Huros hangszer modellje es annak implementalasa

Potempski Daniel Konrad

ELTE-IK, Programtervezo Informatikus MSc

2012

Attekintes

Bevezetes

Motivacio

A zongora felepıtese

Fizikai modellek

Altalanos modell

Hur

Rezonans

A hur es a rezonans osszekapcsolasai

A gerjesztes modellezese

Numerikus modellek

Tovabbi lehetosegek

Temank a huros hangszerek lesznek, de leginkabb a zongorarol lesz szo.

MotivacioMukodes megismerese

I A hangszerek mukodesenek megismereset elosegıtheti, verifikalhatja

a fizikai es a numerikus modell.

I Ez tamogathatja a fejlesztest, gyartast.

MotivacioHangszintezis

I Mostanaban a legelterjettebb a jel alapu hangszintezis.

Modellparameterei nem a hangszert tukrozik ezert nehez a

parameterek beallıtasa.

I Szemelyes motivacio: zengeto pedal.

I Fizikai alapu hangszintezis eseten a modellparameterek intuitıvak,

sokkal kevesebb is eleg, mert a modell korlatoz.

I Hatrany a nagy szamıtasigeny.

MotivacioNem letezo hangszerek

I Nem letezo hangszerek virtualis epıtese is lehetseges.

I Fizikailag ”lehetlen” konfiguracio is. Pl. nagyon hosszu hur.

I Pelda: MOSAIC. Rezgo szerekezetek modalis adatokkal valo

osszekapcsolasa.

MotivacioNem letezo hangszınek

I Hikichi, Osaka cikke.

I Ket fizikailag modellezett hangszer hangszıne kozti interpolacio.

I Egy kozos altalanos modellben a parameterek kozti interpolacio.

I Extrapolacio is lehetesges.

A zongora felepıteseVazlat

1. abra. 16-hur, 12-hıd, 15-rezonans. Forras http://www.wikipedia.hu

A zongora felepıteseHur

I Acelbol.

I Melyebb hurok eseten rezfonat.

I A rezfonat celja, hogy a tomeg novelese mellett minel kevesebbett

veszıtsen a hur a rugalmassagabol.

2. abra. Fonattal rendelkezo hur. Forras: http://en.wikipedia.org

A zongora felepıteseRezonans

I Parhuzamosan ragasztott lucfenyo csıkok.

I A csıkokra merolegesen bordak. A farostok keresztiranyba kisebb

merevseget hivatottak kipotolni.

I A bordak ragasztasi felulete hajlıtott. Ezzel elofeszıtik a rezonanst.

I A hurok a hıdon keresztul hato komoly nyomasanak ellen kell allnia.

A zongora felepıteseRezonans

3. abra. Egy zongora alulnezetbol. Forras: http://en.wikipedia.org

Altalanos modell

1. Hur

2. Rezonans (altalanosabban erosıto, lehet akar membran is ld. banjo)

3. Osszekapcsolas

4. Gerjesztes

HurIdealis hur

I Mozgasegyenlete a hullamegyenlet:

∂2u

dt2= c2 ∂

2u

∂x2

ahol c =√

Θµ , Θ a feszıtes merteke, µ a tomeg osztva az egysegnyi

hosszal (vagy tomegsuruseg),

u(x , t) : [0, L]× [0,T ]→ R (0 < L,T ∈ R) a keresett megoldas,

azaz a kiteres a hely es az ido fuggvenyeben.

HurIdealis hur, kulso erovel.

I

µ∂2u

dt2−Θ

∂2u

∂x2= f

ahol f (x , t) : [0, L]× [0,T ]→ R.

I Peremfeltetelek:

u(0, t), u(L, t) (t ∈ [0,T ]).

I Kezdeti ertekek:

u(x , 0),∂u

∂t(x , 0) (x ∈ [0, L]).

HurSajatfrekvenciak lekotott vegek eseten

I Lekotott vegek:

u(0, t) ≡ 0, u(L, t) ≡ 0,

I Ekkor a sajatfrekvenciak:

fk = kc

2L(k ∈ N+)

I Ebben az esetben a felhangok harmonikusak, azaz egesz szamu

tobbszorosok a frekvenciaik.

RezonansEgydimenzios eset

I Kezdo kozelıteskent a rezonans egydimenzios.

I Lenyegeben egy rud, melynek csak merevsege van.

