En los años ochenta físicos, biólogos, astrónomos y ......En los años ochenta físicos, biólogos, astrónomos y economistas crearon un modo de comprender la complejidad en la

Enlosañosochentafísicos,biólogos,astrónomosyeconomistascrearonunmodo de comprender la complejidad en la naturaleza. La nueva ciencia,llamada caos, ofrece un método para ver orden donde antes sólo seobservaba azar e irregularidad, traspasando las disciplinas científicastradicionales y enlazando especies inconexas de desorden, desde laturbulencia del tiempo atmosférico a los complicados ritmos del corazónhumano,desdeeldiseñodeloscoposdenievealostorbellinosarenososdeldesierto.Apesardesurgirdeunaarduaactividadmatemática,elcaosesunsaberdelmundocotidiano:cómose forman lasnubes,porquéseelevaelhumoocuáleslarazóndequeelaguasearremolineenlosríos.Caos—yaunclásicodeladivulgacióncientífica—eselrelatodeunaideaqueespantóy embrujó a los científicos que se dedicaron a comprobarla. Acabada lalecturadeCaos,noseveelmundoconlosmismosojos.

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JamesGleick

CaosLacreacióndeunaciencia

ePubr1.0koothrapali05.09.13


Títulooriginal:Chaos.MakingaNewScienceJamesGleick,1987Traducción:JuanAntonioGutiérrezLarraya

Editordigital:koothrapaliePubbaser1.0


ACynthia


humanaeralamúsica,naturaleraelruidoparásito…

JOHNUPDIKE


PRÓLOGO

INTRIGÓdurante corto tiempo a la policía en la pequeña ciudad deLosÁlamos(NuevoMéxico),en1974,unhombrequevagabundeabaenlaoscuridad,nochetrasnoche, por las callesde las afueras, en lasque el ascuade supitilloparecía flotar.Caminaba horas incontables, sin rumbo preciso, bajo la luz de las estrellas queatraviesa el tenue aire de las mesetas. Los agentes de la autoridad no fueron losúnicosqueseextrañaron.Algunosfísicosdellaboratorionacionalsehabíanenteradodequesucolegamásrecientehacíaexperimentoscondíasdeveintiséishoras,locualimplicaba que su período de vigilia experimentaba sucesivos desfases con el suyo.AquellorayabaenloanómaloinclusoparalaSecciónTeórica.

EnlostresdeceniostranscurridosdesdequeJ.RobertOppenheimerhabíaelegidoaquelperegrinoparajecomosolardelproyectodelabombaatómica,elLosAlamosNationalLaboratory(LaboratorioNacionaldeLosÁlamos)sehabíaextendidoporladesolada altiplanicie y dado cabida a aceleradores de partículas, láseres de gas einstalacionesquímicas;amillaresdecientíficos,administradoresytécnicos,y,enfin,a una de las mayores concentraciones de superordenadores del mundo. Variosespecialistas,yaveteranos,recordabanlosedificiosdemaderaerigidosconpremuraen el borde rocoso en la década de 1940; mas para la mayor parte del personal,hombresymujeresjóvenes,vestidoscomoestudiantesuniversitarios,conpantalóndepana y camisa de obrero, los primeros hacedores del artefacto eran pocomás quefantasmas. El centro del pensamiento más puro se hallaba en la Sección Teórica,denominadaDepartamentoT,delamismamaneraqueladeordenadoreseraelC,yladearmas,elX.EnelTtrabajabanmásdeuncentenardefísicosymatemáticos,bien pagados y libres de la presión académica de enseñar y publicar. Era genteacostumbradaalostalentosbrillantesyexcéntricos,y,porlomismo,nadaprocliveaasombrarse.

No obstante, Mitchell Feigenbaum se salía de lo usual. Había firmado,exactamente, un solo artículo y, a todas luces, no se dedicaba a algo prometedor.Llevaba la desordenadamelena peinada hacia atrás, al estilo de las hermas de loscompositoresalemanes.Teníalosojosvivos,apasionados.Alhablar,loquesiemprehacía conprecipitación, tendía aprescindirde los artículosypronombresdemodovagamente centroeuropeo, aunque había nacido enBrooklyn. Cuando trabajaba, lohacíacasiconobsesión.Cuandonotrabajaba,caminabaypensaba,fuesededíaodenoche, y de preferencia en ésta. Veinticuatro horas, las diarias normales, se le


antojaban demasiado angostas. Sin embargo, su experimento sobre la cuasiperiodicidadpersonalllegóalcabocuandodecidióquenopodíasoportardurantemástiemposaltardelacamaenelmomentodelapuestadesol,loqueleacontecíacadapocosdías.

Alosveintinueveañosdeedadyasehabíaconvertidoensabioentrelossabios,en consultante ad hoc, al que los científicos recurrían en los casos en que seenfrentaban con un problema especialmente irreductible, siempre y cuandoconsiguieranencontrarle.Unatardellegóaltrabajoenelprecisosegundoenqueseiba el director del laboratorio, Harold Agnew. Agnew era poderoso, uno de losantiguos aprendices de Oppenheimer. Había volado sobre Hiroshima en un avióncargadodeinstrumentos,elqueacompañóalEnolaGay,encargadodefotografiarlaentregadelprimerproductodellaboratorio.

—Sé que es ustedmuy inteligente—espetó Agnew a Feigenbaum—. Si lo estanto,¿porquénoresuelvelafusióndeláser?

Incluso los amigos del joven se preguntaban si llegaría a producir obra propia.Estabadispuestoarealizarsúbitosmilagrosenbeneficiodeloquelospreocupaba;encambio,noleinteresaba,enapariencia,consagrarsusfacultadesaunainvestigaciónquerindierafrutos.Meditabasobrelaturbulenciaenloslíquidosygases.Meditabasobreeltiempo:¿Sedeslizabaconsuavidadoasaltosdiscretos,comounasecuenciadefotogramasenunapelículacósmica?Reflexionabasobrelacapacidaddelojoparaverformasycoloresconsistentesenununiversoque,enopinióndelosfísicos,eraunmutable caleidoscopio cuántico. Reflexionaba sobre las nubes, contemplándolasdesde las ventanillas de aviones (hasta que, en 1975, sus privilegios de viajerocientífico fueron anulados oficialmente por exceso de utilización), o desde lossenderosquedominabanellaboratorio.

En las poblaciones montañesas del Oeste, las nubes apenas se asemejan a lascalinas bajas, fuliginosas e indeterminadas, que llenan el aire del Este. En LosÁlamos,alsocairedeunagrancalderavolcánica,seesparcenporelfirmamentoenformacióncasual, sí, pero tambiénnocasual,y semuestranenpuntasuniformesuondean en diseños, con surcos regulares como los del cerebro. En las tardestormentosas,enqueelcielobrillaconresplandortrémuloyvibraconlaelectricidadinminente,lasnubessedestacanacuarentaycincokilómetrosdedistancia,filtrandola luz y reflejándola, hasta que toda la bóveda celeste adquiere el aspecto deespectáculo representado como reproche sutil a los físicos. Las nubes significabanunapartedelanaturalezaquelacorrienteprincipaldelafísicahabíaomitido,parteala vez borrosa y detallada, estructurada e impredecible. Feigenbaum rumiaba talescosas,calladaeimproductivamente.

Paraun físico,crear la fusiónde lásereracuestiónconformecon losprincipiosestablecidos; resolver el enigma del espín, la fuente de atracción y las cualidades


distintivas de las partículas subatómicas, era conforme con los principiosestablecidos; fechar el origen del cosmos era conforme con los principiosestablecidos.Lacomprensióndelasnubesatañíaalosmeteorologistas.Comootrosde sus colegas, Feigenbaum se servía de un vocabulario depreciador, de hombrehechoatodas,paradenotartalesasuntos.Esalgoevidentepodíadecir,comoseñaldeque un resultado sería entendido por cualquier físico experto, tras la reflexión y elcálculo adecuados. La expresión no evidente describía un trabajo merecedor derespeto y delPremioNobel. Para los problemasmás abstrusos, aquellos queno sesolventaban sin largo escrutinio de las entrañas universales, los físicos reservabanepítetos por el estilo de profundo. En 1974, pocos compañeros sabían queFeigenbaumluchabaabrazopartidoconunoenverdadprofundo:elcaos.

Lacienciaclásicaacabadondeelcaosempieza.Mientraslosfísicosindagaronlasleyesnaturales,elmundoadoleciódeunaignoranciaespecialenloqueconciernealos desórdenes de la atmósfera y del mar alborotado; a las fluctuaciones de laspoblacionessilvestresdeanimalesyvegetales;y,paraabreviar,alasoscilacionesdelcorazón y el cerebro. La porción irregular de la naturaleza, su parte discontinua yvariable, ha sido un rompecabezas a ojos de la ciencia o, peor aún, unamonstruosidad.

Noobstante, en ladécadade1970,unpuñadodecientíficos estadounidensesyeuropeos comenzó a fraguarse camino en el desorden.Eranmatemáticos, físicos ybiólogos,y todosbuscabannexosentre lasdiferentesclasesde irregularidades.Losfisiólogoshallaronpasmosoordenenelcaosquesobrevieneenelcorazónhumano,causa primera de inexplicables muertes repentinas. Los ecologistas exploraron elaumento y el decrecimiento de las poblaciones de mariposas lagartas. Loseconomistas exhumaron datos pretéritos sobre el precio de valores cotizados en labolsa, y emprendieron un género nuevo de análisis. Las percepciones así reunidascondujeronenderechuradelmundonatural:alasformasdelasnubes,alrecorridodelasexhalacioneseléctricas,almicroscópicoentretejidodelosvasossanguíneosyalaacumulacióngalácticadelasestrellas.

Cuando se puso a cavilar en Los Álamos sobre el caos,Mitchell Feigenbaumpertenecíaa laminoríadeaquelloscientíficosdesperdigados, losmásde loscualesnoseconocían.UnmatemáticodeBerkeley(California)habíacongregadoungrupitoentregado a un estudio peculiar de los «sistemas dinámicos». Un biólogo de lapoblación estaba, en la Universidad de Princeton, a punto de publicar una súplicaapasionadaparaquetodosloshombresdecienciacontemplasenelcomportamiento,asombrosamente complejo, que se disimulaba enmodelos sencillos. Un geómetra,empleado de la IBM, buscaba un vocablo para describir una familia de formas—dentadas,enmarañadas,astilladas,retorcidasyfracturadas—,queconsiderabanorma


organizadoraenlanaturaleza.Unfísicomatemáticofrancésacababademanifestarlacontrovertibleproposicióndequelaturbulenciaenlosfluidostalvezserelacionaraconunaabstracción,extravagantee infinitamentecomplicada,a laquedenominaba«atractorextraño».

Diezañosmástardedeloanterior,elcaossehaconvertidoenelnombreconcisodeunmovimiento,decrecimientoacelerado,quereformalatramadelestablishmentcientífico. Menudean las conferencias y publicaciones sobre él. En los EstadosUnidos,losdirectoresdeprogramasgubernamentales,encargadosdeadministrarlosfondos de investigación para los militares, la CIA y el Ministerio de Energía,inviertensumascadavezmáscuantiosasenelestudiodelcaos;ysehanorganizadoburocracias especiales para pilotar su financiamiento. En todos los centros deinvestigación y universidades más importantes, algunos teóricos se sienten másatraídos por el caos que por las especialidades quemotivaron su contrato. En LosÁlamos se fundó un Centro de Estudios No Lineales, cuya misión consiste encoordinarlosesfuerzossobreélylosproblemasanexos.Institucionessimilareshanbrotadoenelámbitouniversitariodetodoelpaís.

El caos ha forjado técnicas privativas en la utilización de los ordenadores ygéneros peculiares de representaciones gráficas, imágenes que captan estructurasfantásticasydelicadas,decomplejidadsubyacente.Lanuevacienciahainventadounléxico característico, una jerga distinguida de fractales y bifurcaciones,intermitencias yperiodicidades, difeomorfismos de toalla doblada y diagramas defideosblandos.Setratadelosnuevoselementosdelmovimiento,delamismamaneraque, en la física tradicional, los quarks y gluones son los nuevos elementos de lamateria.Algunosfísicos interpretanelcaoscomocienciadelprocesoantesquedelestado,deldevenirantesquedelser.

Dadalavozdeaviso,pareceahoraqueelcaossehallapordoquier.Unacolumnaascendente de humo de cigarrillo se deshace en disparatadas volutas.Una banderaflamea al viento.Un grifo goteante va de un chorrito uniforme a uno sin orden niconcierto.Elcaosasomaenelcomportamientodel tiempoatmosférico,eneldeunaeroplano durante el vuelo, en el de los automóviles que se arraciman en unaautopista,eneldelpetróleoquesedeslizaporlosoleoductossubterráneos.Seacualfuereelmedio,elcomportamientoobedecea lasmismasleyes,reciéndescubiertas.El hechode haberse dado cuenta de ello, comienza amodificar elmodo como losejecutivos toman decisiones sobre los seguros, la forma como los astrónomosconsideranelsistemasolarylamaneracomolosteóricosdelapolíticahablandelastensionesqueconcluyenenchoquesarmados.

Elcaos salva las fronterasde lasdisciplinascientíficas.Por ser lacienciade lanaturalezaglobaldelossistemas,hareunidoapensadoresdecamposmuyseparados.

—Hacequinceaños,elsaberseabocabaaunacrisisdeespecializacióncreciente


—comentóunoficialde lamarina, encargadode la financiacióncientífica, anteunauditorio de matemáticos, biólogos, físicos y médicos—. La superespecializacióninminentesehatrastocadodemodoespectaculargraciasalcaos.

Ésteplantea cuestionesquedesafían losusualesmétodos científicosde trabajo.Defiende con vigor el comportamiento universal de lo complicado. Sus primerosteóricos, aquellos que le imprimieron impulso, compartían ciertas sensibilidades yaficiones.Poseíanvistaagudaparareconocerunosmodelosdados,sobretodolosqueaparecensimultáneamenteenescalasdistintas.Lesagradabaelazarylacomplejidad,losbordesquebradosylossaltosrepentinos.Loscreyentesenelcaos—enocasionesse denominan así, y también conversos y evangelistas— especulan acerca deldeterminismo y el libre albedrío, la evolución y la índole de la inteligenciaconsciente. Sienten que interrumpen cierta tendencia de lo científico alreduccionismo, al análisis de los sistemas en términos de sus partes constitutivas:quarks,cromosomasoneuronas.Creenbuscarlatotalidad.

LosdefensoresmásencendidosdelanuevaciencialleganalextremodedeclararqueelsaberdelsigloXXserecordarásóloportrescosas:larelatividad,lamecánicacuántica y el caos. El último, sostienen, se ha transformado en la tercera granrevolución de la ciencia física en esta centuria. Como las dos anteriores, el caospropinaunbuentajoalosdogmasnewtonianos.

—LarelatividadeliminólailusióndelespacioyeltiempoabsolutosdeNewton—hamanifestadounfísico—;lateoríacuánticaarruinóelsueñodelmismosabiodeun proceso de medición controlable; y el caos barre la fantasía de Laplace de lapredecibilidaddeterminista.

Delastresrevoluciones,ladelcaosimportaalmundoquevemosytocamos,alosobjetos de proporción humana. La experiencia cotidiana y las imágenes reales decuanto nos rodea se han convertido en fin legítimo de la investigación. Hacíabastantesañosque sealimentaba lacreencia,no siempreexpresadaa lasclaras,dequelafísicateóricasehabíaapartadomuchodelaintuiciónqueelhombretienedelmundo. Nadie sabe si esta orientación terminará en herejía fructífera o en herejíamonda y lironda. Pero algunos que estaban persuadidos de que la física parecíameterseenuncallejónciego,ahoravenelcaoscomounaposiblesalida.

El estudiodel caos surgió, en el senode la física, deun remanso.La corrienteprincipal,durante lamayorpartedeestesiglo,haestadorepresentadapor lade laspartículas,queexplora losbloquesconstructivosde lamateria,segúnenergíascadavezmásaltas,escalascadavezmáspequeñasy tiemposcadavezmás fugaces.Deellahannacidoteoríassobrelasfuerzasbásicasdelanaturalezaysobreelorigendeluniverso.Noobstante,hubojóvenesespecialistasquesintierondescontentocrecienteantelaorientacióndelamásprestigiosadelasciencias.Empezaronacreerquelosprogresoseranlentos,fútil laespecificacióndenuevaspartículasyconfusalamasa


teórica.Alpresentarseelcaos,vieronenéluncambiodedireccióndetodalafísica.Las rutilantesabstraccionesde laspartículasdealtaenergíay lamecánicacuánticahabíanseimpuestomásdeloconveniente,ensuopinión.

ElcosmólogoStephenHawking,queocupalacátedraNewtonenlaUniversidadde Cambridge, habló en nombre de la generalidad de los físicos cuando hizo elinventariodesudisciplinaenunaconferenciade1980, titulada«¿Estáa lavistaelfinaldelafísicateórica?».

—Sabemos ya las leyes que gobiernan todo lo que experimentamos en la vidadiaria…Sepresentacomountributoalolejosquehemosidolacircunstanciadequese requieran ahora máquinas enormes y muchísimo dinero para efectuar unexperimentoderesultadoincierto.

Hawking admitió, sin embargo, que la comprensión de las leyes naturales, deacuerdo con la física subatómica, no satisfacía la cuestión de cómo aplicarlas alsistemamássimple.Unacosaeslapredecibilidadenunacámaradeniebla,enlaquedos partículas se embisten al término de su carrera por el acelerador, y otra,muydiferente,enelmássencillotubodefluidoenturbiado,oeneltiempoatmosféricodelaTierra,oenelcerebrodelhombre.

LafísicadeHawking,quecosechacongraneficaciaPremiosNobelydineralesparalosexperimentos,sehadescritoamenudocomounarevolución.Haparecidoenocasionestenerasualcanceelgrialdelaciencia,la«granteoríaunificada»o«teoríatotal».Losespecialistashabíanrastreadoporcompletoeldesarrollode laenergíaydelamateria,conexcepcióndelprimeratisbodelahistoriacósmica.Pero¿eraunarevoluciónauténticalafísicadelaspartículasposterioralasegundaguerramundial?¿Osólo laraedurade losrestosdecarnequepersistíanenelesqueletoensambladopor Einstein, Bohr y demás progenitores de la relatividad y lamecánica cuántica?Ciertamente,loslogrosdelafísica,desdelabombaatómicahastaeltransistor,habíanalteradoelpaisajedelsigloXX.Peseaello,laesferadelaconsagradaalaspartículasparecíahabersereducido.Dosgeneracioneshabíanvistolaluzdesdequeseprodujootraideateóricaaptaparamodificarlaconcepcióndelmundodelosprofanos.

La físicadescritaporHawkingpodía rematar sumisiónsincontestaralgunadelaspreguntasmásfundamentalessobrelanaturaleza.¿Cómoseinicialavida?¿Quéesunaturbulencia?Y,porencimadetodo,enununiversoenqueseñorealaentropía,osea,inexorablementecondenadoaundesordencadavezmayor,¿cómosesuscitaelorden? Al propio tiempo, los objetos de la experiencia cotidiana, tales como losfluidosy los sistemasmecánicos,habían llegadoahacerse tanprimarios,básicosycomunes, que los físicos tendían de forma casi indeliberada a creer que se losentendíaalaperfección.Ynoeraasí.

Mientraslarevolucióndelcaossiguesucurso,losmejoresespecialistasadviertenquevuelven,sinempachoalguno,alexamendefenómenosdedimensioneshumanas.


Estudian,nolasgalaxias,sinolasnubes.Efectúaninvestigacionesfecundastantoconlos ordenadores Cray como los Macintosh. Las revistas de categoría publicanartículossobrelararadinámicadeunapelotaalbotarenunamesa,yseleenjuntoaotros que tratandemateria cuántica.Los sistemasmás sencillos se conciben ahoracomocapacesdesuscitarmuyarduosproblemasdepredecibilidad.Sinembargo,elordensepresentademodoespontáneoen talessistemas:caosyordensimultáneos.Únicamente una ciencia nueva podía emprender el cruce de la amplia sima queseparabaelconocimientodeloqueunacosahace—unamoléculadeagua,unacéluladetejidocardíaco,unaneurona—deloquehacenmillonesdeellas.

Dos pizcas de espuma flotan contiguas en el fondo de una cascada. ¿Qué secolegirá de su proximidad anterior en lo alto?Nada.En lo que afecta a los físicosclásicos, bien pudo Dios haber barajado aquellas moléculas de agua debajo de sutapete verde. Por tradición, cuando observan efectos complejos, buscan causascomplejas.Sipercibenuna relación fortuita, impensada,entre loquepenetraenunsistemayloquesaledeél,suponenquehandeconvertirlocasualenteoríarealista,yparaelloagreganruidooerrorartificial.Elmodernoestudiodelcaoscomenzóeneldeceniode1960,coneldesagradablehallazgodequeecuacionesmatemáticasmuysimplespodíanmodelarsistemastanviolentoscomounacascada.Nimiasdiferenciasdeentradao input llegabana transformarse rápidamenteenenormesdiferenciasdesalida u output, fenómeno que se denominó «dependencia sensitiva de lascondiciones iniciales».Enel tiempoatmosférico,porejemplo,ellose traduceen loqueseconoce,sólomedioenbroma,porefectodelamariposa,asaber,lanocióndeque,siagitahoy,consualeteo,elairedePekín,unamariposapuedemodificar lossistemasclimáticosdeNuevaYorkelmesqueviene.

Cuando repasaron la genealogía de su ciencia, los exploradores del caosdescubrieron muchos rastros intelectuales en el pasado. Uno se destacaba conclaridad.Para los jóvenes físicosymatemáticosqueencabezaban la revolución,unpuntodepartidafueel«efectodelamariposa».


PREFACIO

NIsiquieraennuestrosdíashadejadodesonarun tantoaoxímoron laexpresiónteoríadelcaos.En ladécadade1980,caosy teoríaeranpalabrasquedifícilmentehabrían podido encontrarse en la misma sala, por no decir ya en la misma frase.Cuandomisamigossupieronqueestabatrabajandoenunlibrosobreelcaos—yqueteníaqueverconlaciencia—,memiraroninquisitivosyrecelosos.Unadeellosmeconfesó,más tarde, que estaba convencidadequedebía de estar escribiendo sobre«gas».Talcomoseafirmaenelsubtítulo,ladelcaoseraunaciencianueva,extrañaydenombreextravagante,emocionanteydifícildeaceptar.

¡Lo que cambian las cosas en un cuarto de siglo! Las ideas vinculadas a estateoría sehanvisto adoptadasy asumidasno sólopor la ciencia convencional, sinotambién por la cultura en general. Aun hoy, sin embargo, sigue habiendomuchosinvestigadoresalosquelespareceextrañaydenombreextravagante,emocionanteydifícildeaceptar.

Ennuestrosdías,todoshemosoídohablardelcaos,aunqueseasólodepasada.—Noentiendoesodelcaos—diceelpersonajequeinterpretaLauraDernenla

películade1993ParqueJurásico,basadaenlanoveladeMichaelCrichton,yeldeJeff Goldblum, que se presenta como adepto de dicha teoría, puede permitirse asíexplicarleentonocautivador:

—Setratade la imprevisibilidadensistemascomplejos.Seresumeenelefectomariposa.UnamariposabatelasalasenPekín,yenNuevaYorkllueveenlugardehacersol.

Aesasalturas,elefectomariposasehallabaaunpasodeerigirseenlugarcomúnde la cultura popular. En él, de hecho, se han inspirado al menos dos obrascinematográficas,unaentradadelBartlett’s familiarquotations,unvídeomusicalyunmillardepáginasycuadernosdebitácoraenInternet(esosí:lostopónimosnohandejadodecambiar,yasí, lamariposaaleteaenBrasil,elPerú,laChina,California,Tahití y Suramérica, y provoca lluvia, un huracán, un tornado o una tormenta enTexas, Florida,NuevaYork,Nebraska,Kansas oCentral Park).Tras los huracanessufridosen2006,larevistaPhysicsTodaypublicóunartículo,titulado«Battlingthebutterfly effect» («La lucha contra el efectomariposa»), que deja volar la fantasíapara culpardel desastre auna formaciónde tales insectos: «Depronto acudena lamentevisionesdecamposdeentrenamientoparalepidópterosterroristas».

Tanto los expertos modernos en administración empresarial como los autores


posmodernosdeteoríaliterariahanrecurridoaunaspectouotrodelcaos.Enlosdosámbitoshanresultadodegranutilidadexpresionescomoladel«desordenordenado»,popularsobretodoentítulosdetesis.Alospersonajesapasionantesdelaliteratura,como la Cleopatra de Shakespeare, se les considera «atractores extraños», y a lastendenciasde losdiagramasde losmercadosfinancieros, también.Porsuparte, lospintoresy losescultoreshanhallado inspiración tantoen las imágenescomoen loscontenidosdelageometríafractal.YodiríaquelaencarnaciónartísticamáspoderosadeestasideassedaenArcadia,obrateatraldeTomStoppard,estrenadaenLondresunosmesesantesqueParqueJurásico.Tambiénenellaapareceunmatemáticoquesedeleitaenelcaos:«Loestrafalario—asegura—estáresultandoserlamatemáticadelmundonatural».Eldramaturgovamásalládeldesordenordenadoparaabordarlatensión que se da entre el jardín inglés formal y una selva; entre lo clásico y loromántico.Stoppardencauzalasvocesquepuedenescucharseenestelibro,yséquecitarloaquíequivaleaenzarzarseenundiálogodebesugos;perolociertoesquenopuedo evitarlo. El autor capta a la perfección la euforia que provoca a muchosjóvenes el descubrimiento del caos. No ve sólo la puerta abierta, sino también elpaisajequeseextiendetrasella.

Esarealidadordinariaqueesnuestravida,lascosassobrelasqueescribelagentepoesía:lasnubes,losnarcisos,lascascadasoloqueocurreenunatazadecafécuandoleechamoscrema…;todasestascosasestáncargadasdemisterio.Sontanenigmáticasparanosotroscomoloeraelfirmamentoparalosgriegos.El futuro es desorden. Una puerta así sólo se ha entreabierto cinco o seis veces desde que echamos acaminarsobrelaspatastraseras.¿Quémejormomentoparaestarvivoqueéste,enelquecasitodoloquecreíamossaberharesultadoestarequivocado?

En realidad, la puerta está más que entreabierta ahora, que contamos con unanuevageneracióndecientíficosarmadaconunconjuntodeconviccionesmásrobustoacercadelfuncionamientodelanaturaleza.Sabenqueunsistemadinámicodeciertacomplejidadpuedeadoptarformas insólitas,y tambiénque,cuandotalcosaocurre,nodejadeserposiblemirarloalosojosyconocerdequépiecojea.Losencuentrosinterdisciplinaresdestinadosacompartirmetodologíasrelativasaconfiguracionesdeescalaopautasderedes,sibiensiguensinserlanorma,yanoson,cuandomenos,ningunaexcepción.

Engeneral, losprecursoresdel caos llegaron salidosdeun terreno agresteparahacerseunhuecoentrelomásgranadodelainvestigacióncientífica.Despuésdequelo nombraran profesor emérito delMITy lo colmaran de honores,EdwardLorenzaún acudía a trabajar a los noventa años a su despacho, situado en las alturas delEdificio 54, desde donde no era difícil verlo observar las condiciones del tiempo.MitchellFeigenbaumentróaformarpartedelclaustrodelaUniversidadRockefellerycreóallíunlaboratoriodefísicamatemática.ARobertMay,quepresidiólaRoyalSociety y fue asesor jefe científico delGobierno delReinoUnido, le otorgaron en


2001eltítulodebarónMaydeOxford.Porsuparte,BenoîtMandelbrotpublicó,en2006, un «currículo» en su página web de la Universidad de Yale en el que serelacionan24premios,menciones ymedallas; dos condecoraciones; 19«diplomas,títulos honoris causa y similares»; su afiliación a 12 sociedades científicas; supertenencia a 15 consejos y comités editoriales, y toda una variedad de objetos yentidades que llevan su nombre y entre los que se incluyen «un árbol del paseoNobel» de la ciudad húngara de Balatonfüred, un laboratorio en la China y unasteroide.

Losprincipiosquedescubrierony losconceptosque inventaron todoselloshanseguido evolucionando, y el primer ejemplode ello lo constituye la propia palabracaos.Yaamediadosdeladécadade1980recibíaunadefiniciónbastanteestrictaporpartedelosnumerososcientíficosconsagradosaesteparticular,quelaaplicabanaunsubconjunto particular de los fenómenos abarcados por expresionesmás generalescomosistemascomplejos.Ellectorsagaz,sinembargo,habrápodidoadvertirqueunservidorpreferíaunadefiniciónmás libreyabarcadora,alestilode ladeJoeFord:«Ladinámicaquehasacudido,alfin,elyugodelordenylopredecible»;yaunquesigoadheridoaella,lociertoesquetodoevolucionahacialaespecialización,yenunsentidoestricto,elcaoses,ennuestrotiempo,algomuypreciso.CuandoYaneerBar-Yamescribió,en2003,elmanualdecasimilpáginasquetitulóDynamicsofComplexSystems,abordóelcaospropiamentedichoenlaprimeraseccióndelcapítuloinicial(«Vale: tengo que reconocer que el capítulo primero tiene trescientas páginas»,asevera).A continuación llegaron el proceso estocástico, la simulación demodelosmatemáticos, los autómatas celulares, la teorías de computación e información, lasescalas, la renormalizacióny los fractales, las redes neuronales y de atractores, lossistemashomogéneosylosheterogéneos,etc.

Bar-Yam,hijodeunexpertoenfísicadepartículas,habíaestudiadofísicade lamateria condensada y, en 1997, tras abandonar la docencia en la Universidad deBoston, fundó el Instituto de Sistemas Complejos de Nueva Inglaterra. Habíaconocido la obra de Stephen Wolfram sobre autómatas celulares y la de RobertDevaney sobre el caos, y descubrió que los polímeros y superconductores leinteresaban menos que las redes neuronales y —según afirma sin ánimo deostentación— la naturaleza de la civilización humana. «Reflexionar sobre lacivilización —asevera— me llevó a pensar en la complejidad en cuanto entidad.¿Con qué es comparable la civilización? ¿Con el latón?; ¿con una rana? ¿Cómocontestaraesapregunta?Esoesloqueoriginalossistemascomplejos».

Larespuesta,porsiel lectornohadadoconella,esqueseasemejamásaunarana que al latón, por el simple hecho de que evoluciona, y los procesos deadaptaciónque comporta este hecho son esencialespara el diseñoy la creacióndealgo tan complejo que no puede descomponerse de forma eficaz en piezas


independientes.Lossistemassocioeconómicossoncomoecosistemas;dehecho,sonecosistemas. Mediante simulación por ordenador, Bar-Yam ha estado estudiando,entreotrascosas,patronesmundialesdeviolenciaétnica,para locualhatratadodeaislarlosdemezclasdepoblaciónydefronterasquesuscitanconflictos.Setrata,enlo fundamental, de una investigación de formación de pautas, y la simplecircunstanciadequepuedatrabajarenestecampoilustraelcambioprofundoquesehaproducidoenlasdosúltimasdécadasenlo tocanteacomprensión,porpartedelpúblico,deloqueconstituyeunproblemacientíficolegítimo.«Voy,consupermiso,a compendiar el proceso», propone a sus lectores antes de referir la siguienteparábola:

Tenemosunhuerto,ygentequetrabajaenélpararecogerlosfrutosqueofrecensusárboles.¿Vale?Cosechanloquelesdanylollevanalmercado,yacontinuacióntocahacerseconlafrutaqueseencuentraenlasramasmásaltas.Resultamásdifícildealcanzar,ytalveztieneuntamañomenoryunaspectonotan bueno. Fabricamos escaleras y subimos a lo alto para cogerla, y a continuación recompensamos aquieneshanhecholasescaleras.

Yotengolasensacióndehaberhecholosiguiente:Miroamialrededoryveoquehayunseto,ydetrás,otrohuertoconunmontóndeárbolescargadosdefrutashermosísimas.Yalláquevoy:doyconunadeellasyvuelvoalsetoparaenseñárselaatodos,ytodosmedicen:

—¡Esonoesfruta!Yanolareconocen.

A su entender, en nuestros días ha mejorado mucho la comunicación: lasdisciplinas de todo el abanico que ofrece la ciencia han aprendido a centrarse encomprenderlacomplejidad,lasescalas,lospatronesylaconductacolectivaligadaaestasúltimas.Todoesoesfruta.

En lomás embriagador de los primeros días, los investigadores describieron elcaos como la tercera revolucióndel siglo enel ámbitode las ciencias físicas,puesllegódetrásdelarelatividadylamecánicacuántica.Loquenopuedenegarsehoyesqueresultainseparabledeestasdos:físicasólohayuna.

Lasecuacionesfundamentalesdelarelatividadgeneralsondecarácternolineal,yeso,porloquesabemos,esunaseñaldequeelcaosacechaoculto.«Nosiempreseestábienversadoensusmétodos—advierteJannaLevin,astrofísicaycosmólogadelaUniversidad deColumbia—.La física teórica en particular está cimentada en laideadesimetríasfundamentales—señala—,ycreoqueéseeselmotivoporelquehasido tan difícil a los físicos teóricos aceptar semejante cambio de paradigma».Lassimetríasylosgruposdesimetríatiendenaproducirecuacionessolubles,yporesofuncionantanbien…cuandofuncionan.

Encuantoexpertaenrelatividad,Levinabordalaspreguntasmásabarcadorasquepuedan imaginarse, como la de: ¿Es infinito el universo, o sólo inmenso? Susinvestigaciones parecen apuntar a que hay que considerarlo inmenso o —si nosponemostécnicos—compactodesdeelpuntodevistatopológicoymulticonectado.


Alestudiarsuorigen,Levinnotuvomásremedioqueenfrentarsealcaosytopóconno poca resistencia. «Mis investigaciones provocaron reacciones violentísimas laprimeravezquelashicepúblicas»,recuerda.Engeneral,seconsiderabaquelateoríadel caos estaba bien para analizar «sistemas complicados y mugrosos, pero no elterrenovirtual,puroysencillodelafísicafundamental».

En realidad, estábamos trabajando sobre el caos en la purísima relatividad general, exenta porcompletodemugre.Setratabadeunaempresadiminuta,muydiminuta.Intentábamosentenderelcaosenunbigbanggenérico,enlacaídaenunagujeronegrooenlasórbitasqueseproducenasualrededor.Lagentenopiensaquesetratedeunmundofantasmagórico,perosesorprendedeverquetienesufunciónenalgotanpocomugroso(sinátomosnitrastosdeningúntipo)comounsistemapuramenterelativista.

Los astrónomos habían dado ya con la huella del caos en la violencia que segeneraenlasuperficiesolar,enlosvacíosquesedanenelcinturóndeasteroidesyenladistribucióndelasgalaxias,yLevinysuscolegaslahanhalladotambiénenloqueocurriótraselBigBangyenlosagujerosnegros.Aldecirdesuspredicciones,laluz que atrapan éstos puede entrar en órbitas caóticas inestables y verse reemitida,conloqueseríaposiblecontemplarelagujeronegro,siquierauninstante.Sí:elcaospuedeiluminarlo.«Aúnquedanporexplotarnúmerosracionales,conjuntosfractalesy toda clase de consecuencias hermosas —asegura—. De modo que todos estánaterrados y fascinados a partes iguales».Ella ha introducido el caos en el espacio-tiempocurvado.Einsteinestaríaorgulloso.

Por lo que amí respecta, lo cierto es que jamás he vuelto al ámbito del caos,aunqueesposiblequeel lectorencuentreenelpresente libro las semillasde todoscuantos he escrito tras él.Apenas sabía nadadeRichardFeynman, y sin embargo,aparece aquí como invitado (véase el capítulo 5). Isaac Newton tiene unprotagonismomuchomayor:da la impresióndeserelantihéroedelcaos,oeldiosquedebeserdestronado.Coneltiempo,leyendosuscuadernosysucorrespondencia,reparé,sinembargo,enloequivocadoqueestabasobreél.Tambiénmiúltimolibrotuvosuorigenenéste,ydeunmodomásconcreto,enloquemerevelóRobShawacerca del caos y la teoría de la información.Otra paradoja: el caos es creador deinformación.


1ELEFECTOMARIPOSA

Losfísicossecomplacenenpensarquebastadecir:Éstassonlascondiciones.Pero¿quésucedeacontinuación?

RICHARDP.FEYNMAN


EdwardLorenzyeljugetedeltiempoatmosférico

El sol batía desde un cielo que las nubes jamás habían encapotado. Los vientosrecorríanunatierralisacomoelcristal.Nuncallegabalanoche,ynuncaelinviernosucedía al otoño. Jamás llovía. El tiempo atmosférico simulado en el nuevoordenador de Edward Lorenz cambiaba lenta, pero seguramente, a lo largo de unmediodíaconstanteyseco,comosielmundosehubieraconvertidoenCamelotoenunaversiónsobremanerabenignadelsurdeCalifornia.

El tiemporealseofrecíaaLorenzpor laventana: labrumamatinalenvolvíaelsolar del Massachusetts Institute of Technology (Instituto de Tecnología deMassachusetts), y las nubes bajas, procedentes del Atlántico, rozaban los tejados.Brumaynubesquenuncasemostrabanenelmodelodesuordenador.Elaparato,unRoyalMcBee,espesuradecablesytubosdevacío,ocupabaundesmesuradoespacioen laoficinadeLorenz;emitíaunruidosingulare irritante,yseestropeaba,másomenos, cada semana.Noposeía ni la velocidadni lamemoria precisas para rendiruna simulación realistade la atmósferay losocéanos terrestres.Y, apesardeello,Lorenzcreó,en1960,un tiempode juguetequefascinóasuscolegas.Lamáquinaseñalabacadaminutoelpasodeundía, imprimiendounahileradenúmerosenunpapel. Quien sabía leer las cifras notaba que un viento occidental predominantefluctuaba del norte al sur, y de nuevo al norte. Ciclones digitalizados rotabandespacio en torno de un globo terráqueo idealizado. Corrió la voz de ello por eldepartamento.Losdemásmeteorologistas,encompañíadelosestudiantesgraduados,apostabansobreloqueharíaeltiempodeLorenz.Comoporartedeensalmo,jamásacontecíaunacosadosvecesdelmismomodo.

Lorenzsedivertíaconeltiempo,locualnoesrequisitoprevioenlainvestigaciónmeteorológica. Paladeaba su mutabilidad. Apreciaba las pautas que apuntaban ydesaparecíanenlaatmósfera:familiasdemareasyciclones,queobedecíansiempreareglasmatemáticas,aunquenuncaserepitiesen.Mientraslascontemplaba,creíaveralgosemejanteaunaestructuraenlasnubes.Habíatemidoqueestudiarlacienciadeltiempofuesecomofisgarenunmuñecoderesorteconlaayudadeundestornillador.Yentoncessepreguntabasi laciencia lograría introducirseensumagia.El tiempoatmosférico contenía algo inexpresable con promedios. La temperatura máximadiaria en Cambridge (Massachusetts) promedia en junio los 24 °C. El número dedías lluviosos en Riad (Arabia Saudí) es de diez anuales por término medio. Setrataba de estadísticas, y nada más. Lo esencial estribaba en cómo cambiaban laspautas atmosféricas en el transcurso de las horas, es decir, precisamente lo queLorenzhabíacapturadoensuRoyalMcBee.

Eraeldiosdeaqueluniversomaquinal,libredeelegirasucapricholasleyesde


la naturaleza. Luego de cierta cantidad de tanteos y equivocaciones, nada divinos,escogiódoce.Fueronreglasnuméricas:ecuacionesqueexpresabanlosnexosentrelatemperaturaylapresión,yentrelapresiónylavelocidaddelviento.Comprendióqueponía en práctica las normas deNewton, instrumentos apropiados para una deidadrelojera,capazdecrearunmundoydemantenerloenmarchadurante laeternidad.Noseríamenesterotraintervención,graciasaldeterminismodelosprincipiosfísicos.Losautoresdetalesmodelosdabanporsupuestoque,desdeelpresentealfuturo,lasreglasdelmovimientotendíanunpuentedecertezamatemática.Entiendelasleyesyentenderáselcosmos.Aquéllaera la filosofíaqueseescondíadetrásdeunmodelodeltiempoatmosféricoenunordenador.

Si imaginarona suCreador comounbenévolono intervencionista, contentodepermanecer entre bastidores, los filósofos del siglo XVIII tal vez concibieron aalguiencomoLorenz.Eraunmeteorólogodeespeciesingular.Defazcansadacomola de un agricultor yanqui, el notable brillo de sus pupilas le daba el aire de estarriendoauncuandonolohiciera.Encontadasocasioneshablabadesíydesutrabajo,puespreferíaescuchar.Amenudoseperdíaenunreinodecálculosodeensoñación,enque sus colegas no lograbanpenetrar. Sus amigosmás íntimospensabanque lamayorpartedesushorasdiscurríanenunespacioexteriorremoto.

Demuchachohabíasidoentusiastadeltiempo,hastaelextremodequenoperdíadevistaeltermómetrodemáximaymínima,conelfinderegistrarlosaltibajosdelatemperatura exterior a la casa paterna, enWestHartford (Connecticut). Pero, en elinterior de ella, dedicaba aúnmáshoras a la soluciónde problemasy pasatiemposmatemáticos,avecesconlacolaboracióndesupadre.Enciertaocasión,toparonconuno muy complicado, que, como comprobaron, no tenía solución. Aquello eraadmisible, leexplicóelautordesusdías:unopuedesiempre resolverunproblemademostrandoquenopuedesolventarse.EljuicioagradóaLorenz,comoleagradabalapurezadelasmatemáticas,ycuandosegraduóenelDartmouthCollege,en1938,pensóque suporvenir estaba en ellas.Noobstante,mediaron las circunstancias enformadelasegundaguerramundial,ylellevaronatrabajarcomodiagnosticadordeltiempoparaelcuerpoaéreodelejército.Finalizadalacontienda,decidióatenersealameteorología, investigar su teoría y abrirse camino en sus matemáticas. Cobrórenombreconlapublicacióndeunaobrasobrecuestionesortodoxas,talescomoladela circulación general de la atmósfera. Y, en el ínterin, siguió meditando sobre elpronósticodeltiempo.

Talesprevisioneseranmenosqueunacienciapara losmeteorologistas sesudos.Las enjuiciaban como una actividad adocenada desempeñada por técnicos, quienesrequeríanalgunaintuiciónparaprevereltiempodeldíasiguienteconlaobservaciónde los instrumentos y las nubes. Pura conjetura. En centros como el MIT(MassachusettsInstituteofTechnology),lameteorologíamirabaconbuenosojoslos


problemasqueteníansolución.Lorenzcomprendíalocriticabledelaprediccióndeltiempotanbiencomocualquierprójimo,noenbaldelahabíaejercidoenprodelospilotosmilitares,peroabrigabaporellamuchointerés:uninterésmatemático.

De la misma suerte que los meteorologistas desdeñaban los pronósticos, casitodos loscientíficosseriosdesconfiaban,poraquellascalendas,de losordenadores.Aparatossemejantesnoseconcebíancomoauxiliaresdelacienciateórica.Porello,lasimulaciónnuméricadeltiempoeramateriaespuria.Perolaocasiónnopodíasermás propicia para ello. La previsión meteorológica había esperado dos siglos unamáquinaquerepitieramillaresdecálculos,unayotravez,porfuerzabruta.Sólounordenador podía hacer efectiva la promesa newtoniana de que el mundo sedesplegaba con orientación determinista, sujeto a leyes como los planetas ypredeciblecomoloseclipsesymareas.Enhipótesis,unordenadorpermitiríaquelosmeteorologistasllevaranacaboloquelosastrónomoshabíanefectuadoconlápizyregladecálculo:averiguarconprocedimientosmatemáticoselfuturodesuuniversodesde sus condiciones iniciales y las leyes físicas que guían su evolución. Lasecuacionesqueescribíanelmovimientodelaireydelaguaerantanbienconocidascomo las referentes a los planetas. Los astrónomos no habían conquistado laperfecciónyjamáslaconseguirían,noenunsistemasolartrabajadoporlagravedadde nueve planetas, decenas de lunas ymiles de asteroides; pero los cálculos de lamoción planetaria eran tan precisos, que la gente se olvidaba de que se trataba depronósticos. Bastaba que un astrónomo dijese: «El cometa Halley reaparecerá poraquí dentro de setenta y seis años», para que pareciese un hecho, no una profecía.Previsionesnuméricasdeterministastrazabancursosexactosparanavesespacialesymisiles.Entonces,¿porquénoparalosvientosynubes?

El tiempo atmosférico, aunque colosalmente más complicado, se atenía a lasmismas leyes. Tal vez un ordenador, de potencia suficiente, fuese la inteligenciasuprema que había imaginadoLaplace, filósofo,matemático y astrónomodel sigloXVIII, en quien prendió la fiebre newtoniana de manera paradigmática. «Talinteligencia —escribió— abarcaría en la misma fórmula los movimientos de loscuerposmásgigantescosdelcosmosylosdelátomomásimperceptible;paraellanohabríanadaincierto,yasíelfuturocomoelpasadoestaríanantesusojos».EnestosdíasdelarelatividaddeEinsteinydelaincertidumbredeHeisenberg,eloptimismodeLaplaceresultacasigrotesco;masbuenapartedelacienciamodernapersigueelmismo sueño. Implícitamente, la misión de muchos científicos del siglo XX —biólogos,neurólogos,economistas—hasidodesmontarsusuniversosenlosátomosmásescuetosparaquesesometanasusreglas.Sehaaplicadoentodasesascienciasuna especie de determinismo newtoniano. Los padres de la actual informáticapensaron siempre enLaplace, y la historia de ésta y la historia del pronóstico hanandadoentremezcladasdesdequeJohnvonNeumanndiseñósusprimerasmáquinas


en el Institute forAdvancedStudy (InstitutodeEstudiosAvanzados), enPrinceton(NuevaJersey),enladécadade1950.VonNeumannreconocióquelosmodelosdeltiemposeríantareaidealparaunordenador.

Hubo siemprealgomuypequeño, tanpequeño,que los científicos seolvidaronporlocomúndesuexistencia,algolatenteenunrincóndesusfilosofíascomounacuenta impagada. Lasmedidas jamás serían perfectas. Los quemarchaban bajo labandera de Newton agitaban otra cuyo lema venía a ser más o menos: Dados unconocimientoaproximado de sus condiciones iniciales y la comprensión de la leynatural, puede calcularse el comportamiento aproximado de un sistema. Estapresunciónocupaelcorazónfilosóficodelaciencia.Comounteóricoteníalaaficióndedecirasusalumnos:

—Laideabásicadelacienciaoccidentalesquenodebemosconsiderarlacaídadeunahojadeunplanetadeotragalaxia,cuandoqueremosexplicarelmovimientodeunabolaenunamesadebillardelaTierra.Puedeprescindirsedelasinfluenciasmínimas. Hay una convergencia en el modo como ocurren las cosas, y pequeñasinfluenciasarbitrariasnosehinchanhastatenergrandesefectosarbitrarios.

Desde el punto de vista clásico, estaba bien justificada la creencia en laaproximacióny laconvergencia.Eraeficaz.Unerrornimioen fijar laposicióndelcometaHalley en 1910 causaría sólo unminúsculo error al predecir su llegada en1986, error que continuaría siendo insignificante en el futuro durante millones deaños.Losordenadoresrecurrenalamismacreenciaalguiaralasnavesespaciales:uninput aproximadamente exacto rinde un output aproximadamente exacto. Lospronosticadoreseconómicosrecurrenalmismoproceder,bienquesuéxitoseamenosaparente. También lo hicieron los precursores en la previsión global del tiempoatmosférico.

Lorenz lo había reducido a los términos más elementales con su primitivoordenador. Pero, línea tras línea, los vientos y las temperaturas que surgían en elpapelparecíanportarsedeformamuyterrestre.Respondíanasuintuiciónbienamadasobreeltiempo,supresentimientodequeserepetía,mostrandopautasfamiliaresenlasquelapresiónsubíaybajaba,ylacorrienteaéreasealterabahaciaelnorteyhaciaelsur.Descubrióquecuandounalíneaibadearribaabajosinunsalto,habríadespuésunsaltodoble,ysedijo:«Eslaclasedereglaqueresultaríaútilaunpronosticador».Sin embargo, las repeticiones jamás eran idénticas. Había una pauta, conperturbaciones.Undesordenordenado.

Lorenzinventóunrudimentariogénerodegráficasconelfindequelaspautasseapreciasen sindificultad.Hizoque lamáquina, en lugarde lashabituales líneasdedígitos, señalara cierto número de espacios en blanco seguidos de la letra a.Seleccionabaunavariable,quizáladireccióndelacorrienteaérea.Paulatinamentelasaes recorríanelpapel,moviéndoseadelantey atrás enuna trayectoria sinuosa,que


marcaba una larga serie de colinas y valles, representativos de cómo el vientooccidentaloscilabaalnorteyalsuratravésdelcontinente.Suregularidad,losciclosreconociblesqueaparecíanyreaparecían,aunquenuncadelamismamanera,estabandotados de un poder fascinante, hipnótico. El sistema se portaba como si revelasedespaciosussecretosalpronosticador.

Enundíainvernalde1961,Lorenztomóunatajoconeldeseodeexaminarunasucesióndemodomásprolijo.Paranocomenzardesdeelprincipio,empezóamediocaminodeella.Copió losnúmerosdirectamentede la impresiónanterior,pensandoconseguirquelamáquinafuncionasesegúnlascondicionesiniciales,ysedirigióalvestíbuloparalibrarsedelruidoytomarunatazadecafé.Regresóunahoradespuésyseencontróalgoinesperado,algoqueplantólasimientedeunacienciadesconocida.


Elordenadorseportamal

La nueva pasada tenía que haber sido la réplica exacta de la original. Élmismohabíacopiadolosnúmeros.Elprogramanosehabíamodificado.PeroLorenzvio,enlanuevaimpresión,quesutiempodivergíatanprontamentedelapautadelaantiguapasada,que,alcabodeunospocosmeses—teóricos—,cualquiersimilitudsehabíaborrado.Examinóunodelosconjuntosdenúmerosyluegoelotro.Elresultadoeracomo si hubiese sacado al azar de un sombrero dos tiempos atmosféricos. Se leocurrióalprontoquesehabíaestropeadootrotubodevacío.

De repente comprendió la verdad.No había desperfecto. El quid estaba en losnúmeros que había pulsado.Lamemoria de ordenador almacenaba seis decimales:0,506127. En la impresión, para ahorrar espacio, aparecían únicamente tres:0,506.Lorenz había entrado la expresión más corta, redondeada, convencido de que ladiferencia—unamilésimaparte—eradepocaimportancia.

Se trataba de una suposición razonable. Si un satélitemeteorológico registra latemperatura superficial del océano hasta unamilésima parte, quienes lo operan seconsideran afortunados.ElRoyalMcBee deLorenz ejecutaba el programa clásico.Utilizaba un sistema de ecuaciones estrictamente determinista. Dado un especialpuntodepartida,eltiemposedesarrollaríasiempredelmismomodo.Dadounpuntode partida levemente distinto, el tiempo se desarrollaría de modo ligeramentediferente.Unpequeñoerrornuméricoeracomounimperceptiblesoplodeaire,puessoploscomoaquéllosseextinguíanoseanulabanunosaotrosantesdequealteraranlas condiciones importantes, a gran escala, del tiempo. Pero, en el sistema deecuacionesdeLorenz,loserroresínfimosfueroncatastróficos.

Decidió comprobar con más atención cómo dos pasadas del tiempo, casiidénticas,semanifestabanalserparangonadassimultáneamente.Copióenunahojatransparente una de las onduladas líneas de output y la colocó sobre la otra, paracerciorarsedequémaneradivergían.Alprincipio,dosprominenciascasarondetallepor detalle. Luego, una línea empezó a alejarse un pelo. Cuando llegaron almontículosiguiente,lasdospasadassehabíandesfasadodeformaevidente.Altercerocuartoabultamiento,sehabíadesvanecidotodasemejanza.


EdwardL.Lorenz/AdolphE.Brotman

CÓMO DIVERGEN DOS PAUTAS DEL TIEMPO ATMOSFÉRICO. Edward Lorenz vio que su tiempo deordenador,aescasadistanciadelpuntodepartida,producíapautasquesealejabancadavezmásunadeotra,hastaquedesaparecíacualquiersemejanza.(DelasseparatasdeLorenzdelaño1961).

Erael temblequeodeunordenadorcalamitoso.Lorenzpudo imaginarquealgoandabamalensumáquinaoenelmodeloutilizado;probablementehubiera tenidoquesuponerlo.Noeracomosihubiesemezcladosodioycloro,yobtenidooro.Pero,pormotivos de intuiciónmatemática, que sus colegas entenderían sólomás tarde,sintió un choque: algo andaba filosóficamente desbarajustado. La trascendenciapráctica podía causar vértigo. Bien que sus ecuaciones fuesen torpe parodia deltiempo reinante en la Tierra, tenía fe en que captaban la esencia de la verdaderaatmósfera.Aquelprimerdíadecidióquelospronósticosampliosestabancondenadosalaextinción.

—Nohabíamostenidoéxitoenaquelloyahorasenosofrecíaunaexcusa—dijo—. Creo que una de las razones de la gente para pensar que serían posiblesprevisionestananticipadaseraquehayfenómenosfísicosqueunolograpronosticarconanticipación,comoloseclipses,en loscuales ladinámicadelSol, laLunay laTierra es bastante complicada, o como las mareas oceánicas. Jamás concebí elpronóstico de lasmareas como predicción, sino como expresión de un hecho real;pero,desdeluego,sehaceunvaticinioensucaso.Lasmareassontancomplicadascomo la atmósfera.Unas y otra tienen componentes periódicos: cualquiera predicequeelpróximoveranoserámáscálidoqueesteinvierno.Mas,encuantoaltiempo,adoptamoslaactituddequeyasabíamoseso.Encambio,enlasmareas,nosinteresala parte predecible, y la impredecible tiene poca monta, a menos que haya unatempestad.

»La persona corriente, al ver que predecimos las mareas muy bien con unosmeses de antelación, se pregunta por qué no logramos hacer lo mismo con laatmósfera, que sólo es un diferente sistema de fluido, con leyes de complicación


semejante.Perohecomprendidoquecualquiersistemafísicodecomportamientonoperiódicoseráimpredecible.


Lospronósticosmuyampliosdeltiempoestáncondenadosadesaparecer

Los años de 1950 y 1960 se caracterizaron por su optimismo irreal en lo que serefería al pronóstico del tiempo atmosférico. Los periódicos y revistas rezumabanesperanza sobre la meteorología, no sólo en lo concerniente a la predicción, sinotambién en lo que atañía a lamodificación y el dominio.Dos técnicasmadurabancodo a codo: el ordenador digital y el satélite artificial. Se preparaba un proyectoentrenacionesparaexplotarlos,elGlobalAtmosphereResearchProgram(ProgramaGlobalde InvestigaciónAtmosférica).Había la ideadeque la sociedadhumana selibraríade laagitacióndel tiempoy llegaríaasersuseñoraenlugardesuvíctima.Cubriríanloscamposcúpulasgeodésicas.Losaeroplanossembraríanlasnubes.Loscientíficosaprenderíanahacerlluviayadetenerla.

ElmotorintelectualdeestaconcepciónpopularfueVonNeumann,queconstruyósuprimerordenadorconlaintención,entreotras,dedominareltiempo.Serodeódemeteorologistasydiocharlasasombrosassobresusproyectosalacomunidaddelosfísicos.Una razónmatemática específica sostenía suoptimismo.Reconocióqueuncomplicadosistemadinámicopodíaalbergarpuntosdeinestabilidad,puntoscríticos,enqueundébilempujónllegaríaatenerampliasconsecuencias,como,porejemplo,elpropinadoaunapelotabalanceadaenlacimadeunmonte.VonNeumannimaginóque, con el ordenador en marcha, los científicos calcularían las actuaciones delmovimientofluidoenunospocosdías.Luego,uncomitécentraldemeteorologistasdespacharía aviones para esparcir capas de humo o sembrar nubes, con lo que setrastocaríaadecuadamenteeltalantedeltiempo.PeroVonNeumannnohabíatenidoencuentalaposibilidaddelcaos,lainestabilidadentodoslospuntos.

Hacia ladécadade1980,unavastaycostosaburocracia seaplicóaejecutar lamisióndeVonNeumanno,almenos,partedeella.LosprimerospronosticadoresdelosEstadosUnidosoperaronenunascéticoedificiocúbico,situadoenelMarylandsuburbano,cercadelcinturónderondadeWashington,latechumbredelcualposeíaunnidodeobservación,conradaryantenasderadio.Susuperordenadorseateníaaunmodelo, parecido al de Lorenz sólo en el espíritu esencial. Si el RoyalMcBeeefectuaba sesenta multiplicaciones por segundo, la velocidad de un Control DataCyber 205 se medía enmegatlops, millones de instrucciones en coma flotante enidéntica fracción temporal. Si Lorenz se había dado por satisfecho con doceecuaciones,elmodernomodeloglobalcalculabasistemasdequinientosmil.Además,comprendía la manera en que la humedad atraía y despedía el calor del aire alcondensarse y evaporarse. Los vientos digitales adquirían forma de serraníasdigitales.Serecibíanchorrosdedatoscadahorade todas lasnacionesde laTierra,


desde aviones, satélites artificiales y barcos. El National Meteorological Center(CentroMeteorológicoNacional)servíaprevisionesqueocupabanelsegundo lugarentrelasmejoresdelmundo.

LasmásexcelentesprocedíandeReading (Inglaterra),pequeñaciudaddocente,que dista de Londres una hora en coche. El European Center for Medium RangeWeatherForecasts (CentroEuropeodePrevisióndelTiempodeAlcanceMedio)sealbergabaenunamodestaconstrucción,rodeadadeárboles,delestilogenéricodelasNacionesUnidas—ladrilloyvidrio—,decorada con regalosdemuchospaíses.Sehabía alzado durante el apogeo del entusiasmo por elMercadoComún, cuando lamayorpartedelasnacionesdeloccidenteeuropeodecidieronaunarsutalentoysusrecursosenprodelapredicciónmeteorológica.Loseuropeosatribuíansuéxitoasupersonal joven y rotante —no pertenecía al cuerpo de funcionarios—, y a susuperordenadorCray,quesiempreestaba,porlovisto,unmodelopordelantedesuparienteamericano.

El pronóstico del tiempo fue el principio, pero no, ni en sueños, el final de laactividad de emplear ordenadores en la programación de sistemas complejos. Lasmismastécnicasservíanamuchasclasesdefísicosyestudiososdelasociedadparaformular previsiones sobre cualquier cosa, desde corrientes en pequeña escala defluidos, que interesaba a los diseñadores de hélices, hasta amplios movimientosfinancieros, que importaban a los economistas. De esta suerte, entre 1970 y bienentrado el deceniode1980, el diagnóstico económico conordenador tuvo estrechasemejanza con la predicción global del tiempo. Las simulaciones se agitaban enmedioderedesdeecuaciones,enmuchasocasionesarbitrarias,destinadasaofrecerlamedidadelascondicionesiniciales—presiónatmosféricaoafluenciadedinero—enunmodelodelastendenciasfuturas.Losprogramadoresacariciabanlailusióndeque los resultados no se distorsionaran mucho a consecuencia de los inevitablessupuestos simplificadores. Cuando un modelo hacía algo verdaderamenteextravagante —inundaba el Sahara o triplicaba el valor de los intereses—, losprogramadores revisaban las ecuaciones para que el output, la salida, estuviese deacuerdo con lo esperado. En la práctica, los modelos econométricos pecaban delamentableceguerasobreloquereservabaelporvenir;peromuchagente,delaquepodía exigirse otra conducta, obraba como si prestase fe a los resultados. Sepresentabanlasprevisionessobreelcrecimientoeconómicooeldesempleoconunaprecisióndedosotresdecimales.Losgobiernoseinstitucionesfinancieraspagabanpor ellas y actuaban a su tenor, bien por necesidad, bien por falta de algo mejor.Probablemente sabían que aquellas variables, de «optimismo de consumidor», noerantanfácilesdeponderarcomola«humedad»,yqueaúnnosehabíanideadolasecuacionesdiferencialesperfectassobrelosmovimientospolíticosylamoda.Pocoscomprendieron cuán frágil era el procedimiento de simular corrientes en los


ordenadores, incluso cuando los datos eran razonablemente fidedignos y las leyesfísicas,comoenelpronósticodeltiempo.

El modelo de ordenador había, ciertamente, logrado cambiar la cuestiónmeteorológicadearteenciencia.LasevaluacionesdelEuropeanCenter insinuabanqueelmundoahorrabamilesdemillonesdedólaresalañograciasaprediccionesqueeran, estadísticamente,mejorquenada.Pero, transcurridosdoso tresdías, losmásnotablespronósticosmundialesseconvertíanenespeculativos,y,pasadosseisosiete,endespreciables.

La razón de ello era el efecto de la mariposa. Por culpa de meteorosinsignificantes—yparaunpronosticadorgloballosonlastormentasyventiscas—,cualquier predicción se deteriora en seguida. Los errores e imprecisiones semultiplican, abultándose como un alud, a causa de una cadena demanifestacionesturbulentas, desde tempestades de polvo y chubascos a mareas del tamaño decontinentes,quesólovenlossatélitesartificiales.

Los modelos actuales del tiempo trabajan con una rejilla de puntos separadosunos noventa y seis kilómetros. A pesar de ello, hay que imaginar algunos datosiniciales, porque las estacionesmeteorológicas y los satélites no abarcan todo.Noobstante, supóngase que la Tierra se cubriese de sensores distanciados treintacentímetros,yquesealzaranconintervalosdetreintacentímetroshastalomásaltodelaatmósfera.Supóngasequecadasensorproporcionainformesperfectossobrelatemperatura, presión, humedad y restantes pormenores que reclama unmeteorologista. Exactamente al mediodía, un ordenador infinitamente poderosoabsorbe todos los datos y calcula lo que sucederá en cada punto a las 12:01, a las12:02,alas12:03,etc.

Con todo, el ordenador será aún incapaz de predecir si en Princeton (NuevaJersey) reinará el sol o lloverá en el día tal del mes siguiente. Al mediodía, losespacios entre los sensores ocultarán fluctuaciones que la máquina no conocerá,mínimasdesviacionesdelpromedio.Alas12:01talesfluctuacionesyahabráncreadopequeñoserrorestreintacentímetrosmásallá,erroresquesehabránmultiplicadoalaescala de trescientos centímetros, y así sucesivamente, hasta adquirir la dimensiónenteradelgloboterráqueo.

Todo ello va en contra de la intuición, aun en el caso de los meteorólogosexpertos.UnodelosmásviejosamigosdeLorenzeraRobertWhite,colegasuyoenmeteorologíaenelMIT,elcual,mástarde,fuenombradojefedelaNationalOceanicandAtmosphericAdministration(AdministraciónAtmosféricayOceánicaNacional).Lorenzlehablódelefectodelamariposayloqueopinabadeélporsuinfluenciaenelpronósticoalargoplazo.WhitelediolarespuestadeVonNeumann.

—Nadadepredicción—dijo—.Estoescontroldeltiempo.Pensabaquelaspequeñasmodificaciones,queconsiderabadentrodelacapacidad


humana,causaríanloscambiosdeseadosagranescala.Lorenz lo concebía de otra manera. Sí, podía modificarse el tiempo. Podía

lograrse que se portara de forma distinta de lo que habría hecho de no mediar laintervención. Pero, si se hacía tal cosa, se ignoraría siempre cuál hubiese sido sucomportamiento. Sería como barajar sin necesidad un mazo de naipes ya bienmezclado.Aquellocambiaríalasuertedeljugador,perojamássesabríasiparabienoparamal.


Ordendisfrazadodeazar

El descubrimiento de Lorenz fue un accidente, uno más en la hilera que seremontabaaArquímedesysubaño.Lorenznoerade losquechillabaneureka.Lacasualidad no le llevó sino al lugar en que siempre había estado. Se dispuso aexplorarlasconsecuenciasdesuhallazgo,yaaveriguarquésignificabaparaelmodocomolacienciaentendíalosflujosocorrientesentodogénerodefluidos.

Si sehubiera contentadoconel efectode lamariposa, imagende lopredeciblecediendoalpuroazar,nohubierahechosinodarpésimasnoticias.Peroviomásqueazar en sumodelo del tiempo: una fina estructura geométrica, ordendisfrazado decasualidad. Como era en el fondo matemático con el pergeño de meteorologista,comenzóallevarunavidadoble.Escribióartículosdemeteorologíaestricta.Tambiénescribió artículos estrictamente matemáticos, con una pequeña dosis, apenasengañadora, de tiempo comoprefacio.Por último, los prefacios desaparecierondeltodo.

Se dedicó cada vez más al aspecto matemático de los sistemas que jamásalcanzaban estabilidad, sistemas que casi se repetían, pero que nunca lo hacían.Elmundo entero sabía que el tiempo era uno de ellos: aperiódico. Abundan en lanaturaleza:poblacionesanimalesquesemultiplicanyreducencasiconregularidad,oepidemiasquevienenysevanconpuntualidadfascinante.Sieltiempollegaseenunaocasiónaunestado idénticoaotroanterior, enquecada rachaycadanube fuesenexactas a las precedentes, podría presumirse que se repetiría en adelantesempiternamenteyelproblemadelospronósticosseríatrivial.

Lorenzcomprendióquedebíadehaberuneslabónentrelaresistenciadeltiempoa ser como antes y la incapacidadde losmeteorólogos para predecirlo: unvínculoentre la aperiodicidad y la impredecibilidad. No era fácil acertar con ecuacionessencillas que produjeran la aperiodicidad que buscaba. Al pronto, su ordenadorpropendió a encastillarse en ciclos repetitivos.Mas, probando diferentes clases decomplicacionesmenores,Lorenztuvoalfinéxitocuandointrodujounaecuación,quevariólacantidaddecalentamientodeesteaoeste,correspondientealavariaciónrealentrelamaneracomoelsolcalientalacostaorientaldeNorteamérica,porejemplo,yelmodocomocaldeaelocéanoAtlántico.Larepeticiónseesfumó.

Elefectodelamariposanoeraaccidental,sinonecesario.Razonóque,supuestoque las perturbaciones leves continuaran siéndolo, en lugar de crecer como unacascada progresiva a través del sistema, cuando el tiempo se aproximaraarbitrariamente a un estado por el que ya hubiese pasado, seguiría estandoarbitrariamentepróximoalaspautasqueobedecía.Desdeelpuntodevistapráctico,los ciclos serían predecibles y acabarían por no interesar. Para producir el rico


repertoriodelverdaderotiempoterrestre,subellamultiplicidad,¿sepodíaansiaralgomejorqueelefectodelamariposa?

Ésteadquiriónombretécnico:dependenciasensitivadelascondicionesiniciales.Esta clase de dependencia no era una noción desconocida. Existía en el folkloreanglosajón:

Porunclavo,seperdiólaherradura;Porunaherradura,seperdióelcaballo;Poruncaballo,seperdióeljinete;Porunjinete,seperdiólabatalla;Porunabatalla,seperdióelreino.

Tantoenlacienciacomoenlavida,eshartoconocidoqueunacadenadesucesospuedeencaramarseaunpuntocríticoqueabultaráloscambiosinsignificantes.Peroelcaosdenotabaquetalespuntossehallabanpordoquier.Sedifundían.Ensistemascomoeltiempoatmosférico,ladependenciasensitivadelascondicionesinicialeseraconsecuenciainevitabledecómolasescalaspequeñasseentrelazabanconlagrande.

Los colegas de Lorenz estaban atónitos de que hubiese remedado tanto laaperiodicidad, como la dependencia sensitiva de las condiciones iniciales, en suversión de juguete del tiempo: doce ecuaciones, calculadas reiteradamente, condespiadadaeficienciamecánica.¿Cómosurgíatalplétora,talimpredecibilidad—talcaos—,deunsimplesistemadeterminista?


Unmundonolineal

Lorenzabandonóeltiempoybuscóformasinclusomássencillasdeproduciraquelcomportamiento complejo. Encontró una en un sistema de tres ecuaciones únicas.Erannolineales,osea,expresabanrelacionesnorigurosamenteproporcionales.Laslinealespuedenindicarseconunalínearectaenungráfico,ynocuestaimaginarsusrelaciones: cuantas más, mejor. Son resolubles, lo cual las hace idóneas para loslibros de texto. Los sistemas lineales poseen una importante virtud modular: sepuedendesmontarymontardenuevo.Laspiezassiemprecasan.

Los no lineales generalmente son insolubles e indesmontables. En los sistemasmecánicosydefluidos, los términosno linealesseexponenaserpasadosporalto,cuando lagente se interesaporuna interpretación sencillayaceptable.La fricción,porejemplo.Sinella,unasimpleecuaciónlinealexpresalacantidaddeenergíaqueuno requiere para acelerar el puck en un partido de hockey sobre hielo. Con lafricción,larelaciónsecomplica,porquelacantidaddecambiosdeenergíadependedelavelocidadaqueelpucksemuevaya.Lano linealidad implicaqueelactodejugar a dicho deporte cambia las reglas de algún modo. No se puede asignarimportanciaconstantealafricción,puesdependedelavelocidad.Yésta,asuvez,delafricción.Porlotanto,lamutabilidadintrínsecahacequelanolinealidadseadifícilde calcular; pero crea, asimismo, abundantes clases de comportamiento que jamásocurren en los sistemas lineales. En la dinámica de fluidos, todo estriba en unaecuación canónica, la de Navier-Stokes, de milagrosa brevedad, referente a lavelocidad, presión, densidad y viscosidad; pero es no lineal. Por ello, resulta amenudo imposible precisar la índole de esas relaciones. El análisis delcomportamiento de una ecuación no lineal como la de Navier-Stokes es comorecorrerunlaberintocuyasparedescambiendeposiciónamedidaqueseavanza.ElpropioVonNeumanndijo:

—El carácter de la ecuación…se altera simultáneamente en todos los aspectosimportantes:semodificantantoelordencomoelgrado.Deaquíquehayaqueesperargravesdificultadesmatemáticas.

Elmundoseríadistinto—ylaciencianonecesitaríaelcaos—silaecuacióndeNavier-Stokesnoalbergaseeldemoniodelanolinealidad.

UnaespeciedemovimientodefluidoinspirólastresecuacionesdeLorenz:eldeungasolíquidocaliente,loquesellamaconvección.Agotaenlaatmósferaelairecalentadoporlatierracaldeadaporelsol;ytemblorosasondasconectivasaparecencomo fantasmas sobre el alquitrán y los radiadores calientes. Lorenz charlóplacenteramentedelaqueexisteenunatazadecaféreciénhecho.Ladescribiócomounodelosinnumerablesprocesoshidrodinámicosdenuestrouniverso,cuyaconducta


futura desearíamos predecir. ¿Cómo calcularemos la velocidad a que se enfriará elcafé?Siestátibio,sucalorsedisiparásinmovimientohidrodinámico.Permaneceenestado estable. Pero, si tiene elevada temperatura, el trastorno conectivo llevará elcafécalientedelfondodelatazaalasuperficiemásfría.Ellosecompruebacuandoseviertenenélunasgotitasdeleche.Losremolinoslleganasercomplicados.Peroesevidenteelfindelsistemaalargoplazo.Elmovimientosedetieneinevitablemente,porqueelcalorsedisipayporquelafricciónretienealfluidoenmovimiento.Lorenzaseguróconsequedadenunareunióndecientíficos:

—Quizá nos cueste pronosticar la temperatura del café con un minuto deanticipación;encambio,noacontecerálomismosilohacemosunahoraantes.

Lasecuacionesdelmovimientodeunatazadecaféqueseenfríadebenreflejareldestinodelsistema.Handeserdisipativas.Latemperaturatienequeorientarsehacialadelahabitación,ylavelocidadhaciacero.

Lorenz despojó hasta los huesos una serie de ecuaciones sobre la convección,prescindiendo de todo lo que pudiera ser ajeno a ellas y dándoles una simplicidadirreal.Noquedócasinadadelmodelooriginal,perorespetólanolinealidad.Aojosde un físico, las ecuaciones parecían fáciles. Bastaba una mirada —muchoscientíficos lo hicieron en años posteriores— para atreverse a afirmar: Yo puedoresolvereso.

—Sí, hay la tendencia a pensar de ese modo al verlas —dijo Lorenztranquilamente—.Contienenalgunostérminosnolineales,perounocreequesedaráconlaformadesalvarlos.Sinembargo,nosepuede.

AdolphE.Brotman

UNFLUIDOGIRATORIO.Sisecalientapordebajo,ellíquidoogastiendeaorganizarseengiroscilíndricos(izquierda).Elfluidocalienteseelevaporunlado,pierdetemperaturaydesciendeporelladoopuesto.Esel proceso de la convección. Si se intensifica el calor (derecha), aparece la inestabilidad, y los girosexhiben un temblor que recorre adelante y atrás la longitud de los cilindros. A temperaturas aún máselevadas,lacorrientesedesordenaysehaceturbulenta.

Laconvecciónmenoscomplicada,laquepresentanloslibrosdetexto,sucedeenuna celdillade fluido, cajade fondo lisoquepuede calentarseyuna tapa, también


lisa,quepuedeenfriarse.Dirigelacorrienteladiferenciatérmicaentrelabasecálidaylaporciónsuperiorfría.Siladesigualdadespequeña,elsistemapermanecequieto.Elcalorvahaciaarribaporconducción,comoa lo largodeunabarrametálica,sinvencer la propensión natural del fluido a la inmovilidad. Además, el sistema esestable. Todo movimiento casual que pueda recibir cuando, por ejemplo, unestudiante graduado golpea el aparato con los nudillos, tenderá a extinguirse, y elsistemavolveráasuestadoestable.

Sobrevieneotrocomportamientoencuantosecalienta.Elfluido,caldeadoenlaparteinferior,seexpandey,porello,sevuelvemenosdenso.Lapérdidadedensidadlohacemásligero,lobastanteparavencerlafricción,ysubehacialasuperficie.Enunacajabiendiseñada,sedesarrollauncilindro,unrollo,enelqueelfluidocalienteasciende por un lado, y el frío desciende por el otro. Visto lateralmente, elmovimientotrazauncírculocontinuo.Lanaturaleza,lejosdeloslaboratorios,creaamenudo sus propias celdillas de convección. Por ejemplo, cuando el sol caldea lasuperficie de un desierto, el aire rodante llega a formar espectrales pautas en lasnubesoenlaarena.

Alavivarelcalor,elcomportamientosecomplica.Losrollosempiezanatemblar.LasesquilmadasecuacionesdeLorenzfuerondemasiadosimplesparamodelaraquelgénerodecomplejidad.Abstraíansólounrasgodelaconveccióntalcomoseproduceen el mundo: el movimiento circular del fluido caliente, que ascendía y volteabacomounanoria enunparquede atracciones.Las ecuaciones tuvieron en cuenta lavelocidaddeaquelmovimientoy la transferenciadel calor,procesos físicosque seinfluían recíprocamente. Cualquier pizca cálida que se remontaba por el círculoencontraba fluido más frío y, por consiguiente, comenzaba a perder calor. Si elcírculo semovía con suficiente rapidez, la pizcanoperdía todo el excesode calorcuando llegaba a lo alto, y principiaba a deslizarse por el otro lado del rollo, demaneraque empezabaa resistir el impulsodel restodel fluidocálidoque ascendíadetrásdeella.

Aunquenocumpliesepuntoporpuntoelmodelodelaconvección,elsistemadeLorenztuvoanalogíasprecisasconlosreales.Porejemplo,susecuacionesdescribenconexactitudunaantiguadínamoeléctrica,antepasadade losactualesgeneradores,en los que la corriente circula a través de un disco, el cual gira en un campomagnético. Cumpliéndose determinadas condiciones, la dínamo puede invertir sumovimiento.Yalgunoscientíficos, asíque lasecuacionesdeLorenz seconocieronmejor, insinuaron que el comportamiento de la dínamo quizá proporcionase unaexplicación de otros fenómenos peculiares de inversión, como el del campomagnético terrestre. Se sabe que la «geodínamo» ha dadomuchos saltos mortalesdurante la historia de la Tierra, a intervalos que se antojan excéntricos einexplicables. Los teorizadores, ante tal irregularidad, buscan típicamente


justificaciones fuera del sistema y proponen causas tales como el impacto de losmeteoritos.Perotalvezlageodínamoposeacaospropio.

Otrosistemadescritoconprecisiónpor lasecuacionesdeLorenzes laruedadeaguaonoria,analogíamecánicadelcírculorotantedelaconvección.Elaguacae,enla porción superior, continuamente en cangilones situados en el borde de la rueda.Cadaunosevacíaporunagujerito.Silacorrientedeaguaeslenta,losmáselevadosnuncasellenanconlaprontitudnecesariaparavencerlafricción;cuandoesrápida,elpesoempiezaavoltearlarueda.Larotacióntienelaposibilidaddehacersecontinua.O,sielcaudalestanvelozquelospesadoscangilonesdanlavueltahastaelfondoyseremontanporelladocontrario,laruedallegaamenearsedespacio,hastadetenerseeinvertirsurotación,yendoprimeroenunsentidoydespuésenotro.

AdolphE.Brotman

LARUEDADEAGUAONORIADELORENZ. El primero y célebre sistema caótico que descubrióLorenzcorresponde a un ingenio mecánico: la rueda de agua. Un aparato tan sencillo es capaz de uncomportamientosorprendentementecomplicado.

Larotacióndelanoriacompartepropiedadesdeloscilindrosgiratoriosdeunfluidoenelprocesodelaconvección.Equivaleaunasecciónverticaldeellos.Losdossistemasrecibenimpulsocontinuo—eldelaguaoelcalor—,yambosdisipanenergía.Elfluidopierdecalor;larueda,aguadeloscangilones.Yenunoyotroelcomportamientoalargoplazodependedelaintensidaddelaenergía.

El agua cae a velocidad uniforme. Si su afluencia es lenta, el cangilón superior nunca se llena losuficienteparavencerlafricción,ylanorianogira.(Delamismamanera,enelfluido,sielcalorestandébilquenovencelaviscosidad,nolopondráenmovimiento).

Silacorrienteesrápida,elpesodelcangilónhacequelaruedasemueva(izquierda).Elaparatopuedeadquirirunarotaciónquepersisteavelocidaduniforme(centro).

Silacorrienteesmásrápidatodavía(derecha),larotaciónpuedeconvertirseencaóticaacausadeloselementosnolinealesintroducidosenelsistema.Amedidaquepasanpordebajodelaguaenmovimiento,loscangilonessellenanmásomenossegúnsealavelocidaddelosgiros.Silaruedalosdescribedeprisa,loscangilonesdisponendepocotiempoparallenarse.(Igualmente,elfluidoquesehallaenuncilindrodeconvección,quevolteecongranrapidez,tieneescasotiempoparaabsorbercalor).Asimismo,silanoriagira con velocidad, los cangilones quizá emprendan la ascensión por el lado opuesto antes de habersevaciado.Deelloresultaráqueloscangilonespesadosdelladoquesubetalvezfrenenelgiroyloinviertan.

Lorenzdescubrióque,dehecho,duranteperíodoslargos,elgiropuedeinvertirseenmuchasocasiones,sinjamásadoptarvelocidadestableysinjamásrepetirseconformeaunapautapredecible.


Su intuición de un sistema mecánico tan poco complicado —su intuiciónprecaótica—informaalfísicodeque,alargoplazo,silacorrientedeaguanovaría,secrearáunestadoestable.Lanoriagiraráconregularidaduoscilará regularmenteadelanteyatrás,primeroenunadirecciónydespuésenotraaintervalosconstantes.Lorenzdiscrepódeelloenrazóndesushallazgos.

Tresecuaciones,conotrastantasvariables,describíantodoelmovimientodeestesistema. El ordenador de Lorenz imprimió los valores cambiantes de las tresvariables:0-10-0;4-12-0;9-20-0;16-36-2;30-66-7;54-115-24;93-192-74.Lostresnúmerosascendíanydescendíancomointervalosmarcadosporunrelojimaginario,cinco,cien,milespaciostemporales.

Con el objeto de obtener una imagen con aquellos datos, Lorenz empleó cadaseriedetresnúmeroscomocoordenadasqueespecificasenlasituacióndeunpuntoenunespaciotridimensional.Así,lasecuencianuméricaprodujounadepuntosquetrazaba una trayectoria continua, registro del comportamiento del sistema. Latrayectoriaavanzaríahastaunlugarenelquesedetendría,indicandoqueelsistemahabíallegadoalestadoestable,enelqueyanosemudaríanlasvariablesdevelocidady temperatura; o formaría una curva que giraría a la redonda demostrando que elsistemahabíaadoptadounapautadeconductaqueserepetiríademaneraperiódica.

PeroenelcasodeLorenznosucedióde talsuerte.Envezdeello,eldiagramamanifestóunacomplejidadinfinita.Permanecíasiempredentrodeciertoslímites,sinjamás salir del papel, pero sin nunca repetirse. Reveló una configuración extraña,característica,algoporelestilodeunaespiraldobleentresdimensiones,comounamariposa con su par de alas. La figura denotó desorden puro, puesto que ningúnpunto,opautadeellos,serepetíajamás.Apesardetodo,señalóunanuevaclasedeorden.


JamesP.Crutchfield/AdolphE.Brotman

LOSATRACTORESDELORENZ.Estaimagenmágica,similaralacaradeunalechuzaoalasalasdeunamariposa,seconvirtióenemblemade losprimerosexploradoresdelcaos.Reveló lasutilestructuraqueescondíaunaseriedesordenadadedatos.Segúnlatradición,losvalorescambiantesdecualquiervariablepodíanmostrarseenlaserietemporal(arriba).Paraevidenciarlasrelacionesmutablesentretresvariablesse requiere una técnica diferente. En un instante dado, las tres señalan la situación de un punto en unespaciotridimensional;asíqueelsistemacambia,elmovimientodelpuntorepresentalasvariablesquesemodificancontinuamente.

Comoelsistemanuncaserepitedemodoexacto,latrayectoriajamássecortaasímisma.Enlugardeello,describecurvasunayotravez,parasiempre.Elmovimientodelatractoresabstracto,perocomunicala esencia del movimiento del sistema real. Por ejemplo, el traslado de un ala del atractor a otracorrespondeaunainversióndeladireccióndelgiroenlanoriaoenelfluidoqueexperimentaconvección.


«Nonosdimoscuentadelaverdad»

Los físicos adoptaban, añosmás tarde, expresión pensativa cuando se referían alartículo de Lorenz sobre aquellas ecuaciones —«esa espléndida maravilla»—.Entoncessehablabadeélcomosifueseunescritoantiguoqueconservarasecretosdelaeternidad.Enlosmilesdepublicacionesqueconstituyeronlabibliografíatécnicadel caos, pocas se citaron más a menudo que «Deterministic Nonperiodic Flow»(Flujo determinista no periódico). Durante mucho tiempo, nada inspiró másilustraciones,hastapelículas,quelacurvamisteriosarepresentadaalfinal,laespiraldoble que se conoció con el nombre de atractor de Lorenz. Por vez primera, lasimágenes de éste habían probado lo que significaba decir «Es complicado». Lariquezaenteradelcaossehallabaenellas.

Enaquellaépoca,sinembargo,contadoslocomprendieron.LorenzlodescribióaWillemMalkus,profesordematemáticasaplicadasenelMIT,científicocaballeresco,dotadodegrancapacidadparaapreciarcomomerecíanlasobrasdesuscolegas.

—Ed, sabemos,y los sabemosmuybien,que laconvecciónde fluidosnohaceeso—dijoMalkus,riéndose.

Lacomplicaciónseguramenteseamortiguaría,opinó,yelsistemasetrocaríaenmovimientouniforme,regular.

—Como es evidente, no nos dimos cuenta de la verdad —dijo Malkus unageneraciónmástarde,añosdespuésdequehubieseconstruidounaruedadeaguadeLorenzensulaboratoriodelsótanoparamostrarlaalosincrédulos—.Ednopensabaen absoluto según nuestros términos físicos. Lo hacía conforme a un modelogeneralizado, o resumido, cuyo comportamiento sentía intuitivamente que erapeculiar de aspectos delmundo externo. Pero no podía decírnoslo. Sólo el tiempohizoquesospecháramosquedebiódetenertalopinión.

Escasoslegoscomprendieronconcuántarigidezsehaencasilladolacomunidadcientífica en especialidades, trocándose en un acorazado con tabiques herméticoscontralasfiltraciones.Losbiólogosteníansobradascosasqueleerparamantenersealcorriente de la bibliografía matemática; o, más aún, los biólogos molecularesdisponían de demasiada literatura para estar al corriente de lo que escribían losbiólogos de la población.Los físicos poseíanmejoresmodos de invertir su tiempoque el de hojear las revistas meteorológicas. Algunos matemáticos se habríanentusiasmado, si se hubieran enterado del descubrimiento de Lorenz; un deceniodespués,físicos,astrónomosybiólogosbuscabanalgocomoaquelloyenocasioneslodescubríandenuevoporsímismos.PeroLorenzerameteorologista,yanadieseleocurrió enterarse del caos en la página 130 del volumen 20 de Journal of theAtmosphericSciences.


ELATRACTORDELORENZ.


2REVOLUCIÓN

Pordescontado,elesfuerzocabalesponersefueradelalcanceordinariodeloquesellamaestadística.

STEPHENSPENDER


Unarevoluciónenelmododever

El historiadorde la cienciaThomasS.Kuhndescribe el experimentoperturbadorque un par de psicólogos efectuó en el decenio de 1940. Dejaban que los sujetosecharanunafugazojeadaanaipesdelabarajafrancesa,unocadavez,yselespedíaque lonombrasen.Había trampa, como se supondrá.Algunas cartas eran erróneas.Porejemplo,unseisdepicasrojasounareinadediamantesnegros.

Aritmoveloz,lossujetossalíanbiendelaprueba.Nadahabíamássencillo.Noparecíanadvertirlaexistenciadeanomalías.Cuandoselesmostrabaunseisdepicasrojas,anunciaban,ora«seisdecorazones»,ora«seisdepicas».Comenzaronavacilarcuando se les enseñarona intervalosmás espaciados.Notaronquehabía algo raro,perono estaban segurosdequé era.Algunodecíaquehabíanotado algo anómalo,como,verbigracia,uncorazónnegroribeteadodeencarnado.

Porfin,alhacersemáslentalaexhibición,lamayorpartedelossujetosalcanzóadistinguir la realidad. Vio los naipes falsos y efectuó la enmiendamental para noincurrirenequivocaciones.Peronotodos.Algunosexperimentaronunasensacióndedesconciertoquelesacarreóauténticodolor.

—No conseguí entender ese palo, sea cual fuere—dijo uno—.Ni siquierameparecióunnaipe.Ignoroahoradequécolores,ysisetratadeunapicaouncorazón.Inclusonoestoysegurodecómoesunapica.¡Cielosanto!

Loscientíficosprofesionales,alosquesepresentanvistazosbreveseinciertosdelasactividadesdelanaturaleza,estánasimismoindefensosyexpuestosalaangustiay la confusión cuando se enfrentan con algo incongruente. Y la incongruencia, sicambian su manera de ver, posibilita los progresos más trascendentales. Tal es elargumentodeKuhn,ylahistoriadelcaossugierelomismo.

Las ideas deKuhn sobre cómo trabajan los científicos y cómo sobrevienen lasrevoluciones despertaron tanta hostilidad como admiración cuando las publicó porprimeravez,en1962.Desdeentoncesnosehaapagado lacontroversia.Clavóunaagujaagudaenlaopinióntradicionaldequelacienciaprogresaporacumulacióndeconocimientos,dequecadahallazgosesumaalprecedente,ydequenuevasteoríasemergencuandolorequierennuevoshechosexperimentales.Deshinchóelparecerdequelacienciaeselprocesoordenadodeformularpreguntasyacertarconrespuestas.Hizo resaltar el contraste entre el volumen de lo que hacen los científicos,esforzándoseen losproblemas, legítimosybienentendidos,desusdisciplinas,yeltrabajo excepcional, heterodoxo, que provoca las revoluciones. Logró, de maneranadacasual,queloscientíficosdejarandeparecerracionalistasperfectos.

De acuerdo con la tesis de Kuhn, la ciencia corriente consiste sobre todo enoperaciones de limpieza. Los experimentalistas ejecutan versiones modificadas de


experimentosefectuadosmuchasvecesanteriormente.Losteóricosañadenunladrilloaquí, retocan una cornisa allí, en una pared de teoría. Apenas podría ser de otraforma.Sitodoshubierandecomenzardesdeelprincipio,poniendoenteladejuiciolos supuestos fundamentales, se verían en un apuro para llegar al nivel derefinamiento técnico imprescindible que lleva a las obras útiles. En la época deBenjamin Franklin, el puñado de sabios que intentaba comprender la electricidadpodíaseleccionarsusprincipiosbásicos.Másaún,teníaquehacerlo.Uninvestigadorquizá pensara que la atracción era lo principal del efecto eléctrico, y que laelectricidaderaalgoasícomoun«efluvio»quebrotabadelamateria.Otrotalvezlaconcibieracomounfluido,transportadopormaterialconductor.Aquelloscientíficoshablabancasicon igual facilidad tantoal legocomoentreellosmismos,porquenohabíanllegadoalasituaciónenqueseaceptaraunléxicoespecializado,compartidoporellos,parareferirsea losfenómenosqueestudiaban.Encontraste,unestudiosode ladinámicade los fluidos, en el sigloXX,noavanzaenel conocimientode sudisciplinasinoadoptauncuerpodeterminologíaytécnicamatemática.Acambiodeello,renuncia,inconscientemente,acasitodalalibertadnecesariaparacuestionarlosfundamentosdesusaber.

OcupaelcentrodelaconcepcióndeKuhnlavisióndelaciencianormalcomolatareaderesolverproblemas,laclasedeproblemasqueelestudianteconocedesdeelinstante en que abre los libros de texto. Son los que definen un estilo aceptado deconsecuciones que guía a la generalidad de los científicos durante los estudiosuniversitarios,latesisdoctoralylaredaccióndeartículosparalasrevistasadecuadas;elestiloqueforjalascarrerasacadémicas.«Encondicionesnormales,elinvestigadorcientífico es no un innovador, sino un desentrañador de rompecabezas, y losrompecabezas enque se concentra sonprecisamente aquellosquecreedefiniblesyresolublesdentrodelámbitodelatradicióncientíficaexistente»,escribióKuhn.

Hay,después,revoluciones.Unaciencianacedeotraquehallegadoauncallejónsin salida. Con frecuencia la revolución tiene carácter interdisciplinario: susdescubrimientos centrales se deben a menudo a personas que salvan las fronterasestablecidasdesusespecialidades.Losproblemasqueobsesionanaesosteóricosnosereconocencomolíneaslegítimasdeinvestigación.Serechazansuspropuestasdetesis doctorales o se niega la publicación de sus artículos. Los propios teóricos noestán segurosde reconocer una respuesta si la encontraran.Aceptan riesgos en suscarreras.Unospocoslibrepensadores,quetrabajanasolas,incapacesdeexplicarcuálessumeta,temerososderevelarasuscolegasloquehacen…EslaimagenrománticaqueanidaenelmeollodelesquemadeKuhn,yesohaacontecidoenlarealidad,enrepetidasocasiones,durantelaexploracióndelcaos.

Cuantos científicos se volvieron a él en fecha temprana pueden hablar dedesaprobación o de hostilidad declarada. Los estudiantes graduados fueron


apercibidos de que pondrían sus carreras en un aprieto, si componían tesisemparentadas con una disciplina no sancionada, en la que sus mentores no eranexpertos.Unfísicoatómico,alenterarsedelanuevamatemática,podíaentretenerseconellamotuproprio,atraídoporsubelleza,porsubellezaydificultad,perojamásseríalosuficientementeosadoparahablardeelloasuscompañeros.Losprofesoresmásentradosenañoscreíanquesufríanalgosemejanteaunacrisispropiadelaedadmadura, cuando se aventuraban en un linaje de investigación que muchos de suscolegas interpretarían mal o que les agraviaría. Pero, al propio tiempo,experimentabanlaexcitaciónintelectualquesederivade loverdaderamentenuevo.Inclusolasentíanlosprofanos,losquearmonizabanconlatendencia.ParaFreemanDyson, del Institute for Advanced Study, las noticias del caos fueron «como unadescargaeléctrica»eneldeceniode1970.Otrosimaginaronque,porprimeravezensuvidaprofesional,presenciabanuncambioparadigmático,unatransformaciónenelmododepensar.

Quienes reconocieron el caos desde el principio se debatieron en la agonía decómo dar forma publicable a sus pensamientos y hallazgos. La tarea era ambigua:demasiadoabstractaparalosfísicosydemasiadoexperimentalparalosmatemáticos,porejemplo.Algunosabarcaronlorevolucionariodelanacientecienciagraciasaladificultad de comunicar las nuevas ideas y a la feroz resistencia que oponían lashuestestradicionalistas.Lasnocionessomerasseasimilan;lasqueobliganalagentea reorganizar su imagen delmundo provocan hostilidad. Joseph Ford, delGeorgiaInstituteofTechnology(InstitutoTecnológicodeGeorgia),citóaTolstoi:«Séquelamayor parte de los hombres, incluidos los que se encuentran a sus anchas anteproblemas enrevesadísimos, en raras ocasiones aceptan la verdad más sencilla yevidente,silesobligaaconfesarlafalsedaddelasconclusionesquesehandeleitadoenexponerasuscolegas,quehanenseñadoaotrosyquehanurdido,hilotrashilo,enlatexturadesusvidas».

Muchoscientíficostradicionalesseenteraronsólodemodovagodelacienciaquedespuntaba. Varios, que cultivaban la dinámica de los fluidos, se resintieronactivamente.Demomento,laspretensionesdequienesdefendíanelcaostuvieronuntimbre disparatado y acientífico. Y se apoyaba en matemáticas que parecíaninconvencionalesyarduas.

A medida que los especialistas del caos proliferaron, algunos departamentospusieron mala cara a aquellos eruditos descarriados; otros pidieron más. Ciertasrevistas establecieron reglas no escritas contra el sometimiento al caos; otras, encambio, vieron el día exclusivamente para tratar de él. Los caoticistas o caólogos(palabrascomoéstassonaron)comparecieronconfrecuenciadesproporcionadaenlaslistasanualesdeplazaspensionadasypremiosimportantes.Unprocesodedifusiónacadémica había situado, mediados los años de 1980, a especialistas del caos en


cargosinfluyentesdentrodelasadministracionesuniversitarias.Sefundaroncentroseinstitutosparaespecializarseen«dinámicasnolineales»y«sistemascomplejos».

