Embed Size (px)
Citation preview
1
و امواج الكترومغناطيسيمعادله هاي مكسول جريان جابه جايي-1
در بررسي ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي، كوشيديم ويژگي اين ميدان ها را با ديورژانس و كرل آنها آنها به هر دوي و محاسبه يشناسايي براي هم چنين ديديم كه چون اين ميدان ها برداري اند، . بيان كنيم
اين چهار . با چهار معادله ي زير توانستيم از عهده ي اين كار برآييم. ديورژانس ميدان نياز داريمكرل وي مكانيك اند كه قانون هاي نيوتن در نظريهمعادله در نظريه ي الكترومعناطيس به همان اندازه بنيادي
. كالسيك بنيادي اند شكل ديفرانسيلي شكل انتگرالي نام قانون
انون گوسق )1(0
1enc
s
d Qε
⋅ =∫ E a 0
ρε
∇⋅ =E
0 قانون گوس در مغناطيس؟ )2(S
d⋅ =∫ B a 0∇⋅ =B
B قانون فاراده )3(
C
dddtΦ
⋅ = −∫ E l t
∂∇× = −
∂BE
قانون آمپر )4(0 enc
C
d Iμ⋅ =∫ B l 0μ∇× =B J
اين چهار معادله بيان كننده ي نظريه ي كرد، كالرك مكسول كار خود را آغاز ميدر هنگامي كه جيمسريشه ي آن در قاعده اي است . در اين معادله ها يك ناسازگاري جدي وجود دارداما .الكترومغناطيس بودند
را حساب ) 4(و ) 3(به بيان ديگر ، اگر ديورژانس رابطه هاي . ه صفر استديورژانس كرل همواركه مي گويد از دو طرف . بگذاريد اين را روشن تر بيان كنيم . شودصفر نمي) 4(د كه سمت چپ رابطه ي كنيم خواهيم دي
داريم. ديورژانس بگيريد) 3(رابطه ي )5( ( )
0 0
( ) 0 0t
∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ ∇× = ∇⋅ − = − ∇⋅ ⇒ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠BE B
همين كار را با . ازگار استهر دو صفر اند و همه چيز درست و س ) 3(ي هورژانس دو طرف رابطيدپس، به دست مي آيد. انجام دهيد) 4(ي رابطه
)6( 0
0
( ) ( )μ∇ ⋅ ∇× = ∇ ⋅B J
توجه كنيد اگر خوب .صفر نيست حالت كليصفر است اما سمت راست آن در ) 6(ي سمت چپ رابطه∇tρ ي پيوستگي كه قانون آمپر با رابطه بينيد مي ⋅ = −∂ ∂J0 مگر آنكه هم ناسازگار استtρ∂ ∂ =
رسد كه قانون اگر جريان پايا نباشد به نظر ميپس، . صفر استJ⋅∇ باشدپايااگر جريان فقط باشد يا. آمده است، استفاده كرد) 4(اش كه در رابطه ي توان از آن در شكل كنونيت و نميآمپر هم درست نيس
-قانون آمپر را ما براي جريان هاي پايا از قانون بيو. فهميدن منشاء اين ناسازگاري چندان دشوار نيستپس اگر جريان پايا . ساوار فقط براي جريان هاي پايا برقرار است–ساوار به دست آورديم و قانون بيو
.ايد انتطار داشت نتيجه درستي قانون آمپر را هم نب ساوار و در-قانون بيونباشد، بهره گيري از
2
فرض كنيد . توان ناسازگاري با بيماري قانون آمپر را براي جريان هاي ناپايا ديدبه گونه ي ديگري هم ميدر . ينمدار كمي خواهيم خازني را بار) 1( شكل برابر
بار خازن، شود، با افزايش زماني كه خازن باردار ميزن هم با زمان ميدان الكتريكي در بين صفحه هاي خا
ميدان ، از سيمجريان گذرنده. كندافرايش پيدا مياگر بخواهيم با استفاده از . كندمغناطيسي توليد مي
، بايد قانون آمپر اين ميدان معناطيسي را حساب كنيمي آمپر چيست؟ لقه ، از حencIبپرسيم جريان گذرنده
encIگذرد، يا ي آمپر مي جريان كل است كه از حلقهاگر بخواهيم دقيق تر بيان كنيم، جريان گذرنده از
ي آمپر سطح حلقهسطحي است كه مرزهاي آن
2S و نيز مرزهاي سطح1Sن خم مرزهاي سطح ي آمپر برگزينيم، ايحلقه) 1( را در شكل Cاگر خم. استencI همانا جرياني است كه از سيم مي گذرد1Sجريان گذرنده ازسطح . است I= . 2اما اگر سطحS را
گذرد و ناچاريم بپذيريم باشد، هيچ جرياني از اين سطح نمي Cي آمپرهينيم كه مرزهايش حلقسطحي برگز0encIكه ي آمپر مرزهاي آن بردن آمپر و گزينش سطحي كه حلقهبينيم كه در به كارپس مي! است=
-اين ابهام از آنجا ناشي مي. وديم با يك چنين دشواري روبرو نبدر مغنطوستاتيك. باشد، ابهام وجود دارد
، شودميانباشته ) در روي صفحه هاي خازن( شود كه ديگر مغنطوستاتيك نداريم؛ چون بارها در جايي توان نتيجه گرفت كه براي جريان هاي ناپايا گزاره ي از اين گفته مي. كندجريان در سيم با زمان تغيير مي
سطي بستگي دارد كه مرزهايش بياني گنگ و نارساست، چون به گزينه ي"ي آمپرگذرنده از حلقهجريان " .ي آمپر استحلقه
كسول نشان داد كه با افزودن م. است كه بايد صفر باشد ، اما نيست) 6(دشواري در سمت راست رابطه ي ي فاده از رابطهبا است. ان برداشتتوان اين ناسازگاري را از مياي به سمت راست قانون آمپر ميجمله
به صورت زير نوشت) 6(ي را در سمت راست رابطهJ⋅∇توان پيوستگي و قانون گوس مي)7(
0 0( )t t tρ ε ε∂ ∂ ∂⎛ ⎞∇ ⋅ = − = − ∇⋅ = −∇⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
EJ E
) كميت Jبه در قانون آمپر بينيم كه اگربنابراين ، مي )0 tε ∂ ∂E 6(ي اضافه كنيم سمت راست رابطه را ( رود و خواهيم داشتشود و اين ناسازگاري از بين ميصفر مي
)8( 0 0 0 t
μ μ ε ∂∇× = +
∂EB J
حاال روشن است كه . كه قانون آمپر تعميم يافته است)9( ( )0 0 0 0 0
0
( ) ( ) 0t t
μ ε μ ε μ∂ ⎛ ∂ ⎞⎛ ⎞∇ ⋅ ∇× = ∇⋅ + = ∇⋅ +∇ ⋅ = ∇ ⋅ −∇ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
E EB J J J J
)مكسول كميت )0 tε ∂ ∂E ناميدجريان جابه جايي را چكالي
C خم-حلقه ي آمپر
صفحه هاي خازن
C با مرز خم 2S و1S سطح هاي-1شكل
3
)10( 0d tε ∂
≡∂EJ
)كميتاين نام گذاري البته گمراه كننده است؛ چون )0 tε ∂ ∂E، اين كه در قانون آمپر به به جز J افزوده . اصال به جريان بستگي ندارد، ه استشد
شد و با زمان ثابت باEوقتي كه . دهديزي را در مغنطوستاتيك تغيير نميميمي در قانون آمپر چيك چنين تع×∇0μ تغيير نكند هنوز هم =B Jمغناطيس، آشكار سازي و ديدن در فرايند هاي معمولي الكترو. است
)(ي مكسول جمله )0 tε ∂ ∂E ( آسان نيست و به اين خاطر فاراده و ديگران در آزمايشگاه نتوانستند آن را امواج اما همانگونه كه خواهيم ديد ، اين جمله نقش مهمي در انتشار. ) را ببينيد2مثال ( دريابند
-كي القا ميي متغير، ميدان الكتريمانگونه كه ميدان مغناطيستوان تصور كرد كه همي. الكترومغناطيسي دارد
).قانون آمپر تعميم يافته( ميدان الكتريكي متغير هم ميدان مغناطيسي ايجاد مي كند ) قانون فاراده( كند براي كامل شدن اين بحث ، بگذاريد يك بار ديگر هم قانون آمپر را در شكل انتگرالي آن در نظر بگيريم و
شار الكتريكي كه از. را در نظر بگيريد) 2(ر شكل براي اين كا.منشاء جريان جابه جايي را بررسي كنيم گذرد عبارت است از مي2Sسطح
)11 ( 2 0
ES
Qd EAε
Φ = ⋅ = =∫ E a
در . مساحت صفحه ي خازن است Aكه در آن . ي باال از قانون گوس استفاده شده استرابطه
عبارت است ازجريان جابه جايي )12(
0
0 0
d d
E
I d dt
dt t
ε
ε ε
∂= ⋅ = ⋅
∂
∂ ∂= ⋅ = Φ
∂ ∂
∫ ∫
∫
EJ a a
E a
EΦ 2كه از سطح شار ميدان الكتريكي استSبه جاي) 11(ي حال اگر از رابطه. گذرد ميEΦي در رابطه جايگزين كنيم خواهيم داشت) 12()13(
0 00
Ed
Q dQIt t dt
ε εε
⎛ ⎞∂Φ ∂= = =⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
dQاما عبارت سمت راست، dtهمانا با جريان رسانش ، I 1كه از سطحSپس . برابر است ، مي گذرد 2S گذرنده از سطحdI درست با مقدار جريان جابه جايي1Sگيريم كه جريان گذرنده از سطح نتيجه ميم چنين ه .ي آمپر است يا حلقهCهمان خميكسان و 2S و1Sتوجه كنيد كه مرز سطح هاي. برابر است كه ميدان الكتريكي بين صفحه هاي خازن عبارت است ازتوجه كنيد
)14( 0 0
1 1 QEA
σε ε
= =
بين صفحه هاي خازن داريم دردرنتيجه، . مساحت صفحه ي خازن استA كه در آن
2S جريان جابه جايي گذرنده از سطح-2شكل
4
)15( 0 0
1 1E dQ It A dt Aε ε
∂= =
∂
توانيم به صورت زير بنويسيمرا مي) 8(ي ميم يافته، رابطه آمپر تعشكل انتگرالي قانون )16(
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 ( )
enc enc
enc E d
d I d I dt t
I I It
μ μ ε μ μ ε
μ μ ε μ
∂ ∂⎛ ⎞⋅ = + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂
= + Φ = +∂
∫ ∫ ∫EB l a E a
خازني با دو صفحه ي تخت دايره اي به : ميدان مغناطيسي در فضاي بين صفحه هاي خازن -1مثال گذرنده از Iدر مسير جريان) 3( برابر شكل aشعاع
در حالي كه خازن . يك سيم راست و دراز قرار دارد شود، ميدان مغناطيسي القايي را در وسطانباشته مي
r) rخازن ودر فاصله ي a< ( از مركز به دست . استsفاصله ي بين صفحه هاي خازن. آوريد
، عبارت است از)15(شود، جريان جابه جايي بنا به رابطه ي در مدت زماني كه خازن بار دار مي :حل)17(
0 2ˆd
I It A a
επ
∂= = =
∂EJ z
را در نظر بگيريد، آنگاه داريمrي آمپري به شعاعاگر حلقه )18(
22
0 0 02 2
20 0
2 2
2
ˆ2 2
encdI I rd B r I ra a
I r I rBra a
π μ μ π μπ
μ μπ π
⋅ = = = =
⇒ = ⇒ =
∫ B l
B φ
0جريان متناوب اگر -2مثال cos( )I I tω= ي گذرد و بر روي پوستهباز مغزي يك سيم هم محور
ميدان القايي فصل الكتروديناميك ديديم، 17 همان گونه كه در مثال . آن برمي گردداستوانه ايرساناي )19( ( )0 0 ˆsin
2I t n R rμ ω ωπ
=E z ) فصل الكتروديناميك را ببينيد17مثال . ( شودتوليد مي
. را حساب كنيدdJ چگالي جريان جابه جايي ):الف( . ، جريان جابه جايي كل را به دست آوريدdJ با انتگرال گيري از):ب(dIبا محاسبه ي نسبت ):پ( Iفرض كنيد قطر . ايسه كنيدن جابه جايي و جريان رسانشي را مق اهميت جريا
باشد، بسامدIي يك درصد جريان رسانشي به اندازهdIبراي اين كه. ميلي متر است2ي بيروني استوانهω جايي را كشف ن مسئله نشان مي دهد كه چرا فاراده نتوانست جريان جابه اي( بايد به چه بزرگي باشد؟
.)توان به طور معمول از آن چشم پوشي كرد، مگر آنكه بسامد بسيار باال باشدكند و اين كه چرا مي
s
a
I
خازن با صفحه هاي دايره -3شكل
5
)الف (: حل)20( ( )
20 0
0 0 ˆcos2dI t n R r
tμ ωε ε ω
π∂
= =∂EJ z
0چون cosI t Iω است بنابراين، =)21( ( )
20 0 ˆ2d I n R rμ ε ωπ
=J z ): ب( )22(
( )
( )
220 0
0 00 0
2 2 2 22 2
0 0 0 0
0
(2 ) ( )2
2 2 4 2
R a
d d
R
II d n R r r dr I r n R r n r dr
r r r RI n R n r I n R
μ ε ω π μ ε ωπ
μ ε ω μ ε ω