I Mozgasegyenlete:

ρ∂2u

dt2+ Eκ2 ∂

4u

dx4= f

ahol ρ a suruseget E a Young-fele modulust κ a forgas sugarat jeloli,

u : Ω× [0,T ]→ R a keresett megoldas az Ω× [0,T ] tartomanyon,

T ∈ R, Ω tartomany, f : Ω× [0,T ]→ R adott. Az Ω tartomany egy

zart [a, b] intervallum (a, b ∈ R, a < b).

RezonansKetdimenzios eset

I Legegyszerubb kozelıtes a vekony izotrop lemez modellje.

I Mozgasegyenlet:

ρs∂2u

dt2+

Eq3

12(1− ν2)∆2u = f

ahol ρ a suruseg, E a Young-fele modulus, s a lemez vastagsaga, ν a

Poisson arany, ∆2 a biharmonikus operator (∆ a Laplace operator,

∆ = ∇2), u : Ω× [0,T ]→ R a keresett megoldas Ω× [0,T ]

tartomanyon, T ∈ R, Ω ⊂ R2 tartomany, f : Ω× [0,T ]→ R adott.

I A biharmonikus operator kiırva:

∆2u =∂4u

∂x4+ 2

∂4u

∂x2∂y 2+∂4u

∂y 4

I Az izotrop lemez egesz jol modellezi a nagyobb hullamhosszu

rezgeseket.

I Kicsi hullamhosszok eseten mar anizotropkent erdemes ra tekinteni.

I A pontos peremfeltetelek meg nem eldontottek. Ugy tunik, hogy a

befogott es az alatamasztott eseteknek megfelelok kozott kell

valahol keresni.

I A befogott esetet vizsgaljuk. A legtobben megelegszenek ezzel az

esettel.

RezonansKetdimenzios eset peremfeltetelei

I A befogott esetnek megfelelo peremfeltetelek:

u|Γ = 0

∂u

dt|Γ = 0

ahol Γ az Ω tartomany peremet jeloli.

I Most csak a negyzetes tartomanyt vizsgaljuk:

Ω = [a, b]× [a, b] (a, b ∈ R).

RezonansKetdimenzios eset sajatfrekvenciai, sajatfuggvenyei

I Fontos vizsgalni a rezonans sajatfrekvenciait, sajatfuggvenyeit.

I Keressuk a megoldast u(x , y , t) = Z (x , y)e iωt alakban.

I Legyen most f ≡ 0.

I Ekkor a kovetkezo egyenlosegre jutunk:

∆2Z (x , y) =12ρ(1− ν2)ω2

Es2Z (x , y)

I jobboldalon Z egyutthatoja konstans, tehat ez a ∆2 operator

sajatertek-problemaja.

I Nem letezik zart alaku megoldas az emlıtett peremfeltetelek mellett,

csak kozelıtes.

Hur es rezonans kozvetlen osszekapcsolasaEgydiemnzios eset

I A gyorsulasokat tesszuk egyenlove egy kozos pontban:

∂2ur

∂t2(xr ,i , t) =

∂2ust

∂t2(xst,L, t) (t ∈ [0,T ]).

I A mozgasegyenletekbol ıgy a kovetkezot kapjuk:

Eκ2

ρ

∂4ur

∂x4(xr ,i , t) = −Θ

µ

∂2ust

∂x2(xst,L, t) (t ∈ [0,T ]).

A hur es a rezonans kozvetlen osszekpcsolasaKetdimenzios eset

I Itt is a gyorsulasokat tesszuk egyenlove:

∂2upl

∂t2(xpl,i , ypl,j , t) =

∂2ust

∂t2(xst,L, t) (t ∈ [0,T ]).

I A megfelelo mozgasegyenleteket felhasznalva kapjuk:

−D∆2upl(xpl,i , ypl,j , t) =Θ

µ

∂2ust

∂x2(xst,L, t) (t ∈ [0,T ]).

A hur es a rezonans hıdon keresztuli osszekapcsolasaOtlet

I Becache et al. cikk alapjan.

I Gitar numerikus szimulaciojakor a gitar hıdjat egy integrallal fejeztek

ki. Azaz a hıd egyfajta atlagolast vegez a gitar elolapjan.

