Elméleti fizika

8/10/2019 Elmleti fizika

1/21

1A mechanika elvei

A variciszmts alapjai

Mint azt lttuk a klasszikus mechanika egy axiomatikus modell a makroszkopikus testek(dinamikai) viselkedsnek a megrtshez. Termszetesen itt az axioma nem a matematikaiszigorsggal rtend. Pusztn annyit jelent, hogy ksrleti megfigyelseken alapul tnyek sokasgblkivlasztjuk azt a lehetlegkisebb szmt, amelyek segtsgvel a tbbi (lehetleg sszes) mechanikaijelensg logikusan levezethet. A logikussg itt matematikai formalizmusban mutatkozik meg.

A Newton-trvnyek (vagy Newton axiomk) adjk a klasszikus mechanika alaptrvnyeit.Newtont kvetfizikusok (Dalambert, Euler, Lagrange, Hamilton, ) megprbltk a mozgstrvnyt msformban is megfogalmazni. Ezeket ma a mechanika elvei-knt tartjuk szmon.

Ezek az elvek nem lpnek tl a newtoni mechanika hatrain, gy ebbl a szempontbl ekvivalensmegfogalmazsai a klasszikus mechanikai modelljeinknek. Mgis van egy fontos sajtossguk, amely aNewton-fle mozgstrvnyekkel szemben nagy elvi elnynek bizonyult. Ez pedig az, hogy olyan

formban fogalmazzk meg a dinamika alaptrvnyt, amely kzvetlenl ltalnosthat a mikrofizikairnyba. Mindez termszetesen csak utlag derlt ki. A ksrleti tapasztalatok hatsra, a XX. szzad elsvtizedeiben, ezen elmleti alapok tettk lehetv a kvantummechanika megszletst.

Vizsgldsunkat ltszlag nagyon tvolrl kezdjk.

A legends trtnetet (Julis Ceasar kortrsa) Publius VergiliusMaro eposza az Aeneisrktettemeg, a kvetkezkppen.

A mai idszmts szerint Ie 825-ben Dido elszktt szlhazjbl Fncibl. Volt r oka,hiszen frjt meggyilkoltk. A helyzet komolysgt az mutatta, hogy a tettes a vrosllam trannosza,aki egyben Dido btyja is volt. Az asszonynak nem sok vlasztsa lehetett, mert hembereivel titokban

hajra szllt s meg sem llt amg biztonsgos tvolsgban nem rezte magt. A mai Tunisznl rt partot.Nem mondhatni, hogy a helybliek nagyon rltek volna a vratlanul partra lpj jvevnyeknek. DeDido meggyzte Hiarabas kirlyt mondvn, hogy neki csak annyi terlet kell, mint amennyit egy marhabrvel krbe tud kerteni. A kirlynak tetszhetett a kptelen ajnlat s belement az alkuba.Megknnyebblse azonban nem tartott sokig. Dido okosabbnak bizonyult, mint sejtettk. A lelt marhabrt ugyanis vkony cskokra vgatta, majd egy hossz ktelet kszttetett belle. Kistlt a tengerpartra,s fkrt formlva a ktlbl hatalmas terletet elkertett magnak s trsainak. Mint az ma mr kzismert,a kr az a skidom, amelynek adott kerlet mellett a legnagyobb a terlete. Nem volt mit tenni, aszerzdst a meghkkent kirlynak is be kellett tartania! gy trtnt aztn, hogy Dido embereivelletelepedett. Majd ie.814-ben megalaptotta Karthagot s annak elsuralkodja, kirlynje lett. Minttudjuk a trtnelembl ez a vrosllam mg sok borsot trt Rma orra al.

1.bra


2/21

2

Ez az elslersa egy izoperimetrikus, integrlvaricis problmnak. Iu 200-ban a grgksejtettk, hogy a helyes megolds a kr. De a matematikai bizonyts hinyzott. Erre mg tbb mint1600 vet kellett vrni. Weierstras Steiner 1841-ben megadtk a feladat precz megoldst.

Hasonl szlsrtk feladatot szmtalant tudunk gyrtani. Ilyen pldul a geodetikus vonalproblmja. Adott (tetszleges, de elegenden sima) felleten kijellnk kt pontot. Keressk azt a ktpontot sszektvonalat, amelynek a hossza a legkisebb. A skon a megolds az egyenes. Mint tudjuk agmbn a kt ponton tmenfkr.

