ELIPSE

MARTA LÍA MOLINA

AÑO 2012

CÁTEDRA MATEMÁTICA APLICADA- FAU-UNT

Esquema de los contenidos

La elipse como sección cónica

Al cortar la superficie cónica con un plano, se obtienen unas curvas llamadas CÓNICAS.

Las distintas posiciones del plano determinan las diferentes cónicas

ELIPSESe obtiene cuando el plano secante no es perpendicular al eje de la superficie cónica, corta a todas las generatrices y no pasa por el vértice.

Para ir a definiciónComo lugargeométrico

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La elipse en la Arquitectura

Las cónicas están presentes en numerosas obras de arquitectura, las que iremos a continuación.

La elipse usada en el

Período Barroco

Cubierta elíptica

La elipse en la ArquitecturaLa elipse

telescópica

Fuente acuática en forma de

elipse

Torre elíptica

La elipse presente en diversos puentes

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La elipse como lugar geométrico

F2F1

Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano

cuya suma de distancia a dos puntos fijos,

llamados focos, es constante

Definición Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya sumas distancias a dos puntos fijos (llamados focos)

es constante.

PF1 + PF2 = 2.a

F1 F2

Deducción de la ecuación canónica de la elipse

Para encontrar la ecuación analítica de la elipse, expresamos las distancias entre P(x,y) y los focos F1(c,0) y F2(-c,0)

d( P, F1) + d(P,F2) = 2 a, es decir:

Elevando al cuadrado ambos miembros, para eliminar las raíces y desarrollando los cuadrados resulta la ecuación canónica de la elipse:

ECUACIONES DE LA ELIPSE

Ecuaciones Canónicas con centro en el origen

CANÓNICAS CENTRADAS

C(0,0)

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Los elementos

Eje mayor coincidente con eje y

1a

y

b

x2

2

2

2

b

a

Eje mayor coincidente con

eje x

1b

y

a

x2

2

2

2

ab

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Los elementos

Ecuación canónica de la elipsecon centro en el origen y eje mayor el eje xElementos

1by

ax

2

2

2

2

B1

F2 F1

B2

B1

A1A2

C

Ejes de simetría

2c

l = 2b

L = 2a

• Vértices: A1(a,0), A2(-a,0), B1(0,b), B2(0,-b) Eje menor:

B1B2

• Centro: C(0,0) Longitud eje menor:

2b

• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor:

2a

• Focos F1(c,0) ; F2(-c,0) distancia focal: 2c

• relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2

Volver aEcuacionescanónicas

Ecuación canónica de la elipsecon centro en el origen y eje mayor el eje yElementos

1a

y

b

x2

2

2

2

F1

• Vértices: A1(0,-a), A2(0,a), B1(b,0), B2(-b,0) Eje

menor: B1B2

• Centro: C(0,0) Longitud eje menor:

2b

• Eje mayor o eje focal: A1A2 Longitud eje mayor: 2a

• F1( 0,-c) ; F2(0,c) distancia focal: 2c

• relación entre coeficientes: a2 = b2 + c2

F2

B2 B1

A1

A2

C

Ejes de simetría

2c

l = 2b

L = 2a

F1

Ecuaciones Canónicas Desplazadas

CANÓNICAS DESPLAZADASC(h,k)

Eje mayor horizontal

1b

k)-(y

a

h)-(x2

2

2

2

C(h,k)

Eje mayor vertical

1a

k)-(y

b

h)-(x2

2

2

2

C(h,k)

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elementos

Ecuación canónica de la elipsecon centro en C(h,k) y eje mayor el eje yElementos

1

b

ky

a

)hx(2

2

2

2

C A1A2

B1

B2

h

k

F1F2

2c

2a

• Vértices: A1(h+a, k) ; A2(h-a, k);

B1(h, k+b); B2(h. k-b)

• Focos: F1(h+c, k) ; F2( h-c, k)

• Centro C ( h ,k)

¿ Qué es EXCENTRICIDAD? La excentricidad de una cónica, representado por e, es el cociente entre la

distancia focal y la longitud del eje principal. Como la distancia focal es 2c y la longitud del eje principal 2a, la excentricidad es: e=c/a.En la elipse la excentricidad e<1 ( pues c < a)

