Upload
bertha-briggs
View
247
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
EMLAB
Microwave Engineering
Chap. 3.7 ~ Chap. 3.11
2
EMLAB
3.7 Stripline
Stripline ≒ “Flattened-out” coax
TEM mode phase velocity, propagation constant
Characteristic impedance
𝑣𝑝=1
√𝜇0𝜖0𝜖𝑟=𝑐
√𝜖𝑟
𝑍 0=√ 𝐿𝐶=√𝐿𝐶𝐶
=1𝑣𝑝𝐶
3
EMLAB
3.7 Stripline
Z0 구하기 (1) – Conformal mapping 을 통해 구한 exact solution 을 curve fitting 하여
구함 .
Z0 는 정해져 있고 stripline 의 너비 W 를 구하려는 경우𝑊𝑏
={ 𝑥 𝑓𝑜𝑟 √𝜖𝑟 𝑍 0<120Ω0.85−√0.6−𝑥 𝑓𝑜𝑟 √𝜖𝑟 𝑍0>120Ω
𝑍 0=30𝜋
√𝜖𝑟𝑏
𝑊 𝑒+0.441𝑏
𝑊𝑒
𝑏=𝑊𝑏− { 0 𝑓𝑜𝑟
𝑊𝑏
>0.35
(0.35−𝑊𝑏 )2
𝑓𝑜𝑟𝑊𝑏
<0.35
4
EMLAB
3.7 Stripline (cont’d)
Z0 구하기 (2) – approximate electrostatic solution
Φ (𝑥 , 𝑦 )={ ∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐴𝑛cos𝑛𝜋 𝑥𝑎
sinh𝑛𝜋 𝑦𝑎
𝑓𝑜𝑟 0≤ 𝑦 ≤ 𝑏2
∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐵𝑛cos𝑛𝜋 𝑥𝑎
sinh𝑛𝜋𝑎
(𝑏− 𝑦 ) 𝑓𝑜𝑟 𝑏2≤ 𝑦 ≤𝑏
필드가 내부 도체 근처에만발생한다는 가정 → |a|/2 에 도체벽a>>b
𝛻𝑡2Φ (𝑥 , 𝑦 )=0 𝑓𝑜𝑟|𝑥|≤ 𝑎
2,0≤ 𝑦 ≤𝑏
𝑘𝑥2+𝑘𝑦
2=0
5
EMLAB
3.7 Stripline (cont’d)
at y=b/2 An=Bn.
surface charge density
𝐸𝑦=−𝜕Φ𝜕 𝑦
={ −∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐴𝑛(𝑛𝜋𝑎 ) cos𝑛𝜋 𝑥𝑎 cosh𝑛𝜋 𝑦𝑎
𝑓𝑜𝑟 0≤ 𝑦 ≤ 𝑏2
∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐵𝑛 (𝑛𝜋𝑎 )cos 𝑛𝜋 𝑥𝑎 cosh𝑛𝜋𝑎
(𝑏−𝑦 ) 𝑓𝑜𝑟 𝑏2≤ 𝑦 ≤𝑏
𝜌𝑆=𝐷𝑦 ¿
6
EMLAB
3.7 Stripline (cont’d)
surface charge density 가 상수임을 가정 , 미지수 An 을 구함 .
strip(center conductor) (-W/2 ~ W/2) 전압 :
𝑉 avg=1𝑊 ∫
−𝑊2
𝑊2
∫0
𝑏2
𝐸𝑦 (𝑥 , 𝑦 )𝑑𝑦𝑑𝑥=∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐴𝑛 ( 2𝑎𝑛𝜋𝑊 )sin 𝑛𝜋𝑊2𝑎 sinh
𝑛𝜋𝑏2𝑎
∴𝐴𝑛=2𝑎 sin(𝑛𝜋𝑊 /2𝑎)
(𝑛𝜋 )2𝜖0𝜖𝑟 cosh (𝑛𝜋 𝑏/2𝑎)
𝜌𝑆 (𝑥 )={1 𝑓𝑜𝑟|𝑥|<𝑊 /20 𝑓𝑜𝑟|𝑥|>𝑊 /2
𝜌𝑆=2𝜖0𝜖𝑟∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐴𝑛 (𝑛𝜋𝑎 )cos 𝑛𝜋 𝑥𝑎 cosh𝑛𝜋𝑏2𝑎 양변에 곱하고
-a/2 ~ a/2 구간에서 x 에 대해 적분
cos𝑛𝜋 𝑥𝑎
7
EMLAB
3.7 Stripline (cont’d)
strip(center conductor) 의 단위 길이당 총 전하
stripline 의 단위 길이당 capacitance
𝐶=𝑄𝑉 avg
=𝑊
∑𝑛=1𝑜𝑑𝑑
∞
𝐴𝑛( 2𝑎𝑛𝜋𝑊 )sin 𝑛𝜋𝑊2𝑎 sinh
𝑛𝜋 𝑏2𝑎
F /m
𝑄= ∫−𝑊 /2
𝑊 /2
𝜌𝑆 (𝑥 )𝑑𝑥=𝑊 Coul /m
8
EMLAB
3.8 Microstrip Line
Quasi-TEM mode phase velocity, propagation constant
εe: effective dielectric constant.