MEGJEGYZS: Az elmlt szzadokban a matematikai kzlet egyik fruma az volt, hogy valaki kitztt egy jszerproblmt s a tbbiek megprbltk azt megoldani. A leghresebb ilyen a nagy Fermat sejts volt

:{ },4,5,....3,,, =+ ncbacba nnn (Pierre de Fermat 1601-1665.) Ennek a (mindenki ltal helyesnek elfogadott)bizonytst csak 1995-re sikerlt megalkotni s ez Andrew Wiles angol matemetikus nevhez fzdik. 300 ves, npszerfejtr megoldsra derlt fny. Ktsgtelen tny , hogy annak az vnek ez volt A tudomnyos szenzcija. Mg abulvrlapok cmoldaln is megjelent. De mint egy j krimiben, egy jabb kognitv talny merlt fel. Ugyanis a Wiles ltal

kzlt bizonyts olyan mlyebb s szertegaz matematikai rszletekre pt, amely Fermat korban mg teljessggelismeretlen volt. De akkor mirt rta Fermat hres/hrhedt szavait a Diophantosz : Aritmetika knyv margjra:

dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi.

Hanc marginisexiguitas non caperet,Azaz:

igazn csodlatos bizonytst talltam erre a ttelre.A marg azonbantlsgosan keskeny, semhogy iderhatnm,

Vagy taln az utols sz vgi (,) rsjel a mondat valamifle folytatst jelenti, amely enyhtette a lert szavak slyt? Ez mamr nem derlhet ki, mert az eredeti kzirat eltnt. A halottak meg nem beszlnek, hacsak nem a fennmaradt mveik ltal.

Johann BERNOULLI(1667-1748)

Daniel Bernoulli apja

Johann Bernoulli 1696-ban a kvetkezfeladatot tzte ki: Fggleges skban kijellnk ktpontot. Milyen vonallal kell sszektni ket ahhoz, hogy a grbn, egy srldsmentesen lecssz

tmegpont a legrvidebb idalatt rjen le? A feladat a brachisztochron (legrvidebb id) nven kerltbe a Fizika ill. a Matematika trtnetbe.


3/21

3A feladatra tbb megolds is szletett. Maga Newton (sajt bevallsa szerint) egyetlen jszaka

alatt megoldotta. Euler (1744) s Lagrange (1760) ltal publiklt mvek a matematika j terlett avariciszmts alapjait rakta le mindkettjket a brachisztochron inspirlta. Ma ltalban az ltalukkitztt utat kvetjk. s a megoldsul szolgl differencilegyenletet Euler-Lagrange egyenletnek

hvjuk.

Fogalmazzuk meg teht a feladatot. A fggleges (x,y)skban keresett plya egyenlete legyen az( )xy fggvny. A rgztett vgpontokat jellje ( )0,00P , ( )111 ,yxP . A plya mentn a tmegpont sebessge

( )sv , ahol s az indulsi vgponttl mrt plya menti thossz. A lecsszs ideje ekkor

=1

0

12 )(

P

P sv

dsT

2.bra

A tmegpont sebessge az energia megmarads ttelbl szmthat ki Ha a tmegpont az origbl,

nyugalombl indul, akkor

mgxmv =22

1,

azaz

gxv 2=

A plya menti elmozduls pedig kzismert

dxyds 21 +=

Keresett az az ( )xy fggvny, amelyik esetn az albbi integrl minimlis rtket vesz fel.

dxx

y

gT

X

+=1

0

2121 = extrmum

Ezzel megkaptuk a brachisztochron problma matematikai megfogalmazst.

A hagyomnyos szlsrtk keresshez kpest ez a feladat tbbfle jdonsgot jelent. Lthatan a T

a fggvnyfogalomnak egy ltalnostsa, hiszen az ( ) ( ) ( ){ }1100 s xyxyxy fggvnyhalmaz mindenelemhez egy Tvals szmot rendelnk. Ezen fggvnyek kt vgpontja (pl. most) rgztett. Keresskazt a fggvnyt, amely esetn a T a legnagyobb/legkisebb rtkt veszi fel. Ennek az ltalnostottfggvnyfogalomnak a neve funkcionl. Mivel most a lekpezs egy integrls mveletvel trtnik,ezrt a szban forg feladatot integrlvaricis problmnak hvjuk. ltalban pedigVariciszmtsrl beszlnk.


4/21

4

Dido esetben a kiss bonyolultabb a helyzet.A krlhatrolt terlet knnyen szmolhat ugyan

( )dxxyTX

X=

2

1

= extremum ,

de a ktl hossza adott lland rtk

( ) +=2

1

1X

X

dxxyL .