Elcaossehatransformadonosóloenteoría,sinoenmétodo;nosóloenuncanondecreencias,sinoenunaformadehacerciencia.Hacreadounatécnicaprivativaenel empleo de ordenadores, la cual no exige la enorme velocidad de los Crays yCybers: prefiere terminales modestos, que permiten la interacción flexible. Se haconvertidoenunacienciaexperimentalparainvestigadoresymatemáticos,enlaqueelordenadorsustituyeloslaboratoriosrepletosdetubosdeensayoymicroscopios.

—Paraelmatemáticoesunmasoquismotrabajarsinimágenes—dijounperitoenelcaos—.¿Cómoverálarelaciónentreelmovimientoyesto?¿Cómodesarrollarálaintuición?

Algunos llevan a cabo su trabajo negando explícitamente que se trata de unarevolución; otros aprovechan el vocabulariodeKuhndemudanzasparadigmáticas,conelfindedescribirlasalteracionesquepresencian.

Losprimerosartículossobreelcaosrecordaron,encuantoalestilo, laépocadeBenjaminFranklin,puestoqueregresaronalosprincipiosoriginales.Kuhncomentaque las ciencias establecidas dan por supuesto unamasa de conocimientos, la cualsirve en la investigación como punto de partida para todos. Para no aburrir a suscolegas, los científicos comienzany terminan rutinariamente suspublicaciones concosasesotéricas.Contrastaronconellolosartículossobreelcaos,aparecidosenlosúltimosañosde ladécadade1970,porsu tonoevangélico,desdelospreámbulosalas peroraciones. Proclamaban credos desconocidos y solían concluir con frasesestimulantes.Estos resultados semanifiestan comoalgo emocionante y sumamenteprovocativo. Principia a dibujarse una imagen teórica de la transición a laturbulencia.Elcorazóndelcaosesaccesibleparalasmatemáticas.Elcaospresagiaelporvenirdemodo indiscutible.Mas,paraaceptarel futuro,hayquerenunciarabuenapartedelpasado.

Nuevas esperanzas, estilos nuevos y,más importante aún, nueva forma de ver.Lasrevolucionesnosedeclaranpaulatinamente.Unainterpretacióndelanaturalezareemplaza a otra.Se entienden los antiguosproblemasbajouna luzhasta entoncesignoradayotrossereconocenporprimeravez.Sucedealgoqueescomositodaunaindustria cambiase todos sus útiles para fabricar productos novedosos. Como lodescribe Kuhn: «Es algo así como si la comunidad profesional hubiese sidotransportada de repente a otro planeta, en el que los objetos familiares secontemplasen de forma diferente y a ellos se sumasen, al propio tiempo, otrosdesconocidos».


Relojesdepéndulo,«bolasespaciales»ycolumpios

Laratadelaboratoriodelanuevacienciafueelpéndulo:emblemadelamecánicaclásica,ejemplodeactividadcontenidayepítomederegularidadcronométrica.Unapesaenformadelentejasehallaalcabodeunapéndola.¿Hayalgomásdistantedelaextravaganciadelaturbulencia?

ComoArquímedessubañoyNewtonsumanzana,Galileotuvo,segúnlaleyendatandecantadacomosospechosa,unalámparadeiglesia,queoscilabadeacáparaallá,unayotravez,sintregua,enviandounmonótonomensajeasuconsciencia.ChristianHuygenshizodelapredecibilidaddelpénduloelmediodemarcareltiempoypusoalacivilizaciónoccidentalenuncaminosinretorno.Foucault,enelPanthéondeParís,utilizó uno de veinte pisos de alto para demostrar la rotación terrestre. Todos losrelojesdeparedydemuñeca(hastalaeradelcuarzovibrador)sefiarondepéndulosdetamañoyconfiguraciónvariables.Enelespacio,exentodefricción,elmovimientoperiódicose tieneen lasórbitasde loscuerposcelestes;peroen laTierracualquieroscilación regular se debe a algún pariente del péndulo. Los circuitos electrónicosbásicossedescribenconecuacionesqueson,puntualmente,lasmismasqueimportanalalentejapendular.Lasoscilacioneselectrónicassonmillonesdevecesmásraudas,peroidénticasaéldesdeelpuntodevistafísico.Noobstante,haciaelsigloXX,lamecánicaclásicasereservabaparalasaulasylosproyectosrutinariosdeingeniería.Lospéndulosdecoraronlosmuseosdecienciayanimaronlastiendasderegalosdelosaeropuertosenformade«bolasespaciales»rotantesdeplástico.Ningúnfísicosemolestabaeninvestigarlos.

Sinembargo,ocultabansorpresas.Setransformaronenpiedradetoque,comolohabíansidoparalarevolucióndeGalileo.Aristóteles,alobservarelpéndulo,veíaunpesoqueintentabadirigirsealatierrayquesebalanceabaporelloconviolenciadeun ladoaotro,porque lo impedíasucuerda.Aoídosactualesesosuenaa tontería.Para quien ha sido educado en los conceptos clásicos de movimiento, inercia ygravedad,resultadifícilapreciarlaconsecuentevisióndelmundoqueacompañabaalmodoaristotélicodeentenderelpéndulo.Elmovimientofísico,segúnAristóteles,noeraniunacantidadniunafuerza,sinouncambio,comoloeselcrecimientodeunindividuo.Unpesoquecaebuscanadamásquesuestadomásnatural,elestadoquealcanzará si se le abandona a sí mismo. Dentro de su contexto, la opinión deAristóteles no era disparatada. En cambio, Galileo, al contemplar un péndulo,percibía una regularidad que podía medirse. Explicarla requería una manerarevolucionaria de entender los objetos en movimiento. Galileo aventajaba a losantiguos griegos, pero no en la posesión de datosmejores.Antes bien, su idea demedir con precisión la continuidad de los desplazamientos del péndulo fue la de


reunir a algunos amigos que contaran las oscilaciones durante un período deveinticuatro horas: un experimento de trabajo intensivo. Galileo percibió laregularidadporquehabía formuladoyauna teoríaque lapredecía.Entendió loqueAristóteles no consiguió comprender: que un objetomóvil tiende amantenerse enmovimiento,queuncambiodevelocidadodirecciónsóloresultaexplicableporunafuerzaexterna,comolafricción.

Y,tanpoderosaerasuteoría,quevioregularidaddondenolahabía.Aseveróqueunpéndulode longituddadanosólomantieneconprecisiónel tiempo,sinoque loconserva invariable sin importar cuán amplio o estrecho sea el ángulo de suoscilación.Unoquesebalanceecongranamplituddeberecorrermásespacio,perolosalvaconvelocidadmayor.Osea, superíodoes independientedesuamplitud.«Sidosamigosseponenacontar lasoscilaciones,unolasampliasyotro lasestrechas,comprobaránquecontaránnosólodecenas,sinocentenares,sindiscordarenunaoenunaporcióndeuna».Galileoexpresósuafirmaciónentérminosexperimentales,maslateoríalahizoconvincente, tanto,queseenseñatodavíacomoelevangelioenloscursos de física de las escuelas superiores. Pero es errónea. La regularidad queGalileo observó no pasa de ser una aproximación. El cambio de ángulo delmovimiento del peso crea en las ecuaciones una leve no linealidad. Cuando laamplitud es baja, apenas existe error. Pero lo hay, y puede medirse hasta en unexperimentotanrudimentariocomoelqueGalileodescribe.

Podíandespreciarseconfacilidadlasnolinealidadespequeñas.Quienesefectúanexperimentosaprendenenseguidaquevivenenunmundoimperfecto.Labúsquedadelaregularidadenlosexperimentoshasidofundamentalenlossiglostranscurridosdesde Galileo a Newton. Se buscan cantidades que permanecen inalterables,idénticas,uotrasquesoncero.Peroesosignificapasarporaltominúsculosdefectos,pizcasirregulares,queestropeanlalisuradelpanorama.Siencuentradossustanciasque un día tienen la proporción constante de 2,001, y de 2,003 al siguiente, y de1,998altercero,serámajaderoelquímicoquenobusqueunateoríajustificativadelaproporciónperfectadedosauno.

Para lograr resultados impecables, también Galileo hubo de despreciar nolinealidadesdelasqueteníaconocimiento:lafricciónylaresistenciadelaire.Éstaesunanotoriamolestiaexperimental,unacomplicaciónquehayquepodarparallegaralaesenciadelanuevacienciadelamecánica.¿Caeunaplumatanrápidamentecomounapiedra?La experiencia conobjetos quedesciendenda respuesta negativa.QueGalileodejaracaerbalasdecañóndesdelacimadelatorredePisaesunapatraña,lahistoriadecómosecambianlasintuicionesconlainvencióndeunmundocientíficoideal,enelquelasregularidadessonseparablesdeldesordendelaexperiencia.

Aislar losefectosde lagravedadenunamasadeterminadade losefectosde laresistenciadelairefuebrillanteproezaintelectual.PermitióqueGalileoseacercaraa


la esenciade la inerciay el impulso.Apesarde ello, lospéndulosdelmundo realhacenexactamenteloquepredijoelpintorescoparadigmadeAristóteles.Sedetienen.

Alsentarloscimientosdelnuevocambioparadigmático,losfísicoscomenzaronaenfrentarse con lo que muchos interpretaron como una deficiente educación ensistemas sencillos tales como el péndulo. En los alrededores de este siglo, sereconocieronlosprocesosdisipativoscomolafricciónylosestudiantesaprendieronaincluirlos en sus ecuaciones. Aprendieron también que los sistemas no linealesacostumbraban ser insolubles, y no se equivocaban, y que propendían a serexcepciones,loquenoeraverdad.Lamecánicaclásicadescribíaelcomportamientodeunasumadeobjetosmóviles,péndulosydoblespéndulos,muellesespirales,varasdobladas, y cuerdas tañidas y encorvadas. Las matemáticas se aplicaban a lossistemas fluidos y eléctricos.Casi nadie, en la era clásica, sospechaba que el caospodíaagazaparseensistemasdinámicossiseconcedíalodebidoalanolinealidad.

Un físico no entendía a fondo la turbulencia o la complejidad a menos quecomprendieralospéndulos,yloscomprendierademodoinauditoenlaprimeramitaddelsigloXX.Asíqueelcaosempezóaunirelestudiodelosdiferentessistemas,ladinámicapendularseamplióhastaabarcartécnicasrefinadas,queibandesdeellásera las conexiones superconductoras de Josephson. Había reacciones químicas decomportamientopendular,elcualtambiénsemostrabaenellatidodelcorazón.Lasinesperadasposibilidadesseextendían,escribióunfísico,a«lamedicinafisiológicaypsiquiátrica,laprevisióneconómica,y,acaso,laevolucióndelasociedad».

Pensemos en un columpio. Se acelera al bajar y pierde velocidad al subir, ymientras tanto cede algo de rapidez por culpa de la fricción. Recibe un empujónregular,supongamosquedealgúnmecanismoderelojería.Laintuiciónnosdiceque,dondequiera que empiece el balanceo, el movimiento acabará por convertirse enpautaregular—adelanteyatrás—,enlaqueelcolumpiollegarásiemprealamismaaltura. Es posible. Pero, por extraño que parezca, el movimiento también puedehacerseinconstante,primeroalto,luegobajo,sinjamásconvertirseenestadoestableysinjamásrepetirpuntualmentelapautadelasoscilacionesantesejecutadas.

Este comportamiento, sorprendente y caprichoso, emana de una desviación nolinealdelacorrientedeenergíaenelinteriordeesteosciladorsencilloyfueradeél.El columpioesmoderadoe impulsado: aquelloporque la fricción intentapararloyestoporquerecibeempujeperiódico.Inclusocuandounsistemamoderadoeimpelidoestáenequilibrionosehallaenequilibrio.Elmundoestállenodeellos,empezandoporeltiempoatmosférico,quemoderanlafriccióndelaireenmovimiento,elaguayelcalor,quesedisipahaciaelespacioexterior,yqueimpulsaelconstanteempujedelaenergíasolar.

Laimpredecibilidad,empero,nofueelmotivodequelosfísicosymatemáticostomaranotravezenseriolospéndulosenlosañossesentaysetenta.Sirviósólode


toque de atención. Los que estudiaban las dinámicas caóticas descubrieron que elproceder desordenado de sistemas sencillos actuaba como un proceso creativo.Generabacomplejidad:pautasdericaorganización,bienestables,bieninestables,yafinitas,yainfinitas,peroprovistassiempredelafascinacióndelascosasvivas.Portalrazón,loscientíficossededicaronalestudiodejuguetes.

Unodeellos,vendidoconelnombrede«bolasespaciales»o«trapecioespacial»,secomponedeunpardeesferascolocadasenlosextremosdeunabarrita,dispuestacomo la tildede la tesobreunpéndulo,conotraesfera,máspesada,como lenteja.Esta bola se balancea,mientras la barrita superior gira libremente.Las tres esferascontienenpequeños imanes, y, unavez iniciado elmovimiento, el juguete sigue sumarcha,graciasaunelectromagneto,alimentadoconunapilaeléctricaquehayenlabase.Elaparatopercibeelacercamientodelabolainferiorylepropinaalpasarunleve impulso magnético. En ocasiones el artificio hace gala de balanceo rítmicocontinuo;enotras,sumovimientosevuelvecaótico,puescambiademodoconstanteysiempreasombroso.

Otrojuegocomúneselllamadopénduloesférico,cuyalibertadlepermiteoscilarencualquiersentido.Tienepequeñosimanesalrededordelabase.Sonelloslosqueatraenlapesa,cuandoelpéndulosepara,habrásidocapturadaporuno.Elpropósitodeljuegoconsisteenprovocarlaoscilaciónyadivinarquéimánlaapresará.Aunquehaya sólo tres imanes, situados en triángulo, resulta imposible vaticinar elmovimientodelpéndulo.OscilaráduranteunratoentreAyB,semudaráluegoaByC, y después, cuando parece detenerse en C, regresará a A. Supóngase que uncientíficoestudia sistemáticamenteel comportamientodeestepasatiempo, trazandoun diagrama, como sigue: Elige un punto de partida; sujeta la pesa sobre él y lasuelta; colorea el punto de rojo, azul o verde, según el imán que se apodere de lapesa. ¿Qué aspecto tendrá el gráfico? Habrá en él regiones rojas, azules o verdescompactas, como es de esperar, regiones en las que la pesa se balancearáconcretamentehaciaunimándado.Perotambiénpuedehaberunasenqueloscoloressemezclencon infinitacomplicación. Juntoaunpunto rojo,pormuycercaquesemire,pormuchoqueseagrandeeldiagrama,habrápuntosverdesyazules.Eldestinodelapesaesimposibledeadivinar.

Unestudiosodeladinámicacreerá,portradición,queescribirlasecuacionesdeun sistema equivale a entender éste. ¿Hay forma mejor de captar sus rasgosesenciales? En el caso de un columpio o de un juguete, las ecuaciones enlazan elángulo,velocidad,friccióneimpulsomotordelpéndulo.Pero,aconsecuenciadelasmigajas de no linealidad latentes en tales ecuaciones, el estudioso sufrirá laimpotenciadenopoder contestar lapreguntaprácticamás fácil sobre el futurodelsistema. Un ordenador resolverá el problema con la simulación, calculando en unabrirycerrardeojoscadaciclo.Mas lasimulaciónacarreaunproblemapropio: la


minúscula imprecisión incluida en cada cálculo se impone velozmente, porque setratadeunsistemacondependenciasensitivadelascondicionesiniciales.Notardamuchoendesaparecerlaseñalyloúnicoquequedaesruidoparásito.

¿Deveras?Lorenzhabíaencontradoimpredecibilidad,perotambiénpauta.Otrosdescubrieron asomos de estructura en comportamientos aparentemente casuales. Elejemplo del péndulo podía desdeñarse, pero quienes no lo hicieron hallaron unmensaje provocativo. Comprendieron que, en algún sentido, la física entendía a laperfecciónlosmecanismosbásicosdelmovimientopendular,peronopodíaampliartal entendimiento a un plazomás largo.Las piezasmicroscópicas eran de claridadmeridiana; el comportamiento macroscópico quedaba envuelto en el misterio. Latradición de considerar localmente los sistemas —aislando los mecanismos ysumándolosdespués—comenzabaaquebrarse.Enloqueconcerníaalospéndulos,fluidos,circuitoselectrónicosylásers,elreinodelasecuacionesfundamentalesnosepresentabayacomolaespeciedeconocimientoidóneo.

Durante el transcurso de la década de 1960, hubo científicos que realizarondescubrimientos paralelos al de Lorenz, por ejemplo, un astrónomo francés alanalizar las órbitas galácticas y un ingeniero eléctrico japonés almodelar circuitoselectrónicos. Pero el primer intento deliberado y coordinado de comprender cómodifería laconductaglobalde la localsedebióa losmatemáticos.EntreellosfiguróStephen Smale, de la Universidad de California, en Berkeley, célebre por haberdescifradolosproblemasmásesotéricosdelatopologíapluridimensional.Unfísicojoven, durante una conversación superficial, le preguntó en qué trabajaba. Larespuestaledejóatónito:«Enosciladores».Eraabsurdo.Lososciladores—péndulos,muellesocircuitoseléctricos—erancosasquelosfísicosdejabanatrásalprincipiode su formación.Demasiado fáciles. ¿Porquéungranmatemáticoestudiaría físicaelemental?DiscurrieronlosañosantesdequeeljovensedieracuentadequeSmalese ocupaba de osciladores no lineales, caóticos, y que veía en ellos cosas que losfísicosnohabíanaprendidoaver.


Elinventodelaherradura

Smale se equivocó en su conjetura. Propuso en los términos más rigurosamentematemáticosquecasitodos,pornodecirtodos,lossistemasdinámicosseinclinabancasisiempreaadoptaruncomportamientonomuyextraño.Prontoaveriguóquelascosasnoerantansencillas.

Era un matemático que no sólo resolvía problemas, sino también preparabaprogramasdeellosparaquelossolucionaranotros.Suconocimientodelahistoriaysuintuicióndelanaturalezaseresumíanenlahabilidaddeanunciar,sinalardes,queun área intacta aún merecía la atención de los matemáticos. Como un prósperohombre de negocios, calculaba los riesgos y planeaba fríamente su estrategia, y,además,disfrutabadeunencantosemejantealdelflautistadeHamelin.Muchosibanenladirecciónqueéltomaba.Sureputaciónnosereducíaalascienciasexactas.Enlos primerosmomentos de la guerra de Vietnam, organizó con Jerry Rubin «DíasInternacionalesdeProtesta»ypatrocinó losesfuerzosdestinadosa impedirque lostrenesconsoldadoscruzaranCalifornia.En1966,mientraselComitédeActividadesAntiamericanas del Congreso trataba de convocarle para que declarase, viajó aMoscú para asistir al Congreso Internacional de Matemáticos. En aquella ciudadrecibiólaMedallaFields,elgalardónmásgrandedesuprofesión.

Lo ocurrido enMoscú en aquel verano se transformó en parte indeleble de laleyenda de Smale. Se habían congregado cinco mil matemáticos agitados yagitadores. Las tensiones políticas eran intensas. Circulaban las peticiones. Seavecinabaelfindelcongreso,cuandoSmale,apeticióndeunperiodistadelVietnamdelNorte,diounaconferenciadeprensaenlaampliaescalinatadelaUniversidaddeMoscú.EmpezócondenandolaintervenciónestadounidenseenVietnam;pero,enelinstanteenquelosanfitrionesprincipiabanasonreír,condenóasimismolainvasiónsoviética de Hungría y la falta de libertad política en la URSS. En cuanto hubopronunciadolaúltimapalabra,lemetieronenunsantiaménenunautoparaquelospolicías soviéticos le interrogasen. De vuelta a California, la National ScienceFoundation(FundacióndelaCienciaNacional)anulósusubvención.

La Medalla Fields que recibió Smale premiaba un famoso trabajo suyo sobretopología, rama de las matemáticas que ha florecido en el siglo XX y que tuvoparticular apogeo en el decenio de 1950. Estudia las propiedades que sigueninalteradascuandolasformassedesfiguranportorsión,extensiónocompresión.Nose interesa en si la forma es cuadrada o redonda, grande o pequeña, porque ladeformacióncambiatalesatributos.Lostopólogossepreocupandesiestáacoplada,tiene agujeros o está anudada o enredada. Conciben las superficies, no en losuniversoseuclídeosunidimensional,bidimensionalytridimensional,sinoenespacios


dedimensionesmúltiples,imposiblesdeimaginardemaneravisible.Latopologíaesla geometría en trozos de goma. Se preocupa de lo cualitativo más que de locuantitativo.Sepreguntaquépuededecirsedelaestructuratotal,cuandoseignoranlasmedidas.Smalehabíasolventadounodelosproblemashistóricos,sobresalientes,delatopología,laconjeturadePoincarésobreespaciosdecincoomásdimensiones,y al hacerlo se convirtió enunpersonaje en la especialidad.Apesar de ello, en ladécada de 1960, renunció a la topología por un territorio inexplorado. Se puso aestudiarlossistemasdinámicos.

LatopologíaydichossistemasseremontanaHenriPoincaré,quelosteníaporlasdos caras de la misma moneda. A fines del siglo pasado, fue el último granmatemático que aportó imaginación geométrica para tratar de las leyes delmovimientoenelmundofísico.Fueelprimeroendarsecuentadelaposibilidaddelcaos;susescritosinsinuaronunaespeciedeimpredecibilidadcasitanacusadacomola que Lorenz había descubierto. Muerto Poincaré, floreció la topología y seatrofiaron los sistemasdinámicos.Hasta elnombrecayóendesuso; lamateria a laqueSmale se encaminónominalmente eran las ecuaciones diferenciales, las cualesdescribencómocambian los sistemasdemodocontinuoa lo largodel tiempo.Portradición, talescosassebuscabandemanera local,por loquehadeentendersequelosingenierosyfísicosconsiderabansóloungrupodeposibilidadestrasotro.Smale,como Poincaré, quería comprenderlas en su totalidad, quería comprender todo elreinodeposibilidadessindistingos.

Cualquier conjunto de ecuaciones que describa un sistema dinámico —el deLorenz,porejemplo—permiteestableceralprincipiociertosparámetros.Enelcasodelaconveccióntérmica,unoconciernealaviscosidaddelfluido.Grandescambiosenlosparámetrospuedenimplicarimportantesdiferenciasenunsistema,como,porejemplo, la que hay entre llegar a un estado estable y oscilar periódicamente. Losfísicosdabanporsentadoquecambiospequeñísimosintroduciríansólopequeñísimasdiferenciasenlascifras,ynoalteracionescualitativasenelcomportamiento.

Relacionando la topologíay lossistemasdinámicos,cabe laposibilidaddeusarunaformaqueayudeavisualizar toda laesferadecomportamientosdeunsistema.Uno sencillo puede representarse con algún género de superficie curva; unocomplicado, con una pluridimensional. Un punto único en tal clase de superficieindicaelestadodeunsistemaenun instantequietoenel tiempo.Amedidaqueelsistema progresa temporalmente, el punto se mueve, trazando una órbita en talsuperficie.Elhechodecurvarunpocolaformaequivaleacambiarlosparámetrosdelsistema, haciendo un fluido más viscoso o meneando un péndulo con fuerza algomayor. Las formas que se parecen de manera amplia tienen, en sentido lato, uncomportamientosimilar.Siseconsiguevisualizarlafuerza,seentiendeelsistema.

En las fechasenqueSmaleseencarócon lossistemasdinámicos, la topología,


comolamayorpartedelasmatemáticaspuras,seejercitabaconmanifiestodesdéndelasaplicacionesmundanales.Susorígeneshabíansidocercanosa lafísica,perolosmatemáticos se olvidaron de tal circunstancia y las formas se estudiaron por símismas.Smalecreíafirmementeenlabondaddeesteproceder—eraelmáspurodelos puros—; pero tenía la idea de que el desarrollo abstracto, esotérico, de latopologíatalvezaportasealgoalafísica,comoPoincarélohabíaentendidohacíayamuchosaños.

Sin embargo, una de sus primeras contribuciones fue una conjetura deficiente.Propuso en términos físicos una ley natural del jaez siguiente: Un sistema puedeportarse de modo irregular, pero ese comportamiento variable no será estable. Laestabilidad —«estabilidad en la acepción de Smale», decían en ocasiones losmatemáticos—eraunapropiedadcrucial.El comportamientoestableeraaquelqueno desaparecía cuando un número se modificaba un pelillo. Todo sistema podíaalbergarlasconductasestableeinestable.Lasecuacionesreferentesaunlápizquesemantiene de pie sobre la punta logran buena soluciónmatemática, si el centro degravedadestádirectamentesobredichoextremo;peronoseconsiguecolocarellápizdeesemodo,porquelasoluciónesinestable.Lamenorperturbaciónalejaelsistemadeella.Porotrolado,unacanicapermaneceenelfondodeunataza,porque,siselamueve un poco, rueda y nada más. Los físicos imaginaron estable todocomportamientoqueobservabandotadode regularidad,pues son inevitables en lossistemas reales minúsculas perturbaciones e incertidumbres. Jamás se saben losparámetrosconexactitud.Razonaronque,sisequiereunmodelofísicamenterealistaysólidofrentealevesalteraciones,hadebuscarseunoestable.

Las malas noticias llegaron por correo, algo después de la Navidad de 1959.Entonces,SmalevivíaenunpisodeRíodeJaneiroconsuesposa,doshijosdecortaedad y una inundación de pañales. Su conjetura había definido una clase deecuaciones diferenciales que, sin excepción, eran estables desde el punto de vistaestructural.Cualquiersistemacaótico,aseguraba,podíarepresentarseporunodesuclase.Noeraasí.Uncolega le informóporcartaquemuchossistemasnoeran tanfáciles comoél había imaginado, ydescribía comoejemplo contradictoriounoqueencerraba en su seno la estabilidad y el caos. Era sólido. Si se le perturbaba unpoquillo,comotodosistemanatural loesconstantementeporelruido,surarezanodesaparecía. Sólido y raro. Smale leyó la carta con una incredulidad que se disipópocoapoco.

Elcaosylainestabilidad,conceptosqueentoncesempezabanatenerdefinicionesprecisas,noeranlomismo.Unsistemacaóticoseríaestablesiunlinajeparticulardeirregularidad persistía frente a pequeñas perturbaciones. El de Lorenz era uno deellos,aunquetranscurriríanañosantesdequeSmaleoyesehablardelmeteorologista.El caos que éste había descubierto, a pesar de su impredecibilidad, era tan estable


comolacanicaenlataza.Selepodíaañadirruido,sacudirlo,agitarloeinterferirensumovimiento,ycuandotodohubiesecesado,ylotransitorioseamortiguasecomolosecosenunaserranía, recuperaría lamismapautade irregularidad.Ensuma,eralocalmente impredecible y globalmente estable. Los sistemas dinámicos reales seatenían a una porción más complicada de reglas de lo que había imaginado. Elejemplo que el colega de Smale describió en su carta era otro sistema sencillo,descubiertohacíamásdeunageneraciónydeltodoolvidado.Quisolacasualidadquefueseunpéndulodisfrazado:uncircuitoelectrónicooscilante.Erano linealy se lecompelíademaneraperiódica,comounniñoenuncolumpio.

IrvingR.Epstein

RETRATOSENELESPACIODEFASES.Lasseriestemporales,tradicionales(arriba),ylastrayectoriasenelespacio de fases (abajo), son dos formas de poner demanifiesto losmismos datos y de conseguir unaimagen del comportamiento a largo plazo de un sistema.El primer sistema (izquierda) converge en unestadoestable,unpuntoenel espaciode fases.El segundose repitede formaperiódica, formandounaórbitacíclica.Eltercerosereiteraenunritmodevalsmáscomplejo,unciclode«períodotres».Elcuartoescaótico.


H.BruceStewartyJ.M.Thompson

LAHERRADURADE SMALE. Esta transformación topológica proporcionó una base para comprender laspropiedadescaóticasdelossistemasdinámicos.Expuestademodoelemental:Unespacioseestiraenunadirección,seaprietaenotraysedobla.Cuandoserepite,elprocedimientoproduceunaespeciedemezclaestructurada, que reconocerá quien haya heñido unamasa de harina. Dos puntos que acaban por estarcontiguosacasoestuvieronmuyseparadosalprincipio.

Nosreferimosaun tubodevacío,queel ingenieroeléctricoholandésBalthasarVanderPolhabíainvestigadoenladécadade1920.Unestudiantemodernodefísicaexploraría la conducta de semejante oscilador, observando la línea trazada en lapantalladeunosciloscopio.VanderPol,quenoposeíatalaparato,tuvoquecontrolarel circuito escuchando los cambios de tono con un microteléfono. Le complaciópercibir regularidades mientras cambiaba la corriente que lo alimentaba. El tonosaltabadefrecuenciaafrecuenciacomosisubieraunaescalera,abandonandounayenlazandosinvacilaciónconlasiguiente.Noobstante,detardeentarde,VanderPolnotabaalgo incongruente.Habíauna irregularidadacústicaqueno lograbaexplicar.Aquello no le preocupó, dadas las circunstancias. «A menudo se percibe en elteléfono un sonido anómalo, antes de que la frecuencia pase al siguiente valorinferior», escribió en una carta aNature. «Por lo demás, se trata de un fenómenosubsidiario». Fue uno de los muchos científicos que vislumbraron el caos y quecarecierondelenguajeparaentenderlo.Elenlacedefrecuenciasimportabamuchoalaspersonasque intentabanconstruir tubosdevacío.Encambio,para lagentequeprocuraba entender la naturaleza de la complejidad, el comportamiento másinteresanteerael«sonidoanómalo»,frutodelainfluenciacontrariadeunafrecuenciamásaltayotramásbaja.

Adespechodesererrónea,suconjeturapusoaSmaledirectamenteenelcaminode un nuevo modo de concebir la entera complejidad de los sistemas dinámicos.Variosmatemáticoshabían revisado lasposibilidadesdel osciladordeVanderPol.Smale trasladó su trabajo a un terreno distinto. Su única pantalla osciloscópica sehallaba en su mente, pero ésta había sido modelada por años de exploración deluniversotopológico.Imaginótodoelámbitodeposibilidadesdeloscilador,elenteroespacio de fases, como lo denominaban los físicos. Cualquier estado del sistema


paradoduranteuninstanteserepresentabacomounpuntoenelespaciomencionado;todalainformaciónsobresuposiciónovelocidadexistíaenlascoordenadasdeaquelpunto.Cuandoelsistemacambiaba,elpuntosemovíaaotraposicióndelespaciodefases.Ysisemodificabasintregua,trazabaunatrayectoria.

En un sistema sencillo como el péndulo, el espacio de fases podía ser unrectángulo:elángulodelpénduloenunmomentodadodeterminaríalaposicióneste-oeste de un punto, y su velocidad, la norte-sur. En uno que se balanceara conregularidad, la trayectoria en el espacio de fases sería un lazo, de un lado a otro,mientraselsistemaiteraselamismaseriedeposiciones.

Smale, en lugar de fijarse en cualquier trayectoria, se concentró en elcomportamiento de todo el espacio durante el cambio del sistema, cuando, porejemplo, se le agregaba más energía impulsora. Su intuición brincó de la esenciafísica a una especie nueva de esencia geométrica. Como instrumentos empleótransformaciones topológicas de formas en el espacio de fases, tales comoestiramientosycompresiones.Talesmodificacionesteníanavecessignificadofísicoevidente.Ladisipaciónenun sistema, lapérdidadeenergíaa causade la fricción,implicabaquelafiguraenelespaciodefasessecontraeríacomoelgloboquepierdeaire, hasta que, finalmente, se transformaría en un punto, en el instante en que elsistemaseparasedeltodo.PararepresentarlacomplejidadtotaldelosciladordeVanderPol, el espacio de fases—pensó—habría de experimentar ungénero, nuevoycomplicado,decombinacióndetransformaciones.Enseguidaconvirtiósuideadelavisualización del comportamiento total en una distinta clase de modelo. Suinnovación—duraderaimagendelcaosenañosvenideros—fueunaestructuraqueseconocióconelnombredeherradura.

Unaversión simplede ésta seobtiene conun rectángulo, cuyaparte superior einferior seaprietanhasta tenerunabarrahorizontal.Unextremodeésta seestiraycurvaparacrearunaC,comounaherradura.Seimaginaluegolaherraduraencajadaen otro rectángulo, que se desfigura de lamismamanera: reduciendo, doblando yestirando.

El proceso remeda el funcionamiento de lamáquina que confecciona el azúcarhiladooalgodóndeazúcar,enlaquebrazosgiratoriosestirandelamasa,ladoblan,lavuelvenaestirarydoblarhastaqueseconvierteenunaespeciedealgodón,muylargo, muy delgado y muy enredado. Smale sometió la herradura a variedad deandaduras topológicas y, dejando de lado el aspecto matemático, la herraduraproporcionó una elegante analogía visual de la dependencia sensitiva de lascondiciones iniciales, que Lorenz descubriría en la atmósfera pocos años después.Escójanse dos puntos próximos en el espacio original, y jamás se sabrá dóndeterminarán. Los apartarán arbitrariamente los plegados y estiramientos.Más tarde,dos puntos que están juntos habrán empezado, también arbitrariamente, muy


apartados.Al principio, Smale había esperado explicar todos los sistemas dinámicos por

mediodealargamientosypresiones,sinplegamientos,almenosnoconaquellosqueminasen de modo drástico la estabilidad de un sistema. Pero lo suprimido resultóimprescindible,ylaplegadurapermitióquehubieracambiostajantesenlaconductadinámica. La herradura de Smale fue la primera de muchas formas geométricasnuevas que ofrecieron a matemáticos y físicos una intuición desconocida de lasposibilidades del movimiento. En algunos aspectos, era demasiado artificial paratenerutilidad,yenexcesocriaturadelatopologíamatemáticaparaqueatrayesealosfísicos.Perosirviódepuntodepartida.Duranteeldeceniode1960,SmaleformóenBerkeley un grupo de matemáticos jóvenes que compartían su entusiasmo por lalaborsobrelossistemasdinámicos.Transcurriríandiezañosantesdequesustrabajoscautivasen la atención de ciencias menos puras; pero cuando ocurrió, los físicosadvirtieron que Smale había devuelto toda una rama de lasmatemáticas almundoreal.Eraunaedaddeoro,dijeron.

—Eselcambioparadigmáticode loscambiosparadigmáticos—exclamóRalphAbraham,colegadeSmale,quellegóaserprofesordematemáticasenlaUniversidaddeCalifornia,enSantaCruz—.Cuandoempecémitrabajoprofesionalen1960,deloque no hace tanto tiempo, la matemática contemporánea sin excepción —sinexcepción— era rechazada por los físicos, incluso por los que ocupaban lasavanzadillas de la física matemática. Por lo tanto, la dinámica diferenciable, elanálisisglobal,losproyectosmúltiples,lageometríadiferencial,asaber,todoloquetenía un par de años más que lo que Einstein había usado, fue rechazado sincontemplaciones.Elnoviazgodelosmatemáticosconlosfísicosacabóenrupturaenlos años treinta. Los antiguos enamorados dejaron de dirigirse la palabra. Sedespreciaban mutuamente, y nada más. Los físicos matemáticos negaron a losestudiantes graduados el permiso de ampliar conocimientos en los cursos de susdespreciados compañeros antiguos: Estudie matemáticas con nosotros. Leenseñaremosloquenecesitasaber.Losmatemáticossehanentregadoaunahorribleorgíadeegoydestrozaránsumente.Esosucedíaen1960.Hacia1968lasituaciónhabíacambiadoporcompleto.

Porfin,todoslosfísicos,astrónomosybiólogossabíanqueteníanqueescucharlasnoticias.


Unmisterioresuelto:LagranManchaRojadeJúpiter

Un modesto enigma cósmico: la gran Mancha Roja de Júpiter, óvalo colosal ygiratorio, semejante a una tempestad titánica, que jamás se desplaza y jamás sedebilita.Quienvio las imágenesenviadasa travésdelespacioporelVoyager2,en1978,reconoceráelfamiliaraspectodelaturbulenciaaunaescaladesproporcionada,nada familiar. Era uno de los hitosmás venerables del sistema solar: «LaManchaRojaalborotadacomounojoangustiado/Enmediodeunaturbulenciadecejasenebullición»,segúnladescribióJohnUpdike.Pero¿quéera?VeinteañosdespuésdeLorenz,Smaleyotroscientíficospusieronenmarchaunamaneranuevadeentenderlos flujos naturales, y el tiempo extramundanal de Júpiter fue uno de los muchosproblemas que aguardaban a la alterada percepción de las posibilidades de lanaturalezaquehabíasurgidoconlacienciadelcaos.

Durante tres siglos había sido ejemplo de que cuantomás se conocemenos sesabe.Losastrónomoshabíanadvertidounatachaenelplanetagigantepocodespuésde queGalileo hubiese asestado, por primera vez, sus telescopios en su dirección.RobertHookelavioenlosañosinicialesdelsigloXVII.DonatiCretilaretratóenlapinacotecavaticana.Comopinceladadecolor,laManchaapenasexigíaexplicación.Pero los telescopios se perfeccionaron y el conocimiento generó ignorancia. En lapasadacenturiaseformulóunaretahíladeconjeturasquesepisaronlostalones.Heaquíalgunas:

La teoría de la corriente de lava. Científicos de la última parte del sigloXIXimaginaronungigantescolagodelavafundida,quebrotabadeunvolcán.Otalvezlalavamanabadelagujeroabiertoporunplanetoideenlafinacorteza.

La teoría de la nueva luna. Un científico alemán propuso, en cambio, que laManchaeraunalunaapuntodeemergerdelasuperficiedelplaneta.

La teoría del huevo. Hecho desconcertante: la Mancha se vio como si sedesplazaralevementesobreelfondoplanetario.Porello,en1939,sepensóqueerauncuerpo,másomenossólido,queflotabaenlaatmósferacomounhuevolohaceenelagua.Variantesdeestateoría—incluidalanocióndeunapompamovedizadehidrógenoohelio—seformularondurantedécadas.

La teoría de la columna de gas. Otro hecho nuevo: aunque se desplace, laManchajamáslohaceamuchadistancia.Porlotanto,loscientíficospropusieron,enlos años sesenta, que era la parte superior de una columna gaseosa que se alzaba,posiblementedesdeuncráter.

Tocó el turno al Voyager. Casi todos los astrónomos creían que el enigma sedisiparíatanprontocomopudierancontemplarlosuficientementedecerca.Elvuelodel Voyager suministró un álbum espléndido de datos ignorados, los cuales, sin


embargo, no bastaron. Las imágenes que proporcionó la nave espacial en 1978revelaronvientospotentesymareasllenasdecolor.Losastrónomosobservaron,conpormenor espectacular, la Mancha como un sistema huracanado de flujoarremolinado,quebarría lasnubes,encajadoenzonasdeviento,elcualsoplabadeesteaoesteytrazabafajashorizontalesalrededordelplaneta.Huracánfuelamejordescripción con que se acertó, pero, por varias razones, resultaba inadecuada. Losterrestres obedecen al calor liberado cuando la humedad se condensa en lluvia; talprocesonoimpulsaalaManchaRoja.Loshuracanes,comotodaslastempestadesdelaTierra,giranendirecciónciclónica,contrariaalavancedelassaetasdelrelojenelhemisferioseptentrional,yenelmismosentidoqueellasenelmeridional:laManchaesanticiclónica.Y,más importante todavía, loshuracanesamainanalcabodeunosdías.

Cuando estudiaron las imágenes del Voyager, los astrónomos se percatarontambiéndequeelplanetaera,en resolución, sólo fluidoenmovimiento.Sehabíanhabituado a buscar un cuerpo sólido, rodeado de una tenue atmósfera, como laterrestre;pero,siJúpiterposeíaunnúcleocompactoyfirme,deberíadetenerlomuylejos de la superficie. El planeta adquirió de pronto la apariencia de experimentoenorme de mecánica de fluidos, y en él se hallaba la Mancha Roja, girandocontinuamente,sindescanso,imperturbable,pesealcaosquelarodeaba.

El fenómeno se convirtió en test proyectivo de la personalidad. Los científicosveíanenélloquesusintuicioneslespermitíanpercibir.Unestudiosodeladinámicade los fluidos, que concibiera la turbulencia como fortuita, accidental, estabadesprovistodebaseparacomprenderlaexistenciadeunaisladeestabilidadenmediodeella.ElVoyagerduplicóloexasperantedelmisteriopuesmostrórasgosdelfluido,tan pequeños, que no podían observarse siquiera con los telescopiosmás potentes.Aquellosrasgosaescalareducidadelatabanunaraudadesorganización,mareasqueaparecían y desaparecían el mismo día, y en ocasiones en menos tiempo. Pero laManchaseguíaindemne.¿Quélaconservaba?¿Quélamanteníaensusitio?

LaNASAguardasusimágenesenarchivos,alrededordemediadocena,dispersosporlosEstadosUnidos.UnoestáenlaUniversidaddeCornell.Enlosprimerosañosde esta década, tenía su despacho cerca de él Philip Marcus, joven astrónomo ycultivadordelasmatemáticasaplicadas.LuegodelamisióndelVoyager,fueunodelos seis científicos estadounidensesybritánicosquebuscaronelmediodecrearunmodelo de la Mancha Roja. Libres de la teoría del huracán ersatz (sucedáneo),encontraronsímilesmásadecuados.Porejemplo, lacorrientedelGolfo,queserpeapor el Atlántico occidental se retuerce y ramifica de maneras sutilmentereminiscentes. Produce olitas, que se cambian en aros y éstos en anillos, y salendando vueltas de la corriente principal: forman vórtices lentos, duraderos yanticiclónicos.Otroparalelosetuvoenelpeculiarfenómenometeorológicollamado


«estancamiento».Avecesunsistemadealtaspresionessesitúafrentealascostasygiradespaciodurantesemanasomeses,desafiandolausualcorrienteaéreaquevadeesteaoeste.Elestancamientoestropeabalosmodelosdeprevisiónglobal,perodabaalgunas esperanzas a los pronosticadores, porque creaba rasgos ordenados delongevidadinusual.

MarcusestudiódurantemuchashoraslasfotografíasdelaNASA,lasvistosasdehombres en la Luna y las de la turbulencia de Júpiter.Como las leyes deNewtonrigenpordoquier,programóunordenadorconunsistemadeecuacionesfluidas.Conel fin de remedar el tiempo del planeta, había de escribir reglas para unamasa dehidrógeno y helio, semejante a una estrella apagada. Júpiter rota con muchavelocidad:cadadíasuyoduradiezhorasterrestres.SurotaciónprovocaunaviolentafuerzadeCoriolis,lalateralqueempujaalapersonaqueandedeunladoaotroenuntiovivo,lacualimpulsalaMancha.

Lorenz utilizó su diminuto modelo del tiempo atmosférico de la Tierra paraimprimir líneas imperfectas en un papel enrollado; en cambio, Marcus empleó lamayor potencia de su ordenador para reunir extraordinarias imágenes policromas.Ante todo, trazó los contornos. A duras penas veía lo que ocurría. Después hizotransparencias,yporúltimocongrególasimágenesenunapelículaanimada.Fueunarevelación. En azules, encarnados y amarillos brillantes, el patrón cuadriculado devórticesgiratoriossetransformóenunóvalo,queteníainverosímilsemejanzaconlagranManchaRoja,talcomoaparecíaenelfilmequehabíafacilitadolaNASA.

—Uno ve a gran escala esa maca, tranquila como una almeja en pleno flujocaótico, apequeñaescala,y ese flujoabsorbeenergía comounaesponja—explicóMarcus—.Sepercibenminúsculasestructurasfilamentosassobreunfondooceánicodecaos.

LaManchaesunsistemaqueseautoorganiza,creadoyreguladoporlasmismascontorsionesnolinealesqueproducenelimpredecibletumultocircunstante.Escaosestable.

Siendoestudiantegraduado,Marcushabíaestudiadolafísicatradicional,resueltoecuacioneslinealesyefectuadoexperimentosdestinadosaajustarsealanálisislineal.Eraunaexistenciasegura,porque,enelfondo,lasecuacionesnolinealesseresistenaser solucionadas, y no había motivo para malgastar en ellas el tiempo de unestudiante graduado. El contento formaba parte del programa docente. Mientrasmantuvieralosexperimentosdentrodeciertoslímites,bastaríaeltratamientolinealylerecompensaríalacontestaciónesperada.Decuandoencuando,inevitablemente,seentremetíaelmundoreal,yveíaloqueañosmástardecomprendióquehabíansidosíntomasdelcaos.Sedeteníayexclamaba:«¡Eh!¿Quéesestaespeciedepelusilla?».Ylereplicaban:«¡Bah!Setratadeunerrorexperimental.Notepreocupes».

Pero,adiferenciadelamayoríadelosfísicos,Marcusllegóaaprenderlalección


de Lorenz: que un sistema determinista puede producir mucho más que uncomportamientoperiódico.Sabíabuscar eldesordendesenfrenado,y sabía tambiénque islas de estructura podían surgir en el desorden. Por consiguiente, aportó alproblemadelagranManchaRojaelconocimientodequeunsistemacomplejopuedesuscitar,alavez,turbulenciaycoherencia.Leeraposibletrabajarenunadisciplinanaciente, que creaba la tradición de utilizar el ordenador como instrumentoexperimental. Y estaba dispuesto a imaginarse como una especie distinta decientífico: no, primariamente, como un astrónomo, un perito en dinámica de losfluidosouncultivadordelasmatemáticasaplicadas,sinocomounexpertoencaos.


LAMANCHAROJA:AUTÉNTICA Y SIMULADA. La sonda espacial Voyager reveló que la superficie deJúpiteresunfluidobullidoryturbulento,conbandashorizontalesquecorrendeesteaoeste.LaManchaRojasevedesdeelecuadordelplanetay,también,desdeelpolomeriodional.

LasimulacióndeordenadordePhilipMarcusolapresentavistadesdedichopolo.Elcolormuestraladireccióndegirodepartesespecialesdefluido: lasquevolteanensentidocontrarioaldelasagujasdelrelojaparecenenrojo,ylasquerotanenladireccióndeésas,enazul.Seacualfuerelaconfiguracióndepartida,lasagrupacionesazulespropendenaseparase,ylasrojas,aunirseenunasolamancha,estableycoherente,enmediodeltumultocircunstante.


3ALTIBAJOSDELAVIDA

El resultado de un desarrollo matemático debe compararse siempre con laintuiciónpropiadeloqueconstituyeunaconductabiológicarazonable.Sitalcotejorevelaquehaydesacuerdo,habráquetenerencuentalasposibilidadessiguientes:

a)Sehacometidounerroreneldesarrollomatemáticoformal.

b) Los supuestos iniciales son incorrectos y/o representan unasimplificaciónpordemásexcesiva.

c)Laintuiciónpropiadelobiológicoadolecededesarrolloinadecuado.

d)Sehadescubiertounprincipiopenetrante.

HARVEYI.GOLD,

MathematicalModelingofBiologicalSystems(Modelosmatemáticosdesistemasbiológicos)


Modelosdepoblacionessilvestres

Pezfamélicoyplanctonapetitoso.Selvaecuatorialenquegotealalluviadesdelasramas, con reptiles innominados, aves que se deslizan bajo doseles de frondas,insectosquezumbancomoelectronesenelaceleradordepartículas.Zonasheladasdonde las ratas de campo y los lémmings proliferan y decaen con puntualperiodicidadcadacuatroaños,encombateencarnizadoconlanaturaleza.Elmundoofreceundesordenadolaboratorioalosecologistas,unacalderadecincomillonesdeespeciesqueseinfluyenrecíprocamente.¿Osoncincuentamillones?Losnaturalistasloignoranaún.

Los biólogos del siglo XX dotados de aficiones matemáticas forjaron unadisciplina, la ecología, que eliminó el ruido y el color de la vida real y trató losgrupos de criaturas como sistemas dinámicos. Los ecologistas emplearon lasherramientas elementales de la física matemática para describir las mareas ycorrientesdelavida.Unaespeciequesemultiplicaenunlugarenqueelalimentoeslimitado,variasespeciesquerivalizanparasubsistir,epidemiasqueseextiendenenpoblacionesinnúmeras: todopodíaaislarse,yaquenoenloslaboratorios,almenosenlamentedelosteóricosdelabiología.

Los ecologistas estaban destinados a desempeñar una función especial en elnacimiento del caos como ciencia en el decenio de 1970. Usaron modelosmatemáticos,perolohicieronconplenaconcienciadequeeranendeblesimitacionesdelbullidormundoauténtico.Conhartamalicia,lacomprensióndesuslimitacionesles permitió notar la importancia de ideas que losmatemáticos habían consideradorarezas interesantes.Queecuacionesregulares tuvierandesarrollo irregular fuealgoque hizo sonar la voz de alerta entre ellos. Las aplicadas en la biología de lapoblación fueron sencillas réplicas de losmodelos empleados por los físicos en elestudio aparcelado del universo. Pero la complejidad de los fenómenos reales queinteresaban a las ciencias de la vida superaba cuanto hubiese en un laboratorio defísica.Losmodelosmatemáticosdelosbiólogosseinclinabanasercaricaturasdeloreal, como los de los economistas, demógrafos, psicólogos y urbanistas, cuandoaspiraban a dar rigor a sus exámenes de los sistemas que se modificaban con eltiempo.Loscriterioserandistintos.Paraunfísicounsistemadeecuacionescomoelde Lorenz resultaba tan simple, que rayaba en lo transparente. Para un biólogoincluso las ecuaciones de Lorenz eran formidablemente complicadas:tridimensionales,sincesarvariableseintratablesdesdeelpuntodevistaanalítico.

Lanecesidadcreóunmododiferentedeactuaciónenelcasodelosbiólogos.Laaplicaciónde lasdescripcionesmatemáticasa lossistemasrealespedíaotrorumbo.Elfísico,alestudiarunodado(verbigracia,dospéndulosacopladosporunmuelle),


comienzaporelegirlasecuacionesadecuadas.Porlocomún,lasbuscaenunmanual;sinofiguranenél,lasdeducedelosprincipiosoriginales.Sabecómofuncionanlospéndulosylosmuelles.Apartirdeelloresuelvelasecuaciones,sipuede.Elbiólogo,encambio, jamásconseguiría inferir las idóneas,reflexionandosobreestaoaquellapoblaciónanimal.Tendríaquecosechardatoseintentardeducirlasquerindieranunoutput similar. ¿Qué sucede si se coloca unmillar de peces en un vivero con unacantidad limitadadealimento?¿Quéocurre si seagregancincuenta tiburonesa losque entusiasma devorar dos peces al día? ¿Qué pasa con un virus que mata adeterminadoritmoyquesepropagaconunarapidezquedependedeladensidaddelapoblación?Los científicos idealizaron cuestiones como éstas en busca de fórmulasbiendefinidas.

Tuvieron éxito a menudo. Los biólogos de la población aprendieron bastantescosas sobre la historia de la vida, cómo los depredadores y sus presas se influyenmutuamente, y cómoun cambio en ladensidaddemográficadeunpaís afecta a lapropagación de una enfermedad. Si cierto modelo matemático seguía adelante,llegabaaunequilibrioo se anulaba, los ecologistasbarruntabanalgoacercade lascircunstanciasenqueunapoblaciónounaepidemiaharíalomismoenlarealidad.

Una simplificaciónútil consistía enmodelar elmundoen intervalos temporalesseparados,comounamanecilladerelojquesaltasedeunsegundoaotroenvezdedeslizarse a lo largo de ellos. Las ecuaciones diferenciales describen procesos quecambiansuavementeeneldecursodeltiempo,peronosonfácilesderesolver.Otrasmás asequibles, las «ecuaciones en diferencias», pueden utilizarse en los procesosquebrincandeestadoenestado.Porfortuna,muchasespeciesanimalessecomportandemodocaracterísticoenclarosintervalosdeunaño.Estoscambiossuelensermásimportantes que los que ocurren sucesivamente. A diferencia del hombre, muchosinsectos,porejemplo,presentanunasolaestacióndereproducción,desuertequesusgeneraciones no traslapan. El ecologista no necesita saber más que la cifracorrespondiente de ese año, para colegir la población de lamariposa lagarta en laprimaveraqueviene,oelnúmerodeafectadosporunaepidemiadesarampiónenelpróximo invierno. Un facsímil anual no representa sino una sombra de lascomplicacionesdelsistema,peroenmuchoscasosprácticosesasombraproporcionaalcientíficotodalainformaciónquerequiere.

Lamatemática de la ecología es a la de Steve Smale lo que elDecálogo es alTalmud:unconjuntodereglasútilesparatrabajary,además,nadaenrevesado.Enladescripción del cambio anual de una población, el biólogo usa un formalismo queentenderáunestudiantedelosúltimoscursosdelaenseñanzasecundaria.Supóngaseque la población de mariposas lagartas del próximo año depende de la de éste.Imagínese una tabla que catalogue todas las posibilidades específicas: 31.000mariposasactualessignifican31.000venideras,yasíenadelante.Oqueseestablece


comoreglalarelaciónentretodaslascifrasdeesteañoytodaslasdelpróximo:unafunción.Lapoblaciónfutura(x)esunafunción(F)de laactual:xpróx=F(x).Comotoda función puede representarse con una gráfica, se posee instantáneamente unanocióndesuformageneral.

Enunmodelo tan simple como el anterior, seguir una población a lo largo deltiempoconsisteentomarunacifracomopuntodepartidayaplicarlamismafuncióncuantasvecessequiera:paraobtenerladelterceraño,hayqueaplicarlafunciónalresultado que atañe al precedente, etc. Este proceso de iteración funcionalproporciona acceso a la historia total de la población: un bucle (loop) derealimentación (feedback), en el que la salida (output) de un año sirve de entrada(input) al siguiente. La realimentación puede salirse de madre, como sobrevienecuandoelsonidodeunaltavozsefiltraenunmicrófonoyesamplificadoalpuntoenun ruido insoportable. O acarrea estabilidad, como el termostato que regula latemperatura de una habitación: la que excede de un índice prefijado motivaenfriamiento,ylaquenollegaaél,caldeamiento.

Haymuchos tiposposiblesde función.Unavisión ingenuade labiologíade lapoblaciónesproponerunafunciónqueleaumenteciertoporcentajeanual.Seráunafunción lineal −xpróx= rx − y corresponderá al clásico esquema maltusiano delcrecimiento demográfico, que no limita la provisión de alimentos, ni la restricciónmoral.Elparámetrorrepresentalarazóndelaumentodelapoblación.Convéngasequees1,1;porlotanto,siladeesteañoes10,ladelquevieneserá11.Sielinputes20.000,eloutputserá22.000.Osea,lapoblacióncrecedecontinuo,comoeldinerodejadoparasiempre,alinteréscompuesto,enunacajadeahorros.

Hannacidogeneracionesdesdequelosecologistascomprendieronquehabríandeperfeccionar el procedimiento. El que estudiaba peces auténticos en un viveroauténticoteníaquehallarunafunciónquecasaseconlascrudasrealidadesdelavida,como, por ejemplo, la del hambre o la de la competencia. La proliferación de lospeces hace que el alimento escasee. Unos pocos se multiplicarán velozmente. Unmajaldemasiadonutridomenguará.Otambiénpuedenconsiderarselascetonias.Enplenacanícula,uno lascuentaenel jardíny,paraevitarcomplicaciones, ignora lospájaros y las enfermedades propias de los coleópteros; sólo tiene en cuenta lacantidad presupuesta de alimento que requieren. Unas pocas cetonias semultiplicarán; si hay muchas, destruirán las plantas y acabarán por perecer dehambre.

Enelsupuestomaltusianodecrecimientosintrabas,lafuncióndeaumentolinealsiempreseeleva.Enbuscademayorrealismo,elecologistapideunaecuaciónconuntérminoquereduzcaelcrecimiento,cuandolapoblaciónsevuelvemuynumerosa.Lamáslógicaseráaquellafunciónqueaumentedecididamentecuandolapoblaciónseareducida,reduzcacasiaceroelcrecimientoenlosvaloresintermedios,ysedesplome


encasodeproliferacióndenodada.Repitiendoelproceso, el ecologistaveráque lapoblación se remansa en su comportamiento a largo plazo, en el que alcanzarápresumiblementeunestadoestable.Unaincursiónsaludableenlasmatemáticasdiráalecologista,másomenos,algocomoloquesigue:Aquíhayunaecuación;aquíhayunavariablequerepresentalatasadereproducción;aquíhayotravariablequeindicael índicedemuertesnaturales; aquíhayuna terceravariablequecorrespondea lasmuertesporhambreoporataquesdedepredadores;y,así,lapoblaciónaumentaráatalvelocidadhastaquealcancetalniveldeequilibrio.

¿Cómo se averigua una función como ésa?Muchas ecuaciones pueden servir;quizá lamás sencilla sea unamodificación de la versión linealmaltusiana: xpróx=rx(1−x),dondersimbolizaunarazóndecrecimientoquepuedesituarsemásaltaomás baja. El nuevo término, 1 − x, mantiene dicho crecimiento dentro de límites,puesto que cuando x aumenta, 1 − x decrece.[1] Cualquiera puede, con unacalculadora, elegir un punto de partida y una razón de crecimiento, y efectuar laoperaciónaritméticadelaquesederivelapoblacióndelpróximoaño.

Variosecologistasestudiaron,en ladécadade1950,variacionesdeesa fórmulaespecial,denominadaecuacióndediferencialogística.Porejemplo,W.E.Rickerlaaplicó en Australia a las pesquerías. Los investigadores se percataron de que elparámetrorrepresentabaunrasgoesencialdelmodelo.Enlossistemasfísicosdelosquetalesecuacionessetomabanenpréstamo,elparámetrocorrespondíaalacantidaddecalor,defricciónodeotramanifestacióncomplicada.Enresumen,lacantidaddenolinealidad.Enunvivero,podíacorresponderalafecundidaddelospeces,osea,alapropensióndelapoblaciónanimalnosóloalamultiplicaciónsúbita,sinotambiénaestallar(«potencialbiótico»eslaexpresiónennoblecedora).Lacuestióneracómoafectaban talesparámetrosdistintoseldestinodefinitivodeunapoblaciónmutable.La respuesta evidente es la de que un parámetro bajo hará que la población idealacabeenunnivelbajo.Unomásaltolaconduciráaunestadoestablemáselevado.Elloresultacorrectoparamuchosparámetros,peronoparatodos.Pareceindudableque, de tarde en tarde, investigadores comoRicker buscaron sin duda algunos aúnmásaltosyque,alhacerlo,tuvieronqueverelcaos.

AdolphE.Brotman

Unapoblaciónseequilibratraselevarse,excederseensutrayectoriaycaer.


Curiosamente,elflujodenúmeroscomienzaaportarsemal,loqueesfastidiosoparaquientrabajeconunacalculadoramecánica.Aunquenocrezcansinlímite, losnúmeros no convergen en un nivel constante. Por lo visto, ninguno de aquellosecologistas tempranos sintió la inclinaciónono tuvoel corajede seguirgenerandocifras que se negaban a sentar cabeza.Y así, si persistía en saltar adelante y atrás,imaginaronque lapoblaciónoscilabaalrededordeunequilibriosubyacente.Yésteeraloqueimportaba.Ningunopensóquepudieranohaberequilibrio.

Loslibrosdeconsultaylosdetexto,quetratabandelaecuaciónlogísticaydesusprimos más abstrusos, por lo común ni siquiera admitían la posibilidad delcomportamientocaótico.J.MaynardSmith,enelvolumenclásicodeMathematicalIdeas in Biology (Las ideas matemáticas en biología), de 1968, proporcionó uncriterio normal sobre las posibilidades: las poblaciones suelen permaneceraproximadamenteconstantes,obiensemueven,«conperiodicidadbastanteregular»,alrededordeunpresuntopuntodeequilibrio.Noqueríadeciraquelloquefuesetantasuingenuidadquesupusieraquelaspoblacionesrealesjamásseportabandemaneracaprichosa. Pensó, meramente, que el comportamiento anómalo no tenía relaciónalguna con la clase de modelos matemáticos que describía. De todas suertes, losbiólogosdebíanemplearlosconcautela.Siempezabanadesmentirelconocimientoquesuautorteníadelcomportamientodelapoblaciónreal,siemprecabíajustificarladiscrepancia con algún rasgo no tenido en cuenta: la distribución de las edades,algunapeculiaridadterritorialogeográfica,olacomplicacióndelaexistenciadedossexos.

Más trascendental era la sospecha persistente, escondida en algún rincón de lamente del ecologista, de que la desconcertante serie de números implicaba que lacalculadora traveseaba o que no poseía la precisión apetecible. Las solucionesinteresanteseranlasestables,yelorden,surecompensa.Alfinyalcabo,yaeradurala tareadeacertarcon lasecuacionesmásaptasyencimaresolverlas.Nadiequeríamalgastar su tiempo en la averiguación del porqué de aquella consecuenciadesconcertante de sus esfuerzos, la cual no aportaba estabilidad. Y ningún buenecologista olvidó nunca que sus ecuaciones eran versiones colosalmentesimplificadas de los fenómenos naturales. La única finalidad de lasupersimplificación estribaba en obtener regularidad. ¿Quién iba amolestarse paraencararseconelcaos?


Ciencianolineal:«elestudiodeanimalesnoelefantes»

Se diría posteriormente que James Yorke había descubierto a Lorenz y habíabautizadolacienciadelcaos.Lasegundapartedelrumoreraverdadera.

Yorke era unmatemático al que gustaba de imaginarse como filósofo, aunquefuesepeligroso admitirloprofesionalmente.Brillanteydevoz suave, sepresentabacomoadmirador algodesaliñadodel algodesaliñadoSteveSmale.Comoa todo elmundo,lecostabacomprenderaéste,pero,adiferenciadelosdemás,sabíaporqué.Alosveintidósañosdeedad,YorkeingresóenunainstitucióninterdisciplinariadelaUniversidaddeMaryland,elInstituteforPhysicalScienceandTechnology(Institutode Ciencia Física y Tecnológica), que dirigiría más tarde. Pertenecía a losmatemáticosquesesentíanimpelidosadarfinprácticoasusideassobrelarealidad.Suinformesobrecómosepropagabalagonorreahizoqueelgobiernofederalalterasesu programa nacional para atajar la enfermedad. Prestó testimonio oficial ante elEstado de Maryland, durante la crisis petrolera de los años setenta, afirmandocorrectamente (pero sin fuerza persuasiva) que el método de limitar con cupos laventadegasolina sólo lograríaque las colas fuesenmás largas.En la épocade lasmanifestacionesantibélicas, cuandoelgobiernopublicóuna fotografíaaéreaconelpropósito de mostrar cuán pocas personas hubo alrededor del monumento aWashington en el momento culminante de una de ellas, analizó la sombra queproyectabalaobrapúblicaydemostróquelafotografíahabíasidotomadamediahoradespués,cuandoelgentíosedispersaba.

En el instituto, Yorke disfrutaba de una libertad poco común para trabajar enproblemasquesesalíandeloscaminostrillados.Teníatratofrecuenteconexpertosdetodaslasdisciplinas.Unodeellos,especialistaendinámicadelosfluidos,habíaencontrado en 1972 el artículo de Lorenz «Deterministic Nonperiodic Flow»,redactadonueveañosantesy,enamoradodeél,regalócopiasatodoslosqueestabandispuestosaaceptarlas.Yorkerecibióuna.

El artículo era un ejemplo de la magia que Yorke había buscado, incluso sinsaberlo.Antetodo,leprodujountraumamatemático:unsistemacaóticoqueviolabael optimista esquemaoriginal de clasificación deSmale. Pero no se reducía sólo aeso,puesconteníaunvívidomodelofísico, la imagendeunfluidoenmovimiento.Yorkesehizocargoalinstantedequesetratabadeunadelascosasqueansiabaquelosfísicosvieran.Smalehabíapilotadolasmatemáticashaciatalesproblemas,pero,comoYorkeentendiómuybien,el lenguajede lascienciasexactas representabaunserioobstáculoparalacomunicación.¡Ojaláenelmundoacadémicohubieraespacioparaunhíbridofísico-matemático!Masnolohabía.ApesardequelaobradeSmalesobre los sistemas dinámicos había empezado a henchir el hueco, losmatemáticos


hablabantodavíaunlenguajey losfísicosotro.Comounodeesosúltimos,MurrayGell-Mann,comentóenunaocasión:

—Losmiembrosde la facultadestánal corrientede laexistenciadeun tipodeindividuoquemiraa losmatemáticoscomobuen físico,ya los físicoscomobuenmatemático.Hacenmuymalalnoquereracogerloentreellos.

Loscriteriosdelasdosprofesionesdiscrepaban.Losfísicosenunciabanteoremas,ylosmatemáticos,conjeturas.Losobjetosquecomponíansuuniversoerandistintos.Tambiénloeranlosejemplosqueaducían.

Smale se sentía dichoso con uno como el siguiente: tómese un número, unafracciónentreceroyuno,ydóblese.Prescíndasedelaporciónentera,laquehayalaizquierdadelacomadecimal.Repítaseelproceso.Comolamayoríadelosnúmeroses irracional e impredecible, el procedimiento sólo producirá una impredeciblesecuencia numérica.Un físico, ante lo que se acaba de exponer, no vería sino unatrivial rareza matemática, totalmente vacía de sentido, y demasiado sencilla yabstracta para tener utilidad alguna. No obstante, la intuición decía a Smale queaquellatravesuranuméricacompareceríasindudaenlaesenciademuchossistemasnaturales.

El físico concebía comoejemplo legítimouna ecuacióndiferencial quepudieraescribirsedemanerasimple.Yorke,al leerelarticulodeLorenz,peseaqueestabaenterrado en una revista demeteorología, supo que presentaba un ejemplo que losfísicosentenderían.EntregóunacopiaaSmale,incluyendosudirecciónparaqueseladevolviera.Sucolegasemaravillódequeunmeteorologistahubiesedescubierto—diez años antes— un caos del género que él mismo había considerado imposiblematemáticamente.Hizomuchasfotocopiasde«DeterministicNonperiodicFlow»,yasínaciólaleyendadequeYorkehabíasidoeldescubridordeLorenz.Cadacopiadelartículoqueaparecióenadelante,enBerkeley,llevóelremitentedeYorke.

Éste pensó que los físicos habían aprendido a no ver el caos. La cualidadlorenziana de la dependencia sensitiva de las condiciones iniciales despunta pordoquierenlavidacotidiana.Unhombresaledesucasaporlamañanaconunretrasodetreintasegundos,untiestodefloresnoseestrellacontrasucabezaporcuestióndemilímetrosyleatropellaluegouncamión.O,paranodramatizar,pierdeunautobúsquepasacadadiezminutos,yqueenlazaconel trenquehade tomar, el cual salecada hora. Las pequeñas perturbaciones de la rutina diaria personal llegan a tenerconsecuenciasabultadas.Elbateadorqueseenfrentaalapelotaarrojadasabequeelmismolanzamientonotieneaproximadamenteelmismoresultado,porqueelbéisbolesundeportedecentímetros.Sinembargo,laciencia…Lacienciaeradistinta.

Desdeelpuntodevistadidáctico,unabuenaporcióndelafísicaylamatemáticaera —y es— escribir ecuaciones diferenciales en una pizarra y enseñar a losestudiantes cómo se resuelven. Representan la realidad como un continuo, que


cambiasinbrusquedaddeunsitioaotroydeun tiempoaotro, sinque lo rompansolucionesdecontinuidaddelaclasequefuere.Resolverecuacionesdiferencialesescosadura,comolosabenlosaprendicesde lasciencias.Pero,eneldecursodedossiglos y medio, los científicos han reunido un tremendo acervo de conocimientossobreellas:manuales,catálogosyvariosmétodosparasolucionarlaso,comodiríaelespecialista,«encontrarunintegraldeformacerrada».Noseexageraalafirmarqueelvastoquehacerdelcálculodiferencialposibilitócasitodoslostriunfosprácticosdela ciencia posmedieval; ni al decir que sobresale como una de las creacionesmásingeniosasdelespírituhumanoenelintentodeestablecerundiseñodelmundoquenosrodea.Demaneraque,cuandodominaestamaneradepensarsobrelanaturalezaysesienteasusanchasconlateoríayladifícil,laarduapráctica,esprobablequeelcientífico haya perdido de vista un hecho nada desdeñable. Lamayor parte de lasecuacionesdiferencialesnopuedenresolverse.

—Sisepuedeescribirlasolucióndeuna—dijoYorke—,necesariamentenoserácaótica,porque,paraexpresaresasolución,sehandeencontrarinvariantesregulares,cosas que se conserven, como el impulso angular. El hecho de que esas cosasabundenpermiteestablecerunresultado.Peroéseeselmodoprecisodeeliminarlaposibilidaddelcaos.

Lossistemasresolublesseincluyenenloslibrosdetexto.SeportancomoDiosmanda. Los científicos, ante un sistema no lineal, habrían de sustituir lasaproximacioneslinealesobuscarotroinciertorecursosemejante.Loslibrosdetextoexhibíana losestudiantes loscontadísimosno linealesquepermitían tales técnicas.No evidenciaban dependencia sensitiva de las condiciones iniciales. Los quealbergaban el caos auténtico se enseñaban y aprendían rarísimas veces. Cuandotopabaconrasgoscomoaquéllos—ytopabaconellos—,lagente,porsuformación,razonaba con el fin de evitar tales aberraciones. Sólo unas cuantas personasrecordabanquetambiénloeranlossistemaslineales,ordenadosysolubles.Sólounaspocas, para expresarlo de modo distinto, comprendían hasta qué extremo lanaturalezanolinealocupabasusentrañas.EnricoFermiexclamóenunaocasión:

—LaBiblianodicequetodaslasleyesnaturalesseanexpresableslinealmente.ElmatemáticoStanislawUlamironizóquellamar«ciencianolineal»alestudio

delcaoseradefinirlazoologíacomo«elestudiodelosanimalesnoelefantes».Yorke comprendió. «El primer mensaje es que hay desorden. Los físicos y

matemáticosquierendescubrirregularidades.Lagentesepreguntaparaquésirveeldesorden.Sinembargo,hadeconocerlosiaspiraahabérselasconél.Elmecánicodecoches que ignore la suciedad de las bujías no será buen profesional». Tantocientíficos como profanos, pensó Yorke, se engañarán en lo que se refiere a lacomplejidad, si no armonizan adecuadamente con ella. ¿Por qué los inversoresinsisten en la existencia de ciclos en los precios del oro y la plata? Porque la


periodicidad es el comportamiento ordenadomás complicado que logran imaginar.Cuando ven una estructura compleja de precios, buscan alguna periodicidadconfundida en una mota de barullo accidental. Y los científicos que hacenexperimentos,enfísica,químicaobiología,nosondistintos.

—La gente vio en el pasado la conducta caótica en una infinidad decircunstancias—dijoYorke—.Efectuaronunexperimento físicoyéste seportódemaneraextravagante.Procuraronenmendarloorenunciaronahacerlo.Justificaronelcomportamiento caprichoso asegurando que había inconvenientes o que elexperimentoestabamalproyectado.

Yorke decidió que el trabajo de Lorenz y Smale enviaba un mensaje que losfísicosnoescuchaban.Así,pues,escribióunartículopara la revistademásampliadifusión,ymásdispuestaaaceptarlo, laAmericanMathematicalMonthly. (Por sermatemático, se sintió impotente para expresar sus ideas de modo que laspublicaciones de física consideran aceptable; sólo años más tarde se le ocurrió laestratagema de colaborar con físicos). El artículo sobresalió por méritos propios,pero, en el fondo, su virtud más influyente fue su título, intrigante y malicioso:«Period Three Implies Chaos» (El período tres implica el caos). Sus colegas leaconsejaronqueutilizaseunomássobrio,peroélseaferróaunvocabloquellegaríaasimbolizarelconjunto—creciente—delacuestióndeldesordendeterminista.HablóasimismoconsuamigoelbiólogoRobertMay.


BifurcacionesahorquilladasyunpaseoporelSpree

OcurríaqueMayhabíallegadoalabiologíaporlapuertatrasera.DiolosprimerospasoscomofísicoteóricoenlaciudadaustralianadeSydney,quelehabíavistonacer.Era hijo de un distinguido abogado. Llevó a cabo su trabajo posdoctoral enmatemáticasaplicadasenHarvard.En1971,pasóunañoenelInstituteforAdvancedStudy, en Princeton; en lugar de cumplir su deber, contrajo el hábito de visitar launiversidadprincetonianaparaconversarconlosbiólogos.

Incluso al presente, estos últimos no dominan las matemáticas más allá delcálculo diferencial. Las personas a quienes gustan las ciencias exactas y tienenaptitudesparaellas,seinclinanaseguirlas,osedecidenporlafísica,antesqueporlas que estudian la vida. May era una excepción. Sus intereses le acercaron, demomento,alosproblemasabstractosdelaestabilidadylacomplejidad,explicacionesmatemáticas que permiten que coexistan los competidores. Pronto empezó aconcentrarseen lacuestiónecológicamássencilladecuáleselcomportamientodecadapoblación en el transcursodel tiempo.Losmodelos, inevitablemente simples,parecíanuncompromisomenor.CuandoseuniódefinitivamentealcuerpoacadémicodePrinceton—enelquellegaríaaserdecanodelaactividadinvestigadora—,habíapasado ya muchas horas estudiando una versión de la ecuación de diferencialogística, con la ayuda del análisis matemático y, también, de una primitivacalculadoramanual.

Cierta vez había escrito, en Sydney, en una pizarra colocada en un pasillo, laecuación como problema destinado a los estudiantes graduados. Principiaba aencocorarle.«¿Qué diablos sucede cuando lambda se hacemayor que el punto deacumulación?».Osea,quéocurríacuandolarazóndecrecimientodeunapoblación,sutendenciaaaumentaryprosperar,excedíadeunpuntocrítico.Duranteelensayodediferentesvaloresparaeseparámetronolineal,Mayreparóenquepodíacambiarde forma asombrosa el carácter del sistema. Acrecentar el parámetro equivalía aacrecentar lano linealidad,yesoalterabanosólo lacantidaddel resultado,sinosucualidad. Afectaba no sólo a la población en equilibrio, sino al hecho de si lapoblaciónseequilibraría.

ElmodelosimpledeMayadquiríaestadoestablesielparámetroerabajo.Sieraalto,serompíaelestadoestable,ylapoblaciónoscilabaentredosvaloresalternantes.Sieraaltísimo,elsistema—elmismísimosistema—comenzabaaportarsedeformaimpredecible. ¿Por qué? ¿Qué acaecía exactamente en los límites de las distintasclases de comportamiento? May no acertó con ello. (Ni tampoco los estudiantesgraduados).

Pusoenprácticaunprogramadeexploraciónnuméricaintensasobreelproceder


de esta ecuación, la más sencilla de todas. El programa era análogo al de Smale:queríaentenderaquellasimpleecuacióndegolpe,globalynolocalmente.Eramuchomás sencilla que todo lo que Smale había estudiado. Parecía increíble que susposibilidades para crear orden y desorden no se hubieran agotado mucho antes.Seguían ternes. Ciertamente, el programa de May acababa de empezar. Investigócentenares de valores distintos del parámetro, dando movimiento al bucle delfeedback o realimentación, y esperandover dónde—y si— la sarta denúmeros sedetenía en un punto dado. Se centró cada vez más en el límite crítico entre laestabilidad y la oscilación. Fue como si poseyera un vivero en el que ejerciesedelicadaautoridadsobreelaumentoylaprosperidaddelospeces.Utilizandotodavíala ecuación logística,xpróx=rx(1−x), acrecentó el parámetro con lamayor lentitudposible. Si era 2,7, la población sería 0,6292. Mientras el parámetro ascendía, lapoblación final se acrecentó levemente, trazando una línea que se elevó de formaimperceptible,entantoquesemovíadederechaaizquierdaenlagráfica.

Mas, de pronto, cuando el parámetro pasó a 3, la línea se partió en dos. LaimaginariapoblaciónícticadeMaysenegóapermanecerenunsolovaloryoscilóentre dos puntos en años alternos.Cuando partía de un número bajo, la poblacióncrecía y fluctuaba hasta que aleteaba adelante y atrás. La oscilación se rompíagirandoelmandoalgomás—aumentandoalgomáselparámetro—,yasíseprodujounaseriedecifrasqueseresolvióencuatrovaloresdiferentes,cadaunodeloscualesreaparecíacadacuatroaños.[2]Porconsiguiente,lapoblaciónsubíaybajabasegúnunprogramacuatrienal regular.Elciclosehabíavueltoadoblar:primerodeunañoados,yentoncesacuatro.Ydenuevoelcomportamientocíclicoresultantefueestable;distintosvaloresdepartidaconvergíansiempreenelmismociclodecuatroaños.

ComoLorenzhabíadescubiertohacíaunadécada,laúnicamaneradeinterpretarnúmeroscomoaquéllos,yconservarlavista,erarecurriraunagráfica.Maydiseñóun perfil escueto, destinado a sumar todo el conocimiento de la conducta de talsistemaendiferentesparámetros.Elniveldeéstosseproyectóensentidohorizontal,de izquierda a derecha, y la población, verticalmente. May estableció para cadaparámetro un punto que indicaba el resultado final, después de que el sistemaalcanzara el equilibrio. A la izquierda, donde el parámetro era bajo, ese resultadosería un punto, de suerte que todos se significarían con una línea que ascenderíalentamente de derecha a izquierda. Cuando el parámetro hubiese dejado atrás elprimerpunto,Maytendríaqueseñalardospoblaciones:lalíneasedividiríaendosenformadeYinclinadauhorquilla.Laparticióncorresponderíaaunapoblaciónquesedeslizabadeuncicloanualaotrobianual.



DUPLICACIÓNDE PERÍODOYCAOS. En vez de utilizar gráficas para representar el comportamiento depoblacionescongradosdistintosdefecundidad,RobertMayyotroscientíficosrecurrieronaun«diagramadebifurcación»parareunirtodalainformaciónenunasolaimagen.

El diagrama muestra cómo los cambios en un parámetro —en este caso, «el florecimiento y laproliferación»deunapoblaciónsilvestre—transformaránelcomportamientodefinitivodeunsistematansimple.Losvaloresdelparámetroserepresentandeizquierdaaderecha;lapoblaciónfinalseindicaenelejevertical.Enciertosentido,dirigirelvalordelparámetrohaciaarribasignificainfluirmuchomásenelsistema,aumentandosunolinealidad.

La población se extingue donde el parámetro es bajo (izquierda). Así que aumenta, también seacrecientaelniveldeequilibriodelapoblación(centro).Sisiguecreciendo,elequilibriosedivideendos,de la misma manera que intensificar el calor en un fluido en convección hace que aparezca lainestabilidad;lapoblaciónprincipiaaalternarendosnivelesdistintos.Lasdivisiones,obifurcaciones,sehacen cada vezmás rápidas. Entonces el sistema se vuelve caótico (derecha), y la población pasa pormuchosvalores, infinitamentediferentes.(Enlasdossiguientesilustracionessepresentaunaampliacióndelaregióncaótica).

Puesbien,amedidaqueelparámetrosiguióelevándose,elnúmerodepuntossedoblóunavez,ydespuésotra,y luegootra.Eradesconcertanteuncomportamientotancomplejoy,almismotiempo,tanregular.Maylodefiniócomo«laserpienteenlahierba matemática». Las duplicaciones eran bifurcaciones, y cada una de ellasindicabaquelapautadeiteraciónsedescomponíadenuevo.Unapoblaciónestable


alternaríaentrediferentesnivelesunañonoyotrosí.Laquehabíaalternadoduranteunciclodedosañosvariabaenelterceroyelcuarto,mudándosealperíodocuatro.

Lasbifurcacionesseaceleraban—4,8,16,32,etc.—yseinterrumpíandepronto.Allende cierta situación, el «punto de acumulación», la periodicidad se somete alcaos, a fluctuaciones que jamás se asientan. Regiones enteras del gráfico seennegrecen. Si se examina una población gobernada por la más sencilla de estasecuacioneslineales,llegaacreersequeloscaminosanualesdependendelazar,comosi los anulase el alboroto ambiental. No obstante, en el seno de esta complejidadreaparecendesúbitolosciclosestables.Apesardequeelparámetroascienda,comopruebadequelanolinealidadseadueñadelsistemaconintensidadcreciente,aparecede repente una ventana con un período irregular: uno excéntrico, como 3 o 7. Lapautadelapoblacióncambianteserepiteenunciclodetresosieteaños.Arenglónseguido,lasbifurcacionespropiasdelperíododeduplicaciónsereinicianconrapidezmayor,demaneraquerecorrevelozmenteciclosde3,6,12,etc.,ode7,14,28,etc.,traslocualseinterrumpedegolpeyelcaosserenueva.

Maynopudo,alprincipio,abarcardeunamiradalatotalidaddeloantesdescrito;pero eran bastante desconcertantes los fragmentos accesibles a sus cálculos.En unsistema delmundo real, el observador vería cada vez la tajada vertical de un soloparámetro, únicamente una clase de comportamiento, ya un estado estable, ya unciclodesieteaños,yaazaraparente.Notendríaformadesaberqueelmismosistema,conalgúncambioimperceptibleenunparámetro,podíaexhibirpautasdegéneroporcompletodistinto.

JamesYorke analizó con rigormatemático este comportamiento en su artículo«PeriodThree ImpliesChaos» (El período tres implica caos). Probó quecualquiersistemaunidimensional,siapareceunperíodoregulardetres,mostraránosólociclosregulares de extensión diferente, sino otros completamente caóticos. Tal fue eldescubrimientoqueafectócomouna«descargaeléctrica»afísicosdelacategoríadeFreemanDyson.Eraalgotancontrarioalaintuición…Sehubieraimaginadocomotriviallapresentacióndeunsistemaqueserepitieseasímismoenunaoscilacióndeperíodo tres, singenerarcaosniporasomo.Yorkedemostróquese tratabadealgoimposible.

Estaba convencido de que el valor en relaciones públicas de su artículosobrepasabaeldesusustanciamatemática,bienquefueradetonante.Acertóenparte.Pocos años después, mientras asistía a una conferencia internacional en el Berlínoriental, aprovechó laocasiónparavisitar los alrededoresy tomóunaembarcaciónque recorría el Spree. Se le acercó de sopetón un ruso, con el ánimo evidente decomunicarle algo con urgencia. Gracias a la ayuda de un amigo polaco, Yorkeconsiguióenterarsedequeel rusopretendíahaberprobadoelmismo resultado.Suinesperadointerlocutorsenegóaproporcionarmásdetalles;sólosecomprometióa


enviarle su artículo. Yorke lo recibió, en efecto, cuatro meses después. A. N.Sarkovskiselehabíaanticipadoconunartículotitulado«Coexistenciadeciclosdeundiagramacontinuodeunalíneaensímismo».PeroYorkehabíaofrecidomásqueun resultado matemático. Había despachado un mensaje a los físicos: el caos esubicuo, estable y estructurado. También proporcionó motivo para creer que lossistemas complejos, que, tradicionalmente, se modelaban con arduas ecuacionesdiferencialescontinuas,seentenderíanentérminosdediagramasindividualesfáciles.


JamesP.Crutchfield/NancySterngold

VENTANASDEORDENENEL INTERIORDELCAOS. Inclusocon la ecuaciónmáselemental, la regióndecaosenundiagramadebifurcacióntieneunaestructuraintrincada,peromuchomásordenadadeloqueRobert May sospechó al pronto. Ante todo, las bifurcaciones producen períodos de 2, 4, 8, 16, etc.Despuésempiezaelcaos,sinperíodos regulares.Luego,cuandose fuerzaaúnmáselsistema,aparecenventanasconperíodosimpares.Surgeunperíodo3estable(ampliaciónarriba),yacontinuaciónsereiniciala duplicación de períodos: 6, 12, 24, etc. La estructura tiene profundidad infinita. Cuando se amplíanporcionesdeella(comolapartecentraldelaventanadelperíodo3,—ampliaciónabajo—),seasemejanaldiagramaentero.


ampliaciones

El encuentro turístico de dos matemáticos, gesticulantes e impotentes paracomunicarse,erasíntomadelafaltadecomunicaciónentrelacienciasoviéticaylaoccidental.Enparteporculpadelidioma,y,enparte,porculpadelasrestriccionesimpuestas a los ciudadanos de laURSS deseosos de viajar, notables científicos deOccidente habían repetido a menudo trabajos que ya figuraban en la bibliografíasoviética.ElflorecimientodelcaosenlosEstadosUnidosyEuropahainspiradounaenormecantidaddetrabajoparaleloenlaUniónSoviética;yasimismohaprovocadoperplejidad y desorientación indescriptibles, porque un buen retazo de la nuevaciencianoeranovedadenMoscú.Losmatemáticosyfísicossoviéticosdisfrutande


sólidatradiciónenlainvestigacióndelcaos,desdelaobradeA.N.Kolmogorov,eneldeceniode1950.Además,tienenelhábitodecolaborar,conelcualsehansalvadodeladivergenciaqueseparaalosdeotrasnaciones.

Por consiguiente, los científicos de la URSS estaban preparados a escuchar aSmale:suherraduraprovocónotableconmociónenlosañossesenta.Undistinguidofísicomatemático,YashaSinai, tradujoenseguidasistemassimilaresaexpresionestermodinámicas.Demaneraparecida,cuandolaactividaddeLorenzllegóporfinalafísicaoccidental,enladécadade1970,sedivulgótambiénporlaUniónSoviética.Yen1975,cuandoYorkeyMayseesforzabanenencenderel interésdesuscolegas,Sinaiyotros congregaronprontamenteunpoderosogrupode físicosconcentroenGorki.Enlosúltimosaños,algunosexpertosoccidentalesenelcaoshanconvertidoennormalasvisitasregularesalaURSS,conelfindeestaralcorrientedelosnuevosavances; con todo eso, losmás han de darse por satisfechos con la versión de sucienciaenOccidente.

Yorke y May fueron los primeros en el mundo occidental en sentir el plenoimpactodeladuplicacióndeperíodoyentransmitirloalacomunidadcientífica.Losescasos matemáticos que habían advertido el fenómeno lo trataron como asuntotécnico, como rareza numérica, casi comoun juego.No lo juzgaron insignificante,perosíalgoquepertenecíaasuuniversopersonal.

Los biólogos no habían tenido en cuenta las bifurcaciones que llevan al caos,tanto porque carecían de refinamiento matemático, como porque no les asistíanmotivos para explorar el comportamiento desordenado. Los matemáticos habíanreparadoen lasbifurcaciones,perosindetenerseenellas.May,que teníaunpieencadamundo,comprendióqueentrabaenuncampoasombrosoyhondo.


Unapelículadelcaosyunllamamientomesiánico

Para calar en el sistema, elmás sencillode todos, los científicoshabíanmenesterordenadoresmás eficaces y potentes. FrankHoppensteadt, delCourant Institute ofMathematical Sciences (Instituto Courant de Ciencias Matemáticas), de laUniversidaddeNuevaYork,disponíadeunoqueloeratanto,quedecidiógrabarunapelícula.

Hoppensteadt,matemático que luego sintió encendido interés en los problemasbiológicos, estudió la ecuación no lineal logística en su Control Data 6600,alimentándolacentenaresdemillonesdeveces.Tomófotogramasde lapantalladelordenadoracadamillardevaloresdistintosdelparámetro,acadamilsintonizacionesdiferentes.Comparecieron las bifurcaciones, después el caos y… luego, dentro delcaos, las puntitas de orden, efímeras a consecuencia de su inestabilidad. Fugacesgranillos de conducta periódica. Al contemplar la película que había hecho,Hoppensteadtcreyóvolarporencimadeunpaisajedesconocido.Poruninstante,noparecíacaótico;alsiguiente,sehenchíadetumultoimpredecible.Jamásselibródeltododelpasmodeaquelmomento.

Mayviolapelícula.Sepusoacosecharmuestrasanálogasdeotroscampos,comoelgenético,el económicoyelde ladinámicade fluidos.Teníadosventajas, comopregonero del caos, sobre los matemáticos puros. Una era que las ecuacionessencillasnorepresentaban,asujuicio,larealidadperfectamente.Sabíaquesetratabasólo demetáforas, y, por ello, comenzó a preguntarse con cuánta amplitud podíanaplicarse las metáforas. La otra ventaja consistía en que las revelaciones del caosafectaban de modo directo a una vehemente controversia que reinaba en suespecialidad.


RobertMay

ElperfildeldiagramadebifurcacióntalcomoMaylovioenelprimermomento,antesdequeordenadoresmáspotentesrevelasensuricaestructura.

Labiologíadelapoblacióneraimándediscusionesdesdehacíamuchotiempo.Había tensiones en los departamentos de biología, por ejemplo, entre los biólogosmoleculares y los ecologistas. Aquéllos creían cultivar la ciencia verdaderaresolviendo problemas bien definidos y abstrusos, en tanto que la labor de losecologistas pecaba de vaga. Éstos pensaban que las obras maestras técnicas de labiologíamolecularsóloerandesarrollosprimorososdeproblemasbiendefinidos.

Alprincipiodelosañossetenta,dentrodelaecologíaconformeMaylaconcebía,una polémica esencial versaba sobre la índole del cambio de la población. Losecologistas discrepaban de forma que casi correspondía a la personalidad de cadacual. Unos veían el mensaje del mundo como algo ordenado: las poblaciones sonregulares y constantes… con excepciones. Otros interpretaban lo contrario: laspoblacionesfluctúandeformainconstante…conexcepciones.Puestosanocoincidir,los bandos discrepaban también sobre la aplicación de lasmatemáticas elevadas aconfusascuestionesbiológicas.Quienesestabanconvencidosdequelaspoblacioneseranuniformes,argüíanquealgunosmecanismosdeterministasteníanqueregularlas.Y quienes decían que eran irregulares, defendían que las trastornaban factoresambientales impredecibles, lo cual anulaba cualquier sombra de determinismo quepudiera existir. O las matemáticas deterministas producían comportamientoconstante,oelfortuitobarulloexternoacarreabacomportamientoazaroso.Nocabíaotraposibilidad.

El caos aportó un mensaje sorprendente al debate: sencillos modelosdeterministas eran capaces de acarrear lo que parecía comportamiento pletórico deazar. Éste tenía estructura exquisita; pero una parte de él casi no se distinguía delerror,almenosenapariencia.Elhallazgodioenlovivodelacontroversia.

Prosiguiendo en su búsqueda en el campo de los sistemas biológicos, con la


intención de encontrar modelos caóticos simples, May continuó obteniendoresultadosquechocabanconlaopinióncorrienteentrelosprofesionales.Porejemplo,se sabía de sobras en epidemiología que las enfermedades generales transitorias seinclinanapresentarseenciclosregularesoirregulares.Elsarampión,lapoliomielitis,larubéola,etc.,seextiendenyreducendeformacíclica.Maycomprendióquetalesoscilacionespodíanrepresentarseconunmodelonolineal,yrumióquésucederíasiun sistema como aquél sufría un impulso inesperado, una perturbación como unacampañadevacunación.Lomáselementalespensarqueelsistemaseencaminarásinsobresaltosenladirecciónansiada.Pero,enrealidad,Mayhallóqueeraprobablequese originasen grandes oscilaciones. Incluso cuando la tendencia a largo plazodescendíasintitubeos,lasendahaciaunequilibrionuevoseinterrumpíaconcúspidesllamativas.Dehecho,enlosdatosdeprogramasprácticos,talescomounacampañaparaeliminarlarubéoladelReinoUnido,losmédicoshabíanpercibidooscilacionescomo las que había vaticinado el modelo de May. Y cualquier funcionario de lasanidad pública, ante una crisis aguda a corto plazo de rubéola, creería que elprogramahabíafracasado.

El estudio del caos imprimió en pocos años un fuerte impulso a la biologíateórica, y unió a biólogos y físicos en doctas asociaciones, inconcebibles en elperíodoinmediatoanterior.Losecologistasyepidemiólogosexhumarondatosqueloscientíficosprecedenteshabíandescartadoporserdemasiadoengorrosos.Sedescubriócaos determinista en los registros de epidemias de sarampión en Nueva York, asícomo en dos siglos de fluctuaciones que habían señalado los tramperos de laCompañíade laBahíadeHudson.Losbiólogosmolecularesempezaronaconcebirlasproteínascomosistemasenmovimiento.Losfisiólogoscontemplaronlosórganosnocomoestructurasestáticas,sinocomocomplejosdeoscilaciones,yaregulares,yairregulares.

May estaba al corriente de que los especialistas siempre habían notado elcomplicadocomportamientode los sistemas,yquehabíandiscutidosobreél.Cadaciencia pensó que su género privativo de caos era especial en sí mismo. Aquellodesesperó a todos. ¿Y si el azar aparente brotaba de modelos simples? ¿Y si losmismosmodelos simples se aplicaran a la complejidad endiferentes campos?Mayadvirtióconclaridadquelasasombrosasestructuras,queapenashabíanempezadoaexplorar, no estaban vinculadas demodo intrínseco, exclusivo, con la biología. Sepreguntócuántoscultivadoresdeotrossaberessesentiríantandesconcertadoscomoél.Pusomanosalaobraenloqueimaginócomosuartículo«mesiánico»,lareseñaqueNaturepublicóen1976.

El mundo mejoraría, aseguró May, si se daba a todos los estudiantes unacalculadoradebolsilloyselesanimabaaentretenerseconlaecuacióndediferencialogística. Ese cálculo fácil, que detalló cuidadosamente en su artículo deNature,


enmendaría ladeformadavisiónde lasposibilidadesdelmundoquesederivade laeducacióncientíficacorriente.Corregiríaelmodocomolagenteconcebíatodo,desdelateoríacíclicadelosnegocioshastalapropagacióndebulos.

Defendió que debía enseñarse el caos.Había llegado elmomento de reconocerque la formación ordinaria de un científico daba una impresión equivocada. Pormucho que se esmerasen las matemáticas lineales, con transformadas de Fourier,funciones ortogonales y regresiones técnicas, le desviaban inevitablemente de sumundo,deabrumadoranolinealidad.

«La intuición matemática, que tanto se cultiva, equipa mal al estudiante paraenfrentarseconelextravagantecomportamientodelmássencillodelossistemasnolinealesdiscontinuos»,escribióMay.«Nosóloenlainvestigación,sinotambiénenelorbe cotidiano de la política y la economía, saldríamos ganando si más personascomprendieran que los sistemas no lineales simples no poseen obligatoriamentepropiedadesdinámicassencillas».


4UNAGEOMETRÍADELANATURALEZA

Y,sinembargo,hayrelación.Unarelaciónminúsculaqueseamplíacomolasombradeunanubeenlaarena,unafiguraenlaladeradeunacolina.

WALLACESTEVENS,«ConnoisseurofChaos»(Peritoencaos)


Undescubrimientosobrelospreciosdelalgodón

UnaimagendelarealidadforjadaduranteañosenlamentedeBenoîtMandelbrot.En 1960, era el asomo de una idea, visión tenue y borrosa. Pero la reconoció alpercibirla,yellosucedióenlapizarradelgabinetedetrabajodeHendrikHouthakker.

