energia potencial de la deformacion.docx

7/24/2019 energia potencial de la deformacion.docx

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ENERGIA POTENCIAL DE LA DEFORMACION

DEFORMACION DE FUERZA NORMAL

Si acta la fuerza normal N, solose ro!uce el esfuerzo normal

z=N

A """# $%&

Se tiene 'ue(

z=z

E """"""## $)&

*or lo tanto

Wu=12

z z= z

2

2E """ $+&

Remlazan!o $)& en $+& e interan!o#

WN=0

L

ds N2

2E A2

dA """""## $-&

*ero N, E, A son constantes en una secci.n trans/ersal 0

dA=A """# $1&

Finalmente#

WN=0

LN

2

2E Ads


2/15

Es el tra2a3o !e !eformaci.n or fuerza normal#

PROBLEMA.

Se !e2e escoer uno !e los tornillos !e acero !e altaresistencia, A 0 4 !e la 5ura %- 6 7, ara soortar una carareentina !e tensi.n# *ara eleir es necesario !eterminar lam89ima canti!a! !e ener:a !e !eformaci.n el8stica 'ueue!e a2sor2er ca!a tornillo# El tornillo A es !e ;#7


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Ui= N

2L

2AE

0.875pulg /2

[ 29 (103

) klbpulg

2 ]

2(18.47 klb)

2

(2pulg)

0.731pulg /2

29(103)klb /pulg2

2(18.47 klb)2(0.25pulg)

;#;)+%ul#Bl2

Tornillo B# en este caso se suone 'ue el tonillo tiene un !i8metro uniforme!e ;#


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En donde Ix es el momento de inercia de la seccin con respecto al ee x, e y es la

distancia del punto donde se calcula el esfuerzo al ee neutro!ee sin compresin nitensin.

Se cumple la ec. (1) y teni endo e n cuenta (2)

WMx=0

L

dxA

Mx

2

2E Ix2

y2

dA

"ero Mx , E , I x son constantes en una seccion

A

y2

dA=Ix

"or lo tanto

WMx=0

LMx

2

2EIxdx

Es la energa por momento flexionante

a) Efecto de #uerza $ortante

=Ty Q

Ix by(a)

%& momento est'tico de 'rea limitada entre la fira de estudio y la fira m's aleada

de la seccin

by=ac!"d# la $ib%a# #s&udi"

Se tiene


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='

(

En donde * es el mdulo de elasticidad trans+ersal y +ara entre,.- E y ,. E.

/eniendo en cuenta 0ue

Wu=1

2'=

'2

2( .()

Sustituyendo ( a) en () e inte1rando

WTx=0

L

dxA

Ty2

Q2

2( Ix2

by2

dA

ecordando 0ue

Ix=A)2

En donde ) es el radio de iro de la seccin, se tiene

WTy=0

L

dxA

T

y

2

2(A Q

2

)2Ix by

2dA

En donde Ty , * y 3 son constantes en una seccin, y

k=A

Q2

)2Ix by

2dA

Solo depende de la forma de la seccin (0ue puede camiar a lo laro de la arra) y se

denomina el coeficiente de forma 4. En eneral, la forma de la seccin se conser+aan para secciones +ariales a lo laro de la pieza.

"or lo tanto

WTy=0

L

k Ty

2

2(Adx


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Es el traa!o por "eforma#i$n por f%er&a #ortante

El coeficiente de la forma 4 +ale 1.2 para secciones rectanulares y trianulares 156

para secciones circulares y A s#cci"/A sima para perfiles laminados.

'(OBLEMA (E*ELTO

1) 7allar la eneria de deformacion por momento flexionante


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2) 7alle la enera deformacin por fuerza cortante en funcin a sus +ariales


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AA*=(2d)2

2=

d4

2

A *+=d

2

4

WTy=0

L

k Ty

2

2(Adx

u&=0

L

2

k T

2

2(Adx+

L

2

L

k T

2

2(Adx u&=

0

L

2

k T

2

2((d

2

2)

dx+L

2

L

k T

2

2((d

2

4)

dx

u&=k T

2

( ( d2 ),

l

2

0+k

T2

(

(

d2

2

)

,l

l

2

dx

u&=k T

2

( ( d2 )l

2+k

T2

((d2

2)lk

T2

((d2

2)l

2


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u&=k T

2

( ( d2 )l

2+k

T2

((d2

2)lk

T2

( ( d2 )l

u&=k T

2

l( ( d2 ) [

1

2+21]

u&=k T

2l

( ( d2 )[1.5]

ENERGHA *OENCIAL DE DEFORMACIN

ORSIN

a# 4arra rism8tica#

U= T

2L

2( IP

2# 4arra escalona!a#


10/15

%

) +

L% L) L+

U=-T(i )

2L(i)

2( Ip(i)

c# 4arra !e secci.n /aria2le#


11/15

L

U=0

L

T(x)

2dx

2( Ip(x)

+#JDetermine la ener:a otencial !e !eformaci.n !e la 2arra escalona!a enfunci.n a sus /aria2les#


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E3ercicios

*or secciones(

Secc%J%

0x1

L

- mT=0

mx1

=m

Secc)J)

Lx22.5L


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- mT=0

mx2

+3m=m

mx2

=2m

Secc )J) 2.5Lx24L

- mT=0

mx3

+m+3m=m

mx3

=3m

Ener:a otencial

U1=mx

1

2x1

2( Ip

U1=

m2

x1

2( Ip

.i x1=0

U1=0

.i x1=L

U1=m

2L

2( Ip=16

m2L

(d4

U2=mx

2

2x2

2( Ip

U2=

2m2

x2

2( Ip .i x2=L U2=

4 m2L

(d4


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.i x 2=2.5L U2=10m

2L

( d4

U3=

9m2

x3

2( Ip

#

.i x3=2.5L U3=

40m2L

9 ( d4

.i x3=4L U3=

64 m2L

9 ( d4

-#JDetermine una f.rmula ara la ener:a !e !eformaci.n !e la 2arra circularmostra!a en la 5ura# El momento torsor es !istri2ui!o emieza en ; 0 termina

en un /alor m89imo !e &0 en el emotramiento#

U=0

LTx

2dx

2( IP

&x

x=

&0

L :&x=

&0x

L

Tx=1

2(x )(&x)=

1

2(x )(

&0x

L

)

Tx=&0x

2

2L


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U=0

L ( &0x2

2L)dx2( IP

= &

0

2L

3

40( Ip

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