Lhatan ez egy feltteles szlsrtk feladat. Mivel a keresett skidom kerlete lland, ezrt az ilyentpus feladatok neve izoperimetrikus problma. A feladatot n. Lagrange multipliktor mdszerrellehet megoldani. Ekkor a feladatot visszavezetjk egy felttel nlkli szlsrtk keressre. Ez gytrtnik, hogy kpezzk az albbi kifejezst

( ) ( )xyxyF ++ 1

s keressk a

( )=2

1

X

X

dxxFI = extremum

A itt egy meghatrozand paramter.A feladatot tbbfle mdon s szemllettel lehet megoldani. Mi az Euler-Lagrange fle megoldstismertetjk.

Leonhard EULER(1707 - 0783)

Joseph-Louis LAGRANGE(17361813)

William Rowan HAMILTON(18051865)

A funkcionlra a kvetkezjellst vezetjk be.Az ( ){ }Ixy lekpzst [ ]yI -al jelljk.

A funkcionlok egy rsze integrl alakjba rhat, azaz

[ ] ( )dxxyyyyfyIX

X

=2

1

,..;,,,

Mi most csak olyan, a Fizikban gyakran elfordul esetekkel foglalkozunk, amikor az integrandus( )xyyff ;, alak fggvny. Mint az lthat, mindkt bevezetfeladatunk ilyen.


5/21

5Keressk teht az [ ]yI funkcionl szlsrtkt az ( ){ }xy fggvnyhalmazon.

Nzzk meg elszr, hogy hagyomnyos fggvnyek esetn hasonl esetben mit tesznk.Ha egy ( )xg fggvnynek szlsrtke van az 0x pontban, akkor annak kis krnyezetben a g

megvltozsa elsrendben a kvetkezmdon rhat:

( ) ( ) ( ) ...00

0 +

= xx

xdx

dgxgxgdg

A szlsrtk szksges felttele az, hogy

( )0xg = 0lim

( ) ( )

00 xgxg + = 0

s ezrt rhat, hogy

0=dg Azt mondjuk erre, hogy: A szlsrtk (extrmum) kis krnyezetben a fggvny megvltozsa(varicija) elsrendben zrus. Ennek szksges felttele, hogy ( ) 00 =xg legyen

Legyen mindez igaz a funkcionlok esetben is.Prbljuk meg visszavezetni a feladatot egyvltozs fggvny szlsrtk keressre. Tegyk fel,

hogy a ( )[ ]xyI funkcionl az ( )xy0 fggvnynl veszi fel az extrmumt. Ennek egy kis krnyezetelegyen most

( ) ( ) ( )xxyxy + 0 ahol

1


6/21


7/21

7MEGJEGYZS:a.) Az Euler-Lagrange egyenlet csak szksges, de nem elgsges felttele a megoldsnak. Ez azonban minket nem kell,hogy zavarjon. Ugyanis a minket rdeklfizikai problmk esetn eleve tudjuk, hogy van a feladatnak megoldsa. gy aszksges felttel egyben elgsges is.

b.) A levezetsnk alapvetelem volt az ( ) ( ) ( )xxyxy + 0 defincis sszefggs. Ez pedig azt jelenti, hogy csakrelatv (loklis) szlsrtkeket tudunk gy meghatrozni. A fizikai problmk nagy rsznl ez sem lnyeges, mert az abszoltminimum, vagy maximum fizikailag trivilis szlssges megoldsokat jelent, ami szmunkra rdektelen.

Szemlltetskppen oldjuk meg a kt kitztt feladatunkat:

A brachisztochron problma esetn kaptuk, hogy:

( )[ ] dxx

y

gxyT

X

+

=1

0

2

12

1

2

1= extrmum

Azaz

( )x

y

gxyyf

21

2

1,,(

+=

Az Euler-Lagrange egyenlet

0=

y

f

y

f

dx

d

Most azonban lthatjuk, hogy az f nem fgg az y -tl. Azaz 0=

y

fs ezrt

0=

y

f

dx

d

gy aztn

Cy

f=

= lland

Teht

2

1

1

y

y

xy

f

+

=

= C

trendezs utn kapjuk, hogy:

xa

xy

= , ahol

2

1

Ca .

Integrls utn kapjuk

( ) +

= 0Cdxxa

xxy YY

Ez mr a keresett ( )xy fggvny. Szemlletes megoldst kapunk, ha j vltozt vezetnk be a kvetkezdefincival:

2sin

2 uax XX


8/21

8Ekkor

duuu

adx

=

2cos

2sin

Ezt berva a YY egyenletbe addik, hogy

duuu

au

aa

ua

y

= 2cos

2sin

2sin

2sin

2

+ 0C = duu

a

2sin 2 + 0C

Elvgezve az integrlst azt kapjuk, hogy

( )uua

y sin2

=

s

( )uax cos12 =

Ez utbbinl talaktottuk az XX defincis egyenlsget. Rgtn ltszik, hogy ez egy cikloisparamteres egyenlete.

