Energia e Trabalho

Profª Michelle Paiva

Energia e trabalho

Energia

Energia potencial é a energia associada com a posição da partícula.

Existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim.

Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadora –terra. Porém a energia armazenada é transformada de uma forma para outra durante sua queda.

Energia Cinética ENERGIA CINÉTICA (K)

A energia cinética é a energia associada ao estado de movimento de um

objeto.

Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo, maior será sua energia cinética. Quando o objeto está em repouso, sua energia cinética é nula.

Para um objeto de massa m cuja velocidade v é bem inferior à velocidade da luz, definimos a sua energia cinética como

K = ½ mv2 A unidade de SI para a energia cinética (e todos os outros

tipos de energia) é o joule ( J ), em homenagem a James Prescott Joule, um cientista inglês do século XIX.

TRABALHONa linguagem comum, a palavra

trabalho é aplicada a qualquer forma de atividade que requeira um esforço muscular ou mental. Em física, entretanto, este termo é usado num sentido mais específico, que envolve a aplicação de uma força a um corpo e o deslocamento deste corpo.

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE SOBRE UM OBJETO QUE SE MOVE EM UMA DIMENSÃO

Fr

dr

θ

. cosW F d W Fd θ= ⇒ =rr

O trabalho é uma grandeza algébrica, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força possui uma componente na mesma direção e sentido que o deslocamento, o trabalho realizado por ela é positivo.

Se o sentido da componente da força for oposto ao deslocamento, o trabalho será negativo. Se a força for perpendicular ao deslocamento, ela não terá componente na direção do deslocamento e o trabalho será nulo.

TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA CINÉTICAO trabalho realizado pela força resultante

sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula

2 20

1 1

2 2W K W mv mv= ∆ ⇒ = −

Se o trabalho resultante realizado sobre uma partícula for positivo, então a energia cinética da partícula aumenta de uma quantidade igual ao trabalho. Se o trabalho resultante for negativo, então a energia cinética da partícula diminui de uma quantidade igual ao trabalho.

TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL: EM UMA DIMENSÃO

Para uma força constante e de mesma direção e sentido do deslocamento é fácil verificar que o trabalho realizado por ela é igual a “área sob a curva” no gráfico , como está representado na figura abaixo. Mesmo quando o valor da força estiver variando esta propriedade é válida, sendo que o trabalho de uma força variável na direção x pode ser calculada por

2

1

( )x

x

w F x dx= ∫

wx1 x2

TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA DE MOLA A força exercida pela mola pode,

portanto, ser expressa em termos de distância x, através da qual ela é esticada ou comprimida, a partir do seu comprimento de equilíbrio, por

F kx= −

( )F F Fx x x

xi xi xi

W F x dx kx dx k xdx= = − = −∫ ∫ ∫2 2 2 21 1

( ) ( )2 2f i i fk x x k x x= − − = −

POTÊNCIAA potência devido a uma força é a taxa

com que essa força realiza um trabalho sobre um objeto. Se a força realiza um trabalho W durante um intervalo de tempo é Δt, a potência média é

m

WP

t=

∆

A potência instantânea P é a taxa instantânea de realização de trabalho, que pode ser escrita como

dWP

dt=

Energia

Como a transformação pode ser entendida a partir do teorema trabalho energia.

Veremos que a soma da energia cinética e potencial fornece a energia mecânica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservação da energia)

Energia Potencial Gravitacional

Em muitas situações tudo se passa como se “a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois.”

Garoto em um balanço: Nos pontos mais elevados, a energia é armazenada em outra forma, relacionada com a altura do ponto acima do solo, e esta energia é convertida em K quanto atinge o ponto inferior do arco.

Esse ex. da idéia de que existe uma energia associada com a posição dos corpos em um sistema. Este tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho (W)


Quando um martelo é elevado no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela força da gravidade, porém isso só ocorre quando o martelo é liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se ENERGIA POTENCIAL.

Existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.


Quando um corpo cai sem resistência do ar, a energia potencial diminui à medida que a energia cinética aumenta.

Vimos “ usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a força gravitacional realiza trabalho sobre ele.