Mandelbrot era un factótum matemático, adoptado y cobijado por el ala deinvestigación pura de la International Business Machines Corporation (SociedadInternational de Máquinas para Negocios, IBM). Se había dedicado, casi comoaficionado,alestudiodelaactividadeconómica,paraprecisarladistribucióndelasrentasgrandesypequeñas.Houthakker,profesordeeconomíaenHarvard, lehabíainvitado a pronunciar una charla, y cuando llegó al Littauer Center, majestuosoedificiosituadoalnortedelHarvardYard,el jovenmatemáticosesobresaltóalversus hallazgos escritos en la pizarra de su anfitrión.Mandelbrot bromeó con acentoquejumbroso —¿Cómo se ha materializado mi diagrama antes de que diese laconferencia?— y Houthakker no entendió a qué se refería. Lo anotado no teníarelaciónalgunacon ladistribuciónde las rentas; representabaochoañosdelpreciodelalgodón.Tambiéndesdeelpuntodevistadelprofesor,lagráficaresultabaalgoanómala.Loseconomistas solían dar por supuesto que el precio de unamercancía bailaba a dosritmos distintos, uno ordenado y otro sometido al azar. A largo plazo, los preciosexperimentaban el empuje de fuerzas reales en la economía: la prosperidad y ladebilitación de la industria textil de Nueva Inglaterra, o la apertura de rutascomerciales internacionales. A corto plazo, se agitaban de forma más o menosimpensada. Desgraciadamente, los datos de Houthakker no casaban con susexpectativas.Habíademasiados saltos importantes.Desde luego, lamayorpartedeloscambiosdeprecioerapequeña,perolarelaciónentreellosylosgrandesnoeratan notable como había esperado. La distribución no se interrumpía con suficienterapidez.Teníacolalarga.


W.J.Youden

LACURVAACAMPANADA

Elmodelo típico de gráfica de variación era y es la curva acampanada. En laporciónmedia,dondeseenarcalajorobadelacampana,lamayoríadelosdatossearracimaalrededordelpromedio.A los lados, losextremossuperiore inferiorcaenrápidamente. El estadístico utiliza esa curva como el médico internista elestetoscopio,osea,comosuprimerrecursoinstrumental.Representaladistribuciónnormaldelascosas,llamadagaussiana,asaber,lacorriente.Estableceunadefiniciónde la naturaleza de lo azaroso. El hecho es que, cuando varían, las cosas intentanpermanecercercadelpuntopromedioyselasarreglanparasituarseentornoaéldemodo fácil y razonable. Pero las nociones regulares dejan algo que desear comomedioparaencontrarsendasenlaselvaeconómica.ComoelPremioNobelWassilyLeontiefdijo:«Enningúncampodelainvestigaciónempírica,mecanismoestadísticotansólidoyrefinadosehausadoconresultadostanmediocres».

Pormucho que los combinara y fraguara con ellos una gráfica,Houthakker noconseguíaqueloscambiosdepreciosdelalgodónencajaranenelmodelodelacurvaacampanada.Encambio,presentabanunaimagencuyasiluetaMandelbrotveíayaenlossitiosmásdispares.Adiferenciademuchísimosmatemáticos,seenfrentabaconlos problemas confiando en su intuición de las pautas y formas. Desconfiaba delanálisisyconfiabaensus imágenesmentales.Yyahabía tenidoelpensamientodeque otras leyes, con diferente comportamiento, podían gobernar los fenómenosestocásticos, fortuitos.Regresó al gigantesco centro de investigaciónde la IBMenYorktownHeights(NuevaYork),situadoenlosmontesdelseptentrióndelcondadodeWestchester,conlosdatosdeHouthakkersobreelalgodónenunacajadefichasdeordenador.DespuéssolicitódelMinisteriodeAgricultura,enWashington,elenvíodemuchosmás,queseremontaronhastaelaño1900.

Comoloscientíficosdeotrasdisciplinas,loseconomistassalvabanelumbraldela era del ordenador, y descubrían paulatinamente que tendrían la posibilidad dereunir,organizarymanipularinformaciónaescalaantesinconcebible.Sinembargo,nosedisponíadetodogénerodeinformación,ylaqueselograbaacopiarhabíade


sermodificadademanerautilizable.Tambiénamanecía la erade laperforadoradeteclado(keypunch).Losinvestigadoresdelasciencias«duras»encontraronmásfácilla tarea de acumular sus miles o millones de datos. Los economistas, como losbiólogos, se las habían con un mundo de voluntariosos seres vivos. Y aquéllosestudiabanlascriaturasmáselusivasdetodas.

Pero,almenos,elmediodeloseconomistassuministrabaprovisiónconstantedenúmeros.DesdeelpuntodevistadeMandelbrot,lospreciosdelalgodóneranfuenteideal de datos. Tenían registros completos y antiguos, puesto que se remontaban amásdeun siglo.El algodón formabaparte del universode la compraventa conunmercado centralizado—y por lo tanto, con archivos centralizados—, pues, desdefinesdelacenturiaanterior,todoelalgodóndelsurpasabaporlalonjaneoyorquina,caminodeNuevaInglaterra,ylospreciosdeLiverpoolestabanvinculadosalosdeNuevaYork.

Bienquetuviesenpocacosaenqueapoyarse,cuandoqueríananalizarlospreciosdelosartículosdeconsumo,olosdelmercadodevalores,esonosignificabaqueloseconomistascareciesendecriterio fundamentalsobrecómoseobraban loscambiosdeprecios.Antesbien,compartíanalgunosartículosdefe.Unoconsistíaenqueloscambios pequeños y transitorios no tenían nada en común con los grandes a largoplazo.Lasfluctuacionesrápidassobrevienendemodoocasional.Loslevesaltibajos,durante las transacciones de un día, no son sino ruidos parásitos, impredecibles ynada interesantes. Sin embargo, las alteraciones a largo término son de especieenteramente distinta. Los vaivenes acusados de los precios durante meses, años odecenios suceden por la intervención de profundas fuerzas macroeconómicas, lasorientacionesdelaguerraolarecesión,fuerzasqueenteoríaerancomprensibles.Enunlado,elzumbidodelasfluctuacionesdevidacorta;enotro,elpitidodelcambioalargoplazo.

Ocurrió,noobstante,queladicotomíanoteníacabidaenlaimagendelarealidadque Mandelbrot desarrollaba. En vez de separar los cambios minúsculos de losabultados,laimagenlosunía.Buscabapautasnoenestaoaquellaescala,sinoenelsenode lasdecualquier tamaño.Andabamuy lejosdesabercómoplasmaraquellacriaturadesumente,perosabía,encambio,quehabríaunaespeciedesimetría,nounadeizquierdayderechaodearribayabajo,sino,másbien,unasimetríadeescalasgrandesypequeñas.

Mandelbrothallólosasombrososresultadosqueperseguía,cuandopasólosdatosde los precios del algodón por los ordenadores de la IBM. Los números queintroducíanaberraciones,desdeelpuntodevistadeladistribuciónnormal,producíansimetríadesdeelde lamediciónporescalas.Cadacambioparticulardelprecioeraazarosoeimpredecible.Perolasecuenciadeloscambiosnodependíadelaescala:sehermanabanperfectamentelascurvasdeloscambiosdiariosylasdelosmensuales.


Parecía increíble, pero, según el análisis privativo de Mandelbrot, el grado devariación había permanecido constante durante un período de sesenta añostumultuosos,quepresenciólasdosguerrasmundialesyunadepresióneconómica.

Enlasresmasdedatosmásdesordenadosbullíaunaespecieinesperadadeorden.Considerando lo arbitrario de los números que examinaba, ¿por qué, se preguntóMandelbrot, había de mantenerse en pie cualquier ley? ¿Y por qué se aplicabaigualmentebienalosingresospersonalesyalospreciosdelalgodón?

Adecirverdad,elconocimientoeconómicodeMandelbroteratanparcocomosuhabilidad para comunicarse con los economistas. El artículo que publicó sobre sushallazgos fue precedidopor otro explicativode unode sus alumnos, que repitió elmaterialdeaquélconel léxicopropiode losexpertoseneconomía.Mandelbrot sededicóaotrascosas,peroretuvosudeterminación,cadavezmayor,deinvestigarelfenómeno de la medición por escalas. Parecía ser una cualidad provista de vidapropia:unafirma.


UnrefugiadodeBourbaki

Presentadoañosmástardeenelprólogodeunaconferencia(«…enseñóeconomíaenHarvard,ingenieríaenYale,fisiologíaenlaEinsteinSchoolofMedicine[EscuelaEinsteindeMedicina]…»),Mandelbrotcomentóconorgullo:

—Amenudo, al oír la lista de mis pasadas ocupaciones, llego a dudar de miexistencia.Lainterseccióndetalesconjuntosestáindudablementevacía.

Ciertamente,desdesusdíasenlaIBM,hafracasadoenarraigarenunalargalistadecamposcientíficos.Fuesiempreunextraño,queabordabadeformaheterodoxaunrincónpocofavorecidodelasmatemáticas,explorabadisciplinasenqueencontadasocasiones teníabuenaacogida,disimulabasus ideasmásnotablesconel findequesusartículossepublicaran,ysobrevivíagraciassobretodoalaconfianzadesusjefesenYorktownHeights.Efectuóincursionesenmateriascomolaeconomíayseretiró,dejandotrassíideasintrigantes,pero,raramente,obrasbienfundadas.

Mandelbrot siguióun caminopersonal en la historia del caos.La imagende larealidad que apuntó en su mente en 1960 se transformó de rareza en geometríasazonada. Para la física que se expandía con el trabajo de personas como Lorenz,Smale,Yorke yMay, aquel quisquillosomatemático era algo secundario; pero sustécnicasyléxicollegaronaserparteinseparabledelanuevaciencia.

Esta descripción habría parecido inadecuada a quienes le conocieron en añosposteriores, con su frente alta e imponente y su lista de títulos y galardones. Noobstante,BenoîtMandelbrotseconcibemejorcomorefugiado.NacióenVarsoviaen1924enelsenodeunafamiliajudíalituana;supadreeravendedoralpormayordetrajes, y sumadre, dentista. LosMandelbrot, atentos a la situación geopolítica, setrasladaronaParísen1936,atraídosparcialmenteporlapresenciaenaquellaciudaddeltíodeBenoît,elmatemáticoSzolemMandelbrojt.Declaradalaguerra,lafamiliaseanticipóunavezmásalosnazis.Abandonósusbienes,salvounascuantasmaletas,yseincorporóalariadadefugitivosqueatascólascarreterasdelsurdeParís.Llegó,alfin,alaciudaddeTulle.

Duranteciertotiempo,Benoîtviviócomoaprendizdefabricantedeherramientas,peligrosamentevisibleacausadesuestaturaysueducación.Fueépocadevisionesymiedos inolvidables; pero, más tarde, recordó escasas penalidades personales, yrememoró,encambio,suamistadenTulleyotroslugaresconprofesores,algunosdeellos eruditos distinguidos, también desplazados por la contienda. En conjunto, suformaciónfueirregularyentrecortada.Afirmódespuésquejamáshabíaaprendidoelalfabeto,ni,loqueresultabamássingular,latablademultiplicarmásalládelcinco.Contodo,estabamuybiendotado.

Tras la liberacióndeParís,adespechodesufaltadepreparación,sepresentóa


losexámenesoralesyescritos,quedurabanunmes,deingresoenlaÉcoleNormale(EscuelaNormal)ylaÉcolePolytechnique(EscuelaPolitécnica),ylosaprobó.Entreotraspruebas,habíaunadedibujorudimentario,yMandelbrotdescubrióqueposeíafacilidad latente para copiar laVenusdeMilo.Enmatemáticas—álgebra formal yanálisis integrado— logró rebozar su falta de conocimientos con el socorro de suintuición geométrica. Había descubierto que casi siempre conseguía pensar en losproblemas analíticos gracias a que una forma surgía en su mente. Acertaba atransformarlafiguraquefuere,alterandosusimetríayhaciéndolamásarmoniosa.Amenudosustransformacioneslellevabandirectamentealasolucióndelosproblemasanálogos. Tuvo notas bajas en física y química, en las que no podía recurrir a lageometría. En cambio, en matemáticas solventó cuestiones, que jamás hubieraresueltoconlatécnicacorrecta,mediantesumanipulacióndelasformas.

LaÉcoleNormaleylaÉcolePolytechniqueerancentrosselectosdeenseñanza.Preparaban no menos de trescientos alumnos por clase para carreras en lasuniversidadesfrancesasylaadministracióncivil.MandelbrotempezóenlaNormale,lamás pequeña y prestigiosa de ambas, pero la abandonó a los pocos días por laPolytechnique.ErayaunrefugiadodeBourbaki.

TalvezennaciónalgunaexceptoenFrancia,consudebilidadporlasacademiasautoritarias y las reglas establecidas sobre la enseñanza, pudo crearse Bourbaki.Naciócomoclub,fundadodurantelainquietaesteladelaprimeraguerramundialporSzolemMandelbrojtyungrupitodejóvenes,quebuscabanelmododereedificarlasmatemáticasfrancesas.Lastristesconsecuenciasdelaluchahabíanabiertounhuecoentre los profesores universitarios y los estudiantes, rompiendo la tradición decontinuidad académica, y aquellos jóvenes sobresalientes se dispusieron a sentarnuevos cimientos para la prácticamatemática.El nombrede la agrupación era unabroma esotérica, adoptado por su sonido exótico y atractivo—así se supuso mástarde—:elapellidodeungeneralfrancésdeorigengriegoquevivióenelsigloXIX.Bourbakiseoriginódeunimpulsotraviesoqueprontodesapareció.

Susmiembrossereuníanensecreto.Nisiquierasesabecómosellamabantodos.Su número era fijo.Cuando dimitía un componente, a los cincuenta años de edad,como había sido pactado, los demás elegían su sustituto. Eran los matemáticosmejores y más brillantes, y su influencia no tardó en abarcar todo el continenteeuropeo.

Bourbaki se formó, en parte, como reacción a Poincaré, el gran hombre de lasegundamitaddelsigloXIX,pensadordeformidableproducciónyescritoralqueelrigorpreocupabamenosqueaotroshombresdeciencia.Siséquetengorazón,¿porqué he de probarla?, solía decir. Bourbaki opinaba que Poincaré había legado unabaseinseguraalasmatemáticas,ysepusoaescribiruntratadoenorme,decortecadavezmásfanático,parallevaraladisciplinaporelbuencamino.Elmeolloestabaen


elanálisislógico.Elmatemáticodebíacomenzarconprincipiossólidosydeducirdeelloselresto.Elgrupoinsistíaenlaprimacíadesuespecialidadsobre lasrestantesciencias,asícomoensuindependenciadeellas.Lasmatemáticaseranmatemáticas,ynohabíaqueevaluarlassegúnsuaplicaciónalosfenómenosfísicosnaturales.Y,porencima de todo, Bourbaki rechazaba el empleo de figuras. El aparato visual podíaengañar a cualquier matemático. La geometría no era digna de confianza. Lasmatemáticasteníanqueserpuras,formalesyausteras.

No se trataba de una manifestación estrictamente francesa. Los matemáticosestadounidenses se apartabande lasdemandasde las ciencias físicas con lamismadeterminaciónconquelosartistasyescritoressealejabandelasexigenciasdelgustopopular. Prevalecía una sensibilidad hermética. Los temas de las matemáticas sehicieron autónomos, y su método, formalmente axiomático. Quienes seespecializaban en ellas se jactaban de que su trabajo no atañía al mundo ni a laciencia.Atesoraron los grandes beneficios que rindió tal actitud. Steve Smale, auncuando se esforzaba en unir lasmatemáticas y las ciencias naturales, creía, con laintensidad con que acostumbraba creer, que las matemáticas habían de ser algoaparte.Laindependenciaibaacompañadadeclaridad.Yéstaasíadelamanoalrigordel método axiomático. Cualquier matemático serio comprende que el rigor es lafuerza distintiva de la disciplina, su armazón de acero, a falta del cual todo sedesmoronaría. Es lo que autoriza a los matemáticos a seguir una trayectoria delpensamiento que dura hace siglos, y a avanzar conforme a ella, con inagotablegarantíadeeficacia.

Ellonoobstante,lasdemandasderigortuvieronconsecuenciasinesperadasparalosmatemáticos en el siglo XX. Su ciencia está sometida a una clase especial deevolución.Elinvestigadoreligeunproblemayempiezatomandounadecisiónsobrequécaminodebeemprender.Amenudo,ladecisiónimplicalaelecciónentreunavíamatemáticamente posible y otra interesante desde el punto de vista de lainterpretacióndelanaturaleza.Paraelmatemáticolaelecciónesevidente:abandonarde momento toda relación clara con la naturaleza. Sus alumnos optarán por algosimilarytomaránunadecisiónparecida.

EnningúnlugarestosvaloresestabantancodificadoscomoenFrancia,yenellaBourbaki triunfó como sus fundadores jamás hubiesen imaginado. Sus preceptos,estiloynotaciónsehicieronobligatorios.Alcanzólainvenciblerectitudquenacedeimponerse a los mejores estudiantes y de producir un caudal constante dematemáticaslogradas.SudominioenlaÉcoleNormaleeraabsoluto,einsoportablepara Mandelbrot. Huyó de aquella escuela por culpa de Bourbaki y, diez añosdespués,deFranciaporlamismarazón,yseacogióalosEstadosUnidos.Alcabodepocas décadas, la despiadada abstracción de Bourbaki agonizaría a causa delordenador, capaz de proporcionar una desconocida matemática visible. Pero eso


ocurriódemasiadotardeparaMandelbrot,quesoportóelformalismodeBourbakiyfuereacioaabandonarsuintuicióngeométrica.


Erroresunlatransmisiónycotasmelladas

Mandelbrot, fervorosocreyenteen lanecesidadde inventarunamitologíapropia,añadió esta declaración a su entrada enWho’sWho: «La ciencia se irá al traste si(comolosdeportes)colocaelafáncompetitivoporencimadetodo,ysiprecisadelreglamentode lacompeticiónacogiéndoseaespecialidadesestrictamentedefinidas.Lospoquísimoseruditosquesonnómadasporelecciónindividualresultanesencialespara el bienestar intelectual de las disciplinas establecidas». Este nómada porvoluntad propia, que se llamaba pionero por necesidad, se apartó de la academiacuando se fue de Francia y aceptó la hospitalidad delThomas J.WatsonResearchCenter(CentrodeInvestigacionesThomasJ.Watson),delaIBM.Duranteunviajede treinta años de la oscuridad a la eminencia, jamás vio su obra aceptada por lasmuchasdisciplinasalasqueladestinó.Inclusolosmatemáticosdecían,sinmaliciaaparente,que,fueseloquefuere,Mandelbrotnopertenecíaasunúmero.

Encontró su camino despacio, siempre con la complicidad de un extravaganteconocimiento de las sendas desviadas de la historia científica. Se aventuró en lalingüística matemática, explicando una ley de la distribución de las palabras.(Disculpándose del simbolismo, insistió en que el problema le había llamado laatención en la reseña de un libro, rescatado de la papelera de unmatemático puroparateneralgoqueleerenelmetroparisiense).Investigólateoríadeljuego.Entróysaliódelaeconomía.Escribiósobrelaescaladelasregularidadesenladistribuciónde lasciudadesgrandesypequeñas.Elarmazóngeneralque trababasuobrasiguiódisimuladoenelfondo,incompletamenteformado.

En el tiempo inicial de su estancia en la IBM, poco después de su estudio delpreciodelasmercancías,encontróunproblemaprácticoquepreocupabamuchoalaentidad.Teníaperplejosalosingenieroselruidoquehabíaenlaslíneastelefónicasque transmitían información de un ordenador a otro.La corriente eléctrica lleva lainformación en grupos aislados, y los ingenieros sabían que bastaba intensificar lacorrienteparaqueapagaseelruidoconmayoreficacia.Perodescubrieronquenuncallegaba a eliminarse cierto ruidillo espontáneo. De tarde en tarde, anulaba unfragmentodeseñalyproducíaunerror.

Sibienporsuíndoleelruidodetransmisióneracaprichoso,sesabíaquellegabaen cúmulos. A períodos de comunicación intachable sucedían otros erróneos.Mandelbrotprontoseenteró,ensuscharlasconlosingenieros,dequehabíaunaideafolklórica sobre el fenómeno, la cual no sehabía legitimado,porquediscrepabadetodos los criterios usuales: cuantomás estrechamente se examinaban los cúmulos,tantomáscomplicadasparecíanlaspautasdeloserrores.Mandelbrotsuministróunmétodo para describir la distribución de lo erróneo que predecía certeramente las


pautas observadas. No obstante, era sobremanera peculiar. Entre otras cosas,imposibilitaba calcular una proporción media de equivocaciones, un número depromedio por hora, minuto o segundo. Por término medio, en el esquema deMandelbrot,loserroresseacercabanaladifusióninfinita.

Su descripción se efectuó estableciendo separaciones cada vez más repetidasentre los períodos de transmisión limpia y los que no lo eran. Supóngase que sedivide un día en horas. Pueden transcurrir sesenta minutos exentos de errores.Despuésunahorapuedecontenerlos.Luegollegaotrasinellos.

Pero,sisedistribuíalahoraconequivocacionesensegmentosdeveinteminutos,seadvertíaquealgunosnoconteníanerrores,yotrosunasumadeellos.Dehecho,explicóMandelbrot—encontradelaintuición—,nuncaseencontraríaunmomentoenquelasequivocacionessedistribuyerandeformacontinua.Enunamanifestaciónsúbita de errores, por breve que fuese, habría indefectiblemente períodos detransmisiónlimpia.Además,descubrióunaconsistenterelacióngeométricaentrelosestallidosdeerroresylosespacioscorrectos.Enescalasdeunahoraodeunsegundo,la proporción entre ambos permanecía constante. (En una ocasión, con espanto deMandelbrot,unpaquetededatossemejócontradecirsuesquema;peroresultóquelosingenierosnohabíanregistradoloscasosextremosenlapersuasióndequenoteníanimportancia).

LosingenierosnoestabanpreparadosparaentenderladescripcióndeMandelbrot,pero losmatemáticos sí.En efecto,Mandelbrot copiaba una construcción abstractadenominada conjunto de Cantor, de Georg Cantor, matemático del siglo XIX. Seobtienerepresentandoconunsegmentoderectaelintervalodelosnúmerosdeceroauno. Se divide en tres partes, de las cuales se elimina la central. De estamanera,restandossegmentos,cuyoterciomedioseanula(deunnovenoadosnovenos,ydesietenovenosanuevenovenos).Persistencuatrosegmentos,deloscualesseeliminala tercera partemedia, y así hasta el infinito. ¿Qué resta? Un extraño «polvo» depuntos, dispuestos en grupos, en cantidad infinita, e infinitamente dispersos.Mandelbrot concebía la transmisión de errores como un conjunto de Cantortemporalmenteconcebido.

Estadescripcióntanabstractateníavalorprácticoparaloscientíficosdeseososdeoptar entremaneras distintas de controlar el error.Demodo particular, significabaque, en lugar de acrecentar la fuerza de la señal con el propósito de amortiguarprogresivamenteelruido,losingenierosdebíanescogerunaseñalmodesta,aceptarloinevitable de las equivocaciones y emplear una estrategia de redundancia paraapresarlasycorregirlas.MandelbrotcambióasimismolaformacomolosingenierosdelaIBMpensabanenlacausadelruido.Losestallidosdeerrorleshabíaninducidosiempreabuscaraalguienculpabledemeterundestornilladordondenodebía.Maslas pautas de escala de Mandelbrot apuntaban a que jamás se explicaría el ruido


achacándoloahechoslocalesespecíficos.Tras lo anterior, Mandelbrot se concentró en datos referentes a los ríos. Los

egipcioshanconservadodurantemileniosregistrosdelaalturadelniveldelNilo.Yno por afición gratuita. El Nilo suele experimentar grandes variaciones de caudal:unosañossedesbordainconteniblemente,yotrossucorrienteseapoca.Mandelbrotclasificóestavariaciónsegúndosclasesdeefectos,comunestambiéneneconomía,alosquedioelnombredeefectosdeNoéydeJosé.

BenoîtMandelbrot

ELPOLVODECANTOR.Empiéceseconunarecta;retíresesuterciocentral;despuésquíteseelterciomediodelossegmentosrestantes,etc.ElconjuntodeCantoreselpolvodepuntosquesubsiste.Soninfinitos,perosulongitudtotales0.

Lascualidadesparadójicasdeconstruccionescomoéstasdesconcertarona losmatemáticosdelsigloXIX; peroMandelbrot vio en el conjunto deCantor unmodelo de la aparición de errores en una líneaelectrónicadetransmisión.Losingenierosobservabanperíodosdetransmisiónlibredefallos,mezcladoscon otros en que los fallos sobrevenían en tropel. Estudiadas con atención, aquellas rachas conteníantambién períodos exentos de errores, y así sucesivamente. Era unamuestra de tiempo fractal. En cadaescala temporal,desdehorasasegundos,Mandelbrotdescubrióquepermanecíaconstante la relacióndeloserrorescon la transmisiónpura.Esospolvos, afirmó, son indispensablesparaestablecermodelosdeintermitencia.

El primero significa discontinuidad: cuando se modifica, una cantidad puedehacerlocon rapidezcasi arbitraria.Loseconomistas imaginan tradicionalmentequelos precios cambian sin saltos, despacio o de prisa, lo que depende de lascircunstancias, pero con suavidad, en el sentido de que van de un punto a otrorecorriendo todos los intermedios.La imagendelmovimiento,comobuenaporcióndelasmatemáticasaplicadasalaeconomía,setomódelafísica.Peronoeraexacta.Losprecios llegan a alterarse enbrincos instantáneos, con tantavelocidad como lanoticia recorre el cable de un teletipo y un millar de agentes de bolsa muda deopinión.Unaestrategiabursátilestabacondenadaalfracaso,afirmóMandelbrot,sisebasaba en la creencia de que unos valores habrían de venderse a 50 dólares en un


puntodesubajade60a10dólares.El efecto de José significa persistencia.He aquí que vienen siete años en que

habrá abundancia en toda la tierra de Egipto. Luego les sucederán siete años dehambre. Si la leyenda bíblica pretendía indicar periodicidad, lo hacía con excesivasimplificación. Pero las inundaciones y las sequías persisten. A pesar de laintervención siempre posible del azar, cualquier lugar que haya sufrido sequía sehallaexpuestoasufrirladenuevo.Además,elanálisismatemáticodelniveldelNilomostróquelapersistenciateníavigortantodurantesigloscomodurantedécadas.Losefectos deNoé y de José van en direcciones opuestas, pero equivalen a decir: lastendencias son reales en la naturaleza, pero pueden desvanecerse tan prontamentecomoaparecieron.

Discontinuidad, ruidos súbitos, polvos de Cantor… Fenómenos como ellos nohabíantenidoacogidaenlageometríadelosdosmileniosanteriores.Lasfigurasdelaclásicasonlíneasyplanos,círculosyesferas,triángulosyconos.Representanunaabstracción poderosa de la realidad, e inspiran una atractiva filosofía de armoníaplatónica.Euclideshizodeellasunageometríaqueduródosmilaños,laúnicaqueestudiatodavíalainmensamayoríadelossereshumanos.Losartistasencontraronenellas una belleza ideal; los astrónomos tolemaicos construyeron una teoría deluniverso con ellas. Mas, para entender la complejidad, su abstracción resultainconveniente.

Mandelbrotsueledecirquelasnubesnosonesferas.Nilosmontesconos.Nielrayofulminaenlínearecta.Lanuevageometríareflejaununiversoáspero,noliso,escabroso, no suave. Es la geometría de lo picado, ahondado y quebrado, de loretorcido, enmarañado y entrelazado. La comprensión de la complejidad de lanaturalezaconveníaa lasospechadequenoera fortuitaniaccidental.Exigía feenqueelinteresantefenómenodelatrayectoriadelrayo,porejemplo,nodependíadesudirección,sinode ladistribucióndesuszigzags.LaobradeMandelbroteraunareivindicación del mundo, la exigencia de que formas tan raras gozaban designificado. Los hoyos y marañas eran algo más que distorsiones que afeaban lasfigurasdelageometríaeuclidiana.Confrecuenciaservíandeclavedelaesenciadeunacosa.

Porejemplo,¿cuáleralaesenciadelalíneadeunacosta?Mandelbrothizoestapreguntaenunartículoqueseconvirtióenpuntodecisivodesupensamiento:«HowLongIstheCoastofBritain?»(¿QuélongitudtienelacostadeGranBretaña?).

Había encontrado la cuestión del litoral en un oscuro artículo póstumo de uncientífico inglés, Lewis F. Richardson, que anduvo a tientas en una cantidadsorprendentede temasque luegoseríanpartedelcaos.Escribiósobre lapredicciónnuméricadeltiempoatmosféricoeneldeceniode1920,estudiólaturbulenciadelosfluidosvaciandounsacodechirivíasblancasenelcanaldeCapeCodyquisosaber


en un artículo de 1926 «Does theWindPossess aVelocity?» (¿Posee velocidad elviento?) («La pregunta, estúpida de buenas a primeras, mejora con el estudio»,escribió). Intrigado por las líneas costeras y el trazado retorcido de las fronterasnacionales,Richardsoncompulsóenciclopedias sobreEspañayPortugal,BélgicayHolanda,yencontróunveinteporcientodediscrepanciasenlalongitudcalculadadesuslímitescomunes.

ElanálisisdeesteasuntoquerealizóMandelbrotchocóa losdemáscomoalgodolorosamenteevidenteoabsurdamentefalso.Comprobóquecasitodaslaspersonasrespondíandeunadedos formas:«Lo ignoro;noesmiespecialidad»o«No losé,peroconsultaréunaenciclopedia».

Puesbien,afirmó,cualquierlitorales—enciertosentido—delongitudinfinita.En otro sentido, la contestación depende de la largura de la regla. Considérese unmétodoplausibledemedición.Unagrimensorabreuncompásdecuadranteylofijaenlaamplituddeunmetro.Recorreconéllalíneacostera.Lacantidadresultantedemetros es sólo una aproximación de la longitud auténtica, porque el agrimensorprescinde de las concavidades y retorcimientosmenores de unmetro; no obstante,anota los números conseguidos. A continuación, fija el compás en una amplitudinferior—porejemplo,unpalmo—yrepiteelprocedimiento.Obtieneasíunalarguraalgomayor,porqueelcompáshabráseguidomejor losdetallesy recorridoenalgomásde tresveces lamismadistancia salvadaantescon laproporcióndeunmetro.Anota el resultado. Después gradúa el compás en diez centímetros, y empiezanuevamente.Esteexperimentomentalconuncompásdecuadranteimaginarioesunaforma de expresar el efecto de observar un objeto desde distancias distintas y aescalas diferentes. Quien calcule la longitud del litoral británico desde un satéliteartificialobtendráunresultadoinferiorquequienrecorrasusabrasyplayas,elcualserámenorqueeldelcaracolquesedesliceporcadaguijarro.


RichardF.Voss

UNA COSTA FRACTAL. Un litoral generado con un ordenador. Los detalles son fortuitos; como, sinembargo, ladimensiónfractal resultaconstante,elgradodeescabrosidado irregularidad tieneelmismoaspectopormuchoqueseamplíelaimagen.

Rezaelsentidocomúnque,sibientodasestasapreciacionesseguiránsiendocadavezmayores,habráparatodasalgúnvalorparticular,eldelaverdaderaextensióndelacosta.Osea, lasmedidasdebieranconverger.Y,desde luego, suponiendoque lalíneacosterafueseunafiguraeuclídea,talcomouncírculo,convergeríaestemétododesumardistanciasenlínearectadebrevedadcreciente.PeroMandelbrotdescubrióque,alpasoquelaescalademediciónsehacemáspequeña,lalongitudmedidadeunlitoralaumentasinlímite:lasbahíasypenínsulasrevelansubbahíasysubpenínsulasmásminúsculas,almenoshastalaescalaatómica,enlaqueelprocesoseacabaporfin.Quizá.


Nuevasdimensiones

Puestoquelasmedicioneseuclídeas—largura,anchurayespesor—noalcanzabana apresar la esencia de las formas irregulares, Mandelbrot recurrió a una nocióndiversa, la de dimensión. Ésta es una cualidad de vida mucho más rica para loscientíficos que para los profanos. Ocupamos un mundo tridimensional, lo quesignifica que necesitamos números para especificar un punto, como, por ejemplo,longitud, latitud y altitud. Las tres se figuran como direcciones situadas en ángulorecto una con otra. Es otra muestra del legado geométrico de Euclides, en que elespaciotienetresdimensiones,elplanodos,lalíneaunayelpuntocero.

El procedimiento de abstracción que permitió a Euclides concebir objetosunidimensionales o bidimensionales irrumpe en nuestra utilización de las cosascotidianas.Unmapadecarreterases,enlapráctica,unobjetodedosdimensiones,elfragmento de un plano. Utiliza su quintaesencia bidimensional para aportarinformación de una clase precisa de dos dimensiones. En realidad, claro está, losmapasdecarreterassontridimensionalescomotodaslascosas,perotienentanpocoespesor(yésteestandesdeñableparasucometido),quesepuedeolvidar.Persisteenserbidimensionalhastacuandose ledobla.Por lomismo,unhiloesefectivamenteunidimensionalyunapartículacareceefectivamentededimensión.

Entonces, ¿qué dimensión posee un ovillo de bramante?Mandelbrot contestó:Dependedelpuntodevista.Observadodesdemuchadistancia, elovillo se apreciacomo un punto adimensional. Desde más cerca llena un espacio esférico, de tresdimensiones. A un palmo de distancia, se ve el bramante, y el objeto se haceefectivamenteunidimensional,aunqueesasoladimensiónestéenmarañadaalrededordesímismademaneraqueempleaelespaciotridimensional.Persistelautilidaddelaidea de cuántos números se necesitan para especificar un punto. Desde lejos, norequiere ninguno: el punto es todo lo que hay. Desdemás cerca, necesita tres. Y,desdemáscercatodavía,unobasta:cualquierposicióndadaalolargodelaextensióndelbramanteesúnica,estéestirado,odesenrollado,oformeunovillo.

Y siguiendo adelante, hacia las perspectivas microscópicas, se transforma encolumnas tridimensionales, las columnas se reducen a fibras unidimensionales y elmaterial sólido se disuelve en punto de dimensiones nulas o iguales a cero.Mandelbrot apeló, amatemáticamente, a la relatividad: «La noción de que unresultado numérico depende de la relación del objeto con el observador está en elespíritudelafísicadeestesiglo,yesinclusoilustraciónejemplardeello».

Pero,filosofíasaparte,ladimensiónefectivadeunacosaresultadiferentedesustres dimensiones mundanales. Un extremo endeble de la argumentación deMandelbrotparecíaconsistirensuconfianzaenideasvagastalescomo«desdelejos»


y«desdemáscerca».¿Quéhabíaenmedio?Desdeluego,noexistíaunlímiteprecisoen el que un ovillo de bramante se convertía de objeto tridimensional en unounidimensional. Distando mucho de ser una debilidad, la índole mal definida deaquellastransicionescondujoaunanociónnuevadelproblemadelasdimensiones.

Mandelbrotfuemásalládelas0,1,2,3…;fueaunaimposibilidadaparente:lasdimensionesfraccionales.Laideaesunfunambulismoconceptual.Dequienesnosonmatemáticosexigeunaobedientesuspensióndelaincredulidad.Apesardeello,tieneextraordinariaeficacia.

Ladimensiónfraccionalrepresentaelmediodeponderarcualidadesque,deotrasuerte,careceríandedefiniciónclara,comoelgradodeescabrosidad,discontinuidado irregularidad de un objeto. Una costa serpenteante, por ejemplo, pese a suinmensurabilidad en cuanto a la longitud, posee cierto grado característico deescabrosidad.Mandelbrotespecificómodosdecalcularladimensiónfraccionaldelosobjetos reales, dadauna técnicapara construir una figuraodados algunosdatos, ypermitióquesugeometríareclamaseciertospresupuestossobrelaspautasirregularesque había estudiado en la naturaleza. Un presupuesto era que el grado deirregularidad permanece constante a diferentes escalas. Esta pretensión acostumbraser sorprendentemente afinada. Una y mil veces, el mundo exhibe irregularidadregular.

Enunatardeinvernaldelaño1975,conscientedelasorientacionesparalelasquesurgían en la física, y mientras preparaba la publicación de su primera obraimportante,Mandelbrotpensóquesusfiguras,dimensionesygeometríadebíantenernombre. Su hijo había vuelto de la escuela, y Mandelbrot se puso a hojear eldiccionario latino del muchachito. Dio con el adjetivo fractus, derivado del verbofrangere, romper. La resonancia de los principales vocablos ingleses afines —fracture,fractura,yfraction,fracción—seleantojóidónea.Ycreólapalabrafractal(sustantivoyadjetivo).


BenoîtMandelbrot

ELCOPODENIEVEDEKOCH.«Untosco,perovigorosomodelodelíneacostera»,aldecirdeMandelbrot.ParaconstruirunacurvadeKoch,empiéceseconuntriángulocuyosladostienenlongitud1.Enelcentrodecadauno,agrégueseotronuevotriángulo,quemidaunterciodeloriginal,etc.Lalarguradellímitees3×4/3×4/3×4/3…: infinito.Noobstante, suáreaesmenorque ladeuncírculo trazadoalrededordeltriánguloprimitivo.Porlotanto,unalíneainfinitamentelargarodeaunáreafinita.


LACURVADEKOCH.


Losmonstruosdelageometríafractal

Un fractal esunamaneradever lo infinitoconelojode lamente. Imagíneseuntriángulo; cada uno de sus lados mide treinta centímetros. Imagínese también unatransformación:unconjuntode reglasparticular,biendefinidoy fácildeaplicarentodaslasocasionesquesedesee.Enlatercerapartecentraldecadalado,aplíqueseotrotriángulo,deformaidéntica,perodeunterciodeltamañodelprimitivo.

Se obtiene una estrella de David. En lugar de tres segmentos de treintacentímetros,elcontornodelafigurasecomponeahoradedocedediezcentímetros.Seispuntoshansustituidolostresoriginales.

Arenglónseguido,repítaselatransformaciónencadaunodelosdocelados,encuyoterciocentralsecolocaráuntriangulito.Yasísucesivamentehastaelinfinito.Elcontorno presentará detalles más numerosos tras cada nueva división, del mismomodoqueunconjuntodeCantorseesparcecadavezmás.Adquiereelaspectodeunideal copo de nieve. Es lo que se conoce por una curva de Koch—por curva seentiendecualquierlíneaenlazada,searecta,seaarqueada—,llamadaasíenhonordeHelgevonKoch,deSuecia,queladescribióoriginalmenteen1904.

LareflexiónmuestraalgunosrasgosinteresantesdelacurvadeKoch.Antetodo,escontinua,puesjamásseinterseca:losnuevostriángulosdecadaladosonsiemprelo bastante pequeños para entremeterse en los otros. Cada mutación añade unapequeñaáreaenelinteriordelacurva;peroeláreatotalsemantienefinita,esdecir,enrealidadnomuchomásgrandequeeltriánguloprimitivo.Sisetrazaseuncírculoalrededordeéste,lafiguradeKochnuncaseextenderíamásalládeél.

Con todo, la curva es en sí infinitamente larga, tanto como una línea rectaeuclidiana que se extiende hasta los bordes de un universo ilimitado.Así como laprimera transformación sustituye un segmento de treinta centímetros con cuatro dediez, así cada modificación multiplica la longitud total por cuatro tercios. Esteresultadoparadójico, eldeuna longitud infinitaenunespacio finito,desconcertóamuchosmatemáticosdelcomienzodeestesigloqueloestudiaron.LacurvadeKocheramonstruosa,irrespetuosadetodaintuiciónrazonablesobrelasfigurasy—casinomerece lapenadecirlo—patológicamentedistintade todoloquepodíaencontrarseenlanaturaleza.


BenoîtMandelbrot

UNACONSTRUCCIÓNEFECTUADACONAGUJEROS.Unospocosmatemáticosconcibieron,aprincipiodelsigloXX,objetosenaparienciamonstruosos,utilizandolatécnicadeañadiroquitarsinlímitemuchasdesus partes. Una de tales figuras es la alfombra de Sierpinski. Se construye cortando en el centro unanovenapartedelcuadrado;despuéssehacelomismoconloscentrosdelosochocuadraditosquequedan,etc. Un parangón tridimensional es la esponja de Menger, enrejado de aspecto sólido, que tiene áreasuperficialinfinitayvolumennuloocero.

Dadas las circunstancias, su trabajo apenas llamó la atención en aquella época;mas unos pocos matemáticos, también perversos, concibieron otras figuras quecompartíanalgunascualidadesde ladeKoch.Hubo lascurvasdePeano.Hubo lasalfombras y los tomadores de Sierpiński. Una alfombra se confecciona con uncuadrado,quesedivideconlíneasenotrosnueveiguales,deloscualesseeliminaelcentral.Serepitelaoperaciónenlosochorestantesyseponeunagujerocuadradoenelcentrodecadauno.Untomadoreslomismocompuestodetriángulosequiláteros;poseelapropiedad,difícildeconcebir,dequecualquierpuntoarbitrariosebifurca,o


sea,tienelaestructuradeunabifurcación.Enefecto,cuestaimaginarlohastaqueserecuerda la torre Eiffel, que es una buena aproximación tridimensional: sus vigas,riostras y durmientes se ramifican en un enrejado de miembros siempre másdelgados,enmagnífica redde finosdetalles.Eiffel,desde luego,nopodía llevarelesquemahasta el infinito, pero captó el sutil artificiode ingeniería que le permitiórestarpesosinperderfuerzaestructural.

Lamentenopuedevisualizarlainterminableautoinclusióndelacomplejidad.Sinembargo, para quien dispone de la capacidad de pensar sobre la forma como ungeómetra,estegéneroderepeticiónde laestructura,aescalade tenuidadcreciente,abre un mundo entero. Explorar aquellas figuras, apretar con los dedos de lainteligencia los bordes elásticos de sus posibilidades, era como un juego, yMandelbrotsedivirtiócomounniñoenvervariacionesquenadiehabíapercibido,oentendido, antes de él.Cuando carecíandenombre, se lodaba: cuerdasy láminas,esponjasyespumas,cuajadasytomadores.

Ladimensiónfraccionalprobóqueeraprecisamentelavaraidóneademedir.Enalgún sentido, el grado de irregularidad correspondía a la eficacia del objeto paraocuparespacio.Unasimplelíneaeuclídeaunidimensionalnoocupaninguno.Perosílo hace el contorno de la curva de Koch, de longitud infinita condensada en unasuperficiefinita.Esalgomásqueunalíneaymenosqueunplano.Esmayorqueunaforma unidimensional y menor que una bidimensional. Mandelbrot caracterizó ladimensión fraccional con ayuda de técnicas de matemáticos del principio de estesiglo, que habían sido olvidadas. En cuanto a la curva deKoch, lamultiplicacióninfinitamentepersistenteporcuatroterciosdaunadimensiónde1,2618.

Al seguir estecamino,Mandelbrot teníadosgrandesventajas sobre losescasosmatemáticosquehabíanreflexionadosobreaquellasfiguras.UnaerasuaccesoalosrecursosinformáticosquecondicenconelnombredelaIBM.Setratabadeunatareaideal para la especial forma de rapidísima necesidad del ordenador. Si losmeteorologistas necesitaban efectuar unos pocos cálculos sobremillones de puntosvecinos en la atmósfera, Mandelbrot había de realizar una y mil veces unatransformación, programada con sencillez. El ingenio podía concebirtransformaciones, y los ordenadores diseñarlas, en ocasiones con resultadosinesperados.Losmatemáticosdelosañosinicialesdeestesiglollegabanenseguidaaunabarreradecálculoenrevesado,semejantealaqueseoponíaalosprotobiólogosdesprovistos de microscopios. La imaginación era lo único que avanzaba en lacontemplacióndeununiversodedetallesprogresivamentemássutiles.EnpalabrasdeMandelbrot:

—Había un ancho hiato, de un centenar de años, en que el dibujo careció defunciónenlasmatemáticas,porquelamano,ellápizylareglaestabanagotados.Seentendíanbienyhabíanquedadorezagados.Yelordenadornoexistía.


»Había una total ausencia de intuición cuando entré en este juego. Tenía quecrearse.Laintuición,dirigidaporlosinstrumentosusuales—mano,lápizyregla—,pensó que estas figuras eran monstruosas, patológicas. Pero inducía a error. Lasprimeras formas me sorprendieron mucho; después reconocí varias por haberlasencontradoantes,luegootrasporlamismarazón,etc.

»La intuiciónnoes algodado.Adiestré lamíaparaqueaceptase como lógicasfigurasqueserechazabaninicialmenteporabsurdas,ycreoquetodoelmundopuedehacerlomismo.

La segunda ventaja deMandelbrot se basaba en la imagen de la realidad quehabíacomenzadoamoldearensustratosconlospreciosdelalgodón,elruidoenlatransmisión electrónica y las riadas.Y ese concepto principiaba a concretarse. Susestudiosde laspautas irregularesen losprocesosnaturales,ysuexploraciónde lasformasinfinitamentecomplejas, teníanunaintersecciónintelectual:unacualidaddeautosemejanza.Fractalsignificaba,sobretodo,autosemejante.

Laautosemejanzaquieredecirsimetríadentrodeunaescala.Implicarecurrencia,pautaenelinteriordepauta.Losgráficosdepreciosyderíoslamostraban,puesnosóloproducíandetalles a escala constantementemenor, sino también los brindabanconciertasmedidaspersistentes.FigurasmonstruosascomolacurvadeKochrevelanautosemejanza,porquetienenaspectoidénticoinclusobajogranaumentoóptico.Seencuentraenlatécnicadeconstruccióndecurvas;lamismatransformaciónsereiteraaescalacadavezmáspequeña.Laautosemejanzaescualidadquese reconoceconfacilidad. Sus imágenes se encuentran en todas partes: en el reflejo infinitamenteinterminabledeunapersonasituadaentredosespejos,oenlanoción,propiadelosdibujos animados, de un pez que engulle a otro más chico, y éste a otro, etc.MandelbrotsecomplaceencitaraJonathanSwift:«Así,comoelnaturalistaobserva,una mosca / Tiene moscas más pequeñas que la devoran, / Y estas otras másminúsculasquelaspican,/Yenadelantehastaelinfinito».


Terremotosenlaesquizosfera

Elmejorlugarparaestudiarlosterremotos,enelnordestedelosEstadosUnidos,esel Lamont-Doherty Geophysical Observatory (Observatorio Geofísico de Lamont-Doherty), conjunto de edificios poco atractivos escondidos en los bosques delmediodíadelestadodeNuevaYork,justoaloestedelríoHudson.Enesainstitución,Christopher Scholz, profesor de la Universidad de Columbia y especialista en laformaylaestructuradelatierrasólida,comenzóareflexionarsobrelosfractales.

LosmatemáticosyfísicosteóricoshacíancasoomisodelaobradeMandelbrot;encambio,Scholzerauncientíficopragmáticoyeficazyestabamásquedispuestoaempuñar las herramientas de la geometría fractal.Había conocido en la década de1960elnombredeBenoîtMandelbrot,cuandoéstesededicabaalaeconomía,yél,Scholz, era estudiante graduado delMIT, en el que invertía la mayor parte de sutiempo en luchar con una cuestión irreductible acerca de los seísmos.Desde hacíaveinte años, se sabía que la distribución de los terremotos, intensos y débiles,obedecía a una especial pauta matemática, la misma precisamente que regía ladistribución de las rentas individuales en una economía de mercado libre. Dichadistribución se observaba en todos los lugares terrestres en que los seísmos seregistrabanymedían.Siseteníaencuentacuánirregulareseimprevisibleseranlosterremotos,merecíalapenapreguntarsequégénerodeprocesosfísicosexplicabatalregularidad.O, almenos, así lo creía Scholz. La generalidad de los sismólogos sehabíacontentadocontomarnotadelfenómenosindetenerseenél.

Scholz recordaba el nombre de Mandelbrot. En 1978 compró un libro, muyilustrado, de erudición extravagante y cuajado de ecuaciones, titulado Fractals:Form, Chance and Dimension (Fractales: Forma, casualidad y dimensión).Mandelbrothabíareunido,porlovisto,enunvolumendivagadortodoloquesabíaosospechabadeluniverso.Enpocosañostantoaquellibrocomosusustituto,ampliadoyrefinado,TheFractalGeometryofNature (Lageometríafractaldelanaturaleza),habíansidomásvendidosquecualquierotrodematemáticassuperiores.Suestiloeraabstrusoyexasperante,yaocurrente,yaliterario,yaopaco.ElmismoMandelbrotlollamaba«manifiestoyregistrodecasos».

Como contados especialistas en otras disciplinas, en especial científicos quetrabajaban en partesmateriales de la naturaleza, Scholz había tratado de averiguardurante varios años qué debía resolver sobre aquel volumen. No era cuestiónmeridiana.Fractals,comoexpresóScholz,«noeraunlibropráctico,sinodemagia».Noobstante,leinteresabanmucholassuperficies,ylassuperficiesllenabanlaobra.ScholznotóqueeraincapazdedejardemeditarsobrelapromesaqueencerrabanlasideasdeMandelbrot.Buscóelmododeemplearlosfractalesparadescribir,clasificar


ymedirloqueatañíaasusinteresescientíficos.Prontodescubrióquenoestabasolo,apesardequetranscurriríabastantetiempo

antes de que semultiplicaran las conferencias y los seminarios sobre los fractales.Las ideas unificadoras de la nueva geometría apiñaron a hombres de cienciaconvencidos de que sus observaciones eran excéntricas, y de que no habíamétodosistemáticoparaentenderlas.Lasvisionesintuitivasdelageometríafractalayudarona los científicos que investigaban cómo se unían las cosas, cómo se ramificaban ocómosequebraban.Eraunprocedimientoparaexaminarlamateria:lascarasdelosmetalesmicroscópicamente dentadas, los agujeros y canalesminúsculos de la rocapetrolífera porosa y los paisajes fragmentados de una comarca asolada por unterremoto.

En opinión de Scholz, los geofísicos debían describir la superficie terrestre,aquella que, por coincidir con los océanos, forma los litorales. Dentro de la partesuperior de la tierra sólidahay superficies deotra clase, superficies dehendiduras.Las fallas y fracturas abundan tanto, que se convierten en clave de toda buenadescripción, y son más importantes, en conjunto, que la materia que recorren.Atraviesanlacortezaterrestreentresdimensiones,creandoloqueScholzdenominóeutrapélicamente«laesquizosfera».Gobiernanelpasodefluidosporelterreno:eldelagua,elpetróleoyelgasnatural.Rigenelcomportamientodelosterremotos.Porlotanto,eraesencialentenderlassuperficies,yScholzcreíaquesuprofesiónsehallabaenunbrete,porquenoexistíamétodoalgunoparahacerlo.

Losgeofísicosconsideraban lassuperficiescomo todoelmundo,asaber,comofiguras.Tenían que ser planas.Oposeer forma especial.Era posible contemplar lasilueta de un «escarabajo»Volkswagen, por ejemplo, y dibujar su superficie comounacurva,lacualseríamensurabledelmodoeuclídeofamiliar.Sepodíaadaptarunaecuaciónaella.PeroenelcriteriodeScholz,selaveríaentoncessóloatravésdeunaestrechabandaespectral,lomismoquesisecontemplaseeluniversopormediodeunfiltrorojo:sepercibiríaloquehabíaenesaparticularlongituddeondaluminosa,peronoenladelosdemáscolores,paranomencionarelvastoámbitodeactividadesenporcionesdelespectrocorrespondientealaradiacióninfrarrojaoalasondasderadio.En este símil, el espectro equivalía a la escala. Pensar en la superficie de unVolkswagen, considerando sólo su figura euclídea, era concebirla únicamente a laescaladeunobservadorapostadoadiezoacienmetrosdelcoche.¿Ysiestuvieraaunkilómetro,oacien,dedistancia?¿Ysisehallaseaunmilímetrooaunamicradeél?

Supóngase que se traza la superficie terrestre vista desde el espacio, a unadistanciadeuncentenardekilómetros.Lalíneasubeybajaporlosárboles,montes,edificiosy—aparcadoenalgúnsitio—unVolkswagen.Aesaescala,lasuperficienoessinounbultoentremuchosbultos,unapizcadeacaso.


Osupóngaseque seexaminaelVolkswagendemaneracadavezmáscontigua,primeroconunalupaydespuésconunmicroscopio.Alpronto,lasuperficiepareceráhacersemáslisa,porquelaredondezdelosparachoquesydelacapotadesaparecende los ojos. Mas la superficie microscópica del acero presenta abultamientoscaprichosos.Parececaótica.

Scholz comprobó que la geometría fractal suministraba un procedimientoeficacísimoparadescribirlaredondezentrecortadadelasuperficiedelatierra;ylosmetalúrgicospudieroncertificarlomismoenloreferentealadediferentesclasesdeacero. La dimensión fractal de la superficie, por ejemplo, suele proporcionarinformación sobre la fuerza del metal. Y la de la terrestre, indicaciones sobrecualidadesimportantes.Scholzrecordóunaformacióngeológicaclásica:untaludenlaladeradeunmonte.Aciertadistanciaesunafiguraeuclídeadedosdimensiones.Elgeólogo,amedidaqueseaproximaaella,notaqueandaeneltaludmásquesobreel talud, pues seha convertido enpeñasdel tamañode automóviles.Sudimensiónefectivahallegadoaser2,7,puestoquelassuperficiesrocosasseencorvanyrodean,ycasillenanelespaciotridimensional,comoladeunaesponja.

Las descripciones fractales encontraron aplicación inmediata en problemasrelacionados con las propiedades de superficies que están en contacto. El que hayentrelasuperficiederodaduradeunneumáticoyelasfaltoesunodeesosproblemas.Y también las junturas de las máquinas o la conexión eléctrica. Los contactos desuperficiestienenpropiedadesporcompletoindependientesdelosmaterialesquelascomponen.Haycualidadesquependendelafractaldelasprotuberancias,yéstasdeotrasprotuberancias,yasíenadelante.Unaconsecuencia,sencilla,peropoderosa,delageometríafractaldelassuperficiesesqueéstas,cuandosehallanencontacto,nosetocanentodassuspartes.Lacondicióndelaprotuberanciaatodaslasescalasloimpide. Hasta en una roca sometida a presión colosal, resulta claro que, a escalapequeña, haygrietas, lo cual permite la circulacióndel fluido.Era, paraScholz, elefecto de «si te caes, no te levantas». Por ello, dos trozos de una taza rota jamásllegan a unirse, aunque parezcan encajar a gran escala. A una pequeña, los bultosirregularesnocoinciden.

Scholzpasóaserconocidoensuespecialidadcomounadelasraraspersonasqueaceptaba las técnicas fractales. Sabía que varios colegas suyos considerabanesperpentosaloscomponentesdelgrupito.Siescribíaelvocablofractaleneltítulode un artículo, sentía que lemiraban como si siguiera admirablemente lamoda, ocomo si estuviera —no tan admirablemente— chiflado. Incluso la redacción deartículos imponía decisiones difíciles: hacerlo para un público reducido deaficionados a los fractales, o para unomás nutrido de geofísicos, que necesitaríanexplicacionesdelosconceptosbásicos.Peseaello,Scholzproclamóindispensableslosútilesqueledabalanuevageometría.


—Esunmodeloúnico.NospermitehacerfrentealasdimensionesmutablesdelaTierra —explicó—. Proporciona instrumentos matemáticos y geométricos paradescribirypredecir.Unavezsesalvaladificultad,ysecomprendeelparadigma,seconsiguemedirbien lascosasypensarenellasdemaneranueva.Sevendemododistinto.Setieneunavisióndesconocida.Noes,enabsoluto,laantigua,sinomuchomásvasta.


Delasnubesalosvasossanguíneos

¿Cuán grande es? ¿Cuánto dura? He aquí las preguntas más básicas que elcientíficoformula.Tanfundamentalessonparalaconcepcióndelmundo,quecuestanotarquesuponenciertoprejuicio.Insinúanqueeltamañoyladuración,cualidadesdependientes de proporciones, tienen significado, puesto que contribuyen arepresentarunobjetooaclasificarlo.Cuandoelbiólogodescribeunserhumano,oun físico un quark, resultan adecuadas. Los animales, en su estructura corpóreageneral,sehallaníntimamenteligadosaesaescalaparticular.Concíbaseunhombrecuyo tamaño se duplique, sin alterar ninguna de sus proporciones, y se habráconcebidounaestructuracuyoshuesosseránaplastadosporelpeso.Laescalatieneimportancia.

Encambio,lafísicadelcomportamientodeunterremotoescasiindependientedeella. Uno intenso no es sino la versión ampliada de uno débil. Eso distingue losterremotosdelosanimales,porejemplo:deéstosunodeunpalmodelongitudhadeestructurarse de manera muy diferente de uno de dos centímetros, y uno de dosmetrosnecesitaunaarquitecturadistinta,paraquesuosamentanorompabajoelpesodel aumento demasa. Por otro lado, las nubes, como los seísmos, son fenómenosescalares.Suirregularidadpeculiar—descriptibleentérminosdedimensiónfractal—no se altera sea cual fuere la escala en que se la observe. A eso obedece que lospasajerosde losavionespierdan todaperspectivade ladistanciaaquesehallaunanube.Sinohayalgunosindicios, talescomolacalina,unasituadaaseismetrosdedistancia llega a ser tan indistinguible como la que dista seiscientos.De hecho, elanálisisde fotografías tomadasporunsatéliteartificialhamostradounadimensiónfractalinmutableennubesvistasacentenaresdekilómetros.

Cuestavencerelhábitodepensarenlascosasconformealtamañoyladuración.Lageometríafractalaseguraquebuscarlaescalacaracterísticadealgunoselementosnaturalesseconvierteenconfusiónoperturbación.Huracán.Pordefinición,esunatempestad de cierta magnitud. Pero es la gente la que impone tal definición a lanaturaleza.Enrealidad,losespecialistasdelaatmósferaempiezanacomprenderqueel tumultoaéreo formauncontinuo,desdeel remolinodepolvoy suciedadenunaesquinaciudadanahastalosvastossistemasciclónicosvisiblesdesdeelespacio.Lascategoríasdesorientan.Losextremosdelcontinuoconstituyenunsolocuerpoconsupartemedia.

Las ecuaciones de la corriente de fluidos son adimensionales en muchoscontextos,locualquieredecirqueseaplicansinconsiderarlaescala.Lasmaquetasreducidas de alas de avión y de hélices de barcos pueden ensayarse en túneles depruebas y dársenas de laboratorio. Con algunas limitaciones, las tormentas débiles


actúancomolasrecias.Losvasossanguíneos,delaaortaaloscapilares,formanotraespeciedecontinuo.

Se ramificanydividen,yvuelvena ramificarse,hastahacerse tanangostosque lascélulasdelasangrehandepasarenfilaindia.Laíndoledesuramificaciónesfractal.Suestructuraseasemejaaunode losmonstruososobjetos imaginarios, tancarosaMandelbrot,queconcibieronlosmatemáticosenlosprimerosañosdeestesiglo.Porobligación fisiológica, los vasos sanguíneos deben efectuar un poco de magiadimensional.AsícomolacurvadeKoch,porejemplo,apretujaunalíneadelongitudinfinita en un espacio exiguo, así el sistema circulatorio tiene que comprimir unaenorme superficie en un volumen limitado.Desde el punto de vista del cuerpo, lasangreescostosayel espaciomuyvalioso.Laestructura fractalnatural cumple sucometidocontaleficacia,que,enlamayorpartedelostejidos,ningunacéluladistaotras tres o cuatro células de un vaso sanguíneo. Sin embargo, éstos y la sangreocupanescasoespacio,apenasmásalládelcincoporcientodelcuerpo.Es,comolopintó Mandelbrot, el «síndrome del Mercader de Venecia»: es no sólo imposiblecortarunalibradecarnesinderramarsangre,sinotambiénunmiligramo.

Esta estructura exquisita—dos árboles entrelazados de venas y arterias—andamuy lejos de ser excepcional. El cuerpo humano está lleno de ellas. El tractodigestivo posee un tejido con ondulaciones dentro de ondulaciones. Los pulmonesnecesitan incluir la mayor superficie posible en el espacio más reducido. Lacapacidaddeunanimalparaabsorberoxígenoesaproximadamenteproporcionalalasuperficiepulmonar.Lospulmoneshumanostípicoscomprimenunáreamásgrandeque una pista de tenis. A ello se agrega otra complicación: el laberinto de losconductosaéreoshadeenlazarcorrectamenteconlasarteriasyvenas.

Cualquier estudiante de medicina sabe que los pulmones están diseñados paraacomodar una gran superficie. Pero los anatomistas han sido adiestrados de suerteque ven una sola escala por turno, como los millones de alvéolos, sacosmicroscópicos, en que acaban los bronquios. El léxico de la anatomía tiende aoscurecer la unidad existente a través de las escalas. El punto de vista fractal, alcontrario, abarca toda la estructura, fijándose en la ramificación que la genera,ramificaciónquesecomportademaneraconsistentedesdelasescalasgrandesalasmínimas. Los anatomistas estudian el sistema vascular, clasificando los vasossanguíneosencategoríasbasadaseneltamaño:arteriasyarteriolas,venasyvénulas,loque,condeterminadospropósitos,tieneutilidad.Pero,enotroscasos,desconcierta.Enocasiones,el tratamientodeloslibrosdetextopareceunadanzaalrededordelaverdad:«Avecescuestaclasificarlaregiónmediaenlatransicióngradualdeuntipodearteriaaotro.Algunasdecalibre intermedioposeen tabiquespropiosde lasmásgrandes,yasimismoalgunasarteriasgrandesostentantabiquescomolasdetamañomediano. Las regiones de transición… se denominan a menudo arterias de tipo


mixto».No inmediatamente, sino una década después de que Mandelbrot hubiese

publicado sus especulaciones fisiológicas, varios biólogos teóricos notaron que laorganización fractal imponía estructuras en todo el cuerpo. La descripción«exponencial» clásica de la ramificación de los bronquios no era satisfactoria; lafractal, como se comprobó, encajaba con los datos. El sistema colector urinarioresultóserfractal.Tambiénelconductobiliar,enelhígado.Asimismolareddefibrasespeciales que, en el corazón, transporta impulsos eléctricos a los músculoscontráctiles.Estaúltimaestructura,que loscardiólogos llamanreddeHis-Purkinje,inspiró un linaje de investigación de importancia particular. Mucha actividad encorazonessanosyanormalesestribaba,segúnsereconoció,enlosdetallesdecómocoordinaban su ritmo las célulasmuscularesde las cámarasderecha e izquierdadebombeo. Varios cardiólogos que simpatizaban con el caos descubrieron que elespectro de frecuencia del ritmo cardíaco se ajustaba, como los terremotos y losfenómenos económicos, a leyes fractales, y aseguraron que una clave paracomprenderlo era la organización fractal de la red de His-Purkinje, laberinto decaminosramificadosconstituidodemodotalqueerasimilarasímismoaescalacadavezmáspequeña.

¿Cómo logró la naturaleza desarrollar una arquitectura tan complicada?Mandelbrotrespondequesólohaycomplicacionesdentrodelatradicionalgeometríade Euclides. Las estructuras ramificadas se describen como fractales con sencilleztransparente, con nimios fragmentos de información. Tal vez las transformacionessimplesqueprodujeronlasfigurasdeKoch,PeanoySierpinsky, tenganhomólogosenlasinstruccionescodificadasdelosgenes.ElADNnopuedeciertamenteconcretarla enorme cifra de bronquios, bronquiolos y alvéolos, o la peculiar estructura delárbol resultante;encambio,puedeespecificarunproceso repetidodebifurcaciónydesarrollo. Esos procesos convienen a los fines de la naturaleza. E. I. Dupont deNemours andCompanyy el ejércitode losEstadosUnidos fabricaron la imitaciónsintéticadeplumóndeganso,cuandoentendieronque lafenomenalcapacidadpararetener el aire del producto natural se debía a los nudos y ramas de la proteínaesencialdelapluma,esdecir,laqueratina.Comoquiennohacenada,Mandelbrotsetrasladó de los árboles pulmonar y vascular a los del reino de las plantas, losverdaderos, que apresan los rayos solares y resisten el viento con ramas y hojasfractales.Y los biólogos teóricos se pusieron a especular que, enmorfogénesis, ladisposiciónfractaldelasescalaseranosólocorriente,sinouniversal.Afirmaronqueera trascendental para la biología comprender cómo se codificaban y procesabanaquellaspautas.


Loscubosdebasuradelaciencia

—Mepuseabuscaresosfenómenosenloscubosdebasuradelaciencia,porquesospechéqueloqueyoobservabanoeraexcepcional,sino,quizá,algomuycomún.Asistíaconferenciasyleírevistaspocodistinguidas,casisiempreconfrutoescasoonulo;pero,de tardeen tarde, acertabaconcosas interesantes.Enciertamanera,mimétodoeradenaturalista,nodeteórico.Noobstante,ganéeneljuego.

Trashaberconsolidadoenunlibrolacoleccióndeideasdetodaunavidasobrelanaturaleza y la historia matemática, Mandelbrot fue premiado con una medidainhabitualdeéxitoacadémico.Seconvirtióenelementoindispensabledelcircuitodeconferenciascientíficas,consuimprescindibleequipodediapositivasencolorysusmechonescanosos.Obtuvopremiosygalardonesprofesionales,ysunombrellegóasertanbienconocidodelagentecorrientecomoeldecualquierotromatemáticodetalla.Sedebióenpartealatractivoestéticodesusfotografíaseimágenesfractales;y,enparte,aquemuchosmillaresdeaficionados,dueñosdemicroordenadores,podíanexplorar personalmente el mundo de Mandelbrot. También obedeció a que supohacerse valer. Su nombre apareció en la corta lista que propuso I.BernardCohen,historiadordelacienciaenHarvard.Cohenhabíaescudriñadoduranteañoslosanalescientíficos, en busca de especialistas que hubiesen declarado que su obra era una«revolución». Sólo halló dieciséis. Robert Symmer, escocés coetáneo deBenjaminFranklin,cuyasideassobrelaelectricidadfueronradicales,peroerróneas.Jean-PaulMarat, conocido hoy día exclusivamente por su sangrienta contribución a laRevoluciónfrancesa.VonLiebig.Hamilton.CharlesDarwin,naturalmente.Virchow.Cantor.Einstein.Minkowski.VonLaue.AlfredWegener(derivadeloscontinentes).Compton.Just.JamesWatson(estructuradelADN).YBenoîtMandelbrot.

Noobstante, éste seguía siendopara losmatemáticosun intruso,quecontendíatan encarnizadamente como siempre con la política de la ciencia.Hallándose en elcenit de la fama, algunos colegas le denigraron, pues creían que adolecía de unailógica obsesión por ocupar un puesto en las páginas históricas. Le acusaron dehaberlosatropelladoparaquereconocieransumérito.Esindiscutiblequeensusañosde hereje profesional, habíamendigado la aprobación de sus tácticas y de su tinocientífico.Huboocasionesenque,a lavistadeartículosqueutilizaban ideasde lageometríafractal,telefoneabaoescribíaalosautores,quejándosedequenohicieranmencióndeélnidesulibro.

Sus admiradores perdonaban con facilidad la hinchazón de su ego, porquerecordabanlosobstáculosquehabíavencidoparaquesuobrafuesereconocida.

—Ciertamente, es algomegalomaníaco, conunyo comouna casa; pero lo quehaceeshermosoycasitodoelmundoleexcusalodemás—dijouno.


—Tuvo que vencer tantas dificultades con sus colegas matemáticos—explicóotro—, que, aunque fuese sólo para sobrevivir, hubo de recurrir a la estrategia derealzar su ego. Si no lo hubiera hecho, si no hubiera estado tan convencido de lacertezadesusvisiones,jamáshubieratriunfado.

La actividad de dar y quitar mérito llega a transformarse en obsesión en laciencia.Mandelbrotnosemostróparcoenella.Sulibroresuenaconlautilizacióndelpronombrepersonal«yo»:Yoaseguro…Yoconcebíydesarrollé…y llevéacabo…Yo he confirmado… Yo pruebo… Yo he acuñado… En mis viajes por territoriosignoradosoapenascolonizados,mesentíamenudoimpulsadoaejercerelderechodedarnombrealosaccidentesdelterreno.Esteestilodisgustóamuchoscientíficos.No los aplacó el hecho de que Mandelbrot no escatimara las referencias a suspredecesores, algunos totalmente oscuros. (Y, además, notaron sus detractores,convenientementedifuntos).Pensaronqueerasumododeintentarsituarsedellenoenelcentro,apareciendocomosumopontíficequebendiceentodaslasdirecciones.Yreplicaron.Nopodíanevitarlapalabra fractal,perosiansiabaneludirelapellidodeMandelbrot,lesquedabaelrecursodereferirsealofraccionalcomoladimensióndeHausdorff-Besicovitch. Les ofendía también—en especial a losmatemáticos—cómoentrabaysalíadedistintasdisciplinasexpresandoaseveracionesyconjeturas,ydescargandoenotroselpesodedemostrarlas.

Noandabandescaminados.Siuncientíficoanuncialaverdadprobabledealgo,yotro lapruebacon rigor, ¿cuálde losdoshahechomásporelprogresocientífico?¿Conjeturareslomismoquedescubrir?¿Oessólounamaneracalculadadeacotaruncampo? Los matemáticos se han hallado siempre en tal situación, y el debate seencendiómásaúncuandolosordenadorescomenzaronacumplirsunuevafunción.Quienes los usaban para ejecutar experimentos se convirtieron en científicos delaboratorio, pues emplearon reglas que permitían descubrir sin el habitual teoremaprobatorio, el teorema típico y bendecido de los artículos corrientes sobrematemáticas.

EllibrodeMandelbrotabarcómuchascosasyestuvohenchidodeminuciasdelahistoria de las ciencias exactas. Donde había caos, Mandelbrot tenía algunajustificaciónparapretenderqueeraelprimeroenhaberloconocido.Nadaimportabaquemuchísimoslectorespensaranquesusreferenciaspecabandeoscurasyhastadeinanes.Habíandereconocersuextraordinaria intuicióndelosprogresosencamposque jamáshabía estudiado,desde la sismología a la fisiología.Era,oraprodigioso,orairritante.

—Mandelbrotnotuvolospensamientosdetodosantesqueellos—exclamóconexasperaciónunodesusadmiradores.

Apenasimporta.ElrostrodelgenionohadetenersiemprelaexpresióndesantodeunEinstein.Contodo,Mandelbrotopinaquehizojuegosdemanosconsutrabajo,


durantedecenios,paraexpresarsusideassinofenderanadie.Tuvoqueenmendarlosprefacios, casi visionarios, de sus artículos para conseguir que los publicaran. Alescribirlaprimeraversióndesulibro,publicadoenfrancésen1975,secreyóforzadoasimularquenoconteníacosasmuysensacionales.Poresoredactósuúltimaversiónexplícitamentecomo«manifiestoyregistrodecasos».Seamoldabaalapolíticadelaciencia.

—Lapolíticaafectabaalestiloenunsentidodelqueluegolleguéaarrepentirme.Decíayo:«Esnatural…Esunaobservacióninteresanteque…».Ahorabien,noeraenabsolutonatural,ylaobservacióninteresanteequivalía,dehecho,alresultadodelarguísimasinvestigaciones,asícomoalabúsquedadepruebasydeautocrítica.Estaactitud filosófica y distante me pareció necesaria para que lo aceptasen. Según lapolítica,seapagaríaelinterésdellectorsiyodecíaqueproponíaundesvíoradical.Mástarde,mearrepentídealgunasdeaquellasdeclaraciones,porquelagentedecía:«Esnaturalobservar…».Yonoesperabaeso.

Volviendo la vista atrás,Mandelbrot advirtió que los especialistas en diferentesdisciplinas reaccionaban a su planteamiento de las cosas de modos penosamentevaticinables.El primero fue siempre elmismo: ¿Quién es usted y por qué le atraenuestraciencia?Segundo:¿Cómoserelacionaconloquehemosestadohaciendoyporquénoloexplicaapartirdelabasedeloqueconocemos?Tercero:¿Estáustedsegurodeque sonmatemáticasnormales? (Sí, loestoy).Entonces, ¿porquéno lasconocemos?(Porque,apesardesernormales,resultanmuyoscuras).

Lasmatemáticassediferencianenestodelafísicayotrascienciasaplicadas.Unaramade la física,encuantosevuelveanticuadao improductiva,propendeaserenadelantepartedelpasado,unacuriosidadhistórica,ounafuentedeinspiraciónparaelcientífico moderno, pero está por lo general muerta y con buenas razones. Lasmatemáticas,encambio,abundanencanalesycaminosdesviados,que,enunaépoca,parecen no acabar en parte alguna, y, en otra, se transforman en terreno fértil enestudiosimportantes.Nuncasepredicebienlaaplicaciónpotencialdeunfragmentode pensamiento puro. He ahí por qué los matemáticos valoran los trabajosestéticamente, y buscan la elegancia y la belleza como los artistas.Y también, poresta razón, Mandelbrot encontró, como un arqueólogo, tantas teorías valiosasesperandoquelasdesempolvasen.

Por consiguiente, el cuarto modo era éste: ¿Qué piensa de su trabajo la gentededicada a estas ramasde las ciencias exactas? (Sedespreocupande él, porquenoamplíanlasmatemáticas.Enrealidad,sesorprendendequesusideasrepresentenlanaturaleza).

En fin, el vocablo fractal denotó un procedimiento de descripción, cálculo ypensamientosobrelasfigurasirregularesyfragmentadas,dentadasydescoyuntadas,figuras que iban desde las líneas cristalinas de los copos de nieve al polvo


discontinuo de las galaxias. Una curva fractal implica una estructura organizadoraoculta en la detestable complicación de esas formas. Los estudiantes de segundaenseñanzapodíancomprenderlosfractalesyjugarconellos;erantanprimarioscomolos elementos de Euclides. Sencillos programas, que diseñaban imágenes fractales,circularonentrelosaficionadospropietariosdeordenadores.

La acogida más entusiástica fue la que dispensaron a Mandelbrot losprofesionales de las ciencias aplicadas, que trabajaban en el petróleo, petrología ymetales,sobretodoenentidadesdeinvestigaciónindustrial.Así,verbigracia,ampliosgruposdecientíficosdelosgrandescentrosinvestigadoresdelaExxon,amediadosdel decenio de 1980, se atarearon en problemas fractales. Éstos, en la GeneralElectric, se convirtieron en principio organizador del estudio de los polímeros ytambién—aunqueenestecasoa lachitacallando—encuestionesdeseguridaddelos reactores nucleares. Los fractales tuvieron en Hollywood su aplicación mássingular con la creación de paisajes de enorme realismo, tanto terrestres comoextraterrestresenlosefectosespecialesdelaspelículas.

Las pautas que gente como Robert May y James Yorke habían descubierto aprincipios de la década anterior, con límites intrincados entre el comportamientoordenadoyel caótico,poseían regularidades insospechadas, sólodescriptibles si seatendíaalarelacióndelasescalasampliasconlaspequeñas.Secomprobóqueeranfractaleslasestructurasqueproporcionaronlaclavedeladinámicanolineal.Y,enelterreno inmediato más práctico, la geometría fractal proporcionó instrumentos afísicos,químicos,sismólogos,metalúrgicos,teóricosdelaprobabilidadyfisiólogos.Estosinvestigadoresestabanconvencidos,ytratarondeconvenceraotros,dequelanuevageometríadeMandelbroteralapropiadelanaturaleza.

Causaron impresión irrefutable en las matemáticas y la física ortodoxas, peroMandelbrot nunca conquistó el respeto total de sus especialistas. Sin embargo,hubierondereconocerle.Unmatemáticocontóasusamigosquesehabíadespertadounanocheestremecidoporunapesadilla.Enella,estabamuertoyoíadepronto lavozinconfundibledeDios,queledecía:

—¿Sabes?EseMandelbrotteníaciertamentealgo.


«Verelmundoenungranodearena»

Lanocióndeautosemejanzapulsacuerdasantiguasennuestracultura.Lahonraunviejo acorde del pensamiento occidental. Leibniz imaginó que una gota de aguacontenía un universo pululante, el cual encerraba otras gotas de agua y nuevosuniversos.«Verelmundoenungranodearena»,escribióBlake,yloscientíficossemostrabanamenudodispuestosaverlo.Cuandosedescubrió laesperma, sepensóque sus componentes eranhomúnculos, sereshumanosdiminutosy completamenteformados.

Noobstante, la autosemejanza semarchitó,y conbuenmotivo, comoprincipiocientífico.Noconcertabaconloshechos.Losespermatozoidesnosonsólohombresaescala reducida—guardanmuchomás interésporotras razones—,yelprocesodedesarrollo ontogenético resultamuchomás interesante que lamera ampliación. Laprimitiva idea de la autosemejanza como causa organizativa se debía a laslimitacionesdelaexperienciahumanadelaescala.¿Podíaconcebirselomuygrandeylomuypequeño,lomuyvelozylomuylento,deotrasuertequecomoextensionesdeloconocido?

Elmitotuvolargaagoníacuandolavisióndelhombrecrecióconlostelescopiosy microscopios. Los primeros hallazgos demostraron que cada cambio de escalaaportaba fenómenos desconocidos e ignorados géneros de comportamiento. Lasituación no ha terminado para losmodernos físicos subatómicos.Cada aceleradormásavanzado,consuaumentodeenergíayvelocidad,dilataelcampodelacienciacon la visión de partículas menores y escalas temporales más fugaces, y cadaexpansiónproporcionamásinformación.

Aprimeravista,laideadeconsistenciaaescalasdesconocidasparecesuministrarmenosinformes.Ellosedebe,enparte,aquehahabidoenlacienciaunatendenciaparalela al reduccionismo. Los científicos descomponen las cosas y examinan suscomponentes uno tras otro, por turno. Y si desean reconocer la interacción de laspartículassubatómicas,reúnendosotres.Conellohaysuficientecomplicación.Sinembargo, la fuerza de la autosemejanza empieza a nivelesmuchomás grandes decomplejidad.Escuestióndemirarelconjunto.

Aunque Mandelbrot efectuó el uso geométrico más comprensivo de ellas, lareapariciónde las ideasescalaresen laciencia,en lasdécadasde1960y1970, fueuna corriente intelectual cuyos efectos se sintieron en muchos lugaressimultáneamente. La autosemejanza se hallaba implícita en la obra de EdwardLorenz.Fueelementointegrantedesucomprensiónintuitivadelaestructurafinadelosdiagramasobtenidosconsusistemadeecuaciones,estructuraquepresentía,perono veía en los ordenadores de 1963. La utilización de las escalas fue también


ingredientedelmovimientoquecondujoenlafísica,másdirectamentequelaobradeMandelbrot, a ladisciplinadel caos.Hasta en camposmás alejados, los científicoscomenzaronapensarconformeateoríasqueempleabanjerarquíasdeescalas,comoenlabiologíaevolutiva,enlaquesehizoevidentequeunateoríatotalizadorahabríade reconocer pautas de comportamiento en los genes, organismos individuales,especiesyfamiliasdeespecies,todoalavez.

Paradójicamente,laapreciacióndelosfenómenosescalarestalvezdebíaprovenirdelmismocrecimientode lavisiónhumanaquehabíaacabadoconlasprimitivaseingenuasideassobrelaautosemejanza.MuyavanzadoelsigloXX,demanerashastaentonces inconcebibles, las imágenes de lo incomprensiblemente pequeño y de loinimaginablemente grande llegaron a ser parte de la experiencia de todos loshombres. Se contemplaron fotografías de galaxias y de átomos. Nadie tenía quefantasear,comoLeibniz,cuál seríaeluniversoaescala telescópicaomicroscópica,porque los telescopios y microscopios habían convertido esas imágenes enpatrimonio del conocimiento cotidiano. Dado el anhelo de la mente de encontraranalogíasenéste,fueroninevitablesnuevasclasesdecomparaciónentrelograndeylopequeño,algunasdelascualesresultaronfecundas.

Loscientíficosatraídosporlageometríafractalencontraronamenudoparalelosemocionales entre su nueva estética matemática y los cambios de las artes en lasegundamitaddelsiglopresente.Sintieronquecosechabanentusiasmointeriordelacultura ambiental. Para Mandelbrot, el epítome de la sensibilidad euclídea,abstracciónhechadelasmatemáticas,eralaarquitecturadelaBauhaus.PodíaserlotambiénelestilopictóricoejemplificadoporloscuadradosdecolordeJosefAlbers:sobrio,ordenado,lineal,reduccionistaygeométrico.Geométrico:lapalabradenotaloque ha significado durante milenios. Los edificios descritos como geométricos secomponen de figuras simples, rectas y círculos, que pueden describirse con pocosnúmeros. La moda de esta especie de arquitectura y pintura iba y venía. Losarquitectos no sentían ya afición a proyectar rascacielos cuadrangulares como elSeagramneoyorquino,antañotanensalzadoycopiado.LacausadeelloesclaraparaMandelbrot y sus secuaces. No sintonizan con el modo como se organiza lanaturaleza o con la manera en que ve el mundo el ser humano. Como dice GertEilenberger,físicoalemánqueoptóporlaciencianolinealdespuésdeespecializarseenlasuperconductividad:

—¿Por qué se declara bello un árbol deshojado y enarcado por la tempestadcontra el cielo invernal, yno la silueta correspondientedeun edificiouniversitariopolivalente,apesardelosesfuerzosímprobosdelarquitecto?Creoquelarespuesta,algo especulativa, es que depende de las recientes concepciones de los sistemasdinámicos.Nuestrapercepciónde la belleza se inspira en la armoniosadisposicióndelordenydeldesorden, talcomoapareceenlosobjetosnaturales:nubes,árboles,


serranías o cristales de nieve. Las formas de todos ellos son procesos dinámicosvaciados en figuras físicas. Las tipifican combinaciones especiales de orden ydesorden.

Una figura geométrica posee una escala, un tamaño característico. SegúnMandelbrot, el arte satisfactorio carece de escala porque contiene elementosimportantesde todos los tamaños.AledificioSeagramopone laarquitecturadeldelas Beaux-Arts, sembrado de esculturas y gárgolas, piedras angulares y jambaspétreas,cartelasdecoradasconespiralesyvolutas,ycornisascoronadasdecanalonesy tapizadas de dentellones. Un parangón, como laÓpera de París, no tiene escalaporque posee todas las escalas. Quien contempla el edificio desde cierta distanciasienteatraída sumiradapor esteoaqueldetalle.Lacomposicióncambiaamedidaqueunoseaproximaaélyentranenjuegoelementosdelaestructuranoapreciadoshastaentonces.

Estimar laestructuraarmoniosadecualquierobraarquitectónicaesunacosa;yotra,muydiferente,admirar laselvatiquezde lanaturaleza.Lamatemáticarecientedelageometríafractal,entérminosdevaloresestéticos,pusoeltonodelacienciadeacuerdocon la inclinación, típicamentemoderna, a lonatural indomeñado, libredetrabaseincivilizado.Hubounaedadenquelasselvastropicales,desiertos,regionesdematorralesyparamerasrepresentaronloquelasociedadseesforzabaensometer.Lagentecontemplójardinescuandobuscóelplacerestéticoenlavegetación.ComoJohnFowlesescribióenlaInglaterradelsigloXVIII:«Aquelperíodonosimpatizócon la naturaleza indómita o primordial. Era barbarie agresiva, recordatorio feo yomniabarcante de la Caída, del eterno destierro del hombre del jardín del Edén…Aun sus ciencias naturales… semostraron sustancialmente hostiles a la naturalezalibre, y lamiraron sólo como algo que debía ser sometido, clasificado, utilizado yexplotado». En los años postreros del siglo XX, la cultura había cambiado y lacienciasetransformabaconella.

Porlotanto,elsabercientíficoacabóporusarlosprimososcurosycaprichososdelconjuntodeCantorylacurvadeKoch.Alpronto,aquellasfiguraspudieronhaberservidocomopruebaseneldivorciodelasmatemáticasylascienciasfísicasenlosprimeros años del siglo, el fin de unmatrimonio que había sido el tema científicodominante desde Newton. Su originalidad había deleitado a matemáticos comoCantoryKoch.Creyeronsermáslistosquelanaturaleza,cuando,enrealidad,nosehabían puesto siquiera a la altura de sus creaciones. Asimismo, la prestigiosacorriente principal de la física se apartó del mundo de la experiencia diaria.Únicamentedespués,luegoqueSteveSmaledevolviólosmatemáticosalossistemasdinámicos,pudoescribirunfísico:«Tenemosqueagradecera losastrónomosy loscultivadoresde lascienciasexactasquenos restituyeran,a los físicos, el campodeestudiosenunestadomásdecorosoqueaquelenquelodejamoshacesetentaaños».


Mas,apesardeSmaleyapesardeMandelbrot, seríanprecisamente los físicosquienes transformarían el caos en ciencia. Mandelbrot proporcionó el léxicoindispensable y un catálogo de sorprendentes imágenes naturales. Como élmismoreconoció,suprogramadescribíamejorqueexplicaba.Hizouna listadeelementosdelanaturalezaconsusdimensionesfractales—litorales,tramasderíos,cortezasdeárboles y galaxias—, y los científicos pudieron usar aquellos números para hacerpredicciones. Pero los físicos anhelaron saber más. Quisieron conocer el porqué.Habíaformasenelmundonatural—formasnovisibles,sinoincrustadaseneltejidodelmovimiento—queesperabanserreveladas.


5ATRACTORESEXTRAÑOS

Lostorbellinosgrandestienentorbellinitosquesenutrendesuvelocidad,ylostorbellinitostienentorbellinosmenores,yasíenadelantehastalaviscosidad.

LEWISF.RICHARDSON


UnproblemaparaDios

Laturbulenciaeraunproblemalinajudo.Todoslosgrandesfísicoshabíanpensadoen ella, formal o informalmente. Una corriente uniforme se rompe en espirales yremolinos. Pautas anómalas quebrantan la frontera de lo fluido con lo sólido. Laenergíaseachicaraudamentedelosmovimientosgrandesalospequeños.¿Porqué?Lasmejoresideassurgieronentrelosmatemáticos;paralamayorpartedelosfísicos,laturbulenciaerademasiadoespinosaparainvertirtiempoensuestudio.Parecíacasiimposibleconocerla.SecuentasobreWernerHeisenberg,teóricodeloscuanta,que,en el lecho de muerte, murmuró que preguntaría dos cosas a Dios: por qué larelatividadyporquélaturbulencia.

—Creoquetendráunacontestaciónparalaprimerapregunta—dijo.Lafísicateóricahabíallegadoaunaespeciedearmisticioconelfenómenodela

turbulencia.Enefecto,habíatrazadounarayaenelsueloydeclarado:Nopodemosirmás allá. En el lado de acá de la línea, donde los fluidos se portan de maneraordenada, se podía trabajar mucho. Por suerte, un fluido que se mueve conregularidad no actúa como si poseyera un número casi infinito de moléculasindependientes,cadaunacapazdeactividad libérrima.En lugardeello,pizcasqueestán contiguas tienden a seguir juntas, como caballos uncidos al carro. Losingenierosdisponendetécnicaseficientesparacalcularlacorriente,contalquenoseencrespe.UtilizanunasumadeconocimientosqueseremontaalsigloXIX,cuandolacomprensióndelosmovimientosdeloslíquidosygasessesituóenlavanguardiadelafísica.

Enlaépocaactual,yanolaocupaba.Paralosteóricos,ladinámicadelosfluidosno encerraba misterios, salvo uno, inabordable incluso en el cielo. Lo práctico seentendía tan bien, que podía cederse a los técnicos.Los físicos decían que aquelladinámicanoformabayapartedesuciencia.Eraingenieríacorrienteymoliente.Losperitosendinámicadelosfluidossolíanhallarseenlosdepartamentosuniversitarios,dondeseenseñabaa los futuros ingenieros.Siemprehaocupadoelprimerplanoelinterés práctico por la turbulencia y ese interés acostumbra ser unilateral: el delibrarsedeella.Esdeseableenalgunasaplicaciones,comoenelinteriordeunmotorde retropropulsión, en el cual la combustión eficaz depende de la rapidez de lamezcla.Enotroscasos,laturbulenciaequivaleadesastre.Ladeunacorrienteaéreaen un ala destruye el impulso de elevación. Un flujo turbulento origina en unoleoductounestorboasombroso.Enormescantidadesdedinerogubernamentalydelas industrias se invierteneneldiseñodeaviones, turbomotores,hélices,cascosdesubmarinosyotrasformasquesemuevenatravésdefluidos.Losinvestigadoressepreocupan de la circulación en los vasos sanguíneos y válvulas cardíacas. Por la


manifestaciónylaevolucióndelasexplosiones.Porlosvórticesytorbellinos,llamasyondasdeimpacto.Labombaatómicadelasegundaguerramundialfue,enteoría,unproblemadefísicanuclear.Noobstante,éstehabíasidoresueltoensumayorparteantesdequeseiniciaraelproyecto,yloqueatosigóaloscientíficosreunidosenLosÁlamosfueunacuestióndedinámicadelosfluidos.

Entonces, ¿qué es la turbulencia? Un cúmulo de desorden a todas las escalas,torbellinospequeñosdentrodeotrosmayores.Inestable.Ysumamentedisipativo,locual significa que consume energía y engendra trabas. Es movimientometamorfoseado en azar. Pero ¿cómo pasa la corriente de uniforme a alborotada?Supóngase que uno tiene una cañería perfectamente lisa y un suministro de aguaperfectamenteregularyprotegidodelasvibraciones:¿Cómollegaacrearsemejanteflujoalgofortuito?

Todas las reglas parecen fallar. Si la corriente es uniforme, o laminar, lospequeños trastornos seextinguen.Pero,declarada la turbulencia, lasperturbacionescrecendemodocatastrófico.Esadeclaración—esatransición—seelevóamisteriocrucial en la ciencia. El canal que hay debajo de una roca, en un riachuelo, setransformaenremolino,quecrece,seramificaydavueltasaguasabajo.Elhumodecigarrillo se remonta suavemente desde el cenicero, se acelera hasta que sobrepasauna velocidad crítica y se divide en torbellinos desordenados. La irrupción de laturbulencia se percibe y puedemedirse en los experimentos de laboratorio; puedeestudiarseexperimentalmenteenelcasodealasohéliceseneltúneldepruebas.Perosu naturaleza continúa siendo elusiva. El conocimiento obtenido ha sido siempreparticular, no universal. La investigación por tanteo del ala de un Boeing 707 noaporta nada a la investigación por tanteo del ala de un caza F-16. Hasta lossuperordenadores caen en la impotencia cuando se quiere estudiar el movimientoirregulardeunfluido.

Algoagitaaéste,loexcita.Esviscoso,pegajoso,yporellopierdeenergía;ysisecesaradeagitarlo,seposaría.Cuandoselemueve,seañadeenergíaabajafrecuencia,o a gran longitud de onda, y lo primero que se observa es que las ondas largas sedescomponen en cortas.Aparecen remolinos, que encierran otrosmás pequeños, ycadaunodisipa laenergíadel fluidoyproduceunritmocaracterístico.Enlosañostreinta,A.N.Kolmogorovpropusounadescripciónmatemáticaquediociertaideadecómo actúan esos torbellinos. Imaginó la cascada de la energía total recorriendoescalascadavezmásreducidas,hastaquesellegabaaunlímiteenquelosremolinoseran tan minúsculos, que se imponían los efectos, relativamente grandes, de laviscosidad.

Enprodelaclaridaddeladescripción,Kolmogorovconcibióquelostorbellinosllenabantodoslosespaciosdelfluido,haciendoquefueseigualentodaspartes.Estesupuesto, el de homogeneidad, es equivocado, y Poincaré lo supo cuarenta años


antes, pues había visto, en la superficie agitada de un río, que los remolinos semezclan siempre con parcelas de deslizamiento liso. La calidad de torbellino eslimitada.Laenergíasedisipa,enrealidad,sóloenunaporcióndelespacio.Encadaescala,mientrasseobservaafondounaturbulencia,surgennuevasparcelasencalma.Porlotanto,elsupuestodehomogeneidadcedeanteeldeintermitencia.Cuandoselaidealiza, la imagenintermitenteadquiereunaspectosumamentefractal,conlugaresenque loescabroso seconfundecon lo suave,aescalasquevande lograndea lopequeño.Tambiénestaimagenseapartaalgodeloreal.

Emparentadaconello,aunquefuesemuydistinta,habíalacuestióndequésucedecuandoseinicialaturbulencia.¿Cómosalvaunacorrientelafronteraqueseparalouniforme de lo turbulento? ¿Qué estados intermedios existen antes de que laturbulencia se imponga? Había sobre ello una teoría algo más consistente. Esteparadigma ortodoxo se debió a LevD. Landau, preclaro científico ruso cuya obrasobreladinámicadelosfluidosesaúnfundamental.ElcuadroqueLandautrazaeseldeunaacumulaciónderitmoscompetidores.Cuandoentramásenergíaenunsistema—conjeturó—, empiezan, una tras otra, nuevas frecuencias, incompatible cada unacon laanterior,de lamismaformaqueunacuerdadeviolín respondeaunamayorpresióndelarco,vibrandoenunsegundotonodisonante,yluegoenunterceroyuncuarto,hastaqueelsonidosetruecaencacofoníaincomprensible.

Cualquierlíquidoogasesunconjuntodepedazosindividuales, tantosquemuybien pudieran ser infinitos. Si cada uno se moviera con independencia, el fluidotendríaotrasposibilidadesinfinitas,otrosinfinitos«gradosdelibertad»,comosediceen la jergaespecializada,y las ecuacionesquedescribenelmovimientohabríandetratar con otras variables infinitas. Pero cada partícula no se mueve conindependencia: sumovimiento depende del de sus vecinas, y en unouniforme, losgradosde libertad lleganaserescasos.Losmovimientospotencialmentecomplejossiguen acoplados.Los fragmentos continúanpróximoso se apartandemodo linealuniforme, que produce líneas concretas en las imágenes del túnel de pruebas. Laspartículasdeunacolumnadehumodecigarrilloseremontan,duranteunrato,comosifuesenunasola.

Después,semanifiestalaconfusión,unacohortedemovimientosdesordenadosymisteriosos.Algunostienennombres:oscilatorio,varicosissesgada,transversal,nudoo zigzag. En opinión de Landau, estos movimientos inestables no hacen sinoacumularse, uno encima de otro, y crean ritmos de velocidades y dimensionestraslapadas.Desdeelpuntodevistaconceptual,estaideaortodoxadelaturbulenciaparecía convenir a loshechos,y era cuestióndemala suerteque la teoría resultaramatemáticamenteinútil,loque,enefecto,ocurría.ElparadigmadeLandaupermitíaperdertodo,salvoelhonor.