A hur es a rezonans hıdon keresztuli osszekpacsolasaOtlet

4. abra. Egy akusztikus gitar elolnezetbol. Forras: http://en.wikipedia.org

A hur es a rezonans hıdon keresztuli osszekapcsolasaEgydimenzios eset

I Szukseg van egy sulyfuggvenyre, mely kijeloli az integralando reszt,

mi most a legegyszerubb valtozatot valasztjuk:

G (x) =

0 ha x ∈ [a, v)

1w−v ha x ∈ [v ,w ]

0 ha x ∈ (w , b]

I Integralja 1.

A hur es a rezonans hıdon keresztuli osszekapcsolasaEgydimenzios eset

I A hur a gerendara a gerenda mozgasegyenletenek jobboldalan

keresztul hat:

fr (x , t) = −Θ∂ust

∂xst(L, t)G (x).

I A gerenda a hurra a kiteresen keresztul hat, de a hıd kozvetıtesevel:

ust(L, t) =

∫ b

a

G (xr )ur (xr , t)dxr .

A hıdon keresztuli osszekapcsolas egy valtozata

I Otvozzuk az ”atlagolast” a sebessegek egyenlove tetelevel:∫ b

a

G (xr )∂2ur (xr , t)

∂t2dxr =

∂2ust

∂t2(t, L).

I Mind ket oldalon a masodrendu derivaltakat kifejezve a nekik

megfelelo mozgasegyenletekbol kapjuk a kovetkezo egyenloseget:

∫ b

a

G (xr )fr − Eκ2 ∂4ur

∂x4r

ρdxr =

fst + Θ∂2ustx2st

µ.

GerjesztesAttekintes

I Pengetes (pl. gitar, harfa, csembalo)

I Kalapaccsal utes (zongora)

I Vonas (vonosok)

I Csak az elso kettot vizsgaljuk.

GerjesztesKezdeti ertekek beallıtasaval

I Pengetes: Kezdeti kiteres haromszog. Kezdeti sebessegek nullak.

I Kalapaccsal utes: Kezdeti kiteres azonosan nulla, a kezdeti sebesseg

egy pontban nem nulla.

GerjesztesA jobboldalon keresztul

I A hur mozgasegyenletenek jobboldalat megadva erot fejthetunk ki

ra.

I A kalapaccsal utest jol kozelıto modszerek bonyolultak.

I A pengetes egyszerubb.

Huregyenlet diszkretizacioja

I Az [a, b] ill. [0,T ] intervallumot osszuk fel n ∈ N ill. m ∈ N reszre

ekvidisztans modon.

I Jeloljuk x0, x1, ..., xn-nel ill. t0, t1, ..., tm-nel az osztopontokat es h-val

ill. τ -val a szomszedos pontok kozti tavolsagot.

I A masodrendu derivalt approximaciojanak jelolese:

uktt,i,τ :=

1

τ 2(uk−1

i − 2uki + uk+1

i )

I A mozgasegyenlet diszkretizacoja:

uktt,i −

Θ

µukxx,i = f j

i

(i = 1, 2, . . . , n − 1, k = 1, 2, . . . , n − 1)

I Ebbol kifejezheto uk+1i . Az elso idoretegre is felırhato egy explicit

sema.

Huregyenlet diszkretizacojaStabilitas

I Neumann-fele stabilitasi vizsgalattal adodik a kovetkezo stabilitasi

feltetel:|c |τ

h< 1 (1)

ahol c =√

Θµ .

A gerenda egyenletenek diszkretizacioja

I A negyedrendu differencialhanyados masodrendu approximacioja:

ukxxxx,i,h :=

1

h4(uk

i−2 − 4uki−1 + 6uk

i − 4uki+1 + uk

i+2).

I A mozgasegyenlet diszkretizacioja:

ρuktt,i + Eκ2uk

xxxx,i = f ki

(i = 2, . . . , n − 2, k = 1, . . . ,m − 1).

I Itt is uk+1i -et kell kifejezni az explicit semahoz. Az elso idoretegre is

felırhato masodrendu explicit sema.

A gerenda egyenletenek diszkretizacioja

I A negyedrendu derivalt otpontos semajat i = 1, n − 1 helyeken nem

tudjuk alkalmazni.

I Taylor-sorba fejtessel es annak kihasznalasaval, hogy az elsorendu

helyiranyu derivalt a szeleken nulla, adodik (peldaul i = 1 -re):

u1 =1

4(3u0 + u2) + O(h3)

I A stabilitasi feltetel, most a kovetkezo:

4γ2 < 1.

ahol γ := τh2

√Eκ2

ρ .