Usaremos o teorema W-∆K para demonstrar que essas duas descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma expressão para energia potencial.


Considere um corpo de massa m que se move ao longo de um eixo 0y. A força que atua sobre ele é a gravitacional.

Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2?O peso e o deslocamento possui mesmo

sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é

positivo.

)()()( 212121 yymgyymgyyFdFW ggg −=−=−==

Equação também válida para quando y2 é maior que y1. Neste caso:


Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início e no final do deslocamento.

mgyU = Energia potencialgravitacional

Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2;

12 UUU −=∆

Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 como

UUUUUW ∆−=−−=−= )( 1221

Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); U aumenta (∆U >0).

Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); U diminui (∆U >0).

Forças conservativas e não conservativas

As forças que atuam num sistema, modificando-lhe a configuração, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema à configuração inicial, readquire também a energia cinética inicial.

Isto significa que as forças conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e daí o seu nome.

Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.

Forças conservativas e não conservativas

As forças que atuam num sistema dizem-se não conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou não regressa à configuração inicial ou regressa a ela com energia cinética diferente da que tinha no princípio.

A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia potencial

Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservarama capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho.

Independência da trajetória para o trabalho de forças

conservativas

Consideremos uma partícula em movimento em um percurso fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, então dizemos que as forças são conservativas.

Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado é nula.

Exemplo: O lançamento de um tomate.

“O WR realizado pela força conservativa

movendo-se entre dois pontos não depende

da trajetória.”

0=resW

Independência da trajetória para o trabalho de forças

conservativas

Consideremos um percurso fechado arbitrário para uma partícula sujeita a uma ação de uma única força.

A partícula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetória 1 e retorna pela trajetória 2.

“A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetória.”

• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1

• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2

Se F for conservativa; Wres = 0.

2,1,

2,1, 0

baab

baab

WW

WW

−==+

O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo do W realizado ao longo da volta.

Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2.

2,2, baab WW −=

Substituindo a equação acima na equação anterior.

2,1, abab WW −=

Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.

Determinando Valores de Energia Potencial

Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia potencial elástica.

Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada.

• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa.

“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação ∆U na energia potencial associada ao sistema é o negativo do W.”

UW ∆−=

Determinando Valores de Energia Potencial

No caso geral onde a força pode variar com a posição

Substituindo W = - ∆U, temos:

Relação geral entre força e energia potencial.

∫=f

i

x

x

dxxFW )(

∫−=∆f

i

x

x

dxxFU )(


Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela.

Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta

em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto:

“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da

Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da

posição. Horizontal.”

ymgmgdymgdyxFU yy

x

x

x

x

f

i

f

i

∆==−−=−=∆ ∫∫ 2

1|)()(

mgyyU =)(

Energia Potencial Elástica Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se

movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola F = -kx realiza W sobre o bloco.

Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na

qual a mola se encontra relaxado x= 0.

22

2

1

2

1

2

1|)()( 2

1

if

xx

x

x

x

x

kxkxU

xkkxdxkxdxxFUf

i

f

i

−=∆

∆==−−=−=∆ ∫∫

22

2

1 ;0

2

10 kxUkxU =−=−

Conservação da Energia Mecânica

A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial dos objetos que compõem o sistema:

Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext

= 0). Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro

de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-∆K

UKEmec +=

WK =∆

Usando a equação da variação na energia potencial

Combinando as duas equações anteriores

Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra

diminui.

Podemos reescrever como

WU −=∆


UK ∆−=∆

1122

1212 )(

UKUK

UUKK

+=+−−=− Conservação da energia

mecânica.

“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam

variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem

variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode

variar”

Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA

ENEGIA MECÂNICA.

Podemos escrever esse princípio de outra forma


UKEmec ∆+∆=∆Este princípio nos permite resolverProblemas que seriam difíceis usandoapenas as Leis de Newton.

Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.


Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.

Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do ponto mais baixo.

Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo?

JKK 20 ;2000 22 =+=+

Interpretando uma curva de energia potencial

Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela.

Podemos obter bastante informação sobre o movimento da partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x).

Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula podemos encontrar a energia potencial

∫−=∆f

i

x

x

dxxFU )(


Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia

potencial U(x) e queremos determinar a força.

Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força que atua sobre a partícula se move através de uma distância ∆x é F(x) ∆x. Podemos escrever

Passando ao limite diferencial

xxFWU ∆−=−=∆ )(

dx

xdUxF

)()( −=


Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial elástica e U(x) = mgx.

A curva de energia potencial

- U versus x : podemos encontrar F medindo a inclinação da curva de U(x) em vários

pontos.


Pontos de retorno

Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um

Sistema possui um valor constante dado por

K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema.

Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no

ponto x5

mecExUxK =+ )()(

)()( xUExK mec −=

JxK 145)( =−=


Pontos de Retorno

O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo.

• K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1.

• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partícula inverte o sentido do movimento.


Pontos de Equilíbrio

3 valores diferentes de Emec.

Se Emec = 4 J, o ponto de retorno mudar de x1 para um valor entre x1 e x2.

Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecânica do sistema é igual a U(x); portanto, K = 0e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa estáem repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em EQUILÍBRIO NEUTRO.



Se Emec = 3 J, existe dois pontos de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Além disso x3 é um ponto onde K = 0. Se a partícula estiver neste ponto, a F = 0 e a partícula permanecerá em repouso.Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos,uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula emtal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.



Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4 ela permanecerá nesta posição. Ela não pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta própria, pois seria necessário uma K negativa.

Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, apareceuma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partículaem tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.

Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema

vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE

um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este

sistema.”

Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre

Um sistema.Quando a transferência deenergia é PARA o sistema.

Quando a transferência deenergia é DO o sistema.


NA AUSÊNCIA DE ATRITO

Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você

se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da

bola sobre o peso.

Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa

suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto.

Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto

é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual

sistema?


NA AUSÊNCIA DE ATRITO

Verificar quais energias se modificam:

Há variação ∆K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, também houve uma variação ∆Ug do sistema bola-terra.

Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola-

terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é

mecEUKW ∆=∆+∆=

Energia equivalente para o W realizado por Fext

sobre um sistema sem atrito.

NA PRESENÇA DE ATRITO

Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco

ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo-

cidade do bloco de v0 para v.

O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton

mafF c =−

Como as forças são constantes , temos

Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma

rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir

tal variação, temos

Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao

longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco

desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia

térmica é igual

Portanto

advv 220

2 +=

dfKFd c+∆=

dfEFd cmec +∆=

dfE cT =∆

Tmec EEW +∆= Trabalho realizado pelo sistema em presença de atrito.

Conservação da Energia

Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO,

que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é

a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de

energia interna.

“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de

energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.”

O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W

realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece

A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.

intEEEEW Tmec ∆+∆+∆=∆=


SISTEMA ISOLADO

Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver

trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da

energia diz:

“A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.”

Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética

em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema

não pode variar.


e

int1,2, EEEE Tmecmec ∆−∆−=

“Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que

considerar as energias em tempos intermediários.”

A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras:

0int =∆+∆+∆ EEE Tmec0=W

Uma força externa pode mudar a K ou U de um

objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia

para o objeto. Em vez disso, é a força responsável

pela transferência de energia de uma forma para

outra dentro do objeto.

Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra

um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K

aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela.

No entanto a F não transfere energia para o corrimão

para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao

contrário a K aumenta como resultado de transferências

internas a partir da energia bioquimica contida nos seus

musculos.

FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA

Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com

a variação da energia mecânica do objeto.

Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos

considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a

patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos.

A situação também envolve uma variação na elevação do objeto,

podemos incluir a energia potencial

FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA

θθ

cos

cos0

FdK

FdKK

=∆=−

θcosFdUK =∆+∆A força do lado direito dessaEq. não realiza W, mais é responsável pelas variações das energias.

Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma

para outra.

“Se uma certa quantidade de energia ∆E é transferida durante um

intervalo de tempo ∆t, a potência média devida à força é”

E a potencia instantânea

t

EPmed ∆

∆=

POTÊNCIA

.dt

dEP =

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