Algebra Lineal – Sección 10

Integrantes:

Boggdan Josué Barrientos Cifuentes 14484

Karen Dayane García Velásquez 14656

Marcos Ovalle Masella 14194

Manolo Estuardo Ramírez Aguilar 14005

1.1

Vector Es un segmento de recta que esta limitada entre dos puntos. Esto quiere decir que del punto A al B

hay un vector llamado AB. Considerando que los vectores son característicos en tener magnitud y

dirección.

Punto inicial u origen Es el punto de donde se inicia a marcar el vector, esto quiere decir que es de donde sale el vector.

Punto terminal o punta Es donde el vector tiende a estar limitado luego de haber salido de su origen con una magnitud y

dirección.

Componentes Los vectores tienden a representarte por medio de componentes, las cuales son números

ordenados y reales.

vectores columna Es cuando los componentes de un vector se colocan de forma en columna, esto quiere decir que

sería como una matriz de una sola columna.

Vectores renglón Es cuando el orden de los componentes se coloca en renglón, esto quiere decir que esta uno a la

par de otro.

Vector cero Es aquel vector que va a tener cero en todos sus componentes. Esto quiere decir que su longitud o modulo es cero.

Ejemplo: (0,0)

Plano Cartesiano Posee dos rectas numéricas que se intersentan entre si en un punto (0,0), de manera que una es

ortogonal a la otra. El nombre que posee el eje x (recta horizontal) se llaman abscisas y la del eje y

(recta vertical) se llaman ordenadas. Por lo tanto, pueden colocarse vectores, los cuales hacen

representación a las componentes que posee el plano. De esta manera son colocados y dibujando

en respectivo plano.

Vector negativo Es aquel que tiene una diferencia con un vector de 180 grados y con una dirección inversa.

Claramente esto considera que tienen la misma magnitud y solo su dirección es la diferencia.

Vector equivalentes Dos vectores son equivalentes si la diferencias de su punto terminal con el inicial coinciden. Esto

quiere decir que tienen la misma magnitud y sentido (Santillana Educación, 2008)

Ejemplo:

AB=(-2-(-4),3-2)=(2,1)

CD=(2-0,2-1)=(2,1)

Vectores paralelos Dos vector son paralelos solo cuando son múltiplos escalares.

Ejemplo:

AB=(-2-(-4),3-2)=(2,1)

CD=(2-0,2-1)=(2,1)

EF=(-1-3,-3-(1))=(-4,-2)

EF es proporcional a AB y CD:

(2/-4)=(1/-2), Esto quiere decir que AB, CD y EF son paralelos (Santillana Educación, 2008).

Posición estándar Es cuando el vector inicia desde el origen del plano respectivo. Esto quiere que el punto inicial del

vector es en el origen del plano cartesiano.

Magnitud La magnitud de un vector se define por la distancia de su punto inicial y su punto final. La manera

en la que se escribe la magnitud de cierto vector es ‖𝑷𝑸‖. Para obtener la magnitud de un vector

se debe calcular por medio de: √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2.

Ejemplo:

El vector v tiene los siguientes puntos:

Punto inicial: (1,2)

Punto final:(5,6)

‖𝒗‖ = √(5 − 1)2 + (6 − 2)2 = √16 + 16 = √32

Suma de vectores Para operar suma de vectores, se debe considerar que es un a operación vectorial básica. Por lo

tanto, la suma de ciertos vectores da como resultados un tercer vector que es el resultado de u y

v.

𝒖 = [𝑢1, 𝑢2] y 𝒗 = [𝑣1, 𝑣2]

𝒖 + 𝒗 = [𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2]

Multiplicación escalar Dado un vector v y un número real. Se obtiene un múltiplo escalar cv.

→ [𝑐𝑣1 , 𝑐𝑣2]

Geométricamente cv es una versión a escala de v.

