Energia Cinética na RotaçãoPura

VELOCIDADE das partículas do corpo que giraem torno de um eixo fixo (expressa em termos de 𝜔(𝑡))

𝑏𝑖

𝐯𝑖(𝑡)

𝜔(𝑡)

|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)

=𝑏𝜔𝑑𝑡

𝑑𝑡𝜔𝑑𝑡

𝑏

𝑑𝐫

|𝐯 𝑡 | =|𝑑𝐫|

𝑑𝑡

𝜔

𝜔

𝑏𝑖

𝐯𝑖(𝑡)

𝜔(𝑡)𝐾 =

𝑖

1

2𝑚𝑖𝐯𝑖

2

=1

2

𝑖

𝑚𝑖𝑏𝑖2𝜔2

𝐾 =1

2𝐼𝜔2 𝐼 =

𝑖

𝑚𝑖𝑏𝑖2

Momentos de Inércia de alguns objetos

𝐼 = 𝑀𝑅2 𝐼 = 112

𝑀𝐿2 𝐼 = 12𝑀𝑅2

𝐼 = 12𝑀(𝑅𝑎

2 + 𝑅𝑏2)

𝐼 = 25𝑀𝑅2

𝑅

𝐿 𝑅𝑎 𝑅𝑏

𝑅𝑅

−𝐿2

𝐿2𝐿

𝐼 = 112

𝑀𝐿2

𝑥

𝐼 = −𝐿/2

𝐿/2 𝑀𝑑𝑥

𝐿𝑥2 =

𝑀

𝐿

𝑥3

3−𝐿/2

𝐿/2

𝑑𝑥

Teorema dos eixos paralelos

Basta calcular 𝐼𝐶 …

𝑑

𝐼𝐶𝐼 = 𝐼𝐶 + 𝑀𝑑2 𝐼 = 1

12𝑀𝐿2 + 𝑀 𝐿

2

2

= 13𝑀𝐿2

𝐼𝐶 = 112

𝑀𝐿2

𝐿

Momento de Inércia da molécula de CO2

𝑑𝑑

𝐼𝐶 = 2𝑚O𝑑2𝐼 = 𝑚C𝑑2 + 𝑚O4𝑑2

= 2𝑚O𝑑2 + (𝑚C + 2𝑚O)𝑑2

𝑀

Intuição sobre Momento de Inércia

Quem tem maior 𝐾?

𝐼 = (30 kg)(1 m)2 𝐼′ = (1 kg)(6 m)2

𝐾 =1

2𝐼𝜔2

1 m

30 kg

𝜔

6 m

1 kg

𝜔

Armazenamento de energiaem rotores

𝐾 = 14(1000 kg)(50 cm)2(5000 rpm)2

= 17 MJ

Grande quantidade de energia pode serarmazenada em um rotor

𝐼 = 12𝑀𝑅2

~ 670 km/h𝐯𝑅

𝜔

Armazenamento de energia em Baterias

Armazenamento de energia em Rotores

Energiaelétrica

Energia Elétrica produzrotação (~ liquidificador)

Rotor produz energiaelétrica (~ gerador)

𝜔

Energiaelétrica

𝜔

Armazenamento de energia elétrica em Stephentown-NY

• Uso de rolamentos magnéticos evita atrito, 97% de eficiência mecânica

• Pode ser carregado/descarregado indefinidamente (baterias de Li têm vida útil de ~ 3 anos)

• Não poluente (não contém Li ou Pb)

• É possível determinar com precisão a quantidade de energia armazenada

• Manutenção a cada 20 anos (metade do custo de manutenção de baterias)

• Capaz de ser carregado/descarregado muito rapidamente• Joint European Torus (usina experimental de fusão nuclear) tem dois rotores de

775 ton que atingem w = 225 rpm. Cada rotor é capaz de armazenar 3750 MJ e fornecer 400 MW de potência (por 9,3 seg).