4.bra

A Didoproblma megoldsa a kvetkez. Mint azt lttuk

( ) ( )xyxyF ++ 1 Az Euler-Lagrange egyenlet pedig

0=

y

F

y

F

dx

d

Erre addik, hogy

11 2

=

+

y

y

dx

d

Integrls utn:

Cxy

y+=

+

21

trendezve


9/21

9

Cx

y

y +=

+

21

j vltozkat bevezetve

Cxu

+ s

yv

Ekkor

vdu

dv

dx

dy=

Ezrt

uv

v=

+

21

valamint trendezve:

2

1 u

uv

=

Azaz

Cuv += 21trendezs utn kapjuk, hogy

( ) 122 =+ uCv

122

=

++

CxC

y

Majd a 2 -el val szorzs utn

( ) ( ) 222 =++ CxCy

Ez egy krnek az egyenlete.

A Lagrange-fle mozgsegyenlet s a Hamilton-elv

Az eddigi mechanikai tanulmnyainkbl tudjuk, hogy ltalnos esetben egy tmegpontra hat erk kt

flek lehetnek, szabad erk s knyszer erk. A legegyszerbb plda a fggleges skban lvlejtnmozg tmegpont esete.

5.bra


10/21

10

A tmegpontra hat gmG rr

= eregy szabad ers a lejtltal kifejtett nFr

egy knyszer er. Ez utbbit

ugyanis a Newton egyenlet felrsakor mg nem ismerjk. Abbl a felttelbl tudjuk meghatrozni, hogya tmegpont a lejtre merlegesen nem tud mozogni. Ez egy kinematikai felttel, hiszen a mozgsjellegre kt ki valamit. Nevezetesen azt, hogy a tmegpont mozgsa csak a lejtmentn trtnhet. Azaz

az x,y koordintk nem fggetlenek egymstl. A mozgs gy valjban egydimenzis lesz. Azaz pl.a lejtn megtett )(ts ttal jellemezhet.

MEGJEGYZS:Sokfle knyszer ltezik. Mi csak egyfajtval, a fenti pldhoz hasonl knyszerekkel foglakozunk. Ezekneve holonom, szkleronom knyszer. Ezek olyan idben lland (szkleronom) felttelek, amelyeket a pont koordintikztti fggvnykapcsolattal tudunk megadni (holonom). Ezek pedig cskkentik a rendszert jellemzfggetlen skalr adatok(koordintk) szmt. Vannak olyan knyszerek is, amelyek csak a koordinta megvltozsok (pl. dx, dy) kzttikapcsolatokat rjk el. Ezeknek a neve anholonom knyszer. Ezek is lehetnek szkleronomok (idben llandk) vagyreonomok (idfggk). A knyszererk pedig azok az erk, amelyek (a fizikai viszonyok ltal megkvetelt)knyszerfeltteleket biztostjk.

ltalban egy N db tmegpontbl ll rendszer esetn a knyszerek szma s bonyolultsga

igen vltozatos lehet. Ennek megfelelen a knyszererk meghatrozsa sem olyan trivilis, mint azt alejts pldnl lttuk.

A kvetkezkben ezt a krdskrt fogjuk megvizsglni.

Egy, N db rszecskbl ll tmegpontrendszer esetn a mozgsegyenlet teht a kvetkez

K

j

SZ

jjj FFrm

rr&&r += Nj ,...3,2,1=

AholSZ

jFr

a j-ik tmegpontra hat szabad erk sszege sSZ

jFr

a j-ik tmegpontra hat knyszer erk sszege.

A knyszerfelttelek legyenek olyanok, hogy( ) 0,...,, 321 =Nl rrrr

rrrr kl ,...3,2,1=

Az elsfejezetben mr lttuk, hogy a Descartes koordintk hasznlata azrt knyelmes, mert akoordintarendszert definil egysgvektorok a tr minden pontjban ugyanazok. gy a skalrmozgsegyenletek a kvetkezk

lll Xxm =&& Nl 3,...3,2,1= K

l

SZ

ll XXX +

( ) 0,...,, 3321 =Ni xxxx ki ,...3,2,1=

(Az l-el val indexels rtelemszeren veend.)

Ekkor a 3N db koordinta kztt k db kapcsolat van. gy az egymstl fggetlen adatok szmaf=3N-k . Az f neve a szabadsgfok.A holonom knyszerek teht cskkentik a rendszer fggetlen vltozinak a szmt.