Vectores en ℝ3 Los vectores en ℝ3 se basa de realizar respectivos vectores en tres ejes. Para poder dibujar un

vector en ℝ3 se debe trazar primero sus componentes en el eje x, luevo se debe mover los

espacios indicados en el eje y, y finalmente se realizar los componentes del eje z.

Propiedades algebraicas en ℝ𝑛 Sea u,v,w vctores en ℝ𝑛 y sea c y d escalares, se cumplen las siguientes condiciones:

A. U + V = V + U

B. (U + V) + W = U + (U + W)

C. U + 0= U

D. U + (-U) = 0

E. c (U + V) = cU + cV

F. (c + d) U = cU + dU

G. c(dU) = (cd) U

H. 1U= U

Combinación lineal Una combinación lineal de vectores con otro vector, se basa de que la multiplicacion de sus

coeficientes escalares con los vectores brinden el otro vector. Por ejemplo:

El vector 𝒖 = [𝟐

−𝟐−𝟏

]es combinación lineal de 𝒗 = [𝟏𝟎

−𝟏] 𝒌 = [

𝟐−𝟑𝟏

] 𝒋 = [𝟓

−𝟒𝟎

] .

3 [10

−1] + 2 [

2−31

] − [5

−40

] = [2

−2−1

]

Cuadricula coordinada Una cuadricula coordinada se basa en facilitar el dibujo de combinaciones de vectores, de tal

manera puede llegar a obtener los vectores deseados de manera más exacta.

Vectores binarios Estos vectores poseen componentes que solamente se basan de cero y uno. Para utilizar cero y

uno se debe modificar la aritmética conocida. Por ejemplo: al tener dos número 1 que se esten

sumando, normalmente dirian que es 2. Pero en estos vectores, al realizar esta suma debe de dar

0.

Módulo Los modulos se basan de la modificación que se debe realizar a la aritmética. Por ejemplo: en el

caso de el módulos sea 2, quiere decir que sus componentes solo puede ser 0 y 1. En el caso que

sea módulo 3, los componentes serían 0,1, y 2. Así sucesivamente se pueden obtener diferentes

modulos que varían uno respecto de otro.

Vectores de longitud n Los vectores pueden tener un modulo que difiere de su longitud. Estos se ven representados de la

siguiente manera: ℤ2𝑛. Esto quiere decir que es un vector binario de longitud n.

Ejemplo:

ℤ25 un vector de modulo 2 y de longitud 5, se puede representar: 𝒗 = [1,0,1,1,0].

1.2

Vector ortogonal Dos vectores son ortogonales si el ángulo entre ellos es de pi/2 o 90º (ángulo recto). Entonces dos

vectores que son ortogonales por ende el producto punto entre ellos va a dar cero (𝑢 ∙ 𝑣 = 0).

Ejemplo:

U=(1, 1,-2)

V=(3,1,2)

𝑢 ∙ 𝑣 = 3+1-4=0

Producto punto El producto punto es la suma de los componentes que corresponden a los vectores que se les este

aplicando. Claramente, para llevar cabo este proceso se debe considerar que deben tener la

misma longitud, posee una propiedad conmutativa, y el resultado es un escalar y no un vector. Se

le conoce como producto escalar y producto punto.

Ejemplo:

𝒖 = [𝟏𝟐

−𝟑] 𝒗 = [

−352

]

𝒖 ∙ 𝒗 = 1 ∗ (−3) + 2 ∗ 5 + 2 ∗ (−3) = 1

Teorema 1.2 Sea u,v y w vectores en ℝ𝑛 y c un escalar. Entonces:

A. u∙v = v ∙u

B. u∙(v + w)= c(u∙v)

C. (cu) ∙v = c(u∙v)

D. u∙ 𝐮 ≥ 0 y u∙ 𝐮 = 0 si y solo si 𝐮 = 𝟎

Teorema 1.3 Sea v un vector en ℝ𝑛 y sea c un escalar. Entonces:

A. ‖𝐯‖ = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐯 = 𝟎 B. ‖𝑐𝒗‖ = |𝑐|‖𝐯‖

Longitud En IR2 la longitud del vector 𝐯 = [a , b] es la distancia desde el origen hasta el punto (a,b) que por

Pitágoras este dado por √𝑎2 + 𝑏2 .