= ⋅ = = −
⎧ ⎫= − + =⎨ ⎬
⎩ ⎭
∫ ∫ ∫J a
2
2R n R−
2
2 20 0
4
4
R
IRμ ε ω
⎧ ⎫⎪ ⎪+⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
=
2 با استفاده از ):پ(0 0 1 cμ ε داريم=
)23( 22 2 2 20 0
24 4 2d dI R IR RI c I c
μ ε ω ω ω⎛ ⎞= = ⇒ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
310اگر mR 1 و =− 100dI I باشند، آنگاه = )24(
810
-3
10
1 2 3 10 m s 6 10 rad s2 10 10 5 10 m
10 Hz2
R cc R
ω ω
ωνπ
×= ⇒ = = = ×
×
⇒ = ≅
اين بسامد در ناحيه ي ريزموج قرار دارد و بسيار فراتر از بسامدهاي راديويي . مگاهرتز 410يا از مرتبه ي . است
به كار برديم، فرض كرديم كه جريان هنگامي كه ما قانون هاي كرشهوف را در مدار شامل خازن :نكته( )I tهيچ . باشددرست كامال تواندنميدانيم كه اين اما اينك مي. كندي قسمت هاي مدار شارش مي در همه
جريان جابه . وجود ندارد كه بتواند بين صفحه هاي خازن جريان پيدا كند"رسانشي"راهي براي جريان براي ، و بنابراينكند مي خازن بازيفضاي بين صفحه هاي را در " رسانشي"جايي نقش پيوستگي جريان
ه ديديم كه با باردار شدن خازن، در فصاي بين صفح1در مثال . برقراري قانون كرشهوف نقش كليدي داردناطيسي هم در اين و در نتيجه ، افزون بر ميدان الكتريكي ، ميدان مغآيدها جريان جابه جايي به وجود مي
. شودناحيه توليد مي ناطيسيل و بار مغدله هاي مكسو معا-2
توانيم اينك مي. نون آمپر را درمان كنيمبا شناساندن جريان جابه جايي، توانستيم بيماري قا 1 در بخش اين معادله ها به همراه قانون نيروي لورنتس. معادله هاي مكسول را در شكل نهايي آنها بنويسيم
6
)25( ( )q= + ×F E v B بار ديگر معادله هاي مكسول را در بگذاريد يك .تروديناميك كالسيك را در بر داردي الكندرونهي اهمه
زير بازنويسي كنيم جدول شكل ديفرانسيلي شكل انتگرالي نام قانون
قانون گوس )26(0
1enc
s
d Qε
⋅ =∫ E a 0
ρε
∇ ⋅ =E
0 قانون گوس در مغناطيس؟ )27(S
d⋅ =∫ B a 0∇⋅ =B
B قانون فاراده )28(
C
dddtΦ
⋅ = −∫ E l t
∂∇× = −
∂BE
تعميم يافتهقانون آمپر )29(0 0 0
Eenc
C
dd Idt
μ μ ε Φ⋅ = +∫ B l 0 0 0 t
μ μ ε ∂∇× = +
∂EB J
∇tρي پيوستگي توان رابطه حتي مي ⋅ = −∂ ∂J را كه بيان رياضي پايستگي بار است از اين رابطه ها به .ديورژانس بگيريم) 29(كافي است از دو طرف رابطه ي . دست آورد
فضاي تهي يك نوع تقارن درهاي مكسول معادلهفر باشند ، صJ و چگالي جريانρوقتي چگالي بار :گذارند را به نمايش ميزيبايي
)30(
0 0
0 0
t tμ ε
∇ ⋅ = ∇ ⋅ =∂ ∂
∇× = − ∇× =∂ ∂
E BB EE B
0 را با B و B را با Eاگر در اين رابطه ها 0μ ε− E به جفت جايگزين كنيم، جفت رابطه هاي سمت چپ با وجود چگالي بار در سمت B وE اين تقارن بين اما.شوندي سمت راست و برعكس تبديل مي هامعادله
انديشيدن به اين نكته كه چرا .رودر سمت راست قانون آمپر از بين ميراست قانون گوس و چگالي جريان د⋅∇0هاي متناظر درجمله =Bو t∇× = −∂ ∂E Bهمان گونه كه سمت . وسوسه انگيز است وجود ندارند
0ρراست قانون گوس ε∇ ⋅ =E س در مغناطيس شمه ي بار را دربر دارد، اگر قانون گوصفر نيست و چ⋅∇0به جاي اين كه هم =B0 باشد به صورت mμ ρ∇⋅ =B مي بود و قانون فاراده را مي توانستيم به
0به صورت) 28(جاي رابطه ي m tμ∇× = − −∂ ∂E K B بنويسيم و mρ و "بار معناطيسي" را چگالي mK ر مغناطيسي هم همانند بار الكتريگي پايسته مي شد ونگاه با بناميم، آ"جريان بار مغناطيسي" را چگالي
m بنويسيم توانستيم مي m tρ∇⋅ = −∂ ∂K . قانون : بگذاريد به گونه ي ديگري اين نكته را بيان كنيم سطح آن از يك سطح بسته با مقدار بار محصور درگويد شار الكتريكي گذرندهتيك ميگوس در الكتروستا
) چال (از و به بار منفيآغ) چشمه( از بار مثبت ) 4(خط هاي ميدان الكتريكي همانند شكل . متناسب است نمايدت زير وسوسه انگيز مينوشتن قانون گوس براي مغناطيس به صور. شوندمنتهي مي
)31( 0
m
S
Qdμ
⋅ =∫ B a
با وجود پژوهش هاي . محصور در سطح گوس است) مغناطيسييك قطبي ( بار معناطيسي mQكه در آن
7
. تك قطبي مغناطيسي هركز ديده نشده است، جدي0mQبنابراين، است و قانون گوس براي مغناطيس به =
آيدصورت زير در مي)32( 0B
S
dΦ = ⋅ =∫ B a
مغناطيسي اين بدان معني است كه تعداد خط هاي ميدانكه به سطح گوس وارد مي شوند با تعداد خط هايي كه از
براييعني . سطح كوس خارج مي شوند برابر است
افزون بر اين، خط هاي ميدان بايد پيوسته باشند، بدون نقاط آغاز و . مغناطيس چشمه و چال وجود ندارد) 5(در حقيقت، همان گونه كه در شكل . پايان باشند
ي آهن رباي ميله اي نشان داده شده است، خط برادر هاي ميدان كه از قطب شمال آغاز مي شوند و
يابند، دو بار به فضاي بيرون آهن ربا انتشار مي .گردند و بم حلقه ي بسته مي سازندآهن ربا برمي
و جريان mρتا جايي كه مي دانيم بار مغناطيسي همه جا صفر است و بنابراين ميدان mKمغناطيسي
. از وزن يكساني برخوردار نيستندE وBهاي وجود) بار الكتريكي( چشمه هاي مانا Eبراي ميدان
به ظاهر در آفرينش نيازي به وجود يك قطبي . يك چنين چشمه اي موجود نيستBدارد اما براي ميدان، نبود تك قطبي مغناطيسي سرافكندگي در نظريه ي كوانتومي الكتروديناميك. مغناطيسي انديشيده نشده است
چرا بار الكتريكي ديراك نشان داد كه اگر تك قطبي مغناطيسي وجود مي داشت آنگاه توجيه اين كه . است .شدكوانتيده است نيز ميسر مي
يكي از دستاوردهاي مهم معادله هاي مكسول پيش بيني وجود امواج الكترومغناطيسي است كه با سرعت 0نور 01c μ ε=دليل به وجود آمدن امواج الكترومغناطيسي اين است كه ميدان الكتريكي . انتشار مي يابند
كنند و جفت شدگي اين دو ميدان يدان مغناطيسي و ميدان مغناطيسي متغير ميدان الكتريكي توليد ميمتغير، م .اين پيش بيني را تاييد كرد هرتز 1887در سال . انجامده توليد امواج الكترومغناطيسي ميب
فرمولبندي پتانسيلي الكتروديناميك-3** ×∇0در الكتروستاتيك =Eبه ما اجازه مي داد تا ميدان الكتريكي E را به صورت گراديان پتانسيل =V:اسكالر بنويسيم −∇E . 0در الكتروديناميك ديگر اين كار شدني نيست؛ چون∇× ≠E نكاه ( است⋅∇0 در الكتروديناميك داريماما هنوز هم)). 28(ي كنيد به رابطه =Bو بنابراين مي توانيم بنويسيم
)33( = ∇×B A
قانون گوس در الكتروستاتيك-4شكل
قانون گوس در مغناطيس-5شكل
8
كه اگر در قانون فاراده قرار دهيم خواهيم داشت)34( ( ) 0
t t∂ ∂⎛ ⎞∇× = − ∇× ⇒ ∇× + =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
AE A E
+tدر اين رابطه كميتي ، ∂ ∂E A ،ه برعكس وجود دارد كEبنابراين ، اين كميت را . اش صفر است كرل يك پتانسيل اسكالر نوشتتوان برحسب گراديان مي
)35( Vt
∂+ = −∇∂AE
داريمA وVپس ، برحسب پتانسيل هاي)36( V
t∂
= −∇ −∂AE
∂0tكه در حالت استاتيك ، يعني ∂ =Aآيد به شكل سابق در مي. ) 27(هاي معادله( هاي همگن مكسول را ود معادله، خود به خ)36(و ) 33(هاي فرمول بندي پتانسيلي ، رابطه
به چه )) 29(ي معادله( ر تعميم يافته و قانون آمپ) ) 26(ي رابطه( قانون هاي گوس . كنندراضي مي)) 28(و قرار دهيم، خواهيم داشت) 27(ي را در قانون گوس، رابطه) 36(ي اگر رابطهآيند؟صورت در مي
)37( ( )2
0
1Vt
ρε
∂∇ + ∇⋅ = −
∂A
.شودي پواسون ميكه جايگزين معادله آيدقرار دهيم، به دست مي) 29(ي معادلهرا در قانون آمپر تعميم يافته،) 36(و ) 33(هاي همچنين اگر رابطه
)38( ( )2
0 0 0 0 0 2
Vt t
μ μ ε μ ε∂ ∂⎛ ⎞∇× ∇× = − ∇ −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠AA J
)ي باال را با استفاده از اتحاد رابطه ) ( ) 2∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇A A Aجايي جمله ها به صورت زير و جابه نوشت
)39( 22
0 0 0 0 02
A VA At t
μ ε μ ε μ∂ ∂⎛ ⎞∇ − −∇ ∇⋅ + = −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠J
.ي مكسول را دربردارندهاي معادله هاي آگاهيهمه) 39(و ) 38(هاي رابطه
توزيع بار و جريان مربوط به اين پتانسيل را . پتانسيل هاي زير داده شده اند:ريان توزيع بار و ج-3مثال .بيابيد
)40( 2
0
1 ˆ( , ) 0 ; ( , )4
q tV t trπε
= = −r A r r
: حل)41(
20
1 ˆ ; 04
qVt rπε
∂= −∇ − = = ∇× =
∂AE r B A
چنين هم. جايگزيده در مبداء مختصات استqدهد كه اين ميدان مربوط به بار نشان ميEپاسخ براي ميدان براي توصيف) 40(ي در واقع پتانسيل هاي رابطه. استB=0 بايد در مكان خود ساكن باشد، چونqبار
9
4)0ي معمول گزينه. اين چنين اندكي عجيب استي بار و جريانيك آرايه )V q rπε=0 و=Aدر . است-توان پتانسيلمغناطيسي مي. براي توصيف يك ميدان الكتريكي . گزينش پتانسيل يگانه نيستالكتروديناميك
اگر . انجامندي الكتريكي و مغناطيسي ميي اين پتانسيل ها به همان ميدان هاهمه. هاي نتفاوتي نوشتما خود را . وجود داردايگزينش پيمانهبخواهيم به زباني فني تر سخن بگوييم، در الكتروديناميك آزادي
.درگير اين بحث نخواهيم كرد
0V فرض كنيد : B وE ميدان هاي-4مثال 0 و=ˆsin( )A A x tκ ω= − j 0 اند و, ,Aκ ω كميت هاي
چه . را به دست آوريد و نشان دهيد كه در معادله هاي مكسول صدق مي كنندB وEميدان هاي. ثابت اند وجود داشته باشد؟κ وωشرطي بايد بين
:حل)42( )43(
اين دو برقرارند)44( )45(
پس برقرار است )46( )47(
( )
{ }
{ }
{ }
0 0
0 0
0 0
0
20 0
ˆ ˆcos( ) cos( )
ˆ ˆsin( ) cos( )
0 ; 0
ˆ ˆcos( ) sin( )
ˆsin( )
ˆ cos( ) sin(
V A x t A x tt
A x t A x tx
A x t A x tx
A x tt
t
A x t Ax
ω κ ω ω κ ω
κ ω κ κ ω
ω κ ω ωκ κ ω
ωκ κ ω
κ κ ω κ
∂= −∇ − = − − − = −
∂∂
= ∇× = − = −∂
⇒ ∇⋅ = ∇ ⋅ =∂
∇× = − = − −∂
∂− = − −∂
∂⇒ ∇× = −
∂∂
∇× = − − =∂
AE j j
B A k k
E B
E k k
B k
BE
B j
20
ˆ)
ˆsin( )
x t
A x tt
κ ω
ω κ ω
−
∂= −
∂
j
E j
2شود كه اگرديده مي) 47(و ) 46(هاي از رابطه 20 0κ μ ε ω=يا cω κ= ) 2چون
0 01c μ ε= ( آنگاه داريم )48(
0 0 tμ ε ∂
∇× =∂EB
. كنندي مكسول صدق مي در هر چهار معادلهB وEو امواج الكترومغناطيسي - 4 ي موجمعادله 1-4
ي الكتريسيته ي آگاهي هاي ما دربارههمهاين معادله ها . را به دست آورديم معادله هاي مكسول2در بخش . ومغناطيس را دربر دارند
