1

A rezgések és tulajdonságaik 3. (III.11)

Tartalom

Szinuszos rezgések, Rezgések szuperpozíciója, lebegés.Kényszerrezgés, csillapított rezgés.Lánc, húrok, rudak, lemezek, hártyák rezgései.Rezgő légoszlopok rezgései.

ELTE IV. Környezettudomány2010/2011 II.félév

AKUSZTIKA és ZAJSZENNYEZÉS

2

Hullám: A hullám egy zavarási állapot továbbterjedése. Alapvetően akusztikai (hang) és elektromágneses hullámokat különböztetünk meg. A harmonikus rezgés által létrehozott zavarás továbbterjedése

esetén harmonikus hullám alakul ki.

Rezgés: Általánosságban rezgésnek nevezünk minden olyan fizikai jelenséget, amelynél a rendszert leíró jellemzők egy egyensúlyi érték körüli ingadozást mutatnak. Rezgés olyan rendszerben alakul ki, amelynek van tehetetlensége, és az egyensúlyi állapotából történő kitérítésre mindig az eredeti állapotának visszaállítására törekszik. Általában mechanikai rezgéseket tekintünk. Ha a visszatérítő erő arányos a rezgést végző tömeg kitérésével harmonikus rezgés alakul ki. A harmonikus rezgés jellemzőit szinusz függvény írja le.Szilárdtestbeni rezgés a testhang.

3

RezgésekRezgések

• Csillapítatlan

• Csillapított

• Periodikus

• Aperiodikus

• Kváziperiodikus

4

D

m

x

xm

D

td

xd

2

2

xxm

D

td

xd 22

2

x(t) = A sin(ωt+ϕ)

mD

RezgésekRezgésektömegpont

Harmonikus rezgések

Kitéréssel arányosarányos visszatérítés.

5

x(t) = A sin(ωt+ϕ)

v(t) = A ω cos(ωt+)

a(t) = -A ω2 sin(ωt+ϕ)

x(t) = A/2 (e i( t +ϕ) - e -i( t +ϕ))

ω= 2 fa = - ω2 x

6

RezgésekRezgések

elmozdulás (x,t)

gyorsulás a =2 /t2

tömeg mx = V= = A x

Newton egyenlet

F = m a= ( A x) 2 /t2

F / (A x) = 2 /t2

Hooke törvény

= E = E ( / x) = ’- / x = /E

Eredő erő F = (’-) A F = A F /(A x) = / x

Hullámegyenlet: ( 2 / t2 )= E ( 2 / x2 )

E -rugalmassági modulus

-sűrűség

L

E, x (x)

rugalmas

kontinuum

7

Mozgás egyenlet:

( 2 / t2) = E ( 2 / x2)A hullámegyenlet megoldása:

= o e i( t -q x) ; q = 2/

( /q )2 = E /def.: v = ( / q) = /q

v = E/

L ’

’

A x x+x

(x) ’(x+x)

x

rugalmaskontinuum

= o e i( (t - x/v)) ;

vf = /q fázissebesség,vcs = ( / q) csoportsebesség.

8v = a ( k/m)

k k k k k a

m m m m m m

uj-3 uj-2 uj-1 uj uj+1 uj+2

Lineáris atomlánc

ahol a kontinuum modell szerinti jelöléssel :k = E/a - rugalmassági modulus; = m/a – a tömegsűrűséghiszen x = j a ; és E u / x = E u / a = k u

( k/m) qa

/rácsállandó: a/

m uj = k (uj+1 -uj) - (u j –uj -1 )

2u / t2 = (k/m) 2 u / x2

v = ( E/)

9v = a ( k/m)

Határfeltétel : uj = uj+N (L- a méret ) /L= Na/

ei q Na = 1 qNa = 2 n (n= 0, +1 ,+2, + 3 ,... ,+ N/2 -1)

A megoldás keresése:u j = C e i( t -q a j)

m2 = k (2 - (ei qa + e

-i qa) )

m2 = 2k (1- cos qa )

m2 = 4k sin 2 (qa /2)

= 2 ( k/m) sin( qa /2)

( k/m) qa

! qa 1 ; a , ekkor sin x x miatt:

1D-lánc v /2a q

Diszperziós reláció

10

Rezgések Rezgések

t (idő)

x (hely)atom

atomlánc

Fonon Atomok kollektív, korrelált mozása.

Adott frekvencián!Zavarterjedés.