En IRn para cualquier vector v está definido por √𝑣12 + 𝑣2

2 + 𝑣32 … . . +𝑣𝑛

2

Vector unitario También llamado normalizar un vector y se utiliza cuando se necesita un vector unitario con la

misma dirección. Para normalizar un vector se divide este por su módulo. 𝒖 = 𝒗

||𝑣||

Ejemplo:

Si v es un vector de componentes (3,4) hallar un vector unitario con su misma dirección y sentido.

𝐯 = [3 , 4] ||v|| = √32 + 42 = 5 𝒖 = 𝟏

𝟓∙ (3,4) 𝒖 = (

3

5,

4

5)

La desigualdad de Cauchy Shawarz Para todos los vectores u y v en IRn está definido como:

|𝒖 ∙ 𝒗| ≤ ||𝒖||||𝒗||

Desigualdad del triangulo Para todos los vectores u y v en IRn está definido como:

|||𝒖 + 𝒗|| ≤ ||𝒖|| + ||𝒗||

Distancia de d(u,v) La distancia está dada por |u-v|, redefinida para cualquier vector en IRn está dada por:

𝑑(𝒖, 𝒗) = ||𝒖 − 𝒗||

Ejemplo:

Encuentre la distancia entre A(2,1) y B(-3,2)

|𝑨𝑩| = √(−3 − 2)2 + (2 − 1)2 = √26

Angulo entre dos vectores El ángulo para vectores u y v en IRn está dado por:

cos 𝜃 = 𝒖 ∙ 𝒗

||𝒖||||𝒗||

Ejemplo:

Calcular el ángulo entre los vectores a(3,4) y b(4,3)

cos 𝜃 = 𝒂 ∙ 𝒃

||𝒂||||𝒃||=

3 ∙ 4 + 4 ∙ 3

√32 + 42 √42 + 32 =

24

25

El ángulo se encuentra aplicando el coseno inverso y da un resultado de: 16.26°

Teorema de Pitágoras Está definido para todos los vectores u y v en IRn sí y solo sí u y v son ortogonales. Se define como:

|||𝒖 + 𝒗||2 = ||𝒖||2

+ ||𝒗||2

Proyecciones Es la distancia desde un punto hasta una recta. Si u y v son vectores en IRn y u ≠ 0 entonces la

proyección de v sobre u es igual a: 𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑣)𝑢 = (𝒖∙𝒗

𝒖∙𝒖)𝒖

Ejemplo:

Calcular la proyección de u (2,-5) sobre v(5,1)

𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑢)𝑣 = (2 ∙ 5 + −5 ∙ 1

5 ∙ 5 + 1 ∙ 1) (5,1) =

5

26(5,1) =

25/26

5/26

𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑢)𝑣 = [25

26,

5

26]

Normalización de un vector Es encontrar un vector unitario con la misma dirección y sentido.

1.3

Rectas en R2

Son aquellas rectas que son ubicadas en un plano cartesiano con ejes X e Y.

Vector normal Es aquel que es perpendicular a la recta y ortogonal a cuaquier vector x que sea paralelo a la recta.

nx=0 es la forma normal de la ecuacion de L.

Ejemplo:

La recta 2x+y=0 tiene un vector normal [2,1].

Vector director Es un vector paralelo a la recta. Esto tambien implicaría que el vector director es perpendicular al

vector nomal de respectiva recta.

Rectas Una recta pasa por el origen si el valor que forman sus incógnitas es (C=0). Si se tiene la forma

normal se efectúa un producto escalar con ellos y se obtiene la forma general.

Forma general de la ecuación en R2 La ecuación de la recta es ax+by=c, donde el vector normal de la recta es [a,b].