0ρ (اگر خود را به ناحيه اي از فضا محدود كنيم كه در آن بار و چريان وجود نداشته باشد ، ) J=0 و=
10
آيندر اين ناحيه به صورت زير در ميمعادله هاي مكسول د)49( )50( 0 0
(1) (3)
(2) (4)
0
0
t
tμ ε
∂∇ ⋅ = ∇× = −
∂∂
∇⋅ = ∇× =∂
BE E
EB B
اما همان گونه كه پيداست، اين معادله ها . اندB وEي اول براي ميدان هايكه معادله هاي ديفرانسيل مرتبه نسبت به Bبه بيان ديگر تغيير. ظاهر شده اندB وEهردوي) 50(و) 49(ي يعني در رابطه. شده اندجفت
. كنند رفتار مي ......Bي توليدچشمههمانند نسبت به زمان E و تغييرEاي براي توليدزمان همانند چشمه . استB وE اين جفت شدگي ميدان هاي رفتارهدف اين بخش فهميدن
را ) 4(و) 3(معادله هاي كرلبراي اين كار. ها را از هم بازگشود و ناجفت شده كردتوان اين معادلهمي)با استفاده از اتحاد برداري. حساب كنيد ) ( ) 2∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇A A A .خواهيم داشت:
)51( )52(
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
0 0 2
20 0
2
0 0 0 0 2
t
t t
t
t t
μ ε
μ ε
μ ε μ ε
∂⎛ ⎞∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = ∇× −⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂ ∂
= − ∇× = −∂ ∂
∂⎛ ⎞∇× ∇× = ∇ ∇⋅ −∇ = ∇×⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂ ∂
= ∇× = −∂ ∂
BE E E
EB
EB B B
BE
0ρايم كهاحيه اي محدود كردهچون خود را به ن ⋅∇0 اند بنابراين، J=0 و= =E0و∇⋅ =B و تر توان به صورت زير نوشترا مي) 52(و ) 51(نتيجه معادله هاي
)53( )54(
22
0 0 2
22
0 0 2
t
t
μ ε
μ ε
∂∇ =
∂∂
∇ =∂
EE
BB
هزينه اي كه براي آن پرداختيم اين است كه اينگ به جاي معادله اي ديفرانسيل .ها جفت نشده اند اين معادله . ، آنها از مرتبه ي دوم اندمرتبه اول
روشن است كه يلفته هاي ما . مي پردازيم) 53(ي شبيه هم اند و ما نخست به معادله) 54(و ) 53(معادله هاي x فقط به Eبراي سادگي، فرض مي كنيم كه ميدان. هم درست اندBي معادله ي مربوط به ميداندر باره
2 (آيدبه صورت زير در مي) 53(ي در اين صورت معادله. بستگي داردtو0 0 1 cμ ε =(
)55( 2 22
2 2 0E Ect x
∂ ∂− =
∂ ∂
حالت ) 55(ي رابطه. دست سخن بگوييمي معادله هاي از اين به جاست كه در اينجا اندكي عمومي تر در باره خاصي از شكل عمومي زير است
11
)56( 2 22
2 2 0f fvt x
∂ ∂− =
∂ ∂
ما از جزييات ( آن به صورت زير باشد، در اين معادله صدق مي كند ) آرگومان(ي شناسه تابعي كه هر )ستدر سطح اين نوشته پرداختن به آن الزم ني. كنيمرياضي اين ادعا چشم پوشي مي
)57( ( )f f x v t= ± uفرض كنيد. اثبات آن ساده است x v t= ) و ± )f f u= . اي داريمبا استفاده از قاعده ي زنجيره
)58( )59(
2 2
2 2
(1)f f u f fx u x u u
f f f u f fx x x x u x u u u
∂ ∂ ∂ ∂ ∂= = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
:ق هاي زماني به اين روشني نيستندمشت)60( )61(
2 22
2 2
f u f fvt t u u
f f u f f fv v v vt t t t u u u u u
∂ ∂ ∂ ∂= = ±
∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= = ± = ± ± =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
آيدحايگزين كنيم به دست مي) 56(ها را در اگر اين رابطه)62( 2 2 2 2
2 2 22 2 2 2 0f f f fv v v
t x u u∂ ∂ ∂ ∂
− = − =∂ ∂ ∂ ∂
)هر تابعي به صورتكه نشان مي دهد )f f x v t= حال بايد ببينيم معني اين .است) 56(ي پاسخ معادله±
)نخست . پاسخ چيست )f x v t− 1 را در نظر بگيريد و براي سادگيv نيازي به نگراني در ( بپنداريد =0tفرض كنيد در زمان .) يكاها نيستباره هم چنين تصور كنيد كه. است) 6( همانند شكل f شكل تابع=
5xري اين تابع دبيشينه 0t است؛ يعني براي = = 5x دربيشينه پرسيم شكل اين تابع در مي. است=1tزمان : چگونه خواهد بود؟ پاسخ روشن است=
شكل تابع تغيير نخواهد كرد اما به اندازه ي يك واحد . جا خواهد شد به سمت راست جابهxدر روي محور
بيشينه هنگامي ظاهر خواهد شد براي مثال، هنوز هم يعني براي بيشينه ي تابع . باشد5كه شناسه ي تابع 5xبايد داشته باشيم vt− 1tبراي . = 1v و با= =
1tمي بينيم كه در زمان 6x بيشينه ي تابع در = ي نقاط ديگر خم هم به همين اندازه همه. قرار دارد=)تابع ) 7( شكل .جا مي شوندجابه )f x v t−1 را در زمانt با سپري شدن زمان اين . نشان مي دهد=
)به بيان ديگر. كندبه سمت راست سوق پيدا مي xشكل هم در جهت مثبت محور )f x v t− موجي راتوان ديد كه به همين ترتيب مي . حركت مي كندv با سرعتxدهد كه در راستاي مثبت محورنشان مي
)پاسخ ديگر، يعني )f x v t+نماينده ي موجي است كه در جهت ديگر با سرعت vحركت مي كند .
f
x
0t =
5x = 0t در زمانf شكل تابع-6شكل =
12
5x، براي مثال vt+ 1t در زمان= يعني =4x ي تابع پس از يك واحد زماني به بيشينه . =4x ) 8( اين وضعيت در شكل . منتقل مي شود=
)پس، . نشان داده شده است )f x v t+نده ي نماي x در جهت منفي محورvموجي است كه با سرعت
.حركت مي كند ي معادلهبه طور كلي: جمع بندي كنيم
)63( 2 22
2 2 0f fvt x
∂ ∂− =
∂ ∂
) از نوع يپاسخ هاي )f x v t± با ( )f u دلخواه دهند كه با اين پاسخ ها موج هايي را نشان مي. دارد
xپاسخ هاي با. حركت مي كنندvسرعت vt− موج x بايهايي اند كه در جهت مثبت وپاسخ ها vt+ در
.كنند حركت ميx محور منقيجهت !رويمشايد متوجه شده باشيد كه به كدام سوي مي
، به دست آورديمEبراي ميداناي كه معادله
، c با سرعت نور،xي موج است و موجي را نشان مي دهد كه در راستاي محوريك معادله ) 55( ي رابطهدر واقع ، واقعيت اين كه نور . وج الكترومعناطيسي استيك چنين بررسي نشان داد كه نور م. حركت مي كند
مكسول . با ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي خويشاوندي دارد، نخست از همين نوع محاسبه ها آشكار شدچنان كنند، ي كه ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي را توصيف مي چهار معادله اتوان مينشان داد كه
.يابداين موج با سرعت نور انتشار مي .ي موج تبديل شودادلهبازنويسي كرد كه به مع را با اندازه گيري دقيق وثژگي هاي استاتيك ميدان هاي 0μ و0εتوجه كنيد كه در زمان مكسول، كميت هاي
فهميدن اين كه . در فرمول خودالقا ظاهر شدند0μ در فرمول خازن و0ε. الكتريكي و مغناطيسي تعيين كردند0هم توصيف مي كنند و اين كه اين كميت ها رفتارميدان هاي ديناميكي را 01c μ ε= سرعت نوراست، در
با اين . عدم قطعيت وجود داشتc و0μ و0ε در آزن زمان هنوز در مورد مقادير.آن زمان شوك آورد بود بنويسد1864همين يافته مكسول را واداشت كه در سال وجود ،
كه دهد تا نتيجه بگيريم استاين سرعت به اندازه اي به سرعت نور نزديك است كه دليل قوي به دست مي" است در شكل امواجاختالل هاي الكترومغناطيسي) ازجمله گرماي تابشي و تابش هاي ديگر( خود نور هم
. "يابد در ميدان هاي الكترومغناطيسي بر اساس قانون هاي االكترومغناطيس انتشار ميكه به اين خاطر است كه اين چهار معادله به نام معادله هاي مكسول ناميده شده اند
f
x
) شكل تابع-7شكل )f x vt−1 در زمانt =
1t =
6x =
f
x
) شكل تابع-8شكل )f x vt+ 1 در زمانt =
1t =
4x =
13
موج تخت2-4 عمومي ترين شكل آنها به صورت زير است. اندموج هاي تختگروهي از موج هاي مهم و سودمند،
)64( )65(
0 0
0 0
sin( ) sin( )
sin( ) sin( )x y z
x y z
t k x k y k z t
t k x k y k z t
ω ω
ω ω
= ⋅ − = + + −
= ⋅ − = + + −
E E k r E
B B k r B
اين دامنه ها بردارند و ما توجه كنيد كه . دامنه هاي ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي اند0Bو0Eكميت هايˆ بردار.خواهيم كردبه دست آنها را مهمبرخي ويژگي هاي ˆ ˆx y zk k k= + +k x y z "نام دارد و "بردار موج
2ي آن ، انداره 2 2x y zk k k k= + ˆيبردار يكه. استعدد موج، + k=k kعدد . جهت انتشار موج است
ωپيشتر نشان داديم كه موج هاي الكترومعناطيسي با توابعي به شكل . اي موج است بسامد زاويه( )f x ct−اگر آن را به سه بعد تعميم دهيم بايد بنويسيم. شوند داده ميˆ( )f c t−r k . يعني مكانr با
cˆسرعت kتوان نشان داد كه عدد موجحاال به سادگي مي. تغيير مي كندkاي و بسامد زاويه ω به هم .مربوط اند
)66( ˆt t
kωω ⎛ ⎞⋅ − = ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠k r k r k
)ˆ بايد به صورتt وrوج به ماز اين رابطه و با توجه به اين كه وابستگي )f c t−r kآموزد باشد، به ما مي با سرعت نور به هم مربوط اندω وkكه
)67( ckω = است xفرض كنيد كه بردار موج در راستاي محور: اجازه دهيد بردار موج را ساده تر كنيم براي لحظه اي
k=kˆو بنويسيم x .آيندبنابراين، موج هاي تخت به صورت زير در مي )68(
0 0sin( ) ; sin( )k x t k x tω ω= − = −E E B B 0t در زماناگر به تغييرات فضايي اين موج ها توجه كنيم، روشن است كه داريم=
)69( 0 0sin( ) ; sin( )k x k x= =E E B B
0xاين توابع در =،2x kπ= ،4x kπ= 2روشن است كه. صفر اند..... و kπاس طول خاصي مقي-طول موج بما مي گويد كه در اين مقياس طول موج خود را تكرار مي. شود ناميده ميλ طول موجاست و
. كند0xغييرات زماني موج در مكان خاصي مانندحاال به ت و ) 64( در اين صورت معادله هاي . توجه كنيد=
آيندصورت زير در مي به )65()70(
0 0sin( ) ; sin( )t tω ω= − = −E E B B 0tبه ازاي =، 2t π ω=، 4t π ω=2. اين توابع صفر اند.... وT π ω≡ي موج است كه رابطهي دوره
نشان داده f ياνوارون دوره بسامد موج نام دارد و با. اي استد زاويهي نوسان و بساممعمول بين دوره شودمي
)71( 1f T Tν ω= = = شود كه بين بسامد، عدد موج ، بسامد زاويه اي و سرعت نور رابطه هاي زير برقرار اندديده مي
14
)72( 2 ; 2 ; ;k ck cω πν π λ ω νλ= = = = شرط هاي پاياني 3-4
مي توان به صورت معادله هاي از بار و جريانهاي مكسول را در فضاي تهيمعادله دو تا از ديديم كه ) 65(و ) 64(هاي موج ، رابطه هاي پاسخ معادله. انجام شد) 54(و ) 53(هاي چيزي كه با معادله. موج درآورد