El agua recorre una cañería, o gira en torno de un cilindro, emitiendoun siseo


débil.Seaumentalapresión,mentalmente.Empiezaunritmo,atrásyadelante.Topadespacio,comounaola,contra lacañería.Ábrasedenuevoelgrifo.Procedentedealguna parte, entra una segunda frecuencia, que no sincroniza con la primera. Losritmossemezclan,competenychocan.Creanunmovimientotancomplicado,enelque las ondas embisten las paredes, que apenas puede seguirse.Ábrase otra vez elgrifo. Penetra una tercera frecuencia, una cuarta, una quinta, una sexta, todasinconmensurables.Lacorrientesehaceextremadamentecomplicada.Quizáseaestouna turbulencia. Los físicos aceptaron este cuadro, pero ninguno tuvo noción decómopredecircuándounincrementodeenergíaproduciríaunafrecuenciadistinta,ocómo sería ésta. Nadie había visto tales frecuencias, que sobrevenían de maneraarcanaduranteunexperimento,porquenadiehabíacomprobadolateoríadeLandausobreeliniciodelaturbulencia.


Transicionesenellaboratorio

Los teóricos realizan los experimentos en sus cerebros. Los experimentadoresutilizan,además,lasmanos.Aquéllossonpensadoresyéstosartesanos.Aquéllosnonecesitan cómplices. Éstos han de juntar estudiantes graduados, dar coba amaquinistas y halagar a los ayudantes de laboratorio. El teórico actúa en un lugarprístino, limpioderuido,vibraciónysuciedad.Elexperimentodesarrolla intimidadcon la materia, como el escultor con la arcilla, batallando con ella, modelándola,estimulándola.El teórico inventasuscompañeros,comoingenuoRomeoquesueñasuJulietaideal.Losamoresdelexperimentadorsonsudor,quejasyesperanza.

Se necesitan mutuamente, pero uno y otro han consentido que se infiltrasenciertasdesigualdadesensusrelaciones,desdelosantiguostiemposenqueeranunosolo. Si los mejores experimentadores conservan aún una mota de teórico en suconstitución,nopuededecirse lomismode los teóricos.En losúltimos tiempos,elprestigioseacumulaenelladodeéstos.Laglorialescorresponde,sobretodoenlafísica de alta energía. Los experimentadores se han convertido en técnicos muyespecializados, que regentan equipos costosos e intrincados. Durante los añostranscurridosdesdelasegundaguerramundial,enquelafísicasehadefinidoporelestudio de las partículas fundamentales, los experimentos que se publicaron depreferenciafueronlosefectuadosconaceleradores.Espín,simetría,color(propiedaddelosquarks),flavor(designacióndelostiposdequarks),etc.,eranlasabstraccionesquefascinaban.Paralamayorpartedelosprofanosaficionadosalaciencia,yparabastantes científicos, el estudio de las partículas subatómicas era la física.Mas suexploraciónaescalastemporalesbrevísimasdemandabanivelesmásaltosdeenergía.Así, pues, la maquinaria requerida para llevar a cabo buenos experimentos secomplicó con el paso de los años, y la naturaleza de la experimentación cambiódefinitivamente en este campo. La especialidad estaba atestada porque losexperimentosimportantesestimulabanlaformacióndeequiposdecolaboradores.Losartículosde físicasubatómicasolíandestacaren la revistaPhysicalReviewLetters:unanóminatípicadeautoresocupabaunacuartapartedelaextensióndelescrito.

Algunosexperimentadores,sinembargo,preferíantrabajarsolosoenparejas.Lohacían con cosas más accesibles. Si, por ejemplo, la hidrodinámica había perdidocategoría, el estudio del estado sólido había prosperado tanto que su crecimientojustificólautilizacióndeunnombremásamplio:«físicadelamateriacondensada»,ode lamateriapuray simple.Lamaquinariautilizada eramás sencilla.Ladistanciaque separaba al teórico del experimentador, menos perceptible. El primero dabamuestrasdehabermoderadosupresunción,yelsegundosehallababastantelibredesuanterioractituddefensiva.


Con todo eso, las perspectivas diferían. Era muy característico de un teóricointerrumpir la conferencia de un experimentador con la pregunta: ¿No sería másconvincentelaexpresióndelosdatos?¿Noleparecealgoconfusaesagráfica?¿Notendríanqueextenderseesascifrasvariosórdenesmásdemagnitudarribayabajodelaescala?

Y, por otro lado, era muy propio de Harry Swinney erguirse cuan alto era—alrededordecientosesentaycincocentímetros—,paraexclamar«Esverdad»,conunamezcolanzadeinnatoencantodeLouisianaydeadquiridairascibilidaddeNuevaYork:«Esverdad,sisedisponedeunainfinidaddedatosexentosdeconfusión»;yvolversehacia lapizarra conairedequiendespide aotrapersona, agregando:«Enrealidad,sólosedisponedeunacantidadlimitadadedatosconfusos».

Swinney experimentaba con la materia. Su momento decisivo había llegadocuandoeraestudiantegraduadoenlaJohnsHopkins.Laexcitaciónqueprovocabalafísica de las partículas se palpaba en el aire. El inspirador Murray Gell-Mannpronunció una conferencia y cautivó a Swinney. Pero, cuando curioseó qué hacíansus condiscípulos, vio que todos escribían programas de ordenador o soldabancámarasdechispas.Entoncestratóconunfísicodemásedadqueélsobreeltrabajoenlastransicionesdefase:cambiosdesólidoalíquido,denomagnéticoamagnético,deconductorasuperconductor.PocodespuésSwinneyposeíaunahabitación,apenasmásgrandequeunaalacena,peroindisputadamentesuya.Catálogoenmano,sepusoa encargar equipo. No tardó en contar con una mesa, un láser, unos aparatos derefrigeración y algunas sondas. Diseñó un artefacto para medir si el dióxido decarbonoconducíabienelcalorenelpuntocríticoenquesetransformabadevaporenlíquido.Casitodoelmundohabríapensadoquelaconductividadtérmicacambiaríalevemente. Swinney descubrió que se alteraba en un factor de 1.000. Fueemocionante:solo,enunadiminutahabitación,habíadadoconalgoquenadiesabía.Vio la luz sobrenatural que despide un vapor, cualquiera, cerca del punto crítico,llamada «opalescencia» porque la suave dispersión de los rayos le proporciona elreflejodeunópalo.

Como tantas otras cosas del caos, las transiciones de fase incluyen uncomportamiento macroscópico, difícil de predecir con el estudio de los detallesmicroscópicos.Lasmoléculasdeunsólidocalentadovibranconlaenergíaadicional.Fuerzansuslímiteshaciaelexterioryhacenquelasustanciaseexpanda.Cuantomásaltoseaelcalor, tantomás intensaserá laexpansión.Pero,a temperaturaypresióndeterminadas, el cambio se vuelve repentino y discontinuo. Se ha tirado de unacuerdayserompe.Laformacristalinasedeshaceylasmoléculasseapartanunasdeotras. Obedecen a leyes de los fluidos que hubieran sido imposibles de inferir decualquieraspectodel sólido.Elpromediodeenergíaatómicacasinohacambiado,perolamateria—ahoralíquida,ounimán,ounsuperconductor—haentradoenun


reinonuevo.GünterAhlers,enlosAT&TBellLaboratoriesdeNuevaJersey,habíaexaminado

la llamada transmisión superfluida en el helio líquido, en el que, cuando latemperaturabaja,elmaterialseconvierteenlíquidomágico,quefluyesinviscosidadofricciónperceptible.Otroshabíanestudiadolasuperconductividad.Swinneyhabíainvestigado el punto crítico en que la materia se cambia entre líquido y vapor.Swinney,Ahlers,PierreBergé,JerryGollub,MarzioGiglio…Mediadoeldeceniode1970, estos experimentadores y otros, en los Estados Unidos, Francia e Italia,cautivadosporlajoventradicióndeexplorarlastransicionesdefase,buscabanotrosproblemas.Tanbiencomouncarterosabeconlaexperiencialasentradasycallejonesde su demarcación, habían aprendido los postes indicadores de sustancias quecambiaban suestado fundamental.Habíanestudiadounbordeenque lamateria sebalanceaba.

Lamarcha de la investigación de la transición de fase había avanzado por laspasaderasdelaanalogía:unadenoimánaimánresultabasercomounadelíquidoavapor. La transición de fase de fluido a superfluido venía a ser como una deconductor a superconductor. Las matemáticas de un experimento se aplicaban amuchos otros. El problema había sido solventado en buena parte en la década de1970.Existía,empero,lacuestióndehastadóndepodíaextenderselateoría.¿Cuálesotroscambios,examinadosdecerca,evidenciaríanqueerantransicionesdefase?

No era la idea más original, ni la más evidente, aplicar las técnicas de lastransicionesdefasealmovimientodelosfluidos.Ynoeralamásoriginal,porquelosgrandes precursores de la hidrodinámica, Reynolds, Rayleigh y sus seguidores, alprincipio del siglo XX, habían notado ya que el experimento cuidadosamentecontrolado con un fluido acarrea un cambio en la cualidad del movimiento: unabifurcación, en términosmatemáticos.Los físicos sintieron la tentaciónde suponerqueelcarácterfísicodelabifurcaciónseparecíaaloscambiosdeunasustanciaquecabíanenelconceptodelastransicionesdefase.

Y no era la clase más evidente de experimento, porque, a distinción de lasauténticastransicionesdefase,lasbifurcacionesnoimponíanmodificaciónalgunaenlasustanciadelfluido.Envezdeello,sumabanunelementonuevo:elmovimiento.Unlíquidoquietoseconvierteenlíquidofluido.¿Porquéhabíandecorresponderlasmatemáticasdeestecambioalasdeunvaporquesecondensa?


ELFLUJOENTRECILINDROSGIRATORIOS.ElflujocaracterísticodelaguaentredoscilindrosproporcionóaHarrySwinneyyJerryGollubelmediodeestudiarelorigendelaturbulencia.Laestructurasehacemáscomplejaamedidaqueaumentalavelocidaddegiro.Demomento,elaguaformaunapautapeculiardeflujo, que se parece a una acumulación de rosquillas. Después éstas comienzan a ondear. Los físicosutilizaronunláserparamedirlavelocidadcambiantedelaguaasíqueaparecíaunanuevainestabilidad.


Cilindrosrotantesyunpuntodecisivo

Swinney daba clases en 1973 en el City College de Nueva York. Jerry Gollub,graduadodeHarvard,serioydeaspectojuvenil,hacíalomismoenHaverford.Estainstitución de enseñanza blandamente bucólica de las artes liberales, próxima aFiladelfia,noeraellugarmásidóneoparaunfísico.Nohabíaestudiantesgraduadosqueayudasenenlasoperacionesdelaboratorio,yqueocupasenlamitadinferiordelaimportantísima relaciónmutuadelmentory el protegido.Pero complacía aGollubenseñaradiscípulosdemenosfusteehizodeldepartamentodefísicadeHaverfordun centro famoso por la calidad de su trabajo experimental. En el año antesmencionado, obtuvo un semestre sabático y se fue a Nueva York a colaborar conSwinney.

Los dos hombres, recordando la analogía de las transiciones de fase con lasinestabilidades de los fluidos, decidieron examinar un sistema clásico de líquidoconfinadoentredos cilindrosverticales.Uno rotabadentrodelotro, revolviendoellíquido con él. El sistema confinaba su flujo entre superficies. Así se restringía elmovimientoposibledellíquidoenelespacio,adiferenciadeloschorrosyestelasquese producen en el agua libre. Los cilindros giratorios creaban lo que se denominacorrientedeCouette-Taylor.Elinteriorvolteatípicamentedentrodeunapiezahuecaestacionaria. La primera inestabilidad se presenta cuando la rotación se acelera: ellíquidoformaundiseñoelegante, semejanteaun rimerode tubos interioresdeunagasolinera. Bandas en figura de rosquilla surgen alrededor del cilindro, una sobreotra.Unagotaenelfluidogiranosólodeesteaoeste,sinohaciaarribayadentro,yhacia abajo y afuera, en torno de las rosquillas. Aquello era ya cosa sabida ycomprendida.G.I.Taylorlohabíavistoymedidoen1923.

ParaestudiarelflujodeCouette,SwinneyyGollubconstruyeronunaparatoquecabía en la tabla de un escritorio, consistente en un cilindro externo de vidrio, deltamañodeunenvasedelgadodepelotasdetenis,deunostreintacentímetrosdealtoyunoscincodediámetro,elcualdabacabidaexactaauncilindrointeriordeacero,conunapartehueca,deunostresmilímetrosdeancho,paraacogerelagua.

—Tenía la aparienciade improvisaciónendeble—dijoFreemanDyson,unodelosprominenteseinesperadosvisitantesdelosmesessiguientes—.Habíaqueveraaquellosdoscaballerosenunlaboratoriodebolsillo,casisinuncéntimo,llevandoacabo un experimento de indecible belleza. Fue el principio de una buena obracuantitativasobrelaturbulencia.

Swinney y Gollub pensaban en una tarea científica decorosa que les aportasecierto reconocimiento por sus trabajos, aunque luego cayese en el olvido.QueríanconfirmarlaideadeLandausobrelairrupcióndelaturbulencia.Noteníanmotivos


para dudar de ella. Sabían que los especialistas en dinámica de los fluidos laaceptaban.Les agradaba como físicos, pues encajaba con la imagengeneral de lastransicionesdefase,yelpropioLandauhabíaproporcionadoelmarcomásadecuadoparaestudiarlas,basadoensuintuicióndequeaquellosfenómenospodíanobedeceraleyes universales, con regularidades que superaban las diferencias en determinadassustancias.Cuandoestudióelpuntocríticodelíquido-vaporeneldióxidodecarbono,HarrySwinneylohizoconlaconviccióndeLandaudequesushallazgoslellevaríanalpuntocríticodelíquido-vaporenelxenón,loque,enefecto,sucedió.¿Noseríalaturbulenciaunaacumulaciónderitmoscontrapuestosenunfluidoenmovimiento?

GollubySwinneyseprepararonadesentrañarelenredodelosfluidosmovientesconunarsenaldeprecisas técnicasexperimentales,creadasduranteañosdeestudiodelastransicionesdefaseenlascircunstanciasmásdelicadas.Contabanconmétodosde laboratorioyequipodemediciónqueunespecialistaendinámicade los fluidosjamáshubierasoñado.Usaronelláserparasondarlascorrientesrodantes.Unrayodeluz cruzando el agua producía un desvío, o dispersión, mensurable con la técnicallamadainterferometríadopplerdeláser.Yelraudaldedatossealmacenóyprocesóen un ordenador, aparato que se veía raras veces en 1975 en un experimento delaboratorio.

Landau había asegurado que aparecerían nuevas frecuencias, una tras otra, amedidaquelacorrienteseacrecentara.Swinneyrecordó:

—Loleímosyexclamamos,estupendo,echaremosunamiradaalastransicionesde lasquesalenesas frecuencias.Lasmiramosy,vayaquesí,habíauna transiciónmuy bien definida. Fuimos adelante y atrás por ella, aumentando y acortando lavelocidadderotacióndelcilindro.Todoestabaperfectamentedefinido.

Swinney y Gollub comenzaron a comunicar sus resultados y chocaron con unlímite sociológico de la ciencia, el que separaba el dominio de la física del de ladinámica de los fluidos. Aquella barrera poseía vívidos rasgos característicos. Enparticular,establecíaquéburocraciaadministrabasufinanciacióndentrolaNationalScience Foundation. En los años ochenta, el experimento de Couette-Taylorpertenecea lafísica;pero,en1973,erapatrimoniodeladinámicade losfluidos,ypara quienes estaban acostumbrados a ella, los primeros números que salían delpequeño laboratorio del City College fueron demasiado —sospechosamente—nítidos.Losexpertosnopodíancreerenellos.Noestabanhabituadosaexperimentosejecutadosenelclaroestilodelafísicadetransicióndefase.Además,desdeelpuntodevistadeladinámicadelosfluidos,costabaentenderlaintenciónteóricadeaquél.LaNationalScienceFoundationrespondióaSwinneyyGollubconunanegativaenla siguiente ocasión en que intentaron obtener fondos. Unos ponentes no dieroncréditoalosresultadosyotrossentenciaronquenoeranunanovedad.

Peroelexperimentonosedetuvo.


—Allíteníamoslatransición,biendefinida—dijoSwinney—.Setratabadealgogrande.Despuésfuimosadelanteenbuscadeotra.

Entonces se interrumpió la esperada secuencia de Landau. El experimento noconfirmaba la teoría. En la transición siguiente la corriente saltó sin tregua a unestado confuso, carente de ciclos distinguibles. Nada de frecuencias, nada deformacióngradualdecomplejidad.

—Fueseloquefuere,loqueencontramossehizocaótico.Alcabodepocosmeses,unbelgaenjuto,dotadodeintensoencanto,aparecióen

lapuertadesulaboratorio.


LaideadeDavidRuellesobrelaturbulencia

DavidRuelle decía que había dos clases de físicos: una que creció desmontandoaparatos de radio—aquello sucedía en la era anterior al estado sólido, cuando secontemplabancablesy tubosdevacíoqueresplandecíanconcoloranaranjado,yseimaginabacualquiercosasobrelacirculacióndeloselectrones—,yotraquejugabaconequiposquímicos.Ruellejugóconellos,oconninguno,enelposteriorsentidoestadounidense.Fueronsustanciasquímicas,explosivasovenenosas,quevendíansinreparos,enelseptentrióndeBélgicadondehabíanacido, losfarmacéuticoslocales.El mismo Ruelle las mezclaba, removía, calentaba, cristalizaba y, a veces, hacíaestallar.Habíavenidoalmundoen1935,enGante,hijodeunmaestrodegimnasiaydeunaprofesorauniversitariadelingüística,yaunquepensóenconsagrarsealreinode la ciencia abstracta, siempre sintió debilidad por las sorpresas que oculta lanaturalezaenlassetasvenenosas,oenlacombinacióndelsalitreconazufreycarbón.

Noobstante,aportóunaperdurablecontribuciónalaexploracióndelcaosconlafísicamatemática. Ingresó en 1970 en el Institute desHautes Études Scientifiques(InstitutodeAltosEstudiosCientíficos),situadoenlasafuerasdeParíseinspiradoenel Institute for Advanced Study de Princeton. Ya había iniciado lo que setransformaríaenhábitoconstanteensuexistencia:abandonarelinstitutoysufamiliaperiódicamenteparaemprenderexcursionessolitarias,quellegabanadurarsemanas,conunasimplemochila,porlosespaciosdesiertosdeIslandiaoMéxico.Amenudonoencontrabaanadie.Cuandohallabasereshumanosyaceptabasuhospitalidad—tal vez un yantar de tortillas de maíz, sin grasa animal o vegetal—, pensaba quecontemplabaelmundotalcomohabíasidohacíadosmilenios.Devueltaalinstituto,reemprendíalavidacientífica,conelrostromásflacoylapielmásceñidaasufrenteredondaysuagudomentón.HabíaasistidoaconferenciasdeSteveSmalesobre laherraduraylasposibilidadescaóticasdelossistemasdinámicos.Habíareflexionadosobre la turbulencia de los fluidos y la imagen clásica de Landau. Sospechó queaquellasideasestabanemparentadas…yqueerancontradictorias.

Ruelle no poseía experiencia de las corrientes fluidas, pero aquello no ledesanimó,comonohabíadesanimadoasusmuchospredecesoresdesafortunados.

—Lagente no especializada siempre descubre las novedades—dijo—.Nohayuna sólida teoríanaturalde la turbulencia.Todas laspreguntasquepuedenhacersesobreellasondeíndolemásgeneral,y,porconsiguiente,accesiblesalosquenosonexpertos.

Secomprendíasinesfuerzoporquélaturbulenciaseresistíaaseranalizada.Lasecuacionesde lacorrientede los fluidos sondiferencialesparcialmenteno lineales,insolublesexceptoencasosespeciales.Apesardeello,Ruelleingenióunaalternativa


abstracta de la imagen de Landau, expuesta en el léxico de Smale, conrepresentaciones del espacio parecidas a una materia moldeable, que podía serapretada, estirada y plegada en figuras tales como las herraduras. Escribió en elinstituto un artículo en colaboración con Floris Takens, matemático holandésvisitante,ylopublicaronen1971.Suexpresiónfueinconfundiblementematemática—¡muchoojo, físicos!—,o sea, encabezaron lospárrafos convocablos tales comodefinición,proposiciónoprueba,alosqueseguíalainevitablearremetida:Sea…

«Proposición (5.2). Sea X μ una familia de un parámetro de Ck camposvectorialesenunespacioHdeHilberttalque…».

En cambio, el título prometía relación con el mundo real: «On the Nature ofTurbulence» (Sobre la naturaleza de la turbulencia), eco deliberado del célebre deLandau,«OntheProblemofTurbulence».LaclarafinalidaddelaargumentacióndeRuelleyTakensibamásalládelasmatemáticas;seproponíanofrecerunsustitutodelcriterio tradicional sobre el arranque de la turbulencia. En lugar de amontonarfrecuencias, lo que llevaba a una infinidad de movimientos traslapadosindependientes, declararon que tres movimientos independientes bastaban paragenerarlacomplejidadtotaldelaturbulencia.Desdeelpuntodevistadelascienciasexactas, partede su lógica resultó seroscura, equivocadao tomadaenpréstamo,otodoalmismo tiempo.Lasopinionesal respectovariaban todavíaquinceañosmástarde.

Perolaintuición,elcomentario,lascosasmarginalesylafísicaentretejidosenelartículo la convirtieron en don inagotable. Lomás seductor fue lo que los autoresdenominaron atractor extraño. Ruelle meditó después que tal denominación erapsicoanalíticamente«sugestiva».SuimportanciaenelestudiodelcaosfuetalqueélyTakenssedisputaron,conaparienciacortés,elhonordehaberinventadoelnombre.Eralaverdadqueningunodeamboslorecordababien.

Takens,alto,rubicundoyfieramentenórdico,decía:—¿AcasosepreguntaaDiossihacreadoestemalditouniverso?…Norecuerdo

nada…Creoamenudosinacordarmedeello.Ruelle,elautormáscalificadodelartículo,comentabasinalterarse:—Takens visitaba el Institut des Hautes Études Scientifiques. Cada persona

trabajaasumodo.Algunasprefierenescribirlosartículossincolaboradores,paraqueelméritoseasólodeellas.

El atractor extraño vive en el espacio de fases, una de las invenciones másvigorosasdelacienciamoderna.Dichoespacioproporcionaelmododeconvertirlosnúmerosenimágenes,abstrayendocadamigadeinformaciónesencialdeunsistemadepartesmóviles,mecánicasofluidas,ytrazandoundiagramaflexibledecaminosque conducen a todas sus posibilidades. Los físicos trabajaban ya con dos clasessimples de «atractores»: puntos fijos y ciclos límites, que representaban el


comportamientoaquellegabaunestadoestable,oqueserepetíacontinuamente.Enelespaciodefases,elconocimientocompletodeunsistemadinámico,enun

instantetemporalúnico,setransformaenunpunto.Ésteeselsistemadinámico…,enaquel instante. Pero, en el siguiente, el sistema habrá cambiado, aunque sea muypoco. Por lo tanto, el punto se mueve. La historia del sistema temporal puederegistrarseconelpuntomóvil,quedescribesuórbitaatravésdelespaciodefaseseneltranscursodeltiempo.

¿Cómosealmacenaenunpuntotodalainformaciónsobreunsistemacomplejo?La respuesta es simple, si tiene sólo dos variables. Se deriva de la geometríacartesianaqueseexplicaenlasegundaenseñanza:unavariableenelejehorizontalyotra en el vertical. Si es un péndulo, que oscila sin fricción, una variable será laposición y otra la velocidad; las dos cambian continuamente, creandouna línea depuntos que traza una curvamás omenos cerrada, la cual se repite una y otra vez,siempre.Elmismosistema,conmayoríndicedeenergía—asaber,oscilandomásdeprisa ymás lejos—, forma en el espacio de fases una curva similar a la descrita,aunquemásamplia.

Algoderealismo,conelaspectodefricción,cambialaimagen.Nosenecesitanlasecuacionesdelmovimientoparacomprenderlasuertedeunpénduloexpuestoafricción. Cada órbita acabará, al fin, en el mismo sitio, en el centro: posición 0,velocidad0.Esepuntofijocentral«atrae»lasórbitas.Envezdeformarcurvasparasiempre, describe una espiral hacia el interior. La fricción disipa la energía delsistema, y la disipación se revela en el espacio de fases comoun impulsohacia elcentro,desde lasregionesexternasdealtaenergíaa las internasdebajaenergía.Elatractor—del géneromás sencillo posible— es como un imán del tamaño de unacabezadealfilermetidoenunaláminadegoma.


AdolphE.Brotman

OTRA MANERA DE VER EL PÉNDULO. Un punto en el espacio de fases (derecha) contiene toda lainformación sobre el estado de un sistema dinámico en cualquier instante (izquierda). En un péndulosencillo,dosnúmeros—velocidadyposición—escuantoserequieresaber.

Elpuntotrazaunatrayectoria,lacualproporcionaunamaneradevisualizar el comportamiento continuo, a largo plazo, de unsistemadinámico.Unarcoreiteradorepresentaunsistemaqueserepiteparasiempreaintervalosregulares.

Sielcomportamientorepetidoesestable,comoenelpéndulodeunrelojdepared,elsistemaregresaasuórbitatraspequeñasperturbaciones. En el espacio de fases, la órbita arrastra lastrayectoriasquepasancercadeella:esunatractor.

Un solo punto puede ser un atractor. En un péndulo que pierdeconstantemente energía a causa de la fricción, todas las


trayectorias decrecen en espiral hacia un punto interior, querepresenta el estado estable, en este caso, el de la inmovilidadabsoluta.

Unaventajadeconcebirlosestadoscomopuntosenelespacioesquefacilitalaobservación del cambio. El sistema cuyas variables se modifican, arriba y abajo,incansablemente, se transformaenunpuntomóvil, en algoasí como lamoscaquerevoloteaenunahabitación.Sinuncaocurrenalgunascombinacionesdevariables,elcientíficopuede,enresolución,imaginarqueunapartedelahabitaciónquedafueradeloslímites.Lamoscanuncavaaella.Sielsistemasecomportaperiódicamente,volviendoalmismoestadoenunaocasión,enotrayenotra,lamoscasemueveenunacurvamásomenoscerradaypasaunayotravezpor lamismaposiciónenelespacio de fases. Las imágenes del espacio de fases de sistemas físicos exponíanpautas de movimiento que, de otra manera, hubieran sido invisibles, así como lafotografíainfrarrojadeunpaisajerevelaformasydetallesexistentesdelalcancedelapercepción. Examinando la imagen de unas fases, el científico podía utilizar laimaginación para pensar en todo el sistema. Esta curva corresponde a esaperiodicidad. Este sesgo pertenece a tal cambio. Este vacío significa esaimposibilidadfísica.

Incluso las imágenes bidimensionales de espacios de fases reservaban muchassorpresas, y hasta los ordenadores de mesa podían demostrar algunas de ellas,mudando las ecuaciones en trayectorias móviles llenas de color. Algunos físicosrodaron películas y cintas de vídeo para mostrarlas a sus colegas, y algunosmatemáticosdeCaliforniapublicaronlibroscondiseñosverdes,azulesyrojosporelestilodelosdibujosanimados,queciertosdesuscofradesdefinieron,conuntoquede malicia, como «historietas del caos». Las dos dimensiones no satisficieron lasexigenciasdelossistemasquelosfísicosnecesitabanestudiar.Requeríanmásdedosvariables,yesodemandabamásdimensiones.Cadaporcióndeunsistemadinámicocapazdemoverseconindependenciaesotravariable,otrogradodelibertad.Ycadaunodeéstosexigeotradimensiónenelespaciodefases,conelfindeasegurarsedequeunsolopuntocontieneinformaciónsuficienteparadeterminardemodoúnicoelestado del sistema. Las ecuaciones sencillas que estudió Robert May eranunidimensionales: se contentaban con un solo número, que podía representar la


temperatura o la población, y ese número definía la posición de un punto en unalínea, unidimensional por su naturaleza. El sistema simplificado de Lorenz de laconveccióndelosfluidosteníatresdimensiones,noporqueelfluidosemovieraporellas, sinoporquesenecesitaron tresnúmerosdiferentesparaprecisarelestadodelfluidoenuninstantedado.

Losespaciosdecuatro,cincoomásdimensionesabrumanlaimaginaciónvisualdelos topólogosmásdotados.Perolossistemascomplejos tienenmuchasvariablesindependientes.Losmatemáticoshabíandeaceptarelhechodequelossistemasconinfinitosgradosdelibertad—lanaturalezaindomeñadaqueseexpresaenlacascadaturbulenta o en el cerebro impredecible— requerían un espacio de fases dedimensionesinfinitas.Pero¿quiénpodíamanejaraquello?Eraunahidra,despiadadae ingobernable, y se trataba de la imagen de Landau de la turbulencia: modosinfinitos,infinitosgradosdelibertad,dimensionesinfinitas.


Curvasenelespaciodefases

Elfísicoteníabuenasrazonesparaqueledesagradaseunmodeloqueostentabatanpocaclaridadnatural.Lossuperordenadoresmásrápidosdelmundo,queempleabanlas ecuaciones no lineales del movimiento de los fluidos, eran impotentes cuandohabían de rastrear durante escasos segundos un flujo alborotado, incluso de uncentímetro cúbico. La culpa correspondíamás a la naturaleza que a Landau, peroincluso así la imagen de éste iba a contrapelo. Sin conocimiento alguno, el físicoteníaderechoasospecharquealgúnprincipioseresistíaaserdescubierto.RichardP.Feynman, el gran teórico cuántico,manifestó tal sensación:«Siempremepreocupaque,segúnlasleyestalcomolasentendemoshoydía,unamáquinacalculadorahayadeefectuarunnúmero infinitodeoperaciones lógicas,para resolverqué sucedeencualquierminúscula regióndel espacio,y enno importa cuálminúscula regióndeltiempo. ¿Cómo ocurre eso en ese diminuto espacio? ¿Por qué se requiere infinitacantidad de lógica para dilucidar lo que hará un fragmento exiguo de espacio-tiempo?».

Comotantosotrosquesepusieronaestudiarelcaos,DavisRuelleconjeturóquelas formas visibles de una corriente confusa—líneas entremezcladas de dirección,torbellinos espirales, giros retorcidos, que se asoman fugazmente y desaparecen—debían de reflejar pautas que justificaban leyes aún no descubiertas. Pensó que ladisipacióndelaenergíaentalcasoteníaquellevaraunaespeciedecontraccióndelespaciodefases,auntirónhaciaunatractor.Éste,desdeluego,noseríaunpuntofijo,porqueelflujo jamásse tranquilizaría.Laenergía tantoentrabaenelsistemacomosalíadeél.¿Quéotrogénerodeatractorpodíaser?Conformealdogma,noexistíasinootrogénero,unatractorperiódico,ociclolímite:unaórbitaqueatraíatodaslascercanas.Siunpéndulorecibeenergíadeunresorteylapierdeaconsecuenciadelafricción—esdecir, si esa lavez impulsadoy retenido—,unaórbitaestablepuedeser,enelespaciodefases,lacurvacerradaquerepresentaelmovimientooscilatorioregulardeunrelojdepared.Dondequieraquesepongaenmovimiento,elpénduloadoptaráesaórbita.¿Deveras?Enelcasodeciertascondicionesiniciales—lasqueposeen la energía más baja—, acaba por detenerse, de suerte que el sistema secomponededosatractores,unodeellosunacurvacerradayotrounpuntofijo.Cadaatractor tiene «cuenca» propia, lomismo que dos ríos próximos poseen territoriospropiosderecogidadeaguas.

A corto plazo, cualquier punto del espacio de fases puede salir fiador delcomportamientodeunsistemadinámico.Aplazolargo,losúnicoscomportamientosposiblessonlosatractores.Lasotrasclasesdemovimientoresultantransitorias.Losatractorestienenpordefiniciónlaimportantepropiedaddeserestables:enunsistema


real,enquelaspartesmóvilesestánsujetasaloschoquesyresonanciasdelmundoreal, el movimiento propende a regresar al atractor. Un choque llega a desviar latrayectoria por breve tiempo, pero los movimientos transitorios resultantes seextinguen.Aunque el gato le propine un zarpazo, el péndulo de un reloj de parednuncamarcaunminutodesesentaydossegundos.La turbulenciaenunfluidoeracomportamiento de orden distinto, pues jamás producía un ritmo determinado conexclusión de los demás. Una de sus características harto conocida era que sepresentaba, al mismo tiempo, el amplio espectro total de los ciclos posibles. Laturbulenciaescomolosruidosparásitosquecrepitanenelaparatoderadio.¿Podíaaquellosurgirdeunsistemasencilloydeterministadeecuaciones?

Ruelle y Takens se preguntaron si alguna otra clase de atractor no tendría elconjunto de propiedades adecuadas. Estable, representativo del estado final de unsistemadinámicoenunmundoalborotado.Depocasdimensiones,estoes,unaórbitaen un espacio de fases que fuese un rectángulo o una caja, con escasos grados delibertad.Noperiódico,sinjamásrepetirseysinjamásincurrirenelritmoconstantede un reloj de pared. Desde el punto de vista geométrico, el problema frisaba enrompecabezas: Qué órbita podía trazarse en un espacio limitado, de manera quenuncaserepitieseynuncasecruzaseasímisma,pues,encuantovuelveaunestadoanterior,unsistemadebeseguir idénticocaminoenadelante.Paraproducir todosycadaunodelosritmos,laórbitatendríaqueserunalíneainfinitamentelargaenunáreafinita.Enresolución—lapalabranosehabíainventadotodavía—,habríadeserfractal.ElrazonamientomatemáticohizoqueRuelleyTakensafirmasenqueaquellotenía que existir. Jamás lo habían visto, y no lo diseñaron. Pero la afirmación erabastante.Más tarde, alpronunciarunaconferenciaenelCongreso InternacionaldeMatemáticasdeVarsovia,Ruelledeclaró,conlacómodasuficienciaconquesejuzgalopasado:

—Lareaccióndelestamentocientíficoanuestrasproposicionesfueglacial.Sobretodolanocióndequeelespectrocontinuoseasociaríaconpocosgradosdelibertad,fueconsideradaheréticapormuchosfísicos.

Peroéstos—unpuñado,desdeluego—reconocieronlatrascendenciadelartículode1971ytrabajaronensusinferencias.


Hojaldreysalsicha

En realidad, la bibliografía científica contenía, en 1971, un pequeño dibujo de lainimaginablebestiaqueRuelleyTakens intentabanvivificar.EdwardLorenzhabíaadjuntado a su artículo de 1963 sobre el caos la representación de dos curvas a laderecha,yunadentrodeotra,ycincoalaizquierda.Laobtencióndelassietehabíanecesitadodequinientoscálculoscontinuosenelordenador.Unpunto,quesemovíasegúnaquellatrayectoriaenelespaciodefases,alrededordelascurvas,ilustrabalalenta rotación caótica de un fluido, tal como lo simulaban las tres ecuaciones deLorenz referentes a la convección. Como el sistema contaba con tres variablesindependientes, aquel atractor se hallaba en un espacio tridimensional de fases.Aunque sólo había dibujado un fragmento de él, Lorenz viomás de lo que habíadibujado: una especie de espiral doble, como las alas de unamariposa entretejidascondestrezainfinita.Cuandoelcalorcrecientedesusistemaimpelíaelfluidoenunadirección, la trayectoria permanecía en el ala derecha; cuando el movimiento derotaciónseparabaycambiabadesentido,latrayectoriasetrasladabaalaotraala.

Elatractoreraestable,depocasdimensionesynoperiódico.Nuncasecortabaasí mismo, porque, si lo hacía, volviendo a un sitio en que ya había estado, elmovimiento sehubiera repetidoenadelanteenunacurvaperiódica.Aquellonuncaocurrió; era lo singular, lo precioso, del atractor. Sus lazos y espirales eraninfinitamente hondos; jamás se juntaban y jamás se intersecaban. Sin embargo,permanecíandentrodeunespaciofinito,confinadosenunacasilla.¿Cómoacontecíaaquello?¿Cómocabíanenunespaciofinitoinnumerables,infinitas,trayectorias?


EL PRIMER ATRACTOR EXTRAÑO. En 1963, Edward Lorenz logró computar sólo unos pocos ramalesiniciales del atractor, en su sistema sencillo de ecuaciones. No obstante, comprendió que elentrelazamientodelasdosalasespiralesdebíadetenerunaestructuraextraordinariaaescalasinvisibles.

EnlaépocaanterioraquelasimágenesdelosfractalesdeMandelbrotinundaranelmercadocientífico,costabamuchísimoconcebirlosdetallesdelaconstruccióndeaquella figura. Y Lorenz confesó que había una «contradicción aparente» en suesfuerzo de descripción. «Se hace muy cuesta arriba conciliar la fusión de dossuperficies,cadaunaconunaespiral,conlaincapacidaddelasdostrayectoriasparaunirse»,escribió.Percibióunarespuestademasiadosutilparaqueaparecieseen losescasos cálculos que podía efectuar su ordenador. Donde las espirales parecíanjuntarse,lassuperficiesteníanquedividirse,comprendió,formandocapasseparadascomolasdeunhojaldreescamoso.«Vemosquecadasuperficieesenrealidaddos,demodo que, donde aparentan fusionarse, hay cuatro. Llevando adelante esteprocedimiento en otro circuito, notamos que hay ocho superficies reales, etc., yconcluimosalfinqueexisteuncomplejoinfinitodesuperficies,cadaunasumamentepróxima a esta o aquella de las dos que se funden». No asombra que losmeteorologistasde1963nosemetieranenaquellashonduras,nitampocoqueRuellesemaravillara y excitara, diez años después, al enterarse de la obra deLorenz.Levisitó una vez en fecha posterior, y se despidió de él con una débil impresión de


chasco, porque no habían hablado sino de la parcela que compartían sus cienciasrespectivas.Consuencogimientopeculiar,Lorenzconvirtióelencuentroenreuniónsocial,yfueronconsusesposasaunmuseodearte.

ElesfuerzodeaprovecharlasindicacionesdeRuelleyTakensseorientóendossentidos.Unofuelaluchateóricaporvisualizarlosatractoresextraños.¿Eratípicoelde Lorenz? ¿Qué clases distintas de figuras serían posibles? Otro consistió en eltrabajo experimental destinado a confirmar o refutar el acto de fe, acusadamenteantimatemático,quereclamabalaaplicabilidaddelosatractoresextrañosalcaosenlanaturaleza.

EnJapón,elestudiodeloscircuitoseléctricosqueimitabanelcomportamientodelosresortesmecánicos—aunqueconvelocidadmuysuperior—,hizoqueYoshisukeUedadescubrieseunconjuntobellísimodeextrañosatractores. (Conoció laversiónorientaldelafrialdadquehabíaacogidoaRuelle:«Suresultadonopasadeserunaoscilacióncasiperiódica.Noseformeunconceptoególatradelosestadosestables»).EnAlemaniaOttoRössler,médiconopracticantequellegóalcaosporelcaminodelaquímicaylabiologíateórica,vioconrarahabilidadlosatractoresextrañoscomoobjetosfilosóficos,ydejólasmatemáticasensegundotérmino.ElnombredeRösslerquedóunidoaunatractornotablementesencillo,defiguradecinta,conundoblez,ymuy estudiado porque no costaba dibujarlo; pero también visualizó otros de másdimensiones.

—Unasalchichadentrodeunasalchichadentrodeunasalchicha—solíadecir—.Sáquela,pliéguela,oprímalaycolóqueladenuevo.

En verdad, doblar y apretar el espacio era el secreto de construir atractoresextraños,ytalvezeldeladinámicadelossistemasrealesquelosoriginaban.Rösslersentía que aquellas formas encarnaban en el mundo un principio autoorganizador.Imaginaba algo semejante a una manga de viento en un aeródromo, «una fundaabiertaconunagujeroenelextremo,enlacualelvientoseinterna»,dijo.«Yquedaatrapado.Laenergíahacealgoproductivocontrasuvoluntad,comoeldiabloenunaconseja medieval. El principio es que la naturaleza efectúa algo contra su propioquerery,porenmarañarseensímisma,creabelleza».

Concretar las imágenes de atractores extraños no era asunto trivial.Las órbitasabrían, de manera típica, vericuetos cada vez más complicados en tres o másdimensiones,originandoenelespacioungarabatoconfusocuyaestructurainternanose percibía desde el exterior. Los científicos emplearon ante todo, para convertiraquellasmadejastridimensionalesenfigurasplanas,latécnicadelaproyección,enlaqueundibujo representaba la sombraqueel atractorarrojaba sobreuna superficie.Pero,enelcasodeloscomplejos,laproyecciónnohacíasinoemborronareldetalleen un revoltijo indescifrable. Una técnicamás reveladora consistía en elmapa derestitución o mapa de Poincaré, el cual se lograba cortando una rebanada del


laberínticocorazóndelatractorparasacardeélunaporciónbidimensional,comoelpatólogoquepreparauncortemuyfinodetejidoparaunportaobjetosutilizableenelmicroscopio.

ElmapadePoincaréretiraunadimensióndelatractoryvuelveunalíneacontinuaenunacoleccióndepuntos.Encuantoobtienetalmapa,elcientíficosuponequehaconservadobuenapartedelmovimientoesencial.Puede imaginar,porejemplo,queunatractorextrañoseajetreadelantedesusojos,conórbitasquesubenybajan,vande derecha a izquierda y viceversa, y recorren sin dirección fija la pantalla de suordenador.Laórbitadejaunpunto resplandecienteenel lugarde la intersección,ylospuntosconstituyenunborrónalazaroinsinúanunaformaenelfósforo.

El procedimiento comprueba el estado de un sistema a retazos, no de modocontinuo. Cuándo ha de ejecutarse la comprobación —dónde se debe sajar larebanada del atractor extraño— es cuestión que concede cierta flexibilidad alinvestigador.El intervalomás informativo tal vez corresponda a algún rasgo físicodel sistemadinámico.Por ejemplo,unmapadePoincaré sacabaunamuestrade lavelocidaddelapesadelpénduloencadaocasiónquerecorríasupuntomásbajo.Oelinvestigadorescogíaalgúnintervalotemporalregularfrenandolossucesivosestadosconunestroboscopio ideal.Conesteo conaquelmétodo, tales imágenesacabaronporrevelarlafinaestructurafractalqueEdwardLorenzhabíabarruntado.


Eldiagramadeunastrónomo

El más revelador de los atractores extraños, por ser el más simple, se debió aalguien muy distante de los misterios de la turbulencia y de la dinámica de losfluidos. Era el astrónomo Michel Hénon, del Observatorio de Niza, en la costasudorientaldeFrancia.Enciertosentido, laastronomíapusoenacciónlossistemasdinámicos:losmovimientoscronométricosdelosplanetasproporcionaroneltriunfoaNewtoneinspiraronaLaplace.Perolamecánicacelestesediferenciadelainmensamayoríadelossistemasterrestresenalgofundamental.Losquepierdenenergíaconlafricciónsondisipativos.Yesonosucedeconlosastronómicos:sonconservativosohamiltonianos. En el fondo, a escala casi infinitesimal, incluso los astronómicosexperimentan un entorpecimiento o traba, porque las estrellas irradian energía y lafricciónperiódicarestaalgodevelocidadaloscuerposquesedesplazanalolargodesusórbitas;perolosastrónomosignoranladisipaciónconfinesprácticos.Y,sinella,elespaciodefasesnoplieganicontraecomosenecesitaparaquehayaestratificaciónfractalinfinita.Jamáscompareceríaunatractorextraño.¿Yelcaos?



EXPOSICIÓNDELAESTRUCTURADEUNATRACTOR.Elatractorextrañoaquí representado—unaórbita,diez y cien—muestra el comportamiento caótico de un rotor, o sea, un péndulo que oscila en círculopleno, impulsadoa intervalos regularesporunadescarga energética.Cuando sehan trazadomilórbitas(abajo),elatractorsehaconvertidoenunamadejademarañaimpenetrable.

Paraverelinteriordelaestructura,uncomputadorcortaunatajadadelatractor,denominadaseccióndePoincaré.Estatécnicareducelaimagentridimensionaladosdimensiones.Cadavezquepasaporunplano,latrayectoriamarcaunpunto.Asísurgepocoapocounapautamuydetallada.Lapresentemuestratienemás de ochomil puntos, cada uno de los cuales representa una órbita alrededor del atractor. Enefecto, el sistema es «catado» a intervalos regulares. Se pierde una clase de información, pero se haceresaltarotra.

Muchosastrónomoshabíandisfrutadodecarreraslargasyprósperassindestinarunsolopensamientoalossistemasdinámicos;peroHénoneradistinto.HabíanacidoenParísen1931ytenía,porconsiguiente,algunosañosmenosqueLorenz;comoél,sentíaaficióninsatisfechaalasmatemáticas.Leagradabanlosproblemaspequeñosyconcretos,relacionadosconsituacionesfísicas(«noelgénerodematemáticasaquehoy se dedica la gente», explicó). Cuando los ordenadores tuvieron el tamañoconvenienteparaelusoprivado,HénonadquirióunHeathkitquesoldóyconelqueseentretuvoensudomicilio.Muchoantesdeaquello,habíaadoptado,pordecirloasí,


un problema muy desconcertante de dinámica. Atañía a los cúmulos globulares oestelares(apretadaspelotasdeestrellas,enocasionesunmillón,querepresentanlosobjetosmásantiguosytalvezmásimponentesdelfirmamentonocturno).Tienenunapasmosadensidaddecomponentes.Lacuestióndecómosemantienenjuntasycómosedesarrollaneneldecursodel tiempohaintrigadoalosastrónomosalolargodelsigloXX.

En lo dinámico, un cúmulo globular es un enorme problema, porque en élintervienen muchos cuerpos. Una incógnita de dos se solventa con facilidad, yNewtonlohizodemodototalysatisfactorio.Cadacuerpo—laTierraylaLuna,porejemplo—sedesplazaenunaelipseperfectaalrededordelcomúncentrodegravedaddel sistema.Pero si se agregaotroobjetogravitante, la situacióncambia comoporensalmo.Elproblemadelostrescuerposesarduo,einclusopeorqueeso:amenudocasi irresoluble, como descubrió Poincaré. Las órbitas pueden calcularsenuméricamenteduranteunratito,y,conlaayudadeordenadorespoderosos,seguirsedurantebastantetiempo,antesdequelasincertidumbresseimpongan.Pero,comolasecuaciones no pueden resolverse analíticamente, no hay modo de responder a lascuestiones, a largo plazo, sobre un sistema de tres cuerpos. ¿Es estable el solar?Parece serloaplazocorto; inclusohoynadie sabecon seguridad si algunasórbitasplanetariasnoseharáncadavezmásexcéntricas,hastaquelosplanetasabandonenelsistemaparasiempre.

El cúmuloglobular esun sistemademasiadocomplicadopara tratarlo comounproblema de muchos cuerpos; en cambio, es posible estudiar su dinámica con laayudadealgunossupuestos.Parecerazonablepensar,verbigracia,quecadaestrellarecorre un campo gravitatorio promedio con un centro particular de gravedad. Noobstante, con la frecuencia que fuere, dos estrellas se acercarán una a otra losuficiente para que su interacción haya de tratarse por separado.Y los astrónomoscomprendieron que los cúmulos globulares no han de ser, generalmente, estables.Tiendenaformarseensuinteriorsistemasdeestrellasbinarias,queseemparejanenórbitasestrechas,ycuandounaterceralasencuentre,cualquieradelastresseexponea recibir una fuerte patada.De tarde en tarde, una obtendrá bastante energía de lainteracciónparaalcanzarlavelocidaddeescapeysepararsedelcúmuloparasiempre;entonces,elcúmulosecontraerálevemente.Alenfrentarseconesteproblemaensutesisdoctoralen1960,enParís,Hénonpartiódeunsupuestomásbienarbitrario:que,cuando cambiaba de escala, el cúmulo continuaba siendo similar a sí mismo. Suscálculos acabaron un resultado asombroso. El núcleo del cúmulo se abatiría,adquiriendoenergíacinéticaytendiendoaunestadodedensidadinfinita.Apenaseraconcebibletalcosa,que,encima,norecibíasoporteenloscúmulosobservadoshastaentonces.Pero,bienquedespacio,lateoríadeHénon,queluegorecibiríaelnombrede«colapsogravotérmico»,echóraíces.


Asírobustecido,dispuestoaemplearlasmatemáticasencuestionesantiguasyallevar los resultados inesperados hasta sus improbables consecuencias, se dedicó aproblemasmuchomásfácilesdeladinámicaestelar.En1962,duranteunavisitaalaUniversidaddePrinceton,habíatenidoaccesoporprimeraocasiónalosordenadores,precisamente cuando Lorenz comenzaba a aplicarlos a la meteorología en elMassachusettsInstituteofTechnology.Hénonprincipióconmodelosdelasórbitasdelasestrellasenderredordesucentrogaláctico.Deformarazonablementesimple,lasde lasgalaxiaspueden representarsecomo lasdeplanetas alrededordeun sol, conuna excepción: una fuente de la gravedad central no es un punto, sino un discotridimensional.

Llegó a un compromiso con las ecuaciones diferenciales. «Para disfrutar demayor libertad de experimentación —escribió— nos olvidamos de momento delorigen astronómico del problema». Aunque no lo dijese entonces, la «libertad deexperimentación»significaba,enparte,laderepresentarelproblemaenunordenadorprimitivo.Ésteposeíamenosdeunamilésimapartedelamemoriaquetieneunsolochipdeunordenadorpersonalde laactualidad,yademásera lento.Pero,comolosexperimentadores en los fenómenos del caos que le siguieron, Hénon vio que lahipersimplificación resultaba provechosa. Abstrayendo la esencia de su sistema,descubriócosasaplicablesaotros,inclusomásimportantes.Añosdespués,lasórbitasgalácticaserantodavíaunejercicioteórico;peroladinámicadeaquellossistemassehallabasometidaalainvestigación,intensaycostosa,delosinteresadosenlasórbitasde las partículas en aceleradores de alta energía, y a la de aquellos a quienesimportabaelconfinamientodeplasmasmagnéticosparacrearlafusiónnuclear.

Lasórbitas estelares, en las galaxias, a una escala temporal deunosdoscientosmillonesdeañostienencaráctertridimensionalenlugardedescribirelipsesperfectas.Son muy difíciles de visualizar tanto si son reales como si son construccionesimaginariasenelespaciodefases.Porello,HénonadoptóunatécnicacomparablealadelaconfeccióndelosmapasdePoincaré.Concibióunaláminaplana,colocadaverticalmenteaunladodelagalaxia,quecadaórbitaatravesaba,comoloscaballoscruzanlametaenunhipódromo.Despuésseñalóelpuntoenquelaórbitaperforabaelplanoyrastreóelmovimientodelpuntodeórbitaenórbita.

Hénontuvoquetrazarlospuntosamano,pero,coneltiempo,losnumerosísimoscientíficos que usaron su técnica se limitaron a contemplar cómo aparecían en lapantalladelordenador,comolucescallejerasqueseenciendenalatardecerunatrasotra.Porejemplo,unaórbitatípicaempezabaconunpuntoenlaparteinferiordelaizquierda;después,enlavueltasiguiente,otropuntocomparecíaalgunoscentímetrosmása laderecha; luego,otro,mása laderechayalgomásalto, etc.Alpronto,nohabíadiseñoconcreto,pero,marcadosdediezaveintepuntos,empezabaaformarseunacurvaovalada.Elconjuntodepuntossucesivosrecorríanuncircuitoalrededorde


aquellafigura,pero,comonosepresentabanenidénticolugar,lacurvaquedababiendelineadasólotraslaaparicióndecentenaresomillaresdeellos.

Lasórbitasnoerancompletamenteregulares,porquejamásserepetíandemodoexacto,peropodíanpredecirseydistabanmuchodesercaóticas.Lospuntosnuncasurgíandentrodelacurvaofueradeella.Transportadasalaimagentridimensional,las órbitas esbozaron un toro o rosquilla, y el diagrama de Hénon fue su seccióntransversal.Hastaentoncessólohabíailustradoloquesuspredecesoresconsideraronevidente.Lasórbitaseranperiódicas.EnelobservatoriodeCopenhague,entre1910y1930,unageneracióndeastrónomoslasobservóycalculótrabajosamenteacientos;sin embargo, únicamente las periódicas interesaron a los daneses. «Como todo elmundo en aquel período, yo estaba convencido de que todas las órbitas eran tanregularescomoaquélla»,escribióHénon.Adespechodeello,conlacolaboracióndeCarl Heiles, estudiante graduado que le auxiliaba en Princeton, persistió en elcómputo, aumentando paulatinamente el nivel de energía en su sistema abstracto.Prontoobservaronalgonuevo.

MichelHénon

ÓRBITASENTORNOALCENTROGALÁCTICO.MichelHénoncomputólasinterseccionesdeunaórbitaconunplanoparacomprenderlatrayectoriadelasestrellasenunagalaxia.Laspautasresultantesdependieronde la energía total del sistema. Los puntos de una órbita estable produjeron gradualmente una curvacontinua y coherente (arriba izquierda). Sin embargo, otros niveles energéticos ofrecieron intrincadasmezclasdeestabilidadycaos,representadasporregionesdepuntosdispersos.

De buenas a primeras, la curva ovoide se torció en algo más complicado,


estrechándose en ochos y partiéndose en fragmentos. A pesar de todo, una órbitaapareció en cada uno de ellos.A niveles energéticosmás altos, hubo otro cambio,muyabrupto.«Aquívienelasorpresa»,escribieronHénonyHeiles.Algunasórbitasse volvieron tan inestables que los puntos se diseminaron por el papel. En unoslugares se podía aún trazar curvas; en otros, ninguna casaba con los puntos. Laimagensehizosensacional:revelódesordencompletomezcladoconrestospatentesde orden, los cuales crearon figuras que sugirieron a los investigadores «islas» y«cadenas de islas». Recurrieron a dos ordenadores distintos y a dos métodosdiferentes de integración, y obtuvieron elmismo resultado.Sólo podían explorar yespecular. Con la única base de su experimentación numérica, efectuaron unaconjeturasobrelaestructurabásicadeaquellasimágenes.Conmayorampliación—propusieron—apareceríanmásislasaescalascadavezmáspequeñas,talvezhastaelinfinito.Senecesitabaunapruebamatemática,«peroel tratamientomatemáticodelproblemanoparecemuyfácil».

Hénontrasladósuatenciónaotrascuestiones;perocatorceañosdespués,cuandoporfinseenteródelosatractoresextrañosdeDavidRuelleyEdwardLorenz,estabadispuestoaservirsedeellos.Desde1976sehallabaenelObservatoriodeNiza,sitoabuenaalturasobreelMediterráneo,enlaGrandeCorniche.Asistióaunaconferenciadeun físico invitado sobre el atractor deLorenz.El visitantehabíaprobadovariastécnicas para aclarar la tenue «microestructura» del atractor, y el éxito no le habíasonreído.Lossistemasdisipativosnoeransucampo(«Enocasioneslosastrónomostemen los sistemas disipativos…Son desordenados»), peroHénon creyó tener unaidea.

Nuevamenteoptóporrenunciaralorigenfísicodelsistemayconcentrarseenlaesencia geométrica que deseaba explorar. Lorenz y otros se habían apegado a lasecuaciones diferenciales —corrientes, con cambios continuos en el espacio y eltiempo—; en cambio, él recurrió a las ecuaciones en diferencias, discontinuastemporalmente. La clave consistía, a su juicio, en el repetido estiramiento yplegamientodelespaciodefases,comounpasteleroextiendelamasayladobla,ylavuelveaextenderyadoblar,produciendounaestructuraqueacabaráenunconjuntodecapasdelgadas.Hénondibujóenunpapelunóvaloplano.Paraestirarlo,escogióunabrevefunciónnumérica,quemoveríacualquierpuntodelóvaloaotronuevo,enunafiguraquesealargaríahaciaarribaenelcentro:unarco.Aquelloeraejecutarunmapaodiagrama:puntoapunto,elóvaloenteroquedaba«proyectado»enelarco.Luego confeccionó un segundo mapa, de contracción, que reduciría el arco haciadentro,estrechándolo.Ydespués,untercermapavolviódeladoelarcoestrecho,paraquesealineasebienconelóvalooriginal.Los trespodíancombinarseconfinesdecálculoenunasolafunción.

Obedecía en espíritu a la idea de la herradura de Smale. El proceso era


numéricamentetansencilloquepodíallevarseacaboconunamáquinacalculadora.Cualquier punto tenía una coordenada x y otra y que establecían sus posicioneshorizontalyvertical.Paraaveriguarlanuevax,lareglaestribabaentomarlaviejay,sumar 1 y sustraer 1,4 veces la antigua x al cuadrado. Para hallar la vieja y, semultiplicaba0,3por lax antigua.Esdecir,xnueva =y + 1 − 1,4x2, eynueva = 0,3x.Henóntomóunpuntomásomenosalacaso,y,conlacalculadora,establecióotrosnuevos sucesivamente, hasta que hubo precisado millares de ellos. Hecho esto,recurrióaunordenadordecuerpoentero,unIBM7040,yenunsantiaménestableciócincomillones.Quienquieraquedispongadeuno individualydeundispositivodevisualizacióngráfica,harálomismoconfacilidad.

Alprincipio, lospuntosparecensaltara suantojoa lo largoya loanchode lapantalla.ElefectoeseldeunaseccióndePoincarédeunatractortridimensional,quese agite sin rumbo fijo. Pero en seguida comienza a emerger una figura, un perfilcurvocomounabanana.Losdetallesaumentancuantomásseprolongaelprograma.Porciones del perfil ostentan cierto grosor aparente; a continuación, el grosor seprecisaendoslíneasclaras,yéstasencuatro,unparmuyjuntoyotromásseparado.Ampliadas, cada una de las cuatro resulta componerse de dos más, y asísucesivamente, hasta el infinito.Como el atractor deLorenz, el deHénonmuestrauna interminable retrogradación, semejante a una inacabable serie de muñecasmetidasunadentrodeotra.

Eldetalleasígraduado, líneasenel interiorde líneas, sevecon forma finalenunasucesióndeimágenesqueseamplíancadavezmás.Peroelefectofantásticodelatractorextrañoseapreciadeotramanera,cuandolafigurasurge,andandoeltiempo,punto tras punto. Brota como un fantasma de la niebla. Los nuevos puntos sediseminan tan fortuitamente por la pantalla, que nadie pensaría que exista unaestructura,ymenosunatanintrincadayfina.Dospuntosconsecutivoscualesquierasehallan arbitrariamente separados, como losque estuvieron juntos al principio enuna corriente turbulenta. Considerando el número que fuere de ellos, es imposibleadivinar dónde aparecerá el siguiente, excepto, claro está, que se encontrará en unlugardelatractor.

Estacaracterísticade lospuntosy lovagodeldiseñodificultanqueserecuerdeque la figura esunatractor.Esno sólounadeterminada trayectoriadeun sistemadinámico,sinotambiénaquellaalaquelasrestantestrayectoriasconvergen.Portalrazón, no importan las condiciones iniciales elegidas. Con tal de que el punto departida esté cercadel atractor, unospocosde los siguientes convergerán al atractorcongranvelocidad.


JamesP.Crutchfield

ELATRACTORDEHÉNON.Unasencillacombinacióndeplegamientoyestiramientoproduceunatractorfácildecomputar,peroapenascomprendidoporlosmatemáticos.Aparecendetallescadavezmásricos,amedidaque surgenprimeromillaresydespuésmillonesdepuntos.Laampliaciónevidenciaque loqueparecen líneas sencillas son pares de ellas, y pares de pares.No obstante, es imposible predecir si dospuntossucesivosestaránjuntosomuyseparados.


«Fuegosdeartificioogalaxias»

Años antes, en 1974, cuando David Ruelle llegó al laboratorio que Gollub ySwinney teníanenelCityCollege, los tres físicosposeíanun levevínculoentre lateoríaylaexperimentación.Algodematemáticas,osadafilosofíaeinciertatécnica.Un cilindro de fluido alborotado, nada impresionante, que no armonizaba con lateoría acreditada. Los hombres pasaron la tarde charlando, y Swinney yGollub sefueron de vacaciones con sus esposas a una cabaña que el segundo tenía en lasAndirondacks.Nohabíancontempladounatractorextraño,yapenashabíanmedidoquéocurríaenrealidadalempezar la turbulencia.PeroestabanconvencidosdequeLandauseequivocaba,ypresumíanqueRuellehabíadadoenelblanco.

Como elemento natural, revelado por la exploración con ordenador, el atractorextraño nació como mera posibilidad, señalando un lugar al que no habíanconseguidoirmuchasdelasgrandesimaginacionesdelsigloXX.Pronto,cuandoloscientíficosvieronloquelosordenadorespodíanmostrar,fuecomoalgoquehabíanpercibido por doquier, en la música de las corrientes turbulentas, o en las nubesdesplegadascomovelossobreelfirmamento.Sehabíareprimidoalanaturaleza.Eldesordenestabaencauzado—todoparecíaindicarlo—enpautasqueteníanuncomúntemasubyacente.

Más tarde, el reconocimiento de los atractores extraños atizó la revolución delcaos, proporcionando a los exploradores numéricos un programa que habían deejecutar. Los buscaron en todas partes, en todas donde la naturaleza dabamotivospara creer que se portaba a la buena de Dios. Muchos pensaron que el tiempoatmosférico podía depender de un atractor extraño. Otros acopiaron millones denoticiasdelmercadobursátilparabuscarenellasunatractor,observandolofortuitoconlaslentesgraduablesdelordenador.

Enelcomediodeldeceniode1970estosdescubrimientoserancosafutura.Nadiehabía visto realmente un atractor extraño en un experimento, y no se sabía concertezaquésedebíahacerparaencontrarlo.Enteoría,concedíaesenciamatemáticaalasnuevaspropiedadesfundamentalesdelcaos.Unaeraladependenciasensitivadelascondicionesiniciales.Otra,la«mezcla»,enelmismosentidollenodesignificadopara un diseñador de aviones de retropropulsión, por ejemplo, preocupado por lacombinación eficaz del combustible con el oxígeno. Pero todo elmundo ignorabacómosemedíanaquellaspropiedades,cómoselasnumeraba.Losatractoresextrañosparecíanfractales,locualimplicabaquesudimensiónauténticaerafraccional;peronadiesabíacómosemensurabaladimensión,ocómoseaplicabaaquellamedidaenelcontextodelosproblemasdeingeniería.

Másimportanteaúna.Sedesconocíasilosatractoresextrañosaclararíanalgomás


lacuestiónmásprofundadelossistemasnolineales.Adistincióndeloslineales,quese calculaban y clasificaban con soltura, los no lineales se hallaban todavía, enesencia,másalládetodaclasificación,puescadaunodiferíadelosrestantes.Acasosospechasenloscientíficosquecompartíanciertaspropiedades,pero,enelmomentodelamedidayelcálculo,todosistemanolinealeraunorbeaparte.Lacomprensióndeunonocontribuíaalentendimientodelsiguiente.UnatractorcomoeldeLorenzilustraba la estabilidad y la estructura de un sistema que, por otra parte, parecíacarecerdepautas,pero¿quéayudaprestabaaquelladobleespiralpeculiaraquienesinvestigabansistemasnoemparentadosconella?Nadiepodíadecirlo.

La impresión que causaron había ido más allá de la ciencia estricta. Loscientíficos que contemplaron aquellas figuras se permitieron olvidarmomentáneamente las reglas por las que se gobernaban. Ruelle, por ejemplo,escribió:«Nohehabladode la fascinaciónestéticade losatractoresextraños.Esosconjuntosdecurvasyesasnubesdepuntoshacenpensar,yaenfuegosdeartificioogalaxias,yaenproliferacionesvegetalesextrañaseinquietantes.Seescondenenellosformasquedebenexplorarseyarmoníasqueesperabanserdescubiertas».


AGRUPACIONESFRACTALES.Laagrupación fortuitadepartículas,generadasporunordenador,produceuna«redde filtración»,unode losmuchosmodelosvisualesqueha inspirado lageometría fractal.Losfísicos descubrieron que esosmodelos imitan una variedad de procesos delmundo real, tales como laformacióndepolímerosy ladifusióndelpetróleoa travésderocasfracturadas.Cadacoloren lareddefiltraciónrepresentaunaagrupación,queestásiempreenconexiónconsigomisma.


6UNIVERSALIDAD

Larepeticióndeestaslíneasaportaoro;elcercodeestecírculoenelsuelotraeremolinosdeviento,tempestades,truenoycentella.

MARLOWE,

EldoctorFausto


NuevoinicioenLosÁlamos

A algunasdocenasdemetros,corrientearriba,del filodeunacascada,unmansoriachuelo parece presentir el salto que se avecina. El agua se acelera y estremece.Chorros individuales se destacan como venas abultadas y palpitantes. MitchellFeigenbaumestájuntoalraudal.Sudaunpoquitodentrodesuchaquetaypantalóndepana,yfuma.Estápaseandoconunosamigos,loscualesselehananticipadohacialasaguasmássosegadasdelcaudal.Depronto,enloquepudieraserparodiavelozydesalentadadelespectadordeunpartidode tenis,seponeamover lacabezadeunladoaotro.«Unosefijaenalgo,como,porejemplo,unbultitodeespuma.Simenealacabezaconrapidezsuficiente,tienederepenteunapercepcióndetodalaestructurade la superficie, y se nota en el estómago».Extraemáshumodel cigarrillo. «Perocualquiera con formación matemática sabe que no sabe nada cuando mira estelíquido, o contempla las nubes con susprotuberancias encimadeprotuberancias, oestáenunrompeolasduranteunatempestad».

Ordenenelcaos.Eltópicocientíficomásantiguo.Laideadeunidadrecónditaydeformacomúnocultaenlanaturalezahabíatenidofascinaciónintrínseca,asícomounadesdichadahistoriadeseudocientíficosymaniáticosinspirados.CuandollegóalLos Alamos National Laboratory en 1974, a un año de su trigésimo cumpleaños,Feigenbaum estaba convencido de que si deseaban sacar algo de aquella idea, losfísicosnecesitaríanunmarcopráctico,unmétodoquelaredujeraalcálculo.Apenassecomprendíacómopodíaabordarseaquelproblema.

Feigenbaum había sido contratado por Peter Carruthers, físico tranquilo yengañosamenteafable,que,en1973,procedentedeCornell,seencargódelaSecciónTeórica.Loprimeroquehizofuedespediramediadocenadecientíficosdecategoría—LosÁlamosreclutasupersonaldemododiferentedelasuniversidades—,yllenóelhuecocon investigadores jóvenesyprometedores seleccionadospor él.Eramuyambicioso como jefe científico, pero conocía por experiencia que no siempre esposibleplanearlosbuenosresultados.

—Si se estableceun comité en el laboratorio, o enWashington, y se dice: «Laturbulencia nos sale al paso y debemos entenderla. La falta de comprensión anulanuestras posibilidades de progresar en una porción de campos». Entonces,lógicamente,secontrataunequipo.Seobtieneunordenadorgigante.Semetenenélgrandesprogramasynoseconsiguenada.Envezdeello,disponemosdeeste tipolisto,quenoalborota.Claroquehablaconlagente,perocasisiempretrabajaasolas.

Habían conversado sobre la turbulencia, pero pasó el tiempo y ni siquieraCarruthersestabayasegurodecuáleralametadeFeigenbaum.

—Creíquesehabíadadoporvencidoyencontradootroproblema.Pocosuponía


yoqueelproblemanuevoeraelmismo. Parecehaber sido aquel enquemuchasymuydiferentesactividadescientíficassehabíanatascado:sehabíanatolladoeneseaspecto del comportamiento no lineal de los sistemas. Ahora bien, nadie hubiesepensadoquelaformaciónadecuadaparaesacuestiónfueseestarenteradodelafísicasubatómica,saberalgodelateoríadelcuantodecampo,yhallarsealcorrientedequeen esa teoría hay las estructuras denominadas renormalización de grupo. Todo elmundo ignoraba que se necesitaría entender la teoría general de los procesosestocásticos,asícomolasestructurasfractales.

»Mitchellteníalapreparaciónadecuada.Hizoloprecisoenelmomentoprecisoylohizomuybien.Nadademaneraparcial.Sedesembarazódetodoelproblema.

FeigenbaumproporcionóaLosÁlamoselconvencimientodequelacienciahabíafracasado en entender las cuestionesno lineales.Aunque como físico apenashabíaaportadoalgo,habíaacumuladounfondointelectualpococorriente.Poseíaunagudoconocimientoprácticodelanálisismatemáticomásdifícil,nuevosgénerosdetécnicasdecálculoqueponíanacasi todos loscientíficosentre laespaday lapared.Habíaconseguidoreteneralgunasideas,deaspectoanticientífico,delromanticismo.Queríahacer ciencia nueva. Comenzó por apartar de sí toda intención de entender lacomplejidaddelorealyrecurrió,encambio,alasecuacionesnolinealesmássimplesquelogróencontrar.


Larenormalizacióndegrupo

ElmisteriodeluniversocomparecióporprimeravezanteMitchellFeigenbaumaloscuatroañosdeedad,pocodespuésde lasegundaguerramundial,medianteunaradio Silverstone. El aparato se hallaba en la sala de estar paterna, en el barrio deFlatbushdeBrooklyn.Leintrigóquelamúsicasonasesincausatangible.Leparecía,porotrolado,queentendíaelfonógrafo.Suabuelalehabíaotorgadolicenciaespecialparaponerdiscosdesetentayochorevoluciones.

Su padre estuvo empleado como químico en la junta directiva del puertoneoyorquinoyluegoenClairol.Sumadreeramaestraenlasescuelaspúblicasdelaciudad.Mitchellsepropusoalprincipioseringenieroeléctrico,profesiónquegozabafamaenBrooklyndesermuyremuneradora.Sehizocargodespuésdequelafísicaleinformaríamejorde lascosasquequeríasaberacercade la radio.Pertenecióaunageneracióndecientíficos,educadosen losdistritosexternosdeNuevaYork,queseencaminaron a un futuro espléndido gracias a los grandes centros públicos desegundaenseñanza—ensucaso,elSamuelI.Tilden—yelCityCollege.

CrecerdespabiladoenBrooklynerahastaciertopuntoconsecuenciadeseguirunrumbo incierto entre el mundo de la mente y el de las personas. En los primerostiemposdesuvidafueinmensamentesociable,cualidadqueconsideróesencialparano sufrir malos tragos. Pero algo se iluminó en su interior cuando advirtió sucapacidad para aprender cosas. Se apartó paulatinamente de sus amigos. Lasconversacionescorrientesnoatraíansuinterés.Duranteelúltimocursoenelcolegio,pensóquehabíamalgastadosuadolescencia,ydecidiódemaneradeliberadarecobrarel contacto con sus semejantes. Sentado en la cafetería, escuchaba la charla de losestudiantessobreelartedeafeitarseosobrelacomida,ypocoapocoreaprendiólacienciadeconversarconlagente.

Segraduóen1964e ingresóenelMassachusetts InstituteofTechnology,enelquesedoctoró,en1970,enlaespecialidaddelaspartículaselementales.Luegopasócuatro años estériles en Cornell y en el Virginia Polytechnic Institute (InstitutoPolitécnico de Virginia), es decir, estériles en cuanto a la publicación regular detrabajos sobre problemas útiles, lo cual es imprescindible para un joven científicouniversitario.Sedabaporsentadoquelosposdoctoradosdebíanpublicarartículos.Aveces un asesor le preguntaba qué había sucedido en el caso de un problema y élrespondía:«¡Oh!Yaloheentendido».

Carruthers, científico formidable por derecho propio, recién instalado en LosÁlamos, presumía de su tino para descubrir individuos talentudos. No buscabainteligencia, sino la creatividadespecial queparecía segregarunaglándulamágica.Siempre recordaba el ejemplo de Kenneth Wilson, otro físico de habla suave de


Cornell, que, en apariencia, no producía absolutamente nada. Quienquiera quehablase conél el tiemponecesariodescubría sunotable capacidadpara contemplarlasentrañasdelafísica.PorestasdosrazoneselpuestodeWilsonmotivóungravedebate. Se impusieron los colegas dispuestos a apostar por sus facultadesindemostradas…,yfuecomosiundiquehubierareventado.Nounartículo,sinounacataratadeellosbrotódeloscajonesdelescritoriodeWilson,yentreellosuntrabajoquemerecióelPremioNobelen1982.

LagrancontribucióndeWilsonalafísica,yladeotrosdosespecialistasenella,LeoKadanoffyMichaelFisher,fueelprincipalantecesordelateoríadelcaos.Conindependencia total, pensaron de modo distinto sobre lo que ocurría en lastransicionesde fase.Estudiaronelcomportamientode lamateriaen la inmediacióndelpuntoenquecambiadeunestadoaotro:delíquidaagaseosa,odeinmagnetizadaa magnética. Como límites singulares entre dos reinos de la existencia, lastransiciones de fase propenden en matemáticas a ser altamente no lineales. Elcomportamientoconstanteypredeciblede lamateriaenunafase tiendeaser inútilparaentender las transiciones.Elaguadeuncazopuestoal fuegosecalientahastaquealcanzaelpuntodeebullición.Entoncesseinterrumpeelcambiodetemperaturaysobrevienealgomuyinteresanteenlasuperficiemoleculardecontactoquemediaentreellíquidoyelgas.

TalcomoKadanoffconsideróelproblemaenladécadade1960,lastransicionesdefasecomponenunrompecabezasintelectual.Unbloquedemetalsemagnetiza.Hade tomarunadecisiónamedidaque llegaaunestadodesordenado.El imánpuedeorientarseenestaoenaquelladirección.Eslibredeescoger.Perocadafragmentitodemetaltienequehacerlamismaelección.¿Cómo?

De alguna forma, en el proceso de elegir, los átomos metálicos deben detraspasarse información. La intuición de Kadanoff fue que la comunicación sedescribeconmuchasencillezentérminosdeescalas.Paraello,imaginóquedividíaelmetalencajas.Cadaunacomunicaconsusvecinasinmediatas.Esacomunicaciónsedescribedelamismaformaqueladelosátomosconsusvecinos.Heaquílautilidaddelasescalas:lamejormaneradepensarenelmetalesladeunmodeloanálogoalosfractales,concajasdedistintotamaño.

Senecesitabaintensoanálisismatemáticoymuchasexperienciasconlossistemasrealesparasentarlaeficaciadelaideaescalar.Kadanofftuvolasensacióndehabercaptadoalgodifícildemanejarycreadounmundoautónomoydebellezaextrema.Enparte, labellezaconsistíaensuuniversalidad.Su ideadioconsistenciaalhechomás extraordinario de los fenómenos críticos, el de que tales transiciones, enaparienciacarentesderelación—laebullicióndelíquidos,laimantacióndemetales—,siguenlasmismasreglas.

DespuésWilsonllevóacabolaactividadqueuniótodobajoladenominaciónde


teoríaderenormalizacióndegrupo,conloqueproporcionóunmétodopoderosoparaefectuarcálculosrealessobresistemasreales.Larenormalizaciónhabíaentradoenlafísicaenlosañoscuarentacomopartedelateoríacuántica,queposibilitócalcularlasinteraccionesdeelectronesyfotones.Unengorrodeaquelloscálculos,comolosquepreocupabanaWilsonyKadanoff,fuequealgunoselementosparecíanrequerirqueselostratasecomocantidadesinfinitas,cosapordemáscomplicadaydesagradable.LosinfinitosdesaparecieronconlarenormalizacióndelsistemaconprocedimientosdebidosaRichardFeynman,JulianSchwinger,FreemanDysonyotrosfísicos.

Sólomuchodespués,eneldeceniode1960,Wilsonexcavóhasta loscimientosocultos del éxito de la renormalización. Pensó, como Kadanoff, en los principiosescalares.Algunascantidades,talescomolamasadeunapartícula,siempresehabíanconsideradofijas,comoladecualquierobjetodelaexperienciacotidiana.Elatajodelarenormalizaciónalcanzósupropósito,obrandocomosiunacantidadcomoladelamasanofuerafija.Cantidadescomoaquéllasparecíanflotararribaoabajo,segúnlaescalaaqueseconcibiesen.Eraabsurdo.Sinembargo, respondíaexactamentea loqueBenoîtMandelbrotpercibíasobre las figurasgeométricasyel litoral inglés.Sulongitudnopodíamedirsesintenerencuentalaescala.Eraunaespeciederelatividadenquelaposicióndelobservador,cercanaolejana,enlaplayaoenunaastronave,afectabaalamedida.ComohabíavistotambiénMandelbrot,lavariaciónalolargodelasescalasnoeraarbitraria;obedecíaareglas.Lavariabilidadenlasmedicionescorrientes de masa o longitud implicaba que permanecía inalterable una especiediferente de cantidad. En el caso de los fractales, era la dimensión fraccional,constantequepodíacalcularseyemplearsecomoinstrumentoencálculosposteriores.Permitiendo que la masa variara conforme a la escala, los matemáticos podríanreconocerlosimilarentodaslasescalas.

Así,pues,encuantoaldurotrabajodecalcular,lateoríadelarenormalizacióndegrupo de Wilson fraguaba una ruta distinta para problemas muy densos. Hastaentonces laúnicaquedabaaccesoa losno linealesmuycomplicadoshabíasidoelrecursodenominadoteoríadelaperturbación.Confinesdecálculo,sesuponequeelproblema no lineal está razonablemente próximo a uno lineal resoluble, a unalevísimaperturbacióndedistancia.Se resuelve el lineal y se efectúauna artimaña,bastante complicada, con la porción sobrante, ampliándola en lo que se llamadiagramasdeFeynman.Cuantamayorexactitudsedesee, tantosmásdiagramasdeesegénero torturantehayqueproducir.La suertemediante, los cálculos convergenhaciaunasolución.Noobstante,lasuertetieneeldonespecialdeesfumarsesiemprequeunproblemaencierramuchointerés.Feigenbaum,comotodoslosjóvenesfísicosdepartículasde los años sesenta, se encontróhaciendo interminablesdiagramasdeFeynman. Acabó convencido de que la teoría de la perturbación era tediosa, nadaesclarecedora y estúpida. Por ello, se enamoró de la nueva teoría de la


renormalización de grupo de Wilson. El reconocimiento de la autosemejanzaproporcionabaunmétodoparasacarlocomplejo,estratotrasestrato.

En la práctica, la renormalización de grupo no era tan segura como prometía.Reclamabamucho ingenio para elegir los cálculos que captasen la autosemejanza.Contodo,dababuenosresultadosconlafrecuenciasuficienteparainspiraraalgunosfísicos, incluido Feigenbaum, el propósito de acometer con ella la cuestión de laturbulencia. En el fondo, la autosemejanza aparentaba ser la característica de loturbulento,fluctuacionesdentrodefluctuaciones,espiralesdentrodeespirales.Pero¿quéhabíadelprincipiodelaturbulencia,delinstantemisteriosoenqueunsistemaordenadosevolvíacaótico?Noexistíanpruebasdequelarenormalizacióndegrupofuesecapazdedeciralgosobreaquellatransición.Nolashabía,porejemplo,dequelatransiciónobedecieraalasleyesdelaescala.


Desciframientodelcolor

Feigenbaum, siendo estudiante graduado en elMIT, había tenido una experienciaque le acompañó en el decurso de muchos años. Se paseaba con unos amigosalrededordelLincolnReservoirdeBoston.Adquiríayaelhábitodecaminardurantecuatro o cinco horas diarias, poniéndose en armonía con el chaparrón de ideas eimpresiones que cruzaban su cerebro.En el día en cuestión, se separó del grupoyanduvo solo. Dejó atrás unas personas que merendaban y, mientras avanzaba, sevolviódecuandoencuandoaescucharsusvocesyobservarelmovimientodesusmanos, que gesticulaban o cogían alimentos. De repente, sintió que aquel cuadrohabía cruzado el umbral desconocido y entrado en lo incomprensible. Las figuraseran tan pequeñas que no se precisaban. Sus actos parecían inconexos, arbitrarios,fortuitos.Loslevessonidosquellegabanaélcarecíandesentido.

«Elmovimiento incesanteybullicio incomprensiblede lavida».FeigenbaumseacordódelasfrasesdeGustavMahleraldescribirlasensaciónquequeríaplasmarenel tercermovimientode suSegundaSinfonía. «Como losmovimientos depersonasquedanzanenunsalónbrillantementeiluminado,quesevedesdeelexteriorenlanoche oscura y desde tanta distancia, que la música no se oye… La vida puedeparecernosdesprovistadesentido».FeigenbaumescuchabaaMahleryleíaaGoethe,sumiéndose en sus actitudes, tan románticas. Inevitablemente, le entusiasmaba elFaustodeGoethe,yseempapabadesucombinacióndeideasapasionadísimassobreelmundoconlasmásintelectuales.Sihubieracarecidodeinclinacionesrománticas,no cabe duda de que habría echado de sí una sensación como su confusión en elReservoir. Total, ¿por qué los fenómenos no habían de perder significado al sercontempladosdesdelejos?Lasleyesfísicasproporcionabanunaexplicacióntrivialdesu empequeñecimiento. Pero, bien pensado, no era tan evidente la relación de sudisminución con la pérdidade significado. ¿Porqué, cuando se empequeñecen, lascosassevuelvenincomprensibles?

Analizóaquellaexperienciaconherramientasdelafísicateórica,preguntándosequédiríaélsobreelmecanismodepercepcióndelcerebro.Sepercibenunasaccioneshumanasy sehacendeducciones sobreellas.Dada lacolosal sumade informaciónofrecidaanuestrossentidos,¿cómolasentresacanuestroaparatodedesciframiento?Conseguridad—ocasiconseguridad—,elcerebronoposeecopiasdirectasde lascosasdelmundo.Nohaybibliotecadeformaseideasconquecompararlasimágenesdelapercepción.Existealgúncaosenelexterior,yelencéfaloposeeatodaslucesmásflexibilidadquelafísicaclásicaparahallarordenenél.

Alpropiotiempo,Feigenbaumreflexionósobreelcolor.Unadelasescaramuzasmenores de la ciencia, en los primeros años del siglo XIX, fue la diferencia de


opinión entre los seguidores deNewton, en Inglaterra, y deGoethe, enAlemania,sobre la naturaleza del color. Para aquéllos, las ideas goethianas eran desvaríoseudocientífico.Goethesenegabaaconsiderarlounacantidadestática,quesemedíaconelespectómetroyseclavabacomounamariposaenelcorcho.Afirmabaqueelcoloreraasuntodelapercepción.«Cuandolaluzsecierneycontrapesa,lanaturalezaoscila dentro de los límites que ha prescrito—escribió—; no obstante, surgen asítodas las variedades y condiciones de los fenómenos que se nos aparecen en elespacioyeltiempo».

Piedraangulardelateoríanewtonianaerasunotorioexperimentoconunprisma.Éste descompone el rayo de luz blanca en el arco iris, que ocupa todo el espectrovisible. Newton comprendió que aquellos colores puros eran los componenteselementales que, sumados, producen el blanco. Además, con inspiración profética,propusoque correspondíana frecuencias. Imaginóqueunos cuerposvibratorios—corpúsculosenlaterminologíaantigua—losgenerabandeacuerdoconlavelocidaddelasvibraciones.Fuealgotaninjustificadocomoadmirable,envistadelaescasezde pruebas que apoyaban la noción. ¿Qué es el rojo? Para el físico, luz que sepropagaenondas,cuyalongitudoscilaentre600y800milmillonésimasdemetro.Laóptica deNewton fueprobaday comprobadahasta la saciedad, en tantoque lahipótesisdeGoethequedóenvueltaenoscuridadpiadosa.FeigenbaumbuscósulibroenlasbibliotecasdeHarvardycomprobóquehabíadesaparecido.

Porúltimo,encontróunejemplaryseenteródequeGoethehabíaefectuadounaextraordinaria serie de experimentos en su investigación.Había principiado conunprisma, como Newton. El inglés lo situó en el trayecto de una luz, cuyadescomposiciónproyectóenunasuperficieblanca.Goetheaplicóelprismaasuojoymiróatravésdeél.Noviocolor:niarcoiris,nitonosindividuales.Elefectoeraelmismo si utilizaba el prisma para observar una superficie blanca o un cielo azul:uniformidad.

Perocontemplabaunamanifestacióndecolorencuantounamanchitainterrumpíalaalburaounanubeaparecíaenelfirmamento.Era«elintercambiodeluzysombra»loquecausabaelcolor,concluyóGoethe.Pasóaexplorar laformaenquelagentepercibía las sombras de diversas fuentes de luz coloreada. Usó bujías y lápices,espejosycristalescolorados,laluzdelalunayladelsol,vidrios,líquidosyruedaspolicromas, en una escrupulosa colección de experimentos. Por ejemplo, encendióunabujíadelantedeunpapelblancoenelcrepúsculoeinterpusounlápiz.Lasombrafue azul brillante. ¿Por qué? El papel blanco sólo se ve como tal a la luz del díadeclinante o la que agregaba la bujía. ¿Cómouna sombra divide lo blanco en unaregiónazuly enotra rojoamarillenta?El color es«ungradodeoscuridad», afirmóGoethe, «aliado a la sombra». Sobre todo, en lenguaje más moderno, el colorprovienedecondicionesysingularidadesfronterizas.


GoethefueholistadondeNewtonerareduccionista.Elinglésdescompusolaluzyencontró la explicación físicamás básica del color. El alemán anduvo por parquesfloridosyestudiópinturas,buscandounaexplicacióngrande,omniabarcante.Aquélhizoquesuteoríadelcolorseajustaseaunesquemamatemáticoválidoparatodalafísica.Éste,afortunadaodesdichadamente,aborrecíalascienciasexactas.

Feigenbaum creyó que Goethe había acertado. Sus ideas se asemejan a unanoción asequible, popular entre los psicólogos, la cual distingue la firme realidadmaterialdesuvariablepercepciónsubjetiva.Loscoloresquevemoscambiansegúnlascircunstancias,ydepersonaapersona.Esfácildecirlo.Pero,comoFeigenbaumlas entendía, las ideas de Goethe poseían más ciencia, ciencia verdadera. Eranconcretasyempíricas.Elgenialalemánhabíainsistidosobradamenteenloseriodesusexperimentos.Paraél, louniversalyobjetivoera lapercepcióndelcolor.¿Quépruebacientíficahabíadeunacualidad,definibleyreal,delorojo,independientedenuestrapercepción?

Feigenbaum se sorprendió meditando qué clase de formalismos matemáticoscorresponderíanalapercepciónhumana,enparticularaunaquecribabalaintrincadamultiplicidaddelaexperienciaydescubríacualidadesuniversales.Lacalidadderojonoes,inevitablemente,unadeterminadaanchuradebandadelaluz,comopretendíanlosnewtonianos.Esterritoriodeununiversocaótico,cuyoslímitescuestadescribir,apesar de lo cual nuestras mentes encuentran lo rojo con consistencia regular ycomprobable. Éstos eran los pensamientos de un joven físico, muy alejados, enapariencia,deproblemastalescomolaturbulenciadelosfluidos.Sinembargo,paraentendercómolamentehumanaentresacaalgodelcaosdelapercepción,habíaqueentenderdequémaneraeldesordenproduceuniversalidad.


Elaugedelaexperimentaciónnumérica

Feigenbaum descubrió que su educación no le había enseñado nada útil cuandoempezóameditarenLosÁlamossobrelanolinealidad.Eraimposiblesolucionarunsistema de ecuaciones diferenciales no lineales, a pesar de los ejemplos especialesque constan en los libros de texto. Parecía desatentada la técnica perturbativa,consistenteenintroducirsucesivascorreccionesenunproblemasolventabledelquese esperaba que se aproximara algo al real. Leyó escritos sobre corrientes yoscilacionesno lineales, y llegó a la conclusióndeque existíamuypoco capazdeayudar a un físico razonable. Su equipo informático se componía sólo de lápiz ypapel,yporellodecidiócomenzarconunaanalogíadelasencillaecuacióndeRobertMaysobrelabiologíadelapoblación.

Eralamismaquelosestudiantesdeenseñanzasecundariaempleanengeometríapararepresentarunaparábola.Puedeescribirsecomoy=r(x−x2).Cadavalordexproduceunodey,ylacurvaresultanteexpresalarelacióndelosdosnúmerosenlaseriedevalores.Six(lapoblacióndeesteaño)espequeño,y(ladelañoqueviene)tambiénloes,aunqueseamayorquex,lacurvaseeleva.Sixsehallaenmediodelaserie, y es grande. Pero la parábola se nivela y desciende, y, por lo tanto, si x esgrande, y volverá a ser pequeño. En eso estriba el equivalente de las caídas de lapoblaciónenelmodeloecológico,impidiendouncrecimientoirrealdesenfrenado.

Tanto paraMay como, luego, para Feigenbaum, el quid se centraba en utilizaraquelcálculosencillonounavez,sinoenrepetirlointerminablementecomounbuclede realimentación. El resultado de un cálculo se introducía como entrada delsiguiente. La parábola fue utilísima para comprobar gráficamente lo que sucedía.Elíjase un valor de partida en el eje x. Trácese una recta hacia arriba hasta queencuentre laparábola.Léaseelvalor resultanteenel ejey.Y repítase laoperaciónconelnuevovalor.Lasecuenciasalta,alprincipio,deunlugaraotro,enlaparábola,ydespués,talvez,adoptaunequilibrioestable,enquexeysonigualesyelvalor,porconsiguiente,nocambia.

Nadapodíaestarmásremotode loscálculoscomplicadosde lafísicacorriente.En lugar de un esquema laberíntico, que debía resolverse de una vez, aquél erasencilloyrepetidosincesar.Elexperimentadormatemáticopodíaobservarcomoelquímicoquevigilaunareacciónenunvasodeprecipitados.Elresultado,eloutput,nopasabadeserunasucesióndecifras,ynoconvergíasiempreenunestadoestablefinal.Podíaacabaroscilandoentredosvalores.O,comoMayhabíaexplicadoalosbiólogos de la población,mantenerse en un cambio caótico todo el tiempo que seobservaratalsituación.Laeleccióndeaquellosdiferentescomportamientosposiblesdependíadelvalordelparámetrosintonizador.


Feigenbaumrealizóesfuerzosnuméricosdeestaespecie,levemente,experimentaly, a la vez, empleó métodos teóricos más clásicos en el análisis de funciones nolineales. Ello no obstante, no vio todo el cuadro de lo que podía hacer aquellaecuación. Comprobó, eso sí, que las posibilidades eran tan complejas, que seríaespantosamente arduo analizarlas. Sabía asimismo que tres matemáticos de LosÁlamos —Nicholas Metropolis, Paul Stein y Myron Stein— habían estudiadoaquellos«mapas»odiagramasen1971.PaulSteinleadvirtióquelacomplejidaderatremenda. Si tal ecuación, lamás sencilla de todas, se presentaba como intratable,¿quéseríanotras,muchomáscomplicadas,queuncientíficopodíautilizarenelcasodelossistemasreales?Feigenbaumarchivóelproblema.

Enlabrevehistoriadelcaos,aquellaecuacióndeaireinocentesirvedeejemplosucinto de cómo diferentes científicos consideraban el mismo problema de formamuydistinta.Laecuaciónteníaunmensajeparalosbiólogos:lossistemassencilloshacencosascomplejas.Metropolis,SteinySteindeseabancatalogarunacoleccióndeejemplares topológicos sin referirse a valores numéricos. Iniciaban el proceso derealimentaciónenunpuntodadoyveíancómosaltabanlosvaloressucesivosdeunlugaraotroenlaparábola.EscribíanlasseriesdeDydeIamedidaquelosvaloressemovían a la derecha o a la izquierda. Pauta número uno:D.Pautanúmerodos:DID. Pauta número ciento noventa y tres:DIIIIIDDII. Las series poseían ciertosrasgos interesantes para los matemáticos: parecían repetirse siempre en el mismoordenespecial.Encambio,aunfísicoseleantojabanoscurasytediosas.

Nadieloadvirtióentonces,peroLorenzhabíaconsideradolamismaecuación,en1964, comometáfora de una cuestión radical sobre el clima.Era tanprofundaquecasi nadie había pensado en formularla antes: ¿Existe un clima? O sea, ¿posee eltiempo terrestre un promedio a largo plazo? Lamayor parte de los meteorólogos,entonces como ahora, daban la respuesta por sabida. Cualquier comportamientomensurable,fuesecuálfueresufluctuación,habíadetenerunpromedio.Pero,siserecapacitaba, la cosa no era tan evidente. El tiempo medio en los últimos 12.000años,comoLorenzseñaló,habíasidomuydistintodelpromediodelos12.000añosanteriores, cuando el hielo cubría casi toda América del Norte. ¿Un clima secambiabaenotroporalgúnmotivofísico?¿Ohabíaunclimaaplazotodavíamayordentrodelcualaquellosperíodossóloeranfluctuaciones?

Lorenz hizo una segunda pregunta. Supóngase que se puede escribir el juegocompleto de ecuaciones que rigen el tiempo atmosférico. Dicho de otro modo,supóngasequesetieneelcódigodeDios.¿Seríaposibleentoncescalcularconesasecuacioneslospromediosestadísticosdelatemperaturaolalluvia?Lacontestaciónsería una afirmación inmediata, si las ecuaciones fuesen lineales. Pero no lo son.ComoDiosnohasuministradolasidóneas,Lorenzexaminólaecuacióndediferenciacuadrática.


Examinó ante todo, como May, qué sucedía cuando la ecuación, dado algúnparámetro, se iteraba. Con parámetros bajos llegaba a un punto fijo estable. Elsistemaproducíaun«clima»en laacepciónmásvulgarposible:el«tiempo»nuncacambiaba. Con parámetros más elevados, vio la posibilidad de oscilar entre dospuntos,yenellaelsistemasedirigióaunpromediosencillo.PeroLorenzdescubrióqueelcaosbrotabamásalládeciertopunto.Puestoquepensabaenelclima,quisosabernosólosi lacontinua realimentacióngeneraríauncomportamientoperiódico,sinoasimismocuálseríaelresultadopromedio.Yreconocióquelacontestacióndiríaque el promedio fluctuaría inestablemente. Cuando el valor del parámetro semodificaba, aunque de manera leve, el término medio podía alterarse de modoimpresionante. Por analogía, el clima terrestre tal vez jamás se acomodase a unequilibrioaceptable,duranteelcomportamientoalargotérminopromedio.