Az izotrop vekony lemez diszkretizacioja

I Negyzetes tartomany: Ω = [a, b]× [a, b] (a, b ∈ R, a < b)

I Felosztasa:

ωh := (xi , yj) ∈ Ω : xi = a+ih, yj = a+jh, i = 0, 1, . . . , n, j = 0, 1, . . . , n

ahol n ∈ N, h = 1/n.

I A vegyes derivalt masodrendu approximacioja:

uxxyy ,i,j,h :=1

h4·

(ui−1,j−1 − 2ui,j−1 + ui+1,j−1

−2ui−1,j + 4ui,j − 2ui+1,j

+ui−1,j+1 − 2ui,j+1 + ui+1,j+1)

I A biharmonikus operator approximacioja:

(∆2)ki,j,h := ukxxxx,i,j + 2uk

xxyy ,i,j + ukyy yy ,i,j

Az izotrop vekony lemez diszkretizacioja

I A mozgasegyenlet diszkretizacioja:

ρsuktt,i,j +

Es3

12(1− ν2)(∆2)ki,j = f k

i,j

I Ez is explicit, es az elso idoretegre is felırhato explicit sema.

I A peremhez legkozelebbi belso pontokra megint tovabbi

approximaciora van sszukseg. Negy modszert probaltam ki:

I 0: Nem approximalunk. 0 a belso perem.

I 1: Az egydimenzios masodrendu approximacio a peremre

merolegesen. Sarkokban atlag.

I 2: Az elozo, kiegeszıtve a szomszedos perempontokbol indulo 45

-os iranyokkal. Majd ezek atlagolasa. Sarkokban is harom atlaga.

I 3: Egydimenzios negyedrendu approximacio 1-hez hasonloan.

Az izotrop vekony lemez diszkretizacioja

I A nulladikhoz hasonlo modszer meg, amikor a perem kore veszunk

meg egy reteget, es az nulla. Ekkor is, es a nulladik esetben is

elsorendu modszert mertem.

I A tobbi esetben a tesztek alapjan hihetoen masodrendu

konvergenciat kaptam.

I A stabilitas (elegseges) feltetele:

γ <1

4

ahol γ =√

Dρs

τh2 , D = Es2

12ρ(1−ν2)

Az izotrop vekony lemezSajatertekek, sajatfuggvenyek

I A diszkret biharmonikus operator sajatertekproblemajat megoldva a

kovetkezo eredmenyeket kaptam:

5. abra. A ∆2h matrix sajatfuggvenyei (n=20). A hozzatartozo relatıv

sajatfrekvenciak rendre 1.0, 2.0319, 2.0319, 3.0038, 3.6074, 3.6223,

4.5515, 4.5515.

Az izotrop vekony lemezSajatertekek, sajatfuggvenyek

n = 10 n = 20 n = 40 [12]-ben kozolt ertek√λ1

λ11.0 1.0 1.0 1.0√

λ2

λ12.0 2.0319 2.0378 2.04√

λ3

λ12.0 2.0319 2.0378 2.04√

λ4

λ12.9748 3.0038 3.0067 3.01√

λ5

λ13.408 3.6074 3.6453 3.66√

λ6

λ13.4179 3.6223 3.6620 3.67√

λ7

λ14.3843 4.5515 4.578 4.58√

λ8

λ14.3843 4.5515 4.578 4.58

1. tablazat. A ∆2h matrix elso nyolc relatıv sajatfrekvenciaja kulonbozo n

parameterekkel, es a [12]-ben kozolt kozelıto ertekek a befogott negyzet

alaku lemez eseten.

Kozvetlen osszekapcsolasEgydimenzios eset

I Diszkretizalva az osszekapcsolasra kapott egyenloseget a kovetkezot

kapjuk:

Eκ2

ρukxr xr xr xr ,r ,i = −Θ

µukxs xs ,st,L (k = 1, 2, . . . ,m)

I Kifejezve a kozos pontot kapjuk a semat. Ezt idoretegenkent

alkalmazzuk a hur es a gerenda szamıtasait kovetoen.

I A modszert tesztelve a mert konvergenciasebesseg tulsagosan

oszcillalt. Nem egyertelmu, hogy masodrendu. Ennek oka lehet, hogy

a diszkretizacio jobboldalan csak elsorendu az approximacio.

