EMS Vorlesungsteil Binder Kap 1 Einführung 20181019 · 1. Diese Größenänderungen und die zusätzlich auftretenden magnetischen Diese Größenänderungen und die zusätzlich auftretenden

TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 1. Einführung / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder

Elektromechanische SystemeElektromechanische SystemeTeil A (Prof. Binder):Teil A (Prof. Binder):Mathematische Analyse von Wandlern & Mathematische Analyse von Wandlern & AktorenAktoren

1. Einf1. Einfüührung hrung

1. Einführung2. Grundlagen3. Formale Behandlung elektromechanischer diskreter Systeme4. Methode der Lagrange-Gleichungen5. Elektromechanische Grundsysteme6. Dynamische Untersuchung des Wandlerverhaltens7. Analyse ausgewählter elektromechanischer Wandler


Elektromechanische Systeme1. Einführung

Vorlesungsziele der Abschnitte von Prof. Binder:- Physikalisches Verständnis der elektromechanischen Wandlungsprinzipien- Methoden zur Analyse und mathematischen Beschreibung elektromech.

Wandler- Untersuchung ausgewählter Wandler-Grundanordnungen

Für einen Überblick über unterschiedliche Wandlertypen und deren Einsatzgebieten wird Literatur empfohlen:

1a) R. G. Ballas; G. Pfeifer; R. Werthschützky: Elektromechanische Systeme der Mikrotechnik und Mechatronik: Dynamischer Entwurf - Grundlagen und Anwendungen, Springer, Heidelberg, 2009

1b) A. Lenk; R. G. Ballas; K. Mayer; R. Werthschützky; G. Pfeifer: ElectromechanicalSystems in Microtechnology and Mechatronics: Electrical, Mechanical and Acoustic Networks, their Interactions and Applications, Springer, Heidelberg, 2011

2) U. Marschner; R. Werthschützky: Aufgaben und Lösungen zur Schaltungsdarstellung und Simulation elektromechanischer Systeme: In Mikrotechnik und Mechatronik, Springer, Heidelberg 2015



Ergänzende Literatur zu den Vorlesungsabschnitten von Prof. Binder:1) H. H. Woodson; J. R. Melcher: Electromechanical Dynamics, Part 1: Discrete

Systems, Wiley, New York, 1968 2) J. Meisel: Principles Of Electromechanical Energy Conversion, McGraw-Hill, New

York, 19663) H.-J. Dirschmid: Mathematische Grundlagen der Elektrotechnik (+ Begleitband:

Lösungen u. Hinweise), 4. Aufl.; Vieweg, Wiesbaden, 19964) T. Arens et al.: Mathematik: 3. Aufl.; Spektrum Akad. Verlag & Springer,

Heidelberg, 20155) K. Küpfmüller; K. Mathis; A. Reibiger: Theoretische Elektrotechnik, 19. Aufl.,

Springer, Heidelberg, 2013



Lehrunterlagen von Prof. Binder:a) Auf Moodle-Plattform, b) Auf Homepage des Instituts für Elektrische Energiewandlung,

1) Kompletter Foliensatz (pdf)2) Aufgabensammlung mit Musterlösungen und Theoriefragen (pdf)3) Übungsunterlagen werden der Aufgabensammlung entnommen


Vorlesung

M. Sc. Sascha NeusüsInstitut für Elektrische Energiewandlung

TU Darmstadt 64283, Landgraf-Georg-Strasse 4, Darmstadt

tel.: +49-6151-16-24192fax.:+49-6151-16-24183

e-mail: [email protected]

Übungen

Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas BinderInstitut für Elektrische Energiewandlung

TU Darmstadt 64283, Landgraf-Georg-Strasse 4, Darmstadt

tel.: +49-6151-16-24181 o. 24182fax.:+49-6151-16-24183

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Prüfung

Schriftlich

2 Stunden

3 Berechnungsaufgaben

Verständnisfragen zur Theorie

2 Prüfungstermine pro Jahr

Liste der Verständnisfragen in der Aufgabensammlung



• Verwendete Formelzeichen: siehe Aufgabensammlung

• Das griechische Alphabet:

Alpha Beta Gamma Delta

Epsilon Zeta Eta Theta

Jota Kappa Lambda My (mue)

Ny (nue) Xi Omikron Pi

Rho Sigma Tau Ypsilon

Phi Chi Psi Omega


TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 2. Grundlagen / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder

Elektromechanische Systeme Elektromechanische Systeme

2. Grundlagen2. Grundlagen

• Dynamische Grundgesetze der Mechanik und Elektromagnetik• Materialgesetze• Kraftgesetze• Energiebegriffe• Einführendes Beispiel:

Kopplung eines mechanischen mit einem el.-magn. System


Elektromechanische Systeme2. Grundlagen

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und Elektromagnetik Materialgesetze Kraftgesetze Energiebegriffe Einführendes Beispiel:



Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikMechanische Grundgleichungen

• Die mechanischen Grundgleichungen geben Bewegungen von massebehafteten Körpern durch Kräfte und Drehmomente bezüglich eines Beobachters B (der das Bezugssystem darstellt) wieder

• Wenn die Geschwindigkeiten v der Bewegung bezüglich B KLEIN gegenüber der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 3.108 m/s ist, gelten die drei NEWTON´schen Gesetze

• Bei hohen Geschwindigkeiten v müssen mit den Gesetzen der speziellen Relativitätstheorie diese NEWTON´schen Gesetze korrigiert werden Die Umrechnung der NEWTON-Gesetze von bewegtem System zum ruhenden Bezugssystem B erfolgt mit derLORENTZ-Transformation, wobei sich die „Formeln“ ändern Bewegte Körper erscheinen von B aus verkürzt,

die Zeit im bewegten System vergeht langsamer. Der Formelapparat für das bewegte System ändert sich bezüglich B

• Elektromechanische Wandler: Kleine Geschwindigkeiten v Statt LORENTZ- kann näherungsweise GALILEI-Transformation (=Geschwindigkeitsaddition) verwendet werden Abmessungen bewegter Körper bleiben bzgl. B erhalten, Einheitliche Zeit bzgl. B in allen Systemen Einheitlicher Formelapparat für ruhenden und bewegte Systeme


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikNichtrelativistische mechanische Grundgleichungen

• Die mechanischen Grundgleichungen („Bewegungsgleichungen“) können auf zwei Artenformuliert werden:

• a) Mit Verwendung der NEWTON´schen Axiome:1. Ein kräftefreier Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig

mit konstanter Geschwindigkeit.2. Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung.3. Eine Kraft von Körper A auf Körper B verursacht immer eine gleich große,

aber entgegen gerichtete Kraft von Körper B auf Körper A

• b) Mit Verwendung des LAGRANGE-Formalismus:1. Die Dynamik eines Systems wird durch eine einzige skalare (LAGRANGE)-Funktion

beschrieben.2. Aus der LAGRANGE-Funktion werden die Bewegungsgleichungen mit den EULER-

LAGRANGE-Gleichungen der Variationsrechnung aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung bestimmt.

• Vorteil von b) gegenüber a): Bei Systemen mit vielen unterschiedlich bewegten Körpern (Mehrkörpersystemen) können die Bewegungsgleichungen leichter angegeben werden das Freischneiden der einzelnen Körper mit dem Aufstellen des Kräftegleichgewichts je Körper (mit Einführung von Zwangskräften zwischen den Körpern) entfällt.


Polares Trägheitsmoment J = m.r2

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und Elektromagnetik2. NEWTON-Gesetz für Linear- und DrehbewegungMechanik: Impulserhaltungssatz:

Der Gesamtimpuls in einem abgeschlossenen System ist konstant ist:

Konstanz des Impulses g Konstanz des Drehimpulses Dkonst. vmg

konst.)( vrmgrD

Trägheits-Kraft = Impulsänderung Trägheits-Drehmoment = Drehimpulsänderung

dtgdF / dtDdM /

xmFdtvdmF

m

/

:konst

Beispiel: Drehbewegung: r = konst.Drehwinkel , Winkelgeschwindigkeit Drehzahl n = m/(2)

m

m

JMrmrmrxmrM

FrMFrMrx

2

:

m

r

v

m

D

m

Wiederholung


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikElektromagnetische Grundgleichungen

• Die elektromagnetischen Grundgleichungen geben die gekoppelt elektrischen und magnetischen Vorgänge im Vakuum, in elektrisch geladenen, in stromdurchflossenen, in polarisierbaren / magnetisierbaren Körpern bezüglich eines Beobachters B (der das Bezugssystem darstellt) wieder

• Unabhängig, ob die Geschwindigkeiten v der Bewegung bezüglich B KLEIN gegenüber der Vakuumlichtgeschwindigkeit c0 3.108 m/s sind oder nicht, gelten die vier MAXWELL´schenGesetze

• Bei der Umrechnung der MAXWELL-Gesetze vom bewegtem System zum ruhenden Bezugssystem B mit der LORENTZ-Transformation ändern sich die Gesetze nicht

• Allerdings ändern sich dabei die elektromagnetischen Größen D, E, B, H ! Z. B.: Ein bewegtes magnetisches System (B, H) hat aus der Sicht vom ruhenden B nun

geänderte Werte B´, H´ und zusätzliche elektrische Größen D´, E´(Dies gilt auch umgekehrt: z. B: RÖNTGEN- und ROWLAND-Effekt)


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikBewegungsinduktion

• Elektromechanische Wandler: Kleine Geschwindigkeiten v Zwar ändern sich die elektromagnetischen Größen D, E, B, H in D´, E´, B´, H´,aber 1. Diese Größenänderungen und die zusätzlich auftretenden magnetischen

Größen sind vernachlässigbar klein.2. ABER:

Die zusätzliche Größe E´ - E muss berücksichtigt werden („Bewegungsinduktion“)Für v << c0 gilt:

BvEBvEE b

´


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikElektromagnetische Grundgesetze (ohne Relativbewegung v)

Elektromagnetische Grundgesetze (MAXWELL-Gleichungen in integraler Form):

tsdH e

AC

0

0,

AA

AdB

QAdDAA

e 0,

Ampere-Maxwell-Gesetz Faraday-Gesetz Magn. Hüllenfluss

k

kk INe

AAdD

El. Durchflutung Magnetischer Fluss Elektrischer Fluss

El. Hüllenfluss

tsdE

AC

A

AdB

I

D

H

CA

B

E

C

A

Geschlossene Fläche A

Q

D

D

D

C = A: (geschlossene) Randkurve der Fläche A

Wiederholung


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikEl.-magn. Grundgesetze für kleine Frequenzen

tsdH e

AC

00,

AA

AdB

QAdDAA

e 0,

Ampere-Maxwell-Gesetz

Faraday-Gesetz

Magn. Hüllenfluss

El. Hüllenfluss

tsdE

AC

Ampere-Gesetz

te

AC

sdH

Gelten weiterhin allgemein

Gilt streng nur bei statischen Feldern

Elektromagnetische Grundgesetze in integraler Form: (ohne Relativbewegung v)


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikAMPERE‘scher Durchflutungssatz

1l2l 3l

4l5l

6l

H

Geschlossene Kurve C = z. B. Feldlinie von H, Strom I, Spulenwindungszahl N (= 4 im Bild)

Magnetische Flussdichte B (Tesla, T)Magnetische Feldstärke H (A/m)

Durchflutungssatz:In einem magnetischen Feld ist das Linienintegral über die magnetische Feldstärke Hentlang einer in sich geschlossenen Linie C stets gleich dem gesamten elektrischen Strom N.I(als Durchflutung ), der durch die von dieser Linie gebildeten Fläche hindurch tritt.

nn22C

11 lH....lHlHINΘsdH

Im Bild: n = 6 Abschnitte

Wiederholung

Gültig für kleine Frequenzen:


Jede Änderung des mit der Leiterschleife C verketteten Flusses ruft eine induzierte Spannung ui hervor

Die induzierte Spannung ist die negative Änderung des Flusses.

dt/dui A

AdBΦ

:Fluss WebersV

a)B variabelA konstant

A

B: FlussdichteA: Flussführende

Fläche

b)B konstantA variabel

Eb

Änderung von : a) B ändert sich, b) Fläche A ändert sich mit Geschwindigkeit v

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikFARADAY´sches Induktionsgesetz Wiederholung


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikFlussverkettung

Hat die Schleife N Windungen in Serie, so ist ui N-mal so groß:

Flussverkettung

Änderung von : a) B ändert sich (KEINE Relativbewegung v), b) Fläche A ändert sich mit (Relativ-)Geschwindigkeit v << c0

Produktregel beim Differenzieren:

ΦNΨ dt/dui

dt/dNui

dt/dui A

AdBΦ

:Fluss WebersV

sV

)(.

CkonstAA

sdBvAdtBAdB

dtd

dtd

dt

dsdBvNAdtBNsdEEu

CACNbwii

)(

Wiederholung


Rotierende Ankerwicklung inGleichstrommaschinen

Transformatorspulen Ständerspulen in Drehfeldmaschinen

Rotatorische InduktionTransformatorische Induktion

Anwendung des Induktionsgesetzes:

BewegungsfeldstärkeWirbelfeldstärke

Spule bewegt sich mit Geschwindigkeit vSpule ruht

Flussdichte B zeitlich konstantFlussdichte B zeitlich veränderlichBewegungsinduktionRuhinduktion

t/BEE wiwi

rot BvEb

dt/dNdt/dui

sdEtu wii

/ sdEsdBvu bi

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikRuh- und Bewegungsinduktion (v << c0) Wiederholung


ui

i

dtdui /iRuu i

i

ui

uR

Ersatzschaltbild:

R: Schleifen-Widerstandu: Klemmenspannungui: induzierte Spannunguq = -ui: Quellen-Spannung

ui

i

uR

uq

i

uR

dtdiRu /

Verbraucher-Zählpfeilsystem für u, i

quiRu dtduu iq /

Beispiel:a) Leerlaufende Schleife: i = 0 u = -ui = uq = d/dtb) Kurzgeschlossene Schleife:

u = 0 i = ui/R = -uq/R = -(d/dt)/R NEGATIVER Strom!

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikBeispiel: Induktion in eine Leiterschleife - Ersatzschaltbild

Wiederholung


Das Feld Be(i) bremst die resultierende Feldänderung = „Magnetische Trägheit“!

i = ui/R = -(d/dt)/R NEGATIVER Strom!

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikBeispiel: Induzierung einer Kurzschluss-Schleife

i


uhu

RL

i1

Ersatzschaltbild: Verbraucher-Zählpfeilsystem für u, i = i1

L: Selbstinduktivität von i1M: Gegeninduktivität eines Fremdstromsystems i2

Gesamtflussverkettung der Schleife:

Streuinduktivität:

i

uqu

R

dtdiRu /

dtiidMdtdiMLuq /)(/)( 211

dtduu iq /

21 iMiL MLL

hudtdiLiRu /11

Hauptfeldspannung: dtiidMuh /)( 21

Hauptflussverkettung:

)( 21 iiMh Streuflussverkettung:

1iL

dtddtdu hq //

dtdiMdtdiLdtduq /// 21

Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikInduzierte Spannung – Selbst- und Gegeninduktion


Dynamische Grundgesetze der Mechanik und ElektromagnetikElektromagnetische Grundgleichungen

• Die elektromagnetischen Grundgleichungen können auf zwei Artenformuliert werden:

a) Mit Verwendung der vier MAXWELL´schen Gleichungen:1. In lokaler (= differentieller) Form mit den lokalen Feldgrößen D, E, B, H oder2. In globaler (= integraler) Form mit den Größen u, i, (bzw. ), e, Q, und

Parametern R, L, C und Anwendung der beiden KIRCHHOFF´schen Gesetze

b) Mit Verwendung des LAGRANGE-Formalismus:1. Für lokale Feldgrößen fußt die skalare (LAGRANGE)-Funktion auf dem Vektorpotential A

Für numerische Feldberechnungen wird bei der Methode der Finiten Elemente für endlich große („finite“) Geometrieelemente durch Variationsrechnung aus dem Prinzip derkleinsten Wirkung das elektromagn. Feld bestimmt. Dabei wird A über jedem finiten Element als linear oder quadratisch von (x, y, z) abhängige Größe angenähert

2. Für globale Größen u, i wird die LAGRANGE-Funktion wie in der Mechanik über den Energiebegriff gebildet. Mit der Variationsrechnung werden - anstelle mit den KIRCHHOFF´schen Gesetzen – die Strom- und Spannungsgleichungen aufgestellt.

)grad(1div,rot 20

E

tcAAB

: elektrisches Potential






MaterialgesetzeElastisch verformbare Materie

Elastizität: Körpereigenschaft, unter Krafteinwirkung die Körperform zu verändern und bei

Wegfall der einwirkenden Kraft in die Ursprungsform zurückzufedern

Sonderfall: Linear-elastischer Körper im einachsigen Spannungszustand

(= eindimensionales HOOKE´sches Gesetz):

EFA

l l

Elastischer Stab

Elastischer Stab (Länge l, unverformter Querschnitt A): Angriff einer äußeren Kraft F:

Mechanische Spannung: Elastische Verlängerung des Stabs: l „Dehnung“: = l / l

Elastizitätsmodul E ist Werkstoff-Eigenschaft

AF /

Wiederholung

Thermoelastizität: Elastische Körperverformung bei Wärmezufuhr (z. B: Wärmedehnung).

Aber auch Änderung der mechanischen Spannungen, wenn Verformung nicht möglich ist.


MaterialgesetzeElektrisch polarisierbare Materie

Dielektrika: I. A. elektrisch nicht oder schwach leitfähige Stoffe, deren Moleküle versuchen,

sich im äußeren elektrischen Feld E in oder gegen die Feldrichtung E auszurichten

(„polarisieren“). Dadurch erregen sie ein zusätzliches elektrisch wirksames Feld, die

elektrische Polarisation P Das resultierend wirksame elektrische Feld ist die dielektrische Verschiebung

(el. Flussdichte) D: PED

0

Isotrope Dielektria: Die Wirkung der Polarisierung ist unabhängig von der Raumrichtung

Lineare Polarisierbarkeit:

r = konstant

Nichtlineare Polarisierbarkeit: r(E)

EEPEDEP r

00~

r 1: relative Permittivität


MaterialgesetzeMagnetisierbare Materie

Magnetisierbare Werkstoffe:

Ferromagnetika, Anti-Ferromagnetika, Ferri-Magnetika, Diamagnetika, Paramagnetika

I. A. elektrisch leitfähige Stoffe, deren Moleküle versuchen, sich im äußeren magnetischen

Feld H in oder gegen die Feldrichtung H auszurichten. Dadurch erregen sie ein zusätzliches

magnetisch wirksames Feld (= magnet. Polarisation JM bzw. Magnetisierung M = JM/0).

Oberhalb der CURIE-Temperatur Tc verschwindet der Ferro-/Anti-Ferromagnetismus!

Fe: 768°C, Ni: 350°C, Co: 1150°C, Ba- u. Sr-Ferrite: 100 … 460°C je nach Typ

Das resultierend wirksame magnetische Feld ist die magnetische Induktion

(mag. Flussdichte) B: MHJHB M

000

Isotrope Magnetika: Die Magnetisierungswirkung ist unabhängig von der Raumrichtung:

a) Linear: r = konstant:

b) Nichtlinear: r(H)

HHJHBHJ rMM

00~r 1: relative Permeabilität


1: „Weichmagnetisches“ Material: HC klein(z. B. Eisen, Nickel, Kobalt, …)

2: „Hartmagnetisches“ Material: HC groß:Permanentmagnete (z. B. Ferrite, Al-Ni-Co-Magnete, Selten-Erd-Hochenergiemagnete wie NdFeB, SmCo, …)

Quelle: Fischer, R., Ele. Maschinen, Hanser-Verlag

▪ B(H)-Kurve hängt nichtlinear von H ab:

▪ r(H): Relative Permeabilität: z. B. spezielles Eisenblech: r;max = ca. 5000 … 7000

▪ Tatsächlich haben B(H)-Kurven eine „Hysterese“ = Schleifenform der B(H)-Kennlinie:Es treten Remanenzflussdichte BR und Koerzitivfeldstärke HC auf

HHHJHHB rM

)()()( 00

- „Sättigung“ des Werkstoffs:

B lässt sich trotz H-Vergrößerung kaum mehr erhöhen, da alle „Elementarmagnete“ im Werkstoff parallel zu Hausgerichtet sind Sättigung setzt bei Eisen ab etwa 1.7 T ein!

MaterialgesetzeFerromagnetische Werkstoffe (hier: isotrop)

Ferroelektrika (Elektrete): Hystereseschleife D(E)


Permanentmagnete (Dauermagnete):- AlNiCo,- Ba-Ferrite und Sr-Ferrite,- Selten-Erd-Magnete Sm2Co17 und NdFeB

Magnetische Flussdichte im Permanentmagnet:

JM: Magnetische Polarisation

Gesättigte Werte: Index s

Remanenzflussdichte: BR = JRKoerzitivfeldstärke: HCJ und HCB

MMM JHB 0

Selten-Erd- und Ferritmagnete: Für –HCJ < HM < HCJ: JM(HM) Js = konst.: sMM JHB 0

sMMRMMM JHBHB 00 05.1:typisch MM

MaterialgesetzeSelten-Erd- und Ferrit-Dauermagnete


B(H)-Hystereseschleife: i. A. sinken BR, HC mit steigender Temperatur bis Tc(1): Al-Ni-Co: Hohes BR, aber kleines HC(2): Ba-Ferrite, Sr-Ferrite: HC steigt mit steigender Temperatur in gewissem Temp.bereich(3): Sm2Co17 (max = 350°C): Für hohe Dauertemperaturen wegen Co geeignet (4): NdFeB (max = 180°C): i. A. kostengünstiger als SmCo!

MaterialgesetzeMagnetkennlinien im 2. Quadranten

20°C

Quelle: Fischer, R., Ele. Maschinen, Hanser-Verlag

-

Hart-magnetisch

2. Quadrant Weichmagnetisch


MaterialgesetzeElektrische vs. magnetische Größen

Energiedichte (lineares Material)

L . I 2/2 = . I / 2 C . U 2/2 = Q . U / 2Energie (lineares Material)

L (V.s/A) L = / IC (A.s/V) C = Q / U"Geometriefaktor“

0 = 4..10-7 V.s/(A.m)0 = 8.854.10-12 A.s/(V.m)Feldkonstante

r (-)r (-)rel. Werkstoffparameter

JM (V.s/m2)P (A.s/m2)Polarisation

H (A/m)E (V/m)Feldstärke

B (V.s/m2)D (A.s/m2)Flussdichte

MagnetostatikElektrostatik

2/HB

2/ED


MaterialgesetzeErzeugung magnetischer Felder

Stromdurchflossene Spulen Permanentmagnete

- Erregerverluste (Abhilfe: Supraleitung) + keine Verluste

- Stromversorgung nötig + einfacher Aufbau der el.-mech. Wandler

+ (beliebig) hohe Felder möglich

- Magnetfeld begrenzt auf ca. 1 T

+ Magnetfeld veränderbar - Gefahr der Entmagnetisierung

+ fallweise kostengünstiger

Material: Kupfer, Aluminium Eisen-Nickel-Kobalt-Legierungen u. Isolierstoff Sinterwerkstoffe mit Seltenen Erden


MaterialgesetzeElektromagnetisch-mechanisch wechselwirkendeMaterie

Neben elastischen Materialien, Dielektrika und Magnetika gibt es zahlreiche weitere Materialtypen, die für die Anwendung in elektromechanischen Systemen interessant sind,z. B.: Piezoelektrizität: Änderung der elektrischen Polarisation P an Festkörpern, wenn

sie elastisch verformt werden (Druck- oder Zugspannung), und umgekehrt („Elektrostriktion“). Piezoresistiver Effekt: Änderung des elektrischen Widerstands R eines Materials

durch Druck- oder Zugspannung. Piezomagnetismus: Änderung der magnetischen Polarisation J an magnetischen

Festkörpern, wenn sie elastisch verformt werden (über Druck- oder Zugspannung), und umgekehrt (Magnetostriktion z.B.: „Trafo-Brummen“).


MaterialgesetzeElektromagnetisch-thermisch wechselwirkende Materie

Thermoelektrische Stoffe:Gegenseitige Beeinflussung von Temperatur und Elektrizität Seebeck-Effekt: In einem Stromkreis aus zwei verschiedenen elektrischen

Leitermaterialien entsteht bei einer Temperaturdifferenz zwischen den Kontaktstellen dort eine elektrische Spannung Peltier-Effekt: „Reziproker“ Effekt zum Seebeck-Effekts

Ein elektrischer Stromfluss durch eine Kontaktstelle aus zwei verschiedenen elektrischen Leitern bewirkt eine Änderung der Kontakttemperatur (Erhöhung oder Absenkung) = Wärmeerzeugung oder Kühlung. Thomson-Effekt: Jeder stromdurchflossene Leiter mit einer Temperaturdifferenz

zwischen zwei Punkten wird entweder mehr oder weniger Wärme transportieren, als dies ohne Stromfluss aufgrund der Wärmeleitfähigkeit und Temperaturdifferenz der Fall wäre.






Beispiel: Dehnungsstab als linear elastische Feder

KraftgesetzeFederkraft FF und Reibungskraft FR

llEllEE )/(/

FFA

l l

Elastischer Stab

lkllAEAFF )/(Federkonstante : lAEk /

Federkraft FF: Verformbare Materialien

Arbeit W Reibungswärme und/oder für plastische Verformungsarbeit („Verschleiß“)

Äußere Reibung: Zwischen sich berührenden Außenflächen von FestkörpernInnere Reibung: Zwischen benachbarten Teilchen bei Verformungsvorgängen innerhalb

von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen

Reibungskraft FR: Zwischen einander berührenden Körpern als Reaktionskraft. Muss bei Bewegung (Strecke l) der Körper gegeneinander durch äußere Arbeitszufuhr Wüberwunden werden, um Bewegung aufrecht zu erhalten: lFW R


KraftgesetzeElektromagnetische Kraft (Lorentz-Kraft) F

)( EBvQF

Ein mit der Geschwindigkeit v bewegtes Teilchen mit der elektrischen Ladung Qerfährt im elektrischen Feld E und im magnetischen Feld B eine Kraft.

a) Coulomb-Anteil: Wirkt auch beim ruhenden Teilchen v = 0

Beispiel:Ruhendes geladenes Teilchen (Ladung Q = Q1) im E-Feld der „Punktladung“ Q2

21 EQF

rer

QE

20

22 4

rer

QQF

20

21

4

0 = 8.854.10-12 As/(Vm) Dielektrizitätszahl des leeren Raums

rr ee 1Q

2Q

2E

re

F re


KraftgesetzeElektromagnetische Kraft (Lorentz-Kraft)

BvQF

1

b) Lorentz-Anteil: Wirkt NUR beim bewegten Teilchen v 0

Die Lorentz-Kraft F ist normal auf die Bewegungs-und Feldrichtung gerichtet!

Die Lorentz-Kraft kann KEINE mechanische Arbeitam geladenen Teilchen verrichten!

F

sd

90Kurve C

Ladung Q1

v090coscos CCCC

dsFdsFsdFdWW

0)( 11

sdB

dtsdQsdBvQsdF

1Q

F

B

v


KraftgesetzeElektromagnetische Kraft (Lorentz-Kraft)

Beispiel:Elektronenstrom im metallischen Leiter (Kupfer): el. Strom I = 10 A, v = 0.7 mm/s, im externen Magnetfeld B = 1T

Bewegte Ladungsmenge Q durch den Leiterquerschnitt je Zeiteinheit t

BsdIFdBsIBstQB

tsQBvQF

tQI /Anteil der Lorentz-Kraft auf diese bewegte Ladungsmenge:

Bei Leiterlänge l = 1 m:

BlIBsdIFdFll

00

BlIF

N101110 BlIBlIF

Lorentz-Kraft auf geraden Leiter l:

Lorentz-Kräfte sind in technischen Anwendungen i. A. groß, so dass elektromechanische Wandler meist mit Magnetkräften arbeiten!


