Energia Potencial e Conservação de Energia - .8-1 Energia Potencial ⚫ Energia Potencial U é

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  • Energia Potencial e Conservao de Energia

    Captulo 8

    Copyright 2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-1 Energia Potencial

    Energia Potencial U energia que est associada configurao de um sistema de objetos que exercem foras uns sobre os outros

    Um sistema de objetos pode ser:

    Terra e um bungee jumper

    Energia potencial gravitacional responsvel pelo aumento de energia cintica durante a queda

    Energia potencial elstica responsvel pela desacelerao pela corda elstica

    A fsica determina como a energia potencial calculada para dar conta da energia armazenada

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-1 Energia Potencial

    Para um objeto sendo elevado ou baixado:

    A mudana na energia potencial gravitacional o negativo do trabalho realizado

    Isto tambm se aplica para um sistema massa-mola

    Eq. (8-1)

    Figura 8-3Figura 8-2

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    Trabalho negativo realizado pela fora gravitacional

    Trabalho positivo realizado pela fora gravitacional

  • 8-1 Energia Potencial

    Pontos chaves:

    1. O sistema consiste em dois ou mais objetos

    2. Uma fora age entre uma partcula (tomate/bloco) e o resto do sistema

    3. Quando a configurao muda, a fora realiza trabalho W

    1, transformando energia cintica em outra forma

    4. Quando a configurao revertida, a fora reverte a transformao de energia, realizando trabalho W

    2

    Ento a energia cintica do tomate/bloco torna-se energia potencial e depois em energia cintica novamente

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-1 Energia Potencial

    Foras conservativas so foras para as quais W1 = -W2 sempre verdade

    o Exemplos: fora gravitacional, fora de uma mola

    o Caso contrrio no podemos falar de suas energias potenciais

    Foras no-conservativas so aquelas para as quais a expresso W1 = -W2 falsa

    o Exemplos: fora de atrito cintico, fora de arrasto

    o Energia cintica de uma partcula em movimento transformada em calor pelo atrito

    o Energia trmica no pode ser revertida em energia cintica do objeto via fora de atrito

    o Portanto a fora no-conservativa, energia trmica no uma energia potencial

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-1 Energia Potencial

    Quando apenas foras conservativas agem sobre uma partcula, muitos problemas so simplificados:

    Um resultado disto que:

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    A fora conservativa. Qualquer escolha de trajetria entre os pontos requer a mesma quantidade de trabalho.

    E uma volta ao mesmo ponto fornece trabalho total igual a zero.

    O trabalho total realizado por uma fora conservativa se movendo em qualquer trajetria fechada zero.

    O trabalho total realizado por uma fora conservativa se movendo entre dois pontos no depende da trajetria adotada pela partcula.

    Figura 8-4

  • 8-1 Energia Potencial

    Matematicamente:

    Este resultado permite substituir um caminho mais complexo por um mais simples se apenas foras conservativas esto envolvidas

    Figura 8-5

    Eq. (8-2)

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    A fora gravitacional conservativa. Qualquer escolha de trajetria entre os pontos fornece a mesma quantidade de trabalho.

  • 8-1 Energia Potencial

    Answer: No. The paths from a b have different signs. One pair of paths allows the formation of a zero-work loop. The other does not.

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    A figura mostra trs trajetrias conectando os pontos a e b. Uma nica fora F realiza o trabalho indicado numa partcula que se move ao longo da trajetria no sentido indicado. Com base nesta informao a fora F conservativa?

  • 8-1 Energia Potencial

    Para o caso geral calculamos o trabalho como:

    Ento calculamos a energia potencial como:

    Usando isto para calcular a EP gravitacional, relativa a uma configurao de referncia com ponto de referncia y

    i= 0:

    Eq. (8-5)

    Eq. (8-6)

    Eq. (8-9)

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    A energia potencial gravitacional associada a um sistema partcula-Terra depende apenas da posio vertical y (ou altura) da partcula relativa posio de referncia y = 0, no da posio horizontal.

  • 8-1 Energia Potencial

    Use o mesmo processo para calcular a EP da mola:

    Com ponto de referncia xi= 0 para uma mola relaxada:

    Eq. (8-10)

    Eq. (8-11)

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-1 Energia Potencial

    Answer: (3), (1), (2); a positive force does positive work, decreasing the PE; a negative force (e.g., 3) does negative work, increasing the PE

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    Uma partcula est para se mover ao longo de um eixo x a partir de x = 0 at x1 enquanto uma fora conservativa, dirigida ao longo do eixo x, age na partcula. A figura mostra trs situaes nas quais a componente x daquela fora varia com x. A fora tem o mesmo mdulo mximo F1 nas trs situaes. Ordene as situaes de acordo com a mudana na energia potencial associada durante o movimento da partcula, a mais positiva primeiro.