𝑣𝑝=𝑐
√𝜖𝑒 단 ,1<𝜖𝑒<𝜖𝑟
𝜖𝑒=𝜖𝑟+12
+𝜖𝑟 −12
1√1+12𝑑 /𝑊
9
EMLAB
3.8 Microstrip Line (cont’d)
W,d 등을 알고 있을 때 Z0 구하기
Z0 가 알려진 경우 W/d 비율 구하기
𝑍 0={60
√𝜖𝑒ln( 8𝑑𝑊 +𝑊
4𝑑 ) 𝑓𝑜𝑟 𝑊𝑑 ≤1120𝜋
√𝜖𝑒[𝑊𝑑 +1.393+0.667 ln(𝑊𝑑 +1.444)]𝑓𝑜𝑟 𝑊
𝑑≥1
𝑊𝑑
={ 8𝑒𝐴
𝑒2 𝐴−2𝑓𝑜𝑟 𝑊
𝑑<2
2𝜋 [𝐵−1−ln (2𝐵−1 )+
𝜖𝑟−12𝜖𝑟 {ln (𝐵−1 )+0.39− 0.61
𝜖𝑟 }] 𝑓𝑜𝑟 𝑊𝑑 >2
10
EMLAB
3.9 The Transverse Resonance Technique
도파관의 transverse cross section ( 직사각형 혹은 원형 등 ) 에 전송선로 모델을 도입 ,
차단 주파수를 구함 .
차단주파수에서 도파관의 정재파 = 공진주파수에서의 전송선로
TE0n Modes of a Partially Loaded Rectangular Waveguide
Characteristic impedance for TE mode
𝛽=√𝜖𝑟 𝑘02−𝑘𝑦𝑑2 =√𝑘02−𝑘𝑦𝑎2
𝑍 𝑖𝑛𝑟 (𝑥 )+𝑍 𝑖𝑛
𝑙 (𝑥 )=0 𝑓𝑜𝑟 𝑎𝑙𝑙 𝑥 r:right, l: left
𝑍 𝑑=𝑘𝜂𝑘𝑦𝑑
=𝑘0𝜂 0𝑘𝑦𝑑
,𝑍𝑎=𝑘0𝜂0𝑘𝑦𝑎
𝑘𝑦𝑎 tan𝑘𝑦𝑑𝑡+𝑘𝑦𝑑 tan𝑘𝑦𝑎 (𝑏−𝑡)=0
11
EMLAB
3.10 Wave Velocities and Dispersion
The speed of light in a medium
The phase velocity
Dispersion:
Group velocity: 협대역 신호의 전파 속도
신호 f(t)
𝐹 (𝜔 )=∫−∞
∞
𝑓 (𝑡 )𝑒− 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡↔ 𝑓 (𝑡 )= 12𝜋 ∫
−∞
∞
𝐹 (𝜔 )𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
lossless matchedTL or WG
𝐹 𝑜 (𝜔 )=𝑍 (𝜔 )𝐹 (𝜔 )
12
EMLAB
3.10 Wave Velocities and Dispersion (cont’d)
lossless TEM mode 출력 신호 (propagation constant 가 주파수의 1 차 함수인 경우 )
시간지연 O, distortion X.
lossless TEM propagation constant
Narrow input signal
f(t) 의 높은 주파수 성분을 , (carrier frequency)
Output signal spectrum (freq. domain, time domain)
𝑓 𝑜 (𝑡 )= 12𝜋 ∫
−∞
∞
𝐹 (𝜔 )|𝑍 (𝜔)|𝑒 𝑗 (𝜔𝑡 −𝜓 )𝑑𝜔
𝑆 (𝜔 )=∫−∞
∞
𝑓 (𝑡 ) cos𝜔𝑜 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡=𝐹 (𝜔−𝜔𝑜 )
𝑆𝑜 (𝜔 )= 𝐴2 [𝐹 (𝜔−𝜔𝑜 )+𝐹 (𝜔+𝜔𝑜) ]𝑒− 𝑗 𝛽 𝑧
13
EMLAB
3.10 Wave Velocities and Dispersion (cont’d)
F(ω) 가 협대역 신호일 경우 (ωm≪ωo) propagation constant β 를 테일러 급수 전개
라 하면
𝑣𝑔=1𝛽𝑜′ =( 𝑑 𝛽𝑑𝜔 )
−1|𝜔=𝜔𝑜
𝛽 (𝜔 )=𝛽 (𝜔𝑜 )+ 𝑑 𝛽𝑑𝜔|
𝜔=𝜔 𝑜
(𝜔−𝜔𝑜 )+ 12𝑑2 𝛽𝑑𝜔2|
𝜔=𝜔𝑜
(𝜔−𝜔𝑜 )2+….
𝑠𝑜 (𝑡 )= 𝐴2𝜋
ℜ{𝑒 𝑗 (𝜔𝑜 𝑡− 𝛽𝑜 𝑧 ) ∫−𝜔𝑚
𝜔𝑚
𝐹 ( 𝑦 )𝑒 𝑗 (𝑡 −𝛽𝑜′ 𝑧 ) 𝑦𝑑𝑦 }
14
EMLAB
3.11 Summary of Transmission Lines and Waveguides (cont’d)
15
EMLAB
3.11 Summary of Transmission Lines and Waveguides (cont’d)
Ridge Waveguide (BW ↑, Power handling capacity ↓)
ridge – cutoff freq. 를 낮춰주는 역할
Dielectric Waveguide
εr2>εr1.
lossy at bends or
junctions.
Slotline
quasi-TEM mode
16
EMLAB
3.11 Summary of Transmission Lines and Waveguides (cont’d)
Coplanar waveguide
quasi-TEM mode
Covered microstrip