KraftgesetzeElektromagnetische Kraftdichte f

EVQlABlIEVQVBlIVFf

)/()/()()/(/)(/

JeJedAdAJdllddAAdJdldAldI llA

/)()/(/)()/(

dVdQ /

EBJf

• Lokale elektromagnetische Kraftdichte f :

• Elektrische Stromdichte J : Für kleinen Leiterquerschnitt A dA normal zur Stromrichtung:

• Elektrische Ladungsdichte :

EdVdQdldABldI

EdVdQdVBldIdVFdf

)/()/()(

)/(/)(/

1 ll eell

I

A

l

le


KraftgesetzeKraft auf polarisierte u. magnetisierte Körper

• El. polarisierte und el. geladene Körper im äußeren D-Feld:

Lokaler Kraftangriff des D-Felds am Ort auf die el. Ladungen der Moleküle = „Kraftdichte“ fe = Fe/V

VA

eV

ee dApdVtxDftF ),,()(

x

• Magnetisierte Körper mit elektrischem Stromfluss im äußeren B-Feld:

Lokaler Kraftangriff des B-Felds am Ort der in den Atomen bewegten el. Ladungen (= AMPERE´sches „Kreisstrommodell“ der Atomelektronen) = „Kraftdichte“ fm = Fm/V

VA

mV

mm dApdVtxBftF ),,()(

x

• Je nach Materialart existieren unterschiedliche empirisch beschriebene Gesetze für den lokalen Kraftangriff fe , fm

• Wenn das resultierende D- bzw. B-Feld bekannt ist, kann über die „Maxwell´schen Zugspannungen pe bzw. pm die Kraft auf den polarisierten bzw. magnetisierten Körper berechnet werden


KraftgesetzeKraft Fe auf el. polarisierten, el. geladenen Körper

Vj

jPji

iie dVtzyxtzyxEtqtxEtqtxEtF ),,,´(),,,()(),()(),()( ,

• Im Fremdfeld E liegt ein el. polarisierter, el. geladener Körper:q: „Wahre“ Ladungen, qP: Polarisationsladungen

• Auf q, qP, -qP und daher auf den Körper wirkt Kraft Fe

• „Wahre“ Ladungsdichte:

• Polarisationsladungsdichte:

• Wir umgeben den Körper mit einer geschlossenen Fläche A, die ganz im leeren Raum außerhalb des Körpers verläuft

• Resultierende Kraft auf den Körper:

VA

ee dApF 2/)()( 2

00 EeEEep nne

V

N

ii dVVqQ )(

1

V

P

N

jjPP dVVq

P)(

1,

dzdydxdVVVV P )()()´(

- -

Pq

VA = V

E

ne

Ad

1ne

qP

-qP

0


KraftgesetzeHerleitung: Kraft auf el. geladene, el. polarisierte Körper (1)

VVV

ee dVEEdVEdVfF )(´ 0

El. result. Ladungsdichte: ´(x, y, z, t), PED

0

DdVDdVQAdDVVAVA

e

)(0,

4. Maxwell-Gleichung:

Gauß´scher Integralsatz: )/.,/.,/.()(0,

zyxdVDAdDVAVA

„Nabla“-Operator

Experts only

D, E: Quellenfelder: )0,0,0(0rot

EE

Hilfssatz der Vektorrechnung: CBACABCBA

)()()(EEEEEEEEE ccc

)()()()(00 0: cE

2/2/)(2/)()(2/)()()( 2EEEEEEEEEEEEE ccccc

EEE c

)(2/0 2

V

ccV

e dVEEEEEdVEEF ))(2/)()(()(0

200

)/()/()/( zDyDxDD zyx

´00 PEPED

PP


KraftgesetzeHerleitung: Kraft auf el. geladene, el. polarisierte Körper (2)

Experts only

EEEEEEEEEE cccc

)()()()()(

V

ccV

e dVEEEEEdVEEF )2/)()()(()( 200

VVV

e dVEdVEEdVEEEF )(2

)()2/)()(( 200

20

Gauß´scher Integralsatz: VAVAVAVA

dVAdKdVKAd ...)(...)(0,0,

dAeAdEAdEEAdEdVEEdVF nVAVAVV

e

)(

2)()(

2)( 20

02

VA

eVA

nne dApdAEeEEeF 2/)()( 2

0

Maxwell´sche Zugspannungen an der Körperoberfläche:

Geschlossene Oberfläche A außerhalb des Körpers im materiefreien Raum; dort ist = 0

2/)()( 200 EeEEep nne

)2/()(/)(: 02

00 DeDDepED nne


KraftgesetzeKraftkomponenten auf el. geladene, el. polarisierte Körper

)2/()(/)()2/()(/)(: 02

002

0, DeDDDeDDepee xxxxxexn

)2/()(/)( 02

0 DeDDep nne

)0,0,1(2

),,(1)0,0,1(2

),,(0

2222

00

2

0,

zyx

zxyxxzyxx

xeDDD

DDDDDDDDDDp

zzx

yyx

xzyx

xe eDDeDD

eDDD

p

000

222

, 2

zzy

yzxy

xyx

ye eDD

eDDD

eDD

p

00

222

0, 2

zyxz

yzy

xzx

ze eDDD

eDD

eDDp

0

222

00, 2

ze

ye

xe

e

ppp

T

,

,

,

Maxwell´scherSpannungstensor(ein Tensor 2. Stufe)


KraftgesetzeMaxwell´scher Spannungstensor

:),,(),,,( zyx DDDtzyxD

:),,,( tzyx

0

222

00

00

222

0

000

222

,

,

,

2

2

2

),,,(

yxzzyzx

zyzxyyx

zxyxzyx

ze

ye

xe

e

DDDDDDD

DDDDDDD

DDDDDDD

ppp

tzyxT

Maxwell´scher Spannungstensor der elektrischen Kraft-Verteilung(ein Tensor 2. Stufe):

El. Ladungsdichteverteilung = Skalarfeld (Skalar = Tensor 0. Stufe)

Dielektr. Verschiebungsfeld = Vektorfeld (Vektor = Tensor 1. Stufe)

Zweidimensionaler Sonderfall:),(),,( yx DDtyxD

),,,( tyx

0

22

0

00

22

,

,

2

2),,(

xyyx

yxyx

ye

xee DDDD

DDDD

pp

tyxT

Eindimensionaler Sonderfall:

xx eDtxD ),(),( tx 2/)2/(),( 0

2, xxxxee EDDptxT


KraftgesetzeKraft Fm auf magnetisierten stromdurchflossenen Körper

• Im Fremdfeld B liegt ein magnetisierter (atomare „Elementarströme“ IE Magnetisierung M), stromdurchflossener (Strom I) Körper

• Auf I, IE und daher auf den Körper wirkt die Kraft Fm

• Stromdichten:

• Resultierende Kraft auf den Körper:

VA

mm dApF )2/()(/)( 0

20 BeBBep nnm

V

EV

mm dVtxBtxJtxJdVtxBftF ),()),(),((),,()( M

IV

A = V

B

ne

Ad

1ne

IEEE IJIJ

,

• Wir umgeben den Körper mit einer geschlossenen Fläche A, die ganz im leeren Raum außerhalb des Körpers verläuft


KraftgesetzeHerleitung: Kraft auf magnetisierten stromdurchflossenen Körper (1)

El. Strom: I, IE el. Stromdichte:

1. Maxwell-Gleichung für:

Experts only

),,,(),,,,( tzyxJtzyxJ E

Kraftdichte: BJJf Em

)(

JHAdHAdJsdHt AAAC

e

)(:0

0)(00,

BdVBAdBVAVA

m

3. Maxwell-Gleichung:

Stokes´scher Integralsatz: AAAC

AdKAdKsdK

)(rot

V

cV

cV

EV

mm dVBBdVBBdVBJJdVfF ))((1))((1))((00

Hilfssatz der Vektorrechnung: CGACAGCGA

)()()(BBBBBB ccc

)()()(

0: cB

2/2/)(2/)()(2/)()()( 2BBBBBBBBBBBBB ccccc

)()(2/)(2/)( 22 BBBBBBBBBB ccc

MHB

00

0/)()( BMHMHJJJM EE


Experts only

Gauß´scher Integralsatz: VAVAVAVA

dVAdKdVKAd ...)(...)(0,0,

dAeAd n

Maxwell´sche Zugspannungen pm an der Körperoberfläche:

BBBBBBBB cc

)(2/)(2/)( 22

VV

cm dVBBBdVBBF ))(2/(1))/(( 2

00

VAVAVV

m BAdBBAdBdVBBdVF 2/1)(12/(1))(1 2

00

2

00

VA

mVA

nnm dApdABeBBeF 2/)(1 2

0

0

2

00 2)(1

BeBBep nnm

BBBBBBBBBB ccc

)()()()()(

KraftgesetzeHerleitung: Kraft auf magnetisierten stromdurchflossenen Körper (2)


KraftgesetzeKraft auf magnetisierte und stromdurchflossene Körper

0

222

00

00

222

0

000

222

,

,

,

2

2

2

),,,(

yxzzyzx

zyzxyyx

zxyxzyx

zm

ym

xm

m

BBBBBBB

BBBBBBB

BBBBBBB

ppp

tzyxT

Maxwell´scher Spannungstensor der magnetischen Kraft-Verteilung(ein Tensor 2. Stufe):


Allgemeines Ergebnis zum Maxwell´schen Spannungstensor:Die resultierende Kraft F auf einen polarisierten bzw. magnetisierten Körper wird berechnet, indem a) aus den bekannten Feldkomponenten (Dx, Dy, Dz) bzw. (Bx, By, Bz) in einer

geschlossenen Hüllfläche A um den Körper die 32 = 9 Komponenten des Maxwell´schen Spannungstensor T („Tensor 2. Stufe“) gebildet werden,

b) die über die GESCHLOSSENE Fläche A integriert werden

KraftgesetzeMaxwell´scher Spannungstensor

A

AdTF Beispiel: Körper ist

Kondensatorplatte

Plattenäußeres: Feld E 0: A

eA

ee AdTAdTF

Einhüllende Fläche A

Körper

DB

oder


xeye Ad

xxe eAEF )2/( 2


Maxwell´scher B-Feld-“Spannungstensor T in 2 Dimensionen x, y :hat 22 = 4 Komponenten

0

22

0

00

22

2

2

xyxy

yxyx

yyyx

xyxx

BBBB

BBBB

T

yeyy

yx

xe

xx

xy

xB

yB

B

KraftgesetzeBsp.: 2D: B-Feld-Spannungstensor

xyyx

ye

1 yx ee

xe


yyyxyx

yxyxxx

y

x

yx

xy

eeee

ee

Tpp

p

AA

dApAdTF

Kraftgesetze2D-Maxwell-Spannungstensor

Körper


ye yy

yx

xe

xxxxxn ep

xyyxyt ep

ldxdAx

ldydAy l


B

B

B

p

p

pn

n

t t

ntn pBB

0

22

2

ttn pBB

0

tn ppp

A

dApF

Quelle: Reichert, K., VDE-Kurs El. Maschinen, 2009

n

tBB

tan

222

tantan

122tan

tn

tn

n

t

BBBB

pp

KraftgesetzeSpannungstensor-Komponenten• Die Kraftrichtung der Spannungen p ist ähnlich wie die Feldrichtung D bzw. B,

aber nicht identisch!• Allgemein hat nur ihr Integral über A als F eine physikalische Bedeutung• Sonderfall: Bei = 0, J = 0 und = konst. bzw. = konst.: Kraftangriff ist wirklich nur auf der Körperoberfläche p ist ECHTE lokale Kraft/Fläche

tn BBB

:z.B.


KraftgesetzeBetrag der MAXWELL-Zugspannung

sincos

1

2/)()(

2/)()( 200

EEn

EEpn

nn

nne

eee

eeee

EDeEDe

EeEEep

Leerer Raum des umhüllten Körpers:

MAXWELL-Zugspannung:

ED

0

Einheitsvektoren

22sincos

2

sin2

cos2

)sincos(2

cos

22 EDEDEDpepp

eEDeEDeeEDeEDp

epee

EEEEEe

Ergebnis: Der Betrag der MAXWELL-Zugspannung ist (nicht zufällig!) ebenso groß wie die elektrische Energiedichte we im betrachteten Raumpunkt P.

In gleicher Weise gilt:

ne

ED

,

pe eDEp

2

pe

EeEe

P

2ED

dVdWw e

e

2HBpepp mpmm

2HB

dVdWw m

m

Einheiten: Energiedichte we: J/m3 = N.m/m3 = N/m2 : MAXWELL-Zugspannung pe


A

dApF

- Integration von T erfolgt über geschlossene Fläche A des eingehüllten Körpers- Lokale Werte p.dA haben für sich i. A. KEINE physikalische Bedeutung

- Die Kraftdichte fe bzw. fm ist im Körper je nach Verteilung (x,y,z) bzw. (x,y,z)i. A. ungleichmäßig verteilt.

- Daher hat diese physikalisch wirksame Verteilung i. A. NICHTS mit der (äquivalenten) lokalen Verteilung der MAXWELL-Spannungstensor-Komponenten zu tun

- Sonderfall: Ungeladene bzw. stromlose Körper: (x,y,z) = 0, bzw. :Körper homogen isotrop polarisierbar (x,y,z) = konst. bzw. magnetisierbar (x,y,z) = konst.:Die lokale Kraftdichte tritt an der Körperoberfläche auf (im Inneren: f = 0), ist aber i. A. NICHT identisch mit den MAXWELL-Spannungstensor-Komponenten

- Sonder-Sonderfall: (x,y,z) konst. bzw. (x,y,z) :Die lokale Kraftdichte tritt an der Körperoberfläche auf UND ist identisch mit den MAXWELL-Spannungstensor-Komponenten

),,(/),,(:, zyxpdAzyxFd

KraftgesetzeMaxwell-Spannungstensor: Eigenschaften

0

J


KraftgesetzeRäumlich konstantes , : Oberflächenkraft Ungeladene bzw. stromlose Körper, für die (x,y,z) = konst. bzw. (x,y,z) = konst.:

Die lokale Kraftdichte tritt an der Körperoberfläche auf VERANSCHAULICHUNG:

Ladungen und damit Kraft Fe = q.E heben sich auf:Es verbleibt die Kraft auf die „Oberflächen-ladungen“ = Kraft ist an der Oberflächelokalisiert

„Oberflächenladung“

„Oberflächenladung“

Elementarer Dipol:(+q, -q)

E konst.r

Elementarer Magnet:(N,S)

N

SPolaritäten und damit Magnetkraft Fmheben sich auf:Es verbleibt die Kraft auf die „Oberflächen“= Kraft ist an der Oberfläche lokalisiert

B konst.r

Quelle: Gerthsen, Physik, Springer


- Flussdichte B0 eingeprägt durch zwei Eisen-Polschuhe (N, S):- Im Eisen: , daher HFe = 0- Feldlinien normal zur Eisenoberfläche 0

- Vertikalkraft:0

2

0

22

22

BBB

02

)()(00

2

0

2

Feb

unten

b

obenA

ldABdABAdTF

0

2

0

22

22

BBB

FldABdABAdTF Feb

rechts

b

linksA

00

2

0

22

)()(

„Reluktanzkraft“ F

- Horizontalkraft:

KraftgesetzeKraft auf magnetisierbaren Körper F (Länge lFe)

Reluktanz-kraft F

B0

b

Seitliche Verschiebung asymmetrisches Feld B

Fe : HFe = 0

N

S

ee

lFe

Aoben

Aunten

Alinks

Arechtsb

b

00

22

)(

Fe

b

rechtsldABF


KraftgesetzeKraft auf stromdurchflossenen Leiter im B-Feld

Fremdfeld Bf (homogenes Feld) von unten nach oben gerichtet Der Strom I im Leiter (Länge l) fließt auf den Betrachter zu I erregt ein kreisförmiges Eigenfeld Be nach der Rechtsschraubenregel Überlagerung ergibt resultierendes Bres-Feld: Links kleiner als rechts vom Leiter Feldlinien = „elastische Gummischnüre“ (MAXWELL‘scher Zug) wollen sich verkürzen

Kraft F nach links auf den Leiter ! Zum selben Ergebnis kommt man mit der LORENTZ-Kraftformel:

Stromdurchflossener Leiter (Strom I) im Fremdfeld Bf

Fremdfeld Bf

Eigenfeld Be

Resultierendes Bres-FeldF

lBIF f






Energie als geleistete Arbeit = Kraft x Weg: W = F . x

Leistung = Energie / Zeit = Kraft x Geschwindigkeit (p: Momentanleistung)P = W / t = F . x / t = F . v

Leistung = Energie / Zeit = Drehmoment x WinkelgeschwindigkeitP = W / t = (F . r) . (x/r) / t = M . / t = M . m

Gespeicherte mechanische Energie W als kinetische Energie Wk

Wk = m . v2/ 2 (translatorisch) Wk = J . m2/2 (rotatorisch)

x

dxFW

vFxFdtdxFdtdWp //

2//)2/( 22 vmWdtxdmdtxxmdtvFdtpdW k

EnergiebegriffeKinetische Energie (Linear- und Drehbewegung)

2//)2/( 22mkmmmm JWdtdJdtJdtMdtpdW

Wiederholung


EnergiebegriffePotentielle Energie

a) Potentielle „Höhen“-Energie Wp:Aufzuwendende Arbeit für eine Änderung der Höhenlage h eines Körpers in Bezug auf einen anderen massebehafteten Körper (hier: Erde)

Beispiel:Erde: g: Erdbeschleunigung, h: Höhe über Erdoberfläche , m: KörpermasseFür Erddurchmesser >> Körperabmessungen hgmW p

b) Potentielle Verformungsenergie WF:Aufzuwendende Arbeit für eine Änderung der Form eines (elastisch oder plastisch) verformbaren Körpers

Beispiel:Dehnungsstab als linear elastische Feder: Dehnungsarbeit WF für Längung x

2/2

00F xkdxxkdxFW

xx

F FFA

l x

Elastischer Stab

Wiederholung


EnergiebegriffeElektrische Energiedichte we (nichtlinear)

Niederfrequenzbereich: Elektrisches Feld E bzw. D und magnetisches Feld H bzw. B getrennt betrachtbar(= Magnetfelder zufolge D/t vernachlässigt)Exakt gilt dies bei statischen Feldern: ./t = 0

Elektrostatische Energiedichte we:Durch elektrische Ladungen Q UND polarisierbare Materie (P):

DdDEdwe

)(Differentiell kleiner Zuwachs an Energiedichte:Energiedichte we:

E

D

0

dDedw

D

ee DdDEdwDEw0

)(),(

Beispiel: Nichtlinear polarisierbarer isotroper Werkstoff ohne Hysterese

Sonderfall: Isotroper Werkstoff ED

DD

e DdDEDdDEDEw00

)()(),(

Die Fläche zwischen D-Achse und E(D)-Kurve ist we!


EnergiebegriffeElektrische Energiedichte we (linear)

Beispiel: Linear polarisierbarer isotroper Werkstoff:

Sonderfall: Isotroper linear polarisierbarer Werkstoff

221)(),(

2

00

EDDDdDDdDEDEwDD

e

EDED

konst.

Sonderfall: Anisotroper linearer Werkstoff2

),( EDDEwe

E

D

0

dDedw

ED

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

konst.etc.,, xyxx

22

21

21

2DDEDw

isotrope

z.B.: Piezoelektrischer Werkstoff


QQ

AA

D

A

D

le

A l

D

V

D

e

QduAdDduAdDdDuAdDdsdDEW

sdAdDdDEDdDEW

0000

00

)()(

)()(

EnergiebegriffeElektrische Energie We (nichtlinear)Der gesamte vom el. Feld erfüllte Raum ist Ort der dort verteilten Energiedichte:

V

eV

ee dVVwdVDEwW )(),( Beispiel: Kondensator: Volumen:

uEQD

QAdDAA

e 0,

l

sdEu

sdAddV

Die Fläche zwischen Q-Achse und u(Q)-Kurve ist el. Energie We

Die Fläche zwischen u-Achseund Q(u)-Kurve nennt man el. Ergänzungsenergie We*(„el. Ko-Energie“)

u

Q

0

dQedW

Beispiel:Nichtlinear polarisierbares isotropes Dielektrikum im Kondensator (ohne Hysterese)

Q

e QdQuQW0

)()(

u

e uduQuW0

* )()(

uQWW ee *

du

*edW


EnergiebegriffeElektrische Energie We (linear)

Beispiel:Linear polarisierbares Dielektrikum im Kondensator

Sonderfall: Linear polarisierbarer Werkstoff

2)()(

2)()(

:

2

00

*

2

00

uCuduCuduQuW

CQQd

CQQdQuQW

uCQ

uu

e

QQ

e

• Diagonale halbiert Rechteck (Fläche Q.u) in zwei gleiche Dreiecksflächen We und We*

)(22

)(2

)( *222

uWuCCuC

CQQW ee

u

Q

0

dQedW

*eW

eW

uQWW ee *

Q

u

uCQ


EnergiebegriffeElektrische Energie We im Kondensator

• Energie We ist im felderfüllten Raum lokalisiert, der mit der Energiedichte we „erfüllt“ ist!

• Die beiden Elektroden a und b stehen unter mechanischer Spannung der sich gegenseitig anziehenden elektrischen Ladungen Qa und Qb = -Qa (Coulomb-Kraft = „Fernwirkungsmodell“)

• Diese Kraft wird durch die wie „Gummischnüre“ ziehende Kraftwirkung des elektrischen Felds E zwischen den Elektroden als „Maxwell“scher Zug pe vermittelt („Nahwirkungsmodell“)

Gespeicherte elektrische Energie We ist nahezu zur Gänze im Volumen A.d ! Kapazität C: El. Spannung:

d+ -

ia b

Qa Qb = -Qa

A

d A

eV

ee dAdxwdVwW0 0

Näherung: we = . E 2/2 = konst:

dAEWe

2

2

dAC /

dExdEud

0

C

QuCdAEWe 222

222


Energiebegriffe Kraft Fe im Kondensator (1)• Berechnung von Fe über „Energiebetrachtung“:

(Prinzip der „virtuellen“ Verschiebung)

• Änderung der Energien bei einer kleinen gedachten (= virtuellen) Verschiebung s = dxder beiden Elektroden (x1 = , x2 = + s), wenn sich nur x, aber nicht u am Kondensator ändert

• Elektrische Energieänderung dWel bei C(x):

)()( *1,1,

*2,2,12 eeeeel WWWWQuQudQudW

**1,

*2,1,2, )()( eeeeee dWdWWWWWdQu

- + s+ +-

xA xe

Ad

Zustand 1 Zustand 2

O

O

C(x)

i

u

dtdQtititutpel /)()()()( dQudtiudtpdW elel

u

Q

0

Q1

u u

Q

0

dQ

2eWu

*2eW1eW *

1eW

Q1

Q2

x1 x1x2 = x1 + x

dQu


Energiebegriffe Kraft Fe im Kondensator (2)

dxFdWdWdWdQudW eeeeel *

dxdWF e

e

*

dWel = Änderung der gespeicherten el. Energie We und der von Kraft Fe verrichteten Arbeit:

*eeele dWdWdWdxF

u

Q

0

dQ

u

u(Q, x1)u(Q, x2)

dQudWel

0

Die elektrostatische Kraft Fe wird bei Vorgabe von u, x aus der Änderung der el. Ko-Energie berechnet

2)(

2)( 22* uxCuxC

dxd

dxdWF e

e

- + s+ +-

xA xe

Ad

Zustand 1 Zustand 2


Energiebegriffe Kraft Fe in Abhängigkeit von (Q, x) bzw. (u, x)

),( xQWWdxFdQudWdxFdWdQudW eeeeeeel

• Für die elektrostatische Energie We sind die unabhängigen Variablen Q und x

• Die Spannung u stellt sich je nach C(x) gemäß u = Q/C ein

• Vollständige Änderung der el. Energie mit Q und x:

dxFdQudxx

WdQQ

WxQdW eee

e

),(

xxQWF

QxQWu e

ee

),(),(

• Wechsel von der unabhängigen Variablen Q auf u über die LEGENDRE-Transformation:

),()(

)()(**

* xuWWdxx

Wduu

WdxFduQdWdWuQd

dxFduQuQddWduQudQuQd

eeee

eee

ee

),(),( * xuWxQWuQ ee u

Q

0

dQ

),( xQdWe

du

),(* xudWe

),(* xuWe

),( xQWe

xxuWF

uxuWQ e

ee

),(),( **Bei Vorgabe von Q wird Fe aus We berechnet,bei Vorgabe von u jedoch auch We* !


EnergiebegriffeMagnetische Energiedichte wm (nichtlinear)

Magnetostatische Energiedichte wm:

Durch elektrische Gleichströme I UND magnetisierte Materie (JM):

BdBHdwm

)(Differentiell kleiner Zuwachs an Energiedichte:Energiedichte wm:

H

B

0

dBmdw

B

mm BdBHdwBHw0

)(),(

Beispiel:Nichtlinear magnetisierbarer isotroperWerkstoff ohne Hysterese

Sonderfall: Isotroper Werkstoff HB

BB

m BdBHBdBHBHw00

)()(),(

Die Fläche zwischen B-Achse und H(B)-Kurve ist wm!


EnergiebegriffeMagnetische Energiedichte wm (linear)

Beispiel: Linear magnetisierbarer Werkstoff:

Sonderfall: Isotroper linearer Werkstoff

221)(),(

2

00

HBBBdBBdBHBHwBB

m

HBHB

konst.

Sonderfall: Anisotroper linearer Werkstoff HB

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

konst.etc.,, xyxx

22

21

21

2BBHBw

isotropm

2),( HBHBwm

z.B.: kaltgewalzteTransformatorbleche

H

B

0

dBmdw

Gleiche Dreiecksflächen 2/* HBww mm


0000

00

)(

)()(

diAdBNdiAdBdiNAdBdsdBHW

sdAdBdBHBdBHW

AA

B

A

B

Cm

C A

B

V

B

m

EnergiebegriffeMagnetische Energie Wm (nichtlinear)Der gesamte vom magn. Feld erfüllte Raum ist Ort der dort verteilten Energiedichte wm:

V

mV

mm dVVwdVBHwW )(),( Beispiel: Spule, N Windungen:Volumen:

iHB

A

AdBN

AC

sdHN

i 1sdAddV

Die Fläche zwischen -Achse und i()-Kurve ist magn. Energie Wm

Die Fläche zwischen i-Achseund (i)-Kurve nennt man magn. Ergänzungsenergie Wm*(„magn. Ko-Energie“)

i

0

dmdW

Beispiel:Nichtlineare Induktivität(ohne Hysterese)

i

m idiiW0

* )()( iWW mm *

0

)( diWm

di

*mdW


EnergiebegriffeMagnetische Energie Wm (linear)

Beispiel:Lineare Induktivität

Sonderfall: Linearer Werkstoff

2)()(

2)()(

:

2

00

*

2

00

iLidiLidiiW

Ld

LdiW

iL

ii

m

m

)(22

)(2

)( *222

iWiLLiL

LW mm

• Diagonale halbiert Rechteck (Fläche . i) in zwei gleiche Dreiecksflächen Wm und Wm*

i

0

dmdW

*mW

mW

i

iWW mm *

iL


EnergiebegriffeMagnetische Energie Wm zwischen Polen

• Energie Wm ist im felderfüllten Raum lokalisiert, der mit der Energiedichte wm „erfüllt“ ist!

• Die beiden Polschuhe 1 und 2 stehen unter mechanischer Spannung der sich gegenseitig anziehenden magnetisierten Eisenflächen („Fernwirkungsmodell“)

• Diese Kraft wird durch die wie „Gummischnüre“ ziehende Kraftwirkung des magnetischen Felds B zwischen den Polschuhen als „Maxwell“scher Zug pm vermittelt („Nahwirkungsmodell“)

Gespeicherte magnetische Energie Wm ist bei HFe << H fast zur Gänze im Volumen A. ! Induktivität L: El. Durchflutung:

0 0

A

mV

mm dAdxwdVwW

Näherung: wm = 0. H

2/2 = konst:

22

220 iLAHWm

/2

0 ANL HiN

1 2

AHWm 2

20


Energiebegriffe Kraft Fm zwischen zwei Polschuhen (1)• Berechnung von Fm über „Energiebetrachtung“:

(Prinzip der virtuellen Verschiebung)

• Änderung der Energien bei einer kleinen gedachten (= virtuellen) Verschiebung s = dxder beiden Polflächen, wenn sich nur x, aber nicht i in der Spule nicht ändert

• Magnetische Energieänderung bei L(x): zeitlich veränderlich Kleinbuchstabe

didtidt

ddtiudtpdW elel

i

0

d

i

i(, x1)i(, x2)

didWel

0

)()( *1,1,

*2,2,12 mmmm WWWWiidi

**1,

*2,1,2, )()( mmmmmm dWdWWWWWdi

O

O

L(x)

i

u

dtdudtduiRuuR i /0/0:0

)()()( titutpel

z. B.: s = dx < 0 L2 > L1


Energiebegriffe Kraft Fm zwischen zwei Polschuhen (2)

*mmmmel dWdWdxFdWdW

dxdWF m

m

*

dWel = Änderung der gespeicherten magn. Energie Wmund der von Kraft Fm verrichteten Arbeit:

i

0

d

i

i(, x1)i(, x2)

didWel

0

Die magnetostatische Kraft Fm wird bei Vorgabe von i, x aus der Änderung der magn. Ko-Energie berechnet

2)(

2)( 22* ixLixL

dxd

dxdWF m

m


Energiebegriffe Kraft Fm in Abhängigkeit von (, x) bzw. (i, x)

),( xWWdxFdidWdxFdWdidW mmmmmmel

• Für die magnetostatische Energie Wm sind die unabhängigen Variablen und x

• Der Strom i stellt sich je nach L(x) gemäß i = / L ein

• Vollständige Änderung der magn. Energie mit und x:

dxFdidxx

WdWxdW mmm

m

),(

xxWFxWi m

mm

),(),(

• Wechsel von der unabhängigen Variablen auf i über die LEGENDRE-Transformation:

),()(

)()(**

* xiWWdxx

Wdii

WdxFdidWdWid

dxFdiiddWdiidid

mmmm

mmm

mm

),(),( * xiWxWi mm i

0

d

),( xdWm

di

),(* xidWm

),(* xiWm

),( xWm

xxiWF

ixiW m

mm

),(),( ** Bei Vorgabe von wird Fm aus Wm berechnet,

bei Vorgabe von i jedoch auch Wm* !


Energiebegriffe Beispiel: Kraft Fe im Plattenkondensator (1)

AQ

Ax

xQ

xCxQ

xxQWF

xCQxQW

xAxCxd

Q

ee

e

122)(

12

),(

)(2),()(:

222

.konst

2

• Es sei d = x variabel: Wie groß ist die Kraft Fe an der Stelle x bei Vergrößerndes Plattenabstands x?

x

• Die Kraft Fe ist gegen die x-Richtung gerichtet, also anziehend !

• Alternativer Rechnungsgang:

2

222

.konst

*2*

22)(

2),(

2)(),(

xAu

xA

xu

xxCu

xxuWFuxCxuW

u

eee

• Beide Rechnungswege führen zur identischen Kraft Fe, da am Ort x gilt:

AQ

xA

AxQ

xAxCQ

xAuFe

12)(22

))(/(2

2

22

22

2

2

2

2

)()()( xuxCxQ



• Anschaulich:

x

xuxCxuWe

1~2)(),(

2*

xxC

QxQWe ~)(2

),(2

xAxC )(

1122 ,)( xxxxuxCQ

• Bei x-Vergrößerung sinkt We* und steigt We, deshalb ist die in x-Richtung bremsende Kraft Fe proportionala) zur Änderung (Abnahme) von We* bzw.b) zur negativen Änderung (neg. Zunahme) von We

konst.

*

konst.

),(),(

u

e

Q

ee x

xuWx

xQWF

Q

00 u

uxCQ )( 1

),( 1xQWe

),( 1* xuWe

u = konst.

Q = konst.

Das Konstanthalten von Q bzw. u bei x-Änderung entspricht der „virtuellen“Verschiebung x!



• Bei Q = konst. steigt We mit steigendem x, bei u = konst. sinkt We

* mit steigendem x, deshalb: x

xuWx

xQWF eee

),(),( *

),(),(),,(),(: 2*

1*

2112 xuWxuWxQWxQWxx eeee

112

2 ,)(xxxx

uxCQ

Q

00

uxCQ )( 1

),( 1xQWe

),( 1* xuWe

u = konst.

Q = konst.

112

2 ,)(xxxx

uxCQ

Q

00

uxCQ )( 1

),( 2xQWe

),( 2* xuWe

u = konst.

Q = konst.

u u

• Die gleiche Begründung gilt für die magnetischen Formeln: .konstkonst.

* ),(),(

x

xWx

xiWF m

i

mm



Energie: )( dAwW ee )( xdAwWW eee Mit der äußeren Kraft F wurde die rechte Elektrode von der linken um den Weg x wegbewegt gegen die bremsende elektrische Kraft Fe < 0. Dabei wurde die mechanische Arbeit W verrichtet, die nun in Form der erhöhten elektrischen Energie We im erhöhten Feldvolumen von E gespeichert ist.

eee

e FAEx

Wx

WFxAEWxFW

2

)2/(2

2

2

2

2 dAu

xWF e

e

xEudEu

+

+

+

+

+

--

-

-

-

+

+

+

+

+

--

-

-

-

Q -Q Q -Q

E

E

d d + x

u u + u

Fe

A

2/2EwA

QE

e

Bezugspfeil für Fe


EnergiebegriffeEinachsiges Magnetfeld zwischen zwei Polschuhen

Eisen

Eisenpolschuhe (Eisenrückschluss nicht dargestellt)

Eisenpermeabilität Fe >> 0, sFe: B-Feldlinienlänge im Fe

H-Feld-Erregung durch Spule (N Windungen, Strom i)

Magnetischer Fluss: ABABAdB FeA

HsHsdHiN FeFeC

Durchflutungssatz:

iNBHHBBHBH FeFeFeFeFe

00 ,0//,/

Selbstinduktivität: //// 20 ANiABNiNiL

Feld-Energiedichte: 2/ HBwm Zugkraft je Pol: AHBApF m )2/(

b = l = 5 cm, = 1 mm, N = 500, i = 1 A:

J39.02/1785.02/H785.010/105500104 2234227 iLWL mT628.0105.0104kA/m,50010/1500 673 BH

N5.392101571025,kJ/m1572/10500628.0 3433 Fwm

Energie überwiegend in Luft undnicht im Eisen gespeichert!

HOHE Kraft und Energiedichte!