Desde el punto de vista editorial y matemático, el trabajo de Lorenz sobre elclima quizá hubiese sido un fracaso: no probaba nada en la acepción axiomática.También era muy deficiente como artículo de física, porque no justificaba lautilizacióndeecuacióntansimpleparasacarconclusionessobreelclimadelaTierra.Con todo,Lorenz supo lo que decía. «El autor presiente que esta semejanza no esmero accidente, pues la ecuación en diferencias capta gran parte de la expresiónmatemática,yaquenolafísica,delastransicionesdeunrégimendeflujoaotro,y,ciertamente, ladelfenómenototaldelainestabilidad».Veinteañosmástardenadieentendía aún qué intuición justificaba pretensión tan osada, publicada en Tellus,revista sueca de meteorología. («¡Tellus! Nadie lee eso», exclamó un físico conacritud). Lorenz entendía mejor, despacio, pero constantemente, las peculiaresposibilidadesdelossistemascaóticos,muchomejordeloqueeracapazdeexpresarconlaterminologíameteorológica.

Mientras persistía en la exploración de los aspectos mutables de los sistemasdinámicos,Lorenzsediocuentadequeotros,algomáscomplicadosqueeldiagramacuadrático, acaso produjeran otras especies de pautas inesperadas. Oculta en elinterior de un sistema dado, pudiera haber más de una solución estable. Quizá seviese durante largo tiempo una clase de comportamiento, pero otro, totalmentediverso,podíasertannaturalcomoél.Estegénerodesistemasellamaintransitivo.Sehalla en esteo en aquel equilibrio, perono en ambos a lavez.Sólouna fuerzaexternaleobligarácambiardeestado.Unrelojdeparedconpéndulosirvedemodelocorrientedesistemaintransitivo.Recibeunflujouniformedeenergíadeunresorte,alquesedacuerda,odeunabatería,atravésdeunmecanismodeescape.Lafricciónresta una porción constante de energía. El estado evidente de equilibrio es unmovimientooscilatorioregular.Sialguienchocaconelreloj,elpénduloseaceleraráo irá más despacio a consecuencia del impulso momentáneo, mas no tardará enrecuperar el equilibrio. Sin embargo, tiene otro equilibrio—una segunda solución


válidadesusecuacionesdemovimiento—,yescuandoelpéndulocuelga inmóvil.Talvezfueseunsistemaintransitivomenossencillo—convariasregionesdistintasdecomportamientocompletamentediferente—elqueelclimarepresentaba.

Desdehacealgunosaños,losclimatólogossabenquesusmodelos—losglobalesdeordenador,conlosquesimulanelcomportamientodelaatmósferaylosocéanos—admitencuandomenosunequilibrioabsolutamentedistinto.Eseclimaalternativojamásexistióenelpasadogeológico,peropudieraserunasoluciónasimismoválidaenelconjuntodeecuacionesquegobiernanelgloboterráqueo.AlgunosclimatólogosleatribuyenelnombredeclimadelaTierraBlanca,enqueloscontinentessehallancubiertosdenieve,ylosocéanos,helados.Unmundocomoésereflejaríaelsetentapor cientode la radiación solar, y por lo tanto, sería gélido.La capa inferior de laatmósfera,otroposfera,tendríamuchomenosespesor.Lastempestadesqueazotaríanla fría superficie carecerían de la intensidad de las que conocemos. En general, elclima seríamáshostil a la vida que el de ahora.Losmodelos de ordenador tienentendenciatanacusadaabuscarelequilibriodelaTierraBlanca,quelosespecialistasseextrañandequenuncahayaexistido.Talvezseacuestióndesuerte.

Sólolaintervenciónvigorosadeunafuenteexternalograríaqueelclimaterrestrepasara al estado glacial. Lorenz describió otro comportamiento plausible llamado«cuasiintransitividad». Un sistema de esta especie exhibe, durante mucho tiempo,algo así como un comportamiento promedio, que fluctúa dentro de ciertos límites.Después, sin causa alguna, semetamorfosea en otro diferente, también fluctuante,mas con un promedio distinto. Los diseñadores de modelos de ordenador estánenteradosdeldescubrimientodeLorenz;noobstante,tratanatodacostadeevitarlacuasiintransitividad. Es demasiado impredecible. Por querencia natural hacenmodelosdotadosdefuertetendenciaalequilibrioquemedimoscadadíaenelplanetareal.Luego, conel findeexplicar losgrandescambiosclimáticos,buscanmotivosexternos,como,porejemplo, lasalteracionesde laórbitade laTierraalrededordelSol.Apesardeello,elclimatólogononecesitafervorosaimaginaciónparanotarquela cuasiintransitividad explicaría satisfactoriamente por qué el clima terrestre haexperimentado, y dejado de experimentar, largas eras glaciales, durante intervalosmisteriososeirregulares.Silaempleara,nohabríadedescubrirunacausafísicaparaexplicarsuaparición.Laserasglacialesnoseríanmásqueunsubproductodelcaos.


ElhallazgodeMichaelFeigenbaum

Elcientíficocontemporáneosientealgunanostalgiade lacalculadoramanualHP-65, nostalgia comparable a la del coleccionista de armas de fuego que recuerda elColt45enlaépocadelarmamentoautomático.Dichamáquina,enlospocosañosenque gozó de supremacía, cambió para siempre los hábitos de trabajo de muchoscientíficos.ParaFeigenbaum,fueelpuenteentreellápizyelpapelyunautilizacióndelosordenadoresquetodavíanosehabíaconcebido.

NosabíanadadeLorenz;pero,enelestíode1975,enunareunióncelebradaenAspen(Colorado),oyóhablaraSteveSmaledealgunascualidadesmatemáticasdelaecuación en diferencias cuadráticas. Smale pensaba, por lo visto, que habíainteresantes cuestiones irresueltas sobre el punto exacto en que el diagrama setransformadeperiódicoencaótico.Comosiempre,Smalemostrabasuagudoinstintode los problemas merecedores de ser explorados. Feigenbaum decidió echar otramirada. Con su calculadora, utilizó una combinación de álgebra analítica y deinvestigación numérica para comprender elmapa cuadrático, concentrándose en laregiónlimítrofedelordenyelcaos.

Metafóricamente—sólometafóricamente—sabíaqueaquellaregióneracomolafronteramisteriosaentreelflujouniformeylaturbulenciaenunfluido.RobertMayhabíallamadosobreella laatencióndelosbiólogosdelapoblación,quenohabíanpercibidolaposibleexistenciadeciclosirregularesenelcambiodelascomunidadesanimales. En aquella región, camino del caos, había un alud de duplicaciones deperíodo, de divisiones de dos ciclos en cuatro, de cuatro en ocho, etc. Aquellosdesdoblamientos componían un diseño fascinador. Eran los puntos en que un levecambiodela fecundidad,porejemplo,podíahacerqueunapoblacióndemariposaslagartas fuese de un ciclo de cuatro años a uno de ocho. Feigenbaum optó demomento por calcular los valores paramétricos exactos que originaban losdesdoblamientos.

A la postre, la lentitud de la calculadora le llevó a un descubrimiento en aquelmes de agosto. Tardaba siglos —minutos, de hecho— en calcular el valorparamétricoexactodecadaduplicacióndeperíodo.Cuantomásseremontabaporlacadena,tantomástiemporequería.Conunordenadorrápidoyunpapeldeimpresión,quizá no hubiese observado la pauta. Pero había de escribir los números a mano,despuésreflexionardurantelaesperay,enfin,paraganartiempo,imaginarcuálseríalarespuestasiguiente.

De pronto, comprendió en un instante que no tenía que imaginar. El sistemaocultaba una regularidad inesperada: los números convergían geométricamente, lomismo que, en un dibujo en perspectiva, una línea de postes idénticos de teléfono


convergehaciaelhorizonte.Siseproporcionaeltamañojustoaunpardepostes,seconoceeldelresto;larelacióndelsegundoconelprimeroserátambiénladelterceroconelsegundo,etc.Lasduplicacionesdeperíodoaparecíannosóloconprogresivarapidez,sinotambiénenordenconstante.

¿Porqué?Porloregular,lapresenciadeunaconvergenciageométricasugierequealgo,enalgunaparte,serepiteaescalasdiferentes,peronadiehabíavistounapautaescalarenaquellaecuación,encasodequelahubiese.Feigenbaumcalculólarazóndeconvergenciaconlamayorprecisiónposibleensumáquina—tresdecimales—yobtuvounacifra:4,669.¿Significabaalgo?Efectuó loquehubierahechocualquiermatemático. Pasó el resto del día intentando ajustar la cifra a las constantesconocidas:7r,eytodaslasdemás.Noeravariantedeninguna.

Robert May recordó más tarde que también él había observado aquellaconvergencia geométrica, y que la olvidó en seguida. Desde su punto de vista deecologista, se trató de una curiosidad numérica y nada más. En los sistemas delmundo real que estudiaba, los de poblaciones animales e incluso los de modeloseconómicos, el barullo inevitable anularía un detalle tan preciso como aquél. Lamismaconfusiónquelehabíaguiadohastaallílehizohaceraltoenelpuntocrucial.Maysesentíaexcitadoporlaconductageneraldelaecuación.Jamássospechóquelosdetallesnuméricostuvieranimportancia.

Feigenbaum sabía lo que se le ofrecía. La convergencia geométrica significabaque algo en aquella ecuación era escalar, y estaba convencido de que teníaimportancia.Deellodependíacuantoafectabaa la teoríade larenormalización.Enunsistemadeaspectoenaparienciairregular,laescalaimplicabaqueciertacualidadsemantenía,mientrasqueelrestosealteraba.Laturbulentasuperficiedelaecuaciónocultabaregularidad.Pero¿dónde?¿Quédebíahacerseacontinuación?

ElveranosetransformaprontoenotoñoenelairesutildeLosÁlamos.OctubreterminabacuandoFeigenbaumtuvounpensamientocurioso.EstabaenteradodequeMetropolis, Stein yStein habían examinadootras ecuaciones y habían reparado enque determinadas pautas pasaban de una clase de función a otra. Aparecían lasmismascombinacionesdeDeI,ylohacíanenelmismoorden.Unafunciónhabíaincluidoelsenodeunnúmero,desviaciónquerestabapertinenciaalosmeticulososdesvelosconqueFeigenbaumhabíaabordadolaecuacióndelaparábola.Tendríaquerecomenzar.CogiódenuevosuHP-65ycomputólasduplicacionesdeperíodoparaxt+i=r senπxt. El cálculo de una función trigonométrica imponía gran lentitud alproceso,yFeigenbaumsepreguntó si sería capazdeemplearunatajo, comoenelcasodelaversiónmássencilladelaecuación.Yasí,escrutandolascifras,percibióqueconvergíanunavezmásgeométricamente.Enelfondo,habíadecalcularlarazóndeconvergenciadelanuevaecuación.Nuevamente,laprecisiónquedóafectada,peroobtuvounresultadocontresdecimales:4,669.


Eraelmismonúmero.Por increíblequepareciera, la función trigonométricanomostraba regularidadgeométrica consistente, sinounanuméricamente idéntica a lade una función mucho más simple. No existía teoría matemática o física queexplicaraporquédosecuaciones,de formayde significado tandistintos,dabanelmismoresultado.

FeigenbaumvisitóaPaulStein.Éstenoestabadispuestoaadmitirlacoincidenciacon pruebas tan escasas. En realidad, la precisión era discutible. Sin embargo,Feigenbaumtelefoneóasuspadres,queestabanenNuevaJersey,paracomunicarlesquehabíatopadoconalgomuyprofundo.Aseguróasumadrequeleharíacélebre.Después compulsó otras funciones, todas las que se le ocurrieron con tal de quetuvieran una secuencia de bifurcaciones en su avance hacia el desorden. Y todasprodujeronlamismacifra.

Feigenbaumhabía jugado connúmeros toda su vida.En su adolescencia, sabíacalcularlogaritmosysenosquecasitodoelmundobuscabaenlastablas.Encambio,nuncahabía aprendido amanejar una calculadoramásgrandeque lamanual de supropiedad.Enellocoincidíaconlosfísicosymatemáticos,quesentíandesdéntípicopor el pensamiento mecanicista que significaba el trabajo con ordenadores. Habíallegadoelmomentoderecurriraellos.RogóauncolegaqueleenseñaseelFortran,y,alterminareldía,habíacalculadolaconstantedeunavariedaddefuncioneshastacinco decimales: 4,66920. Aquella noche leyó en elmanual lo que había sobre laprecisión doble, y al día siguiente computó hasta 4,6692016090, a saber, hastaobtenerlaprecisiónsuficientequeconvencieraaStein.Noobstante,Feigenbaumnoestaba seguro de haberse convencido a sí mismo. Había partido en busca deregularidad—loque implicaba comprender lasmatemáticas—;pero tambiénhabíapartidoconociendoqueaquellaclaseespecialdeecuaciones,comociertossistemasfísicos, se comporta de modo característico. Las ecuaciones eran sencillas, enresumidascuentas.Feigenbaumentendíalacuadráticayladelseno,ycalcularlasnoera ejecutar una hazaña extraordinaria. Sin embargo, algo en el meollo de todascreaba una sola cifra reiteradamente. Había tropezado, acaso con una curiosidad,acasoconunaleydesconocidadelanaturaleza.

Figúresequeunzoólogoprehistóricodecidequeunascosassonmáspesadasqueotras,queposeenunacualidadabstractaquellamapeso,ydeseainvestigarlaideademanera científica. Jamás ha medido el peso, pero cree tener una intuición de él.Contemplaserpientesgrandesypequeñas,ososgrandesypequeños,ypresumequeel peso de aquellos animales guarda cierta relación con su tamaño.Construye unabásculayseponeapesarserpientes.Ysequedaatónitoalcomprobarquetodaspesanlomismo. Su consternación arrecia cuando descubre que los osos tienen asimismopeso idéntico.Elde todoses4,6692016090.Porconsiguiente,elpeso noes loquesuponía.Elconceptoexigeemprenderdenuevolameditacióndesdeelprincipio.


Las corrientes undosas de agua, el balanceo del péndulo, los osciladoreselectrónicosymuchossistemas físicosexperimentabanuna transiciónenelcaminodel caos, y aquellas transiciones habían manifestado tanta complejidad, que seresistían al análisis.Todas eran sistemas cuyomecanismocreía comprendersemuybien.Losfísicosconocíanlasecuacionesoportunas;peroaparecíacomoimposibleelhechode ir de las ecuaciones a la comprensióndel comportamiento global a largoplazo. Por desdicha, las ecuaciones sobre los fluidos, incluso sobre los péndulos,resultabanmuchomásarcanasqueelsimplediagramalogísticounidimensional.PeroeldescubrimientodeFeigenbaumindicabaqueeranincongruentes.Quenohacíanalcaso. El orden, al surgir, parecía de pronto haber olvidado cuál era la ecuaciónoriginal. No importaba que fuese cuadrática o trigonométrica: el resultado era elmismo.

—Toda la tradiciónde la física rezaqueseaíslan losmecanismosydespuéselrestosigueadelante—dijo—.Esosedesmorona.Seconocenlasecuacionesprecisas,masnosirvenparanada.Sesumantodoslosfragmentosmicroscópicosyseadviertela imposibilidad de extenderlos hasta el largo plazo. No son lo importante en elproblema.Esomodificaporcompletoloquesignificasaberalgo.

Pese a lo tenue del nexo de las ciencias exactas y la física, Feigenbaum teníapruebas de la necesidad de inventar un procedimiento para calcular problemas nolineales complejos. Hasta entonces todas las técnicas de que disponía habíandependidodelosdetallesdelasfunciones.Sieraunafuncióndeseno,suscálculosfueronlosapropiadosparaella.Suhallazgodelauniversalidadindicabaquehabríaquearrojartodasaquellastécnicasporlaventana.Laregularidadnadateníaqueverconlossenos.Niconlasparábolas.Niconningunafunciónespecial.Pero,¿porqué?Eradesconcertante.Lanaturalezahabíadescorridouna cortinaduranteun instante,ofreciendovislumbresdeunordeninesperado.¿Quéhabríadetrásdeaquellacortina?


H.BruceStewart,J.M.Thomson/NancySterngold

ATAQUEALCAOS.Unaecuaciónsimple,repetidamuchísimasveces:MitchellFeigenbaumsecentróenfunciones claras, en las cuales tomó un número como entrada (input) y otro como salida (output). Encuanto a los animales, una función puede expresar la relación entre la población de un año y la delsiguiente.

Un modo de visualizar tales funciones consiste en utilizar un diagrama en que el eje horizontalrepresentalaentradayelverticallasalida.Paracadaentradaposible,x,haysólounasalida,y,yformanunafiguraqueseindicaconlalíneagruesa.

Después,como representacióndelcomportamientoa largoplazodel sistema,Feigenbaum trazóunatrayectoria que empezaba en una x arbitraria. Puesto que cada y era realimentada en lamisma funcióncomonuevaentrada,logróutilizarunaespeciedeatajoesquemático:latrayectoriaseapartaríadelalíneade45grados,enlaquexigualabaay.

Lafunciónmásobviadelcrecimientodelapoblaciónes,paraelespecialistaenecología,lalineal,asaber, el planteamiento maltusiano de aumento constante e ilimitado según un porcentaje fijo anual


(izquierda). Funcionesmás realistas formaban un arco, que hacía disminuir la población cuando crecíademasiado.Seevidenciaconel«diagramalogístico»,parábolaperfecta,definidaporlafuncióny=rx(1−x),enqueelvalorder,de0a4,determinalapendientedelaparábola.Feigenbaumdescubrióquelodemenoseralaclasedearcoqueempleaba;losdetallesdelaecuaciónnoveníanalcaso.Loqueimportabaeraquelafuncióntuvieseuna«joroba».

Elcomportamientodependíasensitivamentedelapendiente,delgradodelinealidadodeloqueRobertMay consideraba «el florecimiento y la proliferación». Una función demasiado plana acarrearía laextinción:lapoblacióninicialacabaríaencero.Elaumentodelapendienteproduciríaelequilibrioestablequelosestudiosostradicionalesdelaecologíaesperaban;esepunto,actuandoentodaslastrayectorias,eraun«atractor»unidimensional.

Más allá de cierto límite, una bifurcación ocasionaba una población oscilante de período dos. Acontinuación,habíamásduplicacionesdeperíodoy,porúltimo(abajo,derecha),latrayectoriasenegabaenredondoafijarse.

Tales imágenes sirvieron de base inicial aFeigenbaumcuando intentó edificar una teoría. Pensó entérminosrecurrentes:funcionesdefunciones,funcionesdefuncionesdefunciones,etc.;diagramascondosjorobas,despuésconcuatro…


Unateoríauniversal

La inspiración llegó ofreciendo algo plástico, la imagenmental de dos pequeñasformas onduladas y una grande. Aquello fue todo: una imagen brillante y claragrabadaensucerebro, talvezsólolapuntavisibledeuncolosalicebergdetrabajomental,efectuadopordebajodelalíneadeflotacióndelaconsciencia.Teníaqueverconlasescalas.YbrindóaFeigenbaumelcaminoquenecesitaba.

Estudiólosatractores.Elequilibrioestabledesusgráficaseraunpuntofijoqueatraía a los demás. Fuese cual fuere la que despuntara, la «población» saltóindefectiblementehaciaelatractor.Después,conelprimerperíododeduplicación,elatractor se partió en dos como una célula que se divide. Al pronto, aquellos dospuntosestuvieroncasi juntos; luego,alaumentarelparámetro,flotaronaparte.Mástarde,hubootroperíododeduplicación:cadapuntodelatractorsedividiódenuevo,enelmismomomento.SunúmeropermitióaFeigenbaumpredecircuándosucederíael período de duplicación. Descubrió entonces que podía también vaticinar losvaloresprecisosdecadapuntoenaquelatractor,cadavezmáscomplejo:dospuntos,cuatro, ocho… Le era posible adivinar las poblaciones que aparecían en lasoscilacionesdeun año aotro.Habíaotra convergenciageométrica.Aquellas cifrasobedecíantambiénaunaleyescalar.

Feigenbaumexplorabauncampointermedioolvidadoentrelasmatemáticasylafísica. ¿Cómo definir su trabajo? No se trataba de ciencias exactas, pues nodemostraba nada. Desde luego, exploraba números, pero los números son para elmatemáticoloqueunabolsademonedasparaelbanquerodedicadoalasinversiones:enprincipio,lasustanciadesuprofesión,pero,enrealidad,demasiadoengorrososyespeciales para gastar tiempo en ellos. Las ideas son lasmonedas en curso de losmatemáticos.Feigenbaumcumplía unprogramade física y, por extrañoque fuese,eracasiunafacetadelafísicaexperimental.

Los números y funciones representaban el objeto de su estudio, en vez demesones y quarks. Poseían trayectorias y órbitas. Había de penetrar en sucomportamiento. Necesitaba —la expresión llegaría a ser un tópico de la nuevaciencia— crear intuición. El ordenador era su acelerador y su cámara de niebla.Forjaba una metodología al mismo tiempo que una teoría. Por lo común, quienempleabaunordenadorplanteabaunproblema,loalimentabaconélyguardabaaquela máquina calculase la solución: un problema, una solución. Feigenbaum y losinvestigadoresdelcaosquelesiguieronexigíanmás.TeníanquehacerlomismoqueLorenz, a saber, formar universos en miniatura y observar su evolución. Podíanmodificar este o aquel rasgo, y ver qué caminos distintos resultarían. Estabanconvencidos de que, los cambios imperceptibles de ciertos rasgos llevaban a


alteracionesdebultodelcomportamientogeneral.Feigenbaumaveriguóenseguidaloinconvenientedelequipodeordenadoresde

LosÁlamosparalaclasedecálculoquedeseabaefectuar.Noobstantelaenormidadde sus recursos,muy superiores a los de casi todas las universidades,LosÁlamosdisponía de escasos terminales capaces de mostrar gráficas e imágenes, y ésospertenecíanalaSeccióndeArmamento.Feigenbaumqueríarepresentarlosnúmeroscomopuntosenunmapa.Tuvoquerecurriralmétodomásprimitivo:largosrollosdepapel con líneasmarcadas por hileras de espacios de la impresora, seguidas de unasteriscoodelsímbolodelasuma.LacreenciaoficialdeLosÁlamospretendíaqueunordenadorgrandevalíamásquemuchospequeños,creenciaqueandabadelbrazocon la tradición de un problema, una solución. Se desaprobaban los ordenadorespequeños. Por otra parte, cualquier compra divisional de uno habría chocado conrigurosasnormasgubernamentalesyuna inspección formal.Sólomás tarde, con lacomplicidadpresupuestariadelaSecciónTeórica,Feigenbaumrecibióun«ordenadordemesa»deveintemildólares.Conélmodificósusecuacioneseimágenessobrelamarcha, retocándolas y afinándolas, como si el ordenador fuera un instrumentomusical. Por entonces, los únicos terminales idóneos para realizar gráficasimportantessehallabanenlugaresdealtaseguridad,detrásdelavalla,comosedecíaenLosÁlamos.A causa de ello hubo de emplear un terminal conectado por líneatelefónicaconunordenadorcentral.

Trabajardeaquellaformaimpedíaapreciarentodasuextensiónlapotencianetadelamáquinasituadaalotroextremodelcable.Hastalasoperacionesmássencillastardabanminutosenverificarse.Editarunalíneadeunprogramaobligabaaoprimirla tecla de Retorno o Nueva línea, y a esperar, mientras el terminal zumbabaincesantementeyelordenadorcentralatendíaa laspeticionesdeotrosusuariosdellaboratorio.

Feigenbaum pensaba mientras usaba el ordenador. ¿Qué expresión matemáticaadoptaríanlasmúltiplespautasescalaresqueobservaba?Algoenaquellasfuncionesdebía de ser recurrente, se dijo, debía deautorrelacionarse, el comportamiento deunaguiarseporelcomportamientodeotra,ocultaensuinterior.Laimagenonduladaque había tenido en un instante de inspiración manifestaba algo sobre cómo unafunciónpodíadisponerseenunaescalaparaajustarseaotra.Aplicóelprocedimientomatemáticodela teoríaderenormalizacióndegrupo,querecurrea lasescalasparareducirlosinfinitosacantidadesmanejables.Enlaprimaverade1976,suexistenciaadquirióintensidadsuperioralaquehabíaconocidohastaentonces.Seconcentrabacomosiestuvieraentrance,programabaconfuria,garabateabaconellápizyvolvíaaprogramar.NoteníaelrecursodetelefonearalaSecciónC,porquehabríatenidoqueinterrumpir el funcionamiento del ordenador para emplear el teléfono, y elrestablecimiento de la conexión era incierto. Si se detenía a pensar más de cinco


minutos, el ordenador desconectaría automáticamente su línea. De todas suertes,hacíaaltoconrelativafrecuencia,loqueledejabatemblandoacausadelasobrecargadeadrenalina.Seesforzósinrespirodurantedosmeses.Sujornadaeradeveintidóshoras.Intentabadormircomosifueraunapausabreve,ysedespertabacientoveinteminutosmás tarde con los pensamientos esperándole exactamente donde los habíainterrumpido. Su dieta estricta consistía en café. (En ocasiones más saludables yapacibles,Feigenbaumsenutríasólodecarnemuypocohecha,caféyvinotinto.Susamigossospechabanqueobteníavitaminasdeloscigarrillos).

Por último, un médico cortó por lo sano aquel régimen de vida. Le recetómoderadas dosis de válium y vacaciones. Pero Feigenbaum ya había creado unateoríauniversal.


Cartasderechazo

Launiversalidadestableció ladiferenciaentre lobelloy loútil.Losmatemáticos,pasadociertopunto,sedespreocupandeproporcionarunatécnicaparaloscálculos.Los físicos,pasadociertopunto, requierennúmeros.Launiversalidadprometíaquelosfísicos,habiendosolventadounproblemafácil,conseguiríanresolverotrosmuchomás difíciles. La respuesta sería la misma. Además, al situar su teoría dentro delmarco de la renormalización, Feigenbaum le daba un aspecto que los físicosreconoceríancomoinstrumentodecálculo,casicomonorma.

Contodo,aquelloquehacíaútilalauniversalidaderalomismoenquelosfísicosapenaspodíancreer.Launiversalidadsignificabaquesistemasdiferentesseportaríandemanera idéntica. Desde luego, Feigenbaum estudiaba sólo funciones numéricassimples. Pero estaba convencido de que su teoría expresaba una ley natural sobresistemasenelpuntode transicióndelordena la turbulencia.Todoelmundo sabíaque la última denotaba un espectro continuo de frecuencias distintas, y se habíapreguntadodedóndeprocedíanéstas.Derepenteseveíaquellegabanensecuencias.Lainferenciafísicaeraquelossistemasrealessecomportaríandelamismamanerareconocible, y que, también, serían igualmente mensurables. La universalidad deFeigenbaum era no sólo cualitativa, sino cuantitativa; no sólo estructural, sinométrica.Abarcabanúmerosprecisos,ademásdepautas.Aquello,paraunfísico,eraabusardelacredulidad.

AñosdespuésFeigenbaumguardabaaúnenuncajóndelescritorio,dondepodíaencontrarlasenunsantiamén,lascartasderechazo.

Entoncesdisfrutabade todoel reconocimientoqueanhelaba.Su trabajo enLosÁlamos había recibido premios y honores, y con ellos, prestigio y dinero. Noobstante,todavíaleescocíaquelosdirectoresdelasprincipalesrevistasacadémicashubiesen juzgado su obra impropia para ser publicada a los dos años de haberempezado a ofrecerla. La idea de un descubrimiento científico tan original einesperado,quenoadmiteserpublicado,pareceunmitotrasnochado.Sesuponequela ciencia moderna, con su gran caudal de información y su sistema imparcial decríticascuidadosas,noincurreenexquisitecesdepaladar.Undirector,quedevolvióeloriginalaFeigenbaum,reconociótiempodespuéshaberrechazadounartículoqueseñalabaunpuntodecisivoenlaespecialidad;sinembargo,seexcusódiciendoqueera inadecuado para sus lectores, dedicados a las matemáticas aplicadas.Mientrastanto,bienquenosehubiesepublicado,elhallazgodeFeigenbaumseconvirtióennoticiacandenteenalgunoscírculosdematemáticosyfísicos.Elnúcleodelateoríase propagó como suele ocurrir en la mayor parte de la ciencia actual: gracias aconferencias y resúmenes previos de ellas. Feigenbaum describió su obra en


disertacionesyrecibiópeticionesdefotocopiasdesusartículos,primeroadocenasyluegoacentenares.


ReuniónenComo

Laeconomíamodernasefíaporenterodelateoríaeficientedelmercado.Sedaporsentadoque el conocimientodiscurre sin trabasdeun lugar a otro.Quienes tomandecisionesimportantes,asísecree,tienenacceso,másomenos,alamismamasadeinformación. Hay aquí y allí, como es de suponer, rincones de ignorancia o deinformaciónincompartida;pero,enconjunto,loseconomistasimaginanque,unavezquesehahechopúblico,elconocimientosehallapordoquier.Loshistoriadoresdelaciencia dan a menudo por sabida una teoría eficiente del mercado de su propiacosecha. Cuando se descubre algo, cuando se expresa una idea, se piensa que espropiedadcomúndelmundocientífico.Cadahallazgoycadanociónnuevosarraiganenlosanteriores.Lacienciacrececomounedificio,ladrilloaladrillo.Desdeelpuntodevistapráctico,lascrónicasintelectualespuedenserlineales.

Esta concepción de la ciencia surte más efecto cuando una disciplina biendefinida espera la solución de un problema bien definido. Nadie interpretómal eldescubrimiento de la estructura molecular del ADN, por ejemplo. Con todo, lahistoria de las ideasno es siempre tan segura.Al despuntar la cienciano lineal enrincones extraños de las diferentes disciplinas, la corriente de ideas no siguió lalógica típica de los historiadores. La aparición del caos como entidad propia fuecuestiónnosolamentedeteoríasydescubrimientosinsospechados,sinotambiéndelacomprensión tardía de viejas ideas. Hacía mucho tiempo que se habían vistonumerosas piezas del rompecabezas —por Poincaré, por Maxwell y hasta porEinstein—,queluegoseolvidaron.Losmatemáticoscomprendenundescubrimientomatemático, los físicosunofísicoynadieunometeorológico.Cómosepropagabanlasideasllegóasertanesencialcomolamaneraenqueseoriginaban.

Cadacientíficoposeíaunaconstelaciónpropiadepadresintelectuales.Cadaunoteníaunaimagenprivadadelpanoramadelas ideas,ycadaimagenera limitadadeformapersonal.Elconocimientoadolecíadeimperfecto.Enelcientíficoinfluíanlascostumbres de sus disciplinas o las trayectorias accidentales de su educaciónindividual. El mundo de la ciencia se hizo asombrosamente finito. No fue unacomisión la que guió la historia científica a una vía nueva, sino un puñado depersonas,depercepcionesydemetasindividuales.

Posteriormente,sedefinióunconsensosobrequéinnovacionesycontribucioneshabían influidomás. El consenso, sin embargo, incluyó cierto revisionismo. En laagitacióndelosdescubrimientos,sobretodoenlaúltimapartedeladécadade1970,nohubodosfísicosodosmatemáticosqueentendieranelcaosdemodoidéntico.Elcientíficoacostumbradoalossistemasclásicos,libresdefricciónodedisipación,seincorporaría a una estirpe descendiente de rusos como A. N. Kolmogorov y V. I.


Arnold.Elmatemáticohabituadoalossistemasdinámicosclásicoselegiríaunlinajeque iba desde Poincaré aBirkhoff, Levinson y Smale.Más tarde, el olimpo de uncultivadordelascienciasexactassecentraríaenSmale,GuckenheimeryRuelle.Opreferiría precursores partidarios de los ordenadores y asociado con Los Álamos:Ulam, Metropolis y Stein. Un físico teórico muy bien podría escoger a Ruelle,Lorenz, Rössler y Yorke. Un biólogo pensaría en Smale, Guckenheimer, May yYorke.UncientíficoqueestudiaselaTierra—ungeólogoosismólogo—reconoceríala influencia directa de Mandelbrot; un físico teórico raras veces conocería talapellido.

El papel de Feigenbaum sería fuente de controversia especial. Pasado muchotiempo, cuando se había transformado en semicelebridad, hubo físicos que sedesvivieronporcitaraotraspersonas,lascuales,segúnellos,lidiabanconelmismoproblemaenlamismafecha,añomásoañomenos.Algunosleacusarondehaberseconcentrado, con escasa amplitud de miras, en un mínimo fragmento del vastoespectrodelcomportamientocaótico.La«feigenbaumología»sevalorabaenexceso,dijounfísico;eraunbuentrabajo,desdeluego,peronotaninfluyente,porejemplo,comoeldeYorke.InvitaronaFeigenbaumen1984ahablarenelSimposioNobel,enSuecia, en el que rugió la polémica. Benoît Mandelbrot pronunció una charla demordacidad intencionada que el auditorio describió como su «conferenciaantifeigenbaum». Mandelbrot había desempolvado, no se sabía cómo, un artículosobre la duplicación de período que había publicado veinte años antes Myrberg,matemático finlandés, e insistió en llamar «secuencias de Myrberg» a las deFeigenbaum.

Éste, sin embargo, había descubierto la universalidad e ideado una teoría paraexplicarla.Eraelejealrededordelcualgirabalanuevaciencia.Incapazdepropagarla letra impresa resultado tan asombroso y contraintuitivo, lo hizo público en unaseriedeexposicionesorales:enunareunióncelebradaenNewHampshire,enelmesdeagostode1976;enuncongresointernacionaldematemáticas,quetuvoefectoenLos Álamos en septiembre; y en charlas dadas en la Universidad de Brown, ennoviembre. El hallazgo y la teoría fueron acogidos con sorpresa, incredulidad yexcitación. Cuanto más reflexionaba un físico sobre la no linealidad, tanto máspercibíalafuerzadelauniversalidaddeFeigenbaum.

—Fueundescubrimientomuy feliz ydesconcertante enterarsedequehabía enlos sistemas no lineales estructuras siempre iguales, si se considerabanadecuadamente—confesóunosinreservas.

Algunos recogieron no sólo las ideas, sino las técnicas. Les ponía la piel degallina jugar—únicamente jugar—conaquellosmapas.Graciasasusordenadores,experimentabanelasombroylasatisfacciónquehabíansostenidoaFeigenbaumenLosÁlamos.Y refinaron la teoría. Tras oír su charla en el Institute forAdvanced


Study, en Princeton, Predrag Cvitanović, físico de las partículas, le ayudó asimplificarlateoríayampliarlauniversalidad.Enelínterin,Cvitanovićsimulóqueeraunpasatiempo;noosabaadmitirantesuscolegasloquehacía.

La actitud de reserva prevaleció también entre los matemáticos, sobre todoporqueFeigenbaumnoaportabapruebasprecisas.Huboqueesperara1979paraquelashubieseentérminosdelascienciasexactas,yellosedebióaOscarE.LanfordIII.Feigenbaumevocaba amenudo la presentación de su teoría a un auditorio selecto,durante el congreso de Los Álamos del mes de septiembre. Apenas comenzó adescribireltrabajo,sepusoenpieeleminentematemáticoMarkKac.

—Caballero,¿nosofreceráoperacionesnuméricasounaprueba?—inquirió.Másqueloprimeroymenosquelosegundo,repusoFeigenbaum.—¿Esloqueunhombrerazonablellamaríaprueba?Feigenbaum contestó que los presentes habrían de sacar conclusiones propias.

Cuandohuboterminado,interpelóaKac,quiencontestóarrastrandosardónicamentelar:

—Sí,esunapruebaparaalguienrazonable.Delosdetallespuedenencargarselosmatemáticosr-r-rigurosos.

Eldescubrimientodelauniversalidadimpulsóelmovimientoreciénnacido.Losfísicos Joseph Ford y Giulio Casati organizaron, en el estío de 1977, el primercongresodeunacienciallamadacaos.SecelebróenunaatractivavilladelapequeñaciudaditalianadeComo,enlapartemeridionaldellagodelmismonombre,cuencaindescriptiblementeazulquerecogelasaguasdelafusióndelanievedelosAlpesdeItalia.Asistieronaellacienpersonas,ensumayorpartefísicos,aunquetambiénhuboespecialistasenotrasciencias,llenosdecuriosidad.

—Mitchhabíavistolauniversalidad,descubiertolaformaenquesedisponíaenescalaseinventadounprocedimiento,intuitivamentetentador,dealcanzarelcaos—explicó Ford—. Poseíamos, por primera vez, unmodelo claro que todo el mundoentendía. Y era de esas cosas a las que llega la sazón. Desde la astronomía a lazoología, la gente hacía algo por el estilo y lo publicaba en revistas muyespecializadas, sin enterarse de que otras personas se preocupaban por materiasanálogas.Creían estar solos, y se les tenía por algo excéntricos en sus disciplinas.Habíanagotadolaspreguntassencillas,yempezadoadedicarseafenómenosunpocomáscomplicados.Ytodosderramaronlágrimasdeagradecimientoalenterarsedequemuchosotrossehabíanmetidoenlomismo.


Nubesypinturas

Feigenbaumviviódespuésenun lugar austero, con la camaenunahabitación, elordenadorenotraytrestorreselectrónicasnegrasparatocarsucoleccióndediscos,declaradamente germánica, en la tercera. Su único intento de amueblar la casa, lacompradeunacaramesitademármolen Italia,acabóen fracaso,pues recibióunacajadefragmentosdemármol.Montonesdepapelesylibrostapizabanlasparedes.Hablabacon rapidez, con la largamelenacastaña salpicadadecanaspeinadahaciaatrás.

—Algodramáticosucedióen losañosveinte.Sin razón justificativa, los físicostoparonconunadescripción,correctaenesencia,delmundoquelosrodeaba,puestoquelateoríadelamecánicacuánticaloes.Explicacómopuedenhacerseordenadorescon tierra.Asíaprendimosamanipularnuestrouniverso.Así se fabricanproductosquímicos,losplásticosyelresto.Unosabecalcularconella.Essobremanerabuena,coneldefectodeque,aciertonivel,carecedesentido.

»Faltaunapartedelasimágenes.Sisequieresaberquésignificanenrealidadlasecuaciones,yquédescripcióndelmundoestádeacuerdoconesateoría,larespuestano proporciona algo vinculado con nuestra intuición del mundo. No podemosconcebirunapartículamoviéndosecomosituvieraunatrayectoria.Nosenospermitevisualizarladeesemodo.Ysinosponemosapreguntarcosascadavezmássutiles—¿quénoscuentalateoríadelaspectodelmundo?—,alfinalestamostanlejosdelaformaordinaria de imaginar lo que nos rodea, que nos exponemos a toda clase deconflictos.Quizáseaelmundorealmenteasí.Peronosabemos,enelfondo,quenohayaotramaneradereunirtodaesainformación,unamaneraquenoimpongadesvíotanradicaldenuestroprocedimientodeintuirlascosas.

»Un supuesto fundamental de la física consiste en que, para comprender elmundo,debemosaislarsuspartescomponenteshastaquenoscercioremosdequeesverdaderamentebásicoaquelloenloquepensamos.Presumimosacontinuaciónqueloquenoentendemossondetalles.Elpresupuestoconsisteendarporseguroquehayunacantidadreducidadeprincipios,yquelosdiscernimosalobservarlosobjetosenestadopuro—eselauténticomododeveranalítico—,ydespuésnoslasingeniamospara juntarlosde formamuchomáscomplicada,para resolverproblemasdemenormonta.Sipodemos.

»Por último, hay que utilizar el cambio de marchas. Debemos revisar nuestraconcepción de los hechos importantes. Podríamos simular un sistema fluido en unordenador, lo que empieza a ser posible. Pero sería un esfuerzo vano, pues lo quepasaenrealidadnotienerelaciónconunfluidoounaecuación.Esunadescripcióngeneraldeloqueacontece,enunaricavariedaddesistemas,cuandolascosasobran


sobresímismasunayotravez.Hayquepensarenelproblemadeotramanera.»Cuandomiran esta habitación—seven trastos ahí, unapersona sentada acáy

puertas allí—, creen que observan los principios de la materia y escriben lasfuncionesondulatoriaspararepresentarlos.Puesbien,esonoesfactible.TalvezDiospueda hacerlo, pero no existe pensamiento analítico para entender semejanteproblema.

»Noesyaretóricopreguntarquépasaráaunanube.Lagenteestámuyinteresadaensaberlo,yesodenotaquehaydineroparaefectuar la investigación.Elproblemaencaja en el reinode la física, y tiene elmismocalibreque losdemás.Seobservaalgocomplicado,yseresuelveenlaactualidadbuscandotodoslosindiciosposibles,bastantesparadecirdóndeestá lanube, la temperaturadelaire, lavelocidadaérea,etc.Semetetodoelloenelordenadormáspotentequesepuedayseprocuraobtenerunaideadeloqueharáarenglónseguido.Peroesonoesmuyrealista.

Feigenbaumaplastólacolillaenelceniceroyencendióotrocigarrillo.—Se han de buscar otros procedimientos. Se deben encontrar estructuras

escalares: cómo se relacionan los grandes detalles con los pequeños. Se observanperturbaciones fluidas, estructuras complicadas, cuya complejidad se deriva de unprocesopersistente.Enalgúnnivel,nolesimportalamagnituddelproceso,seadeltamañodeunguisante,seadeladimensióndeunapelotadelbaloncesto.Ynoafectaalprocesosusituación,nitampocosuduración.Lascosasescalaressonloúnicoquellegaaser,enalgúnsentido,universal.

»Hastaciertopunto,elarteesunateoríasobreelmundotalcomoaparecealossereshumanos.Esevidentehasta lasaciedadquenadieconocealdedilloelmundoquelerodea.Losartistashancomprendidoquesólointeresaunareducidacantidaddesustancia,ydespuéshancomprobadoquéera.Porello,puedenefectuaralgodeesainvestigaciónenmilugar.EnlasobrasdeVanGoghhaymillonesdedetalles,yporeso sus pinturas encierran una inmensa suma de información. Desde luego, se leocurriópensarenlacantidadirreducibledemateriaquehabríadeplasmar.Opuedenestudiarse los horizontes de los dibujos de tinta holandeses, en torno al 1600, conarbolitosyvacasdiminutos,queseantojanreales.Vistosdecerca,losárbolesposeenuna especie de límites hojosos, perono causarían efecto si se redujeran a eso; haytambiénpedacitosdemateria semejantes a ramas.Existeuna interrelacióndefinidaentre las texturasmássuavesy losobjetosde líneasmásacusadas.Esacorrelaciónproporciona,poralgunarazón,lapercepcióncorrecta.SiseexaminacómoRuysdaelyTurner construyen la complejidad del agua, se nota que lo hacen iterativamente.Hayunniveldemateria,yluegolapintadasobreella,ydespuéslascorreccionesdeésta.Paraesospintoreslosfluidosturbulentossonsiemprealgoqueencierralaideadeescala.

»Ansío saber describir las nubes. Pero tengo por erróneo decir que acá hay un


pedazo de esta densidad, y allá otro de aquélla, y, además, acumular tantainformacióndetallada.Lossereshumanos,desdeluego,nopercibenasílascosas,nitampoco los artistas. En algún punto, la tarea de escribir ecuaciones diferencialesparcialesnosignificahabertrabajadoenelproblema.

»En ciertomodo, la promesa portentosa de la Tierra reside en que hay en ellacosas bellas, cosasmaravillosas y seductoras, y que, a causa de nuestra profesión,anhelamosentenderlas.

Feigenbaum dejó el cigarrillo. El humo se elevó del cenicero, primero en unacolumna fina, y después (como amable inclinación de cabeza destinada a launiversalidad)enzarcillosinconexosqueseretorcieronhaciaeltecho.


7ELEXPERIMENTADOR

Esexperienciasinparangónconotrasquepudieraescribir,lomejorquepuedeacontecer a un científico, comprobar que algo ocurrido en su mentecorresponde punto por punto a algo que ocurre en la naturaleza. Sobresaltasiemprequesucede.Asombraqueunacriaturadelamentedeunogocedevidaen el honrado y limpio mundo exterior. Una gran impresión, y una grande,grandísimaalegría.

LEOKADANOFF


Helioenunacajita

—Albertestámadurando.Tal cosadijeron en laÉcoleNormaleSupérieure, instituciónqueocupa, con la

ÉcolePolytechnique, la cima de la jerarquía didáctica deFrancia. Pensaron que laedad empezaba a surtir efecto enAlbert Libchaber, quien había conquistado famacomofísicodebajastemperaturas,estudiandoelcomportamientocuánticodelheliosuperfluido a un pelo de distancia del cero absoluto. Y entonces, en 1977,dispendiabasutiempoylosrecursosdelaentidadenunexperimentoaparentementefútil.ElmismoLibchaber,temerosodemalbaratarlacarreradecualquierestudiantegraduado empleándole en el proyecto, buscó la colaboración de un ingenieroprofesional.

LibchabernacióenParísunlustroantesdequelosnazisocupasenlametrópolis.Erahijodeun judíopolacoynietodeunrabino.Sobrevivióconelmismométodoque había salvado a Benoît Mandelbrot. Se refugió en el campo, lejos de susprogenitores,cuyoacentoerademasiadoacusador.Suspadresconsiguieronburlarlamuerte; el restode la familiapereció amanosde los invasores.Por caprichode lacasualidad política, Libchaber conservó la vida gracias a la protección de un jefelocal de la policía secreta de Pétain, cuyas fervientes creencias derechistas sóloadmitíancomparaciónconsufervienteantirracismo.Terminadalacontienda,elniñode diez años le devolvió el favor. Atestiguó, comprendiendo sólo a medias laimportancia de su declaración, ante la comisión de crímenes de guerra, y sutestimoniosalvóasuprotector.

Ensurecorridodelaescaladelacienciaacadémicafrancesa,Libchaberprogresóen su profesión sin que jamás se discutiera su valía. Sus colegas pensaron enocasionesqueestabaalgochiflado:unjudíomísticoentreracionalistas,ungaullistaen un ambiente científico demayoría comunista.Le embromaronpor su teoría delGranHombreenlahistoria,pasiónporGoetheysuobsesiónporloslibrosantiguos.Teníacentenaresdeedicionesoriginalesdeobrasdeciencia,algunasdelascualesseremontabanalosañosinicialesdelsigloXVII.Losleíanocomocuriosidades,sinocomofuentedeideasfrescassobrelanaturalezadelarealidad,lamismaquesondabaconsuslásersysusrefinadísimosserpentinesderefrigeración.HabíaencontradoenelingenieroJeanMaurerunalmagemela,unfrancésquetrabajabasólocuandoteníaganas de hacerlo. Libchaber creyó que Maurer encontraría divertido su proyecto,moderado eufemismo de lo intrigante, emocionante o profundo. Los dosemprendieronen1977unexperimentodestinadoarevelareliniciodelaturbulencia.

Libchaberera famosocomoexperimentadorpor suestilopropiodel sigloXIX:mente despierta,manos ágiles y preferencia por lo ingeniosoy nopor la actividad


bruta.Le repugnaban la tecnología colosal y el empleo excesivodel ordenador.Suconcepto de un buen experimento era como el de un matemático de una buenaprueba. La elegancia importaba tanto como los resultados. Incluso así, algunoscolegaspensaronquellevabalascosasdemasiadolejosenaquelcaso.Elmontajedelexperimentoeratanpequeño,quepodíameterloenunacajadecerillas.Enocasiones,lotransportabacomomuestradearteconceptual.Lollamaba«helioenunacajita».Elcorazóndelexperimentoeratodavíamásminúsculo,unaceldilladeltamañodeunapepitade limón,cinceladaenacero inoxidable,debordesycarasdelgadísimos.Enella introducían helio líquido a una temperatura que distaba alrededor de cuatrogrados de la del cero absoluto, la cual resultaba elevada en comparación con susanterioresexperimentossobrelossuperfluidos.

EllaboratorioocupabaelsegundopisodeledificiodefísicadelaÉcole,enParís,aunoscentenaresdemetrosdelviejolugardetrabajodeLouisPasteur.Comotodoslosdeusogeneral,eldeLibchabersehallabaenestadodedesordenconstante,conelpavimentoylasmesascubiertasdelatasdepinturayherramientasmanuales,yconretazosdematerialplásticoymetálicodiseminadosportodosloslugares.Enmediode la confusión, el aparato que albergaba la diminuta celdilla era una chocanteexhibición de finalidad. Tenía una lámina inferior, como base, de cobre de granpureza, y otra, como tapa, de cristal de zafiro. Los materiales se habían elegidoatendiendo a su capacidad conductora de calor. Había minúsculos serpentines decalefacciónyrellenosteflón.Elhelio líquidodescendíadeundepósito,undadodecientoveinticincomilímetros.Todoocupabaunrecipientemantenidoenelvacíomásriguroso,quesehallabaenunbañodenitrógenolíquidoconelcualseestabilizabalatemperatura.

Las vibraciones preocuparon siempre aLibchaber.Los experimentos, como losverdaderos sistemas no lineales, existían sobre un fondo de alteraciones incesantesqueentorpecíanlasmedidasycorrompíanlosdatos.Comotodoslosflujossensibles—yeldeLibchaberloseríatantocomolefueseposible—,unonolinealseexponíaasufrirnotablesalteraciones,quepodríanllevardeuncomportamientoaotro.Perolanolinealidadtantodesestabilizaunsistemacomoloestabiliza.Larealimentaciónnolineal regula el movimiento y lo robustece. Cualquier perturbación tiene efectoconstante en un sistema lineal. En presencia de la no linealidad, se alimenta aexpensasdesímisma,hastaqueseextingueyelsistemavuelveautomáticamentealestado estable. Libchaber creía que los sistemas empleaban su no linealidad paradefenderse de las alteraciones. La transferencia de energía por las proteínas, elmovimiento ondulatorio de la electricidad cardíaca, el sistema nervioso, todosmantenían su versatilidad en un mundo de perturbaciones. Libchaber tenía laesperanza de que la estructura, fuera cual fuese, subyacente al flujo del fluidoposeeríafuerzasuficienteparacaptarlaensuexperimento.


AlbertLibchaber

«HELIOENUNACAJITA».EldelicadoexperimentodeAlbertLibchaber: sucorazóneraunaceldillarectangular, primorosamente construida, que contenía helio líquido; diminutos «bolómetros» de zafiromedían la temperatura del fluido.Laminúscula celda estaba en el interior de una envoltura, que debíaprotegerladelruidoylavibración,ypermitirlaregulaciónprecisadelcalentamiento.

Suproyectoconsistíaenprovocarunaconvecciónenelheliolíquidocalentandomáslaláminainferiorquelasuperior.EraexactamenteelmodeloquehabíadescritoEdward Lorenz, el sistema clásico denominado convección de Rayleigh-Bénard.Libchaber no sabía nada de Lorenz por entonces. Ni de la teoría de MitchellFeigenbaum. Éste, en 1977, principió a recorrer el circuito de las conferenciascientíficas, y sus descubrimientos dejaron huella en quienes sabían interpretarlos.Pero, hasta donde los físicos podían juzgar, las pautas y regularidades de lafeigenbaumologíanoteníanrelaciónevidenteconlossistemasreales.Salíandeunacalculadoradigital.Lossistemasfísicoseraninfinitamentemáscomplejos.Afaltadepruebas más concretas, sólo podía decirse que Feigenbaum había dado con unaanalogíamatemáticaqueparecíaserelcomienzodelaturbulencia.

LibchabersabíaquéexperimentosestadounidensesyfranceseshabíandebilitadolaideadeLandausobreel iniciodela turbulencia,mostrandoquesepresentabaenuna transición súbita, y no a causa de una acumulación de frecuencias diferentes.ExperimentadorescomoJerryGollubyHarrySwinney,consu flujoenuncilindrorotatorio, habían demostrado que se necesitaba una nueva teoría, pero no habían


percibidoconclaridadlatransiciónalcaos.Libchaberestabaalcorrientedequeenlos laboratorios no se había obtenido una imagen diáfana del comienzo de laturbulencia,yhabíadecididoquesuminúsculaceldillaconunfluidoproporcionaseunadelamayorclaridadposible.


«Ondulaciónasólidadelosólido»

Una reducción de la visiónmantiene la ciencia enmovimiento. Según sus luces,quienesestudiabanladinámicadelosfluidosteníanderechoadudardelaltoniveldeprecisión que, como pretendían, habían alcanzado en un flujo de Cuette-Taylor.Según las suyas, los matemáticos tenían derecho a irritarse, como lo hacían, conRuelle.Habíaquebrantadolasreglas.Habíapropuestounaambiciosateoríafísicaconeldisfrazdeformulaciónmatemáticaestricta.Habíacomplicadolatareadedistinguirloquepresumíadeloqueprobaba.Elmatemáticoqueseniegaasancionarunaidea,hastaquecumplalareglade teorema,prueba, teorema,prueba, representaelpapelque su disciplina ha escrito para él: monta guardia contra la impostura y elmisticismo,conscientementeono.Creeguardarelbastión,ennombredesuscolegasaceptados,eldirectorderevistaquerechazalasideasdesconocidasymanifestadasenestilodesacostumbrado,ylomismopiensansusvíctimas;perotambiénélrepresentaunpapelenunacomunidadquetienerazonessuficientesparamostrarsecautaconloindemostrado. «La ciencia se edificó contra un montón de majaderías», decía elpropio Libchaber. Cuando sus colegas le tildaban de místico, el epíteto no teníasiempreintenciónafectuosa.

Comoexperimentadoreraprudenteydisciplinado,ycélebreporlaprecisiónconque sondeaba la materia. Pero le apasionaba aquella cosa abstracta, mal definida,fantasmal,llamadaflujo.Eraformamáscambio,movimientomásfigura.Unfísico,alconcebirsistemasdeecuacionesdiferenciales,daríaesenombreasumovimientomatemático.Elflujoeraunaideaplatónica,puessuponíaqueelcambioensistemasreflejaba una realidad independiente del instante preciso. Libchaber abrazó lapresuncióndePlatóndequelasformasocultasllenaneluniverso.

—¡Claroquesesabequeesasí!Todoshemosvistohojas.Cuandomiramostodaslashojas,¿nonoschocaelhechodequeseareducidoelnúmerodefigurasgenéricas?Nocostaría dibujar la formamatriz.Tendría interés tratar de entender eso.Uotrasfiguras.Sehavistoenexperimentosqueunlíquidopenetraenotro.

Suescritorioestaba llenode imágenesdeaquellosexperimentos,gruesosdedosfractaleslíquidos.

—Puesbien,siustedenciendeelgasdesucocina,notaráquelallamatieneesaforma.Esmuyesencial.Universal.Metienesincuidadoloquesea—llama,líquidoenlíquidoocristalsólidoquecrece—,porqueesesafiguraloquemeinteresa.DesdeelsigloXVIII,hubounaespeciedesueñoenquelacienciaperdíalaevolucióndelaforma en el espacio y el tiempo. Si piensa usted en un flujo, puede hacerlo demúltiples maneras, en la economía o en la historia, por ejemplo. Primero serálaminar, luegosebifurcaráenunestadomáscomplicado,acasoconoscilaciones,y


acabarásiendocaótico.La universalidad de las figuras, las semejanzas a lo largo de las escalas y la

potencia recursivade flujosdentrode flujos, todoello seencontrabaalalcancedelcálculo diferencial clásico para las ecuaciones de cambio. Pero no era cosa que sevieseconfacilidad.Losproblemascientíficosseexpresanenelléxicodequedisponelaciencia.Hastaaquelmomento,elmejormododelsigloXXdeexpresarlaintuicióndeLibchabersobreelflujoconsistíaenrecurrirallenguajepoético.WallaceStevens,entreotros,manifestóunapercepcióndelmundoqueseanticipóalconocimientodelos físicos. Tuvo una impresión misteriosa sobre el flujo, sobre cómo se repetíamientrascambiaba:

ElríomanchadodeluzQuefluíasinceseyjamásdemaneraigual,quefluíaPormuchoslugares,comosiestuvieraquietoenunosolo.

La poesía de Stevens provoca amenudo una visión de tumulto en el aire y elagua.Ytambiénlafeenlasformasinvisiblesdelordenenlanaturaleza,lacreenciade

Que,enlaatmósferasinsombras,Elconocimientodelascosasexiste,aunqueinadvertido.

Cuando, en el decenio de 1970, examinaron el movimiento de los fluidos,Libchaberyotrosexperimentadoreslohicieronconalgoqueseaproximabaaaquellasubversiva intención poética. Barruntaron una relación entre el movimiento y laforma universal. Acumularon datos con el único método posible, escribiendonúmeros o registrándolos en un ordenador digital. Buscaron, en cambio,procedimientos para organizarlos de modo que revelasen sus formas. Tenían laesperanzadeexpresarlasentérminosdemovimiento.Estabanconvencidosdequelasdinámicas,comolasllamas,ylasorgánicas,comolashojas,debíansuaspectoaunatextura de fuerzas aún no bien entendida. Aquellos experimentadores, los queacosaronalcaosimplacablemente,triunfaronpornegarseaaceptarqueunarealidadinmovilizara.NisiquieraLibchabersehabríaatrevidoamanifestarlodetalmanera,perosusconcepcionesseacercabanmuchoaloqueStevenssentíacomo«ondulaciónasólidadelosólido»:

Elvigorglorioso,esplendorenlasvenas,Cuandolascosasbrotaronymovieronysedisolvieron,

Oenladistancia,oenelcambiooenlanada,Lasvisiblestransformacionesdelanocheestival,

UnaformaqueseacercacomoabstracciónargénteaYquesehacedeprontoesquiva,huyendoalolejos.


Flujoyformasenlanaturaleza

Libchaber obtuvo inspiración mística de Goethe, no de Stevens. MientrasFeigenbaumbuscabalaTeoríadeloscoloresgoethianaenlabibliotecadeHarvard,Libchaberhabíalogradoyasumarasucolecciónunejemplardelaediciónoriginaldeunamonografía,todavíamásoscura:Sobrelatransformacióndelasplantas.EraelataquelateraldeGoethealosfísicosque,creía,sepreocupabandelosfenómenosestáticosmás que de las fuerzas y los flujos vitales productores de las formas quevemos de un instante a otro. Parte del legado goethiano—prescindible, desde elpuntodevistadeloshistoriadoresdelaliteratura—eraunaproleseudocientífica,enAlemaniaySuiza,quemanteníanvivafilósofostalescomoRudolfSteineryTheodorSchwenk.Libchabertambiénlosadmirabaconlapasióndequeunfísicoeracapaz.

«Caossensible»—DassensibleChaos—fuelaexpresiónqueempleóSchwenkpara denotar la relación entre fuerza y forma. Sirvió de título a un librito extraño,publicadoen1965,cuyasedicionesseagotaronesporádicamente.Versabaenespecialsobre el agua. La edición inglesa ostentó un prefacio admirativo del comandanteJacques Y. Cousteau, así como testimonios de admiración del Water ResourcesBulletinyelJournaloftheInstituteofWaterEngineers.LaexposicióndeSchwenkapenas tenía aspiraciones científicas, y ninguna matemática. No obstante, susobservaciones eran intachables. Exponía multitud de fluidas figuras naturales ydocenas de dibujos precisos, como los esbozos del biólogo celular que usa porprimera vez el microscopio. Poseía una amplitud mental y una ingenuidad quehabríanllenadodesatisfacciónaGoethe.

Los flujos llenan suspáginas.Grandes ríos comoelMississippiy la cuencadeArcachon,enFrancia,describenampliascurvashaciaelmar.Enéste,lacorrientedelGolfoserpeahaciaelesteyeloeste.Esungigantescoríodeaguacálidaenelsenodelafría,comodijoSchwenk,unoque«creariberaspropiasenlalinfadetemperaturamásbaja».Aunquedesaparezcaosea invisible,persiste lahuelladel flujo.Ríosdeaire dejan su marca en la arena del desierto, mostrando sus ondas. El flujo de labajamarinscribeunareddevenasenlaplaya.Schwenknocreíaenlascoincidencias,sinoenprincipiosuniversales,ymásqueenlauniversalidad,enciertoespíritudelanaturaleza, lo que hizo su prosa antropomórfica hasta extremos molestos. Su«principioarquetípico»eraqueelflujo«ansíarealizarsehaciendocasoomisodelamateriacircunstante».


TheodorSchwenk

FLUJOSSERPEANTESYENESPIRAL.TheodorSchwenkdescribió lascorrientesdeflujosnaturalescomofibras a las que complican movimientos secundarios. «No son simples ramales —escribió—, sinosuperficiesenterasqueseentremezclanespacialmente».


D’ArcyWentworthThompson

GOTASQUEDESCIENDEN.D’ArcyWentworthThompsonmostróloshilosycolumnascolgantesdegotasdetintaquedesciendenenelagua(izquierda)ylaconfiguracióndeunamedusa(derecha).«Unresultadocuriosísimo… es cuán sensibles estas… gotas son a las condiciones físicas. Usando siempre lamismagelatina,yvariandosólounamilésimaladensidaddelfluido,obtenemosuncúmulodeaspectos,desdelagotacorrientealamismaconrebordes…».

Sabíaquehaydentrodelascorrientesotrassecundarias.Elaguaqueavanzaporun río serpenteante corre, secundariamente, alrededor del eje del cauce, hacia unaorilla, hacia el fondo del lecho, hacia la otra orilla y hacia la superficie, comopartículaquesemueveenespiralentornodeunarosquilla.Lasendadeunapartículaacuosa forma una hebra, que se retuerce alrededor de otras. Schwenk poseía lafantasíadeun topólogoparaaquellasestructuras.«Esta imagendefibras retorcidasenunasolaespiralesexactasóloenloqueserefierealmovimientoreal.Sehablaamenudode“ramales”deagua;peronosonsimplesramales,sinosuperficiesenterasque se entremezclan espacialmente y fluyenunamás allá de otra».Vio ritmosquecompetían en las olas, olas que se alcanzaban, planos divisorios y estratoslimitadores. Vio mareas y vorágines y procesiones de torbellinos, y los interpretócomoel«balanceo»deunasuperficieentornoaotra.Enellollegótancercacomounfilósofo podía al concepto que el físico tiene de la dinámica de la turbulenciainminente. Su convicción artística sospechó la universalidad. Los torbellinossignificabaninestabilidadparaSchwenk,yéstasignificabaqueunflujoluchabaconunadesigualdadexistenteensu interior,yque ladesigualdadera«arquetípica».La


oscilación de las mareas, el despliegue de los helechos, el plegamiento de lascordilleras,elahuecamientodelosórganosanimales,todos,ensuopinión,seguíanelmismo camino.Nodependía de unmedio especial, ni de una diferencia particular.Las desigualdades podían ser lentas y rápidas, calientes y frías, densas y tenues,salobresydulces,viscosasyfluidas,ácidasyalcalinas.Enelconfín,lavidaflorece.

LavidaeralaespecialidaddeD’ArcyWentworthThompson.Esteextraordinarionaturalistaescribióen1917:«Pudieraserquetodaslasleyesdelaenergía,todaslaspropiedades de la materia, y toda la química de todos los coloides, fuesen tanimpotentes para explicar el cuerpo como lo son para comprender el alma. Pormiparte, no creo que sea así». D’Arcy Thompson aportó al estudio de la vidaprecisamente lo que Schwenk, por desgracia, carecía: las matemáticas. Schwenkargumentabaporanalogía.Sutesis—espiritual,florida,enciclopédica—concluyóenundesplieguedesemejanzas.LaobramaestradeD’ArcyThompson,OnGrowthandForm (Sobre el desarrollo y la forma), compartió algo del talante y el método deSchwenk. El lector moderno se pregunta cuánto crédito ha de conceder a lasmeticulosasimágenesdegotitasdelíquidoquecaendividiéndoseenpúasmúltiples,pendientes de rabillos sinuosos, que se muestran junto a medusas vivas,asombrosamente similares. ¿Es sólo un caso de coincidencia rebuscada? Si dosformasseparecen,¿sedebenbuscarcausasparecidas?

D’ArcyThompsonaparecesindudaalgunacomoelbiólogomásinfluyentequepisó los bordes de la ciencia legítima. La revolución biológica del siglo XX, quesobrevinodurantesuexistencia,noleafectó.Desdeñólaquímica,nocomprendiólacélulaynosoñósiquieraeneldesarrolloexplosivodelagenética.Susescritosfueronincluso en su época demasiado clásicos y literarios —demasiado bellos— paramerecerlaconfianzadelaciencia.NingúnbiólogomodernoteníaqueleerlasobrasdeD’ArcyThompson.Ypeseaello, losbiólogosmáspreclarossesientenatraídosporsulibro.SirPeterMedawarlollamó,«másalládetodacomparación,lamásbellaobraliterariadelosanalesdelacienciaregistradosenlenguainglesa».StephenJayGould no encontrómejor origen del linaje intelectual de su creciente sensación deque lanaturalezaconstriñe lasfigurasde lascosas.DescontadoD’ArcyThompson,pocosbiólogosmodernoshanbuscadolaunidadinnegabledelosorganismosvivos.«Escaseanlosquesehanpreguntadositodaslaspautaspodríanreducirseaunsolosistema de fuerzas generadoras», expresó Gould. «Y contados parecieron notar elalcancequeesapruebadeunidadtendríaparalacienciadelaformaorgánica».

D’Arcy Thompson, clasicista, políglota, matemático y zoólogo, procuró ver lavidacomountodo,enelmomentoprecisoenquelabiologíarecurríafructíferamentea métodos que reducían los organismos a sus partes funcionales constitutivas.Triunfaba el reduccionismo,más espectacularmente en la biologíamolecular, perotambiénenlasrestantesciencias,desdeelestudiodelaevoluciónhastalamedicina.


¿Cómosecomprenderíanlascélulassinoseentendíanlasmembranasylosnúcleos,ymásaún, lasproteínas,enzimas,cromosomasyparesbásicos?Cuandoanalizóelfuncionamientointernodelossenos,retinas,nerviosytejidocerebral,labiologíasehizodemasiadorefinadaparapreocuparsedelaformadelcráneo.D’ArcyThompsonfue el último en dedicarse a ello. Y, por lo mismo, fue también el último de losgrandes biólogos que, en el lapso demuchos años, consagró energía retórica a uncuidadosotratamientodelacausa,enparticularadistinguirlafinaldelaeficienteofísica.Lacausafinalsebasaenlaintenciónodesignio:laruedaesredondaporqueesa figura posibilita el transporte. La causa física es mecánica: la redondez de laTierra sedebe aque lagravedad transformael fluidogiratorio enun esferoide.Ladistinciónno resulta siempre tanclara.Unvasoes redondoporqueésaes la formamásaptaycómodaparacontenerunlíquidooparabeberlo.Tambiénloesporqueeslaformaqueadoptanaturalmenteelbarroeneltornooelvidrioalsersoplado.

Enconjunto,lacausafísicadominaenlaciencia.Comolaastronomíaylafísicanacieronalasombradelareligión,unapartenadadespreciabledelesfuerzoseaplicóaeliminarlosargumentosdedesignioodeteleología: laTierraestalcomoesparaquelahumanidadhagaloquehace.Sinembargo,enlabiología,Darwinestableciólateleología como centro del pensar sobre la causa. Tal vez el mundo biológico nocumpla la finalidad divina, pero responde al designio modelado por la selecciónnatural.Éstaactúanosobrelosgenesoembriones,sinosobreelproductodefinitivo.Porello,unaexplicaciónadaptacionistadelafiguradeunorganismo,odelafuncióndeunórgano,reparasiempreenlacausa,noenlafísica,sinoenlafinal.Éstapersisteen la ciencia en donde la idea darwiniana se ha hecho habitual. El antropólogomoderno,alespecularacercadelcanibalismooelsacrificioritual,tiende,conrazónoequivocadamente, a preguntarse sólo a qué propósito obedece. D’Arcy Thompsonadvirtióqueesosucedería.Solicitóquelabiologíarecordasetambiénlacausafísica,es decir, que lo mecánico y lo teleológico se considerasen al mismo tiempo. Sededicóaexplicarlasfuerzasmatemáticasyfísicasqueactúanenlavida.Cuandoeladaptacionismo echó raíces, explicaciones como aquéllas carecían de sentido. Seconvirtió en un problema rico y fértil interpretar una hoja atendiendo a cómo laselección natural formaba un panel solar tan efectivo. Únicamentemucho despuésalgunos científicos volvieron a sentirse intrigados por el lado inexplicado de lanaturaleza.Lasformasdelashojassonmuypocasdelasmuchasimaginables,ynolasdictasufunción.

Las matemáticas de que disponía D’Arcy Thompson no probaban lo que leinteresaba. Le quedó, por ejemplo, el recurso de dibujar cráneos de especiesemparentadas con coordenadas entrecruzadas, en demostración de que una simpletransformación geométrica convertía uno en otro. En cuanto a los organismossencillos —cuyas figuras recordaban de manera tan tentadora a chorros líquidos,


salpicaduradegotitasyotrasmanifestacionesdelflujo—,sospechólaexistenciadecausas físicas, talescomo lagravedady la tensiónsuperficial, lascualesnopodíanrealizar la obra de formación que esperaba. Entonces, ¿por qué Albert LibchaberpensóenOnGrowthandFormalemprendersuexperimento?

La intuicióndeD’ArcyThompsonsobre las fuerzasquemodelan lavidaera laquemásseaproximaba,enlacorrienteprincipaldelabiología,alaperspectivadelossistemas dinámicos. Para él la vida era eso, vida, siempre en movimiento,respondiendo siempre a ritmos, los «arraigados ritmos del crecimiento», a los queatribuíalacreacióndelasformasuniversales.Considerópropiodesuestudionolasfigurasmaterialesdelascosas,sinosudinámica:«Lainterpretación,entérminosdefuerza, de las operaciones de la energía». Tenía los conocimientos matemáticossuficientesparasaberquelacatalogacióndelasformasnoprobabanada.Peroeralobastante poeta para confiar en que los accidentes y la finalidad explicaran laasombrosa universalidad de las que había coleccionado durante sus largos años decontemplación de la naturaleza.Las leyes físicas debían justificarla, gobernando lafuerza y el desarrollo de modo que se escapaba del alcance de la comprensión.Platón,denuevo.Detrásdelasfigurasespecialesyvisiblesdelamateriahabríaquizáotrasfantasmalesqueserviríandemodelosinvisibles.Formasenmovimiento.


EldelicadotriunfodeAlbertLibchaber

Libchaber eligió helio líquido para su experimento, pues, por tener viscosidadbajísima, se movería al más mínimo impulso. El experimento equivalente con unfluidodeviscosidadmedia,comoelaguaoelaire,habríaimpuestounacajamuchomás grande. Aquella característica del helio hacía que el experimento fuese muysensible al calor. Para que surgiese la convección en su celdilla milimétrica, lebastabacrear,entrelasuperficieinferiorylasuperior,unadiferenciatérmicadeunamilésimadegrado.Poresoelrecipienteeratanminúsculo.Enunomayor,enqueelheliotendríamásespacioparamoverse,laconvecciónhubieseexigidomenos,muchomenos,calentamiento.Yenunodiezvecesmásgrandeencadadirección,deltamañodeunauva—devolumenmilvecessuperior—,elmovimientohabríaempezadoconunadiferenciacalóricadeunamillonésimadegrado.Variaciones tanexiguasde latemperaturanopodíancontrolarse.

Tanto en el planteamiento como el diseño y la construcción, Libchaber y suingeniero se esforzaron por eliminar cualquier sombra de confusión. De hecho,hicieron lo posible por eliminar elmovimiento que se proponía estudiar. El de unfluido, desde el flujo suave a la turbulencia, se concibe como movimiento en elespacio. Su complejidad se muestra como espacial, y sus trastornos y torbellinos,comocaosespacial.PeroLibchaberbuscabaritmosqueserevelasencomocambioseneltiempo.Eltiempoeraelcampodejuegoylavarademedir.Redujoelespaciocasi hasta lo unidimensional. Llevaba a la exageración una técnica que habíanutilizadosusprecursoresenlaexperimentaciónconfluidos.Todoelmundosabíaqueun flujo aprisionado—convección de Rayleigh-Bénard en una caja, o rotación deCouette-Taylorenuncilindro—teníamejorcomportamientoqueunolibre,comolasolasenelocéanoo lasondasenel aire.Un flujoexentoposee superficie limítrofelibreysucomplejidadsemultiplica.

La convección en una caja rectilínea produce rollos de fluido semejantes asalchichascalientes—o,enestecaso,asemillasdesésamo—.Eligiócuidadosamentelasdimensionesde laceldillaconelfindequediesecabidaadosrollosúnicos.Elheliolíquidoseelevaríaenelcentro,ascendería,seencorvaríaenloaltoybajaríaporlos lados externos de la celdilla. Era una geometría confinada. El balanceo estaríapreso. Las líneas limpias y las proporciones cuidadosas evitarían fluctuacionesespurias.Libchaberdominóelespacioparajugarconeltiempo.

Así que comenzara el experimento, con el helio agitándose en el interior de laceldilla, ésta dentro del recipiente sometido al vacío, y éstemetido en el baño denitrógeno,Libchaberobservaríaloqueocurriese.Introdujodossondasmicroscópicasde la temperatura en la superficie del zafiro que cubría la celdilla. Registró los


resultadosunaplumillatrazadora.Asícomprobólastemperaturasendoslugaresdelasuperficie del fluido. Fue algo tan sensible, tan inteligente, comentó un físico, queLibchaberlogróengañaralanaturaleza.

Aquella obra maestra en miniatura de la precisión empleó dos años en suexploración total, pero fue, como dijo el experimentador, el pincel que necesitabaparasucuadro,nimuygrandenimuycomplicado.Acabóporvertodo.Efectuandoelexperimentohoratrashora,dedíaydenoche,Libchaberdescubrió,eneliniciodelaturbulencia, unapautade comportamientomás intrincadade loque jamás sehabíaatrevidoaimaginar.Aparecióensuplenitudlacascadadeladuplicacióndeperíodo.Libchaberhabíaconfinadoypurificadoelmovimientodeunlíquidoqueasciendealser calentado. El proceso empieza con la primera bifurcación, el principio delmovimientoencuantosecalientalaláminainferior,decobredegranpureza,conlaintensidad requerida para romper la tendencia del fluido a permanecer inmóvil. Apocadistanciadelceroabsoluto,unameramilésimadegradoloconsigue.Ellíquidodelfondosecaldeayexpandelosuficienteparasermásligeroqueelquepesasobreél.Lapartefríahadehundirseparaquesubalacálida.Enseguida,paraqueambosmovimientossecumplan,el líquidoseorganizaendoscilindrosorollosgiratorios,queadquierenvelocidadconstante,y el sistemaseasienta enunequilibrio, enunomóvil,porque laenergía térmicaseconvierte sincesarenmovimiento, sedisipa,aconsecuenciadelafricción,encaloryseescapaporlaláminafríasuperior.

Libchaber repitió hasta aquel punto un experimento harto conocido en lamecánicadelosfluidos,tanconocidoquesedesdeñaba.

—Era física clásica—dijoLibchaber—.Loque significaba, por desgracia, queteníamuchosañosyque,porlotanto,nointeresaba.

Dabalacasualidad,alpropiotiempo,dequeeraelmismoflujoqueLorenzhabíamodeladoconsusistemadetresecuaciones.Perounexperimentoprácticoyreal—líquidoverdadero,cajaconstruidaadrede,laboratorioexpuestoalasvibracionesdeltráfico de París— hacía que la tarea de cosechar datos fuese empresamuchomásarduaqueladegenerarsimplescifrasenunordenador.

Los experimentadores como Libchaber empleaban una plumilla trazadora pararegistrar la temperatura, tal como la medía una sonda introducida en la superficiesuperior.Durante elmovimiento equilibrado que sigue a la primera bifurcación, latemperaturapermaneceestable en cualquierpunto—másomenos—,y laplumillamarcaunarecta.Lainestabilidadseacrecienta,siseintensificaelcalor.Cadacilindromuestraun retorcimiento,queseagitaadelanteyatrás.Esavacilaciónuoscilaciónseñala un cambio de temperatura, que sube y baja entre los valores.Y la plumillatrazaenelpapelunalíneasinuosa.

Esunalíneatérmicasencilla,quesemodificacontinuamenteyseestremececonel ruido experimental, resulta imposible leer elmomento exacto en que aparecerán


nuevas bifurcaciones, o deducir su índole. La línea dibuja cumbres y vallescaprichosos,queparecencasi tanfortuitoscomolagráficadelatrayectoriabursátilen período de altibajos. Libchaber analizó aquellos datos convirtiéndolos en undiagrama espectral que revelara las frecuencias principales ocultas en lastemperaturasmutables.Obtenerundiagramaespectraldeunexperimentoseparecealatareadetrazarelgráficodelasfrecuenciasacústicasdeunacordecomplejoenunasinfonía. Una línea irregular de imprecisión recorre siempre la parte inferior delgráfico:elruidooconfusiónexperimental.Lostonosprincipalesaparecencomopúasverticales: cuantomás fuerte el tono, tantomás alta será la púa.Asimismo, si losdatos producen una frecuencia dominante—un ritmo que se destaca una vez cadasegundo, por ejemplo—, esa frecuencia aparecerá como una púa en el diagramaespectral.

Ocurrióque,enelexperimentodeLibchaber,laprimeralongituddeondasurgióalrededor de los dos segundos.La bifurcación siguiente aportó un cambio sutil.Elrollo continuó oscilando y la temperatura bolométrica no modificó su ascenso ydescenso, sometidos a un ritmodominante. Pero, en los ciclos impares, subió algomásqueantes,yenlospares,descendióalgomás.Dehecho,latemperaturamáximase dividió en dos, por lo que hubo dos máximas y dos mínimas. La línea de laplumilla, difícil de interpretar, trazó una oscilación encima de otra: unametaoscilación. Aquello se apreció mejor en el diagrama espectral. La antiguafrecuencia acusó todavía su presencia, pues la temperatura crecía aún cada dossegundos.Sinembargo,unafrecuenciadistintaaparecióexactamenteenlamitaddelaanterior,porqueelsistemahabíadesarrolladouncomponentequeserepetíacadacuatro segundos. Como las bifurcaciones no cesaron, se distinguió una pautaextrañamenteconsistente:lasnuevasfrecuenciasdoblabanlasantiguas,desuertequeeldiagramasellenóenlaspartescuartas,octavasydecimosextas,yfueadquiriendoelaspectodeunavallaenlasquesealternasentablascortasylargas.

Incluso para quien buscaba formas escondidas en datos confusos, fueronnecesariasdecenasy,después,centenaresdepruebasantesdequeseprecisaran loshábitosdelaceldilla.SobreveníancosassingularescuandoLibchaberyelingenieroaumentabandespaciolatemperaturayelsistemapasabadeunequilibrioaotro.Enocasiones, comparecían frecuencias transitorias, se deslizaban lentamente por eldiagrama espectral y desaparecían. En otras, pese a la geometría definida, sedesarrollaban tres rollos en lugar de dos. Por consiguiente, ¿cómo sabrían lo quepasabaenrealidadenelinteriordelaceldilla?


E.Brotman/AdolphPredragCvitanović

DOSMODOSDEVERUNABIFURCACIÓN.CuandounexperimentocomoeldeLibchabercon laceldadeconvecciónproduceunaoscilaciónuniforme,laimagendesuespaciodefasesesunacurva,queserepiteaintervalosregulares(arriba,izquierda).Elexperimentadorquemidalasfrecuenciasenlosdatosobtendráun diagrama espectral con una púa acusada para este ritmo único. Después de una bifurcación deduplicación de período, el sistema describe dos curvas antes de repetirse de modo exacto (centro).Entonceselexperimentadorobservaunnuevoritmodelamitaddelafrecuencia—dosveceselperíodo—deloriginal.Lasnuevasduplicacionesdeperíodollenaneldiagramaespectralconmáspúas.


AlbertLibchaber

LOSDATOSDELMUNDOREALCONFIRMANLATEORÍA.LosdiagramasespectralesdeLibchabermostraronla pauta precisa de la duplicación de período que la teoría había pronosticado. Las púas de las nuevasfrecuenciassedestacanconclaridadsobreelruidoexperimental.LateoríaescalardeFeigenbaumpredijonosólocuándoydóndesurgiríanlasnuevasfrecuencias,sinotambiénsufuerza,oseasuamplitud.


Elexperimentosejuntaalateoría

Si hubiera estado enterado del descubrimiento de la universalidad, debido aFeigenbaum, Libchaber habría sabido dónde buscar las bifurcaciones y cómodenominarlas. En 1979, un grupo cada vez más nutrido de matemáticos y físicosaficionados a las ciencias exactasprestabaoídoa la teoríadeFeigenbaum.Pero lamayoría de los expertos en problemas de los sistemas físicos reales creían tenerbuenos motivos para mostrarse reservados. Una cosa era la complejidad en lossistemas unidimensionales, losmapas o diagramas deMay y Feigenbaum. Y algobastantediferenteenlosdedos,tresocuatrodimensionesqueuningenieroconstruía.Precisaban verdaderas ecuaciones diferenciales y no sencillas ecuaciones endiferencias.Yotroabismoparecíasepararlossistemasdeescasasdimensionesdelosdelflujofluido,quelosfísicosconcebíancomodotadospotencialmentedeinfinitasdimensiones. Incluso una celdilla como la de Libchaber, estructurada con tantoesmero,poseíaunavirtualinfinidaddepartículasfluidas,cadaunadelascualeseraun potencial de movimiento independiente. En algunas circunstancias, cualquierapodíaoriginarunadesviaciónountorbellino.

—Laideadequeelmovimiento,materialeimportante,desemejantesistemasecondensa enmapas…, era algoquenadie entendía—dijoFierreHohenbergde losAT&TBellLaboratoriesdeNuevaJersey,unodelosescasísimosfísicosquesiguiólateoría y los experimentos nuevos—. Quizá Feigenbaum pensó en ello, pero no loexpresó.Suobraconcerníaadiagramasomapas.¿Yporquéunfísicoseinteresaríaen ellos?…Es un juego.Ciertamente,mientras jugaron con ellos, nos pareció quedistabanmuchodeloqueansiábamosentender.Perocuandosevioenexperimentos,fue algo emocionante. Lo prodigioso es que, en los sistemas interesantes, se logracomprenderendetalleelcomportamientoconunmodeloqueposeaescasosgradosdelibertad.

Hohenberg,alfin,unióalteóricoyelexperimentador.DirigíauntallerenAspenenelveranode1979,yLibchaberestuvoenél.(Cuatroañosantes,enelmismotallerestival,FeigenbaumhabíaoídohablaraSteveSmaledeunnúmero—unosolo—quesaltaba si un matemático contemplaba la transición al caos en cierta ecuación).Hohenberg escuchó interesado cuando Libchaber describió sus experimentos conhelio líquido. En el viaje de regreso, Hohenberg se detuvo en Nuevo México yconversóconFeigenbaum.Éste,pocotiempodespués,visitóaLibchaberenParís.Seencontraron rodeados de las partes diseminadas de aparatos y los instrumentos dellaboratorio del francés. Libchaber mostró con orgullo su celdilla y permitió queFeigenbaum expusiera su teoría más reciente. Después anduvieron por las callesparisiensesenbuscadelmejorcaféposible.Libchaberrecordómástardecuálfuesuasombroalencontraraunteóricotanjoveny,comoledefinió,tanavispado.


Deunadimensiónamuchísimas

Elbrincodelosdiagramasalacorrientefluidaparecíatanenorme,queaunlosmásbien dispuestos lo definían en ocasiones como un sueño.No se concebía cómo lanaturalezaenlazabatantacomplejidadcontantasencillez.

—Habíaqueconsiderarlocomounmilagro,ynocomoelnexohabitualentrelateoríayelexperimento—dijoJerryGollub.

Al cabo de pocos años, el milagro se reiteró en un amplio bestiario deexperimentos de laboratorio: celdas más grandes de fluido con agua y mercurio,osciladores electrónicos, lásersyhasta reaccionesquímicas.Los teóricos adaptaronlastécnicasdeFeigenbaumydieronconotrasrutasmatemáticasquellevaronalcaos,parientes de la duplicación de período: pautas tales como la intermitencia y lacuasiperiodicidad. Evidenciaron que eran también universales en la teoría y laexperimentación.

Losdescubrimientosdelosexperimentadorescontribuyeronapromoverlaeradelas pruebas prácticas con ordenadores. Los físicos repararon en que producían lasmismas imágenescualitativasque losexperimentos realesyque lohacían,además,conrapidezmillonesdevecesmásgrandeyconmayorfiabilidad.ParamuchosfuemásconvincenteinclusoquelosresultadosdeLibchaberelmodelodefluidocreadoporValterFranceschini, de laUniversidaddeMódena (Italia): un sistemade cincoecuaciones diferenciales, que producía atractores y duplicación de período.Franceschini no sabía una palabra de Feigenbaum, pero su modelo, complejo ypluridimensional,proporcionaba lasmismasconstantesqueelestadounidensehabíaencontradoenlosdiagramasunidimensionales.Ungrupoeuropeoofreció,en1980,unaconvincenteexplicaciónmatemática: ladeque ladisipacióndepuraunsistemacomplejodemuchosmovimientosconflictivos,locualreduceelcomportamientodemuchasdimensionesaunasola.

Fuera de los ordenadores, seguía siendo un verdadero desafío encontrar unatractor extraño en un experimento con fluidos. Ocupó a experimentadores de lacategoría de Harry Swinney hasta bien entrado el decenio de 1980. Y cuandotuvieron,alfin,éxito,losnuevosexpertosenordenadoresserefirieroncondesprecioasusresultadoscomolosecos,toscosypredecibles,delasimágenesmagníficamentedetalladas que ya producían sus terminales gráficos. En el experimento conordenador,enelquesegenerabanmillaresomillonesdepuntosdedatos,laspautasse hacían más o menos aparentes. En el laboratorio, como en el mundo real, lainformaciónútilteníaquediscriminarsedeloquenoloera.Enunexperimentoconordenadorlosdatosmanabancomovinodeunacopamágica.Enunoefectuadoenellaboratorio,habíaquelucharporcadagota.


Peseaello,lasteoríasdeFeigenbaumyotrosnohabríanatraídoacomunidadtanamplia de científicos sólo con el imán de experimentos con ordenador. Lasmodificaciones,compromisosyaproximacionesnecesariosparadigitalizar sistemasde ecuaciones diferenciales no lineales resultaban demasiado sospechosos. Lasimulación descomponía la realidad en lamayor cantidad posible de pedazos, quesiempre eran pocos.Unmodelo de ordenador es un conjunto de reglas arbitrarias,elegidas por los programadores. Un fluido verdadero, incluso en una celdillamilimétrica,poseeelinnegablepotencialdelmovimiento,libredetrabas,eldesordennatural.Tambiénencierrasorpresasenpotencia.

Enlaedaddelasimulación,enqueflujosdetodaespecie,desdelasturbinasdeunavióndepropulsiónachorroalasválvulascardíacas,sonsusceptiblesdeaparecercomomodelos en los superordenadores, apenas se recuerda la facilidad conque lanaturaleza puede confundir al experimentador. Ningún programa actual consiguesimular siquiera un sistema tan sencillo como la celdilla de helio líquido deLibchaber. En cuantas ocasiones examina una simulación, un buen físico debepreguntarsequépartedelarealidadsehabráolvidado,quéposibilidaddesorpresasedejódelado.Libchabersecomplacíaenrepetirquenolegustaríavolarenunaviónsimulado,pueslepreocuparíala ideadequésehabríaomitido.Además, insistíaenquelassimulacionesdeordenador,sicontribuíanaconstruirlaintuiciónoarefinarloscálculos,nogenerabandescubrimientosgenuinos.Tales,almenos,elcredodelexperimentador.

HubofísicosqueconsideraroneltrabajodeLibchabermáscomofilosofíaocomomatemáticasquecomofísica,debidoasuexperimentoinmaculadoyaloabstractodesusmetascientíficas.Porsuparte,élestabaconvencidodequelasnormasqueregíansuactividaderanreduccionistas,puesdabanlaprimacíaalaspropiedadesatómicas.

—Unfísicomepreguntará:«¿Cómollegaesteátomoaquíyaquípermanece?¿Ycuáleslasensibilidadparalasuperficie?¿Puedeusteddesarrollarlahamiltonianadelsistema?».Y si le respondo que eso nome importa, pues estoy interesado en estaforma,ensusmatemáticasyevolución,enlabifurcacióndelaformaenotra,yéstaen otra, etc.,me asegurará que eso no es física, sino ciencias exactas.Me lo diríaincluso hoy día. ¿Qué contestaré? Sí, desde luego, hago matemáticas. Pero espertinentealoquenosrodea.Estambiénnaturaleza.

Laspautasquedescubrióeranabstractas.Matemáticas.Noexpresaronnadasobrelaspropiedadesdelheliolíquido,oelcobre,oelcomportamientodelosátomosenlas inmediaciones del cero absoluto. Eran aquellas en que habían soñado losantepasadosmísticosdeLibchaber.Legitimaronuncampodelaexperimentaciónqueprontomuchoscientíficos,desdelosquímicosalosingenieroseléctricos,exploraronen busca de nuevos elementos del movimiento. Las pautas quedaron expuestas laprimeravezque aumentó la temperatura lo bastante para aislar unaduplicaciónde


período,yluegolasiguiente,ylasiguiente.Segúnlanuevateoría,lasbifurcacionesdebíanproducirunageometríadeescalasprecisas.EsofueloqueLibchabervio,lasconstantesuniversalesdeFeigenbaum,queseconvertíanenaquelmomentodeidealmatemático en realidad física, mensurable y reproducible. Mucho tiempo despuésrecordólaimpresiónsentida,lafantásticacontemplacióndeunabifurcacióntrasotra,yhabercomprendidoquepresenciabaunacascadainfinita,ricaenestructuras.Fue,comodijo,divertido.



8IMÁGENESDELCAOS

Quémás,cuandoelcaosabsorbetodaslasfuerzasParaformarunasolahoja.CONRADAIKEN


Elplanocomplejo

MichaelBarnsleyconocióen1979aMitchellFeigenbaumenCórcega,duranteunaconferencia.EntoncesBarnsley,matemático educado enOxford, tuvo noticia de launiversalidad,laduplicacióndeperíodoylascascadasinfinitasdebifurcaciones.Unabuena idea, pensó, de esas que disparan a los científicos a la carrera en busca deparcelasexplotables.Enloqueleconcernía,élcreyóverunaenlaquenadiehabíareparado.

¿De dónde procedían los ciclos de 2, 4, 8, 16, las secuencias de Feigenbaum?¿Apareceríanporartedeensalmodealgúnvacíomatemáticooeranlaobradealgotodavíamásrecóndito?LaintuiciónsusurróaBarnsleyquedebíandeserpartedeunfabulosoobjetofractal,invisiblehastaentonces.

Paraaquellanoción teníauncontexto:el territorionuméricodenominadoplanocomplejo. En él, los números desdemenos infinito a infinito—esto es, todos losreales— se disponen en una línea que va desde el extremo este, con el cero en elcentro.Masesalíneaessóloelecuadordeunmundoqueseextiendetambiénhastaloinfinitoporelnorteyporelsur.Cadanúmerosecomponededospartes,unareal,correspondientealalongitudeste-oeste,yotraimaginaria,ladelalatitudnorte-sur.Porconvención,estosnúmeroscomplejosseexpresanasí:2+3i,dondeirepresentalaporción imaginaria.Lasdospartesproporcionana cadauno señasúnicas en eseplanobidimensional.Porlotanto, la líneaoriginaldelosnúmerosrealesnoesmásqueuncasoespecial,laseriedenúmeroscuyaporciónimaginariaesigualacero.Enelplanocomplejo,atenderúnicamentealosnúmerosreales—puntosenelecuador—equivaldría a limitar la visión a alguna que otra intersección de formas, las cualespodríanrevelarotrossecretos,siseconsiderabanendosdimensiones.TalfueloqueBarnsleysospechó.

Los epítetos real e imaginario se originaron cuando los números ordinariosparecíanmásauténticosqueaquelnuevohíbrido;perosereconociósuarbitrariedad,porque eran tan reales y tan imaginarios como los de cualquier otra clase.Históricamente, los imaginarios se inventaron para llenar el vacío conceptual quesuscitabalapregunta:¿Cuáleslaraízcuadradadeunnúmeronegativo?Conformeareglacomúnmenteaceptada,elcuadradode−1esi,elde−4es2i,etc.Faltabadarunpasocortoparacomprenderquelascombinacionesdenúmerosrealeseimaginariospermitían clases nuevas de cálculo con ecuaciones polinómicas. Los númeroscomplejos se suman,multiplican, promedian, utilizan como factores y se integran.Con ellos se efectúan los mismos cálculos que con los reales. Barnsley, cuandotrasladólasfuncionesdeFeigenbaumalplanocomplejo,viosurgirlosperfilesdeunafantásticafamiliadeformas,enaparienciarelacionadasconlasideasdinámicasque


intrigaban a los físicos experimentales, y, al mismo tiempo, sorprendentes comoconstruccionesmatemáticas.

Comprendióqueaquellosciclosnosurgíande lanada.Caíandentrode la línearealdelplanocomplejo,enelquehay,bienobservado,unaconstelacióndeciclosdetodaespecie.Habíasiempreunodedos,detresydecuatro,flotandoinvisibleshastaque llegabana la líneareal.BarnsleyseprecipitódesdeCórcegaasudespachodelGeorgiaInstituteofTechnologyyredactóunartículo.LoremitióparasupublicaciónalasCommunicationsinMathematicalPhysics.SueditoreraDavidRuelle,quienlereservabamalas noticias.Barnsley había redescubierto sin saberlo el trabajo de unmatemáticofrancés,elcualyateníacincuentaañosdeedad.

—Ruellemelodevolviócomosifueseunapatatacalienteymedijo:«Michael,nosonmásqueconjuntosdeJulia»—explicóBarnsley.

Ruelleagregóunconsejo:—ComuníqueseconMandelbrot.


SorpresaenelmétododeNewton

John Hubbard, matemático estadounidense aficionado a las camisas llamativas,habíaenseñadotresañosantescálculoelementalalosestudiantesuniversitariosdelprimer curso en Orsay (Francia). Entre las materias corrientes que había expuestofiguróelmétododeNewton,esquemaclásicopararesolverecuacionespormediodetanteos cada vez más aproximados a la realidad. Sin embargo, aburrido de locorriente,decidióenseñarelprocedimientonewtonianodemaneraqueobligaseasusalumnosapensar.

El método citado es antiguo (lo era cuando Newton lo inventó). Los griegosusaronunaversióndeélparaencontrarraícescuadradas.Seiniciaconunaconjetura,éstaconduceaotramejor,yelprocesodeiteraciónseenfocaenunarespuestacomoun sistema dinámico que busque el estado estable. El procedimiento es rápido. Lacantidaddedígitosdecimalescorrectossueledoblarseencadapaso.Hoydía,desdeluego,lasraícescuadradassucumbenamétodosmásanalíticos,lomismoquetodaslasecuacionespolinómicasdesegundogrado,oseaenaquellasquelasvariablesseelevansóloa lasegundapotencia.PeroelmétododeNewtontambiénseutilizaenecuacionespolinómicasdegradosuperior,quenopuedenresolversedirectamente.Seaplicatambiénconéxitoenunavariedaddealgoritmoseninformática,porque,comosiempre, la iteraciónes la fuerzade losordenadores.Unapequeñacontrariedaddelmétodo newtoniano es que las ecuaciones acostumbran tenermás de una solución,particularmentecuandoseincluyenlascomplejas.Cuáldeellasseencuentradependedel supuesto inicial.En lapráctica, los estudiantesno lo consideranunadificultad.Por logeneral,se tieneuna ideaclaradedóndesehadeempezar,ysi laconjeturaparecellevaraunasoluciónerrónea,secomienzalaoperacióndeotromodo.