. مكسول هم صدق كنند ديگرمعادله هاي دو يد در معادله هاي موج صدق كنند ، بايد در عالوه بر اين كه با و Eنماينده ي ميدان هاي الكتريكي ي موج صدق كنند، اما توان نوشت كه در معادلهتوابع زيادي را مي
,0(و جريان در فضاي تهي از بار Bمغناطيسي و 0ρ= =J (نباشند. ⋅∇0 هاي معادله بايد درB وE مربوط به ، توابع موجبنابراين، در گام نخست =E0 و∇⋅ =B صدق
ي را در اين دو معادله) 65(و ) 64(ي است؟ پاسخ هاي موج، توابع تحت چه شرايطي اين كار شدن. كنند,0براي حالتي كه(مكسول 0ρ= =Jخواهيم داشت. جايگزين كنيد) اند
)73(
( )( ) ( )( ) ( )
0
0, 0, 0,
0
sin
cos
cos
x y z
x x x y z z x y z
x y z
k x k y k z t
k E k E k E k x k y k z t
k x k y k z t
ω
ω
ω
⎡ ⎤∇ ⋅ = ∇ ⋅ + + −⎣ ⎦
= + + + + −
= ⋅ + + −
E E
k E
داريمB⋅∇به همين ترتيب براي )74( ( ) ( )0 cos x y zk x k y k z tω∇⋅ = ⋅ + + −B k B
ي مكانها و زمان ها برقرار باشد اين است كه داشته باشيمتنها راهي كه اين دو رابطه براي همه)75(
0 00 ; 0⋅ = ⋅ =k E k B .ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي تابش بر جهت انتشار آن عمود اندمعني اين اين شرط ها آن است كه
:كسول را در نظر بگيريدهاي كرل ميدان ماينك يكي از معادله)76(
0 0 2
1t c t
μ ε ∂ ∂∇× = =
∂ ∂E EB
∂tدر سمت راست. برهم عمود اندB وEاين معادله مي گويد كه ∂Eداريم كه جهتش همان جهت E عمود B داريم كه بر بردارB×∇در سمت چپ.) كند بردار جهت بردار را عوض نميتغيير زماني(است دان هاي مي: عمود است و مي توان گفتB برEپس). كرل هر بردار همواره بر خود بردار عمود است(است
:را حساب كرد) 76(ي توان دو طرف معادله مي.تابش برهم همود اندالكتريكي و مغناطيسي )77(
[ ]0 02 2 2
0 02
1 1 1sin( ( ) cos( )
1 ( ) cos( ) cos( )
t tc t c t c
kck t tc c
ω ω ω
ω ω
∂ ∂= ⋅ − = − ⋅ −
∂ ∂
= − ⋅ − = − ⋅ −
E E k r E k r
E k r E k r
]و براي سمت راست ] ( )0 0sin( ) sin x y zt k x k y k z tω ω⎡ ⎤∇× = ∇× ⋅ − = ∇× + + −⎣ ⎦B B k r B . )اما اگر از اتحاد . آيداين كار به نظر پيچيده و طوالني مي ) ( )( )f f f∇× = ∇× + ∇ ×F F F استفاده
15
F≡0قرار دهيمكنيم و Bو ( )sinf tω= ⋅ −k r 0 ، آنگاه∇× =F0چون( شود ميBو !) ثابت است خواهيم داشت
)77(
[ ] ( )( )
( ) ( )( )
0 0
0
0
0
sin( ) sin
sin
ˆ ˆ ˆ cos
cos( )
x y z
x y z
x y z x y z
t k x k y k z t
k x k y k z t
k k k k x k y k z t
t
ω ω
ω
ω
ω
⎡ ⎤∇× = ∇× ⋅ − = ∇× + + −⎣ ⎦⎡ ⎤= ∇ + + − ×⎣ ⎦
⎡ ⎤= + + + + − ×⎣ ⎦= × ⋅ −
B B k r B
B
x y z B
k B k r
گيريم كهبنابراين، نتيجه مي )78(
( ) ( ) ( )0 02
0 0
1 cos cos
ˆ( )
kt tc t c
c
ω ω∂∇× = ⇒ × ⋅ − = − ⋅ −
∂⇒ = − ×
EB k B k r E k r
E k B
را حساب كنيم خواهيم داشت) 78(ي اگر اندازه ي دو طرف رابطه) 1: (در اين نتيجه دو نكته وجود دارد)79(
0 0 0 0ˆ ˆc c c= − × = =E k B k B B
ˆدر تساوي سوم . عمود است0B برk̂) 75(ي تساوي دوم درست است ؛ چون بنا به رابطه 1=k قرار ه دامنه هاي ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي تابش با هم متناسب پس مي توان نتيجه گرفت ك. داديم
.ست ، اc، ضريب تناسب بين آنها سرعت نورSIاند و در يكاهاي 0مي توان نتيجه گرفت كه) 78(ي از رابطه) 2( 0×E B،موازي جهت انتشار موج k̂در نتيجه، همان . ، است
E×طور كه به زودي خواهيم ديد، Bهم موازي k̂خواهد شد و ×E B مفهوم فيزيكي بسيار مهمي را دربر 0دهيم نشان براي اين كه . دهد و شارس انرژي تابش را نشان ميدارد 0×E Bبا k̂ موازي است آن را
حساب مي كنيم )80(
( ) ( )
( )
0 0 0 0 0 0
22 2
0 0 0 0 0 0 00
ˆ ˆ
1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
c c
c c cc c
× = − × × = × ×
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⋅ − ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
E B k B B B k B
k B B B k B k B k E k E
)اددر نوشتن سطر دوم از اتح ) ( ) ( )× × = ⋅ − ⋅a b c b a c c a bگيريم كه پس، نتيجه مي. استفاده شد: 0 0×E Bانتشار موج، جهت با k̂موازي است ،
ي كه در باره ي موج هاي الكترومغناطيسي آموختيم درزير يك بار ديگر بيان مي كنيماچهار نكته0 :نتشار موج عمودنددامنه ها به جهت ا •
ˆ 0⋅ =k E0 وˆ 0⋅ =k B.
0: دامنه ها برهم عمودند • 0 0⋅ =E B
0: ضريب تناسب سرعت نور است SIدر يكاهاي . ي دامنه ها با هم متناسب انداندازه • 0c=E B
• ×E B ،با جهت انتشار موج k̂موازي است ،
. با اين وجود، هنوز آزادي هاي زيادي در باره ي دامنه ها وجود دارد. اين شرط ها مهم و محدود كننده اند
16
. توصيف مي شوندحالت قطبشي تابشاين آزادي ها با رومغناطيسي نشان داده شده يك موج الكت) 9(در شكل
آن Eميدان. يابد انتشار مي+xاست كه در راستاي اين . است+z در راستايB و ميدان+yدر راستاي
هر خت است؛ چون در هر لحظهنمونه اي از موج ت در صفخه اي كه بر جهت انتشار عمود B و Eدوي
عرضي، اين موج افزون بر آن. باشد، يكنواخت اند. است؛ چون هر دو ميدان بر جهت انتشار عمود اند
E×جهت انتشار در راستاي Bاست . ي ميدان هايما در باال نشان داديم كه اندازه ي دامنه
اين كار را با استفاده از معادله هاي مكسول و اتحادهاي برداري و در . الكتريكي و مغناطيسي متناسب انددر سراسر اين درسنامه تا جايي كه شدني بود همواره كوشيديم شكل . شكل ديفرانسيلي انجام داديم
در اينجا هم به جاست كه با استفاده از شكل انتگرالي . فرانسيلي و انتگرالي را به موازات هم پيش ببريمدي ميدان ها را ي بين دامنهمعادله هاي مكسول رابطهي براي اين كار حلقه. يك بار ديگر حساب كنيم
-را در نظر بگيريد كه در صفحه) 10(مستطيل شكل
، ضلع xضلع سمت چپ حلقه در. قرار داردxyيxدرسمت راست x+ Δضلع پايين در ، y و ضلع yبااليي آن در y+ Δي عمود بردار يكه. قرار دارند
ˆˆ: فرض كنيد+zبر سطح حلقه را در راستاي =n k . با توجه به قانون فاراده
)81( S
dd ddt
⋅ = − ⋅∫ ∫E l B a
مي توان سمت چپ آن را به صورت زير نوشت )82(
( ) ( ) ( ) ( )
( )
y y y y
y
d E x x y E x y E x x E x y
Ex y
x
⎡ ⎤⋅ = + Δ Δ − Δ = + Δ − Δ⎣ ⎦∂
= Δ Δ∂
∫ E l
در اينجا از بسط زير استفاده كرديم)83( ( ) ( ) y
y y
EE x x E x x
x∂
+ Δ = + Δ + ⋅⋅⋅∂
عبارت است از) 81(ي آهنگ تغيير شار مغناطيسي در سمت راست رابطه
)84( ( )z
S
Bd d x ydt t
∂⎛ ⎞− ⋅ = − Δ Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∫ B a
موج الكترومغناطيسي تخت-9شكل
E تغييرات فضايي ميدان الكتريكي -10شكل
17
xو تقسيم آنها بر مساحت،) 82(و ) 82(ي برابر ي اين دو رابطهاز yΔ Δخواهيم داشت ، )85( y z
E Bx t
∂ ∂= −
∂ ∂
دامنه ميدان هاي الكتريكي و شرط دوم براي
( مكسول -مغناطيسي را مي توان از قانون آمپر :به دست آورد) تعميم يافتهقانون آمپر
)86( 0 0
S
dd ddt
μ ε⋅ = ⋅∫ ∫B l E a
را در نظر بگيريد گه ئر ) 11(ي مستطيل شكل حلقه ي عمود بر آن قرار دارد و بردار يكهxzصفحه ي
ˆˆ: است+yدر راستاي =n j.نتگرال خط ميدان ا را مي توان) 86(ي مغناطيسي، سمت راست رابطه
به صورت زير نوشت )87(
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )z z z z
z
d B x z B x x z B x B x x z
B x zx
⋅ = Δ − + Δ Δ = − + Δ Δ
∂⎛ ⎞= − Δ Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
∫ B l
عبارت است از) 86(ي و سمت راست رابطه)88(
( )0 0yE
x zt
μ ε∂⎛ ⎞
Δ Δ⎜ ⎟∂⎝ ⎠
:كيريم ار برابري اين دو رابطه نتيجه مي)89(
0 0yz
EBx t
μ ε∂⎛ ⎞∂
− = ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
ي ميدان مغناطيسي متغير با مكان توليد دهد كه ميدان الكتريكي متغير با زمان به وسيلهاين نتيجه نشان ميدر كتريكي و مغناطيسي التوان نشان داد كه هر دو ميدان مي) 89(و ) 85(هاي با استفاده از رابطه. شده است
براي اين كه بتوانيم اين گزاره را ثابت كنيم بايد يك بار ديگر از . كننددي صدق مييك بعي موج معادله اشتخواهيم د. مشتق بگيريمtنسبت به) 89(ي و يك بار ديگر هم از رابطهxنسبت به) 85 (يرابطه
)٩٠(
2 2
0 0 0 02 2y y yz z
E E EB Bx x t t x t t t
μ ε μ ε∂ ∂ ∂⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = − − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
مشتق بگيريم، به tنسبت به) 85(ي و از رابطxيك بار ديگر نسبت به) 89(ي همين ترتيب اگر از رابطهبه آيددست مي
)91( 2 2
0 0 0 0 0 0 0 02 2y yz z z
E EB B Bx x t t x t t t
μ ε μ ε μ ε μ ε∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞= − = − = − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B تغييرات فضايي ميدان مغناطيسي-11شكل
18
شان مي دهند كه ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي در معادله ي موج يك بعدي ن) 91(و ) 90(هاي رابطه توان به صورت زير خالصه كرداين نتيجه ها را مي. كنندصدق مي
)92( 2 2
0 02 2
( , )0
( , )y
z
E x tB x tx t
μ ε⎛ ⎞⎧ ⎫∂ ∂
− =⎨ ⎬⎜ ⎟∂ ∂ ⎩ ⎭⎝ ⎠
ي موج يك بعدي به صورت زير استبه خاطر بياوريد كه معادله)93( 2 2
2 2 2
1 ( , ) 0x tx v t
ψ⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
)ر آنكه د , )x tψ تابع موج و vشود كهبنابراين، به روشني ديده مي. سرعت موج اندyEو zB در كنند و ي موج يك بعدي صدق ميمعادله
سرعت آنها8
0 01 2.997 10 m sv c μ ε= ≡ = × -بنابراين، يك بار ديگر هم نتيجه مي. است
. گيريم كه نور موج الكترومغناطيسي استمغناطيسي طيف امواج الكترو) 12(در شكل
.نشان داده شده استهاي ي موج نمونه اي از معادلهمعادله
خطي بودن به اين . ديفرانسيل خطي است)1 معني است كه اگر , )x tψ2 و ( , )x tψ ي موج باشند، آنگاه پاسخ هاي معادله
1 2( , ) ( , )x t x tψ ψ+ي موج هم در معادلهمعني اين حرف اين است كه . كندصدق مي
امواج الكترومغناطيسي از اصل برنهش عبارت است ازي موج يك بعدي همانگونه كه پيش تر نشان داديم، يك پاسخ ممكن معادله. كنندپيروي مي
)94( )95(
0
0
ˆ ˆ( , ) cos( )ˆ ˆ( , ) cos( )