Energiebegriffe Kraftberechnung mit numerischen Programmen

1) Methode der Finiten Differenzen:Die Geometrie wird mit einem regelmäßigen Netz diskretisiertAus den Maxwell-Differential-Gleichungen werden Differenzengleichungen für z. B. B, Hgebildet und für entsprechende Vorgabe der Quellen (Ladungen, Ströme) gelöst

2) Methode der Finiten Elemente:Die Geometrie wird mit einem UNregelmäßigen Netz diskretisiert, so dass die reale Geometrie BESSER approximiert wirdAnstelle der Maxwell-Differential-Gleichungen wird über den Lagrange-Formalismus das zugehörige Variationsproblem der „minimalen Wirkung“ formuliertDamit wird z. B. das Vektorpotential A und daraus mit das Feld B näherungsweise (abhängig von der Diskretisierung) berechnet.

• Kraftberechnung: Für 1) und 2):a) Mit der „virtuellen“ Verschiebung werden zwei um z. B. eine Netzelementbreite

räumlich gegeneinander verschobene Netze berechnet. Aus beiden Feldlösungen wird über die Feldenergie-Differenz die Kraft auf einen Körper berechnet

b) Aus den Feldwerten werden die 4 od. 9 Komponenten des Maxwell´schenSpannungstensors auf einer vorgegebenen (geschlossenen) Oberfläche berechnet unddaraus die resultierende Kraft auf den eingeschlossenen Körper

AAB

rot


EnergiebegriffeBeispiel: Elektrostat. & magnetostat. Energie

Vergleich der gespeicherten Energie im elektrostatischen und magnetostatischen Feld:

a) Plattenkondensator: b) Eisen-Polschuhe:

A = 1 m2, d = 1 mm

μ = μ0 , ε = ε0

Energie im elektrostatischen Feld: E = 40 kV/cm (Durchschlagsfeldstärke in Luft bei d = 1 mm)

Energie im magnetostatischen Feld B = 1 T (< 1.7 T als Sättigungsfeldstärke von Eisen)

We = 0.07 J, Wm = 400 J

J071.0mV)104(

2As/(Vm)10854.8m101

2

226

1233

2

e

EdAW

!5700e

m WW

J9.397Vs/(Am)1042

)(Vs/m1m1012 7-

22233

2

m

BdAW


EnergiebegriffeEinachsige Kraft im elektrostat. & magnetostat. Feld

a) Plattenkondensator: einachsig

2)(2

2

2

2* uxdAu

xdA

dxd

dxdWF e

e

b) Eisen-Polschuhe: einachsig

dW

Ldi

dLi

dANxF

ixd

ANixd

ANdxd

dxdWF

mm

mm

)0(2

122

)0(

2)(2222

2

20

2

2

20

220

*

Magnetische vs. elektrische Kraft:

5700)0()0(

)0()0(

e

m

e

mWW

xFxF

Negative Kraft: Gegen die x-Richtung der Platten- bzw. Polverschiebung = Platten bzw. Polschuhe ziehen sich gegenseitig an

dW

CQ

d

udCu

dAxF

e

e

)0(2

1

22)0(

2

22

2


Beispiel:Gleiches Luft-Volumen: Fläche A = 1m2, Abstand d = 1mmWm / We = 400/0.07 = 5700 (!)

Das magnetische Feld erlaubt wesentlich größere Energiedichten/Kräfte Daher werden bei größeren Leistungen/Kräften bevorzugt

elektro-magnetische Wandler eingesetzt! Bei Mikro-Wandlern werden aber

a) Elektrostatische Kräfte, b) Piezoeffekt-Kräfteverwendet (= elektrische Wandler), da sich 1) Ladungsanordnungen wesentlich besser miniaturisieren lassen als elektrisch

isolierte Draht-Spulen-Körper,2) bei kleinen Abständen (Sub-m-Bereich) die Durchschlagsfeldstärke ED

deutlich erhöht ist. Die Kräfte in elektrischen Wandlern sind aber i. A. sehr klein

Änderung der Ko-Energie bei kleinen Wegänderungen = Kraft: F = dW*/dx

EnergiebegriffeMagnetische vs. elektrische Wandler






Einführendes BeispielMagnetischer Wandler

• Ideale Spannungsquelle (Innenwiderstand = 0)

• Spannungsgespeiste Spule mit Innenwiderstand R und Induktivität L(x)

• Dünne Spule (Windungszahl N) in Eisenhohlzylinder als Träger

• Reibungsfrei längsverschieblicher Eisenzylinder (Masse m, Positionskoordinate x), über masselose lineare Feder (Federkonstante k) an festem Rahmen fixiert

• Schwerkrafteinfluss vernachlässigt


Einführendes BeispielSymm. Lage: Angenäherte Induktivitätsberechnung (1)

• Dünne Spule (Dicke d, N Windungen) mit Luftspalt

• Symmetrische Lage bei x = 0 symm. B-Feld

• Eisenpermeabilität >> 0 HFe im Eisen: Null

• Stirnseitige „mittlere“ Feldlinienlänge sa halbkreisförmig angenähert 22

dRsa


Einführendes BeispielSymm. Lage: Angenäherte Induktivitätsberechnung (2)

• Durchflutungssatz: Geschlossene Kurve C = Feldlinie B:

)2/(22 00 aaaaaaaFeFeC

sHBsHsHsHsdHiN

• Maxwell´scher Zug nach beiden Seiten entgegengesetzt gleich groß Körper m ist kräftefrei

• Flussverkettung der Spule:

• Induktivität:

)2/(20 aa

A

sAiNABAdBNN

)2/()2/(/)0( 220

20 aa sRNsANixL


Einführendes BeispielAsymm. Lage: Angenäherte Kraftberechnung

• Stirnseitige „mittlere“ Feldlinienlänge gegenüber symmetrischer Lage etwas verzerrt, weiterhin mit sa abgeschätzt

• Durchflutungssatz: Geschlossene Kurve C = Feldlinie B, HFe im Eisen Null, x > 0:

aaaaaa

C sxHBsHxHsdHiN

22 0

0

• Kräfte F2 heben sich auf, Maxwell´scher Zug F1 nach links Körper m wird magnetisch nach links gezogen


Einführendes BeispielAsymm. Lage: Angenäherte Induktivitätsberechnung

)2/(/)(/)()( 20 aa sxANiAxBNixxL

)2/(11

)0()(

)2/(11

)0()(:0

)2/(11

)0()(:0

a

a

a

sxLxL

sxLxLx

sxLxLx

„Unphysikalischer“ Knick: Tatsächlich glatte Kurve mit horizontaler Tangente bei x = 0


Einführendes BeispielAsymm. Lage: Kraftberechnung F1

• Maxwell´scher Zug F1 nach links (= negative x-Richtung):

2

20

02

1 )2(2)()2/(

aAa

A sxAiNdABAdTF

• Alternative Berechnung:Berechnung über „virtuelle“ Verschiebung: Nur x ändert sich, alles andere (u, i) konstant!

a

msxAN

dxdiixL

dxd

dxdWF

222)(

2

0

22*

1 2

2

0

2

1 )2(2 asxANiF


Einführendes BeispielAsymm. Lage: Resultierende Kraft auf den Körper

• Resultierende Kraft auf Körper m (Schwerpunktssatz):

• Feder k bei x = 0 entspannt, daher drückt Feder bei x > 0 nach links: xkFF

dxdLixkFFxm F

2

2

1 02

2

dxdLixkxm

1KräfteÄußere FFxm F

FFF1


Einführendes BeispielKritik an der vereinfachten Induktivitätsberechnung

• Bei x = 0 ist das bewegliche Teil im Gleichgewicht: Die resultierende Magnetkraft muss Null sein.

• Mit der Induktivität gemäß ist sie das nicht!

02

)0()0(21

))2/(1()0()( 2

aaa sLL

ssxLxL

)2/(11

)0()(:0

asxLxLx

02

)0(2

)()0()0(2

0

2*

1

iLixLdxdx

dxdWF

x

m

• Genauere Induktivitätsberechnung erforderlich (z. B: über numerische Feldberechnung), die z. B. auf folgenden Näherungs-Ausdruck führt:

0))/(1(

/2)0()0()/(1

1)0()(

022

2

2

xa

a

a sxsxLL

sxLxL

02

)0(2

)()0()0(2

0

2*

1

iLixLdxdx

dxdWF

x

m


Einführendes BeispielSystemgleichungen für Bewegung der Masse m

• Mechanische Gleichung:

02

2

dxdLixkxm

• Elektrische Gleichung: Kirchhoff´sche MaschengleichungVerbraucher-Zählpfeilsystem

dtixLdtiRtutiRdtdtutiRtutu i /))(()()(),(/)()()()(

• Zwei Unbekannte: x, i; nichtlineares Gleichungssystem wegen a) L(x), b) i2, c) Produkten aus L und i

• Lösungsverhalten: a) Statische Kennlinie i(x) für d./dt = 0b) Stabilitätsuntersuchung der Gleichgewichtslagen i(x)c) Verhalten bei sinusförmiger Anregung

bei kleinen Signalen und großen Signalen tUtu cosˆ)(

U


Einführendes BeispielNumerische Feldberechnung: Geometrie

(FEMM)ra = 5 mm

rs,a = 9 mm

rs,i = 7.5 mm

hc = 1.5 mmδm =1 mm

lFe = 50 mm

SpuleLuftspalt

Eisen-Hohlzylinder = magn. Rückschluss

Axial verschiebbarer Eisenzylinder

mm1mm5

mm5.1mm5.1

m

a

sisa

c

rRrr

hd


Einführendes BeispielErsatzstromdichte Je

(FEMM)

hc = 1.5 mmδm =1 mm

• Runddraht-Spule-Füllfaktor kF = Leiter-Summenquerschnittsfläche / Spulen-Querschnittsfläche

• Ersatzstromdichte Je = El. Durchflutung / Spulen-Querschnittsfläche

JkqIkkqN

INA

INJ FcFFccoil

e

)/(/

kF = 0.65coilcF AqNk /

OOOOOOOOOOO 21 LLAcoil

cq1L

2L

N Leiter

Je = 3 A/mm²

2

222

A/mm36.465.0,65.0)505.1/(44.0110,110

,A/mm6.4/A,2,mm44.04/,mm75.0

eF

cccc

JkN

qIJIdqd


Einführendes BeispielNumerische Feldberechnung (z. B. FEMM)

B

0

0

0

0

Magnetostatisches (d./dt = 0), lineares ( = konst.), rotationssymmetrisches Magnetfeldmodell

Symmetrische Zylinder-Lage

Erregende konstante el. Stromdichte Je(„Bereich der Spulendrähte“)

Achse der Rotationssymmetrie

„Willkürliche“ Feldraumbegrenzungenbeeinflussen das numerische Ergebnis

(FEMM)

)10/( 50 Fe

x = 0

„Ideal“ magnetisierbares Eisen:


Einführendes BeispielAsymmetrische Zylinderlage x

„Willkürliche“Feldraumbegrenzungenbeeinflussen das numerische Ergebnis

z = x = lFe/4

),0,( zr BBB

)0,,0( JJ

Rotationssymmetrie:Zylinderkoordinaten:

r, , z

re

e

ze

1 zr eee

(FEMM)


Einführendes BeispielVariable asymmetrische Zylinderlage

x1

x2

x3

x1 = lFe/2 < x2 = 3lFe/4 < x3 = lFe

(FEMM)

B

B

B


Einführendes BeispielZylinder aus Spule herausgezogen B-Feld wird sehr klein

(FEMM)

x = 5lFe/4

B


Einführendes BeispielNumerisch berechnete Induktivität aus der Feldenergie Wm

100)0()(

LxL

110mH,21.1)0( NL

(Zylinderverschiebung)

x = lFe

)(2

)(2

xWIxL m

Bei x = 0: Horizontale Tangente an den Induktivitätsverlauf Magnetkraft ist Null!


Einführendes BeispielNumerisch berechnete axiale Magnetkraft

(Zylinderverschiebung)

x = lFe

Methode A:F1 aus Maxwell-Tensor

Methode B:F1 aus Induktivitätsänderung

Bei x = 0 ist die Magnetkraft Null!

2)/(11

)0()(

asxLxL

Analytische Näherungsrechnung:

dxxdLi

dxdWF m )(

2

2*

1

22

22

1 ))/(1(/2

2)0(

a

a

sxsxiLF

aa sx

siLF

22

2

1 )1()0(

1

0)1(

2)1(

10 32221

ddF

asx *12

mm94/))15.1(25.15(4/)22(*

dRsx a

x* = 8 mm



Zusammenfassung:

- Mechanische und elektromagnetische Kräfte- Mechanische und elektromagnetische Energien- Kopplung der mechanischen und elektrischen Systemgleichungen- Nichtlineare Differentialgleichungen mit mehreren Unbekannten

TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 3. Formalismus / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder


3. Formale Behandlung 3. Formale Behandlung elektromechanischer diskreter Systemeelektromechanischer diskreter Systeme

• Bezugspfeile, Leistungsfluss, Energiefluss• Potentielle Energiespeicher• Beispiel:

Beweglicher Plattenkondensator• Kinetische Energiespeicher• Beispiel:

Bewegliche gekoppelte Spulen• Energiedissipation• Elektrische Ersatzelemente


Elektromechanische Systeme3. Formale Behandlung

elektromechanischer diskreter Systeme

Bezugspfeile, Leistungsfluss, Energiefluss Potentielle Energiespeicher Beispiel:

Beweglicher Plattenkondensator Kinetische Energiespeicher Beispiel:

Bewegliche gekoppelte Spulen Energiedissipation Elektrische Ersatzelemente


Bezugspfeile, Leistungsfluss, EnergieflussSystemabgrenzung

System

System- Räumlich abgegrenzter Bereich- Wechselwirkung mit Umgebung

über Anschlüsse (I, II, …)- Darstellung dch. konzentrierte

Elemente (m, k, R, L, C, …)

I

II)(ti

)(tu )(tF

)(tv

Beispiel: Wandler aus Kap. „Grundlagen“: Wechselwirkung mit Umgebungüber ZWEI Anschlüsse (I, II): ein elektrischer (e) und ein mechanischer (mec) Anschluss


Bezugspfeile, Leistungsfluss, EnergieflussLeistungs- und Energiezufuhr

System- Räumlich abgegrenzter Bereich- Wechselwirkung mit Umgebung

über Anschlüsse (I, II, …)- Darstellung dch. konzentrierte

Elemente (m, k, R, L, C, …)

I

II)(ti

)(tu )(tF

)(tv

Beispiel:Wandler aus Kap. „Grundlagen“: Zum Zeitpunkt t zugeführte Momentan-Leistung p(t):

)()()()()()()( tvtFtitutptptp mece Verbraucher-Zählpfeilsystem: Dem System zugeführte Leistung p(t) wird POSITIV gezählt

00,000,0 mece pvFpiuIm Zeitintervall dt zugeführte Energie w(t, t + dt):

dttvtFdttitutwtwtw mece )()()()()()()(Q: Dem System zugeführte

el. LadungsmengedtdQi /

dxtFdQtutw )()()(

dtdQi

dtdxv

Zugeführte Energie: Wird im System gespeichert oder in andere Energieformen umgewandelt


Bezugspfeile, Leistungsfluss, EnergieflussVerallgemeinerte Koordinaten, Geschwindigkeiten, Kräfte

„Kräfte-Vektor“ LeistungssummeF = (F, u) p = F . v = (F, u).(v, i ) = F.v + u.i

F, u„Kräfte“

„Geschwindigkeiten-Vektor“v = dx/dt = (dx/dt, dQ/dt) = (v, i)

v, i„Geschwindigkeiten“

„Koordinatenvektor“x = (x, Q)

x, Q„Koordinaten“

I

II)(ti

)(tu )(tF

)(tv

dtdQi

dtdxv

System


Bezugspfeile, Leistungsfluss, EnergieflussVerallgemeinerte Koordinaten, Geschwindigkeiten, Kräfte

„Koordinaten“ xi , i = 1, …, r : Lagekoordinaten xVerschiebungen xWinkel el. Ladungen Q

„Geschwindigkeiten“ vi = dxi /dt : mech. Geschwindigkeiten dx/dt, dx/dtmech. Winkelgeschwindigkeiten d/dtel. Ströme i = dQ/dt

„Kräfte“ Fi : mech. Kräfte Fmech. Drehmomente Mel. Spannungen u

Momentan-Leistung:

Energie-Zuwachs („Inkrement“):

r

iii vFtp

1)(

r

iii

r

iii dxFdtvFdttp

11)(








Potentieller EnergiespeicherSpeicherung potentieller und kinetischer Energie

a) Speicher potentieller Energie:Mechanisch: Elastische Strukturelemente = „Federn“

Feder: F = k . x Drehfeder: M = k . Elektrisch: Ladungsspeicher = „Kondensatoren“ (C)

b) Speicher kinetischer Energie:Mechanisch: Bewegte Massen, Drehmassen („Schwungmassen“)

Masse: m Drehmassen: polares Trägheitsmoment J„Elektrisch“: Magnetische Fluss-Speicher = „Induktivitäten“ (L, M)


Potentieller EnergiespeicherSpeicherung potentieller Energie Wp

Gegenüberstellung:(GLEICHE Struktur, KEINE Analogiebetrachtung)

Beschreibende Gleichung:

Sonderfall: k, C = konst.:

Aufgenommene Leistung:

Inkrementelle Energiezufuhr:

Potentielle Energie:

Sonderfall: k, C = konst.:

)(xFF )(Quu xkF CQu /vFp iup

dxxFdtp )( dQQudtp )(

xx

xdxFxWx

p

0

)()(0

QQ

QdQuQWQ

p

0

)()(0

2)(

2

0

xkxdxkxWx

p

CQQdCQQW

Q

p 2/)(

2

0


Potentieller EnergiespeicherPotentielle Ergänzungsenergie Wp

*

F

pp FdFxxWxFFW0

* )()()(

• Potentielle Ergänzungsenergie („Ko-Energie“):

Definition:

x

p xdxFxW0

)()(0

0

Nichtlineare Federkennlinie

Aus folgt:dx

xdWxF p )()(

F

p FdFxFW0

* )()(Aus folgt:dF

FdWFx p )(

)(*

00

Nichtlineare Kondensator-Kennlinie

u )(Qu

uud

QQd Q

u

pp uduQQWQuuW0

* )()()(

dQQdW

Qu p )()(

duudW

uQ p )()(

*

• Potentielle Ergänzungsenergie für Kondensatoren:


Potentieller EnergiespeicherLineare Kennlinie: Pot. Ergänzungsenergie Wp

*

00

Lineare Federkennlinie

x

F

pW

*pW

00

Lineare Kondensator-Kennlinie

Q

u

pW

*pW

2)(

2

0

xkxdxkxWx

p

CQQdCQQW

Q

p 2/)(

2

0

kFFdF

kFW

F

p 21)(

2

0

* 2)(

2

0

* uCuduCuWu

p

Im Zahlenwert sind gleich groß, aber nicht gleich in ihren Funktionen, denn:

)(),( * FWxW pp

kWkW pp 2

)(2

)(2

*2

2

)(2

)(2

*2

CW

CW pp


Potentieller EnergiespeicherAllgemeine Formulierung der pot. Energie

• r „Koordinaten“ r Kräfte:

• „r-dimensionaler Vektorraum“

• Potentielle Energie:

rixxxFxxxx riiri ,...,1),....,,...,(),....,,...,( 11

)(),....,,...,( 1 xFFFFF ri

1

0 011

0

...)()(x x

rr

x

p

r

xdFxdFxdxFxW

Beispiel: r = 3 Wenn Wp unabhängig vom Integrationsweg C ist (= unabhängig davon, welches der Teilintegrale zuerst ausgeführt wird), nennt man

eine „Zustandsfunktion“; z. B.: keine Hysterese

Dann ist ein Gradientenfeld:

)(xWp

)(xF p

i

pi WxF

xW

F

)(

ri xxx.,...,.,...,.

1

• Für Gradientenfelder F ist die „Rotation“ Null:

Daher gelten die „Integrabilitätsbedingungen“:

0)()()(rot0

pp WWFF

rjixF

xF

i

j

j

i ,...,1,

x2

x3C1

C2

x

0

x1 „Nabla“


Potentieller EnergiespeicherBeispiel: Integrabilitätsbedingungen

Beispiel: r = 3 Wp ist eine „Zustandsfunktion“,

es gelten die Integrabilitätsbedingungen

0...rot

0

2

1

1

23

0

1

3

3

12

0

3

2

2

31

321321

321

xF

xFe

xF

xFe

xF

xFe

FFFxxx

eee

FF

3,2,1,

ji

xF

xF

i

j

j

i

0,00,2

1

1

2

1

3

3

1

3

2

2

3

xF

xF

xF

xF

xF

xF

• F ist ein Gradientenfeld:

1,,grad)(1321

r

iii

i

pppppp ee

xW

xW

xW

xW

WWxF

Experts only


Potentieller EnergiespeicherAllg. Formulierung der pot. Ergänzungsenergie

• r „Koordinaten“ r Kräfte:

• „r-dimensionaler Vektorraum“:

• Potentielle Ergänzungsenergie: Definition:

rixxxFxxxx riiri ,...,1),....,,...,(),....,,...,( 11

)(),....,,...,( 1 xFFFFF ri

)()(* xWxFFW pp

)()(1

* xWxFFW p

r

iiip

• Inkrementelle Änderung der potentielle Ergänzungsenergie:

r

ii

i

pr

iiiiip

r

iiip dx

xW

dxFxdFxdWxFdFdW111

* )()()()(

r

iii

r

ii

i

pr

ii

i

piip xdFdx

xW

dxx

WxdFFdW

111

* )()(

r

ii

i

pp dF

FW

FdW1

** )( i

pi F

Wx

*

Experts only


Potentieller EnergiespeicherBeispiel: Lineare Zug-/Druckfeder

dxxdW

xF p )()(

• Bei positiven Werten: Die (von außen aufgebrachte) Kraft F wirkt in Richtung der Koordinate x im Sinne einer Erhöhung der gespeicherten potentiellen Energie Wp

0 x

F

Wp2/2xkWp xkF

l l x

F

l x

F


Potentieller EnergiespeicherPotentielle Energie im Schwerefeld einer Punktmasse m1

rmmGrWp

21)(

drrdW

rF p )()(

• Kugelkoordinaten:

.

sin1,.1,.

rrr

• Kugelsymmetrie:

)s/(kgm1067.6 2311 G

221)(

rmmGrF

• Die (von außen aufgebrachte) Kraft Fwirkt in Richtung der Koordinate r im Sinne einer Erhöhung der gespeicherten potentiellen Energie Wp

• Die Gravitationskraft Fg wirkt gegen Fanziehend, also gegen r im Sinne einer Abnahme von Wp

0 rrA rBWp ~ 1/r

Wp

m1 m2 F

F ~ 1/r2


Potentieller EnergiespeicherPotentielle Energie an der Erdoberfläche

xgmxWp )(

• Näherung:Erdradius rE >> Abstand x des Körpers m von der Erdoberfläche (Erdmasse mE)

mE rE

m

x

xex = 0

F

gmdx

xdWxF p

)()(

• Die (von außen aufgebrachte) Kraft Fwirkt in Richtung x zur Erhöhung der gespeicherten potentiellen Energie Wp

• Die Gravitationskraft Fg wirkt gegen F !

x00

FWp


Potentieller EnergiespeicherElektrische Kraft und potentielle el. Energie einer Punktladung q1 bzgl. Punktladung q2

rqqrWp

0

214

)(

drrdW

rF p )()(

• Kugelkoordinaten:

.

sin1,.1,.

rrr

• Kugelsymmetrie:

20

21

4)(

rqqrF

• Die (von außen aufgebrachte) Kraft Fwirkt in Richtung der Koordinate r im Sinne einer Erhöhung der gespeicherten potentiellen Energie Wp

• Die COULOMB-Kraft Fe wirkt gegen Fanziehend, also gegen r im Sinne einer Abnahme von Wp

0 rrA rBWp ~ 1/r

Wp

Oq1 q2 F

F ~ 1/r2

Bsp.: Für q1.q2 < 0








Beispiel: Beweglicher PlattenkondensatorAnnahme: Plattenladung Q vorgegeben

Bewegliche PlatteA0

Geg.: Q, C(x):

Ges.: Wie ändert sich F(x) mit variablem x?

Zwei Koordinaten r = 2: x1 = Q, x2 = x

Zwei Kräfte: F1 = u (gegeben), F2 = F (gesucht)

uxCQ )(

)()(2)()(

2

011 x

xCQQd

xCQW

xCQ

QW

ux

WF

Q

ppp

Integrationskonstante: (x)

),()()(

12

)()(2

22

22 xQFx

xCdxdQx

xCQ

dxd

xW

FxW

F pp

Beispiel: Wenn Q = 0, dann soll auch F = 0 sein:

0konst.)(0)(0)()(

12

0),0(2

xxxxCdx

dxF

)(1

2),(

2

xCdxdQxQF

, da sonst:konst.)0,0( xuWp


Bewegliche PlatteA

0

E

1 2

Beispiel: Beweglicher PlattenkondensatorAnnahme: Homogenes Kondensatorfeld E

)(1

2),(

2

xCdxdQxQF

Homogenes Kondensatorfeld E = Ex = konst.

konst.22

),()(0

2

0

20

AQ

Ax

dxdQxQF

xAxC

xA

QxC

Qu 0)(

x

Fu

00

Bei konstanter Plattenladung Q und homogenem Feld E = konst.zwischen den Platten a) ist die gegen die anziehende elektrostatische Kraft

aufzubringende Kraft F UNabhängig vom Plattenabstand xb) nimmt die Spannung u zwischen den Platten mit x zu

AxQxu

AQEAEADAdDQxEdxEsdExu xxx

VAx

x

x

x

000

00

)()(

Maxwell´sche Zugspannung auf Platte 2: A

QApFFA

QEDxp eexx

e0

2

20

2

222)(


Beispiel: Beweglicher PlattenkondensatorKontrolle: Kraftberechung aus virtueller Verschiebung

Unabhängige Variable: Q, x

x

Fu

00

Maxwell´sche Zugspannung auf Platte 2 wirkt nach links!

Bewegliche PlatteA

0

E

1 2

xxQWF

QxQWu e

ee

),(),(

xA

QxC

QWe 0

22

2)(2 x

AQ

xCQ

QWu e

0)(

FA

Qx

xQWF ee

0

2

2),(


Potentieller EnergiespeicherBeispiel: Platten-Kondensator, = konst. (1)

• Bei positiven Werten: Die (von außen aufgebrachte) Spannung u wirkt in Richtung von positiver zu negativer Ladung Q im Sinne einer Erhöhung dieser Ladung und damit der gespeicherten potentiellen Energie Wp

dQxQdW

Qu p ),()(

0 Q

u

Wp))(2/(2 xCQWp )(/ xCQu

Für x = konst.!

x+Q -Q

u

-Q +Q

u


Potentieller EnergiespeicherBeispiel: Platten-Kondensator, = konst. (2)

dxxQdW

xF p ),()(

• Bei positiven Werten: Die (von außen aufgebrachte) Kraft F wirkt in Richtung der Koordinate x im Sinne einer Erhöhung der gespeicherten potentiellen Energie Wp

• Die el. Kraft Fe wirkt gegen F anziehend, also gegen x im Sinne einer Abnahme von Wp

0x

FWp

)2/(2 AQxWp )2/(2 AQF

Für Q = konst.!

)/( AQxu

0

u

+Q -Q

u = 0

x = 0F

x+Q -Q

u

F

)(),(),()( xF

dxxQdW

dxxQdWxF pe

e


Beispiel: Beweglicher PlattenkondensatorKritik an der Annahme „Homogenes Feld E“

• Annahme des homogenen Kondensatorfelds E = Ex = konst. nur sinnvoll bei gegenüber den Plattenabmessungen b, l kleinem Plattenabstand x (A = b . l)

b

E

xBei gegenüber Plattenabmessungen b, l großem Plattenabstand x darf das „ausufernde“ Randfeld nicht vernachlässigt werden und bestimmt maßgeblich das Feld zwischen den Platten, so dass E(x) zwischen den Platten ein Minimum hat!

• C(x) sinkt dann stärker als mit 1/x; die Kraft F nimmt mit zunehmendem x ab!

• Abschätzung für x >> b: E-Feld zwischen zwei Punktladungen Q, -Q: Coulomb-Formel:

220

2 1~4

)(xx

QxF

bE(x)

xQ -Q








Kinetische EnergiespeicherSpeicherung kinetischer Energie (1)

Gegenüberstellung:(KEINE Analogiebetrachtung)

„Impuls“: (auch: Flussverkettung )

Sonderfall: nicht-relativistisch:

Sonderfall: linear: L = konst.

Dynamische Gleichung: NEWTON:



)()( gvvvgg )()( iii

JDvmg ,iL

iuip

dgvdtdtdgvdtp didt

dtdidtp

Inertialsystem

JDvmg ,

(ohne Hysterese)

gvFvp

dtdDMdtdgF /,/ FARADAY:

dtdui /dtduuu i /:0




Kinetische Energie:

Kinetische Ergänzungsenergie:(„Ko-Energie“)

dgvdtp didtp

g

k gdgvgW0

)()(

0

)()( diWk

kk WgvvW )(*

v

k vdvgvW0

* )()(

kk WiiW )(*

i

k idiiW0

* )()(

Nichtlineare Magnetisierungskurve

00

00

Nichtrelativistische Mechanik

g D

v

kW

*kW



dggdWgvgdgvgW k

g

k)()()()(

0

dvvdWvgvdvgvW k

v

k)()()()(

*

0

* diidWiidiiW k

i

k)()()()(

*

0

*

ddWidiW k

k)()()()(

0

Lineares System: iL JDvmg ,

mg

dgmgdgv

mggd

mggW

g

k

))2/(()(

2)(

22

0

JD

dDJDdD

JDDd

JDDW

D

k

))2/(()(

2)(

22

0

Ld

Ldi

Ld

LWk

))2/(()(

2)(

2

2

0

2)(

2)(

2*

2

0

*

JWvmvdvmvW k

v

k 2)(

2

0

* iLidiLiWi

k

iLdiiLdi

)2/()(

2

Jd

JdDvmdvvmdvg )2/()()2/()(

22


Kinetische EnergiespeicherÄußere Kräfte F u. innere Kräfte F(in)

Auf das System wirken

a) von außen aufgeprägte äußere Kräfte F (z. B. Schwerkraft, el. Spannung) und

b) zwischen einzelnen Teilen des Systems (z. B. Feder-Masse-Anordnung) innere Kräfte F(in)

Die inneren Kräfte hängen von der Lage (Koordinaten xi) der i = 1, …, r einzelnen Systemteile ab (z. B. Spule 1 bewegt sich von Spule 2 weg: x ändert magn. Energie)

Koordinaten der einzelnen r Systemteile (z. B. Lage, el. Ladung) als Vektor:

Impulse der einzelnen Systemteile als Vektor:

),,( 1 rxxx

),,( 1 rggg

Das System ist als räumlich abgegrenzter Bereich über äußere Kräfte über Anschlüsse (I, II, …) in Wechselwirkung mit seiner Umgebung.

Die einzelnen Systemteile sind dch. konzentrierte Elemente (allgemein: m, k, R, L, C, …hier: „kinetisch“: m, L) gegeben

)(),,( )(1

)( xFxxF inir

ini

Über die „inneren“ Kräfte F(in) wird Energie mit den kinetischen Speichern des Systems ausgetauscht!