Vlasszunkf-dbegymstl fggetlen skalr adatot amely a rendszer mozgsllapott egyrtelmenmegadja. Ezeket ltalnos koordintknak hvjuk.

fqqqq ,...,, 321

A rendszer dinamikai viselkedst a { }fii

tq 1)( = fggvnyek rjk le. Ezek termszetesen a knyszerfeltteleknek eleget tevmozgs lerst adjk. Ezrt mintegy implicite magukba foglaljk a

knyszerer

ket is. Ezen ltalnos koordintk id

fggvnyt meghatroz mozgsegyenleteketLagrange-fle msodfaj (mozgs)egyenleteknek hvjuk. A Feladatunk az, hogy a Newtonegyenletekbl kiindulva keressk meg ezeket a mozgsegyenleteket.


11/21


12/21

12

MEGJEGYZS: Grbevonal (henger, gmbi, stb..) koordintarendszer vlaszts esetn ez nincsen gy!

Ebbl pedig kapjuk, hogy

l

llx

Txm

&&

= Nl 3,...3,2,1=

Ezt berva a TR2 egyenletbe addik, hogy

=

=

N

l i

l

llq

xxm

3

1

&&

=

N

l i

l

l q

x

x

T

dt

d 3

1 &

&

&

=

N

l i

l

l q

x

x

T3

1

&

& ( )fi ,...3,2,1= TR3

A kzvetett derivls szablya szerint azt kapjuk, hogy:

=

=

N

l i

l

llqxxm3

1

&&

iqT

dtd

&iq

T fi ,...3,2,1= TR3

Ezzel a TR0 gy alakul

iq

T

dt

d

&i

q

T

=

=

N

l i

l

lq

xX

3

1

fi ,...3,2,1= TR4

Trjnk r ezen egyenlet jobb oldalnak a vizsglatra. Most rtnk el ahhoz a ponthoz, ahol az egszeljrsunk lnyege koncentrldik. Ugyanis most fogunk automatikusan megszabadulni a knyszererktl.

=

N

l i

l

lq

xX

3

1

= ( )=

+

N

l i

lK

l

SZ

lq

xXX

3

1

= =

N

l i

lSZ

lq

xX

3

1

+ =

N

l i

lK

lq

xX

3

1

A jobboldal msodik tagja biztosan zrus. Ugyanis a knyszererknek ppen az a szerepe, hogy amegadott knyszernek megfelelen, bizonyos irny mozgsokat megakadlyozzanak. gy a knyszererkmindig merlegesek a ltrejvmozgsokra. Azaz, mint azt tudjuk, a knyszererk nem vgeznekmunkt, teht 0=KdW .

Ezrt aztn

= N

l i

lK

l q

xX

3

1

=

=

N

ll

K

li

xXq

3

1

1= 0=

i

K

q

W fi

,...3,2,1=

A kvetkezkben csak konzervatv rendszerek vizsglatra szortkozunk. Ebben az esetben mindenszabad erkomponens a rendszer ( )NxxxxV 3321 ,...,, potencilis energijbl addik, azaz

l

SZ

lx

VX

=

Ezzel a jobb oldal trhat a kvetkezmdon:

=

N

l i

l

l

q

xX

3

1

= =

N

l i

lSZ

l

q

xX

3

1

= =

N

l i

l

l q

x

x

V3

1

=iq

V

fi ,...3,2,1=


13/21

13Ezrt TR4 alakja a kvetkezlesz

iq

T

dt

d

&iq

T

=

iq

V

fi ,...3,2,1= TR5

MEGJEGYZS:Felmerlhet a krds, hogy a kinetikus energia valban fgg-e explicit mdon a iq koordintktl, hiszen

Descartes koordintk esetn ez nincsen gy. Knnyen megmutathat, hogy igen. Transzformljuk t a kinetikus energit azltalnos koordintkra. Ekkor a sebessgkomponensekre kapjuk, hogy

=

=

f

i

i

i

k

k q

q

xx

1

&&

Ha ezt berjuk a kinetikus energia defincijba kapjuk, hogy

=

=N

k

kkxmT3

1

2

2

1& =

= ==

N

k

f

j

j

j

kf

i

i

i

k

k q

q

xq

q

xm

3

1 112

1&& =

= = =

f

i

ji

f

j

N

k j

k

i

k

k qqq

x

q

xm

1 1

3

12

1&&

ji

f

i

f

j

ij qqm &&

= =

1 12

1

Ahol lthat, hogy az fij qqqqm ,...,, 321 valban fgg az ltalnos koordintktl. Ezrt teht ( )ii qqT &, .