• Porta-aviões Gerald Ford tem 4 rotores capazes de armazenar 122 MJ a w = 6400 rpm. Podem ser carregados em 45 seg e descarregados em 2-3 seg (P ~ 50 MW). São usados para catapultar os aviões.

• A montanha russa Incredible Hulk, no Universal Studios (Florida-EUA), acelera os carros com energia armazenada em rotores.

Kinetic Energy Recovery System (KERS)

Torque na Rotação Pura

O que é capaz de colocar um corpo rígido para girar em torno de um eixo fixo?

O que é capaz de colocar uma partícula parada em movimento?𝐅

FORÇA

TORQUE

A direção do vetor 𝐅 é absolutamente crucial, ela não pode passar pelo eixo.

O mesmo vetor 𝐅, dependendo da distância 𝑅 do ponto de aplicação ao

eixo, produz rotações diferentes.

𝐅1

𝐅2

𝐅3

Graficamente...

𝐅⊥

𝑅 𝐅∥ (inútil)

(produz rotação)𝐅

A equação de Newton naRotação Pura

𝑅 𝐅

Torque em relação a um eixo (sem atrito)

𝐹⊥

𝐫𝑖

𝐚𝑖

𝑚𝑖𝐚𝑖 = 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡

𝐫𝑖 × 𝑚𝑖𝐚𝑖 = 𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡

𝑖

𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐚𝑖) =

𝑖

𝐫𝑖 × 𝐟𝑖𝑡𝑜𝑡

𝐤

= (𝑅𝐹⊥) 𝐤

Forças internas se cancelam

Pausa: aceleração normal e tangencial

VELOCIDADE das partículas do corpo que giraem torno de um eixo fixo

𝑏𝑖

𝐯𝑖(𝑡)

𝜔(𝑡)

|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)

E a aceleração?

|𝐚𝑡(𝑡)| =|𝑑𝐯𝑡|

𝑑𝑡= 𝑏𝛼 𝑡=

𝑏𝜔 𝑡 + 𝑑𝑡 − 𝑏𝜔 𝑡

𝑑𝑡

|𝐚𝑛(𝑡)| =𝑑𝐯𝑛

𝑑𝑡= 𝑏𝜔2 𝑡=

𝐯 𝑡 𝜔𝑑𝑡

𝑑𝑡

𝐯(𝑡)𝐯(𝑡 + 𝑑𝑡)

𝑏

𝜔𝑑𝑡𝜔𝑑𝐯

𝑑𝐯𝑛𝑑𝐯𝑡

𝜔𝑑𝑡

|𝐯(𝑡)| = 𝑏𝜔(𝑡)

|𝐚𝑡(𝑡)| = 𝑏𝛼 𝑡

|𝒂𝑛(𝑡)| = 𝑏𝜔2 𝑡

Em uma figura ….

𝜔(𝑡)

𝐯

𝐚

𝑏

𝑖

𝑚𝑖(𝐫𝑖 × 𝐚𝑖) = (𝑅𝐹⊥) 𝐤

𝑅 𝐹⊥

𝐫𝑖

𝐚𝑖(𝐚𝑖)𝑡

𝑖

𝑚𝑖 𝑏𝑖(𝑎𝑖)𝑡 𝐤 = (𝑅𝐹⊥) 𝐤

𝑏𝑖𝛼(𝑡)

𝑖

𝑚𝑖𝑏𝑖2 𝛼 𝑡 = 𝑅𝐹⊥

𝐼𝛼 𝑡 = 𝑅𝐹⊥

𝛼 e 𝐹⊥ têm sinal!

Eq. de Newton para a Rotação pura

continuando...

𝐼 = 13𝑀𝐿2

𝐿1,5 N

7𝐿/8

2 N𝐿/2

3 N

𝐿/4

𝑀𝐿2

3𝛼 =

+32N

7𝐿8

− 2N𝐿2

+ 3N𝐿4

𝛼 = +0,61 rad/s2

𝑀 = 5 kg

𝐿 = 1,3 m

𝛼 = −0,46 rad/s2

𝛼 = +0,35 rad/s2