Forma normal de la ecuacion de la recta en R2

La forma normal de la ecuación de una recta en R2 es nx= np. Donde n es el vector normal

(forma 90 grados sobre la recta), no importa si la recta no pasa por el origen, X es un punto en la

recta y p es un punto conocido en la recta.

Ejemplo:

Ecuación general de la recta: 2x+y=5

Punto sobre la recta: (1,3)

𝒏 ∙ 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒑

[2

1] ∙ [

𝑥

𝑦] = [

2

1] ∙ [

1

3]

Forma vectorial: 𝑥 = 𝑝 + 𝑇𝑑

Esta también cumple cuando se habla en R3 solo que se debe tener en cuenta que solo existen

tres componentes.

Donde X son los planos para los que existen los vectores, p es un punto conocido, t es un escalar y

d es el vector dirección que es perpendicular al vector normal.

Ecuaciones paramétricas

Estas consisten en despejar las variables de los planos con respecto a la forma vectorial para que

estas queden de un lado del igual. Se pueden trabajar en R3 pero esta nos deja despejadas 3

ecuaciones, es decir una para cada componente.

𝑥 = 𝑝1 + 𝑇𝑑1

Ecuaciones simétricas

Solo se trabajan en R3 y consiste en despejar (t) de cada ecuación paramétrica y luego igualar las

tres.

𝑥 − 𝑃1

𝑑1=

𝑦 − 𝑃2

𝑑2=

𝑧 − 𝑃3

𝑑3

Planos en R3

Forma general de la ecuacion de un plano La forma general de un plano en R3 se ve manifestado por tres componentes, por ende su

representacion es ax+by+cz=d, donde el vector normal que puede manifestarse en erespectivo

plano es [a,b,c].

Forma normal de la ecuacion de un plano En R3 la forma normal de un plano se ve representado por 𝒏 ∙ (𝒙 − 𝒑) = 0 o 𝒏 ∙ 𝒙 = 𝒙 ∙ 𝒑. Donde

p es un punto en el plano y el vector normal difiere de cero.

Forma vectorial de la ecuación de un plano La ecuación de un plano en R3 es 𝒙 = 𝒑 + 𝑠𝒖 + 𝑡𝒗. Donde p es un punto sobre el plano y u, y v

son vectores directores para el plano, aun más esto no implica que u y v sean paralelos.

Forma paramétrica de un plano La forma parametrica de un plano es:

𝒙 = 𝒑𝟏 + 𝑠𝒖𝟏 + 𝑡𝒗𝟏

𝒚 = 𝒑𝟐 + 𝑠𝒖𝟐 + 𝑡𝒗𝟐

𝒛 = 𝒑𝟑 + 𝑠𝒖𝟑 + 𝑡𝒗𝟑

Hiperplano Es un plano en IR3 determinado por una sola ecuación de tipo general.

Dimensión del espacio Esta dada por la siguiente ecuación:

𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 + 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜

Distancia de un punto a una recta Para encontrar esa distancia se describen los siguientes pasos:

1. Trazar el vector desde un punto P sobre la recta hasta F.

2. Encontrar la proyección de PF sobre el vector dirección de la recta. 𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑃𝐹)𝑑

3. 𝒙 = 𝑃𝐹 − 𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑃𝐹)𝑑

4. La distancia del punto F a la recta está dado por la magnitud de x.

Producto Cruz o Producto vectorial

Su resultado es un vector, este producto solo está definido para vectores en (R3), el producto es

ortogonal a los dos vectores que lo forman. Sus propiedades son:

Con y , anulación del producto vectorial

proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.

. ,

,

El módulo o norma del producto vectorial puede calcularse fácilmente sin hacer el producto

vectorial:

El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

1.4

Distancia de un punto a un plano Se traza el vector desde un punto P del plano hasta el punto F, se realiza la proyección de PF sobre

la normal del plano y la magnitud de la proyección es la distancia entre el punto F hasta el plano.

||𝑝𝑟𝑜𝑦(𝑃𝐹)𝑛||

Fuerza resultante Es el resultado neto de todas las fuerzas que actúan sobre un objeto.