y
z
E x t E kx t
B x t B kx t
ω
ω
= = −
= = −
E j j
B k k
.يابند در فضاي تهي اين امواج با سرعت نور انتشار مي. اند0B و0Eي آنها و دامنهاين ميدان ها سينوسياز اين شكل پيداست كه . داده شده استرفتار سرشتي امواج الكترومغناطيسي سينوسي نشان) 13(در شكل
.) زمان به بيشينه و كمينه مقدار خود مي رسنديعني به طور هم( فاز اند همواره همB وEميدان هاي. كنيماستفاده مي) 88(و ) 84(هاي اي به دست آوريم، از رابطه رابطه0B و0Eهايبراي اين كه بين دامنه
داريم)96(
0 0sin( ) ; sin( )y zE BkE kx t B kx tx t
ω ω ω∂ ∂
= − − = −∂ ∂
طيف امواج الكترومغناطيسي-12شكل
19
0كه نشان مي دهد 0E k Bω=يا )97( 0
0
E cB k
ω= =
و ) 95(و ) 94 (با استفاده از رابطه هايوان نشان تي موج به سادگي ميمعادله داد كه
)98( E cB
=
ميدان الكتريكي يك موج تخت الكترومغناطيسي به صورت زير داده شده است: موج تخت-5مثال
)99( 0
ˆ( , ) cos( )z t E kz tω= −E i . جهت انتشار موج را تعيين كنيد) :الف( اين موج را به دست آوريدB ميدان مغناطيسي):ب(
)ي تابع كسينوس را به صورتناسه ش)الف: (حل )kz t k z ctω− = c بنويسيد كه در آن− kω = .كند حركت مي+zشود كه موج در جهتبا توجه به اين ديده مي. است
E×اطيسي با جهت بردارجهت انتشار موج الكترومغن): ب( Bافزون بر اين، ميدان هاي. يكي استEو B : استxحور در راستاي مE و جهت ميدان+z چون جهت انتشار موج در راستاي.برهم عمود اند
ˆ( , )E z t=E iپس جهت ميدان ، Bدر راستاي y+است و داريم ˆ( , )B z t=B j . چون Eو B همواره توانيم بنويسيماز اند، پس ميفهم
)100( 0
ˆ( , ) cos( )z t B kz tω= −B j 0 را حساب كنيم به ياد بياوريد كه Bيبراي اين كه اندازه 0E c B=بنابراين داريم. است
)101( ( )0( , ) cos( )z t E c kz tω= −B
اده موج الكترومغناطيسي ايست4-4كند و با ميدان حركت مي+xرا در نظر بگيريد كه يكي در راستاي دو موج الكترومغناطيسي تخت سينوسي
هاي زير توصيف شده است)102( ( ) ( )1 10 1 1 1 10 1 1( , ) cos ; ( , ) cosy zE x t E k x t B x t B k x tω ω= − = −
كند و عبارت است از حركت مي−xدر راستاي موج دوم با)103( ( ) ( )2 20 2 2 2 20 2 2( , ) cos ; ( , ) cosy zE x t E k x t B x t B k x tω ω= − + = +
10: ي اين امواج الكترومغناطيسي با هم برابر اند براي سادگي فرض كنيد دامنه 20 0E E E= و =
يابد انتشار مي+x موج تخت الكترومغناطيسي كه در راستاي-13شكل
20
10 20 0B B B= 1(ها يكسان اند هم چنين فرض كنيد طول موج. = 2 1 2; k k kω ω ω= = = با استفاده ) = توان ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي را به صورت زير نوشتياز اصل برنهش م
)104( )105(
( ) ( )( ) ( )
1 2 0
1 2 0
( , ) ( , ) ( , ) cos cos
( , ) ( , ) ( , ) cos cosy y y
z z z
E x t E x t E x t E kx t kx t
B x t B x t B x t B kx t kx t
ω ω
ω ω
= + = − − +⎡ ⎤⎣ ⎦= + = − + +⎡ ⎤⎣ ⎦
)cosگيري از اتحادبا بهره ) cos cos sin sinα β α β α β± = توان به صورت زير ي باال را مي رابطه∓ نوشت
)106( )107(
[ ]
[ ]
0
0
0
0
( , ) cos cos sin sin cos cos sin sin
2 sin sin( , ) cos cos sin sin cos cos sin sin
2 cos cos
y
z
E x t E kx t kx t kx t kx t
E kx tB x t B kx t kx t kx t kx t
B kx t
ω ω ω ω
ωω ω ω ω
ω
= + − +
=
= + + −
=
kx شكلاگرچه اين موج ها ديگر به tω±ي موج صدق توان نشان داد كه در معادله نيست، اما هنوز هم ميكنند و فقط در فضا و زمان يعني، انتشار پيدا نمي. اندايستادهموج هاي ) 107(و ) 106(هاي معادله. كنندمي
دهد كه نشان مي) 106(ي رابطه. يمپردازنخست به بررسي وابستگي فضايي اين ميدان ها مي. كنندنوسان ميsinاگر 0kx يا=
)108( , 0,1, 2,2 2
n n nx nkπ π λ
π λ= = = = ⋅⋅⋅
2xي كه نقاط ها صفه.شودي زمان ها صفر ميباشد، آنگاه ميدان الكتريكي كل همواره و براي همه nλ= sin از سوي ديگر اگر.كي نام داردميدان الكتريي گره هاصفحهد، نرا دربر دار 1kx = باشد و يا±
)109( ( ) ( ) 11 2 1 2 , 0,1, 2,2 2 4
nx n n nkπ π λ
π λ⎛ ⎞= + = + = + = ⋅⋅⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
ي اين نقاط اند، صفحه هايي كه دربر دارنده. ، قرار دارد02Eخود، ي ي ميدان الكتريكي در بيشينهدامنهي پادگره ي گره يك صفحهتوجه كنيد كه بين هر دو صفحه. ريكي اندميدان الكت پادگره ياهاي شكمصفحه
.قرار دارد و بالعكسcosدارند كه در شرطي گره نقاطي را دربر هابراي ميدان مغناطيسي، صفحه 0kx كنند و صدق مي=
بنابراين،)110( 1 1 , 0,1, 2,
2 2 4nx n n
kπ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = ⋅⋅⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cosادگره ميدان مغناطيسي شامل نقاطي اند كه در شرطهمين ترتيب، صفحه هاي پبه 1kx = - صدق مي±
كنند و در نتيجه داريم)111( , 0 ,1, 2,
2 2n n nx nkπ π λ
π λ= = = = ⋅⋅⋅
.ي پادگره ميدان مغناطيسي و برعكس اندي گره ميدان الكتريكي ، صفحهصفحهبينيم كه بنابراين، مي
21
sinشود كه اگرديده مي) 106(ي از رابطه. كنيم مياينك وابستگي زماني را بررسي 0tω باشد، ميدان = در زمان هاي به بيان ديگر. الكتريكي در همه جا صفر است
)112( , 0,1, 2,2 2
n n nTt nT
π πω π
= = = = ⋅⋅⋅
بنابراين، . ي ميدان مغناطيسي استاين درست وضعيت براي بيشينه. ميدان الكتريكي در همه جا صفر استبرعكس موج رونده، كه ميدان هاي فاز اند، الكتريكي و مغناطيسي همواره هم
در موج هاي الكترومعناطيسي ايستاده، باهم اختالف فاز 90يميدان ها به اندازه
.دارندتوان امواج الكتومغناطيسي ايستاده را مي
موج با محصور كردن)14(همانند شكل ي رساناي الترومغناطيسي بين دو صفحه
.آرماني به وجود آورد
Poynting's( بردار پويينتينگ -6 Vector(
در الكتروستاتيك . شودهاي الكتريكي و مغناطيسي انرژي ذخيره ميهاي پيش ديديم كه در ميداندر فصلبراي چيره شدن به نيروي رانشي ( توزيع بارهاي ساكن اي از ديديم كه كار الزم براي فراهم سازي آرايه
عبارت است از) كولمبي)113( 20
2EW E dε τ= ∫
چنين، كارالزم براي به شارش واداستن جريان در هم. كندي بار توليد مي ميداني است كه آرايهEكه در آن عبارت است از) ي بازدارندهيروي محركهبراي چيره شدن به ن( يك مدار
)114( 2
0
12BW B dτμ
= ∫
بنابراين، انرژي كل انباشته شده در ميدان . كند ميدان مغناطيسي است كه جريان توليد ميBكه در آن الكترومغناطيسي برابر است با
)115( 2 2
00
1 12EBW E B dε τ
μ⎛ ⎞
= +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
ي الكترومغناطيسي در بين تشكيل موج ايستاده-14شكل ي رساناي آرمانيدو صفحه
22
موج تخت . كنند اند و بنابراين انرژي حمل ميB وEواج الكترومغناطيسي شامل هر دو ميداناماز جزء ) 15(الكترومغناطيسي را در نظر بگيريد كه برابر شكل
.گذرد ميdx با ضخامت Aسطح كوچك انرژي كل موجود در اين جزء حجم برابر است با
22
00
1( )2E B
BuAdx u u Adx E Adxεμ
⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠)116(
2كه در آن0 2Eu Eε≡2 و
02Bu B μ≡ چكالي انرژي چون موج الكترومغناطيسي با سرعت .الكتريكي و مغناطيسي اند
يابد، زمان الزم براي اين كه موج ضخامت ، انتشار ميcنور،dxرا بپيمايد و از جزء سطح بگذرد dt dx c=بنابراين . است
توان آهنگ تغيير انرژي در واحد سطح را به صورت زير مي، S نماداين آهنگ تغيير انرژي در واحد سطح را با. حساب كند
داريم. دهيمنشان مي)117( 2
20
02dW c BS EAdt
εμ
⎛ ⎞= = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2W عبارت است ازS، يكايSIي يكاهايدر سامانه m .با توجه به اين كهE cB=0 و 01c ε μ= را به صورت زير نوشت) 117(ي توان رابطهمي
)118( 2 22 2
0 00 0 02
c B cB EBS E c Eε εμ μ μ
⎛ ⎞= + = = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. توصيف كردSتوان با بردار پويينتينگدر حالت كلي آهنگ شارش انرژي در واحد سطح را مي)119(
0
1μ
= ×S E B
E× برهم عمود اند وB وEهمان طور كه پيش تر نشان داديم، چون B ،در جهت انتشار موج است بارت است ازي آن عاندازه . در جهت انتشار موج الكترومغناطيسي استSبنابراين جهت بردار
)120( 0 0
EB Sμ μ×
= = =E B
S
0ي الكتريكي موج الكترومغناطيسي با مولفه: شدت موج-6مثال
ˆcos( )E kx tω= −E jي و مولفه0معناطيسي آن با
ˆcos( )B kx tω= −B kجهتموج در . داده شده اندx+يابد مي انتشار . بردار پويينتينگ را به دست آوريد):الف( .آن را حساب كنيد. تعريف مي شودS ، با ميانگين زمانيI شدت موج ،):ب(
موج الكترومغناطيسي گذرنده -15شكل از جزء حجم
23
.اي بين شدت موج و چگالي انرژي به دست آوريد رابطه):پ( بردار پويينتينگ عبارت است از)الف: (حل
)121( 20 00 0
0 0
1 ˆ ˆˆcos( ) cos( ) cos ( )E BE kx t B kx t kx tω ω ωμ μ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − × − = −⎣ ⎦⎣ ⎦S j k i
. نشان داده شده استاين جهت ) 16(در شكل . همان جهت انتشار موج استS، جهت برداربنابراين شود به صورت زير تعريف ميI شدت):ب(
)122( 20 0
0
cos ( )E BI S kx tωμ
= ⟨ ⟩ = ⟨ − ⟩
كهبا توجه به اين )123( 2 1cos ( )
2kx tω⟨ − ⟩ =
داريم2 2
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
12 2 2 2
E B E B E cBI Scμ μ μ μ
= ⟨ ⟩ = = = =
)123(
اس يسن شدت و چگالي انرژي بيابيم، نخست به برابري چگالي انرژي الكتريكي و براي اين كه رابطه): پ( مغناطيسي توجه كنيد
)124( ( )2 22 20
20 0 02 2 2 2B E
E c EB Eu uc
εμ μ μ
= = = = =
انرژي كل برابر است باچگالي ، ميانگين پس)125( 2
2 2 20 00 0
0 0
12 2E B
Bu u u E E Bεεμ μ
⟨ ⟩ = ⟨ + ⟩ = ⟨ ⟩ = = ⟨ ⟩ =
. اندي زير به هم مربوطبنابراين، شدت موج و ميانگين چگالي انرژي با رابطه)126( I S c u= ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩
دارد و نامثابت خورشيديي بااليي زمين ميانگين زماني بردارپويينتينگ در اليه: ثابت خورشيدي-7مثال