CabíapreguntarsequéclaseexactaderutatrazaelmétododeNewtoncuandoseencamina hacia una raíz de un polinomio de segundo grado en el plano complejo.Podíacontestarse,pensandogeométricamente,queelprocedimientosólobuscacuálde lasdosraícesestámáspróximaa laconjetura inicial.Así lodijoHubbardasusalumnosdeOrsayciertodíaenquesurgiólacuestión.

—Ahorabien, en lo referentea lasecuaciones,porejemplo,de tercergrado, lasituación se complica.Pensaré sobre elloy se lo explicaré la semanaqueviene—prometióHubbardconacentodeconfianza.

Estaba persuadido de que lo difícil sería enseñar a los estudiantes a calcular laiteración, y de que la conjetura no exigiría grandes esfuerzos. Pero cuanto másreflexionómenossupoquéconstituíaunaconjeturainteligente,o,loqueveníaaserlomismo,qué efectuaba elmétododeNewton.La suposicióngeométrica evidenteconsistía endividir el plano en tres cuñas, conuna raíz en el interior de cadauna;


peroHubbarddescubrióqueaquellonoservía.Sucedíancosasextrañascercadeloslímites. Encima, Hubbard averiguó que no era el primer matemático que daba decabezacondificultadtansorprendente.LordArthurCayleyhabíaintentado,en1879,irdelmanejablecasodesegundogradoaltercero,pavorosamenteingobernable.PeroHubbard,unsiglodespués,teníaamanouninstrumentodelqueCayleycareció.

Hubbard pertenecía al género de matemático riguroso que desprecia lossupuestos,aproximacionesymediasverdades,basadosmásenlaintuiciónqueenlaspruebas.Deacuerdoconello,insistía,alosveinteañosdequeeldeEdwardLorenzse hubiese incorporado a la bibliografía, que nadie sabía de veras si aquellasecuacionesdabanorigenaunatractorextraño.Laconocidaespiraldoble,aseveró,noerademostración,sinomeroindicio,algoqueproducíanlosordenadores.

A despecho de ello, Hubbard empleó uno para efectuar lo que las técnicasortodoxasnohabíanhecho.Elordenadornoprobaríanada.Peroquizádesvelasealmenoslaverdad,paraqueunmatemáticosupieraquédebíaintentardemostrar.Tratóel método de Newton no como un medio de solventar problemas, sino como unproblemaensímismo.Consideróelejemplomássimpledeunaecuaciónpolinómicade tercergrado:x3 − 1= 0.Es decir, había que hallar el cubo de 1.Con númerosreales,setiene,desdeluego,lasoluciónvulgar:1.Sinembargo,elpolinomioposeeotras dos complejas: −1/2 + i√−3/2 y −1/2 − i√−3/2. Trasladadas al planocomplejo,lastresraícesformanuntriánguloequilátero,conunpunto—pensandoenunreloj—enlastres,otroenlassieteyotroenlasonce.Dadounnúmerocomplejocomolugardepartida,lacuestióneraaveriguaracuáldelastressolucionesllevaríael procedimiento newtoniano, como si éste fuese un sistema dinámico y las tressolucionesotrostantosatractores.Ocomosielplanocomplejofueraunasuperficielisaqueseinclinaseatresvalleshondos.Unacanica,partiendodecualquiersituacióndeaquellapendiente,caeríaenunvalle.Pero¿encuál?


Heinz-OttoPeitgen,PeterH.Richter

LÍMITESDECOMPLEJIDADINFINITA.Cuandosecortaentresunatarta,lastrespartescoincidenenunsolopunto,yloslímitesentredosdeellassonsencillos.Peromuchosprocesosdematemáticasabstractasydelafísicadelmundorealcreanlímitesdecomplicacióncasiinimaginable.

El método de Newton, aplicado para hallar la raíz cúbica de −1, divide el plano en tres regionesidénticas,unadelascualessemuestraenblanco.Todoslospuntosdeestecolorsesienten«atraídos»porlaraízquesehallaeneláreablancamásgrande; todoslosnegrossonatraídosporunadelasotrasdosraíces.Ellímitetienelacuriosapropiedaddequecadaunodesuspuntosbordealastresregiones.Y,comose aprecia en la ilustración, los segmentos ampliados revelan una estructura fractal, que repite la pautabásicaaescalascadavezmásreducidas.

Hubbard explorómuchos de los puntos infinitos que componen el plano.Hizoqueelordenadorfueradeunoaotro,calculandoelflujodelmétododeNewtonparacadauno,yloscoloreó.Lospuntosdepartidaquellevabanaunasoluciónrecibieronelcolorazul;losquellevabanaotra,elencarnado,ylosquellevabanaunatercera,elverde. En la aproximación más elemental, averiguó que la dinámica delprocedimientodeNewtondividía,ciertamente,elplanoentrescuñas.Porlocomún,los puntos cercanos a determinada solución conducían rápidamente a ella. Pero laexploración sistemática con ordenador evidenció una complicada organizaciónsubyacente,quejamáslosmatemáticosanteriores,capacessólodecalcularunpuntoacáyotroallá,habríanvisto.Siunasconjeturas inicialesconvergíanenseguidaenunaraíz,otrassemovíanenaparienciaalazarantesdeconvergerenunasolución.En


ocasiones,parecíaqueunpuntoincidiríaenuncicloqueserepetiríasintregua—unoperiódico—ysinllegarnuncaaunresultado.

Cuandoobligaronalordenadoraexplorarelespaciocadavezconmayordetalle,Hubbardysusalumnossedesconcertaronante la imagenquese insinuaba.Vieron,porejemplo,manchasverdesensartadascomojoyas,enlugardeunacrestadefinidaentre los valles azul y encarnado, como si la canica, apresada en las atraccionescontrapuestas de los dos valles cercanos, hubiese de acabar en el tercero y másdistante.Jamásseformódeltodounlímiteentreunpardecolores.Unainspecciónaúnmásatentahallómanchasencarnadasenlalíneaquehabíaentreunaverdeyelvalle azul. Y así sucesivamente. El límite enseñó a Hubbard una característicapeculiar,quehabríaazoradoinclusoaalguienduchoenlosfractalesmonstruososdeMandelbrot:ningún punto servía de separación de dos colores solos.Cuando éstosintentabanjuntarse,elterceroseentremetíasiempreconseriesdeintrusionesnuevasy autosemejantes. Inverosímilmente, cada punto limítrofe bordeaba una región decadaunodelostrescolores.

Hubbardseembarcóenelestudiodeaquellasformascomplicadasyloquepodíainferirse de ellas para las matemáticas. Su trabajo y el de sus colegas pronto seconvirtieron en nueva línea de ataque en el problema de los sistemas dinámicos.ComprendióquelaplasmacióndeldiagramadelmétododeNewtonnoerasinounade la familia inexplorada de imágenes que reflejaban el comportamiento de lasfuerzas en el mundo real. Michael Barnsley buscaba otros parientes. BenoîtMandelbrot,comonotardaronensaberambosinvestigadores,estabadescubriendoelabuelitodetodasaquellasformas.


LOSLÍMITESCOMPLICADOSDELMÉTODODENEWTON.Lafuerzadeatraccióndecuatropuntos—enloscuatroagujerosnegros—crea«cuencasdeatracción»,cadaunadecolordistinto,conuncomplejolímitefractal. La imagen representa el modo como elmétodo deNewton, para resolver ecuaciones, lleva depuntosinicialesdiferentesaunadecuatrosolucionesposibles(enestecasolaecuaciónesx4−1=0).


ElconjuntodeMandelbrot:brotesyzarcillos

Sus admiradores se complacen en asegurar que el conjunto deMandelbrot es elobjetomáscomplicadodelascienciasexactas.Laeternidadnobastaríaparaverlodemaneratotal:susdiscos,erizadosdepúasespinosas,ysusespiralesyfilamentos,queseencorvanalexterioryseensortijan,soportandomoléculasbulbosasquecuelgan,infinitamente abigarradas, como racimosdel viñedoparticular deDios.Examinadoencolor,atravésdelaventanillaajustabledelapantalladeunordenador,elconjuntodeMandelbrotparecemásfractalquelosfractales,acausadesuricacomplicaciónalolargodelasescalas.Exigiríaunainfinidaddeinformaciónelintentodecatalogarlasimágenesdiferentesquecontiene,oeldeestablecerunadescripciónnuméricadesuperfil.Peroheaquílaparadoja:paraenviarunadescripcióntotaldelconjuntoporuna líneade transmisión, senecesitansólopocasdocenasdecaracteresdelcódigo.Unprogramaconcisodeordenadorposeelainformaciónsuficienteparareproducirloporcompleto.Losprimerosenentendercómosemezclabanenél locomplejoy losimple fueron cogidos desapercibidos, incluidoMandelbrot. El conjunto de éste setransformó en una especie de emblema público del caos, apareció en las satinadasportadasdelosfolletosdeconferenciasyderevistastrimestralesdeingeniería,yfuela pieza más importante de una exposición de arte informático que recorrió lasnacionesen1985y1986.Secaptabaconfacilidadsubellezaenaquellasimágenes;en cambio, costómuchomás captar su significado a losmatemáticos, que lo ibancomprendiendopasoporpaso.

Pueden formarse muchas figuras en el plano complejo con procedimientositerativos,peroelconjuntodeMandelbrotesúnico.Surgióvago,espectral,cuandosudescubridor se propuso establecer una generalización sobre las formas llamadasconjuntosdeJulia.Los inventaronyestudiaron,durante laprimeraguerramundial,los matemáticos franceses Gaston Julia y Pierre Fatou, que trabajaron sin lasimágenesqueahoraproporcionaelordenador.Mandelbrothabíavistosusmodestosdibujos y su obra —ya caída en la oscuridad— a la edad de veinte años. Losconjuntos de Julia, de aspecto variable, eran los objetos que intrigaban aBarnsley.Algunos parecen círculos, pinchados y deformados en muchos sitios, paraproporcionarles estructura fractal.Otros se rompen en regiones y otros son polvosirrelacionados. Los vocablos y conceptos de la geometría euclídea no servían paradescribirlos. Elmatemático francésAdrienDouady dijo: «Se obtiene una variedadincreíbledeconjuntosdeJulia.Unossoncomonubesgordezuelas,otroscomozarzasarmentosayotroscomochispasqueflotanenelaire,traselestallidodeunfuegodeartificio.Unoostentalafiguradeconejo,ymuchosposeencolasdecaballodemar».

Mandelbrot descubrió, en 1979, que podía crear, en el plano complejo, una


imagenútilcomocatálogodelosconjuntosdeJulia,comoguíadetodosycadauno.Exploró la iteración de procesos complicados, ecuaciones que incluían raícescuadradas, senos y cosenos. Como había edificado su vida intelectual sobre lahipótesisdequelosencilloengendralocomplejo,noadvirtió inmediatamentecuánextraordinarioeraelobjetoquesecerníafueradelcampovisualdelapantalladesuordenadorenlaIBMyenHarvard.Apretósinpiedadalosprogramadoresparaqueprecisaran los detalles, y ellos sudaron sangre para reservar en la memoria, yaforzada,espacioparainterpolarpuntosdeunordenadorIBMprincipal,conuntuboelementalderepresentaciónvisualenblancoynegro.Lasituaciónempeoróporquelosprogramadoresdebieronestarconstantementealertaparahacerfrenteaunescollocomúnen la exploración conordenador, laproducciónde«artefactos», aparicionesdebidassóloaunararezade lamáquinayquedesaparecíancuandoelprogramaseescribíademododistinto.

Heinz-OttoPeitgen,PeterH.Richter

COLECCIÓNDECONJUNTOSDEJULIA.

Acontinuación,Mandelbrot se concentró en la confección de un diagramaquepodíaprogramarsesinesfuerzo.Aparecieronlosprimeroscontornosdediscosenunacuadrícula tosca, con un programa que repetía pocas veces el bucle derealimentación.Unoscuantoscálculosconlápizypapelevidenciaronquelosdiscoseranmatemáticamentereales,ynofrutodeuncaprichoenlacomputación.Surgieronindicios de otras figuras a la derecha y la izquierda de los discos principales. Sumenteviomás,dijoMandelbrotmás tarde:una jerarquíade formas, átomosde losquebrotabanotrosmáspequeñosadinfinitum.Ydondeelconjuntocortabalalíneareal, sus discos, cadavezmásdiminutos, descendían la escala conuna regularidad


geométricaquehabríanreconocidolosespecialistasendinámica:lasecuenciadelasbifurcacionesdeFeigenbaum.

Aquello le animó a seguir adelante, refinando las imágenes burdas. Prontoencontró polvo que desordenaba el perfil de los discos y se cernía en el espaciocircunstante.Mientras procuraba refinar los detalles, pensó que la buena suerte lehabía abandonado.Las imágenes se hicieronmás confusas en lugar demás claras.Regresó al centro de investigaciones de la IBM, en el condado deWestchester, enbusca de una potencia de ordenador con la que Harvard no podía rivalizar. Leasombrócomprobarquelaconfusiónerasíntomadealgoreal.Losbrotesyzarcillossalíanlánguidamentedelaislaprincipal.Contemplócómounlímite,continuoatodasluces, se transformabaenunacadenadeespirales semejantesacolasdecaballodemar.Loirracionalfecundabaloracional.

El conjunto deMandelbrot es una colección de puntos. Cada uno, en el planocomplejo—osea cadanúmerocomplejo—,está enel conjuntoo fuerade él.Unamaneradedefinirloconsisteenexaminarlospuntosunotrasotro,loquesóloexigeunasencillaaritméticaiterativa.Paraefectuarlosetomaelnúmerocomplejo;seelevaal cuadrado; se suma el número original; se obtiene el cuadrado del resultado; sesumaelnúmerooriginal;seobtieneelcuadradodelresultado,yasíenadelante.Sieltotaltiendealinfinito,elpuntonoestáenelconjuntodeMandelbrot.Sehallaenélsiel total se atienea lo finito (pudiera estar enunacurvacerrada, repetitiva,ovagarcaóticamente).


APARECEELCONJUNTODEMANDELBROT.EnlasprimerasytoscasimpresionesdeordenadorqueobtuvoMandelbrot, apareció una estructura imperfecta, que se fue detallando así quemejoró la calidad de lacomputación.¿Eranislasaisladaslas«moléculas»flotantessemejantesapulgones?¿Oestabanunidasalcuerpoprincipalconfilamentostansutilesquenopodíanobservarse?Fueimposibleprecisarlo.



Larepeticiónindefinidadeunprocesoylapreguntadesielresultadoesinfinitoseparecea losprocesosde realimentacióndelmundocotidiano.Supóngaseque semontanunmicrófono, amplificador y altavoces enun auditorio, y quepreocupa elagudopitidodelarealimentaciónacústica.Sielmicrófonorecogeunruidobastantefuerte, el sonido ampliado de los altavoces volverá al micrófono en un bucleinterminable, cadavezmás intenso.Si es bastante reducido, el ruido acabará en lanada. Para hacer con números elmodelo de este proceso de realimentación, puedeadoptarseunodepartida,multiplicarlopor símismo,multiplicarelproductopor símismo, etc. Se comprobará que las cifras grandes conducen inmediatamente alinfinito: 10, 100, 10.000…Pero las pequeñas llevan a cero: 1/2, 1/4, 1/16…Paracrearunafigurageométrica,sedefineunacoleccióndecuantospuntos,introducidosenestaecuación,quenoseescapanhaciael infinito.Considérenselosdeunarectadesdeelceroenadelante,haciaarriba.Siunpuntoemiteunpitidoderealimentación,déselecolorblanco.Delocontrario,elcolorseránegro.Nosetardaráentenerunafiguraqueconsisteenunalíneanegrade0a1.

Nadie necesitaba recurrir a la experimentación en el caso de un procesounidimensional.Nocuestacomprenderque losnúmerosmayoresqueuno llevanal


infinitoyqueelrestonolohace.Pero,enlasdosdimensionesdelplanocomplejo,nosuele bastar, conociendo la ecuación, la deducción de una forma definida por unproceso iterativo. El conjunto deMandelbrot no admite atajos, a diferencia de lasfiguras geométricas tradicionales, como las circunferencias, elipses y parábolas. Elúnicométododesaberquéclasedefiguracorrespondeaunaecuacióndeterminadaesprocederpor tanteo,y esteprocedimientopusoa los exploradoresdeaquel terrenoignoradomáscercaespiritualmentedeMagallanesquedeEuclides.

Launióndelmundodelasformasconeldelosnúmeros,asírealizada,representóunarupturaconelpasado.Lasnuevasgeometríasnacensiemprequealguiencambiaunareglabásica.Supongamosqueelespacioescurvoenlugardeplano,proponeungeómetra,yelresultadoseráunafantásticaparodiacurvadeEuclidesqueofreceelmarco preciso para la teoría general de la relatividad. Supongamos que el espaciotiene cuatro dimensiones, o cinco, o seis. Supongamos que el número que expresauna dimensión sea una fracción. Supongamos que las figuras pueden retorcerse,estirarse, anudarse. O, ahora, supongamos que las formas se definen iterando unaecuaciónenunbuclederealimentación,ynoresolviéndolaunasolavez.

Julia,Fatou,Hubbard,BarnsleyyMandelbrot…Estosmatemáticosmodificaronlas reglas sobre la confección de las figuras geométricas. Losmétodos euclídeo ycartesiano para convertir ecuaciones en curvas son conocidos por quien hayaestudiadogeometríaenlasegundaenseñanza,oencontradounsitioenunmapapormediodedoscoordenadas.Lageometríaclásica,anteunaecuación,buscalaseriedenúmerosque la satisfagan. Las soluciones de una como x2 +y2 = 1 producen unafigura que, en este caso, es una circunferencia. Otras sencillas motivan figurasdistintas, las elipses, parábolas e hipérbolas de secciones cónicas, o las máscomplicadasdebidasaecuacionesdiferencialesenelespaciodefases.Perocuandoelgeómetralaitera,envezderesolverla,laecuaciónsetransformaenunproceso—ynoenunadescripción—,dinámicoenlugardeestático.Sientraunnúmeroenella,otrosale,yaquélpermanece,etc.Lospuntossaltandeunsitioaotro.Unpuntosemarca cuando causa cierta clase de comportamiento, pero no cuando satisface laecuación.Comocomportamientosexistenel estadoestable, la convergenciadeunarepeticiónperiódicade los estadosy la carreradesenfrenada, incontenible,hacia elinfinito.

En laeraprecedentea losordenadores,hasta JuliayFatou,quecomprendieronlas posibilidades de la nueva creación de imágenes, carecieron de losmedios paratransformarla en ciencia. Los ordenadores posibilitaron la geometría de tanteo.Hubbard analizó elmétododeNewton, calculando el comportamientodeunpuntotrasotro,yMandelbrotencontrósuconjuntode lamismaguisa,oseamedianteunordenadorquerecorriera,unotrasotro,lospuntosdelplano.Notodos,claroestá.Loscálculos recurrieron a una rejilla de puntos, pues tanto el tiempo como los


ordenadores son finitos.Una rejillamás fina rinde una imagenmás precisa,mas acostadeoperacionesmáslargas.LoscálculossobreelconjuntodeMandelbroteransencillos,porqueelprocesotambiénloera:laiteraciónenelplanocomplejodez→z2+c.Tómeseunnúmero,multiplíqueseporélmismoysúmeseelnúmeroinicial.

Asíquesehabituóalaactividaddeexplorarlasfigurasconordenador,Hubbardintrodujo un estilo matemático innovador, aplicando los métodos del análisiscombinatorio, sección de las matemáticas que no se había utilizado aún en lossistemas dinámicos. Pensó que todo se unía. Disciplinas separadas de las cienciasexactasse juntabanenunaencrucijada.Sabíaqueno lebastaríaver el conjuntodeMandelbrot;nosedaríaporvencidohastaqueloentendiera,y,alfin,aseveróquelohabíalogrado.

Si el límite era sólo fractal, en el sentido de losmonstruos deMandelbrot, decomienzosdesiglo,unaimagensepareceríamásomenosalaanterior.Elprincipiode la autosemejanza a escalas distintas permitiría predecir lo que el microscopioelectrónicoveríaenelsiguienteniveldeampliación.Encambio,cadaincursiónmásprofundaenelconjuntodabasorpresas.Mandelbrotsepreocupóporquehabíadadouna definición demasiado reducida de fractal; ansiaba que el vocablo abarcaratambién aquel objeto. Con la ampliación necesaria, se apreció que el conjuntocontenía torpes copias de símismo, cosasminúsculas, parecidas a bichitos, que seseparaban del cuerpo principal. La ampliación aún mayor mostró que ninguna deaquellasmoléculaseraigualalasdemás.Habíasiempreclasesdiversasdecaballosdemar,especiesdistintasdeindividuosrizosos.Ensuma,ningunapartedelconjuntoeraidéntica,fuesecualfuerelaampliación.

El descubrimiento de moléculas flotantes suscitó un problema inmediato. ¿SecomponíaelconjuntodeMandelbrotdeuncontinenteconpenínsulasmuyalargadas?¿Oerapolvo,uncuerpoprincipal rodeadode islasdiminutas?Noestabaclaro.Denada servía el conocimiento de los conjuntos de Julia, que tenían ambasmanifestaciones: figuras enteras y polvos, según los casos. Los últimos, por serfractales,tienenlacaracterísticapeculiardequenohayenellosdospartes«juntas»—cada porción está separada de las restantes por una región vacía—; pero ningúnfragmento está «solo»: uno siempre se halla arbitrariamente cerca de un grupo deellos. Mandelbrot, al observar las imágenes, comprendió que el experimento conordenadornodespejabaaquellacuestiónfundamental.Seconcentrósobretodoenlasmotasquerevoloteabanentornodelcuerpoprincipal.Unasdesaparecieron,yotrassetrocaron casi en claras réplicas de ellas. Parecían independientes, pero acasoestuviesen enlazadas por líneas tan finas que continuaban burlando la rejilla depuntoscomputados.

DouadyyHubbardrecurrieronaunabrillantecadenadematemáticasnovísimaspara probar que cadamolécula flotante pende de una filigrana que la une al resto,


delicada red salida de ínfimos abultamientos del conjunto principal, «polímero deldemonio»,deacuerdoconlaexpresióndeMandelbrot.Losmatemáticosdemostraronquecualquiersegmento—fuerancualesfueransusituaciónysutamaño—,cuandoel«microscopio»delordenadorloampliase,revelaríamásmoléculas,todassemejantes,pero no idénticas al conjunto general. Todas estarían rodeadas de espirales yproyecciones propias, semejantes a llamas, las cuales, inevitablemente, mostraríanmoléculasmásminúsculas,siempresimilaresyjamásiguales,encumplimientodeunpreceptodeinfinitavariedad,deunmilagrodeminiaturización,enelquecadadetalleestabasegurodeserensíununiverso,sinparycabal.


ELCONJUNTODEMANDELBROT.Unviajeatravésdeescalascadavezmáspequeñasmuestralacrecientecomplejidaddel conjunto, concolasdecaballodemarymoléculascomo islas, semejantesa la imagentotal.Enelúltimorecuadro,elíndicedeampliaciónesdeunmillónencadadirección.








Elarteyelcomercioseencuentranconlaciencia

—Eraunaconcepcióndelíneasrectasmuygeométrica—dijoHeinz-OttoPeitgen,quehablabadeartemoderno—.Porejemplo,laobradeJosefAlbers,quetratabadedescubrir la relación cromática, se compuso en esencia de cuadrados de coloresdistintossobrepuestos.Fueronmuypopulares,aunqueahoraparezcantrasnochados.No gustan a la gente. EnAlemania construyeron enormes bloques de pisos, en elestilo de laBauhaus, y los inquilinos se van de ellos porque no les agradan comovivienda.Creo que la sociedad actual tienemotivosmuyhondos para discrepar dealgunosaspectosdenuestraconcepcióndelanaturaleza.

Peitgenhabíaayudadoaunvisitantea seleccionarampliacionesde regionesdelos conjuntos de Mandelbrot y Julia, y de otros procesos iterativos complicados,todosdeexquisitocolorido.Ensupequeñaoficinacalifornianaofrecíadiapositivas,grandestransparenciaseinclusouncalendario,delconjuntodeMandelbrot.

—Nuestroentusiasmoserelacionaconesediferentemododever lanaturaleza.¿Cuáleselaspectoauténticodeunobjetonatural?Enunárbol,¿quéimportamás?¿Lalínearectaoelobjetofractal?

En Cornell, mientras tanto, John Hubbard se enfrentaba con demandascomerciales. El departamento de ciencias exactas, que recibía centenares de cartaspidiendo imágenes del conjunto de Mandelbrot, comprendió que habría deproporcionarmuestrasylistasdeprecios.Yahabíancalculadodocenasdeimágenes,almacenadasensusordenadores,apuntoparaserexhibidascon lacolaboracióndelos estudiantes graduados que recordaban los detalles técnicos. Pero las másespectaculares,lasdepresentaciónmásclaraydecoloresmásvívidos,sedebieronaPeitgen,PeterH.RichterysuequipocientíficodelauniversidadalemanadeBremen,queteníaelcalurosopatrociniodeunbancolocal.

ElmatemáticoPeitgenyelfísicoRichterorientaronsuscarrerashaciaelconjuntodeMandelbrot.Encerrabaunmundode ideasparaellos:unamoderna filosofíadelarte,unajustificacióndelnuevopapeldelaexperimentaciónenlascienciasexactas,y una manera de presentar los sistemas complejos al público general. Publicaroncatálogosy librosdepapelsatinado,y recorrieronelmundoconunaexposicióndesus imágenes de ordenador. Richter había llegado a los sistemas complejos de lafísica por la senda de la química y la bioquímica, cuando estudió las oscilacionesbiológicas. En artículos sobre fenómenos tales como el sistema inmunológico y laconversióndelazúcarenenergíapormediodelafermentación,llegóalaconclusiónde que las oscilaciones regían a menudo la dinámica de procesos que solíanconsiderarse estáticos, por la razón suficiente de que los sistemas vivos no puedendiseccionarseconfacilidadparaexaminarloseneltiemporeal.Richterteníasujetoal


dinteldesuventanaunpéndulodoblebienaceitado,su«sistemadinámicofavorito»,que lehabíanhechoapetición suyaenel tallerdemecánicade launiversidad.Decuando en cuando, le obligaba a adoptar no ritmos caóticos, que simulaba en unordenador. La dependencia de las condiciones iniciales era tan sensitiva, que latracción de la gravedad de una sola gota de lluvia, caída amás de un kilómetro ymedio de distancia, hacía confuso el movimiento durante cincuenta o sesentarevoluciones,oseaenelespaciodeunosdosminutos.Susgráficosmulticoloresdelespacio de fases del péndulo doble contenían regiones entremezcladas deperiodicidadycaos.Utilizólasmismastécnicasgráficasparamostrar,porejemplo,loscamposidealizadosdelamagnetizaciónenunmetal,yparaexplorarelconjuntodeMandelbrot.

ElestudiodelacomplejidadproporcionóasucolegaPeitgenlaocasióndecreartradicionesenlaciencia,envezdesolventarúnicamenteproblemas.

—Enunáreadenuevocuñocomoésta,unopuedededicarsehoyapensary,siseesbuencientífico,aobtenerunasolucióninteresanteenunpardedías,unasemanaoenunmes—dijoPeitgen.

Elasuntonoestabaestructurado.—Enunoestructurado,seestáalcorrientedeloquesesabe,deloqueseignoray

dequiénhatrabajadoenélsinéxito.Enesecaso,sehadetrabajarenunproblemareconocidocomotal,osino,unoseextravía.Perounproblemadeestegénerotienequeserdifícil,porque,delocontrario,yahubiesesidoresuelto.

Peitgennocompartíalaresistenciadelosmatemáticosautilizarlosordenadoresenpruebasexperimentales.Concedíaque todos los resultadosdebíanadquirir rigorconlosmétodoscorrientesdeprueba,onopodríahablarsedematemáticas;perolamismaeficaciadelaimagenteníafuerzasuficienteparamodificarlaevolucióndelasciencias exactas. Peitgen estaba convencido de que la exploración con ordenadorconcedía a los matemáticos la libertad de seguir un camino más natural. Podríanprescindirconella,temporalmente,delrequisitodelapruebarigurosa.Así,comolosfísicos, iría a donde los experimentos le llevasen. La potencia de cálculo de losordenadores, y sus estímulos visuales de la intuición, proponían vías prometedorascon las cuales el matemático evitaría los callejones sin salida. Luego, tras hallarnuevos caminos y aislar objetos nuevos, el matemático retornaría a las pruebastradicionales.

—Elrigoreselalmadelasmatemáticas—dijoPeitgen—.Suscultivadoresjamásrenunciaránaunmododepensarquebrindaseguridadabsoluta.Mashayqueaceptarsituacionesqueahoraseentiendenparcialmenteyquelasfuturasgeneracionesquizáentiendanconrigor.Loadmito,sindudaalguna,peronohastaelpuntoderenunciaraalgo,porquenopuedoresolverloahora.

En la décadade1980, unordenadordoméstico efectuaba cálculosprecisosque


permitíanobtenerimágenescoloreadasdelconjunto.Losaficionadosnotardaronencomprobar que la exploración de imágenes cada vezmás ampliadas proporcionabaunasensaciónvívidadeescalaenexpansión.Sisepensabaenelconjuntocomoenun objeto de tamaño planetario, un ordenador personal podía mostrarlo entero, opresentarlo con las dimensiones de una ciudad, edificio, habitación, libro, letra,bacteriaoátomo.Quienescontemplabanlasimágenesadvertíanquetodaslasescalas,a pesar de ser diferentes, tenían pautas semejantes. Y todos aquellos paisajesmicroscópicossalíandelasmismaspocaslíneasdecódigodeordenador.[3]


Límitesdecuencasfractales

EllímiteesdondeunprogramadelconjuntodeMandelbrotpasalamayorpartedeltiempoyexplotasuscompromisos.Enél,cuandonoseinterrumpencien,milodiezmilrepeticiones,elprogramanotendrálaseguridaddequeunpuntocaigadentrodela fase.¿Quiénsabequéaportará lamillonésimarepetición?Poreso losprogramasque rendían las imágenes más asombrosas y más detalladamente ampliadas delconjunto se ejecutaban en ordenadores principales de gran resistencia, o en losdedicadosaprocesosparalelos,conmillaresdecerebrosindividuales,queefectuabanlasmismasoperacionesaritméticasenfasedebloque.Lospuntosseescapabanmásdespacio, en el límite, de la fuerzadel conjunto, como sivacilaran entre atractorescontrarios,unoenceroyotroquellamabaalconjuntodesdedistanciainfinita.

Cuando los científicos fueron del hallazgo de Mandelbrot al problema derepresentar los fenómenos físicos reales, las cualidades del límite del conjuntoocuparon el primer plano. El que había entre dos omás atractores, en un sistemadinámico,sepresentócomounaespeciedeumbralqueexiste,alparecer,enmuchosprocesosordinarios,desdelaroturadematerialeshastalatomadedecisiones.Entalsistema,cadaatractorposeeunacuenca,comolasquerecogenlasaguasdelosríos.Y cada cuenca tiene un límite. Un campo desconocido y prometedor de lasmatemáticasylafísicafue,alprincipiodelosañosochenta,paraungrupoinfluyente,elestudiodeloslímitesdelascuencasfractales.

Estaramadeladinámicanoseinteresabaenelcomportamientoestabledefinitivodeunsistema,sinoencómoelegíaésteunadelasopcionesqueseleofrecían.Uno,comoelmodeloya clásicodeLorenz, tieneun solo atractor—uncomportamientoqueprevalececuandoelsistemaseestabiliza—,yescaótico.Otrossistemastalvezacabenenuncomportamientodeestadoestablenocaótico,peroenmásdeunestadoestableposible.Elestudiodeloslímitesdelascuencasfractaleseraeldelossistemasquefinalizabanenunodevariosestadosfinalesnocaóticos,yproponíalacuestióndeaveriguarcuálera.JamesYorke,quehabíainiciadoaquellainvestigaciónalosdiezañosdedarnombrealcaos,propusounbillarromanoimaginario.Comocasi todosestos juegos, tiene un tirador, provisto de unmuelle, que se estira y se suelta paraenviarlabolaalcampo.Ésteestáinclinadoytienebordeselásticosytopeseléctricos,queproporcionanalabolaenergíaadicional.Elimpulsoesimportante,puesimplicaque la energía no se consume regularmente. En pro de la simplificación, el billarcarecedealetasen laparte inferior,pero tienedosrampasdesalida.Labolahadedesaparecerporunadeellas.

Esunbillarromanodeterminista,porquenosufresacudidas.Unparámetroúnicorigeeldestinodelabola;eslaposicióninicialdeltirador.Supóngasequelamáquina


estáconstituidadeformatal,queuntirónflojohacesiemprequelabolaterminesucarreraen larampade laderecha,yunofuerteen lade la izquierda.Enelperíodointermedio,elcomportamientoescomplicado,yaquelabolarebotaenlostopesconenergía,ruidoylapsotemporalvariables,antesdeelegirunasalida.

Imagínese que se indica con una línea el gráfico del resultado de cada posibleposicióndepartidadeltirador.Márqueseunpuntorojocuandounaposiciónlleveaunasalidaenladerecha,yunoverdeenelcasodelaizquierda.¿Quéseaveriguarásobreesosatractorescomofuncióndelaposicióninicial?

El límite es un conjunto fractal, no autosemejante por necesidad, peroinfinitamente detallado. Algunas porciones de la línea aparecerán encarnadas overdes, sin mezcla, y otras, cuando se amplían, muestran regiones encarnadastachonadasdeverde,overdes tachonadasde encarnado.Enalgunasposicionesdeltirador, un cambio leve no incluye diferencia alguna; en otras, un pequeño cambioarbitrarioseñalaráunaclaradiferenciadecolor.

JamesA.Yorke

LÍMITESDECUENCASFRACTALES. Inclusocuandonoescaóticoelcomportamientoalargoplazodeunsistemadinámico,elcaospuedesurgirenellímitequehayentreunaclasedecomportamientoestableyotra.Amenudoun sistemadinámico tienemásdeun estadode equilibrio, comoel pénduloquepuededetenerseenunodelosdosimanescolocadosensubase.Cadaequilibrioesunatractor.Ellímiteentredosatractores puede ser complicado, aunque regular (izquierda). O puede ser complicado e irregular. Lamezcolanzaenormementefractaldeblancoynegro(derecha)eseldiagramadeunespaciodefasesdeunpéndulo.Elsistemaalcanzaráseguramenteunodedosestadosestablesposibles.Dadasciertascondicionesiniciales,elresultadosepredicebastantebien:negroesnegro,yblanco,blanco.Pero,cercadellímite,lapredicciónesimposible.

Elempleodeunasegundadimensiónrepresentalaadicióndeotroparámetro,deotrogradodelibertad.Enunbillarromano,porejemplo,puedeconsiderarseelefectodemodificar la inclinacióndelcampode juego.Se toparáconunacomplejidad tanlaberíntica, que proporcionaría pesadillas a los ingenieros responsables de laestabilidad de sistemas energéticos reales y sensitivos, provistos de más de unparámetro, como redes de fuerza eléctrica y plantas nucleares generadoras, que se


convirtieronenblancodelainvestigaciónsobreelcaoseneldeceniode1980.Paraun valor del A, el parámetro B proponía un comportamiento ordenado ytranquilizador, con regiones coherentes de estabilidad. Los ingenieros efectuabanestudiosygráficosdelaclasequeconcertabaconsueducacióndeorientaciónlineal.Pero,juntoaél,ApodíatenerotrovalorquetransformaselaimportanciadeB.

Yorkemostróenconferenciasimágenesdelímitesdecuencasfractales.Algunasrepresentabanelcomportamientodepéndulosforzados,quepodíanalcanzarunodedos estados finales. Como su auditorio sabía, el péndulo forzado es un osciladorbásico,quetienemuchosaspectosvariablesenlaexistenciacotidiana.

—Nadie podrá acusarme de que he influido fraudulentamente en el sistema alelegir un péndulo —dijo Yorke en tono jovial—. Cosas como él abundan en lanaturaleza.Perosucomportamientodiscrepadecuantofiguraen labibliografía.Esfractaldegéneroturbulento.

Las imágenes podían ser fantásticos torbellinos de blanco y negro, como si uncazo hubiese borbotado varias veces durante la fusión incompleta de leche ychocolate. Su ordenador las había hecho recorriendo una rejilla demil puntos porlado,cadaunode loscuales representabaunpuntodepartidadelpéndulo,yhabíatrazado el resultado en blanco y negro. Eran cuencas de atracción, barajadas ydobladasporlasconocidasecuacionesdelmovimientonewtoniano,yloobtenidoerasobretodolímite.Másdelastrescuartaspartesdelospuntostrazadosestuvieronenellímite.

Aquellas imágenes guardaban una lección para los investigadores e ingenieros,unalecciónyunaviso.Condemasiadafrecuenciahabíaquecolegir,deunareducidacoleccióndedatos, el ámbitopotencialdelcomportamientode sistemascomplejos.Cuandoésteactuabaconnormalidad,manteniéndosedentrodeunespacioreducidode parámetros, los ingenieros llevaban a cabo sus observaciones y esperabanextrapolarlas,másomenoslinealmente,auncomportamientoderegularidadinferior.Masloscientíficos,conelestudiodeloslímitesdelascuencasfractales,pusieronenevidenciaquelafronteraentrelacalmaylacatástrofepodíasermáscomplicadaqueloquecabíaimaginar.

—Todalaredeléctricadelacostaorientalesunsistemaoscilatorio,casisiempreestable, y nos gustaría saber qué ocurre cuando se lo perturba —dijo Yorke—.Necesitamosconocercuálesellímite.Enrealidad,nadietieneideadesuaspecto.

Loslímitesdelascuencasfractalesplanteabangravescuestionesdefísicateórica.LastransicionesdefasessereferíanaumbralesyPeitgenyRichterexaminaronunade lasmejorestudiadas, lamagnetizacióny lanomagnetizacióndemateriales.Susimágenesmostraron la bella complejidad peculiar que empezaba a aceptarse comoalgo natural, figuras semejantes a coliflores, en las que aparecían protuberancias ysurcos cada vez más enmarañados. Variaron los parámetros y aumentaron la


ampliacióndelosdetalles.Ysepresentóunaimagen,constantementemássometidaal azar, hasta que, de pronto, sin aviso, surgió; en el meollo de una regióndesconcertante,unaformaconocida,depelosdeprimidosytachonadadebultitos:elconjunto deMandelbrot, sin que le faltase un zarcillo o un átomo. Era otro posteindicadordelauniversalidad.«Debiéramoscreerenlamagia»,escribieron.


Eljuegodelcaos

MichaelBarnsleysiguióuna trayectoriadiferente.Pensóen las imágenespropiasde la naturaleza, en especial en las que generaban los organismos vivos. HizoexperimentosconlosconjuntosdeJuliayensayóotrosprocedimientos,enbuscademedios que produjesen variabilidad aún mayor. Por último, recurrió al azar comobasedeunanuevatécnicaparasimularfigurasnaturales.Cuandoserefirióaellaporescrito, la llamó «construcción global de fractales mediante sistemas de funcióniterada». En cambio, cuando lamencionaba de palabra, la denominaba «juego delcaos».

Para jugar a él con facilidad, se requiere un ordenador con una pantalla paragráficosyungeneradordenúmerosaleatorios;pero,enprincipio,unahojadepapelyuna moneda sirven. Se escoge un punto de partida en el papel. Cualquiera. Seinventandosreglas,unaparalacarayotraparalacruz.Unaindicacómosevadeunpunto a otro. «Muévase cinco centímetros al nordeste» o «Muévase un veinticincopor cientomás hacia el centro». Se tira lamoneda al aire y semarcan los puntos,aplicando la reglade lacaracuandosaleéstay lade lacruzcuandoesésta laqueaparece.Siseprescindedelosprimeroscincuentapuntos,comolabancaeliminalasprimerascartasutilizadaseneljuegodelaveintiuna,severáqueeljuegodelcaosnoproduce un campo de puntos dispersos, sino una figura, cuyos pormenores seprecisanamedidaqueavanzalapartida.

Lapercepción intelectualmás importantedeBarnsley fueque los conjuntosdeJuliayotrasformasfractales,aunqueconsideradosjustamentecomoelresultadodeunprocesodeterminista,teníanunasegundaexistencia,asimismoválida,comolímitede un proceso azaroso, aleatorio. Propuso, como analogía, unmapa imaginario deGranBretañatrazadocontizaenelsuelodeunahabitación.Costaríaaunagrimensormedirconsusinstrumentoshabitualeseláreadelasformasextravagantes,decostasfractales. Pero supóngase que se arrojan, uno tras otro, granos de arroz al aire, desuertequecaigansinorden,yquesecuentanaquellosquequedanenelinteriordelmapa.Pocoapoco,elresultadocomienzaaaproximarsealáreadelasfiguras,comoellímitedeunprocesofortuito.Entérminosdinámicos,lasfigurasdeBarnsleyeranatractores.

Eljuegodelcaosexplotabaunacualidadfractaldeciertasimágenes,ladequesecomponían de copias pequeñas de la principal. El establecimiento de reglas quedebíanrepetirsealazarproporcionabaciertainformaciónglobalsobreunafigura,ylaiteracióndelasreglasregurgitabalainformaciónsinhacercasodelaescala.Enestesentido, las reglas adecuadas serían tantomás sencillas cuantomás fractal fuese lafigura. Barnsley descubrió en seguida que podía generar todos los fractales, ya


clásicos,dellibrodeMandelbrot,cuyatécnicahabíasidounasucesióninterminabledeconstrucciónyrefinamiento.EncuantoalcopodenievedeKoch,oeltomadordeSierpiński,sesustituíanlossegmentoslinealesporfigurasespecificadas.Encambio,coneljuegodelcaos,Barnsleyobtuvoformasquenacieroncomoparodiasborrosasyse volvieron progresivamente más claras. No se necesitaba un proceso derefinamiento, sino unas cuantas reglas sencillas que, de algunamanera, incluían laformadefinitiva.

MichaelBarnsley

ELJUEGODELCAOS.Cadapuntoaparecealazar,pero,pocoapoco,surgelaimagendeunhelecho.Todalainformaciónnecesariaseencuentraenescasasreglassencillas.

Barnsleyy sus colaboradores emprendieron entoncesunprograma incontroladopara producir imágenes: coles, mohos y barro. Lo esencial era cómo invertir elproceso,estoes,escogerreglasrelativasaunadeterminadaforma.Lasolución,alaque llamó «teorema de collage», se describía con tanta facilidad, que quienes laescuchaban pensaban en ocasiones que había gato encerrado. Se empezaba con undibujodelafiguraquesequeríareproducir.Barnsleyoptóporunhelechonegro,delaespeciedelosculantrillos,enunodesusprimerosexperimentos.Conunterminaldeordenadoryunratóncomoinstrumentodeseñalamiento,colocócopiaspequeñassobre la forma original, permitiendo, llegado el caso, que se sobrepusieranchapuceramente.Unafiguramuyfractalpodíacubrirseconcopiasdeellamismacon


mucha soltura, y otra menos fractal, con mayor dificultad; en algunos niveles deaproximación,cadafigurapodíaembaldosarsedeaquelmodo.

—Si la imagen es complicada, las reglas también lo son—expusoBarnsley—.Por otra parte, si el objeto oculta un orden fractal (y Benoît ha formulado laobservación esencial de que casi todo lo que hay en la naturaleza lo tiene), seráposibledescifrarloconpocasreglas.Entonces,elmodeloesmásinteresantequeunorealizado con la geometría euclídea, porque sabemos, por ejemplo, que no se venlíneasrectasenelbordedeunahoja.

Elprimerhelecho,producidoconunpequeñoordenadordemesa,correspondióexactamenteconelqueguardabadesdesuinfanciaentrelaspáginasdeunlibro.

—Fue una imagen asombrosa, correcta en todos los extremos.Ningún biólogohabríavaciladoenidentificarlo.

Lanaturaleza,enciertamanera,aseguróBarnsley,seentretuvoconunaversiónespecialdeljuegodelcaos.

—Laesporaquecontieneel códigogenéticodeunhelechoposeeunacantidadprecisa de información. Por consiguiente, la complicación con que un helecho sedesarrolla tiene un límite. No sorprende, pues, que encontremos la informaciónsucintaequivalenteparadescribiresasplantas.Lomaravillososeríalocontrario.

Pero¿eranecesarioelazar?HubbardpensóenelparalelismoquehabíaentreelconjuntodeMandelbrotylacodificaciónbiológicadelainformación.Seamoscabaantelamásleveinsinuacióndequeaquellosprocesosdependierandelaprobabilidad.

—No existe azar en el conjunto deMandelbrot—afirmó—. No lo hay en lascosasquehago.Tampococreoquelaposibilidaddequehayaazartengaimportanciadirectapara labiología.Enella, el azar es lamuerte; enella, el caoses lamuerte.Todoestámuyestructurado.Cuandoseclonanplantas,lasramassalenenelmismo,idéntico, orden. El conjunto de Mandelbrot se atiene a un esquemaextraordinariamenteprecisoquenodacabidaaningunaexpresióndelazar.Tengolavehementesospechadeque,siundíaseaveriguacómoestáorganizadoelcerebro,sedescubriráconestupefacciónquehayunesquemacodificador,deenormeprecisión,paraformarlo.Laideadelofortuitoenbiologíaesrefleja.

El azar posee sólo valor instrumental en la técnica deBarnsley.Los resultadossondeterministasypredecibles.Cuandounpuntosurgeenlapantalladelordenador,nadie adivina dónde aparecerá el siguiente: depende del recorrido de la imaginariamonedainteriordelamáquina.Contodo,elflujodelaluzpermanecesiempredentrode los límites imprescindibles para producir una figura en el fósforo. Hasta eseextremoelpapeldelazaresunailusión.

—La casualidad es un trampantojo—dijo Barnsley—. Tiene importancia paraobtenerimágenesdeciertamedidainvariante,quevivenenelobjetofractal;peroésteen sí no depende del azar. Con una probabilidad, siempre se obtiene la misma


imagen. Sondar los objetos fractales, con un algoritmo fortuito, proporcionainformación recóndita,de lamismasuerteque, cuandoentramosenunahabitacióndesconocida,nuestrosojosbailandeunsitioaotrodemodoquepodríadescribirsecomopendientedelazar,yasítenemosunaideaclaradecómoesesaestancia.Perolahabitaciónesloquees.Elobjetoexistehagamosloquehagamos.

El conjunto de Mandelbrot existe de la misma manera. Existía antes de quePeitgen y Richter se dedicaran a convertirlo en expresión artística; antes de queHubbardyDouadyentendieransuesenciamatemática,yantesdequeMandelbrotlodescubriera.Existió en cuanto la ciencia creó un contexto: una noción de númeroscomplejos y de funciones iterativas. Entonces esperó que lo desvelasen. O acasoexistió mucho antes, desde que la naturaleza se organizó mediante leyes físicassencillas,repetidasconpacienciainagotableysinmodificarsejamás.


9ELCOLECTIVODELOSSISTEMASDINÁMICOS

La comunicación a través de la divisoria revolucionaria es inevitablementeparcial.

THOMASS.KUHN


SantaCruzyladécadade1960

SantaCruzeraelcampusmásnuevodelsistemade laUniversidaddeCalifornia,tallado en un lugar paradisíaco a una hora de viaje, por el mediodía, de SanFrancisco. La gente comentaba que parecíamás un parque nacional que un centrouniversitario.Losedificiosdescansabanentresecuoyasy,haciéndoseecodelespíritureinante,losproyectistassehabíandesvividopordejarintactoslosárboles.Todosloslugaresseenlazabanconestrechossenderos.Elcampussehallabaen loaltodeunmonte,yporelloseoteabadesdeél,haciaelsur,elaguarizadaytitilantedelabahíadeMonterrey.SantaCruz,inauguradaen1966,enpocosañosseconvirtióenlamásselectayexigentedelasuniversidadescalifornianas.Losestudiantessecodeabanenella con muchos ídolos de la vanguardia intelectual: Norman O. Brown, GregoryBatesonyHerbertMarcusecomocatedráticos,yTomLehrercantóensurecinto.Losdepartamentosdegraduados,salidosdelanada,empezaronafuncionarconaspectoambivalente, y el de física no fue excepción. La facultad —alrededor de quincefísicos— era activa y la juventud preponderaba en ella, lo que convenía a lamescolanzadesobresalientesinconformistasatraídosporSantaCruz.Influíaenellosla ideología librepensadora de la época; sin embargo, al propio tiempo, los físicosmiraban al sur, al Caltech, al California Institute of Technology (Instituto deTecnología de California), porque comprendían su necesidad de sentar objetivos yprobarlaseriedaddesuspropósitos.

Unestudiantegraduado,cuyaseriedadnadieponíaen telade juicio,eraRobertStetsonShaw,bostonianobarbudoprocedentedeHarvard,elmayordelosseishijosdeunmédicoyunaenfermera.En1977estabaapuntodecumplirtreintayunañosdeedad.Aquellolehacíaalgomásviejoquelageneralidaddesuscompañeros,puessuestanciaenHarvardhabíasidointerrumpidavariasvecesporelserviciomilitar,laestancia en colectividades juveniles y otras experiencias caprichosas situadas entreaquellosdosextremos.IgnorabaporquéhabíaidoaSantaCruz.Jamáshabíavistoelcampus,aunquehabíaexaminadounfolletoconfotografíasdelassecuoyasyretóricaacercadelensayodeunanueva filosofíadidáctica.Shawera tranquilo, retraído,demodo llamativo.Estudiababieny le faltabancontadosmesespara terminarsu tesisdoctoralsobrelasuperconductividad.Anadieextrañabaqueinvirtiesemuchotiempoenmanejarunordenadoranalógico,enlaplantainferiordeledificiodelafacultad.

La educaciónde un físico estriba en un sistemadementores y protegidos.Losprofesores facultativos hacen que los auxiliares de investigación los ayuden en loslaboratorios, o en la ejecución de cálculos aburridos. A cambio de ello, losestudiantesgraduadosylosposdoctoradosconsiguenalgodelassubvencionesdesussuperiores,ymigasdesusméritosenlaspublicaciones.Unbuenmentorcooperacon


el estudiante en la elección de problemas resolubles y fructíferos. Si la relaciónprospera,lainfluenciadelprofesorcoadyuvaaquesuprotegidologreunempleo.Amenudo, los nombres de ambos quedan unidos para siempre. Pero, cuando unaciencianoexiste,pocossonlosdispuestosaenseñarla.Elcaosnoteníamentoresen1977.Nohabíaclasessobreél,nicentrosdeestudiosnolinealesydeexploracióndelossistemascomplejos,ni librosdetextoacercadelcaos,nirevistasespecializadasensutratamientoydifusión.


Elordenadoranalógico

William Burke, cosmólogo y relativista de Santa Cruz, encontró a su amigo elastrofísicoEdwardA.Spiegel,alaunadelamadrugada,enelvestíbulodelhoteldeBoston,dondeasistíanaunaconferenciasobrelarelatividadgeneral.

—¡Eh!AcabodeescucharelatractordeLorenz—dijoSpiegel.Había transmutado aquel emblema del caos, con un circuito improvisado

conectadoaunaparatodealtafidelidad,enunaantimelodíarecurrente,enunpitido.ConvidóaBurkeatomarunacopaenelbaryledioexplicaciones.

Spiegel conocía a Lorenz personalmente y estaba enterado de la existencia delcaos desde los años sesenta. Sus estudios se habían centrado en la búsqueda de laposibilidaddecomportamientoirregularenmodelosdelmovimientodelasestrellas.Se relacionaba con los matemáticos franceses. Por fin, siendo profesor en laUniversidaddeColumbia,encaminósuinvestigaciónastronómicaalaturbulenciaenel espacio, a las«arritmiascósmicas».Tenía lavirtudde seducir a suscolegasconideasnuevas,yamedidaqueavanzólanoche,cautivóaBurke,queestabaabiertoacuestionescomoaquélla.HabíaganadoreputaciónporsustrabajossobreunodelosregalosmásparadójicosqueEinsteinhabíahechoalafísica:lanocióndelasondasdegravedad rizandoel cuerpodel espacio-tiempo.Eraunproblema sumamentenolineal, con irregularidades extravagantes, emparentadas con las turbadoras nolinealidades en la dinámica de los fluidos. Abstracto y teórico, Burke sentía, noobstante,aficióna lafísicapráctica, tantaquehabíapublicadounartículosobre lasjarras de cerveza: qué grosor se podía dar al vidrio conservando la apariencia decontenerunabuenamedidadelíquido.Lecomplacíareferirseasímismocomounamanifestacióndelatavismoqueconsiderabalafísicacomoalgoreal.HabíaleídoenNatureelartículoenqueRobertMaysolicitabamáseducaciónsobrelossistemasnolinealessencillos,yhabíadedicadounashorasarevisar lasecuacionesdeMayconunacalculadora.Poreso, se leantojó interesanteel atractordeLorenz.No tenía laintencióndeescucharlo.Queríaverlo.DeregresoaSantaCruz,entregóaRobShawun trozo de papel en que había garrapateado tres ecuaciones diferenciales. ¿Podíaintroducirlasenelordenadoranalógico?

En la evolución de la informática, las máquinas analógicas representaban uncallejónsinsalida.Noseadmitíanenlosdepartamentosdefísica,ysupresenciaenSanta Cruz se debía a la casualidad: los proyectos originales habían incluido unafacultad de ingeniería; cuando ésta se eliminó, un entusiasta agente de compras yahabía adquirido algunos artículos. Los ordenadores digitales, provistos de circuitosque se interrumpían y tornaban a ponerse en marcha, cero o uno, no o sí, dabanrespuestasconcretasalaspreguntasdelosprogramadores,yparecíanmásaccesibles


a la miniaturización y aceleración de la tecnología que reinaba en la revolucióninformática. Cuanto se ejecutaba en un ordenador digital podía repetirse con elmismoresultado,yenprincipiopodíaremediarlocualquierotramáquinadigital.Porsu diseño, los analógicos eran indefinidos, borrosos. Su construcción no incluíainterruptores afirmativos-negativos, sino circuitos electrónicos, con resistencias ycondensadores,que reconocíaquienhubiese jugadocon radiosen laeraanterioralestadosólido,comoShawhabíahecho.LamáquinadeSantaCruzeraunSystron-Donner,pesadoypolvoriento,conuntablerodelanterosemejantealosutilizadosenlos antiguos cuadros telefónicosdedistribución.Laprogramacióndeunordenadoranalógicoconsistíaenseleccionarcomponenteselectrónicosyenchufarcableseneltablerodemando.

Un programador, con distintas combinaciones de circuitos, simula sistemas deecuacionesdiferencialesdemodomuyconvenienteparalosproblemasdeingeniería.Si se desea simular una suspensión de automóvil, con muelles, amortiguadores ymasaparadiseñarunaprogresiónsuaveysinsaltos,lasoscilacionesdeloscircuitossehacencoincidircon lasdel sistema físico.Uncondensadorocupael lugardeunmuelle,losinductoresrepresentanlamasa,etc.Loscálculoscarecendeprecisión.Seelude lacomputaciónnumérica.Acambio, sedisponedeunmodelocompuestodemetal y electrones, bastante rápido y —lo mejor de todo— fácilmente ajustable.Moviendolosmandos,seacomodanlasvariablesparaqueelmuelleseamásfuerteola fricción más débil. Y se observa cómo cambian los resultados, en tiempo real,graciasalaspautasqueaparecenenlapantalladeunosciloscopio.

En las plantas altas, en el laboratorio de superconductividad, Shaw seencaminaba,demodoinconexo,alfinaldelaobradesutesis.Empezó,sinembargo,adedicarmáshorasaentretenerseconelSystron-Donner.Avanzóhastaverretratosdel espacio de fases de algunos sistemas simples, tales como representaciones deórbitasperiódicasocicloslímites.LasecuacionesdeLorenz,quelehabíanentregadoenunpedazodepapel,noeranmáscomplicadasquelossistemasconquesehabíasolazado. Le llevó escaso tiempo acertar con las clavijas oportunas y ajustar losmandos. Minutos después, Shaw supo que jamás concluiría su tesis sobre lasuperconductividad.

Pasóvariasnochesenelsótano,observandoelpuntoverdedelosciloscopioquese agitaba en la pantalla. Trazó reiteradamente la característica faz de búho delatractor de Lorenz. El flujo de la figura persistía en la retina, parpadeaba yrevoloteaba, y no se parecía a nada de lo que Shaw había encontrado en suinvestigación. Parecía disfrutar de vida propia. Retenía la mente como una llama,surgiendo en pautas que nunca se reproducían exactamente. La imprecisión y laescasa respetabilidad del ordenador analógico fueron una ventaja para Shaw. Enseguida notó la dependencia sensitiva de las condiciones iniciales, la misma que


había persuadido a Edward Lorenz de lo fútil de los pronósticos del tiempoatmosférico a largo plazo. Establecía las condiciones iniciales, oprimía la tecla departidaysepresentabaelatractor.Despuésrepetíalasmismascondicionesiniciales—dentrodelofísicamenteposible—,ylaórbitasealejabasinremordimientosdesucursoprecedente,noobstantelocualacababaenidénticoatractor.

Shaw había tenido en su infancia ilusiones sobre la ciencia: se lanzaríarománticamentealsenodelodesconocido.Aquéllaera,porfin,unaexploracióndeacuerdoconsus ilusiones.La físicade labaja temperaturadivertíaalaficionadoalmanejodeaparatos,puesempleabamuchascañerías,grandesimanes,heliolíquidoydiscosgraduados.PeroShawnoveíaquelellevaseaningunaparte.Prontotrasladóelordenadoranalógicoasulugardetrabajo,quejamásvolvióautilizarenprodelasuperconductividad.


¿Quéesestaciencia?

—Cuantohayquehaceresposarlasmanosenesosmandos,yderepenteexploraseseotromundocomounodelosprimerosviajeros,ynoquieresabandonarlo—dijoRalph Abraham, profesor de matemáticas que se presentó casi al comienzo paracontemplarelatractordeLorenzenacción.

HabíaestadoconSteveSmale,enBerkeley,enlosgloriosísimosdíasinaugurales,y era, por ende, uno de los pocosmiembros de la facultad de Santa Cruz con losantecedentes requeridos para comprender el significado de los juegos de Shaw.Lesorprendióantetodolavelocidaddelamanifestación,yShawlecomentóqueusabacondensadoresdemásparaimpedirquesurgieramásaprisa.Encima,elatractorerarobusto. Lo probaba la imprecisión de los circuitos analógicos: la afinación y elretoque de los mandos no la borraban, no la convertían en algo pendiente de lacasualidad;antesbien,ledabanotradirecciónoladoblaban,deformaqueadquiriósentidolentamente.

—Rob tuvo la experiencia espontánea de que una leve exploración le revelasetodos los secretos —comenzó Abraham—. Todos los conceptos importantes, elexponentedeLyapunovylasdimensionesfractales,entreotros,seleocurríanaunocontotalnaturalidad.Seveíayseempezabaaexplorar.

¿Eracienciaaquello?Tal trabajoconordenador,sinformalismosnipruebas,nomerecía llamarsematemáticas, lo que no alteró el apoyo simpatizante de personascomoAbraham.Lafacultaddefísicanoencontrómotivosparaaceptarlocomopartedesuespecialidad.Fuese loque fuere,atrajovisitantes.Shawsolíadejarabierta lapuertadesuestudio,ylaentradadeldepartamentodefísicasehallabaalotroladodelvestíbulo.Hubonotabletráficodecuriosos.Ynotranscurriómuchotiempoantesdequetuvieracolaboradores.

Elgrupo,queseautodenominó«colectivodelossistemasdinámicos»—otroslodenominaron«camarilladelcaos»—,dependíadeShawcomocentroimperturbable,peroadolecíadealgunatimidezenpresentarsusideasenelmercadoacadémico.Porsuerte para él, sus nuevos asociados no eran tan pudibundos. Mientras tanto,escucharon amenudo el criterio firme de Shaw de cómo se cumplía un programaimprovisadoparaexplorarunaciencianoadmitidacomotal.

DoyneFarmer,tejanoalto,angulosoypelirrojo,setransformóenelportavozmásexpresivodelgrupo.En1977teníaveinticuatroañosdeedad,yeralapersonificacióndelaenergíayelentusiasmo,unamáquinadeideas.Quienesleconocíanpensabanalpronto,enocasiones,quesuconductanopasabadepurafachenda.NormanPackard,tresañosmenorqueél,eraamigosuyodesdelaadolescencia.Habíancrecidoenlamisma ciudad deNuevoMéxico, Silver City. Packard había llegado a Santa Cruz


aquelotoñoenqueFarmerpensabadedicar,duranteuncurso, todasuenergíaa lasleyesdelmovimientoaplicadasaljuegodelaruleta.Laempresaeratanformalcomotraídaporloscabellos.Durantemásdeunadécada,Farmeryuncambianteequipodecolegasfísicos,jugadoresprofesionalesymirones,persiguieronelsueñodelaruleta.FarmernorenuncióaélnisiquieracuandoseincorporóalaSecciónTeóricadeLosAlamos National Laboratory. Calcularon velocidades y trayectorias, escribieron yvolvieronaescribirestudioslógicos,escondieroncalculadorasenzapatosehicieronnerviosasaparicionesencasinosdejuego.Huboperíodosenquetodoslosmiembrosdel colectivo, excepto Shaw, se concentraron en la ruleta. Debe señalarse que elproyecto les proporcionó adiestramiento inusual en análisis raudo de los sistemasdinámicos,peroapenastranquilizóalclaustrodelafacultaddefísicadeSantaCruzsobrelaseriedaddelospropósitoscientíficosdeFarmer.

ElcuartomiembrodelcolectivofueJamesCrutchfield,elmás jovenyelúniconativodeCalifornia.Erabajoydeconstituciónhercúlea,elegantewindsurfistay,loque valíamás aún para el grupo,maestro instintivo en el arte de los ordenadores.Ingresó en Santa Cruz como estudiante ordinario, trabajó como ayudante delaboratorioenlosexperimentosdelasuperconductividaddeShaw,antesdequeéstedescubriera el caos, estuvo durante un año yendo, «por encima delmonte», comodecíanenlauniversidad,auncentrodeinvestigacióndelaIBM,dondehabíalogradoun empleo, y no se incorporó al departamento de física como estudiante graduadohasta 1980. Por entonces llevaba dos años en el laboratorio de Shaw, durante loscualessedioprisaenaprenderlasmatemáticasnecesariasparaentenderlossistemasdinámicos.Comosuscompinches,seolvidóporcompletodelaorientaciónclásicadelafacultad.

Hastalaprimaverade1978,eldepartamentonoseconvenciódequeShawhabíarenunciado a su tesis sobre la superconductividad. Le faltaba tan poco paraconcluirla…No obstante su aburrimiento, la facultad pensó que podía acelerar lasformalidades,doctorarseyentrarenelmundoreal.Respectoalcaos,habíacuestionesde decoro académico. Nadie estaba cualificado en Santa Cruz para supervisar unestudiodeaquellamateriainnominada.Jamássehabíadoctoradoalguienenella.Nohabía empleos a disposición de graduados en aquella especialidad. No había queolvidar lomonetario. La física de Santa Cruz, como la de todas las universidadesestadounidenses, era financiada sobre todo por la National Science Foundation yotros entes del gobierno federal, que concedían fondos de investigación a losmiembrosdelafacultad.Lamarina,lafuerzaaérea,elMinisteriodeEnergíaylaCIAgastabanenormessumasdedineroenlainvestigaciónpura,sinsentirnecesariamentepreocupación por su aplicación inmediata a la hidrodinámica, aerodinámica,producción energética y espionaje. Un físico facultativo recibía fondos suficientesparapagarelequipodellaboratorioylossalariosdelosayudantesdeinvestigación,


estudiantesgraduadosquesalíangraciasaellobienbeneficiados.Asícosteabansusfotocopias y sus viajes a los congresos, e incluso disponían de estipendios que lespermitían sobrevivir en verano. Si no mediaban tales providencias, el estudianteandaba a la deriva.Tal era el sistema al que renunciaronShaw,Farmer,PackardyCrutchfield.

Cuandoempezaronadesaparecerdenochediversoselementoselectrónicos, fueaconsejablebuscarlosenelantiguolaboratoriodetemperaturabajadeShaw.Detardeen tarde, un miembro del colectivo conseguía mendigando cien dólares de laasociación de estudiantes graduados, o el departamento de física encontraba unprocedimiento para consignar una cantidad análoga.Así se acumularon trazadores,convertidoresyfiltroselectrónicos.Ungrupodefísicossubatómicos,situadoalotrolado del vestíbulo, había condenado a la basura un pequeño ordenador digital, yencontró asilo en el laboratorio de Shaw. Farmer se transformó en especialistasobresalienteensisartiempodeordenador.LeinvitaronunveranoalNationalCenterfor Atmospheric Research (Centro Nacional de Investigación Atmosférica) deBoulder (Colorado), en el que ordenadores gigantes se encargan del estudio dematerias tales como la simulación del tiempo global. Su habilidad para ordeñarminutos costosísimos de aquellasmáquinas en beneficio propio dejó atónitos a losclimatólogos.

Tambiénlesfuemuyútil ladestrezamanipuladoracaracterísticadeSantaCruz.Shaw era un «manitas» desde su infancia. Packard había arreglado televisores enSilverCitydesdequesaliódelaniñez.Crutchfieldpertenecíaalaprimerageneraciónde matemáticos para quienes la lógica de los procesadores era como la lenguamaterna.Eledificiodelafacultad,entrelasumbrosassecuoyas,separecíaatodaslasconstrucciones destinadas al cultivo de la física, ambiente universal de suelos decementoyparedesquepedíanagritosunacapadepintura;perolahabitaciónqueelcolectivohabíaocupadodesarrollóunaatmósferapropia, con rimerosdepapelesyfotografíastahitianasenlostabiques,y,mástarde,láminasdeatractoresextraños.Acualquier hora del día, aunque más por la noche que por la mañana, el visitanteencontraba a losmiembros del grupo repasando circuitos, arrancando cordones deremiendo,discutiendosobrelaconscienciaolaevolución,ajustandolapantalladeunosciloscopioo,sencillamente,prendidosdeunrelucientepuntoverdequetrazabaunacurvaluminosa,ylaórbitadelcualparpadeabayseagitabacomoalgovivo.


«Unavisióndelargoalcance»

—Nosuniólomismo:laideadequehabíadeterminismo,peroquenoerareal—dijo Farmer—. Nos intrigaba la noción de que todos los sistemas deterministasclásicos que habíamos estudiado producían azar. Nos sentimos obligados acomprenderlarazóndeaquelfenómeno.

»Sólosepercibelafuerzadeesaclasederevelacióncuandosehasufridoduranteseisosieteañosellavadodecerebrodeunprogramatípicodefísica.Senosenseñaquehaymodelosclásicosenquelascondicionesinicialesdeterminantodo,yquehaytambiénmodelosdemecánicacuánticaenquelascosasestándeterminadas,pero,enellos,debemosenfrentarnosconlacortapisadecuántainformacióninicialpodemosreunir.Nolinealesunaexpresiónquesóloencontrábamosalfinaldellibrodetexto.El estudiante de física seguía un curso de matemáticas y la ultimísima lección serefería a ecuaciones no lineales. Por lo general, se pasaban por alto, y, si no seomitían, se contentaban con reducirlas a ecuaciones lineales, de modo tal que seobteníanlassolucionesaproximadas.Eraunejerciciodefrustración.

»Carecíamos del concepto de la importante diferencia que la no linealidadintroduce en unmodelo.Emocionaba la idea de que una ecuación brincara de alláparaacáde formaaparentemente sujetaalazar.Ynospreguntábamos:“¿Dedóndesale este movimiento fortuito? No lo encuentro en las ecuaciones”. Parecía algogratuitooalgobrotadodelanada.

Crutchfielddijo:—Fueadvertirqueexistetodounámbitodelaexperienciafísicaquenoencajaen

elmarcocorriente.¿Porquénoformabapartedeloquenosenseñaban?Teníamoslaocasión de inspeccionar el mundo inmediato, uno tan cósmico que maravillaba ytambiénladeentenderalgo.

Lesencantaba—ydesconcertabaasusprofesores—abordarcuestionessobreeldeterminismo,lanaturalezadelainteligenciayelsentidodelaevoluciónbiológica.

—Ellazoquenosuníaeraunavisióndelargoalcance—explicóPackard—.Nosasombraba que, avanzando algo más en el parámetro espacial, en los sistemasregulares,que la físicaclásicahaanalizadohastaelagotamiento, sehallaalgoa loquenopodíaaplicarseaquellamolecolosaldeanálisis.

»Hacemucho,muchísimo tiempo,pudodescubrirseel fenómenodelcaos.Peronoocurrió,enparteporquelaenormemasadeinvestigacionessobreladinámicadelmovimiento regular no condujo en esa dirección. Mas ahí está, si se mira bien.Debíamospermitirquenosguiase lo físico, lasobservaciones,paracomprobarquéclasedeimagenteóricadesarrollaríamos.Alalarga,interpretamoslainvestigacióndela dinámica complicada como punto de partida que tal vez nos llevase a la


comprensióndedinámicassumamentecomplejas.Farmerexpuso:—Desdeelpuntodevistafilosófico,semeantojóqueeraunmediooperativode

definir el libre albedrío, uno que permitía conciliar éste con el determinismo. Elsistemaesdeterminista,perono sepuededecirquéharáa continuación.Alpropiotiempo, siempre sentí que los problemas trascendentales delmundo tenían que verconlaorganización,tantodelavidacomodelainteligencia.Pero¿cómoseestudiabaeso?Loquehacíanlosbiólogosparecíamuyapropiadoyespecífico;losquímicosnolo hacían, desde luego; losmatemáticos no soñaban en hacerlo, y era algo que losfísicos jamás hacían. He pensado siempre que la aparición espontánea de laautoorganizacióndebíaformarpartedelafísica.Teníamosunamonedaconsusdoscaras.Aquíhabíaorden,enelquebrotabaelazar,yallí,unpasomásadelante,habíaazar,enelqueelordensubyacía.


Lamedidadelaimpredecibilidad

Shaw y sus compañeros convertirían la materia prima de su entusiasmo enprogramacientífico.Teníanqueformularpreguntasquepudierancontestarse,yquefueran dignas de ello. Buscaron procedimientos para enlazar lo teórico y loexperimental,porque,creían,aquéllaeralagrietaquedebíacolmarse.Peroantesdeempezar,habíandeenterarsedeloquesesabíaydeloqueseignoraba,ysóloesorepresentabaunatareaformidable.

Estorbó su intento la tendencia de la comunicación científica a transmitirse afragmentos, sobre todo cuando un tema nuevo surge en las subdisciplinasestablecidas.Amenudodesconocían si pisaban territorio inexploradooyahollado.Antídoto inapreciable de su ignorancia fue Joseph Ford, abogado del caos en elGeorgia Institute of Technology. Había decidido que la dinámica no lineal era elfuturode la física—todoel futuro—,y sehabía autodesignadoalgoasí comounacámara informativa de liquidación. Cumplía su cometido con la publicación deartículos.Susantecedentesseencontrabanenelcaosnodisipativo,eldelossistemasastronómicosodelafísicasubatómica.Gozabadeunconocimientonadacomúndeltrabajodelaescuelasoviética,yseimpusocomometarelacionarseconlaspersonasquecompartieran,aunremotamente,elespíritufilosóficodelanuevaempresa.Teníaamigosentodaspartes.Cualquiercientíficoquepublicaraunartículosobrelacienciano linealpodíaconfiarenquesu trabajoquedaría resumidoen lacreciente listadeextractosdeFord.Los estudiantesdeSantaCruz se enteraronde ella e idearonunmodeloestereotipadodepostalparasolicitarcopiasdelosartículosantesdequesepublicasen.Inmediatamentelasrecibieronengrancantidad.


PLEGAMIENTODELESPACIODEFASES.Lareformatopológicadelespaciodefasescreaunatractor,comounarosquilla,peroplegadasobresímisma,querecibeelnombrede«barquillodeBirkhoff».

Juzgaronquepodíanhacersemuchaspreguntasacercadelosatractoresextraños.¿Cuálessonsusfigurascaracterísticas?¿Cuálsuestructuratopológica?¿Quérevelalageometríasobrelafísicadelossistemasdinámicosafines?LoprimeroqueShawhizo fue explorar lo que tenía a mano. Mucha bibliografía matemática versabadirectamente sobre la estructura, pero el procedimiento le pareció demasiadodetallado: demasiados árboles y poco bosque.Mientras recorría las publicaciones,Shaw creyó que los matemáticos, a quienes su tradición había privado de losrecientes instrumentos informáticos, habían naufragado en las complicaciones


particularesdelasestructurasorbitales, infinitosacáydiscontinuidadesallá.Noleshabíanatraídoloscontornosindefinidosdeloanalógico,aunque,desdeelpuntodevista de la física, esa imprecisión dominase los sistemas del mundo real. Shawpercibió en su osciloscopio no las órbitas individuales, sino el envoltorio en queestabanmetidas.Eraelenvoltorioloquesemodificabamientrasmovíalosmandoscon suavidad.No podía explicar bien los pliegues y torsiones en el lenguaje de latopologíamatemática.Sinembargo,imaginóquelosentendía.

El físico se proponemedir. ¿Qué podíamedirse en aquellas figuras,móviles yelusivas?Shawysuscamaradasintentaronaislarlascualidadesespecialesquedabantanto encanto a los atractores extraños.Dependencia sensitiva de las condicionesiniciales, la tendencia a apartarse de las trayectorias cercanas. Aquella cualidadconvencióaLorenzdelaimposibilidaddepronosticareltiempoatmosféricoalargoplazo.Pero¿conquécompásdecalibresseescantillabatalcualidad?¿Podíamedirselaimpredecibilidad?

Seteníalarespuestaaestapreguntaenunaconcepciónrusa,enelexponentedeLyapunov.Estenúmeroproporcionabaunamedidaprecisadecualidadestopológicascorrespondientes a conceptos tales como la impredecibilidad. Los exponentes deLyapunov, en un sistema, pertrechaban de un método para medir los efectosantagónicos de estirar, contraer y plegar en el espacio de fases de un atractor.Suministraban una imagen de todas las propiedades de un sistema, las cualesculminaban en la estabilidad o la inestabilidad. Un exponente mayor que ceroequivalíaaestirar,esdecir,lospuntospróximossesepararían.Unomenorquecero,acontraer. En un atractor de punto fijo, todos los exponentes eran negativos, puestoqueelesfuerzosedirigíaalinterior,alestadoestablefinal.Unatractorenformadeórbitaperiódicateníaunexponentedeceroexacto,ylosdemásresultabannegativos.Se averiguó que un atractor extraño había de tener, cuando menos, un exponentepositivodeLyapunov.

LosestudiantesdeSantaCruz sufrieron lamortificacióndenohaber inventadoaquella idea, pero la desarrollaron del modo más práctico posible, aprendiendo amedirlosexponentesdeLyapunovyarelacionarlosconotrascualidadesimportantes.Recurrieron al movimiento informático para hacer películas que ilustraran lapulsacióndelordenyelcaosensistemasdinámicos.Suanálisismostróvívidamentequeunoscreabandesordenenunadirección,ypermanecíancorrectosymetódicosenotra.Unapelículapresentóloquefueuncúmulominúsculodepuntospróximos—representantes de las condiciones iniciales—, de un atractor extraño, mientras elsistemaevolucionaba temporalmente.El cúmulo se extendióy se salióde foco.Setransformóenunpuntogruesoy, luego, enunamancha.Ésta seextendíaenciertaclase de atractores, que se destacaban por su eficacia enmezclarse. En otros, ladiseminación sucedía sólo en determinadas direcciones. La mancha se trocaba en


banda,caóticaenelsentidodeunejeyordenadaeneldeotro.Eracomosielsistemaposeyeraa lavezun impulsoordenadoyotrodesordenado.Yhabíaduplicaciones.Mientras un impulsoproducía impredecibilidad fortuita, el otroobedecía al tiempocomounrelojdeprecisión.Yamboserandefiniblesymensurables.


Teoríadelainformación

LaimprontamáscaracterísticadelosestudiososdeSantaCruzenelcaosafectóauna muestra de matemáticas y filosofía denominada teoría de la información. Lainventó, a fines de la década de 1940, Claude Shannon, investigador de los BellTelephone Laboratories. Dio a su obra el título de The Mathematical Theory ofCommunication(Teoríamatemáticadelacomunicación),que,comoconcerníaaunaentidadbastanteparticularllamadainformación,seconocióenadelantecomoteoríadelainformación.Fueproductodelaeraelectrónica.Laslíneasdecomunicaciónylas transmisiones de radio transportaban cierta cosa que los ordenadores prontoalmacenarían en fichas perforadas o en cilindros magnéticos, y la cosa no eraconocimiento ni significado. Sus unidades básicas no se componían de conceptos,ideas, palabras o números. Sería o no sería una insensatez, pero los ingenieros ymatemáticosteníanlaposibilidaddemedirla,transmitirlaycomprobarlocorrectodesu transmisión. Información fueunnombre tanbueno comocualquier otro,mas lagentedebíarecordarqueusabaunvocablolibredesignificado,sinlasconnotacionescorrientesdehechos,erudición,sabiduría,comprensióneilustración.

El equipo físico o hardware determinaba la forma de la teoría. Como lainformación se almacenaba en interruptoresbinarios, que recibían la denominaciónrecientedebits,seconvirtieronenlamedidafundamentaldelainformación.Desdeelpunto de vista técnico, la teoría se transformó en unmedio de entender cómo losruidosparásitos, con la aparienciade errores fortuitos, se entremetían en el flujoosecuencia de los bits. Suministró un método para pronosticar la capacidad detransportede las líneasdecomunicación,discoscompactosocualquier técnicaqueregistrase lenguaje, sonidos o imágenes. Ofreció medios teóricos para calcular laefectividadcorrectoradeerroresdelosdistintosesquemas;porejemplo,emplearbitspara verificar otros.Atacaba de lleno la noción básica de «redundancia». Según lateoríadeShannon,el lenguajeordinariocontienealgomásdelcincuentaporcientodeelementosredundantes,sonidoso letras innecesariospara transmitirunmensaje.Se trata de una idea bastante generalizada; la comunicación, en un mundo depersonas que mascullan las palabras y de errores tipográficos, depende de laredundancia.Loilustrabaelfamosoanunciodelaenseñanzadelataquigrafía—sistdpdIrstmnsj…—,ylateoríadelainformaciónpermitíamedirlo.Laredundanciaesunadesviaciónpronosticabledelazar.Partedeella,enelhablaordinaria,radicaenelsignificado,ylacantidaddeesaparteseexpresacondificultad,puestoqueestribaenel conocimiento del lenguaje y del mundo que la gente comparte. Eso permiteresolverlaspalabrascruzadasocompletaridealmenteunafraseinacabada.Había,noobstante, redundancias de otra clase, más accesibles a las medidas numéricas.Estadísticamente, la probabilidad de que, en inglés, una letra sea «e» supera la


proporcióndeunoaveintiséis.Además,lasletrasnodebencontarsecomounidadesaisladas. Saber que una, en un texto anglosajón, es «t» ayuda a predecir que lasiguienteserá«h»u«o».Auxiliamásaúnconocerdos,etc.Latendenciaestadísticadevariascombinacionesdedosytresletrasaaparecerenunlenguajesirvedegranayudaparacaptaralgunaesenciacaracterísticadeéste.Elordenadorqueseguíesóloporlarelativaprobabilidaddelassecuenciasposiblesdetresletrasproduce,llegadoelcaso,unacorrientefortuitadedisparatesreconociblecomoinglesa.Loscriptólogoshacemucho tiempo que recurren a tales pautas estadísticas para descifrar códigossecretossencillos.Losingenierosdecomunicacioneslasempleanahoraparaingeniartécnicasdecondensacióndedatos,conelfindeeliminarlaredundanciaenprovechodelahorrodeespacioenunalíneadetransmisión,oenundiscodealmacenamiento.AjuiciodeShannon,elmodocorrectodeconsideraraquellaspautaseraelsiguiente:unacorrientededatos,enel lenguajeordinario,nodependeporcompletodelazar;cada bit está obligado por los anteriores; por ello, cada uno nuevo contiene algomenosdelvalordeunbit,encuantoainformaciónreal.Estaformulaciónencerrabaunatisbodeparadoja: cuantomásdependieradel azaruna corrientededatos tantamásinformaciónaportaríacadabitnuevo.

Apartedesuutilidadtécnicaenelcomienzodelaeradelosordenadores,lateoríade Shannon cobró modesta talla filosófica. Una porción del atractivo que ejerciósobrepersonas ajenas a la informáticapudoatribuirse a la eleccióndeunvocablo:entropía.ComoWarrenWeaverexpresóenunaexposiciónclásicadelateoríadelainformación: «Cuando encuentra el concepto de entropía en la teoría de lacomunicación,unotienederechoasentiralgunaexcitación,tienederechoasospecharque ha encontrado algo que acaso sea fundamental e importante». El conceptoprocededelatermodinámica,enlaqueaparececomoaditamentoalasegundaley:latendencia inexorable del universo, y de todo sistema aislado que haya en él, aencaminarseaunestadodedesordencreciente.Divídaseunapiscinaporlamitadconuna barrera; llénese una parte de agua y otra de tinta; espérese a que se aquieten;retírese la barrera; por elmovimiento azaroso de lasmoléculas, el agua y la tintaacabaránpormezclarse.Lamezclajamásseinvierte,aunqueseesperehastaelfindelcosmos,razónporlacualsedicetanamenudoquelasegundaleyeslapartedelafísica que convierte el tiempo en calle de dirección única. La entropía define lacualidaddelossistemasqueaumentasegúndichaley:mescolanza,desorden,azar.Elconcepto es más fácil de comprender intuitivamente que de medir en cualquiersituacióndelavidareal.¿Cómoseefectuaráunacomprobaciónfidedignadelíndicedemezcla de dos sustancias?Quizá contando lasmoléculas de cada una. ¿Y si sedispusieran en sí-no-sí-no-sí-no-sí-no? A duras penas la entropía se consideraríaintensa.Sepodríancontarlasmoléculaspares.¿Ysiladisposiciónfuesesí-no-no-sí-sí-no-no-sí? El orden se entromete de suerte que disminuye la eficacia de todo


algoritmohonrado.Y,enlateoríadelainformación,lascuestionesdesignificadoyrepresentación incluyen complicaciones adicionales.Una serie como01010001000010111010110000000101110101101000000000…,pareceráordenadasóloalobservadorfamiliarizadoconelalfabetoMorseyShakespeare.¿Yquépensardelaspautas,topológicamenteperversas,deunatractorextraño?

Éstos eran máquinas de información para Robert Shaw. En su primera y másambiciosa concepción, el caos brindaba la oportunidad lógica de devolver a lascienciasfísicas,enformarevigorizada,lasideasquelateoríadelainformaciónhabíatomado de la termodinámica. Los atractores extraños, por unir orden y desorden,dabanunsesgodesafiantealacuestióndemedirlaentropíadeunsistema.Algunoseran mezcladores eficientes. Creaban impredecibilidad. Suscitaban entropía. Y, enopinióndeShaw,proporcionabaninformacióndondenoexistía.

NormanPackard,mientras leíaciertodía la revistaScientificAmerican, notó elanuncio de un concurso de ensayos llamado Certamen de Louis Jacot. Parecíabastantedisparatado:unpremiolucrativo,dotadoporunfinancierofrancés,quehabíacriado a sus pechos una teoría sobre la estructura cósmica, galaxias dentro degalaxias. Proponía ensayos sobre el oscuro tema de Jacot. («Sonaba a cosa dechiflados», dijo Farmer). Pero el jurado del certamen era un catálogo de nombresimpresionantesdecientíficosfranceses,yelgalardónmonetarionoleibaalazaga.PackardmostróelanuncioaShaw.

Eldíafinaldelplazodepresentacióndeoriginaleseraeldeañonuevode1978.Enaquellasfechaselcolectivosereuníaconregularidadenunenormecaserónde

SantaCruz,apocadistanciadelaplaya.Eledificioacumulabamobiliario,adquiridoenlostraperos,yunequipodeordenador,muchodelcualseconsagrabaalproblemade la ruleta. Shaw disponía de un piano, en el que interpretaba música barroca oimprovisaba combinacionesparticularesde la clásicay lamoderna.Los físicos, ensus encuentros, crearon un estilo propio de trabajo, una rutina de proponerocurrencias y cribarlas con el tamiz del sentido práctico, de leer la bibliografía yconcebir artículos originales. Habían aprendido a colaborar en las revistas conartículosquefirmabanporordenrotatorio.ElinicialfuedeShaw,unodelospocosqueescribiría,yquesiguióescribiendomentalmente,rasgosuyomuycaracterístico.Y,tambiéncaracterísticamente,loenviódemasiadotarde.

En el mes de diciembre de 1977, Shaw se fue de Santa Cruz para asistir a laprimera reunión de laNewYorkAcademy of Sciences (Academia de Ciencias deNuevaYork)dedicadaalcaos.Financióelviajesuprofesordesuperconductividad.Shaw,sinhaber sido invitado,escuchóencarneyhuesoaquienesconocíapor susescritos.DavidRuelle.RobertMay. JamesYorke.Se sintió intimidadono sóloporaquellas personalidades, sino también por el astronómico precio de treinta y cincodólaresquepagóporsuhabitacióndelBarbizonHotel.Mientrasatendíaalascharlas,


sebalanceóentrelasensacióndequehabíareinventado,ensuignorancia,cosasqueaquellos hombres habían estudiadomuy a fondo, y la de que él podía contribuir aellas con un importante y nuevo punto de vista. Llevaba consigo el borradorinconcluso de su artículo sobre la teoría de la información, papeles garrapateados,metidosenunacarpeta,ybuscóenvanounmecanógrafoenelhotelyluegoenlostalleresdereparacióndemáquinasdeescribir.Porúltimo,renuncióasuintento.Mástarde,cuandosusamigosquisieronsaberdetallesdelaconferencia,lesexplicóqueelpuntoculminantehabíasidoelbanqueteenhonordeEdwardLorenz,quienrecibíaelreconocimiento que se le había negado durante tantos años. Lorenz entró en elcomedor,cogidotímidamentedelamanodesuesposa,yloscientíficossepusierondepieparadedicarleunaovación.LaexpresióndeespantodelmeteorologistachocóaShaw.

Alaspocassemanas,duranteunviajeaMainedondesuspadresteníanunacasaderecreo,remitióporfinsuartículoalCertamenJacot.Habíapasadoyaeldíadeañonuevo,peroelempleadodecorreosestampóenelsobreunagenerosafechaatrasada.Elartículo—mezcladematemáticasesotéricasyfilosofíaespeculativa,ilustradacondibujos de su hermano Chris, semejantes a los de historietas— obtuvo menciónhonrosa. Shaw recibió un premio enmetálico suficiente para trasladarse a París yrecoger el galardón.No fue un éxito importante, pero llegó cuando eran tensas lasrelaciones del colectivo con la facultad. Necesitaba desesperadamente todos lossignos de credibilidad que pudieran encontrar. Farmer renunciaba a la astrofísica,Packard abandonaba lamecánica estadística yCrutchfieldno estaba aúnpreparadoparaconvertirseenestudiantegraduado.Elclaustropensabaquelasituaciónsehabíasalidodemadre.


Delamicroescalaalamacroescala

«Strange Attractors, Chaotic Behavior, and Information Flow» (Atractoresextraños, comportamientocaóticoy flujode información)circulóaquel añoenunaediciónpreliminar,queascendió,coneltiempo,amilejemplares,yfueeltrabajosoesfuerzoquetrabó,porprimeravez,lateoríadelainformaciónconelcaos.

Shawextrajodelassombrassupuestosdelamecánicaclásica.Laenergíaexisteenlossistemasnaturalesendosniveles:lasmacroescalas,enquesecuentanymidenlosobjetoscotidianos,ylasmicroescalas,enqueinnúmerosátomosseagitanalazar,movimientoinmensurable,salvocomounaentidadpromedia,latemperatura.ComoShaw advirtió, la energía total de las microescalas podía superar la de lasmacroescalas, pero esemovimiento térmico carecía de importancia en los sistemasclásicos:aisladoeinutilizable.Lasescalasnosecomunicanentresí.

—Unonotienequeconocerlatemperaturapararesolverunproblemamecánicoclásico—dijoShaw.

Sin embargo, en su opinión, los sistemas caóticos y cuasicaóticos tendían unpuentesobrelasimaqueseparalasdosclasesdeescalas.Elcaoseralacreacióndelainformación.

Imagíneseaguaquesalvaunaobstrucción.Comotodosloshidrodinámicosylospiragüistassaben,sicorreconbastanterapidez,generaremolinoscorrienteabajo.Auna velocidad dada, los remolinos no cambian de lugar; a otra más elevada, semueven.Elexperimentadorestáensituacióndeelegirvariosmétodosparaobtenerdatos de tal sistema, con tanteos de rapidez, por ejemplo. Hay la posibilidad derecurriraunexpedientemássencillo:fijarseenunpuntoquesehallepordebajodelobstáculoypreguntarse,aintervalosregulares,sielremolinoestáaladerechaoalaizquierda.

En caso de que sea estático, los datos obtenidos vendrán a ser: izquierda-izquierda, izquierda-izquierda-izquierda-izquierda-izquierda. Al cabo de ciertotiempo,elobservadorpresumequelosdatosnuevosnodaránmásinformaciónsobreelsistema.

O el remolino va adelante y atrás periódicamente: izquierda-derecha-izquierda-derecha-izquierda-derecha-izquierda-derecha-izquierda-derecha. Y una vez más,aunquealprontoparezcaalgomásinteresante,elsistemadejadeencerrarsorpresas.

No obstante, cuando se hace caótico, precisamente a consecuencia de suimpredecibilidad, el sistema produce un chorro inagotable de información. Cadaobservación nueva es un nuevo bit. Así se plantea una cuestión difícil alexperimentadorquedeseecaracterizarelsistemademodocabal.

—Jamás podrá abandonar el gabinete de trabajo—dijo Shaw—. El flujo seráfuenteinagotabledeinformes.


¿De dónde salen? Del baño cálido de las microescalas, miles de millones demoléculasbailandoalazartermodinámico.Asícomolaturbulenciatransmiteenergía,a través de cadenas de torbellinos, desde las escalas altas a las bajas, así lainformaciónsetransmitedelasmicroescalasalasmacroescalas,o,porlomenos,detalmodolodescribieronShawysuscolegas.Elcanaldetransmisióninformativaeselatractorextraño,queagrandaelazarinicialcomoelefectodelamariposaaumentalaspequeñasinseguridadesenpautasdeltiempoatmosféricoagranescala.

Lacuestióneracuánto.Shawdescubrió—despuésderepetiraregañadientesunapartedesutrabajo—queloscientíficossoviéticosunavezmásleshabíanprecedido.A. N. Kolmogorov y Yasha Sinai habían elaborado procedimientos matemáticosesclarecedoressobrelaformacomo«laentropíaporunidaddetiempo»deunsistemaseaplicaalasrepresentacionesgeométricasdesuperficies,queseestiranyplieganenelespaciodefases.Laesenciadelatécnicaconsistíaendibujarunacajitaarbitrariaalrededordeunaseriedecondicionesiniciales,comosedibujaríauncuadraditoenelladodeunglobo,y,después,elefectodelasdistintasexpansionesotorsionesdelacaja. Por ejemplo, tal vez se alargase enunadireccióny permaneciese estrecha enotra.Elcambiodeáreacorrespondíaa introducir incertidumbresobreelpasadodelsistema,unagananciaounapérdidadeinformación.

Teniendoencuentaqueéstasóloerasinónimocaprichosodelaimpredecibilidad,aquella concepción apenas casaba con las ideas quedesarrollaban científicos comoRuelle.PeroelmarcodelateoríadelainformaciónpermitióqueelgrupodeSantaCruzadoptaseunconjuntoderazonamientosmatemáticosbieninvestigadosporlosteóricos de las comunicaciones. La cuestión de añadir, por ejemplo, ruido parásitoextrínsecoaunsistema,porlodemásdeterminista,eranuevaenladinámica,aunquehartoconocidaenlascomunicaciones.Sinembargo,loqueatrajoaaquellosjóvenesfue únicamente y en parte, las matemáticas. Cuando hablaban de sistemas quegenerabaninformación,pensabanenlaformaciónespontáneadepautasenelmundo.

—Enelpináculodeladinámicacomplicadahayprocesosdeevoluciónbiológicaodelpensamiento—puntualizóPackard—.Intuitivamente,parecehaberunsentidoclaroenelqueestossistemas,deesenciacomplicada,generaninformación.Milesdemillonesdeañosatrássólohabíagrumosdeprotoplasma;ahora,milesdemillonesdeaños después, existimos nosotros. La información se ha creado y almacenado ennuestra estructura. En el desarrollo mental de una persona desde la infancia, esevidentequelainformaciónnosóloseacumula,sinotambiénseproduce.Secreaapartirdeenlacesantesinexistentes.

Palabrascomoaquéllashubierandadovértigoaunfísicoequilibrado.


Elgrifogoteante

A pesar de ello, eran ante todo «manitas», y filósofos en segundo término.¿Lograríantenderunpuenteentrelosatractoresextraños,quetanbienconocían,ylosexperimentosdelafísicaclásica?Unacosaeradecirquederecha-izquierda-derecha-derecha-izquierda-derecha-izquierda-izquierda-izquierda-derecha,eraimpredecibleyque generaba información. Y otra muy diversa considerar una corriente de datosreales y medir su exponente de Lyapunov, su entropía y su dimensión. Ello noimpedía que el colectivo de Santa Cruz se sintieramás a sus anchas con aquellasideasquecualquieradesuscolegasdemásedad.Sucomunióndiariaynocturnaconlos atractores les había convencido de que los reconocían en el aleteo,estremecimiento,latidoyvaivéndelosfenómenosdesuvidacotidiana.

Sentadosenuncafé,seentreteníanconunjuegoenelquesepreguntaban:¿Aquédistanciasehallaelatractorextrañomáspróximo?¿Eseseruidosoparachoquesdeautomóvil? ¿Esa bandera que restalla caprichosamente en la brisa uniforme? ¿Unahojaquesemenea?