Kinetische EnergiespeicherDynamisches Kraftgesetz für allgemeines System

Dynamisches Kraftgesetz (für mech. Systemteile: NEWTON´sches Gesetz):Die Summe aus äußerer und innerer Kraft je Systemteil ergibt dessen Impulsänderung,so dass sich die gesamte Impulsänderung des Systems als Vektorgleichung ergibt.

dtgdxFF in

)()( ),,(),,( )()(

1)(

1in

rinin

r FFFFFF

Kraftgesetz hier für den Sonderfall OHNE dissipative Kräfte und ohne potentielle Energiespeicher


Kinetische EnergiespeicherKinetische Energie für allgemeines System

Von außen durch die äußeren Kräfte dem System zugeführte Momentanleistung p(t):

vxFdtgdvFvFtp in

r

iii

)()( )(

1

Zugehörige inkrementelle Energiezufuhr == Impulsänderungsarbeit – Arbeit der inneren Kräfte

)1()()()( )()()( xdxFgdvdtdtxdxFdt

dtgdvdtvF

dtgdvdttpdW inini

Energiezufuhr bedingt Erhöhung der gespeicherten kinetischen Energie:

Wegen hängt Wk nicht nur von , sondern auch von ab. kdWdW

)()( xF in g x

)2(),,,,,(),(11

11

r

ii

i

kr

ii

i

kkrrkkk dx

xWdg

gWdWxxggWxgWW

Koeffizientenvergleich (1) mit (2):

i

kini

i

ki

r

ii

ini

r

iii

ink x

WFgWvdxFdgvxdxFgdvdW

)(

1

)(

1

)( )(:)1(


Kinetische EnergiespeicherKinetische Ergänzungsenergie für allgemeines System

Kinetische Ergänzungsenergie (Definition):

Deren Änderung ist:

),(),(* xgWvgxvW kk

r

ii

i

ki

i

kr

iiikk dx

xWdg

gWvgddWvgddW

11

* )()()(

r

ii

i

ki

vi

kiiiik dx

xWdg

gWdvgvdgdW

i

1

* )(

r

ii

i

ki

i

kk dx

xWdv

vWxvdW

1

*** )(),(

i

k

i

kini

i

ki

xW

xWF

vWg

*)(

*

xdxvFvdxvgdxFdvgxvdW inr

ii

iniiik

),(),()(),( )(

1

)(*

Inkrement der kinetische Ergänzungsenergie:


Kinetische EnergiespeicherBerechnung der kinetischen Ergänzungsenergie

xdxvFvdxvgxvdW ink

),(),(),( )(*

Berechnung der kinetische Ergänzungsenergie durch Integration im Raum vom Ursprung aus entlang irgend eines Wegsz. B. zuerst und dann

Es ist:

),( xv

)0,0(0 xv

10,,0 xxv 10,, xxvv

1

0

1

0

)(** ),(),0(),( dvxvgdxxFdWxvW inkk

dxxdxd )( dvvdvd

)(

Hängt nur von x, nicht von v ab

1

0

*0

* ),()(),( dvxvgxWxvW kk

:)(*0 xWk

x1

x2

v1

0

0),( 21

vxxx

xxvv

1),,(),( 211 xxvxv

Anteil : Berücksichtigt magnetische Energie von Dauermagneten; Ist sonst Null!

)(*0 xWk

1

0

* )()( dvvgvWk








Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenBerechnung der kinetischen Ergänzungsenergie (1)

Zwei magnetisch gekoppelte (M = L12 = L21) lineare Spulen (L1, L2)

Spule 2 hat Masse m und ist verschiebbar (x, v)

Geg.: Funktion L12(x), Ströme i1(t), i2(t), x(t)

Ges.: Kraft F(x), Spannungen u1(t), u2(t)

Drei Koordinaten:

Drei „Geschwindigkeiten“:

Drei „Kräfte“:

Drei „Impulse“:

xxQxQx 32211 ,,vxxviQviQv

33222111 ,,

FFuFuF 32211 ,,gggg 32211 ,,

Impulsgleichungen:

Kinet. Ergänzungsenergie: KEINE Dauermagnete:

vmgixLiLixLiLixLiL ,)()(,)( 11222121222212111

1

0

1

022

1

011

1

021

* )()()()(),,( dvvgdivdivdvvgviiWk

0)0,0(,0)0,0( 212211 iiii 0)(*

0 xWk


Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenBerechnung der kinetischen Ergänzungsenergie (2)

1

0

1

022

1

01121

* )()()(),,( dvvgdivdivviiWk

1

0

1

0211222

1

0121211

* ))(())(( dvvmdiixLiLdiixLiLWk

2)(

2222)(

22)(

2

2

2112

22

2

21

1

221

12

22

221

12

21

1* vmiixLiLiLvmiixLiLiixLiLWk

21

2

1

0

21

0

d

Dynamische Gleichungen: mit)()( xFdtgdF in

i

k

i

kini

i

ki x

Wx

WFv

Wg

*

)(*

dt

txdLidtdixL

dtdiLixLiL

dtd

iW

dtdg k ))(()()( 12

22

121

1212111

*

11

vxLvdx

xdLdtdx

dxxdL

dttxdL

)()()())((12

121212

vxLidtdixL

dtdiL )()( 122

212

111

vxLidtdixL

dtdiLixLiL

dtd

iW

dtdg k

)()()( 1211

122

2112222

*

22


Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenBerechnung der allgemeinen Kräfte u1, u2, F

vxLidtdixL

dtdiLu )()( 122

212

1111 vxLi

dtdixL

dtdiLu )()( 121

112

222

Ruhinduktion Bewegungsinduktion Ruhinduktion Bewegungsinduktion

FiixLdt

vmdx

Wv

Wdtd

xWgFgF kkkin

2112

**

3

*

3)(

333 )()(

1)(

111 uFgF in 01

*

1

*)(

1

QW

xWF kkin denn Ko-Energie hängt NICHT von Q1 ab!

2)(

222 uFgF in 02

*

2

*)(

2

QW

xWF kkin denn Ko-Energie hängt NICHT von Q2 ab!

222111 gugu

2112 )( iixLdtdvmF

Trägheitskraft Magnetkraft Fm

Magnetkraft Fm hängt vom Vorzeichen der beiden Ströme i1, i2 ab!


Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenMagnetkraft Fm

2112 )( iixLFm L12(x)

x0

0

0)(12 xL

Magnetische Kopplung L12 nimmt mit steigendem Abstand x ab!

Magnetkraft Fm < 0, wenn beide Ströme i1, i2 GLEICHES Vorzeichen: Spulen ziehen einander an!

Magnetkraft Fm > 0, wenn beide Ströme i1, i2 UNGLEICHES Vorzeichen: Spulen stoßen einander ab!

Kraftzählpfeil IN Richtung von x !

Fm

Koaxiale Spulen, gleicher Wickelsinn

i1

sgn(i1) = sgn(i2)

Anziehen

i2

i2

i1

i1

sgn(i1) sgn(i2)

Abstoßen

i2

i2

i1

x


BLONDEL-Streuziffer:

= 1: KEINE Kopplung

= 0: VOLLSTÄNDIGE Kopplung

Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenEnergie

Im Beispiel tritt nur „kinetische“ Energie auf (Bewegungsenergie, magn. Energie)

Es tritt KEINE potentielle Energie auf, weil keine pot. Speicher (Feder, Kondensator) vorhanden sind

Die Spulen sind linear (L = konst.), die Mechanik ist nicht-relativistisch:Daher liefern „kinetische“ Energie und „kinetische“ Ergänzungsenergie IDENTISCHE Werte!ABER: Die Formulierung mit i, v ist Ko-Energie, die Formulierung mit , g ist Energie!

""2

)(22

2

2112

22

2

21

1*

kk WvmiixLiLiLW

11

122

22

22

121

11

112222

212111

1

1

LL

Li

LL

Li

iLiLiLiL 21

2121LL

L

mg

LLL

LLWk 222

2

2121

12

2

22

1

21


Beispiel:Bewegliche gekoppelte SpulenMagnetische Kopplung

2)(

22

2

2112

22

2

21

1* vmiixLiLiLWk

)/(1 21212 LLL BLONDEL-Streuziffer:

= 1: KEINE Kopplung

mg

LLL

LLWk 222

2

2121

12

2

22

1

21

mg

LLWk 222

2

2

22

1

21

012 L

222

222

2

21

1* vmiLiLWk

= 0: VOLLSTÄNDIGE Kopplung

12221211 LLLLLL

Die Selbstinduktivitäten sind „reine“ Streuinduktivitäten Die magnetischen Energien sind je Spule getrennt existent

00 212121 LLLLLEs treten KEINE Streuinduktivitäten auf

2)(

2

22

2112* vmiiLWk

221121 )( iiL

mg

Lmg

LWk 2222

2

12

22

2

12

21

Anmerkung: Hier wurde das Übersetzungsverhältnis ü = u1/u2 = 1 verwendet

a)

b)


Beispiel: Bewegliche gekoppelte SpulenKontrolle: Kraftberechung aus virtueller Verschiebung

Unabhängige Variable: i1, i2, x

211221

*)(),,( iixL

xxiiWF m

m

xxiWF

ixiW m

mm

),(),( **

2112

22

2

21

1* )(

22iixLiLiLWm

212111

21*

1 )(),,( ixLiLi

xiiWm

11222

2

21*

2 )(),,( ixLiLi

xiiWm

Magnetkraft Fm < 0, wenn beide Ströme i1, i2 GLEICHES Vorzeichen: Spulen ziehen einander an!

Magnetkraft Fm > 0, wenn beide Ströme i1, i2 UNGLEICHES Vorzeichen: Spulen stoßen einander ab!

0)(12 xL








EnergiedissipationDissipative Elemente

• Mechanische Reibungs- und Dämpfungselemente (Bewegung: v Gleitreibung): z. B. bewegter Flügel in einer Flüssigkeit

• Elektrische Widerstände (Stromfluss i: z. B.: OHM´sches Gesetz)

• Verlustmechanismen in Halbleiterbauelemente (Diode, Heißleiter, Kaltleiter, …)

Gegenüberstellung:(KEINE Analogiebetrachtung)

Beschreibende Gleichung:



)(vFF )(iuu z. B. Diodenkennlinie

dtdxvFvvFp )()(

dtdQiuiiup )()(

dtvvFdtpdW )(dxvFdW )(

dtiiudtp )(dQiudW )(

Arbeit der Reibungskraft Verlustwärme


EnergiedissipationDissipative Elemente – Allgemeine Form

• Allgemeine dissipative Kräfte Fi (Reibungskräfte, el. Spannungsfälle):Hängen von „allgemeinen Geschwindigkeiten“ vi, fallweise zusätzlich auch vom Ort xi ab

• Energiezufuhr:

riFFFxvFF ri ,,1),,,,(),( 1

RuiRiiup /)( 22

r

iii dxxvFxdxvFdtpdW

1),(),(

),,,,,( 11 rri xxvvF

Beispiel 1: OHM´sches Gesetz: iRiu )(

vdvFF )(Beispiel 2: Geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskraft (= laminare („zähe“) Strömung)

Dämpfungsbeiwert: d 2vdvFp

2)( vdvFF

Beispiel 3: Geschwindigkeitsabhängige Dämpfungskraft bei turbulenter („verwirbelter“) Strömung

Dämpfungsbeiwert: d 3vdvFp








Elektrische ErsatzelementeElektrische Ersatzelemente für das mechanische System

• Vor dem Einsatz leistungsfähiger Digitalrechner wurden in den 1960-1980-er Jahre elektronische Analogrechner eingesetzt, um Differentialgleichungen zu integrieren.

• Für mechanische Ausgleichsvorgänge wurden äquivalente elektrische Ersatzsystemeverwendet, die das gleiche dynamische Verhalten haben.

• Daraus abgeleitet haben sich elektrische Ersatzelemente für die Beschreibung mechanischer Systeme fallweise erhalten.

• Bei elektromechanischen Systemen werden so die ohnehin vorhandenen elektrischen Gleichungen (auf Basis der KIRCHHOFF-Gesetze) um weitere, mit ihnen gekoppelte elektrische Gleichungen (für das gekoppelte mechanische System) erweitert.

• Die Beschreibung des dynamischen Kleinsignal-Verhaltens des (linearisierten) Wandlers in einem Arbeitspunkt erfolgt dann ausschließlich über die Lösung elektrischer Netzwerke.

• Es gibt zwei elektrische Äquivalenzsysteme zum mechanischen System:a) Kraft-Spannungs-System, b) Kraft-Strom-System


Elektrische Ersatzelemente Gegenüberstellung der Ersatzelemente

dtduCiC

kdtdF

kv

dtdiLuLm

dtdvmF

iuRvFRivuF

mec

:1:1

::

//

Leistungsgleichung:

a) Kraft-Spannungs-System: b) Kraft-Strom-System:

dtdiLuL

kdtdF

kv

dtduCiCm

dtdvmF

uiGvFRuviF

mec

:1:1

::

//

iuvF

Kraft bedingt

Bewegung

Spannung bedingt Strom

Physikalisch gleichartige Kausalität

Mechanische Struktur elektrische Struktur

Analogie

Knoten:

Masche: 0

0

kk

kk

v

F

0

0

kk

kk

u

i1F

2F3F

1i

3i2i

v u


Elektrische Ersatzelemente Beispiel: Linear gedämpfter Schwinger (1)

CkRdLmixQx

ivuF

/1

,

Kraft-Spannungs-System

LkRd

Cm

iFuviF

kk

kk

/1/1

00,

xdxxkxm )( 0

0Fdtvkvddtdvm

00 Fxkxkxdxm

001 U

CQQ

CiRiL

01 UQC

QRQL

011

100

uL

uR

uC

QidtuLR

udtduC

dtuL

iRuidtduCi LRC

1,/,

0iiii LRC

Kraft-Strom-System

0 vkvdvm

01 UdtiC

iRdtdiL iQ, L R C

0U Ci

LRC

LiRi

0i

k m d

x0x


Elektrische Ersatzelemente Beispiel: Linear gedämpfter Schwinger (2)

Kraft-Spannungs-System Kraft-Strom-System

xx , m d k/1

00 Fxk

x

k1

d1m

xx

00 xkF

• Fazit:Es existieren zwei äquivalente elektrische Systeme:a) Serien- bzw. b) Parallelschwingkreisfür das eine mechanisches System (den linearen gedämpften Einmassen-Schwinger)

• Das Kraft-Strom-System wird (wurde) bevorzugt bei Analogrechnern eingesetzt.

• ACHTUNG: Das Kraft-Strom-System ist nicht „impedanztreu“: Mechanischen Impedanzen (Widerstände) Rmec entsprechen elektrische Leitwerte G!


Elektrische Ersatzelemente Verwendung der Ersatzsysteme

Verwendung des Kraft-Strom-Systems:In den Vorlesungsunterlagen von Prof. Werthschützky und in den Lehrbüchern von Ballas / Pfeifer / Werthschützky

In dieser Lehrveranstaltung und in den Lehrbüchern von Woodson / Melcher / Meisel wird KEIN Ersatzsystem verwendet, sondern direkt die physikalisch bedingten Gleichungen.

Die dabei auftretenden Entsprechungen für die unterschiedlichen Energieformen passen zum Kraft-Spannungs-System!

ACHTUNG:In den Lehrunterlagen und Klausuren bis SS 2018 (Prof. Werthschützky) ist das Kraft-Strom-System in Verwendung gewesen!




Zusammenfassung:

- Allgemeine Koordinaten (Lage, el. Ladungen)- Allgemeine Geschwindigkeiten (Bewegung, el. Ströme)- Allgemeine Kräfte (mech. Kräfte, el. Spannungen)- Allgemeine potentielle Energie (Lageenergie, el.-stat. Energie)- Allgemeine kinetische Energie (Bewegungsenergie, magn.-stat.

Energie)- Berechnung der Kräfte aus den Ko-Energien- r-dimensionaler Raum der allgemeinen Koordinaten

TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 4. Lagrange-Gleichungen / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder


4. Methode der 4. Methode der LagrangeLagrange--GleichungenGleichungen

• Verallgemeinerte unabhängige Koordinaten• Virtuelle Verschiebungen• Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze:

Lagrange-Gleichungen• Beispiele zum mechanischen System• Beispiele zum elektrischen Netzwerk


Elektromechanische Systeme4. Methode der Lagrange-Gleichungen

Verallgemeinerte unabhängige Koordinaten Virtuelle Verschiebungen Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen

Grundgesetze: Lagrange-Gleichungen Beispiele zum mechanischen System Beispiele zum elektrischen Netzwerk


Verallgemeinerte unabhängige KoordinatenKinematische Verträglichkeitsbedingungen

„Schnittstelle“: Verknüpft zwei Elemente und ihre Koordinaten xi

Durch Zusammenschalten von Systemteilen sind Koordinaten xi i.A. nicht mehr voneinander unabhängig, sondern müssen „kinematische Verträglichkeitsbedingungen“ erfüllen

Beispiel 1: Mech. Pendel Beispiel 2: Kirchhoff´sche Knotengleichung

Potentieller Speicher

Kinetischer Speicher

Dissipatives Element System

xi xi+1 xi+2xi-1

)cos1(sin

)(

2

1

211

lxlx

xxx

Nur 1 Freiheitsgrad:

213

213

2133

2133

),(),(

QQQiii

QQQQiiii

„kinematische Verträglichkeitsbedingungen“


Verallgemeinerte unabhängige KoordinatenKoordinatendefinition

Verallgemeinerte Koordinaten (Orts- und Ladungskoordinaten):

Voneinander UNABHÄNGIGE verallgemeinerte Koordinaten: = Anzahl der Freiheitsgrade des Systems n

Kinematische Verträglichkeitsbedingungen:

Verallgemeinerte Geschwindigkeiten v:

Beispiel 1: Mech. Pendel Beispiel 2: Kirchhoff´sche Knotengleichung

)))(cos(1()()(sin)(

:)()(

12

11

1

tqltxtqltx

ttq

)()()()()(),()(

213

2211

tqtqtQtqtQtqtQ

ritxi ,,1)(

rnnitqi ,,1)(

),(,,1),,,( 1 tqxxritqqx ni

),,(),( 11 nr qqqxxx

),,(/ 1 nqqqdtqdv

1q 2q

3Q






Virtuelle VerschiebungenDefinition

• Virtuelle Verschiebungen der verallgemeinerten Koordinaten xi:Dienen dem energetischen Vergleich benachbarter Systemzustände

• Momentaufnahme: Systemzustand wird zum Zeit t festgehalten

• In DIESEM Zustand werden kleine (aber durchaus „endlich große“) Verschiebungen xider Koordinaten durchgeführt = „Virtuelle Verschiebungen“

• Verschiebungen xi sind virtuell, weil t festgehalten ist, während echte Verschiebungen eine bestimmte Zeit für ihre Durchführung benötigen

• Virtuelle Verschiebungen xi müssen kinematische Verträglichkeitsbedingungen einhalten

• Durch Randbedingungen vorgegebene Bewegungen eines Punktesoder einer Ladung haben wegen t = konst. KEINE virtuelle Verschiebung

)(),( txvtx iii )(),( tQitQ iii

Beispiel 1: Weg-“Erregung“x(t) vorgeschrieben

Beispiel 2: Ideale Stromquelle: i(t) vorgeschrieben

0x0Q






Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenGrundsatz-Überlegungen für konservative Systeme

• Konservatives System (= Energie-erhaltendes System):Keine Energieaustausch des Systems mit der Umgebung Keine Energiedissipation (= keine Verlustwärme). Es wird nur Energie zwischen den pot. & kin. Speichern des Systems ausgetauscht

• Nichtkonservatives System:Energieaustausch des Systems mit der Umgebung durch äußere Kräfte FEnergiedissipation = bremsende (Reibungs-)Kräfte F(d)

Es wird auch Energie zwischen den pot. & kin. Speichern des Systems ausgetauscht:Pot. Speicherkäfte F(p) und „innere“ Kräfte F(in) der kin. Speicher

• Diese Kräfte werden in Abhängigkeit der voneinander UNABHÄNGIGEN verallgemeinerten Koordinaten beschrieben


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenKraftgleichung (1)

• Impulssatz: )()()(),( dpin FFFFdt

tqgd

• Positive Zählweise der Kräfte:

• Potentielle Speicherkräfte: Verringerung der potentiellen Energie des Speichers =Erhöhung des Impulses („Beschleunigung“)

• Kinetische Speicherkräfte: Verringerung der kinetischen Energie des Speichers =Erhöhung des Impulses („Beschleunigung“)

• Dissipative Kräfte: Umsetzung von Energie in Wärmeenergie = Verringerung des Impulses(„Bremsung“)

• Äußere Kräfte: Erhöhung des Impulses („Beschleunigung“)

i

ppi

i

k

i

kini q

WF

qW

qWF

)(*

)( ni ,,1F

)(inF

)( pF

)(dF


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenKraftgleichung (2)

• Nichtkonservatives System:Kräfte werden in Abhängigkeit der voneinander UNABHÄNGIGEN verallgemeinerten Koordinaten beschrieben:

),(,,1),,,( 1 tqFFnitqqF ni

• Impulssatz:

),(),,,( )()(1

)( tqFFtqqF ddn

di

),(),,,( )()(1

)( tqFFtqqF ppn

pi

),(),,,( )()(

1)( tqFFtqqF inin

nin

i

)()()(),( dpin FFFFdt

tqgd

)()()(),( di

pi

inii

i FFFFdt

tqdg

i

ppi

i

kini

i

ki q

WF

qWF

qWg

)(*

)(*

• Arbeit der äußeren Kräfte:

n

iii dqFdttp

1)(

• Arbeit der dissipativen Kräfte:

n

ii

did dqFdttp

1

)()(


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenNichtkonservatives System – virtuelle Verschiebungen• Virtuelle Verschiebungen:

• Impulssatz: id

ip

iin

ii FFFFdt

tqdg )()()(),(

i

ppi

i

kini

i

ki q

WF

qWF

qWg

)(*

)(*

• Arbeit der äußeren Kräfte:

n

iii qFA

1

• Arbeit der dissipativen Kräfte:

n

ii

did qFA

1

)(

iq

niFFq

Wq

Wq

Wdtd

id

ii

p

i

k

i

k ,,1)(**

Lagrange´sche Gleichungen

• Lagrange-Funktion: ),(),,(),,( * tqWtqqWtqqL pk

niFFqL

qL

dtd

id

iii

,,1)(

• Lagrange-Gleichungen:

niqL

qL

dtdFF

iii

di ,,100,0)(

• Lagrange-Gleichungenim konservativen System:


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenSonderfall: Konservatives System

niqL

qL

dtdFF

iii

di ,,100,0)(

• Lagrange-Gleichungen

im konservativen System:

• Lagrange-Gleichungen für den Ruhezustand = KEINE Bewegung =kinetische Energie ist NULL auch kinetische Ko-Energie ist NULL!: 0:0*

i

pk q

WW

• Gleichgewichtslage des Systems x (= Ruhelage des Systems): x jener Ort, wo potentielle Energie Wp einen Extremwert annimmt (maximal od. minimal)

• Beispiel:Mechanisches System: Kugel in Mulde oder auf Hügel: n = 1, q1 = x

2Wp Wp Wp

1: Wp minimal: Stabiles Gleichgewicht

2: Wp maximal: Instabiles Gleichgewicht

1, 3: Wp minimal: Stabiles Gleichgewicht

2: Wp maximal: Instabiles GleichgewichtQuelle: Wikipedia.de


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenVariationsrechnung – konservatives System

• Varianten der „Bewegungstrajektorien“:0)()()()()(ˆ EiAiiii tqtqtqtqtq

niqL

qL

dtd

ii,,10

• Auswertung von S = 0 liefert nach Euler:

also die Lagrange-Gleichungen im konservativen System!Für Newton´sche konservative Systeme ist das die Funktion

Experts only

• Definition der „Wirkung“ S (nach EULER): E

A

t

t

dttqqLS ),,(

),(),,(),,( * tqWtqqWtqqL pk

Wir betrachten die tatsächliche Bewegung des Systems, dargestellt durch eine Kurve

zwischen den Punkten im Raum der verallgemeinerten Koordinaten qi.

Im Vergleich mit anderen, kinematisch ebenfalls zulässigen Bewegungsvarianten zwischen den Lagen nimmt die Wirkung S für die tatsächlich ausgeführte Bewegung einen Extremwert an: Dies hat L. EULER gefordert = Variationsrechnung!

)(tq

)(),( EEAA tqqtqq

EA qq ,

0)(

0

ddSS

)(ˆ tq

)(ˆ tq

)(tq

AA tq ,

EE tq ,

00 iq

jq


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenMechanisches Beispiel: Freier Fall Newton´s Bewegungsgleichung Lagrange-Gleichung

h

m

xa xv

F = m . g

xgmFxm

2)(),(

2** xmxWxxW kk

)()( xhgmxWp

gmxmgmxmxL

xL

dtd

gmxLxm

xL

xqn

WWxxL pk

00

,

:1

),(

1

*

• Bei einfachen Systemen mit wenigen Freiheitsgraden (n klein) ist die Rechnung mit der Newton-Bewegungsgleichung und den Kirchhoff-Gleichungen zum Aufstellen der Systemgleichungen schneller

• Bei komplexen Systemen ist die Methode der Lagrange-Gleichungen übersichtlicher.Man muss keine Körper „freischneiden“, um Kopplungen der Teilsysteme zu beschreiben.


Variationsrechnung anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze: Lagrange-GleichungenVorgehensweise zum Aufstellen der Systemgleichungen

a) Feststellen der Anzahl n der Freiheitsgrade

• Wahl der verallgemeinerten Koordinaten qi, i = 1, …, n

• Verallgem. Koordinaten qi sind UNabhängige Verschiebungen x, Winkel , Ladungen Q

• Eingeprägte Koordinatenvorgaben (Wegerregung, Stromquelle) haben vorgeschriebeneZeitfunktionen und zählen daher NICHT zu den UNabhängigen verallg. Koordinaten

• Geometrische Bedingungen und Kirchhoff-Knotengleichungen müssen erfüllt sein

b) Anschreiben der kinet. Ergänzungsenergie W *k als Funktion der verallg. Geschwindigkeiten dqi/dt und Koordinaten qi und der pot. Energie Wp als Funktion von qi

c) Bestimmen der verallg. dissipativen Kräfte Fi(d) u. äußeren Kräfte Fi als Koeffizienten der

Änderungen Ad, A bei den virtuellen Verschiebungen qi

d) Einsetzen von W *k , Wp in die Lagrange-Gleichungen und Ausführen der Differentiationen liefert einen Satz von n unabhängigen Systemgleichungen




Grundgesetze: Lagrange-Gleichungen Beispiele zum mechanischen System (5 Beispiele) Beispiele zum elektrischen Netzwerk


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 1: Wegerregte Bewegung an der Feder k

(mit linearer Dämpfung b)

Schwerpunkt

reibungsfrei

Wegerregung • Wegerregung x1(t) an Federvorgeschrieben (= eingeprägt):

• Dämpfer und Feder linear: b, k = konst.

• Feder entspannt für x – x1 = l0

• Dämpferkraft prop. zur Geschwindigkeit:

)())((

0)()(0)(

)(0d)

0)()()()(c)

2/)(2/)(,2/b)

:1a)

101

101)(

**

01

**111

201

20

2*1

txbltxkxkxbxm

xxblxxkdt

xmdFFx

Wx

Wx

Wdtd

lxxkx

Wx

Wxmx

W

xxFAxxxxbxxbA

lxxklxkWxmW

xqn

dpkk

pkk

d

pk

)(: 1)(

1 xxbxbFxxx d • Keine äußeren Kräfte vorhanden: F = 0

Wegerregter mechanischerlinearer Schwinger


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 1: Alternativ: Newton´sche Bewegungsgleichung

Schwerpunkt

reibungsfrei

Wegerregung • Schwerpunktsatz: Summe aller Kräfte ergibt die Impulsänderung

kdpd FFFFFFxm )()()(

)(dF

kF

0:z.B.wenn ,0)(

01

01

lxxklxxFk

0kF

klxxbxkxbxmlxxkxxbxm

FFxmF kd

)()()(

:0

011

011

)(

• System 2. Ordnung = zwei Energiespeicher: Feder und Masse

Positive Kraftzählrichtung:

0:z.B.)(

1

1)(

xxxxbvbF d

F


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 1: Gleichgewicht bei Weg-erregter Bewegung

Wegerregung (Feder-seitig):

Gleichgewicht d./dt = 0

klxxbxkxbxm )( 011

1111 .konst0,0 Xxxxxx

Xkklxxk )( 01 01 lXX

Abweichung aus der Gleichgewichtslage: )()( txXtx )()( 111 txXtx

klxXxbxXkxbxm )()( 0111

kxxbxkxbxm 11

Sinusförmige Abweichung aus der Gleichgewichtslage:

)cos(ˆ)()( tXXtxXtx)cos(ˆ)()( 11111 tXXtxXtx


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 1: Frequenzgang bei Weg-erregter Bewegung

Resonanz-Kreisfrequenz:

Frequenzgang: Sinusförmige Dauererregung:

Wegerregung (Feder-seitig):

tjeXtXtx 111ˆRecosˆ)(

12

1ˆˆ)(:0:z.B. XkXkmkxxkxmb

jtjj eXXeeXtXtx ˆˆ,ˆRe)cos(ˆ)(

220

20

221 )/(/ˆ/ˆ

mkmk

kmkXX

mk

0

Linearer ungedämpfter wegerregter Schwinger

kxxbxkxbxm 11

1ˆˆ

XX

0

1ˆˆ

XX


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 2: Wegerregte Bewegung an der Masse m


• Wegerregung x(t) an der Massevorgeschrieben


• Feder entspannt für x = l0


:0a) n

xbF d )(

• Keine äußeren Kräfte vorhanden: F = 0

• Keine Schwingungs-Differentialgleichung mit Unbekannter, sondern NUR eingeprägter Weg x der Masse m

• Bei fehlender äußerer Kraft F = 0 ist nur möglich: x = l0 (entspannte Feder), Berechnen der Feder- und Dämpfungskraft:

• Keine Resonanz, da „geführte“ Bewegung der Masse!

Keine unbekannte Variable vorhanden

0)( 0)(

xkp elxkFF 00)(

xxd ebexbF

Schwerpunkt

reibungsfrei

Wegerregung

xe

klxkxbxmlxkxbxmFFxmF kd 00

)( )(:0b)

0/0 dtdlx


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 3: Krafterregte Bewegung an der Feder (1)


• Äußere Kraft F(t) vorgeschrieben

• Zufolge F(t) können sich x und x1 ändern n = 2


• Feder entspannt für x – x1 = l0


0),(0)()()()()(c)

2/)(,2/b)

,:2a)

21211

1)(

2)(

1211111

201

2*211

FtFFqqFxFAxxbFFqxxbqxxbxxxxbA

lxxkWxmW

xqxqn

ddd

pk

Schwerpunkt

reibungsfrei

)( 1)(

2)(

1 xxbFF dd

Anwendung der LAGRANGE-Gleichungen:


Beispiele zum mechanischen System Bsp. 3: Krafterregte Bewegung an der Feder (2)


0)()(0

)(0:2

)()()(00

)(00:1d)

101

2)(

2

**

01

**101

1)(

111

*

1

*

0111

*

1

*

xxblxxkxm

FFx

Wx

Wx

Wdtdlxxk

xW

xWxm

xWi

tFxxblxxk

FFx

Wx

Wx

Wdtdlxxk

xW

xW

xWi

dpkkpkk

dpkkpkk

- Zwei lineare Differentialgleichungen für die beiden Unbekannten x1, x

- Resultierende DGL ist zweiter Ordnung = System 2. Ordnung = = Ein kinetischer und ein potentieller Energiespeicher

- ABER: Keine Schwingungsgleichung, weil Kraft am Feder-Dämpfer-System eingeprägt

0)()()()()(

101

101

xxblxxkxmtFxxblxxk

)(tFxm Resultierende DGL in x


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 3: Frequenzgang bei Kraft-erregter Bewegung

an der Feder k

KEINE Resonanz, sondern zur Kraft F gegenphasige Bewegung mit bei steigender Kreis-Frequenz quadratisch abnehmender Amplitude

Die Wegamplitude der Masse sinkt wegen deren Trägheit bei konstanter Kraftamplitude mit steigender Frequenz!