3برابر است با 21.35 10 W mS⟨ ⟩ = × ي ميدان هاي الكتريكي اگر تابش الكترومغناطيسي خورشيد را موج تخت سينوسي فرض كنيم، اندازه ):الف(
.و مغناطيسي اين موج را حساب كنيد
111.5ي زمين و خورشيد رافاصله ):ب( 10 mR = توان تابشي كل خورشيد فرض كنيد و ميانگين زماني× .را به دست آوريد
ي ميدان الكتريكي مربوط استي زير به دامنه ميانگين زماني بردار پويينتينگ با رابطه)الف: (حل)127( 2
0 02cS Eε⟨ ⟩ =
بردارپويينتينگ براي يك موج تخت-16شكل
24
ي ميدان الكتريكي برابر است باي دامنهبنابراين، اندازه)128( 3 2
30 8 -12 2 2
0
2 2(1.35 10 W m 1.01 10 V m(3.0 10 m s)(8.85 10 C N×m )
SEcε⟨ ⟩ ×
= = = ×× ×
ي ميدان مغناطيسي موج عبارت است ازو دامنه)129( 3
600 8
1.01 10 V m 3.4 10 T3.0 10 m s
EBc
−×= = = ×
×
.توجه كنيد كه اين ميدان مغناطيسي از يك دهم ميدان مغناطيسي زمين هم كمتر استثال زمين در واحد مقدار انرژي ميانگين كه م ( ميانگين زماني توان تابشي كل خورشيدRي در فاصله):ب(
است بابرابر) كندزمان از خورشيد دريافت مي)130( 2 3 2 11 2 264 (1.35 10 W m )4 (1.50 10 m) 3.8 10 WP S A S Rπ π⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ = × × = ×
يك ) 17(در شكل . اي آغاز مي شودي نقطهنوع موج مربوط به اين مثال ، موج كروي است كه از يك چشمه از چشمه عبارت است ازrي شدت اين گونه موج در فاصله.چنين تابشي نشان داده شده است
)131( 24
PI Srπ
⟨ ⟩= ⟨ ⟩ =
21و به صورت rوپخش شدگي ثابت مي ماند)) 18(شكل (در حالي كه شدت موج تخت . كاهش مي يابد .انرژي ندارد
تريكي و مغناطيسي يك موج ايستاده عبارتند از هاي الكهاي ميدان مولفه: شدت يك موج ايستاده-8مثال
)132( 0 0( ) 2 cos cos ; ( ) 2 sin siny zE x t E kx t B x t B kx tω ω= = .شدت اين موج را حساب كنيد
به بيان ديگر براي اين كه موج . كند پاسخ اين پرسش صفر است؛ چون موج ايستاده انتشار پيدا نمي:حلهايي كه اين دو موج در دو انرژي . ايستاده تشكيل شود، دو موج بايد در دو جهت خالف هم حركت كنند
ي ميانگين زماني بردار بگذاريد آن را با محاسبه. كندجهت مخالف حمل مي كنند، دقيقا يكديگر را حنثي مي پويينتينگ موج باال عبارت است از بردار. پويينتينگ نشان دهيم
يك موج تخت-18شكل يك موج كروي-17شكل
25
)133( ( ) ( )
( ) ( )
0 00 0
0 0 0 0
0 0
1 ˆ ˆ2 cos cos 2 sin sin
4 ˆ ˆsin cos sin cos sin 2 sin 2
E kx t B kx t
E B E Bkx kx t t kx t
ω ωμ μ
ω ω ωμ μ
×= = ×
= =
E BS j k
i i
عبارت است از يا شدت Sبنابراين، ميانگين زماني)134( 0 0
0
sin 2 sin 2 0E BS kx tωμ
⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ =
.همان گونه كه انتظار داشتيم، شدت موج ايستاده صفر است انتقال انرژي-7
توان به نه را ميآهنگ تغيير انرژي در يك ساما. آهنگ شارش انرژي در واحد سطح استSبردار پويينتينگ صورت زير نوشت
)135( A
dU ddt
= − ⋅∫ S a
dˆكه در آن da=a nاست و n̂بردار يكه عمود بر سطح A ي باال رابطه. از سطح استبيرون و به سوي ي زير است در رابطهI و جريانJانجريي بين چگالي بسيار شبيه رابطه
)136( dQI ddt
= = ⋅∫ J a اگر انرژي . يمتفسير كن) Jمانند چگالي جريان ( چگالي شار انرژي را Sدهد تااين همانندي به ما اجازه مي
S=Sˆاز سامانه به بيرون شارش كند، آنگاه n0 وdU dt دهد كه انرژي سامانه شوند و نشان مي مي>)ˆاگر انرژي به درون سامانه شارش كند. درحال كاهش يافتن است )S= −S n0 وdU dt شوند و ي م<
. دهد كه انرژي سامانه درحال افزايش استنشان ميرا نشان ) 135(ي براي اين كه مفهوم فيزيكي رابطه
ي بسيار درازي را برابر از يك پيچهدهيم، طول- ميIاز پيچه جريان. در نطر بگيريد) 19(شكل
و تعداد دورها در واحد طول rگذرد، شعاع آنفرض كنيد در زماني، جريان در پيچه با . استnآن
0dIآهنگ dt با استفاده از قانون . كند تغيير مي< آمپر، ميدان مغناطيسي در پيچه برابر است با
)137(
0
0
( )
ˆC
d B NI
nI
μ
μ
⋅ = =
⇒ =
∫ B l
B k
بنابراين ، آهنگ افزايش ميدان مغناطيسي عبارت است از
بردار پويينتينگ براي پيچه با -19شكل0dI dt >
26
)138( 0
dB dIndt dt
μ=
Bبنا به قانون فارادهC
d d dt= ⋅ = − Φ∫ E lEكند كه برابر ميدان مغناطيسي متغير ميدان الكتريكي توليد مي
است با)139( 2 0
0 ˆ(2 )2nrdI dIE r n r
dt dtμπ μ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠E φ
بردار پويينتينگ آن را . نشان داده شده است) 19( همانند جريان القايي ساعتگرد است و در شكلEهتج توان به صورت زير حساب كردمي
)140( ( )2
0 00
0 0
1 ˆˆ ˆ2 2nr n rdI dInI
dt dtμ μμ
μ μ× ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
E BS φ k r
) 19( ميدان ها و بردار پويينتينگ در شكل جهت). r−ˆدر راستاي( كه شعاعي و به سوي محور پيچه است .شوندديده مي
چون انرژي مغناطيسي انباشته شده در خودالقا عبارت است از)141( ( )
22 2 2 2
00
12 2BBU r n I rπ μ πμ
⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
عبارت است ازBUآهنگ تغيير)142( 2 2
0BdU dIP n Ir I
dt dtμ π ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟
⎝ ⎠E
كه در آن)143( ( ) 2 2 2
0Bd dB dIN n r n r
dt dt dtπ μ πΦ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠E
توان نشان داد كه اين مقدار برابر است بابه سادگي مي. ي القايي استنيروي محركه)144( ( )
22 20
022n rI dI dId r n Ir
dt dtμ π μ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ S a
و بنابراين،)145( 0BdU d
dt= − ⋅ >∫ S a
0dIهمان گونه كه انتظار داشتيم، با dt 0dIاگر. زايش يافته است انرژي در سامانه اف< dt بود، مي>0BdUكرد وانرژي سامانه كاهش پيدا مي dt .شد مي>
-صفحه) 20( خازني را در نظر بگيريد كه برابر شكل : بردار پويينتينگ خازن در حال باردار شدن-8مثال
وصل است كه از سيم راست درازيخازن به . از يكديگر اندhي و به فاصلهRهاي آن دايره هاي به شعاع .گذرد ميIآن جريان
.نشان دهيد كه خازن در حال باردار شدن است ):الف(
27
ي اين آرايه انتگرال ا روي مرزهاي استوانهS از):ب(بگيريد و نشان دهيد كه آهنگ شارش انرژي به درون
آهنگ انباشته شدن انرژي الكترومغناطيسي خازن با .در ميدان الكتريكي برابر است
فرض z محور صفحه هاي دايره را محور):الف: (حلفرض كنيد در يك لحظه . است+zجرياندر جهت. كنيد
خازني مثبت صفحهاز رمان مقدار بار موجود درQ+ميدان الكتريكي بين صفحه هاي خازن در. است
اين لحظه برابر است با)146(
20 0
ˆ ˆQER
σε π ε
= =k k
شود و داريمغناطيسي القا مي مكسول، با تغيير شار الكتريكي، ميدان م-بنا به قانون آمپر)147(
0 0 0encdd I ddt
μ μ ε⋅ = + ⋅∫ ∫B l E a خواهد z روي محورشود كه ميدان مغناطيسي دايره اي و مركز آناز تقارن استوانه اي سامانه ديده مي
B=Bˆيعني. بود φ . 21(جهت ميدان ها در شكل (مسير دايره اي به شعاع. ه اندنشان داده شدr) r R<(
نمايش جهت ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي -21 شكل خواهيم داشت) 147(ي ابطهبا استفاده از ر. صفحه ها درنظر بگيريددر فضاي بينرا )148(
22 0
0 0 2 20
02
(2 ) 0
ˆ2
rd Q dQB r rdt R R dt
r dQR dt
μπ μ ε ππ ε
μπ
⎛ ⎞= + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
⇒ =B φ
را حساب كردSحال مي توان بردار پويينتينگ )149(
02 2 2 4
0 0 0 0
1 1 ˆ ˆ ˆ2 2
rQ dQ Qr dQR R dt R dt
μμ μ π ε π π ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × = × = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S E B k φ r
خازن با صفحه هاي تخت-20شكل
28
0dQتوجه كنيد كه dt يا به سوي r−ˆ در راستايSجهت. پس به بار خازن افزوده مي شود. است< .مركز خازن است
2كندانرژي در واحد حجم كه ميدان الكتريكي حمل مي ):ب(0 2Eu Eε=بنابراين، انرژي كل ذخيره . است
برابر است باVشده در ميدان الكتريكي در حجم)150(
( )2 2
2 2 20 02 2
0 02 2 2E EQ Q hU u V E R h R hR R
ε επ ππ ε π ε⎛ ⎞
= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
.دهدمشتق گيري از اين رابطه نسبت به زمان، آهنگ انباشته شدن انرژي را به دست مي)151( 2
2 20 02
EdU d Q h Qh dQdt dt R R dtπ ε π ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
rاي به شعاعاز سوي ديگر، آهنگ شارش انرژي به درون خازن در استوانه R=گرال انتباتوان را مي روي سطح به دست آوردS ازيريگ)152(
( )2 4 20 0
22R
Qr dQ Qh dQd SA RhR dt R dt
ππ ε ε π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ S a
.كه با آهنگ انباشته شدن انرژي در ميدان الكتريكي متغير برابر است
به طور ) 22(اي شكل ي رساناي استوانه در سطح قاعدهI جريان: بردار پويينتينگ رسانا-9مثال σ و رسانايي آنaشعاع استوانه. توزيع شده استيكنواخت
.است . را در درون رسانا حساب كنيدE ميدان الكتريكي):الف( .درست در بيرون رسانا بيابيد را B ميدان مغناطيسي):ب( Sجهت. را در روي سطح رسانا بيابيدSيينتينگ. بردار پ):پ(
.را مشخص كنيد روي سطح رسانا انتگرال بگيريد و نشان دهيد كه S از):ت(
شود با سي وارد سطح رسانا ميآهنگي كه انرژي الكترومغناطي . آهنگ اتالف انرژي برابر است
ميدان . فرض كنيد+z جهت جريان را در راستاي)الف: (حل
الكتريكي عبارت است از)153(
2ˆI
aσ σπ= =JE k
. بپنداريدR و مقاومت آن راتوانيد طول رسانا رامي : برگزينيدrاي به شعاع را دايرهي آمپرحلقه. از قانون آمپر به دست آوردتوان مي ميدان مغناطيسي را):ب()154( 0
0 0 ˆ(2 )2enc
Id I B r Ir
μμ π μπ
⋅ = ⇒ = ⇒ =∫ B l B φ
بردار پويينتينگ رسانا -22شكل
29
r( سطح رسانا بردار پويينتينگ در):پ( a= ( عبارت است از )155( 2
02 2 3
0 0
1 1 ˆ ˆ2 2
II Ia a a
μμ μ σπ π π σ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞= × = × = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S E B k r
. به سوي محور رساناستSتوجه كنيد كه جهت آهنگ شارش انرژي الكترومغناطيسي به درون رسانا برابر است با ):ت()156( 2 2
2 3 222S