—Nada se ve hasta que se dispone de la metáfora idónea para percibirlo —comentóShaw,haciéndoseecodeThomasS.Kuhn.

No pasómucho tiempo antes de que su amigo relativista Bill Burke estuvierasegurodequeelvelocímetrodesucocheseportabaalestilonolinealdeunatractorextraño.YShawadoptó,yconellosecomprometióenunproyectoexperimentalquele ocuparía durante años, el sistema dinámicomás hogareño que un físico pudieraconcebir: un grifo goteante. Casi todas las personas suponen que el grifo goteantecanónico es implacablemente periódico.Sometido a investigación, se descubre quenoloessiempre.

—Sirvedeejemplosencillodeunsistemaquevadelcomportamientopredeciblealimpredecible—dijoShaw—.Siseabreunpelo,sepresentaunrégimendegoteoirregular.Exceptoduranteunratito,carecedepautapredecible.Así,pues,hastaalgotansencillocomoungrifollegaagenerarunapautaeternamentecreativa.

Pero,comoproductoradeorganización, laespitaquegoteadapocotrabajo.Deella caen sólo gotas, y cada una esmás omenos igual a la precedente. Pero teníaciertasventajasparaelinvestigadorprincipiantedelcaos.Todoelmundoposeíaunaimagen mental del artilugio. La corriente de datos era, a pedir de boca,unidimensional:un tamborileo rítmicodepuntosúnicosmedidosenel tiempo.LossistemasqueelgrupodeSantaCruzexplorómástardenoposeyeronesosatributos,como,porejemplo,elsistemainmunológicodelhombre,oelmolestoefectodehaz-haz que entorpecía inexplicablemente la conducta de los haces de partículas encolisiónenelStanfordLinearAcceleratorCenter (CentrodelAceleradorLinealdeStanford), emplazado al norte de SantaCruz.Experimentadores comoLibchaber y


Swinneyobtuvieronunacorrienteunidimensionaldedatos,introduciendounasondao cala en un punto cualquiera de un sistema algo más complicado. En el grifogoteante, la línea única de datos está ante los ojos. Y no se trata de velocidad otemperaturaquevaríecontinuamente:essólounalistadetiempodegoteo.

Elfísicotradicionaltalvezhicieseunmodelomateriallomáscompletoposible,siselepidiesequeorganizaraelestudiodeunsistemacomoaquél.Secomprendenlos procesos que rigen la creación y la interrupción de las gotas, pero no son tansencilloscomoparece.Variableimportanteeslavelocidaddelflujo.(Hadeserlentoencomparaciónconlamayoríadelossistemashidrodinámicos.Shawobservó,porlogeneral, un ritmo de goteo de 1 a 10 por segundo, lo que equivalía a un ritmo decorriente de 106,5 a 1.065,5 litros por quincena). Entre otras variables hay laviscosidadylatensiónsuperficial.Unagotadeaguaquecuelgadelgrifo,enesperade soltarse, adopta una compleja forma tridimensional, cuyo solo cálculo es, comoescribióShaw,«unaobramaestradelartedelcómputoconordenador».Además, laformadistadeserestática.Puedecompararseaunsaquitodetensiónsuperficialqueoscila adquiriendomasa y dilatando sus paredes hasta sobrepasar un punto crítico,instanteenquesesuelta.Elfísicoqueintentesimularafondoelproblemadelagota—anotandoseriesdeecuacionesdiferencialesparcialesnolineales,emparejadasconapropiadascondicionesdelímites,yprocurandoresolverlas—seencontraráperdidoenunamalezamuydensa.

Otromododeenfrentarsecon la cuestión seríaolvidarsede la físicayatenersesóloalosdatos,comosisaliesendeunacajanegra.¿Podríamanifestaralgoútilunperito en dinámica caótica, dadauna lista de números que representasen intervalosentregotaygota?Secomprobólaposibilidaddeidearmétodosqueorganizasentalesdatos y llevasen a la físicamétodosque fueron esenciales para que el caos tuvieraaplicaciónenlosproblemasdelmundoreal.

Shawpusomanos a la obra, amedio camino entre aquellos extremos, con unaespecie de caricatura de un modelo físico completo. Ignorando las figuras de lasgotas, y asimismo los movimientos complejos en tres dimensiones, hizo un toscoresumen de las propiedades físicas del goteo. Imaginó un peso, pendiente de unmuelle,elcualaumentabasintregua.Elmuelleseestirabayelpesobajabacadavezmás. Llegado a cierto punto, se soltaba una porción de él, que, supuso Shawteóricamente,dependíasólodelavelocidaddedescensodelpesocuandollegabaalpuntodedesprendimiento.

Después,pordescontado,elpesorestantesaltabahaciaarribaporintervencióndelmuelle, con oscilaciones que los estudiantes graduados aprenden a describir conecuacionestradicionales.Elrasgointeresantedelmodelo—elúnicointeresante,ylaflexión no lineal que posibilitaba el comportamiento caótico— consistía en que lagota siguiente dependía de cómo obraban entre sí la elasticidad y el aumento


constantedepeso.Unbrincohaciaabajocontribuíaaqueelpesollegaramuchoantesal puntodedesprendimiento, ounohacia arriba retrasaba el proceso.Lasgotasnotienenelmismotamañoenungrifoverdadero.Obedecenalarapidezdelflujoyaladireccióndel salto.Laquenazcamoviéndoseyahacia laparte inferior se separaráantes.Si rebota, recibiráunpocomásdeaguaantesdedesprenderse.LoelementaldelmodelodeShawpermitióresumirloentresecuaciones,elmínimonecesarioparael caos, como Poincaré y Lorenz habían demostrado. Pero ¿generaba tantacomplejidadcomounauténticogrifo?¿Yseríalacomplejidaddelamismaclase?

HeaquílarazóndequeShawsehallara,enunlaboratoriodeledificiodefísica,conungrancubodemateriaplástica,llenodeagua,sobresucabeza,delcualpartíaun tubo con una boca de manguera de latón de inmejorable calidad. La gotainterrumpíaal caerunhaz luminoso,yunmicroordenador situadoen lahabitacióncontigua registraba el tiempo.Mientras tanto, Shaw procesaba sus tres ecuacionesarbitrariasenelordenadoranalógicoyobteníauncaudaldedatosimaginarios.Ciertodía celebró una exhibición con explicaciones ante los facultativos, un«seudocoloquio»,comodijoCrutchfield,porquelosestudiantesgraduadosnoestabanautorizadosapronunciarconferenciasformales.Shawpasóunapelículaenlaqueungrifogoteabaenuntrozodehojalata.Ehizoquesuordenadorcrepitaseconsíncopatersarevelandopautasacústicas.Habíaresueltoelproblemasimultáneamenteporelprincipio y el fin. Quienes escucharon percibieron la estructura profunda de aquelsistema, enaparienciadesordenado.Pero,para irmás lejos, el colectivonecesitabaobtener datos primarios de cualquier experimento y, partiendo de ellos, retrocederhastalasecuacionesylosatractoresextrañosquecaracterizabanelcaos.

En un sistema más complicado, era posible contrastar una variable con otra,relacionandoloscambiosdetemperaturaovelocidadconelpasodeltiempo.Maselgrifogoteantesólosuministrabaseriestemporales.Porello,ShawensayóunatécnicaqueacasosealacontribuciónmásinteligenteymásduraderadelgrupodeSantaCruzalprogresodelcaos.Consistióenunmétodoparareconstruirelespaciodefasesdeunatractorextrañoinvisible.Eraaplicableacualquierconjuntodedatos.Encuantoalosdelgrifogoteante,Shawcompusounagráficabidimensional,en laqueelejexrepresentóelintervalodetiempoentredosgotas,yelejey,elintervalosiguiente.Sitranscurrían 150 milisegundos entre la gota uno y la gota dos, y luego otros 150milisegundosentreladosylatres,marcabaunpuntoenlaposición150-150.

Esoeratodo.Sielgoteoeraregular,comopropendíaaserlocuandoelaguafluíadespacioyelsistemasehallabaensu«régimendeclepsidra»,eldiagramaresultaba,lógicamente,monótono.Todoslospuntosocupabanelmismositio.Elgráficoeraunsolo punto. O casi. De hecho, la primera diferencia entre el grifo goteante delordenadoryel realestribóenqueéstesehallabaexpuestoa influenciasparásitasacausadesuextremadasensibilidad.


—Da la casualidad de que es un sismómetro estupendo —exclamó Shawirónicamente—, eficacísimo para trasladar lo parásito de las escalas de segundadivisiónalasdelaprimera.

Acabópor trabajarcasisiempredenoche,cuandoapenashabíapeatonesen lospasillos. Las influencias extemporáneas transformaban el punto vaticinado por lateoríaenunamanchaalgodifusa.

El sistema pasaba por una bifurcación de duplicación de período cuando seacrecentabalavelocidaddeflujo.Lasgotassesoltabanapares.Habíaunintervalode150 milisegundos, y otro, el siguiente, de 80. Entonces el gráfico mostraba dosmanchasconfusas,unacentradaen150-80yotraen80-150.Lapruebaverdaderasepresentócuandolapautasehizocaótica.Lospuntoshabíandediseminarseportodoel diagrama, si el fenómeno pendía del azar. No habría relación alguna entre unintervaloyelpróximoaél.Pero,siseocultabaen losdatos,elatractorextraño talvezserevelasecomolafusióndeloborrosoenestructurasdiscernibles.

Parapercibiréstasamenudoserequeríantresdimensiones, loquenoplanteabaningunadificultad.La técnica segeneralizabacon facilidaden laconfeccióndeungráficopolidimensional.Envezdetrazarloconrespectoalintervalon+1,elnpodíarepresentarserelacionadoconeln+1relacionadoconeln+2.Eraunaartimaña,unrecurso.Ordinariamente,undiagrama tridimensionalexigíaelconocimientode tresvariablesindependientesdelsistema.Laartimañaproporcionabalastresporelpreciodeuna.Reflejabalafedeaquelloscientíficosenqueelordenestabatanarraigadoenel desorden aparente, que encontraría la manera de manifestarse incluso aexperimentadoresignorantesdelasvariablesfísicasquedebíanmedirse,oqueeranincapacesdemedirlasdirectamente.

—Cuando sepiensa enunavariable, su evolución tieneque sufrir el influjodetodasaquellasconlasqueactúarecíprocamente—dijoFarmer—.Susvaloreshandeconstarcomofuereenlahistoriadeesacosa.Debeexistirsumarca.

LasimágenesloilustraronenelcasodelgrifogoteantedeShaw.Sobretodoentresdimensiones,laspautassurgieroncomorizadosrastrosdehumoquedejaseenelcielounaviónmalpilotadodelosqueescribenanunciosconél.Shawcomparólospuntos de los datos experimentales con los de los datos que le proporcionaba elmodelodeordenadoranalógico.Ladiferenciaprincipalentreunosyotrosconsistióenquelosprimerosfueronsiempremásimprecisos,alteradosporelruidoparásito.Apesar de ello, la estructura era inconfundible. El grupo de Santa Cruz empezó acolaborar con experimentadores tan curtidos como Harry Swinney, que se habíamudadoalaUniversidaddeTexas,enAustin,yaprendióacazaratractoresextrañosentodogénerodesistemas.Habíaqueencajarlosdatosenunespaciodefasesdelasdimensiones necesarias. Floris Takens, que había inventado los atractores extrañosconDavidRuelle, no tardó endar, independientemente, basematemática a aquella


técnicavigorosade reconstruir el espaciode fasesdeun atractor conun caudal dedatos reales. Como innumerables investigadores pronto descubrieron, la técnicadistingue lomeramenteparásitodelcaos,en lanuevaacepción:desordenordenadoque los procesos simples crean. Los datos debidos intrínsecamente al azar seextiendenenrevoltijo indefinido.Peroelcaos—deterministaydotadodepautas—losconvierteenfigurasvisibles.Lanaturalezafavorecesólounascuantassendasdelasmuchasposiblesquellevanaldesorden.


Ayudasaudiovisuales

Latransiciónderebeldeafísicofuelenta.Conrelativafrecuencia,enuncaféuocupadoenellaboratorio,esteoaquelestudianteteníaquereprimirlamaravilladequesufantasíacientíficanohubieraconcluido.¡Diosmío!Aúnhacemosestoyaúnconservasentido,comodecíaJimCrutchfield.Seguimosaquí.¿Cuántodurará?

Recibían en la facultad apoyo sobre todo del protegido de Smale, RalphAbraham, en el departamento dematemáticas, y, en el de física, el deBill Burke,quiensehabíaencumbradoa«zardelordenadoranalógico»conelfindedefender,cuando menos, las aspiraciones del colectivo a utilizar aquella parte del equipogeneral.Elrestodelafacultaddefísicaestabaensituaciónmásambigua.Variosañosdespués, algunos profesores negaron con calor que el grupo hubiera tenido quevencer la indiferenciao laoposicióndepartamental.Yelgruporeaccionóconigualcalor a lo que describió como embellecimiento histórico de parte de los conversostardíosalcaos.

—Notuvimosconsejero,alguienquenosorientarasobreloquedebíamoshacer—afirmóShaw—.Representamosduranteañosunpapelantagónico,yasíseguimoshasta hoy día. Nunca nos financiaron en Santa Cruz. Trabajamos durante largastemporadas sin cobrar, y hubimos de hacer milagros para salir del paso, sin guíaintelectualnideotraespecie.

Contodo,asumanera, la facultad toleróe inclusoalentóunamplioperíododeinvestigación,quenoparecíaemparentadaconlacienciaconocida.ElponentedelatesisdeShawsobrelasuperconductividadlemantuvoennóminaalrededordedocemeses,ylohizomuchodespuésdequeeljovensehubieradesviadodelafísicadelasbajastemperaturas.Nadieimpusoqueseinterrumpieraelestudiodelcaos.Ensuspeores momentos, el claustro adoptó una actitud de benévolo reproche. Cadamiembro del colectivo fue convocado, de vez en cuando, para sostener una charlafranca.Lesadvirtieronque,auncuandosusdoctoradosllegaranajustificarseporunprocedimientomisterioso, nadie podría ayudarlos a encontrar empleo en un campocientíficoinexistente.Quizáfueseunaaficiónpasajera,decíaelclaustro,y¿dóndelosdejaríaentonces?Noobstante,másalládelassecuoyasamparadorasdeSantaCruz,elcaosinstaurabaunestamentoinvestigadorpropio,yel«colectivodelossistemasdinámicos»teníaquesumarseaél.

Mitchell Feigenbaum se presentó en una ocasión, durante el recorrido de sucircuito de conferencias, para exponer su hallazgo de la universalidad. Comosiempre,suscharlasfueronabstrusamentematemáticas;lateoríaderenormalizaciónde grupo eramuestra esotérica de la física de lamateria condensada que aquellosuniversitarios no habían estudiado. Por otra parte, interesabanmás al colectivo lossistemas reales que los delicados mapas o diagramas unidimensionales. Doyne


Farmer,enelínterin,seenteródequeunmatemáticodeBerkeley,OscarE.LanfordIII, exploraba el caos y fue a conversar con él. Lanford escuchó con amabilidad aFarmeryluego,mirándolealacara,leespetóquenoteníannadaencomún.EstabaprocurandocomprenderaFeigenbaum.

¡Memata!¿Notieneestetíosentidodelaoportunidad?,pensóFarmer.—Contemplaba aquellas pequeñas órbitas. Mientras tanto, nosotros estábamos

metidosenplenateoríadelainformación,contodasuprofundidad;demostrábamosel caos, veíamos qué lo movía e intentábamos enlazar la entropía métrica y losexponentesdeLyapunovconmedidasmásestadísticas.

Lanford,ensuconversaciónconel joven,nohizohincapiéen launiversalidad.Sólo después Farmer pensó que no había entendido el verdadero sentido de suspalabras.

—Tuvo la culpa mi ingenuidad. La idea de la universalidad no era un granresultadoaisladoyexclusivo.LodeMitchellrepresentabaasimismounatécnicaparadartrabajoaunejércitodefenómenoscríticosdesempleados.

»Hastaciertoextremo,parecíaquelossistemasnolinealesdebíantratarsecomocasos aparte. Luchábamos por encontrar un lenguaje que los cuantificase y losdefiniese;perotodosepresentabacomosihubiesequeenfrentarseconellosunotrasotro.Noatinábamosaagruparlosporclases,niaofrecersolucionesválidasparaunaclase dada, como en los sistemas lineales. La universalidad implicaba hallarpropiedadesque fuesenexactamente lasmismas,demodocuantificable,para todoslosindividuosdelaclase.Propiedadespredecibles.Poresoeratanimportante.

»Yhabíaunfactorsociológicoqueinyectabamáscombustible.Mitchellexpresósusresultadosenellenguajedelarenormalización.Cogiótodalamaquinariaquelosespecialistasenfenómenoscríticoshabíanusadocontantadestreza.Lopasabanmal,porqueyanoquedaban,porlovisto,problemasqueresolver.Buscabanentodaslasdireccionesalgoenqueaplicarsuarsenaldetrucos.Y,desúbito,Feigenbaumsurgióconsuaplicación,sumamentesugestiva,deesearsenal.Produjounasubdisciplina.

A pesar de todo, y con independencia total, los estudiantes de Santa Cruzempezaronacausarimpresión.Suestrellaseremontótrassuinesperadaapariciónenuncongresosobrefísicadelamateriacondensada,celebrado,mediadoelinviernode1978, en Laguna Beach. Lo organizó Bernardo Huberman del Xerox Palo AltoResearchCenter(CentrodeInvestigaciónXeroxdePaloAlto)ydelaUniversidaddeStanford. El colectivo, que no había sido invitado, se metió en la camionetaconvertible de tipo ranchero, un Ford de 1959 propiedad de Shaw, que recibía elnombre de Cream Dream. Por si acaso, llevó algunos útiles, tales como un grantelevisoryunvídeo.Cuandounoradoranulósuintervenciónenelúltimomomento,Huberman propuso a Shaw que lo sustituyera. La ocasión era perfecta. El caos sehabíaconvertidoenmateriadecomadreo,peromuypocos físicosasistentes sabían


quéeraenrealidad.Porlotanto,Shawexplicóparaempezarlosatractoresenespaciodefases:primeropuntosfijos(dondetodosedetiene);luegoloscicloslímites(dondetodooscila);ydespuéslosatractoresextraños(todolodemás).Hizodemostracionescon sus gráficos de ordenador en cintas de vídeo. («Las ayudas audiovisuales nosproporcionaban un recurso ventajoso —dijo—. Podíamos hipnotizarlos con lucesrelampagueantes»). Iluminó el atractor de Lorenz y el grifo goteante. Explicó lageometría:cómosealarganydoblanlasfiguras,yquésignificaesoenlostérminosampliosde la teoríade la información.Ypara colmar lamedida, introdujoal finalunascuantasfrasessobre losparadigmasmutables.Lacharlafueunéxito.EntreelpúblicohubovariosmiembrosdelafacultaddeSantaCruz,loscualesconocieronelcaosatravésdelosojosdesuscolegas.


Finalizaunaera

En1979,elgrupocompletoasistióalsegundocongresosobreelcaosdelaNewYorkAcademyofSciences,enaquellaocasióncomoparticipantes.Laespecialidadflorecíademodoespectacular.El congresode1977había sido el deLorenzy a élhabían acudido docenas de especialistas. El de dos años más tarde fue el deFeigenbaum,yloscientíficossepresentaronacentenares.Si,en1977,habíabuscadotímidamente, y en vano, un mecanógrafo que pusiera en limpio un artículo paraintroducirlo por debajo de las puertas, el «colectivo de los sistemas dinámicos» sehabía convertido en algo así comounamáquina impresora, que redactaba artículosconceleridadylosfirmabacomocolaboracióndetodossuscomponentes.

Elgrupo,sinembargo,comoeradeesperar,noestaríasiempreunido.Amedidaqueseaproximabamásalmundodelacienciaverdadera,seacercabaasimismoasuseparación.HuboundíaenqueBernardoHubermantelefoneó.BuscabaaRobShawyencontróaCrutchfield.Necesitabauncolaboradorparaescribirunartículo,escuetoysencillo,sobreelcaos.Crutchfield,elmiembromásjovendelcolectivo,pensandoqueseleconsiderabaunmero«peón»,concedíayaque,almenosenunaspecto,lafacultaddeSantaCruznosehabíaequivocado:cadaestudianteseríajuzgado,coneltiempo, según su valor individual. Además, Huberman poseía en física unrefinamientodequeelloscarecían,yenparticularsacabamásprovechoqueellosdeun trabajo determinado. Tenía dudas, pues había visto su laboratorio—«Todo eramuyvago,¿entiende?:sofásysacosdehabichuelas,comosilamáquinadeltiempoletransportaraaunodevueltaaloshippiesyladécadade1960»—;peronecesitabaunordenadoranalógico,y,dehecho,Crutchfieldselasarreglóparatenerenmarcha,durante horas, su programa de investigación. El colectivo era cuestión difícil, sinembargo.

—Todosquierenentrarenesto—dijoCrutchfield.Hubermansenegóenredondo.—Ynoesporelmérito,sinoporsihayfallos. Imaginemosqueelartículosale

mal.¿Echaremoslaculpaaungrupo?Yonoformopartedeél—repuso.Paraunbuentrabajo,queríaunsoloasociado.ElresultadofueelqueHubermanhabíaesperado:elprimerartículosobreelcaos

quesepublicóenlarevistaprincipaldelosEstadosUnidos,PhysicalReviewLetters,enlaqueaparecíanlosúltimosavancesdelafísica.Entérminosdepolíticacientífica,fuealgomuyapreciable.

—No era nada extraordinario para nosotros —explicó Crutchfield—; peroBernardosupoqueprovocaríasensación.

Tambiénseñalólaincorporacióndelgrupoalmundoreal.Farmerseencolerizó,porqueinterpretóladefeccióndeCrutchfieldcomounatentadoalespíritucolectivo.


Noobstante,Crutchfieldno fue el único en salirsedel grupo.Pocodespués, elpropio Farmer y Packard colaboraban con físicos y matemáticos consolidados:Huberman, Swinney y Yorke. Las ideas de Santa Cruz se transformaron en partefirme de la estructura del estudiomoderno de los sistemas dinámicos. Cuando unfísicodisponíadeunamasadedatoscuyadimensiónoentropíaqueríainvestigar,lasdefinicionesapropiadasylastécnicasdetrabajobienpodíanserlascreadasdurantelos años de remiendos de clavijas de conexión del ordenador analógico Systron-Donner,ylosdeobservacióndelosciloscopio.Losclimatólogosdiscutíansielcaosde laatmósfera terrestrey losocéanos teníadimensiones infinitas, comoaceptabanlos especialistas en la dinámica tradicional, o si obedecía a un atractor extrañohipodimensional. Los economistas, que analizaban los datos bursátiles, intentabanhallar atractores de dimensión 3,7 o 5,3. El sistema sería tantomás simple cuantomenor fuese la dimensión. Habían de clasificarse y comprenderse muchaspeculiaridadesmatemáticas.Ladimensiónfractal,ladeHausdorff,ladeLyapunov,ladelainformación…FarmeryYorkefueronquienesmejorexplicaronlassutilezasdelasmedidasdeunsistemacaótico.Ladimensióndeunatractorera«elprimerniveldeconocimientonecesarioparacaracterizarsuspropiedades»,elrasgodistintivoqueproporcionaba«lacantidaddeinformaciónrequeridaparaespecificarlasituacióndeunpuntoenelatractorconprecisióndeterminada».Losmétodosde losestudiantesde Santa Cruz y de sus colaboradores de más edad ligaron aquellas ideas a otrasmedidasimportantesdelossistemas:elgradodedecadenciadelapredecibilidad,laproporción del flujo informativo y la tendencia a crear mezcla. En ocasiones, loscientíficos que empleaban aquellos métodos se encontraban de pronto trazandodiagramas de los datos, dibujando cajitas y contando el número de puntosinformativos.Aquellas técnicas,deaspecto tanelemental, situaronporprimeravezlossistemascaóticosenelámbitodelacomprensióncientífica.

Mientras tanto, tras haber aprendido a hallar atractores extraños en banderasflameantes y velocímetros inestables, los científicos tuvieron por norma buscarsíntomas de caos determinista en toda la bibliografía física asequible. Errorinexplicado, fluctuaciones sorprendentes, regularidad junto a irregularidad, etc., seabultaronenlosartículosdeexperimentadoresquehabíantrabajadoconaceleradoresde partículas, lásers, conexiones de Josephson y cuanto se quiera imaginar. Losestudiosos del caos se hicieron cargo de aquellos síntomas y aseguraron a losincrédulos que, en efecto, sus problemas eran también los suyos. Un artículo, porejemplo, se iniciabacon las frases siguientes:«Variosexperimentosefectuadosconosciladores de conexión de Josephson han revelado un chocante fenómeno decrecienteruidoparásito,elcualnoseexplicasegúnlasfluctuacionestérmicas».

Cuando el colectivo se deshizo, parte de la facultad de Santa Cruz se habíadirigidoyaalcaos.Hubofísicosquepensaron, retrospectivamente,queSantaCruz


había desperdiciado la ocasión de convertirse en el centro inicial de trabajo en ladinámica no lineal, los cuales no tardaron en brotar en otras universidades. Alprincipiodeldeceniode1980losmiembrosdelcolectivosegraduaronydispersaron.Shawacabósutesisen1980,Farmeren1981yPackarden1982.LadeCrutchfieldapareció en 1983. Era un revoltillo tipográfico que intercalaba foliosmecanografiados en nomenos de once artículos publicados en revistas de física ymatemática.FuealaUniversidaddeCalifornia,enBerkeley.FarmerseincorporóalaSecciónTeóricadeLosÁlamos.PackardyShawse incorporaronal Institute forAdvancedStudy, enPrinceton.Crutchfield estudió los bucles de realimentación devídeos. Farmer investigó «fractales gordos» y simuló la dinámica compleja delsistemainmunológicodelhombre.Packardexploróelcaosespacialylaformacióndelos copos de nieve. Sólo Shaw pareció refractario a unirse a la corriente. Suinfluyentelegadosecompusosólodedosartículos,unoquelepermitióviajaraParís,yotro,sobreelgrifogoteante,queresumíasusinvestigacionesenSantaCruz.Estuvoenuntris,envariasocasiones,derenunciarporcompletoalaciencia.Comodijounamigosuyo,estabaoscilando.



10RITMOSINTERNOS

Lascienciasnotratandeexplicarycasinointentaninterpretar:seconsagransobre todo a hacer modelos. Por modelo se entiende una construcciónmatemáticaque,conlaadicióndeciertasaclaracionesverbales,describelosfenómenos observados. La justificación de esa construcción matemática esúnicayprecisamentequeseaeficaz.

JOHNVONNEUMANN


Unaideaerróneadelosmodelos

Bernardo Huberman miró a su auditorio, en el que había biólogos teóricos yprácticos,matemáticospuros,físicosypsiquiatras,ysedijoquehabíachocadoconuna perceptible dificultad de comunicación. Entonces, en 1986, acababa depronunciar una charla inusual ante un público inusual, el del primer congresoimportantesobreelcaosenlabiologíay lamedicina,bajo losauspiciosde laNewYork Academy of Sciences, los National Institutes of Mental Health (InstitutosNacionales de Salud Mental) y el Office of Naval Research (Departamento deInvestigaciónNaval).EnelcavernosoAuditorioMasur,delosNationalInstitutesofMentalHealth, en las afuerasdeWashington,Hubermandistinguiómuchos rostrosconocidos, veteranos especialistas en el caos, y muchos otros desconocidos. Unorador experimentado podía esperar alguna impaciencia en quienes le escuchaban:eraelúltimodíadelcongresoylahoradelalmuerzoseavecinabapeligrosamente.

Huberman, elegante californianopelinegro, trasplantadodeArgentina, nohabíaperdidoelinterésenelcaosdesdesucolaboraciónconlosmiembrosdelapandilladeSantaCruz.EramiembroinvestigadordelXeroxPaloAltoResearchCenter.Pero,aveces,interveníaenproyectosquenopertenecíanasuactividadbásica,yallí,enelcongreso biológico, terminaba de describir uno de ellos: un modelo del raromovimientooculardelosesquizofrénicos.

Generaciones de psiquiatras se habían desvivido por definir la esquizofrenia yclasificaraquienes lapadecían;pero laenfermedaderacasi tandifícildedescribircomo de curar. La mayor parte de sus síntomas se manifiestan en la mente y laconducta. Se sabía, desde 1908, que uno de sus síntomas físicos parece afectar nosólo a los enfermos, sino también a sus parientes. Cuando procuran contemplar ellentobalanceodeunpéndulo,losojosdelospacientesnoconsiguenseguirelsuavemovimiento.Elórganovisual acostumbra serun instrumento sumamenteeficaz.Elde una persona sana se adhiere a los objetos móviles sin el menor pensamientoconsciente; las imágenes en movimiento se aquietan en la retina. Pero el de unesquizofrénico salta de forma desorganizada en pequeños incrementos, yendomásalládelblancoonollegandoaél,ycreandounaconstanteconfusióndemovimientosraros.Seignoraelporqué.

Losfisiólogosacumularonduranteañosingentescantidadesdedatos,ehicierontablasygráficasconelfindemostrarlaspautasdelaanómalaactividadocular.Porlo regular, creyeron que las fluctuaciones respondían a las de la señal del sistemanerviosocentralquerigelosmúsculosdelojo.Eloutputdefectuosoimplicabainputerróneo.Talvezalgunostrastornosqueafligíanelcerebrodelosesquizofrénicossereflejaban en los ojos. Huberman, que era físico, no estaba de acuerdo e hizo un


modelosencillo.Pensódelmodomássimpleposibleenelcomportamientodelojoyescribióuna

ecuación.Habíauntérminoparalaamplituddelpéndulobalanceanteyotroparasufrecuencia.Otroparalainerciadelojo.Yunoparaelamortiguamientoolafricción.Yhubotérminosparalacorreccióndelerror,esdecir,paraconcederalojounaformadefijarseenelobjeto.

Como Huberman explicó al auditorio, la ecuación resultante describeexactamente un sistema mecánico análogo: una pelota que gira en una gamellacurvada que se balancea de un lado a otro. Este movimiento corresponde al delpéndulo,ylasparedesdelagamella,alaspectocorrectordelerror,quehadellevarlapelota hacia el centro. En la manera ya habitual de explorar tales ecuaciones,Huberman había tenido durante horas su modelo en un ordenador, cambiando losparámetros y trazando los gráficos de los comportamientos resultantes. Descubrióordenycaos.Enalgunosregímenes,elojoseguíaelblancosindificultad;luego,asíque se aumentaba el grado de no linealidad, el sistema pasaba por una rápidasecuenciadeduplicacióndeperíodoyacarreabaundesorden,quenosedistinguíadelqueexponíalabibliografíamédica.

En el modelo, el comportamiento irregular no tenía relación con una señalexterna. Era consecuencia inevitable del exceso de no linealidad del sistema. Elmodelo de Huberman, en opinión de algunos médicos presentes, parecía ser unogenético,plausible,delaesquizofrenia.Unanolinealidadquepodíatantoestabilizarelsistemacomoperturbarlo, locualdependíadesiaquéllaeradébilofuerte,quizácorrespondiese a un solo rasgo genético. Un psiquiatra comparó el concepto a lagenética de la gota, en la cual un índice demasiado elevado de ácido úrico creasíntomas patológicos. Otros, más al corriente que Huberman de la bibliografíaclínica, replicaronque losesquizofrénicosnoeran losúnicosen tenermovimientosoculares anormales, ya que gran variedad de ellos se observaba en pacientesneurológicos.Oscilacionesperiódicasyaperiódicas, todasuertedecomportamientodinámicoencontraríaen losdatosquiensemolestaseenaplicarles los instrumentosdelcaos.

Por cada científico presente que vio abrirse nuevos caminos de investigación,hubootroquesospechóqueHubermanhabíasimplificadodemasiadosumodelo.

Llegado el momento del debate, su irritación y su desengaño se pusieron demanifiesto.

—Mipreguntaesqué leguíaensumodelo—exclamóuno—.¿Porquébuscaresos elementos específicos de la dinámica no lineal, es decir, esas bifurcaciones ysolucionescaóticas?

Hubermanreflexionóantesdecontestar.—¡Ah, ya veo! Comprendo que he fracasado en mi exposición. El modelo es


sencillo.Alguienvieneymeanuncia:«Observamosesto. ¿Quécreeque sucede?».Entonceslepreguntocuáles,asujuicio,laexplicaciónposible.Ymecontesta:«Loúnico que se nos ocurre es que algo fluctúa, por breve tiempo, en la cabeza».Respondo:«Bueno,soy,hastaciertopunto,especialistaenelcaos,yséqueelmodelonolinealdeestudiomássimplequepuedehacerse,elmássimple,poseeesosrasgosgenéricos,prescindiendodecómoseanesascosas.Porlotanto,hagoesoylagenteexclama:“¡Quéinteresante!”Jamásimaginamosquepudierahabercaosintrínsecoenelsistema».

»Elmodelonoincluyedatoneurofisiológicoqueyopuedadefender.Nodigosinoquelabúsquedamássimpleesalgoquetiendeacometerunerroreiracero.Deesaformamovemos los ojos y de esa forma una antena localiza un aeroplano. Es unmodeloaplicableacualquiercosa.

Otrobiólogoempuñóelmicrófono,aúndesconcertadoporlaescuetasencillezdelmodelodeHuberman.Enlosojosverdaderos,señaló,cuatrosistemasmuscularesdecontroloperanalavez.Seinternóenunacomplicadadescripcióntécnicadeloqueconsideraba simulación realista, exponiendo cómo, por ejemplo, se prescinde deltérmino de masa, porque los órganos oculares encierran muchísima humedad ylíquido.

—Y hay otra complicación, la de que la cantidad de masa depende de lavelocidad de rotación, pues parte de ella se rezaga cuando el ojo acelera conmuchísima rapidez. La materia blanda que lo compone se retrasa cuando elrevestimientoexteriorgiramuyrápidamente.

Pausa.Huberman, en su frustración, no supoqué decir. Finalmente, unode losorganizadores del congreso,ArnoldMandell, psiquiatra que llevabamucho tiempointeresadoenelcaos,lequitóelmicrófono.

—Oigan, deseo presentar una interpretación. Acaban de ver ustedes qué pasacuando un especialista en dinámica no lineal, que trabaja en sistemas globales deescasa dimensión, habla a un biólogo, que emplea instrumentosmatemáticos. Nosextraña la idea de que haya, de hecho, propiedades universales de sistemas en lasrepresentacionesmás simples. Así, pues, la cuestión es «Cuál es el subtipo de laesquizofrenia»,«Haycuatrosistemasmotoresoculares»y«Cuáleselmodelodesdeelpuntodevistadelaestructurafísicareal»,ycomienzaadescomponerse.

»Lo que acontece en el fondo es que, como médicos o científicos que hemosaprendidolasinnúmeraspartesquecomponenuntodo,nosmolestalaposibilidaddequehaya elementosuniversalesdemovimiento.YBernardo sepresenta conunoyveanloquepasa.

Hubermandijo:—Sucedióenfísicahacecincoaños,peroahoraestánconvencidos.


Elcuerpocomplicado

La elección es siempre la misma. El modelo puede hacerse más complicado yapegadoalarealidad,omássencilloymanejable.Sóloloscientíficosmásingenuoscreen que el perfecto representa perfectamente lo real. Tendría los mismosinconvenientes que un plano tan grande y pormenorizado como la ciudad querepresenta,unoenquefigurasentodoslosparques,calles,edificios,árboles,baches,habitantese incluso losplanos.Si tal representación fueseposible, suespecificidadarruinaría su propósito: el de generalizar y abstraer. Quienes ejecutan los planoshacen resaltar los detalles que sus clientes quieren. Sea cual sea su finalidad, losmapasymodeloshandesimplificarcuantopuedanelmundoqueimitan.

ParaRalphAbraham,matemáticodeSantaCruz,unbuenmodeloesel«mundode las margaritas» de James E. Lovelock y Lynn Margulis, proponentes de lahipótesis de Gaia, en que las condiciones necesarias para vivir son creadas ymantenidas por la vida misma, en un proceso autosustentador de realimentacióndinámica. El mundo de las margaritas es quizá la versión de Gaia más sencillaimaginable,tansimplequerayaenloestúpido.

—Haytrescosas—aclaróAbraham—:margaritasblancas,margaritasnegrasyeldesiertodesnudo.Y tres colores:blanco,negroy rojo. ¿CómonosenseñaesoalgosobrenuestraTierra?Explicacómoemergelaregulacióndelatemperatura.Explicapor qué este planeta tiene temperatura adecuada para la vida. El mundo de lasmargaritas es un modelo espantoso, no obstante lo cual, revela cómo se creó lahomeostasiabiológicaenelgloboterráqueo.

Las margaritas blancas reflejan la luz, refrescando la Tierra. Las negras laabsorben,reduciendoelalbedo,ocapacidadreflectora,graciasalocualelplanetaesmáscálido.Perolasmargaritasblancas«ansían»calor,yporellomedransobretodocuando la temperatura asciende. Las negras quieren fresco. Estas cualidades seexpresan con ecuaciones diferenciales, y el mundo de las margaritas se pone enmarcha en un ordenador. Un amplio número de condiciones iniciales guiará a unatractordeequilibrioy,nopornecesidad,aunequilibrioestático.

—Eselmodelomatemáticodeunoconceptual,yesoesloqueinteresa…Nosequierenmodelosdealtafidelidaddesistemasbiológicososociales—dijoAbraham—.Seintroducenlosalbedos,seefectúalaplantaciónprimeraysevenpasarmilesdemillonesdeañosdeevolución.Y seeducaa losniñosparaque seanmiembrosexcelentesdelajuntadedirectoresdelplaneta.

El dechado de sistema dinámico complejo y, por consiguiente, para muchoscientíficoslapiedradetoquedecualquieraproximaciónalocomplicado,setieneenelcuerpohumano.Ningúnobjetodeestudioadisposicióndelosfísicosofreceigual


cacofoníademovimientocontradictorio,aescalasquevande lomacroscópicoa lomicroscópico: actividad de músculos, fluidos, corrientes, fibras y células. Ningúnsistema físico sehaprestado tanto comoél a clase tanobsesivade reduccionismo:cadaórganoposeemicroestructurayquímicapropias,ylosestudiantesdefisiologíainvierten años sólo en aprender la nomenclatura de sus componentes. Pero ¡quéinapresables lleganaseréstos!Ensuexpresiónmásperceptible,unapartecorporalpuede ser un órgano, en apariencia tan bien definido, como el hígado.O una red,especialmente intrincada, sóliday líquida a lavez, comoel sistemavascular.Ounconjunto invisible, tan abstracto como el «tráfico» y la «democracia», como elsistemainmunológico,consuslinfocitosysusmensajerosT4,máquinacriptográficaenminiaturaparacifrarydescifrardatossobrelosorganismosinvasores.Seríaestérilestudiar tales sistemas sin conocimientodetalladode suanatomíay suquímica,desuertequeelcardiólogoaprendelorelativoaltransportefónicoatravésdeltejidodelmúsculo ventricular; el neurólogo las sutilezas eléctricas de la actividad de lasneuronas; y el oftalmólogo el nombre, lugar y propósito de todos los músculosoculares.En ladécadade1980,elcaosprocreóuna fisiologíanuevafundadaen laidea de que los instrumentos matemáticos contribuirían a que los científicosentendieran los sistemas globales complejos con independencia de los detalleslocales. Los investigadores, reconociendo cada vezmás que el cuerpo era sede demovimiento y oscilación, desarrollaron métodos para escuchar su abigarradotamborileo. Dieron con ritmos que no se apreciaban en las preparacionesmicroscópicas o en lasmuestras de sangre. Exploraron el caos en las disfuncionesrespiratorias. Estudiaron los mecanismos de realimentación en el control de loshematíes y leucocitos. Los cancerólogos especularon sobre la periodicidad eirregularidad en el ciclo de la proliferación celular. Los psiquiatras examinaron unplanteamiento multidimensional de la administración de fármacos antidepresivos.Perohubounórganoenquehallazgossorprendentesdominaronelaugedelanuevafisiología. Fue el corazón, cuyos ritmos, estables o inestables, normales opatológicos,pautancontantaprecisiónladiferenciaentrelavidaylamuerte.


Elcorazóndinámico

HastaDavidRuellesehabíaapartadodelformalismoparaespecularsobreelcaosen el corazón, «sistema dinámico de interés trascendental para todos nosotros»,escribió.

«El régimen cardíaco normal es periódico; pero hay muchas patologíasaperiódicas (como la fibrilación ventricular), que llevan al estado estable de lamuerte. Todo hace presumir que podrían derivarse grandes beneficiosmédicos delestudio con ordenador de un modelo matemático realista, el cual reprodujera losdistintosregímenesdinámicoscardíacos».

Equipos de investigadores aceptaron el reto en los Estados Unidos y Canadá.Hacíamuchotiempoquesehabíareparadoenirregularidadesdellatidodelcorazón,quesehabíanestudiado,aisladoyclasificado.Unoídoeducadodistinguedocenasderitmosanómalos.Alamiradaexperta,lasfiguraspuntiagudasdelelectrocardiogramaofrecenindiciosparadescubrirelorigenylagravedaddeunairregularidadrítmica.El profano se da cuenta de la riqueza del problema atendiendo a la abundancia denombres que reciben las diversas arritmias. Hay latidos ectópicos, alternanciaseléctricasy torsionesdepuntas.Hay ritmosacusadosdebloqueoydeescape.Hayparasistolia (atrial o ventricular, pura o modulada). Hay ritmos de Wenckebach(simples o complicados). Hay taquicardia. La fibrilación es lo que más mina laperspectiva de sobrevivir. Esta nómina de ritmos, como la de las partes orgánicas,tranquiliza a los médicos. Permite especificar en la diagnosis de los corazonesmaltrechos, y abordar los trastornos con cierta inteligencia.Pero los investigadoresque usaban el instrumental del caos descubrieron que la cardiología tradicionalefectuaba generalizaciones discutibles, en el caso de los latidos anómalos delcorazón,yque,sinadvertirlo,recurríaaclasificacionessuperficialesqueoscurecíanlascausasfundamentales.

Hallaron el corazón dinámico. Casi siempre sus antecedentes se salían de loordinario. LeonGlass, de laUniversidad deMacGill, enMontreal, era experto enfísicayquímica,enelcultivodelascualessesintióatraídoporlasmatemáticasylairregularidad;completósutesisdoctoralsobreelmovimientoatómicoenloslíquidos,antes de encararse con los latidos anormales del corazón. Típicamente, dijo, losespecialistas diagnostican muchas arritmias observando cortas bandas deelectrocardiogramas.

—Los médicos lo reducen a un problema de reconocimiento de pautas, aidentificar lasquehanvistoenelejerciciodesuprofesiónyen los librosde texto.Desde luego, no analizan con detalle la dinámica de esos ritmos. Sonmuchomásricasdeloquesecoligedelalecturadelasobrasdeenseñanza.


EnlaHarvardMedicalSchool(EscuelaMédicadeHarvard),AryL.Goldberger,codirectordellaboratoriodearritmiadelBethIsraelHospital(HospitaldelaCasadeIsrael), creía que la investigación cardiológica representaba el umbral de lacolaboracióndelosfisiólogosconlosmatemáticosyfísicos.

—Estamos ante una frontera nueva, y una clase nueva de fenomenología nosespera más allá de ella —dijo—. Las bifurcaciones y los cambios abruptos decomportamiento que vemos, no tienen explicación en los modelos linealesconvencionales. Claramente, necesitamos otros modelos, y la física pareceproporcionárnoslos.

Goldbergeryotroscientíficoshabíandesalvarlasbarrerasdelléxicotécnicoydela clasificación institucional. En su opinión, la incomodidad y la antipatía quemuchosfisiólogossentíanporlasmatemáticasrepresentabanunobstáculonotable.

—En1986,lapalabrafractalnoseencuentraenloslibrosdefisiología—dijo—.Sinembargo,estoyconvencidodeque,en1996,nohabráunoenquenofigure.

Elmédicoqueescuchaellatidocardíacooyeelroceyelchoquedefluidocontrafluido, fluido contra sólido y sólido contra sólido. La sangre corre de cavidad encavidad, oprimida por la contracción de los músculos que deja atrás, y dilata lostabiquesquetienedelante.Lasválvulasfibrosassecierran,consonidoaudible,paraimpedirelretrocesodeltorrentesanguíneo.Lascontraccionesmuscularessedebenaunacomplicadaondatridimensionaldeactividadeléctrica.Simularcualquieraspectode la conducta del corazón abrumaría a un superordenador; y sería imposibleestablecer el modelo de todo el ciclo con sus relaciones. Es práctica ajena a lostecnólogosmédicosestablecerunmodelodeordenadordelgénerotancorrienteparaun experto en dinámica que diseñe alas para unBoeing, o flujos demotor para laNASA.

Tanteo y error, por ejemplo, han gobernado el diseño de las válvulas cardíacasartificiales, ingenios de metal y material plástico, que ahora prolongan la vida dequienes tienen deficientes las naturales.Hay que reservar un lugar especial, en losanales de la ingeniería, a la válvula del corazón que proporciona la naturaleza,estructura membranosa, flexible y translúcida, con tres minúsculas cavidades enformadeparacaídas.Debeapartarsegenerosamente,plegándose,paraquelasangreentreenlascámarasdebombeo.Paraimpedirquelacorrientesanguínearetroceda,cuandose la impeleadelante,hade llenarseycerrarseherméticamenteapresión,ytienequehacerlo,sininfiltracionesnirupturas,dosotresmilmillonesdeveces.Losingenieros humanos no han sido tan hábiles. Las válvulas artificiales, de manerageneral,sehanimitadodelosfontaneros;diseñostípicos,comola«bolaenjaulada»,sehanexperimentado,concostoelevado,enanimales.Fuebastantedifícilsalvarlosproblemas evidentes de escapes y fallos causados por la carga. Muy pocossospecharoncuánarduoseríaeliminarotradificultad.Comoalterabanlaspautasdela


fluidezenelcorazón,lasválvulasartificialesengendraronlugaresdeturbulenciaydeestancamiento; cuando se estanca, la sangre forma coágulos, y cuando éstos sequiebranyvan al cerebro, provocan ataques.La coagulación interpusounabarrerafatalenlafabricacióndecorazonesartificiales.Sóloamediadosdeldeceniode1980,cuando los matemáticos del Courant Institute de la Universidad de Nueva Yorkaplicaron a la cuestión nuevas técnicas de modelo de ordenador, el diseño de lasválvulascardíacasempezóasacarprovechodelatecnologíaexistente.Suordenadorhizo películas de un corazón activo, fácilmente reconocible, aunque fuesebidimensional. Cientos de puntos, que representaban las partículas sanguíneas,pasaron por la válvula, distendiendo las paredes elásticas del órgano y generandoremolinos. Los matemáticos notaron que el corazón agregaba todo un campo decomplejidadalproblemaclásicodelflujodefluidos,porqueunmodelorealistadebíaconsiderar la elasticidad de los tabiques cardíacos. En lugar de fluir sobre unasuperficie rígida, como el aire en las alas de un avión, la sangre cambiabadinámicamenteydemodonolineallasuperficiedelcorazón.

Más sutil, y mucho más letal, era la cuestión de las arritmias. La fibrilaciónventricular causa al año centenas de millares de defunciones súbitas sólo en losEstadosUnidos.Enmuchassituaciones,ladisparaalgoespecíficoybienconocido:laobstrucción de las arterias, que acaba en la muerte del músculo bombeante. Elconsumodecocaína,latensiónnerviosaylahipotermiapredisponenalafibrilación.La irrupcióndeésta siguesiendomisteriosaenmuchoscasos.Elmédicopreferiríaver lesiones, cuandoatiendeal enfermoque seha salvadode la fibrilación,porquedispondríadeunapruebadelacausa.Elpacientedecorazónaparentementesano,trasunaccesodefibrilacionesestáenrealidadmásexpuestoasufrirotroataque.

Hay una metáfora clásica para denotar el corazón fibrilador: una bolsa degusanos. En vez de contraerse y distenderse, contraerse y distenderse, de formarepetida y periódica, el tejido del músculo cardíaco se retuerce, sin coordinación,impotenteparabombearlasangre.Enunoquelatacomoesdebido,laseñaleléctricaavanza como onda coordinada a través de su estructura tridimensional. Todas lascélulassecontraenalrecibirlaseñal;despuésserelajan,duranteunperíodocríticoderebeldía,enelquenopuedenponerseenmarchaunavezmásprematuramente.Laondaseinterrumpeenelcorazónfibrilador,yelórganonuncaestádeltodocontraídoorelajado.

Un rasgo desconcertante de la fibrilación estriba en que muchos de loscomponentes cardíacos funcionan con normalidad. A menudo, los nódulosmarcapasos siguen emitiendo latidos eléctricos uniformes. Las células muscularesindividualesrespondenbien.Cadaunarecibeelestímulo,secontrae, lotransmiteysedistiendepara esperar el próximoestímulo.El tejidomuscular tal vezno reveledañoalgunoenlaautopsia.Ésaesunadelasrazonesporlasquelosexpertosenel


caospensaronqueeraimprescindibleotraexploraciónglobal:laspartesdelcorazónfibrilador parecen funcionar, pero el conjunto falla lastimosamente. La fibrilaciónsuponeeldesordenenunsistemacomplejo,comolostrastornosmentales—tenganonoraícesquímicas—losonenotro.

Elcorazónnocesarádefibrilarporsímismo.Esunaclaseestabledecaos.Sóloun choque eléctrico con un aparato desfibrilador —descarga que cualquierespecialista en dinámica reconoce como una perturbación masiva— consiguedevolverelestadoestablealcorazón.Enconjunto,losdesfibriladoressonefectivos.Perosudiseño,comoeldelasválvulasartificiales,haexigidonumerosasconjeturas.

—La tarea de decidir la magnitud y la forma de la descarga eléctrica ha sidoestrictamente empírica —dijo Arthur T. Winfree, biólogo teórico—. No habíaninguna teoría sobre ello. Ahora parece ser que algunos presupuestos no soncorrectos.Hayquecorregirafondoeldiseñodelosdesfibriladores,paramultiplicarsueficaciay,porlotanto,multiplicarlasposibilidadesdeéxito.

Se han ensayado, en especial por el método de tanteo y error, terapias confármacos en otros ritmos cardíacos anormales: «magia negra», como lo definióWinfree. Sin una sólida comprensión teórica de la dinámica del corazón, resultaarriesgadopredecirlosefectosdeunmedicamento.

—En los últimos veinte años, se ha efectuado un trabajo maravilloso en laaveriguacióndelosdetallesrecónditosdelafisiologíadelamembrana,detodaslasfunciones precisas, pormenorizadas, de la inmensa complicación de las partescardíacas. En esencia, la cuestión se halla en estado inmejorable. Pero no se haconsideradolaotracaradelamoneda,ladeobtenerunaperspectivaglobaldecómoactúaelconjunto.


Recomposicióndelrelojbiológico

Winfree procede de una familia en la que nadie fue a la universidad. Empezó,asegura,sintenereducaciónadecuada.Supadre,mientrasascendíadesdeelfondodela escaladelnegociode los segurosdevidaal cargodevicepresidente, llevóa lossuyos,casitodoslosaños,arribayabajodelacostaorientaldelosEstadosUnidos,yWinfree estuvo enmás de una docena de escuelas, antes de concluir la enseñanzasecundaria.Adquirió, poco a poco, la percepción de que las cosas interesantes delmundo se relacionaban con la biología y las matemáticas, y también la de queningunacombinaciónusualdeambashacíajusticiaalointeresante.Porello,decidióno abordarlas del modo habitual. Estudió física mecánica durante un lustro, en laUniversidaddeCornell,yaprendiómatemáticasaplicadasyunacoleccióncompletadehabilidadesdelaboratorio.Preparadoparaquelecontrataselaindustriamilitar,sedoctoróenbiologíayprocurócombinardemanerainnovadoraelexperimentoconlateoría.Comenzó en JohnsHopkins, que hubo de abandonar a consecuencia de susconflictoscon lafacultad,prosiguióenPrinceton,que tuvoquedejarasimismopordificultades de lamisma índole, y finalmente se graduó en Princeton, desde lejos,cuandoyaenseñabaenlaUniversidaddeChicago.

Winfreeeraunaverara,unpensadorinsólito,enelmundobiológico,puesaportódecidida noción geométrica a su estudio de los problemas fisiológicos. Suexploracióndeladinámicadelabiologíaseinició,alprincipiodelosañossetenta,con el estudio de los relojes biológicos o ritmos circadianos. Tradicionalmente, lamateriaseenfocabaconcriterionaturalista:esteritmocorrespondeaeseanimal.EnopinióndeWinfree,lacuestióndebíahacersesegúnelpensamientomatemático.

—Teníalacabezallenadedinámicanolinealycomprendíqueelproblemapodía—y debía— concebirse en esos términos cualitativos. Nadie sabía ni por asomocuáleseranlosmecanismosdelosrelojesbiológicos.Cabíandoscosas:esperaraquelos bioquímicos los imaginasen, e intentar derivar algún comportamiento de losmecanismosconocidos;oestudiarcómofuncionanlosrelojesconformealateoríadelos sistemas complejos y la dinámica no lineal y topológica.Me propuse hacer loúltimo.

Hubounperíodoenquellenósulaboratoriodemosquitosenjaulados.Comosesabe,estosinsectosseanimanadiarioalapuestadelsol.Enunlaboratorioenquesemantengan constantes la temperatura y la iluminación, para inhibirlos del día y lanoche,losmosquitostienenunciclointernodeveintitréshorasynodeveinticuatro.Cadaveintitréshoraszumbanconespecialintensidad.Loquelosalertaalairelibreeslasacudidaluminosaquerecibencotidianamente;dacuerdaasureloj.

Winfree proyectó luz artificial sobre los insectos en dosis que calculó


cuidadosamente.Aquellosestímulosadelantaronoretrasaronelciclosiguiente.Hizola gráfica del efecto obtenido en comparación con la distribución de la sacudida.Después, renunciando a conjeturar qué aspectos bioquímicos mediaban en elfenómeno, consideró el problema demanera topológica, o sea se fijó en la formacualitativadelosdatos,prescindiendodelospormenorescuantitativos.Llegóaunaconclusiónsorprendente:habíaunasingularidadenlageometría,unpuntodiferentede todos los restantes. Estudiando la singularidad, predijo que un estallido de luzespecial,deduracióndadaylanzadoenelmomentooportuno,causaríael trastornototaldelrelojbiológicodeunmosquito.Odecualquierservivo.Laprediccióneraasombrosa,perolosexperimentosdeWinfreelarespaldaron.

—Sevaaunmosquitoamedianocheyse lepropinaciertonúmerodefotones.Esadescarga,biencalculada,estropeasureloj.Enadelante,tieneinsomnio.Dormitayzumbaunrato,todoalazar,ycontinuaráhaciéndolocuantotiemposemolesteunoenobservarle,ohastaquerecibaotrasacudida.Se lehaadministradounchorroderetrasoperpetuo.

Al comienzo de la década de 1970, el enfoquematemático deWinfree de losritmos circadianos despertó poco interés. Por otra parte, era complicado ampliar latécnicade laboratorioaespeciesqueseopondríanaestaren jaulitasdurantemesessinfin.

Laalteracióndelrelojbiológicoyelinsomnioenelhombrefigurabanenlalistadeproblemasbiológicosnosolventados.Losdosfomentabanelpeorcharlatanismo:píldorasinútilesyremediosdecurandero.Losinvestigadoresacopiabandatosdelosseres humanos, por lo regular estudiantes, jubilados o dramaturgos apremiados porterminar una obra, y deseosos de aceptar unos centenares de dólares semanales acambiodevivir«aisladosdeltiempo»:sinluznatural,sincambiostermométricos,sincronómetros,sinteléfonos.Lagenteposeeunciclodesueñoyvigilia,ytambiénunode temperatura corporal. Son osciladores no lineales que se restablecen trasexperimentarlevesperturbaciones.Enelaislamiento,sinestímulosquereponganelritmocotidiano,elciclode temperaturapareceserdeveinticincohoras,con lamásbaja durante el sueño. Pero investigadores alemanes habían averiguadoexperimentalmente que, al cabo de unas semanas, el ciclo de sueño y vigilia sedesgajaba del de la temperatura, y se volvía caprichoso. La gente permanecíadespierta de un tirón durante veinte o treinta horas, y luegodormía durante diez oveinte.Ylossujetosnosólonosepercatabandequesudíasehabíaalargado,sinotambiénsenegabanacreerlocuandoselodecían.SólomediadoslosañosochentaseaplicóalossereshumanoselenfoquesistemáticodeWinfree.

El primer sujeto fue una anciana, que hizo labor de punto durante la primeranoche frente a baterías de luces brillantes. Su ciclo cambió por completo. Informóquesesentíaenelmejorde losmundos,comosicondujerauncochedescapotado.


Winfreehabíatrasladadoyasuatenciónalosritmoscardíacos.Él no hubiese dicho «trasladado». ParaWinfree era lamismamateria: química

distinta, igual dinámica. El corazón le atrajo después de haber observado conimpotencia lamuerte repentina, cardíaca, de dos personas, un pariente durante lasvacacionesestivales,yundesconocidoenunapiscinaenqueWinfreenadaba.¿Porquéseinterrumpíadepronto,transformándoseenfrenesídesesperadoytrágicamenteinefectivo, un ritmo que se había mantenido durante toda una vida, con dos milmillonesdeciclosporlomenos,soportandolarelajaciónylatensión,laaceleraciónyladeceleración?


Arritmiafatal

Winfreenarró lo acontecido aun investigadorpretérito,GeorgeMines, quien en1914teníaveintiochoañosdeedad.EnsulaboratoriodelaUniversidaddeMcGill,enMontreal,habíaconstruidounpequeñoaparatoqueenviaba impulsoseléctricos,débilesybienregulados,alcorazón.


ArthurWinfree

CAOSQUÍMICO.Ondasquesepropagabanencírculosconcéntricoshaciaelexterior,yhastaalgunasenespiral,revelaronelcaosenlareaccióndeBeluzov-Zhabotinsky,muybienestudiadaenquímica.Pautassemejantessehanobservadoenrecipientesqueconteníanmillonesdeamebas.ArthurWinfreeteorizóquetalesondassonanálogasalasdeactividadeléctricaquerecorrenelmúsculocardíacodeunamaneraoraregular,oracaprichosa.

«Minesdecidióquehabía llegadoelmomentode trabajarcon sereshumanosyeligióelsujetoexperimentalmásaccesible:élmismo»,escribióWinfree.«Unbedelentróenellaboratorioalasseisdeaquellamismatarde,extrañadodelsilencio,pocohabitual. Mines yacía debajo de la mesa, enredado en un laberinto de cables


retorcidos. En su pecho, sobre el corazón, había sujeto un mecanismo roto y unaparatocercanoregistrabaeldesacompasadolatidocardíaco.Falleciósinrecobrarelconocimiento».

Esdesospecharqueunchoqueeléctrico, reducido,peropreciso, llegueahacerfibrilar el corazón, y así debió de pensarloMines poco antes de sumuerte. Otrospuedenadelantaroretrasarellatidosiguiente,comoenlosritmoscircadianos.Hay,noobstante,unadiferenciaentreloscorazonesylosrelojesbiológicos,unaimposibledeeliminarnisiquieraenunmodelosimplificado:elórganocardíacotieneunaformaenelespacio.Puedeasirseconlamano.Puedeobservarseenélunaondaeléctricaatravésdetresdimensiones.

Sin embargo, lograrlo pide inventiva.RaymondE. Ideker, delDukeUniversityMedical Center (Centro Médico de la Universidad de Duke) leyó, en 1983, unartículo deWinfree en Scientific American, y notó cuatro predicciones específicassobrelainducciónyladetencióndelafibrilación,basadasenladinámicanolinealylatopología.Idekernolesprestócrédito.Seleantojarondemasiadoespeculativasy,parauncardiólogo,demasiadoabstractas.Alcabodetresaños,lascuatrohabíansidoensayadasyconfirmadas,eIdekerdirigíaunprogramaavanzadoparareunircuantosdatos pudiera y desarrollar con ellos un estudio dinámico del corazón. Era, comodescribióWinfree,«elequivalentecardíacodelciclotrón».

El electrocardiograma típico proporciona únicamente una burda visiónunidimensional.Durante laoperación, el cirujanomueveunelectrododeun sitioaotrodelcorazón,comprobandodecincuentaasesentapuntos,duranteunperíododediez minutos, con lo que obtiene una especie de imagen compuesta. Esta técnicaresulta inútil en la fibrilación. El corazón cambia y se estremece con excesivarapidez. La de Ideker, que se basaba en el proceso de ordenador en tiempo real,consistíaenfijarcientoveintiochoelectrodosenunared,quecolocabaenelcorazóncomoelcalcetínenelpie.Loselectrodosregistrabanelcampodevoltajeamedidaquecadaondarecorríaelmúsculo,yelordenadorproporcionabaunmapacardíaco.

La intención inmediata de Ideker, aparte poner a prueba las ideas teóricas deWinfree,eramejorar los instrumentoseléctricosusadosparadominar la fibrilación.Los serviciosmédicos de urgencia utilizanmodelos típicos de desfibriladores, queenvíanunaenérgicadescargaeléctricaatravésdelpaciente.Atítulodeexperimento,los cardiólogos han desarrollado un pequeño aparato implantable que se fija en elinteriordelacavidadtorácicadelaspersonasmásexpuestasalpeligro,aunquenosesepa con certeza cómo identificarlas. Ese desfibrilador, algo más grande que unmarcapasos,escuchaloslatidoscardíacoshastaqueesnecesariopropinarladescargaeléctrica.Idekeracumulólosconocimientosimprescindiblesparaqueeldiseñodelosdesfibriladoressetransformasedeadivinanza,sometidaagravesriesgos,enciencia.


Embrionesdepolloypulsacionesanormales

¿Porqué las leyesdelcaoshabíandeaplicarsealcorazón,de tejidopeculiar,concélulas,quecomponen fibras ramificadaso relacionadasentre sí,yque transportanionesdecalcio,potasioysodio?LacuestiónintrigabaacientíficosdelaUniversidaddeMcGillyelMassachusettsInstituteofTechnology.

EnMcGill,LeonGlassysuscolegasMichaelGuevarayAlvinSchrierefectuaronuna de las investigacionesmás comentadas de la corta historia de la dinámica nolineal.Emplearondiminutosagregadosdecélulascardíacasdeembrionesdepollodesietedías.Talesbolitascelulares,dealgomásdeunmilímetrodediámetro,colocadasenunplatoysacudidas,latíanespontáneamentealpromediodeunavezporsegundo,sinlaintervencióndeunmarcapasosexterior.Lapulsaciónsepercibíaconclaridadconelmicroscopio.Acontinuación,seideóaplicarunritmoexterno.Loscientíficosde McGill lo llevaron a efecto con un microelectrodo, delgado tubito de cristalacabadoenpuntasutilqueinsertaronenunadelascélulas.Lacorrienteeléctrica,atravésdeltubo,estimulóelconjuntocelularconfuerzayritmoregulablesavoluntad.

Resumieron, en1981, sushallazgos comosigueen laspáginasdeScience: «Elcomportamientodinámicoextraño,vistoprecedentementeenestudiosmatemáticosyexperimentos de las ciencias físicas, puede en general presentarse cuando seperturbandeformaperiódicalososciladoresbiológicos».Observaronduplicacióndeperíodo,estoes,pautasde latidoquesebifurcabanunayotravez,sisealterabaelestímulo.Hicieronmapas dePoincaré y de ciclos.Estudiaron la intermitencia y elbloqueo.

—Puedenestablecersemuchosritmosdistintosentreunestímuloyuntrocitodecorazón de pollo —dijo Glass—. Con las matemáticas no lineales, entendemosbastantebienlosdiferentesritmosysudisposición.Alpresente,laenseñanzadeloscardiólogos no incluye matemáticas dignas de mención; pero, según concebimosestas cuestiones, ése es el modo en que, en algún momento, las generacionesveniderashabrándeconsiderarlas.

Mientrastanto,duranteunprogramasobrecienciasmédicasytecnologíaenquecolaborabanHarvard y elMIT,Richard J.Cohen, cardiólogo y físico, encontró unámbitodeseriesdeduplicacióndeperíodoenexperimentosconperros.Conmodelosdeordenador,ensayóunesquemaplausible,enquelasolasdelaactividadeléctricaserompíanenislasdetejidos.

—EsejemploevidentedelfenómenodeFeigenbaum—dijoelinvestigador—,unfenómeno regular que, en determinadas circunstancias, se vuelve caótico. De elloresulta que la actividad eléctrica del corazón guarda estrecho paralelismo consistemasenlosquesedaelcomportamientocaótico.


Los científicos de McGill recurrieron también a los antiguos datos acopiadossobre diversos géneros de latidos cardíacos anormales. En un síndrome muyconocido,losanómalos,ectópicos,semezclabanconlosnormales,sinuosos.Glassysus colegas examinaron las pautas y contaron los sinuosos intercalados entre losectópicos.Elnúmerovariabaenunaspersonas,aunquesiempre,porcausaignorada,eraimpar:3,5o7.Enotraspersonas,eldelosnormalesformabasiemprepartedelasecuencia:2,5,8,11…

—Se han efectuado esas fantásticas observaciones numerológicas, pero losmecanismos no se comprenden con facilidad—comentó Glass—. Hay a menudoalgunaregularidadenesosnúmeros,y,tambiénconfrecuencia,granirregularidad.Esunlemadeesteasunto:ordenenelcaos.

Losconceptosdelafibrilaciónadoptaronporlocomúndosaspectos.Ideaclásicaeraquelasseñalessecundariasdemarcapasosprocedíandecentrosanormales,enelinterior del propiomúsculo cardíaco, y que chocaban con la señal principal. Talescentrosectópicosdiminutosemitíanondasaintervalosinoportunos,ysepensóquelaacción simultánea y la acumulación parcial rompían la onda coordinada decontracción.LaexploracióndeloscientíficosdeMcGillproporcionóciertoapoyoaestatesis,demostrandoqueunaseriededisfuncionesdinámicaspuedederivarsedelaacciónrecíprocadeunapulsaciónexternayunritmoinherentealtejidodelcorazón.Peroaúnseexplicabacondificultadporquéhabíandesurgir,enprimerlugar,centrossecundariosdemarcapasos.

Elotroconceptoseconcentrónoenlainiciacióndelasondaseléctricas,sinoenelmodocomosonconducidasatravésdelcorazón.LosinvestigadoresdeHarvardyelMIT lo siguieron.Averiguaronquehabía anomalías en la onda, que, girando encírculos apretados, podían causar el «reingreso», en el que algunas áreas iniciabandemasiado pronto un nuevo latido, impidiendo que el corazón hiciera la pausaimprescindibleparaqueelbombeofuesecoordinado.

Insistiendo en los métodos de la dinámica no lineal, los dos grupos deinvestigadorespudieronusarelconocimientodequeelcambioleveenunparámetro—talvezenlaregulaciónoenlaconductividadeléctrica—acasollevaraunsistema,sanoentodoslosaspectos,medianteunpuntodebifurcación,auncomportamientocualitativamente nuevo. También empezaron a encontrar un campo común para elestudio global de los trastornos cardíacos, asociando desórdenes que antes seconsideraban inconexos. Además, Winfree creyó que, no obstante el diferenteenfoque, la escuela del latido ectópico y la del reingreso estaban en lo cierto. Sucriteriotopológicosugeríaquelasdosideaspodíanformarunasola.

—Losobjetosdinámicossuelensercontraintuitivos,yelcorazónsehallaenesecaso—dijoWinfree.

Los cardiólogos alimentaron la esperanzadeque la investigaciónproduciría un


método científico para identificar a las personas expuestas a la fibrilación, diseñaraparatos desfibriladores y prescribir fármacos.Winfree esperó que la visión total ymatemática de aquellas cuestiones fecundaría una disciplina casi inexistente en losEstadosUnidos:labiologíateórica.


Elcaoscomosalud

Hay ahora fisiólogos que hablan de enfermedades dinámicas, consistentes endesórdenesdesistemasyen rupturasdecoordinaciónodecontrol.Unamaneradeformularloes:«Sistemasqueporlogeneraloscilan,dejandehacerloolohacendemodonuevoeinesperado,yotros,quenoacostumbranoscilar,seponenahacerlo».Esos síndromes incluyen trastornos respiratorios, tales como jadeos, respiracionesaudibles, respiración de Cheyne-Stokes y apnea infantil, relacionada con el de lamuertesúbitaenla infancia.Haydesórdenesdinámicosdelasangre,entreellosungénerode leucemiaenque losdesequilibriosalteranelequilibriode los leucocitos,glóbulos rojos, plaquetas y linfocitos. Algunos científicos especulan que laesquizofreniayciertasdepresionespuedenperteneceraestacategoría.

Hayfisiólogosqueseinclinanaconcebirelcaoscomosalud.Sereconoce,desdehace bastante tiempo, que la no linealidad en los procesos de realimentación sirvepara regular y controlar. Dicho escuetamente: el proceso lineal que reciba unempujoncillotiendeapermanecerunapizcaalejadodelatrayectoriaordinaria;yotrono lineal, con idéntico empujón, propende a retornar al punto de partida.ChristianHuygens, físico holandés del siglo XVII, que contribuyó a inventar el reloj depénduloylacienciadeladinámicaclásica,dioporcasualidadconunodelosgrandesejemplos de esta forma de regulación, o al menos así se cuenta tradicionalmente.Notó un día que un juego de relojes, adosado a una pared, se movían con lasincronización perfecta de coristas bien adiestradas. Sabía que los cronómetros nopodíanser tanprecisos.Ladescripciónmatemáticadelpéndulodequeentonces sedisponíanoexplicabaaquellamisteriosapropagacióndelordendeunpénduloaotro.Huygens coligió correctamente que los relojes se coordinaban con las vibracionestransmitidasporlamadera.Estefenómeno,enqueuncicloregularseacoplaaotro,sellamaarrastreosimpatía.ExplicaporquélaLunasiempremirahacialaTierrao,demodomásgeneral,lossatélitesartificialesseinclinanagirarenalgunarazóndenúmeroenterodesuperíodoorbital:1a1,2a1o3a2.Cuandolarazónseaproximaa un número entero, la no linealidad de la atracción demarea del satélite tiende aarrastrarlo. Este fenómeno se presenta en toda la electrónica, y hace posible, porejemplo,queunreceptorderadiocapteseñalesinclusocuandosufrecuenciaencierrapequeñas fluctuaciones. También explica la capacidad de grupos de osciladores,incluyendo los biológicos, como las células cardíacas y encefálicas, para actuarsincronizadamente. Una muestra espectacular de ello en la naturaleza es unaluciérnagadelsudestedeAsia,lacualsecongregaamillaresenlosárbolesduranteelperíododereproducción,parpadeandoenfantásticaarmoníaespectral.

Contodosesosfenómenosdecontrol,larobustezadquiereimportanciacrítica:lo


bien que un sistema pueda soportar pequeñas sacudidas. Y, en los biológicos, laflexibilidad:cuánbienfuncionaunsistemaenunagamade frecuencias.Elarrastreen un solo modo puede convertirse en esclavitud, impidiendo que un sistema seadapte al cambio. Los organismos han de reaccionar a circunstancias que varíanrápidamenteysinconcierto;ningúnritmocardíacoorespiratorioquedaincluidoenlasperiodicidadesestrictasdelmodelofísicomássencillo,ylomismotienevalidezencuantoalosritmosmássutilesdelrestodelcuerpo.Algunosinvestigadores,comoAryGoldbergerde laHarvardMedicalSchool,propusieronque ladinámicasanaorobustaestabamarcadaporestructuras físicas fractales,como las ramificacionesdelos tubosbronquiales enelpulmón,y las fibras rectorasdel corazón,quepermitenunaampliaseriederitmos.PensandoenlosargumentosdeRobertShaw,Goldbergernotó: «Los procesos fractales asociados con espectros escalares y de banda ampliason“ricoseninformación”.Losestadosperiódicos,encambio,reflejanespectrosdebandaestrechaylosdefinensecuenciasmonótonas,reiterativas,vacíasdecontenidoinformador».Trataraquellosdesórdenes,apuntarontantoélcomootrosfisiólogos,talvez dependiese de ampliar la reserva espectral de un sistema, de su posibilidad derecorrermuchasfrecuenciassincaerenuncanalcerradoperiódico.

Arnold Mandell, el psiquiatra y estudioso de la dinámica de San Diego, quedefendióaBernardoHubermanenelcasodelmovimientoocularenlaesquizofrenia,fuemuchomásallásobrelaintervencióndelcaosenlafisiología.

—¿Será posible que la patologíamatemática, esto es, el caos, sea salud? ¿Y lasalud matemática, que es la predecibilidad y lo diferenciador en este género deestructura,seaenfermedad?

Mandell había recurrido al caos, en la temprana fecha de 1977, cuando halló«comportamiento peculiar» en ciertos enzimas del cerebro, que sólo podíainterpretarse conforme a los métodos nuevos de la matemática no lineal. Habíaalentadoconfrasessemejanteselestudiodelasmarañasoscilantestridimensionalesdemoléculasproteínicas;envezdedibujarestructurasestáticas,afirmó,losbiólogosdebían entender aquellas moléculas como sistemas dinámicos, capaces detransicionesdefase.Era,comoexpresó,fanáticoentusiasta,ysuinterésprimordialsecentróenelórganomáscaótico.


JamesA.Yorke

ARMONÍASCAÓTICAS.Laacciónrecíprocadediferentesritmos,talescomolasfrecuenciasderadioolasórbitasplanetarias,produceunaversiónespecialdelcaos.Imágenesdeordenadordealgunos«atractores»queaparecenenocasionescuandotresritmoscoinciden.


TheodorSchwenk

FLUJOSCAÓTICOS.Cuando se introduce una vara en un fluido viscoso, se genera una forma onduladasencilla.Silaintroducciónserepitevariasveces,aparecenformasmáscomplicadas.

—Enbiología,sellegaalequilibrioconlamuerte—dijo—.Cuandoospreguntosivuestrocerebroesunsistemaenequilibrio,lomejorquepuedohaceresordenarosquenopenséisenelefantesduranteunosminutos,yentoncessabréisquenoesunsistemaequilibrado.

EnopinióndeMandell, losdescubrimientosdel caos imponenuncambioeneltratamientoclínicodelostrastornospsiquiátricos.Desdeelpuntodevistaobjetivo,laacciónmodernadela«psicofarmacología»—elempleodefármacosparatratartodo,desdelaansiedadyelinsomnioalaesquizofrenia—tienequedeclararseunfracaso.Pocos pacientes —aceptando que lo hagan— se curan. Las manifestaciones másviolentas de la enfermedad mental se moderan, pero nadie sabe con quéconsecuencias a largo plazo. Mandell ofreció a sus colegas una evaluación


escalofriante de las medicinas más utilizadas. Las fenotiazinas, recetadas a losesquizofrénicos, empeoran el trastorno fundamental. Los antidepresivos tricíclicos«aumentanlavelocidaddelciclodelosestadosdeánimo,yconduceaincrementosalargo plazo del número de recaídas psicopatológicas». Etcétera. Sólo el litio habíaproporcionado éxitos médicos, indicóMandell; pero únicamente en el cuidado dedeterminadostrastornos.

En su criterio, el problema era conceptual. Los métodos clásicos para trataraquella«máquinainestabilísima,dinámicaydeinfinitasdimensiones»eranlinealesyreduccionistas.«Elparadigmasubyacenteesaún:ungen→unpéptido→unenzima→unneurotransmisor→unreceptor→uncomportamientoanimal→unsíndromeclínico→ un fármaco→ una escala clínica de clasificación. Señorea en casi todainvestigaciónytratamientodelapsicofarmacología.Másdecincuentatransmisores,milesdetiposcelulares,complicadafenomenologíaelectromagnéticaeinestabilidadcontinua, basada en actividad autónoma en todos los niveles, desde las proteínashastaelelectroencefalograma…,y,sinembargo,elcerebroseconcibeaúncomouncuadro de distribución química». Alguien, expuesto al mundo de la dinámica nolineal,sólopodíadarunacontestación:¡Cuáningenuos!Mandellinstóasuscolegasa que procurasen comprender las móviles geometrías que sustentan sistemas tancomplicadoscomolamente.

Muchosotroscientíficosemprendieronlaaplicacióndelosformalismosdelcaosala investigacióndela inteligenciaartificial.Ladinámicadesistemasquevagabanentre cuencas de atracción, por ejemplo, atrajo a quienes buscaban la forma deestablecermodelosdesímbolosyrecuerdos.Elfísicoquepensaraenlasideascomoregiones de límites imprecisos, separadas, aunque coincidentes, atrayendo comoimanes y, al mismo tiempo, dejando ir, recurriría naturalmente a la imagen de unespaciodefasescon«cuencasdeatracción».Talesmodelosparecíantenerlosrasgosidóneos: puntos de estabilidad mezclados con inestabilidad, y regiones de límitesmutables.Suestructurafractalofrecíalaclasedecualidaddeautorreferenciainfinitaque posee, al parecer, importancia tan esencial en la capacidad de la mente paraflorecerenideas,decisiones,emocionesydemáselementosdelaconsciencia.Conelcaos o sin él, los científicos cognoscitivos honestos no pueden establecer ya unmodelo de la mente como una estructura estática. Reconocen una jerarquía deescalas,desdelaneuronaenadelante,quebrindalaoportunidadaljuegorecíprocodemacroescalasymicroescalas,tanpeculiardelaturbulenciafluidaydeotrosprocesosdinámicoscomplejos.

Pauta nacida en lo informe: ésa es la belleza fundamental de la biología y sumisterio básico. La vida succiona orden de un océano de desorden. ErwinSchrödinger, pionero de la teoría cuántica y uno de los físicos que efectuaronincursionesdeaficionadoenlaespeculaciónbiológica,loexpresóasíhacecuarenta


años:Unorganismovivo tiene el «asombrosodonde concentrar una “corriente deorden”ensímismoyse libradeesasuertededecaerenelcaosatómico».Parecíaevidente a Schrödinger, como físico, que la estructura de la materia viva sediferenciabadelaqueestudiabansuscolegas.Lapiedraangulardelavida—todavíanosellamabaADN—erauncristalaperiódico.«Hastaahorahemostratadoenfísicasólo con cristales periódicos. Para la mente de un físico humilde, son objetosinteresantísimos y complicados; representan una de las estructuras materiales másfascinadorasycomplicadasconquelanaturalezainanimadaconfundesuingenio.Noobstante,comparadosconelcristalaperiódico,frisanenlomanifiestoeinsulso».Sediferenciabancomoelpapeldeparedyeltapiz,comolarepeticióninsistentedeunmotivoy lavariación fastuosay coherentede la creacióndeunartista.Los físicoshabíanaprendidoacomprendersóloelpapeldepared.Porlotanto,nomaravillabaquehubiesencontribuidotanpocoalprogresodelabiología.

La opinión de Schrödinger se salía de lo habitual. Que la vida era a la vezordenada y complicada equivalía a repetir una perogrullada; ver la aperiodicidadcomofuentedesuscualidadesespecialesbordeabalomístico.Enaquellaépocanilosmatemáticos ni los físicos proporcionaron apoyo a la idea. No había instrumentosidóneosparaanalizar la irregularidadcomoelementoconstitutivodelavida.Ahorasedisponedeellos.


11ELCAOSYALLENDE

Aquíseintentanadamenosquelaclasificacióndelosingredientesdeuncaos.HERMANMELVILLE,

MobyDick


Nuevascreencias,nuevasdefiniciones

Hace veinte añosEdwardLorenz reflexionaba sobre la atmósfera,MichelHénonsobre las estrellas y Robert May sobre el equilibrio de la naturaleza. BenoîtMandelbrot era un matemático desconocido de la IBM, Mitchell Feigenbaum unestudiantenograduadodelCityCollegeneoyorquinoyDoyneFarmerunmuchachoque crecía en Nuevo México. La inmensa mayoría de los científicos practicantescompartía un cuerpo de creencias acerca de la complejidad. Y creían en ellas contantafe,quenonecesitabanexpresarlasverbalmente.Sólomástardefueposibledecirquéeranysometerlasaexamen.

Los sistemas simples se comportan de manera simple. Un artilugio mecánicocomoelpéndulo,unpequeñocircuitoeléctricoounapoblaciónidealizadadepecesenunestanque…Mientrasestossistemaspudieranreducirseaunaspocasleyes,bienentendidas y totalmente deterministas, su conducta a largo plazo sería estable ypredecible.

Elcomportamientocomplejoimplicacausascomplejas.Unaparatomecánico,uncircuitoeléctrico,unapoblacióndeanimalesenlibertad,unacorrientefluida,unhazde partículas, una tormenta, una economía nacional, en fin, cualquier sistemavisiblemente inestable, impredecible o anárquico, tenía que obedecer amultitud decomponentesindependientesoestarsometidoainfluenciasexternasesclavasdelazar.

Diferentes sistemas se comportan de manera distinta. El neurobiólogo quededicabasucarreraaestudiarlaquímicadelasneuronashumanas,sinsaberalgodela memoria o la percepción; el diseñador aeronáutico que utilizaba los túneles depruebaspara solventarproblemasaerodinámicos, sinentender lamatemáticade lasturbulencias;eleconomistaqueanalizabalapsicologíadelasdecisionesdecompra,sin adquirir la destreza de pronosticar las tendencias a largo plazo, todos esoscientíficos ymuchosmás, convencidos de que los componentes de sus disciplinaserandiferentes,aceptabancomocosalógicaquehabíandeserasimismodistintoslossistemascomplicados,consistentesenmilesdemillonesdeesoscomponentes.

Ahora bien, eso ha cambiado en la actualidad. En veinte años, físicos,matemáticos,biólogosyastrónomoshanestablecidoideasvariantes,sustitutivas.Lossistemas simples motivan comportamiento complejo. Los sistemas complicadoscausan comportamiento sencillo. Y, lo que es más importante, las leyes de lacomplejidadtienenvalidezuniversal,ysedespreocupandelosdetallesdelosátomosconstitutivosdeunsistema.

El cambio no tuvo trascendencia inmediata para la multitud de científicospracticantes, fuesen físicos atómicos, neurólogos o matemáticos. Siguierontrabajando en las cuestiones que les planteaba la investigación en el seno de sus


disciplinas. Pero sabían de algo llamado caos, y que algunos difíciles fenómenoshabíansidoexplicados,yquedeprontootrosparecíanexigirnuevasexplicaciones.Quienestudiabalasreaccionesquímicasenellaboratorio,laspoblacionesdeinsectosen un experimento de campo, en el término de tres años, o las variaciones de lastemperaturas oceánicas, no podía justificar del modo tradicional la presencia defluctuacionesuoscilacionesinesperadas,esdecir,ignorándolas.Paraalgunosaquellorepresentó quebraderos de cabeza. Por otra parte, desde el punto de vista práctico,estabanalcorrientedequehabíadinerodelgobiernofederalydelasindustriasparafacilitarlainvestigacióndeaquellacienciadeíndolevagamentematemática.Crecióen ellos la comprensión de que el caos ofrecía una forma reciente de manejarantiguos datos, olvidados en los cajones del escritorio, porque eran demasiadocaprichosos e incoherentes. Pensaron cada vez con más convicción que elencajonamientoestancodelacienciaoponíaunobstáculoasulabor.Percibieronconacuidadque,coneldecursodeltiempo,seintensificabalainutilidaddeestudiarlaspartes, haciendo salvedad del todo. Para ellos el caos era la desaparición delprogramareduccionistaenlaciencia.

Incomprensión; resistencia; enojo; aceptación. Quienes más habían luchado enfavordelacausadelcaossufrierontodoaquello.JosephFord,delGeorgiaInstituteofTechnology,recordóquehabíadadounaconferencia,enladécadade1970,aungrupo de especialistas en termodinámica, durante la cual mencionó que habíacomportamiento caótico en la ecuación de Duffing, modelo, bien conocido en loslibrosdetexto,deunosciladorsencillosometidoafricción.Laexistenciadecaosenaquella ecuación era para Ford algo curioso, una de las cosas que sabía que eranciertas, aunque transcurrieron varios años antes de que se proclamase enPhysicalReviewLetters.Fuecomosihubieseafirmadoaunacohortedepaleontólogosquelosdinosauriosteníanplumas.

—¿Qué pasó cuando dije aquello? ¡Santo cielo! Los presentes se pusieron abrincar.Todofue:«MipapásedivirtióconlaecuacióndeDuffing,ymiabuelitosedivirtió con la ecuacióndeDuffing, y nadie, ¡nadie!, encontró esode lo queustedhabla».Esperabaqueseopusieranalanocióndequelanaturalezaescomplicada.Loquenoentendífuetantahostilidad.

Cómodamente instalado en su oficina de Atlanta, mientras el sol invernalagonizabaenelexterior,Fordbebíagaseosaenuna jarradescomunal,en laquesehabíapintado,conbrillantescolores,lapalabra«caos».SucolegaRonaldFox,másjoven, narró su conversión, poco después de haber comprado para su hijo unordenadorAppleII,enunaépocaenqueelfísicoqueserespetasenoadquiríatalesmáquinas para trabajar con ellas. Había oído que Mitchell Feigenbaum habíadescubierto leyes universales, que guiaban el comportamiento de las funciones derealimentación, y decidió escribir un programa corto para contemplar el


comportamientoenlapantalladelApple.Lovioplasmadoenella:bifurcacionesenformadehorcaylíneasestablesqueserompíanendos,luegoencuatroydespuésenocho; aparición del mismísimo caos y, dentro de él, asombrosa regularidadgeométrica.

—Enunpardedías,serehacetodolodeFeigenbaum—aseveróFox.Algunoscientíficos jugaronconaquellosprogramasdurantecierto tiempoy los

abandonaron. Otros no resistieron su atractivo. Fox perteneció a los que, teniendoconcienciade los límitesde laciencia linealclásica,no losolvidaron.Sabíaquesehabía acostumbrado a eliminar los problemas difíciles no lineales. El físico, en lapráctica,acabasiemprepordecir:Heaquíunacuestiónquemellevaráalmanualdelas funciones especiales, que es el último lugaral quedeseo ir, y estoy tan segurocomoquehedemorirquenorecurriréaunamáquina.Soydemasiadorefinadoparahacerlo.

—La imagen general de la no linealidad llamó la atención a mucha gente,despacioalprincipioyluegoconrapidezprogresiva—dijoFox—.Todoslosquelamiraban obtenían algún fruto. Ahora volvemos a los problemas encontrados,cualesquiera que sean las ciencias que cultivemos. Hubo un punto en querenunciamos,porquesevolvíannolineales.Alpresente,sabemoscómoexaminarlos,yporesolosrescatamosdelolvido.

»Siunáreacrecedepronto,hayqueatribuirloaqueunnúcleodepersonassienteque les ofrecerá algo, o que, si modifican sus investigaciones, serán muy bienrecompensadas.Elcaosesparamísueño.Prometeque,siseentraeneljuego,talvezsehagasaltarlabanca.

No obstante, no hubo coincidencia de pareceres en cuanto al nombre y ladefiniciónquehabíaquedarle.

PhilipHolmes,barbicanomatemáticoypoetadeCornell,procedentedeOxford:Lascomplicadas,aperiódicasyatractivasórbitasdeciertossistemasdinámicos(porlocomúnhipodimensionales).

HaoBai-Lin,físicodeChina,quecoleccionómuchosartículoshistóricossobreelcaosenunvolumendeconsulta:Unaespeciedeordensinperiodicidad.Y:Campodeinvestigación que se extiende con rapidez y en el que matemáticos, físicos,hidrodinámicos,ecólogosymuchosotroshanefectuadoimportantescontribuciones.Y:Claseubicuayrecientementereconocidadefenómenosnaturales.

H.BruceStewart,expertoenmatemáticasaplicadasenelBrookhavenNationalLaboratory(LaboratorioNacionaldeBrookhaven)deLongIsland:Comportamientorecurrente y, en apariencia, debido al azar en un sistema determinista simple (deregularidadsemejantealadeunreloj).

Roderick V. Jensen, de la Universidad de Yale, físico teórico que explora laposibilidaddelcaoscuántico:Elcomportamientoirregular,imprevisible,desistemas


dinámicosdeterministasnolineales.JamesCrutchfield,delcolectivodeSantaCruz:Dinámicaconentropíamétrica

positiva, pero finita. La traducción matemática es: Comportamiento que produceinformación (amplía pequeñas incertidumbres), pero que no es absolutamenteimpredecible.

YFord,queseproclamaapóstoldelcaos:Dinámicalibrealfindelascadenasdeordenypredecibilidad…Sistemas liberadosparaexploraralazarcadaunadesusposibilidades dinámicas… Estimulante variedad, riqueza de elección, plétora deoportunidades.

John Hubbard, al examinar las funciones iterativas y la infinita frondosidadfractal del conjunto deMandelbrot, consideró que el de caos era nombre de pocamontaparadescribir su trabajo, puestoque implicabaazar.A su juicio, elmensajeimperioso consistía en que los procesos sencillos producían en la naturalezamagníficosedificiosdecomplejidadsinazar.Enlanolinealidadylarealimentaciónseteníanlosinstrumentosnecesariosparadescifrarydesplegarestructurastanricascomoelcerebrohumano.

Paraotroscientíficos,comoArthurWinfree,queexplorabanla topologíaglobaldelossistemasbiológicos,eldecaoseranombreinsuficienteporloangosto.Dabaaentenderlossistemasmuysencillos,losdiagramasunidimensionalesdeFeigenbaumy los atractores extraños bidimensionales y tridimensionales (y una fracción) deRuelle. El caos hipodimensional, presentía Winfree, era un caso particular. Leinteresaban las leyes de la complejidad de múltiples dimensiones, y estabaconvencidodequeexistían.Granparte—demasiada—deluniversoparecíamásalládelámbitodelcaoshipodimensional.

La revistaNature publicó un debate abierto y constante sobre si el climade laTierra seguía un atractor extraño. Los economistas procuraron reconocerlos en lastendenciasdelmercadodevalores,perohastaentonceshabíanfracasado.Losperitosendinámicaesperaronusarlasherramientasdelcaosparaexplicarlaturbulenciaensuplenitud.AlbertLibchaber,queya formabapartede laUniversidaddeChicago,pusosueleganteestiloexperimentalalserviciodelaturbulencia,creandounacajadehelio líquidomiles de vecesmás grande que laminúscula de 1977.Nadie supo sitales experimentos, que liberaban desorden fluido en el espacio y el tiempo,encontraríanatractoressencillos.ComoexpresóelfísicoBernardoHuberman:

—Siustedmetieraunasondaenunríoturbulentoydijese:«Miren,aquíhayunatractor extraño hipodimensional», nos quitaríamos el sombrero con respeto ymiraríamos.

Elcaossimbolizabaelconjuntodeideasquepersuadíaaaquelloscientíficosdeque eranmiembros de una empresa común. Todos, físicos, biólogos,matemáticos,etc.,creíanquelossistemassimples,deterministas,podíangenerarcomplejidad;que


losexcesivamenteenrevesadosparalasmatemáticastradicionalesobedecíanaleyessencillas; y que, en cualquiera de los campos que cultivaban, su tarea esencialconsistíaencomprenderlocomplejo.


Lasegundaley,elrompecabezasdelcopodenieveyeldadocargado

«Consideremos de nuevo las leyes de la termodinámica», escribió James E.Lovelock,autordelahipótesisdeGaia.«Ciertamente,debuenasaprimeras,suenancomoelavisopuestosobrelapuertadelinfiernodeDante…».Sinembargo…

Lasegundaleyesundechadodemalasnoticiastécnicas,lacual,partiendodelaciencia, ha echado raíces hondas en la cultura general. Todo tiende al desorden.Cualquierprocesoquecambieunaformadeenergíaenotrapierdealgodecalor.Laeficaciaperfectaesunsueño.Eluniversopuedecompararseaunacallededirecciónúnica. La entropía debe crecer siempre en el universo y en cualquier sistema,hipotéticamente aislado, que haya en él. De cualquier manera que se formule, lasegunda leysepresentacomoregla inapelable.Esoesverdaden la termodinámica.Perohaconquistadovidapropiaenreinosintelectualesmuyalejadosdelaciencia,enlosqueselaculpadeladesintegracióndelassociedades,ladecadenciaeconómica,la destrucción de las buenas maneras y muchas otras variaciones del tópico delaumentode la imperfección.Ahoraseconsideranespecialmentedescaminadasesasencarnacionescolateralesymetafóricasdelasegundaley.Lacomplejidadfloreceennuestromundo, y quienes recurren a la ciencia para entender demodo general loshábitosdelanaturalezaquedaránmássatisfechosconlasleyesdelcaos.

Después de todo, en tanto quemengua hacia su equilibrio final, en el informebaño turco de la entropíamáxima el universo se las arregla para crear estructurasinteresantes.Losfísicosreflexivos,aquienesinteresalaaccióndelatermodinámica,sedancuentadecuáninquietanteeslacuestión,comodijounodeellos,«decómounacorrientedeenergía,faltadepropósitodeterminado,aportavidayconscienciaalmundo». Forma parte del desconcierto la resbaladiza noción de la entropía,razonablemente bien definida con fines termodinámicos en términos de calor ytemperatura,peroinverosímilmentearduacuandohayqueutilizarlacomomedidadeldesorden.Losfísicostopanconsobradasdificultadesensudeseodemedirelgradode orden en el agua, que compone estructuras cristalinas durante su transición alhielo,mientras la energía se disipa demodo incesante. La entropía termodinámicafracasalamentablementecomomedidadelgradomutabledeformaydefaltadeellaen la creación de los aminoácidos, microorganismos, plantas y animalesautorreproductores, y sistemas complejos de información, como el cerebro. Desdeluego,esosislotesproductoresdeordenhandeobedeceralasegundaley.Lasleyesmásimportantes,lascreadoras,sehallanenotraparte.

La naturaleza crea pautas y patrones. Unos están ordenados en el espacio ydesordenados en el tiempo, y otros viceversa.Hay pautas fractales, que exhiben a


escalaestructurassimilaresasímismas.Otrasproducenestadosestablesuoscilantes.La formación de pautas y patrones se ha convertido en una rama de la física y laciencia de los materiales, permitiendo que los científicos modelen la reunión departículas de agregados, la dispersión fracturada de las descargas eléctricas, elcrecimiento de cristales en el hielo y las aleacionesmetálicas. Su dinámica parecemuybásica—formasquesealteranenelespacioyeltiempo—;sóloahoraseposeenlosinstrumentosparacomprenderlos.Ahoraeslícitopreguntaraunfísico:«¿Porquétodosloscoposdenievesondistintos?».

