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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra.

Simulación de procesos productivos

AGUIÑAGA SALAZAR CRHISTIAN ALEJANDRO

170851

Distribución beta

La distribución beta, β (a ,b , p , q) , se utiliza como modelo probabilístico en un gran número de problemas económicos: fidelidad a una marca, análisis de inversiones , valoración, duración de un trabajo complejo, etc..., debido, entre otras cosas, a su tremenda maleabilidad para representar situaciones harto diferentes. Así

la distribución uniforme o rectangular es un caso particular de distribución beta ( p=q=1 ), también se

obtienen las distribuciones triangulares (p=1 y q=2 ó p=2 y q=1 ), la distribución parabólica con

máximo en el punto (0,5; 1,5) se obtiene para p=q=2 y en el caso de que p=q=5

6 resulta una distribución que tiene una densidad tipo bañera,

En estadística la distribución beta es una distribución de probabilidad continua con dos parámetros y

cuya función de densidad para valores es

Aquí es la función gamma.

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son

.

Un caso especial de la distribución beta es cuando y que coincide con

la distribución uniforme en el intervalo

Distribución binomial

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.3. La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p4. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.5. La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.La distribución binomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio

En las empresas tenemos muchas situaciones donde se espera que ocurra o no un evento específico. Éste puede ser de éxito o fracaso sin dar paso a un punto medio. Por ejemplo, en la producción de un artículo, éste puede salir bueno o malo. Para situaciones como éstas se utiliza la distribución binomial.

Distribución k-erlang

En estadística, la distribución Erlang, es una distribución de probabilidad continua con dos

parámetros   y   cuya función de densidad para valores   es

La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el

parámetro   y  . Para  eso es la distribución exponencial. Se

utiliza la distribución Erlang para describir el tiempo de espera hasta el suceso número  en

un proceso de Poisson.

Esta función recibe su nombre del matemático e ingeniero danés Agner Krarup Erlang que la

introdujo en 1909.

Su esperanza viene dada por: 

Su varianza viene dada por: 

La función generadora de momentos responde a la expresión: 

Un pionero en la aplicación de métodos estadísticos para el análisis de las redes telefónicas.

Distribución exponencial

 A pesar de que la distribución Normal puede utilizarse para resolver muchos problemas en ingeniería y ciencias, existen aún numerosas situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de densidad, tales como la exponencial y la gamma y algunas otras como la weibull, etc., etc., de momento solo trataremos sobre el uso de la exponencial.Resulta que la exponencial es un caso especial de la distribución gamma, ambas tienen un gran número de aplicaciones. Las distribuciones exponencial y gamma juegan un papel importante tanto en teoría de colas como en problemas de confiabilidad. El tiempo entre las llegadas en las instalaciones de servicio y el tiempo de falla de los componentes y sistemas eléctricos, frecuentemente involucran la distribución exponencial. La relación entre la gamma y la exponencial permite que la distribución gamma se utilice en tipos similares de problemas. La variable aleatoria x tiene una distribución exponencial, con parámetro b, si su función de densidad es: 

                               , x > 0      ;  f(x) = 0   en cualquier otro caso donde b > 0 La  media y la variancia de la distribución exponencial son:                                     m = b              y                  s2 = b2 Relación con el proceso de Poisson.Las aplicaciones más importantes de la distribución exponencial son aquellas situaciones en donde se aplica el proceso de Poisson , es necesario recordar que un proceso de Poisson permite el uso de la distribución de Poisson. Recuérdese también  que la distribución de Poisson se utiliza para calcular la probabilidad de números específicos de “eventos” durante un período o espacio particular. En muchas aplicaciones, el período o la cantidad de espacio es la variable aleatoria. Por ejemplo un ingeniero industrial puede interesarse en el tiempo T entre llegadas en una intersección congestionada durante la hora de salida de trabajo en una gran ciudad. Una llegada representa el evento de Poisson.La relación entre la distribución exponencial (con frecuencia llamada exponencial negativa) y el proceso llamado de Poisson es bastante simple. La distribución de Poisson se desarrolló como una distribución de un solo parámetro l, donde l puede interpretarse como el número promedio de eventos por unidad de “tiempo” . Considérese ahora la variable aleatoria descrita por el tiempo que se requiere para que ocurra el primer evento. Mediante la distribución de Poisson, se encuentra que la probabilidad de que no ocurran en el espacio hasta el tiempo t está dada por:

                                  ;    

Distribución de Pearson V y VI

La distribución de Pearson en una familia de distribuciones probabilísticas continúas. Fue publicada por primera vez por Karl Pearson en 1895 y subsecuentemente extendida por él en 1901 y 1916 en una serie de artículos de bioestadística.