Equilibrio de un objeto Se dice que un objeto está en equilibrio cuando las fuerzas que actúan sobre el suman cero.

Descomposición de vectores La descomposición de un vector fuerza en otros vectores que cuya resultante es el vector dado.

Vectores Código Se utilizan para la transmisión de información. En algebra nos concentramos en los códigos

utilizados para la transmisión de datos de manera electrónica.

Código binario Es un conjunto de vectores binarios, llamado vectores código.

Codificación El proceso de convertir un mensaje en vectores código se llama codificación.

Decodificación

Es el proceso inverso a la codificación, este proceso consiste en encontrar el mensaje que se

transmite a través del código.

Código de detección de error

Su propósito es detectar posibles errores en los datos, mientras que los códigos detectores y

correctores de error no sólo pretenden detectar errores, sino también corregirlos. Existen

diferentes métodos de detección de errores, el más usado es, posiblemente, el método del bit de

paridad.

Código de control de paridad

Se dice que dos números tienen paridad, si ambos son pares o impares. Es un código en el que se

envía un vector binario pero, se crea al agregar un dígito de control a los vectores de forma que la

cantidad de “1” que estos posean sea par.

Código de dígito de control

Mecanismo de detección de errores utilizado para verificar la corrección de un dato, generalmente

en soporte informático. Los dígitos de control se usan principalmente para detectar errores en el

tecleo o transmisión de los datos. Generalmente consisten en uno o más caracteres numéricos o

alfabéticos añadidos al dato original y calculado a partir de éste mediante un determinado

algoritmo.

Dígito de control

Componente adicional que se le agrega al código de cada vector, de modo que la paridad del

vector sea par.

Vector de control

Es un vector que tiene todos sus componentes siendo número 1. Se suele denotar con el símbolo

“C”.

C = (1, 1, 1,1…., 1)

Código UPC

Código universal de producto, se asocia a los códigos de barras que poseen los productos. Los

primeros dígitos del código de barras UPC-EAN identifican el país que otorgó el código, no así el

país de origen del producto. Los subsiguientes números (entre 5 y 8 dígitos) representan el código

de empresa, que identifica al propietario de la marca. El código del producto según propietario

completa el resto de los números que pueden variar según lo mencionado entre 4 o más. Si el

resultado es múltiplo de 10 el dígito de control será 0(cero).

ISBN-10

International Standard Book Number, aparece en los libros está formado por bloques que

identifican el país, la editorial y libro (en total 9 cifras), y un último dígito (o la letra X) que sirve

como dígito de control. Este dígito de control se calcula de una manera muy sencilla que pasamos

a explicar mediante un ejemplo.

2.1

Ecuaciones

Ecuación lineal: ecuación de primer grado es un planteamiento de igualdad, que involucra

una o más variables a la primera potencia, solamente sumas y restas de una variable a la primera

potencia.

x + y + z = 4

Coeficientes son números reales que acompañan a las variables en una ecuación lineal.

Términos constantes: son los números que en una ecuación lineal no poseen ninguna

variable acompañándolos, deben ser números reales.

y + z = 2

Sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales finito, cada una

con las mismas variables, posee un vector solución que es simultáneamente la misma para cada

ecuación del sistema.

Soluciones de una ecuación lineal: se dan en forma de vectores donde se indica el

valor que posee cada variable para las ecuaciones.

Una solución: es un sistema consistente.

Infinitas soluciones: es un sistema consistente, los vectores soluciones deben tener un

múltiplo en común.

No tiene solución: es una solución inconsistente.

Conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales: Es el

conjunto de todas las posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, que da respuesta

a las variables de todas las ecuaciones del sistema de manera simultánea, deben ser múltiplos

para que los valores tiendan a ser las constantes.

Ecuaciones consistentes

Son ecuaciones que no poseen una solución posible.

Ecuación Inconsistente

Son ecuaciones que poseen solución.

Ecuación Equivalentes

Dos sistemas lineales que poseen el mismo conjunto de solución.

Sustitución hacia atrás

Se presenta cuando alguna de las ecuaciones del sistema posee una sola variable para ser

despejada. Esta se despeja y se sustituye en la ecuación superior, para resolver el valor de la

siguiente incógnita, se utiliza n veces, hasta que el sistema es resuelto.

Matriz aumentada y matriz de coeficientes

Matriz que es construida a partir de los coeficientes de las ecuaciones del sistema, luego, se dibuja

una recta, perpendicular a la horizontal y paralela a los coeficientes.

2.2

Forma escalonada por renglones

Es la forma de representar una matriz, se cumple, solo si: cualquier renglón que consiste

completamente de ceros está en la parte baja y en cada renglón distinto a cero, el primer

elemento distinto a cero (elemento pivote), está en una columna a la izquierda de cualquier

elemento pivote bajo él (en forma de escalera).

Elemento pivote

Es un número, diferente a 0, que se selecciona, comúnmente, del primer renglón. Este se utiliza

para realizar los cálculos respectivos para encontrar una solución al sistema.

Operaciones elementales con renglones

Existen tres posibles a) intercambio de renglones b) multiplicación de un reglón por un número

distinto a cero c) sumar un múltiplo de otro renglón.

Reducción de renglón

Es el proceso de realizar cualquiera de las tres operaciones posibles, de tal manera que se pueda

llevar la matriz, a una escalonada por renglones.

Equivalentes por renglones

Si se tienen dos matrices, que una, por medio de operaciones, puede llegar a la otra y viceversa.

Eliminación gaussiana

Es el proceso que conlleva la reducción de renglones de una matriz aumentada, para luego aplicar

la sustitución hacia atrás y poder encontrar las posibles soluciones.

Rank

Es el número de renglones, distintos a 0, en su forma escalonada por renglones.

Teorema de Rank

Si existe un sistema de ecuaciones lineales con n variables en una matriz; y si es consistente. (A =

matriz).

Numero de variables = n-Rank(A).

Eliminación de Gauss-Jordan

Serie de pasos para poder resolver un sistema de ecuaciones, de forma más rápida que con la

eliminación de Gauss. Pasos: a) Ir a la columna no cero extrema izquierda b) Si el primer renglón

tiene un cero en esta columna, intercambiarlo con otro que no lo tenga c) Luego, obtener ceros

debajo de este elemento delantero, sumando múltiplos adecuados del renglón superior a los

renglones debajo de él d) Cubrir el renglón superior y repetir el proceso anterior con la submatriz

restante. Repetir con el resto de los renglones (en este punto la matriz se encuentra en la forma

de escalón) e) Comenzando con el último renglón no cero, avanzar hacia arriba: para cada renglón

obtener un 1 delantero e introducir ceros arriba de éste sumando múltiplos correspondientes a los

renglones correspondientes

Forma escalonada reducida por renglones

Esta es una propiedad de las matrices que se cumple si: a) está en forma escalonada por renglones

b) el elemento pivote en cada renglón distinto de cero es 1 (pivote) c) cada columna tiene un

elemento pivote y tiene ceros en los otros lugares.

Sistema homogéneo

Esto se cumple para un sistema de ecuaciones solo si el término constante de cada ecuación es 0.

Teorema 2.3 Si [A|0] es un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n variables, donde m<n, entonces

el sistema tiene un número infinito de soluciones.

Sistemas lineales sobre Zp Cuando se desea resolver sistema de ecuaciones lineales, es posible realizarlos en algun Zp. Para

llevar a cabo, estos sistemas se deben realizar en base a las componentes permitidas en este

modulo.

2.3

Conjuntos generadores de vectores Es un conjunto de vectores que tienen la caracteristica de que cualquier vectores de respectivo

conjunto es combinacion lineal de los vectores de sistema generador.

Ejemplo:

¿ 𝐸𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 [31

−2] 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 [

110

] 𝑦 [011

] ?

𝑥 [110

] + 𝑦 [011

] = [31

−2]

Se desarrolla el sistema:

𝑥 = 3

𝑥 + 𝑦 = 1

𝑦 = −2

Desarrolla la matriz aumentada:

[

1 0/1 1/0 1/

31

−2] 𝑅2 − 𝑅1 [

1 0/ 0 1/ 0 1/

3−2−2

] 𝑅3 − 𝑅2 [

1 0/0 1/0 0/

3−20

]

Solución:

𝑥 = 3; 𝑦 = −2

Combinación lineal correspondiente:

3 [110

] − 2 [011

] = [31

−2]

Teorema 2.4 Un sistema de ecuaciones linealres con matriz aumentada [A/b] es consistente si y solo si b es una

combinacion lineal de las columnas de A.

Esto sucede debido que al encontrar la solución podemos obtener una solución o soluciones

infinitas.

Independencia lineal Un conjunto de vectores v1 v2, …. Vk es linealmente independiente si no es dependiente.

Teorema 2.5 Los vectores v1 v2, …. Vk son linealmente independientes si y solo sí al menos uno de los vectores

puede expresarse como una combinación lineal de los otros.

Teorema 2.6 Sean v1 v2, …. Vk son linealmente dependientes si y solo sí el sistema homogénico con matriz

aumentada tiene una solución no trivial.

Teorema 2.7 Sean v1 v2, …. Vm vectores en IRn son linealmente dependientes si y solo rango(A) < m.

Teorema 2.8 Cualquier conjunto de vectores m vectores en IRn es linealmente dependiente si m > n

2.4

Ejemplos de aplicación

Leyes de Kirchhoff

Al utilizar estas leyes se puede establecer un sistema de ecuaciones lineales que permitirán

determinar las corrientes en una red eléctrica.

Ley de Corriente (nodos)

La suma de las corrientes que fluyen hacia cualquier nodo es igual a la suma de las corrientes que

salen de dicho nodo.

Ley de voltaje (circuitos)

La suma de las caídas de voltaje alrededor de cualquier circuito es igual al voltaje total alrededor

del circuito (proporcionado por baterías).

Modelos económicos lineales

Ayudan a determinar los precios óptimos y los niveles de producción sujetos a las metas

económicas deseadas. Para esto utiliza el análisis input-output. La economía de una región

consiste en tres industrias: servicios, electricidad y producción de petróleo. El input se refiere a lo

que se genera a partir de la venta de cada uno de los bienes o servicios, mencionados

anteriormente. El output se genera a partir de la compra de artículos para la industria,

provenientes de otras. El tipo de economía mencionado anteriormente es la “cerrada” ya que

todo está en equilibrio.

Juegos lineales finitos

Cuando un sistema físico contiene un número finito de estados, se deben analizar con aritmética

modular. De este modo se puede ser preciso para brindar una solución al estado o problema dado.

Balanceo de ecuaciones químicas Es una ecuación algebraica que proporciona los números relativos de reactivos y productos en la

reacción y tiene el mismo número de átomos de ambos lados de la ecuación, generalmente tiene a

los reactivos de lado izquierdo y productos del lado derecho.

H2O + N2O5 → HNO3

H2O + N2O5 → HNO3 + HNO3

H2O + N2O5 → 2 HNO3

Análisis de redes A través de estos se dan flujos de distintas cosas, poseen uniones o nodos conectadas mediante

aristas o uniones, cada una indica la cantidad de flujo que puede fluir allí.

Redes eléctricas (Ohm)

Red interconectada que tiene el propósito de suministrar electricidad desde los

proveedores hasta los consumidores.

Donde las respuestas son: I1= 1, I2=4 y I3=3, siempre las respuestas en amperes.