Bei konstanter Kraft (Frequenz ist Null) wird die Masse über die Feder „weggeschoben“:

)(tFxm

Frequenzgang: Sinusförmige Dauererregung:

Krafterregung (Feder-seitig):

tjeFtFtF ˆRecosˆ)(

22 1ˆ/ˆˆˆ

mFXFXm

jtjj eXXeeXtXtx ˆˆ,ˆRe)cos(ˆ)(

txxtvtmFxvtmFxmFx )0()0(2

)/()0()/(/2


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 4: Kraft-erregte Bewegung an der Masse m


• Schwerpunktsatz: Summe aller Kräfte ergibt die Impulsänderung

)()( pdx FFFexm

Schwerpunkt

reibungsfreiKrafterregung

)(tFxe

xp elxkF

)( 0)(

xd exbF

)()(0 tFlkxkxbxm xetFF

)(

• Gleichgewichtslage: d./dt = 0: F = konst.:

• Auslenkung aus dem Gleichgewicht:

• Auslenkungen x, F können beliebig groß sein, da System linear !

• Mit Gleichgewicht folgt mit:

)(: 00 lXkFFlkXkXx

)()(),()( tFFtFtxXtx

• Linearer 1-Massen-Schwinger: Schwingungsdifferentialgleichung

xxxx ,FlkXk 0

Zur Abwechslung: Nicht mit LAGRANGE, sondern Anwendung der NEWTON-Bewegungsgleichung:

)(tFxkxbxm


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 4: Kraft-erregte Bewegung an der Masse m:

Sprungantwort beim Kraft-Aufschalten (1)

• Beispiel: Sprungförmige Kraftaufschaltung

HEAVISIDE-Sprungfunktion („Einheitssprung“) (t)

• Sprungantwort x(t): Lösung der Differentialgleichung 2. Ordnung z. B. mit der Methode der homogenen und partikulären Lösung xh, xp

• Anfangsbedingung: , schwache Dämpfung:

• Homogene Gleichung (= rechte Seite ist Null):Ansatz:

0,10,0

)(),()(tt

ttFtF

0)/()/( hhh xmkxmbx

)(tFxkxbxm

0)0(,0)0( xx 14 2 Ldbmk

2,12

2

2

2

2,121 4242)( 11

mb

mkj

mb

mk

mb

mbeCeCtx tt

h

mk /0

202

21

4 Ld dmb

mk

• Eigen-Kreisfrequenz des ungedämpften Schwingers:

• LEHR´sches Dämpfungsmaß dL (dimensionslos!):

• Eigen-Kreisfrequenz des gedämpften Schwingers:

022

LL d

mb

mkbd

dj 2,1


2/)(2/)()( 21221121 jDDCjDDCeeCeeCtx tjttjth

dd

jeeDeeDetx

tjtjtjtjt

hdddd

22)( 21

)sin()cos()( 21 tDtDetx ddt

h

• Partikuläre Gleichung (= rechte Seite berücksichtigen: hier: Konstante!):Ansatz: Konstante als Lösung:

0,/)/()/( tmFxmkxmbx ppp

kFKtKtx p /0,)(

• Erfüllen der Anfangsbedingung:KDKDxxx ph 11)0()0(0)0(

)()/()0()0(0)0( 212 KDDDxxx ddph

• Sprungantwort x(t): )sin()/()cos(1)/()( ttekFtx dddt




• Sprungantwort x(t): 0)sin()/()cos(1)/()( tttekFtx dddt

• Stationärwort x(t ): Federdehnung x = F/k

• Bezogene Darstellung:

0sin

)sin(1)(

tte

xtx dt

2)/(1

1sind

1• Dämpfungszeitkonstante:

/1Tangente an die einhüllende e-Potenz:Abschnitt an x() liefert t

Sprungantwort

„schwingend“

3d

2d

1d

1.0

xtx

)(

0.0

ddT /2

te 1

Quelle: Wikipedia

1/2/6// 321 ddd

te 1




• Beispiel: Sinusförmige Auslenkungen:

)(tFxkxbxm

tjjtj eeXtXtxeFtFtF ˆRe)cos(ˆ)(ˆRecosˆ)(

tjeXtx ˆRe)(FXkbjm ˆˆ)( 2

• Frequenzgang:

kbjmFX

21

ˆˆ

0ˆ:,/ˆˆˆ:0 XkFXX

• Amplituden-Frequenzgang:222 )()(

1ˆˆ

ˆˆ

bkmFX

FX

• Amplitudenmaximum bei Resonanzfrequenz e: minimal)()( 222 bkm ee

2

222222

2 2)()2(0)()(

mb

mkbkmmbkm

dd

eeeee


Frequenzgang (1)


222 )()(

1ˆˆ

ˆˆ

bkmFX

FX

mk

mb

mk

mb

mk

de 02

2

2

2

42

0/

kFX/ˆˆ

Quelle: Wikipedia

Ld

kFX e

/ˆ)/(ˆ

0

0Ld

02

mk

bdL


Frequenzgang (2)

Starke Dämpfung dL 1

Schwache Dämpfung dL < 1


Beispiele zum mechanischen SystemBsp. 5: Weg-erregter Zweimassen-Schwinger ungedämpft

(1)Quelle: Ziegler, F.: Mechanik, Springer

reibungsfrei

1k 2k

01 b 02 b)(tx

)(1 tx

)(2 tx

reibungsfrei

• Wegerregung x(t) an Feder 1 vorgeschrieben, keine äußeren Kräfte F1 = F2 = 0

• Federn linear, keine Dämpfung: b1 = 0, b2 = 0, k1, k2 jeweils konst.

• Federn entspannt bei x1 = l1, wenn x = 0 und x2 = l2, wenn x1 = l1, x = 0.

00000c)2

)(2

)(,22

b)

,:2a)

21)(

2)(

121

221122

2111

222

211*

2211

AFFFFAbb

llxxklxxkWxmxmW

xqxqn

ddd

pk

Übung



(2)

00)(0)(

)(0:2

00)()(0)(

)()(0:1d)

2112222

2)(

222

*

2

*

2112222

*

222

*

2112211111

1)(

111

*

1

*

2112211111

*

111

*

llxxkdt

xmdFFxW

xW

xW

dtd

llxxkxW

xWxm

xWi

llxxklxxkdt

xmdFFx

Wx

Wx

Wdtd

llxxklxxkx

Wx

Wxmx

Wi

dpkk

pkk

dpkk

pkk

)()()()(

122122222

212112212111

llkxkxkxmllklxkxkxkkxm

• Bewegungsgleichungen:

System 4. Ordnung mit 2 kinetischen und 2 potentiellen Speichern• Gleichgewichtslagen: d./dt = 0:

x(t) = X als Vorgabe 221222

2121122121 )()()(lkXkXk

llklXkXkXkk

2211 , lXXlXX

Übung



(3)

• Frequenzgang: tjeXXtXXtx ˆRecosˆ)( 11

11111111ˆˆˆRe)cos(ˆ)( jtjj eXXeeXXtXXtx

2222222222

ˆˆˆRe)cos(ˆ)( jtjj eXXeeXXtXXtx

0ˆˆ)(

ˆˆˆ))((

12222

2

1221212

1

XkXkm

XkXkXkkm

0

ˆˆˆ

1

2

12

222

22

1 XkXX

mkkkmk

21 kkk

2222

22

1

mkkkmkDet

)()()()( 212

2214

2122

222

21 PkkkmkmmmkmkmkDet

• Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P() 4-ter Ordnung (!) sind die Eigenfrequenzen des Systems 4-ter Ordnung. Es existieren maximal 4 Eigenfrequenzen. Wegen P(2) treten zwei Doppelnullstellen auf = Zwei Eigenfrequenzen d1, d2

0)()()( 212212

212 kkkmkmmmPP

Kopplungsterm

Übung



(4)

• Eigenkreisfrequenzen: 02

2

1

1

12

22

mk

mk

mk

mk

2

222

1

121 ,

mk

mk

221

21

1

21

1

23

mkk

mk 02

221

23

22

2

04

)(2

22

21

223

22

23

222

1,22,1

d

0)22)((41)222(

41

)222(41

4)(

221

21

221

22

421

222

21

221

21

221

22

21

22

421

41

42

22

21

221

21

221

22

21

22

421

41

42

22

21

2221

21

22

22

21

223

22

23

22

222

21

223

22

23

22

1 4)(

24)(

2

dd

)()()( 22

221

221 ddmmPDet

Übung



(5)

• Schwingungsamplituden:)()(

)(ˆ

0

ˆ1ˆ2

222

12

21

2221

222

211

ddmmmkXk

mkkXk

DetX

)()()(

)()())/(()/(

ˆˆ

ˆˆ

22

221

2

222

21

22

221

2

2221111

dddd

mkmkXX

XX

)()(

ˆ

0

ˆ1ˆ2

222

12

21

21

2

12

12

ddmmXkk

kXkmk

DetX

)()()()()/()/(

ˆˆ

ˆˆ

22

221

2

22

21

22

221

2221122

dddd

mkmkXX

XX

• Die Schwingungsamplitude x1(t) ist bei = 2 Null: Durch die in Gegenphase schwingende Masse m2 wird die über x(t) erregte Schwingung der Masse m1 „getilgt“ !

• Anwendung: Schwingungstilger: Die -frequente Schwingung einer Masse m1 kann vermieden werden, wenn man eine zweite Masse m2 über eine Feder k2 ankoppelt, wobei die Bedingung erfüllt sein muss. 22 / mk

22

2

2

1 1ˆˆ

XX

Übung



(6)Quelle: Ziegler, F.: Mechanik, Springer

Beispiel:

21

21

2mmkk

1/

11 /d 12 /

,ˆ/ˆ1 XX XX ˆ/ˆ

2

1X 1X

2X

2X

2X

21,mm

21,mm12 /d

Tilgung

Übung




Grundgesetze: Lagrange-Gleichungen Beispiele zum mechanischen System Beispiele zum elektrischen Netzwerk (7 Beispiele)


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 1: Lineares stromgespeistes Netzwerk

• i(t) durch Q(t) vorgeschrieben: Ideale Stromquelle, Innenwiderstand:

• KEINE äußere Spannung = Keine „äußere Kraft“: F = 0

Cti

Ci

dtdiR

dtdiLiR

CQQ

dtdiL

iRC

QQdt

iLdFFQW

QW

QW

dtd

FiRFCQQQW

QWiLQL

QW

dtd

dpkk

dpkk

)(0

00)(

0/)(0d)

222

22

/.2

22

222)(

22

*

2

*

2)(

222

*

222

*

0)(c)

)2/()(,2/b)

)(:1a)

1221)(

22

22

*2121

qFAQiRqFA

CQQWQLW

QQQQqn

dd

pk

Stromerregter elektr.linearer Schwingkreis


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 1: Alternativ: Kirchhoff´sche Maschengleichung

21220

1

/)(

1)()()(iiidtdiLiRtu

dtiC

tututu

LR

t

CLRC

dtdiLiRdtiC

dtiC

tt/11

220

20

Cti

Ci

dtdiR

dtdiL )(22

2

22

uC uLR


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 2: Lineares spannungsgespeistes Netzwerk (1)

• u(t) vorgeschrieben: Ideale Spannungsquelle, Innenwiderstand = 0

• Äußere Spannung u = „Äußere Kraft“: „F“ = u

)2/(,2/b)

)(,:2a)21

22

*212211

CQWiLW

QQQQqQqn

pk

)(),(,0c)

21212211

2)(

2)(

1222)(

21)(

12)(

21)(

1

tuFtuFQuQuQuQFQFAiRFFQiRQFQFqFqFA dddddd

d

uFiRFQW

QWiL

QWi

uFFCQ

QW

QW

QWi

dpkk

dpkk

22)(

222

*

22

*

1)(

11

11

*

1

*

00:2

000:1d)



)(00:2

)(00:1

00:2

000:1d)

22

2)(

222

*

2

*

11

)(1

11

*

1

*

22)(

222

*

22

*

1)(

11

11

*

1

*

tuiRdtdiLFF

QW

QW

QW

dtdi

tuCQFF

QW

QW

QW

dtdi

uFiRFQW

QWiL

QWi

uFFCQ

QW

QW

QWi

dpkk

dpkk

dpkk

dpkk

)(22 tuiR

dtdiL

)(1 tuCQ

dttdu

Cii

Ci

CQ )(211

dttdu

dtdiR

dtidL )(222

2

Cti

Ci

dtdiR

dtidL )(2222

2

Zwei lineare Differentialgleichungen für die beiden Unbekannten i2, i

Spannungserregter elektrischerlinearer Schwingkreis




• Äußere Spannung u = „Äußere Kraft“: „F“ = u)(tu

• Linearer elektrischer Serienschwingkreis: R, L, C konstant

• Anfangsbedingungen:

• Aufgabe: Selbst mit LAGRANGE-Gleichungen die Schwingungsgleichung aufstellen!

• Hinweis: In Aufgabensammlung ist das Beispiel mit KIRCHHOFF-Gesetzen berechnet!

dttdui

CdtdiR

dtidL )(12

2

)0(),0( ii



Beispiel: Aufschalten einer Gleichspannung u(t) = U bei t = 0 )()( tUtu

teL

Uti dTt

d

sin)( /

2

21

21

2

LR

LCf d

d

RLT /2

12

1 2

LR

LC

Beispiel: Schwache Dämpfung:

LCR

LCR

LCd 41

411 2

0

2

LEHR´sches Dämpfungsmaß:

Anmerkung: Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Schwingkreises (R = 0): LC1

0 LCRdL

2

20 1 Ld d

1Ld



Beispiel: Frequenzgang bei schwacher Dämpfung 12

1 2

LR

LCtUtu cos2)(

LCR 1:0 0 Eigen-Kreisfrequenz ohne Dämpfung:

LCR

LCR

221

222

0

LCRL 20 211

2

LCR

C 21

2

0

221

)(

RC

L

UI

)cos(2)( tIti

LdC 0

LRLR UUU ,


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 4: Lineares spannungsgespeistes Parallel-Netzwerk


• Äußere Spannung u = „Äußere Kraft“: „F“ = u

• Elektrischer gedämpfter Parellelschwingkreis

• Anfangsbedingungen:

• Aufgabe: Selbst mit LAGRANGE-Gleichungen die Schwingungsgleichung aufstellen!

• Hinweis: In Aufgabensammlung ist der Frequenzgang mit den KIRCHHOFF-Gesetzenberechnet!

)0(),0( ii

)(ti

)(tiL

)(tiC

)(tu


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 5: Lineares vermaschtes Netzwerk (1)

iiiiiiiii LL 24231 ,,

4

2

3

21

4243

23

22

2*213422211

2)(

2)(

2/))/()/((,2/)(2/b)

),(,:2a)

22

CQQ

CQQQW

CQCQWiiLiLW

QQQQQQQQqQqn

p

pLk

L


• i(t) vorgeschrieben: Ideale Stromquelle, Innenwiderstand =

• 6 Zweige, 4 Knoten 3 unabhängige Knoten-gleichungen 3 unabhängige Ströme ?: Nein, da i(t) vorgeschrieben 2 unabh. Ströme n = 2

0),()(,

))(()()(c)

2112211222)(

211)(

1

222211122222111

222221112)(

21)(

1

FtuFQuQFQFAiiRiRFiRF

QiiRiRQiRQiiRQiRQiRAQQQQQiRQiRQiRQFQFA

Ldd

LLd

LLLLdd

d

0,/ QdtdQi

Übung



0)(0)(

:2

)(00:1

0)(

0)(:2

00:1d)

2224

2

3

212

2)(

222

*

2

*

113

211

)(1

11

*

1

*2222

)(2

4

2

3

21

22

*

22

*

2

*

111)(

13

21

11

*

1

*

1

*

iiRiRC

QQC

QQQdt

iidL

FFQW

QW

QW

dtdi

tuiRC

QQQFFQW

QW

QW

dtdi

FiiRiRF

CQQ

CQQQ

QW

QWiiL

iW

QWi

uFiRFC

QQQQW

QW

iW

QWi

L

dpkk

dpkk

Ld

pkkk

dpkkk

0)()()(:. 222

4

2

3

212

22

11

3

21

dtdi

dtdiR

dtdiR

Cii

Ciii

dtiidL

dttdu

dtdiR

Ciii

dtd

L

Zwei Differentialgleichungen (1.Ordnung u. 2. Ordnung) für die beiden Unbekannten i1, i2

Übung



)11()11()(:)2(

:)1(

432

2

432

222

22

3

1

33

2

3

111

CCi

dtdiR

dtidL

CCi

dtdiRR

dtidL

Ci

Ci

dtdu

Ci

Ci

dtdiR

LL

)( 2if )(iF )()()()(:)2( 231231 iFifCiiFifCi

33

22231 )()()()(:)1(

Ciu

CiiFifiFifCR

)11())1(()(

))1(())((:)1(

434

313131

4

222

4

312231231

CCiiR

CCRiLCRRiLCRu

CiiRR

CCRiLRRCRiLCR

LL

LL

Drei Energiespeicher im System (L, C3, C4) Eine Differentialgleichung 3.Ordnung oderdrei Diff.-gleichungen erster Ordnung für i1, i2 und z. B. i4 numerische Lösung mit RUNGE-KUTTA oder analytisch z. B. mit LAPLACE-Transformation

Übung


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 6: Induktive Kopplung mit Spannungsquelle (1)


)2/(22

2222b)

,:2a)

222112

22

221

1*

21122

22

21122

11*

2211

CQWiiLiLiLW

iiLiLiiLiLW

QqQqn

pk

k

0),(,c)

2112211

22)(

211)(

12221112)(

21)(

1

FtuFQuQFQFAiRFiRFQiRQiRQFQFA dddd

d

0/0:2

00:1d)

222)(

2222

*

112222

*

2

*

111)(

111

*

212111

*

1

*

FiRFCQQW

QWiLiL

iW

QWi

uFiRFQW

QWiLiL

iW

QWi

dpkkk

dpkkk

Übung



0:2:)2(

00:1:)1(

222

112222)(

222

*

2

*

11212111)(

111

*

1

*

iRCQiLiLFF

QW

QW

QW

dtdi

uiRiLiLFFQW

QW

QW

dtdi

dpkk

dpkk

0:.:)2( 222

11222 iRCiiLiL

dtd Zwei Diff.-gleichungen für die zwei Unbekannten i1, i2

(1) + (2) können auf eine Differentialgleichung 3.Ordnung gebracht werden:22

1222222112222221 /.:)1(/)/(/)/(:)2( dtdLCiiRiLiLCiiRiLi

2

2

212

1

12

221

1

12

221122

12

1112 )()()(:)1(

dtudi

CLR

LiRR

CL

LiLRLRi

LLLL

Eine Differentialgleichung 3.Ordnung bedeutet drei Energiespeicher im System

Das ist zunächst verwunderlich, denn man zählt vier: L1, L2, L12, C; tatsächlich sind es aber wegen des induktiv gekoppelten Systems nur DREI Speicher, was mit einem geeigneten Übersetzungsverhältnis z. B. ü = L12/L2 sichtbar wird

Übung



1u 2u

1i 2i

1L 2L

12L

1u üu 2

üi /21i

2

212

1 LLL

2

212

LL

112222

2112222

21211212111

)/(

)/(

iüLüiLüüuiLiLu

üiüLiLiLiLu

2121222 / LLüüLLü ))/(()())/(()( 1212122

22 iüiLüiüiLüüu

))/(()( 211211211 üiiüLiüLLu

Ein induktiv gekoppelter Kreis enthält nur zwei unabhängige Energiespeicher !

Übung


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 7: Induktive Kopplung mit Stromquelle (1)

• i1(t), Q1(t) vorgeschrieben: Ideale Stromquelle, Innenwiderstand =

)2/(22

2222b)

0:1a)

222112

22

221

1*

21122

22

21122

11*

121

CQWiiLiLiLW

iiLiLiiLiLW

QQqn

pk

k

00000c)

11

22)(

12222)(

11)(

1111

FQuAiRFQiRQFqFAQiR ddd

d

uFiRFCQQW

QWiLiL

iW

QWi dpkkk

122)(

1222

*

112222

*

2

*/0:1d)

112222

22)(

122

*

2

*0:1 iLiR

CQiLF

QW

QW

QW

dtdi dpkk

1122

2222. iL

CiiRiL

dtd Eine Differentialgleichung 2.Ordnung

für die Unbekannte i2

Übung


Beispiele zum elektrischen NetzwerkBsp. 7: Induktive Kopplung mit Stromquelle (2)

1122

2222. iL

CiiRiL

dtd

• Eine Differentialgleichung 2.Ordnung Zwei Energiespeicher für den Energieaustausch

• Die induktive Kopplung wird durch zwei induktive Energiespeicher beschrieben. Hinzu kommt die Kapazität C. Das wären drei Energiespeicher. Wieso nur DGL 2. Ordng.?

1u

22 üR üi /21i

2

212

1 LLL

2

212

LL 2/ üC

• Die primäre Induktivität wird vom eingeprägten Strom i1 bestromt und nimmt daher nicht am Energieaustausch z. B. beim Einschwingvorgang teil.

• Daher nur Differentialgleichung 2.Ordnung

• Dies zeigt auch die DGL selbst. In ihr kommt L1 nicht vor!

Übung



Zusammenfassung:- Allgemeine UNABHÄNGIGE Koordinaten (Lage, el. Ladungen) bilden

n-dimensionalen Raum n r- Über virtuelle Verschiebungen werden benachbarte Systemzustände energetisch

betrachtet (= die Systemkoordinaten werden „variiert“)- Die EULER´sche Variationsrechnung führt auf die EULER´schen Variations-

gleichungen, wenn bei Änderung der System-Lage von A nach B eine bestimmte „Wirkung“ S des Systems minimal ist (z. B. die dabei verstrichene Zeit T)

- Für die Wandlersystemgleichungen ist S das ist Wegintegral der Lagrange-Funktion L, die die Differenz aus kin. Ergänzungsenergie und pot. Energie des Systems ist

- Mit diesem L heißen die n EULER´schen Variationsgleichungendie Lagrange-Gleichungen

- Bei komplexen Systemen verwendet man anstelle der klassischen dynamischen Grundgesetze diese Lagrange-Gleichungen

TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 5. Grundsysteme / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder


5. Elektromechanische Grundsysteme5. Elektromechanische Grundsysteme

• Magnetisches GrundsystemStationäres Verhalten: Beispiele

• Elektrisches GrundsystemStationäres Verhalten: Beispiele


Elektromechanische Systeme5. Elektromechanische Grundsysteme




Magnetisches GrundsystemBsp. 1: Schematische Anordnung

• Die Spulenflussverkettung hängt vom Strom i und bei magnetisierbarem Anker AUCH von der Anker-Lage x ab: , amagnetischer Anker:

• Magnetischer Anteil der kinetischen Ergänzungsenergie:

• Häufig: OHNE Remanenz & Dauermagnete

• Sonderfall: Linear-magnetisch = Permeabilitäten = konst. z. B. keine Eisensättigung

ixiLxi );();(

1

0

*0

* ),()(),( dixixWxiW kk

iLiiLi )()(

0)(*0 xWk

ixLxi )();(2/)()(),( 2

1

0

* ixLdiixLxiWk

Dicke Zylinder-Spule

Beweglicher „Anker“,

Äußere KraftElektrische Erregung

u

Elektrischer „Anschluss“

Mechanischer „Anschluss“


Magnetisches GrundsystemBsp. 1: Lineares Magnet-Grundsystem mit Stromspeisung

Gesucht: Wie groß ist die Kraft F, um den Anker an der Stelle x im Gleichgewicht (x = konst.) zu halten?

02

)(2

b)

0,0:1a)

22

*

1

pk WixLxmW

iQxqn

FFxFAQuuFiQiRA dd 1

)( 000:00000c)

FFFx

WixL

xWxm

xW dpkk

1)(

12

**00

2)(d)

FixLxmFFx

Wx

Wx

Wdtd dpkk

2

1)(

1

**

2)(

• i(t), Q(t) vorgeschrieben: Ideale Stromquelle, Innenwiderstand =

• Kein „äußere“ Spannung u; jedoch induzierte Spannung ui = -d/dt

0)(da,02

)(:0,0:konst. 2

xLFixLxxx dxdWFF km /*

Spule

„Anker“

Fm

m

)(xL

x00


Magnetisches GrundsystemBsp. 2: Lineares Magnet-Grundsystem mit Spannungs-

speisung, Feder, keine äußere Kraft F = 0 (1)• u(t) vorgeschrieben: Ideale Spannungsquelle,

Innenwiderstand = 0

• Feder entspannt bei x = 0

2/2

)(2

b)

,:2a)

222

*

21

xkWixLxmW

xqQqn

pk

x

uFQuAiRFQiRA dd 1

)(c)

002

)(:2

00)(:1d)

2)(

22

**

1)(

1

***

FFxkx

WixL

xWxm

xWi

uFiRFQ

WQ

WixLi

WQ

Wi

dpkk

dpkkk

002

)(:2 22

)(2

**

xkixLxmFFx

Wx

Wx

Wdtdi dpkk

uiRixLdtdFF

QW

QW

QW

dtdi dpkk

00)(:1 1)(

1

**


02

)( 2

xkixLxm uiRixLdtd

)(

Nichtlinearer Term Nichtlinearer Term

Nichtlineares gekoppeltes Differentialgleichungssystem in x und i !

a) Sonderfall: L = konst.: Kopplung zwischen mech. und el. System verschwindet

0 xkxm uiRiL

El. System: DGL 1. Ordnung = ein Energiespeicher (Induktivität!)

Mech. System: DGL 2. Ordnung = zwei Energiespeicher (Masse und Feder)

b) Gleichgewichtsbedingung des nichtlinearen gekoppelten Systems: d./dt = 0 2

2

2)(

2)(

Ru

kxLxxkixLuiR 2))2/((1

1)0()(:z.B.

asxLxL

22

2

)))2/((1()2/(2)0()(

a

a

sxsxLxL

Lösung: x = 0 als Gleichgewichtslage:

Feder ist entspannt Federkraft = 0Anker liegt mittig Magnetkraft = 0


speisung, Feder, keine äußere Kraft F = 0 (2)



speisung, Feder, keine äußere Kraft F = 0 (3)

Alternativer Ansatz: NEWTON´sche Bewegungsgleichung:

Positive Kraftzählung in x-Richtung: x

Fk, Fm

x

xk exkF xx

km eixLe

dxdWF

2)( 2*

km FFxm

02)(0. 2

xkixLFFdtd

km

Gleichgewicht:

L(x)L´(x)

0 x

-FkFm

0 x

km FF

Gleichgewicht ist bei x = 0






Elektrisches GrundsystemKeine kinetische Ergänzungsenergie & kein F(d)

bei elektrostatische Anordnungen

• Elektrostatische Energie ist potentielle Energie Wp

• Statisch = Geschwindigkeit v = 0 keine kinetische mechanische Ergänzungsenergie Wk*

• Elektrostatik: d./dt = 0 kein Stromfluss: i = dQ/dt = 0 kein Magnetfeld

• Magnetische Energie ist Null keine kinetische magnetische Ergänzungsenergie Wk*

0* kW• v = 0 keine Reibungskraft, i = 0 keine Stromwärmeverluste:

Dissipative verallgemeinerte Kräfte sind Null! F(d) = 0

• Lagrange-Gleichungen vereinfachen sich:

)(grad)/,,,/,/()(

,,1

21

)(**

ppnppp

ii

pi

di

i

p

i

k

i

k

WWqWqWqWqF

Fq

WniFF

qW

qW

qW

dtd

• Dieses Ergebnis wurde bereits in Kapitel 3 hergeleitet!


• Häufig: KEINE Elektrete oder Ferro-Elektrizität: F = 0, wenn Q = 0:

• Sonderfall: Linear polarisierbar: Permittivität = konst.:

Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Schematische Anordnung

• Die Kondensatorladung Q hängt von der Spannung u und bei polarisierbarem Anker AUCH von der Anker-Lage x ab: unpolarer Anker:

• Elektrischer Anteil der potentiellen Energie:

• Bei Werkstoffen mit Remanenz-Polarisierung („Elektrete“, Ferro-Elektrizität):

uxuCxuQ );();(

1

0

)()( dqqFqWp

uxCxuQ )();(

KondensatorPolarisierbarer Anker,

x

uuCuQ )()(

• Potentielle Energie:

1

0

1

0

),(),0(),( dQxQudxxFxQWp

)(2)(),(),(

21

0

1

0 xCQdQ

xCQdQxQuxQWp

1

00 ),0()( dxxFxWp

0)(0 xWp


Elektrisches GrundsystemElektrete und Ferro-Elektrizität

Elektret: Elektrisch isolierendes Material,enthält a) permanent gespeicherte elektrische Ladungen

oder b) permanent ausgerichtete elektrische Dipole

Elektrete erzeugen ein permanentes elektrisches Feld

Elektretmaterial: Meist aus Polymeren hergestellt wie z. B. aus

Polytetrafluorethylen,Polytetrafluorethylenpropylen,Polypropylen,Polyethylenterephthalat, Polyvinylidenfluorid, …

Auch anorganische Dielektrika als Elektrete: z. B.: Siliziumdioxid (Quarz), Siliziumnitrid

Quelle: Wikipedia.de

Ferro-Elektrizität: Hysterese-Schleife D(E) bzw. P(E)„Spontane“ Polarisation mit „Weiss´schen Bezirken“

z. B.: PbZr/TiO3, BaTiO3, PbTiO3


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Berechnung der verallg. Kräfte u, F

)(2),(0b),:2a)

2*

21 xCQxQWWxqQqn pk

FFuFxFQuAFA dd 21

)( ,00c)

xW

FxCuF

FFxCuxCxC

Qx

Wx

Wx

Wi

QW

uuxC

QuFxC

QQ

WQ

WQ

Wi

p

pkk

ppkk

),(2

:)(2

)()(2

00:2

,)(

:)(

00:1d)

2

2

2

2

2**

1

**

• Vereinfachte LAGRANGE-Gleichungen:Kondensator

x

FFxm e

m

Polarisierbarer Anker,

• LAGRANGE-Gleichungen nach „Rezept“ von Kap. 4:x

WF

QW

u

xW

QW

WF

FuFFxQFqF

pp

ppp

,

,

),(),(),()( 21


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Elektrische Feldverläufe

E

D

P

p

ED

PED

r

0

0

N

kkp

VP

1

1 „Wahre“ (verschiebbare) Ladung Q auf der el. leitfähigen Platte = Quelle (Senke) von D

Polarisationsladung (ortsfest): Diese Ladungspaare bilden N el. Dipolmomente p


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Vereinfachte Kapazität C(x) (2)

duDE

du

Au

dA

AuC

AQD

lxA

0

11

0

1

10

1

1

1

11

1

10

22

0

2

20

2

2

2

22

2 )(

EduDE

du

Au

dA

AuC

AQD

lxbA

r

rr

11

1

21

1

222

)( Qx

xbQCCuC

CCuCQ r

)(1 xC )(2 xC u

uCQ 11 uCQ 22

x b - x


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Vereinfachte Berechnung der Kapazität C(x)

Vereinfachte Berechnung:Homogenes Feld = Vernachlässigung des Randstreufelds

dlbC

bxCxC

bx

bx

dlbxCxCxC

dlxbxC

dlxxC

bx

rr

r

r

000

021

0201

)1()(

1)()()(

)()(,)(

:0

rr b

xCxCbxb )1()(: 0

0)(: CxCbx

)(2

2xCuF

0)1()(:0 0 b

CxCbx r

0)1(2

02

b

CuF r

Haltekraft F:

KondensatorPolarisierbarer Anker

x0 r 0

d

b

l

)(1 xC )(2 xC

F

1konst.r

Haltekraft F wirkt gegen el. Kraft Fe


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Kräfte im Gleichgewicht

el. Kraft Fe: zieht nach linksFx

Wx

WF pp

e

*

)(2),(

2

xCQxQWp

Eingeprägte el. Ladung Q:

0)(:0 xCbxGleichgewicht: FFdtd e 0:0/.