Tudjuk, hogy konzervatv erk esetn a potencilis energia csak a koordintktl fgg, de azok idbeliderivltjtl nem , azaz

0=

iq

V

&

gy a TR5 egyenlet 0-val bvthet:

iq

T

dt

d

&iq

T

=

iq

V

dt

d

&iq

V

fi ,...3,2,1= TR6

trendezs utn megkapjuk a { }fii

tq 1)( = ltalnos koordintkra vonatkoz, keresett Lagrange2mozgsegyenleteket konzervatv rendszerek esetn.

iq

L

dt

d

&iq

L

=0 fi ,...3,2,1= L2

Ahol bevezettk az n. Lagrange fggvnyt a kvetkezdefincival:

VTL s amelyre termszetesen

ff qqqqqqqqL &&&& ,...,,;,...,, 321321

Egyszerstett jellssel( ) ii qqL &, ff qqqqqqqqL &&&& ,...,,;,...,, 321321

A kapott mozgsegyenlet elgondolkoztat. Hiszen ez pontosan egy Euler-Lagrange egyenlet, amely minttudjuk egy integrlvaricis szlsrtk problma megoldhatsgnak a szksges felttele. Abevezetsben elfordul funkcionlokhoz kpest ez egy tbbvltozs eset.

Knnyen legyrthat az ennek megfelelfunkcionl

[ ] ( )=2

1

321 ,,...,,t

t

iif dtqqLqqqqS &

A Lagrange2 mozgsegyenlethez gy jutunk, hogy megoldjuk a


14/21


15/21

15Lagrange fggvnyt Descartes koordintkkal. Ezutn meghatrozzuk a rendszer f szabadsgfokt.Majd alkalmasan vlasztunk fdb ltalnos koordintt.

Lssuk teht a rszleteket!

6.bra

A Descartes s az ltalnos koordintavlaszts az brn lthat-

A rendszer szabadsgfoka f=2.A tmegpontok helyzett az { }2211 ,,, yxyx Descartes koordintk adjk meg. ltalnos koordintknak

rdemes a { }21 , szgeket vlasztani.

Az 1m esetn a megolds trivilis.

2

1

2

111 2

1

&

lmT = 1111 cosglmV =

Az 2m esetn a szisztematikus utat kvetjk.

22112 sinsin llx +=

22112 coscos lly += gy aztn

2221112 coscos &&& ++= llx

2221112 sinsin &&& = lly

Az 2m kinetikus s potencilis energija teht[ ])cos(2

2

1212121

22

22

21

2122 ++= llllmT &&

)coscos( 112222 llgmV += gy

( ) ( )2121 VVTTL ++= ,azaz

)coscos(cos)cos(22 221121112121212

22

22

221

21

21 llgmglmllmlm

lmm

L ++++++

= &&&&

Az egyenletek knnyebb kezelhetsge vgett vezessk be a kvetkezjellseket:


16/21

16

( ) 21211 2

1lmm +

2222 2

1lm

2123 llm ( ) 1211 lmmgG +

222 lgmG

Ezekkel a Lagrange fggvny

2211212132

222

11 coscos)cos( GGL ++++= &&&&

A kt mozgsegyenlet a kvetkez:

011

=

LL

dt

d

& s 0

22

=

LL

dt

d

&

Azaz( ) ( ) [ ] ( ) 0sinsinsincos2 1121213212123212311 =+++ G&&&&&&&&&

( ) ( ) [ ] ( ) 0sinsinsincos2 2221213212113211322 =++++ G&&&&&&&&&

A kapott differencilegyenlet rendszer megoldsa igen nehz. Zrt alak megoldsa nem lehetsges.Ennek oka az, hogy az egyenletrendszer nem lineris. gy csak kzeltmegoldsokra szortkozhatunk.A kzelts lehetsge kis szgek esetn ll fenn, azaz

11


17/21


18/21

18Ezrt aztn

=

iq

T

&

= =

+

f

l

f

j i

j

lj

i

llj

q

qqq

q

qa

1 1 &

&&&

&

&= ( )

= =

+f

l

f

j

jiljlilj qqa1 1

&& = ( ) ( )==

+f

l

lli

f

j

jij qaqa11

&&

s gy

=

=

f

i

i

i

qq

T

1

&&

= == =

+f

i

f

l

illi

f

i

f

j

ijij qqaqqa1 11 1

&&&& = T2

Ezt felhasznlva a HD kifejezs a kvetkezalakot lti:

Lqq

LW

f

i

i

i

=1

&&

= ( ) VTVTTLT +== 22

Teht a most bevezetett ( )ii qqW &, fggvnyre konzervatv rendszerek esetn az addott, hogy ppen arendszer E sszenergijt adja.