dU I IP d adt a a
πσπ σπ
⎛ ⎞= = ⋅ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ S a
مربوط استRزير به مقاومتي با رابطهσ رساناييچون)157(
21RA R a
σ ρπ
= = = آيدبه صورت زير درمي) 156(ي بنابراين، رابطه
)158( 2P I R= .كه آهنگ اتالف انرژي در مقاومت است
نه و فشار تابشي تكا-8
وقتي موج الكترومغناطيسي بر سطحي . كند، بلكه تكانه هم داردموج الكترومغناطيسي نه تنها انرژي حمل مي- وارد ميفشار تابشيشود و در نتيجه، به سطح تابد، تكانه توسط سطح جذب و يا از آن بازتابيده ميمي
ي انتقال ي به طور كامل در سطح جذب شود، تكانهمكسول نشان داد كه اگر موج تخت الكترومغناطيس. شود توسط سطح به صورت زير مربوط انديافته به سطح با انرژي جذب شده
Up )جذب كامل( )159(cΔ
Δ = ، داريمباز تابيده شود) مانند آيينه( از سوي ديگر اگر موج الكترومغناطيسي به طور كامل از يك سطح
2 )بازتاب كامل( )160( UpcΔ
Δ = عبارت است از) نيرو بر واحد سطح( ميانگين فشار تابشي در حالت جذب كامل،
)161( 1 1F dp dUPA A dt Ac dt⟨ ⟩
= = =
اما آهنگ انتقال انرژي به سطح عبارت است از)162( dU S A IA
dt= =
شتبنابراين، خواهيم داIP) جذب كامل( )163(
c=
شودمل داشته باشد، فشار تابشي آن دو برابر فشار در جالت جذب كامل ميهمچنين، اگر موج بازتاب كا2P) بازتاب كامل( )164( I c=
30
توليد موج الكترومغناطيسي-9به بيان ديگر، وقتي بار الكتريكي . شودداشته باشدموج الكترومغناطيسي توليد مياگر بار الكتريكي شتاب
در . كنندبار ساكن يا جريان پايا تابش الكترومغناطيسي توليد نمي. كند، بايد انرژي تابش كندشتاب پيدا مي مومي براي يك روش ع.كندخط هاي ميدان الكتريكي باري نشان داده شده است كه نوسان مي) 23(شكل
توليد موج الكترومغناطيسي، اعمال كردن ولتاژ شود اين كار سبب مي. سينوسي به يك آنتن است
با اين كار . بار ها در نزديكي نوك آنتن جمع شونددر . آيديك دوقطبي الكتريكي نوساني به وجود مي
توليد تابش دوقطبي الكتريكي نشان داده ) 24(شكل در . له تشكيل شده استآنتن از دو مي .شده است
0tزمان بارهاي الكتريكي در دوانتهاي ميله =بيشينه ) 24(ي بااليي در شكل شوندو ميلهجمع مي
ي پاييني هم به همان مقدار بار مثبت دارد و ميلهدر اين لحظه، ميدان الكتريكي . مقدار بار منقي دارد
با گذشت . استدر همسايگي آنتن رو به پايين
4t پس از گذشت زمان يك چهارم دوره، .كنندميزمان بارها كاهش پيدا T=اي بارها ، به طور لحظه ي باال و و بارهاي منفي در ميلهشودسپس، قطبايي ميله ها عوض مي. شودناپديد و ميدان هم صفر مي
ن دوقطبي الكتريكي ميدان الكتريكي يك آنت-24شكل
2tاين كار تا زمان. شوندي پايين شروع به جمع شدن مي بارهاي مثبت در ميله T=ادامه مي يابد . . شود، ميدان الكتريكي در همسايگي ميله رو به باال ميهنگامي كه انباشت بار به بيشينه مقدار خود رسيد
ميدان . كنندي ديگر نوسان ميبارها از يك ميله به ميلهكند و به اين وسيله ميفرايند دوباره خود را تكرار اين . كندحركت بارها جريات الكتريكي هم توليد مي. شودالكتريكي توليد و با سرعت نور از آنتن دور مي
ها در ر ميدانبا وجود اين، رفتا. گرددهاي آن دور ميله ميآورد كه خطجريان ميدان مغناطيسي به وجود مي .هاي دور از آنتن استهاي آنتن بسيار متفاوت از رفتار آنها در فاصلهنزديكي
طول موج تابش چهارم آنتن يكهاي طول هر يك از ميله آنتني كهموج را در نظر بگيريد، يعنيطولآنتني نيم
اي هاي ميدان الكتريكي بار نقطه خط-23شگل در حال نوسان
31
.گسيلي استي ولتاژ متناوب به نوسان بين چون بارها به وسيله
توان يك اند، آنتن را به تقريب مياشته شدهها وادميله) 25(شكل . دوقطبي الكتريكي نوسان كننده پنداشت
-هاي ميدان هاي الكتريكي و مغناطيسي رادر لحظهخط
توجه . دهداي كه جريان به سوي باالست، نشان ميهاي نشان داده شده كنيد كه بردار پويينتينگ در مكان
مومي طرح تابش در حالت ع. به سوي بيرون است توليدي بسيار پيچيده است؛ با اين وجود در جاهايي كه
در مقايسه با ابعاد سامانه و طول موج بسيارفاصلهها رفتار بسيار متفاوتي از خود نشان دور است، ميدان
تابش در اثر ميدان هاي "ي دور ناحيه"در اين. دهندمي
-هر دو ميدان هم. آيدي ميدان الكتريكي و برعكس به وجود ميمغناطيسي حاصل از تغييرات زماني پيوسته
1شان به صورتكنند و دامنهفاز نوسان مي rتوان نشان داد كه شدت تابش به صورتمي. كند تغيير مي 2 2sin rθاست .θدر . زاويه از محور آنتن است
)اي شدت،وابستگي زاويه) 26(شكل )I θ نشان ، اي از اين شكل پيداست كه در صفحه. داده شده است
گذرد، شدت كه از وسط آنتن و عمود برآن مي .بيشينه است
براي يك دو قطبي الكتريكي كه گشتاور دو قطبي آن به صورت
)165( 01 2 ˆ( ) 1 cos
10tt p
Tπ⎡ ⎤⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
p k
هاي در نزديكي.نشان داده شده است) 27(ها در شكل در يك لحظه و براي زمان معيني ميدانكندتغيير مي نخستSدوقطبي، حركت ميدان ها و در نتيجه بردار
به سوي بيرون از دوقطبي و سپس به سوي درون با توليد و انباشته هاين رفتار به اين معني است ك. اند
شدن انرژي ميدان الكتريكي دوقطبي شبه مانا ، شارش انرژي به سوي بيرون است و با نابود شدن
انرژي ميدان الكتريكي دوقطبي شبه مانا، شارش اگرچه در اين ناحيه ها . انرژي به سوي درون است
شارشكند، اما هنوزجهت شارش انرژي تغيير مي
هاي الكتريكي و هاي ميدان خط-25شكل مغناطيسي يك آنتن دوقطبي الكتريكي
اي شدت تابشابستگي زاويه و-26شكل
هاي ميدان دوقطبي الكتريكي طرح خط-27شكل
32
برون سوي انرژي اندك ، تابش انرژي اين شارش. ي با ميانگين زماني انكي وجود داردانرژي برون سوي- هاي ميدان بيروني از دوقطبي جدا ميدر ناحيه هاي دوردست كه خط. روداندكي است كه به بينهايت مي
ژي در اين ناحيه، سرعت خطهاي ميدان و در نتيجه، شارش انر. كنندشوند و به سوي بينهايت حركت مي .كنندهاي تابشي وجود دارد كه انرژي را به بينهايت حمل ميدر اين ناحيه ميدان. سو استهمواره برون
توليد موج تخت1-9
-در اينجا نشان مي. كنندكه در فضاي تهي، امواج تخت الكترومغناطيسي با سرعت نور انتشار پيدا ميديديم
ي ساده اگرچه يك چنين هندسه. با هندسه اي ساده توليد كرديك چنين موجي را توان دهيم كه چگونه ميبه طور فيزيكي كاربردي در دنياي واقعي ندارد، با اين وجود، هم روش توليد موج تخت الكترومغناطيسي را
حساب كرد و نشان داد كه چه توان مقدار كار الزم براي توليد آنها را دهد و هم به سادگي مينشان مي .كنند ميبا خود منتقلي انرژ مقدار
ريسمان را از جايي با دست . د موج در يك ريسمان استه توليتوليد موج تخت الكترومغناطيسي خيلي شبيه ببا تكان دادن ريسمان بر عليه كشش . شودبا اين كار در ريسمان موج توليد مي. دهيمگيريم و تكان ميمي
موج هاي . شوديافته به صورت شار انرژي با موج منتقل ميدهيم و اين كار انجام ريسمان كار انجام ميهمان گونه كه خواهيم . د را دار"ريسمان"هاي ميدان الكتريكي نقش خط: الكترومغناطيسي هم اين گونه اند
يك نيروي برگرداننده دارد كه با تكان دادن خط ميدان نابراين،ب. ديد، هر خط ميدان يك كشش وجود داردموجي در راستاي خط ميدان انتشار در اثر تكان ، . ) بكوشيد مكان اوليه اش را تغيير دهيد( د كنمخالفت مي
ي الكترومغناطيسي هستيم براي اين كه جزييات اين فرايند را بفهميم، نيازمند استفاده از تقريبا همه.يابدمين كه امواج الكترومغناطيسي با مكسول و اي-از قانون گوس گرفته تا قانون آمپر. ايمكه تاكنون آموخته
. يابندسرعت نور انتشار مي چگونه ميتوان خط ميدان را مانند ريسمان تكان داد؟ چه چيزي را بايد با دست بگيريم و تكانش دهيم؟.
پس براي تكان . گيرنداز يك بار آغاز و به يك بار پايان مي. هاي ميدان به بارهاي الكتريكي وصل اندخطي ريشه كنند وبه هر حال، بارها هستند كه ميدان الكتريكي توليد مي. دهيمها را تكان ميدان، باردادن خط مي
سيگنال (با اين آگاهي و اين كه در فضاي تهي نشانك هاي . استميدان الكتريكي در اين بارها كاشته شده ليد موج تخت با تكان دادن خط راز تو توان الكترومغناطيسي با سرعت نور انتشار پيدا مي كنند، مي) هاي
پس از آن به . ايجاد كردتابنخست ببينيم چگونه مي توان در خط ميدان الكتريكي يك . ميدان را گشود .پردازيمساختن موج سينوسي مي
در نظر بگيريد كه در آغاز ساكن yzي را در صفحهσاي با چگالي بارسطحياي بينهايت گستردهصفحه گويد كه ميدان الكتريكي اين صفحه به صورت زير استقانون گوس مي). 28(مانند شكل . است
)166(
( )( )
00
0
ˆ2 ; 0ˆ2 ; 0
x
x
σ ε
σ ε
⎧+ >⎪= ⎨− <⎪⎩
iE
i
0tحاال، در زمان =vˆثابتگيريم و با سرعت ي باردار را مي صفحه= −v j كشيم ميپايين به سوي.
33
tوضعيت در زمان T=به ويژه چگونه خواهد بود؟ پيش از آنكه صفحه به سوي پايين حركت كند، يعني
0tهايبراي زمان 0y، به خط ميدان كه از> = . شود ديده مي)29( كه در شكل گذرد توجه كنيدمي
سر اين خط ميدان به باري وصل است كه آن را با حركت دادن صفحه، اين سر خط . كندتوليد مي
ميدان هم بايد با همان سرعت به همراه بار به سوي tپس، در زمان . پايين حركت كند T= اين سر
yمتصل به بار در مكان vt= .واهد بودخ − ما فرض كرديم كه اطالعات همراه اين خط ميدان با
0xيسرعت نور از نقطه t(بنابراين، در اين لحظه . يابد به سوي پايين انتشار مي= T= ( آن بخش هايxي خط ميدان كه در فاصله cT> مبداء و در روي محور ازxقرار دارند، هنوز متوجه حركت بار نمي -
tبنابراين، در زمان. كنندشوند و در نتيجه ، حركت روبه پايين خود را آغاز نمي T= خط ميدان ما بايد به xياحيهدر بيرون ن. شود، در آيدديده مي) 30(صورتي كه در شكل cT>هيچ اتفاقي نيفتاده است .
tدانيم كه در زمانتا اينجا مي T=0 سر متصل به بار خط ميدان درx yي به نقطه= vT= منتقل شده −xبخشي از خط ميدان كه دراست و cT>اند هنوز روي محور xتوان حدس زد ، ميبنابراين. قرار دارند
0 برايكه x cT< دانيم در ي خط ميدان را كه ميكافي است دو نقطه. خط ميدان چگونه بايد باشد>tزمان T=0يكي در( رند در كجا قرار داx x و ديگري در= cT=(به هم وصل كنيمرا با خط راستي .