0)()(2 2

2

xC

xCQ

xW

F p


x0 r 0

d

b

l

F, Fe FFxm e

Pos. Zählrichtungm


xFe

Äußere Haltekraft


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Vereinfachte Kapazität C(x) (1)

Vereinfacht: Homogenes Feld = Vernachlässigung des Randstreufelds

0)(: CxCbx

Kritik am Ergebnis C(x):Bei symmetrischer Lage des polarisierbaren Ankers x = 0 verschwindet die Haltkraft F gegen den el. Zug nicht (wie sie sollte):

)(2

2xCuF

0)1(2

)0( 02

b

CuxF rErkenntnis:Eine genauere (2D)-Berechnung des el. Felds mit Berücksichtigung der Randstreufelder ist erforderlich, um C(x) annähernd korrekt zu bestimmen, so dass bei x = 0 die Haltekraft FverschwindetDann ist C(x)-Kurve „glatt“ (ohne Knicke) und hat horizontale Tangente bei x = 0 F(0) = 0

4:Bsp. r „Unphysikalische“ Knicke: Tatsächlich glatte Kurve

rr b

xCxCbxb )1()(: 0


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: 2-dimensionale elektrische Randfelder

D

• Das 2D-Feld wird hier qualitativ abgeschätzt

• Durch die 2D-Betrachtung entsteht ein nach sichtbar links gerichteter MAXWELL`scher Zugals Gegenkraft zur Haltekraft F

• Auch bei x > b (Anker außerhalb der Kondensatorplatten) entsteht auf Grund des Randstreufelds noch eine kleine nach links gerichtete el. Kraft Fe < 0, die mit zunehmendem Abstand des Ankers vom Kondensator rasch abnimmt

Fe

D

x < b x > b

b

Fe

xe

Pos. Kraftzähl-richtung


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Kapazität mit Randfeldern C(x) (1)

Mit Randfeld

zweidimensional

Ohne Randfeld

eindimensional

(Qualitative Skizze)

4:Bsp. r


Elektrisches GrundsystemBsp. 1: Kapazität mit Randfeldern C(x) (2)

002

)0(2

)0(22

uxCuxF

0)(2

)(2

bxCubxF

0)(2

)(2

bxCubxF

Mit Randfeld

zweidimensional(Qualitative Skizze)

4:Bsp. r

Durch Randfeld etwas erhöhte Kapazität

Glatte Kurve mit horizontaler Tangente bei x= 0: F(0) = 0

Auch bei x > b: F > 0 durch geneigte Tangente an C(x)

1 x/b


Elektrisches GrundsystemBsp. 2: Zwei el. gekoppelte lineare Kondensatoren (1)

• Zwei „Luft“-Kondensatoren: 0

• Abhängig von der Stellung des Ankers (Winkel = ) verändern sich gleichzeitig die Kapazitätswerte der beiden Kondensatoren 1 u. 2

• Vereinfachte Feldberechnung mit radialem Feld ohne Streufelder

• Spaltweite h << Radius r „Radialfeld“ annährend homogen (variiert längs Spaltweite h nicht)

• Zylindrische Anordnung: Länge l

)(2)(2),,(,0b),,:3a)

2

22

1

21

21*

32211

CQ

CQQQWWqQqQqn pk

MFuFuFMQuQuAFA dd 322112211

)( ,,00c)

ppp W

QW

QW

MuuQQFqF ,,),,(),,()(d)21

2121

Kondensator 1Kondensator 2

„Anker“

ACHTUNG: Drehbewegung: Drehmoment M tritt auf!

M > 0

M < 0

Übung



)()( 2

2

22

1

1

11 C

QQW

uC

QQW

u pp

)(2)(2 2

22

1

21

CQ

CQWp

)(2

)(2

)()(2

)()(2 2

22

1

21

222

22

121

21

CuCuC

CQC

CQW

M p

)(2

)(2 2

22

1

21 CuCuM

Kapazitätsberechnung: C1: Elektroden-Überdeckung:

m424

C2: Elektroden-Überdeckung:

mm 4224

m

1010111 )()( uCuh

lruCQ mm

hlrC

00

2020222 )()( uCuh

lruCQ mm

)()()()( 0201 mm CCCC

Übung



)()()()( 0201 mm CCCC

mmmm

)()( 02 mCC)()( 01 mCC

)(C

mC 0

00

mC 02

Übung



Drehmoment M: 001001 )()()()( CCCCCC mm

)(2

)(2

)(2

21

22

02

22

1

21 uuCCuCuM

• Wenn u2 > u1, dann ist (bei zunächst Mittenstellung = 0 und daher C1 = C2) Q2 > Q1

• Der Anker wird mit Me nach links gezogen, so dass das Haltemoment M nach rechts wirken muss: M > 0!

• Bei u2 = u1 ist UNABHÄNGIG von der Ankerstellung das Haltemoment M = 0, denn:

• Das Drehmoment Me = -M wird nur von den (hier vernachlässigten) Streufeldkomponenten D in Umfangsrichtung bewirkt

• Bei u2 = u1 sind die Radialfelder identisch:huDhuD rr // 202101

• Daher sind auch die Tangential-Feldkomponentenidentisch: 21 DD

• Daher heben sich die tangentialen MAXWELL-Zügenach links und rechts auf den Anker auf M = 0

u u

M = 0

D2

D1 = D2

Übung


Elektrisches GrundsystemBsp. 3: Zwei el. gekoppelte Kondensatoren & Drehfeder

• Drehfeder MF = k.Kondensator 1

Kondensator 2

„Anker“ M > 0M < 0

k

2)(2)(2

2

2

22

1

21

k

CQ

CQWp

2)()()(

21

0

1

0

kdkdMWpF

kCuCuW

M p )(2

)(2 2

22

1

21

kMM e

• Gleichgewichtslage: Resultierendes Moment M auf Anker ist Null: M = 0kMkM ee /0

)(2

22

21

0 uuCM e )(2

22

21

0 uuk

C

0:0:

12

21

uuuu

mm

Übung


Zusammenfassung:- Beim magnetischen Grundsystem treten verallgemeinerte kinetische

Energie Wk und mechanische potentielle Energie Wp auf- Es sind daher die Lagrange-Gleichungen für das Aufstellen der

Systemgleichungen nötig - Beim elektrischen Grundsystem tritt nur verallg. potentielle Energie Wp

auf, da keine Bewegungen betrachtet werden (v = 0)- Es werden daher als Sonderfall die verallg. Kräfte als Gradienten der

verallg. pot. Energie bestimmt (= verkürzte Rechnung)


TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 6. Dynamik / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder


6. Dynamische Untersuchung des Wandlerverhaltens6. Dynamische Untersuchung des Wandlerverhaltens

• Gleichgewicht• Linearisierung• Kleinsignalverhalten• Statische Instabilität• Dynamische Instabilität• Lineares System mit konstanten Koeffizienten: Beispiel


Elektromechanische Systeme6. Dynamische Untersuchung des Wandlerverhaltens

• Gleichgewicht• Linearisierung• Kleinsignalverhalten• Statische Stabilität• Dynamische Stabilität• Lineares System mit konstanten Koeffizienten: Beispiel


GleichgewichtGleichgewichtszustand i* und x*

Beispiel:

0)(2

)(0

2

xxkixLxm

uiRixLdtd

)(

Nichtlineares gekoppeltes Differentialgleichungssystem !

• Gleichgewichtsbedingung des nichtlinearen gekoppelten Systems: d./dt = 0

RuiuiR *

x

x0

• Feder k entspannt bei x = x0

• Elektrisches Gleichgewicht:

• Mechanisches (Kräfte-)Gleichgewicht: 0)*(*)(2

*)(0

2

xxkixLFF Fm

Kraft aus potentiellem Speicher ist Federkraft:Fk = FF

x*: Gleichgewichtslage:Tritt bei x0 > x > 0 auf, weil bei x < 0:a) Fm > 0, da dL/dx > 0;b) FF > 0, kein Kräftegleichgewicht

x*

x0FF

Fm

i*


„Unphysikalischer“ Knick: Tatsächlich glatte Kurve mit horizontaler Tangente bei x = 0

Gleichgewicht Vereinfachter Verlauf der Selbstinduktivität L(x)

Beispiel:)2/(1

1)0()(:0,

)2/(11

)0()(:0

aa sxLxLx

sxLxLx

22 ))2/(1()2/()0()(:0

))2/(1()2/()0()(:0

a

a

a

a

sxsLxLx

sxsLxLx

sa: Einseitige „Stirn“-Feldlinienlänge(siehe Kap. 2)

aaa sx

sx

sx

2**,

2,

20

0

2)22(:,

2)/()0( 2

0

2*

0a

pmskWRuLW

aaaaa

F

a

m

a

F

a

ms

xsx

sxskiL

skF

skF

skF

skF

2*

2))2/(*1(1

)2(2/*)()0(

220

220

22

2

**)1(

102

0

*0

p

mWWAbkürzungen:

Rechnung für x > 0:

Für x = 0 gilt Induktivitäts-formel nicht, da dort kein „glatter“ Verlauf L(x) !)


Gleichgewicht Berechnung der Gleichgewichtslage x*

02020

*0

*)1(*)1(*

wW

W

p

m

0

*0

p

mWWw

0*,0)21(*)2(** 00023 w

• Algebraische Gleichung 3. Ordnung 3 Nullstellen möglich.Welche geben physikalisch relevante Lösungen an?

**)1(

102

0

*0

p

mWW

Beispiel: Für W*m0 = Wp0 w = 1 und für x0 = 2sa 0 = 1

Drei Lösungen:

0*,00*** 23

0,618.1

618.01

21

210)1( 3

2

12

2,12

Für > 0 verbleibt: *618.01 *618.02618.0 01 xxsx a

Plausibilität der Lösung: Gedehnte Feder: 0382.0)382.0()*( 000 xkxkxxkFFFederkraft FF > 0 und Magnetkraft Fm < 0 im statischen Gleichgewicht !

00618.0*0 xxx

x* > 0: Fm < 0, da dL/dx < 0 Kräftegleichgewicht!


Gleichgewicht Gleichgewichtslage x*

02)1(w

1)1(

12

Un-physikalische Lösung

-2 -1 0 0.618 1 2

)2/( asx

0,)1(

)2/( 2

wskF am

0)2/( aF skF

Beispiel: w = 1, 0 = 1

3

2

1

askF2

0.382

2)1( w

-1.618

Un-physikalische Lösung

a

F

a

msk

Fsk

F22

Stabile Gleichgewichtslage x*


L(x)L´(x)

0 x

Gleichgewicht Korrekter Verlauf der Selbstinduktivität L(x)

FF

-Fm

0 x

Fm FF Gleichgewicht:

x0

STABILES Gleichgewicht

STABILES Gleichgewicht

INSTABILES Gleichgewicht

x*

x0FF

Fm

i* • Bei korrektem L(x)-Verlauf mit dL/dx = 0 bei x = 0 treten dreiGleichgewichtslagen auf.

• Zwei sind stabil, eine ist instabil

)(~)( xLxFm


Gleichgewicht Gleichgewichtslage - Berechnung

Bis zur Ordnung n = 4 analytische Lösungsformeln vorhanden

n = 1: Eine reelle Lösungn = 2: VIETA: Zwei reelle od. zwei konj. komplexe Lösungenn = 3: CARDANO (eig. Scipio del Ferro): Eine reelle + 2 konj. kompl. od. drei reelle Lösungenn = 4: FERRARI: 4 konj. kompl. od. zwei reelle + 2 konj. kompl. od. vier reelle Lösungenn > 4: N. H. ABEL: Es existieren KEINE analytische Lösungsformeln

Numerische iterative Nullstellensuchverfahren: Regula falsi, Newton-Raphson, …

Frage: Ist das System in der Gleichgewichtslage x* gegen kleine Störungen dieses Betriebszustands stabil?

Wird das System um den kleinen Wert x/x* << 1 aus x* ausgelenkt, kehrt das System wieder nach x* zurück (STABIL) oder nicht (INSTABIL)?

Allgemeine Lösungsgleichung für Gleichgewichtslagen:Algebraische Gleichung n-ter Ordnung Fundamentalsatz der Algebra: n Lösungen, wovonkomplex-wertige Lösungen unphysikalisch sind und stets als konjugiert komplexe Paare auftreten. Daher: Bei ungeradem n mindestens eine reelle Lösung!





LinearisierungNichtlineare Diff.-gleichung linearisiert

Nichtlineares gekoppeltes Differentialgleichungssystem in der (kleinen) Umgebung i, xum die Gleichgewichts“lage“ i*, x* linearisiert!

)()()()()()( tutiRdtdixLti

dtdx

dxxdLuiRixL

dtd

02

2

2)()(

2)( xktxktixL

dtxdm

Koeffizienten in der Gleichgewichtslage i*, x*: kmRxLxL ,,*),(*),(

1*/1*/

iixx

Zerlegung der Vorgabegrößen: 1*/ uu

uuiiRdt

idxLiidt

xdxL *)*(*)()*(*)(

Zeitableitungen:dt

xddt

xddt

xddt

dxdt

xxddtdx

0*)*(dt

iddtdi

uuiRiRdt

idxLidt

xdxLidt

xdxL ***)(*)(**)(

02

2

2)*()*(

2*)( xkxxkiixL

dtxdm

022

2

2*)*2*(

2*)( xkxkxkiiiixL

dtxdm


LinearisierungProdukte kleiner Größen vernachlässigbar!

Beispiel:

„Klein“ bedeutet: Klein in Bezug auf die Gleichgewichtsgrößen!

**1

****1

*1

*1

ii

xx

ii

xx

ii

xx

ii

xx

21.11.1)1.01()1.01(*

1*

1:exakt 2

ii

xx

1.0*

1.0*

i

ix

x

20.11.01.01**

1*

1*

1:Näherung

ii

xx

ii

xx

usw.1*/

*,1

**/,1

**

idtid

xx

ii

xdtxd

ii

xx

Produkte kleiner Größen sind vernachlässigbar klein !


Linearisierung„Schwach „ vs. „wesentlich“ nichtlinear

Lx

xx

xx

xx

xx

xN

*21

*1

**21

*1

222 Beispiel 1: „Schwach“ nichtlinear:

Lx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xN

*51

*1

**5

*10

*10

*51

*1

554325

Beispiel 2: „Wesentlich“ nichtlinear:

Für einen Fehler von 10%:

)86.1,05.2(43.0und)54.0,59.0(23.0*

1.1/ LNLNx

xLN

)625.1,80.1(125.0und)60.0,66.0(08.0*

1.1/ LNLNx

xLN Für einen Fehler von 10%:

Für einen Fehler von max. 10% ist die zulässige Abweichung vom Gleichgewichtspunkt x* im Bsp. 1 groß (-0.23 … 0.43)

und im Bsp. 2 klein (-0.08 … 0.125)!


Nichtlineares gekoppeltes Differentialgleichungssystem in der (kleinen) Umgebung i, xum die Gleichgewichts“lage“ i*, x* linearisiert!

uuiRiRdt

idxLidt

xdxLidt

xdxL ***)(*)(**)(

022

2

2*)*2*(

2*)( xkxkxkiiiixL

dtxdm

***)(**)( iRuuiRdt

idxLdt

xdixL

202

2*

2*)(*)(*2

2*)( ixLxxkxkiixL

dtxdm

Linearisiertes gekoppeltes Differentialgleichungssystem,gültig in Umgebung i, xum i*, x*

RuiiRu /****0

20 *

2*)(*)(0 ixLxxk

Gleichgewicht: d./dt = 0

In Gleichgewichtslage: Abweichungen i = 0, x = 0

Die Gleichgewichts-Gleichungen ergeben sich auch direkt aus den nichtlinearen Gleichungen für d./dt = 0 (siehe frühere Folie)

LinearisierungLokal-Verhalten in einer Gleichgewichtslage


• Allgemein: Bei n verallg. Koordinaten entsteht bei der Linearisierung der nichtlinearen Systemgleichungen stets ein System von n Diff.-gleichungen zweiter Ordnung mit konstanten (oder zeitabhängigen) Koeffizienten, die nur im betrachteten Gleichgewichts-punkt x* gültig sind.

• Der Gültigkeitsbereich der linearisierten Gleichungen ist i. A. schwer abschätzbar. Manchmal sind Systeme „wesentlich nichtlinear“, d.h. durch Linearisierung dermaßen vereinfacht, dass sie dann keine physikalisch sinnvolle Lösung mehr zulassen.

udt

xdixLdt

QdRdt

QdxL **)(*)( 2

2

0**)(2

2

dtQdixLxk

dtxdm

n = 2 Diff.-gleichungen 2. Ordnung

LinearisierungLinearisierte Differentialgleichungen

Beispiel:

x

x0

Feder k entspannt bei x = x0

n = 2: Zwei verallg. Koordinaten:xqQq 21 ,

Linearisiertes Diff.-gleichungssystem,gültig in Umgebung Q, x um Q*, x*

xxqQQq *,* 21

uiRdt

idxLdt

xdixL *)(**)( 0*2

2*)(

2

2

xkiixL

dtxdm


LinearisierungSystematik linearisierter Diff.-gleichungen

• Die n Diff.-gleichungen zweiter Ordnung lassen sich mit dem Koordinatenvektor (q1, …, qn)als Matrixgleichung übersichtlich schreiben, wobei die konstanten oder zeitabhängigen Koeffizienten in den drei (n x n) Koeffizientenmatrizen stehen: ),...,( n1 qqq

)())(())(())(( tFqtKqtDqtT

Trägheitsmatrix

Dämpfungsmatrix

Steifigkeitsmatrix

Störvektor)(

))(())(())((

tF

tKtDtT

Häufig sind die Koeffizienten dieser Matrizen zeitlich konstant:

)(

)()()(

tF

KDT

)()()()( tFqKqDqT

Beispiel:

0

)(0

000**)(

**)(0

0*)( tuxQ

kxQ

ixLixLR

xQ

mxL

)(T q )(D q )(K q )(tF

• Die Trägheitsmatrix ist jedenfalls symmetrisch !





KleinsignalverhaltenLokal-Verhalten in einer Gleichgewichtslage

• Elektromechanische Systeme arbeiten häufig im stationären (= eingeschwungenen) Betrieb, speziell also in einer Gleichgewichtslage x*, um die die Systemparameter z. B. mit einer bestimmten Anrege-Frequenz f mit begrenzter Amplitude x / x* <<1 schwingen.

• Wie ist der Frequenzgang des Systems, also das Verhältnis einer interessierenden Ausgangssignal-Amplitude zu einer Anrege- bzw. Eingangs-Signalamplitude (Amplitudengang), oder die zugehörige Phasenverschiebung des Ausgangs- zum Eingangssignal (Phasengang)?

• Wie reagiert das System bei Störungen möglicher stationärer Betriebszustände? Die Methode der Störungsrechnung erlaubt Aussagen in begrenztem Rahmen (= für Störungen mit kleiner Amplitude), da die linearisierten Systemgleichungen verwendet werden.

• Für Systeme mit konstanten Koeffizienten steht eine Reihe von Methoden zur Untersuchung zur Verfügung:

a) Direkter Ansatz mit Homogen- und Partikulärlösung,b) Laplace-Transformationc) Komplexe Rechnung im Frequenzbereich (Amplituden-/ Phasengang)


KleinsignalverhaltenBeispiel:Differentialgleichungssystem mit konst. Koeffizienten

• Werden n - 1 Koordinaten q2, …, qn eliminiert, so erhalten wir EINE lineare Differentialgleichung der Ordnung 2n für die Unbekannten q1.

• Wird statt der Koordinate Q deren Ableitung i = dQ/dt verwendet, so erhalten wir EINE lineare Differentialgleichung der Ordnung 2n – 1 für die Unbekannten q1

)()()()( tFqKqDqT

Beispiel:

uiRdt

idxLdt

xdixL *)(**)( 0**)(2

2 xkiixL

dtxdm

uxL

ixLxxLRkx

xLixLkx

xLRmxm

*)(**)(

*)(*)(*)*)((

*)(

2

uxLku

xLmi

xLRki

xLixLki

xLRmim

*)(*)(*)(*)(*)*)((

*)(

2

i eliminiert

oderx eliminiert

• Der Differentialoperator

ist dabei sowohl für x als auch i derselbe und beschreibt das Systemverhalten!

n = 2: Eine Diff.-gleichung 2.2-1 = 3. Ordnung für xqQq 21 , ix bzw.

...*)(

.*)(

*)*)((.*)(

. 2

2

2

3

3

xLRk

dtd

xLixLk

dtd

xLRm

dtdm


KleinsignalverhaltenDifferentialgleichungssystem mit konst. Koeffizienten (1)

• „Gewöhnliche“ (nicht partielle! = NUR Zeitableitung) lineare Diff.-gleichungen mit konstantenKoeffizienten bm, bm-1, …, b1, b0 der Ordnung m haben den Differentialoperator:

)()()(...)()(.........011

1

1011

1

1 tgtybdt

tdybdt

tydbdt

tydbbdtdb

dtdb

dtdb m

m

mm

m

mm

m

mm

m

m

• „Linear“: Sind y1(t), y2(t) Lösungen, dann ist auch jede Linearkombination eine Lösung“!

• Es gibt m voneinander UNABHÄNGIGE Lösungen

• Es sind m Anfangsbedingungen nötig, um die Koeffizienten ki, i = 1, …, m der Linearkombinationen der Lösungsfunktionen yi(t) als resultierende Gesamtlösung y(t) zu bestimmen:

)()( 2211 tyktyk

)(),(,...),(),( 121 tytytyty mm

)0(,...),0(),0( )1( myyy

)()(...)()()( 112211 tyktyktyktykty mmmm

• Die homogene Lösung yh(t) löst die „homogene“ Differentialgleichung („rechte Seite“ ist Null):

0)()(...)()(011

1

1

tybdt

tdybdt

tydbdt

tydb hh

mh

m

mmh

m

m

• Die partikuläre Lösung yp(t) löst die „partikuläre“ Differentialgleichung („rechte Seite“ g(t)):

)()()(

...)()(

011

1

1 tgtybdt

tdyb

dt

tydb

dt

tydb p

pm

pm

mmp

m

m

Wiederholung



• Die Lösungsfunktionen yi(t) sind Exponentialfunktionen:

• Einsetzen der i-ten Lösungsfunktion yi(t) in die homogene Diff.-gleichung:

)(0)()(...)()(011

1

1 it

ii

mi

m

mmi

m

m petybdt

tdybdt

tydbdt

tydb i

ti

iety )(

• „Charakteristisches“ Polynom p() MUSS daher Null sein für betreffendes :

0...)( 011

1 bbbbp m

mm

m

Algebraische Gleichung zu Bestimmung der m „Eigenwerte“ i, i = 1, …, m

Wiederholung



• Wenn eine Nullstelle, z. B. 0, k-fach auftritt: dann ist:

Ordng.ter -)( Polynom:)()()()( 0 m-kqqp k

tkk

tt ettyettyety 000 121 )(,...,)(,)(

:,...,,)(,...,)( 111

mkt

mt

kmk etyety

)( Polynoms des Wurzeln reelle qm-k• Wenn eine komplexe Nullstelle, z. B. 0, k/2-fach auftritt, dann auch ihr konjugiert komplexer

Wert.

Dann ist:

tm

tk

mk etyety )(,...,)( 11

)...sin()(),cos()(),sin()(),cos()( 040302010000 tettytettytetytety tttt

00*0000 , jj

),sin()(),cos()( 01

20

12

100 tettytetty t

k

kt

k

k

• Wenn alle Nullstellen i von p() = 0 reell und verschieden sind:

dann sind die m linear unabhängigen Lösungenm ...21

tm

tt metyetyety )(,...,)(,)( 2121

• Wenn k Nullstellen jeweils konjugiert komplex sind:

dann sind wegen

die m linear unabhängigen Lösungen

2/,...,1, klj lll

tm

tkk

tkk

tk

mkkk etyetytetytety

)(,...,)(),sin()(),cos()( 12/2/

12/2/1

))sin()(cos( tjtee lltt ll

...),sin()(),cos()( 121111 tetytety tt

Wiederholung


KleinsignalverhaltenBeispiel: Ausgleichsvorgang yh(t)

Beispiel:n = 1: Lösung der homogenen Diff.-gleichung

0)()()(0 221

21 KDTpetyetyyKyDyT tt

TD

TK

TD

TK

TD

TD

20

2 Falls

22 21

22

1,2 DOPPELTE reelle Nullstelle!(Aperiodischer Grenzfall)

tt ettyety )(,)( 21 00 )0(,)0( vyyy

tyvyetyktykty th )()()()( 0002211

> 0: INSTABIL, < 0: STABIL, = 0: GRENZ-STABIL

Wiederholung

tvytyvyety th

000000 )0()(:0 INSTABIL für 00 v

Anfangsbedingungen:

t0

hy

0ytvyv 000 :0


KleinsignalverhaltenStabilität der Lösungen

• Die homogene Lösung yh(t) der lin. Diff.-gleichung beschreibt den transienten (flüchtigen)Ausgleichsvorgang als Systemantwort auf eine Störung (Anregung) in einem bestimmten Betriebspunkt („Arbeitspunkt“).

• Die partikuläre Lösung yp(t) der lin. Diff.-gleichung beschreibt das stationäre (dauernde)Betriebsverhalten des Systems aufgrund der Störung (Anregung), z. B. eine Veränderung des Arbeitspunkts.

• Wenn die Größe yh(t) mit der Zeit abklingt und verschwindet, ist das System im betreffenden Arbeitspunkt STABIL. Es müssen daher die reellen Eigenwerte k bzw. die Realteile k der komplexen Eigenwerte k sämtlich negativ sein, damit yh(t) abklingt.


KleinsignalverhaltenBeispiel: Stabilität der Lösungen

Beispiel:n = 1: Lösung der homogenen Diff.-gleichung

)()(0)(

)()(

0

212

221121

KDTp

ektyekty

yKyDyTtt

reell,02

Falls22 2211

22

1,2

TK

TD

TK

TD

TD

tt ektyekty 212211 )(,)( Für D/T > 0 ist System im betrachteten Arbeitspunkt

stabil wegen: 0,0 21

0

k1

t

T1 = -1/1

11 /111 )( Ttt ekekty


KleinsignalverhaltenBeispiel: Homogenes lineares Diff.-gleichungssystem (1)

tb

ta eCtyeCty 21

1211 )(,)(

(Zwei linear unabhängige Lösungen)

)()()()()()(

2221212

2121111

tyatyatytyatyaty

)()(

)()(

2

1

2221

1211

2

1

tyty

aaaa

tyty

)()(

)()()()(2

1

tyty

tytyAty

1211112212112111222121121112121111 /)()( ayayayaayayayaayayayay

0)()()( 1211222111221111 yaaaayaayyL y2 wurde eliminiert0)()()( 2211222112221122 yaaaayaayyL y1 wurde eliminiert

Es tritt stets derselbe Diff.-operator L(.) auf, da die hom. Diff.-gleichung das Systemverhalten bei Ausgleichsvorgängen beschreibt.

TK

TD

TDaaaaaap

KDT

2

1,22112221122111

2

220)()()(

tttt eCeCtyeCeCty 21212221212111 )()(

12121111111221111211112 /)(/)( 2121 aeCaeCaeCeCayayy tttt

tttttt eCeCeCKeCKeCa

aeC

aa

y

212121222112211112

12

11211

12

1112

tt eK

CeK

Cyy

ty 21

212

111

2

1 11)(

Wiederholung



)()(

)()(

2

1

2221

1211

2

1

tyty

aaaa

tyty

0)()()()()()()()()( tyAtyEtyAtyEty

Lösungsansatz: tt eCeCC

ty

2

1)(

0)()(0)()(

CAEeCAeCE tt Entweder: oder 0

C 0)()(det AE

0)()(1001

det)()(det 122122112221

1211

2221

1211

aaaa

aaaa

aaaa

AE

212112121122112 ,0)()()(det)( aaaaaaAEp Eigenwerte

Die beiden linear UNabhängigen Lösungen sind die beiden Eigenvektoren zu 1, 2:

12221121

12121111

12

11

2221

12111

12

11111 )()(

CaCaCaCa

CC

aaaa

CC

CACE

21, CC

)2(0)()1(0)(

122211121

121211111

CaCa

CaCa

Wegen p() = 0 sind (1) und (2) linear abhängig (mit beliebigem K): 122211121121211111 )())(( CaCaCaCaK

221

21

12

1111 a

aa

aK

1111112

11112 CKC

aa

C

Eigenwertgleichung zu 1:

12

111 C

CC

Alternativer Lösungsweg: Eigenwertgleichung:

Wiederholung

11112 CKC



In gleicher Weise für 2: 122222

212 CKC

CC

C

12

1122 a

aK

Lösung: tt eCC

eCC

ty

21

22

21

12

11)( tt eK

CeK

Cyy

ty 21

212

111

2

1 11)(

Resultat:

Die Lösung eines linearen Differentialgleichungssystems mit n Gleichungen 1. Ordnung kann entweder

a) durch Rückführung auf EINE Diff.-gleichung n-ter höherer Ordnung für eine der n-1 unbekannten Funktionen erfolgen

oder

b) über die Eigenwertgleichung der Systemmatrix (A) als Linearkombination aller nunabhängigen Eigenvektoren.

Wiederholung


KleinsignalverhaltenDarstellung als Diff.-gleichungssystem (1)

• Die Linearisierung der nichtlinearen LAGRANGE-Differentialgleichungen zur Untersuchung der Stabilität eines Gleichgewichtszustands bzw. stationären Betriebspunkts führt bei konstanten verallgemeinerten Kräften auf ein homogenes System (= „rechte Seite“ g(t) = 0) von m linearen Diff.-gleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Aij.

By

))(),...,(()()()()( 1 tytytytyAty m

mityatym

jjiji ,...,1)()(

1

:)(A m x m – Matrix mit konstanten Elementen aij mjmi ,...,1,...,1

• Lösungsansatz:

• Liefert für m lineare, homogene, algebraische Gleichungssysteme:

),...,()( 11

imii

m

i

ti CCCeCty i

0)()(

iii CACE:)(E m x m – Einheitsmatrix, )0,...,0(0)(

ii CCE (Nullvektor)

zur Bestimmung der Vektoren . Es gibt nur dann Lösungen , wenn zumindest zwei Gleichungszeilen im Gleichungssystem voneinander linear abhängig sind, wenn also die Koeffizientendeterminante Det des Gleichungssystems Null ist.