Si cambiamos el valor de “e” el efecto será:• Si e está muy cercano a 1, entonces b es pequeño con respecto de a, la

elipse es delgada y muy excéntrica • Si e está muy cerca de 0 b es casi tan grande como a, la elipse es gorda y

bien redondeada

Excentricidad cercana a 1Excentricidad cerca de 0

Ecuación General

Ax2 + Cy2 +Dx + Ey + F = 0

ECUACIÓN GENERAL DE 2º GRADO EN EL PLANO

Si A. C >0 y A C

La representación Gráfica de esta Ecuación será UNA ELIPSE

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De ecuaciones

Construcción de la elipse por Circunferenciasconcéntricas

Ejercicios : a partir de la ecuación grafique la elipse dada y determine sus elementos

1)

2) x 2-4x+4 y2-8y =92

1100y

16x 22

x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0

Para trazar la gráfica de la cónica Nº 2

Primero vamos a identificar que se trata de una elipse pues A.C = 1.4>0 entonceses Elipse

1-     Identificamos la cónica

2-     Expresamos en forma canónicaPara ello completamos cuadrados:

x2 + 4 y2 – 4 x – 8 y - 92=0

10021)4(y22)(x

92421)4(y42

2x

9212

1y442

2x

922

22

2

222y2y4

2

24

2

244x2x

922y)24(y4x2x928y24y4x2x

125

21)(y100

22)(x

3.-     Elementos1

2521)(y

10022)(x

Centro: C (2, 1)Semiejes: a = 10 ; b = 5Eje mayor o focal: 2a = 20Eje menor : 2b = 10

8,6675510c

bac cba22

22222

Distancia focal: 2c = 17,32Excentricidad: e = c/a = 8.66/ 10 = 0,87<1

4.-     Representación Gráfica

125

21)(y100

22)(x

2a

2b c C c F1 F2

Recta Tangente y Normal a la elipse en un Punto P1(x1,y1)

Si consideramos la elipse de ecuación:

Se desdobla la ecuación y reemplazamos por

las coordenadas del Punto P1(x1,y1) obteniendo:

Y despejando y obtenemos

1by

ax

2

2

2

2

1b

y.y

a

x.x22

1b

y.y

a

x.x21

21

Recta tangente y= mtgx + b1 Recta Normal y-y1= -1/mtg( x-x1)

• Si consideramos la elipse de ecuación en la forma general A x2+Cy2+Dx+Ey+F=0

Al desdoblar la ecuación y reemplazar por el punto P1 obtenemos la ecuación de

la recta Tangente a la elipse en el Punto P1:

A x. x1+C y. y1+D.(x+x1)/2+E (y+y1)/2+F=0

y al despejar y se obtiene la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto P1

Propiedades Focales

Todo rayo lumínico o sonoro emitido por un foco de la elipse,

al “tocar” en una superficie elíptica, se refleja pasando por el otro

foco. La recta perpendicular a la recta tangente en el punto de choque

del rayo, bisecta al ángulo i+r por lo que se cumple la propiedad:

i = r

i: ángulo de incidencia ; r: ángulo de reflexión

F1F2

Recta Tangente

Recta Normal

La elipse en la vida diaria

La propiedad óptica de la elipse se aplica

en las ``galerías de murmullos'' por ejemplo

en el Convento del Desierto de los Leones,

cerca de la Ciudad de México, en la cual un

orador colocado en un foco puede ser

escuchado cuando murmura por un

receptor que se encuentre en el otro foco,

aún cuando su voz sea inaudible para otras

personas del salón.

• Otra aplicación de la propiedad óptica de la elipse es la de ciertos

hornos construidos en forma de elipsoides. Si en uno de sus focos se

coloca la fuente de calor y en el otro se coloca el material que se quiere

calentar, todo el calor emanado por la fuente de calor se concentrará en

el otro foco.

• Otra de las consecuencias prácticas beneficiosas que tiene la propiedad de

Reflexión de la elipse es la siguiente:

En el tratamiento de cálculos renales llamado litotricia . Para ello se coloca un

Reflector con sección transversal elíptica de tal manera que el cálculo está en

Un foco . Ondas sonoras de alta intensidad generadas en el otro foco, se reflejan

Hacia el cálculo sin dañar el tejido circundante. Se ahorra al paciente el

Traumatismo de la cirugía y se recupera en pocos días