El sistema Pearson fue originalmente ideado en un esfuerzo para modelar observaciones visiblemente asimétricas. Era bien conocido en aquel tiempo cómo ajustar un modelo teórico para acomodar los primeros dos cumulantes o los momentos de observados datos. Los ejemplos de Pearson incluyen datos de supervivencia, cuáles son usualmente asimétricos. En su escrito original, Pearson (1895, p. 360) identificó cuatro tipos de distribuciones (numeradas del I al IV) además de la distribución normal (la cual era originalmente conocida como tipo V). La clasificación dependió en si las distribuciones estaban definidas en un intervalo definido, en una semirrecta, o en los reales y si estaban potencialmente asimétricas o necesariamente simétricas. Un segundo escrito (Pearson 1901) arregló dos omisiones: Redefinió la distribución de tipo V (originalmente incluía la distribución normal, ahora incorporaba la distribución gamma inversa) e introdujo la distribución de tipo VI. Conjuntamente los primeros dos documentos de identificación cubren los cinco tipos principales del sistema Pearson (I, III, VI, V y IV). En un tercer escrito, Pearson (1916) introdujo aún más casos especiales y subtipos (del VII al XII).

Distribución de Pearson tipo V

Definiendo nuevos parámetros:

Sigue una

La distribución de Pearson tipo V es una distribución gamma inversa.

Distribución de Pearson tipo VI

sigue una :

La distribución de Pearson tipo VI es una distribución beta prima o una Distribución F.

Distribución triangular

Se emplea básicamente en Economía y en aquellos problemas en los cuales se conocen muy pocos o ningún dato.

Para la simulación de esta distribución se puede la generación a través de los métodos de aceptación y rechazo y del método de composición.

Distribución uniforme

Es una función constante sobre el intervalo que va de a a b :

Una de las formas para simular una distribución Uniforme sobre el intervalo que va de a a b es usar la transformación inversa de la función de densidad.

La distribución uniforme se utiliza al modelar las concentraciones de un gas en un modelo de simulación o del tiempo entre accidentes en una intersección, como también para ubicar los puntos en la herramienta Crear puntos aleatorios.

Con frecuencia, la distribución uniforme se utiliza para modelar eventos aleatorios cuando cada instancia o resultado potencial tiene la misma probabilidad de ocurrencia.

Distribución de weibull

Se trata de un modelo continuo asociado a variables del tipo tiempo de vida, tiempo hasta que un mecanismo falla, etc. La función de densidad de este modelo viene dada por:

Que, como vemos, depende de dos parámetros: α > 0 y β > 0, donde α es un parámetro de escala y β es un parámetro de forma (lo que proporciona una gran flexibilidad a este modelo).

La función de distribución se obtiene por la integración de la función de densidad y vale:

La distribución de Weibull se utiliza en:

Análisis de la supervivencia

Reliability engineering

En ingeniería, para modelar procesos estocásticos relacionados con el tiempo de fabricación y

distribución de bienes

Teoría de valores extremos

Meteorología

Para modelar la distribución de la velocidad del viento

En telecomunicaciones

En sistemas de radar para simular la dispersión de la señal recibida

En seguros, para modelar el tamaño de las pérdidas

Distribución gamma

En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dos

parámetros y cuya función de densidad para valores es

Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la función

gamma es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir

un proceso de Poisson - se llaman la distribución Erlang con un parámetro .

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

Distribución geométrica

Esta distribución sirve para calcular la probabilidad de que ocurra un éxito por primera y única vez en el último ensayo que se realiza del experimento.

Función de densidad:

Sea A un suceso de probabilidad P(A)=p, y sea X la variable aleatoria que expresa el número de fracasos que tiene lugar en las repeticiones independientes de pruebas de Benouili, hasta que ocurre A por primera vez. La variable X toma los valores de 0, 1,2,…. (Número de fracasos). Decimos que una variable aleatoria X sigue una distribución geométrica de parámetros p si su función de probabilidad es

Dónde:

P= probabilidad de éxito en cada ensayox= ensayos que sean necesarios para obtener un éxito, para x = 1, 2, 3,..

Lo anterior solo se cumple si y solo si:

º Las pruebas son idénticas e independientes entre sí.º La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba

Función de distribución:

Esperanza:

Varianza:

Distribución Lognormal

En probabilidades y estadísticas, la distribución log-normal es una distribución de probabilidad de

una variable aleatoria cuyo logaritmo está normalmente distribuido. Es decir, si X es una variable

aleatoria con una distribución normal, entonces exp(X) tiene una distribución log-normal.

La base de una función logarítmica no es importante, ya que loga X está distribuida normalmente

si y sólo si logb X está distribuida normalmente, sólo se diferencian en un factor constante.

Log-normal también se escribe log normal o lognormal.

Una variable puede ser modelada como log-normal si puede ser considerada como

un producto multiplicativo de muchos pequeños factores independientes. Un ejemplo típico es un

retorno a largo plazo de una inversión: puede considerarse como un producto de muchos retornos

diarios.

La distribución log-normal tiende a la función densidad de probabilidad

para , donde y son la media y la desviación estándar del logaritmo de variable.

El valor esperado es

y la varianza es

.

Distribución normal

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones:

1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).Es simétrica respecto a la media µ.Tiene un máximo en la media µ.Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Distribución de poisson

Características:En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por unidad de área, tiempo, pieza, etc, etc,:- # de defectos de una tela por m2- # de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc, etc.- # de bacterias por cm2 de cultivo- # de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.- # de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar sería:

Dónde:p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es ll = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o productoe = 2.718x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.