0)()(det AEDet i 0)(det00)())()(( BCCBCAE iiii

iC

0

iC

ti

ieC

Wiederholung


• Die Gleichung ist eine algebraische Gleichung m-ten Grades mit den konstanten Koeffizienten bi, i = 1, …, m, nämlich die „Eigenwert“-Gleichung

• Die Eigenwert-Gleichung bestimmt die m möglichen Werte von als i, i = 1, …, m.

• Zu jedem Eigenwert i gehört gemäßein Satz von Zahlen

als „Eigenvektor“ zum i-ten „Eigenwert“i , die bis auf einen gemeinsamen konstanten Faktor Ci1 bestimmt sind.

0)()(det AEDet

),...,( 1 imii CCC

0...)( 011

1 bbbbp m

mm

m

0)()(

iii CACE

iC

• Die allgemeine Lösung von ist daher:)()()( tyAty t

mt meCeCty

...)( 11

KleinsignalverhaltenDarstellung als Diff.-gleichungssystem (2)

• Numerisch wird dieses Diff.-gleichungssystem aus m Gleichungen 1. Ordnung mit dem RUNGE-KUTTA-Verfahren vorteilhaft, weil rasch, gelöst.

),...,,1( 1,11 miiii KKCC

Wiederholung


KleinsignalverhaltenKriterium von HURWITZ für Stabilität

• Die algebraische Gleichungmit reellen Koeffizienten bi und b0 > 0 (ggf. Multiplikation von p() mit -1)besitzt genau dann nur Wurzeln (Lösungen) i mit negativem Realteil, wenn die m Determinanten Di alle positiv sind. Dabei sind die Koeffizienten br = 0 zu setzen, wenn r > m ist.

0...)( 011

1 bbbbp m

mm

m

mmmm

m

bbbb

bbbbbbbb

bb

Dbbbbbb

bbD

bbbb

DbD

....................0...0...0...00

,...,0

322212

2345

0123

01

345

123

01

323

01211

• Stabilitätskriterium von HURWITZ: 0Re0,...,0,0 21 imDDD

Der entsprechende Betriebspunkt ist STABIL !


KleinsignalverhaltenBeispiel:HURWITZ-Kriterium für Diff.-gleichung 2. Ordng.

0)( 111 KyDyTyL 0)( 1011121 ybybybyL

00 21

2

01

23

012 DTbb

bbb

bbbb

D011 DbD

02222

ReRe22

1,2

TK

TD

TD

TK

TD

TD

Vergleich mit VIETA:Wenn D > 0 und D.T > 0, dann ist auch D/T > 0 und daher wegen K > 0

02

Falls2

TK

TD

0222

ReRe2

1,2

TD

TK

TD

TD 0

2 Falls

2

TK

TD

Folglich ist die homogene Lösung STABIL (abklingend)!

00 Kb


KleinsignalverhaltenBeispiel:Stabilität für Diff.-gleichung 2. Ordnung (1)

00 TyKyDyT Gleichgewichtslage: d./dt = 0 00 yyK

Wir erteilen dem System eine Anfangsstörung = Auslenkung aus der Gleichgewichtslage:

00 )0(,)0( vtyyty

Fallunterscheidung:1) D2 > 4.T.K: Nicht-oszillierende STABILE ( > ) oder INSTABILE ( < ) Bewegung:

TKDTT

D 421

22

1,2 0421

22 TKD

TTD

tytyvety t

chsh)( 0

00Ausgleichsvorgang: tt ee

tt

21

chsh

STABIL: KTDKKTDD 2042

INSTABIL:0042 KDKTDD

)4dassso,0,0(04 22 KTDKKDKTDD

0d.h.beliebig,,0)1 DKa0d.h.,2,0)1 KTDKb

0d.h.,2,0)1 KTDKcINSTABIL

STABIL


KleinsignalverhaltenBeispiel:Stabilität für Diff.-gleichung 2. Ordnung (2)2) D2 < 4.T.K K > 0: Oszillierende STABILE ( > 0) oder INSTABILE ( < 0) Bewegung:

jDTKTj

TD 2

1,2 422

0421

22 DTK

TTD

tytyvety t

cossin)( 0

00Ausgleichsvorgang:

0d.h.,02,0)2 DKTKa0d.h.,02,0)2 DKTKb

INSTABIL

STABIL

D0

K

)2b)2a)1c)1b

)1a

STABIL

(STATISCH) INSTABIL

(DYNAMISCH)INSTABIL

oszillierend)4/(2 TDK

Dau

ersc

hwin

gung

Aperiodische Grenzkurve





Statische InstabilitätIm Arbeitspunkt: Linearisierung

• Nichtlineare Diff.-gleichung 2. Ordnung:

• Gleichgewichtslage y0:

• Linearisierung:

.),(),( konstfyyyyy

fyyydtd ),0(0,0:0/. 0

),0(),(),,0(),(,:1/, 00000000 yyyyyyyyyyyyyyy

yy

yy

yyyy

),0(),( 00 yy

yy

yyyy

),0(),( 00

yyyyy

yyy

yyyyyy

),0(),0(),( 000

fyy

yy

yyy

),0(),0( 00

0 yKyDyT

0),0(),0(),0( 000

yyy

yyy

yy

KDT

),0(),0(),0( 000 y

yKy

yDyT

Für K < 0 ist die Ausgleichsbewegung nicht-oszillierend aufklingend (Fall 1a)) = INSTABIL

Aus dem Anstieg der statischen Gleichgewichtskurve kann gemäßfür jeden Gleichgewichtspunkt y0 die (statische) Instabilität überprüft werden.

fy ),0( 0 0),0( 0 y

y


Statische InstabilitätStatische Gleichgewichtskurve „gibt Auskunft“

• Statische Gleichgewichtskurve: Gleichgewichtspunkt y0: fy ),0( 0

0),0( 0

yy

K

Instabilität für f = konst.

y

),0( y

f

00 y01 y02

y y

INSTABIL STATISCH STABIL

Instabiler & statisch stabiler Gleichgewichtspunkt

• Zur Ermittlung der statischen Instabilität muss die Linearisierung der nichtlin. Diff.-gleichungnicht durchgeführt werden. Es genügt, die statische Wandler-Kennlinie (0, y) zu betrachten.

ACHTUNG:Der „statisch stabile“ Punkt y02hat die notwendige Bedingung K > 0.Sie ist aber nicht hinreichend, da für D < 0 „dynamisch“ Instabilität auftritt (= negative Dämpfung!)

Formen der dyn. Instabilität können mit diesem „statischen Test“ NICHT entdeckt werden.





Dynamische InstabilitätStabilitätsuntersuchung

• Dynamische Instabilität kommt wegen D < 0 durch „negative Dämpfung“ zustande.

• Die aufklingende Bewegung kann oszillierend (Fall 2a)) oder nicht-oszillierend (Fall 1b) sein

• Beispiel:

Zu Beginn: System wird gegen y = 0 beschleunigt. Mit wachsender Geschwindigkeit steigt wegen D < 0 (nun antreibende) Dämpfungs-Kraft. Das System wird über den Punkt -y0 beschleunigt und kehrt im Fall 1b) nicht mehr um.

Bei hinreichend großer Rückstellkraft (K > D2/(4T)) kehrt das System zwar immer wieder um (Fall 2b, „oszillierend“), aber die Abstände der Umkehrpunkte von der Ruhelage y = 0 nehmen immer mehr zu.

0,0,00 DKTyKyDyT 0)0(,0)0( 0 tyyty

D0

K

)2b)2a)1c)1b

STABIL(DYNAMISCH)INSTABIL

oszillierend)4/(2 TDK

t0

y0

-y0y(t)

Fall 1b)


Für folgt die Lösung:

Dynamische InstabilitätFall 1b) Nicht-oszillierend K < D2/(4T)

• Beispiel: 0,0,00 DKTyKyDyT

0)0(,0)0( 0 tyyty

t0

y0

-y0y(t)

Fall 1b)

0 yTKy

TDy

04242 2

2

22

2

1 TK

TD

TD

TK

TD

TD

tt eeyty 21

1

2

1

2

0

1)(

• Zu Beginn: System wird wegen

gegen y = 0 (= -y-Richtung) beschleunigt.

• Mit wachsender Geschwindigkeit steigt wegen D < 0 die (nun in -y-Richtg. antreibende) Dämpfungs-Kraft

• Das System wird über den Punkt -y0 beschleunigt und kehrt nicht mehr um INSTABIL.

y0 yD

0)0()0()0( 0 yKyKyDyT





Lineares System mit konstanten Koeffizienten Beispiel: Magnet und Feder

• Konstanter Strom i(t) = I

• Feder entspannt bei x = x0

• Magnetkraft:

• Federkraft:

• Gleichgewichtslage x*:

dxxdLIxFm)(

2)(

2

)()( 0xxkxFF

*)(*)( xFxF mF

Fm

x0

x0 FF

FF

Fm

x* x0

• Ist die Gleichgewichtslage x* ein stabiler Arbeitspunkt bei einer kleinen „Störung“ x = x – x*?

• Statische Gleichgewichtskurven:

Kraft aus potentiellem Speicher ist Federkraft: Fk = FF

Achtung: Hier zur Abwechslung pos. Zählweise von Fm nach LINKS !


Lineares System mit konstanten Koeffizienten Beispiel: Magnet und Feder: Linearisierung

• Federkraft:

• Linearisierung der Magnetkraft in x*: „Magnetische Federkonstante“ km(x*)

1*/,*)(*)(*)()(*)()(*

xxxxkxFxxdx

xdFxFxF mmx

mmm

*

)(*)(x

mm dx

xdFxk

• Newton´sche Bewegungsgleichung: xmxFxFxm mF )()(

xkxFxkxxkxxxkxF FF *)()*()*()( 00

0)()(*)(*)( xkkxmxkkxFxFxm mmmF

• Lineares Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

a)

b)

a): Dauerschwingung mit konstanter Amplitude (A, B = konst.): STABIL

b): Exponentielle Zunahme der Auslenkung x aus x*: INSTABIL

mkktBtAtxkk meeem /)(sincos)(0 mkkeDeCtxkk m

ttm /)(0

dxxdF

dxxdFk F

x

F )()(*

0 mkk

0 mkk


Lineares System mit konstanten Koeffizienten Beispiel: Magnet und Feder: Statische Stabilität

stabil0,0:5

instabil0,0:4stabil00:3

stabil0,0:2stabil00:1

0stets

mmm

mmm

mm

mmm

mm

kkkkk

kkkkkkkk

kkkkkkkk

k

• Federn a und b, entspannt bei x0,1:

Je nach Federkonstante k: Punkt 1 und 2: STABIL

• Schwächere Feder c, entspannt bei x0,2:

Zwei stabile Arbeitspunkte 3 und 5 möglich

0 mkkSTABIL

0)()(*

x

mFdx

xdFdx

xdF

Fm FF

0 0

x x0,1 x0,2

2

1

3

4

5

Statische Gleichgewichtskurven

a

b

c


Lineares System mit konstanten KoeffizientenSonderfall: k + km = 0: „Indifferentes“ Gleichgewicht

0)( xkkxm m

a) v0 = 0: Dauer-Auslenkung x(t) = x0 = konst. „STABIL“

b) v0 0: Lineare Zunahme der Auslenkung x aus x*: INSTABIL

00000 xtvxvxxxm

0 t

x0

x

00 :0 xxv

000 :0 xtvxv

000 :0 xtvxv

x0

x

0x

00 v

00 v

Zeitverlauf x(t) „Phasenportrait“ )( xx

x* x0


Zusammenfassung:- Vereinfachte dynamische Untersuchung durch Linearisierung des i. A.

nichtlinearen Systems in einem Arbeitspunkt- Wegen dieser Vereinfachung bei nichtlin. System nur

Kleinsignalverhalten untersuchbar in der lokalen Umgebung um den Arbeitspunkt

- Statische Stabilitätsuntersuchung eines Systems im Arbeitspunkt anhand statischer Kennlinien bei Vernachlässigung der Dämpfung

- Dynamische Stabilitätsuntersuchung eines linearisierten Systems im Arbeitspunkt bei Berücksichtigung der Dämpfung

- Bei negativer Dämpfung: „Dynamische Instabilität“


TU Darmstadt, Institut für Elektrische Energiewandlung | „Elektromechanische Systeme“, 7. Ausgewählte Wandler / 1Prof. Dr.-Ing. habil. Dr. h.c. Andreas Binder


7. Analyse ausgew7. Analyse ausgewäählter elektromechanischer Wandlerhlter elektromechanischer Wandler

• Magnetischer Wandler „Typ 1“• Magnetischer Wandler „Typ 2“• Kapazitiver Wandler „Typ 3“


Elektromechanische Systeme7. Analyse ausgewählter elektromechanischer Wandler



Magnetischer Wandler „Typ 1“Beschreibung

• Vertikale gedämpfte Schwingbewegung x(t)der Masse m

• Distanzstück e und Spalt gegen „magnetischen Kurz-schluss“, bei dem allfällige Eisenremanenz verstärkt wirken würde

• R: Resultierender Widerstand der Spule und Vorwiderstand

lh

h

h

h

k

d

m

ex

uR

iN

r = 1

r = 1

r > 1

r > 1

FederLuftdämpfung

Joch

Masse

Spule

El. Speisung

x

x*

B

Amagn. Distanzstück

xe


Magnetischer Wandler „Typ 1“Erregung eines Magnetfelds• Geometrie mit gleichen flussführenden Querschnitten h . l , so dass Flussdichte B im Eisen

und in Luft identisch: BFe = B H = B/0, HFe = B/Fe, Fe = 0.r

• Annahmen: Homogenes Feld B = konst. in allen Flussabschnitten & Fe = konst.

• Durchflutungssatz entlang Feldlinie: Flussweg im Eisen (Joch, Masse m): lFe

)( exHlHiNsdH FeFeC

)/)(()/()()()/()/(

00

exliNxBexBlBiN

FeFeFeFe

)/)(()/()0(

0

eliNB

FeFe

• Magnetkraft Fm auf Masse m- zieht nach oben,- nimmt mit steigendem x ab

xm elhxBF 2

2)(

0

2

0´´ FF

x*0

0x

)0(B

)(xB

a) Annahme

b) Real: Feld „streut“ seitlich

Hüllfläche

F´ -F´

Fm

m

Streufelder vernachlässigt:


Magnetischer Wandler „Typ 1“Spuleninduktivität L(x)

)/(22)()()()(

0

20

FeFelexlhN

ilhxBN

ixN

ixxL

x*0

0x

)0(L

)(xL

)/(2)0(

0

20

FeFelelhNL

Annahmen: Homogenes Feld B = konst. in allen Flussabschnitten & Fe = konst.

Fe verändert sich mit x nicht!

Magnetische Ko-Energie:

Identisch mit:

))(2/()(2/)( 22* xLxWixLW mm

Fe,Luft, mmm WWW )2/()()(2 02

Luft, xBexlhWm

)2/()(2 2Fe, FeFem xBllhW

)(2Luft exlhV

FellhV 2Fe

in Luft

im Eisen

Luftspalt-Volumen

Eisen-Volumen

22)()(

22

22)(

2)(

0

2Fe,Luft,

22 ilhxBNlexxBlhWWi

ilhxBNixLWFe

Femmm

Fe

FelexiNxB

0

)(

Beweis:


Magnetischer Wandler „Typ 1“Einfluss veränderlicher Eisensättigung Fe(BFe)

))((

)(

0 xBlex

iNxB

Fe

Fe

Fe(BFe)

00 HFe

BFe

Fe = konst.

00 HFe

Fe

Fe = konst.

Fe(BFe)

))((

2)(0

20

xBlex

lhNxL

FeFe

ixB

ilhxBN

ixxL )(~2)()()(

tan)(~)( ixBxL

00 i

B(x, i) B(i) für Fe = konst.

x = konst.

B(i) für Fe(BFe)

Luft Eisen

00 i

L(x, i)

L(i) für Fe = konst.

x = konst.

L(i) für Fe(BFe)

L(x) ~ tan: „Sekanten“-Induktivität


Magnetischer Wandler „Typ 1“Sekanteninduktivität vs. differentielle Induktivität

x = konst.

• L(x) ~ tan: „Sekanten“-Induktivität Ldiff(x) ~ tan: „differentielle“ Induktivität

00 i

L(x, i)

x = konst.

L(i), Ldiff(i) für Fe(BFe)

L(i)

Ldiff(i)

• In Magnetkreisen mit veränderlicher Sättigung muss im magnetischen Arbeitspunkt Azwischen a) der Sekanten-Induktivität L für „große“ Signale als nichtlineares Element undb) der „differentiellen“ Induktivität Ldiff

für „kleine“ Änderungen von und i um den magnetischen Arbeitspunkt Aunterschieden werden.

• Bei Fe = konst: L = Ldiff !

00 i

(x, i) (i) für Fe(BFe)

Tangente

Sekante

A)()( iLiL diff

22

22 iLiLW diffm


Magnetischer Wandler „Typ 1“„Ideal“ magnetisierbares Eisen: Fe

ex

lhNxLxL diffFe2)()(: 2

0

ex

iNxB 0)(

xmxm eFelhexiNF

2

)(2)(

2

2

0

• Statischer Wandlerzustand: d./dt = 0: i = I (Gleichstrom)

• Kräftegleichgewicht an der Masse m:

• Feder entspannt bei x0 (0 < x0 < x*):

gmFF Fm

)( 0xxkFF

m.g FF

Fm

m

xe

gmxxklhexIN

)(2

)(2)(

02

2

0

00x

F

124 III

244 ~)( IIFm

222 ~)( IIFm

211 ~)( IIFm

xkgmxkgmFF 0

kgmx /0

2´

21

00

FF

xx0 x*

gmFF

FF kgmx /0

Schwerkraft bewirkt Federvorspannung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Stabilität der Gleichgewichtslagen x = X

• Kleiner Erregerstrom I1: Ein stabiler Arbeitspunkt 1 bei „großem“ X1

• Vergrößerter Erregerstrom I2: Ein stabiler Arbeitspunkt 2 bei „verkleinertem“ X2 < X1(Arbeitspunkt 2´ ist INSTABIL)

• Noch größerer Erregerstrom I3: Ein stabiler Arbeitspunkt 3 bei „Minimalwert“ X3

• Für 0 x X3 KEIN stabiles Gleichgewicht: Masse schnappt zum Joch x = 0

gmxxklhexIN

)(2

)(2)(

02

2

0

00x

F

1234 IIII

244 ~)( IIFm

222 ~)( IIFm

211 ~)( IIFm

xkgmxkgmFF 0

kgmx /0

2´

21

3

233 ~)( IIFm

X1X2X3

• Für große Ströme I > I3 :KEIN Schnittpunkt der beiden Kraftkurven KEINE Gleichgewichtslage: Masse schnappt zum Joch x = 0


Magnetischer Wandler „Typ 1“Statische Stabilität (1)

• Statische Stabilität: Bewegungsgleichung ungedämpft:

• Störung der Gleichgewichtslage X durch kleine Auslenkungen x Linearisierung der nichtlinearen Differentialgleichung

mF FgmFxm

1/ Xx

)()()()( 0 xXFgmxxXkxmxmtxXtx m

))/(21()(

)())/(1()(

)()(

)()(´: 2

20

22

20

2

20 eXx

eXlhIN

eXxeXlhIN

exXlhINxXFee m

2)1(

21)1(

1)(2121

121

1)1(

1:10

3001

222

ddf

ddff

• Gleichgewichtslage X: gmxXkeX

lhIN

)()(

)(02

20

0´)()(2

3

20

xKxTx

eXlhINkxm • Linearisierte Diff.gleichung:

• Stabile Lösungen für 0´)()(2

3

20

eXlhINkK

0),())((

dxIxdF

dxgmxFdK mF



00x

F

222 ~)( IIFm

211 ~)( IIFm

xkgmxkgmFF 0

kgmx /0

2´

21

3

233 ~)( IIFm

X1X2X3

0))((),(

dxgmxFd

dxIxdFK Fm

• Arbeitspunkte 1, 2, 3 : STABIL

0),()( 11 k

dxIxdFXK m

• Arbeitspunkt 2´: INSTABIL

0),()( 22 k

dxIxdFXK m

0),()( 33 k

dxIxdFXK m

0),()( 2´2 k

dxIxdFXK m



• 3: Für große Ströme I > I3 :KEIN Schnittpunkt der beiden Kraftkurven, da Fm > FF + m.gab X3 > x > 0:

• Beschleunigung von m auf x = 0. Bei x = 0 „magn. Kleben“, da Fm > FF + m.g

• Hinweis: Fm ist mathematisch auch im unphysikalischen Bereich x < 0 definiert I4 > I3: Virtueller, STABILER Arbeitspunkt 4´.

• Anstelle des virtuellen Punkts 4´ bleibt die Masse im Punkt 4 bei x = 0 mit der Kraft F(4) „kleben“ = Masse schnappt zum Joch x = 0

0),()( 44 k

dxIxdFXK m

0)()0()0()4( 02

240

gmxk

elhINgmxFxFF Fm

x

F

gmFF

3

2

2

0 ´)()(),(ex

lhINIxFm

0-e´

)( 3IFm

)( 4IFm

)( 4IFm

4

)( 3IFm

4X

4´3´

X3

gmFFxm Fm

0 mF FgmFxm

„Klebekraft“ nach oben


• Bei Absenkung I6 < I < I4 verbleibt der „stabile“ Arbeitspunkt zunächst im „virtuellen“Kennlinienbereich Masse „klebt“ bei x = 0

• Bei I6 < I3 wird die Klebekraft Null:


x

F

gmFF

3

2

2

0 ´)()(),(ex

lhINIxFm

0-e´

)( 4IFm

)( 4IFm

4

)( 3IFm

4X

4´3643 IIII

)( 3IFm

6

6´

5´

)( 5IFm

• Bei Absenkung I6 < I < I4 ist immer noch Fm > FF + m.g = „Kleben“

• Bei I6 ist Fm = FF + m.g (6´); aber instabiles Gleichgewicht m„schnappt“ zum nächsten stabilen Gleichgewichtspunkt Fm = FF + m.g (6);

0)0(),0(´)6( 6 gmFIxFF Fm

• I5 : F(6´) = 0 Masse m fällt vom instabilen Arbeitspunkt 6´ in stabilen Arbeitspunkt 6: Wechsel des AP von 5´ (virtuell, stabil) 6´ (real, instabil) 6 (real, stabil)


Magnetischer Wandler „Typ 1“Gleichgewichtslagen X

Gleichgewichtslage X: gmxXkeX

lhIN

)()(

)(02

20 )()(

020

22 xkgmXk

lhNeXI

232

)0(

03

0

0

ek

gmxX

lhxkgm

NeI

„Schalthysterese“ I2(X)für Arbeitspunkte: 6 3 3´´ 6´ 6X

24I

23I

26I

21I

22I

03X0 k

gmx 0e

2I2I

4´

realer verfügbarer Bereich

3´

5´ 6´

3

62

1

3´´

stabilinstabil

I2(0)

Pull-in

Pull-out


Magnetischer Wandler „Typ 1“Anwendung: Schalter

:I Hilfsstromkreis

)( 33 XII „Ansprechstrom“des Schalters

)0(6 XII „Abfallstrom“

(Zeit)t

I

3I

5I

0

0

Schalter schließt Schalter öffnet

Masse m = „Schaltstück“, verbunden mit Hauptstromkreis IH

m

HI

HI


• Kräftegleichgewicht:

• Dämpfungskraft geschwindigkeitsproportional: bremst!

• Nichtlineare Diff.-gleichung:

• Elektrischer Kreis:

Magnetischer Wandler „Typ 1“Dynamische Gleichungen nichtlinear

mDF FFgmFxm

xdFD

gmxkex

lhiNxkxdxm

02

2

0

dtdx

exlhiN

dtdi

exlhNiRu

lhex

iNdtdiRxxLiiLiR

dtixLdiR

dtdiRu

2

20

20

20

22

2)())((

)(xL

gmxk

exlhiNxkxdxm

02

22

0

)(2)( 2

20 tux

exilhNiRixL

Ruh-Induktion durch Stromänderung Induktion durch m-Bewegung = Bewegungsinduktion

)(xLi


Magnetischer Wandler „Typ 1“Dynamische Gleichungen linearisiert (1)

• Linearisierung im Arbeitspunkt

•

•

• Linearisierte Diff.-gleichungen:

:),( XI

1),()(

,1),()(

1),()(

11

11

11

XxtxXtx

UutuUtu

IitiIti

X

xIi

XI

Xx

Ii

XI

exieXX

eXxIi

eXI

exXiI

exi 1111

1

1

1

1 111:,1

1

Xx

Ii

XI

Xx

Ii

XI

exi 11

2211

222211

111 ,, iixxxx

022

200

112

20111

lh

XINXkgmxk

Xx

Iilh

XINxkxdxm

Gleichgewichtslage

Xx

Ii

XIlhNiRuIRU

Xx

Ii

XIlhN

dtdiIRuU

112011

112011

2

12)(

Gleichgewichtslage


Magnetischer Wandler „Typ 1“Dynamische Gleichungen linearisiert (2)

112

2

011

2

0

1

2

013

2

011

22

022

uxIlheX

NiRilheX

N

iIlheX

NxlheXINkxdxm

(1)

(2)

Kopplungsterm K0 zwischen (1) und (2)L(X) im Arbeitspunkt x = X

Kopplungsterm: IlheX

NK

2

2

00

10111

10111

)( xKuiRiXL

iKxdx

dFdx

dFxdxmXx

mF

(1)

(2)


Magnetischer Wandler „Typ 1“Dynamische Stabilität bei i = I = U/R = konst.

• Dynamische Stabilitäts-Betrachtung für eingeprägten Strom: i = I = U/R = konst. u1, i1 = 0

Nur noch (1) = eine Diff.-gleichung 2. Ordnung (linearisiert):

•

• Statische Stabilität:

• Dynamische Stabilität: und : Ist erfüllt, wenn stat. Stabilität erfüllt ist, da

Statisch stabile Arbeitspunkte sind auch dynamisch stabil!

resk

0111

xdx

dFdx

dFxdxmXx

mF

mkkKdDmT ,,

0

0

dxdFk

dxdFk

mm

F

0111 xKxDxT

mech. Federkonstante

magn. Federkonstante: „Resultierende Federkonstante“

00

Xx

Fmm dx

dFdx

dFkkK bzw.

0

Xx

Fmdx

gmFddx

dF

0K 0D 0 dD


Magnetischer Wandler „Typ 1“Dynamische Stabilität bei eingeprägter Spannung u(t)

• Mech. und el. Diff.-gleichungen (1) + (2) durch Eliminieren von i1 :

• Drei Energiespeicher: Feder k, Masse m, Induktivität L System 3. Ordnung

linearisierte Diff.-gleichung 3. Ordnung

• Statische Stabilität:

; wegen

• HURWITZ-Kriterium:

denn:

0,00 res0

20

res1res kLRbd

LR

LKkbk

)(10

1res1

20

res11 tuL

KxkLRxd

LR

LKkxm

LRdxm

0,0 23 mLRdbmb

)(0 10

10111213res tuL

Kxbxbxbxbk

00000

0,0

0233213

3021211

bbbbbD

bbbbDbD

0

0

23302133

2

20

20

resres

20

res2

DbbbbbbD

mRL

dRKdL

dRKkmLRkm

LRd

LdRKkD

Auch bei Spannungsspeisung sind alle statisch stabilen Arbeitspunkte auch dynamisch stabil !


Magnetischer Wandler „Typ 1“Anwendung: Schwingungsmesser (1)

y1: Schwingungselongation der Maschinenoberfläche

U: Gleichspannung zur Einstellung des Arbeitspunkts (I0, X0)

X: Gleichgewichtslage der Masse m relativ zum Joch

x1(t): Verschiebung von m relativ zum Joch zufolge der Anregung y1(t)

i1(t): Stromänderung zufolge der m-Bewegung x1(t)

)()( 1 tiItiRUI

)()( 1 txXtx

• Messkette: y1 (Messgröße) bewirkt x1(t) i1(t) : Über Ampere-Meter wird über i1 die Schwingungsgröße y1 erfasst!

• Nur kleine Werte y1 messen, denn nur dann sind x1/X und i1/I klein Wandler ist annähernd linear! y1 ~ i1

A

Fundament (ruht)

„Maschine“: schwingt vertikal y1(t)

Wandler

m

x(t)A

U

R i(t)

Joch

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Anwendung: Schwingungsmesser (2)

• Masse m bewegt sich gegenüber Fundament mit Weg

• Elektrischer Kreis u(t) = U + u1(t) aus idealer Spannungsquelle u = U versorgt u1 = 0• Linearisiertes Differentialgleichungssystem:

• Schwingweg

• Komplexe Rechnung für eingeschwungenen Zustand (Schwingfrequenz ):

und

mit

)()( 11 tytx

1011

101111

)( xKiRiXL

iKxdx

dFdx

dFxdyxmXx

mF

11111ˆˆ,ˆRecosˆ)( YYeYtYty tj

2

f

1101res11 ymiKxkxdxm 1011 xKiRiL

tjtj eItieXtx 1111ˆRe)(,ˆRe)(

101112

101res112 ˆˆˆ,ˆˆˆˆˆ XjKIRILjYmIKXkXjdXm

(1)

(2)

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Lösung für eingeschwungenen Zustand

• Gesucht ist die Funktion der Abhängigkeit wird eliminiert:111ˆ)ˆ(ˆ XYI

3

2202

0

0

2

1

1

res2

00

12

1

12

1010

res2

10

1

2ˆˆ

ˆˆ

ˆˆˆˆˆ

eXmhlIN

mk

mdj

KjLjR

mKY

I

kdjmKj

LjRK

YmI

YmIKIKj

LjRkdjmIKj

LjRX

a

mdj

LjR

eXhlIN

meX

IYI

23

220

2

1

1

121ˆˆ

a

eX

XXmk

max2 3)(3 XX

eXmka

•

•

•

•

•

•

I

eXlhN

eXILK

2

20

02

2

3

20

2

2 2 IeX

lhNkeX

ILkkres

eXlhNL

22

0

020

22 xkgmXk

lhNeXI

23

203

ek

gmxX

kgmxX

0max

Übung


• Frequenzgang im Arbeitspunkt

a) Arbeitspunkt bei

b) Arbeitspunkt bei

• Frequenzgang des Betrags

• Frequenzgang der Phasenverschiebung zwischen und wird hier nicht untersucht

bei kleinem Nähe von a)

bei großem Nähe von b)

Magnetischer Wandler „Typ 1“Frequenzgang

)(312ˆ

ˆ

32max

2

1

1

eXmXXk

mdj

LjR

eXXX

mkeX

IYI

3II

max3,, XXXXI

eXXX

mk

321

3

0,0, 2max XXI

eXXX

mk

max22

2

0,, 133 XIXI

1

1ˆˆ

YI 0I

)(1 ti )(1 ty

mdj

LjReX

IYI

22

122

2

1

1

1ˆˆ

2I

0

0

INSTABIL

3X X maxX

x

STABIL

max3 XXX

2I

Arbeits-punkt

Arbeitsbereich:

23I

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „kleinem I“ (1)

• Amplituden-Frequenzgang für kleines

• Leistung im Messkreis am Amperemeter (Innenwiderstand Ri):

Ordinate:

Abszisse: Bezugskreisfrequenz

• Bei „etwa“ Resonanz

00 2 I

2222

1

2

3

1

1

1

/ˆ

ˆ

md

RL

LReXY

II

1

1ˆˆ

YI

Resonanz bei

da Nenner minimal

,2 12

221

md

PRI i 2/ˆ21

Bezug

1

Bezugˆ

ˆlg20lg10

II

PP

eXIY

I

Bezug

1ˆ

)(ˆlg20

:,lg10 11

md

RL

RLeXY

II

1

21

31

1

11

1

/ˆ

ˆ:

BezugI : frei wählbar, z. B.:

μm1ˆ,ˆˆBezugBezugBezug

Y

eXIYI

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „kleinem I“ (2)

• Resonanz :1

LR

md

Ld

1)()/(

:(3)

~)()/(

:(2)

~:0(1)

)(1)(1ˆˆ

2

2

21

2

2

21

2

3

1

221

2

221

2

221

3

1

321

3

221

3

221

2

3

2221

2

3

1

1

L

L

L

LL

L

LL

L

L

L

L

ü

ü

ü

eXYIIü

LdL

dL

RdLm

md

RLeXY

IILR

dm

md

RL

RLeXY

IILR

1121

1

31

1

11

11

11

31

1

11

/ˆ

ˆ(ii)

/ˆ

ˆ(i)

d L 10

• Amplituden-Frequenzgang für schwache Dämpfung und Fall (i):

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „kleinem I“ und 1L

• Im Bereich ist proportional zur Schwingamplitude

• Im Bereich ist proportional zu =

= Schwingbeschleunigung :

• Bereich für

Schwingungsmessung unbrauchbar

222221

2

3

)()/(1/

dL

Lü

1 1I

1Y

1 L 1I

12 Y

1y

tjtj eYeYdtd

dtyd 1

212

2

21

2ˆReˆRe

L 0

60 dB / Dekade

L

0

12

221 2

md

dB/lg20 ü

20

60

40

80

100

1/lg

dB//lg10 1

2 1 0 1

20 10 0 10

1ü

d /lg20 1

2~ü

3~ ü

40 dB / Dekade Fall (i): 1L

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „kleinem I“ und 1L (1)

2221

2

3

)()/(1/

L

Lü• Schwache Dämpfung :

1)/(

:(3)

~1

:(2)

~1

:0(1)

2

3

2

3

1

321

3

21

3

1

L

LL

L

LL

L

L

ü

ü

ü

d 1 L0

Ld 1

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „kleinem I“ und 1L (2)



= Schwinggeschwindigkeit :

• Bereich für

Schwingungsmessung unbrauchbar

222221

2

3

)()/(1

/

dL

Lü

L 1I

1Y

L 1 1I

1Y

1y

tjtj eYjeYdtd

dtdy 11

1 ˆReˆRe

10

12

221 2

md

L

20

dB/lg20 ü

0

40

20

60

8010 0 10 20

1ü))/(lg(20 2

1 Ld

:~ü

:~ 3ü

20 dB / Dekade

Fall (ii): 1L

deutlich kleiner als bei Fall (i), denn

60 dB / Dekade dB//lg10 1

111 Ld

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „großem I“

• Amplitudenfrequenzgang für großes

• Schwache Dämpfung:

• Zwei Fälle:

0133 XXII 1

1ˆˆ

YI

222222

2

22

222

2

2

222

2

222

2

1

1

11

11ˆ

ˆ

L

d

LL

d

LL

L

md

RL

md

RL

RL

md

RLj

RL

md

RL

RL

mdj

LjReXY

II

1L

d

L

L

2

2

(ii)(i)

Übung


(i) 2L : , gültig für

(ii) 2L : Für tritt keine Resonanz auf!

