagi dengan 3

 

Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

x + 2y + z = 6

y + z = 3

z = 3

 

 

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

y + z = 3

y + 3 = 3

 

   

 

   

 

   

Page 16: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

y = 0

x + 2y + z = 6

x + 0 + 3 = 6

x = 3

Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3

 

Eliminasi Gauss-Jordan

Penjelasan

Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier adalah metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati CarlFriedrich Gauss dan Wilhelm Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.

Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi(reduced row echelon form), sementara eliminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai padabentuk baris eselon (row echelon form).

Selain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, metode eliminasi Gauss-Jordan ini dapat

Metode Eliminasi Gauss : metode yang dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu menghilangkanatau mengurangi jumlah variable sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable yang bebas.

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.

Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.

Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah

1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.

2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks

   A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi

 

Pengubahan dilakukan dengan membuat matriks yang elemen-elemennya adalah koefisien-

koefisien dari sistem persamaan linier..

Sedangkan langkah-langkah pada operasi baris elementer yaitu :

1.Menukar posisi dari 2 baris.

Ai ↔Aj

2.Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif.

Ai = k*Aj

3.Menambahkan baris dengan hasil kali skalar dengan baris lainnya

Algoritma Metode Eliminasi Gauss adalah:

Page 17: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

1. Masukkan matrik A, dan vektor B beserta ukurannya n

2. Buat augmented matrik [A|B] namakan dengan A

3. Untuk baris ke i dimana i=1 s/d n, perhatikan apakah nilai ai,i =0 :

Bila ya :

pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k ,i ≠0, bila tidak ada berarti perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa penyelesaian. Bila tidak : lanjutkan

4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n

 

Kelebihan dan Keuntungan :

Mengubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. merupakan variasi dari eliminasi gauss dengan kebutuhan dapat mgenyelesaikan matriks invers

 

Contoh soal:

1.      Diketahui persamaan linear

x + 2y + 3z = 3

2x + 3y + 2z = 3

2x + y + 2z = 5

Tentukan Nilai x, y dan z

Jawab:

Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1

1     2     3    3

0    -1   -4   -3

0    -3   -4   -1       Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1

1     2    3    3

0    -1   -4   -4

0     0    8    8       Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2

1     2     3     3

0     1     4     3

0     0     1     1     Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2 dibagi -1

1     2     3     3

0     1     0    -1

Page 18: Eliminasi Gauss dan Gauss Jordan.docx

0     0     1     1     Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3

1     2     0    0

0     1     0   -1

0     0     1    1       Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris ke-3

1     0     0     2

0     1     0    -1

0         0      1     1

Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke

Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = − 1 ,dan z = 1

2.      A  =   3   1 

                    5   2     Tentukan Nilai dari A-1?

Jawab:

A-1 =                1               2            -1

                (3)(2) – (5)(1)       -5           3

    

     =           1               2      -1

                6 – 5            -5     3

 

=   1         2     -1

     1         -5     3

 

 

=     2     -1

        -5    3