( ) EqqW ii =&,

ltalnostsuk az imnti lltsunkat! Mondjuk azt, hogy brmilyen mechanikai rendszer esetndefinilhat egy W fggvny, amely konzervatv rendszer esetn ppen az sszenergit adja.

A newtoni dinamikbl mr tudjuk, hogy az alapvetdinamikai mennyisg az impulzus. Asebessg csak kinematikai fogalom, a mozgs lershoz nlklzhetetlen ugyan, de a dinamikbankzvetlen szerepe nincsen. Ellenttben az impulzussal, amely a dinamika kulcsfontossg fogalma. (Erre

utal a Newton egyenlet Fpr

&r = eredeti alakja is!.)

Az ms krds, hogy a sebessg s az impulzus kapcsolata jl definilt, azaziii rmp

&rr = Ni ,..3,2,1=

lll xmp &= Nl 3,...3,2,1=

Tekintsnk egyknyszermentes, konzervatv mechanikai rendszert s vizsgljuk most ezt aLagrange-fle mdszerrel. Mivel knyszerek nincsenek, ezrt a rendszer szabadsgfoka Nf 3= .ClszerDescartes koordintkat hasznlni. A Lagrange fggvny definci szerint egyrtelmen addik.

( )NN

l

ll xxxxVxmL 3321

3

1

2 ,....,,2

1=

=

&

A Lagrange2 differencilegyenletek ppen a Newton-fle mozgsegyenleteket adjk.

lx

L

dt

d

&lx

L

=0 Nl 3,...3,2,1= L2

l

llx

Vxm

=&& Nl 3,...3,2,1=

Cserljk ki az { } Nll

x3

1=& sebessg komponenseket impulzus komponensekre, hiszen csak ez utbbiaknak

van dinamikai jelentse. Lthat, hogy kiindulsul szolgl Lagrange fggvnybl az impulzuskomponensek egyrtelmen megkaphatk, hiszen:

i

ix

Lp

&

= = ( )

=N

N

l

ll

i

xxxxVxmx

3321

3

1

2 ,....,,2

1&

&=

iixm & .

Clszera HD alatt defiinilt W sszenergia fggvnyt az impulzussal kifejezni.


19/21

19Addik teht

Lxx

LW

N

l

l

l

=

3

1

&&

= Lm

pp

N

l l

l

l =

3

1

= VTLT +=2

Ezt az sszenergia kifejezst, amelyik { } Nlll

xp3

1,

=

impulzus- s koordinta komponensek fggvnye

megklnbztetsl H-val jelljk s a neve Hamilton fggvny lesz. Azaz( ) ( )llll xxWxpH ,,, &=

( )NN

l i

i xxxxVm

pH 3321

3

1

2

,....,,2

+==

Ezt a gondolat mentet ltalnostjuk. Azt mondjuk, hogy mindez legyen helyes knyszerekkel rendelkez,( )tqqLL ii ,, &= Lagrange fggvnnyel jellemezhetmechanikai rendszerek setn is.

Az elzek szellemben bevezetjk az ltalnos impulzus fogalmt a kvetkezdefincival:

i

iqLp&

= fi ,...3,2,1=

Lthatan),( kkii qqpp &= fi ,...3,2,1=

Ezrt aztn az ltalnos koordinta idderivltja (ltalnos sebessgnek is mondhatnnk) kifejezhetazltalnos impulzussal:

),( kkii pqqq && =

s gy

( )( )kki

ii

f

i

iiqpq

tqqLqpH,

,,1 &

&&

=

( )tqpH kk ,,

MEGJEGYZS:Vigyzati

ix

Lp

&

= =

iixm & csak Descartes koordintk esetn igaz. ltalnos koordintk hasznlatakor

nem mindig van gy azaz iii

i qmq

Lp &

&

= !

Tekintsk a { }fkkk

pq 1, = ltalnos koordintkat s ltalnos impulzusokat a ( )tpqH kk ,, Hamilton

fggvnyfggetlen vltozinak! Nzzk meg, hogy ezzel a szemllettel milyen mozgsegyenletekaddnak. A techniknk az lesz, hogy kiszmtjuk a ( )tpqH kk ,, Hamilton fggvnyen parcilis

derivltjait, majd kapcsolatba hozzuk ezeket e Lagrange-fle mozgsegyenletekkel.