(i) ü(Resonanz) =

Magnetischer Wandler „Typ 1“Resonanz bei „großem I“• Resonanz Nenner der Funktion ü wird minimal bei Resinanz-Kreisfrequenz :

2/)( 222 dL

1

)()(

)/()/(

)(:(3)

~)/(:(2)

~)/(:0(1)

2

2

222

2

2

2222

222

L

L

LL

L

L

L

ü

ü

ü

d L 20

2/2/)( 222

0

2222 LdL

d

LL 707.02/2

(i) :

• Für schwache Dämpfung:

LL

L

LdLLd

LdL

Ld

2

22

22

022

2

22

2

2

41)/(

21)/(

4)/(21)/()/(1

2)/(1)/(

•

22222

2

)/()/()/(

)/()0(LLL

Ldü

(ungedämpft)

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „großem I“ und 2 L

)()( 2222222

2

dLLd

ü


• Im Bereich ist proportional zu (Schwingbeschleunigung):

2 1I

1Y

2 1I

12 Y

tjtj eYeYdtd

dtyd 1

212

2

21

2ˆReˆRe

L

0

222

2 2/ L

dB/lg20 ü

20

60

40

80

10020 10 0 10

1ü

d /lg20 2

2~ ü

40 dB / Dekade Fall (i): 2L

dB//lg10 2

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „großem I“ und 2L (1)

222222

2

)()0(

Ldü

1)(

:(3)

~:(2)

~)/(:0(1)

2

2

22

2

2

224

2

2

2222

ü

ü

ü

L

LLLL

d 2 L0

(ii) :

Übung


Magnetischer Wandler „Typ 1“Amplituden-Frequenzgang bei „großem I“ und 2L (2)

222222

2

)( L

ü



= Schwinggeschwindigkeit :

• Im Bereich ist proportional zu = = Schwingbeschleunigung :

L 1I

1Y

L 2 1I

1Y

1y

tjtj eYjeYdtd

dtdy 11

1 ˆReˆRe

2

tjtj eYeYdtd

dtyd 1

212

2

21

2ˆReˆRe

1I

12 Y

1yL

dB/lg20 ü

0

40

20

60

8010 0 10 20

1ü:~ü

:~ 2ü

20 dB / Dekade

Fall (ii): 2L

40 dB / Dekade

dB//lg10 2

Übung





Magnetischer Wandler „Typ 2“Tauchspulen-Wandler: Beispiel: Lautsprecher

Konus-Lautsprecher schematisch, seitlicher Schnitt („Abdeckkappe“ = Staubschutzkalotte)

(ferromagnetisch r >> 1)

(„Tauchspule“)

(Schallabstrahlung)

Gehäuse: Vermeidung des „akustischen Kurzschlusses“

(Feder k)Schwingbewegung

Luftdämpfung d

Zylindersymmetrie

Quelle: Wikipedia.de

Dynamischer Lautsprecher(Tauchspulenprinzip) mit Papier-Konusmembran und Gummi-Sicke


Magnetischer Wandler „Typ 2“Lautsprecherkorb mit entfernter Membran

Lautsprecherkorb mit entfernter MembranQuelle: Wikipedia.dePatrick.Nordmann, CC BY-SA 4.0


Magnetischer Wandler „Typ 2“Wandlergeometrie

• Tauchspule („Voice coil“) vereinfacht als konzentrierte („punktförmige“) Spule mit N Windungen, Innenwiderstand Ri, Selbstinduktivität Li

• Spulen-Strom i gespeist aus Spannungsquelle u mit Innenwiderstand Ra

O

d k

m

ra

Ra

hM bM

N N

SS

l AM

A

C

BM

HM

BHM

Fe

Fe

Weicheisen

Dauermagnetring

Ersatzanordnung für Tauchspule und Membran

reze

e

Zylinderkoordinaten


Magnetischer Wandler „Typ 2“Lautsprecherfunktion

• Spannungsquelle u als „Sprachsignal“ = Überlagerung unterschiedlicher Sinusspannungen unterschiedlicher Amplituden und Frequenzen f

• Spannungsquelle treibt Strom i, der mit Luftspaltfeld B vertikale LORENTZ-Kraft Fm ~ ierzeugt, die die Tauchspule und damit die Lautsprechermembran im Takt des Stromsignals bewegt

• Die Lautsprechermembran verdichtet / verdünnt die Luft = Abstrahlung von Schallwellen(Longitudinalwellen)

• Dämpfung: d = dR + dS, dR: Reibung bei Bewegung,dS: Schallwellen stellen „akustische Dämpfungskraft“ ~ dS(f) dar. Hier vereinfacht: d = konst. (frequenzunabhängig)

• Analyse des Wandlerverhaltens:1. Magnetfeldberechnung2. Dynamische Gleichungen erstellen3. Gleichgewichtspunkte als Arbeitspunkte bestimmen4. Frequenzgang des Verhaltens „Membranbewegung“ z(t)

in Abhängigkeit von u(t) bestimmenErwünscht: z(t) ~ u(t)


Magnetischer Wandler „Typ 2“1. Magnetfeldberechnung

• Vereinfachende Annahmen: Eisen unendlich permeabel Fe , Vernachlässigung von Streuflüssen,Kleiner Luftspalt << ra (B-Feld über Luftspalt konstant),Ferrit-Dauermagnet-Kennlinie: Im 2. Quadranten linear:

• Flussdurchtrittsflächen:

• Kein Streufluss = Flusskonstanz:

• Durchflutungssatz für Kurve C und Fe bei i = 0:

005.1 MRMMM BHB

)2())(( 22MaMMaaM bRbbRRA

lrA a )2( Fläche in Luftspaltmitte

MM ABAB

0 MMC

hHHsdH

)/( MM hHH

HB 0

HM-Feld im Magneten negativ = Betrieb im 2. Quadranten BM(HM)

MAA

„Flusskonzentration“MMM BAABB )/(

HB 0

RMMM BHB

MM ABAB

0 MM hHH M

M

M

R

hAA

BB

0

B umso größer, je größer /,/ MM hAA


Magnetischer Wandler „Typ 2“Dauermagnet-Kennlinie im 2. Quadranten

0 HM

BM

-HC

BR

Magnetischer Arbeitspunkt

Dauermagnetkennlinie

Arbeitsgerade

RMMM BHB

MM ABAB

HB 0

0 MM hHH

MM

MM H

AAhB

0

AA

h

BBM

M

M

RM

01

AAh

BHMMM

RM

0

0/


Magnetischer Wandler „Typ 2“2. Dynamische Gleichungen

• LORENTZ-Kraft auf rechtswendig gewickelte Spule:

edrsd

BsdiNF

av

sm

z

reBB

zmm eFF

O

dk

m

B

l/2z = 0

reze

e

eiN rav

2

aav rr

• „Luftspaltmitte“:zavzav

ravm

eBriNdeBriN

eedBriNF

2)(

)(

2

0

2

0

• Vertikalposition z der Tauchspule: z = 0 bei Position der Spule bei l/2

• Feder entspannt bei z = 0

• NEWTON-Bewegungsgleichung: zmz ezdzkFezm

)(

iKFzkzdzm m 0

iK 0

BrNK av 20 Kopplungsfaktor


Magnetischer Wandler „Typ 2“Bewegungsinduktion (1)• Zwei Möglichkeiten zur Berechnung der induzierten Spannung ui,f bei bewegter Tauchspule:

a) mit der Änderung der Fremd-Flussverkettung f der Tauchspuleb) mit der bewegungsinduzierten Feldstärke Eb

Oz

z = 0

(l/2) - zAd

Aa) Flussverkettung f der Tauchspule mit

dem „Fremdfeld“ B :

Spulenfläche A:

ABedAeB

edABAdB

Azz

Az

Af

)(

• Flusskonstanz: ))2/((2 zlrB avf

• Flussverkettung: ))()2/((2))(( tzlrBNNtz avff

B

B

• Induzierte Spannung: zrBNdtdu avffi 2/,


Magnetischer Wandler „Typ 2“Bewegungsinduktion (2)

b) Berechnung mit der bewegungsinduzierten Feldstärke Eb:

Im rechtshändigen Umlaufsinn um den Flächennormalenvektor

avfi

avrzavs

fi

avrz

rBzNu

drBzNeeedrBzNsdBvNu

edrsdeBBezv

2

)()()(

,

2

0

2

0,

sd Ad

reBB

zezv

eBvBv O

OAd

Tauchspule

Kontrolle der Richtung von Eb:

Bei Bewegung der Spule nach oben v > 0 verringert sich die Flussverkettung f. Eb ist so gerichtet, dass es in der (gedanklich) kurz geschlossenen Spule einen Strom i in Richtung Eb treiben würde, so dass der von ihm erregte Fluss die ursprüngliche Flussverkettung aufrecht zu halten versucht.

Seine LORENTZ-Kraft F ~ i.B wirkt gegen v


Magnetischer Wandler „Typ 2“Selbstinduktivität Li der Tauchspule

• Spulenfeld über Dauermagnet vernachlässigbar klein, da M 0 und hM >>

iNHHHsHHsdH ueoeueFeeFeoeC

e ,,,,,

iNsdHC

e

0: , eFeFe H

zlrB avoee 2

2,

Oz

z = 0

(l/2) - zAd

A N.i

Be,u

CBe,o

(l/2) + z

rav

zlrB avuee 2

2,

zl

liNzBzlBzlBiNBB oeueoeueoe 2

)(22

0,,,0,,

• Die Selbstinduktivität Li(z) ist abhängig von der Lage der Tauchspule:

)(4

222

2 22

20

20 zLzl

lrNzlzlr

iliN

iN

iL i

avav

eei


Magnetischer Wandler „Typ 2“Elektrische dynamische Gleichung

• Selbstinduktionsspannung ui,e = Ruhinduktion zufolge di/dt, Bewegungsinduktion zufolge dz/dt :

dtdiLz

dzzdLi

dtizLddttdu i

iieei

)())((/)(,

• KIRCHHOFF´sche Maschenregel: iRRuutututu iafieii )()()()( ,,

avii

ia rBzNdtdiLz

dzzdLiiRRtu 2)()()( z

lrN

dzzdL avi

4)( 2

0

avavav

ia rBzNdtdizl

lrNzzi

lrNiRRtu

2

424)()( 2

22

02

0

Nichtlineare Terme

• Vereinfachung: KLEINE Bewegungen z << l/2: konst.244

20

22

2

lrNLlzl av

i

aviia rBzNdtdiLiRRtu 2)()(

iKzkzdzm 0

)()( 0 tuzKdtdiLiRR iia

LINEARE Systemgleichungen!


Magnetischer Wandler „Typ 2“3. Gleichgewichtspunkte

IKZk 0 UIRR ia )(• Gleichgewichtslage Z = d./dt = 0: ,konst.)(,konst.)(,konst.)( ItiZtzUtu

ia RRU

kKZ

0

• Im Gleichgewicht ist das SYSTEM LINEAR !

• Die Position Z ist proportional zur angelegten Spannung U!

• Anwendung: Spannungsmessung bzw. Strommessung im Drehspulinstrument

22lZl

O

N S

oo

II

B

J

k´, d´

l

BrNK av 20

IU ~~


Magnetischer Wandler „Typ 2“Drehspulinstrument

irKkdJ 0´´

)()()()( 0, turKdtdiLiRRutu

dtdiLiRR iiafiiia

IURR

Uk

rKUtudtdia

~~:)(0/. 0

rz

irKMrFrkrdrm mm 0222 2222

Gleichgewichts-Winkellage:

d k

rlBNzlBNu fi 22,

• Statt Linearbewegung z:Drehbewegung:

• Länge der Spule im B-Feld: Statt

mFzkzdzm

O

N S

oo

II

B

J

k´, d´

l

rlrav 22

rBliNrFMBliNF

mm

m

22 rKu fi 0, ´ irKM m 0

Drehmoment:

m: Masse/Spulenseite 2m: Spulenmasse

J

lBNK 20

Spannungsmessung


Magnetischer Wandler „Typ 2“4. Frequenzgang

0ˆˆ)( 02 IKZkdjm

UILjRZKj iˆˆ)(ˆ

0

tjjtj eeIItIItieUUtUUtu ˆRe)cos(ˆ)(ˆRecosˆ)(

jjtjj eIIeZZeeZZtZZtz ˆˆˆˆˆRe)cos(ˆ)(

ia RRR

ii LjRKjKkdjmDet

UIZ

LjRKjKkdjm

0

02

0

02

ˆ0

ˆˆ

20

2 )()( KjLjRkdjmDet i

20

200

)()(

ˆˆ01ˆ

KjLjRkdjmUK

LjRUK

DetZ

ii

kdjmKjLjR

IZKjLjR

IU

ii

2

200

ˆˆ

ˆˆ

• Frequenzgang:

• Eingangsimpedanz:

20

2

2

0

2

)()(

ˆ)(ˆ01ˆ

KjLjRkdjmUkdjm

UKjkdjm

DetI

i


Magnetischer Wandler „Typ 2“Eingangsimpedanz

2222

220

20

2

)()()(ˆ

ˆ

dmkmkKjdKLjRXLjRR

IU

iSiS

• „Akustischer Strahlungswiderstand“ RS, „Strahlungsreaktanz“ XS:

22220

20

2

2222

20

2

)/()()/(

)(

mKdmk

dKRS

22220

20

220

2222

220

)/()()/()(

)()(

mKdmk

mkKXS

dm

mk

20

: Dämpfungszeitkonstante

0: Ungedämpfte Eigen-Kreisfrequenz

• Strahlungsreaktanz“ XS: < 0: frequenzabhängige Induktivität LS = XS/ > 0: frequenzabhängige Kapazität CS = -1/(XS)

• Akustischer Strahlungswiderstand verschwindet bei d = 0 = dR + dSBei reibungsfreier Bewegung dR = 0 nur Dämpfung durch Schallabstrahlung

• Abgestrahlte Schall-Leistung PS bei reibungsarmer Bewegung: dR << dSS

S dm

2

2

2

2

2222

ˆ

ˆ

/

2/ˆ

/2/ˆ2/ˆ

U

RIR

RU

IR

RUPpIRIRIRP

SSSSSSSS


Magnetischer Wandler „Typ 2“„Normierte“ Schall-Leistung pS (1)

RU

mRKj

RLjj

jKjLjRdjmk

UdjmkIi

S

S

iS

Sˆ

1

)/()()()(

ˆ)(ˆ2022

0

220

20

2

2

mRK

LR

dm

mk

Ki

LS

S

202

0

RU

j

jI

LSK

SL

Sˆ

1)11(

)/()(ˆ22

0220

220

2222

0

2

)/()()/(

S

SKS

RR

2

2

22202

222

0

22220

22220

2

22

2 ˆ

1)11(

)/()()/()(

)/(ˆˆ

ˆ

RUR

UR

UIRRp

LSK

SL

S

S

SKSS

22202

222

0

2

1)11(

/

LSK

SL

SKSp


Magnetischer Wandler „Typ 2“„Normierte“ Schall-Leistung pS (2)

22202

222

0

2

1)11(

/

LSK

SL

SKSp

0 L

0

2

22

20

2

2

40

2

0)2(

)/(:0)1

kBNr

Rd

mRK

md

mkp avSS

S

KS

S

KSK

SL

SK

SK

SL

SKSL p

24

2

24

2

2224

2

0/

)11(

/

1)11(

/:)2

• Da Li ~ 0 i. A. sehr klein, ist L ~ 1/Li i. A. sehr groß: L 0

2

2

2

2

2

20

22)2(11

mk

kBNr

Rd

mRK

mdp avSS

S

KS

2

2

24

20

2

2

44

2

222

2 )2(11//:)3m

BNrLdR

mRK

md

LRp av

i

SS

i

SKL

L

SKSL


Magnetischer Wandler „Typ 2“Maximum der „normierten“ Schall-Leistung pS

22202

222

0

2

1)11(

/

LSK

SL

SKSp

0 L

0

• Da Li ~ 0 i. A. sehr klein, ist L ~ 1/Li i. A. sehr groß: L 0

0)(~)()(

1

/22

0

22

22220

2

ddp

Afppp S

SS

A

SK

SKS

0))(2(

)(

))(2(100 20

220222

0

20

220

AA

A

A

Addf

ddpS

220

20 0)2( • Das Maximum von pS tritt bei = 0 auf!

220max,11

/)(

SK

SK

SK

SKSS pp

• Bei mech. Resonanz größte Schwingleistung Schall-Leistung maximal


Magnetischer Wandler „Typ 2“Maximierung der Schall-Leistung pS,opt

20max,1

)(

SK

SKSS pp

• Wie müssen die Parameter des Lautsprechers gewählt werden, dass die bei 0 auftretende Maximalleistung MAXIMIERT wird?

10210

12

110

10

)( 322max,max,

aaa

aa

aaa

dadp

ddp S

SK

S

RU

Ppp optS

SKSoptS /41

111)1( 2

,2max,,

• Ein optimierter Lautsprecher erfüllt die Bedingung:

• Die maximal mögliche abgestrahlte Schall-Leistung tritt beim optimierten Lautsprecher auf.Sie ist maximal ¼ der fiktiven „Normierungsleistung“ U2/R !

• Wegen

ist die Optimierungsbedingung gleichbedeutend mit der „Leistungsanpassung“ Ri + Ra = RS(0)

SSS

SK dRKdR

Kdm

mRK

20

20

201

Sav dRBNr 2)2(

RRRRRR SKSKS

SKS

1)()()/()(

)/()(0

22220

2

0

(Optimierungs-Bedingung)


Magnetischer Wandler „Typ 2“Frequenzgang der normierten Schall-Leistung pS

124lg20)41lg(20)lg(20 , optSpFrequenzgang für optimierten

Lautsprecher Ri + Ra = RS(0)

L

0

dB/lg20 Sp

20

60

40

80

10010 0 10 20

2~Sp

40 dB / Dekade

dB//lg10 0

-40 dB / Dekade

-80 dB / Dekade

2/1~ Sp

4/1~ Sp

-12 Verlauf mit Näherung L >> 0

220

20

11

SS

K

)1( SK Beispiel: 10 S


Magnetischer Wandler „Typ 2“Frequenzgang der Membran-Schwingamplitude (1)

KLS

K

i jjjK

KjLjRkdjmK

UZ

))/(1())/((/

)()(ˆˆ

220

020

20

22202

222

0

0

1)11(

/ˆˆ

LSK

SL

K KUZ

RkK

KK

UZ KK

0

20022

0

00 konst./

ˆˆ

:0)1

20

2022

00

/ˆˆ

:)2

mRK

KK

UZ KK

L

30

30222

0

/

/ˆˆ

:)3

i

LK

L

KL Lm

KK

KUZ

• Amplitudengang:



1/

1/

ˆˆ

0

0

0

0

0

SK

SK

SK

K KKUZ

001, 21

ˆˆ

0KU

Z

SK

2

22220

0

1

/ˆˆ

:

SK

KL

KUZ

Asymptote für << 0: Bei = 0:

• Beispiel: 1:,vonWahl,1:optimiert 0 SSK mk

0001, 221

ˆˆ

0KKU

Z S

SK

0000200

200

1/1ˆˆ

0KKKKU

Z S

S

SK

• Bei optimal ausgelegtem Lautsprecher:

• Amplitudengang: Vereinfacht für L

Asymptote für L > >> 0: Bei = 0:0

2000

ˆˆ

KKUZ SK



• Beispiel: f0 = 1 kHz

s/6383102 30

s/6383/1/1 0 S

L

0

dB//ˆ

ˆlg20

0KUZ

S

20

60

40

80

10010 0 10 20

dB//lg10 0

-40 dB / Dekade

-60 dB / Dekade

2/1~

3/1~

-6

Verlauf mit Näherung L >> 0

62lg20)2/1lg(20 Im Bereich quadratisch mit der Frequenz f zunehmender Schall-Leistung PS ist die Schwingungs-amplitude der Membran (Weg z(t)) direkt proportional zur Amplitude des Sprachsignals u(t)


Magnetischer Wandler „Typ 2“Vergleich zum Wandler Typ 1

• Keine Kraft auf magnetisierbaren Körper maßgebend, sondern LORENTZ-Kraft

• Daher kein instabiles Verhalten kein Schnapp-Mechanismus

• Die Bewegungsgleichungen sind (bei Li = konstant) LINEAR

• Keine Linearisierung und Kleinsignaltheorie erforderlich

• Zwei typische Anwendungen: - Drehspulinstrument

- Lautsprecher





Kapazitiver Wandler „Typ 3“Prinzipielle Geometrie

• Bei x = l ist die Feder entspannt. Isolierende Distanzscheibe d vermeidet Plattenkurzschluss.

• Das E-Feld ist homogen (keine Randeffekte)

• Material zwischen den Elektroden linear polarisierbar (flüssig, gasförmig: D = .E

• Die Parameter R, m, k, d sind konstant!

u

iR m

k d

xE

A

Elektrode 1(beweglich)

Elektrode 2 xeluC

d

Dieser Bereich mit unicht erreichbar


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Elektrostatische Kraft

• MAXWELL´scher Zug auf Elektrode 1:Wirkt anziehend in Richtung zur Elektrode 2

• Elektrisches Feld E: Hüllfläche O um Elektrode 1, wo die Ladung Q ist:

• El. Spannung uC zwischen den beiden Elektroden:

xexxx

xe eAEFeEeEp

222

222

,

xEAEdADAdDQAO

0Bereichim

xEdsEedseEsdEuxx

xx

xs

sC

000)()(

xC

e ex

AuF

2

2

2

• NEWTON´sche Bewegungsgleichung für Elektrode 1:

xC

xxxx ex

Auegmexdekxlexm

2

2

2)(

2

2

2xAugmklxkxdxm C


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Elektrische dynamische Gleichung

• KIRCHHOFF´sche Maschengleichung:

• Ladung Q auf Elektrode 1:

• Ladungsänderung dQ/dt ist der Ladestrom i:

CuiRu

• Elektrische dynamische Gleichung:

2

2

2)(

xARiugmklxkxdxm

xAxCuCxAuAEQ CC /)(/ dtuCddtdQi C /)(/

dtdu

xAux

xA

dtduxCu

dtdx

dxxdC

dttdutxCtu

dttxdCti C

CC

CC

C

2)()()())(()())(()(

dtdiR

dtdu

xAiRux

xAti )()( 2

dtdu

xAux

xAx

xRAi

dtdi

xRA

22 )1(

dtdu

RRu

xx

xx

RAxi

dtdi

1)(

Nichtlineares Diff.-gleichungssystemdritter Ordnung = drei Energiespeicher

Kinetisch, Federspeicher, elektrostatisch


• Statische Kennlinie:

• Nullstellen:

• Maximum bei:

Kapazitiver Wandler „Typ 3“Gleichgewichtslagen: d./dt = 0

2

2

2

2

22)(

xAUgmklxk

xARiugmklxkxdxm

konst./001)(

QdtdQiRA

xidtdu

RRu

xx

xx

RAxi

dtdi

• Bei u(t) = U konst. fließt KEIN Strom über die Kapazität C Ladung Q auf Elektroden ist konstant.

UxAUxAUxCQUUi CCC )/()/()(,:0

)(2

22

Xk

gmlXk

AU

)/(,0 02,1 kgmlXX

03 )3/2())/(()3/2( XkgmlX

)(274

2)( 2

3k

gmlk

AXU

)(27

8)( 322

3 kgml

AkXUU


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Gleichgewichtslagen: d./dt = 0

• Stabiles und instabiles Verhalten wie bei Wandler 1

• Einbau einer isolierenden Distanzscheibe (Dicke d) auf Elektrode 2, um Plattenkurz-schluss zu vermeiden

• Elektrostatischer Schalter („Schnappverhalten“) mit Spannungssteuerung

• Gerät ist lageabhängig(Einfluss von g!)

• Bei 6´ (Instabil): „Klebekraft = 0“: Abfallen der oberen Elektrode zur Position 6 (Stabil)

• „Schalthysterese“ U2(X)für Arbeitspunkte: 6 3 3´´ 6´ 6

X

24U

23U

26U

21U

22U

03X

kgmlX 00

2U2U

4´

real verfügbarer Bereich

3´

5´ 6´

3

62

1

3´´

stabilinstabil

dDistanz-scheibe


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Statische Stabilitätsuntersuchung

0))((),(

dxgmxFd

dxUxdFK Fe

• Arbeitspunkte 1, 2, 3, 6 : STABIL

0),()( 11 k

dxUxdFXK e

• Arbeitspunkte 2´, 6´: INSTABIL

0),()( 22 k

dxUxdFXK e

0),()( 33 k

dxUxdFXK e

0),()( 2´2 k

dxUxdFXK e

• Gleichgewichtsbedingung:

• (Quasi-)Statische Stabilitätsbedingung im jeweiligen Gleichgewichtspunkt:

gmxklkUxAgmFF Fe

222

1/),()(:0 XxtxXtxgmFFxmd Fe 0 xKxm

1

X1

d0

x

F

2222 /~)( xUUFe22

11 /~)( xUUFe

))/(( xkgmlkgmFF

)/(0 kgmlX

2´

2

3

2233 /~)( xUUFe

X2X3

6´

6

Distanz-scheibe


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Ladung Q, -Q auf den Elektroden 1, 2

)/()(2)/()/( AxkgmlkxxAUxAQ

)(2)(2)( 0 xXkAxkgmlkAxQ

• Mit sinkendem Plattenabstand x muss über die (bis X3 zunehmende) von außen angelegte Gleichspannung U mehr Ladung Q getrennt werden, um die erhöhte Kraft Fe gegen die sich spannende Feder k aufzubringen.

xX0

Q(x) )(2)0( gmlkAQ )0(Q

00 X3 = (2/3).X0

stabilINstabil

d

Distanz-scheibe

Platten-kurzschluss(muss vermieden werden)


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Linearisierte dynamische Gleichungen

• Linearisierte dynamische Gleichungen im Arbeitspunkt (i = 0, x = X) bei u(t) = U:

2

2

)(2)(

xXARiUgmklXkxkxdxm

RU

Xx

RAXi

dtid

dtdU

RRU

xXx

xXx

RAxXi

dtid

txXtxtiti

1)(

:)()(),(0)(

23

2

XiRUA

XxUAxkxdxm

iX

RUAX

UAkxxdxm

23

2

xRX

URA

Xidt

id

0)()( 2

2

xRX

URA

XkxRA

XdkxRA

Xmdxm


Kapazitiver Wandler „Typ 3“Dynamische Stabilität

0)()( 2

2

xRX

URA

XkxRA

XdkxRA

Xmdxm

00123 xbxbxbxb

0)(00

0

2303213033321

3

123

01

3 Dbbbbbbbbbbbbbbbb

bbD

• (Quasi-)Statische Stabilitätsbedingung: 0))((),(

dxgmxFd

dxUxdFK Fe

0)(2

23

22

kU

xAgmxklk

dxdU

xA

dxdK

03

2

0

K

RAX

XUAk

RAXb

Auch dynamisch stabil, wenn statisch stabil

• HURWITZ-Kriterium: Für b0 > 0, damit gedämpft abklingend!

011

RAXdkbD

0)(

)()()( 2

2

2

2

2

2

2

XRUm

RAXmd

RAXddk

XU

AXk

Rm

RAXmd

RAXdkD

0032123

012 bbbb

bbbb

D

, wenn quasistatisch stabil !


Zusammenfassung:- (Nichtlineare) Berechnung des magnetischen Arbeitspunkts- Stabile & instabile Arbeitspunkte Anwendung: Schalter- (Linearisiertes) Kleinsignalverhalten im stabilen Arbeitspunkt- Amplituden-Frequenzgang bei erzwungener Schwingung

z.B.: Wandler 1: Schwingungsmessung- Frequenzgangsdarstellung: Doppelt-logarithm. BODE-Diagramm- Je nach Frequenzbereich z. B. Wandler 1: Messung

- des Schwingungswegs,- der Schwinggeschwindigkeit,- der Schwingungsbeschleunigung


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EMS Vorlesungsteil Binder Kap 1 Einführung 20181019 · 1. Diese Größenänderungen und die zusätzlich auftretenden magnetischen Diese Größenänderungen und die zusätzlich auftretenden