I A hur hosszat felezeve, de megtartva az osztopontok szamat, mar

kielegıto eredmenyt kaptam. A gerenda h-ja ıgy a hur h-janak

duplaja volt, de az idoretegek szamat nem kellett novelni, mert a

gerenda stabilitasi feltetele sokkal szigorubb.

Kozvetlen osszekapcsolasKetdimenzios eset

I A diszkretizalt osszekapcsolas:

−D∆2huk

pl,i,j =Θ

µukxs xs ,st,L (k = 1, 2, . . . ,m)

I Az elso esethez hasonloan kell alkalmazni.

I A tesztek soran nem tapasztaltam az egydimenzios esethez hasonlo

anomaliakat a konvergenciasebessegben.

I A tesztfuggveny:

upl(x , y , t) = cos t(cos x − 1)(cos y − 1) (x , y , t ∈ [0, 2π])

ust(x , t) = cos t(cos(x + π)− 1)2 (x , t ∈ [0, 2π])

Kozvetlen osszekapcsolasKetdimenzios eset

6. abra. A harmadik approximaciot alkalmazo valtozat es hibajanak vi-

zualizacioja a tesztfuggvenyen a k = 1528 idoreteg eseten. A kek es a

sotetzold pontok a szamolt ertekeket, a piros ill. vilagoszoldek a pontos

ertekeket jelolik. A szamolt ertekekhez tartozoak fedik a tobbit.

Hıdon keresztuli osszekapcsolasElso (eredeti) valtozat

I Elso derivaltat kozelıto sema:

ukxs t,n

:=ukst,n − uk

st,n−1

h

I A gerenda diszkretizalt jobboldala:

f kr ,i := −ΘG (xr ,i )uk

xs t,n(i = 0, 1, . . . , n).

I Az integralt az osszetett trapezszaballyal szamoltam.

I Modszer: Hur, f kr , gerenda, hur vegpontja az integral alapjan.

I A tesztek soran masodrendu konvergenciat mertem. De a gerenda

jobboldala pontos volt. Tehat csak a gerenda hurra valo hatasanak

hibaja ervenyesult.

Hıdon keresztuli osszekapcsolasMasodik (modosıtott) valtozat

I Az osszekapcsolas diszkretizacioja:

h

d−1∑i=c

Gi

f kr ,i − Eκ2uk

xr xr xr xr ,r ,i

ρ=

f kst,n + Θuk

xst xst ,st,n

µ

(k = 1, 2, . . . ,m).

I Az integral a Darboux-fele kozelıto osszeggel van szamolva. A c es d

indexu pontok kozotti szakasz felezopontjara van csatolva a hur.

I A teszt soran igazan sok idoreteg eseten elromlott a masodrendu

konvergenciasebesseg. Ez lehet a kerekıtesi hibak feltorlodasa miatt

vagy programozasi hiba.

Tovabbi lehetosegekPontosabb fizikai modellek

I Hur eseten csillapıtas. Frekvenciafuggoseg miatt elso- es

harmadrendu derivaltat tartalmazo tag.

I Hur eseten merevseg. Negyedrendu tag. Kovetkezmeny:

inharmonicitas.

I Rezonans eseteben az alak jobb kozelıtese.

I Hur terbeli kiterese. Kovetkezmeny: dupla elhalas.

Tovabbi lehetosegekPontosabb numerikus modellek tesztek

I Lemez eseten a belso perem kozelıtesekor a masodrendu

approximaciot is tobb iranyba alkalmazni.

I Osszekapcsolasnal a hur vegpontja masodrendu derivaltjanak jobb

kozelıtese.

I Az utolso ket teszt eseten mind ket iranyu hatas tesztelese.

I Pontosabb integralkozelıto formulak.

I Parhuzamosıtas. Szinkornizacios pont: az osszekapcsolasok

szamolasa.

Balazs Bank: Physics-based Sound Synthesis of String Instruments

Including Geometric Nonlinearities, Ph.D. thesis, Budapest

University of Technology and Economics Department of

Measurement and Infomration Systems, 2006.

Balazs Bank, Heidi-Maria Lehtonen: Perception of longitudinal

components in piano string vibrations, Journal of the Acoustical

Society of America, 128(3).

Balazs Bank, Laszlo Sujbert: Generation of longitudinal vibrations in

piano strings: From physics to sound synthesis, Journal of the

Acoustical Society of America, 117(4), (2005), 2268–2278.