OskarKapp,inset:ShoudonLiang

RAMIFICACIÓNYAGRUPACIÓN.Elestudiode la formacióndepautas,quehaestimulado lamatemáticafractal,unióalgunas tannaturalescomola trayectoriasesgadadeunadescargaeléctricay laagrupaciónsimuladadepartículasquesemuevenalazar(recuadro).


MartinGlicksman/FereydoonFamily

Los cristales de hielo nacen en el aire turbulento con una conocidamezcla desimetríayazar:labellezaespecialdelaindeterminaciónséxtuple.Cuandoelaguasecongela, los cristales emiten puntas; cuando éstas crecen, sus límites se haceninestablesynuevaspuntasbrotanenloslados.Loscoposdenieveobedecenaleyesmatemáticas de asombrosa sutileza. Era imposible vaticinar con exactitud lavelocidadconquecreceríaunapunta,cuánangostaseríaoconcuántafrecuenciasebifurcaría. Generaciones de científicos dibujaron y catalogaronmúltiples patrones:láminas y columnas, cristales y policristales, agujas y dendritas. Los tratadospresentaronlaformacióndeloscristalescomoasuntodeclasificación,afaltadecosa


mejor.Eldesarrollodetalespuntas,dendritas,seaceptaahoracomoproblemadelímites

inestablesylibres,sumamentenolineal,porlocualhadeentendersequelosmodelosnecesitan seguir una frontera complicada y culebreante al paso que se transforma.Cuando la solidificación va del exterior al interior, como en una cubeta, el límitesuelepermanecerestableyuniforme,porquelasparedestienenlafacultaddeirradiarcalorydominanlavelocidaddeformación.Perocuandoelcristalsesolidificahaciael exterior, a partir de un núcleo inicial —como el copo de nieve, que capturamoléculasdeaguamientrascaeatravésdelairecargadodehumedad—,elprocesosehaceinestable.Cualquierpizcadelímitequeseanticipeasusvecinastieneventajaenrecoger moléculas ácueas y, por consiguiente, crece más de prisa («efecto depararrayos»).Secreanotrasramasy,luego,mássubramas.

Una de las dificultades consistía en cuál de las muchas fuerzas físicas quemediaban era importante y de cuáles podía prescindirse. La principal, como hacemuchotiempoquesabenloscientíficos,esladifusióndelcalorliberadoporelaguaal helarse. No obstante, no explica del todo los patrones que los investigadoresobservanconelmicroscopioenloscoposdenieveolosquehacenenellaboratorio.Recientemente, han encontrado la manera de incorporar otro proceso: la tensiónsuperficial.Elcorazóndelnuevomodelodecopoes laesenciadelcaos:equilibriodelicadoentrelasfuerzasdelaestabilidadydelainestabilidad;interacciónpoderosadefuerzasaescalaatómicayotrasaescalanormal.


DanielPlatt,TamäsVicsek

CONTRAPESO DE LA ESTABILIDAD Y LA INESTABILIDAD. Un líquido forma, al cristalizarse, una puntacreciente(éstaesunafotografíadeexposicionesmúltiples),conunlímitequeseinestabilizayemiteramaslaterales(izquierda).Simulacióndeordenadordelosdelicadosprocesostermodinámicosqueocurrenenlosverdaderoscoposdenieve(abajo).

La difusión del calor tiende a generar inestabilidad, y la tensión superficial,estabilidad.La intervenciónde éstahacequeuna sustanciaprefiera límites suaves,como las paredes de una pompa de jabón. Cuesta energía elaborar superficiesirregulares. El equilibrio de dichas tendencias depende del tamaño del cristal. Ladifusión es sobre todo un proceso macroscópico, a escala grande, y la tensiónsuperficialposeemásfuerzaaescalamicroscópica.


Losefectosdelatensiónsuperficialsontanreducidos,quelosinvestigadoresseacostumbraron, con fines prácticos, a prescindir de ellos.Fueun error.Las escalasmásminúsculasresultaroncruciales;enellaslosefectossuperficialesmostraronqueeran infinitamente sensibles a la estructura molecular de una sustancia que sesolidificaba.Enelhielo,unasimetríamolecularnaturalproporcionaunapreferenciaintrínseca al crecimiento en seis direcciones. Los científicos se sorprendieron aldescubrir que la mezcla de estabilidad e inestabilidad amplía esta preferenciamicroscópica, que crea la labor de encaje cuasi fractal de los copos de nieve. Lasmatemáticas oportunas se debieron no a los meteorologistas, sino a los físicosteóricos, y también a los metalurgistas, interesados en la cuestión. La simetríamolecular de los metales es diferente y, asimismo, los cristales peculiares quecontribuyen a especificar la fuerza de una aleación. Pero las matemáticas sonidénticas, porque las leyes de la formación de pautas y patrones tienen validezuniversal.

La dependencia sensitiva de las condiciones iniciales crea en vez de destruir.Cuandouncopodenieveenformacióndesciendehaciaelsuelo,flotandotípicamenteen el aire durante una hora, o más tiempo, la elección que efectúan las puntasbifurcantes, en un instante dado, depende sensitivamente de cosas tales como latemperatura,lahumedadylaexistenciadeimpurezasenlaatmósfera.Lasseispuntasde un copo, extendiéndose en un espaciomilimétrico, están expuestas a lamismatemperatura, y, ya que las leyes del crecimiento son deterministas, mantienen unasimetríacasiperfecta.Pero,debidoa la índoledelaire turbulento,cualquierpardecopos seguirá caminosmuy diversos. El definitivo archiva la historia de todas lascondiciones cambiantes del tiempo atmosférico que ha experimentado. Y lascombinacioneslleganaserinfinitas.

Loscoposdenieve,comolosfísicossecomplacenendecir,sonfenómenossinequilibrio.Procedendeladescompensacióndelflujodeenergíadeunobjetonaturala otro. El flujo transforma un límite en una punta, la punta en una expansión enramas,ylaexpansiónenunaestructuracomplejajamáspresenciadahastaentonces.Asíquehandescubiertoqueesa inestabilidadse sometea las leyesuniversalesdelcaos,loscientíficoshanaplicadolosmismosmétodosamultituddeproblemasfísicosy químicos. E, inevitablemente, sospechan que será posible hacer lo mismo enbiología.Enelfondodesusmentes,mientrasobservanlassimulacionesdeordenadordeundesarrollodendrítico,venalgas,tabiquescelularesyorganismosquegerminanysedividen.

Al presente, parece haber muchos caminos de acceso desde las partículasmicroscópicas a la complejidad cotidiana. En la física matemática, la teoría de labifurcacióndeFeigenbaumysuscolegasprosperaenlosEstadosUnidosyEuropa.En el cuerpo abstracto de la física teórica, los científicos abordan cuestiones hasta


ahoranoestudiadas,comoladelcaoscuántico,aúnnozanjada:¿Admitelamecánicacuánticalosfenómenoscaóticosdelaclásica?Enelestudiodelosfluidosmóviles,Libchaberconstruye suenormecajadehelio líquido,yPierreHohenbergyGünterAhlersanalizanlasondasde laconvección,defiguras tanraras.Losexpertosenelcaosempleanenastronomíainesperadas inestabilidadesgravitacionalesparaaclararelorigende losmeteoritos, laaparición,alpronto inexplicable,deasteroidesdesdemuchomásalládeMarte.Loscientíficosutilizanlafísicadelossistemasdinámicosparaestudiarelinmunológicohumano,consusmilesdemillonesdecomponentesysucapacidaddeaprender,recordaryreconocerpautas,y,almismotiempo,investiganla evolución con la esperanza de encontrarmecanismos universales de adaptación.Quieneshacentalesmodelosvenenseguidaestructurasquesecopian,compitenysedesarrollanporselecciónnatural.

«Laevoluciónescaosconrealimentación»,escribióJosephFord.Eluniversosecompone de azar y disipación, sí. Pero el azar con dirección llega a producircomplejidadasombrosa.Y,comoLorenzdescubrióhace tanto tiempo, ladisipaciónesagentedeorden.

«Dios juegaa losdadosconeluniverso», replicaForda lacélebrepreguntadeEinstein. «Pero con dados cargados. Y el principal objetivo de la física actual esaveriguar según qué reglas fueron cargados y cómo podremos utilizarlos paranuestrosfines».


Oportunidadynecesidad

Ideas como las señaladas contribuyen al progreso de la empresa colectiva de laciencia. Sin embargo, no hay filosofía, prueba o experimento con vigor suficienteparadesengañaralosinvestigadoresquecreenquelacienciadebeproporcionarantetodo y siempre unmétodo de trabajo. Lo clásico falla en algunos laboratorios. Laciencia normal se extravía, según palabras de Kuhn; un elemento del equipo norespondealoesperado;«laprofesiónnopuedecontinuareludiendolasanomalías».Sinembargo,paraloscientíficos,lasideasdelcaosnohandeprevalecerhastaqueelmétododelcaosseanecesario.

Todos los campos proporcionaron ejemplos. Había en ecología Wilson M.Schaffer,elúltimodiscípulodeRobertMcArthur,decanodeladisciplinaenlosañoscincuentaysesenta.McArthurhabíaedificadounaconcepciónde lanaturalezaqueprestaba base firme a la noción de equilibrio natural. Sus modelos suponían quehabría equilibrios y que las poblaciones de plantas y animales permaneceríancontiguas a ellos.ParaMcArthur, aquello tenía algoque casi podíadefinirse comocualidadmoral: losestadosdeequilibriodesusmodelosacarreabanelempleomáseficaz de los recursos alimentarios y, por lo tanto, el desperdicio mínimo. Lanaturaleza,sinoseinterveníaenella,seríabuena.

Veinte años después, el último estudiante deMcArthur se sorprendió pensandoque estaba condenada al fracaso la ecología fundada en la idea de equilibrio. Lapredisposición lineal traiciona los modelos clásicos. La naturaleza es máscomplicada.En su lugarveel caos,«a lavezestimulanteyunpocoamenazador».Quizá llegue a minar los presupuestos ecológicos más resistentes, anuncia a suscolegas.«Loquepasaporconceptosbásicosenecologíaseasemejaalanieblaantelafuriadelatempestad,enestecasounatempestadtotalynolineal».

Schafferusaatractoresextrañosparaexplorarlaepidemiologíadeenfermedadesinfantiles, tales como el sarampión y las viruelas locas. Ha acopiado datos en lasciudades de Nueva York y Baltimore, en primer lugar, y después en Aberdeen(Escocia)yentodaInglaterrayGales.Hacompuestounmodelodinámicosemejanteaunpénduloamortiguado.Lasenfermedadessobrevienenanualmenteporcontagioentre los niños que vuelven a la escuela, y las amortigua su resistencia natural. Elmodelo de Schaffer predice que tales dolencias tendrán comportamiento llamativopor lo diferente: las viruelas locas han de variar periódicamente, y el sarampión,caóticamente.Y los datos cumplen con exactitud sus predicciones.Lasvariacionesanualescarecíandeexplicaciónparaelepidemiólogotradicional:dependíandelazaryeraninestables.Schaffermuestra,conlastécnicasdelareconstruccióndelespaciodefases,queelsarampiónobedeceaunatractorextraño,cuyadimensiónfractales


alrededorde2,5.HabíacomputadoexponentesdeLyapunovytrazadomapasdePoincaré.—Máspuntualmente—dijo—:cuandosecontempla,laimagensaltaalacaray

unoexclama«¡Diosmío!Eslomismo».Aunqueelatractorseacaótico,laíndoledeterministadelmodeloconsientecierta

predecibilidad.A un año de alta incidencia del sarampión, sigue uno de desplomevertical; a unode infecciónmedia, el índice cambia levemente.Yunode contagioreducidosuscitaenormeimpredecibilidad.ElmodelodeSchafferpronosticótambiénlas consecuencias de moderar la dinámica con programas de vacunaciónmultitudinaria,quenopodíavaticinarlaepidemiologíaclásica.

Lasnocionesdelcaosavanzanendiferentessentidos,ypordistintasrazones,enlasescalascolectivaypersonal.ParaSchaffer,comopara tantosotros, la transicióndesdelacienciatradicionalalcaosocurriódeformainesperada.Erablancoperfectoparalaapología«mesiánica»queRobertMaypublicóen1975;noobstante,leyóelartículoylodescartó.Juzgóquelasideasmatemáticasnopodíanseradecuadasparalaclasedesistemasqueestudiaelecologistapráctico.Sabíademasiadaecologíaparaapreciar lo expuesto por May. Si eran diagramas unidimensionales, se dijo, ¿quérelación tenían con sistemas que cambiaban sin tregua? Un colega le propuso:«ConsulteaLorenz».Anotólareferenciaenunpapelyjamássemolestóenbuscareltexto.

Añosmás tarde,SchaffervivióeneldesiertopróximoaTucson (Arizona).LosestíosleencontraronenlosmontesSantaCatalina,alnorte,islasdechaparros,enlasque sólohacíacalorcuandoel suelodesérticoabrasaba.Enaquellos sotos,durantelos meses de junio y julio, tras la floración primaveral y antes de las lluviasveraniegas, Schaffer y sus estudiantes graduados examinaron abejas y flores deespeciesdiferentes.Aquelsistemaecológicoseponderabaconfacilidad,apesardesusvariacionesanuales.Schaffercontólasabejasentodaslascorolas,midióelpolencon pipetas y analizó los datosmatemáticamente.Los abejorros competían con lasabejasmielíferas,yéstasconlascarpinteras,ySchafferhizounmodeloconvincenteparaexplicarlasfluctuacionesdelapoblación.

En 1980 notó que algo no marchaba bien. Su modelo se vino abajo. El actortrascendentaleraunanimalquenohabíatenidoencuenta:lashormigas.Algunosdesuscolegasecharonlaculpaaltiempoinvernalanómalo;yotros,alestival,nomenosanómalo.Schafferpensóencomplicarsumodeloconmásvariables.Perosesentíafrustradohastalasentretelasdelcorazón.Corriólavozentrelosgraduadosdequenoeraunabicocapasarelveranoconéla1.500metrosdealtitud…Ytodocambiódepronto.

Schafferencontróporcasualidadunaseparatasobreelcaosquímico,observadoen un enrevesado experimento de laboratorio, y presintió que los autores habían


sufrido el mismo problema que él: la imposibilidad de advertir las docenas dereacciones de productos dentro de un recipiente casaba con la de tener en cuentadocenasdeespeciesenlosmontesdeArizona.Contodo,habíantriunfadodondeélhabíafracasado.Leyó,porfin,loreferentealareconstruccióndelespaciodefases.Leyó a Lorenz, Yorke, etc. La Universidad de Arizona patrocinó una serie deconferencias sobre «El orden en el caos». Harry Swinney compareció, y Swinneydominaba el arte de describir los experimentos. Cuando explicó el caos químico,mostróladiapositivadeunatractorextrañoysentenció:«Heaquíeldatoauténtico»,Schaffersintióunescalofrío.

—Supedeprontoqueaquéleramidestino—dijo.Disponíadeunañosabático.Retirólasolicituddefinanciaciónpresentadaenla

National Science Foundation y pidió una beca Guggenheim. En las montañas, lashormigascambiabanconlasestaciones.Lasabejasrevoloteabanysedisparabanconzumbidodinámico.Lasnubessedeslizabanporelfirmamento.Novolveratrabajaralaantigua.



NOTASSOBRELASFUENTESYBIBLIOGRAFÍA

ESTElibrosebasaenlaspalabrasdeunosdoscientoscientíficos,enconferenciaspúblicas, en escritos técnicosy, sobre todo, en entrevistas efectuadas entre abril de1984ydiciembrede1986.Algunos consultados son especialistas en el caos; otrosno.Variosseprestaronacedermuchashorasdesutiempo,durantemesesenteros,yexpusieronvisionesdelahistoriaylaprácticadelacienciaquenopuedenacreditarsedeotromodo.Unospocosproporcionaronmemoriasquenohansidopublicadas.

Existen escasas fuentes de información secundaria sobre el caos, y el lectorprofano que desee ampliar sus conocimientos topará con dificultades en lasatisfacción de sus propósitos. Tal vez la primera introducción general al caos—conserva aún el aroma de la cuestión y presenta parte de las matemáticasfundamentales—sea la secciónqueDouglasR.Hofstadter firmó,ennoviembrede1981, en Scientific American, y que ha sido reimpresa en Metamagical Themas(NuevaYork:BasicBooks,1985).Doscoleccionesútilesdelosartículoscientíficosmás influyentes sonChaos de Hao Bai-Lin (Singapur: World Scientific, 1984) yUniversality in Chaos, de Predrag Cvitanović (Bristol: Adam Hilger, 1984). Estasselecciones apenas presentan coincidencias; y la primera de ellas quizá tengaorientaciónalgomáshistórica.Paraquienesintereseelorigendelageometríafractal,la fuente indispensable, enciclopédica y exasperante, es The Fractal Geometry ofNature,deBenoîtMandelbrot(NuevaYork:Freeman,1977).TheBeautyofFractals,deHeinz-OttoPeitgenyPeterH.Richter(Berlín:Springer-Verlag,1986),escudriñamuchas porciones de las matemáticas del caos al estilo romántico europeo, convaliosos ensayos de Mandelbrot, Andrien Douady y Gert Eilenberger; contienenumerosas representaciones gráficas en color y en blanco y negro, varias de lascuales se reproducenen lapresenteobra.Un textobien ilustradoydestinadoa losingenierosypersonasquebusquenunaexposiciónprácticadelasideasmatemáticases Nonlinear Dynamics and Chaos, de H. Bruce Stewart y J. M. Thompson(Chichester: Wiley, 1986). Ninguno de estos libros será útil a los lectores quecarezcandeconocimientostécnicosrudimentarios.

En la presentación de los hechos,motivos y perspectivas de los científicos, heprocuradoevitar,dentrode loposible, el lenguajede la ciencia,dandopor sentadoquelaspersonaspreparadassabrándequésetratacuandosehabledeintegrabilidad,leyde ladistribucióndeenergíaoanálisiscomplejo.Los lectores interesadosen lapresentaciónmatemáticaoenreferenciasespecíficasrecurriránalasnotasexpuestas


porcapítulos.Enlaseleccióndeunascuantasrevistas,entrelosmillaresquepudierahaber citado,me he decidido por aquellas que influyeronmás directamente en loshechosaquínarrados,oqueseanmásútiles,ensentidoamplio,aquienesprefierandisponerdeexplicacionesmásprecisassobrelasideasquelesinteresen.

Lasdescripcionesde lugares sebasanpor lo regular enmisvisitas a ellos.Lassiguientes instituciones pusieron ami servicio sus investigadores, bibliotecas y, envarios casos, equipos de ordenadores: Universidad de Boston, Universidad deCornell, Courant Institute of Mathematics, European Centre for Medium RangeWeatherForecasts,GeorgiaInstituteofTechnology,UniversidaddeHarvard,ThomasJ.WatsonResearchCenterdelaIBM,InstituteforAdvancedStudy,Lamont-DohertyGeophysicalObservatory,LosAlamosNationalLaboratory,Massachusetts Instituteof Technology, National Center of Atmospheric Research, National Institutes ofHealth,NationalMeteorologicalCenter,UniversidaddeNuevaYork,ObservatoiredeNice,UniversidaddePrinceton,UniversidaddeCaliforniaenBerkeley,UniversidaddeCalifornia enSantaCruz,Universidad deChicago,WoodsHoleOceanographicInstituteyXeroxPaloAltoResearchCenter.

Las notas que van a continuación señalanmis principales fuentes sobre citas eideas particulares. Proporciono cita completa de libros y artículos; cuando semencionaunsoloapellido, la referencia implicaaunode loscientíficossiguientes,cuyacolaboraciónhasidomuyútilparamisinvestigaciones:


NOTA:Losnúmerosdepáginaserefierenalaediciónenpapel.

PRÓLOGO

9LosÁlamosFeigenbaum,Carruthers,Campbell,Farmer,Visscher,Kerr,Hasslacher,Jen.

10«Séqueesusted»Feigenbaum,Carruthers.

13ProgramasgubernamentalesBuchal,Shlesinger,Wisniewski.

13ElementosdelmovimientoYorke.

13DelprocesoantesquedelestadoF.K.Browand,«TheStructureoftheTurbulentMixingLayer»,Physica


18D(1986),pág.135.

13ComportamientodelosautomóvilesLoscientíficosjaponesessetomaronmuyenseriolosproblemasdeltráfico;porejemplo,ToshimitsuMushaeHideyoHiguchi,«TheUfFluctuationofaTrafficCurrentonanExpressway»,JapaneseJournalofAppliedPhysics(1976),páginas1271-75.

14ElhechodehabersedadocuentadeelloMandelbrot,Ramsey;Wisdom,Marcus;AlvinM.Saperstein,«Chaos–AModelfortheOutbreakofWar»,Nature309(1984),págs.303-5.

14«Hacequinceaños»Shlesinger.

14SóloportrescosasShlesinger.

14LaterceragranrevoluciónFord.

14«Larelatividadeliminó» JosephFord, «What IsChaos,ThatWeShouldBeMindful of It?», separata,GeorgiaInstituteofTechnology,pág.12.

15El cosmólogo John Boslough, Stephen Hawking’s Universe (Cambridge: Cambridge University Press,1980), véase también Robert Shaw, The Dripping Faucet as a Model Chaotic System (Santa Cruz:Aerial,1984),pág.1.

ELEFECTODELAMARIPOSA

27EltiempoatmosféricosimuladoLorenz,Marcus,Spiegel,Farmer.LoesencialdeLorenzesuntrípticodeartículoscuyocentroocupa«DeterministicNonperiodicFlow»,JournaloftheAtmosphericSciences20(1963),págs.130-41;loflanquean«TheMecanicsofVacillation»,JournaloftheAtmosphericSciences20 (1963), págs. 448-64, y «The Problem ofDeducing theClimate from theGoverningEquations»,Tellus16(1964),págs.1-11.Representanunaobra,engañosamenteelegante,queaúninfluye,alcabodeveinte años, enmatemáticosy físicos.Algunos recuerdospersonales deLorenzde suprimermodeloatmosférico de ordenador aparecen en «On the Prevalence of Aperiodicity in Simple Systems», enGlobalAnalysis,eds.M.GrmelayJ.Marsdem(NuevaYork:Springer-Verlag,1979),págs.53-75.

28 Fueron reglas numéricas Una descripción contemporánea de Lorenz, muy legible, del empleo deecuaciones para establecer unmodelo de la atmósfera es «Large-ScaleMotions of the Atmosphere:Circulation», en Advances in Earth Science, ed. P. M. Hurley (Cambridge, Mass.: The MIT Press,1966),págs.95-109.AnálisisinicialeinfluyentedeesteproblemaesWeatherPredictionbyNumericalProcess,deL.F.Richardson(Cambridge:CambridgeUniversityPress,1922).

29Pureza de las matemáticas. Lorenz. Asimismo, una exposición de la influencia contradictoria de lasmatemáticas y la meteorología en su pensamiento es «Irregularity: A Fundamental Property of theAtmosphere»,CrafoordPrizeLecturepresentadaen laRealAcademiaSuecadeCiencias,Estocolmo,en28deseptiembrede1983,enTellus36A(1984),págs.98-110.

30 «Abarcaría en la misma fórmula» A Philosophical Essay on Probabilities de Pierre-Simon Laplace(NuevaYork:Dover,1951).

31«Laideabásica»Winfree.

32«Eslaclasederegla»Lorenz.

33Seleocurrióalpronto«OnthePrevalence»,pág.55.

33Loserrores ínfimos fueroncatastróficosDe todos los físicos ymatemáticos clásicos que reflexionaronsobrelossistemasdinámicos,elquemejorcomprendiólaposibilidaddelcaosfueJules-HenriPoincaré.ComentóenCienciaymétodo:

«Unapequeñísimacausa,queescapaanuestrapercepción,determinaunefectoconsiderable,quehemosdeverforzosamente,yentoncesdecimosqueelefectosedebealazar.Siconociésemosbienlasleyesdelanaturaleza,ylasituacióndeluniversoenelmomentoinicial,conseguiríamospredecirexactamentelasituación del mismo universo en un momento siguiente. Mas, incluso en el caso de que las leyesnaturales no nos ocultasen sus secretos, continuaríamos sabiendo la situación sólo de manera


aproximada. Si eso nos facultase a pronosticar la situación sucesiva con lamisma aproximación, nonecesitaríamosmás,y afirmaríamosque el fenómeno sevaticinóyque las leyesgobiernan todo.Sinembargo, no ocurre siempre así; acaso suceda que pequeñas diferencias en las condiciones inicialesproduzcanunasmuygrandesenelfenómenodefinitivo.Unleveerrorenlasprimerasseconvertiráenunocolosalenelsegundo.Sehaceimposiblepredecir…».

Se olvidó el aviso de Poincaré, pronunciado en el cambio de siglo. En losEstadosUnidos, el únicomatemáticoqueatendióconseriedadaPoincaréenlasdécadasde1920y1930fueGeorgeD.Birkhoff,quienporcuriosacasualidadenseñódurantebrevetiempoenelMITalestudianteEdwardLorenz.

34«Nohabíamostenidoéxito»Lorenz.

35Losañosde1950y1960secaracterizaronWoods,Schneider;ampliarevisióndelospareceresexpertosdeentoncesfue«WeatherScientistsOptimisticThatNewFindingsAreNear»,TheNewYorkTimes,9deseptiembrede1963,pág.1.35VonNeumannimaginóDyson.

35UnavastaycostosaburocraciaBonner,Bengtsson,Woods,Leith.

37 Previsiones sobre el crecimiento económico «Expectation and Prediction», de Peter B. Medawar, enPluto’sRepublic(Oxford:OxfordUniversityPress,1982),págs.301-4.

37ElefectodelamariposaLorenzempleódemomentolaimagendeunagaviota;elnombremásduraderoparecehabersalidodesuartículo«Predictability:DoestheFlapofaButterfly’sWingsinBrazilSetofaTornado in Texas?», discurso pronunciado en la reunión anual de la American Association for theAdvancementofScienceenWashington(29dediciembrede1979).

38SupóngasequelaTierraYorke.

38«Nadadepredicción»Lorenz,White.

39Debíadehaberuneslabón«TheMechanicsofVacillation».

40«Porunclavo»GeorgeHerbert;citadoenestecontextoporNorbertWiener,«NonlinearPredictionandDynamics»,enCollectedWorkswithCommentaries,ed.P.Masani(Cambridge,Mass.:TheMITPress,1981), 3:371.Wiener se anticipó aLorenz en ver almenos la posibilidad de «autoampliación de losdetalles pequeños del mapa meteorológico». Notó: «Un tornado es un fenómeno muy localizado yaparentesnonadas,deescasaextensión,quizádecidansutrayectoriaexacta».

41«Elcarácterdelaecuación»JohnvonNeumann,«RecentTheoriesofTurbulence»(1949),enCollectedWorks,ed.A.H.Taub(Oxford:PergamonPress,1963),6:437.

42Tazadecaféreciénhecho«ThePredictabilityofHydrodynamicFlow»,enTransactionsoftheNewYorkAcademyofSciencesII:25:4(1963),págs.409-32.

42«Quizánoscuestepronosticar»Ibíd.,pág.410.

42LorenzdespojóhastaloshuesosLaseriedesieteecuacionespararepresentarelmodelodelaconvecciónfue ideada por Barry Saltzman, de la Universidad deYale, al cual Lorenz visitó. Por lo común, lasecuacionesdeSaltzmanseportabanperiódicamente,perounaversión«senegóareposar»,comodijoLorenz,quienadvirtióque,duranteelcomportamientocaótico,cuatrovariablesseaproximabanacero,por loquepodían serdescartadas.BarrySaltzman,«FiniteAmplitudeConvection as an InitialValueProblem»,JournaloftheAtmosphericSciences19(1962),pág.329.

44GeodínamoMalkus;laideadelcaosenloscamposmagnéticosterrestrestodavíasedebateconcalor,yalgunos científicos buscan otras explicaciones, de origen externo, como los impactos de grandesmeteoritos.Una exposición inicial del concepto de que las inversiones se deben al caos inherente alsistema se debe a K. A. Robbins, «A Moment Equation Description of Magnetic Reversals in theEarth»,ProceedingsoftheNationalAcademyofScience73(1976),4297-4301.

44RuedadeaguaonoriaMalkus.

47TresecuacionesEstemodeloclásico,quesuelellamarsesistemadeLorenz,es:

dx/dt=10(y−x)

dy/dt=xz+28x−y


dz/dt=xy−(8/3)z.

Se ha analizado ampliamente desde su aparición en «Deterministic Nonperiodic Flow»; volumentécnico, lleno de autoridad, es el deColin Sparrow,TheLorenzEquations,Bifurcations,Chaos, andStrangeAttractors(Springer-Verlag,1982).48«Ed,sabemos»Malkus,Lorenz.

49AnadieseleocurrióLacomunidadcientífica,mediadaladécadade1960,citóalrededordeunavezalaño«DeterministicNonperiodicFlow»;dosdeceniosmástarde,lascitasanualesasciendenamásdeuncentenar.

REVOLUCIÓN

51 El historiador de la ciencia Se ha analizado y debatido sobradamente cómo entendió Kuhn lasrevolucionescientíficasdurante loscinco lustros transcurridosdesdequemanifestósuparecer,másomenosenlaépocaenqueLorenzprogramabasumodelodeordenadordel tiempoatmosférico.Sobrelas opiniones de Kuhn me he basado ante todo en The Structure of Scientific Revolutions, 2 fl ed.ampliada (Chicago: University of Chicago Press, 1970), y de modo secundario en The EssentialTension:SelectedStudies inScientificTraditionandChange (Chicago:UniversityofChicago,1977);«What Are Scientific Revolutions?» (Ocassional Paper n.º 18, Center for Cognitive Science,MassachusettsInstituteofTechnology);yentrevistaconKuhn.OtroanálisisútileimportantesobrelacuestiónesI.BernardCohen,RevolutioninScience(Cambridge,Mass.:BelknapPress,1985).

51«Noconseguíentender»Structure,págs.62-65,citandoaJ.S.BruneryLeoPostman,«OnthePerceptionofIncongruity:AParadigm»,JournalofPersonalityXVIII(1949),pág.206.

52OperacionesdelimpiezaStructure,pág.24.

52LosexperimentalistasejecutanTension,pág.229.

52EnlaépocadeBenjaminFranklinStructure,págs.13-15.

53«Encondicionesnormales»Tension,pág.234.

53UnfísicoatómicoCvitanović.

54Tolstoi Ford, entrevista y «Chaos: Solving the Unsolvable, Predicting the Unpredictable», enChaoticDynamicsandFractals,eds.M.F.BarnsleyyS.G.Demko(NuevaYork:AcademicPress,1985).

55Palabras como éstas sonaron Pero Michael Berry observa que el OED (Oxford English Dictionary)admite «caología» (infrecuente), «la historia o descripción del caos». Berry, «The UnpredictableBouncingRotator:AChaologyTutorialMachine»,separata,H.H.WillsPhysicsLaboratory,Bristol.

55«Esunmasoquismo»Richter.

55EstosresultadossemanifiestanJ.Crutchfield,M.NauenbergyJ.Rudnick,«ScalingforExternalNoiseattheOnsetofChaos»,PhysicalReviewLetters46(1981),pág.933.

55El corazón del caosAlanWolf, «Simplicity andUniversality in theTransition toChaos»,Nature 305(1983),pág.182.

55-56ElcaospresagiaJosephFord,«WhatisChaos,ThatWeShouldBeMindfulofIt?»,separata,GeorgiaInstituteofTechnology,Atlanta.

56Lasrevolucionesnosedeclaran«WhatAreScientificRevolutions?»,pág.23.

56«Esalgoasícomo»Structure,pág.111.

56LaratadelaboratorioYorkeyotros.

57Aristóteles,alobservarelpéndulo«WhatAreScientificRevolutions?»,págs.2-10.

57«Sidosamigosseponen»Galileo,OpereVIII:277.TambiénVIII:129130.

59 «La medicina fisiológica y psiquiátrica» David Tritton, «Chaos in the swing of a pendulum», NewScientist, 24 de julio de 1986, pág. 37. Es un ensayo muy legible y de carácter no ético sobre las


inferenciasfilosóficasqueseextraendelcaospendular.

59EsposibleEnrealidad,cualquieraqueempujeuncolumpioproducesiempreunmovimientomásomenosregular,debido,porlovisto,aqueusaunmecanismoinconscientederealimentaciónnolineal.

59Pero,porextrañoqueparezcaEntre losmuchosanálisisde lasposiblescomplicacionesdeunpéndulosencillo, puede utilizarse como buen sumarioD.D’Humiéres,M.R.Beasley,B.A.Huberman yA.Libchaber,«ChaoticStatesandRoutestoChaosintheForcedPendulum»,PsysicalReviewA26(1982),págs.3483-96.

60«Bolasespaciales»MichaelBerryinvestigóteóricayexperimentalmenteloscomportamientosfísicosdeeste juguete. En «The Unpredictable Bouncing Rotator» describe una porción de ellos sólocomprensiblesdesdeelpuntodevistadeladinámicacaótica:«KAMtori,bifurcationofperiodicorbits,Hamiltonianchaos,establefixedpointsandstrangeattractors».

62UnastrónomofrancésHénon.

62UningenieroeléctricojaponésUeda.

62UnfísicojovenFox.

62 Smale Smale, Yorke, Guckenheimer, Abraham, May, Feigenbaum; una exposición breve, y algoanecdótica, del pensamiento de Smale en este período es «On How I Got Started in DynamicalSystems», en Steve Smale, The Mathematics of Time: Essays on Dynamical Systems, EconomicProcesses,andRelatedTopics(NuevaYork:Springer-Verlag,1980),págs.147-51.

63LoocurridoenMoscúRaymondH.Anderson,«MoscowSilencesaCriticalAmerican»,TheNewYorkTimes,27deagostode1966,pág.1;Smale,«OntheStepsofMoscowUniversity»,TheMathematicalIntelligencer6:2,págs.21-27.

63DevueltaaCaliforniaSmale.

65 Un colega le informó por carta El colega era N. Levinson. Se reunieron así varias orientacionesmatemáticas, que se remontaban a Poincaré.Una era la obra deBirkhoff. En Inglaterra,Mary LucyCartwright y J.E.Littlewood examinaron los indicios descubiertos porBalthasarVanderPol en lososciladorescaóticos.Estosmatemáticosteníanbuenconocimientodelaposibilidaddequehubieracaosen los sistemas sencillos; pero Smale, como la mayor parte de los matemáticos formadostradicionalmente,ignorabasulabor.FuenecesarialacartadeLevinsonparaenterarledeella.

66SólidoyraroSmale;«OnHowIGotStarted».

66NosreferimosauntubodevacíoVanderPoldescribiósutrabajoenNature120(1927),págs.363-64.

66«Amenudosepercibeenelteléfono»Ibíd.

69Una versión simple La exposición matemática definitiva de Smale de este trabajo es «DifferentiableDynamicalSystems»,BulletinoftheAmericanMathematicalSociety1967,págs.747-817(tambiénenTheMathematicsofTime,págs.1-82).

69ElprocesoremedaRiissler.

69PerolosuprimidoresultóYorke.

70EraunaedaddeoroGuckenheimer,Abraham.

70«Eselcambioparadigmático»Abraham.

70UnmodestoenigmacósmicoMarcus,Ingersoll,Williams;PhilipS.Marcus,«CoherentVorticalFeaturesinaTurbulentTwo-DimensionalFlowandtheGreatRedSpotofJupiter»,comunicaciónpresentadaenla110.ªreunióndelaAcousticalSocietyofAmerica,Nashville,Tennessee,5denoviembrede1985.

70«LaManchaRojaalborotada»JohnUpdike,«TheMoonsof Jupiter»,enFacingNature (NuevaYork:Knopf,1985),pág.74.

72ElVoyager duplicó Ingersoll; también,AndrewP. Ingersoll, «Order fromChaos: TheAtmospheres ofJupiterandSaturn»,PlanetaryReport4:3,págs.8-11.


73«Unoveagranescala»Marcus.

74«¡Eh!¿Quéesestaespecie?»Marcus.

ALTIBAJOSDELAVIDA

75PezfamélicoMaySchaffer,Yorke,Guckenheimer.ElcélebreartículoenqueMayreseñólasleccionesdelcaos en la biología de la población se titula «SimpleMathematical Models with Very ComplicatedDynamics»,Nature261(1976),págs.459-67.También:«BiologicalPopulationswithNonoverlappingGenerations: Stable Points, Stable Cycles, and Chaos», Science 186 (1974), págs. 645-47; yMay yGeorgeF.Oster,«BifurcationsandDynamicComplexityinSimpleEcologicalModels»,TheAmericanNaturalist110(1976),págs.573-99.Unaexcelentevisióndeldesarrollodelosmodelosmatemáticosdelaspoblaciones,antesdelcaos,esSharonE.Kingsland,ModelingNature:Episodes in theHistoryofPopulationEcology(Chicago:UniversityofChicagoPress,1985).

75Elmundo ofreceMay y Jon Seger, «Ideas in Ecology:Yesterday andTomorrow», separata, PrincetonUniversity,pág.25.

76Caricaturas de lo real May y George F. Oster, «Bifurcations and Dynamic Complexity in SimpleEcologicalModels»,TheAmericanNaturalist110(1976),pág.573.

80Enladécadade1950May.

81 Los libros de consulta J. Maynard Smith, Mathematical Ideas in Biology (Cambridge: CambridgeUniversityPress,1968),pág.18;HarveyJ.Gold,MathematicalModelingofBiologicalSystems.

81EscondidaenalgúnrincónMay.

82SuinformesobrecómoGonorrheaTransmissionDynamicsandControl,HerbertW.HethcoteandJamesA.Yorke(Berlín:Springer-Verlag,1984).

82ElmétododelimitarconcuposConsimulacionesdeordenador,Yorkeaveriguóqueelmétodoobligabaalosconductoresavisitarlagasolineraconmayorfrecuenciayatenersiemprellenoeldepósito;detalsuerte,seacrecentabalacantidaddegasolinaquepermanecíasinconsumoenlosautomóvilesdelpaísencualquiermomento.

82Analizó lasombraqueproyectabaLos registrosde losaeropuertosprobaronmás tardequeYorkhabíaacertado.

82-83ElartículodeLorenzYorke.

83«Losmiembrosdelafacultad»MurrayGell-Mann,«TheConceptoftheInstitute»,enEmergingSynthesisinScience,actasdelostalleresdelSantaFeInstitute(SantaFe:TheSantaFeInstitute,1985),pág.11.

84EntregóunacopiaYorke,Smale.

85«Sisepuedeescribir»Yorke.

85HastaquéextremolanaturalezanolinealUnensayocomprensiblesobrelalinealidad,lanolinealidadyelusohistóricode losordenadoresparaentender ladiferencia, se tieneenDavidCampbell, JamesP.Crutchfield, J.Doyne Farmer yErica Jen, «ExperimentalMathematics: TheRole ofComputation inNonlinear Science»,Communications of the Association for ComputingMachinery 28 (1985), págs.374-84.

85«LaBiblianodice»Fermi,citadoenS.M.Ulam,AdventuresofaMathematician(NuevaYork:Scribners,1976).Ulamdescribe asimismo el origen de otra importante orientación en la comprensión de la nolinealidad:elteoremadeFermi-Pasta-Ulam.BuscandoproblemasquepudierancalcularseconelnuevoordenadorMANIACdeLosÁlamos,loscientíficosrecurrieronaunsistemadinámicoqueerasólounacuerda vibrante, modelo sencillo que «tenía, además, un pequeño término no lineal físicamentecorrecto». Hallaron pautas que se fundían en inesperada periodicidad. Como Ulam lo refiere: «LosresultadosfueronporcompletodistintoscualitativamentedeloqueinclusoFermi,consugransabiduríaenmovimientosondulados,habíaesperado…Congransorpresanuestra,lacuerdasepusoajugarauna


partidadesillasqueseeliminanalsondelamúsica…».Ferminodioimportanciaalfenómeno,ylosresultadosnotuvieronmuchapublicidad,aunqueunospocosmatemáticosyfísicoslossiguieron,yseconvirtieronenparteespecialdelaleyendadeLosÁlamos.Adventures,págs.226-28.

85«Animalesnoelefantes»Pasajecitadoen«ExperimentalMathematics»,pág.374.

85«Elprimermensaje»Yorke.

86El artículo sobresalió Escrito en colaboración con el estudiante TienYien Li. «Period Three ImpliesChaos»,AmericanMathematicalMonthly82(1975),págs.985-92.

86MayhabíallegadoalabiologíaMay.

87 «¿Qué diablos sucede?» May. Fue esta pregunta, en apariencia sin respuesta, la que le llevó de losmétodosanalíticosalaexperimentaciónnumérica,enbusca,porlomenos,deintuición.

91BienquefueradetonanteYorke.

91 A. N. Sarkovski «Coexistencia de ciclos de un diagrama continuo de una sola línea en sí mismo»,UkrainianMathematicsJournal16(1964),pág.61.

94LosmatemáticosyfísicossoviéticosSinai,confidenciapersonal,8dediciembrede1986.

94AlgunosexpertosoccidentalesenelcaosPorejemplo,Feigenbaum,Cvitanović.

95ParacalarenelsistemaHoppensteadt,May.

95ElpasmodeaquelmomentoHoppensteadt.

96DentrodelaecologíaMay.

97Epidemias de sarampión enNueva YorkWilliamM. Schaffer yMarkKot, «NearlyOne-DimensionalDynamics in an Epidemic», Journal of Theoretical Biology 112 (1985), págs. 403-27; Schaffer,«StretchingandFoldininLynxFurReturns:EvidenceforaStrangeAttractorinNature»,TheAmericanNaturalist124(1984),págs.798-820.

98Elmundomejoraría«SimpleMathematicalModels»,pág.467.

98«Laintuiciónmatemática»Ibíd.

UNAGEOMETRÍADELANATURALEZA

99UnaimagendelarealidadMandelbrot,Gomory,Voss,Barnsley,Richter,Mumford,Hubbard,Shlesinger.EltextobásicodeBenoîtMandelbrotesTheFractalGeometryofNature(NuevaYork:Freeman,1977).UnaentrevistaefectuadaporAnthonyBarcelosapareceenMathematicalPeople,eds.DonaldJ.Albersy G. L. Alexanderson (Boston: Birkhäuser, 1985). Dos ensayos de Mandelbrot menos conocidos ysumamente interesantes son «OnFractalGeometry and a Fewof theMathematicalQuestions ItHasRaised», Proceedings of the International Congres of Mathematicians, 16-24 de agosto de 1983,Varsovia, págs. 1661-75; y «Towards a Second Stage of Indeterminism in Science», separata, IBMThomasJ.WatsonResearchCenter,YorktownHeights,NuevaYork.Lasreseñassobrelaaplicacióndelosfractalessehanhechotancomunes,queseríaprolijocitarlas;dosejemplosútilessonLeonardM.Sander, «Fractal Growth Processes», Nature 322 (1986), págs. 789-93; y Richard Voss, «RandomFractal Forgeries: FromMountains toMusic», enScience andUncertainty, ed. SaraNash (Londres:IBMUnitedKingdom,1985).

99SucedióenlapizarradegabinetedetrabajoHouthakker,Mandelbrot.

100WassilyLeontiefCitadoenFractalGeometry,pág.423.

103EnelprólogodeunaconferenciaWoodsHoleOceanographicInstitute,agostode1985.

103NacióenVarsoviaMandelbrot.

105 Bourbaki Mandelbrot, Richter. Poco se ha escrito sobre Bourbaki, incluso a estas alturas. UnaintroducciónjuguetonaesPaulR.Halmos,«NicholasBourbaki»,ScientificAmerican196(1957),págs.


88-89.

106LasmatemáticashabíandeseralgoaparteSmale.

106SucienciaestásometidaPeitgen.

107Pioneropornecesidad«SecondStage»,pág.5.

109 Esta descripción tan abstracta Mandelbrot; Fractal Geometry, pág. 74; J. M. Berger y BenoîtMandelbrot, «A New Model for the Clustering of Errors on Telephone Circuits», IBM Journal ofResearchandDevelopment7(1963),págs.224-36.

109ElefectodeJoséFractalGeometry,pág.248.

111LasnubesnosonesferasIbíd.,pág.1,porejemplo.

112IntrigadoporlaslíneascosterasIbíd.,pág.27.

114ElprocedimientodeabstracciónIbíd.,pág.17.

114«Lanoción»Ibíd.,pág.18.

115EnunatardeinvernalMandelbrot.

117LatorreEiffelFractalGeometry,pág.131,y«OnFractalGeometry»,pág.1663.

119TécnicasdematemáticosF.HausdorffyA.S.Besicovich.

120«Habíaunanchohiato»Mandelbrot.

121Enelnordeste Scholz;C.H.Scholz yC.A.Aviles, «TheFractalGeometry ofFaults andFaulting»,separata, Lamont-Doherty Geophysical Observatory; C. H. Scholz, «Scaling Laws for LargeEarthquakes»,BulletinoftheSeismologicalSocietyofAmerica72(1982),págs.1-14.

122«Manifiesto»FractalGeometry,pág.24.

122«Noeraunlibropráctico»Scholz.124«Esunmodeloúnico»Scholz.

127«Enlatransicióngradual»WilliamBloomyDonW.Fawcett,ATextbookofHistology(Filadelfia:W.B.Saunders,1975).

127Variosbiólogos teóricosHay una reseña de estas ideas enAryL.Goldberger, «NonlinearDynamics,Fractals,CardiacPhysiology,andSuddenDeath»,enTemporalDisorderinHumanOscillatorySystems,eds.L.Resings,U.AnderHeiden,M.Mackey(NuevaYork:Springer-Verlag,1987).

127LareddefibrasespecialesGoldberger,West.

127-128Varios cardiólogos que simpatizaban con el caosAryL.Goldberger,ValmikBhargava,Bruce J.WestyArnoldJ.Mandell,«OnaMechanismofCardiacElectricalStability:TheFractalHypothesis»,Biophysicsjournal48(1985),pág.525.

128E.I.DupontdeNemoursBarnabyJ.Feder,«TheArmyMayHaveMatchedtheGoose»,TheNewYorkTimes,30denoviembrede1986,4:16.

128«Mepuseabuscar»Mandelbrot.

129SunombreaparecióI.BernardCohen,RevolutioninScience(Cambridge,Mass.:Belknap,1985),pág.46.

130«Ciertamente,esalgo»Mumford.

130«Tuvoquevencertantasdificultades»Richter.

130 No podían evitar De la misma manera que, más tarde, evitó reconocer el mérito concedidorutinariamenteaMitchellFeigenbaum,enreferenciasalosnúmerosyuniversalidaddetalcientífico.Envezdehacerlo,MandelbrotsolíamencionaraP.J.Myrberg,matemáticoquehabíaestudiado,demodooscuro,enlosprimerosañossesenta,lasiteracionesdelosmapascuadráticos.

131«Mandelbrotnotuvolospensamientos»Richter.

131«Lapolíticaafectaba»Mandelbrot.


132LosgrandescentrosinvestigadoresdelaExxonKlafter.

133UnmatemáticocontóasusamigosRelatadoporHuberman.

135«¿Porquésedeclara?»«Freedom,Science,andAestetics»,enSchönheitimChaos,pág.35.

136«Aquelperíodonosimpatizó»JohnFowles,AMaggot(Boston:Little,Brown,1985),pág.11.

137 «Tenemos que agradecer a los astrónomos» Rober H. G. Helleman, «Self-Generated Behavior inNonlinear Mechanics», en Fundamental Problems in Statistical Mechanics 5, ed. E. G. D. Cohen(Ámsterdam:North-Holland,1980),pág.165.

137PerolosfísicosanhelaronLeoKadanoff,porejemplo,preguntó«Whereisthephysicsoffractals?»,enPhysics Today, febrero de 1986, pág. 6, y contestó la pregunta con un nuevo planteamiento«multifractal»enPhysicsToday,abrilde1986,pág.17,queprovocóunaréplica,enojada,comoeradeesperar,deMandelbrot,enPhysicsToday,septiembrede1986,pág.11.LateoríadeKadanoff,escribió,«mellenadelorgullodeunpadre…¿Seráprontoeldeunabuelo?».

ATRACTORESEXTRAÑOS

139Todos los grandes físicos Ruelle, Hénon, Rössler, Sinai, Feigenbaum,Mandelbrot, Ford, Kraichnan.Existenmuchasperspectivasdelcontextohistóricodelosatractoresextraños,encuantoalaturbulencia.HayunaintroducciónexcelenteenJohnMiles,«StrangeAttractorsinFluidDynamics»,enAdvancesinApplied Mechanics 24 (1984), págs. 189-214. El artículo más accesible de Ruelle es «StrangeAttractors»,MathematicalIntelligencer2(1980),págs.126-37;suproposicióncatalizadorafueDavidRuelleyFlorisTakens,«On thenatureofTurbulence»,Communications inMathematicalPhysics 20(1971), págs. 167-92; entre sus artículos esenciales figuran «Turbulent Dynamical Systems»,ProceedingsoftheInternationalCongressofMathematicians,16-24deagostode1983,Varsovia,págs.271-86;«FiveTurbulentProblems»,Physica7D(1983),págs.40-44;y«TheLorenzAttractorandtheProblem of Turbulence», enLecture Notes in Mathematics No. 565 (Berlín: Springer-Verlag, 1976),págs.14658.

139SecuentasobreHaymuchasversionesdelaanécdota.OrszagcitacuatrosustitutosdeHeisenberg—VonNeumann, Lamb, Sommerfeld y Von Karman—, y agrega: «Imagino que, si Dios contestase a esascuatropersonas,larespuestaseríadistintaencadacaso».

141EstesupuestoRuelle;también«TurbulentDynamicalSystems»,pág.281.

142CuyaobrasobrelamecánicadelosfluidosL.D.LandauyE.M.Lifshitz,FluidMechanics (Oxford:Pergamon,1959).

142Eloscilatorio,lavaricosissesgadaMalkus.

144«Esverdad»Swinney.

148Swinneydabaclasesen1973Swinney,Gollub.

148«Teníalaaparienciadeimprovisaciónendeble»Dyson.

149«Loleímos»Swinney.

149ComenzaronacomunicarsusresultadosSwinney,Gollub.

149«Allíteníamoslatransición»Swinney.

150ElexperimentonoconfirmabalateoríaJ.P.GollubyH.L.Swinney,«OnsetofTurbulenceinaRotatingFluid»,PhysicalReviewLetters35(1975),pág.927.Losprimerosexperimentossólodieronentradaalreconocimientodeloscomplejoscomportamientosespacialesquepodíanocurrir,variandolosescasosparámetrosdelfluidoentre loscilindrosgiratorios.Enlosañossiguientes,se identificaronpautasqueiban de «onditas en forma de sacacorchos» a «corrientes onduladas hacia el interior y el exterior» y«espiralesinterpenetrantes».SetieneunsumarioenC.DavidAndereck,S.S.LiuyHarryL.Swinney,«FlowRegimesinaCircularCouetteSystemwithIndependentlyRotatingCylinders»,JournalofFluidMechanics164(1986),págs.155-83.


150DavidRuelledecíaRuelle.

151«Lagentenoespecializadasiempredescubre»Ruelle.

152Escribióenelinstitutounartículo«OntheNatureofTurbulence».

152LasopinionesalrespectovariabanDescubrieronenseguidaquealgunasdesusideashabíanaparecidoyaenlabibliografíarusa;«Porotraparte,lainterpretaciónmatemáticaqueofrecemosdelaturbulenciaes de nuestra propia responsabilidad», escribieron. «Note Concerning Our Paper “On the Nature ofTurbulence”»,CommunicationsinMathematicalPhysics23(1971),págs.343-44.

152Psicoanalíticamente«sugestiva»Ruelle.

152«¿AcasosepreguntaaDios?»«StrangeAttractors»,pág.131.

152«Takensvisitaba»Ruelle.

155 Algunos matemáticos de California Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw, Dynamics: TheGeometryofBehavior(SantaCruz:Aerial,1984).

157«Siempremepreocupa»RichardP.Feynman,TheCharacterofPhysicalLaw (Cambridge,Mass.:TheMITPress,1967),pág.57.

157DavidRuelleconjeturóRuelle.

158«Lareaccióndelestamentocientífico»«TurbulentDynamicalSystems»,pág.275.

159EdwardLorenzhabíaadjuntado«DeterministicNonperiodicFlow»,pág.137.

159«Sehacemuycuestaarribaconciliar»Ibíd.,pág.140.

160LevisitóunavezRuelle.

160«Noseformeunconceptoególatra»Uedaexponesusprimerosdescubrimientos,desdeelpuntodevistade los circuitos eléctricos, en «Random Phenomena Resulting from Nonlinearity in the SystemDescribedbyDuffing’sEquation»,enInternationalJournalofNon-LinearMechanics20(1985),págs.481-91.Proporcionaenunepílogounaexplicaciónpersonaldesusmotivosydelafríaacogidadesuscolegas.También,Stewart,informepersonal.

161«Unasalchichadentrodeunasalchicha»Rössler.

162ElmásreveladordelosatractoresextrañosHénon; informódesu invenciónen«ATwo-DimensionalMappingwithaStrangeAttractor»,enCommunicationsinMathematicalPhysics50(1976),págs.69-77,yMichelHénoneYvesPomeau,«TwoStrangeAttractorswithaSimpleStructure»,enTurbulenceandtheNavier-StokesEquations,ed.R.Teman(NuevaYork:Springer-Verlag,1977).

165¿Esestableelsolar?Wisdom.

166 «Para disfrutar de mayor libertad» Michel Hénon y Carl Heiles, «The Applicability of the ThirdIntegralofMotion:SomeNumericalExperiments»,AstronomicalJournal69(1964),pág.73.

167EnelobservatorioHénon.

167«Yoestabaconvencido»Hénon.

167«Aquívienelasorpresa»«TheApplicability»,pág.76.

169«Peroeltratamientomatemático»Ibíd.,pág.79.

169UnfísicoinvitadoYvesPomeau.

169«Enocasioneslosastrónomostemen»Hénon.

172OtrosacopiaronmillonesdenoticiasRamsey.

173«Nohehabladodelafascinación»«StrangeAttractors»,pág.137.

UNIVERSALIDAD


175«Unosefijaenalgo»Feigenbaum.LosartículosmásimportantesdeFeigenbaumsobrelauniversalidadson«QuantitativeUniversalityforaClassofNonlinearTransformations»,JournalofStatisticalPhysics19(1978),págs.25-52,y«TheUniversalMetricPropertiesofNonlinearTransformations»,JournalofStatisticalPhysics 21 (1979), págs. 669-706; una representación algomás accesible, aunque requieramanejomatemático, es «UniversalBehavior inNonlinear Systems»,LosAlamos Science 1 (estío de1981),págs.4-27.Tambiénmeheapoyadoensusrecuerdosinéditos,«TheDiscoveryofUniversalityinPeriodDoubling».

175Cuando llegóalLosAlamos Feigenbaum,Carruthers,Cvitanović,Campbell, Farmer,Visscher,Kerrr,Hasslacher,Jen.

176«Siseestableceuncomité»Carruthers.

177ElmisteriodeluniversoFeigenbaum.

178AvecesunasesorCarruthers.

179TalcomoKadanoffconsideróKadanoff.

181«Elmovimientoincesante»GustavMahler,cartaaMaxMarschalk.

182 «Cuando la luz se cierne» Zür Farbenlehre, de Goethe, ha tenido varias ediciones. He consultadoGoethe’sColorTheory, obra bellamente ilustrada, que editóHerbAach (NuevaYork:VanNostrandReinhold,1970);másfácildeconsultaresTheoryofColors(Cambridge,Mass.:TheMITPress,1970),conexcelenteintroduccióndeDeaneB.Judd.

186AquellaecuacióndeaireinocenteEnunmomentodado,UlamyVonNeumannusaronsuspropiedadescaóticaspararesolverelproblemadegenerarnúmerosalazarconunordenadordigitalfinito.

186Metropolis,SteinySteinEseartículo—únicocaminoquellevaaStanislawUlamyJohnvonNeumannaJames Yorke y Mitchell Feigenbaum— es «On Finit Limit Sets for Transformations on the UnitInterval»,JournalofCombinatorialTheory15(1973),págs.25-44.

186¿Existeunclima? «TheProblemofDeducing theClimate from theGoverningEquations»,Tellus 16(1964),págs.1-11.

188ClimadelaTierraBlancaManabe.

189NosabíanadadeLorenzFeigenbaum.

191RobertMayrecordómástardeMay.

191LasmismascombinacionesdeDeI«OnFiniteLimitSets»,págs.30-31.Indicacióntrascendental:«Elhecho de que estas pautas… sean propiedad común de cuatro transformaciones, en aparienciaindependientes…, propone que la secuencia de las pautas es atributo general de una amplia clase derepresentacionesgráficasomapas.PoresarazónlahemosllamadosecuenciaU,enqueUquieredecir(con alguna exageración) “universal”». Los matemáticos jamás sospecharon que la universalidadincluiría losnúmerosverdaderos;confeccionaronuna tablade84valoresdeparámetro,cadaunoconsietedecimales,sinobservarlasrelacionesgeométricasquedisimulaban.

193«Todalatradicióndelafísica»Feigenbaum.

199SusamigossospechabanCvitanović.

199Derepentese«veía»Ford.

199PremiosyhonoresLabecaMacArthur;elPremioWolfdeFísicade1986.

202La«feigenbaumología»Dyson.

202«Fueundescubrimientomuyfeliz»Gilmore.202EnelínterinCvitanović.

203OscarE.LanfordIIIInclusoentonceslapruebapecabadeheterodoxa,puesdependíandeunacantidadingentedecálculos,desuertequenopodíaefectuarse,nicomprobarse,sinelauxiliodeunordenador.Lanford;OscarE.Lanford,«AComputer-AssistedProofof theFeigenbaumConjectures»,Bulletinofthe AmericanMathematical Society 6 (1982), pág. 427; también, P. Collet, J. P. Eckmann y O. E.Lanford,«UniversalPropertiesofMapsonanInterval»,CommunicationsinMathematicalPhysics81


(1980),pág.211.

203«Caballero,¿nosofrecerá?»Feigenbaum,«TheDiscoveryofUniversality»,pág.17.

203Enelestíode1977Ford,Feigenbaum,Lebowitz.

203«Mitchhabíavistolauniversalidad»Ford.

204«Algodramáticosucedió»Feigenbaum.

ELEXPERIMENTADOR

207«Albertestámadurando»Libchaber,Kadanoff.

207SobrevivióLibchaber.

208«Helioenunacajita»AlbertLibchaber,«ExperimentalStudyofHydrodynamicInstabilities.Rayleigh-Bénard Experiment: Helium in a Small Box», en Nonlinear Phenomena at Phase Transitions andInstabilities,ed.T.Riste(NuevaYork:Plenum,1982),pág.259.

209EllaboratorioocupabaLibchaber,Feigenbaum.

211«Lacienciaseedifició»Libchaber.

212«¡Claroquesesabequeesasí!»Libchaber.

212«Elríomanchado»WallaceStevens,«ThisSolitudeofCataracts»,ThePalmattheEndoftheMind,ed.HollyStevens(NuevaYork:Vintage,1972),pág.321.

213«Ondulaciónasólidadelosólido»«RealityIsanActivityoftheMostAugustImagination»,Ibíd.,pág.396.

214«Creariberas»TheodorSchwenk,SensitiveChaos(NuevaYork:Schocken,1976),pág.19.

214«Principioarquetípico»Ibíd.

217LasdesigualdadesIbíd.,pág.39.

217 «Pudiera ser» D’ArcyWentworth Thompson,On Growth and Form, ed. J. T. Bonner (Cambridge:CambridgeUniversityPress,1961),pág.8.

217«Másalládetodacomparación»Ibíd.,pág.viii.

218«Escaseanlosquesehanpreguntado»StephenJayGould,Hen’sTeethandHorse’sToes(NuevaYork:Norton,1983),pág.369.

219«Arraigadosritmosdelcrecimiento»OnGrowthandForm,pág.267.

219«Lainterpretación,entérminosdefuerza»Ibíd.,pág.114.

221FuealgotansensibleCampbell.

222«Erafísicaclásica»Libchaber.

223 Sin embargo, una frecuencia distinta Libchaber y Maurer, 1980 y 1981. También proporciona unsumariolúcidolaintroduccióndeCvitanović.

225«Laideadequeelmovimiento»Hohenberg.

226SeencontraronrodeadosdelaspartesdiseminadasFeigenbaum,Libchaber.

226«Habíaqueconsiderarlo»Gollub.

226UnampliobestiariodeexperimentosLabibliografíaesasimismoamplia.Unsumariodelafusióninicialde la teoría con el experimento, en una variedad de sistemas, se tiene en Harry L. Swinney,«Observations ofOrden andChaos inNonlinear Systems»,Physica 7D (1983), págs. 3-15. Swinneyproporcionaunalistadereferencias,divididasencategorías,desdeosciladoreselectrónicosyquímicoshastaexperimentosdegéneromásesotérico.

227 Para muchos fue más convincente Valter Franceschini y Claudio Tebaldi, «Sequences of Infinite


Bifurcations andTurbulence in a FiveModeTruncation on theNavier-StokesEquations», Journal ofStatisticalPhysics25(1981),pág.1.228«Unfísicomepreguntará»Libchaber.

IMÁGENESDELCAOS

231MichaelBarnsleyconocióBarnsley.

232«Ruellemelodevolvió»Barnsley.

233 John Hubbard, matemático estadounidense Hubbard; también Adrien Douady, «Julia Sets and theMandelbrotSet»,págs.161-73.EltextoprincipaldeTheBeautyofFractalsproporcionaasimismounsumariomatemáticodelmétododeNewton,lomismoquedeloscamposcoincidentesdeladinámicacomplejatratadaenestecapítulo.

233«Ahorabien,enloreferentealasecuaciones»«JuliaSetsandtheMandelbrotSet»,pág.170.

234EstabapersuadidoHubbard.

236 Jamás se formó del todo un límiteHubbard;The Beauty of Fractals; Peter H. Richter y Heinz-OttoPeitgen, «Morphology of Complex Boundaries», Bunsen-Gesellschaft für Physikalische Chemie 89(1985),págs.575-88.

237 El conjunto de Mandelbrot Se tiene una introducción amena, con instrucciones para componerpersonalmenteunprogramademicroordenador,enA.K.Dewdney,«ComputerRecreations»,ScientificAmerican (julio de 1985), págs. 16-32. Peitgen y Richter ofrecen, en The Beauty of Fractals, unadetalladaexposiciónmatemáticayalgunasdelasimágenesmásespectacularesqueexisten.

238«Seobtieneunavariedadincreíble»«JuliaSetsandtheMandelbrotSet»,pág.161.

238Mandelbrot descubrió, en 1979 Mandelbrot, Laff, Hubbard. Mandelbrot relata el hecho en primerapersonaen«FractalsandtheRebirthofIterationTheory»,enTheBeautyofFractals,págs.151-60.

239MientrasprocurabarefinarMandelbrot;TheBeautyofFractals.

244Nohayenellosdospartes«juntas»Hubbard.

245«Eraunaconcepcióndelíneasrectas»Peitgen.

246EnCornell,mientrastantoHubbard.

246RichterhabíallegadoalossistemasRichter.

247«Enunáreadenuevocuñocomoésta»Peitgen.

247«Elrigoreselalma»Peitgen.

250CadacuencatieneunlímiteYorke;buenaintroducción,paraquientengaaficionestécnicas,esStevenW.MacDonald,CelsoGrebogi,EdwardOtt y JamesA.Yorke, «FractalBasinBoundaries»,Physica17D(1985),págs.125-83.

250UnbillarromanoimaginarioYorke.

252«Nadiepodráacusarme»Yorke,comentariosenlaConferenceonPerspectivesinBiologicalDynamicsandTheoreticalMedicine,NationalInstitutesofHealth,Bethesda,Maryland,10deabrilde1986.

252MásdelastrescuartaspartesYorke.

252LafronteraentrelacalmaylacatástrofeDemodosemejante,enuntextodepresentacióndelcaosalosingenieros, H. Bruce Stewart y J. M. Thompson avisaron: «Aletargado por una falsa sensación deseguridad, nacida de su familiaridad con la respuesta única de un sistema lineal, el analista oexperimentadoratareadogrita“¡Eureka!Heaquí la solución”,unavezque la simulaciónpresentaunequilibrio de ciclo estable, sin molestarse en explorar con paciencia el resultado de diferentescondiciones iniciales. Para evitar errores y desastres, potencialmente dañinos, los diseñadoresindustrialeshandeapercibirseadestinarmayoresfuerzoareconocertodoelámbitodelasrespuestasdinámicasdesussistemas».NonlinearDynamicsandChaos(Chiches-ter:Wiley,1986),pág.xiii.


253«Debiéramoscreer»TheBeautyofFractals,pág.136.

253 Cuando se refirió a ella por escrito Por ejemplo, «Iterated Function Systems and the GlobalConstructionofFractals»,ProceedingsoftheRoyalSocietyofLondonA399(1985),págs.243-75.

255«Silaimagenescomplicada»Barnsley.

256«Noexisteazar»Hubbard.

256«Lacasualidadesuntrampantojo»Barnsley.

ELCOLECTIVODELOSSISTEMASDINÁMICOS

259 Santa Cruz Farmer, Shaw, Crutchfield, Packard, Burke, Nauenberg, Abrahams, Gucuenheimer. LoesencialdeRobertShaw,enlaaplicacióndelateoríadelainformaciónalcaos,esTheDrippingFaucetas aModelChaotic System (SantaCruz:Aerial, 1984) en compañía de «StrangeAttractors,ChaoticBehavior,andInformationTheory»,ZeitschriftfürNaturforschung36a(1981),pág.80.Unanarraciónde las aventuras con la ruleta de algunos de los estudiantes de Santa Cruz, que retratamuy bien elambientedeaquellosaños,esThomasBass,TheEudemonicPie(Boston:HoughtonMifflin,1985).

260IgnorabaporquéhabíaidoShaw.

260WilliamBurke,cosmólogoBurke,Spiegel.

261«Arritmiascósmicas»EdwardA.Spiegel,«CosmicArrhythmias»,enChaosinAstrophysics,eds.J.R.Buchleryotros(NuevaYork:D.Reidel,1985),págs.91-135.

261LosproyectosoriginalesFarmer,Crutchfield.

262CondistintascombinacionesdecircuitosShaw,Crutchfield,Burke.

263Minutosdespués,ShawsupoShaw.

263«Cuantohayquehacer»Abraham.

264DoyneFarmerFarmereselprotagonista,yPackardsusegundón,enTheEudemonicPie,historiadelproyectodelaruleta,escritaporunantiguocomponentedelgrupo.

265LafísicadeSantaCruzBurker,Farmer,Crutchfield.

266Eraun«manitas»Shaw.

269HabíadecididoFord.

269JuzgaronquepodíanhacerseShaw,Farmer.

272Teoríade la informaciónEl texto clásico,muy legible, esClaudeE.ShannonyWarrenWeaver,TheMathematical Theory of Communication (Urbana: University of Illinois, 1963), con una útilintroduccióndeWeaver.

274«Cuandoencuentraelconcepto»Ibíd.,pág.13.

275NormanPackard,mientrasleíaPackard.

276Enelmesdediciembrede1977Shaw.

278A.N.KolmogorovyYashaSinaiSinai,entrevistaprivada.

279«Enelpináculo»Packard.

280«Nadaseve»Shaw.

280«Sirvedeejemplosencillo»Shaw.

280Los sistemasque el grupodeSantaCruzFarmer;unmediode estudiar conunodinámicoel sistemainmunológico, simulando la capacidaddel cuerpohumanopara «recordar» y reconocer las pautas demaneracreativa,sedelineaenJ.DoyneFarmer,NormanH.PackardyAlanS.Perelson,«TheInmuneSystem,Adaptation,andMachineLearning»,separata,LosAlamosNationalLaboratory,1986.


281VariableimportanteTheDrippingFaucet,pág.4.

281«Unaobramaestradelarte»Ibíd.

282Un«seudocoloquio»Crutchfield.

283«Dalacasualidaddeque»Shaw.

284«Cuandosepiensaenunavariable»Farmer.

284Reconstruir el espacio de fases Estos métodos, que llegaron a ser el principal soporte de la técnicaexperimentalenmuchasdisciplinas,fueronrefinadosyampliadosporlosinvestigadoresdeSantaCruzyotrosexperimentadoresyteóricos.UnadelaspropuestasesencialesdeSantaCruzsedebióaNormanH. Packard, James P. Crutchfield, J. Doyne Farmer y Robert S. Shaw —la nómina canónica—,«Geometry from a Time Series», Physical Review Letters 47 (1980), pág. 712. El artículo másinfluyente sobre lamateria, obra de Floris Takens, fue «Detecting StrangeAttractor in Turbulence»,LectureNotesinMathematics898,eds.D.A.RandyL.S.Young(Berlín:Springer-Verlag,1981),pág.336.Unarevisiónanterior,bastanteamplia,delastécnicasdereconstruccióndeimágenesdelespaciodefasesesHaroldFroehling,JamesP.Crutchfield,J.DoyneFarmer,NormanH.PackardyRobertS.Shaw,«OnDeterminingtheDimensionofChaoticFlows»,Physica3D(1981),págs.605-17.

285¡Diosmío!AúnhacemosestoCrutchfield.

285AlgunosprofesoresnegaronPorejemplo,Nauenberg.

285«Notuvimosconsejero»Shaw.

286InteresabanmásalcolectivolossistemasrealesEllonoquieredecirquelosestudiantesignorasenlosdiagramas y gráficos. Crutchfield, inspirado por la obra deMay, invirtiómucho tiempo en 1978 enhacerdiagramas,yporelloseleprohibióqueseacercasealamesatrazadoradelcentrodeordenadores:sehabíandestruidodemasiadasplumillasenlaoperacióndemarcarmillaresdepuntos.

286LanfordescuchóconamabilidadFarmer.

286«Tuvolaculpademiingenuidad»Farmer.

287«Lasayudasaudiovisuales»Shaw.

288HuboundíaenqueBernardoHubermanCrutchfield,Huberman.

288«Todoeramuyvago»Huberman.

288 El primer artículo Bernardo A. Huberman y James P. Crutchfield, «Chaotic States of AnharmonicSystemsinPeriodicFields»,PhysicalReviewLetters43(1979),pág.1743.

289FarmerseencolerizóCrutchfield.

289LosclimatólogosTodavíasemantienevivoeldebate,porejemplo,enNature.

289Loseconomistas,queanalizabanlosdatosbursátilesRamsey.

289Ladimensiónfractal,ladeHausdorffJ.DoyneFarmer,EdwardOttyJamesA.Yorke,«TheDimensionofChaoticAttractors»,Physica7D(1983),págs.153-80.

289«Elprimerniveldeconocimiento»Ibíd.,pág.154.

RITMOSINTERNOS

291 Bernardo Huberman miró Huberman, Mandell (entrevistas y observaciones en la Conference onPerspectives in Biological Dynamics and Theoretical Medicine, Bethesda,Maryland, 11 de abril de1986). También, Bernardo A. Huberman, «A Model for Disfunctions in Smooth Porsuit EyeMovement»,separata,XeroxPaloAltoResearchCenter,PaloAlto,California.

295«Haytrescosas»Abraham.LaintroducciónbásicaalahipótesisdeGaia—imaginativavisióndinámicade cómo los sistemas complejos de la Tierra se autorregulan, algo dada de lado por su deliberadoantropomorfismo—esJ.E.Lovelock,Gaia:ANewLookatLifeonEarth(Oxford:OxfordUniversity


Press,1979).

296Los investigadores, reconociendo cada vez más He aquí una selección algo arbitraria de referenciassobre temas fisiológicos (todas tienen citas útiles): Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava y Bruce J.West, «Nonlinear Dynamics of the Heartbeat», Physica 17D (1985), páginas 207-14. Michael C.MackayyLeonGlass,«OscillationandChaosinPhysiologicalControlSystems»,Science197(1977),pág.287.MitchellLewisyD.C.Rees,«FractalSurfacesofProteins»,Science (1985),págs.116365.AryL.Goldbergeryotros, «NonlinearDynamics inHeartFailure: ImplicationsofLongWavelenghtCardiopulmonaryOscillations»,AmericanHeartJournal107(1984),págs.612-15.TeresaReeChayyJohnRinzel, «Bursting,Beating, andChaos inExcitableMembraneModel»,Biophysical Journal 47(1985),páginas357-66.UnacolecciónmuyampliayútildeotrosartículosanálogosesChaos,ed.ArunV.Holden(Manchester:ManchesterUniversityPress,1986).

297«Sistemadinámicodeinteréstrascendental»Ruelle,«StrangeAttractors»,pág.48.

298«Losmédicosloreducenaunproblema»Glass.

298«Estamosanteunafronteranueva»Goldberger.

299Losmatemáticos delCourant Institute Peskin;DavidM.McQueen yCharles S. Peskin, «Computer-AssistedDesignofPivotingDiscProstheticMitralValves»,JournalofThoracicandCardiovascularSurgery86(1983),págs.126-35.

300ElpacientedecorazónaparentementesanoCohen.

301«Latareadedecidir»Winfree.

302Aportó decidida noción geométricaWinfree expone su visión del tiempo geométrico en los sistemasbiológicos en un libro provocativo y bello, When Time Breaks Down: The Three-Dimensional,DynamicsofElectrochemicalWavesandCardiacArrhythmias (Princeton:PrincetonUniversityPress,1987);artículoenquesereseñanlasaplicacionesdelosritmoscardíacosdeArthurT.Winfree,«SuddenCardiacDeath:AProbleminTopology»,ScientificAmerican248(mayode1983),pág.114.

302«Teníalacabezallena»Winfree.

303«Sevaaunmosquito»Winfree.

304Informóquesesentíaenelmejorde losmundosStrogatz;CharlesA.Czeisleryotros,«BrightLightResetstheHumanCircadianPacemakerIndependentoftheTimingoftheSleep-WakeCycle»,Science233(1986),págs.667-70.StevenStrogatz,«AComparativeAnalysisofModelsof theHumanSleep-WakeCycle»,separata,HarvardUniversity,Cambridge,Massachusetts.

304ElcorazónleatrajoWinfree.

304«Minesdecidió»«SuddenCardiacDeath».

306Sinembargo,lograrlopideIdeker.

306«Elequivalentecardíaco»Winfree.

306LaintencióninmediatadeIdekerIdeker.

307EmplearondiminutosagregadosGlass.

307 «El comportamiento dinámico extraño» Michael R. Guevara, Leon Glass y Alvin Schrier, «PhaseLocking, Period-Doubling Bifurcations, and Irregular Dynamics in Periodically Stimulated CardiacCells»,Science214(1981),pág.1350.

308«Muchosritmosdistintos»Glass,

308«Esejemploevidente»Cohen.

308«Sehanefectuadoesasfantásticas»Glass.

309«Losobjetosdinámicossuelenser»Winfree.

310 «Sistemas que por lo general oscilan» Leon Glass y Michael C. Mackay, «Pathological ConditionsResulting from Instabilities in Physiological Control Systems»,Annals of the New York Academy of


Sciences319(1979),pág.214.

311 «Los procesos fractales» Ary L. Goldberger, Valmik Bhargava, Bruce J.West y Arnold J.Mandell,«SomeObservationsontheQuestion:IsVentricularFibrillation“Chaos”»,separata.

311«¿Seráposible?»Mandell.

316«Sellegaalequilibrioconlamuerte»Mandell.

316MandellofrecióasuscolegasArnoldJ.Mandell,«FromMolecularBiologicalSimplification toMoreRealistic Central Nervous System Dynamics: An Opinion», en Psychiatry: PsychobiologicalFoundationsofClinicalPsychiatry3:2,eds.J.0.Cavenaryotros(NuevaYork:Lippincott,1985).

316«Elparadigmasubyacente»Ibíd.

317LadinámicadesistemasHuberman.

317 Tales modelos parecían tener Bernardo A. Huberman y Tad Hogg, «Phase Transitions in ArtificialIntelligence Systems», separata, Xerox Palo Alto Research Center, Palo Alto, California, 1986.También, Tad Hogg y Bernardo A. Huberman, «Understanding Biological Computation: ReliableLearningandRecognition»,ProceedingsoftheNationalAcademyofSciences81(1984),págs.6871-75.

317«Asombrosodondeconcentrar»,ErwinSchrödinger,WhatIsLife?(Cambridge:CambridgeUniversityPress,1967),pág.82.

317«Hastaahorahemostratadoenfísica»Ibíd.,pág.5.

ELCAOSYALLENDE

321«¿Quépasócuandodijeaquello?»Ford.

321«SerehacetodolodeFeigenbaum»Fox.

322 En cuanto al nombre y la definición (Holmes) SIAM Review 28 (1986), pág. 107; (Hao) Chaos(Singapur: World Scientific, 1984), pág. i; (Stewart) «The Geometry of Chaos», en The Unity ofScience, Brookhaven Lecture Series, n.º 209 (1984), pág. 1; (Jensen) «Classical Chaos», AmericanScientist (abril de 1987); (Crutchfield) conversación privada; (Ford) «Book Reviews», InternationalJournalofTheoreticalPhysics25(1986),n.º1.

323Asujuicio,elmensajeimperiosoHubbard.

323EranombreinsuficienteporloangostoWinfree.

324«Siustedmetieraunasonda»Huberman.

324«Consideremosdenuevo»Gaia,pág.125.

324LosfísicosreflexivosP.W.Atkins,TheSecondLaw(NuevaYork:W.H.Freeman,1984),pág.179.Esteexcelente libro, de publicación reciente, es una de las contadas exposiciones de la segunda ley queexploraelpodercreadordeladisipaciónenlossistemascaóticos.OpiniónmuypersonalyfilosóficadelasrelacionesdelatermodinámicaconlossistemasdinámicosquebrindaIlyaPrigogine,OrderOutofChaos:Man’sNewDialogueWithNature(NuevaYork:Bantam,1984).

327El desarrollo de tales puntas Langer. Es voluminosa la bibliografía reciente sobre el copo de nievedinámico.Lasobrasmásútilesson:JamesS.Langer,«InstabilitiesandPatternFormation»,ReviewsofModernPhysics52 (1980),págs.1-28;JohannNittmannyH.EugeneStanley,«TipSplittingwithoutInterfacial Tension and Dendritic Growth Patterns Arising fromMolecular Anisotropy»,Nature 321(1986), págs. 663-68; David A. Kessler y Herbert Levine, «Pattern Selection in Fingered GrowthPhenomena»,queapareceráenAdvancesinPhysics.

331EnelfondodesusmentesGollub,Langer.

331Lasondasdelaconvección,defigurastanrarasUninteresanteejemplodeestecaminoalestudiodelaformación de pautas es P. C. Hohenberg y M. C. Cross, «An Introduction to Pattern Formation inNonequilibriumSystems»,separata,AT&TLaboratories,MurrayHill,NuevaJersey.


331Los expertos en el caos emplean en astronomíaWisdom; JackWisdom, «MeteoritesMay Follow aChaoticRoutetoEarth»,Nature315(1985),págs.731-33,y«ChaoticBehaviorandtheOriginofthe3/1KirkwoodGap»,Icarus56(1983),págs.51-74.

331EstructurasquesecopianComolomanifestaronFarmeryPackard:«Elcomportamientoadaptableespropiedademergentequenacedemaneraespontáneagraciasalainteraccióndecomponentessimples.Sean esos componentes neuronas, aminoácidos, hormigas o tendones, la adaptación sólo ocurre si elcomportamientocolectivodeltodoesdistinto,cualitativamente,delasumadelaspartesindividuales.Éstaesensíladefinicióndelonolineal».«Evolution,Games,andLearning:ModelsforAdaptationinMachines andNature», introducción a las actas de la conferencia,Center forNonlinear Studies,LosAlamosNationalLaboratory,mayode1985.

331«Laevoluciónescaos»«WhatisChaos»,pág.14.

331«Diosjuegaalosdados»Ford.

332«Laprofesiónnopuedecontinuar»Structure,pág.5.

332«Alavezestimulanteyunpocoamenazador»WilliamM.Schaffer,«ChaosinEcologicalSystems.TheCoalsThatNewcastleForgot»,TrendsinEcologicalSystems1(1986),pág.63.

332«Loquepasaporconceptosbásicos»WilliamM.SchafferyMarkKot,«DoStrangeAttractorsGovernEcologicalSystems?»,BioScience35(1985),pág.349.

332SchafferusaPorejemplo,WilliamM.SchafferyMarkKot,«NearlyOne-DimensionalDynamicsinanEpidemic»,JournalofTheoreticalBiology112(1985),págs.403-27.

333«Máspuntualmente»Schaffer.

333Añosmástarde,SchaffervivióSchaffer;tambiénWilliamM.Schaffer,«APersonalHejira»,obrainédita.


AGRADECIMIENTOS

MUCHOS científicos tuvieron la generosidad de guiarme, informarme einstruirme. La contribución de algunos será evidente para el lector; pero muchosotros,nocitadosenel textoomencionadossólodepaso,meayudaron igualmente,poniendo a mi disposición su tiempo y su inteligencia. Abrieron sus archivos,registraron su memoria, debatieron entre sí y apuntaron formas de pensar en unaciencia que me eran indispensables. Varios leyeron el manuscrito original. Miinvestigaciónsobreeltemadeestelibronecesitódesupacienciaysuhonradez.

Deseoexpresarmireconocimientoamieditor,DanielFrank,cuyaimaginación,sensibilidad e integridad aportaron a estas páginas más de lo que puedo expresar.Dependí deMichaelCarlisle,mi agente literario, quienme concedió su apoyo, tancerterocomoentusiástico.EnelNewYorkTimes,PeterMillonesyDonEriksonmeauxiliarondemaneradecisiva.Entre laspersonasquecolaboraronconilustracionesfiguran Heinz-Otto Peitgen, Peter Richter, James Yorke, Leo Kadanoff, PhilipMarcus, Benoît Mandelbrot, Jerry Gollub, Harry Swinney, ArthurWinfree, BruceStewart,lafamiliaFereydoon,IrvingEpstein,MartinGlicksman,ScottBurns,JamesCrutchfield, John Milnor, Richard Voss, Nancy Sterngold y Adolph Brotman.También estoy agradecido a mis padres, Beth y Donen Gleick, que no sólo meeducaroncorrectamente,sinotambiéncorrigieronellibro.

Goetheescribió:«Tenemoselderechodeesperardequienseproponeofrecernoslahistoriadeunacienciaquenosinformedecómoseconocierongradualmentelosfenómenosdequetrata,ydeloqueseimaginó,conjeturó,sesupusoopensósobreellos».Es«asuntoaventurado—continuó—pues,entalempresa,elescritoranunciademodo tácito al principioque sepropone iluminarunas cosasydejarotras en lasombra. Sin embargo, el autor ha disfrutado durante el cumplimiento de suquehacer…».


CRÉDITOSDELASIMÁGENES

EXPRESAMOSnuestro agradecimiento por la autorización de reproducir pasajesdelassiguientesobras:

«Ohio» y «The Moons of Jupiter», de Facing Nature, de John Updike.CopyrightJohnUpdike,1985.ConlicenciadeAlfredA.Knopf,Inc.

The Character of Physical Law, de Richard Feynman. Copyright The MITPress.Conlicenciadeleditor,TheMITPress.

«Thoughts During and Air Raid», de Selected Poems, de Stephen Spender.CopyrightStephenSpender,1964.ConlicenciadeRandomHouse,Inc.

Mathematical Modeling of Biological Systems, de Harvey J. Gold. CopyrightJohnWiley&Sons,Inc.,1977.ConlicenciadeJohnWiley&Sons.

«ConnoisseurofChaos»,«ThisSolitudeofCataracts»y«RealityisanActivityoftheMostAugustImagination»,deThePalmattheEndoftheMind:SelectedPoemsandaPlay,deWallaceStevens,editorHollyStevens.CopyrightHollyStevens,1967,1969,1971.ConlicenciadeAlfredA.Knopf,Inc.

WeatherPrediction,deL.F.Richardson.ConlicenciadeCambridgeUniversityPress.

«TheRoom»deCollectedPoems,deConradAiken.CopyrightConradAiken,1953,1970;MaryAiken,1981.ConlicenciadeOxfordUniversityPress.

TheStructureofScientificRevolution,deThomasKuhn.CopyrightUniversityof Chicago, 1962, 1970. Reservados todos los derechos. Con licencia de TheUniversityofChicagoPress.

«MethodinthePhysicalSciences»,deCollectedWorks,deJohnvonNeumann,vol.6.CopyrightPergamonBooksLtd.,1963.ConlicenciadepergamonBooksLtd.

Procedenciadelasilustraciones:pág.34:EdwardN.Lorenz/AdolphE.Brotman;pág. 43: Adolph E. Brotman; pág. 45: Adolph E. Brotman; pág. 46: James P.Crutchfield/Adolph E. Brotman; pág. 67: Irving R. Epstein; pág. 67: H. BruceStewart y J. M. Thompson, Nonlinear Dynamics and Chaos (Chichester: Wiley,


1986); pág. 81: Adolph E. Brotman; pág. 89: James P. Crutchfield/Adolph E.Brotman;págs.92-93:JamesP.Crutchfield/NancySterngold;pág.96:RobertMay;pág. 100: W. J. Youden; pág. 110: Benoît Mandelbrot, The Fractal Geometry ofNature (NuevaYork:Freeman, 1977); pág. 113:RichardF.Voss; pág. 116:BenoîtMandelbrot; pág. 118: BenoîtMandelbrot; pág. 147: Jerry Gollub/Harry Swinney;págs.154-155:AdolphE.Brotman;pág.160:EdwardN.Lorenz;pág.163:JamesP.Crutchfield/Adolph E. Brotman; pág. 168: Michel Hénon; pág. 171: Japes P.Crutchfield;pág.194:H.BruceStewart,J.M.Thompson/NancySterngold;pág.210:Albert Libchaber; pág. 215: Theodor Schwenk,Sensitive Chaos, Copyright RudolfSteiner Press, 1965, con licencia de Schocken Books Inc.; pág. 216: D’ArcyWentworth Thompson,On Growth and Form (Cambridge: Cambridge UniversityPress, 1961); pág. 223: Predag Cvitanović/Adolph E. Brotman; pág. 224: AlbertLibchaber; pág. 235: Heinz-Otto Peitgen/ Peter H. Richter; pág. 238: Heinz-OttoPeitgenyPeterH.Richter,TheBeautyofFractals (Berlín:Springer-Verlag,1986);págs. 240-241: Benoît Mandelbrot; pág. 251: James A. Yorke; pág. 255: MichaelBarnsley; pág. 270: Ralph H. Abraham y Christopher D. Shaw, Dynamics: TheGeometryofBehavior (SantaCruz:Aerial, 1984); pág. 287:ArthurWinfree; págs.312-313: JamesA.Yorke;págs.314-315:TheodorSchwenk,SensitiveChaos;pág.326:MichaelBarnsley;págs.328-329:MartinGlicksman/FereydoonFamily,DanielHallyTamäsVicsek.

Procedencia de las ilustraciones en color, encartadas entre las págs. 128y129:pág. 1 del encarte: JamesP.Crutchfield [atractor deLorenz] yBenoîtMandelbrot,The Fractal Geometry of Nature (Nueva York: Freeman, 1977) [curva de Koch];págs. 2-5: Heinz-Otto Peitgen y Peter H. Richter,The Beauty of Fractals (Berlín:Springer-Verlag, 1986) [conjunto de Mandelbrot]; pág. 6: Scott Burns, Harold E.Benzinger y Julian Palmore [método deNewton]; pág. 7: Richard F.Voss [red defiltración];pág.8:NationalAeronauticandSpaceAdministration(NASA)[Júpiter]yPhilipMarcus[simulacióndelaManchaRoja].

Procedenciadelasilustracionesenblancoynegro,situadasentrelaspágs.256y257:JohnMilnor.

NOTA:Losnúmerosdepáginaserefierenalaediciónenpapel.


JAMESGLEICK.Escritor, periodista y biógrafo.En sus libros,Gleick explora lasramificaciones culturales de la ciencia y la tecnología. Tres de ellos han sidofinalistasdel«PremioPulitzer»yel«NationalBookAward»,yhansidotraducidosamásdeveinteidiomas.

Nacido en Nueva York el 1 de agosto de 1954, estudió en la Universidad deHarvard, donde se graduó en 1976 con un grado en inglés y lingüística.Habiendotrabajado para el Harvard Crimson, y en Boston como freelance, se mudó aMinneapolis, dondeayudóa fundar elperiódico semanalMetropolis.Tras el cierredelperiódico,volvóaNuevaYorkyseincorporóalaplantilladelNewYorkTimes,dondetrabajódurantediezañoscomoeditoryreportero.

Suprimer libro,Caos:Lacreacióndeunaciencia, unbest-seller internacional,narraeldesarrollodelaTeoríadelCaos,ehizodel«efectomariposa»algoconocidoparaelpúblicoengeneral.

EntreloscientíficossobrecuyavidaGleickhatratadoseencuentranStephenJayGould,DouglasR.Hofstadter,RichardFeynmanyBenoîtMandelbrot.Susprimerosinformes sobreMicrosoft se adelantarona las investigacionesdelDepartamentodeJusticia de los Estados Unidos y de la Comisión Europea sobre sus prácticasmonopolísticas. Los ensayos de Gleick siguiendo el crecimiento de InternetincluyeronlacolumnatecnológicadeTheNewYorkTimesMagazineentre1995y1999y formaron labasede su libroWhat JustHappened. Su trabajoha aparecidotambiénenTheNewYorker,Atlantic,SlateyelWashingtonPost.


De 1989 a 1990 fue conferenciante en la Universidad de Princeton. GleickcolaboróconelfotógrafoEliotPorterenNature’sChaosyconlosdesarrolladoresdeAutodesk enChaos: theSoftware. En 1993 fundóPipeline, un pionero servicio deInternet. Gleick colabora activamente en los tablones de «Authors guild» y «KeyWestLiterarySeminar».


Notas


[1]La«población»,enestemodelotanabstracto,seexpresaporconvenienciacomounafracciónentreceroyuno.Elcerorepresentalaextinción,yeluno,lapoblaciónmásnumerosaconcebible.

Elíjase un valor arbitrario para r—por ejemplo, 2,7—, y una población inicial de0,02. Uno menos 0,02 es 0,98. Multiplíquese por 0,02 y se obtendrá 0,0196.Multiplíqueseestacifrapor2,7yelproductoserá0,0529.Lapequeñísimapoblacióninicial se ha doblado sobradamente. Repítase el procedimiento, usando comosimiente lanuevapoblación,yseconseguirá0,1353.Conunamáquinacalculadoraprogramable, de escaso precio, la iteración se reduce a oprimir el mismo botónrepetidasveces.Lapoblaciónseelevaa0,3159,luegoa0,5835,despuésa0,6562…Elritmodeaumentosehacemáspausado.Mástarde,cuandoelhambreafectaalareproducción, 0,6092. Después, 0,6428, 0,6199, 0,6362 y 0,6249. Los númerosparecensaltaradelanteyatrás,peroseaproximanaunofijo:0,6328,0,6273,0,6312,0,6285, 0,6304, 0,6291, 0,6300, 0,6294, 0,6299, 0,6295, 0,6297, 0,6296, 0,6297,0,6298,0,6296,0,6296,0,6296,0,6296,0,6296,0,6298.¡Éxito!

Enlosdíasenquelasoperacionesaritméticasseefectuabanconlápizypapel,yenaquellos en que lasmáquinas de cálculo semovían conmanivelas, la exploraciónnuméricajamásfuemuchomáslejos.<<


[2]Conunparámetro,porejemplo,de3,5,yunvalorinicialde0,4,encontrabaunasartadenúmeroscomoéstos:

0,4000,0,8400,0,4704,0,8719,0,3908,0,8332,0,4862,0,8743,0,3846,0,8284,0,4976,0,8750,0,3829,0,8270,0,4976,0,8750,0,3829,0,8270,0,5008,0,8500,0,3828,0,8269,0,5009,0,8500,0,3828,0,8269,0,5009,0,8500,

etc.<<


[3] Un programa del conjunto deMandelbrot requiere pocas piezas esenciales. Loprincipal es un bucle de circuito cerrado de instrucciones que aplica la reglaaritméticaasunúmerocomplejoinicial.ParaelconjuntodeMandelbrot,lareglaesésta: z → z2 + c, en que z comienza en cero y c es el número complejocorrespondientealpuntoquesecomprueba.Porlotanto,tómese0,multiplíqueseporél mismo, y añádase el número inicial; tómese el resultado—el número inicial—,multiplíqueseporélmismo,yañádaseelnúmeroinicial;tómeseelnuevoresultado,multiplíqueseporélmismoyañádaseelnúmeroinicial.Lasoperacionesaritméticasconnúmeroscomplejossonsencillasydirectas.Unnúmerocomplejoseexpresacondospartes,como,porejemplo,2+3i(lasituacióndelpuntoen2estey3norteenelplanocomplejo).Parasumarunpardenúmerosdeestaclase,hayqueadicionarlaspartes realesparaobtenerotra real,y las imaginarias,paraobtenerunanuevaparteimaginaria:

Paramultiplicar dos números complejos, semultiplica cada parte de uno por cadapartedeotro,ysesumanloscuatroresultados.Comoimultiplicadoporsímismoesigual a −1, por la definición original de los números imaginarios, un término delresultadocolapsaenotro.


Pararomperestebucle,elprogramanecesitavigilareltotalenfuncionamiento.Sisedirigeal infinito,alejándosecadavezmásdelcentrodeplano,elpuntooriginalnopertenecealconjunto;ysieltotalenfuncionamientoesmayorque2omenorque−2,tantoenlaparterealcomoenlaimaginaria,seencaminasindudaalgunaalinfinito,y el programa puede seguir adelante. Pero, si repite el cálculo muchas veces, sinllegarasermayorde2,elpuntopertenecealconjunto.Cuántasvecesdependedelamagnituddelaampliación.Enlasescalasaccesiblesaunordenadorpersonal,100o200bastanamenudo,y1.000nopuedenfracasar.

Elprogramatienequerepetiresteprocesoparacadaunodelosmillaresdepuntosdela rejilla, con una escala susceptible de mayor ampliación. Y el programa ha demostrarelresultado.Lospuntosdeunconjuntopuedencolorearsedeblancounos,yde rojo otros.O, con el fin de que la imagen seamuchomás atractiva, los puntosblancossesustituyenconmaticesdecolor.Silaiteraciónseinterrumpe,porejemplo,alcabodediezrepeticiones,elprogramapuedemarcarunpuntoencarnado;sialasveinte,unoanaranjado;sialascuarenta,unoamarillo,etc.Laeleccióndeloscoloresy las interrupciones que sirven de señal para empezar a utilizar uno de ellos,dependendel gustodel programador.Los colores revelan los contornosdel terrenoquehayenelexteriordelconjuntopropiamentedicho.<<


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