=

kq

H

+

==

f

i k

i

ik

f

i k

ii

q

q

q

L

q

L

q

qp

11

&

&

&=

+

==

f

i k

ii

k

f

i k

ii

q

qp

q

L

q

qp

11

&&=

kq

L

=

kp

H

==

+

f

i k

i

i

f

i k

i

ikp

q

q

L

p

qpq

11

&

&

&& =

==

+

f

i k

i

i

f

i k

i

ikp

qp

p

qpq

11

&&& =

kq&

Az elsegyenletnk teht

=

kqH

kqL


20/21

20Ebbl a matematikai sszefggsbl gy kaphatunk mozgsegyenletet, ha az egyenlet jobb oldalt aLagrange2 mozgsegyenlet falhasznlsval talaktjuk. Eszerint s az ltalnos impulzus defincijaalapjn az egyenlet jobb oldala a kvetkezalakba rhat.

kq

L

=

kq

L

dt

d

&=

kp&

Ezzel s a msodik egyenlet vltozatlan megtartsval a kvetkezegyenlet-prhoz jutunk:

( )fkq

p

H

pq

H

k

k

k

k ,...3,2,1 =

+=

=

&

&

A fenti egyenletek neve Hamilton fle kanonikus egyenletek (kanonikus=szablyos). A eljeltltekintve valban szp szablyosak. Ezek a mechanikai rendszer mozgsegyenletei a Hamilton-fleformalizmusban, ahol a kq ltalnos koordintk s a kp ltalnos impulzusok fggetlen vltozknaktekintendk.A kanonikus egyenletek rendszere 2f darab elsrenddifferencil egyenlet, amely a megoldsa sorn2f darab kezdeti felttel megadst ignyli. Ez ekvivalens az f darab msodrendLagrangedifferencil egyenletekkel amelyek megoldsakor ugyancsak 2f darab kezdeti felttel szksges.A kq , kp sszetartoz vltozkat kanonikusan konjuglt proknak nevezzk

(Kanonikusan konjuglt = szablyosan sszekapcsolt )

Hatrozzuk meg a ( )tpqH kk ,, Hamilton fggvny idszerinti teljes derivltjt is:

=

+

+

=

f

i

i

i

i

i

pp

Hqq

H

t

H

dt

dH

1&&

A kq& ,

kp& idderivltak a kanonikus mozgsegyenletekblkifejezhetek s ezek felhasznlsval

addik, hogy:

=

+

=

f

i iiii q

H

p

H

p

H

q

H

t

H

dt

dH

1

=t

H

Azaz, ha a Hamilton fggvny nem fgg explicit mdon az idtl, azaz 0=Ht , s ekkor a

H=lland. Ez kzismerten a mechanikai energia megmarads ttele s az ilyen rendszereketkonzervatv rendszereknek nevezzk.

Termszetesen a vizsglt mechanikai rendszerben definilhat brmilyen ( )tpqFF kk ,, dinamikai mennyisg (ezeket dinamikai vltozknak nevezzk). Mrmost, az adott mechanikairendszer mozgsa sornennek az F-nek az idszerinti teljes derivltja a H-hoz hasonl mdonhatrozhat meg.Elszr kpezzk a teljes derivltat a matematika szablyai szerint (sszetett fggvny derivlsa)

=

+

+

=

f

i

i

i

i

i

pp

Fq

q

F

t

F

dt

dF

1

&& .

De a rendszer dinamikjt a Hamilton-fle mozgsegyenletek irnytjk, azaz a kq& ,

kp& idderivltak

a kanonikus egyenletek szerint kell, hogy vltozzanak. Ezrt teht addik, hogy

dtdF =

+

=

f

i iiii q

HpF

pH

qF

tF

1 =

+

=

f

i iiii p

FqH

qF

pH

tF

1


21/21

21

Vezessk be az n. Poisson fle zrjeleket a kvetkezdefincival:

{ } BA, =

f

i iiii p

B

q

A

q

B

p

A

1

Ezzel a jellssel a mechanikai rendszer mozgsa sorn az F mennyisg teljes idderivltja

{ }FHt

F

dt

dF,+

=

A kanonikus egyenletek gy teljesen szimmetrikus (mg kanonikusabb) formba rhatk:

{ }

{ } ( )fk

pHp

qHq

kk

kk ,...3,2,1,

,=

=

=

&

&

Ez lesz az a mozgsegyenlet, amelyik az atomi mretek tartomnyban uralkod mechanikai trvnyekfelfedezsnl majd kulcsfontossgnak mutatkozik. Azaz egy igen szokatlan ltalnostssal aKvantummechanika elmleti vilgba elvezet.

Vgezetl rdemes a Poisson zrjelek nhny matematikai tulajdonsgrl is szlni.Ezek bizonytsa igen egyszer, ezrt az Olvasra bzhat:

{ } { }fggf ,, =

{ } { } { }gfgfgff ,,, 2121 +=+

{ } 0, =constf

A kanonikus prokra pedig

{ } 0, =ii qq

0, =ji

pp

{ } ikki qp =,

Documents

Elméleti fizika