1

Ellipszis átszelése

Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának „bal

alsó” sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva

az ezen áthaladó e vízszintes metsző egyenes az ellipszist különböző helyzetekben metszi

át – 1. ábra.

1. ábra

Meghatározandó az így előálló ellipszis - szeletek Tbal és Tjobb területe.

Eszerint a feladat kiírása az alábbi.

Adott: a, b; ψ.

Keresett: Tbal ,Tjobb .

A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is, ahol a továbbiakban alkalmazott koordináta ~ rend -

szereket és jelöléseket figyelhetjük meg.

2. ábra

Erről azonnal megállapíthatjuk, hogy a bal oldali ellipszis - szelet területe így adódik:

2

( 1 )

vagyis a φ1 és φ2 szögekkel adott vezérsugarak határolta szektorterület és háromszög -

terület különbségeképpen. Közvetlen feladatunk ( 1 ) jobb oldalának kiszámítása.

Ezután a jobb oldali ellipszis - szelet területe:

( 2 )

A továbbiakban szükségünk lesz az M1 és M2 metszéspontok helyzetére, amit azok

koordinátáival adhatunk meg. Előkészületként tekintsük a 3. ábrát is!

3. ábra

Ez az ellipszis „kétkörös szerkesztését” is bemutatja, valamint leolvashatók róla az alábbi

fontos összefüggések is:

~ az ellipszis paraméteres egyenletrendszere:

( 3 )

( 4 )

( 5 )

3

~ a t szögparaméter és a φ polárszög kapcsolata:

tehát:

( 6 )

A ( 6 ) képlet szerint általában fennáll, hogy t ≠ φ , ha a ≠ b.

A továbbiakban először meghatározzuk az M1 és M2 metszéspontok t1 és t2 paraméterét.

Ehhez először felírjuk egy adott ellipszispont koordinátái közti kapcsolatot a két k. r. - ben

– 2. ábra:

( 7 )

( 8 )

Továbbá az M1,2 metszéspontokra fennáll, ( 3 ), ( 4 ), ( 7 ) és ( 8 ) felhasználásával, hogy

tehát:

( 9 )

Most ismert trigonometriai azonosságokkal:

tehát:

( 10 )

Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel:

( 11 )

Megoldva - re:

innen:

4

( 12 )

Hasonlóan, de mégis másként:

( 13 )

Erre a másféle felírásra azért volt szükség, mert így biztosítottuk, hogy t2 > t1 legyen.

A következő lépés: felírni az ellipszis - szektorterület képletét. Egy paraméteres egyenlet -

rendszerével adott görbe esetén [ 1 ] szerint:

( 14 )

Majd ( 3 ), ( 4 ) és ( 14 ) - gyel:

tehát:

( 15 )

Ezután kiszámítjuk az OM1M2 háromszög területét – 2. ábra. Itt a következő jelöléseket

alkalmazzuk még:

~ d: az M1 és M2 metszéspontok távolsága,

~ md: az OM1M2 háromszög d oldalához tartozó magassága.

Ezekkel a keresett terület:

( 16 )

5

Részletezve:

( 17 )

( 18 )

ahol ( 6 ) szerint:

( 19 )

Összefűzve a ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ) és ( 19 ) képleteket:

( 20 )

ahol ( 3 ) és ( 4 ) szerint:

( 21 )

( 22 )

Ezután ( 1 ), ( 15 ), ( 20 ), ( 21 ), ( 22 ) - vel:

–

( 23 )

Látjuk, hogy a végeredmény a t1 és t2 paraméterek függvénye, amelyek viszont az adott

a, b, ψ paraméterektől függnek. Végül ( 2 ) és ( 23 ) szerint:

( 24 )

SZÁMPÉLDA

Az ehhez választott adatok és egyes részeredmények a 4. ábrán láthatók.

( A 3. és 4. ábrákat a Graph ingyenesen letölthető szoftverrel rajzoltuk meg. )

1.) t1 és t2 kiszámítása a ( 12 ) és ( 13 ) képletekkel és az adatokkal:

tehát:

( a )

6

4. ábra

tehát:

( b )

2.) S kiszámítása a ( 15 ) képlettel, valamint ( a ) és ( b ) - vel:

( c )

3. ) A metszéspontok koordinátáinak számítása a ( 21 ), ( 22 ) képletekkel, valamint ( a )

és ( b ) - vel:

( d )

( e )

( f )

( g )

7

4.) Az M1 metszéspont polárszögének számítása a ( 19 ) képlet és ( a ) alapján:

( h )

5.) számítása a ( 20 ) képlet, valamint ( d ), ( e ), ( f ), ( g ) alapján:

tehát:

( i )

6.) Tbal számítása ( 1 ), valamint ( c ) és ( i ) alapján:

tehát:

( j )

7. ) Tjobb számítása ( 24 ) és ( j ) alapján:

tehát:

( k )

Tehát az adott számpéldabeli ellipszis - szeletek területe: és

Megjegyzések:

M1. A Graph program numerikus területszámító funkciójának használatával gyakorlatilag

ugyanezen eredmények adódtak. Ez vélhetőleg nem a „véletlen” műve.

M2. A ( 20 ) képlet mintegy adja magát, szemléletessége miatt. Kevésbé szemléletes,

ámde jóval egyszerűbb képlet - alakra jutunk az alábbiak szerint – [ 2 ].

Egy háromszög területe, ha csúcsai P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P3 ( x3 , y3 ):

. ( 25 )

E képlettel akkor kapunk pozitív értéket, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramutató

járásával ellenkező. Ez most teljesül, hiszen a t paraméter is így növekszik.