11

Csillapodó rezgések

td

dxx

td

xdo 22

2

2 Fékezés, Sebességgel arányossúrlódás (Fs = 2βv ).

β – csillapítási tényező

T – 2 /ω csillapított periódus idő

12T0 – 2 /ωo eredeti periódus idő

13

Kényszerrezgések

Két (nem egyenlő) rezgő rendszer kölcsönhatása

•Kényszer rendszer, gerjesztő rendszer (Ω)•Gerjesztett rendszer (ω, β, ωo) /nincs visszahatása/.

A→∞ ; Ω = ωo rezonancia

ω = Ω ; t→∞

14

KényszerrezgésekRezonancia

Teljesítmény

Amplitudó

15

t

f1, f2

f1 + f2

f = f1 + f2 szuperpozíció

I = f 2 = f1

2 + f22 + 2 f1 f2

I1 I2

1.intenzitás 2.intenzitás INTERFERENCIA

Rezgések összetevéseRezgések összetevése Egyirányú szuperpozíció

Ha f1 és f2 időbe elválik:

Ha f1 és f2 átlapol:(konstruktívan, erősítés)

f1, f2

f1 + f2

Ha f1 és f2 átlapol:(destruktívan, kioltás)

ω1 = ω2

Volt: 1 dB + 1 dB = 4 dB,Most: 1 + 1 = 4 ; v. 1 + 1 =0

16

Ie = I1 + I2+ 2I1 I2 cos(1-2 )

(Ii = Ai2/2)

az interferencia tag

cos22

1)( 21

22

21

221 AAAAff

)(cos 111 tAf )(cos 222 tAf

)(cos)(cos2)(cos)(cos)( 2121222

2122

12

21 ttAAtAtAff

2

)22(cos1)(cos 1

12

t

t

)(cos)2(cos2

1)(cos)(cos 212121 ttt

)(cos)2(cos

)22(cos12

)22(cos12

)(

212121

2

22

1

212

21

tAA

tA

tA

ff

)(cos22

)( 2121

22

212

21 AAAA

ff

Időbeli átlagoláskor:(1/T) ∫cos(2 t)dt = 0

InterferenciaInterferencia

Geometriai összegzés

17

22121

22

21 2

12

2

1AAAAAAI

22121

22

21 2

12

2

1AAAAAAI

0cos

1 = 2 + (2k+1) ( = (2k+1) ) – ellentétes fázis

= teszőleges – véletlen fázis . (A fázisok időátlaga és annak cosinusa =

0)

Ie = I1 + I2

22

212

1AAI

(Az intenzitások ilyenkor szuperponálódnak!)

1 = 2 + 2k ( = 2k ) – azonos fázis

Ie = I1 + I2 + 2I1 I2

Ie = I1 + I2 - 2I1 I2

InterferenciaInterferencia

Itt: 1 + 1 = 4

Itt: 1 + 1 = 0

Itt: 1 + 1 = 2

18

Egyirányú szuperpozíció

ω1 - ω2 = ω ; ω/ ω << 1

Eltérő frekvencia (kissé) ω1 ≈ ω2

Rezgések Rezgések Lebegés

Itt: 1 + 1 = 0 → 4

Időben fluktuál!

19

Rezgések Rezgések Egyirányú szuperpozíció

Eltérő frekvencia, deracionális frekvencia arány: n ω1 = m ω2

Harmonikus marad !

Eltérő frekvencia,irracionális frekvencia arány:

Nem harmonikus

20

Rezgések Rezgések Egymásra merőleges szuperpozíció

Harmonikus

Nyitott görbékNem harmonikusak

n ωx = m ωy

21

egyirányúszuperpozíció

Rezgések Rezgések

22

Rezgések Rezgések

23

v = E/ = -1 ( E/) 1 /2 = l

Állóhullámok

korábban

24

Állóhullámok

k =1,875100

k =4,694091

k =7,854762

k =10,99553

k =14,13714

l

0 , 7 7 4 l

0 , 5 0 1 l

0 , 8 6 8 l

0 , 3 5 6 l

0 , 64 4 l

0 , 9 0 6 l

0 , 2 7 9 l 0 , 7 2 3 l

0 , 5 0 0 l 0 , 9 2 6 l

.)()cos()cos()(

)sin()()sin()( x

l

kchx

l

k

kkch

kkshx

l

kx

l

kshxZ ii

ii

iiiii

Lemez torziós rezgése

minta

Pálcák rezgése Nemharmonikus

...3,2,1,0

,21

2

2

i

q

I E

l

kii

abqabIab ;12

1 3

25

26

Membránok, lemezek rezgése Csomó vonalakÁlló hullámok

Chladni féle ábrák

Gong: Koncentrikus csomó vonalak

felhangok: o , 2.07 o, 3.90 o, 5.98 o

2

1

2

2

2

2

, 2

b

m

a

ncmn

Téglalap: