Energia cinetica e lavoro - fis.unipr.it .Energia cinetica e lavoro Consideriamo un oggetto puntiforme

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  • Energia cinetica e lavoro

    Consideriamo un oggetto puntiforme di massa m che si muove

    lungo lasse x, soggetto ad una forza ~F che forma un angolo

    con lasse x. Sotto lazione di questa forza il punto si

    sposta lungo lasse x con unaccelerazione a = ax = Fx/m,

    con Fx = F cos.

    Supponiamo che la forza agisca sulloggetto per uno tratto

    d. La velocita delloggetto cambia da un valore iniziale v0a un valore finale v. Se la forza e costante, il moto e uni-

    formemente accelerato e vale la relazione

    v2 = v20 + 2ad 12mv2 1

    2mv20 = mad = Fxd ()

    Si definisce energia cinetica di un corpo puntiforme di massa

    m e velocita v la quantita

    K = 12mv2 [K] = [M L2 T2]

    La quantita Fxd e chiamata lavoro compiuto dalla forza

    costante F sulloggetto:

    L = Fxd = ~F ~d = Fd cos

    La (*) si legge: la differenza tra lenergia cinetica finale e

    quella iniziale delloggetto e pari al lavoro L compiuto dalla

    forza F sulloggetto: K = Kf Ki = L.N.B.: questa espressione vale solo per forze costanti e oggetti

    puntiformi.

  • Il lavoro e una grandezza fisica che esprime come lenergia

    venga trasferita a un corpo tramite lapplicazione di una

    forza. Il lavoro puo essere sia positivo ( < /2) che negativo

    ( > /2): se L > 0 lenergia cinetica finale e maggiore di

    quella iniziale.

    Prima di trattare il caso generale di una forza variabile, con-

    sideriamo il caso unidimensionale con una forza diretta lungo

    lasse x ma in modulo variabile: F = F (x). Per calcolare il

    lavoro che questa forza compie su di un oggetto che si sposta

    sotto lazione di questa forza di un tratto d, suddividiamo lo

    spostamento in intervalli infinitesimi x, abbastanza piccoli

    da poter ipotizzare la forza costante lungo ogni elemento.

    Indichiamo con Fj il valor medio della forza nellintervallo

    j-esimo

    Lincremento di lavoro Lj fatto dalla forza in questo inter-

    vallo e

    Lj = Fjx

    il lavoro totale si ottiene sommando su tutti i contributi

    L =

    Lj =

    Fjx

    Nel limite in cui facciamo tendere a zero x si trova:

    L = limx0

    Fjx =

    xfxi

    F (x)dx

  • Piu in generale, quando la forza ~F e variabile sia in modulo

    che in direzione, lincremento di lavoro compiuto dalla forza

    nellintervallo infinitesimo ~ds e dato da

    L = ~F ~ds

    dove ~ds e il vettore tangente alla traiettoria del punto e di

    intensita pari allelemento di linea e verso uguale a quello del

    moto del punto

    A

    B

    ~F~ds

    x

    y

    Il lavoro fatto dalla forza ~F per spostare il punto dalla po-

    sizione A alla posizione B e

    LAB =

    BA

    ~F ~ds

    dove lintegrale e lungo la traiettoria del punto: in pratica

    si suddivide la traiettoria in tanti elementi ~ds, si esegue il

    prodotto scalare tra ~ds e la forza ~F e si sommano tutti i

    contributi cos ottenuti. Se la forza e costante e la traietto-

    ria e una retta si ritrova lespressione precedente.

    Lavoro e energia cinetica sono grandezze omogenee ed hanno

    le stesse dimensioni

    [Lavoro] = [FL] = [MLT2L] = [ML2T2]

    Nel SI (o MKS) lunita di misura del lavoro e il Joule (j)

    1joule = 1newton 1metro

  • Esempio: lavoro della forza peso

    xB

    h~P

    A~ds

    ~P

    A

    B

    ya) b)

    La forza peso e costante, quindi LAB = m~g ~d.caso a) spostamento e forza sono paralleli:

    LAB = mg(yb ya) = mgh .caso b) lo spostamento e h/ sin e langolo tra ~P e lo sposta-

    mento e (/2 )

    LAB = mgh

    sin cos(

    2 ) = mgh

    N.B.: non ci sono forze dattrito: la velocita del punto in B

    nei due casi e la stessa, quindi nei due casi si ha la stessa

    variazione dellenergia cinetica e il lavoro della forza peso

    deve essere lo stesso.

    Esempio: lavoro della forza dattrito

    B

    h

    A

    AB

    ~P

    ~fk ~v

    ~fk

    ~P

    ~N~N

    ~v

    a) b)

    x

    x

    in tutti e due i casi la forza di attrito dinamico fk = kN

    ha la stessa direzione dello spostamento ma verso opposto:

    = , di conseguenza il lavoro della forza di attrito e sempre

    negativo.

  • caso a) N = mg quindi il lavoro della forza dattrito nel tratto

    AB e LAB = kmg(xB xA)caso b) N = mg cos

    LAB = kmg cos (xB xA) e il lavoro e tanto minore tantopiu il piano e inclinato.

    N.B.in tutti e due i casi il lavoro di ~N e nullo.

    Esempio: lavoro della forza elastica

    Consideriamo una molla con un estremo fisso e laltro libero

    a cui e attaccato un blocco. Allungando la molla di un tratto

    x essa esercita sul blocco una forza di richiamo

    F = kx legge di Hookedove k e la costante della molla.

    xx

    ~F

    OO

    ~F

    xx

    O

    La forza della molla non e costante: il modulo e proporzionale

    allallungamento (o accorciamento) rispetto alla lunghezza

    a riposo e ha sempre verso opposto allo spostamento.

    Supponiamo di portare il blocco in xi (x = 0 e la posizione

    del blocco quando la molla e a riposo) e di lasciarlo andare,

    il lavoro compiuto dalla molla per portare il blocco nella po-

    sizione finale xf e

    L =

    xfxi

    (kx) dx = 12kx2i 12kx

    2f

    L e positivo se x2i > x2f , cioe quando e il blocco si avvicina alla

    posizione di riposo (L e negativo quando se ne allontana).

    Se xi = 0 e x la posizione finale

    L = 12kx2

  • Supponiamo ora di spostare il blocco lungo lasse x appli-

    candogli una forza ~Fa. Durante lo spostamento questa forza

    compie un lavoro La sul blocco mentre la forza di richiamo

    della molla compie un lavoro Lm. La variazione di energia

    cinetica del blocco e

    K = Kf Ki = La + LmSe il blocco prima e dopo lo spostamento e a riposo, Kf =

    Ki = 0 e

    La = LmQuando il blocco e a riposo prima e dopo lo spostamento, il

    lavoro fatto sul blocco dalla forza applicata e lopposto del

    lavoro fatto sul blocco dalla molla. In particolare il lavoro

    della forza applicata e positivo quando il blocco si allontana

    dalla posizione di riposo della molla.

    Teorema dellenergia cinetica per una forza variabile

    Consideriamo un corpo di massa m che si muove lungo lasse

    x e su cui agisce una forza variabile F (x) diretta lungo lasse.

    Il lavoro svolto sul corpo dalla forza F mentre si muove da

    una posizione iniziale xi a una posizione finale xf e dato da

    L =

    xfxi

    F (x)dx

    per la 2a legge della dinamica F = ma = mdvdt

    = mdvdx

    dxdt

    L =

    xfxi

    mdv

    dx

    dx

    dtdx =

    vfvi

    mvdv = 12mv2f 12mv

    2i

    = Kf Ki = K

    Il lavoro fatto dalle forze che agiscono su un corpo e uguale

    alla variazione della sua energia cinetica

    LAB = K = KB KA

  • Potenza

    Se un lavoro L e svolto da un forza in un intervallo di tempo

    t, si definisce potenza media riferita a quellintervallo di

    tempo la quantita

    P =L

    tLa potenza istantanea (o potenza)

    P =dL

    dt

    e la rapidita con cui viene svolto un lavoro (o si trasferisce

    energia). La potenza e il lavoro fatto nellunita di tempo.

    Nel SI lunita di misura della potenza e il watt

    1watt = 1joule/1sec

    (Attenzione: il kilowattora e una misura di lavoro, infatti e

    il lavoro fatto da una data forza in unora.)

    Nel caso di un corpo che si muove in una direzione (ad

    esempio lungo lasse x) sotto lazione di una forza costante

    F che forma un angolo con la direzione del moto

    P =dL

    dt=

    d(Fx cos)

    dt= Fv cos = ~F ~v

    dove x e la posizione istantanea del corpo e v la sua velocita.

    Questa espressione della potenza vale solo per forze costanti

    e quando loggetto si muove lungo una direzione fissata.

    La potenza e una grandezza scalare.

  • apriamo una parentesi...

    Ricordiamo alcuni concetti dellanalisi che utilizzeremo in

    seguito.

    Data una funzione f(x) chiamiamo differenziale df la varia-

    zione della funzione tra i punti x e x + dx

    xx

    f(x)

    f(x + dx)

    x + dx

    df = f(x + dx) f(x)d

    dx

    f(x)

    a meno di infinitesimi di ordine superiore

    df = dx tan

    ma tan e data dalla derivata di f(x), cioe tan = dfdx

    df =

    (df

    dx

    )dx

    Questo si generalizza al caso di una funzione a piu variabili,

    per esempio f(x, y). In questo caso la variazione di f pas-

    sando dal punto P = (x, y) al punto Q = (x + dx, y + dy) e

    data dalla somma delle variazioni rispetto alle due coordinate

    df =

    (f

    x

    )dx +

    (f

    y

    )dy

    dove(

    fx

    )e calcolata tenendo fisso y e

    (fy

    )e calcolata

    tenendo fisso x (si usa il simbolo per indicare che si sta

    facendo la derivata parziale della funzione rispetto a una

    delle variabili, tenendo costanti le altre).

  • Esempio: f(x) = 3x5 4x2,

    df

    dx= 15x4 8x df = (15x4 8x)dx

    Esempio: f(x, y) = 3x2 + 4y3 + 5xy

    f

    x= 6x + 5y

    f

    y= 12y2 + 5x

    quindi

    df = (6x + 5y)dx + (12y2 + 5x)dy

    Lintegrale del differenziale di una funzione tra i punti A e

    B e uguale alla funzione calcolata in B meno la funzione

    calcolata in A, cioe e uguale alla variazione della funzione

    tra A e B

    x

    A

    B

    2

    1

    y BA

    df = f(B) f(A)

    indipendente dal percorso

    seguito.

    Inoltre lintegrale del differenziale di una funzione su un ciclo,

    x

    A

    y

    cioe su un percorso chiuso

    che parte in