Minthogy esetünkben x3 = 0, y3 = 0, így a ( 25 ) képletből egyszerűbb lesz:

( 26 )

8

Most ( 21 ), ( 22 ) és ( 26 ) - tal:

tehát:

( 27 )

Majd ( 1 ), ( 15 ) és ( 27 ) - tel:

tehát:

( 28 )

A számpélda adataival:

( j ) - vel egyezően.

M3. Megeshet, hogy valaki ódzkodik a fenti hosszabb számításoktól, és helyettük egy

közvetlenebb geometriai megközelítést alkalmazna. Ilyet is találtunk – [ 3 ]. Ennek lénye -

ge, hogy az ellipszis - szeletet egy körszelet vetületének tekinti, és így hozza ki az általunk

is nyert ( 28 ) eredményt.

M4. Megemlítjük, hogy találtunk az interneten olyan „online calculator” - t, amely más

képlettel dolgozott – [ 4 ]. Egy ilyen képernyőkép - részlet látható az 5. ábrán.

5. ábra

9

Ha ezt összevetjük a 3. ábrával, akkor látjuk, hogy φ2 , φ1 helyére most θ1 , θ0 írandó.

Utóbbiak polárkoordináták.

Továbbá az itteni számpéldabeli határ - szögek számításához alkalmazandó a ( 6 ) képlet:

( 6 / 1 )

ezzel, valamint ( a ) és ( b ) - vel:

( l )

( m )

Ámde ( m ) - hez

( n )

szög tartozik, ami a 4. ábra szerint sem lehet jó. Ellenben a

( o )

szög már jó lehet; ( l ) és ( o ) - val dolgozva adta ki a kalkulátor a 12,729 cm2 eredményt,

az 5. ábra szerint. Ez megegyezik az általunk kapottal. Sajnos, ez az egyezés még mindig

nem teljesen meggyőző: vannak még kétségeink. Ugyanis nekünk, polárkoordinátákkal

dolgozva, az ellipszis - szektor területére

( 29 )

adódott. Minthogy ( 6 ) - ból:

( 30 )

így ( 29 ) és ( 30 ) - cal:

egyezésben ( 15 ) - tel. Úgy is fogalmazhatunk, hogy nekünk a szektorterület primitív

függvénye, az 5. ábra jelöléseivel:

( 31 )

- nak az 5. ábráról leolvasott kifejezésével:

( 32 )

10

Ha a kalkulátor képlete jó, akkor fenn kell állnia a primitív függvények azonosságának;

azaz - val:

vagyis:

( A )

A többlet - feladat most az ( A ) azonosság igazolása.

Tegyük fel, hogy ( A ) fennáll!

Először képezzük az ( A ) „egyenlet” mindkét oldalának tangensét! Ekkor:

( A1 )

a bal oldal:

( A2 )

a jobb oldal:

( A3 )

ahol:

( A4 )

Most B( A1 ) = J( A1 ) miatt, ( A2 ) és ( A3 ) - mal:

( A5 )

Egy ismert trigonometriai azonossággal:

( A6 )

Eszerint kifejtve ( A5 ) jobb oldalát:

( A7 )

Majd ( A5 ) és ( A7 ) - tel:

( A8 )

11

Rendezve:

innen:

( A9 )

Ha tehát az ( A ) azonosság fennáll, akkor f (θ) - nak az ( A9 ) egyenlet szerintinek kell

lennie.

Ezután átalakítjuk f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezését:

( A10 )

ehhez ismét trigonometriai azonosságokkal:

( A11 )

( A12 )

( A13 )

most ( A10 ), ( A11 ), ( A12 ), ( A13 ) - mal:

tehát:

( A14 )

Azt találtuk, hogy f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezése ( A14 ) alakban is felírható.

Minthogy f (θ) kétféle úton nyert kifejezése ( A9 ) és ( A14 ) szerint egyenlők, így az

( A ) azonosság valóban fennáll. Eszerint a kalkulátor képlete jó.

Ne feledjük, hogy nálunk S az ellipszis - szektor, a kalkulátornál pedig az ellipszis - szelet

területét jelöli!

A ( 32 ) képletet megtaláltuk az [ 5 ] anyagban is.

M5. Fentiek extra hozadéka az

12

( 33 )

illetve az

, ( 34 )

trigonometriai azonosságok belátása is.

M6. Megismételjük azon korábbi figyelmeztetésünket, hogy felhasználás előtt mindenki

tesztelje le ismert és helyes eredményekkel az internetes „segédleteket”!

Ez, természetesen, a mi írásainkra is vonatkozik. Ezt mi megkönnyítjük kidolgozott szám -

példa közlésével, valamint más források eredményeire való rámutatással.

Források:

[ 1 ] – Szerk. Gáspár Gyula: Műszaki matematika II. kötet,

3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest,1977., 251. o.

[ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv

2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 250. o.

[ 3 ] – http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Cavalieri2.shtml

[ 4 ] – http://keisan.casio.com/exec/system/1343722709

[ 5 ] – http://www.geometrictools.com/Documentation/AreaIntersectingEllipses.pdf

Összeállította: Galgóczi Gyula

mérnöktanár

Sződliget, 2016. 06. 18.

http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Cavalieri2.shtmlhttp://keisan.casio.com/exec/system/1343722709http://www.geometrictools.com/Documentation/AreaIntersectingEllipses.pdf