  • 8-2 Conservao de Energia Mecnica

    A energia mecnica de um sistema a soma de suas energias potencial U e cintica K:

    Trabalho realizado por foras conservativas faz aumentar K e diminuir U pelo mesmo montante, ento:

    Usando subscritos para diferenciar entre instantes:

    In other words:

    Eq. (8-12)

    Eq. (8-15)

    Eq. (8-17)

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    Num sistema isolado onde apenas foras conservativas causam mudanas na energia, a energia cintica e a potencial podem mudar, mas sua soma, a energia mecnica do sistema Emec no se altera.

  • 8-2 Conservao de Energia Mecnica

    Este o princpio de conservao de energia mecnica:

    Esta uma ferramenta muito poderosa:

    Uma aplicao:

    o Escolha o ponto mais baixo no sistema como U = 0

    o Ento no ponto mais alto U = max, e K = min

    Eq. (8-18)

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    Quando a energia mecnica de um sistema conservada, podemos relacionar a soma da energia cintica e energia potencial num instante com outro instante sem considerar o movimento intermedirio e sem calcular o trabalho realizado pelas foras envolvidas.

  • 8-2 Conservao de Energia Mecnica

    Answer: Since there are no nonconservative forces, all of the difference in potential energy must go to kinetic energy. Therefore all are equal in (a). Because of this fact, they are also all equal in (b).

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

    A figura mostra quatro situaes uma na qual o bloco solto verticalmente e trs nas quais o bloco solto em rampas sem atrito. (a) Ordene as situaes de acordo com a energia cintica do bloco no ponto B, a maior primeiro. (b) Ordene-os de acordo com a velocidade do bloco no ponto B, a maior primeiro.

  • 8-3 Lendo uma Curva de Energia Potencial

    Para uma dimenso, fora e energia potencial esto relacionadas (pelo trabalho) como:

    Portanto podemos encontrar a fora F(x) a partir de um grfico da energia potencial U(x), tomando a derivada (inclinao)

    Se escrevermos a energia mecnica:

    Vemos como K(x) varia com U(x):

    Eq. (8-22)

    Eq. (8-23)

    Eq. (8-24)

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-3 Lendo uma Curva de Energia Potencial

    Para encontrar K(x) em um lugar qualquer, tomamos a energia mecnica total (constante) e subtramos U(x)

    Locais onde K = 0 so pontos de retorno

    o Nestes, a partcula muda de sentido (K no pode ser negativo)

    Nos pontos de equilbrio, a inclinao de U(x) 0 (zero)

    Uma partcula num equilbrio neutro est estacionaria, com energia potencial apenas, e fora resultante = 0

    o Se deslocado levemente para um lado ela permaneceria nesta nova posio

    o Exemplo: uma bolinha de gude numa mesa plana

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • 8-3 Lendo uma Curva de Energia Potencial

    Uma partcula em equilbrio instvel est estacionria, com energia potencial apenas, e fora resultante = 0

    o Se deslocada levemente para uma direo ela sentir uma fora naquela direo

    o Exemplo: uma bola de gude sobre uma bola de boliche

    Uma partcula em equilbrio estvel est estacionria, com energia potencial apenas, e fora resultante = 0

    o Se deslocada levemente para um lado sentir uma fora na direo de sua posio original

    o Exemplo: uma bola de gude no fundo de uma tigela

    2014 John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

  • Este o grfico da energia potencial U vs. posio x.

    Fora igual ao negativo da inclinao de U (x)

    Fora intensa, direo de +x

    Fora mdia, direo de -x

    A linha horiz. mostra um dado valor de energia mecnica Emec

    A diferena entre a energia total e a energia potencial a energia cintica K.

    Nesta posio K zero (um ponto de retorno). A partcula no pode ir alm para a esquerda.

    Nesta posio K mximo e a partcula est se movendo o mais rpido.

    Em quaisquer das situaes para Emec a partcula est presa (no pode escapar para direita ou esquerda)

    8-3 Lendo uma Curva de Energia Potencial

    Figura 8-9

    Graf. (a) mostra o potencial U(x)

    Graf. (b) mostra a fora F(x)

    Se desenharmos uma linha horizonta, (c) ou (f) por exemplo, podemos ver a regio de posies possveis

    x < x1 proibido para a Emec em (