Elipse Mecánica

Embed Size (px)

Citation preview

Repblica Bolivariana de VenezuelaMinisterio del Poder Popular para la DefensaUniversidad Nacional Experimental Politcnica de la Fuerza Armada (UNEFA) Carpano; Estado Sucre. Ctedra: Geometra analtica

Elipse

Profesor:Bachilleres: Carlos PeaAndrade Miguel Castillo Paola Gallardo Jenifer Marcano Elena Prez Moiss Zapata ngel

Ingeniera Mecnica primer semestre

Abril, de 2014

Elipse

La elipse es el lugar geomtrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.

Una elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolucin. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera n esferoide alargado

Historia de la elipse

Fue estudiada porMenaechmus, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la seccin cnica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En 1602, Kepler crea que la rbita de Marte era ovalada, aunque ms tarde descubri que se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra focus y public su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostr que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una rbita elptica alrededor del Sol.

MENAECHMUS

Fue un griego antiguo matemtico y gemetra nacido en Alopeconnesus conocido por su amistad con el renombrado filsofo de Platn y por su aparente descubrimiento de las secciones cnicas, es decir, la elipse, la parbola y la hiprbola, como por producto de su bsqueda de la solucin al problema de Delos. Hay pocas fuentes directas de la obra de Menecmo, su trabajo sobre las secciones cnicas se conoce principalmente de un epigrama de Eratstenes, y el cumplimiento de su hermano (de la elaboracin de un mtodo para crear un cuadrado de rea igual a un crculo dado utilizando la cuadratriz), Dinostrato, se conoce nicamente de los escritos de Proclo.Elementos de una elipse

Vrtices: (A, B) Puntos extremos del eje mayor. Distancia Focal: Es el segmento de recta que va desde un foco F1 hasta el F2. Centro: Es el punto central de la elipse y donde se interceptan el eje mayor y menor. Focos (FI, F2): Son dos puntos localizados sobre el eje mayor, entre ms parecida sea la elipse a una circunferencia la distancia entre ellas se reduce. Eje Mayor: es el segmento de recta localizado entre los vrtices de la elipse. Eje Menor: es el segmento de recta perpendicular al eje mayor, cuyos extremos se localizan sobre la elipse. Radio Vector: Son los segmentos de rectas dirigidos que van desde un punto FI U F2 hasta un punto situado en la elipse. Lado Recto: Es el segmento de recta perpendicular al eje mayor, contiene a un foco (cualquiera de los dos), y sus extremos se localizan sobre la elipse. Circunferencia principal: es el lugar geomtrico de todos los pies de las tangentes a la elipse. Circunferencia Focal: son las que tienen como centro cada foco y como radio al eje mayor. Recta T: es la tangente por un punto cualquiera.

Dimetros conjugados

Se denominandimetros conjugadosa cada par de dimetros de la elipse que cumple que uno de ellos pasa por el centro de todas las cuerdas paralelas al otro (ver debajo el dibujo de la derecha).Otra definicin es que son conjugados los dimetros cuyos afines en una circunferencia afn a la elipse son perpendiculares (dibujo de la izquierda).

Excentricidad de una elipse

Laexcentricidadde una elipse es la razn entre su semidistancia focal (longitud del segmento que parte del centro de la elipse y acaba en uno de sus focos), denominada por la letrac, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, conDado que, tambin vale la relacin:

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse ser ms redondeada cuanto ms se aproxime su excentricidad al valor cero.La designacin tradicional de la excentricidad es la letra griegallamadapsilon. (No se debe usar la letraepara designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos).

Excentricidad angular de una elipse

Laexcentricidad angulares el ngulo para el cual el valor de la funcin trigonomtricasenoconcuerda con la excentricidad, esto es:

La circunferencia como caso particular de la elipse

Si hacemos que los focos F y F', se vayan acercando cada vez ms, hasta coincidir en el centro O, entonces c tiende a 0. En este caso, para que un punto P est el elipse habr de ser PO + PO = 2a==>PO = a. Es decir, si coinciden los focos, un punto est en la elipse, si y solo si, su distancia al centro es a. Luego la elipse pasa a ser una circunferencia. Por tanto, cuando la excentricidad de la elipse es 0, se convierte en una circunferencia.

La elptica de la Tierra

La primera Ley de Kepler asegura que cada uno de los planetas del Sistema Solar describe una rbita elptica, uno de cuyos focos est ocupado por el Sol. La Tierra en su camino alrededor del Sol, sigue una trayectoria elptica, cuyo semieje mayor vale 1.485x108km, siendo la excentricidad de la elipse, aproximadamente, 1/62.