Eliane Becache, Antoine Chaigne, Gregoire Derveaux, Patrick Joly:

Numerical simulation of a guitar, Computers and Structures, 83,

(2005), 107–126.

Richard E. Berg, David G. Stork: The Physics of Sound,

Prentice-Hall, 1982, ISBN 0-13-674283-1.

J. Berthaut, M.N. Ichchou, L. Jezequel: Piano soundboard:

structural behavior, numerical and experimental study in the modal

range, Applied Acoustics, 64, (2003), 1113–1136.

Malcolm J. Crocker: Handbook of acoustics, John Wiley & Sons,

1998, ISBN 0-741-25293-X.

Giuseppe Cuzzocoli, Vincenzo Lombardo: A Physical Model of the

Classical Guitar, Including Player’s Touch, Computer Music Journal,

23(2), (1999), 52–69.

M. J. Elejabarrietta, C. Santamaria, A. Ezcurra: Air cavity modes in

the resonance box of the guitar: the effect of the sound hole, Journal

of Sound and Vibration, 252(3), (2002), 584–590.

M. J. Elejabarrietta, C. Santamaria, A. Ezcurra: Fluid-structure

coupling in the guitar box: numerical and comparative experimental

study, Applied Acoustics, 66, (2005), 411–425.

K. A. Exley: Tonal properties of the pianoforte in relation to bass

bridge mechanical impedance, Journal of Sound and Vibration, 9(3),

(1969), 420–437.

Neville H. Fletcher, Thomas D. Rossing: The Physics of Musical

Instruments, Springer-Verlag New York, Inc., second edition, 1998,

ISBN 0-387-98374-0.

N. Giordano: Simple model of a piano soundboard, Journal of the

Acoustical Society of America, 102(2), (1997), 1159–1168.

N. Giordano: Mechanical impedance of a piano soundboard, Journal

of the Acoustical Society of America, 103(4), (1998), 2128–2133.

N. Giordano: Sound production by a vibrating piano soundboard:

Experiment, Journal of the Acoustical Society of America, 104(3),

(1998), 1648–1653.

N. Giordano, M. Jiang: Physical Modeling of the Piano, EURASIP

Journal on Applied Signal Processing, 7, (2004), 926–933.

Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 2.,

ELTE-TypoTEX, 1995, ISBN 963-7546-53-7.

Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 3.,

ELTE-TypoTEX, 1997, ISBN 963-7546-77-4.

Stoyan Gisbert, Tako Galina: Numerikus modszerek 1., TypoTEX

Kiado, 2002, ISBN 963-9326-20-8.

Takafumi Hikichi, Naotoshi Osaka: Sound timbre interpolation based

on physical modelling, Acoust Sci & Tech, 22(2), (2001), 101–111.

Hanna Ja: Audibilty of the timbral effects of inharmonicity in

stringed instrument tones, Acoustics Research Letters Online, 2(3),

(2001), 79–84.

Adrien Mamou-Mani: Prestress effects on the eigenfrequencies of the

soundboards: Experimental results on a simplified string instrument,

Journal of the Acoustical Society of America, 131(1), (2012),

872–877.

Adrien Mamou-Mani, Joel Frelat, Charles Benainou: Numerical

simulation of a piano soundboard under downbearing, Journal of the

Acoustical Society of America, 123(4), (2008), 2401–2406.

Thomas R. Moore, Sarah A. Zietlow: Interferometric studies of a

piano soundboard, Journal of the Acoustical Society of America,

119(3), (2006), 1783–1793.

Joseph Derek Morrison, Jean-Marie Adrien: MOSAIC: A Framework

for Modal Synthesis, Computer Music Journal, 17(1), (1993), 45–56.

Philip M. Morse: Vibration and Sound, American Institute of

Physics, paperback edition, 1983, ISBN 0-88318-287-4.

Isoharu Nishiguchi: Recent research on the acoustics of pianos,

Acoust Sci & Tech, 25(6), (2004), 413–418.

A. Stulov: Physical modelling of the piano string scale, Applied

Acoustics, 69, (2008), 977–984.

Hideo Suzuki: Vibration and sound radiation of a piano soundboard,

Journal of the Acoustical Society of America, 80(6), (1986),

1573–1582.

Adam Maulis: Hardver Bemutatasa,

http://www.caesar.elte.hu/hpc/atlasz-hw.html, 2012.