.اين حدس پذيرفتني و درست است. زديمبراي يك ريسمان هم همين حدس را مي، اختاللي 0Eالكتريكيي باردار انجام داديم اين است كه افزون بر ميدان كاري كه با به پايين كشيدن صفحه
0بنابراين، براي. در ميدان الكتريكي ايجاد كرديم1Eيبه اندازه x cT< ميدان كل برابر است با>
σي با بار خط ميدان الكتريكي صفحه-28شكل
0yخط ميدان گذرنده از -29شكل در=0tزمان <
0y خط ميدان گذرنده از-30شكل در =tزمان T=
34
)167( 0 1= +E E E متصل به بار خط ميدان را به انتهاي بايد با خطي كه Eپيداست، خط ميدان) 30(از شكل همان گونه كه
xينقطه cT=اين يعني. كند، موازي باشد وصل مي )168( 1
0
tan E vT vE cT c
θ = = =
1كه در آن 1E = E0 و 0E = Eو θ كه با محوراي استزاويه x بنابراين، ميدان اختاللي . شودميساخته توان به صورت زير نوشترا مي
)169( 1 0
0
ˆ ˆ2
v vEc c
σε
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E j j
0در اينجا از 02E σ ε=1 پس، ما يك ميدان اختاللي،. استفاده كرديمEايم و اين رابطه ، به وجود آورده . شدت اين ميدان چقدر استvگويد به ازاي سرعتمي
1Eجهت ميدان. دهيمشش نسبت مي ك، همانند ريسمان،خط ميدان الكتريكيبه دهد كه چرا بحث باال نشان مي-، در برابر حركت صفحه مقاومت نشان ميكنداست كه نيرويي را كه به بارهاي صفجه وارد مياي به گونه
. شودكشيم، نيروي الكتريكي رو به باال به آن وارد ميي باردار را به سوي پايين مييعني، وقتي صفحه. دهدdqشامل بار daاين كشش رو به باال كهاز سوي ميدان الكتريكي به جزء سطح daσ=شود وارد مي
عبارت است از)170(
( )2
10 0
ˆ ˆ2 2ev v dad dq da
c cσ σσε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠F E j j
ي باردار را به سوي پايين بكشد، بنابراين، براي چيره شدن به اين نيرو، عامل خارجي كه مي خواهد صفحه .بايد نيرويي مساوي و روبه پايين به صفحه وارد كند
)171( 2
0
ˆ2ext e
v dad dc
σε
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠F F j
extچون كار نيرو برابر extdW d= ⋅F l است، كار نيروي عامل خارجي در واحد سطح در واحد زمان عبارت است از
)171( ( )2 2 2 2
0 0
ˆ ˆ2 2
ext extd W d d v vvdt da da dt c c
σ σε ε
⎛ ⎞= ⋅ = − ⋅ − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
F l j j
ه حركت در آوردن بدهد اين است كه با ي باردار روي ميجايي صفحه اتفاق ديگري كه در اين فرايند جلبه=vσˆصفحه، يك جريان سطحي با چكالي جريان −K jبنابراين، افزون بر ميدان الكتريكي . ايمهم توليد كرده
1Eميدان مغناطيسي اين جريان سطحي را پيش تر حساب كرده. يك ميدان مغناطيسي هم توليد شده است-
است باايم و برابر )172(
( )( )
01
0
ˆ2 ; 0ˆ2 ; 0
v x
v x
μ σ
μ σ
⎧+ >⎪= ⎨− <⎪⎩
kB
k
35
0xيدر ناحيهجهت اين ميدان مغناطيسي 0xيبرعكس جهت آن در ناحيه > پيكربندي اين . است<xميدان براي cT< نشان داده شده ) 31( در شكل
ي باردار در حال ين كه صفحهبازهم، خبر ا. استحركت جريان سطحي و نيز ميدان مغناطيسي توليد
0x ازتواند با سرعت نوركرده است، مي به =xبنابراين، براي. بيرون انتشار پيدا كند cT>
1(هنوز هم ميدان مغناطيسي صفر است 0=B .(ي كه در اثر حركت صفحه1Bتوجه كنيد كه ميدان
عمود است و 1Eباردار توليد شده است بر ميدان1اش برابر است بااندازه 1B E c= . اين از ويژگي
.هاي موج عرضي الكترومغناطيسي استكنند چقدر هاي اختاللي حمل ميانرژي كه اين ميدان
است؟
پس، داريم. شود داده ميSشار انرژي ميدان هاي الكترومغناطيسي با بردار پويينتينگ )173( 2 2
01 1
0 0 0 0
1 1 ˆ ˆˆ2 2 4
vv vc c
μ σσ σμ μ ε ε
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞= × = × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S E B j k i
را ) 171(ي رابطه( م هزينه كرديي باردار اين ، البته نصف مقدار كاري است كه براي به پايين كشيدن صفحههاي سمت كنند كه ميدانحمل مي سمت چپ همان مقدار شارانرژي به هاي سمت چپ صفحه ميدان اما.)ببينيد
0x در عبور از صفحه در1Bتوجه كنيد كه جهت ميدان مغناطيسي( راست به سوي راست حمل مي كنند = 0xكند و بنابراين، بردار پويينتينگ هم در گذار از تغيير نمي1E كند اما جهت ميدان ميتغيير جهتش =
درستكنند هاي اختاللي با خود حمل ميبنابراين، شاركل انرژي الكترومغناطيسي كه ميدان) . شودعوض ميي باردار هزينه شده است تا به كشش واحد سطحي است كه براي حركت دادن صفحه با مقدار كار دربرابر
كه آهنگ هاي الكترومغناطيسي اختاللي توليد كنيمپس، ما توانستيم ميدان. در ميدان الكتريكي چيره شويم .با آهنگ توليد انرژي در آنها برابر است ها ي توسط اين ميدانحمل انرژ
شود؟ پاسخ اين پرسش روشن كند از كجا فراهم ميكترومغناطيسي با خود حمل ميمقدار انرژي كه موج الكند بايد براي چيره دهد و موج الكترومغناطيسي توليد ميعامل خارجي يا كسي كه بار را تكان مي. است
ان ي توليد انرژي است؛ درست هماين عامل خارجي چشمه. شدن به ميدان الكتريكي اختاللي كار انجام دهدكشش دهد، براي چيره شدن به نيروي گونه كه براي توليد موج در ريسمان، كسي كه ريسمان را تگان مي
.در ريسمان بايد كار انجام دهدي بازگرداننده توليد موج الكترومغناطيسي سينوسي2-9
ي باردار را با سرعت به جاي اين كه صقحه توليد كنيم، ωايبراي اين كه موج سينوسي با بسامد زاويه
t ميدان مغناطيسي در زمان-31شكل cT=
36
به بيان . پايين حركت مي دهيم- در جهت باالωثابت به سوي پايين به حركت در آوريم، آن را با بسامد0ديگر، با سرعت
ˆcosv tω= −v jتريكي و هاي الكي بار نوسان كننده ميدانصفحه. داريم به حركت وامي0x برايمغناطيسي توليد خواهد كرد كه عبارت اند از<
)174( 0 0 0 01 1
ˆ ˆcos , cos2 2
c v vx xt tc c
μ σ μ σω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
E j B k
0xو براي داريم>)175( 0 0 0 0
1 1ˆ ˆcos , cos
2 2c v vx xt t
c cμ σ μ σω ω⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠E j B k
ه در باال براي حركت با سرعت ثابت ي تابي كها چنان انتخاب شده اند كه با دامنهدر اين دو رابطه دامنه1، برابر وايجاد كرديمي باردار صفحه 1E B c=اما اينك، سرعت با بسامد. باشدωكند با زمان تغيير مي .
) به صورتهاي اين توابع كسينوسي رااما چرا شناسه )t x c−و ( )t x c+نوشتيم؟ 0xنخست وضعيت 0x در جايي با tفرض كنيد در زمان. را در نظر بگيريد< نشته ايد و ميدان <
كنيد، نبايد به ن نقطه مشاهده ميميداني را كه در آن لحظه و در آ. گيريدالكتريكي را در آن نقطه اندازه ميي باردار اطالعات مربوط به صفحه. ي باردار چه مي كند بستگي داشته باشد صفحهtيلحظهاين كه در آن
xبه زمان c0ي مشاهده در نياز دارد تا به نقطهx ابراين، آنچه را كه مشاهده كننده در زمان بن. برسد<t0ي در نقطهx tترپيشي باردار در زماني گيرد مربوط به رفتار صفحه اندازه مي< x c−ميدان . است
به اين . ار محدود آن است در خود بازتاب بدهدالكتريكي بايد اين زمان تاخيري را كه به خاطر سرعت انتشt كميتtبه جاي) 174(ي ي ميدان ها در رابطهخاطر است كه در شناسه x c−همين . قرار گرفته است
0xيبحث براي ناحيه t جاي هم درست است، در اين ناحيه فقط به> x c− بايد t x c+در . قرار دهيم-اي از جشمهتوليد شده در ريسمان را در فاصلهي موج اگر بخواهيم دامنه. كنيمريسمان هم همين كار را مي
دستي كه ( ي توليد كننده موج ه رفتار چشمه بtي اندازه گيري ما در زماني آن اندازه بگيريم، نتيجهاين زماني است كه براي رسيدن موج به مكان اندازه . تر بستگي دارددر زماني پيش) دهدريسمان را تكان مي .گيري آن نياز است)اگر توجه كنيد كه ) ( )cos cost x c t kxω ω− = k است كه در آن− cω=گاه مي عدد موج است، آن
.تر بررسي كرديم الكترومغناطيسي را دارند كه پيش تختشكل موج هاي) 175(و ) 174(هاي بينيد كه رابطهاما در . هاي اختاللي اندهاي موج الكترومغناطيسي را كه به اين شكل توليد شدند، ميدانتوجه كنيد كه ميدان
توان اين ميدان مي. شودهاي موج ظاهر نميهم وجود دارد كه در معادله 0Eچيدمان ما ميدان استاتيك0x را در −σي باردار ديگري با چگالي باركافي است صفحه: استاتيك را با آرايش جديدي حذف كرد =
كند، اما ي متحرك را حذف ميميدان استاتيك صفحهميدان اين صفحه ، . قرار دهيم و آن را ساكن نگه داريمدر : كنندموج الكترومغناطيسي توليد ميدر عمل با اين روش . هاي اختاللي نخواهد داشتتغييري در ميدان
دهند و به همان را شتاب مي) معموال الكترون ها( محيطي كه از نظر باري خنثي است، بارهاي با يك عالمت به اين ترتيب، مشاهده كننده فقط ميدان هاي موج را . دارندالمت مخالف را ساكن نگه ميتعداد بارهاي با ع
موج حاصل از نوسان) 32(شكل . را صفر قرار دارد0Eتوان پس، به اين ترتيب مي.كندمشاهده مي
37
نشان ،باالستان الكتريكي به سوي كند و ميد حركت ميپاييناي كه صفحه به در لحظه راي باردارصفحهميدان مغناطيسي موج هم كه جهت آن به درون صفحه يا بيرون از صفحه است در شكل نشان داده . دهدمي
شده است
.شود توليد ميجرياني ميدان الكتريكي و موجي كه با نوسان صفحه-32شكل
اين فرض ها . يم موج الكترومعناطيسي را از دو فرض ساده بسازيمتوانست: گيري استاين دستاورد چشم اطالعات ) 2. (كندهاي ميدان الكتريكي به بار متصل است و با آن حركت مييك سرخط) 1(عبارتند از اين كه
موجي كه توليد . ساختيمبا اين دو شرط موج سينوسي . ، انتشار مي يابدcمربوط به ميدان با سرعت نور،ي نسبت اندازه. هاي الكتريكي و مغناطيسي عمود برهم دارد كه برجهت انتشار موج عمود اندكرديم ميدان
چنين، ديديم كه شار انرژي كه موج هم. ميدان الكتريكي به ميدان مغناطيسي موج با سرعت نور برابر است=0μكند،حمل مي ×S E B هاي الكتريكي و دارد و ميدانعاملي كه بارها را به تكان وامي. آيدكجا مي ، از
تر بارها پيچيدهي آرايهاگر هندسه. كاردها ميكند، انرژي را هم در اين ميدانمغناطيسي موج را توليد ميي اي اين هندسه تصوير كلي همان است كه در اينجا و برشود، اماتر مي اين بحث هم پيچيده جزيياتباشد،
.ساده گفته شد)ˆرا برحسب چگالي جريان سطحي صفحه ) 175(و ) 174(هاي ، بگذاريد رابطهسرانجام ) ( )t v tσ=K j هم 0چون. بنويسيم
ˆ( ) cost v tω= −v j 0 است، بنابراينˆ( ) cost v tσ ω= −K jو در نتيجه
)176( )177(
0 11 1
0 11 1
( , )ˆ( , ) ( ) , ( , ) ; 02
( , )ˆ( , ) ( ) , ( , ) ; 02
c x tx t t x c x t xc
c x tx t t x c x t xc
μ
μ
= − − = × >
= − + = − × <
EE K B i
EE K B i
)1توجه كنيد كه جهت , )x tBچيزي كه بنا به قانون آمپر بايد هم . شودي جريان وارون مي با گذر از صفحههاي ي جريان نوسان كننده بايد موج هاي الكترومغناطيسي تخت توليد كند كه با معادلههر صفحه. روي بدهد
.شوندتوصيف مي) 177(و ) 176(
38
كنيم براي جلوگيري از گمراهي ممكن در درس پيشرفته تر الكترومغناطيس، در اين جا يادآوري مي:نكته نوسان كننده تنهايشود كه يك بار ابشي پرداخته ميكه در درس الكتروديناميك به بررسي ميدان هاي ت
اين بسيار متفاوت از آنچه . بار توليد كننده متناسب اندشتاب ها با خواهيد ديد كه اين ميدان.كندتوليد مياما در . بارها متناسب است سرعتاي تابشي با هر اينجا ميداند. رسدكه در اينجا گفته شد، به نظر مي
صفحه توليد تك بارها يي اگر ميدان هاي تابشي را كه همه: اين دو تناقضي وجود نداردواقعيت، بين .آوريدرا دوباره به دست مي) 177(و ) 176(كنند با هم جمع كنيد، همان رابطه هاي مي