La unidad astronmica

Se define la unidad astronmica (1 UA) como la distancia media entre el Sol y la Tierra, que es aproximadamente de 150 millones de km. Esta unidad de medida se utiliza para tomar medidas en el sistema solar.

Nota

El punto ms alejado del Sol es el afelio (A') y el ms cercano es el perihelio (A). El afelio se alcanza el junio y el perihelio en diciembre. Las estaciones dependen de la altura a la que se eleva el Sol sobre el horizonte durante el da y no de la distancia de la Tierra al Sol.

A su vez dicha altura cambia porque el eje de rotacin de la Tierra est inclinado con respecto al plano de la elptica. Se observa que la diferencia que hay entre la mxima y la mnima distancia es pequea. Esto es debido a que la excentricidad de la elipse que describe la Tierra en su trayectoria por el espacio es pequea por lo que se parece mucho a una circunferencia. El Sol est (muy) cerca del centro de dicha elipse. En general los planetas tienen excentricidades pequeas: as por ejemplo Marte tiene excentricidad 0'09, y Mercurio 0'25. Por el contrario algunos cometas tienen excentricidades muy grandes

Las trayectorias de planetas y cometas

Las excentricidades de los planetas son generalmente pequeas, siendo la mayor la del planeta Mercurio. Los cometas peridicos siguen tambin una trayectoria elptica cuya excentricidad siempre toma un valor mayor a 0'40. Otros cometas pueden seguir trayectorias parablicas o hiperblicas, y como veremos ms delante no podrn ser peridicos, puesto que estas dos curvas son abiertas.

Modo de determinar los focos.

El modo de determinar los focos a partir de los ejes, o un eje a partir de otro y los focos, se basa en la definicin. Dibujados los dos ejes principales, se toma con el comps la medidaade la mitad del eje mayor. Haciendo centro en un extremo del eje menor, el comps cruza por el eje mayor en los focos.

Dado el eje mayor con los focos, la medidaaaplicada a cada foco nos da arcos que se cruzan en los extremos del eje menor. Dado un eje menor y la distancia de los focos, primero debemos hallar la recta sobre la que est el eje mayor, luego dibujar los focos a la distancia dada, y desde ellos tomar la distancia a los extremos del eje menor, que es la mitad del eje mayor.

1.Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntosF(3, 0) y F(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).Solucin:Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue quea = 5y comoc = 3(fig. 6.5.8) se tiene que,y por tanto.

fig. 6.5.8.

De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntosV1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) yV4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :

2.Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por: 25x2+ 4y2= 100

Solucin:La ecuacin:25x2+ 4y2= 100, puede escribirse en las formas equivalentes:x2+y2= 1 (porqu?)4 25La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor esb = 5y eje menor esa = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el ejey.De otro lado,, de dondey en consecuencia, los focos se encuentran localizados en los puntosy.Adems, los vrtices de la elipse son los puntos:V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.

fig. 6.5.9.

3.Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:4x2+ y216x + 2y + 13 = 0Solucin:La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:(completacin de cuadrado)(factorizacin y simplificacin)

Hallar la ecuacin de lugar geomtrico de los puntos P(x. y) cuya suma de distancias a los puntos fijos (4, 2) y (2, 2) sea igual a 8.

Hallar los elementos caractersticos y la ecuacin reducida de la elipse de focos: F'(3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

1Semieje mayor:2Semidistancia focal:3Semieje menor:4Ecuacin reducida:5Excentricidad:

Dada la ecuacin reducida de la elipse, hallar las coordenadas de los vrtices de los focos y la excentricidad.

Hallar la ecuacin de la elipse de foco F(7, 2), de vrtice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

ada la elipse de ecuacin, hallar su centro, semiejes, vrtices y focos.

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes elipses.1

2

3

4

Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices y la excentricidad de las siguientes elipses.1

2

3

4

Halla la ecuacin de la elipse conociendo:1

2

3

4

Determina la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que uno de los vrtices dista 8 de un foco y 18 del otro.

Halla la ecuacin reducida de una elipse sabiendo que pasa por el punto (0, 4) y su excentricidad es 3/5.

Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

La distancia focal de una elipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuacin reducida de dicha elipse.

Escribe la ecuacin reducida de la elipse que pasa por los puntos:

Hallar las coordenadas del punto medio de la cuerda que intercepta la recta: x + 2y 1 = 0 en la elipse de ecuacin: x2+ 2y2= 3.

Determina la ecuacin reducida de un elipse cuya distancia focal esy el rea del rectngulo construidos sobre los ejes 80 u2.